计量经济学受约束回归
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中级计量经济学讲义_第六章带有线性约束的多元线性回归模型及其假设检验
第六章 带有线性约束的多元线性回归模型及其假设检验在本章中，继续讨论第五章的模型，但新的模型中，参数β满足J 个线性约束集，R β=q ，矩阵R 有和β相一致的K 列和总共J 个约束的J 行，且R 是行满秩的，我们考虑不是过度约束的情况，因此，J ＜K 。
带有线性约束的参数的假设检验，我们可以用两种方法来处理。
第一个方法，我们按照无约束条件求出一组参数估计后，然后我们对求出的这组参数是否满足假设所暗示的约束，进行检验，我们在本章的第一节中讨论。
第二个方法是我们把参数所满足的线性约束和模型一起考虑，求出参数的最小二乘解，尔后再作检验，后者就是参数带有约束的最小二乘估计方法，我们在本章的第二节中讨论。
第一节 线性约束的检验 从线性回归模型开始，εβ+=X y （1）我们考虑具有如下形式的一组线性约束，JK JK J J K K K K q r r r q r r r q r r r =+++=+++=+++βββββββββ22112222212*********这些可以用矩阵改写成一个方程q R =β （2）作为我们的假设条件0H 。
R 中每一行都是一个约束中的系数。
矩阵R 有和β相一致的K 列和总共J 个约束的J 行，且R 是行满秩的。
因此，J 一定要小于或等于K 。
R 的各行必须是线性无关的，虽然J =K 的情况并不违反条件，但其唯一决定了β，这样的约束没有意义，我们不考虑这种情况。
给定最小二乘估计量b ，我们的兴趣集中于“差异”向量d=Rb －q 。
d 精确等于0是不可能的事件（因为其概率是0），统计问题是d 对0的离差是否可归因于抽样误差或它是否是显著的。
由于b 是多元正态分布的，且d 是b 的一个线性函数，所以d 也是多元正态分布的，若原假设为真，d 的均值为0，方差为R X X R R b Var R q Rb Var d Var ''='=-=-12)(])[(][][σ （3）对H 0的检验我们可以将其基于沃尔德（Wald ）准则：d d Var d J W 12])[()(-'==χ=)(])([)(112q Rb R X X R q Rb -'''---σ （4）在假设正确时将服从自由度为J 的2χ分布(为什么?)。
受约束回归模型
但是，如果约束条件 受约束回归 但是 如果约束条件为真，则受约束回归 如果约束条件为 无约束回归模型具有相同的解释能力 模型与无约束回归模型具有相同的解释能力， 模型与无约束回归模型具有相同的解释能力 RSSR 与 RSSU的差异变小。 可用RSSR - RSSU的大小来检验约束的真实性 可用 根据数理统计学的知识：
Y1 X 1 = Y X 2 2 0 β μ + 1 I n 2 γ μ 2
(**)
可见，用前n1个样本估计可得前k个参数β的估计， β 而γ不外是用后n2个样本测算的预测误差X2(α - β) γ α
合并两个时间序列为( 1,2,…，n1 ，n1+1,…，n1+n2 )， 无约束回归模型 则可写出如下无约束回 无约束回
Y1 X 1 = Y 0 2 0 β μ + 1 X 2 α μ 2
(*)
如果α=β，表示没有发生结构变化，因此可针对 α β 如下假设进行检验： H0: α=β β
这里，运用了ESSR ＝0。
二、对回归模型增加或减少解释变量
考虑如下两个回归模型
Y = β 0 + β1 X 1 + L + β k X k + µ
Y = β 0 + β 1 X 1 + L + β k X k + β k +1 X k +1 + L β k + q X k + q + µ
(*) (**)
RSSU / σ 2 ~ χ 2 (n − kU − 1)
RSS R / σ 2 ~ χ 2 (n − k R − 1)
第三章受约束回归问题
F
(RSSR RSSU ) /(kU kR ) RSSU /(n kU 1)
~
F (kU
kR , n kU
1)
5/18/2020
结论
如果约束条件无效， RSSR 与 RSSU的差异 较大，计算的F值也较大。
于是，可用计算的F统计量的值与所给定的 显著性水平下的临界值作比较，对约束条 件的真实性进行检验。
105.1
105.4
1344.1
731.3
108.2
107.0
1992 1671.7 884.8
108.6
110.7
1459.7
809.5
114.5
生产函数的1阶齐次性条件：α+β=1
模型施加约束条件后进行回归，称为受约束回 归（restricted regression）;
未加任何约束的回归称为无约束回归 （unrestricted regression）。
5/18/2020
一、模型参数的线性约束
多元回归模型:
Y 0 1X1 2 X 2 k X k
Q
AX
P P 1 2 3 10
对上式进行对数变换，得到:
ln(Q) 0 1 ln X 2 ln P1 3 ln P0 (6)
5/18/2020
考虑到零阶齐次性时
ln(Q) 0 1 ln( X / P0 ) 2 ln(P1 / P0 )
(7)
(7)式相当于是对（6）式施加如下约束而得: 1 2 3 0
98.3
96.5
1988 1104.0 567.0
120.7
125.2
1085.5
