武汉市部分重点中学2017—2018高一上学期期末数学试卷(五校联考)含详细答案
【优质文档】湖北省武汉二中2017-2018学年高一(上)期末数学试卷(解析版)
B． C． D．
【考点】 三角函数的化简求值． 【分析】 利用诱导公式化成同角，再用和差公式即可求解． 【解答】 解：∵ sin80 °=sin（90°﹣10°）=cos10°， cos160 °=cos=﹣cos20 °， 那 么 ： sin20 °sin80 °﹣ cos160°sin10 °=sin20 °cos10°+cos20°sin10 °=sin（ 20°+10°）
6．函数 y=2sin（ ﹣2x）的单调递增区间是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】 函数 y=Asin（ωｘ+φ）的图象变换． 【分析】 先根据三角函数的诱导公式将自变量
x 的系数变为正数，再由函数
的单调递减区间为
的单调递增区间根据正弦函
数的单调性求出 x 的范围，得到答案．
【解答】 解：
，
由于函数
的单调递减区间为
大值，则函数 y=f（x+ ）是（ ）
A．奇函数且它的图象关于点（ π，0）对称
B．偶函数且它的图象关于点（
， 0）对称
C．奇函数且它的图象关于点（
， 0）对称
D．偶函数且它的图象关于点（ π，0）对称
10．将函数 y=sin（x﹣ ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐
标不变），再将所得图象向左平移
2017-2018 学年湖北省武汉二中高一（上）期末数学试卷 （详细解析附后）
一、选择题 1．sin20 s°in80 ﹣°cos160 °sin10 =°（ ）
A．
B． C． D．
2．若
= ，则 tan θ（＝ ）
A．1 B．﹣ 1 C．3 D．﹣ 3
3．在函数 y=sin| x| 、y=| sinx| 、y=sin（2x+ ）、y=tan（2x+ ）中，最小正
湖北省武汉市部分重点中学2017-2018学年度上学期期末联考高一数学试卷(解析版)
2017-2018学年湖北省武汉市部分重点中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.某扇形的半径为r ，圆心角α所对的弧长为2r ，则α的大小是（ ）A. B. C. 1弧度 D. 2弧度30∘60∘2.用二分法研究函数f （x ）=x 5+8x 3-1的零点时，第一次经过计算f （0）＜0，f （0.5）＞0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）A. B. C. D. (0,0.5)f(0.125)(0.5,1)f(0.25)(0.5,1)f(0.75)(0,0.5)f(0.25)3.已知α锐角，那么2α是（ ）A. 小于的正角B. 第一象限角180∘C. 第二象限角D. 第一或二象限角4.在下列函数中，同时满足以下三个条件的是（ ）（1）在上单调递减，（2）最小正周期为2π，（3）是奇函数．(0，π2)A. B. C. D. y =tanxy =cosxy =sin(x +3π)y =sin2x5.已知，则=（ ）sin(π3‒x)=35cos(5π6‒x)A. B. C. D.3545‒35‒456.下列关于函数y =tan （x +）的说法正确的是（ ）π3A. 图象关于点成中心对称 B. 值域为一1，(π6,0)[1]C. 图象关于直线成轴对称D. 在区间上单调递增x =π6(‒π6,5π6)7.将函数y =cos （x -）的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数π3π6图象的一条对称轴是（ ）A. B.C. D.x =π4x =π6x =πx =π28.已知sinα+cosα=-，α∈（0，π），则tanα的值为（ ）15A.或B.C. D.‒43‒34‒43‒34349.如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x 轴的直线l ：x =t （0≤t ≤a ）经过原点O 向右平行移动，l 在移动过程中扫过平面图形的面积为y （图中阴影部分），若函数y =f （t ）的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是（ ）A. B.C. D.10.已知函数y =A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图，则它的解析式为（ ）A. y =2sin (π12x +5π6)B. y =2sin (π6x +π6)C.y =2sin (π12x +π6)D.或y =2sin (π6x +π6)y =2sin (π12x +5π6)11.已知a =sin29°•cos127°+cos29°•sin53°，，，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）b =2tan13°1+tan 213∘c =1‒cos50°2A. B. C. D. a <b <c a >b >c c >a >b a <c <b12.已知且3sinβ=sin （2α+β），，则α+β的值为（ ）α，β∈(0，π2)4tan α2=1‒tan 2α2A. B. C. D.π6π4π33π4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设扇形的周长为8cm ，面积为4cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是______．14.在直角坐标系中，O 是原点，A （，1），将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为______．315.已知直线l 1∥l 2，A 是l 1，l 2之间的一定点，并且A 点到l 1，l 2的距离分别为3，4．B 是直线l 2上一动点，作AC ⊥AB ，使AC 与直线l 1交于点C ，△ABC 面积的最小值为______．16.定义min （a ，b ）=，已知函数f （x ）=min （2x ，x 2），若f （x 1）=64，，则{a(a ≤b)b(a >b)f(‒1‒x 2)=14x 1+x 2=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知角α为第四象限角，且tanα=‒43（1）求sinα+cosα的值；（2）求的值．sin(π‒α)+2cos(π+α)sin(32π‒α)‒cos(32π+α)18.已知函数f(x)=4sinx ⋅cos(x ‒π3)‒3（1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）求函数f （x ）的单调递减区间．19.已知sin x 2‒3cos x2=0（1）求tan x 的值；（2）求的值．cos2x2cos(π4+x)⋅sinx20.某同学用“五点法”画函数f （x ）=A sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了π2部分数据，如表：ωx +φπ2π3π22πxπ35π6A sin （ωx +φ）5-5（1）请将上表数据补充完整，并求出函数f （x ）的解析式；（2）将y =f （x ）的图象向左平移个单位，得到函数y =g （x ）的图象．若关于x 的方程g （x ）-（2m +1）=0π6在[0，]上有两个不同的解，求实数m 的取值范围．π221.某商场销售一种“艾丽莎”品牌服装，销售经理根据销售记录发现，该服装在过去的一个月内（以30天计）每件的销售价格P （x ）（百元）与时间x （天）的函数关系近似满足P （x ）=1+（k为正的常数），日销售kx 量Q （x ）（件）与时间x （天）的部分数据如表所示：x （天） 10 20 25 30 Q （x ）（件）110120125120已知第2哦天的日销售量为126百元．（Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）给出以下三种函数模型：①Q （x ）=a •b x ；②Q （x ）=a •log b x ；③Q （x ）=a |x -25|+b ．请您根据如表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q （x ）（件）与时间x （天）的变化关系，并求出该函数的解析式；（Ⅲ）求该服装的日销收入f （x ）（1≤x ≤30，x ∈N *）（百元）的最小值．22.若函数f （x ）在x ∈[a ，b ]时，函数值y的取值区间恰为[，]，就称区间[a ，b ]为f （x ）的一个“倒域区间”，1b 1a 已知函数g （x ）=．{‒x 2+2x,x ∈[0,2]x 2+2x,x ∈[‒2,0)（I ）写出g （x ）在[0，2]上的单调区间和单调性（不需要证明）；（Ⅱ）求函数g （x ）在[1，2]内的“倒域区间”；（Ⅲ）若函数g （x ）在定义域内所有“倒域区间”上的图象作为函数y =h （x ）的图象，是否存在实数m ，使y =h （x ）与y =恰好有1个公共点？若存在求出m 的范围，若不存在则说明理{x 2+m ，(x ≥0)sin 2x +2tanx ，(‒π2＜x ＜0)由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵|a|===2故选：D．利用公式|a|=，将相应值代入即可求出结果．本题的关键是利用弧长公式计算弧长．属于基础题．2.【答案】D【解析】解：令f（x）=x5+8x3-1，则f（0）＜0，f（0.5）＞0，∴f（0）•f（0.5）＜0，∴其中一个零点所在的区间为（0，0.5），第二次应计算的函数值应该为f（0.25）故选：D．根据零点定理f（a）f（b）＜0，说明f（x）在（a，b）上有零点，已知第一次经计算f（0）＜0，f（0.5）＞0，可得其中一个零点x0∈（0，0.5），根据二分法的定义即可得到第二次应计算的函数值f（0.25）．本题考查的是二分法研究函数零点的问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、二分法的思想以及数据处理的能力．值得同学们体会和反思．3.【答案】A【解析】解：∵α锐角，∴0°＜α＜90°，∴0°＜2α＜180°，故选：A．由锐角的定义可得0°＜α＜90°，故有0°＜2α＜180°．本题考查锐角的定义，不等式的性质，属于容易题．4.【答案】C【解析】解：A．y=tanx在上单调递增，不满足条件（1）．B．函数y=cosx是偶函数，不满足条件（3）．C．函数y=sin（x+3π）=-sinx，满足三个条件．D．函数y=sin2x的最小周期T=π，不满足条件（2）．故选：C．分别判断每个函数是否满足条件即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握三角函数的性质以及判断．5.【答案】C【解析】解：∵sin（-x）=sin[-（+x）]=cos（+x）=，∴cos（-x）=cos[π-（+x）]=-cos（+x）=-．故选：C．将已知等式左边中的角-x变形为-（+x），利用诱导公式化简，求出cos（+x）的值，再将所求式子中的角-x变形为π-（+x），利用诱导公式化简后，将cos（+x）的值代入即可求出值．此题考查了运用诱导公式化简求值，灵活变换角度，熟练掌握公式是解本题的关键．6.【答案】A【解析】解：关于函数y=tan（x+），令x=，可得y的值不存在，故图象关于点（，0）成中心对称，故A正确；它的值域为R，故B错误；当x=时，可得可得y的值不存在，故图象不关于直线x=成轴对称，故C错误；在区间（，）上，x+∈（，），函数y=tan（x+）没有单调性，故D错误，故选：A．由题意利用正切函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．本题主要考查正切函数的图象和性质，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：将函数y=cos（x-）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=cos（x-）的图象，再向左平移个单位，得到y=cos[（x+）-）]，即y=cos（x-）的图象，令x-=kπ可解得x=2kπ+，故函数的对称轴为x=2kπ+，k∈Z，结合选项可得函数图象的一条对称轴是直线x=．故选：D．由函数图象变换的知识可得函数解析式，由余弦函数的对称性结合选项可得．本题考查余弦函数的图象和对称性以及图象变换，属基础题．8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．由条件利用同角三角函数的基本关系，求得tanα的值．【解答】解：∵sinα+cosα=-，α∈（0，π），∴α为钝角，结合sin2α+cos2α=1，∴sinα=，cosα=-，则tanα==-.故选C.9.【答案】C【解析】解：由函数的图象可知，几何体具有对称性，选项A、B、D，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y，在中线位置前，都是先慢后快，然后相反．选项C，后面是直线增加，不满足题意；故选：C．直接利用图形的形状，结合图象，判断不满足的图形即可．本题考查函数的图象与图形面积的变换关系，考查分析问题解决问题的能力．10.【答案】B【解析】解：由图象知：T＜8，得T＜16，即2π/ω＜16，得ω＞，可排除A，C，D．故选：B．观察图象，得出T＜8，进而得出ω＞，可排除A，C，D，选出正确的选项．本题考查由y=Asin（ωx+φ）部分图象确定其解析式，选择题，可有排除法，第一步，代入特殊点，第二步，求周期范围．11.【答案】D【解析】解：a=sin29°•cos127°+cos29°•sin53°=-sin29°•cos53°+cos29°•sin53°=sin（53°-29°）=sin24°，=sin26°，==sin25°，∵y=sinx在（0°，90°）上为增函数，∴a＜c＜b．故选：D．利用两角差的正弦化简a，再由倍角公式化简b，c，结合正弦函数的单调性得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查两角差的正弦及倍角公式的应用，是基础题．12.【答案】B【解析】解：∵，且3sinβ=sin（2α+β），∴3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]，即3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα，化简可得2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα，故有tan（α+β）=2tanα．再根据4tan=1-tan2，可得tanα==，∴tan（α+β）=2tanα=1．再根据α+β∈（0，π），可得α+β=，故选：B．由条件利用两角和差的三角公式求得tan（α+β）=2tanα；再利用二倍角的正切公式求得tanα的值，可得tan（α+β）的值，从而求得α+β的值．本题主要考查两角和差的三角公式、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．13.【答案】2【解析】解：S=（8-2r）r=4，r2-4r+4=0，r=2，l=4，|α|==2．故答案为：2．设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，弧长为l，面积为S，由面积公式和周长可得到关于l和r的方程组，求出l和r，由弧度的定义求α即可．本题考查弧度的定义、扇形的面积公式，属基本运算的考查．314.【答案】（-1，）【解析】解：依题意知OA=OB=2，∠AOx=30°，∠BOx=120°，所以x=2cos120°=-1，y=2sin120°=，即B（-1，）．故答案为：（-1，）依题意知OA=OB=2，利用任意角的三角函数的定义，直接求出B的坐标即可．本题是基础题，考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力，常考题型．15.【答案】12【解析】解：过A作l1、l2的垂线，分别交l1、l2于E、F，则AE=3，AF=4，设∠FAC=θ，则Rt△ACF中，AC==，Rt△ABE中，∠ABE=θ，可得AB==，∴△ABC面积为S=AB•AC==，∵θ∈（0，），∴当且仅当θ=时，sin2θ=1达到最大值1，此时△ABC面积有最小值12，故答案为：12．过A作l1、l2的垂线，分别交l1、l2于E、F．由直角三角形中三角函数的定义，算出AC，AB，从而得到△ABC面积，利用正弦函数的有界性，可得θ=时△ABC面积有最小值12．此题考查了直角三角形中锐角三角函数定义，正弦函数的定义域及值域及二倍角的正弦函数公式，利用了数形结合的思想，属于中档题．16.【答案】9【解析】解：由2x =x 2，可得x=2或4或m ，由g （x ）=2x -x 2，g （0）=1，g （-1）=-，可得g （x ）的零点介于（-1，0），则-1＜m ＜0，由min （a ，b ）=，则当x≤m 时，f （x ）=2x ，0＜f （x ）≤2m ；当m ＜x ＜2时，f （x ）=x 2，0≤f （x ）＜4；当2≤x≤4时，f （x ）=2x ，f （x ）∈[4，16]；当x ＞4时，f （x ）=x 2．f （x ）∈（16，+∞）．由f （x 1）=64可得x 12=64，可得x 1=8；由，即2=2-2，可得-1-=-2，解得x 2=1，综上可得x 1+x 2=9．故答案为：9．由2x =x 2，可得x=2或4或m ，确定m 的范围，分别求得f （x ）的四段解析式，以及范围，再由条件解方程可得所求和．本题考查函数的新定义的理解和应用，考查函数零点存在定理和运算能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）因为角α为第四象限角，且，tanα=‒43∴，…（4分）sinα=‒45，cosα=35则．…（5分）sinα+cosα=‒15（2）原式=．…（10分）sinα‒2cosα‒cosα‒sinα=tanα‒2‒1‒tanα=‒43‒2‒1+43=‒10313=‒10【解析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，cosα的值，即可得解； （2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18.【答案】解：（1）∵==f(x)=4sinx ⋅cos(x ‒π3)‒34sinx ⋅(12cosx +32sinx)‒32sinx ⋅cosx +23sin 2x ‒3===，sin2x +23⋅1‒cos2x2‒3sin2x ‒3cos2x 2sin(2x ‒π3)所以，函数f （x ）的最小正周期是．2π2=π（2）由2k π+≤2x -≤2k π+，求得k π+≤x ≤k π+，π2π33π25π1211π12可得函数的减区间为[k π+，k π+]，k ∈Z ．5π1211π12【解析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性得出结论． （2）利用正弦函数的单调性，求得函数f （x ）的单调递减区间．本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的周期性和单调性，属于中档题．19.【答案】解：（1）由，可得tan =3，∴．sin x 2‒3cos x 2=0x 2tanx =2tan x21‒tan2x2=61‒9=‒34（2）原式===+1=-．cos 2x ‒sin 2x2⋅(22cosx ‒22⋅sinx)⋅sinxcosx +sinx sinx 1tanx 13【解析】（1）先利用同角三角函数的基本关系求得tan 的值，再利用二倍角的正切公式求得tanx 的值．（2）利用二倍角公式、两角和的余弦公式化简所给的式子，可得结果．本题主要考查二倍角的正切公式、余弦公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．20.【答案】解：（1）根据表中已知数据，解得A =5，ω=2，φ=-，数据补全如下表：π6ωx +φπ2π3π22πxπ12π37π125π613π12A sin （ωx +φ）50-5且函数表达式为f （x ）=5sin （2x -）．π6（2）通过平移，g （x ）=5sin （2x +），方程g （x ）-（2m +1）=0可看成函数g （x ），x ∈[0，]和函数y =2m +1的π6π2图象有两个交点，当x ∈[0，]时，π22x +∈[，]，为使横线y =2m +1与函数g （x ）有两个交点，只需≤2m +1＜5，解得≤m ＜2．π6π67π65234【解析】（1）根据五点法进行求解即可．（2）根据函数平移关系求出函数g （x ）的表达式，利用函数和方程之间的关系转化为两个函数的交点问题即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用五点法以及函数与方程的关系进行转化是解决本题的关键．21.【答案】解：（1）依题意有：f （20）=P （2）•Q （20），即（1+）×120=126，所以k =1． …（2分）k20（2）由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选③Q （x ）=a |x -25|+b ．…（4分）从表中任意取两组值代入可求得：Q （x ）=-|x -25|+125=125-|x -25|． …（6分）（3）∵Q （x ）=125-|x -25|=，{100+x,(1≤x <25)150‒x,(25≤x ≤30)∴f （x ）=．…（8分）{x +100x+101，(1≤x ＜25)150x‒x +149，(25≤x ≤30)①当1≤x ＜25时，x +在[1，10]上是减函数，在[10，25）上是增函数，100x 所以，当x =10时，f （x ）min =121（百元）． …（10分）②当25≤x ≤30时，-x为减函数，150x 所以，当x =30时，f （x ）min =124（百元）． …（11分）综上所述：当x =10时，f （x ）min =121（百元）．【解析】（1）利用f （20）=P （20）•Q （20），可求k 的值；（2）由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选③，从表中任意取两组值代入可求得结论；（3）求出函数f （x ）的解析式，分段求最值，即可得到结论．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数模型的建立，考查函数的最值，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）函数g （x ）=；{‒x 2+2x,x ∈[0,2]x 2+2x,x ∈[‒2,0)x ∈[0，2]时，g （x ）=-x 2+2x =-（x -1）2+1，图象是抛物线的一部分，对称轴是x =1，且开口向下；∴g （x ）在[0，1]上是单调增函数，在[1，2]上是单调减函数；即单调增区间是[0，1]，单调减区间是[1，2]；（Ⅱ）设1≤a ＜b ≤2，∵g （x ）在x ∈[1，2]上递减，∴，{1b =g(b)=‒b 2+2b 1a=g(a)=‒a 2+2a整理得，{(a ‒1)(a 2‒a ‒1)=0(b ‒1)(b 2‒b ‒1)=0解得a =1，b =1+52∴g （x ）在[1，2]内的“倒域区间”为[1，]；1+52（Ⅲ）∵g （x ）在x ∈[a ，b ]时，函数值y的取值区间恰为[，]，其中a ≠b ，a 、b ≠0，1b 1a ∴，{a ＜b 1b ＜1a∴a 、b 同号．只考虑0＜a ＜b ≤2或-2≤a ＜b ＜0；当0＜a ＜b ≤2时，根据g （x ）的图象知，g （x ）最大值为1，≤1，a ∈[1，2），1a ∴1≤a ＜b ≤2，由（Ⅱ）知g （x ）在[1，2]内的“倒域区间”为[1，]；1+52当-2≤a ＜b ＜0时，g （x ）最小值为-1，≥-1，b ∈（-2，-1]，1b ∴-2≤a ＜b ≤-1，同理知g （x ）在[-2，-1]内的“倒域区间”为[-1]．‒1‒52h （x ）=；{‒x 2+2x ，x ∈[1，1+52]x 2+2x ，x ∈[‒1‒52，‒1]依题意，抛物线y =x 2+m 与函数h （x ）的图象有1个交点时，交点在第一象限，此时m 应当使方程x 2+m =-x 2+2x ，在[1，内恰有一个实数根，1+52且使方程sin 2x +2tan x =x 2+2x ，在[，-1]内无实数根；‒1‒52由方程2x -2x 2=m 在[1，]内恰有一实数根知-2≤m ≤0；1+52综上，m的取值范围是-2≤m≤0．【解析】（Ⅰ）根据分段函数g（x）的解析式，利用二次函数的图象与性质得出结论；（Ⅱ）根据题意设1≤a＜b≤2，利用g（x）在x∈[1，2]上的单调性列方程组求出a、b的值即可；（Ⅲ）根据题意利用方程思想求出h（x），且在“倒域区间”内恰有一个实数根，求出此时m的取值范围．本题考查了函数的性质，运用求解数学问题，考查了分类思想，方程的运用，难度大，属于难题．。
2017-2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高一(上)期末数学试卷(含精品解析)
