2018中考数学试题分类汇编考点29与园有关的位置关系含解析
2018年中考数学试题分类汇编 知识点34 与圆有关的位置关系
知识点34 与圆有关的位置关系一、选择题1. （2018四川泸州，10题，3分）在平面直角坐标系内，以原点O 为原心，1为半径作圆，点P 在直线y =+上运动，过点P 作该圆的一条切线，切点为A ，则PA 的最小值为（ ）【答案】D【解析】由题可知，B （-2,0），C （0，32），P 为直线上一点，过P 作圆O 的切线PA ，连接AO ，则在Rt △PAO 中，AO=1，由勾股定理可得22AO PO PA -=，要想使PA 最小，要求PO 最小，所以过点O 作OP ⊥BC 于点P ，此时PO=【知识点】一次函数，圆的切线，勾股定理2. （2018四川内江，7，3）已知⊙O 1的半径为3cm ，⊙O 2的半径为2cm ，圆心距O 1O 2＝4cm ，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切 【答案】C【解析】解：∵3－2＜O 1O 2＜3＋2，∴⊙O 1与⊙O 2的位置关系是相交．故选择C ． 【知识点】圆与圆的位置关系3. （2018江苏无锡，8，3分） 如图，矩形ABCD 中，G 是BC 的中点，过A 、D 、G 三点的O 与边AB 、CD 分别交于点E 、F.给出下列说法：(1)AC 与BD 的交点是O 的圆心；(2)AF 与DE 的交点是O 的圆心；(3)BC 与O 相切.其中正确说法的个数是（ ） A.0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【思路分析】利用圆周角定理的推理确定O的圆心，进而判定(1)、(2)的正确性；连接OG，通过证明OG⊥BC 说明BC与O相切.【解题过程】∵矩形ABCD中，∴∠A=∠D=90°，∴AF与DE都是O的直径，AC与BD不是O的直径，∴AF与DE的交点是O的圆心，AC与BD的交点不是O的圆心，∴(1)错误、(2)正确.连接AF、OG，则点O为AF的中点，∵G是BC的中点，∴OG是梯形FABC的中位线，∴OG∥AB，∵AB⊥BC，∴OG⊥BC，∴BC与O相切.∴(3)正确.综上所述，正确结论有两个.【知识点】矩形的性质、圆周角定理的推论、梯形中位线的判定与性质、圆的切线的判定4.（2018·重庆B卷，10，4）如图，△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD＝2，则线段CD的长是（）A．2 B．32D【答案】B．【解析】如下图，连接OD，则由AD切⊙O于点D，得OD⊥AC．∵在Rt△AOD中，∠A＝30°，AD＝tan A＝ODAD，∴OD＝AD•，tanA＝tan30°＝2．∴AO＝2OD＝4，AB＝OA＋OB＝6．∵∠AOD＝90°－∠A＝60°，∴∠ABD＝12∠AOD＝30°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD＝60°．∴∠C＝90°＝∠ADO．∴OD∥BC．∴AD AODCOB=，即42DC=．∴DC【知识点】圆圆的切线相似三角形5. （2018山东烟台，10，3分）如图四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD 的延长线上，则∠CDE的度数是（）A．56° B．62° C．68° D．78°【答案】Ｃ【解析】∵点I是△ABC的内心，∴AI、CI是△ABC的角平分线，∴∠AIC=90°+12∠B=124°，∴∠B=68°．∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CDE=∠B＝68°，故选C．【知识点】三角形内心；圆内接四边形的性质；6.（2018四川省德阳市，题号9，分值：3）已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（）A.2B.1C.D.第9题答图【答案】B.【解析】如图，设△ABC的边长为a，由正三角形的面积公式得S△ABC=，∴==，解得a=2或-2（舍），∴BC=2.∵∠BAC=60°，BO=CO，∴∠BOC=120°，则∠BCO=30°.∵OH⊥BC，∴BH=BC=1，在Rt△BOH中，BO=BH÷cos30°=，所以圆的半径r=.则OF=.如图，正六边形内接于圆，且半径为，可知∠EOF=60°，在△EOF中，OE=OF，OD⊥EF，∴∠EOD=30°.在Rt△DOE中，OD=OF·cos30°=×=1.所以边心距为1.【知识点】正多边形和圆1. （2018湖北鄂州，8，3分）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点为A、B，AC是⊙O 的直径，OP与AB相交于点D，连接BC．下列结论：①∠APB＝2∠BAC；②OP∥BC；③若tanC＝3，则OP＝5BC；④AC2＝4OD·OP．其中正确的个数为（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A．【思路分析】利用切线长定理证明Rt△APO≌Rt△BPO，再利用同角的余角相等，可证得∠AOP＝∠C，得到OP∥用勾股定理和∠AOP＝∠C，可证得OP＝5BC BC=，故③正确；利用两角对应相等的两个三角形相，再通过等量代换可证得AC2＝4OD·OP，故④正确．的切线，∴PA＝PB，∠PAO＝∠PBO＝90°，则在Rt△APO 和Rt△BPO中，∵OA OBAP BP==⎧⎨⎩，∴Rt△APO≌Rt△BPO（HL），∴∠APB＝2∠APO＝2∠BPO，∠AOE＝∠BOE，∴∠AOP＝∠C，∴OP∥BC，故②正确；∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠BAC＋∠C＝90°，∵∠PAO＝90°，∴∠APO＋∠AOP＝90°，即∠C＋∠APO＝90°，∴∠APO＝∠BAC，∴∠APB＝2∠APO＝2∠BAC，故①正确；∵tanC＝3，∴tan∠AOP＝3，则在Rt△ABC中，3ABBC=，则AB＝3BC，故AC＝=，在Rt△BPO中，3APAO=，则AP＝3OA，故OP＝11522AC BC====，故③正确；∵OA＝OC，OP∥BC，∴OD是△ABC的中位线，∴OD＝12BC，BC＝2OD，在△ABC和△P AO中，∵∠OAP＝∠ABC＝90°，∠AOP＝∠C，∴△ABC∽△PAO，∴AC BCOP OA=，∴212AC ODOPAC=，∴4AC ODOP AC=，∴AC2＝4OD·OP，故④正确．故选A．【知识点】切线长定理；相似三角形的性质和判定；中位线定理；勾股定理；平形线的判定定理；全等三角形的判定定理2.（2018·重庆A卷，9，4）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C．若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为（）A．4 B．．3 D．2.5【答案】A．【解析】如下图，连接OD．∵PC切⊙O于点D，∴OD⊥PC．∵⊙O的半径为4，∴PO＝PA＋4，PB＝PA＋8．∵OD⊥PC，BC⊥PD，∴OD∥BC．∴△POD∽△PBC．∴OD POBC PB=，即4468PAPA+=+，解得PA＝4．故选A．【知识点】圆；直线与圆的位置关系；切线的性质；相似三角形的判定与3. （2018河北省，15，2）如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（）A．4.5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】设△ABC的AB边上的高为h，△MNI的MN边上的高为r，周长为a，则△ABC的内切圆半径为r．∴△ABC的面积＝AB·h＝（AB＋BC＋AC）·r．∴4h＝9r．∴．∵△MNI∽△ABC，∴【知识点】三角形的内心，三角形相似4. （2018湖北宜昌，12，3分）如图，直线AB是O的切线，C为切点，//OD AB交O于点D，点E在O 上，连接OC EC ED,,，则CED∠的度数为( )(第12题图)A．30° B．35° C.40° D．45°【答案】D【解析】∵直线AB 是O 的切线，C 为切点，∴∠OCB =90°，∵//OD AB ，∴∠COD =90°，∴∠CED =45°，故选择D.【知识点】圆的切线，圆心角，圆周角，平行线的性质.5. （2018广东省深圳市，10，3分）如图，一把直尺，80°的直角三角板和光盘如图摆放，A 为60︒角与直尺交点，3AB =,则光盘的直径是( )A ．3B ．C ． 6D ． 【答案】D ．【思路分析】由切线长定理定理可得，∠CAO ＝∠OAB ，从而求出∠BAO 的度数，再在Rt △OAB 中，用60°角的正切即可求出半径的长．【解析】解：如图，设圆心为点O ，设另一个切点为点C ，连接OA 、OB 、OC ，则由切线长定理可得，∠CAO ＝∠OAB ＝12（180°－60°）＝60°，则在Rt △OAB 中，tan ∠BAO ＝OB AB，即t a n603OB =︒=解得OB ＝故直径为．故选D ．【知识点】切线的性质；切线长定理；锐角三角函数6.（2018湖北荆门，9，3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，()4,0A ，()0,3B ，()4,3C ，I 是ABC ∆的内心，将ABC ∆绕原点逆时针旋转90后，I 的对应点I '的坐标为（ ）A ．()2,3-B ．()3,2- C.()3,2- D ．()2,3- 【答案】A.【解析】∵I 是△ABC 的内心，()4,0A ，()0,3B ，()4,3C ， ∴I 的坐标为（3，2），∴将ABC ∆绕原点逆时针旋转90后，I 的对应点I ′的坐标为（-2，3）. 故选A.【知识点】三角形的内心，作图-旋转变换7. （2018山东省泰安市，9，3）如图，BM 与O 相切于点B ，若140MBA ∠=，则ACB ∠的度数为（ ）A ．40B ．50C ．60D ．70【答案】A【解析】（1）根据圆的切线性质可知：∠OBM=90°从而求得∠ABO=50°；（2）连接OA 、OB ，可求得∠AOB 的度数；（3）根据圆周角性质定理可得结论. 解：连接OA 、OB ， ∵BM 与O 相切 ∴∠OBM=90°∵140MBA ∠= ∴∠ABO=50° ∵OA=OB ∴∠ABO=∠BAO =50° ∴∠AO B=80° ∴ACB ∠=40【知识点】圆的切线的性质，圆周角性质定理，等腰三角形性质 二、填空题1. （2018四川内江，24，6） 已知△ABC 的三边a ，b ，c 满足a ＋2b ＋｜c －6｜＋28＝10b ，则△ABC的外接圆半径＝ ． 【答案】258【思路分析】将已知a ＋2b ＋｜c －6｜＋28＝10b 进行分组，配成完全平方式，利用平方数，绝对值的非负性求出a ，b ，c 的值，从而确定三角形的形状，然后求出外接圆半径．【解题过程】解：原式整理得：2b －10b ＋25＋a －1－4＋｜c －6｜＝0，()25b -＋2－＋4＋｜c －6｜＝0，()25b -＋)22＋｜c －6｜＝0，∵()25b -≥0，)22≥0，｜c －6｜≥0，∴b ＝5，c ＝6，a ＝5，∴△ABC 为等腰三角形．如图所示，作CD ⊥AB ，设O 为外接圆的圆心，则OA ＝OC ＝R ，∵AC ＝BC ＝5，AB ＝6，∴AD ＝BD ＝3，∴CD 4，∴OD ＝CD －OC ＝4－R ，在Rt △AOD 中，2R ＝23＋()24R-，解得R＝258．BCODA【知识点】完全平方公式；绝对值；勾股定理；等腰三角形外接圆；2. （2018安徽省，12，5分）如图,菱形ABOC的AB，AC分别与⊙O相切于点D,E若点D是AB的中点,则∠DOE【答案】60°【解析】连接OA，根据菱形的性质得到△AOB是等边三角形，根据切线的性质求出∠AOD，同理计算即可．解：连接OA，∵四边形ABOC是菱形，∴BA=BO，∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∵AB 与⊙O 相切于点D ， ∴OD ⊥AB ， ∴∠AOD=12∠AOB=30°， 同理，∠AOE=30°，∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°， 故答案为：60．【知识点】切线的性质；菱形的性质．3. （2018湖南岳阳，16，4分）.如图，以AB 为直径的O 与CE 相切于点C ，CE 交AB 的延长线于点E ，直径18AB =，30A ∠=，弦C D A B ⊥，垂足为点F ，连接AC ，OC ，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）①BC BD =；②扇形OBC 的面积为274π；③O C F O E C ∆∆；④若点P 为线段OA 上一动点，则AP OP ⋅有最大值20.25.【答案】①③④.【解析】解：∵AB 是⊙O 的直径，且CD ⊥AB ， ∴BC BD =，故①正确； ∵∠A=30°， ∴∠COB=60°， ∴扇形OBC=ππ227)2(360602=AB ··，故②错误； ∵CE 是⊙O 的切线，∴∠OCE=90°，∴∠OCD=∠OFC ，∠EOC=∠COF ， ∴OCFOEC ∆∆，故③正确；设AP=x ，则OP=9-x ，∴AP ·OP=x (9-x )=-x 2+9x =481)29(2+-x -， ∴当x =29时，AP ·OP 的最大值为481=20.25，故④正确. 故答案为①③④.【知识点】垂径定理，扇形面积计算公式，相似三角形的判定，二次函数的性质4. （2018江苏连云港，第14题，3分）如图，AB 是⊙O 的弦，点C 在过点B 的切线上，且OC ⊥OA ，OC 交AB于点P ，已知∠OAB =22°，则∠OCB =__________°. 【答案】44【解析】解：连接OB .∵OA =OB ，∴∠OBA =∠OAB =22°，∴∠AOB =136°，∵OC ⊥OA ，∴∠AOC =90°，∴∠COB =46°，∵CB 是⊙O 的切线，OBC =90°，∴∠OCB =90°－46°=44°，故答案为：44°.【知识点】切线的性质；直角三角形的性质5. （2018江苏泰州，16，3分）如图，△ABC 中，∠ACB =90°，sin A =513，AC =12，将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△A′B′C ，P 为线段A′B′上的动点，以点P 为圆心、PA '长为半径作⊙P ，当⊙P 与△ABC 的边相切时，⊙P 的半径为 .【答案】15625或10213【解析】设⊙P的半径为r，∵∠ACB=90°，∴BCAB=sin A=513，222BC AC AB+=，∵AC=12，∴BC=5，AB=13，由旋转得∠A′CB′=∠ACB=90°，∠A′=∠A，A′C= AC=12，B′C= BC=5，A′B′=AB=13，∴∠A′CB=180°，∴A′、C、B′三点共线，∵点P到直线BC的距离小于半径P′A，∴⊙P与直线BC始终相交，过点P作PD⊥AC于点D，则∠B′DP=∠B′CA′=90°，∵∠DB′P=∠CB′A′，∴△B′DP∽△B′CA′，∴PD PBA C A B'='''，∴13 1213 PD r-=，∴12(13)12121313rPD r-==-，当⊙P与AC边相切时，PD=PA′，∴121213r r-=，∴15625r=，延长A′B′交AB于点E，∵∠A＋∠B=90°，∠A′=∠A，∴∠A′＋∠B=90°，∴∠A′EB=90°，同上得122041313A E A B''==，当⊙P与AB边相切时，A′E=2PA′，∴10213r=，综上所述，⊙P的半径为15625或10213.【知识点】锐角三角函数，直线与圆的位置关系6.（2018山东威海，16，3分）在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为______．【答案】135°【解析】连接CE，∵∠ADC＝90°，∴∠DAC＋∠DCA＝90°；∵⊙E内切于△ADC，∴∠EAC＋∠ECA＝45°，∴∠AEC＝135°；∵△AE ≌△EB ，∴∠AEB ＝∠AEC ＝135°．【知识点】三角形的内切圆、全等三角形的判定与性质7. （2018四川省宜宾市，13，3分）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》 中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆 O 的半径为1,若用圆O 的外切正六边形的面积来近似估计圆O 的面积，S= .(结 果保留根号）【答案】【解析】如图：根据题意可知OH=1,∠BOC=60°，∴△OBC 为等边三角形，∴BH OH tan ∠BOH ，∴,∴S=121×12【知识点】正多边形的计算；解直角三角形8. （2018浙江湖州，14，4）如图，已知△ABC 的内切圆⊙O 与BC 边相切于点D ，连结OB ，OD ．若∠ABC ＝40°，则∠BOD 的度数是 ．【答案】70°【解析】∵⊙O 内切于△ABC ，∴OB 平分∠ABC ．∵∠ABC ＝40°，∴∠OBD ＝20°．∴∠BOD ＝70°．故填70°. 【知识点】三角形的内切圆，切线长定理9.（2018宁波市，17题，4分） 如图，正方形ABCD 的边长为8,M 是AB 的中点,P 是BC 边上的动点,连结PM,以点P为圆心,PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时,BP的长为___________【答案】3或【解析】解：(1)当⊙P与DC相切时，如图（1）所示，设BP=x，则PC=8-x;∵DC于圆相切，∴PC=PM又∵M是AB中点∴BM=4在Rt△BMP中，根据勾股定理可得∵BM2+BP2=MP2∴x2+42=(8-x)2∴解得：x=3∴BP=3(2)如图（2）所有当⊙P与DA相切时过点P作PE⊥AD,交AD与点E∵⊙P与DA相切与点E∴EP=MP=8题图）图1在Rt △BMP 中，根据勾股定理可得 ∵BM 2+BP 2=MP 2∴BP=综上所述：BP 的值为3或【知识点】切线的判定、勾股定理10. （2018浙江温州，16，5）.小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形.图2中留个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边形和一个小正六边形，若PQ 所在的直线经过点M ，PB=5cm，小正六边形的面积为2cm 2，则该圆的半径为cm.【答案】8【思路分析】设小正六边形的中心为O 连接OP,OA,OB,OC,OD ，连接CP 得两个等边三角形，利用小正六边形的面积得小正六边形的边长为337所以得OP=7，在△OPB 中解三角形得到OB=8所以圆的半径为8 【解题过程】设小正六边形的中心为O,连接OP,OB,OC,OD ，连接CP 得两个等边三角形，利用小正六边形的面积为6个小等边三角形得设小正六边形的边长为x,所以每个小等边三角形的面积为243x ，得32494362=⨯x ，得x=337所以再利用四边形OCPD 为菱形得OP=73337=⨯，在△OPB 中解三角形，过点P 作PH ⊥OB 因为∠OBP=60°∠HPB=30°得到BH=2521=BP ,PH=235,所以在△OPH 中利用勾股定理得OH=211,所以OB=8所以圆的半径为8图2【知识点】圆的内接正六边形的性质，正六边形的面积，解三角形，菱形的性质和判定，等边三角形的判定和性质。
