各种积分之间的联系或转化示意图

积分变换 ppt课件

16
可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示,
这个线段的长度表示d-函数的积分值, 称为d-函数
的强度.
d (t)
1
O
t
d-函数有性质：
d d (t)f(t)dtf(0)及 (tt0)f(t)dtf(t0).
（ ft为连续函数）
可见d-函数和任何连续函数的乘积在实轴上的
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个
函数能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电
流强度, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记
成d-函数:
d
t
0
t 0 t 0
有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量,
例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技
பைடு நூலகம்
术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的
F() f(t)eitdt 1 eitdt eit 1
1
i
1
1 eiei 2sin
i
f(t)21
F()eitd1
F()costd
0
102s incostd20sin costd
9
例 2求指数衰减函数 f(t) e 0 ,t,
t0的傅氏变换及其 t0
积分表达式 ,其中 0.
如果成立
F(w) f(t)ejwdt t
f(t)1 F(w)ejwdt w
2
并称F(ω)为f (t)的象函数
或付里叶变换，记为
F[f(t)]；称f (t)为F(ω)的象原函数或付里叶逆变换，
记为F-1[F(ω)]
8
例1
求矩形脉冲函数

定积分的换元法和分部积分法课件

常数倍性质
定积分具有常数倍性质，即对于任意非零常数c，有c乘以被积函数的定积分等于该常数乘以被积函数在积分区间上的增量。
定积分的计算
直接法
直接代入被积函数进行计算，适用于简单的被积函数和明确的积
分区间。
换元法
通过变量替换简化被积函数或积分区间，适用于较为复杂的积分
问题。
分部积分法
通过将两个函数的乘积进行分部积分，将一个复杂函数的积分转化为更简单函数的积分，适用于
计算旋转体的体积
01
定积分可以用于计算旋转体的体积，例如旋转抛物面下的体积
。
求解平面图形的面积
02
定积分可以用于求解平面图形的面积，例如椭圆、圆、三角形
等。
求解曲线长度
03
定积分可以用于求解曲线的长度，例如圆的周长、正弦函数的
长度等。
05
定积分的应用
定积分在物理中的应用
计算物体在恒力作用下的运动轨迹
分部积分法在求解三角函数的不定积分中有着广泛的应用，例如求解$int sin x dx$或$int cos x dx$等。
求解复杂函数的不定积分
对于一些复杂函数的不定积分，分部积分法可以将其转化为简单函数的定积分，从而简化计算过程。例如求解$int x^2 e^x dx$等。
04
定积分的几何意义
03
分部积分法在定积分中的应用
分部积分法的定义和原理
分部积分法的定义
分部积分法是一种求解定积分的技巧，通过将一个不定积分转化为两个函数的乘积的导数，从而简化计算过程。
分部积分法的原理
基于微积分基本定理，通过将一个复杂函数的不定积分转化为简单函数的定积分，实现积分的求解。

定积分的换元法和分部积分法教学课件ppt

定积分的换元法和分部积分法教学课件ppt
xx年xx月xx日
目录
• 定积分的换元法 • 定积分的分部积分法 • 定积分的几何意义 • 定积分的物理应用 • 定积分的经济应用 • 定积分的优化方法
01
定积分的换元法
换元法的定义与性质
换元法的定义
将一个定积分中的被积函数或积分区间变换成另一个函数或区间，以求得定积分的值。
THANKS
谢谢您的观看
总结词
功率的概念、能量转换的效率、机械能与热能的转换
详细描述
首先介绍功率的概念，然后通过分析能量转换的效率和机械能与热能的转换关系，说明功率在不同能量转换中的重要作用。同时，还介绍如何利用功率公式求解机械能与热能转换等问题。
05
定积分的经济应用
需求价格弹性
需求价格弹性定义
需求价格弹性是衡量商品需求量对价格变动敏感程度的指标，用需求量变动百分比与价格变动百分比的比值来表示。
成本函数表示企业在一定时期内生产一定数量产品所需投入的成本的函数关系。
收益函数与成本函数的关系
收益函数和成本函数之间存在一定的关系，当销售量增加时，收益增加，但成本也会增加，因此需要找到一个最优的生产量和销售量组合，使得企业获得最大利润。
利润函数与最优生产量
利润函数定义
利润函数表示企业在一定时期内销售产品所获得的收益减去生产成本的函数关系。
换元法应用
将复杂的积分区间变换成简单的积分区间，简化计算。
将非标准形式的积分转换成标准形式的积分，以便使用积分的性质和公式进行计算。
将难以求导的被积函数变换成容易求导的函数，以便使用微积分基本定理进行计算。
02
定积分的分部积分法

