受约束回归模型

但是，如果约束条件 受约束回归 但是 如果约束条件为真，则受约束回归 如果约束条件为 无约束回归模型具有相同的解释能力 模型与无约束回归模型具有相同的解释能力， 模型与无约束回归模型具有相同的解释能力 RSSR 与 RSSU的差异变小。 可用RSSR - RSSU的大小来检验约束的真实性 可用 根据数理统计学的知识：
Y1 X 1 = Y X 2 2 0 β μ + 1 I n 2 γ μ 2
(**)
可见，用前n1个样本估计可得前k个参数β的估计， β 而γ不外是用后n2个样本测算的预测误差X2(α - β) γ α
合并两个时间序列为( 1,2,…，n1 ，n1+1,…，n1+n2 )， 无约束回归模型 则可写出如下无约束回 无约束回
Y1 X 1 = Y 0 2 0 β μ + 1 X 2 α μ 2
(*)
如果α=β，表示没有发生结构变化，因此可针对 α β 如下假设进行检验： H0: α=β β
这里，运用了ESSR ＝0。
二、对回归模型增加或减少解释变量
考虑如下两个回归模型
Y = β 0 + β1 X 1 + L + β k X k + µ
Y = β 0 + β 1 X 1 + L + β k X k + β k +1 X k +1 + L β k + q X k + q + µ
(*) (**)
RSSU / σ 2 ~ χ 2 (n − kU − 1)
RSS R / σ 2 ~ χ 2 (n − k R − 1)
( RSS R − RSSU ) / σ 2 ~ χ 2 (kU − k R )
于是：
( RSS R − RSSU ) /(kU − k R ) F= ~ F (kU − k R , n − kU − 1) RSSU /(n − kU − 1)
于是
e′ e * ≥ e′e *
(*)
e’e为无约束 无约束样本回归模型的残差平方 残差平方和RSSU 无约束 残差平方 受约束与无约束 相同的TSS 受约束 无约束模型都有相同的 无约束 相同的 由（*）式 从而 RSSR ≥ RSSU ESSR ≤ ESSU
这意味着，通常情况下 ， 对模型施加约束 这意味着 通常情况下， 通常情况下 条件会降低模型的解释能力。 条件会降低模型的解释能力
* Y * = β 0 + β 1 X 1* + β 3 X 3 + L + β k −1 X k −1 + µ *
(**)
如果对（**）式回归得出
ˆ ˆ ˆ ˆ β 0 , β 1 , β 3 ,L, β k −1
ˆ ˆ β k = β k −1
ˆ ˆ 则由约束条件可得： β 2 = 1 − β 1
如果参数没有发生变化，则γ=0，矩阵式简化为 γ ，
Y1 X 1 μ = β+ 1 Y X μ 2 2 2
(***)
0 β μ + 1 I n 2 γ μ 2
(*)式可看成是（**）式的受约束回归： 受约束回归： 受约束回归
β k +1 = β k + 2 = L = β k + q = 0 H0： 相应的Ｆ统计量为：
( RSS R − RSSU ) / q F= RSSU /( n − (k + q + 1)) = ( ESSU − ESS R ) / q ~ F (q, n − (k + q + 1)) RSSU /(n − (k + q + 1))
2、邹氏预测检验
上述参数稳定性检验要求n2>k。 如果出现n2<k ，则往往进行如下的邹氏预测检 邹氏预测检 验（Chow test for predictive failure）。 邹氏预测检验的基本思想: 邹氏预测检验的基本思想 先用前一时间段n1个样本估计原模型，再用 估计出的参数进行后一时间段n2个样本的预测。 如果预测误差较大，则说明参数发生了变化， 如果预测误差较大，则说明参数发生了变化， 否则说明参数是稳定的。 否则说明参数是稳定的
参数稳定性的检验步骤： 参数稳定性的检验步骤：
（1）分别以两连续时间序列作为两个样本进行回 归，得到相应的残差平列并为一个大样本后进行回归， 得到大样本下的残差平方和RSSR （3）计算F统计量的值，与临界值比较： 若F值大于临界值，则拒绝原假设，认为 发生了结构变化，参数是非稳定的。 该检验也被称为邹氏参数稳定性检验 （Chow test for parameter stability）。
这里：KU - KR=n2 RSSU=RSS1