613.8
101.7
92.4
计量经济学第五章(新)
利用Eviews得回归方程为：
ˆ ln y 1.6524 0.3397 ln x1 0.9460 ln x2
t = (-2.73) p= (0.0144*) R2=0.995 (1.83) (0.085) (9.06) (0.000**)
对回归方程解释如下：斜率系数0.3397表示 产出对劳动投入的弹性，即表明在资本投入保持 不变的条件下，劳动投入每增加一个百分点，平 均产出将增加0.3397个百分点。同样地，在劳动 投入保持不变的条件下，资本投入每增加一个百 分点，产出将平均增加0.8640个百分点。两个弹 性系数相加为规模报酬参数，其数值等于1.1857 ，表明墨西哥经济的特征是规模报酬递增的（如 果数值等于1，属于规模报酬不变；小于1，则属 于规模报酬递减）。
20.5879 z 1 20.5879 x (4.6794 ) (4.3996 ** )
3、半对数模型和双对数模型
形式为：
ln y 0 1 x u y 0 1 ln x u
的模型称为半对数模型。 把形式为:
ln y 0 1 ln x u
即可利用多元线性回归分析的方法处理了。
例如，描述税收与税率关系的拉弗曲线：抛物线 t = a + b r + c r2 c<0
t：税收；
r：税率
设 z1 = r， z 2 = r2， 则原方程变换为 s = a + b z1 + c z 2 c<0
例 某生产企业在1981-1995年间每年的产量和总成本如下 表，试用回归分析法确定其成本函数。
表5-1 墨西哥的实际GDP、就业人数和实际固定资本
年份 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 GDP 114043 120410 129187 134705 139960 150511 157897 165286 178491 199457 212323 226977 241194 260881 277498 296530 306712 329030 354057 374977 就业人数 8310 8529 8738 8952 9171 9569 9527 9662 10334 10981 11746 11521 11540 12066 12297 12955 13338 13738 15924 14154 固定资产 182113 193749 205192 215130 225021 237026 248897 260661 275466 295378 315715 337642 363599 391847 422382 455049 484677 520533 561531 609825
计量经济学 詹姆斯斯托克 第10章 受约束回归
(***) (****)
考虑到零阶齐次性时
ln(Q ) 0 1 ln( X / P0 ) 2 ln( P1 / P0 )
(****)式也可看成是对（***）式施加如下约束而得 1 2 3 0
因此， 对（ **** ）式进行回归，就意味着原需 求函数满足零阶齐次性条件。
例2. 中国城镇居民对食品的人均消费需求实例 中，对零阶齐次性检验：
无约束回归: RSSU=0.017748， 受约束回归:RSSR=0.017787， kU=3 KR=2
ˆ 5.53 0.540ln X 0.258ln P 0.288ln P ln Q 1 0
P X ˆ ln Q 5.52 0.534 ln 0.275ln 1 P0 P0
§3.7 受约束回归 Restricted Regression
一、模型参数的线性约束
二、对回归模型增加或减少解释变量
三、参数的稳定性
说 明
• 在建立回归模型时，有时根据经济理论需要对 模型中的参数施加一定的约束条件。例如：
– 需求函数的0阶齐次性条件 – 生产函数的1阶齐次性条件
• 模型施加约束条件后进行回归，称为受约束回 归（restricted regression）;
Q f ( X / P0 , P1 / P0 )
(**)
为了进行比较，将同时估计（*）式与（**）式。
首先,确定具体的函数形式
根据恩格尔定律，居民对食品的消费支出与居 民的总支出间呈幂函数的变化关系:
Q AX
1
P1 2 P0 3
对数变换:
ln(Q ) 0 1 ln X 2 ln P1 3 ln P0
§3.6 受约束回归
* Y = Xβ + e *
= e X(β β)
e’e为无约束样本回归模型的残差平方和RSSU 为无约束样本回归模型的残差平方和 样本回归模型的残差平方 受约束与无约束模型都有相同的 受约束与无约束模型都有相同的TSS 模型都有相同的 由（*）式 ） 从而 RSSR ≥ RSSU ESSR ≤ ESSU
二、对回归模型增加或减少解释变量
考虑如下两个回归模型
Y = β 0 + β1 X 1 + + β k X k +
Y = β 0 + β 1 X 1 + + β k X k + β k +1 X k +1 + β k + q X k + q +
(*) (**)
(*)式可看成是（**）式的受约束回归： 式可看成是（ ）式的受约束回归 受约束回归： 式可看成是
这意味着， 通常情况下， 这意味着 ， 通常情况下 ， 对模型施加约束 条件会降低模型的解释能力。 条件会降低模型的解释能力。
根据数理统计学的知识： 根据数理统计学的知识：