历年初三数学中考辅导之—圆和圆的位置关系及答案
中考数学辅导之—圆和圆的位置关系一、教材简析本单元主要研究圆和圆的位置关系，内容主要包括两个圆各种不同位置关系的概念；相交、相切两圆的性质以及两个圆的公切线。
其中两个圆不同位置关系的概念及相交、相切时的性质是本单元的重点。
同学们在学习过程中要注意与前面所学的圆的有关知识的联系。
当一条直线与两个圆相切时，这条直线就是这两个圆的公切线，而对于每一个圆来说，这条直线都是他们的切线。
因此，研究两圆的公切线问题，就是圆的切线的判定和性质在两个相关的圆中的应用。
由圆的轴对称性可以推出，任意两个圆组成的图形，一定是以连心线为轴的对称图形。
两圆相交、相切的性质，都是由这个对称性得到的。
所以在学习这一单元时，要随时复习巩固前面所学知识，并逐步学会运用这些知识来解决两圆位置关系中的新问题。
本单元学习过程中，涉及实际应用的问题较多，有计算题，也有作图题，要学会把实际问题抽象成数学问题，在关于两圆公切线长的计算中，要学会把它转化为解直角三角形的问题。
二、基本内容及应注意的问题1、圆和圆的位置关系的分类，既考虑了数(两圆公共点的个数)，又考虑了形(两圆的相对位置)，两圆的五种位置关系按公共点的个数(0，1，2)可分为三类：(1)没有公共点⇔相离外离内含(包括同心)；(2)有1个公共点⇔相切外切内切；(3)有2个公共点⇔相交2、与点和圆、直线和圆的位置关系相类似，两圆的位置关系(形的关系)与两圆的半径、圆心距的大小(数量关系)有关。
(1)两圆外离⇔d＞R＋r(2)两圆外切⇔d＝R＋r(3)两圆相交⇔R－r＜d＜R＋r(R≥r)(4)两圆内切⇔d＝R－r(R＞r)(5)两圆内含⇔d＜R－r(R＞r)这个结论是双向的，“⇒”是由两圆位置的关系，得到两圆半径与圆心距之间特定的数量关系，这是两圆位置关系的性质，利用这些性质可以把形的问题转化为数的问题来解决；“⇐”是根据两圆半径与圆心距之间的某种数量关系来判定两圆的位置关系，从而把判定形的问题，转向为数的问题来解决。
2018中考数学试题分类汇编考点29与园有关的位置关系含解析
考点29 ：与园有关的位置关系一．选择题（共9小题）1．（2018•宜宾）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE 为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（）A．B．C．34 D．10【分析】设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN，则MN、PM的长度是定值，利用三角形的三边关系可得出NP的最小值，再利用PF2+PG2=2PN2+2FN2即可求出结论．【解答】解：设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN 取最小值．∵DE=4，四边形DEFG为矩形，∴GF=DE，MN=EF，∴MP=FN=DE=2，∴NP=MN﹣MP=EF﹣MP=1，∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．故选：D．2．（2018•泰安）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）A．3 B．4 C．6 D．8【分析】由Rt△APB中AB=2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．【解答】解：∵PA⊥PB，∴∠APB=90°，∵AO=BO，∴AB=2PO，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ=3、MQ=4，∴OM=5，又∵MP′=2，∴OP′=3，∴AB=2O P′=6，故选：C．3．（2018•滨州）已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=25°，则劣弧的长为（）A．B． C．D．【分析】根据圆周角定理和弧长公式解答即可．【解答】解：如图：连接AO，CO，∵∠ABC=25°，∴∠AOC=50°，∴劣弧的长=，故选：C．4．（2018•自贡）如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°，连接OB、OC，则边BC的长为（）A．B．C．D．【分析】延长BO交圆于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°；又BD=2R，根据锐角三角函数的定义得BC=R．【解答】解：延长BO交⊙O于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°，∴∠CBD=30°，∵BD=2R，∴DC=R，∴BC=R，故选：D．5．（2018•湘西州）已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l 与⊙O的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定【分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5，则直线和圆相切．【解答】解：∵圆心到直线的距离5cm=5cm，∴直线和圆相切．故选：B．6．（2018•徐州）⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=3，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（）A．内含B．内切C．相交D．外切【分析】根据两圆圆心距与半径之间的数量关系判断⊙O1与⊙O2的位置关系．【解答】解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=3，则5﹣2=3，∴⊙O1和⊙O2内切．故选：B．7．（2018•台湾）如图，两圆外切于P点，且通过P点的公切线为L，过P点作两直线，两直线与两圆的交点为A、B、C、D，其位置如图所示，若AP=10，CP=9，则下列角度关系何者正确？（）A．∠PBD＞∠PAC B．∠PBD＜∠PAC C．∠PBD＞∠PDB D．∠PBD＜∠PDB【分析】根据大边对大角，平行线的判定和性质即可判断；【解答】解：如图，∵直线l是公切线∴∠1=∠B，∠2=∠A，∵∠1=∠2，∴∠A=∠B，∴AC∥BD，∴∠C=∠D，∵PA=10，PC=9，∴PA＞PC，∴∠C＞∠A，∴∠D＞∠B．故选：D．8．（2018•内江）已知⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2=4cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）A．外高B．外切C．相交D．内切【分析】由⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．【解答】解：∵⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，又∵2+3=5，3﹣2=1，1＜4＜5，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交．故选：C．9．（2018•上海）如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（）A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7【分析】作半径AD，根据直角三角形30度角的性质得：OA=4，再确认⊙B与⊙A相切时，OB的长，可得结论．【解答】解：设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD，∴AD⊥OP，∵∠O=30°，AD=2，∴OA=4，当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图1，∵BC=3，∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5；当⊙A与⊙B相外切时，设切点为E，如图2，∴OB=OA+AB=4+2+3=9，∴半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是：5＜OB＜9，故选：A．二．填空题（共7小题）10．（2018•临沂）如图．在△ABC中，∠A=60°，BC=5cm．能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是cm．【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据圆的相关知识即可求得△ABC外接圆的直径，本题得以解决．【解答】解：设圆的圆心为点O，能够将△ABC完全覆盖的最小圆是△ABC的外接圆，∵在△ABC中，∠A=60°，BC=5cm，∴∠BOC=120°，作OD⊥BC于点D，则∠ODB=90°，∠BOD=60°，∴BD=，∠OBD=30°，∴OB=，得OB=，∴2OB=，即△ABC外接圆的直径是cm，故答案为：．11．（2018•内江）已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=4+10b，则△ABC的外接圆半径= ．【分析】根据题目中的式子可以求得a、b、c的值，从而可以求得△ABC的外接圆半径的长．【解答】解：∵a+b2+|c﹣6|+28=4+10b，∴（a﹣1﹣4+4）+（b2﹣10b+25）+|c﹣6|=0，∴（﹣2）2+（b﹣5）2+|c﹣6|=0，∴，b﹣5=0，c﹣6=0，解得，a=5，b=5，c=6，∴AC=BC=5，AB=6，作CD⊥AB于点D，则AD=3，CD=4，设△ABC的外接圆的半径为r，则OC=r，OD=4﹣r，OA=r，∴32+（4﹣r）2=r2，解得，r=，故答案为：．12．（2018•黄冈）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB=60°，弦AD平分∠CAB，若AD=6，则AC= 2．【分析】连接BD．在Rt△ADB中，求出AB，再在Rt△ACB中求出AC即可解决问题；【解答】解：连接BD．∵AB是直径，∴∠C=∠D=90°，∵∠CAB=60°，AD平分∠CAB，∴∠DAB=30°，∴AB=AD÷cos30°=4，∴AC=AB•cos60°=2，故答案为2．13．（2018•新疆）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为2，则图中阴影部的面积是．【分析】根据等边三角形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数，再根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，根据圆周角定理可得∠AOB=2∠C=120°，∴阴影部分的面积是=π，故答案为：14．（2018•扬州）如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，则AB= 2．【分析】根据圆内接四边形对角互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．【解答】解：连接AD、AE、OA、OB，∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，∴∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=2，∴AB=2，故答案为：2．15．（2018•泰安）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BC=4，则⊙O的直径为4．【分析】连接OB，OC，依据△BOC是等腰直角三角形，即可得到BO=CO=BC•cos45°=2，进而得出⊙O的直径为4．【解答】解：如图，连接OB，OC，∵∠A=45°，∴∠BOC=90°，∴△BOC是等腰直角三角形，又∵BC=4，∴BO=CO=BC•cos45°=2，∴⊙O的直径为4，故答案为：4．16．（2018•大庆）已知直线y=kx （k ≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m （m ＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O 相交（点O 为坐标原点），则m的取值范围为 m ＜ ．【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．【解答】解：把点（12，﹣5）代入直线y=kx 得，﹣5=12k ，∴k=﹣；由y=﹣x 平移平移m （m ＞0）个单位后得到的直线l 所对应的函数关系式为y=﹣x+m （m ＞0），设直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，（如下图所示）当x=0时，y=m ；当y=0时，x=m ，∴A （m ，0），B （0，m ），即OA=m ，OB=m ； 在Rt △OAB 中，AB=， 过点O 作OD ⊥AB 于D ，∵S △ABO =OD•AB=OA•OB，∴OD•=×，∵m ＞0，解得OD=，由直线与圆的位置关系可知＜6，解得m ＜． 故答案为：m ＜．三．解答题（共4小题）17．（2018•福建）如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB．（1）求证：BG∥CD；（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB=DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．【分析】（1）根据等边对等角得：∠PCB=∠PBC，由四点共圆的性质得：∠BAD+∠BCD=180°，从而得：∠BFD=∠PCB=∠PBC，根据平行线的判定得：BC∥DF，可得∠ABC=90°，AC是⊙O的直径，从而得：∠ADC=∠AGB=90°，根据同位角相等可得结论；（2）先证明四边形BCDH是平行四边形，得BC=DH，根据特殊的三角函数值得：∠ACB=60°，∠BAC=30°，所以DH=AC，分两种情况：①当点O在DE的左侧时，如图2，作辅助线，构建直角三角形，由同弧所对的圆周角相等和互余的性质得：∠AMD=∠ABD，则∠ADM=∠BDE，并由DH=OD，可得结论；②当点O在DE的右侧时，如图3，同理作辅助线，同理有∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，得结论．