2017-2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共7小题，共35.0分）1.已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么=（ ）⃗a ⃗b |⃗a +⃗b |A. 3B. 2C. 4D. 32.函数y =的最小正周期为（ ）cotx +cosx1+sinx A.B. C.D. π2π3π22π3.已知a =，b =（），c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）1+tan16°1‒tan 16∘3221+cos58°2A. B. C. D. c >a >bc >b >a a >c >b b >a >c4.若在[0，]内有两个不同的实数x 满足cos2x +sin2x =m ，则实数m 的取值范围是（ ）π23A. B. C. D. l <m ≤21≤m <2‒2≤m ≤2m ≤25.已知函数f （x ）=A cos （ωx +φ）的一部分图象如图所示，f （）=，则f （0）π223=（ ）A.B.C.D.23‒23223‒2236.已知α+sin （α-1）=3，β+sin （β-1）=1，α，β∈[1-，1+]，=（sin ，cos ），=（cos ，sin ），则π2π2⃗m α2α2⃗n β2β2下面结论正确的是（ ）A. B. C. D. ⃗m ⋅⃗n=0⃗m ⋅⃗n=sin 1⃗m ⋅⃗n=sin 2⃗m//⃗n7.cos960°=（ ）A. B. C. D.1232‒12‒32二、填空题（本大题共2小题，共10.0分）8.已知=（-2，3），=（λ，1），若与的夹角为锐角，则λ的取值范围为______．⃗a ⃗b ⃗a ⃗b 9.计算=______．tan40°+tan80°+tan240°tan 40∘tan 80∘三、解答题（本大题共4小题，共55.0分）10.如图，已知OPQ 是半径为，圆心角为的扇形，C 是该扇形弧上的动点，5π3ABCD 是形的内接矩形，其中D 在线段OQ 上，A 、B 在线段OP 上，记∠BOC 为θ．（1）若Rt △CBO 的周长为，求cos2θ的值；5(30+5)5（2）求OA •AB 的最大值，并求此时θ的值．11.如图，A ，B 是单位圆上的相异两定点（O 为圆心），且∠AOB =θ（θ为锐角）．点C 为单位圆上的动点，线段AC 交线段OB 于点M ．（1）求（结果用θ表示）；⃗OA ⋅⃗AB （2）若θ=60°①求的取值范围；⃗CA ⋅⃗CB ②设（0＜t ＜1），记=f （t ），求函数f （t ）的值域．⃗OM=t ⃗OB S △COMS △BMA 12.计算：（1）+(19)‒326423（2）．2log 32‒log 3329+log 38‒5log 5313.已知函数f （x ）=2sin （2x -）+1，x ∈[，]．π6π23π4（1）求f （x ）的最大值和最小值；（2）若不等式|f （x ）-m |＜2在[，]上恒成立，求实数m 的取值范围．π23π4答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵、均为单位向量，它们的夹角为60°∴||=||=1，•=∴===3∴=故选：D．由于本题中未给出向量的坐标，故求向量的模时，主要是根据向量数量的数量积计算公式，求出向量模的平方，即向量的平方，再开方求解．求向量的模一般有两种情况：若已知向量的坐标，或向量起点和终点的坐标，则或；若未知向量的坐标，只是已知条件中有向量的模及夹角，则求向量的模时，主要是根据向量数量的数量积计算公式，求出向量模的平方，即向量的平方，再开方求解．2.【答案】B【解析】解：函数y====cotx，故函数的周期为π，故选：B．由题意利用同角三角函数的基本关系化简函数的解析式，再利用余切函数的周期性，得出结论．本题主要考查同角三角函数的基本关系，余切函数的周期性，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：由a==tan（45°+16°）＞tan45°=1，b=（）＜，1＞c===cos29°＞cos30°=，则a、b、c的大小关系为：a＞c＞b．故选：C．由a==tan（45°+16°）＞tan45°，b=（）＜，1＞c===cos29°＞cos30°，即可判断出大小关系．本题考查了和差倍角公式、三角函数单调性与求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：令y=cos2x+sin2x=2sin（2x+），在[0，]内，那么2x+，∴y的值域为[-1，2]．那么cos2x+sin2x=m有两个不同的实数，结合三角函数的图象：可得1≤m＜2．故选：B．辅助角公式化简y=cos2x+sin2x=2sin（2x+），在[0，]内求解y的值域范围，结合三角函数图象可得m的范围．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．5.【答案】B【解析】解：由图象可得最小正周期为π．所以f（0）=f（π），注意到x=π与x=π关于x=π对称，故f（π）=-f（π）=．故选：B．根据图象求出周期，注意x=π与x=π关于x=π对称，求出f（π），就是f（0）的值本题考查由y=Acos（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查分析问题解决问题的能力，是基础题6.【答案】C【解析】解：根据题意得，sin（α-1）=3-α=2-（α-1）∈[-1，1]∴-1≤2-（α-1）≤1∴2≤α≤2∴α=2，同理β=2•=sin×cos+cos×sin=sin（）=sin（）=sin2故选：C．由题知，α+sin（α-1）=3即sin（α-1）=3-α=2-（α-1），利用sin（α-1）的有界性得α的范围从而求得•的值．本题涉及平面向量数量积的运算和三角函数的运算．7.【答案】C【解析】【分析】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．．【解答】解：cos960°=cos（720°+240°）=cos240°=cos（180°+60°）=-cos60°=-．故选C ．8.【答案】{λ|λ＜且λ≠-6 }32【解析】解：∵已知=（-2，3），=（λ，1），若与的夹角为锐角，∴=-2λ+3＞0，即λ＜；且、不共线，即≠，∴λ≠-6．综上可得，λ的范围为{λ|λ＜且λ≠-6 }，故答案为：{λ|λ＜且λ≠-6 }．根据题意可得＞0，且、不共线，由此求得λ的取值范围．本题主要考查两个向量的数量积、两个向量共线的条件，属于基础题．9.【答案】3【解析】解：∵tan40°+tan80°=tan120°（1-tan40°tan80°），∴====．故答案为：．利用两角和的正切函数的变形式，tan40°+tan80°=tan120°（1-tan40°tan80°），化简即可求出表达式的值．本题考查三角函数的求值与化简，两角和公式的应用，弦切互化，考查计算能力，是中档题．10.【答案】解：（1）∠BOC 为θ，可得BC =OC sinθ=sinθ，5OB =OC cosθ=cosθ，5由题意可得+sinθ+sinθ=，5555(30+5)化为sinθ+cosθ=，0＜θ＜，305π3两边平方可得2sinθcosθ=＞0，15即sin2θ=，cos2θ=±=±；151‒125265（2）在直角三角形OBC 中，BC =sinθ，5即有AD =sinθ，5OA =AD tan =sinθ，π6153由AB =OB -OA =cosθ-sinθ，5153则OA •AB =sinθcosθ-sin 2θ53353=sin2θ-（1-cos2θ）53656=（sin2θ+cos2θ）-，53321256=sin （2θ+）-，53π656当2θ+=，即θ=时，OA •AB取得最大值．π6π2π656【解析】（1）由题意可得BC=sinθ，OB=cosθ，由条件可得sinθ+cosθ=，0＜θ＜，两边平方，结合二倍角的正弦公式和两角平方关系可得所求值；（2）分别求得OA ，AB ，结合二倍角的正弦公式和余弦公式，以及辅助角公式和正弦函数的值域，可得最大值以及相应的角．本题考查三角函数的化简和求值，考查正弦函数的值域的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．11.【答案】解：（1）=；⃗OA⋅⃗AB =|⃗OA ||⃗AB|cos(π‒∠OAB)‒|⃗AB|cos∠OAB =‒2sin 2θ2（2）当θ=60°时，⃗OA ⋅⃗OB=12①=．⃗CA ⋅⃗CB=(⃗OA‒⃗OC)⋅(⃗OB‒⃗OC)⃗OA⋅⃗OB ‒⃗OA ⋅⃗OC ‒⃗OC ⋅⃗OB+1设∠BOC =α，由条件知，，α∈[0，2π3]∴⃗CA⋅⃗CB=32‒cos(π3+α)‒cosα=32‒12cosα+32sinα‒cosα==．32‒32cosα+32sinα=32‒3(32cosα‒12sinα)32‒3cos(α+π6)∵，∴，α∈[0，2π3]cos(α+π6)∈[‒32，32]∴∈[0，3]；⃗CA ⋅⃗CB ②设，则，⃗AM=λ⃗AC (0＜λ＜1)⃗OM=⃗OA+⃗AM=⃗OA+λ⃗AC=(1‒λ)⃗OA+λ⃗OC=t ⃗OB ∴，⃗OC=tλ⃗OB‒1‒λλ⃗OA由可得，，⃗OC=1|tλ⃗OB‒1‒λλ⃗OA |=1即，整理得，(tλ)2+(1‒λλ)2‒2×tλ×1‒λλ×⃗OA ⋅⃗OB=1λ=t 2‒t +12‒t ∴，CM AM=1‒λλ=1‒t 2t 2‒t +1∴．S △COMS △COM=⃗OM ⋅⃗CM ⃗MB ⋅⃗AM=t 1‒t×1‒t 2t 2‒t +1=t 2+t t 2‒t +1即．f(t)=t 2+t t 2‒t +1(0＜t ＜1)而．f(t)=t 2+t t 2‒t +1=1+2t ‒1t 2‒t +1令，2t ‒1=a(‒1＜a ＜1)，g(a)=1+a(a +12)2‒a +12+1=1+4a a 2+3当a =0时，g （0）=1；当a ≠0时，，利用单调性定义可证明函数在（-1，0）和（0，1）都是递减的，g(a)=14a +3ay =a +3a 因此，或，a +3a ＞4a +3a ＜‒4∴函数值域是（0，2）．f(t)=t 2+t t 2‒t +1(0＜t ＜1)【解析】（1）直接利用平面向量的数量积把用θ表示；（2）①利用向量的数量积运算结合向量的加减法运算把用∠BOC 表示，化简整理后由∠BOC 得范围求得的取值范围；②设，则，∴，由可得，，整理得，然后把转化为含有t 的代数式，换元后借助于函数单调性求得函数f （t ）的值域．本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角函数值域的求法，训练了利用配方法和函数单调性求函数的值域，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，难度较大．12.【答案】解：（1）+(19)‒326423=27+16=43．（2）2log 32‒log 3329+log 38‒5log 53=log 34‒log 3329+log 38‒3=-3log 3(4×932×8)=log 39-3=2-3=-1．【解析】（1）利用指数性质、运算法则直接求解．（2）利用对数性质、运算法则、换底公式直接求解．本题考查对数式、指数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则、换底公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．13.【答案】解：（1）由函数f （x ）=2sin （2x -）+1，π6∵x ∈[，]，π23π4∴2x -∈[，]，π65π64π3∴当2x -=时，f （x ）取得最大值为：2；π65π6当2x -=时，f （x ）取得最小值为：1-；π64π33（2）不等式|f （x ）-m |＜2在[，]上恒成立，即m -2＜f （x ）＜2+m在[，]上恒成立，π23π4π23π4由（1）可得，{m ‒2＜1‒32+m ＞2∴．0＜m ＜3‒3故实数m 的取值范围为（0，）．3‒3【解析】（1）根据x∈[，]．求内层函数的范围，结合正弦函数的性质可得f（x）的最大值和最小值；（2）不等式|f（x）-m|＜2在[，]上恒成立，即m-2＜f（x）＜2+m在[，]上恒成立，利用（1）的结果即可求解实数m的取值范围．本题主要考查三角函数的图象和性质，转化思想求解参数范围问题．属于基础题．。
2017-2018学年湖北省武汉市四校联合体高一(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年湖北省武汉市四校联合体高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知P={-1，0，}，Q={y|y=sinθ，θ∈R}，则P∩Q=（）A. B. C. D. 0，2.甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（）A. 甲比乙先出发B. 乙比甲跑的路程多C. 甲、乙两人的速度相同D. 甲比乙先到达终点3.设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A. 0B. 1C.D. 54.x）D.5.已知函数：f（x）=a sin（πx+α）+b cos（πx+β），且f（-1）=3，则f（2018）的值为（）A. B. 1 C. 3 D.6.如图，某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=，据此图象可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A. 10B. 8C. 6D. 57.设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为（）A. 1B. 2C.D.8.已知，则=（）A. B. C. D.9.函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，如果，∈，，且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）A. B. C. D. 110.某函数同时具有以下性质：最小正周期是；图象关于直线对称；在上是增函数；一个对称中心为则它可以是A. B. C. D.11.幂函数y=x a，当a取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点A（1，0），B（0，1），连结AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=x a，y=x b的图象三等分，即有BM=MN=NA，那么a-=（）A. 0B. 1C.D. 212.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg3≈0.48）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在平面直角坐标系中，角α与角β均以x轴非负半轴为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则cos（α-β）=______．14.已知平面内有点：A（-1，1），B（1，2），C（-2，-1），D（3，4），则向量与向量的数量积为______．15.已知函数f（x）=ln+sin x，则关于a的不等式f（a-2）+f（a2-4）＜0的解集是______．16.设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在∈上有两个不同的零点，则称和在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”若与在上是“关联函数”，则m的取值范围______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知关于x的方程的两根为sinθ和cosθ，其中θ∈，．求的值；求实数m的值．18.已知函数f（x）=2sinωx cosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．求ω的值；若x∈，求函f（x）的最小值；若将函数f（x）的图象向右移个单位，求所得图象对应的函数g（x）的解析式．19.已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=-x2+2x（1）求函数f（x）在R上的解析式；（2）若函数f（x）在区间[-1，a-2]上单调递增，求实数a的取值范围．20.如图，为加强社区绿化建设，欲将原有矩形小花坛ABCD适当扩建成一个较大的矩形花坛AMPN．要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB=3米，AD=2米．若设DN=x，则DN为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．21.已知函数f（x）=4cos x sin（x+）-1，（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间（Ⅱ）若sin2x+af（x+）+1＞6cos4x对任意x∈（-，）恒成立，求实数a的取值范围．22.已知函数∈是偶函数．求k的值；若函数的图象与直线没有交点，求a的取值范围；若函数f（x）+x，∈，是否存在实数m使得最小值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵Q={y|y=sin θ，θ∈R}，∴Q={y|-1≤y≤1}，∵P={-1，0，}，∴P∩Q={-1，0}故选：C．由题意P={-1，0，}，Q={y|y=sinθ，θ∈R}，利用三角函数的值域解出集合Q，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．本题考查两个集合的交集的定义和求法，以及函数的定义域、值域的求法，关键是明确集合中元素代表的意义．2.【答案】D【解析】解：从图中直线的看出：K甲＞K乙；S甲=S乙；甲、乙同时出发，跑了相同的路程，甲先与乙到达．故选：D．根据图象法表示函数，观察甲，乙的出发时间相同；路程S相同；到达时间不同，速度不同来判断即可．本题考查函数的表示方法，图象法．3.【答案】C【解析】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=-1，得f（1）=f（-1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（-1）=-f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．本题考查抽象函数求值的方法，考查函数性质在求函数值中的应用，考查了抽象函数求函数值的赋值法．灵活运用已知条件赋值是迅速解决本题的关键，考查学生的转化与化归思想．4.【答案】C【解析】解：令f（x）=e x-x-2，由图表知，f（1）=2.72-3=-0.28＜0，f（2）=7.39-4=3.39＞0，方程e x-x-2=0的一个根所在的区间为（1，2），故选：C．令f（x）=e x-x-2，方程e x-x-2=0的根即函数f（x）=e x-x-2的零点，由f（1）＜0，f（2）＞0知，方程e x-x-2=0的一个根所在的区间为（1，2）．本题考查方程的根就是对应函数的零点，以及函数在一个区间上存在零点的条件．5.【答案】D【解析】解：∵f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），且f（-1）=3，∴asin（-π+α）+bcos（-π+β）=-asinα-bsinβ=3，∴asinα+bsinβ=-3．则f（2018）=asin（2018π+α）+bcos（2018π+β）=asinα+bsinβ=-3，故选：D．由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得asinα+bsinβ=-3，再利用诱导公式进行化简f（2018）的值，可得结果．本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=，据此图象可知，这段时间水深最小值为-4+k=2，∴k=6． 故这段时间水深（单位：m ）的最大值为4+k=10， 故选：A ．根据函数y=Asin （ωx+φ）+k 的最小值为k-A ，最大值为k+A ，得出结论． 本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）+k 的部分图象的应用，属于基础题． 7.【答案】C【解析】解：由题意，如图，因为AD=AB ，BE=BC ， ∴， 又（λ1，λ2为实数）， ∴，∴λ1+λ2=．故选：C ．作出图形，根据向量的线性运算规则，得，再由分解的唯一性得出λ1与λ2的值即可．本题考查向量基本定理，分解的唯一性是此类求参数题建立方程依据，注意体会这一规律． 8.【答案】A【解析】解：∵cos （x-）=，∴cosx+cos （x-）=cosx+cosx+sinx=（cosx+sinx）=cos（x-）=．故选：A．利用两角差的余弦函数公式化简所求，结合已知即可计算得答案．本题主要考查了特殊角的三角函数值及两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：由图知，T=2×=π，∴ω=2，因为函数的图象经过（-），0=sin（-+）∵，所以=，∴，令，解得,∴f(x)的对称轴方程为,当k=0时，,且,,故,所以．故选：C．通过函数的图象求出函数的周期，利用函数的图象经过的特殊点求出函数的初相，得到函数的解析式，利用函数的图象与函数的对称性求出f（x1+x2）即可．本题考查三角函数的解析式的求法，函数的图象的应用，函数的对称性，考查计算能力．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查正余函数的图象和性质，训练了利用排除法求解选择问题，由已知函数的性质逐一核对四个函数，逐一排除得答案，是基础题.．【解答】解：由①可排除A；由②图象关于直线x=对称，可得f（）=±1，而sin（）=1，cos（）=cosπ=-1，cos（）=0，可排除D；由③，当∈时，∈[-]，函数y=sin（）为增函数，∈[0，π]，函数为减函数，排除C．故选B．11.【答案】A【解析】解：BM=MN=NA，点A（1，0），B（0，1），所以M（，），N（，），分别代入y=x a，y=x b，a=，b=，∴a-=-=0．故选：A．先根据题意结合图形确定M、N的坐标，然后分别代入y=x a，y=x b求得a，b；最后再求a-的值即得．本题考查指数与对数的互化，幂函数的图象，考查数形结合思想，是基础题．12.【答案】D【解析】解：由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3=10lg3≈100.48，∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，∴≈=1093，故选：D．根据对数的性质：T=，可得：3=10lg3≈100.48，代入M将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果．本题解题关键是将一个给定正数T写成指数形式：T=，考查指数形式与对数形式的互化，属于简单题．13.【答案】【解析】解：∵角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴sinα=sinβ=，cosα=-cosβ，∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=-cos2α+sin2α=2sin2α-1=．故答案为：．根据角的对称得到sinα=sinβ=，cosα=-cosβ，再由两角差的余弦公式求解．本题考查了两角差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系，是基础题．14.【答案】15【解析】解：根据题意，A（-1，1），B（1，2），C（-2，-1），D（3，4），则向量=（2，1），向量=（5，5），则向量与向量的数量积•=2×5+1×5=15；故答案为：15．根据题意，由向量的坐标计算公式可得向量与向量的坐标，进而由数量积的坐标公式计算可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量数量积的坐标计算公式，属于基础题．15.【答案】（，2）【解析】解：由＞0，求得-1＜x＜1，故函数的定义域为（-1，1）．再根据函数满足f（-x）=ln（）+sin（-x）=-ln-sinx=-f（x），可得函数为奇函数，故关于a的不等式f（a-2）+f（a2-4）＜0，即f（a-2）＜-f（a2-4）=f（4-a2）．再由函数、sinx在的定义域（-1，1）上单调递增，可得函数f（x）在其定义域上单调递增，可得，解得＜a＜2，故答案为（，2）．由＞0，求得函数的定义域为（-1，1）．再根据函数为奇函数，不等式即 f （a-2）＜-f（a2-4）=f（4-a2）．函数f（x）在其定义域上单调递增，可得，从而求得不等式的解集．本题主要考查求函数的定义域、函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题．16.【答案】，【解析】解：∵f（x）=x2-3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，故函数y=h（x）=f（x）-g（x）=x2-5x+4-m在[0，3]上有两个不同的零点，故有，即，解得-＜m≤-2，故答案为．由题意可得h（x）=f（x）-g（x）=x2-5x+4-m在[0，3]上有两个不同的零点，故有，由此求得m的取值范围．本题考查函数零点的判定定理，“关联函数”的定义，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．17.【答案】解：由题意可得，sinθ+cosθ=，=sinθcosθ．∵sinθ+cosθ=，∴====cosθ+sinθ=；由sinθ+cosθ=，得，∴sinθcosθ=，即，则m=．【解析】利用根与系数的关系可得sinθ+cosθ=，=sinθcosθ，然后利用同角三角函数基本关系式求解①②．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．18.【答案】解：∵函数f（x）=2sinωx cosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+）的最小正周期为=π，∴ω=1．由得f（x）=sin（2x+），若x∈，，则2x+∈[，]，sin（2ωx+）∈[，1]，f（x）∈[1，]，f（x）的最小值为1．若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右移个单位，所得图象对应的函数g（x）=sin（2x-+）=sin（2x-）．【解析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求出ω；再利用正弦函数的定义域和值域求得x时，函f（x）的最小值；函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，得到所得图象对应的函数g（x）的解析式．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．19.【答案】解：（1）设x＜0，-x＞0，则f（-x）=-（-x）2+2（-x）=-x2-2x，又f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x），于是x＜0时f（x）=x2+2x，所以f（x）=，＞，，＜．（2）画出函数f（x）的图象，如图所示：要使f（x）在[-1，a-2]上单调递增，结合f（x）的图象知，所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是（1，3]．【解析】（1）根据函数奇偶性的对称性，即可求函数f（x）在R上的解析式；（2）由（1）画出函数f（x）的图象，根据函数奇偶性和单调性的关系，利用数形结合即可求出a的取值范围．本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用二次函数图象和性质是解决本题的关键．20.【答案】解：∵DC∥AN，∴，∴∴|AM|=，（x＞0）矩形花坛AMPN的面积y=|AM|•|AN|==3（x+，当且仅当x=即x=2时取等号，∴矩形花坛AMPN的面积的最小值24．【解析】先利用相似比建立函数关系，表示出矩形花坛AMPN的面积，然后利用基本不等式求解最值．本题主要考查了一元二次不等式，基本不等式及函数的最值在实际问题中的应用，解题的关键是把实际问题转化为数学问题．21.【答案】解：（Ⅰ）由函数f（x）=4cos x sin（x+）-1，可得：f（x）=4cos x（sin x+cos x）-1=sin2x+2cos2x-1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）由（k∈Z），解得：，∈所以：f（x）的单调增区间为（Ⅱ）由题意：当∈，时，＞原不等式等价于a•2cos2x＞6cos4x-sin2x-1，即＞恒成立令=，∵∈，，当x=0时，cos x取得最大值，即cos x=1时，那么g（x）也取得最大值为．因此，＞．【解析】（Ⅰ）先利用两角和余差的基本公式和辅助角公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（Ⅱ）求出f（x+）的值，带到题设中去，化简，求函数在x∈（-，）的最值，即可恒成立，从而求实数a的取值范围．本题考查了三角函数的图象及性质的化简能力和综合运用能力，利用三角函数的由界限求最值和参数问题．属于中档题．22.【答案】解：（1）∵函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数，∴f（-x）=f（x），即 log4（4-x+1）-kx=log4（4x+1）+kx恒成立．∴2kx=log4（4-x+1）-log4（4x+1）===-x，∴k=-（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=x+a没有交点，则方程log4（4x+1）-x=x+a即方程log4（4x+1）-x=a无解．令g（x）=log4（4x+1）-x==，则函数g（x）的图象与直线y=a无交点．∵g（x）在R上是单调减函数．＞，∴g（x）＞0．∴a≤0（3）由题意函数h（x）=4f（x）+x+m•2x-1=4x+m•2x，x∈[0，log23]，令t=2x∈[1，3]，则y=t2+mt，t∈[1，3]，∵函数y=t2+mt的图象开口向上，对称轴为直线t=-，故当-≤1，即m≥-2时，当t=1时，函数取最小值m+1=0，解得：m=-1，当1＜-＜3，即-6＜m＜-2时，当t=-时，函数取最小值=0，解得：m=0（舍去），当-≥3，即m≤-6时，当t=3时，函数取最小值9+3m=0，解得：m=-3（舍去），综上所述，存在m=-1满足条件．【解析】（1）若函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数，则f（-x）=f（x），可得k的值；（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=x+a没有交点，方程log4（4x+1）-x=a无解，则函数g（x）=的图象与直线y=a无交点，则a不属于函数g（x）值域；（3）函数h（x）=4x+m•2x，x∈[0，log23]，令t=2x∈[1，3]，则y=t2+mt，t∈[1，3]，结合二次函数的图象和性质，分类讨论，可得m的值．本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的值域，函数的单调性，二次函数的图象和性质，难度中档．。