( RSS R RSSU ) /(kU k R ) F= ~ F (kU k R , n kU 1) RSSU /(n kU 1)
(**)
如果对（**）式回归得出
β 0 , β 1 , β 3 ,, β k 1
β k = β k 1
则由约束条件可得： β 2 = 1 β 1
主要介绍F检验 主要介绍 检验 在同一样本下， 无约束样本回归模型为 在同一样本下，记无约束样本回归模型为 Y = Xβ+ e 受约束样本回归模型为 受约束样本回归模型为
§3.6 受约束回归
= e X(β β)
e’e为无约束样本回归模型的残差平方和RSSU 为无约束样本回归模型的残差平方和 样本回归模型的残差平方 受约束与无约束模型都有相同的 受约束与无约束模型都有相同的TSS 模型都有相同的 由（*）式 ） 从而 RSSR ≥ RSSU ESSR ≤ ESSU
二、对回归模型增加或减少解释变量
考虑如下两个回归模型
Y = β 0 + β1 X 1 + + β k X k +
Y = β 0 + β 1 X 1 + + β k X k + β k +1 X k +1 + β k + q X k + q +
(*) (**)
(*)式可看成是（**）式的受约束回归： 式可看成是（ ）式的受约束回归 受约束回归： 式可看成是
这意味着， 通常情况下， 这意味着 ， 通常情况下 ， 对模型施加约束 条件会降低模型的解释能力。 条件会降低模型的解释能力。
根据数理统计学的知识： 根据数理统计学的知识：
( RSS R RSSU ) /(kU k R ) F= ~ F (kU k R , n kU 1) RSSU /(n kU 1)
(**)
如果对（**）式回归得出
β 0 , β 1 , β 3 ,, β k 1
β k = β k 1
则由约束条件可得： β 2 = 1 β 1
主要介绍F检验 主要介绍 检验 在同一样本下， 无约束样本回归模型为 在同一样本下，记无约束样本回归模型为 Y = Xβ+ e 受约束样本回归模型为 受约束样本回归模型为
§3.6 受约束回归
计量经济学期末考试名词解释
1. 总体回归函数：在给定解释变量X i 条件下被解释变量Y i 的期望轨迹称为总体回归线，或更一般地称为总体回归曲线。
相应的函数：E(Y 〡X i )=f(X i )称为（双变量）总体回归函数（populationregressionfunction,PRF ）2. 样本回归函数：样本散点图近似于一条直线，画一条直线以尽好地拟合该散点图，由于样本取自总体，可以该线近似地代表总体回归线。
该线称为样本回归线。
记样本回归线的函数形式为：i i i X X f Y 10ˆˆ)(ˆββ+==称为样本回归函数（sampleregressionfunction ，SRF ）。
3. 随机的总体回归函数：函数 〡 或者在线性假设下， 式称为总体回归函数（方程）PRF 的随机设定形式。
表明被解释变量除了受解释变量的系统性影响外，还受其他因素的随机性影响。
由于方程中引入了随机项，成为计量经济学模型，因此也称为总体回归模型。
4. 线性回归模型：假设1、回归模型是正确设定的。
假设2、解释变量X 是确定性变量，不是随机变量，在重复抽样中取固定值。
假设3、解释变量X 在所抽取的样本中具有变异性，而且随着样本容量的无限增加，解释变量X 的样本方差趋于一个非零的有限常数，即假设4、随机误差项具有零均值、同方差和不序列相关性：E(i )=0i=1,2,…,nVar(i )=2i=1,2,…,nCov(i,j )=0i≠ji,j=1,2,…,n假设5、随机误差项与解释变量X 之间不相关：Cov(X i ,i )=0i=1,2,…,n假设6、服从零均值、同方差、零协方差的正态分布i ~N(0,2)i=1,2,…,n以上假设也称为线性回归模型的经典假设，满足该假设的线性回归模型，也称为经典线性回归模型5. 随机误差项（ ）和残差项（ ）：（1）i 为观察值Y i 围绕它的期望值E(Y |X i )的离差，是一个不可观测的随机变量，又称为随机干扰项或随机误差项。
计量经济学 回归模型参数约束
Ｆ统计量的另一个等价式
F
2 2 ( RU R R ) / q 2 (1 RU ) /(n ( k q 1))
讨论：
如果约束条件为真，即额外的变量Xk+1, …, Xk+q对Ｙ没有解释能力，则Ｆ统计量较小；
否则，约束条件为假，意味着额外的变量对 Ｙ有较强的解释能力，则Ｆ统计量较大。 因此，可通过F的计算值与临界值的比较， 来判断额外变量是否应包括在模型中。
• 未加任何约束的回归称为无约束回归 （unrestricted regression）。
一、模型参数的线性约束
例如对模型:
Y 0 1 X 1 2 X 2 k X k
(*)
施加约束:
1 2 1
k 1 k
得:
Y 0 1 X 1 (1 1 ) X 2 k 1 X k 1 k 1 X k *
Y1 X 1β μ 1 Y2 X 2α μ X 2β X 2 (α β) μ X 2β γ μ 2 2 2
其中， γ X 2 (α β)
(*)
如果 =0，则 = ，表明参数在估计期与 预测期相同 (*)的矩阵式：
Y1 X 1 Y X 2 2 0 β μ 1 I n 2 γ μ2
例3.6.2 中国城镇居民食品人均消费需求的邹 氏检验。
1、参数稳定性检验
1981~1994：
ˆ ln( Q ) 3 .63 1 .05 ln( X ) 0 .08 ln( P1 ) 0 .92 ln( P0 ) RSS1=0.003240