【解答】（1）证明：如图1，∵PC=PB，∴∠PCB=∠PBC，∵四边形ABCD内接于圆，∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠BCD+∠PCB=180°，∴∠BAD=∠PCB，∵∠BAD=∠BFD，∴∠BFD=∠PCB=∠PBC，∴BC∥DF，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ABC=90°，∴AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∵BG⊥AD，∴∠AGB=90°，∴∠ADC=∠AGB，∴BG∥CD；（2）由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，∴四边形BCDH是平行四边形，∴BC=DH，在Rt△ABC中，∵AB=DH，∴tan∠ACB==，∴∠ACB=60°，∠BAC=30°，∴∠ADB=60°，BC=AC，∴DH=AC，①当点O在DE的左侧时，如图2，作直径DM，连接AM、OH，则∠DAM=90°，∴∠AMD+∠ADM=90°∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠BDE+∠ABD=90°，∵∠AMD=∠ABD，∴∠ADM=∠BDE，∵DH=AC，∴DH=OD，∴∠DOH=∠OHD=80°，∴∠ODH=20°∵∠AOB=60°，∴∠ADM+∠BDE=40°，∴∠BDE=∠ADM=20°，②当点O在DE的右侧时，如图3，作直径DN，连接BN，由①得：∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，∴∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°，综上所述，∠BDE的度数为20°或40°．18．（2018•温州）如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在BD上．（1）求证：AE=AB．（2）若∠CAB=90°，cos∠ADB=，BE=2，求BC的长．【分析】（1）由折叠得出∠AED=∠ACD、AE=AC，结合∠ABD=∠AED知∠ABD=∠ACD，从而得出AB=AC，据此得证；（2）作AH⊥BE，由AB=AE且BE=2知BH=EH=1，根据∠ABE=∠AEB=∠ADB知cos∠ABE=cos∠ADB==，据此得AC=AB=3，利用勾股定理可得答案．【解答】解：（1）由折叠的性质可知，△ADE≌△ADC，∴∠AED=∠ACD，AE=AC，∵∠ABD=∠AED，∴∠ABD=∠ACD，∴AB=AC，∴AE=AB；（2）如图，过A作AH⊥BE于点H，∵AB=AE，BE=2，∴BH=EH=1，∵∠ABE=∠AEB=∠ADB，cos∠ADB=，∴cos∠ABE=cos∠ADB=，∴=．∴AC=AB=3，∵∠BAC=90°，AC=AB，∴BC=3．19．（2018•天门）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的长．【分析】（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再根据斜边上的中线性质得MC=MG=ME，所以∠G=∠1，接着证明∠1+∠2=90°，从而得到∠OCM=90°，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断CM为⊙O的切线；（2）先证明∠G=∠A，再证明∠EMC=∠4，则可判定△EFC∽△ECM，利用相似比先计算出CE，再计算出EF，然后计算ME﹣EF即可．【解答】解：（1）CM与⊙O相切．理由如下：连接OC，如图，∵GD⊥AO于点D，∴∠G+∠GB D=90°，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵M点为GE的中点，∴MC=MG=ME，∴∠G=∠1，∵OB=OC，∴∠B=∠2，∴∠1+∠2=90°，∴∠OCM=90°，∴OC⊥CM，∴CM为⊙O的切线；（2）∵∠1+∠3+∠4=90°，∠5+∠3+∠4=90°，∴∠1=∠5，而∠1=∠G，∠5=∠A，∴∠G=∠A，∵∠4=2∠A，∴∠4=2∠G，而∠EMC=∠G+∠1=2∠G，∴∠EMC=∠4，而∠FEC=∠CEM，∴△EFC∽△ECM，∴==，即==，∴CE=4，EF=，∴MF=ME﹣EF=6﹣=．20．（2018•泰州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=3，DF=3，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出∠DEB=∠EDO=90°，进而得出答案；（2）利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案．【解答】解：（1）DE与⊙O相切，理由：连接DO，∵DO=BO，∴∠ODB=∠OBD，∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，∴∠EBD=∠DBO，∴∠EBD=∠BDO，∴DO∥BE，∵DE⊥BC，∴∠DEB=∠EDO=90°，∴DE与⊙O相切；（2）∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BE，DF⊥AB，∴DE=DF=3，∵BE=3，∴BD==6，∵sin∠DBF==，∴∠DBA=30°，∴∠DOF=60°，∴sin60°===，∴DO=2，则FO=，故图中阴影部分的面积为：﹣××3=2π﹣．。
2019中考数学试题分类汇编 考点29 与园有关的位置关系(含解析)
2019中考数学试题分类汇编：考点29 与园有关的位置关系一．选择题（共9小题）1．（2019•宜宾）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（）A． B．C．34 D．10【分析】设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN，则MN、PM的长度是定值，利用三角形的三边关系可得出NP的最小值，再利用PF2+PG2=2PN2+2FN2即可求出结论．【解答】解：设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．∵DE=4，四边形DEFG为矩形，∴GF=DE，MN=EF，∴MP=FN=DE=2，∴NP=MN﹣MP=EF﹣MP=1，∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．故选：D．2．（2019•泰安）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）A．3 B．4 C．6 D．8【分析】由Rt△APB中AB=2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P 位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．【解答】解：∵PA⊥PB，∴∠APB=90°，∵AO=BO，∴AB=2PO，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ=3、MQ=4，∴OM=5，又∵MP′=2，∴OP′=3，∴AB=2OP′=6，故选：C．3．（2019•滨州）已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=25°，则劣弧的长为（）A．B．C．D．【分析】根据圆周角定理和弧长公式解答即可．【解答】解：如图：连接AO，CO，∵∠ABC=25°，∴∠AOC=50°，∴劣弧的长=，故选：C．4．（2019•自贡）如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°，连接OB、OC，则边BC的长为（）A．B．C．D．【分析】延长BO交圆于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°；又BD=2R，根据锐角三角函数的定义得BC=R．【解答】解：延长BO交⊙O于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°，∴∠CBD=30°，∵BD=2R，∴DC=R，∴BC=R，故选：D．5．（2019•湘西州）已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5，则直线和圆相切．【解答】解：∵圆心到直线的距离5cm=5cm，∴直线和圆相切．故选：B．6．（2019•徐州）⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=3，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（）A．内含 B．内切 C．相交 D．外切【分析】根据两圆圆心距与半径之间的数量关系判断⊙O1与⊙O2的位置关系．【解答】解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=3，则5﹣2=3，∴⊙O1和⊙O2内切．故选：B．7．（2019•台湾）如图，两圆外切于P点，且通过P点的公切线为L，过P点作两直线，两直线与两圆的交点为A、B、C、D，其位置如图所示，若AP=10，CP=9，则下列角度关系何者正确？（）A．∠PBD＞∠PAC B．∠PBD＜∠PAC C．∠PBD＞∠PDB D．∠PBD＜∠PDB【分析】根据大边对大角，平行线的判定和性质即可判断；【解答】解：如图，∵直线l是公切线∴∠1=∠B，∠2=∠A，∵∠1=∠2，∴∠A=∠B，∴AC∥BD，∴∠C=∠D，∵PA=10，PC=9，∴PA＞PC，∴∠C＞∠A，∴∠D＞∠B．故选：D．8．（2019•内江）已知⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2=4cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）A．外高 B．外切 C．相交 D．内切【分析】由⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．【解答】解：∵⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，又∵2+3=5，3﹣2=1，1＜4＜5，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交．故选：C．9．（2019•上海）如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（）A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7【分析】作半径AD，根据直角三角形30度角的性质得：OA=4，再确认⊙B与⊙A相切时，OB的长，可得结论．【解答】解：设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD，∴AD⊥OP，∵∠O=30°，AD=2，∴OA=4，当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图1，∵BC=3，∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5；当⊙A与⊙B相外切时，设切点为E，如图2，∴OB=OA+AB=4+2+3=9，∴半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是：5＜OB＜9，故选：A．二．填空题（共7小题）10．（2019•临沂）如图．在△ABC中，∠A=60°，BC=5cm．能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是cm．【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据圆的相关知识即可求得△ABC外接圆的直径，本题得以解决．【解答】解：设圆的圆心为点O，能够将△ABC完全覆盖的最小圆是△ABC的外接圆，∵在△ABC中，∠A=60°，BC=5cm，∴∠BOC=120°，作OD⊥BC于点D，则∠ODB=90°，∠BOD=60°，∴BD=，∠OBD=30°，∴OB=，得OB=，∴2OB=，即△ABC外接圆的直径是cm，故答案为：．11．（2019•内江）已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=4+10b，则△ABC的外接圆半径= ．【分析】根据题目中的式子可以求得a、b、c的值，从而可以求得△ABC的外接圆半径的长．【解答】解：∵a+b2+|c﹣6|+28=4+10b，∴（a﹣1﹣4+4）+（b2﹣10b+25）+|c﹣6|=0，∴（﹣2）2+（b﹣5）2+|c﹣6|=0，∴，b﹣5=0，c﹣6=0，解得，a=5，b=5，c=6，∴AC=BC=5，AB=6，作CD⊥AB于点D，则AD=3，CD=4，设△ABC的外接圆的半径为r，则OC=r，OD=4﹣r，OA=r，∴32+（4﹣r）2=r2，解得，r=，故答案为：．12．（2019•黄冈）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB=60°，弦AD平分∠CAB，若AD=6，则AC=2．【分析】连接BD．在Rt△ADB中，求出AB，再在Rt△ACB中求出AC即可解决问题；【解答】解：连接BD．∵AB是直径，∴∠C=∠D=90°，∵∠CAB=60°，AD平分∠CAB，∴∠DAB=30°，∴AB=AD÷cos30°=4，∴AC=AB•cos60°=2，故答案为2．13．（2019•新疆）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为2，则图中阴影部的面积是．【分析】根据等边三角形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数，再根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，根据圆周角定理可得∠AOB=2∠C=120°，∴阴影部分的面积是=π，故答案为：14．（2019•扬州）如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，则AB= 2．【分析】根据圆内接四边形对角互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．【解答】解：连接AD、AE、OA、OB，∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，∴∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=2，∴AB=2，故答案为：2．15．（2019•泰安）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BC=4，则⊙O的直径为4．【分析】连接OB，OC，依据△BOC是等腰直角三角形，即可得到BO=CO=BC•cos45°=2，进而得出⊙O的直径为4．【解答】解：如图，连接OB，OC，∵∠A=45°，∴∠BOC=90°，∴△BOC是等腰直角三角形，又∵BC=4，∴BO=CO=BC•cos45°=2，∴⊙O的直径为4，故答案为：4．16．（2019•大庆）已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为m＜．【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．【解答】解：把点（12，﹣5）代入直线y=kx得，﹣5=12k，∴k=﹣；由y=﹣x平移平移m（m＞0）个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y=﹣x+m（m＞0），设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，（如下图所示）当x=0时，y=m；当y=0时，x=m，∴A（m，0），B（0，m），即OA=m，OB=m；在Rt△OAB中，AB=，过点O作OD⊥AB于D，∵S△ABO=OD•AB=OA•OB，∴OD•=×，∵m＞0，解得OD=，由直线与圆的位置关系可知＜6，解得m＜．故答案为：m＜．~三．解答题（共4小题）17．（2019•福建）如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB．（1）求证：BG∥CD；（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB=DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．【分析】（1）根据等边对等角得：∠PCB=∠PBC，由四点共圆的性质得：∠BAD+∠BCD=180°，从而得：∠BFD=∠PCB=∠PBC，根据平行线的判定得：BC∥DF，可得∠ABC=90°，AC是⊙O的直径，从而得：∠ADC=∠AGB=90°，根据同位角相等可得结论；（2）先证明四边形BCDH是平行四边形，得BC=DH，根据特殊的三角函数值得：∠ACB=60°，∠BAC=30°，所以DH=AC，分两种情况：①当点O在DE的左侧时，如图2，作辅助线，构建直角三角形，由同弧所对的圆周角相等和互余的性质得：∠AMD=∠ABD，则∠ADM=∠BDE，并由DH=OD，可得结论；②当点O在DE的右侧时，如图3，同理作辅助线，同理有∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，得结论．