2017-2018学年湖北省武汉市部分重点中学高一(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年湖北省武汉市部分重点中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.某扇形的半径为r，圆心角α所对的弧长为2r，则α的大小是（）A. B. C. 1弧度 D. 2弧度2.用二分法研究函数f（x）=x5+8x3-1的零点时，第一次经过计算f（0）＜0，f（0.5）＞0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为（）A. B. C. D.3.已知α锐角，那么2α是（）A. 小于的正角B. 第一象限角C. 第二象限角D. 第一或二象限角4.在下列函数中，同时满足以下三个条件的是（）（1）在，上单调递减，（2）最小正周期为2π，（3）是奇函数．A. B. C. D.5.已知，则=（）A. B. C. D.6.下列关于函数y=tan（x+）的说法正确的是（）A. 图象关于点成中心对称B. 值域为一1，C. 图象关于直线成轴对称D. 在区间上单调递增7.将函数y=cos（x-）的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是（）A. B. C. D.8.已知sinα+cosα=-，α∈（0，π），则tanα的值为（）A. 或B.C.D.9.如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x轴的直线l：x=t（0≤t≤a）经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y（图中阴影部分），若函数y=f（t）的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是（）A. B.C. D.10.已知函数y=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图，则它的解析式为（）A.B.C.D. 或11.已知a=sin29°•cos127°+cos29°•sin53°，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.12.已知，∈，且3sinβ=sin（2α+β），，则α+β的值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是______．14.在直角坐标系中，O是原点，A（，1），将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为______．15.已知直线l1∥l2，A是l1，l2之间的一定点，并且A点到l1，l2的距离分别为3，4．B是直线l2上一动点，作AC⊥AB，使AC与直线l1交于点C，△ABC面积的最小值为______．16.定义min（a，b）=，已知函数f（x）=min（2x，x2），若f（x1）=64，，则x1+x2=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知角α为第四象限角，且（1）求sinα+cosα的值；（2）求的值．18.已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的单调递减区间．19.已知（1）求tan x的值；（2）求的值．20.某同学用“五点法”画函数f（x）=A sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的（）请将上表数据补充完整，并求出函数（）的解析式；（2）将y=f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象．若关于x 的方程g（x）-（2m+1）=0在[0，]上有两个不同的解，求实数m的取值范围．21. 某商场销售一种“艾丽莎”品牌服装，销售经理根据销售记录发现，该服装在过去的一个月内（以30天计）每件的销售价格P （x ）（百元）与时间x （天）的函数关系近似满足P （x ）=1+（k 为正的常数），日销售量Q （x ）（件）与时间x （天）的部分数据如表所示：（Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）给出以下三种函数模型： ①Q （x ）=a •b x ； ②Q （x ）=a •log b x ； ③Q （x ）=a |x -25|+b ．请您根据如表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q （x ）（件）与时间x （天）的变化关系，并求出该函数的解析式；（Ⅲ）求该服装的日销收入f （x ）（1≤x ≤30，x ∈N *）（百元）的最小值．22. 若函数f （x ）在x ∈[a ，b ]时，函数值y 的取值区间恰为[，]，就称区间[a ，b ]为f（x ）的一个“倒域区间”，已知函数g （x ）= ∈ ∈．（I ）写出g （x ）在[0，2]上的单调区间和单调性（不需要证明）；（Ⅱ）求函数g （x ）在[1，2]内的“倒域区间”；（Ⅲ）若函数g （x ）在定义域内所有“倒域区间”上的图象作为函数y =h （x ）的图象，是否存在实数m ，使y =h （x ）与y =，，＜ ＜恰好有1个公共点？若存在求出m 的范围，若不存在则说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵|a|===2故选：D．利用公式|a|=，将相应值代入即可求出结果．本题的关键是利用弧长公式计算弧长．属于基础题．2.【答案】D【解析】解：令f（x）=x5+8x3-1，则f（0）＜0，f（0.5）＞0，∴f（0）•f（0.5）＜0，∴其中一个零点所在的区间为（0，0.5），第二次应计算的函数值应该为f（0.25）故选：D．根据零点定理f（a）f（b）＜0，说明f（x）在（a，b）上有零点，已知第一次经计算f （0）＜0，f（0.5）＞0，可得其中一个零点x0∈（0，0.5），根据二分法的定义即可得到第二次应计算的函数值f（0.25）．本题考查的是二分法研究函数零点的问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、二分法的思想以及数据处理的能力．值得同学们体会和反思．3.【答案】A【解析】解：∵α锐角，∴0°＜α＜90°，∴0°＜2α＜180°，故选：A．由锐角的定义可得0°＜α＜90°，故有0°＜2α＜180°．本题考查锐角的定义，不等式的性质，属于容易题．4.【答案】C【解析】解：A．y=tanx在上单调递增，不满足条件（1）．B．函数y=cosx是偶函数，不满足条件（3）．C．函数y=sin（x+3π）=-sinx，满足三个条件．D．函数y=sin2x的最小周期T=π，不满足条件（2）．故选：C．分别判断每个函数是否满足条件即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握三角函数的性质以及判断．5.【答案】C【解析】解：∵sin（-x）=sin[-（+x）]=cos（+x）=，∴cos（-x）=cos[π-（+x）]=-cos（+x）=-．故选：C．将已知等式左边中的角-x变形为-（+x），利用诱导公式化简，求出cos（+x）的值，再将所求式子中的角-x变形为π-（+x），利用诱导公式化简后，将cos（+x）的值代入即可求出值．此题考查了运用诱导公式化简求值，灵活变换角度，熟练掌握公式是解本题的关键．6.【答案】A【解析】解：关于函数y=tan（x+），令x=，可得y的值不存在，故图象关于点（，0）成中心对称，故A正确；它的值域为R，故B错误；当x=时，可得可得y的值不存在，故图象不关于直线x=成轴对称，故C 错误；在区间（，）上，x+∈（，），函数y=tan（x+）没有单调性，故D错误，故选：A．由题意利用正切函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．本题主要考查正切函数的图象和性质，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：将函数y=cos（x-）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=cos（x-）的图象，再向左平移个单位，得到y=cos[（x+）-）]，即y=cos（x-）的图象，令x-=kπ可解得x=2kπ+，故函数的对称轴为x=2kπ+，k∈Z，结合选项可得函数图象的一条对称轴是直线x=．故选：D．由函数图象变换的知识可得函数解析式，由余弦函数的对称性结合选项可得．本题考查余弦函数的图象和对称性以及图象变换，属基础题．8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．由条件利用同角三角函数的基本关系，求得tanα的值．【解答】解：∵sinα+cosα=-，α∈（0，π），∴α为钝角，结合sin2α+cos2α=1，∴sinα=，cosα=-，则tanα==-.故选C.9.【答案】C【解析】解：由函数的图象可知，几何体具有对称性，选项A、B、D，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y，在中线位置前，都是先慢后快，然后相反．选项C，后面是直线增加，不满足题意；故选：C．直接利用图形的形状，结合图象，判断不满足的图形即可．本题考查函数的图象与图形面积的变换关系，考查分析问题解决问题的能力．10.【答案】B【解析】解：由图象知：T＜8，得T＜16，即2π/ω＜16，得ω＞，可排除A，C，D．故选：B．观察图象，得出T＜8，进而得出ω＞，可排除A，C，D，选出正确的选项．本题考查由y=Asin（ωx+φ）部分图象确定其解析式，选择题，可有排除法，第一步，代入特殊点，第二步，求周期范围．11.【答案】D【解析】解：a=sin29°•cos127°+cos29°•sin53°=-sin29°•cos53°+cos29°•sin53°=sin（53°-29°）=sin24°，=sin26°，==sin25°，∵y=sinx在（0°，90°）上为增函数，∴a＜c＜b．故选：D．利用两角差的正弦化简a，再由倍角公式化简b，c，结合正弦函数的单调性得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查两角差的正弦及倍角公式的应用，是基础题．12.【答案】B【解析】解：∵，且3sinβ=sin（2α+β），∴3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]，即3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα，化简可得2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα，故有tan（α+β）=2tanα．再根据4tan=1-tan2，可得tanα==，∴tan（α+β）=2tanα=1．再根据α+β∈（0，π），可得α+β=，故选：B．由条件利用两角和差的三角公式求得tan（α+β）=2tanα；再利用二倍角的正切公式求得tanα的值，可得tan（α+β）的值，从而求得α+β的值．本题主要考查两角和差的三角公式、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．13.【答案】2【解析】解：S=（8-2r）r=4，r2-4r+4=0，r=2，l=4，|α|==2．故答案为：2．设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，弧长为l，面积为S，由面积公式和周长可得到关于l和r的方程组，求出l和r，由弧度的定义求α即可．本题考查弧度的定义、扇形的面积公式，属基本运算的考查．14.【答案】（-1，）【解析】解：依题意知OA=OB=2，∠AOx=30°，∠BOx=120°，所以x=2cos120°=-1，y=2sin120°=，即B（-1，）．故答案为：（-1，）依题意知OA=OB=2，利用任意角的三角函数的定义，直接求出B的坐标即可．本题是基础题，考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力，常考题型．15.【答案】12【解析】解：过A作l1、l2的垂线，分别交l1、l2于E、F，则AE=3，AF=4，设∠FAC=θ，则Rt△ACF中，AC==，Rt△ABE中，∠ABE=θ，可得AB==，∴△ABC面积为S=AB•AC==，∵θ∈（0，），∴当且仅当θ=时，sin2θ=1达到最大值1，此时△ABC面积有最小值12，故答案为：12．过A作l1、l2的垂线，分别交l1、l2于E、F．由直角三角形中三角函数的定义，算出AC，AB，从而得到△ABC面积，利用正弦函数的有界性，可得θ=时△ABC面积有最小值12．此题考查了直角三角形中锐角三角函数定义，正弦函数的定义域及值域及二倍角的正弦函数公式，利用了数形结合的思想，属于中档题．16.【答案】9【解析】解：由2x=x2，可得x=2或4或m，由g（x）=2x-x2，g（0）=1，g（-1）=-，可得g（x）的零点介于（-1，0），则-1＜m＜0，由min（a，b）=，则当x≤m时，f（x）=2x，0＜f（x）≤2m；当m＜x＜2时，f（x）=x2，0≤f（x）＜4；当2≤x≤4时，f（x）=2x，f（x）∈[4，16]；当x＞4时，f（x）=x2．f（x）∈（16，+∞）．由f（x1）=64可得x12=64，可得x1=8；由，即2=2-2，可得-1-=-2，解得x2=1，综上可得x1+x2=9．故答案为：9．由2x=x2，可得x=2或4或m，确定m的范围，分别求得f（x）的四段解析式，以及范围，再由条件解方程可得所求和．本题考查函数的新定义的理解和应用，考查函数零点存在定理和运算能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）因为角α为第四象限角，且，∴，，…（4分）则．…（5分）（2）原式=．…（10分）【解析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，cosα的值，即可得解；（2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18.【答案】解：（1）∵=====，所以，函数f（x）的最小正周期是．（2）由2kπ+≤2x-≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，可得函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．【解析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性得出结论．（2）利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递减区间．本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的周期性和单调性，属于中档题．19.【答案】解：（1）由，可得tan=3，∴ ．（2）原式===+1=-．【解析】（1）先利用同角三角函数的基本关系求得tan的值，再利用二倍角的正切公式求得tanx的值．（2）利用二倍角公式、两角和的余弦公式化简所给的式子，可得结果．本题主要考查二倍角的正切公式、余弦公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．20.【答案】解：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=-，数据补全如下表：且函数表达式为f（x）=5sin（2x-）．（2）通过平移，g（x）=5sin（2x+），方程g（x）-（2m+1）=0可看成函数g（x），x∈[0，]和函数y=2m+1的图象有两个交点，当x∈[0，]时，2x+∈[，]，为使横线y=2m+1与函数g（x）有两个交点，只需≤2m+1＜5，解得≤m＜2．【解析】（1）根据五点法进行求解即可．（2）根据函数平移关系求出函数g（x）的表达式，利用函数和方程之间的关系转化为两个函数的交点问题即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用五点法以及函数与方程的关系进行转化是解决本题的关键．21.【答案】解：（1）依题意有：f（20）=P（2）•Q（20），即（1+）×120=126，所以k=1．…（2分）（2）由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选③Q（x）=a|x-25|+b．…（4分）从表中任意取两组值代入可求得：Q（x）=-|x-25|+125=125-|x-25|．…（6分）（3）∵Q（x）=125-|x-25|=，∴f（x）=，＜，．…（8分）①当1≤x＜25时，x+在[1，10]上是减函数，在[10，25）上是增函数，所以，当x=10时，f（x）min=121（百元）．…（10分）②当25≤x≤30时，-x为减函数，所以，当x=30时，f（x）min=124（百元）．…（11分）综上所述：当x=10时，f（x）min=121（百元）．【解析】（1）利用f（20）=P（20）•Q（20），可求k的值；（2）由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选③，从表中任意取两组值代入可求得结论；（3）求出函数f（x）的解析式，分段求最值，即可得到结论．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数模型的建立，考查函数的最值，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）函数g （x ）= ∈ ∈； x ∈[0，2]时，g （x ）=-x 2+2x =-（x -1）2+1，图象是抛物线的一部分，对称轴是x =1，且开口向下；∴g （x ）在[0，1]上是单调增函数，在[1，2]上是单调减函数； 即单调增区间是[0，1]，单调减区间是[1，2]； （Ⅱ）设1≤a ＜b ≤2，∵g （x ）在x ∈[1，2]上递减，∴， 整理得，解得a =1，b =；∴g （x ）在[1，2]内的“倒域区间”为[1，]；（Ⅲ）∵g （x ）在x ∈[a ，b ]时，函数值y 的取值区间恰为[，]，其中a ≠b ，a 、b ≠0， ∴ ＜＜，∴a 、b 同号．只考虑0＜a ＜b ≤2或-2≤a ＜b ＜0；当0＜a ＜b ≤2时，根据g （x ）的图象知，g （x ）最大值为1，≤1，a ∈[1，2）， ∴1≤a ＜b ≤2，由（Ⅱ）知g （x ）在[1，2]内的“倒域区间”为[1，]；当-2≤a ＜b ＜0时，g （x ）最小值为-1，≥-1，b ∈（-2，-1]， ∴-2≤a ＜b ≤-1，同理知g （x ）在[-2，-1]内的“倒域区间”为[，-1]．h （x ）= ， ∈ ，， ∈，；依题意，抛物线y =x 2+m 与函数h （x ）的图象有1个交点时，交点在第一象限，此时m 应当使方程x 2+m =-x 2+2x ，在[1，]内恰有一个实数根，且使方程sin 2x +2tan x =x 2+2x ，在[，-1]内无实数根；由方程2x -2x 2=m 在[1，]内恰有一实数根知-2≤m ≤0；综上，m 的取值范围是-2≤m ≤0． 【解析】（Ⅰ）根据分段函数g（x）的解析式，利用二次函数的图象与性质得出结论；（Ⅱ）根据题意设1≤a＜b≤2，利用g（x）在x∈[1，2]上的单调性列方程组求出a、b的值即可；（Ⅲ）根据题意利用方程思想求出h（x），且在“倒域区间”内恰有一个实数根，求出此时m的取值范围．本题考查了函数的性质，运用求解数学问题，考查了分类思想，方程的运用，难度大，属于难题．。
湖北省2017—2018学年高一数学上学期期末考试试卷(八)
湖北省2017—2018学年高一数学上学期期末考试试卷（八）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知三个集合U，A，B及元素间的关系如图所示，则（C U A）∩B=（）A．{5，6}B．{3，5，6}C．{3}D．{0，4，5，6，7，8}2．若，不共线，且λ+μ=（λ，μ∈R），则（）A．=，=B．λ=μ=0C．λ=0，=D．=，μ=03．在平行四边形ABCD中，点E为CD中点，=，=，则等于（）A．﹣B．﹣C．D．4．函数f（x）=2x﹣8+log3x的零点一定位于区间（）A．（5，6） B．（3，4） C．（2，3） D．（1，2）5．已知，则=（）A．B．C．D．6．已知函数则f（x）在区间[0，]上的最大值与最小值分别是（）A．1，﹣2 B．2，﹣1 C．1，﹣1 D．2，﹣27．若将函数y=cos 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）8．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷、0.76万公顷，则沙漠增加数y（万公顷）关于年数x的函数关系较为近似的是（）A．y=0.2x B．C．D．y=0.2+log16x9．在同一直角坐标系中，函数f（x）=x a（x＞0），g（x）=log a x的图象可能是（）A．B．C．D．10．已知函数在（﹣∞，+∞）上单调递减，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，）C．D．11．设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]12．已知函数f（x）=（a是常数，且a＞0）．对于下列命题：①函数f（x）的最小值是﹣1；②函数f（x）在R上是单调函数；③若f（x）＞0在[，+∞）上恒成立，则a的取值范围是a＞1；④对任意x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有f（）＞．其中正确命题的序号是（）A．①②B．①③C．③④D．②④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．）13．设扇形的半径长为2，圆心角为，则扇形的面积是．14．化简f（α）==．15．已知函数g（x）=（a+1）x﹣2+1（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数f（x）=log3（x+a）的图象上．则实数a=．16．关于函数f（x）=sin （2x﹣）（x∈R），给出下列三个结论：①对于任意的x∈R，都有f（x）=cos （2x﹣）；②对于任意的x∈in R，都有f（x+）=f（x﹣）；③对于任意的x∈R，都有f（﹣x）=f（+x）．其中，全部正确结论的序号是．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．计算（1）lg 8+lg 125﹣（）﹣2+16+（﹣1）0（2）已知tanα=3，求的值．18．已知集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1}（1）若a=，求A∩B．（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．19．已知函数f（x）=2sin （2x+）．（1）求函数f（x）的最小正周期及其单调减区间；（2）用“五点法”画出函数g（x）=f（x），x∈[﹣，]的图象（完成列表格并作图），由图象研究并写出g（x）的对称轴和对称中心．20．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）设π＜x＜π，且方程f（x）=m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围和这两个根的和．21．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[﹣1，1]，a+b≠0时，有成立．