1995~2001：
ln Q 13 .78 0 .55 ln X 3 .06 ln P1 0 .71 ln P0
06受约束回归
取=5%，查得临界值F0.05(1,36)=4.11，F<F 结论：不能拒绝2010年中国工业生产函数具有规模收益 不变这一假设。
这里的F检验适合所有关于参数线性约束的检验
如：多元回归中对方程总体线性性的F检验：
H0： j=0 受约束回归模型为： j=1,2,…,k
Y 0 *
( RSSR RSSU ) /(kU k R ) (TSS ESSR RSSU ) / k F RSSU /(n kU 1) RSSU /(n k 1) (TSS RSSU ) / k ESSU / k RSSU /(n k 1) RSSU /(n k 1)
e’e为无约束样本回归模型的残差平方和RSSU 受约束与无约束模型都有相同的TSS 由（*）式 从而 RSSR RSSU ESSR ESSU
这意味着，通常情况下，对模型施加约束条件会降低 模型的解释能力。
但是，如果约束条件为真，则受约束回归模型与无约束 回归模型具有相同的解释能力，RSSR 与 RSSU的差异变小。 可用RSSR - RSSU的大小来检验约束的真实性
ˆ ˆ X ˆ ˆ Y ˆ XY ˆ Y 这里，运用了ESSR ＝0。 0 1 0 0 1 2 ESS (Y ˆ ˆ )2 0 ˆ Y ) ( 0 0
二、对回归模型增加或减少解释变量
考虑如下两个 Y 0 1 X 1 k X k 回归模型： (*)
2 2 2 2 2 ~ 2 (n k 1) RSS / RSS / ~ ( n k 1 ) U (U RSS R RSS U ) /( k U k R ) R(R U R R ) /(k UR k R )
这里的F检验适合所有关于参数线性约束的检验
如：多元回归中对方程总体线性性的F检验：
H0： j=0 受约束回归模型为： j=1,2,…,k
Y 0 *
( RSSR RSSU ) /(kU k R ) (TSS ESSR RSSU ) / k F RSSU /(n kU 1) RSSU /(n k 1) (TSS RSSU ) / k ESSU / k RSSU /(n k 1) RSSU /(n k 1)
e’e为无约束样本回归模型的残差平方和RSSU 受约束与无约束模型都有相同的TSS 由（*）式 从而 RSSR RSSU ESSR ESSU
这意味着，通常情况下，对模型施加约束条件会降低 模型的解释能力。
但是，如果约束条件为真，则受约束回归模型与无约束 回归模型具有相同的解释能力，RSSR 与 RSSU的差异变小。 可用RSSR - RSSU的大小来检验约束的真实性
ˆ ˆ X ˆ ˆ Y ˆ XY ˆ Y 这里，运用了ESSR ＝0。 0 1 0 0 1 2 ESS (Y ˆ ˆ )2 0 ˆ Y ) ( 0 0
二、对回归模型增加或减少解释变量
考虑如下两个 Y 0 1 X 1 k X k 回归模型： (*)
2 2 2 2 2 ~ 2 (n k 1) RSS / RSS / ~ ( n k 1 ) U (U RSS R RSS U ) /( k U k R ) R(R U R R ) /(k UR k R )
3.6 受约束回归 - 副本
log Y 0.08 0.23 log K 0.81 log L Se (0.43) (0.06) (0.15) R 2 0.96 F 252
（2）再对模型进行有约束回归。
Y AK L1 v Y / L A( K / L) v log(Y / L) log( A) log(K / L) log(v)
给定=5%，查表得临界值F0.05(7, 10)=3.18 判断： F值>临界值，拒绝参数稳定的原假设
第三章小结
● 多元线性回归模型的估计 〇 回归条件 （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） E(u）=0， （相当于前面条件1） E( u u′）= σ2In ， （相当于前面条件2，3) X是非随机元素矩阵 （相当于前面条件4） r(X)=（k+1）< n （相当于前面条件5，6） ut～N(0，σ２） (t=1,2,…,n) （即前面条件7）
• 受约束样本回归模型的残差平方和RSSR大于无 约束样本回归模型的残差平方和RSSU。这意味着， 通常情况下，对模型施加约束条件会降低模型的 解释能力。
• 如果约束条件为真，则受约束回归模型与无约 束回归模型具有相同的解释能力，RSSR 与 RSSU的差异较小。 • 可用（RSSR －RSSU）的大小来检验约束的 真实性。
一、模型参数的线性约束
1、参数的线性约束
Y 0 1 X 1 2 X 2 k X k
1 2 1
k 1 k
Y 0 1 X 1 (1 1 ) X 2 k 1 X k 1 k 1 X k *
检验的F统计量为：
( RSS R RSSU ) / k F ~ F [k , n1 n2 2(k 1)] RSSU /[n1 n2 2(k 1)]
（2）再对模型进行有约束回归。
Y AK L1 v Y / L A( K / L) v log(Y / L) log( A) log(K / L) log(v)
给定=5%，查表得临界值F0.05(7, 10)=3.18 判断： F值>临界值，拒绝参数稳定的原假设