【解答】（1）证明：如图1，∵PC=PB，∴∠PCB=∠PBC，∵四边形ABCD内接于圆，∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠BCD+∠PCB=180°，∴∠BAD=∠PCB，~ ∵∠BAD=∠BFD，∴∠BFD=∠PCB=∠PBC，∴BC∥DF，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ABC=90°，∴AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∵BG⊥AD，∴∠AGB=90°，∴∠ADC=∠AGB，∴BG∥CD；（2）由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，∴四边形BCDH是平行四边形，∴BC=DH，在Rt△ABC中，∵AB=DH，∴tan∠ACB==，∴∠ACB=60°，∠BAC=30°，∴∠ADB=60°，BC=AC，∴DH=AC，①当点O在DE的左侧时，如图2，作直径DM，连接AM、OH，则∠DAM=90°，∴∠AMD+∠ADM=90°∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠BDE+∠ABD=90°，∵∠AMD=∠ABD，∴∠ADM=∠BDE，∵DH=AC，∴DH=OD，∴∠DOH=∠OHD=80°，∴∠ODH=20°∵∠AOB=60°，∴∠ADM+∠BDE=40°，∴∠BDE=∠ADM=20°，②当点O在DE的右侧时，如图3，作直径DN，连接BN，由①得：∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，∴∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°，综上所述，∠BDE的度数为20°或40°．18．（2019•温州）如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在BD上．（1）求证：AE=AB．（2）若∠CAB=90°，cos∠ADB=，BE=2，求BC的长．【分析】（1）由折叠得出∠AED=∠ACD、AE=AC，结合∠ABD=∠AED知∠ABD=∠ACD，从而得出AB=AC，据此得证；（2）作AH⊥BE，由AB=AE且BE=2知BH=EH=1，根据∠ABE=∠AEB=∠ADB知cos∠ABE=cos∠ADB==，据此得AC=AB=3，利用勾股定理可得答案．【解答】解：（1）由折叠的性质可知，△ADE≌△ADC，∴∠AED=∠ACD，AE=AC，∵∠ABD=∠AED，∴∠ABD=∠ACD，∴AB=AC，∴AE=AB；（2）如图，过A作AH⊥BE于点H，∵AB=AE，BE=2，∴BH=EH=1，∵∠ABE=∠AEB=∠ADB，cos∠ADB=，∴cos∠ABE=cos∠ADB=，∴=．∴AC=AB=3，∵∠BAC=90°，AC=AB，∴BC=3．19．（2019•天门）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的长．【分析】（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再根据斜边上的中线性质得MC=MG=ME，所以∠G=∠1，接着证明∠1+∠2=90°，从而得到∠OCM=90°，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断CM为⊙O的切线；（2）先证明∠G=∠A，再证明∠EMC=∠4，则可判定△EFC∽△ECM，利用相似比先计算出CE，再计算出EF，然后计算ME﹣EF即可．【解答】解：（1）CM与⊙O相切．理由如下：连接OC，如图，∵GD⊥AO于点D，∴∠G+∠GBD=90°，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵M点为GE的中点，∴MC=MG=ME，∴∠G=∠1，∵OB=OC，∴∠B=∠2，∴∠1+∠2=90°，∴∠OCM=90°，~∴OC ⊥CM ， ∴CM 为⊙O 的切线；（2）∵∠1+∠3+∠4=90°，∠5+∠3+∠4=90°， ∴∠1=∠5，而∠1=∠G ，∠5=∠A ， ∴∠G=∠A ， ∵∠4=2∠A ， ∴∠4=2∠G ，而∠EMC=∠G+∠1=2∠G ， ∴∠EMC=∠4， 而∠FEC=∠CEM ， ∴△EFC ∽△ECM ，∴==，即==，∴CE=4，EF=，∴MF=ME ﹣EF=6﹣=．20．（2019•泰州）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ，DE ⊥BC 于点E ． （1）试判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）过点D 作DF ⊥AB 于点F ，若BE=3，DF=3，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出∠DEB=∠EDO=90°，进而得出答案；~ （2）利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案．【解答】解：（1）DE与⊙O相切，理由：连接DO，∵DO=BO，∴∠ODB=∠OBD，∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，∴∠EBD=∠DBO，∴∠EBD=∠BDO，∴DO∥BE，∵DE⊥BC，∴∠DEB=∠EDO=90°，∴DE与⊙O相切；（2）∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BE，DF⊥AB，∴DE=DF=3，∵BE=3，∴BD==6，∵sin∠DBF==，∴∠DBA=30°，∴∠DOF=60°，∴sin60°===，∴DO=2，则FO=，故图中阴影部分的面积为：﹣××3=2π﹣．~。
(部编版)2020中考数学试题分类汇编考点29与园有关的位置关系含解析4
2018中考数学试题分类汇编：考点29 与园有关的位置关系一．选择题（共9小题）1．（2018•宜宾）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（）A． B．C．34 D．10【分析】设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN，则MN、PM的长度是定值，利用三角形的三边关系可得出NP的最小值，再利用PF2+PG2=2PN2+2FN2即可求出结论．【解答】解：设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．∵DE=4，四边形DEFG为矩形，∴GF=DE，MN=EF，∴MP=FN=DE=2，∴NP=MN﹣MP=EF﹣MP=1，∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．故选：D．2．（2018•泰安）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）A．3 B．4 C．6 D．8【分析】由Rt△APB中AB=2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．【解答】解：∵PA⊥PB，∴∠APB=90°，∵AO=BO，∴AB=2PO，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ=3、MQ=4，∴OM=5，又∵MP′=2，∴OP′=3，∴AB=2OP′=6，故选：C．3．（2018•滨州）已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=25°，则劣弧的长为（）A．B．C．D．【分析】根据圆周角定理和弧长公式解答即可．【解答】解：如图：连接AO，CO，∵∠ABC=25°，∴∠AOC=50°，∴劣弧的长=，故选：C．4．（2018•自贡）如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°，连接OB、OC，则边BC的长为（）A．B．C．D．【分析】延长BO交圆于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°；又BD=2R，根据锐角三角函数的定义得BC=R．【解答】解：延长BO交⊙O于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°，∴∠CBD=30°，∵BD=2R，∴DC=R，∴BC=R，故选：D．5．（2018•湘西州）已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5，则直线和圆相切．【解答】解：∵圆心到直线的距离5cm=5cm，∴直线和圆相切．故选：B．6．（2018•徐州）⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=3，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（）A．内含 B．内切 C．相交 D．外切【分析】根据两圆圆心距与半径之间的数量关系判断⊙O1与⊙O2的位置关系．【解答】解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=3，则5﹣2=3，∴⊙O1和⊙O2内切．故选：B．7．（2018•台湾）如图，两圆外切于P点，且通过P点的公切线为L，过P点作两直线，两直线与两圆的交点为A、B、C、D，其位置如图所示，若AP=10，CP=9，则下列角度关系何者正确？（）A．∠PBD＞∠PAC B．∠PBD＜∠PAC C．∠PBD＞∠PDB D．∠PBD＜∠PDB【分析】根据大边对大角，平行线的判定和性质即可判断；【解答】解：如图，∵直线l是公切线∴∠1=∠B，∠2=∠A，∵∠1=∠2，∴∠A=∠B，∴AC∥BD，∴∠C=∠D，∵PA=10，PC=9，∴PA＞PC，∴∠C＞∠A，∴∠D＞∠B．故选：D．8．（2018•内江）已知⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2=4cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）A．外高 B．外切 C．相交 D．内切【分析】由⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．【解答】解：∵⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，又∵2+3=5，3﹣2=1，1＜4＜5，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交．故选：C．9．（2018•上海）如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（）A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7【分析】作半径AD，根据直角三角形30度角的性质得：OA=4，再确认⊙B与⊙A相切时，OB的长，可得结论．【解答】解：设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD，∴AD⊥OP，∵∠O=30°，AD=2，∴OA=4，当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图1，∵BC=3，∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5；当⊙A与⊙B相外切时，设切点为E，如图2，∴OB=OA+AB=4+2+3=9，∴半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是：5＜OB＜9，故选：A．二．填空题（共7小题）10．（2018•临沂）如图．在△ABC中，∠A=60°，BC=5cm．能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是cm．【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据圆的相关知识即可求得△ABC外接圆的直径，本题得以解决．【解答】解：设圆的圆心为点O，能够将△ABC完全覆盖的最小圆是△ABC的外接圆，∵在△ABC中，∠A=60°，BC=5cm，∴∠BOC=120°，作OD⊥BC于点D，则∠ODB=90°，∠BOD=60°，∴BD=，∠OBD=30°，∴OB=，得OB=，∴2OB=，即△ABC外接圆的直径是cm，故答案为：．11．（2018•内江）已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=4+10b，则△ABC的外接圆半径= ．【分析】根据题目中的式子可以求得a、b、c的值，从而可以求得△ABC的外接圆半径的长．【解答】解：∵a+b2+|c﹣6|+28=4+10b，∴（a﹣1﹣4+4）+（b2﹣10b+25）+|c﹣6|=0，∴（﹣2）2+（b﹣5）2+|c﹣6|=0，∴，b﹣5=0，c﹣6=0，解得，a=5，b=5，c=6，∴AC=BC=5，AB=6，作CD⊥AB于点D，则AD=3，CD=4，设△ABC的外接圆的半径为r，则OC=r，OD=4﹣r，OA=r，∴32+（4﹣r）2=r2，解得，r=，故答案为：．12．（2018•黄冈）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB=60°，弦AD平分∠CAB，若AD=6，则AC= 2．【分析】连接BD．在Rt△ADB中，求出AB，再在Rt△ACB中求出AC即可解决问题；【解答】解：连接BD．∵AB是直径，∴∠C=∠D=90°，∵∠CAB=60°，AD平分∠CAB，∴∠DAB=30°，∴AB=AD÷cos30°=4，∴AC=AB•cos60°=2，故答案为2．13．（2018•新疆）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为2，则图中阴影部的面积是．【分析】根据等边三角形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数，再根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，根据圆周角定理可得∠AOB=2∠C=120°，∴阴影部分的面积是=π，故答案为：14．（2018•扬州）如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，则AB= 2．【分析】根据圆内接四边形对角互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．【解答】解：连接AD、AE、OA、OB，∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，∴∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=2，∴AB=2，故答案为：2．15．（2018•泰安）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BC=4，则⊙O的直径为4．【分析】连接OB，OC，依据△BOC是等腰直角三角形，即可得到BO=CO=BC•cos45°=2，进而得出⊙O的直径为4．【解答】解：如图，连接OB，OC，∵∠A=45°，∴∠BOC=90°，∴△BOC是等腰直角三角形，又∵BC=4，∴BO=CO=BC•cos45°=2，∴⊙O的直径为4，故答案为：4．16．（2018•大庆）已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为m＜．【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．【解答】解：把点（12，﹣5）代入直线y=kx得，﹣5=12k，∴k=﹣；由y=﹣x平移平移m（m＞0）个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y=﹣x+m（m＞0），设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，（如下图所示）当x=0时，y=m；当y=0时，x=m，∴A（m，0），B（0，m），即OA=m，OB=m；在Rt△OAB中，AB=，过点O作OD⊥AB于D，∵S△ABO=OD•AB=OA•OB，∴OD•=×，∵m＞0，解得OD=，由直线与圆的位置关系可知＜6，解得m＜．故答案为：m＜．三．解答题（共4小题）17．（2018•福建）如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB．（1）求证：BG∥CD；（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB=DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．