（1）判断f（x）在[﹣1，1]上的单调性，并证明它；（2）解不等式f（x2）＜f（2x）；（3）若f（x）≤m2﹣2am+1对所有的a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．22．已知函数（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）若f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），判断f（x）在定义域上的增减性，并加以证明；（3）若0＜m＜1，使f（x）的值域为[log m m（β﹣1），log m m（α﹣1）]的定义域区间[α，β]（β＞α＞0）是否存在？若存在，求出[α，β]，若不存在，请说明理由．参考答案一、单项选择题：1．A．2．A．3．B．4．B．5．B．6．A．7．C．8．B．9．D．10．C．11．D．12．B二、填空题：13．答案为：．14．答案为：﹣cosα．15．答案为：7．16．答案为：①②③．三、解答题：17．解：（1）lg 8+lg 125﹣（）﹣2+16+（﹣1）0 =lg1000﹣49+23+1=3﹣49+8+1=﹣37．（2）∵tanα=3，∴===．18．解：（1）当a=时，A={x|}，B={x|0＜x＜1}∴A∩B={x|0＜x＜1}（2）若A∩B=∅当A=∅时，有a﹣1≥2a+1∴a≤﹣2当A≠∅时，有∴﹣2＜a≤或a≥2综上可得，或a≥219．解：（1）函数f （x ）=2sin （2x +），∴f （x ）的最小正周期为T==π； 令2kπ+≤2x +≤2kπ+，k ∈Z ， 则2kπ+≤2x ≤2kπ+，k ∈Z ，kπ+≤x ≤kπ+，k ∈Z ；∴函数f （x ）的单调减区间为[kπ+，kπ+]（k ∈Z ）；（2）根据题意列出表格得：）根据表格画出函数g （x ）=f （x ），x ∈[﹣，]的图象如图所示，从图象上可以直观看出，此函数没有对称轴，有一个对称中心，对称中心是（﹣，0）．20．解：（1）由函数f （x ）=Asin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得A=2，根据==﹣，求得ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=，∴φ=，f（x）=2sin（2x+）．（2）如图所示，在同一坐标系中画出y=2sin（2x+）和直线y=m（m∈R）的图象，由图可知，当﹣2＜m＜0或＜m＜2时，直线y=m与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根．∴m的取值范围为：﹣2＜m＜0或＜m＜2；当﹣2＜m＜0时，两根和为；当＜m＜2时，两根和为．21．解：（1）f（x）是[﹣1，1]上的增函数．理由：任取x1、x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）∵＞0，即＞0，∵x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0．则f（x）是[﹣1，1]上的增函数．（2）由（1）可得f（x）在[﹣1，1]递增，可得不等式f（x2）＜f（2x），即为即解得0＜x≤，则解集为（0，]；（3）要使f（x）≤m2﹣2am+1对所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，只须f（x）max≤m2﹣2am+1，即1≤m2﹣2am+1对任意的a∈[﹣1，1]恒成立，亦即m2﹣2am≥0对任意的a∈[﹣1，1]恒成立．令g（a）=﹣2ma+m2，只须，解得m≤﹣2或m≥2或m=0，则实数m的取值范围是{m|m=0或m≤﹣2或m≥2}．22．解：（1）由得f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞），关于原点对称．∵∴f（x）为奇函数…（2）∵f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），则[α，β]⊂（3，+∞）．设x1，x2∈[α，β]，则x1＜x2，且x1，x2＞3，f（x1）﹣f（x2）==∵（x1﹣3）（x2+3）﹣（x1+3）（x2﹣3）=6（x1﹣x2）＜0，∴（x1﹣3）（x2+3）＜（x1+3）（x2﹣3）即，∴当0＜m＜1时，log m，即f（x1）＞f（x2）；当m＞1时，log m，即f（x1）＜f（x2），故当0＜m＜1时，f（x）为减函数；m＞1时，f（x）为增函数．…（3）由（1）得，当0＜m＜1时，f（x）在[α，β]为递减函数，∴若存在定义域[α，β]（β＞α＞0），使值域为[log m m（β﹣1），log m m（α﹣1）]，则有…∴∴α，β是方程的两个解…解得当时，[α，β]=，当时，方程组无解，即[α，β]不存在．…。
湖北省2017—2018学年高一数学上学期期末考试试卷(七)
湖北省2017—2018学年高一数学上学期期末考试试卷（七）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（每小题5分，共12题，满分60分）1．已知集合M={x|﹣1≤x＜3，x∈R}，N={﹣1，0，1，2，3}，则M∩N=（）A．{﹣1，0，2，3} B．{﹣1，0，1，2} C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}2．已知点M（5，﹣6）和向量=（1，﹣2），若=3，则点N的坐标为（）A．（2，0） B．（﹣3，6）C．（6，2） D．（﹣2，0）3．下列函数中，既是奇函数又存在零点的是（）A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=4．已知函数f（x）=，则f（﹣）+f（）=（）A．3 B．5 C．D．5．已知向量=（cosθ，sinθ），=（1，﹣2），若∥，则代数式的值是（）A．B．C．5 D．6．用二分法研究函数f（x）=x5+8x3﹣1的零点时，第一次经过计算f（0）＜0，f（0.5）＞0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为（）A．（0，0.5）f（0.125）B．（0.5，1）f（0.25）C．（0.5，1）f（0.75）D．（0，0.5）f（0.25）7．函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（﹣）D．y=2sin（2x﹣）8．若a=log0.50.2，b=log20.2，c=20.2，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜b＜a9．函数y=log a x，y=a x，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．10．已知点P在正△ABC所确定的平面上，且满足，则△ABP的面积与△BCP的面积之比为（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：411．若xlog32≥﹣1，则函数f（x）=4x﹣2x+1﹣3的最小值为（）A．﹣4 B．﹣3 C．D．012．定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共4题，共20分）13．已知幂函数f（x）的图象经过点（3，），则f（4）=．14．将函数y=cosx的图象向右移个单位，可以得到y=sin（x+）的图象．15．已知函数=．16．已知平面内有三个向量，其中∠AOB=60°，∠AOC=30°，且，，，若，则λ+μ=．三、解答题（共70分）17．计算下列各式：（1）；（2）．18．B是单位圆O上的点，点A（1，0），点B在第二象限．记∠AOB=θ且sinθ=．（1）求B点坐标；（2）求的值．19．已知全集U=R，集合A=，B={y|y=log2x，4＜x＜16}，（1）求图中阴影部分表示的集合C；（2）若非空集合D={x|4﹣a＜x＜a}，且D⊆（A∪B），求实数a的取值范围．20．（1）利用“五点法”画出函数在内的简图（2）若对任意x∈[0，2π]，都有f（x）﹣3＜m＜f（x）+3恒成立，求m的取值范围．21．某电影院共有1000个座位，票价不分等次，根据影院的经营经验，当每张票价不超过10元时，票可全售出；当每张票价高于10元时，每提高1元，将有30张票不能售出，为了获得更好的收益，需给影院定一个合适的票价，需符合的基本条件是：①为了方便找零和算账，票价定为1元的整数倍；②电影院放一场电影的成本费用支出为5750元，票房的收入必须高于成本支出，用x（元）表示每张票价，用y（元）表示该影院放映一场的净收入（除去成本费用支出后的收入）问：（1）把y表示为x的函数，并求其定义域；（2）试问在符合基本条件的前提下，票价定为多少时，放映一场的净收人最多？22．已知函数是奇函数，f（x）=lg（10x+1）+bx是偶函数．（1）求a和b的值．（2）说明函数g（x）的单调性；若对任意的t∈[0，+∞），不等式g（t2﹣2t）+g（2t2﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．（3）设，若存在x∈（﹣∞，1]，使不等式g（x）＞h[lg（10a+9）]成立，求实数a的取值范围．参考答案一、单项选择题1．B．2．A．3．B．4．A．5．C．6．D．7．A8．B．9．C．10．B．11．A．12．A二、填空题13．答案为：．14．答案为：15．答案为：4．16．答案为：4或2三、解答题17．解：（1）=1+×（）﹣=﹣，（2）原式==lg2+lg5﹣3×（﹣3）=1+9=10．18．解：（1）∵点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限．设B点坐标为（x，y），则y=sinθ=．，即B点坐标为：；（2）．19．解：（1）由图知：C=A∩（C U B），由x2﹣4x+3≥0，解得x≥3或x≤1，则A=（﹣∞，1]∪[3，+∞）由y=log2x，4＜x＜16，则B=（2，4），∴C U B=（﹣∞，2]∪[4，+∞），∴C=A∩（C U B）=（﹣∞，1]∪[4，+∞），（2）∵A∪B=（﹣∞，2）∪[3，+∞），由非空集合D={x|4﹣a＜x＜a}，且D⊆（A∪B），∴或，解得a为空集，∴a∈∅20．解：（1）根据题意，函数在内的列表如下：在平面直角坐标系内可得图象如下：（2）通过图象可知：当x∈[0，2π]时，函f（x）值域为，要使f（x）﹣3＜m＜f（x）+3恒成立，即：解得：，∴m的取值范围是．21．解：（1）电影院共有1000个座位，电影院放一场电影的成本费用支出为5750元，票房的收入必须高于成本支出，∴x＞5.75，∴票价最低为6元，票价不超过10元时：y=1000x﹣5750，（6≤x≤10的整数），票价高于10元时：y=x[1000﹣30（x﹣10）]﹣5750=﹣30x2+1300x﹣5750，∵，解得：5＜x＜38，∴y=﹣30x2+1300x﹣5750，（10＜x≤38的整数）；（2）对于y=1000x﹣5750，（6≤x≤10的整数），x=10时：y最大为4250元，对于y=﹣30x2+1300x﹣5750，（10＜x≤38的整数）；当x=﹣≈21.6时，y最大，∴票价定为22元时：净收人最多为8830元．22．解：（1）由g（0）=0得，a=1，则，经检验g（x）是奇函数，故a=1，由f（﹣1）=f（1）得，则，故，经检验f（x）是偶函数∴a=1，…（2）∵，且g（x）在（﹣∞，+∞）单调递增，且g（x）为奇函数．∴由g（t2﹣2t）+g（2t2﹣k）＞0恒成立，得g（t2﹣2t）＞﹣g（2t2﹣k）=g（﹣2t2+k），∴t2﹣2t＞﹣2t2+k，t∈[0，+∞）恒成立即3t2﹣2t＞k，t∈[0，+∞）恒成立令F（x）=3t2﹣2t，在[0，+∞）的最小值为∴…（3）h（x）=lg（10x+1），h（lg（10a+9））=lg[10lg（10a+9）+1]=lg（10a+10）则由已知得，存在x∈（﹣∞，1]，使不等式g（x）＞lg（10a+10）成立，而g（x）在（﹣∞，1]单增，∴∴∴又又∵∴∴…。
2017-2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高一(上)期末数学试卷(含精品解析)
2017-2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共7小题，共35.0分）1.已知a⃗、b⃗ 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a⃗+b⃗ |=（）A. 3B. 2C. 4D. √32.函数y=cotx+cosx1+sinx的最小正周期为（）A. π2B. π C. 3π2D. 2π3.已知a=1+tan16°1−tan16∘，b=（√32）√2，c=√1+cos58°2，则a、b、c的大小关系为（）A. c>a>bB. c>b>aC. a>c>bD. b>a>c4.若在[0，π2]内有两个不同的实数x满足cos2x+√3sin2x=m，则实数m的取值范围是（）A. l<m≤2B. 1≤m<2C. −2≤m≤2D. m≤25.已知函数f（x）=A cos（ωx+φ）的一部分图象如图所示，f（π2）=23，则f（0）=（）A. 23B. −23C. 2√23D. −2√236.已知α+sin（α-1）=3，β+sin（β-1）=1，α，β∈[1-π2，1+π2]，m⃗⃗⃗ =（sinα2，cosα2），n⃗=（cosβ2，sinβ2），则下面结论正确的是（）A. m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=0B. m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=sin1C. m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=sin2D. m⃗⃗⃗ //n⃗7.cos960°=（）A. 12B. √32C. −12D. −√32二、填空题（本大题共2小题，共10.0分）8.已知a⃗=（-2，3），b⃗ =（λ，1），若a⃗与b⃗ 的夹角为锐角，则λ的取值范围为______．9.计算tan40°+tan80°+tan240°tan40∘tan80∘=______．三、解答题（本大题共4小题，共55.0分）10.如图，已知OPQ是半径为√5，圆心角为π3的扇形，C是该扇形弧上的动点，ABCD是形的内接矩形，其中D在线段OQ上，A、B在线段OP上，记∠BOC为θ．（1）若Rt△CBO的周长为√5(√30+5)5，求cos2θ的值；（2）求OA•AB的最大值，并求此时θ的值．11. 如图，A ，B 是单位圆上的相异两定点（O 为圆心），且∠AOB =θ（θ为锐角）．点C 为单位圆上的动点，线段AC 交线段OB 于点M ． （1）求OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ （结果用θ表示）； （2）若θ=60°①求CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围； ②设OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （0＜t ＜1），记S△COM S △BMA=f （t ），求函数f （t ）的值域．12. 计算：（1）(19)−32+6423（2）2log 32−log 3329+log 38−5log 53．13. 已知函数f （x ）=2sin （2x -π6）+1，x ∈[π2，3π4]．（1）求f （x ）的最大值和最小值；（2）若不等式|f （x ）-m |＜2在[π2，3π4]上恒成立，求实数m 的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵、均为单位向量，它们的夹角为60°∴||=||=1，•=∴===3∴=故选：D．由于本题中未给出向量的坐标，故求向量的模时，主要是根据向量数量的数量积计算公式，求出向量模的平方，即向量的平方，再开方求解．求向量的模一般有两种情况：若已知向量的坐标，或向量起点和终点的坐标，则或；若未知向量的坐标，只是已知条件中有向量的模及夹角，则求向量的模时，主要是根据向量数量的数量积计算公式，求出向量模的平方，即向量的平方，再开方求解．2.【答案】B【解析】解：函数y====cotx，故函数的周期为π，故选：B．由题意利用同角三角函数的基本关系化简函数的解析式，再利用余切函数的周期性，得出结论．本题主要考查同角三角函数的基本关系，余切函数的周期性，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：由a==tan（45°+16°）＞tan45°=1，b=（）＜，1＞c===cos29°＞cos30°=，则a、b、c的大小关系为：a＞c＞b．故选：C．由a==tan（45°+16°）＞tan45°，b=（）＜，1＞c===cos29°＞cos30°，即可判断出大小关系．本题考查了和差倍角公式、三角函数单调性与求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：令y=cos2x+sin2x=2sin（2x+），在[0，]内，那么2x+，∴y的值域为[-1，2]．那么cos2x+sin2x=m有两个不同的实数，结合三角函数的图象：可得1≤m＜2．故选：B．辅助角公式化简y=cos2x+sin2x=2sin（2x+），在[0，]内求解y的值域范围，结合三角函数图象可得m的范围．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．5.【答案】B【解析】解：由图象可得最小正周期为π．所以f（0）=f（π），注意到x=π与x=π关于x=π对称，故f（π）=-f（π）=．故选：B．根据图象求出周期，注意x=π与x=π关于x=π对称，求出f（π），就是f（0）的值本题考查由y=Acos（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查分析问题解决问题的能力，是基础题6.【答案】C【解析】解：根据题意得，sin（α-1）=3-α=2-（α-1）∈[-1，1]∴-1≤2-（α-1）≤1∴2≤α≤2∴α=2，同理β=2•=sin×cos+cos×sin=sin（）=sin（）=sin2故选：C．由题知，α+sin（α-1）=3即sin（α-1）=3-α=2-（α-1），利用sin（α-1）的有界性得α的范围从而求得•的值．本题涉及平面向量数量积的运算和三角函数的运算．7.【答案】C【解析】【分析】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．．【解答】解：cos960°=cos（720°+240°）=cos240°=cos（180°+60°）=-cos60°=-．故选C．8.【答案】{λ|λ＜32且λ≠-6 }【解析】解：∵已知=（-2，3），=（λ，1），若与的夹角为锐角，∴=-2λ+3＞0，即λ＜； 且、不共线，即≠，∴λ≠-6．综上可得，λ的范围为{λ|λ＜且λ≠-6 }， 故答案为：{λ|λ＜且λ≠-6 }． 根据题意可得＞0，且、不共线，由此求得λ的取值范围．本题主要考查两个向量的数量积、两个向量共线的条件，属于基础题． 9.【答案】√3【解析】解：∵tan40°+tan80°=tan120°（1-tan40°tan80°）， ∴== ==．故答案为：．利用两角和的正切函数的变形式，tan40°+tan80°=tan120°（1-tan40°tan80°），化简即可求出表达式的值．本题考查三角函数的求值与化简，两角和公式的应用，弦切互化，考查计算能力，是中档题． 10.【答案】解：（1）∠BOC 为θ，可得BC =OC sinθ=√5sinθ，OB =OC cosθ=√5cosθ， 由题意可得√5+√5sinθ+√5sinθ=√5(√30+5)5， 化为sinθ+cosθ=√305，0＜θ＜π3，两边平方可得2sinθcosθ=15＞0， 即sin2θ=15，cos2θ=±√1−125=±2√65；（2）在直角三角形OBC 中，BC =√5sinθ， 即有AD =√5sinθ， OA =AD tan π6=√153sinθ，由AB =OB -OA =√5cosθ-√153sinθ，则OA •AB =5√33sinθcosθ-53sin 2θ=5√36sin2θ-56（1-cos2θ）=53（√32sin2θ+12cos2θ）-56，=53sin （2θ+π6）-56，当2θ+π6=π2，即θ=π6时，OA •AB 取得最大值56． 【解析】（1）由题意可得BC=sinθ，OB=cosθ，由条件可得sinθ+cosθ=，0＜θ＜，两边平方，结合二倍角的正弦公式和两角平方关系可得所求值；（2）分别求得OA ，AB ，结合二倍角的正弦公式和余弦公式，以及辅助角公式和正弦函数的值域，可得最大值以及相应的角．本题考查三角函数的化简和求值，考查正弦函数的值域的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．11.【答案】解：（1）OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(π−∠OAB)=−|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠OAB =−2sin 2θ2； （2）当θ=60°时，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12①CA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +1． 设∠BOC =α，由条件知，α∈[0，2π3]，∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =32−cos(π3+α)−cosα=32−12cosα+√32sinα−cosα =32−32cosα+√32sinα=32−√3(√32cosα−12sinα)=32−√3cos(α+π6)．∵α∈[0，2π3]，∴cos(α+π6)∈[−√32，√32]， ∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[0，3]；②设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (0＜λ＜1)，则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOC ⃗⃗⃗⃗⃗ =t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =t λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −1−λλOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1可得，|tλOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −1−λλOA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，即(tλ)2+(1−λλ)2−2×t λ×1−λλ×OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1，整理得λ=t 2−t+12−t，∴CM AM =1−λλ=1−t 2t 2−t+1，∴S △COM S △COM=OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t1−t ×1−t 2t 2−t+1=t 2+tt 2−t+1． 即f(t)=t 2+t t 2−t+1(0＜t ＜1)． 而f(t)=t 2+t t 2−t+1=1+2t−1t 2−t+1．令2t −1=a(−1＜a ＜1)，g(a)=1+a(a+12)2−a+12+1=1+4aa 2+3，当a =0时，g （0）=1；当a ≠0时，g(a)=14a+3a，利用单调性定义可证明函数y =a +3a 在（-1，0）和（0，1）都是递减的，因此，a +3a ＞4或a +3a ＜−4， ∴函数f(t)=t 2+t t 2−t+1(0＜t ＜1)值域是（0，2）．【解析】（1）直接利用平面向量的数量积把用θ表示；（2）①利用向量的数量积运算结合向量的加减法运算把用∠BOC 表示，化简整理后由∠BOC 得范围求得的取值范围； ②设，则，∴，由可得，，整理得，然后把转化为含有t 的代数式，换元后借助于函数单调性求得函数f （t ）的值域．本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角函数值域的求法，训练了利用配方法和函数单调性求函数的值域，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，难度较大．12.【答案】解：（1）(19)−32+6423=27+16=43．（2）2log32−log3329+log38−5log53=log34−log3329+log38−3=log3(4×932×8)-3=log39-3=2-3=-1．【解析】（1）利用指数性质、运算法则直接求解．（2）利用对数性质、运算法则、换底公式直接求解．本题考查对数式、指数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则、换底公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．13.【答案】解：（1）由函数f（x）=2sin（2x-π6）+1，∵x∈[π2，3π4]，∴2x-π6∈[5π6，4π3]，∴当2x-π6=5π6时，f（x）取得最大值为：2；当2x-π6=4π3时，f（x）取得最小值为：1-√3；（2）不等式|f（x）-m|＜2在[π2，3π4]上恒成立，即m-2＜f（x）＜2+m在[π2，3π4]上恒成立，由（1）可得{m−2＜1−√3 2+m＞2，∴0＜m＜3−√3．故实数m的取值范围为（0，3−√3）．【解析】（1）根据x∈[，]．求内层函数的范围，结合正弦函数的性质可得f（x）的最大值和最小值；（2）不等式|f（x）-m|＜2在[，]上恒成立，即m-2＜f（x）＜2+m 在[，]上恒成立，利用（1）的结果即可求解实数m的取值范围．本题主要考查三角函数的图象和性质，转化思想求解参数范围问题．属于基础题．。
湖北省武汉市部分重点中学2017-2018学年度上学期期末联考高一数学试卷(含精品解析)
+
������)的值．
18. 已知函数������(������) = 4������������������������ ⋅ ������������������(������ ‒ ���3���) ‒ 3 （1）求函数 f（x）的最小正周期； （2）求函数 f（x）的单调递减区间．
19. 已知������������������2������ ‒ 3������������������2������ = 0
6
+
������)
6
C.