第三章小结
● 多元线性回归模型的估计 〇 回归条件 （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） E(u）=0， （相当于前面条件1） E( u u′）= σ2In ， （相当于前面条件2，3) X是非随机元素矩阵 （相当于前面条件4） r(X)=（k+1）< n （相当于前面条件5，6） ut～N(0，σ２） (t=1,2,…,n) （即前面条件7）
• 受约束样本回归模型的残差平方和RSSR大于无 约束样本回归模型的残差平方和RSSU。这意味着， 通常情况下，对模型施加约束条件会降低模型的 解释能力。
• 如果约束条件为真，则受约束回归模型与无约 束回归模型具有相同的解释能力，RSSR 与 RSSU的差异较小。 • 可用（RSSR －RSSU）的大小来检验约束的 真实性。
一、模型参数的线性约束
1、参数的线性约束
Y 0 1 X 1 2 X 2 k X k
1 2 1
k 1 k
Y 0 1 X 1 (1 1 ) X 2 k 1 X k 1 k 1 X k *
检验的F统计量为：
( RSS R RSSU ) / k F ~ F [k , n1 n2 2(k 1)] RSSU /[n1 n2 2(k 1)]
计量经济学 回归模型参数约束共44页
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51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
计量经济学 回归模型参数约束
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
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❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏75、内外相应，言行相称。——韩非
计量经济学 回归模型参数约束
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
谢谢你的阅读
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计量经济学 回归模型参数约束
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
计量经济学受约束回归和参数的稳定性检验
武汉大学经济学系数量经济学教研室 《2010实验教改项目组》编制
武汉大学经济学系数量经济学教研室 《2010实验教改项目组》编制
在eq03窗口的菜单中依次选择View/Stability Tests/Chow Breakpoint Test…，在对话框中输入分割点1995。
武汉大学经济学系数量经济学教研室 《2010实验教改项目组》编制
点击OK以后得到Chow Breakpoint检验的结果，发现 F=10.33821
武汉大学经济学系数量经济学教研室 《2010实验教改项目组》编制
在出现的对话框中的 Equation specification中输入被解释变量和解释变 量log(q) c log(x/p0) log(p1/p0) Sample输入1981 1994 也可直接输入命令ls log(q) c log(x/p0) log(p1/p0)并回车，在出现的Equation中点击 Estimate将Sample修改为1981 1994
武汉大学经济学系数量经济学教研室 《2010实验教改项目组》编制
在中国城镇居民食品消费需求函数模型中，能否施 加零次齐次性的线性约束？ 方法一：对零次齐次性的约束条件进行F检验 方法二：沃尔德检验(Wald Test）
武汉大学经济学系数量经济学教研室 《2010实验教改项目组》编制
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估计结果如下图所示
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估计结果可写为
log(Qt ) 3.63 1.06log( X t ) 0.08log( P1t ) 0.92log( P0t ) t (9.03)(25.35) (2.28) (7.35)
受约束回归模型-文档资料
(*)
如果=，表示没有发生结构变化，因此可针对 如下假设进行检验： H0: =
Y1 X 1 μ 1 Y X β μ 2 2 2
(*)式施加上述约束后变换为受约束回归模型
（**）
因此，检验的F统计量为：
( RSSR RSSU ) / k F ~ F[k , n1 n2 2(k 1)] RSSU /[n1 n2 2(k 1)]
( RSSR RSSU ) /(kU k R ) (TSS ESSR RSSU ) / k F RSSU /(n kU 1) RSSU /(n k 1) (TSS RSSU ) / k ESSU / k RSSU /(n k 1) RSSU /(n k 1)
取=5%，查得临界值F0.05(1,10)=4.96 判断：不能拒绝中国城镇居民对食品的人 均消费需求函数具有零阶齐次特性这一假设 。
这里的F检验适合所有关于参数线性约束的检验
如：多元回归中对方程总体线性性的F检验：
H0： j=0