拉普拉斯积分变换 PPT课件

记为 F(s) L f (t)
F(s)称为 f (t)的拉氏变换（或称为象函数）。
2
若F(s)是f (t) 的拉氏变换，则称 f (t) 为F(s)的拉氏逆变换（或称为象原函数），记为
f (t) L1F(s)
可以看出，f (t) (t 0)的拉氏变换，实际上就是 f (t)u(t)e t 的傅氏变换。
解 Lsin kt sin ktestdt 0
e st s2 k2
(s sin
kt
k
cos kt)
0
s2
k
k2
(Re(s) 0)
同样可得余弦函数的拉氏变换：
Lcoskt
s2
s
k2
(Re(s) 0)
9
例6 求单位脉冲函数 (t) 的拉氏变换。
解
利用性质： f (t) (t)dt f (0) ，有
即
L
t 0
f
(t )dt
1 s
L
f
(t)
1 s
F (s)
这个性质表明：一个函数积分后再取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换除以复参数s。
20
重复应用积分性质可得：
L
t
dt
t
dt
0
0
n次
t 0
f
(t)dt
1 sn
F (s)
此外，由拉氏变换存在定理，还可以得到象函数的积分性质：
L
7
则 f (t) 的拉氏变换
F (s) f (t) est dt 0
在半平面 Re(s) c上一定存在，右端的积分在 Re(s) c1 c 上绝对收敛而且一致收敛，并且在 Re(s) c 的半平面内，F(s)为解析函数。

高等数学重积分(思维导图)

dA =
1
+
fx2
(x,

y)
+
fy2
(x,

y)dσ为曲面S的面积元素，以它为被积表达式
在闭区域D上的积分，得A = ∬D
1
+
fx2
(x,

y)
+
fy2
(x,

y)dσ
曲面的面积
1
1
若薄片面密度为常量，则A= A ∬D xdσ,y= A ∬D ydσ
x= My = ∬D xμ(x, y)dσ ,y= Mx = ∬D yμ(x, y)dσ ,其中
6.(二重积分的中值定理)设函数f(x,y)在闭区域D上连续，σ是D的面积，则在D上至少存在一点（ξ，η），使得∬D f (x, y) dσ = f (η, ξ)σ
柱面坐标计算三重积分
三重积分的计算
0 ≤ ρ < +∞,0 ≤ θ ≤ 2π,−∞ < z < +∞,ρ=常数，即以z轴为轴的圆柱面；θ= 常数，即过z轴的半圆面；z=常数，即与xOy面平行的平面。dv=ρdρdθdz为柱面坐标

f
(x,
y)dx
b
∫a
dx
∫ φ2 (x)
φ1 (x)
f (x,
y)dy=
d
∫c
dy∫ ψ2(y)
ψ1 (y)
f (x,
y)dx
极坐标计算二重积分
ρdρdρ
为极坐标中的面积元素，φ1
(θ

ห้องสมุดไป่ตู้
)
≤
φ2

各种积分间的关系

D
13
(2) 简化二重积分的计算
例 2 计算 e y2dxdy ,其中D 是
D
以O(0,0), A(1,1), B(0,1)为顶点
的三角形闭区域.
14
解令 P 0, Q xe y2 ,
y
则 Q P e y2 , x y
B
A
1
D
应用格林公式,有
o
e y2dxdy
xe y2 dy
D
OA AB BO
计算 (1,1) xy2dx y ( x)dy. (0,0)
34
解 P( x, y) xy2, Q( x, y) y( x),
P ( xy2 ) 2xy, y y
Q [ y( x)] y( x), x x
积分与路无关 P Q ， y x
35
由 y( x) 2 xy ( x) x2 c
对 D 内任意闭曲线 L
有在
D
内有
Q
P
x y
L Pd x Qd y 0
在 D 内有 d u P d x Q d y
41
根据定理2 , 若在某区域内 P Q , 则 y x
1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径; 2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,
若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;
y sin x .
2
32
解 P ( x2 2xy) 2x
y y Q ( x2 y4 ) 2x x x
P Q ， y x
原积分与路径无关
故原式
1 x2dx
1
(1
y4 )dy
23 .
0
0
15
33
例7 设曲线积分 xy2dx y ( x)dy L