������
=
2������������������( ������ ������
12
+
������)
6
D.
������
=
2������������������(������������
6
+
���6���)或������
=
2������������������( ������ ������
5. 已知������������������(���3��� ‒ ������) = 35，则������������������(56������ ‒ ������)=（ ）
3
A. 5
4
B. 5
C.
‒
3 5
D.
‒
4 5
������
6. 下列关于函数 y=tan（x+3）的说法正确的是（ ）
A. 图象关于点(���6���,0)成中心对称
=‒
4 3
（1）求 sinα+cosα 的值；
������������������(������ ‒ ������) + 2������������������(������ + ������)
湖北省2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题
2017-2018学年湖北省高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合P={x|0＜x＜2}，Q={x|x2-1＜0}，那么P∩Q=（）A. B. C. D.2.函数的定义域为（）A. B. C. D.3.方程4x-3•2x+2=0的解集为（）A. B. C. D.4.已知，则=（）A. B. C. D.5.sin20°cos10°+cos20°sin10°=（）A. B. C. D.6.函数的最大值为（）A. 1B.C.D. 27.设函数，则下列结论错误的是（）A. 的一个周期为B. 的图象关于直线对称C. 的图象关于对称D. 在单调递增8.已知，则=（）A. B. 1 C. 2 D.9.，且α，β的终边关于直线y=x对称，若，则sinβ=（）A. B. C. D.10.若，，则下列各数中与最接近的是参考数据：A. B. C. D.11.若函数的最大值为M，最小值为N，则A. 1B. 2C. 3D. 412.如图，在半径为1的扇形AOB中（O为原点），．点P（x，y）是上任意一点，则xy+x+y 的最大值为（）A. B. 1 C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，则=______．14.tan+=______．15.函数的部分图象如下，则ω+φ=______．16.已知函数，若，则a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数的最大值与最小值之和为a2+a+1（a＞1）．（1）求a的值；（2）判断函数g（x）=f（x）-3在[1，2]的零点的个数，并说明理由．18.已知A=log23•log316，B=10sin210°，若不等式A cos2x-3m cos x+B≤0对任意的x∈R都成立，求实数m的取值范围．19.已知，且sin（α+β）=3sin（α-β）．（1）若tanα=2，求tanβ的值；（2）求tan（α-β）的最大值．20.在如图所示的土地ABCDE上开辟出一块矩形土地FGCH，求矩形FGCH的面积的最大值．21.已知函数（x∈R）．（1）若T为f（x）的最小正周期，求的值；（2）解不等式．22.已知函数．（1）求f（x）的最小值；（2）若方程x2+1=-x3+2x2+mx（x＞0）有两个正根，求实数m的取值范围．。
湖北省武汉市四校联合体2017-2018学年高一上期末数学试题(精编含解析)
2017-2018学年湖北省武汉市四校联合体高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知P ={-1，0，}，Q ={y |y =sinθ，θ∈R }，则P ∩Q =（ ）2A. B. C. D. 0，⌀{0}{‒1,0}{‒1,2}2.甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S 与时间t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）A. 甲比乙先出发B. 乙比甲跑的路程多C. 甲、乙两人的速度相同D. 甲比乙先到达终点3.设函数f （x ）（x ∈R ）为奇函数，f （1）=，f （x +2）=f （x ）+f （2），则f （5）=（ ）12A. 0B. 1C.D. 5524.根据表格中的数据，可以判定方程e x -x -2=0的一个根所在的区间为（ ）x -10123e x0.371 2.727.3920.09x +212345A. B. C. D. (‒1,0)(0,1)(1,2)(2,3)5.已知函数：f （x ）=a sin （πx +α）+b cos （πx +β），且f （-1）=3，则f （2018）的值为（ ）A. B. 1 C. 3 D. ‒1‒36.如图，某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y =，据此图象可知，这4sin(π6x +φ)+k段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 6D. 57.设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD =AB ，BE =BC ，若（λ1，λ2为实数）1223⃗DE=λ1⃗AB+λ2⃗AC ，则λ1+λ2的值为（ ）A. 1B. 2C.D.12148.已知，则=（ ）cos(x ‒π6)=14cosx +cos(x ‒π3)A. B. C.D.34‒3414±349.函数f （x ）=sin （ωx +φ）（x ∈R ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，π2如果，且f （x 1）=f （x 2），则f （x 1+x 2）=（ ）x 1，x 2∈(‒π6，π3)A.B. C. D. 112223210.某函数同时具有以下性质：最小正周期是；图象关于直线对称；在上是增函数；①π②x =π3③[‒π6,π3]一个对称中心为则它可以是 ④(π12,0).()A.B.C.D.y =sin (x 2+π6)y =sin(2x ‒π6)y =cos(2x +π3)y =cos(2x ‒π6)11.幂函数y =x a ，当a 取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点A （1，0），B （0，1），连结AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y =x a ，y =x b 的图象三等分，即有BM =MN =NA ，那么a -=（ 1b ）A. 0B. 1C.D. 21212.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080，则下列各数中与最接近的是（ ）MN （参考数据：lg3≈0.48）A. B. C. D. 1033105310731093二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在平面直角坐标系中，角α与角β均以x 轴非负半轴为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sinα=，13则cos （α-β）=______．14.已知平面内有点：A （-1，1），B （1，2），C （-2，-1），D （3，4），则向量与向量的数量积⃗AB ⃗CD 为______．15.已知函数f （x ）=ln +sin x ，则关于a 的不等式f （a -2）+f （a 2-4）＜0的解集是______．1+x1‒x 16.设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的f(x)g(x)[a,b]y =f(x)‒g(x)x ∈[a,b]零点，则称和在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”若与f(x)g(x)[a,b][a,b].f(x)=x 2‒3x +4在上是“关联函数”，则m 的取值范围______．g(x)=2x +m [0,3]三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知关于x 的方程的两根为sinθ和cosθ，其中θ．2x 2‒(3‒1)x +m =0∈(0，π2)①求的值；sin 2θsinθ‒cosθ+cosθ1‒tanθ②求实数m 的值．18.已知函数f （x ）=2sinωx cosωx +cos2ωx （ω＞0）的最小正周期为π．①求ω的值；②若x求函f （x ）的最小值；∈[0，π4]③若将函数f （x ）的图象向右移个单位，求所得图象对应的函数g （x ）的解析式．π619.已知定义在R 上的奇函数f （x ），当x ＞0时，f （x ）=-x 2+2x（1）求函数f （x ）在R 上的解析式；（2）若函数f （x ）在区间[-1，a -2]上单调递增，求实数a 的取值范围．20.如图，为加强社区绿化建设，欲将原有矩形小花坛ABCD 适当扩建成一个较大的矩形花坛AMPN ．要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知AB =3米，AD =2米．若设DN =x ，则DN 为多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值．21.已知函数f （x ）=4cos x sin （x +）-1，π6（Ⅰ）求f （x ）的单调递增区间（Ⅱ）若sin 2x +af （x +）+1＞6cos 4x对任意x ∈（-，）恒成立，求实数a 的取值范围．π6π4π422.已知函数是偶函数．f(x)=log 4(4x+1)+kx(k ∈R)求k 的值；(1)若函数的图象与直线没有交点，求a 的取值范围；(2)y =f(x)y =12x +a若函数f （x ）+x，，是否存在实数m 使得最小值为0，若存(3)ℎ(x)=412+m ⋅2x ‒1x ∈[0,log 23]ℎ(x)在，求出m 的值； 若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵Q={y|y=sin θ，θ∈R}，∴Q={y|-1≤y≤1}，∵P={-1，0，}，∴P∩Q={-1，0}故选：C．由题意P={-1，0，}，Q={y|y=sinθ，θ∈R}，利用三角函数的值域解出集合Q，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．本题考查两个集合的交集的定义和求法，以及函数的定义域、值域的求法，关键是明确集合中元素代表的意义．2.【答案】D【解析】解：从图中直线的看出：K甲＞K乙；S甲=S乙；甲、乙同时出发，跑了相同的路程，甲先与乙到达．故选：D．根据图象法表示函数，观察甲，乙的出发时间相同；路程S相同；到达时间不同，速度不同来判断即可．本题考查函数的表示方法，图象法．3.【答案】C【解析】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=-1，得f（1）=f（-1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（-1）=-f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．本题考查抽象函数求值的方法，考查函数性质在求函数值中的应用，考查了抽象函数求函数值的赋值法．灵活运用已知条件赋值是迅速解决本题的关键，考查学生的转化与化归思想．4.【答案】C【解析】解：令f（x）=e x-x-2，由图表知，f（1）=2.72-3=-0.28＜0，f（2）=7.39-4=3.39＞0，方程e x-x-2=0的一个根所在的区间为（1，2），故选：C．令f（x）=e x-x-2，方程e x-x-2=0的根即函数f（x）=e x-x-2的零点，由f（1）＜0，f（2）＞0知，方程e x-x-2=0的一个根所在的区间为（1，2）．本题考查方程的根就是对应函数的零点，以及函数在一个区间上存在零点的条件．5.【答案】D【解析】解：∵f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），且f（-1）=3，∴asin（-π+α）+bcos（-π+β）=-asinα-bsinβ=3，∴asinα+bsinβ=-3．则f（2018）=asin（2018π+α）+bcos（2018π+β）=asinα+bsinβ=-3，故选：D．由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得asinα+bsinβ=-3，再利用诱导公式进行化简f（2018）的值，可得结果．本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=，据此图象可知，这段时间水深最小值为-4+k=2，∴k=6．故这段时间水深（单位：m）的最大值为4+k=10，故选：A．根据函数y=Asin（ωx+φ）+k的最小值为k-A，最大值为k+A，得出结论．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）+k的部分图象的应用，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：由题意，如图，因为AD=AB，BE=BC，∴，又（λ1，λ2为实数），∴，∴λ1+λ2=．故选：C．作出图形，根据向量的线性运算规则，得，再由分解的唯一性得出λ1与λ2的值即可．本题考查向量基本定理，分解的唯一性是此类求参数题建立方程依据，注意体会这一规律．8.【答案】A【解析】解：∵cos（x-）=，∴cosx+cos（x-）=cosx+cosx+sinx=（cosx+sinx）=cos（x-）=．故选：A．利用两角差的余弦函数公式化简所求，结合已知即可计算得答案．本题主要考查了特殊角的三角函数值及两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：由图知，T=2×=π，∴ω=2，因为函数的图象经过（-），0=sin（-+）∵，所以=，∴，令，解得,∴f(x)的对称轴方程为,当k=0时，,且,,故,所以．故选：C．通过函数的图象求出函数的周期，利用函数的图象经过的特殊点求出函数的初相，得到函数的解析式，利用函数的图象与函数的对称性求出f（x1+x2）即可．本题考查三角函数的解析式的求法，函数的图象的应用，函数的对称性，考查计算能力．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查正余函数的图象和性质，训练了利用排除法求解选择问题，由已知函数的性质逐一核对四个函数，逐一排除得答案，是基础题.．【解答】解：由①可排除A；由②图象关于直线x=对称，可得f（）=±1，而sin（）=1，cos（）=cosπ=-1，cos（）=0，可排除D；由③，当∈时，∈[-]，函数y=sin（）为增函数，∈[0，π]，函数为减函数，排除C．故选B．11.【答案】A【解析】解：BM=MN=NA，点A（1，0），B（0，1），所以M（，），N（，），分别代入y=x a，y=x b，a=，b=，∴a-=-=0．故选：A．先根据题意结合图形确定M、N的坐标，然后分别代入y=x a，y=x b求得a，b；最后再求a-的值即得．本题考查指数与对数的互化，幂函数的图象，考查数形结合思想，是基础题．12.【答案】D【解析】解：由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3=10lg3≈100.48，∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，∴≈=1093，故选：D．根据对数的性质：T=，可得：3=10lg3≈100.48，代入M将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果．本题解题关键是将一个给定正数T写成指数形式：T=，考查指数形式与对数形式的互化，属于简单题．13.【答案】‒7 9【解析】解：∵角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴sinα=sinβ=，cosα=-cosβ，∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=-cos2α+sin2α=2sin2α-1=．故答案为：．根据角的对称得到sinα=sinβ=，cosα=-cosβ，再由两角差的余弦公式求解．本题考查了两角差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系，是基础题．14.【答案】15【解析】解：根据题意，A（-1，1），B（1，2），C（-2，-1），D（3，4），则向量=（2，1），向量=（5，5），则向量与向量的数量积•=2×5+1×5=15；故答案为：15．根据题意，由向量的坐标计算公式可得向量与向量的坐标，进而由数量积的坐标公式计算可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量数量积的坐标计算公式，属于基础题．15.【答案】（，2）3【解析】解：由＞0，求得-1＜x＜1，故函数的定义域为（-1，1）．再根据函数满足f（-x）=ln（）+sin（-x）=-ln-sinx=-f（x），可得函数为奇函数，故关于a的不等式f（a-2）+f（a2-4）＜0，即f（a-2）＜-f（a2-4）=f（4-a2）．再由函数、sinx在的定义域（-1，1）上单调递增，可得函数f（x）在其定义域上单调递增，可得，解得＜a＜2，故答案为（，2）．由＞0，求得函数的定义域为（-1，1）．再根据函数为奇函数，不等式即 f（a-2）＜-f（a2-4）=f（4-a2）．函数f（x）在其定义域上单调递增，可得，从而求得不等式的解集．本题主要考查求函数的定义域、函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题．16.【答案】(‒94，‒2]【解析】解：∵f（x）=x2-3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，故函数y=h（x）=f（x）-g（x）=x2-5x+4-m在[0，3]上有两个不同的零点，故有，即，解得-＜m≤-2，故答案为．由题意可得h （x ）=f （x ）-g （x ）=x 2-5x+4-m 在[0，3]上有两个不同的零点，故有，由此求得m 的取值范围．本题考查函数零点的判定定理，“关联函数”的定义，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．17.【答案】解：由题意可得，sinθ+cosθ=，=sinθcosθ．3‒12m 2①∵sinθ+cosθ=3‒12∴=sin 2θsinθ‒cosθ+cosθ1‒tanθsin 2θsinθ‒cosθ+cosθ1‒sinθcosθ===cosθ+sinθ=；sin 2θsinθ‒cosθ+cos 2θcosθ‒sinθ‒sin 2θ+cos 2θcosθ‒sinθ3‒12②由sinθ+cosθ=，得，3‒121+2sinθcosθ=2‒32∴sinθcosθ=，即，则m =．‒34m 2=‒34‒32【解析】利用根与系数的关系可得sinθ+cosθ=，=sinθcosθ，然后利用同角三角函数基本关系式求解①②．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．18.【答案】解：①∵函数f （x ）=2sinωx cosωx +cos2ωx =sin2ωx +cos2ωx =sin （2ωx +）的最小正周期为2π4=π，∴ω=1．2π2ω②由①得f （x ）=sin （2x +），若x ，则2x +∈[，]，sin （2ωx +）∈[，1]，f （x ）∈[1，]，2π4∈[0，π4]π4π43π4π4222f （x ）的最小值为1．③若将函数f （x ）=sin （2x +）的图象向右移个单位，所得图象对应的函数g （x ）=sin （2x -+）2π4π62π3π4=sin （2x -）．2π12【解析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求出ω；再利用正弦函数的定义域和值域求得x 时，函f （x ）的最小值；函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，得到所得图象对应的函数g （x ）的解析式．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，定义域和值域，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．19.【答案】解：（1）设x ＜0，-x ＞0，则f （-x ）=-（-x ）2+2（-x ）=-x 2-2x ，又f （x ）为奇函数，所以f （-x ）=-f （x ），于是x ＜0时f （x ）=x 2+2x ，所以f （x ）=．{‒x 2+2x ，x ＞00，x =0x 2+2x ，x ＜0（2）画出函数f （x）的图象，如图所示：要使f （x ）在[-1，a -2]上单调递增，结合f （x ）的图象知，{a ‒2>‒1a ‒2≤1所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是（1，3]．【解析】（1）根据函数奇偶性的对称性，即可求函数f （x ）在R 上的解析式；（2）由（1）画出函数f （x ）的图象，根据函数奇偶性和单调性的关系，利用数形结合即可求出a 的取值范围．本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用二次函数图象和性质是解决本题的关键．20.【答案】解：∵DC ∥AN ，∴，|DN||AN|=|DC||AM|∴xx +2=3|AM|∴|AM |=，（x ＞0）3(x +2)x 矩形花坛AMPN 的面积y =|AM |•|AN |==3（x +，3(x +2)2x 4x +4)≥3(2x ⋅4x +4)=24当且仅当x =即x =2时取等号，4x ∴矩形花坛AMPN 的面积的最小值24．【解析】先利用相似比建立函数关系，表示出矩形花坛AMPN 的面积，然后利用基本不等式求解最值．本题 主要考查了一元二次不等式，基本不等式及函数的最值在实际问题中的应用，解题的关键是把实际问题转化为数学问题．21.【答案】解：（Ⅰ）由函数f （x ）=4cos x sin （x +）-1，π6可得：f （x ）=4cos x （sin x +cos x ）-13212=sin2x +2cos 2x -13=sin2x +cos2x3=2sin （2x +）π6由（k ∈Z ），‒π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ解得：‒π3+kπ≤x ≤π6+kπ，k ∈Z 所以：f （x ）的单调增区间为[（Ⅱ）由题意：当时，x ∈(‒π4，π4)f(x +π6)=2sin(2x +π2)=2cos2x ＞0原不等式等价于a •2cos2x ＞6cos 4x -sin 2x -1，即恒成立 a ＞6cos 4x ‒sin 2x ‒12cos2x 令=g(x)=6cos 4x ‒sin 2x ‒12cos2x =(2cos 2x ‒1)(3cos 2x +2)2(2cos 2x ‒1)32cos 2x +1，(cos 2x ≠12)∵，当x =0时，cos x 取得最大值，即cos x =1时，那么g （x ）也取得最大值为．x ∈(‒π4，π4)52因此，．a ＞52【解析】（Ⅰ）先利用两角和余差的基本公式和辅助角公式将函数化为y=Asin （ωx+φ）的形式，再将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（Ⅱ）求出f （x+）的值，带到题设中去，化简，求函数在x ∈（-，）的最值，即可恒成立，从而求实数a 的取值范围．本题考查了三角函数的图象及性质的化简能力和综合运用能力，利用三角函数的由界限求最值和参数问题．属于中档题．22.【答案】解：（1）∵函数f （x ）=log 4（4x +1）+kx （k ∈R ）是偶函数，∴f （-x ）=f （x ），即 log 4（4-x +1）-kx =log 4（4x +1）+kx 恒成立．∴2kx =log 4（4-x +1）-log 4（4x +1）===-x ，log 44‒x +14x +1log 44‒x ∴k =-12（2）若函数y =f （x ）的图象与直线y =x +a 没有交点，12则方程log 4（4x +1）-x =x +a 即方程log 4（4x +1）-x =a 无解．1212令g （x ）=log 4（4x +1）-x ==，则函数g （x ）的图象与直线y =a 无交点．log 44x +14x log 4(1+14x )∵g （x ）在R 上是单调减函数．，1+14x ＞1∴g （x ）＞0．∴a ≤0 （3）由题意函数h （x ）=4f （x ）+x +m •2x -1=4x +m •2x ，x ∈[0，log 23]，12令t =2x ∈[1，3]，则y =t 2+mt ，t ∈[1，3]，∵函数y =t 2+mt 的图象开口向上，对称轴为直线t =-，m 2故当-≤1，即m ≥-2时，当t =1时，函数取最小值m +1=0，解得：m =-1，m 2当1＜-＜3，即-6＜m ＜-2时，当t =-时，函数取最小值=0，解得：m =0（舍去），m 2m 2‒m 24当-≥3，即m ≤-6时，当t =3时，函数取最小值9+3m =0，解得：m =-3（舍去），m 2综上所述，存在m =-1满足条件．【解析】（1）若函数f （x ）=log 4（4x +1）+kx （k ∈R ）是偶函数，则f （-x ）=f （x ），可得k 的值；（2）若函数y=f （x ）的图象与直线y=x+a 没有交点，方程log 4（4x +1）-x=a 无解，则函数g （x ）=的图象与直线y=a 无交点，则a 不属于函数g （x ）值域；（3）函数h（x）=4x+m•2x，x∈[0，log23]，令t=2x∈[1，3]，则y=t2+mt，t∈[1，3]，结合二次函数的图象和性质，分类讨论，可得m的值．本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的值域，函数的单调性，二次函数的图象和性质，难度中档．。
2017-2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高一(上)期末数学试题(解析版)