j=1,2,…,k
这里：受约束回归模型为
Y 0 *
参数稳定性的检验步骤：
（1）分别以两连续时间序列作为两个样本进行回 归，得到相应的残差平方： RSS1与RSS2
（2）将两序列并为一个大样本后进行回归， 得到大样本下的残差平方和RSSR
（3）计算F统计量的值，与临界值比较：
若F值大于临界值，则拒绝原假设，认为 发生了结构变化，参数是非稳定的。 该检验也被称为邹氏参数稳定性检验 （Chow test for parameter stability）。
第一步，在两时间段的合成大样本下做OLS回归， 得受约束模型的残差平方和RSSR ； 第二步，对前一时间段的n1个子样做OLS回归，得 残差平方和RSS1 ；
《受约束回归》课件
多项式回归案例
总结词
多项式回归是一种扩展的线性回归模型 ，适用于非线性关系的数据。
VS
详细描述
多项式回归通过引入多项式项来扩展线性 回归模型，以适应非线性数据。它通过增 加自变量的幂次来构建更高阶的多项式， 从而更好地拟合数据的复杂模式。例如， 二次多项式回归模型可以表示为 (y = beta_0 + beta_1 x_1 + beta_2 x_1^2 + beta_3 x_2 + beta_4 x_2^2 + ...)。
自适应学习率调整
根据模型训练过程中的表现，动态调 整学习率。
避免学习率过高导致模型发散或学习 率过低导致模型训练缓慢的问题。
深度学习与受约束回归的结合
利用深度学习技术，提取高层次特征，提高受约束回归模型的性能。
结合深度学习中的优化算法，解决受约束回归中的复杂约束条件问题。
谢谢聆听自定义约束条件01约束条件形式
根据用户需求设定
02 03
约束条件描述
自定义约束条件是指用户可以根据自己的需求和假设，自 定义一些约束条件。这些约束条件可以是任何形式和逻辑 ，只要能够满足用户的需求和问题的要求。
实例
在预测产品销售量时，用户可以根据自己的经验和市场情 况，自定义一些约束条件，如“产品销售量与广告投入成 正比”、“产品销售量不会超过某一阈值”等。这些约束 条件可以作为自定义约束条件加入回归模型中。
约束条件的形式
线性约束
线性约束条件是指对回归系数施 加线性限制，如限制回归系数的 总和、平均值或范围等。
非线性约束
非线性约束条件是指对回归系数 施加非线性限制，如限制回归系 数的平方和、立方和等。
稀疏性约束
受限约束回归的检验
若 j j 则可写为:
(结构有变化)
Y1 Y2
=
X1 0
0 X2
β α
+
u1 u2
(实际做的是两段回归)
其中: β, α 为参数列向量，Y1, Y2 为列向量，X1, X2 为矩阵
这是 β α 情况下的无约束模型。 17
如果在时间 n1前后模型没有显著的结构变化，参数具
或
Y
*
1
2
X
* 2
L
m X m X m1 m1 L
k
1
X
* k 1
u*
其中
Y*
Y
X
3
，X
* 2
X2
X3
，
X* k 1
X k 1
Xk
与无约束模型（U）相比，这是受约束模型（R） 4
3. 对模型参数的非线性约束
相对于无约束模型（U）：
Y 1 2 X 2 3 X 3 L m X m X m1 m1 L X k1 k1 k X k u
这种情况下计算的F统计量其数值的平方根与对k 作t
检验的统计量相同，作受约束回归检验与作t检验等价
14
2. 解释变量的联合显著性检验
（U） Y 1 2 X 2 L m X m X m1 m1 L k X k u （R） Y 1 v 这里的（R）模型施加了除截距项外的所有解释变量的参
(RSSR ESSU ) 2 服从 2分布，自由度为 (kU kR )
两个独立 2 变量的比值服从F分布，则
F
(RSSR RSSU ) (kU RSSU (n kU )
kR )
~
F (kU
kR,n
kU
)
3.6回归模型的参数约束
§3.6 受约束回归在建立回归模型时，有时根据经济理论需对模型中变量的参数施加一定的约束条件。
如上节建立中国城镇居民对食品的消费需求函数时，根据需求函数的一般理论，它应满足零阶齐次性条件，即双对数线性模型中各变量前的参数和为零。
同样地，在估计以幂函数的形式表示的生产函数模型时，有时也施加产出关于资本与劳动的弹性和为1的约束。
模型施加约束条件后进行回归，称为受约束回归（restricted regression ），与此对应，不加任何约束的回归称为无约束回归（unrestricted regression ）。
一、模型参数的线性约束一般地，估计线性模型时可对模型参数施加若干个线性约束条件。
如对模型μββββ+++++=k k X X X Y 22110 （3.6.1） 可施加121=+ββ，k k ββ=-1 （3.6.2） 于是，对（3.6.1）的回归可转化为对施加上述条件后如下模型的回归：*11121110)1(μβββββ++++-++=---k k k k X X X X Y (3.6.3)或 **1133*110*μββββ+++++=--k k X X X Y （3.6.4）其中，2*X Y Y -=，21*1X X X -=，k k k X X X +=--1*1如果运用普通最小二乘法得到参数的估计结果1310ˆ,,ˆ,ˆ,ˆ-k ββββ ，可由上述约束条件得到12ˆ1ˆββ-=，1ˆˆ-=k k ββ。
然而，对所考查的具体问题能否施加约束条件，或者说能否直接对施加约束后的模型进行回归，还需进一步进行相应的检验。