基本积分公式(PPT课件)

基本积分公式
Dr.Feng
一、基本积分公式
1.1、积分法 1.2、基本积分公式
二、直接积分法
2.1、方法定义 2.2、具体分项法
三、小结
13个基本积分公式
基本积分公式
1.1、积分法
x1 x xdx x1 C . ( 1)
1
1
启示: 能否根据求导公式得出积分公式？
结论: 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.
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基本积分公式
C
51
x 5
2
1
2
C
2 7
7
x2
C.
判断积分结果是否正确,只要对结果求导,看导数是否等于被积函数,相等时,结果是正确的,否则是错误的。
验证：（2
7
x2
C）
5
x2
x2
x
7
说明积分正确，也看出积分与导数的可逆关系
基本积分公式
xdx
dx x
3x3dx d( )
dx
x2
du u
dx 2 x2
(4) a xdx a x / ln a C
2x dx x2dx e2xdx
基本积分公式
2.2、具体分项法将被积函数化为几个函数的代数和，然后分项积分. ⑴ 利用乘除法分项
例1. 求 (2 x ) xdx 解：原积分= (2x x3 / 2 )dx
2xdx x3/ 2dx
基本积分公式
1
x
4
x
2
dx
x4 1
1 x2
1dx
(
x
2
1)dx
1

9.5 各种积分之间的联系

L
A ydx
L
1 A xdy ydx 2 L
2015年4月30日星期四
13
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例 3 设 L 为任一不经过原点的闭曲线，方向为逆时针方向，其围成的区域记为 D ,试在下列两种情况下计算曲 xdy ydx 线积分 I L 2 ： 2 x y （1）原点不在区域 D 内（图 9 12）；（2）原点在区域 D 内（图 9 13）.
L2
D
L2
L由L1与L2连成
L由L1与L2组成
（1）D可以是单连通区域也可以是复连通区域。（2）边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时, 区域
D总在他的左边.（外逆内顺）
2015年4月30日星期四 4
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y
证明:(1)
若区域 D 既是 X 型又是Y 型,即平行于坐标轴的直线和 L至多交于两点.
1 2 3
L Pdx Qdy L Pdx Qdy L Pdx Qdy
1 2 3
BA＋AC＋CE＋EB
CD＋DE＋EC
EF＋FB＋BE
F
D3
BA＋AC＋CD＋DE＋EF＋FB
B
L3
D
D2 L2
L Pdx Qdy
（ L1 、 L2 、 L3 对 D 来说为正方向） L1
线不是闭曲线，故该曲线积分不能直接用格林公式来计算．
为了用格林公式，需作辅助曲线，即有向线段OA和BO，
则 AB 与 BO 及 OA 一起构成一有向闭曲线，其方向是逆时针方向．
2015年4月30日星期四 11
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设它所围成的闭区域为 D ，由格林公式得 x y 1 1 π 2 2 dxdy dxdy AB BOOA 2 dy 2 dx 4 D D x y x y 而 OA 2 dy 2 dx 0 , BO 2 dy 2 dx 0 ,

定积分的换元法和分部换元法课件

分部换元法的定义
分部换元法是一种将定积分转化为几个易于计算的定积分的和或差的方法。
分部换元法的思路
通过将原被积函数分解为若干个易于计算的部分函数，并分别对每个部分函数进行换元，从而将原定积分的计算转化为简单定积分的计算。
分部换元法的应用范围与限制
应用范围
分部换元法适用于被积函数可以分解为若干个易于计算的部分函数的定积分，以及定积分的和或差。
换元法的目的是简化积分表达式，使其更易于计算。
常用的换元技巧
根式代换
用根式代换原有的变量，将积分表达式转化为易于计算的幂函数积分。
三角代换
用三角函数代换原有的变量，将积分表达式转化为三角函数的积分。
倒代换
用倒数代换原有的变量，将积分表达式转化为易于计算的幂函数积分。
定积分的换元公式及其应用
分部换元法的进一步研究与应用
理论深化
分部换元法的基础理论还需要进一步深化和完善，例如分部积分公式的推导和应用等方面需要更加严谨和精细的研究。
应用拓展
分部换元法的应用领域也需要进一步拓展，例如在解决某些特殊类型的积分和微分方程时可以发挥重要作用。
数值计算
分部换元法的数值计算也需要进一步研究和改进，以提高计算效率和精度。
对于某些特定的定积分问题，可以通过两种方法的结合使用，以达到更好的效果。
如何选择合适的解题方法
根据题目特点选择
对于涉及多项式、有理函数的定积分问题，分部换元法可能更为合适。
对于熟练掌握换元法和分部换元法的同学来说，可以根据题目的难易程度和个人喜好来选择合适的方法。
对于涉及三角函数的定积分问题，换元法可能更为合适。
效率。
02
通过使用不同的换元方法，可以将不同类型的定积分