2017-2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（上）期末数学试题一、单选题1．已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么=（）A．3 B．2 C．4 D．【答案】D【解析】由于本题中未给出向量的坐标，故求向量的模时，主要是根据向量数量的数量积计算公式，求出向量模的平方，即向量的平方，再开方求解．【详解】由均为单位向量，它们的夹角为60°∴∴，∴故选：D．【点睛】本题主要考查了向量的模的运算问题，对于求向量的模一般有两种情况：若已知向量的坐标，或向量起点和终点的坐标，则或；若未知向量的坐标，只是已知条件中有向量的模及夹角，则求向量的模时，主要是根据向量数量的数量积计算公式，求出向量模的平方，即向量的平方，再开方求解，着重考查了推理与运算能力。
2．函数y=的最小正周期为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系化简函数的解析式，再利用余切函数的周期性，得出结论．【详解】由题意，函数，故函数的周期为π，故选：B．【点睛】本题主要考查了同角函数函数的基本关系式，以及余切函数的最小正周期的求解问题，其中熟记同角三角函数的基本关系式，合理、准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
3．已知a=，，c=，则a、b、c的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，，即可判断出大小关系．【详解】由题意，，则a、b、c的大小关系为：a＞c＞b．故选：C．【点睛】本题主要考查了和差倍角公式、三角函数单调性与求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．若在[0，]内有两个不同的实数x满足cos2x+sin2x=m，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由三角函数的性质，求得函数的值域，再根据cos2x+sin2x=m有两个不同的实数，结合三角函数的图象，即可求解。
【详解】令y=cos2x+sin2x=2sin（2x+），在[0，]内，那么，∴y的值域为[-1，2]．那么cos2x+sin2x=m有两个不同的实数，结合三角函数的图象：可得1≤m＜2．故选：B．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．5．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）的一部分图象如图所示，f（）=，则f（0）=（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据图象求出周期，注意到与关于对称，求出，就是的值。
湖北省2017—2018学年高一数学上学期期末考试试卷(六)
湖北省2017—2018学年高一数学上学期期末考试试卷（六）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2） B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]2．已知角α是第二象限角，且|cos|=﹣cos，则角是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角3．已知a=21.2，b=（）﹣0.8，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a4．若，则=（）A．B．C．D．5．已知一个扇形的周长是4cm，面积为1cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（）A．2 B．3 C．4 D．56．已知，，，，且四边形ABCD为平行四边形，则（）A．B．C．D．7．下列函数中，值域为[0，+∞）的偶函数是（）A．y=x2+1 B．y=lgx C．y=|x|D．y=xcosx8．已知f（x）是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y=f（2x2+1）+f（λ﹣x）只有一个零点，则实数λ的值是（）A．B．C．﹣ D．﹣9．已知三个共面向量，，两两所成角相等，且||=1，||=2，||=3，则|++|=（）A．5 B．C．5或6 D．6或10．已知函数f（x）=3sin（ωx+ϕ）的部分图象如图所示，A，B两点之间的距离为10，且f（2）=0，若将函数f（x）的图象向右平移t（t＞0）的单位长度后所得函数图象关于y轴对称，则t的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．411．如图，A，B是以点C为圆心，R为半径的圆上的任意两个点，且|AB|=4，则•=（）A．16 B．8 C．4 D．与R有关的值12．已知函数f（x）=sin2+sinωx﹣（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]∪[，1）C．（0，]D．（0，]∪[，]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设f（x）=，且f（2）=1，则f[f（）]=．14．若tanα=，则cos2α+2sin2α=．15．方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为．16．（理科）三个数a、b、c∈（0，），且cosa=a，sin（cosb）=b，cos（sinc）=c，则a、b、c从小到大的顺序是．三、解答题：（本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设=（﹣1，1），=（x，3），=（5，y），=（8，6），且∥，（4+）⊥．（1）求和；（2）求在方向上的投影．18．已知，．（1）求sinα的值；（2）求的值．19．已知函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣cos2x．（I）求f（x）的最小正周期和最大值；（II）讨论f（x）在[，]上的单调性．20．某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平等因素的限制，会产生一些次品，根据经验知道，次品数P（万件）与日产量x（万件）之间满足关系：已知每生产l万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产l万件次品将亏损1万元．（利润=盈利一亏损）（1）试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润T（万元）表示为日产量x（万件）的函数；（2）当工厂将这种仪器的元件的日产量x定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少？21．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π），在同一周期内，当时，f（x）取得最大值3；当时，f（x）取得最小值﹣3．（1）求函数f（x）的解析式和图象的对称中心；（2）若时，关于x的方程2f（x）+1﹣m=0有且仅有一个实数解，求实数m的取值范围．22．已知函数y=f（x），若在定义域内存在x0，使得f（﹣x0）=﹣f（x0）成立，则称x0为函数f（x）的局部对称点．（1）若a∈R，a≠0，证明：函数f（x）=ax2+x﹣a必有局部对称点；（2）若函数f（x）=2x+b在区间[﹣1，1]内有局部对称点，求实数b的取值范围；（3）若函数f（x）=4x﹣m•2x+1+m2﹣3在R上有局部对称点，求实数m的取值范围．参考答案一、单项选择题1．D．2．C．3．A．4．A．5．A．6．A．7．C8．C．9．D．10．C11．B12．D．二、填空题13．答案为814．答案为：．15．答案为：或．16．答案为b＜a＜c三、解答题17．解：（1）∵∥，∴6x﹣24=0，得x=4，∵4+=（4，10），（4+）⊥．∴（4+）•=4×5+10y=0，得y=﹣2，即=（4，3），=（5，﹣2）．（2）∵cos＜，＞=，∴在方向上的投影为||cos＜，＞===﹣．18．解：（1）由条件得，∴，即，∵，∴，∴，∴==…（2）由（1）得，又∵，∴，∴=…19．解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣x=cosxsinx﹣（1+cos2x）=sin2x﹣cos2x﹣=sin（2x﹣）﹣，故函数的周期为=π，最大值为1﹣．（Ⅱ）当x∈时，2x﹣∈[0，π]，故当0≤2x﹣≤时，即x∈[，]时，f（x）为增函数；当≤2x﹣≤π时，即x∈[，]时，f（x）为减函数．20．解：（1）当1≤x＜4时，合格的元件数为，…利润；…当x≥4时，合格的元件数为，…利润，…综上，该工厂每天生产这种元件所获得的利润…（2）当1≤x＜4时，，对称轴x=2，此时利润T的最大值T max=T（2）=2．…当x ≥4时，，…所以在[4，+∞）上是减函数，…此时利润T 的最大值T max =T （4）=0，… 综上所述，当x=2时，T 取最大值2，…即当日产量定为2（万件）时，工厂可获得最大利润2万元．…21．解：（1）由题意可知A=3，∵在同一周期内，当时，f （x ）取得最大值3；当时，f （x ）取得最小值﹣3．∴T=∴，∴ω=2．又∵得，∵|ϕ|＜π，解得，∴函数f （x ）的解析式．令得∴图象的对称中心为，（k ∈Z ）．（2）由（1）知．那么：方程2f （x ）+1﹣m=0等价于在上有且仅有一个实数解∵，∴，令函数y1=sinu，则u∈，其图象为：结合函数图象有，或解得：m=7或．实数m的取值范围为m=7或．22．解：（1）证明：∵f（x）=ax2+x﹣a，∴f（﹣x）=ax2﹣x﹣a，令f（﹣x）=﹣f（x）得ax2﹣x﹣a=﹣ax2﹣x+a，化简得ax2﹣a=0（a≠0），∵△=4a2＞0恒成立，∴方程f（﹣x）=﹣f（x）必定有解，即函数f（x）=ax2+x﹣a必有局部对称点．（2）f（x）=2x+b，f（﹣x）=2﹣x+b，令f（﹣x）=﹣f（x）得2x+2﹣x=﹣2b，即b=﹣（2x+2﹣x），令2x=t，g（t）=﹣（t+），∵x∈[﹣1，1]，∴，∴g′（t）=﹣+，令g′（t）=0得t=1或t=﹣1（舍）．当≤t＜1时，g′（t）＞0，当1＜t≤2时，g′（t）＜0，∴g（t）在[，1]上单调递增，在（1，2]单调递减，∵g（）=﹣，g（1）=﹣1，g（2）=﹣，∴g（t）的最大值为﹣1，g（t）的最小值为﹣．∴b的取值范围是．（3）f（x）=4x﹣m•2x+1+m2﹣3，f（﹣x）=4﹣x﹣m•2﹣x+1+m2﹣3，令f（﹣x）=﹣f（x）得4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2（m2﹣3）=0（*），∵f（x）=4x﹣m•2x+1+m2﹣3在R上有局部对称点，∴4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2（m2﹣3）=0在R上有解．令2x+2﹣x=t，则t∈[2，+∞），4x+4﹣x=t2﹣2，∴关于t的方程t2﹣2mt+2m2﹣8=0在t∈[2，+∞）上有解，令h（t）=t2﹣2mt+2m2﹣8，则h（2）=2m2﹣4m﹣4≤0或．解得：或，即1﹣≤m≤2．∴m的取值范围是[1﹣，2]．。
湖北省2017—2018学年高一数学上学期期末考试试卷(五)
湖北省2017—2018学年高一数学上学期期末考试试卷（五）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合M={5，log2a}，N={a，b}，若M∩N={1}，则M∪N=（）A．{1，2，5}B．{0，1，2}C．{0，1，5}D．{0，2，5}2．在同一坐标系中，函数y=2x与y=log2x的图象之间的关系是（）A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．关于直线y=x对称3．三个函数①；②y=10lgx；③y=﹣x3中，在其定义域内是奇函数的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．34．已知sinα=，且α为第二象限角，则tanα=（）A．﹣B．C．±D．﹣25．下列函数与y=|x|为同一函数的是（）A．B．C． D．6．下列函数中，在（0，）上单调递增，且以π为周期的偶函数是（）A．y=tan|x|B．y=|tanx|C．y=|sin2x|D．y=cos2x7．已知函数f（x）=（x﹣a）•（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g （x）=log a x+b的图象为（）A．B．C．D．8．已知扇形的弧长为π，面积为2π，则这个扇形的圆心角的弧度数为（）A．B．C．2 D．49．若，化简=（）A．sinθ﹣cosθB．sinθ+cosθC．cosθ+sinθD．cosθ﹣sinθ10．已知f（x）=lnx﹣e﹣x，a=2e，b=ln2，c=log2e（其中e为自然对数的底数）则f（a），f（b），f（c）的大小顺序为（）A．f（a）＜f（b）＜f（c） B．f（a）＜f（c）＜f（b）C．f（b）＜f（c）＜f （a）D．f（c）＜f（b）＜f（a）11．已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[﹣1，1]时f（x）=x2，那么关于x的方程f（x）﹣|log5x|=0共有几个根（）A．4个 B．5个 C．6个 D．8个12．定义在R上的函数f（x）的图象关于直线x=2对称，且f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，2]（x1≠x2）都有，且f（4）=0，则关于x不等式的解集是（）A．（﹣∞，0）∪（4，+∞）B．（0，2）∪（4，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，4） D．（0，2）∪（2，4）二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）13．已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是．14．已知5x=3，，则2x﹣y的值为．15．若f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则f=．16．若函数f（x）=a x+2﹣（a＞0，a≠1）的图象经过定点P（m，n），则函数g （x）=log n（x2﹣mx+4）的最大值等于．三、解答题（本大题共6小题，共70分，请在答题卡对应位置写出必要的解答过程）17．已知实数集R为全集，A={x|log2（3﹣x）≤2}，B={x||x﹣3|≤2}，（1）求A，B；（2）求∁R（A∩B）．18．已知对数函数f（x）=log a x（a＞0．a≠1）与反比例函数的图象均过点．（1）求出y=f（x）及y=g（x）的表达式；（2）求关于x的不等式g[f（x）]＜2的解集．19．如图，动物园要建造一面靠墙的两间相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30m．（1）用宽x（单位m）表示所建造的两间熊猫居室的面积y（单位m2）；（2）怎么设计才能使所建造的熊猫居室面积最大？并求出每间熊猫居室的最大面积？20．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）函数g（x）=sinx的图象怎么变换可以得到函数f（x）的图象．21．已知函数（1）求f（x）的值域；（2）若函数y=f（x）﹣a又两个零点，求实数a的取值范围．22．已知函数f（x）=x2+ax+3（1）当x∈R时，f（x）≥2恒成立，求a的取值范围；（2）当x∈R时，g（x）=f（2x）．①求g（x）的值域；②若g（x）≤a有解，求a的取值范围．参考答案一、单项选择题1．A．2．D3．C．4．A5．B．6．B．7．C8．A．9．D．10．C．11．B．12．C．二、填空题13．答案为：a≤1．14．答案为：2．15．答案为：16．答案为：﹣1．三、解答题17．解：（1）因为log2（3﹣x）≤2，所以log2（3﹣x）≤2=log24，所以0＜3﹣x≤4，解得﹣1≤x＜3，所以A={x|﹣1≤x＜3}；…又|x﹣3|≤2，所以﹣2≤x﹣3≤2，解得1≤x≤5，所以B={x|1≤x≤5}；…（2）由（1）知，A∩B={x|﹣1≤x＜3}∩{x|1≤x≤5}={x|1≤x＜3}；…所以C R（A∩B）=C R{x|1≤x＜3}={x|x＜1或x≥3}．…18．解：（1）由题意对数函数f（x）=log a x的图象过点所以，得a=4，于是f（x）=log4x…又反比例函数的图象过点所以，得k=1，于是…（2）由（1）g[f（x）]＜2即…当log4x＞0时，即x＞1，，得2＜x，所以x＞2…当log4x＜0时，即0＜x＜1，始终成立．所以0＜x＜1…于是关于x的不等式g[f（x）]＞2的解集为（0，1）∪（2，+∞）…19．解：（1）设熊猫居室的宽为x（单位m），由于可供建造围墙的材料总长是30m 两间熊猫居室的长为30﹣3x（单位m）…所以两间熊猫居室的面积y=x（30﹣3x）…又得0＜x＜10…于是y=﹣3x2+30x，（0＜x＜10）为所求…（2）又（1）y=﹣3x2+30x=﹣3（x﹣5）2+75二次函数图象开口向下，对称轴x=5…且x∈（0，10），当x=5时，所建造的熊猫居室面积最大，…使熊猫居室的宽5m，两间居室的长为15m时所建造的熊猫居室面积最大；其中每间熊猫居室的最大面积为…20．解：（1）根据条件得A=1…据图，所以，得ω=2…于是f（x）=sin（2x+ϕ），又f（x）的图象过点所以，又，得得，所以…于是…（2）解法一：将函数g（x）=sinx的图象向左平移个单位可得：y=sin（x+）的图象，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍可得：的图象；…解法二：将函数g（x）=sinx的图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍可得y=sin2x的图象，再将y=sin2x的图象向左平移个单位可得：的图象…21．解：（1）函数化简可得：==又∵∴得∴，∴故得f（x）的值域f（x）∈[2，3]为所求．（2）要函数y=f（x）﹣a有两个零点，即方程有两个根，即函数与y=a﹣1的图象又两个交点．由（1）可知，得为所求．22．解：（1）f（x）≥2恒成立即x2+ax+1≥0恒成立，得△=a2﹣4≤0于是﹣2≤a≤2…（2）①令2x=t∈（0，+∞）得关于t的二次函数图象为抛物线，开口向上，图象过点（0，3），对称轴…当g（x）＞3当于是当a≥0时，g（x）∈（3，+∞）当a＜0时，…②g（x）≤a有解，即g（x）min≤a…由①或综上得a∈（﹣∞，﹣6]∪（3，+∞）为所求…。
湖北省武汉市2018学年高一上学期期末数学试卷 含解析
2018-2018学年湖北省武汉市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．全集U={﹣1，0，1，2，3，4，5，6 }，A={3，4，5 }，B={1，3，6 }，那么集合{ 2，﹣1，0}是（）A．B．C．∁U A∩∁U B D．2．已知tan60°=m，则cos120゜的值是（）A．B．C．D．﹣3．下列函数是奇函数的是（）A．f（x）=x2+2|x|B．f（x）=x•sinx C．f（x）=2x+2﹣x D．4．在平行四边形ABCD中，A（5，﹣1），B（﹣1，7），C（1，2），则D的坐标是（）A．（7，﹣6）B．（7，6）C．（6，7）D．（﹣7，6）5．下列各命题中不正确的是（）A．函数f（x）=a x+1（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，1）B．函数在[0，+∞）上是增函数C．函数f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上是增函数D．函数f（x）=x2+4x+2在（0，+∞）上是增函数6．若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）7．我们生活在不同的场所中对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下的公式计算：（其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度）．设η1=70dB的声音强度为I1，η2=60dB的声音强度为I2，则I1是I2的（）A．倍 B．10倍C．倍D．倍8．△ABC中，D在AC上，且，P是BD上的点，，则m的值是（）A．B．C．D．19．函数，若f[f（﹣1）]=1，则a的值是（）A．2 B．﹣2 C．D．10．已知函数f（x）=x2•sin（x﹣π），则其在区间[﹣π，π]上的大致图象是（）A． B．C．D．11．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）+f（x+1）=0，且在[﹣3，﹣2]上f（x）=2x+5，A、B是三边不等的锐角三角形的两内角，则下列不等式正确的是（）A．f（sinA）＞f（sinB）B．f（cosA）＞f（cosB）C．f（sinA）＞f（cosB）D．f（sinA）＜f（cosB）12．已知函数，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，2）B．（2，+∞）C．（2，4）D．（4，+∞）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数的定义域是．14．已知tanα=2，则=．15．已知，，则tanα的值为．16．矩形ABCD中，|AB|=4，|BC|=3，，，若向量，则x+y=．三、解答题：本大题共6个小题，共70分.其中第17题10分，第18题至第22题每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）求值：（1）+log318﹣log36+（2）A是△ABC的一个内角，，求cosA﹣sinA．18．（12分）（1）已知向量，，，若，试求x与y之间的表达式．（2）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足，求证：A、B、C三点共线，并求的值．19．（12分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式．（2）函数y=f（x）的图象可以由y=sinx的图象变换后得到，请写出一种变换过程的步骤（注明每个步骤后得到新的函数解析式）．20．（12分）某同学在利用“五点法”作函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）+t（其中A＞0，）的图象时，列出了如表格中的部分数据．（1）请将表格补充完整，并写出f（x）的解析式．（2）若，求f（x）的最大值与最小值．21．（12分）已知函数，θ∈[0，2π）（1）若函数f（x）是偶函数：①求tanθ的值；②求的值．（2）若f（x）在上是单调函数，求θ的取值范围．22．（12分）若函数f（x）对于定义域内的任意x都满足，则称f（x）具有性质M．（1）很明显，函数（x∈（0，+∞）具有性质M；请证明（x ∈（0，+∞）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．（2）已知函数g（x）=|lnx|，点A（1，0），直线y=t（t＞0）与g（x）的图象相交于B、C两点（B在左边），验证函数g（x）具有性质M并证明|AB|＜|AC|．（3）已知函数，是否存在正数m，n，k，当h（x）的定义域为[m，n]时，其值域为[km，kn]，若存在，求k的范围，若不存在，请说明理由．2018-2018学年湖北省武汉市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．全集U={﹣1，0，1，2，3，4，5，6 }，A={3，4，5 }，B={1，3，6 }，那么集合{ 2，﹣1，0}是（）A．B．C．∁U A∩∁U B D．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与交集的定义，即可得出{﹣1，0，2}=（∁U A）∩（∁U B）．【解答】解：全集U={﹣1，0，1，2，3，4，5，6 }，A={3，4，5 }，B={1，3，6 }，∁U A={﹣1，0，1，2，6}，∁U B={﹣1，0，2，4，5}，∴（∁U A）∩（∁U B）={ 2，﹣1，0}．故选：C．【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题目．2．已知tan60°=m，则cos120゜的值是（）A．B．C．D．﹣【考点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式求得cos120゜的值．【解答】解：tan60°=m，则cos120°=cos260°﹣sin260°===，故选：B．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．3．下列函数是奇函数的是（）A．f（x）=x2+2|x|B．f（x）=x•sinx C．f（x）=2x+2﹣x D．【考点】函数奇偶性的判断．【分析】运用奇偶性的定义，逐一判断即可得到结论．【解答】解：A，f（x）=x2+2|x|，由f（﹣x）=x2+2|﹣x|=f（x），为偶函数；B，f（x）=x•sinx，由f（﹣x）=﹣xsin（﹣x）=xsinx=f（x），为偶函数；C，f（x）=2x+2﹣x，由f（﹣x）=2﹣x+2x=f（x），为偶函数；D，f（x）=，由f（﹣x）==﹣=﹣f（x），为奇函数．故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义法，考查运算能力，属于基础题．4．在平行四边形ABCD中，A（5，﹣1），B（﹣1，7），C（1，2），则D的坐标是（）A．（7，﹣6）B．（7，6）C．（6，7）D．（﹣7，6）【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据平行四边形的对边平行且相等，得出向量则=，列出方程求出D 点的坐标【解答】解：▱ABCD中，A（5，﹣1），B（﹣1，7），C（1，2），设D点的坐标为（x，y），则=，∴（﹣6，8）=（1﹣x，2﹣y），∴，解得x=7，y=﹣6；∴点D的坐标为（7，﹣6）．故选：A【点评】本题考查了向量相等的概念与应用问题，是基础题目．5．下列各命题中不正确的是（）A．函数f（x）=a x+1（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，1）B．函数在[0，+∞）上是增函数C．函数f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上是增函数D．