【分析】（1）根据等边对等角得：∠PCB=∠PBC，由四点共圆的性质得：∠BAD+∠BCD=180°，从而得：∠BFD=∠PCB=∠PBC，根据平行线的判定得：BC∥DF，可得∠ABC=90°，AC是⊙O的直径，从而得：∠ADC=∠AGB=90°，根据同位角相等可得结论；（2）先证明四边形BCDH是平行四边形，得BC=DH，根据特殊的三角函数值得：∠ACB=60°，∠BAC=30°，所以DH=AC，分两种情况：①当点O在DE的左侧时，如图2，作辅助线，构建直角三角形，由同弧所对的圆周角相等和互余的性质得：∠AMD=∠ABD，则∠ADM=∠BDE，并由DH=OD，可得结论；②当点O在DE的右侧时，如图3，同理作辅助线，同理有∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，得结论．【解答】（1）证明：如图1，∵PC=PB，∴∠PCB=∠PBC，∵四边形ABCD内接于圆，∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠BCD+∠PCB=180°，∴∠BAD=∠PCB，∵∠BAD=∠BFD，∴∠BFD=∠PCB=∠PBC，∴BC∥DF，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ABC=90°，∴AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∵BG⊥AD，∴∠AGB=90°，∴∠ADC=∠AGB，∴BG∥CD；（2）由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，∴四边形BCDH是平行四边形，∴BC=DH，在Rt△ABC中，∵AB=DH，∴tan∠ACB==，∴∠ACB=60°，∠BAC=30°，∴∠ADB=60°，BC=AC，∴DH=AC，①当点O在DE的左侧时，如图2，作直径DM，连接AM、OH，则∠DAM=90°，∴∠AMD+∠ADM=90°∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠BDE+∠ABD=90°，∵∠AMD=∠ABD，∴∠ADM=∠BDE，∵DH=AC，∴DH=OD，∴∠DOH=∠OHD=80°，∴∠ODH=20°∵∠AOB=60°，∴∠ADM+∠BDE=40°，∴∠BDE=∠ADM=20°，②当点O在DE的右侧时，如图3，作直径DN，连接BN，由①得：∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，∴∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°，综上所述，∠BDE的度数为20°或40°．18．（2018•温州）如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C 的对应点E落在BD上．（1）求证：AE=AB．（2）若∠CAB=90°，cos∠ADB=，BE=2，求BC的长．【分析】（1）由折叠得出∠AED=∠ACD、AE=AC，结合∠ABD=∠AED知∠ABD=∠ACD，从而得出AB=AC，据此得证；（2）作AH⊥BE，由AB=AE且BE=2知BH=EH=1，根据∠ABE=∠AEB=∠ADB知cos∠ABE=cos∠ADB==，据此得AC=AB=3，利用勾股定理可得答案．【解答】解：（1）由折叠的性质可知，△ADE≌△ADC，∴∠AED=∠ACD，AE=AC，∵∠ABD=∠AED，∴∠ABD=∠ACD，∴AB=AC，∴AE=AB；（2）如图，过A作AH⊥BE于点H，∵AB=AE，BE=2，∴BH=EH=1，∵∠ABE=∠AEB=∠ADB，cos∠ADB=，∴cos∠ABE=cos∠ADB=，∴=．∴AC=AB=3，∵∠BAC=90°，AC=AB，∴BC=3．19．（2018•天门）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的长．【分析】（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再根据斜边上的中线性质得MC=MG=ME，所以∠G=∠1，接着证明∠1+∠2=90°，从而得到∠OCM=90°，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断CM为⊙O的切线；（2）先证明∠G=∠A，再证明∠EMC=∠4，则可判定△EFC∽△ECM，利用相似比先计算出CE，再计算出EF，然后计算ME﹣EF即可．【解答】解：（1）CM与⊙O相切．理由如下：连接OC，如图，∵GD⊥AO于点D，∴∠G+∠GBD=90°，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵M点为GE的中点，∴MC=MG=ME，∴∠G=∠1，∵OB=OC，∴∠B=∠2，∴∠1+∠2=90°，∴∠OCM=90°，∴OC⊥CM，∴CM为⊙O的切线；（2）∵∠1+∠3+∠4=90°，∠5+∠3+∠4=90°，∴∠1=∠5，而∠1=∠G，∠5=∠A，∴∠G=∠A，∵∠4=2∠A，∴∠4=2∠G，而∠EMC=∠G+∠1=2∠G，∴∠EMC=∠4，而∠FEC=∠CEM，∴△EFC∽△ECM，∴==，即==，∴CE=4，EF=，∴MF=ME﹣EF=6﹣=．20．（2018•泰州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=3，DF=3，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出∠DEB=∠EDO=90°，进而得出答案；（2）利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案．【解答】解：（1）DE与⊙O相切，理由：连接DO，∵DO=BO，∴∠ODB=∠OBD，∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，∴∠EBD=∠DBO，∴∠EBD=∠BDO，∴DO∥BE，∵DE⊥BC，∴∠DEB=∠EDO=90°，∴DE与⊙O相切；（2）∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BE，DF⊥AB，∴DE=DF=3，∵BE=3，∴BD==6，∵sin∠DBF==，∴∠DBA=30°，∴∠DOF=60°，∴sin60°===，∴DO=2，则FO=，故图中阴影部分的面积为：﹣××3=2π﹣．。
2018年中考数学试题分类汇编知识点28全等三角形
知识点28 全等三角形一、选择题1. （2018贵州安顺，T5，F3）如图，点D,E分别在线段AB,AC上,CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定．．．．．△ABE≌△ACD( )A.∠B=∠CB. AD = AEC. BD = CED. BE=CD【答案】D【解析】选项A，当AB=AC，∠A=∠A，∠B=∠C时，△ABE≌△ACD（ASA），故此选项不符合题意；选项B，当AB=AC，∠A=∠A，AE=AD时，△ABE≌△ACD（SAS），故此选项不符合题意；选项C，由AB=AC，BD=CE，得AB-AD=AD，AC-CE=AE，即AD=AE, △ABE≌△ACD（SAS），故此选项不符合题意；选项D，当AB=AC，∠A=∠A，BE=CD时，不能判定△ABE与△ACD全等，故此选项符合题意. 故答案选D.【知识点】全等三角形的判定定理.2. （2018四川省成都市，6，3）如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠DBC C．AC＝DB D．AB＝DC【答案】C【解析】解：因为∠ABC＝∠DCB，加上题中的隐含条件BC＝BC，所以可以添加一组角或是添加夹角的另一组边，可以证明两个三角形全等，故添加A、B、D均可以使△ABC≌△DCB．故选择C．【知识点】三角形全等的判定；二、填空题1.（2018浙江金华丽水，12，4分）如图，△ABC 的两条高AD ，BE 相交于点F ，请添加一个条件，使得△ADC ≌△BEC (不添加其他字母及辅助线)，你添加的条件是 ．【答案】答案不唯一，如CA =CB ，CE =CD 等．【解析】已知两角对应相等，可考虑全等三角形的判定ASA 或AAS ．故答案不唯一，如CA =CB ，CE =CD 等．【知识点】全等三角形的判定2. （2018浙江衢州，第13题，4分）如图，在△ABC 和△DEF 中，点B ，F ，C ，E 在同一直线上，BF ＝CE ，AB ∥DE ，请添加一个条件，使△ABC ≌△DEF ，这个添加的条件可以是________________（只需写一个，不添加辅助线）第13题图【答案】AC//DF,∠A=∠D 等【解析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是了解全等三角形的判断方法. 因为已知AB//DE ，BF=CE,这样可以看作时已知一角和一边对应相等，利用判定方法进行判断写出即可．【知识点】全等三角形的判定1. （2018湖北荆州，T12，F3）已知：AOB ∠，求作：AOB ∠的平分线．作法：①以点O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点M ，N ；②分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在AOB ∠内部交于点C ；③画射线OC ．射线OC 即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是 ．【答案】SSS【解析】由作图可得OM=ON ，MC=NC ，而OC=OC ，∴根据“SSS ”可判定∆MOC ≌∆NOC.【知识点】作图—基本作图；三角形全等的判定.三、解答题1. （2018四川省南充市，第18题，6分）如图，已知AB AD =，AC AE =，BAE DAC ∠=∠. 求证：C E ∠=∠.【思路分析】根据等式的基本性质，求得∠BAC =∠DAE ，再利用SAS 证明三角形全等，最后利用全等三角形的性质即可得证.【解题过程】证明：∵∠BAE =∠DAC ，∴∠BAE －∠CAE =∠DAC －∠CAE .∴∠BAC =∠DAE . --------------------------------------- 2分在△ABC 与△ADE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△ADE (SAS). ---------------------- 5分 ∴∠C =∠E . ------------------------------------------------ 6分【知识点】全等三角形的判定2. （2018湖南衡阳，20，6分）如图，已知线段AC ，BD 相交于点E ，AE=DE ，BE=CE.（1）求证：△ABE ≌△DCE ；（2）当AB =5时，求CD 的长.【思路分析】（1）根据已知条件，直接利用SAS 证明△ABE ≌△DCE 即可；（2）根据三角形全等的性质，可知CD=AB ，据此解答即可.【解题过程】解：（1）证明：在△ABE 和△DCE 中，AE=DE AEB=DEC BE=CE ⎧⎪⎨⎪⎩∠∠，∴△ABE ≌△DCE .（2）∵△ABE ≌△DCE ，∴CD =AB .∵AB =5，∴CD =5.【知识点】全等三角形的判定、全等三角形的判性质3. （2018江苏泰州，20，8分）（本题满分8分）如图，90A D ==∠∠°，AC DB =，AC 、DB 相交于点O .求证：OB OC =.【思路分析】根据“HL ”可证Rt△ABC ≌Rt△DCB ，得∠A CB =∠DBC ，从而得证OB OC =.【解题过程】在Rt△ABC 和Rt△DCB 中AC DB BC CB =⎧⎨=⎩∴Rt△ABC ≌Rt△DCB （HL ）∴∠A CB =∠DBC ，∴OB OC =.【知识点】三角形全等4. （2018四川省宜宾市，18，6分）如图，已知∠1=∠2，∠B=∠D ，求证：CB=CD.【思路分析】先根据三角形外角的性质得到∠BAC=∠DAC ，然后根据AAS 判定△ABC 与△ADC 全等，从而根据性质得到CB=CD. 【解题过程】证明：∵∠1=∠2，∠B=∠D ，∴∠DAC=∠BAC ，在△ACD 和△ABC 中，D DAC BAC AC AC B ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△ACD （AAS ），∴CB=CD ．【知识点】三角形全等的判定；三角形外角的性质1. (2018山东菏泽，17，6分)如图，AB ∥CD ，AB=CD ，CE=BF ．请写出DF 与AE 的数量关系，并证明你的结论.【思路分析】先由AB ∥CD ，得出∠B=∠C ；再由CE=BF ，得出CF=BE ；由“SAS”判定△ABE ≌△DCF即可得证．【解析】解：DF=AE ．证明：∵AB ∥CD ，∴∠B=∠C ．∵CE=BF ，∴CE －EF=BF －EF ，即CF=BE ．在△ABE 和△DCF 中，AB CD B C BE CF ⎧⎪⎨⎪⎩，∠∠，，=== ∴△ABE ≌△DCF ．∴DF=AE ．【知识点】平行线的性质；全等三角形的判定与性质；2. （2018广东广州，18，9分）如图，AB 与CD 相交于点E ，AE ＝CE ，DE ＝BE ．求证：∠A ＝∠C ．【思路分析】先根据题中条件AE ＝CE ，DE ＝BE ，∠AED ＝∠CEB 证明△AED ≌△CEB ，从而∠A ＝∠C ．【解析】在△AED 和△CEB 中，=AE CE AED CEB DE BE =⎧⎪⎨⎪=⎩∠∠，∴△AED ≌△CEB （SAS ），∴∠A ＝∠C .【知识点】全等三角形的判定和性质3. （2018陕西，18，5分）如图，AB ∥CD ，E 、F 分别为AB 、CD 上的点，且EC ∥BF ，连接AD ，分别与EC 、BF 相交于点G 、H ．若AB =CD ，求证：AG =DH ．【思路分析】要证AG=DH，需转化为证明AH=DG较简单，即证明△ABH≌△DCG，结合两组平行线利用AAS即可完成证明过程．【解题过程】证明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠D．∵EC∥BF，∴∠CGD=∠AHB．∵AB=CD,∴△ABH≌△DCG∴AH=DG．∴AH－GH=DG－GH．即AG=DH．【知识点】全等三角形的判定和性质，平行线的性质。
2018年中考数学试题分类汇编知识点34与圆有关的位置关系
知识点34 与圆有关的位置关系一、选择题1. （2018四川泸州，10题，3分）在平面直角坐标系内，以原点O 为原心，1为半径作圆，点P 在直线y =+上运动，过点P 作该圆的一条切线，切点为A ，则PA 的最小值为（ ）【答案】D【解析】由题可知，B （-2,0），C （0，32），P 为直线上一点，过P 作圆O 的切线PA ，连接AO ，则在Rt △PAO 中，AO=1，由勾股定理可得22AO PO PA -=，要想使PA 最小，要求PO 最小，所以过点O 作OP ⊥BC 于点P ，此时PO=3，PA=2【知识点】一次函数，圆的切线，勾股定理2. （2018四川内江，7，3）已知⊙O 1的半径为3cm ，⊙O 2的半径为2cm ，圆心距O 1O 2＝4cm ，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切 【答案】C【解析】解：∵3－2＜O 1O 2＜3＋2，∴⊙O 1与⊙O 2的位置关系是相交．故选择C ． 【知识点】圆与圆的位置关系3. （2018江苏无锡，8，3分） 如图，矩形ABCD 中，G 是BC 的中点，过A 、D 、G 三点的O 与边AB 、CD 分别交于点E 、F.给出下列说法：(1)AC 与BD 的交点是O 的圆心；(2)AF 与DE 的交点是O 的圆心；(3)BC 与O相切.其中正确说法的个数是（ ） A.0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【思路分析】利用圆周角定理的推理确定O的圆心，进而判定(1)、(2)的正确性；连接OG，通过证明OG⊥BC 说明BC与O相切.【解题过程】∵矩形ABCD中，∴∠A=∠D=90°，∴AF与DE都是O的直径，AC与BD不是O的直径，∴AF与DE的交点是O的圆心，AC与BD的交点不是O的圆心，∴(1)错误、(2)正确.连接AF、OG，则点O为AF的中点，∵G是BC的中点，∴OG是梯形FABC的中位线，∴OG∥AB，∵AB⊥BC，∴OG⊥BC，∴BC与O相切.∴(3)正确.综上所述，正确结论有两个.【知识点】矩形的性质、圆周角定理的推论、梯形中位线的判定与性质、圆的切线的判定4.（2018·重庆B卷，10，4）如图，△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD＝2，则线段CD的长是（）A．2 B．32D【答案】B．【解析】如下图，连接OD，则由AD切⊙O于点D，得OD⊥AC．∵在Rt△AOD中，∠A＝30°，AD＝，tan A＝ODAD，∴OD＝AD•，tanA＝tan30°＝2．∴AO＝2OD＝4，AB＝OA＋OB＝6．∵∠AOD＝90°－∠A＝60°，∴∠ABD＝12∠AOD＝30°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD＝60°．∴∠C＝90°＝∠ADO．∴OD∥BC．∴AD AODC OB=42=．∴DC．