邹氏预测检验步骤： 邹氏预测检验步骤： 检验步骤 第一步，在两时间段的合成大样本下做OLS回归， 第一步 得受约束模型的残差平方和RSSR ； 第二步，对前一时间段的n1个子样做OLS回归，得 第二步 残差平方和RSS1 ； 第三步，计算检验的F统计量，做出判断： 第三步
ˆ* Y = Xβ + e *
于是
ˆ* ˆ ˆ* ˆ* ˆ e * = Y − Xβ = Xβ+ e − Xβ = e − X(β − β)
受约束样本回归模型的残差平方和 残差平方和RSSR 受约束 残差平方和
ˆ* ˆ ˆ* ˆ e′ e * = e′e + (β − β)′X′X(β − β) *
RSS1=0.003240
1995~2001： ：
ln Q = 13.78 + 0.55 ln X − 3.06 ln P1 + 0.71ln P0
记RSS1与RSS2为在两时间段上分别回归后所得的 残差平方和，容易验证，
RSSU = RSS1 + RSS 2
于是
[ RSS R − ( RSS1 + RSS 2 )] / k F= ~ F [k , n1 + n2 − 2(k + 1)] ( RSS1 + RSS 2 ) /[ n1 + n2 − 2(k + 1)]
受约束回归
一、模型参数的线性约束 二、对回归模型增加或减少解释变量 三、参数的稳定性 *四、非线性约束 四
一、模型参数的线性约束
对模型
Y = β 0 + β1 X 1 + β 2 X 2 + L + β k X k + µ
(*)
施加约束
β1 + β 2 = 1
β k −1 = β k
得
或
Y = β 0 + β 1 X 1 + (1 − β 1 ) X 2 + L + β k −1 X k −1 + β k −1 X k + µ *
然而，对所考查的具体问题能否施加约束 能否施加约束？ 能否施加约束 需进一步进行相应的检验。常用的检验有 常用的检验有： 常用的检验有 F检验、x2检验与t检验， 主要介绍F检验 主要介绍 检验 在同一样本下，记无约束 无约束样本回归模型为 无约束 ˆ Y = Xβ+ e 受约束样本回归模型为 受约束
Y1 X 1 μ = β+ 1 Y X μ 2 2 2
(*)式施加上述约束后变换为受约束 受约束回归模型 受约束
（**）
因此，检验的F统计量为：
( RSS R − RSSU ) / k F= ~ F [k , n1 + n2 − 2(k + 1)] RSSU /[ n1 + n2 − 2(k + 1)]
讨论： 讨论： 如果约束条件无效， RSSR 与 RSSU的差异较大， 计算的F值也较大。 于是，可用计算的F统计量的值与所给定的显著 性水平下的临界值作比较，对约束条件的真实性进 行检验。 注意，kU - kR恰为约束条件的个数。
例 3.6.1 中国城镇居民对食品的人均消费需求 实例中，对零阶齐次性 零阶齐次性检验： 实例中 零阶齐次性 无约束回归:RSSU=0.00324， kU=3 受约束回归:RSSR=0.00332， KR=2 样本容量n=14， 约束条件个数kU - kR=3-2=1
§3.6 受约束回归
在建立回归模型时，有时根据经济理论需对 模型中变量的参数施加一定的约束条件。 如： 0阶齐次性 条件的消费需求函数 阶齐次性 1阶齐次性 条件的C-D生产函数 阶齐次性 模型施加约束条件后进行回归，称为受约束 受约束 模型施加约束条件后进行回归 回归（ 回归（restricted regression）; ） 不加任何约束的回归称为无约束回归 不加任何约束的回归称 无约束回归 （unrestricted regression）。 ）。
Y = β 0 + β1 X 1 + L + β k X k + µ
在 两 个 连 续 的 时 间 序 列 （ 1,2,… ， n1 ） 与 （n1+1,…，n1+n2）中，相应的模型分别为：
Y = β 0 + β 1 X 1 + L + β k X k + µ1
Y = α 0 + α1 X 1 + L + α k X k + µ 2
2 2 ( RU − RR ) / q F= 2 (1 − RU ) /(n − (k + q + 1))
三、参数的稳定性
建立模型时往往希望模型的参数是稳定的，即 所谓的结构不变 结构不变，这将提高模型的预测与分析功 结构不变 能。如何检验？ 如何检验？ 如何检验
1、邹氏参数稳定性检验