函数f（x）=x2+4x+2在（0，+∞）上是增函数【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A，由a0=1可判定；B，根据幂函数的性质可判定；C，函数f（x）=log a x（a＞1）在（0，+∞）上是增函数；D，由函数f（x）=x2+4x+2的单调增区间为（﹣2，+∞）可判定；【解答】解：对于A，∵a0=1∴函数f（x）=a x+1（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，1），正确；对于B，根据幂函数的性质可判定，函数在[0，+∞）上是增函数，正确；对于C，函数f（x）=log a x（a＞1）在（0，+∞）上是增函数，故错；对于D，函数f（x）=x2+4x+2的单调增区间为（﹣2，+∞），故在（0，+∞）上是增函数，正确；故选：C．【点评】本考查了命题真假的判定，涉及了函数的性质，属于基础题．6．若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）【考点】正弦函数的对称性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案．【解答】解：将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y=2sin2（x+）=2sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z）得：x=+（k∈Z），即平移后的图象的对称轴方程为x=+（k∈Z），故选：B．【点评】本题考查函数y=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的变换规律的应用及正弦函数的对称性质，属于中档题．7．我们生活在不同的场所中对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下的公式计算：（其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度）．设η1=70dB的声音强度为I1，η2=60dB的声音强度为I2，则I1是I2的（）A．倍 B．10倍C．倍D．倍【考点】对数的运算性质．【分析】由题设中的定义，将音量值代入，计算出声音强度I1与声音强度I2的值，再计算出即可求出倍数【解答】解：由题意，令70=10lg，解得，I1=I0×118，令60=10lg，解得，I2=I0×118，所以=10故选：B．【点评】本题考查对数的计算与对数性质在实际中的应用，熟练掌握对数运算性质是解答的关键8．△ABC中，D在AC上，且，P是BD上的点，，则m的值是（）A．B．C．D．1【考点】向量在几何中的应用．【分析】由已知可得，进而可得=，由P是BD上的点，可得m+=1，即可得到m．【解答】解：∵，∴，∴=，∵P是BD上的点，∴m+=1．∴m=．故选：A【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，三点共线的充要条件，难度中档．9．函数，若f[f（﹣1）]=1，则a的值是（）A．2 B．﹣2 C．D．【考点】分段函数的应用；函数的值．【分析】由已知中函数，将x=﹣1代入，构造关于a的方程，解得答案．【解答】解：∵函数，∴f（﹣1）=2，∴f[f（﹣1）]===1，解得：a=﹣2，故选：B【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题．10．已知函数f（x）=x2•sin（x﹣π），则其在区间[﹣π，π]上的大致图象是（）A． B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】先判断函数的奇偶性和，再令x=时，f（）=﹣＜0，问题得以解决．【解答】解：f（x）=x2•sin（x﹣π）=﹣x2•sinx，∴f（﹣x）=﹣（﹣x）2•sin（﹣x）=x2•sinx=﹣f（x），∴f（x）奇函数，∵当x=时，f（）=﹣＜0，故选：D【点评】本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值得特点，属于基础题．11．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）+f（x+1）=0，且在[﹣3，﹣2]上f（x）=2x+5，A、B是三边不等的锐角三角形的两内角，则下列不等式正确的是（）A．f（sinA）＞f（sinB）B．f（cosA）＞f（cosB）C．f（sinA）＞f（cosB）D．f（sinA）＜f（cosB）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由题意可知：函数的周期为2，根据偶函数的对称轴及单调性即可求得f（x）在[0，1]上为单调减函数，由A，B是锐角三角形的两个内角，求得A，B的取值范围，根据函数的单调性即可求得答案．【解答】解：由f（x）+f（x+1）=0，∴f（x+2）=f（x），∴函数的周期为2，∵f（x）在[﹣3，﹣2]上为增函数，∴f（x）在[﹣1，0]上为增函数，∵f（x）为偶函数，∴f（x）在[0，1]上为单调减函数．∵在锐角三角形中，π﹣A﹣B＜，∴A+B＞，∴﹣B＜A，∵A，B是锐角，∴0＜﹣B＜A＜，∴sinA＞sin（﹣B）=cosB，∴f（x）在[0，1]上为单调减函数．∴f（sinA）＜f（cosB），故选D．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性和周期性的应用，以及三角函数的图象和性质，诱导公式的应用，综合性较强，涉及的知识点较多，属于中档题．12．已知函数，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b 有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，2）B．（2，+∞）C．（2，4）D．（4，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【分析】由g（x）=f（x）﹣b有两个零点可得f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围．【解答】解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，由于y=x2在[0，a）递增，y=2x在[a，+∞）递增，要使函数f（x）在[0，+∞）不单调，即有a2＞2a，由g（a）=a2﹣2a，g（2）=g（4）=0，可得2＜a＜4．即a∈（2，4），故选C．【点评】本题考查函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合的数学思想，属于中档题．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数的定义域是（﹣1，3）∪（3，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由x+1＞0且x﹣3≠0，解不等式即可得到所求定义域．【解答】解：由x+1＞0且x﹣3≠0，可得x＞﹣1且x≠3，则定义域为（﹣1，3）∪（3，+∞），故答案为：（﹣1，3）∪（3，+∞），【点评】本题考查函数的定义域的求法，注意运用对数真数大于0，分式分母不为0，属于基础题．14．已知tanα=2，则=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式对所求的关系式进行化简，再弦化切即可得答案．【解答】解：∵tanα=2，∴==．故答案为：．【点评】本题考查诱导公式与同角三角函数基本关系的运用，“弦”化“切”是关键，考查运算能力，属于基础题．15．已知，，则tanα的值为．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】根据诱导公式，可得cosα=，进而利用同角三角函数的基本关系公式，可得答案．【解答】解：∵，∴cosα=，∵，∴sinα=﹣=﹣，∴tanα==，故答案为：．【点评】本题考查的知识点是诱导公式，同角三角函数的基本关系公式，难度基础．16．矩形ABCD中，|AB|=4，|BC|=3，，，若向量，则x+y=．【考点】向量在几何中的应用．【分析】以B为坐标原点建立坐标系，求出各个向量的坐标，进而构造关于x，y 的方程组，解得答案．【解答】解：以B为坐标原点建立如下图所示的坐标系：∵|AB|=4，|BC|=3，，，∴=（4，1），=（2，3），=（4，3），∵，∴，两式相加得：5（x+y）=7，故x+y=，故答案为：．【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，向量共线的充要条件，难度中档．三、解答题：本大题共6个小题，共70分.其中第17题10分，第18题至第22题每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（2018秋•武汉期末）求值：（1）+log318﹣log36+（2）A是△ABC的一个内角，，求cosA﹣sinA．【考点】同角三角函数基本关系的运用；对数的运算性质．【分析】（1）利用分数指数幂的运算法则，诱导公式求得所给式子的值．（2）利用同角三角函数的基本关系，求得cosA﹣sinA的值．【解答】解：（1）+log318﹣log36+=3﹣2+log3+（tan）•（﹣cos）=3﹣2+1﹣sin=3﹣2+1﹣=．（2）解：∵A是△ABC的一个内角，，∴cosA＜0，∴=．【点评】本题主要考查分数指数幂的运算法则、诱导公式的应用，同角三角函数的基本关系，属于基础题．18．（12分）（2018秋•武汉期末）（1）已知向量，，，若，试求x与y之间的表达式．（2）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足，求证：A、B、C三点共线，并求的值．【考点】向量在几何中的应用；平行向量与共线向量；向量的线性运算性质及几何意义．【分析】（1）由可得已知，结合，可得x（y﹣2）=（x+4）y，整理可得答案；（2）由已知可得：，结合有公共点C，可得：A、B、C三点共线，进而可得的值．【解答】（1）解：∵向量，，，∴∵，∴x（y﹣2）=（x+4）y，∴x=﹣2y；（2）证明：∵．∴，∴，∴，∵有公共点C，∴A、B、C三点共线且=2．【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，向量共线的充要条件，难度中档．19．（12分）（2018秋•武汉期末）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式．（2）函数y=f（x）的图象可以由y=sinx的图象变换后得到，请写出一种变换过程的步骤（注明每个步骤后得到新的函数解析式）．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）由函数图象得A=2，，结合范围，可求ϕ，由，结合，可求ω，即可得解函数解析式．（2）由题意利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：（1）由函数图象可得：A=2，f（0）=﹣1，∴，∵，∴，∵，∴，…∴，∵，∴k=1，ω=3，…∴．…（6分）（2）把y=sinx（x∈R）的图象向右平移个单位，可得y=sin（x﹣）的图象；把所得图象上各点的横坐标变为原来的倍，可得y=sin（3x+）的图象；再把所得图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，可得y=2sin（3x+）的图象．（三步每步表述及解析式正确各2分，前面的步骤错误，后面的正确步骤分值减半）．【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律的应用，属于基础题．20．（12分）（2018秋•武汉期末）某同学在利用“五点法”作函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）+t（其中A＞0，）的图象时，列出了如表格中的部分数据．（1）请将表格补充完整，并写出f（x）的解析式．（2）若，求f（x）的最大值与最小值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（1）由表中数据列关于ω、φ的二元一次方程组，求得A、ω、φ的值，从而可求函数解析式．（2）由，可求，利用正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】解：（1）将表格补充完整如下：f（x）的解析式为：．…（6分）（2）∵，∴，…（8分）∴时，即时，f（x）最小值为，∴时，即时，f（x）最大值为6…（12分）【点评】本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解函数解析式，考查了正弦函数的图象和性质的应用，属于基础题．21．（12分）（2018秋•武汉期末）已知函数，θ∈[0，2π）（1）若函数f（x）是偶函数：①求tanθ的值；②求的值．（2）若f（x）在上是单调函数，求θ的取值范围．【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）运用偶函数的图形关于y轴对称，可得，求得θ，即可得到tanθ；再由同角的基本关系式，化为tanθ的式子，即可得到所求值；（2）由题意可得或，结合正弦函数的图形和性质，计算即可得到所求范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）是偶函数，∴∴（1分）①tanθ=（4分）②=（7分）（2）f（x）的对称轴为，或，或（9分），∵θ∈[0，2π），∴，∴，∴，∴，，∴（12分）【点评】本题考查函数的奇偶性和三角函数的求值，考查函数的单调性的判断和运用，以及运算能力，属于中档题．22．（12分）（2018秋•武汉期末）若函数f（x）对于定义域内的任意x都满足，则称f（x）具有性质M．（1）很明显，函数（x∈（0，+∞）具有性质M；请证明（x ∈（0，+∞）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．（2）已知函数g（x）=|lnx|，点A（1，0），直线y=t（t＞0）与g（x）的图象相交于B、C两点（B在左边），验证函数g（x）具有性质M并证明|AB|＜|AC|．（3）已知函数，是否存在正数m，n，k，当h（x）的定义域为[m，n]时，其值域为[km，kn]，若存在，求k的范围，若不存在，请说明理由．【考点】抽象函数及其应用．【分析】（1）根据函数单调性的定义进行证明即可，（2）根据函数的性质利用作差法进行判断即可，（3）根据函数定义域和值域的关系建立方程，进行求解即可．【解答】解：（1）∵f（）=+=x+=f（x），∴函数f（x）具有性质M．任取x1、x2且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（x1+）﹣（x2+）=（x1﹣x2）+（﹣）=（x1﹣x2）•，若x1、x2∈（0，1），则0＜x1x2＜1，x1x2＞0，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，1）上是减函数．若x1、x2∈（1，+∞），则x1x2＞1，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（1，+∞）上是增函数．（2）∵，∴g（x）具有性质M （4分）由|lnx|=t得，lnx=﹣t或lnx=t，x=e﹣t或x=e t，∵t＞0，∴e﹣t＜e t，∴，∴，∴，∴|AB|2﹣|AC|2=（1﹣e﹣t）2﹣（1﹣e t）2=[2﹣（e﹣t+e t）]（e t﹣e﹣t）由（1）知，在x∈（0，+∞）上的最小值为1（其中x=1时）而，故2﹣（e﹣t+e t）＜0，e t﹣e﹣t＞0，|AB|＜|AC|（7分）（3）∵h（1）=0，m，n，k均为正数，∴0＜m＜n＜1或1＜m＜n（8分）当0＜m＜n＜1时，0＜x＜1，=是减函数，值域为（h（n），h（m）），h（n）=km，h（m）=kn，∴，∴，∴1﹣n2=1﹣m2故不存在（10分）当1＜m＜n时，x＞1，=是增函数，∴h（m）=km，h（n）=kn，∴，∴（1﹣k）m2=1，（1﹣k）n2=1，，不存在综合得，若不存在正数m，n，k满足条件．（12分）【点评】本题主要考查函数与方程的应用，结合新定义，以及利用函数与方程的关系进行转化是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．。
【最新文档】2017年湖北省武汉市高一上学期期末数学试卷
2016-2017学年湖北省武汉市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5.00分）全集U={﹣1，0，1，2，3，4，5，6 }，A={3，4，5 }，B={1，3，6 }，那么集合{ 2，﹣1，0}是（）A．B．C．?U A∩?U B D．2．（5.00分）已知tan60°=m，则cos120゜的值是（）A．B．C．D．﹣3．（5.00分）下列函数是奇函数的是（）A．f（x）=x2+2|x|B．f（x）=x?sinx C．f（x）=2x+2﹣x D．4．（5.00分）在平行四边形ABCD中，A（5，﹣1），B（﹣1，7），C（1，2），则D的坐标是（）A．（7，﹣6）B．（7，6） C．（6，7） D．（﹣7，6）5．（5.00分）下列各命题中不正确的是（）A．函数f（x）=a x+1（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，1）B．函数在[0，+∞）上是增函数C．函数f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上是增函数D．函数f（x）=x2+4x+2在（0，+∞）上是增函数6．（5.00分）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）7．（5.00分）我们生活在不同的场所中对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下的公式计算：（其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度）．设η1=70dB 的声音强度为I1，η2=60dB的声音强度为I2，则I1是I2的（）A．倍 B．10倍C．倍D．倍8．（5.00分）△ABC中，D在AC上，且，P是BD上的点，，则m的值是（）A．B．C．D．19．（5.00分）函数，若f[f（﹣1）]=1，则a的值是（）A．2 B．﹣2 C．D．10．（5.00分）已知函数f（x）=x2?sin（x﹣π），则其在区间[﹣π，π]上的大致图象是（）A．B． C．D．11．（5.00分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）+f（x+1）=0，且在[﹣3，﹣2]上f（x）=2x+5，A、B是三边不等的锐角三角形的两内角，则下列不等式正确的是（）A．f（sinA）＞f（sinB）B．f（cosA）＞f（cosB）C．f（sinA）＞f（cosB）D．f（sinA）＜f（cosB）12．（5.00分）已知函数，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，2） B．（2，+∞）C．（2，4） D．（4，+∞）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5.00分）函数的定义域是．14．（5.00分）已知tanα=2，则=．15．（5.00分）已知，，则tanα的值为．16．（5.00分）矩形ABCD中，|AB|=4，|BC|=3，，，若向量，则x+y=．三、解答题：本大题共6个小题，共70分.其中第17题10分，第18题至第22题每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10.00分）求值：（1）+log318﹣log36+（2）A是△ABC的一个内角，，求cosA﹣sinA．18．（12.00分）（1）已知向量，，，若，试求x与y之间的表达式．（2）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足，求证：A、B、C三点共线，并求的值．19．（12.00分）函数f（x）=Asin（ωｘ+?）（）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式．（2）函数y=f（x）的图象可以由y=sinx的图象变换后得到，请写出一种变换过程的步骤（注明每个步骤后得到新的函数解析式）．20．（12.00分）某同学在利用“五点法”作函数f（x）=Asin（ωｘ+?）+t（其中A ＞0，）的图象时，列出了如表格中的部分数据．xωｘ+?0π2πf（x）6﹣2（1）请将表格补充完整，并写出f（x）的解析式．（2）若，求f（x）的最大值与最小值．21．（12.00分）已知函数，θ∈[0，2π）（1）若函数f（x）是偶函数：①求tanθ的值；②求的值．（2）若f（x）在上是单调函数，求θ的取值范围．22．（12.00分）若函数f（x）对于定义域内的任意x都满足，则称f （x）具有性质M．（1）很明显，函数（x∈（0，+∞）具有性质M；请证明（x ∈（0，+∞）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．（2）已知函数g（x）=|lnx|，点A（1，0），直线y=t（t＞0）与g（x）的图象相交于B、C两点（B在左边），验证函数g（x）具有性质M并证明|AB|＜|AC|．（3）已知函数，是否存在正数m，n，k，当h（x）的定义域为[m，n]时，其值域为[km，kn]，若存在，求k的范围，若不存在，请说明理由．2016-2017学年湖北省武汉市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5.00分）全集U={﹣1，0，1，2，3，4，5，6 }，A={3，4，5 }，B={1，3，6 }，那么集合{ 2，﹣1，0}是（）A．B．C．?U A∩?U B D．【分析】根据补集与交集的定义，即可得出{﹣1，0，2}=（?U A）∩（?U B）．【解答】解：全集U={﹣1，0，1，2，3，4，5，6 }，A={3，4，5 }，B={1，3，6 }，?U A={﹣1，0，1，2，6}，?U B={﹣1，0，2，4，5}，∴（?U A）∩（?U B）={ 2，﹣1，0}．故选：C．2．（5.00分）已知tan60°=m，则cos120゜的值是（）A．B．C．D．﹣【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式求得cos120゜的值．【解答】解：tan60°=m，则cos120°=cos260°﹣sin260°===，故选：B．3．（5.00分）下列函数是奇函数的是（）A．f（x）=x2+2|x|B．f（x）=x?sinx C．f（x）=2x+2﹣x D．【分析】运用奇偶性的定义，逐一判断即可得到结论．【解答】解：A，f（x）=x2+2|x|，由f（﹣x）=x2+2|﹣x|=f（x），为偶函数；B，f（x）=x?sinx，由f（﹣x）=﹣xsin（﹣x）=xsinx=f（x），为偶函数；C，f（x）=2x+2﹣x，由f（﹣x）=2﹣x+2x=f（x），为偶函数；D，f（x）=，由f（﹣x）==﹣=﹣f（x），为奇函数．故选：D．4．（5.00分）在平行四边形ABCD中，A（5，﹣1），B（﹣1，7），C（1，2），则D的坐标是（）A．（7，﹣6）B．（7，6） C．（6，7） D．（﹣7，6）【分析】根据平行四边形的对边平行且相等，得出向量则=，列出方程求出D点的坐标【解答】解：?ABCD中，A（5，﹣1），B（﹣1，7），C（1，2），设D点的坐标为（x，y），则=，∴（﹣6，8）=（1﹣x，2﹣y），∴，解得x=7，y=﹣6；∴点D的坐标为（7，﹣6）．故选：A．5．（5.00分）下列各命题中不正确的是（）A．函数f（x）=a x+1（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，1）B．函数在[0，+∞）上是增函数C．函数f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上是增函数D．函数f（x）=x2+4x+2在（0，+∞）上是增函数【分析】A，由a0=1可判定；B，根据幂函数的性质可判定；C，函数f（x）=log a x（a＞1）在（0，+∞）上是增函数；D，由函数f（x）=x2+4x+2的单调增区间为（﹣2，+∞）可判定；【解答】解：对于A，∵a0=1∴函数f（x）=a x+1（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，1），正确；对于B，根据幂函数的性质可判定，函数在[0，+∞）上是增函数，正确；对于C，函数f（x）=log a x（a＞1）在（0，+∞）上是增函数，故错；对于D，函数f（x）=x2+4x+2的单调增区间为（﹣2，+∞），故在（0，+∞）上是增函数，正确；故选：C．6．（5.00分）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）【分析】利用函数y=Asin（ωｘ+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案．【解答】解：将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y=2sin2（x+）=2sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z）得：x=+（k∈Z），即平移后的图象的对称轴方程为x=+（k∈Z），故选：B．7．（5.00分）我们生活在不同的场所中对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下的公式计算：（其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度）．设η1=70dB 的声音强度为I1，η2=60dB的声音强度为I2，则I1是I2的（）A．倍 B．10倍C．倍D．倍【分析】由题设中的定义，将音量值代入，计算出声音强度I1与声音强度I2的值，再计算出即可求出倍数【解答】解：由题意，令70=10lg，解得，I1=I0×107，令60=10lg，解得，I2=I0×106，所以=10故选：B．8．（5.00分）△ABC中，D在AC上，且，P是BD上的点，，则m的值是（）A．B．C．D．1【分析】由已知可得，进而可得=，由P是BD 上的点，可得m+=1，即可得到m．【解答】解：∵，∴，∴=，∵P是BD上的点，∴m+=1．∴m=．故选：A．9．（5.00分）函数，若f[f（﹣1）]=1，则a的值是（）A．2 B．﹣2 C．D．【分析】由已知中函数，将x=﹣1代入，构造关于a的方程，解得答案．