积分变换第3讲ppt课件

f
(t
)
d
t
1 F
jw
[ f (t)].
(1.19)
证因为 d
t
f (t) d t f (t),
d t -
F [ f (t)] jwF
t -
f
(t)
d
t
精选
9
例2 求微分积分方程 t a x (t) b x (t) c x (t)d t h (t) -
的解, 其中-<t<+, a,b,c均为常数. 根据傅氏变换的微分性质和积分性质, 且记
积分变换
第3讲
精选
1
傅氏变换的性质
精选
2
这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.
精选
3
线性性质设F1(w)=F [f1(t)], F2(w)=F [f2(t)], a,b是常数, 则
例如 t etd t t e u d u e u t e t - e - et
-
-
-
且有 d
t f (t) d t d
t
f (u) d u f (t)
d t -
d t - 精选
8
4. 积分性质
如果当 t 时, g (t) t f (t) d t 0 -
则
F
t -
一般地, 有
dn
dwn
F(w) (- j)nF
[tn f (t)]
精选
7
本书中的积分的记号有不严格的写法, 即
t f (t ) d t的意思其实是 t f (u ) d u ,

积分变换第5讲ppt-工程数学第20讲

同理
1
s m1
um e-ud u
CD
-1 s m1
um e-ud u
DC
1 s m1
re cos jre sin u m e-ud u
re cos
1 | s |m1
e-re cos (re cos )m1
|| secm2 a da
0
e0 0 即 CD e0 0
22
故
1
s m1
-1
R
e 0
s m1
um e-ud u
0
19
1
s m1
um
AB
e-ud u
1 s m1
u e d u rRcos jrRsin m -u
rR cos
令u rR cos jv, d u jd v
1 rRcos jrRsin m -u
s u e d u m1 rRcos
j s m1
当f(t)在t=0处包含了脉冲函数时, 则
0 f (t) e-std t 0,即 0L-[ f (t)] L[ f (t)]
29
为了考虑这一情况, 需将进行拉氏变换的函数
f(t), 当t0时有定义扩大为当t>0及t=0的任意
一个邻域内有定义. 这样, 原来的拉氏变换的
定义
L [ f (t)] f (t) e-std t 0
rRsin e-(rRcos jv) (rR cos jv)m d v
0
1
| s |m1
rR|sin |
|
e - rR cos
(rR cos
jv)m
|
dv
0
20
1
| s |m1

数学分析课件22.1各种积分间的联系334.00KB

D
l
Q ( x, y ) l 定理(格林公式) P ( x , y是以光滑曲线 D 为边界的设 ) y x 平面单连通区域,函数和在及上连 P 续并具有对和 Q 的连续偏导数,则有 ( ) dxdy Pdx Qdy . 【数学分析课件】
D
x
y
l
这里右端为沿有向闭路的积分,积分路径的方向是和区域正向联系的,即当一个人沿着曲线 l 行走时区域 D 恒在他的左边(亦即服从右手法则的联系). 这个公式称为格林公式.
我们再讨论复连通区域的格林公式.若 D 是复连通区域,它的边界由两条曲线 l 和 L 组成,用一条曲线 c 把区域 D 的边界曲线 L 和
c
l
联结起来,那么以曲线
Qdy
L,l
及
为边界的区域就成了一个单连通区域,应用格林公式