【知识点】圆圆的切线相似三角形5. （2018山东烟台，10，3分）如图四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD 的延长线上，则∠CDE的度数是（）A．56° B．62° C．68° D．78°【答案】Ｃ【解析】∵点I是△ABC的内心，∴AI、CI是△ABC的角平分线，∴∠AIC=90°+12∠B=124°，∴∠B=68°．∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CDE=∠B＝68°，故选C．【知识点】三角形内心；圆内接四边形的性质；6.（2018四川省德阳市，题号9，分值：3）已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（）A.2B.1C.D.第9题答图【答案】B.【解析】如图，设△ABC的边长为a，由正三角形的面积公式得S△ABC=，∴==，解得a=2或-2（舍），∴BC=2.∵∠BAC=60°，BO=CO，∴∠BOC=120°，则∠BCO=30°.∵OH⊥BC，∴BH=BC=1，在Rt△BOH中，BO=BH÷cos30°=，所以圆的半径r=.则OF=.如图，正六边形内接于圆，且半径为，可知∠EOF=60°，在△EOF中，OE=OF，OD⊥EF，∴∠EOD=30°.在Rt△DOE中，OD=OF·cos30°=×=1.所以边心距为1.【知识点】正多边形和圆1. （2018湖北鄂州，8，3分）如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点为A 、B ，AC 是⊙O的直径，OP 与AB 相交于点D ，连接BC ．下列结论：①∠APB ＝2∠BAC ；②OP ∥BC ；③若tanC ＝3，则OP ＝5BC ；④AC 2＝4OD ·OP ．其中正确的个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 【答案】A ．【思路分析】利用切线长定理证明Rt △APO ≌Rt △BPO ，再利用同角的余角相等，可证得∠AOP ＝∠C ，得到OP ∥BC ，∠APB ＝2∠BAC ，故①②正确；利用勾股定理和∠AOP ＝∠C ，可证得OP ＝11522AC BC ====，故③正确；利用两角对应相等的两个三角形相似的判定定理证明△ABC ∽△PAO ，再通过等量代换可证得AC 2＝4OD ·OP ，故④正确． 【解析】解：A 选项，设OP 与⊙O 交于点E ，∵ PA 、PB 是⊙O 的切线，∴PA ＝PB ，∠PAO ＝∠PBO ＝90°，则在Rt △APO和Rt △BPO 中，∵OA OBAP BP==⎧⎨⎩，∴Rt △APO ≌Rt △BPO （HL ），∴∠APB ＝2∠APO ＝2∠BPO ，∠AOE ＝∠BOE ，∴∠AOP ＝∠C ，∴OP ∥BC ，故②正确；∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，∴∠BAC ＋∠C ＝90°，∵∠PAO ＝90°，∴∠APO ＋∠AOP ＝90°，即∠C ＋∠APO ＝90°，∴∠APO ＝∠BAC ， ∴∠APB ＝2∠APO ＝2∠BAC ，故①正确；∵tanC ＝3，∴tan ∠AOP ＝3，则在Rt △ABC 中，3AB BC=，则AB ＝3BC ，故AC ＝=，在Rt △BPO 中，3AP AO=，则AP ＝3OA ，故OP ＝11522AC BC ====，故③正确；∵OA ＝OC ，OP ∥BC ，∴OD 是△ABC 的中位线，∴OD ＝12BC ，BC ＝2OD ，在△ABC 和△P AO 中，∵∠OAP ＝∠ABC ＝90°，∠AOP ＝∠C ，∴△ABC∽△PAO，∴AC BCOP OA=，∴212AC ODOPAC=，∴4AC ODOP AC=，∴AC2＝4OD·OP，故④正确．故选A．【知识点】切线长定理；相似三角形的性质和判定；中位线定理；勾股定理；平形线的判定定理；全等三角形的判定定理2.（2018·重庆A卷，9，4）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C．若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为（）A．4 B．．3 D．2.5【答案】A．【解析】如下图，连接OD．∵PC切⊙O于点D，∴OD⊥PC．∵⊙O的半径为4，∴PO＝PA＋4，PB＝PA＋8．∵OD⊥PC，BC⊥PD，∴OD∥BC．∴△POD∽△PBC．∴OD POBC PB=，即4468PAPA+=+，解得PA＝4．故选A．【知识点】圆；直线与圆的位置关系；切线的性质；相似三角形的判定与3. （2018河北省，15，2）如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（）A．4.5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】设△ABC的AB边上的高为h，△MNI的MN边上的高为r，周长为a，则△ABC的内切圆半径为r．∴△ABC的面积＝AB·h＝（AB＋BC＋AC）·r．∴4h＝9r．∴．∵△MNI∽△ABC，∴【知识点】三角形的内心，三角形相似4. （2018湖北宜昌，12，3分）如图，直线AB是O的切线，C为切点，//OD AB交O于点D，点E在O 上，连接OC EC ED,,，则CED∠的度数为( )(第12题图)A ．30°B ．35° C.40° D ．45° 【答案】D【解析】∵直线AB 是O 的切线，C 为切点，∴∠OCB =90°，∵//OD AB ，∴∠COD =90°，∴∠CED =45°，故选择D.【知识点】圆的切线，圆心角，圆周角，平行线的性质.5. （2018广东省深圳市，10，3分）如图，一把直尺，80°的直角三角板和光盘如图摆放，A 为60︒角与直尺交点，3AB =,则光盘的直径是( )A ．3B ． ． 6 D ．【答案】D ．【思路分析】由切线长定理定理可得，∠CAO ＝∠OAB ，从而求出∠BAO 的度数，再在Rt △OAB 中，用60°角的正切即可求出半径的长．【解析】解：如图，设圆心为点O ，设另一个切点为点C ，连接OA 、OB 、OC ，则由切线长定理可得，∠CAO ＝∠OAB ＝12（180°－60°）＝60°，则在Rt △OAB 中，tan ∠BAO ＝OB AB，即t a n603OB =︒=解得OB ＝故直径为．故选D ．【知识点】切线的性质；切线长定理；锐角三角函数6.（2018湖北荆门，9，3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，()4,0A ，()0,3B ，()4,3C ，I 是ABC ∆的内心，将ABC ∆绕原点逆时针旋转90后，I 的对应点I '的坐标为（ ）A ．()2,3-B ．()3,2- C.()3,2- D ．()2,3- 【答案】A.【解析】∵I 是△ABC 的内心，()4,0A ，()0,3B ，()4,3C ， ∴I 的坐标为（3，2），∴将ABC ∆绕原点逆时针旋转90后，I 的对应点I ′的坐标为（-2，3）. 故选A.【知识点】三角形的内心，作图-旋转变换7. （2018山东省泰安市，9，3）如图，BM 与O 相切于点B ，若140MBA ∠=，则ACB ∠的度数为（ ）A ．40B ．50C ．60D ．70【答案】A【解析】（1）根据圆的切线性质可知：∠OBM=90°从而求得∠ABO=50°；（2）连接OA 、OB ，可求得∠AOB 的度数；（3）根据圆周角性质定理可得结论. 解：连接OA 、OB ， ∵BM 与O 相切 ∴∠OBM=90°∵140MBA ∠= ∴∠ABO=50° ∵OA=OB ∴∠ABO=∠BAO =50° ∴∠AO B=80° ∴ACB ∠=40【知识点】圆的切线的性质，圆周角性质定理，等腰三角形性质 二、填空题1. （2018四川内江，24，6） 已知△ABC 的三边a ，b ，c 满足a ＋2b ＋｜c －6｜＋28＝10b ，则△ABC的外接圆半径＝ ． 【答案】258【思路分析】将已知a ＋2b ＋｜c －6｜＋28＝10b 进行分组，配成完全平方式，利用平方数，绝对值的非负性求出a ，b ，c 的值，从而确定三角形的形状，然后求出外接圆半径．【解题过程】解：原式整理得：2b －10b ＋25＋a －1－4＋｜c －6｜＝0，()25b -＋2－＋4＋｜c －6｜＝0，()25b -＋)22＋｜c －6｜＝0，∵()25b -≥0，)22≥0，｜c －6｜≥0，∴b ＝5，c ＝6，a ＝5，∴△ABC 为等腰三角形．如图所示，作CD ⊥AB ，设O 为外接圆的圆心，则OA ＝OC ＝R ，∵AC ＝BC ＝5，AB ＝6，∴AD ＝BD ＝3，∴CD 4，∴OD ＝CD －OC ＝4－R ，在Rt △AOD 中，2R ＝23＋()24R-，解得R＝258．BCOA【知识点】完全平方公式；绝对值；勾股定理；等腰三角形外接圆；2. （2018安徽省，12，5分）如图,菱形ABOC的AB，AC分别与⊙O相切于点D,E若点D是AB的中点,则∠DOE【答案】60°【解析】连接OA，根据菱形的性质得到△AOB是等边三角形，根据切线的性质求出∠AOD，同理计算即可．解：连接OA，∵四边形ABOC是菱形，∴BA=BO，∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD ⊥AB ， ∴∠AOD=12∠AOB=30°， 同理，∠AOE=30°，∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°， 故答案为：60．【知识点】切线的性质；菱形的性质．3. （2018湖南岳阳，16，4分）.如图，以AB 为直径的O 与CE 相切于点C ，CE 交AB 的延长线于点E ，直径18AB =，30A ∠=，弦C D A B ⊥，垂足为点F ，连接AC ，OC ，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）①BC BD =；②扇形OBC 的面积为274π；③OC F O E C ∆∆；④若点P 为线段OA 上一动点，则AP OP ⋅有最大值20.25.【答案】①③④.【解析】解：∵AB 是⊙O 的直径，且CD ⊥AB ， ∴BC BD =，故①正确； ∵∠A=30°， ∴∠COB=60°， ∴扇形OBC=ππ227)2(360602=AB ··，故②错误； ∵CE 是⊙O 的切线， ∴∠OCE=90°，∴∠OCD=∠OFC ，∠EOC=∠COF ， ∴OCFOEC ∆∆，故③正确；设AP=x ，则OP=9-x ，∴AP ·OP=x (9-x )=-x 2+9x =481)29(2+-x -， ∴当x =29时，AP ·OP 的最大值为481=20.25，故④正确. 故答案为①③④.【知识点】垂径定理，扇形面积计算公式，相似三角形的判定，二次函数的性质4. （2018江苏连云港，第14题，3分）如图，AB 是⊙O 的弦，点C 在过点B 的切线上，且OC ⊥OA ，OC 交AB于点P ，已知∠OAB =22°，则∠OCB =__________°. 【答案】44【解析】解：连接OB .∵OA =OB ，∴∠OBA =∠OAB =22°，∴∠AOB =136°，∵OC ⊥OA ，∴∠AOC =90°，∴∠COB =46°，∵CB 是⊙O 的切线，∴∠OBC =90°，∴∠OCB =90°－46°=44°，故答案为：44°.【知识点】切线的性质；直角三角形的性质5. （2018江苏泰州，16，3分）如图，△ABC 中，∠ACB =90°，sin A =513，AC =12，将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△A′B′C ，P 为线段A′B′上的动点，以点P 为圆心、PA '长为半径作⊙P ，当⊙P 与△ABC 的边相切时，⊙P 的半径为 . 【答案】15625或10213【解析】设⊙P的半径为r，∵∠ACB=90°，∴BCAB=sin A=513，222BC AC AB+=，∵AC=12，∴BC=5，AB=13，由旋转得∠A′CB′=∠ACB=90°，∠A′=∠A，A′C= AC=12，B′C= BC=5，A′B′=AB=13，∴∠A′CB=180°，∴A′、C、B′三点共线，∵点P到直线BC的距离小于半径P′A，∴⊙P与直线BC始终相交，过点P作PD⊥AC于点D，则∠B′DP=∠B′CA′=90°，∵∠DB′P=∠CB′A′，∴△B′DP∽△B′CA′，∴PD PBA C A B'='''，∴13 1213 PD r-=，∴12(13)12121313rPD r-==-，当⊙P与AC边相切时，PD=PA′，∴121213r r-=，∴15625r=，延长A′B′交AB于点E，∵∠A＋∠B=90°，∠A′=∠A，∴∠A′＋∠B=90°，∴∠A′EB=90°，同上得122041313A E A B''==，当⊙P与AB边相切时，A′E=2PA′，∴10213r=，综上所述，⊙P的半径为15625或10213.【知识点】锐角三角函数，直线与圆的位置关系6.（2018山东威海，16，3分）在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为______．【答案】135°【解析】连接CE，∵∠ADC＝90°，∴∠DAC＋∠DCA＝90°；∵⊙E内切于△ADC，∴∠EAC＋∠ECA＝45°，∴∠AEC＝135°；∵△AE≌△EB，∴∠AEB＝∠AEC＝135°．【知识点】三角形的内切圆、全等三角形的判定与性质7. （2018四川省宜宾市，13，3分）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》 中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆 O 的半径为1,若用圆O 的外切正六边形的面积来近似估计圆O 的面积，S= .(结 果保留根号）【答案】【解析】如图：根据题意可知OH=1,∠BOC=60°，∴△OBC 为等边三角形，∴BHOHtan ∠BOH ，∴BH=3,∴S=12×3×1×12【知识点】正多边形的计算；解直角三角形8. （2018浙江湖州，14，4）如图，已知△ABC 的内切圆⊙O 与BC 边相切于点D ，连结OB ，OD ．若∠ABC ＝40°，则∠BOD 的度数是 ．【答案】70°【解析】∵⊙O 内切于△ABC ，∴OB 平分∠ABC ．∵∠ABC ＝40°，∴∠OBD ＝20°．∴∠BOD ＝70°．故填70°. 【知识点】三角形的内切圆，切线长定理9.（2018宁波市，17题，4分） 如图，正方形ABCD 的边长为8,M 是AB 的中点,P 是BC 边上的动点,连结PM,以点P 为圆心,PM 长为半径作⊙P.当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时,BP 的长为___________【答案】3或【解析】解：(1)当⊙P与DC相切时，如图（1）所示，设BP=x，则PC=8-x;∵DC于圆相切，∴PC=PM又∵M是AB中点∴BM=4在Rt△BMP中，根据勾股定理可得∵BM2+BP2=MP2∴x2+42=(8-x)2∴解得：x=3∴BP=3(2)如图（2）所有当⊙P与DA相切时过点P作PE⊥AD,交AD与点E∵⊙P与DA相切与点E∴EP=MP=8在Rt△BMP中，根据勾股定理可得∵BM2+BP2=MP2（第17题图）图1∴BP=综上所述：BP的值为3或【知识点】切线的判定、勾股定理10.（2018浙江温州，16，5）.小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形.图2中留个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB=5cmcm2，则该圆的半径为cm.【答案】8【思路分析】设小正六边形的中心为O连接OP,OA,OB,OC,OD，连接CP得两个等边三角形，利用小正六边形的面积得小正六边形的边长为337所以得OP=7，在△OPB中解三角形得到OB=8所以圆的半径为8【解题过程】设小正六边形的中心为O,连接OP,OB,OC,OD，连接CP得两个等边三角形，利用小正六边形的面积为6个小等边三角形得设小正六边形的边长为x,所以每个小等边三角形的面积为243x，得32494362=⨯x，得x=337所以再利用四边形OCPD为菱形得OP=73337=⨯，在△OPB中解三角形，过点P作PH⊥OB因为∠OBP=60°∠HPB=30°得到BH=2521=BP,PH=235,所以在△OPH中利用勾股定理得OH=211,所以OB=8所以圆的半径为8图2【知识点】圆的内接正六边形的性质，正六边形的面积，解三角形，菱形的性质和判定，等边三角形的判定和性质。
中考数学一轮教材梳理复习课件：第28课与圆有关的位置关系
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∵∠BOD＝120°， ∴∠BOF＝∠DOF＝60°.
OB＝OD， 在△BOF 和△DOF 中，∠BOF＝∠DOF，
OF＝OF，
∴△BOF≌△DOF(SAS). ∴∠OBF＝∠ODF＝90°. ∴DF 与⊙O 相切．
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12．(2019·桂林)如图，BM 是以 AB 为直径的⊙O 的切线，B 为切点，BC 平分∠ABM，弦 CD 交 AB 于点 E，DE＝OE.