常用的检验有F 检验、2χ检验与t 检验，这里主要介绍F 检验。
在同一数据样本下，记无约束样本回归模型的矩阵式为 e βX Y +=ˆ （3.6.5） 记受约束样本回归模型的矩阵式为**ˆe βX Y += （3.6.6） 于是，受约束样本回归模型的残差项可写为)ββX(e βX e βX βX Y e ****ˆˆˆˆˆ--=-+=-= 得受约束样本回归模型的残差平方和R RSS)ββX(X )ββ(e e e e ****ˆˆˆˆ-''-+'=' （3.6.7） 式中第二项为一非负标量，于是e e e e **'≥' (3.6.8)其中，e e '为无约束样本回归模型的残差平方和U RSS 。
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前者可以被看成是后者的受约束回归，通过约束 检验决定是否增加变量。
H0： k 1 k 2 k q 0
( RSSR RSSU ) / q F RSSU /(n (k q 1)) ( ESSU ESSR ) / q ~ F (q, n (k q 1)) RSSU /(n (k q 1))
Y* Y X2 X1 X1 X 2 X k 1 X k 1 X k
* *
ˆ , ˆ , ˆ ,, ˆ 0 1 3 k 1
ˆ 1 ˆ 2 1
ˆ ˆ k k 1
2、参数线性约束检验
• 对所考查的具体问题能否施加约束？需进一步 进行相应的检验。常用的检验有：F检验、x2 检验与t检验。 • F检验
• 受约束样本回归模型的残差平方和RSSR大于无 约束样本回归模型的残差平方和RSSU。这意味着， 通常情况下，对模型施加约束条件会降低模型的 解释能力。
• 如果约束条件为真，则受约束回归模型与无约 束回归模型具有相同的解释能力，RSSR 与 RSSU的差异较小。 • 可用（RSSR －RSS本：中国2012年31个省区数据 – 总体回归模型为：
lnQ 0 1 ln(X / P0 ) （ 2 P1 / P) 3 ( P 2 / P) 4 P 01 5 P 02 6 P 03
– 检验：是否需要将粮食类、油脂类、蔬菜类食物的价 格引入到农村居民对蛋类食品的消费需求函数之中？
受约束回归
Restricted Regression
一、模型参数的线性约束 二、对回归模型增加或减少解释变量 三、检验不同组之间回归模型的差异 * 四、非线性约束
说 明
• 在建立回归模型时，有时根据经济理论需要对 模型中的参数施加一定的约束条件。例如：
– 需求函数的0阶齐次性条件 – 生产函数的1阶齐次性条件
RSSU / 2 ~ 2 (n kU 1)
RSSR / 2 ~ 2 (n k R 1)
(RSSR RSSU ) / 2 ~ 2 (kU k R )
( RSSR RSSU ) /(kU k R ) F ~ F (kU k R , n kU 1) RSSU /(n kU 1)
Y 0 1 X 1 k X k
• 例题：建立农村居民蛋类食品人均消费模型
– 被解释变量：蛋类食品的人均消费量Q – 解释变量：
• 人均生活消费实际支出（X/P0)（X为人均生活消费支出，P0为 居民消费价格指数） • 肉禽类、水产类食品的居民消费相对价格指数P1/P、P2/P（P 为蛋类食品的居民消费价格指数） • 粮食类、油脂类及蔬菜类食品的居民消费价格指数P01、P02、 P03
F (6.3617 6.3187 )/3 0.0563 6.3617/ （ 31 6 ）
结论：F值小于5%显著性水平下相应的临界值2.99，因 此，不拒绝上述联合假设。
三、检验不同组之间回归函数的差异
• 为了检验模型在两组不同的样本（1,2,…，n1） 与（n1+1,…，n1+n2）中是否稳定，可以将它 转变为在合并样本( 1,2,…，n1 ，n1+1,…， n1+n2 )中模型的约束检验问题。
H0 : 4 0, 5 0, 6 0
无约束模型 受约束模型
ˆ 11.15 1.328ln(X / P ) 1.453 lnQ （P1 / P) 5.127(P2 / P) 0
0.015P01 0.005P02 0.010P03
ˆ 7.01 1.323ln(X / P ) 2.120 lnQ （P1 / P) 4.973 (P2 / P) 0
• 例：在2010年中国工业生产函数模型实例中，对 1阶齐次性进行检验：
– 无约束回归:RSSU=4.4039，kU=2 – 受约束回归:RSSR=4.4854，KR=1 – 样本容量n=39，约束条件个数kU - kR=2-1=1
F (4.4854 4.4039 ) / 1 0.6654 4.4039 / 36
– 构造统计量； – 检验施加约束后模型的解释能力是否发生显著变化。
ˆ e Y Xβ
ˆ * e* Y Xβ
ˆ * Xβ ˆ e Xβ ˆ * e X(β ˆ * β ˆ) e* Y Xβ ˆ ˆ ˆ ˆ e e e e ( β β ) X X( β β ) * * * *
1 2 1
k 1 k
Y 0 1 X 1 (1 1 ) X 2 k 1 X k 1 k 1 X k *
* * Y * 0 1 X 1* 3 X 3 k 1 X k 1
• 模型施加约束条件后进行回归，称为受约束回 归（restricted regression）;
• 未加任何约束的回归称为无约束回归 （unrestricted regression）。