D
(
Q x

P y
) dxdy
Pdx
L

[( y
S
R

Q z
) cos( n , x ) (
P z

R x
) cos( n , y )
(

Q x
(

P y

) cos( n , z )] dS
) dydz ( P z R x ) dzdx ( Q x P y

S
cos( n , z ) z R
dS

S
x P
.
【数学分析课件】
例4
x y
2 2
计算
2
( y z ) dx ( z x ) dy ( x y ) dz

第十八讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理课件ppt课件

lim
m
Ek
{ f
m
( x)}l dx M
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
由 m 的任意性立得
m
lim
f
E
m
( x)dx f ( x)dx 。
E
证毕。
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
三．Lebesgue基本定理
问题1：回忆 f 的Riemann可积性与| f |
的Riemann可积性是否等价。对
常义Riemann积分而言，情形又
如何？
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
我们曾经提到Lebesgue积分是Riemann积分的推广，然而对广义Riemann积分来说， Riemann可积性并不意味着Lebesgue可积性，这从前面的例子已经看到。
测子集列，E Ek，则当 f(x) 在 E 上
有积分时， f(x) 在每一 Ek 上都有积分，且
k 1

f ( x)dx f ( x)dx.
E k 1 Ek

第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
证明：记 Ek 为 Ek 的特征函数，则
Ek
f

则
f ( x)dx lim f
E m E
m
m ( x)dx.
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
(2) Levi定理的证明先设

E
， f ( x)dx ，对任意 0
取正整数 l, k, 使
{ f ( x)}l dx f ( x)dx , 2 E E

不定积分思维导图

()122()1. 2. 3.2113.2 4. 5.6.sin cos cos sin 7.tan 8.cos 1.k kx xd x d ax b dx dx x dx d x a k x dx dx d x de dx de x x x xdx d x or xdx d x dx d x x++===+==−==−==常见的凑微分不定积分1-凑微分2222222.1ln ln 1.(1ln )ln 2.11113.(1)() (1)()4.(cos sin )(sin co cos ) 5.sin 2sin 6.sin t si 2n cos d x x x dx dx x dx dx x dx d x dx d x x x x x x x dx d x x xdx d x d xx x xdx d x ⎧⎪⎪⎨−+==−=++=−−=+=−==−不常见的凑微分类似⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩2221. 1.sin2.sec3.tan x 2.()3.14.x a t x a t x a t ax bx c ax bx c mx n q x t ⎧⎪===⎨⎪⎩⎧⎪++⎪⎨++++⎪⎪⎩⎧⎪⎨=⎪⎩三种常见的三角换元三角换元注意：换回的时候可以画图辅助常见的根式换元方法：如果含有，则根式换元将进行配方变成配方后，子题型就是三角换元不定积分2-换元法一般来说，对于多项式分式，分母次数过高的时候倒代换可以考虑使用倒代换整1arctan xe x ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪−⎪⎩⎩一般来说，遇到较为复杂的复合函数可以考虑体换元比如被积函数是、等等22221.sin 2.arctan 3cos 3.cos (cos sin )sin (sin ax ax ax ax ax x xdx xdx e bxdx e e bxdx a bx b bx c a b e e bxdx a bx b a b ⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩−=+++=−+⎰⎰⎰⎰⎰表格法应用广泛表格法例如求这种类型积分很方便有的比较难用表格法其他形式如这种类型，要熟练不定积分分部积分这里是一般分部积分两次，即可重现积分如求这种积分积分再现的分部积分附.cos )4.bx c ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪+⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎩要熟练三大积分法（凑微分，换元法，分部积分）的综合应用真题考的大部分都是综合应用，很少有单考某个方法2222222211 111. 4 1. 2.dx dx a xa x dx dx x a ax bx c qx p dx ax bx c ⎧⎧⎪⎪+−⎪⎪⎪⎪⎨⎪−++⎪⎪⎪+⎪⎨⎪++⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎩⎩−⎰⎰⎰⎰⎰1、2、基础积分3、、低次幂5、掌握这些积分的求解思想第一步：拆项成基础积分，一般的拆项有加减凑，裂项等求解方法第二步：依次计算每个基础积分第三步：保底拆项方法：待定系数法（自学）三大函数1有理分式2222233232(1()() (2) +2=()(3)=()(+) 1=(1)(+12.3.a b a b a b a ab b a b a b a b a ab b a a a a ⎪−=+−++−−+−−⎩⎧+⎪⎪⎨高次幂一换对于高次幂的有理分式，一般采用凑微分和倒代，三角换元法，或者其他方法，总之就是三大积分法式。

各种积分间的关系PPT文档共42页

谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
各种积分间的关系
21、没有人陪你走一辈子，所以你要适应孤独，没有人会帮你一辈子，所以你要奋斗一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该是坚强。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之首，因为这种德性保证了所有其余的德性。--温斯顿．丘吉尔。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的，它只是让人们的脚放上一段时间，以便让别一只脚能够再往上登。
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子