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证明：连接 OD，如图所示． ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA. ∵AD 平分∠EAF， ∴∠DAE＝∠DAO. ∴∠DAE＝∠ADO. ∴OD∥AE. ∵AE⊥EF，∴OD⊥EF. ∴EF 是⊙O 的切线．
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◆(类型 2)作垂线证相等 8．(2018·安顺)如图，在△ABC 中，AB＝AC，O 为 BC 的中点，AC 与半圆 O 相切于点 D. 求证：AB 是半圆 O 所在圆的切线．
圆 O 于 A，B 两点，若 PA＝3，则 PB＝( B )
A．2
B．3
C．4
D．5
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5.三角形的内心与外心
(1)三角形的内心：
①定义：三角形内切圆的圆心；
②性质：内心到三边的距离相等；
③作法：作三角形两条角平分线，其交点为内切圆的
圆心．
(2)三角形的外心：
①定义：三角形外接圆的圆心；
②性质：外心到三个顶点的距离相等；
③作法：作三角形两边的垂直平分线，其交点为外接
圆的圆心．
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5.(1)(2019·娄底)如图，边长为 2 3 的等边△ABC 的
内切圆的半径为( A )
【新】全国2018年中考数学真题分类汇编 第23讲 与圆有关的位置关系
（分类）第23讲与圆相关的位置关系知识点1 点与圆的位置关系知识点2 直线与圆的位置关系知识点3 切线的性质知识点4 切线的判定知识点5 切线长定理知识点6 三角形与圆知识点1 点与圆的位置关系（2018烟台）（考查确定圆的条件）（-1，-2）知识点2 直线与圆的位置关系知识点3 切线的性质（2018福建）D（2018·包头）115(2018重庆A 卷)9．如图，已知AB 是O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 与O 相切于点D ，过点B 作PD 的垂线交PD 的延长线于点C ，若O 的半径为4，6BC ，则PA 的长为( A )A ．4B ．C ．3D ．2.5（2018重庆B 卷）10.如图，△ABC 中，∠A=30°，点0是边AB 上一点，以点0为圆心，以OB 为半径作圆,⊙0恰好与AC 相切于点D ，连接BD ，若BD 平分∠ABC ，AD=32,则线段CD 的长是( )A.2B.3C.23D.323（2018哈尔滨）A（2018宁波）17.如图，正方形ABCD 的边长为8，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连结PM ，以点P 为圆心，PM 长为半径作P .当P 与正方形ABCD 的边相切时，BP 的长为．（2018山西）15．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=900，A C=6，B C=8，点 D 是 AB 的中点，以 CD 为直径作⊙O，⊙O 分别与 AC，B C 交于点 E，F，过点 F 作⊙O 的切线FG，交 AB 于点 G，则 FG 的长为___125__.（2018无锡）6.如图，矩形ABCD中，G是BC中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；BC与圆O相切。
其中正确的说法的个数是（C）A.0B.1C.2D.3（2018安徽）12如图,菱形ABOC的AB，AC分别与⊙O相切于点D,E若点D是AB的中点,则∠DOE 60°。
与圆有关的位置关系-中考数学知识点分类汇编真题
知识点34 与圆有关的位置关系一、选择题1. （2018四川泸州，10题，3分）在平面直角坐标系内，以原点O 为原心，1为半径作圆，点P 在直线y =+上运动，过点P 作该圆的一条切线，切点为A ，则PA 的最小值为（ ）【答案】D【解析】由题可知，B （-2,0），C （0，32），P 为直线上一点，过P 作圆O 的切线PA ，连接AO ，则在Rt △PAO 中，AO=1，由勾股定理可得22AO PO PA -=，要想使PA 最小，要求PO 最小，所以过点O 作OP ⊥BC 于点P ，此时PO=3，PA=2【知识点】一次函数，圆的切线，勾股定理2. （2018四川内江，7，3）已知⊙O 1的半径为3cm ，⊙O 2的半径为2cm ，圆心距O 1O 2＝4cm ，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切 【答案】C【解析】解：∵3－2＜O 1O 2＜3＋2，∴⊙O 1与⊙O 2的位置关系是相交．故选择C ． 【知识点】圆与圆的位置关系3. （2018江苏无锡，8，3分） 如图，矩形ABCD 中，G 是BC 的中点，过A 、D 、G 三点的O 与边AB 、CD 分别交于点E 、F.给出下列说法：(1)AC 与BD 的交点是O 的圆心；(2)AF 与DE 的交点是O 的圆心；(3)BC 与O相切.其中正确说法的个数是（ ） A.0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【思路分析】利用圆周角定理的推理确定O的圆心，进而判定(1)、(2)的正确性；连接OG，通过证明OG⊥BC 说明BC与O相切.【解题过程】∵矩形ABCD中，∴∠A=∠D=90°，∴AF与DE都是O的直径，AC与BD不是O的直径，∴AF与DE的交点是O的圆心，AC与BD的交点不是O的圆心，∴(1)错误、(2)正确.连接AF、OG，则点O为AF的中点，∵G是BC的中点，∴OG是梯形FABC的中位线，∴OG∥AB，∵AB⊥BC，∴OG⊥BC，∴BC与O相切.∴(3)正确.综上所述，正确结论有两个.【知识点】矩形的性质、圆周角定理的推论、梯形中位线的判定与性质、圆的切线的判定4.（2018·重庆B卷，10，4）如图，△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD＝2，则线段CD的长是（）A．2 B．32D【答案】B．【解析】如下图，连接OD，则由AD切⊙O于点D，得OD⊥AC．∵在Rt△AOD中，∠A＝30°，AD＝，tan A＝ODAD，∴OD＝AD•，tanA＝tan30°＝3＝2．∴AO＝2OD＝4，AB＝OA＋OB＝6．∵∠AOD＝90°－∠A＝60°，∴∠ABD＝12∠AOD＝30°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD＝60°．∴∠C＝90°＝∠ADO．∴OD∥BC．∴AD AODC OB=42=．∴DC．【知识点】圆圆的切线相似三角形5. （2018山东烟台，10，3分）如图四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD 的延长线上，则∠CDE的度数是（）A．56° B．62° C．68° D．78°【答案】Ｃ【解析】∵点I是△ABC的内心，∴AI、CI是△ABC的角平分线，∴∠AIC=90°+12∠B=124°，∴∠B=68°．∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CDE=∠B＝68°，故选C．【知识点】三角形内心；圆内接四边形的性质；6.（2018四川省德阳市，题号9，分值：3）已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（）A.2B.1C.D.第9题答图【答案】B.【解析】如图，设△ABC的边长为a，由正三角形的面积公式得S△ABC=，∴==，解得a=2或-2（舍），∴BC=2.∵∠BAC=60°，BO=CO，∴∠BOC=120°，则∠BCO=30°.∵OH⊥BC，∴BH=BC=1，在Rt△BOH中，BO=BH÷cos30°=，所以圆的半径r=.则OF=.如图，正六边形内接于圆，且半径为，可知∠EOF=60°，在△EOF中，OE=OF，OD⊥EF，∴∠EOD=30°.在Rt△DOE中，OD=OF·cos30°=×=1.所以边心距为1.【知识点】正多边形和圆1. （2018湖北鄂州，8，3分）如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点为A 、B ，AC 是⊙O的直径，OP 与AB 相交于点D ，连接BC ．下列结论：①∠APB ＝2∠BAC ；②OP ∥BC ；③若tanC ＝3，则OP ＝5BC ；④AC 2＝4OD ·OP ．其中正确的个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 【答案】A ．【思路分析】利用切线长定理证明Rt △APO ≌Rt △BPO ，再利用同角的余角相等，可证得∠AOP ＝∠C ，得到OP ∥BC ，∠APB ＝2∠BAC ，故①②正确；利用勾股定理和∠AOP ＝∠C ，可证得OP ＝11522AC BC ====，故③正确；利用两角对应相等的两个三角形相似的判定定理证明△ABC ∽△PAO ，再通过等量代换可证得AC 2＝4OD ·OP ，故④正确． 【解析】解：A 选项，设OP 与⊙O 交于点E ，∵ PA 、PB 是⊙O 的切线，∴PA ＝PB ，∠PAO ＝∠PBO ＝90°，则在Rt △APO和Rt △BPO 中，∵OA OBAP BP==⎧⎨⎩，∴Rt △APO ≌Rt △BPO （HL ），∴∠APB ＝2∠APO ＝2∠BPO ，∠AOE ＝∠BOE ，∴∠AOP ＝∠C ，∴OP ∥BC ，故②正确；∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，∴∠BAC ＋∠C ＝90°，∵∠PAO ＝90°，∴∠APO ＋∠AOP ＝90°，即∠C ＋∠APO ＝90°，∴∠APO ＝∠BAC ， ∴∠APB ＝2∠APO ＝2∠BAC ，故①正确；∵tanC ＝3，∴tan ∠AOP ＝3，则在Rt △ABC 中，3AB BC=，则AB ＝3BC ，故AC ＝=，在Rt △BPO 中，3AP AO=，则AP ＝3OA ，故OP＝11522AC BC ====，故③正确；∵OA ＝OC ，OP ∥BC ，∴OD 是△ABC 的中位线，∴OD ＝12BC ，BC ＝2OD ，在△ABC 和△P AO 中，∵∠OAP ＝∠ABC ＝90°，∠AOP ＝∠C ，∴△ABC ∽△PAO ，∴AC BC OP OA =，∴212AC OD OP AC =，∴4AC OD OP AC =，∴AC 2＝4OD ·OP ，故④正确．故选A ．【知识点】切线长定理；相似三角形的性质和判定；中位线定理；勾股定理；平形线的判定定理；全等三角形的判定定理2.（2018·重庆A卷，9，4）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C．若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为（）A．4 B．．3 D．2.5【答案】A．【解析】如下图，连接OD．∵PC切⊙O于点D，∴OD⊥PC．∵⊙O的半径为4，∴PO＝PA＋4，PB＝PA＋8．∵OD⊥PC，BC⊥PD，∴OD∥BC．∴△POD∽△PBC．∴OD POBC PB=，即4468PAPA+=+，解得PA＝4．故选A．【知识点】圆；直线与圆的位置关系；切线的性质；相似三角形的判定与3. （2018河北省，15，2）如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（）A．4.5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】设△ABC的AB边上的高为h，△MNI的MN边上的高为r，周长为a，则△ABC的内切圆半径为r．∴△ABC的面积＝AB·h＝（AB＋BC＋AC）·r．∴4h＝9r．∴．∵△MNI∽△ABC，∴【知识点】三角形的内心，三角形相似4. （2018湖北宜昌，12，3分）如图，直线AB是O的切线，C为切点，//OD AB交O于点D，点E在O 上，连接OC EC ED,,，则CED∠的度数为( )(第12题图)A．30° B．35° C.40° D．45°【答案】D【解析】∵直线AB 是O 的切线，C 为切点，∴∠OCB =90°，∵//OD AB ，∴∠COD =90°，∴∠CED =45°，故选择D.【知识点】圆的切线，圆心角，圆周角，平行线的性质.5. （2018广东省深圳市，10，3分）如图，一把直尺，80°的直角三角板和光盘如图摆放，A 为60︒角与直尺交点，3AB =,则光盘的直径是( )A ．3B ． ． 6 D ．【答案】D ．【思路分析】由切线长定理定理可得，∠CAO ＝∠OAB ，从而求出∠BAO 的度数，再在Rt △OAB 中，用60°角的正切即可求出半径的长．【解析】解：如图，设圆心为点O ，设另一个切点为点C ，连接OA 、OB 、OC ，则由切线长定理可得，∠CAO ＝∠OAB ＝12（180°－60°）＝60°，则在Rt △OAB 中，tan ∠BAO ＝OB AB，即t a n603OB =︒=解得OB ＝故直径为．故选D ．【知识点】切线的性质；切线长定理；锐角三角函数6.（2018湖北荆门，9，3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，()4,0A ，()0,3B ，()4,3C ，I 是ABC ∆的内心，将ABC ∆绕原点逆时针旋转90后，I 的对应点I '的坐标为（ ）A ．()2,3-B ．()3,2- C.()3,2- D ．()2,3- 【答案】A.【解析】∵I 是△ABC 的内心，()4,0A ，()0,3B ，()4,3C ， ∴I 的坐标为（3，2），∴将ABC ∆绕原点逆时针旋转90后，I 的对应点I ′的坐标为（-2，3）. 故选A.【知识点】三角形的内心，作图-旋转变换7. （2018山东省泰安市，9，3）如图，BM 与O 相切于点B ，若140MBA ∠=，则ACB ∠的度数为（ ）A ．40B ．50C ．60D ．70【答案】A【解析】（1）根据圆的切线性质可知：∠OBM=90°从而求得∠ABO=50°；（2）连接OA 、OB ，可求得∠AOB 的度数；（3）根据圆周角性质定理可得结论. 解：连接OA 、OB ， ∵BM 与O 相切 ∴∠OBM=90°∵140MBA ∠= ∴∠ABO=50° ∵OA=OB ∴∠ABO=∠BAO =50° ∴∠AO B=80° ∴ACB ∠=40【知识点】圆的切线的性质，圆周角性质定理，等腰三角形性质 二、填空题1. （2018四川内江，24，6） 已知△ABC 的三边a ，b ，c 满足a ＋2b ＋｜c －6｜＋28＝10b ，则△ABC的外接圆半径＝ ． 【答案】258【思路分析】将已知a ＋2b ＋｜c －6｜＋28＝10b 进行分组，配成完全平方式，利用平方数，绝对值的非负性求出a ，b ，c 的值，从而确定三角形的形状，然后求出外接圆半径．【解题过程】解：原式整理得：2b －10b ＋25＋a －1－4＋｜c －6｜＝0，()25b -＋2－＋4＋｜c －6｜＝0，()25b -＋)22＋｜c －6｜＝0，∵()25b -≥0，)22≥0，｜c －6｜≥0，∴b ＝5，c ＝6，a ＝5，∴△ABC 为等腰三角形．如图所示，作CD ⊥AB ，设O 为外接圆的圆心，则OA ＝OC ＝R ，∵AC ＝BC ＝5，AB ＝6，∴AD ＝BD ＝3，∴CD 4，∴OD ＝CD －OC ＝4－R ，在Rt △AOD 中，2R ＝23＋()24R -，解得R ＝258．BCOA【知识点】完全平方公式；绝对值；勾股定理；等腰三角形外接圆；2. （2018安徽省，12，5分）如图,菱形ABOC 的AB ，AC 分别与⊙O 相切于点D,E 若点D 是AB 的中点,则∠DOE【答案】60°【解析】连接OA ，根据菱形的性质得到△AOB 是等边三角形，根据切线的性质求出∠AOD ，同理计算即可． 解：连接OA ，∵四边形ABOC 是菱形， ∴BA=BO ， ∵OA=OB ，∴△AOB 是等边三角形， ∵AB 与⊙O 相切于点D ， ∴OD ⊥AB ，∴∠AOD=12∠AOB=30°， 同理，∠AOE=30°，∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°， 故答案为：60．【知识点】切线的性质；菱形的性质．3. （2018湖南岳阳，16，4分）.如图，以AB 为直径的O 与CE 相切于点C ，CE 交AB 的延长线于点E ，直径18AB =，30A ∠=，弦C D A B ⊥，垂足为点F ，连接AC ，OC ，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）①BC BD =；②扇形OBC 的面积为274π；③OC F O E C ∆∆；④若点P 为线段OA 上一动点，则AP OP ⋅有最大值20.25.【答案】①③④.【解析】解：∵AB 是⊙O 的直径，且CD ⊥AB ， ∴BC BD =，故①正确； ∵∠A=30°， ∴∠COB=60°， ∴扇形OBC=ππ227)2(360602=AB ··，故②错误； ∵CE 是⊙O 的切线， ∴∠OCE=90°，∴∠OCD=∠OFC ，∠EOC=∠COF ，∴OCF OEC ∆∆，故③正确；设AP=x ，则OP=9-x ，∴AP ·OP=x (9-x )=-x 2+9x =481)29(2+-x -， ∴当x =29时，AP ·OP 的最大值为481=20.25，故④正确. 