【解答】解：∵函数，∴f（﹣1）=2，∴f[f（﹣1）]===1，解得：a=﹣2，故选：B．10．（5.00分）已知函数f（x）=x2?sin（x﹣π），则其在区间[﹣π，π]上的大致图象是（）A．B． C．D．【分析】先判断函数的奇偶性和，再令x=时，f（）=﹣＜0，问题得以解决．【解答】解：f（x）=x2?sin（x﹣π）=﹣x2?sinx，∴f（﹣x）=﹣（﹣x）2?sin（﹣x）=x2?sinx=﹣f（x），∴f（x）奇函数，∵当x=时，f（）=﹣＜0，故选：D．11．（5.00分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）+f（x+1）=0，且在[﹣3，﹣2]上f（x）=2x+5，A、B是三边不等的锐角三角形的两内角，则下列不等式正确的是（）A．f（sinA）＞f（sinB）B．f（cosA）＞f（cosB）C．f（sinA）＞f（cosB）D．f（sinA）＜f（cosB）【分析】由题意可知：函数的周期为2，根据偶函数的对称轴及单调性即可求得f（x）在[0，1]上为单调减函数，由A，B是锐角三角形的两个内角，求得A，B 的取值范围，根据函数的单调性即可求得答案．【解答】解：由f（x）+f（x+1）=0，∴f（x+2）=f（x），∴函数的周期为2，∵f（x）在[﹣3，﹣2]上为增函数，∴f（x）在[﹣1，0]上为增函数，∵f（x）为偶函数，∴f（x）在[0，1]上为单调减函数．∵在锐角三角形中，π﹣A﹣B＜，∴A+B＞，∴﹣B＜A，∵A，B是锐角，∴0＜﹣B＜A＜，∴sinA＞sin（﹣B）=cosB，∴f（x）在[0，1]上为单调减函数．∴f（sinA）＜f（cosB），故选：D．12．（5.00分）已知函数，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，2） B．（2，+∞）C．（2，4） D．（4，+∞）【分析】由g（x）=f（x）﹣b有两个零点可得f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围．【解答】解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，由于y=x2在[0，a）递增，y=2x在[a，+∞）递增，要使函数f（x）在[0，+∞）不单调，即有a2＞2a，由g（a）=a2﹣2a，g（2）=g（4）=0，可得2＜a＜4．即a∈（2，4），故选：C．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5.00分）函数的定义域是（﹣1，3）∪（3，+∞）．【分析】由x+1＞0且x﹣3≠0，解不等式即可得到所求定义域．【解答】解：由x+1＞0且x﹣3≠0，可得x＞﹣1且x≠3，则定义域为（﹣1，3）∪（3，+∞），故答案为：（﹣1，3）∪（3，+∞），14．（5.00分）已知tanα=2，则=．【分析】利用诱导公式对所求的关系式进行化简，再弦化切即可得答案．【解答】解：∵tanα=2，∴==．故答案为：．15．（5.00分）已知，，则tanα的值为．【分析】根据诱导公式，可得cosα＝，进而利用同角三角函数的基本关系公式，可得答案．【解答】解：∵，∴cosα＝，∵，∴sinα＝﹣=﹣，∴tanα＝=，故答案为：．16．（5.00分）矩形ABCD中，|AB|=4，|BC|=3，，，若向量，则x+y=．【分析】以B为坐标原点建立坐标系，求出各个向量的坐标，进而构造关于x，y的方程组，解得答案．【解答】解：以B为坐标原点建立如下图所示的坐标系：∵|AB|=4，|BC|=3，，，∴=（4，1），=（2，3），=（4，3），∵，∴，两式相加得：5（x+y）=7，故x+y=，故答案为：．三、解答题：本大题共6个小题，共70分.其中第17题10分，第18题至第22题每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10.00分）求值：（1）+log318﹣log36+（2）A是△ABC的一个内角，，求cosA﹣sinA．【分析】（1）利用分数指数幂的运算法则，诱导公式求得所给式子的值．（2）利用同角三角函数的基本关系，求得cosA﹣sinA的值．【解答】解：（1）+log318﹣log36+=3﹣2+log3+（tan）?（﹣cos）=3﹣2+1﹣sin=3﹣2+1﹣=．（2）解：∵A是△ABC的一个内角，，∴cosA＜0，∴=．18．（12.00分）（1）已知向量，，，若，试求x与y之间的表达式．（2）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足，求证：A、B、C三点共线，并求的值．【分析】（1）由可得已知，结合，可得x（y﹣2）=（x+4）y，整理可得答案；（2）由已知可得：，结合有公共点C，可得：A、B、C三点共线，进而可得的值．【解答】（1）解：∵向量，，，∴∵，∴x（y﹣2）=（x+4）y，∴x=﹣2y；（2）证明：∵．∴，∴，∴，∵有公共点C，∴A、B、C三点共线且=2．19．（12.00分）函数f（x）=Asin（ωｘ+?）（）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式．（2）函数y=f（x）的图象可以由y=sinx的图象变换后得到，请写出一种变换过程的步骤（注明每个步骤后得到新的函数解析式）．【分析】（1）由函数图象得A=2，，结合范围，可求?，由，结合，可求ω，即可得解函数解析式．（2）由题意利用y=Asin（ωｘ+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：（1）由函数图象可得：A=2，f（0）=﹣1，∴，∵，∴，∵，∴，…（3分）∴，∵，∴k=1，ω=3，…（5分）∴．…（6分）（2）把y=sinx（x∈R）的图象向右平移个单位，可得y=sin（x﹣）的图象；把所得图象上各点的横坐标变为原来的倍，可得y=sin（3x+）的图象；再把所得图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，可得y=2sin（3x+）的图象．（三步每步表述及解析式正确各2分，前面的步骤错误，后面的正确步骤分值减半）．20．（12.00分）某同学在利用“五点法”作函数f（x）=Asin（ωｘ+?）+t（其中A＞0，）的图象时，列出了如表格中的部分数据．xωｘ+?0π2πf（x）262﹣22（1）请将表格补充完整，并写出f（x）的解析式．（2）若，求f（x）的最大值与最小值．【分析】（1）由表中数据列关于ω、φ的二元一次方程组，求得A、ω、φ的值，从而可求函数解析式．（2）由，可求，利用正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】解：（1）将表格补充完整如下：xωｘ+?0π2πf（x）262﹣22f（x）的解析式为：．…（6分）（2）∵，∴，…（8分）∴时，即时，f（x）最小值为，∴时，即时，f（x）最大值为6…（12分）21．（12.00分）已知函数，θ∈[0，2π）（1）若函数f（x）是偶函数：①求tanθ的值；②求的值．（2）若f（x）在上是单调函数，求θ的取值范围．【分析】（1）运用偶函数的图形关于y轴对称，可得，求得θ，即可得到tanθ；再由同角的基本关系式，化为tanθ的式子，即可得到所求值；（2）由题意可得或，结合正弦函数的图形和性质，计算即可得到所求范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）是偶函数，∴∴（1分）①tanθ＝（4分）②=（7分）（2）f（x）的对称轴为，或，或（9分），∵θ∈[0，2π），∴，∴，∴，∴，，∴（12分）22．（12.00分）若函数f（x）对于定义域内的任意x都满足，则称f （x）具有性质M．（1）很明显，函数（x∈（0，+∞）具有性质M；请证明（x ∈（0，+∞）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．（2）已知函数g（x）=|lnx|，点A（1，0），直线y=t（t＞0）与g（x）的图象相交于B、C两点（B在左边），验证函数g（x）具有性质M并证明|AB|＜|AC|．（3）已知函数，是否存在正数m，n，k，当h（x）的定义域为[m，n]时，其值域为[km，kn]，若存在，求k的范围，若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据函数单调性的定义进行证明即可，（2）根据函数的性质利用作差法进行判断即可，（3）根据函数定义域和值域的关系建立方程，进行求解即可．【解答】解：（1）∵f（）=+=x+=f（x），∴函数f（x）具有性质M．任取x1、x2且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（x1+）﹣（x2+）=（x1﹣x2）+（﹣）=（x1﹣x2）?，若x1、x2∈（0，1），则0＜x1x2＜1，x1x2＞0，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，1）上是减函数．若x1、x2∈（1，+∞），则x1x2＞1，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（1，+∞）上是增函数．（2）∵，∴g（x）具有性质M （4分）由|lnx|=t得，lnx=﹣t或lnx=t，x=e﹣t或x=e t，∵t＞0，∴e﹣t＜e t，∴，∴，∴，∴|AB|2﹣|AC|2=（1﹣e﹣t）2﹣（1﹣e t）2=[2﹣（e﹣t+e t）]（e t﹣e﹣t）由（1）知，在x∈（0，+∞）上的最小值为1（其中x=1时）而，故2﹣（e﹣t+e t）＜0，e t﹣e﹣t＞0，|AB |＜|AC |（7分）（3）∵h （1）=0，m ，n ，k 均为正数，∴0＜m ＜n ＜1或1＜m ＜n （8分）当0＜m ＜n ＜1时，0＜x ＜1，=是减函数，值域为（h （n ），h （m ）），h （n ）=km ，h （m ）=kn ，∴，∴，∴1﹣n 2=1﹣m2故不存在（10分）当1＜m ＜n 时，x ＞1，=是增函数，∴h （m ）=km ，h （n ）=kn ，∴，∴（1﹣k ）m 2=1，（1﹣k ）n 2=1，，不存在综合得，若不存在正数m ，n ，k 满足条件．（12分）赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：lPA'ABlCPABD运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为MFEACBP2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。
2017-2018学年湖北省武汉市四校联合体高一上期末数学试题(解析版)
2017-2018学年湖北省武汉市四校联合体高一上期末数学试题一、单选题1．已知，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：因为，，所以，.选.【考点】集合的运算2．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（）A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲比乙先到达终点【答案】D【解析】试题分析：由甲、乙两人的路程与时间的函数关系图可知，甲、乙两人所跑的总路程是相同的，但是乙用的时间更长，因此甲比乙先到达终点，故选D．【考点】数形结合问题．3．设函数为奇函数，= （）A．0 B．1C．D．5【答案】C【解析】本题考查奇函数的性质,赋值法及推理能力.由函数为奇函数，，且对任意都有，所以令得，即，所以所以则故选C4．函数f（x）=ex-x-2的零点所在区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：令f（x）=e x-x-2，由表知f（1）=2.72-3＜0，f（2）=7.39-4＞0，∴方程e x-x-2=0的一个根所在的区间为（1，2）．答案为：（1，2）．5．已知函数：f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），且f（-1）=3，则f（2018）的值为（）A．B．1 C．3 D．【答案】C【解析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得，再化简，可得结论．【详解】∵f(4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3，∴f(2 018)＝a sin(2 018π＋α)＋b cos(2 018π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3.故选C.【点睛】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．6．如图，某港口某天时到时的水深变化曲线近似满足函数，据此图像可知，这段时间水深（单位：）的最大值为（）A．10 B．8 C．6 D．5【答案】A【解析】首先根据函数的最小值为，最大值为，然后根据题目所给出来的函数图像以及函数解析式，即可得出结论。
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武汉市部分重点中学2017—2018学年度上学期期末测试高一数学试卷命题人：武汉市第14中学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1.已知cosα=45，sinα=−35，那么2α的终边所在的象限为（ ）A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合A ={y |y =log 2x,x >0}，B ={y |y =(12)x,x >1}，则A ∩B =（ ）A (12,1) B (0,12) C (0,1) D ∅3.已知函数f (x )=3sin(2x +π4)若对任意的x ∈R 都有f (a +x )=f (a −x )，则f (a +π4)=（ ）A. 0B. -3C. 3D. 以上都不对 4.已知sin140°=a ，则tan1700=（ ） A √1−a 2B√1−a 2C −√1−a 2aD√1−a 2a5.已知函数f (x )={|lgx |,x >0−x(x +4),x ≤0则函数y =f (x )−3的零点的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 6.计算a√−1a 等于（ ）A. √−aB. √aC.−√−aD. −√a 7.sin570−sin270cos300cos27o =（ ）A. −√32B. −12C. 12D.√328.已知sinα=13+cosα，且α∈(0,π2)，则cos2αsin(α−π4)的值为（）A. √173B. −√173C. √343D. −√3439.已知函数f(x)=cos2ωx+2√3sinωx⋅cosωx−sin2ωx，(ω>0,x∈R)的最小正周期为π，则函数f(x)的图像的一条对称轴方程是（）A. x=π12B.x=π6C.x=π12D. x=π310.下列结果为√3的是（）①tan250+tan350+√3tan250⋅tan350;②sin1640sin2240+sin2540sin3140;③1+tan15°1−tan150;④2tanπ61−tan2π6A.①②B. ①②③C. ①③④D. ①②③④11.对于函数f(x)=4sin(2x+π3)，(x∈R)，有以下四个判断：①把y=sin2x的图像先沿x轴向左平移π3个单位，再将纵坐标伸长到原来的4倍（横坐标不变）后就可以等到函数y=f(x)图像；②该函数图像关于点(π3,0)对称；③由f(x1)=f(x2)=0可得x1−x2必是π的整数倍；④函数y=f(x)在[−π3,π12]上单调递增。
其中正确判断的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 412.设x,y∈R，且满足{sin(x−1)+2017(x−1)=cos2018π3sin(y−1)+2017(y−1)=cos2017π6，则x+y=（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.求使不等式√2+2cosx ≥0，(x ∈R )成立的x 的取值集合为 14.化简：sin50°(1+√3tan100)=15.若f (x )=2sinωx ，(0<ω<1)在区间[0,π3]上的最大值为1，则ω=16.对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ={a,a ≥bb,a <b ，设函数f (x )=sinx ⊗cosx ，(x ∈R )，下列说法正确的序号是 ①y =f (x )是周期函数，且周期为2π；②该函数的值域为[−√22,1]；③该函数在[π2,5π4]上单调递减；④f (2π3)=√3z三、解答题（本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知集合A ={x |−2≤log z x ≤1}，函数f (x )=4∗−2x+1−1，求x ∈A 时f (x )的最大值。
18.（本小题满分12分）已知−π2<α<π2，−π2<β<π2，且tanα、tanβ是方程x 2+7x +8=0的两个根，求α+β的值。
19.（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数f (x )=Asin(ωx +φ)+B ，(A >0,ω>0,|φ|<π2)在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：（I ）请求出上表中的x 1,x 2,x 3，并直接写出函数f (x )的解析式；（II ）将f (x )的图像上点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变；再把所得图像上所有点向右平移π12个单位，得到函数g (x )，若当χ0∈(0,π4)且g (x 0)=4√25时，求g (x 0+π6)的值。
20.（本小题满分12分）定义运算：(abcd)=ad −bc ，设函数f (x )=(√3sinx cosxsinx−√3cosx )函数g (x )=f (x )+a（I ）求函数f (x )的最小正周期 （II ）若函数g (x )在[−π12,5π12]上的最大值与最小值之和为√3，求实数a 的值21.（本小题满分12分）人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，1989年7月11日本定为“世界人口日”，以引起国际社会对人口问题的重视（I）世界人口在过去的50年里翻了一番，问每年世界人口平均增长率是多少？（II）我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在今年（2018年）底至多将有多少亿？以下数据供计算时使用22.（本小题满分12分）对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为“漂亮函数”①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0②当x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1时，总有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立已知函数g(x)=x2与T(x)=sinx和ℎ(x)=2x−b都是定义在[0,1]上的函数（I）请证明函数g(x)=x2为“漂亮函数”；（II）试问函数T(x)=sinx是否为“漂亮函数”？并说明理由；（III）若函数ℎ(x)=2x−b是“漂亮函数”，求实数b组成的集合。
参考答案及解析13.x∈[−34π+2kπ,34π+2kπ],k∈Z14. 115. 1216. ①②③④详细解析如下：一、选择题1.D∵cosα=45,sinα=15∴α∈(−π4+2kπ,2kπ)∴2α∈(−π2+4kπ,4kπ)故2α在第四象限2.BA=(−∞,+∞)，B=(0,12)∴A∩B=(0,12)3.A∵f(a+x)=f(a−x)∴对称轴为x=a∴2x+π4=π2+kπx=π8+kπ2∴a=π8+kπzf(a+π4)=3sin[2(π8+kπ2+π4)+π4]=3sin[π4+kπ+π2+π4]=3sin[kπ+π]=04.B∵sin170°=−sin190o =−a ∴ cos170°=−√1−a 2 ∴tan170°=−a −√1−a 2=a √1−a 25.D由图像可知，y =f (x )−3的零点个数必有4个 6.C∵−1a >0 ∴a <0原式=−(−a )√−1a=−√(−a )2⋅1−a=−√−a 7.C 原式=sin(270+30°)−sin270cos300cos270=sin 270cos 30°+cos 270sin 300−sin 270cos 300cos 270=sin 300 =128.D∵sinα−cosα=13∴⊢2sinαcosα=112sinαcosα=89∴(sinx +COSα)2=179∵α∈(0,π2)且sinαcosα>0 ∴sinα+cosα=√173原式=22√22(sinα−cosα=−√2(cosα+sinα)=−√3439.Bf(x)=cos2ωx−sin2ωx+2√3sinωxcosωx =cos2ωx+√3sin2ωx=2sin(ωx+π6)∵T=π∴2πω=πω=2∴f(x)=2sin(2x+π6)对称轴2x+π6=π2+kπx=π6+kπ2k=0时，x=π610.C①tan(25°+35°)=tan25°+tan35°1−tan25°tan35°=√3故tan250+tan350+√3tan250⋅tan350=√3②sin1640sin2240+sin2540sin3140=−sin16°sin44°+sin74°sin46°=−sin16°sin44°+cos16°cos44°=cos(16°+44°)=cos600=12③1+tan15°1−tan150=tan 45°+tan 15°1−tan 45°tan 15°=tan 30° =√3 ④原式=2⋅√331−13=√311.B①y =sin2x 向左平移π3个单位得y =sin2(x +π3)即y =sin(2x +23π)，横坐标不变，纵坐标伸长4倍得y =4sin(2x +23π)，故①错误②f (π3)=4sin(23π+π3)=4sinπ=0 正确③∵T =π且f (x 1)=f (x 2)=0∴|x 1−x 2|=π2+kπ 相隔π2的整数倍，故错误④π12−(−π3)=512π<T2f (π12)=4sin(π6+π3)=4 为最大值 故④正确 12.Bcos20183π=cos(672π+23π)=cos23π=−12sin20176π=sin(336π+16π)=sin16π=12∴两式相加为0设f (x )=sinx +2017x ，显然f (x )=−f (−x )为奇函数且单调递增 又f (x −1)+f (y −1)=0 ∴x −1+y −1=0，即x +y =2二、填空题13 √2+2cosx≥0cosx≥−√22∴x∈[−34π+2kπ,34π+2kπ],k∈Z14.原式=sin50°⋅cos10°+√3sin10°cos10°=sin50°⋅2sin40°cos10°=sin80°cos10°=115. ∵0<ω<1,x∈[0,π3]∴ωx∈(0,π3)∴f(x)=2sinωx在[0,π3]上单调递增∵f(x)在[0,π3]最大值为1∴f(π3)=1∴2sinωπ3=1∴ωx3=π6∴ω=1216.画出函数图像，由图像可知T=2π，f(x)∈[−√22,1]，f(23π)=sin23π=√32故①②③④都正确三、解答题17.∵A={x|−2≤log2x≤1}∴A∈[14,2]f(x)=(2x−1)2−2在A∈[14,2]上单调递增∴f(x)max=f(2)=718.∵tanα+tanβ=−7<0tanαtanβ=8>0∴tanα<0,tanβ<0∵−π2<α<π2，−π2<β<π2∴−π2<α<0，−π2<β<π2∴α+β∈(−π,0)tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ∴α+β=−34π19.（I）{π12ω+φ=π27π12ω+φ=32π解得{ω=2φ=π3A=√2 B=0∴f(x)=√2sin(2x+π3)∴{2x1+π3=02x2+π3=π2x3+π3=2π解得{x1=−π6x2=π3x3=5π6（II）g(x)=√2sin(x−π12+π3)=√2sin(x+π4)∵g (x 0)=45√2 ∴√2sin(x 0+π4)=45√2 ∴sin(x 0+π4)=45 ∵x 0∈(0,π4) ∴x +π4∈(π4,π2) ∴cos(x +π4)=35 g (x 0+π6)=√2sin(x 0+π6+π4) =√2[sin(x 0+π4)cosπ6+cos(x 0+π4)sinπ6] =√2[45⋅√32+35⋅12] =65√6+310√220.（I ）f (x )=sinx(sⅈ.nx +√3cosx)−cosx(cosx −√3sinx) =2√3sinxcosx +sin 2x −cos 2x = √3sin2x −cos2x=2sin(2x −π6) T =2π2=π（II ）g (x )=f (x )+a =2sin(2x −π6)+a ∵x ∈[−π12,512π] ∴2x −π6∈[−π3,23π]∴g (x )max =2+a ，g (x )min =−√3+a∴2+a −√3+a =√3a =√3−121.（I ）设平均增长率为x(1+x )50=2log (1+x )2=50lg2lg(1+x)=50lg(1+x)=lg250=0.301050lg(1+x)=0.00602≈lg1.014∴1+x≈1.014x≈1.4%（II）12.48×(1+1%)20设(1+1%)20=Nlog1.01N=20lgNlg1.01=20lgN=20×0.0043lgN=0.086∴N=1.218∴12.48×1.218=15.2006422.（I）∵g(x)=x2在[0,1]上单调递增∴g(x)≥g(0)=0即x∈[0,1]时总有g(x)≥0当x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1时g(x,+x2)−g(x1)−g(x2)=(x1+x2)2−x12−x22=2x1x2≥0∴g(x1+x2)≥g(x1)−g(x2)∴g(x)=x2为“漂亮函数”（II）T(x)=sinx在[0,1]上单调递增∴T(x)≥T(0)=0T(x,+x2)−T(x1)−T(x2)=sinx1cosx2+cosx1sinx2−sinx1−sinx2 =sinx1(cosx1−1)+sinx2(cosx1−1)<0不是“漂亮函数”（III）∵ℎ(x)min=ℎ(0)=1−b≥0∴b≤1ℎ(x1+x2)−ℎ(x1)−ℎ(x2)=2x1+x2−2x1−2x2+b≥0b≥2x1+2x2−2x1+x2当x1=x2=0时，b≥1∴b=1。