一、模型参数的线性约束
1、参数的线性约束
Y 0 1 X 1 2 X 2 k X k
结论：在5%的显著性水平下，自由度为（1，36）的F 统计量的临界值为 4.11。计算的F值小于临界值，不能 拒绝2010年中国工业生产函数具有规模收益不变这一 假设。
二、对回归模型增加或减少解释变量
Y 0 1 X 1 k X k
Y 0 1 X1 k X k k 1 X k 1 k q X k q
H0： k 1 k 2 k q 0
( RSSR RSSU ) / q F RSSU /(n (k q 1)) ( ESSU ESSR ) / q ~ F (q, n (k q 1)) RSSU /(n (k q 1))
Y* Y X2 X1 X1 X 2 X k 1 X k 1 X k
* *
ˆ , ˆ , ˆ ,, ˆ 0 1 3 k 1
ˆ 1 ˆ 2 1
ˆ ˆ k k 1
2、参数线性约束检验
• 对所考查的具体问题能否施加约束？需进一步 进行相应的检验。常用的检验有：F检验、x2 检验与t检验。 • F检验
• 受约束样本回归模型的残差平方和RSSR大于无 约束样本回归模型的残差平方和RSSU。这意味着， 通常情况下，对模型施加约束条件会降低模型的 解释能力。
• 如果约束条件为真，则受约束回归模型与无约 束回归模型具有相同的解释能力，RSSR 与 RSSU的差异较小。 • 可用（RSSR －RSS本：中国2012年31个省区数据 – 总体回归模型为：
lnQ 0 1 ln(X / P0 ) （ 2 P1 / P) 3 ( P 2 / P) 4 P 01 5 P 02 6 P 03
– 检验：是否需要将粮食类、油脂类、蔬菜类食物的价 格引入到农村居民对蛋类食品的消费需求函数之中？
受约束回归
Restricted Regression
一、模型参数的线性约束 二、对回归模型增加或减少解释变量 三、检验不同组之间回归模型的差异 * 四、非线性约束
说 明
• 在建立回归模型时，有时根据经济理论需要对 模型中的参数施加一定的约束条件。例如：
– 需求函数的0阶齐次性条件 – 生产函数的1阶齐次性条件
RSSU / 2 ~ 2 (n kU 1)
RSSR / 2 ~ 2 (n k R 1)
(RSSR RSSU ) / 2 ~ 2 (kU k R )
( RSSR RSSU ) /(kU k R ) F ~ F (kU k R , n kU 1) RSSU /(n kU 1)
Y 0 1 X 1 k X k
• 例题：建立农村居民蛋类食品人均消费模型
– 被解释变量：蛋类食品的人均消费量Q – 解释变量：
• 人均生活消费实际支出（X/P0)（X为人均生活消费支出，P0为 居民消费价格指数） • 肉禽类、水产类食品的居民消费相对价格指数P1/P、P2/P（P 为蛋类食品的居民消费价格指数） • 粮食类、油脂类及蔬菜类食品的居民消费价格指数P01、P02、 P03
F (6.3617 6.3187 )/3 0.0563 6.3617/ （ 31 6 ）
结论：F值小于5%显著性水平下相应的临界值2.99，因 此，不拒绝上述联合假设。
三、检验不同组之间回归函数的差异
• 为了检验模型在两组不同的样本（1,2,…，n1） 与（n1+1,…，n1+n2）中是否稳定，可以将它 转变为在合并样本( 1,2,…，n1 ，n1+1,…， n1+n2 )中模型的约束检验问题。
H0 : 4 0, 5 0, 6 0
无约束模型 受约束模型
ˆ 11.15 1.328ln(X / P ) 1.453 lnQ （P1 / P) 5.127(P2 / P) 0
0.015P01 0.005P02 0.010P03
ˆ 7.01 1.323ln(X / P ) 2.120 lnQ （P1 / P) 4.973 (P2 / P) 0
• 例：在2010年中国工业生产函数模型实例中，对 1阶齐次性进行检验：
– 无约束回归:RSSU=4.4039，kU=2 – 受约束回归:RSSR=4.4854，KR=1 – 样本容量n=39，约束条件个数kU - kR=2-1=1
F (4.4854 4.4039 ) / 1 0.6654 4.4039 / 36
– 构造统计量； – 检验施加约束后模型的解释能力是否发生显著变化。
ˆ e Y Xβ
ˆ * e* Y Xβ
ˆ * Xβ ˆ e Xβ ˆ * e X(β ˆ * β ˆ) e* Y Xβ ˆ ˆ ˆ ˆ e e e e ( β β ) X X( β β ) * * * *
1 2 1
k 1 k
Y 0 1 X 1 (1 1 ) X 2 k 1 X k 1 k 1 X k *
* * Y * 0 1 X 1* 3 X 3 k 1 X k 1
• 模型施加约束条件后进行回归，称为受约束回 归（restricted regression）;
• 未加任何约束的回归称为无约束回归 （unrestricted regression）。
一、模型参数的线性约束
1、参数的线性约束
Y 0 1 X 1 2 X 2 k X k
结论：在5%的显著性水平下，自由度为（1，36）的F 统计量的临界值为 4.11。计算的F值小于临界值，不能 拒绝2010年中国工业生产函数具有规模收益不变这一 假设。
二、对回归模型增加或减少解释变量
Y 0 1 X 1 k X k
Y 0 1 X1 k X k k 1 X k 1 k q X k q