故答案为①③④.【知识点】垂径定理，扇形面积计算公式，相似三角形的判定，二次函数的性质4. （2018江苏连云港，第14题，3分）如图，AB 是⊙O 的弦，点C 在过点B 的切线上，且OC ⊥OA ，OC 交AB于点P ，已知∠OAB =22°，则∠OCB =__________°. 【答案】44【解析】解：连接OB .∵OA =OB ，∴∠OBA =∠OAB =22°，∴∠AOB =136°，∵OC ⊥OA ，∴∠AOC =90°，∴∠COB =46°，∵CB 是⊙O 的切线，∴∠OBC =90°，∴∠OCB =90°－46°=44°，故答案为：44°.【知识点】切线的性质；直角三角形的性质5. （2018江苏泰州，16，3分）如图，△ABC 中，∠ACB =90°，sin A =513，AC =12，将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△A′B′C ，P 为线段A′B′上的动点，以点P 为圆心、PA '长为半径作⊙P ，当⊙P 与△ABC 的边相切时，⊙P 的半径为 .【答案】15625或10213【解析】设⊙P 的半径为r ，∴BCAB=sin A=513，222BC AC AB+=，∵AC=12，∴BC=5，AB=13，由旋转得∠A′CB′=∠ACB=90°，∠A′=∠A，A′C= AC=12，B′C= BC=5，A′B′=AB=13，∴∠A′CB=180°，∴A′、C、B′三点共线，∵点P到直线BC的距离小于半径P′A，∴⊙P与直线BC始终相交，过点P作PD⊥AC于点D，则∠B′DP=∠B′CA′=90°，∵∠DB′P=∠CB′A′，∴△B′DP∽△B′CA′，∴PD PBA C A B'='''，∴13 1213 PD r-=，∴12(13)12121313rPD r-==-，当⊙P与AC边相切时，PD=PA′，∴121213r r-=，∴15625r=，延长A′B′交AB于点E，∵∠A＋∠B=90°，∠A′=∠A，∴∠A′＋∠B=90°，同上得122041313A E A B''==，当⊙P与AB边相切时，A′E=2PA′，∴10213r=，综上所述，⊙P的半径为15625或10213.【知识点】锐角三角函数，直线与圆的位置关系6.（2018山东威海，16，3分）在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为______．【答案】135°【解析】连接CE，∵∠ADC＝90°，∴∠DAC＋∠DCA＝90°；∵⊙E内切于△ADC，∴∠EAC＋∠ECA＝45°，∴∠AEC＝135°；∵△AE≌△EB，∴∠AEB＝∠AEC＝135°．【知识点】三角形的内切圆、全等三角形的判定与性质7. （2018四川省宜宾市，13，3分）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1,若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，S= .(结果保留根号）【答案】【解析】如图：根据题意可知OH=1,∠BOC=60°，∴△OBC为等边三角形，∴BHOHtan∠BOH，∴,∴S=121×1 2【知识点】正多边形的计算；解直角三角形8. （2018浙江湖州，14，4）如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连结OB，OD．若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是．【答案】70°【解析】∵⊙O内切于△ABC，∴OB平分∠ABC．∵∠ABC＝40°，∴∠OBD＝20°．∴∠BOD＝70°．故填70°. 【知识点】三角形的内切圆，切线长定理9.（2018宁波市，17题，4分）如图，正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连结PM,以点P为圆心,PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时,BP的长为___________【答案】3或【解析】解：(1)当⊙P 与DC 相切时，如图（1）所示，设BP=x ，则PC=8-x;∵DC 于圆相切，∴PC=PM 又∵M 是AB 中点 ∴BM=4在Rt △BMP 中，根据勾股定理可得 ∵BM 2+BP 2=MP 2∴x 2+42=(8-x)2∴解得：x=3 ∴BP=3 (2)如图（2）所有 当⊙P 与DA 相切时过点P 作PE ⊥AD,交AD 与点E∵⊙P 与DA 相切与点E ∴EP=MP=8在Rt △BMP 中，根据勾股定理可得 ∵BM 2+BP 2=MP 2∴BP=综上所述：BP 的值为3或【知识点】切线的判定、勾股定理10. （2018浙江温州，16，5）.小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2（第17题图）图2图1所示的图形.图2中留个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边形和一个小正六边形，若PQ 所在的直线经过点M ，PB=5cm ，小正六边形的面积为2cm 2，则该圆的半径为 cm.【答案】8【思路分析】设小正六边形的中心为O 连接OP,OA,OB,OC,OD ，连接CP 得两个等边三角形，利用小正六边形的面积得小正六边形的边长为337所以得OP=7，在△OPB 中解三角形得到OB=8所以圆的半径为8 【解题过程】设小正六边形的中心为O,连接OP,OB,OC,OD ，连接CP 得两个等边三角形，利用小正六边形的面积为6个小等边三角形得设小正六边形的边长为x,所以每个小等边三角形的面积为243x ，得32494362=⨯x ，得x=337所以再利用四边形OCPD 为菱形得OP=73337=⨯，在△OPB 中解三角形，过点P 作PH ⊥OB 因为∠OBP=60°∠HPB=30°得到BH=2521=BP ,PH=235,所以在△OPH 中利用勾股定理得OH=211,所以OB=8所以圆的半径为8【知识点】圆的内接正六边形的性质，正六边形的面积，解三角形，菱形的性质和判定，等边三角形的判定和性质。
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2018中考数学试题分类汇编：考点29 与园有关的位置关系一．选择题（共9小题）1．（2018•宜宾）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（）A． B．C．34 D．10【分析】设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN，则MN、PM的长度是定值，利用三角形的三边关系可得出NP的最小值，再利用PF2+PG2=2PN2+2FN2即可求出结论．【解答】解：设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．∵DE=4，四边形DEFG为矩形，∴GF=DE，MN=EF，∴MP=FN=DE=2，∴NP=MN﹣MP=EF﹣MP=1，∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．故选：D．2．（2018•泰安）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB 的最小值为（）A．3 B．4 C．6 D．8【分析】由Rt△APB中AB=2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．【解答】解：∵PA⊥PB，∴∠APB=90°，∵AO=BO，∴AB=2PO，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ=3、MQ=4，∴OM=5，又∵MP′=2，∴OP′=3，∴AB=2OP′=6，故选：C．3．（2018•滨州）已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=25°，则劣弧的长为（）A．B．C．D．【分析】根据圆周角定理和弧长公式解答即可．【解答】解：如图：连接AO，CO，∵∠ABC=25°，∴∠AOC=50°，∴劣弧的长=，故选：C．4．（2018•自贡）如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°，连接OB、OC，则边BC的长为（）A．B．C．D．【分析】延长BO交圆于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°；又BD=2R，根据锐角三角函数的定义得BC=R．【解答】解：延长BO交⊙O于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°，∴∠CBD=30°，∵BD=2R，∴DC=R，∴BC=R，故选：D．5．（2018•湘西州）已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O 的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5，则直线和圆相切．【解答】解：∵圆心到直线的距离5cm=5cm，∴直线和圆相切．故选：B．6．（2018•徐州）⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=3，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（）A．内含 B．内切 C．相交 D．外切【分析】根据两圆圆心距与半径之间的数量关系判断⊙O1与⊙O2的位置关系．【解答】解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=3，则5﹣2=3，∴⊙O1和⊙O2内切．故选：B．7．（2018•台湾）如图，两圆外切于P点，且通过P点的公切线为L，过P点作两直线，两直线与两圆的交点为A、B、C、D，其位置如图所示，若AP=10，CP=9，则下列角度关系何者正确？（）A．∠PBD＞∠PAC B．∠PBD＜∠PAC C．∠PBD＞∠PDB D．∠PBD＜∠PDB【分析】根据大边对大角，平行线的判定和性质即可判断；【解答】解：如图，∵直线l是公切线∴∠1=∠B，∠2=∠A，∵∠1=∠2，∴∠A=∠B，∴AC∥BD，∴∠C=∠D，∵PA=10，PC=9，∴PA＞PC，∴∠C＞∠A，∴∠D＞∠B．故选：D．8．（2018•内江）已知⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2=4cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）A．外高 B．外切 C．相交 D．内切【分析】由⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．【解答】解：∵⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，又∵2+3=5，3﹣2=1，1＜4＜5，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交．故选：C．9．（2018•上海）如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（）A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7【分析】作半径AD，根据直角三角形30度角的性质得：OA=4，再确认⊙B与⊙A相切时，OB的长，可得结论．【解答】解：设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD，∴AD⊥OP，∵∠O=30°，AD=2，∴OA=4，当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图1，∵BC=3，∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5；当⊙A与⊙B相外切时，设切点为E，如图2，∴OB=OA+AB=4+2+3=9，∴半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是：5＜OB＜9，故选：A．二．填空题（共7小题）10．（2018•临沂）如图．在△ABC中，∠A=60°，BC=5cm．能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是cm．【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据圆的相关知识即可求得△ABC外接圆的直径，本题得以解决．【解答】解：设圆的圆心为点O，能够将△ABC完全覆盖的最小圆是△ABC的外接圆，∵在△ABC中，∠A=60°，BC=5cm，∴∠BOC=120°，作OD⊥BC于点D，则∠ODB=90°，∠BOD=60°，∴BD=，∠OBD=30°，∴OB=，得OB=，∴2OB=，即△ABC外接圆的直径是cm，故答案为：．11．（2018•内江）已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=4+10b，则△ABC的外接圆半径= ．【分析】根据题目中的式子可以求得a、b、c的值，从而可以求得△ABC的外接圆半径的长．【解答】解：∵a+b2+|c﹣6|+28=4+10b，∴（a﹣1﹣4+4）+（b2﹣10b+25）+|c﹣6|=0，∴（﹣2）2+（b﹣5）2+|c﹣6|=0，∴，b﹣5=0，c﹣6=0，解得，a=5，b=5，c=6，∴AC=BC=5，AB=6，作CD⊥AB于点D，则AD=3，CD=4，设△ABC的外接圆的半径为r，则OC=r，OD=4﹣r，OA=r，∴32+（4﹣r）2=r2，解得，r=，故答案为：．12．（2018•黄冈）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB=60°，弦AD平分∠CAB，若AD=6，则AC= 2．【分析】连接BD．在Rt△ADB中，求出AB，再在Rt△ACB中求出AC即可解决问题；【解答】解：连接BD．∵AB是直径，∴∠C=∠D=90°，∵∠CAB=60°，AD平分∠CAB，∴∠DAB=30°，∴AB=AD÷cos30°=4，∴AC=AB•cos60°=2，故答案为2．13．（2018•新疆）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为2，则图中阴影部的面积是．【分析】根据等边三角形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数，再根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，根据圆周角定理可得∠AOB=2∠C=120°，∴阴影部分的面积是=π，故答案为：14．（2018•扬州）如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，则AB= 2．【分析】根据圆内接四边形对角互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB 的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．【解答】解：连接AD、AE、OA、OB，∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，∴∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=2，∴AB=2，故答案为：2．15．（2018•泰安）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BC=4，则⊙O的直径为4．【分析】连接OB，OC，依据△BOC是等腰直角三角形，即可得到BO=CO=BC•cos45°=2，进而得出⊙O的直径为4．【解答】解：如图，连接OB，OC，∵∠A=45°，∴∠BOC=90°，∴△BOC是等腰直角三角形，又∵BC=4，∴BO=CO=BC•cos45°=2，∴⊙O的直径为4，故答案为：4．16．（2018•大庆）已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为m＜．【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．【解答】解：把点（12，﹣5）代入直线y=kx得，﹣5=12k，∴k=﹣；由y=﹣x平移平移m（m＞0）个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y=﹣x+m （m＞0），设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，（如下图所示）当x=0时，y=m；当y=0时，x=m，∴A（m，0），B（0，m），即OA=m，OB=m；在Rt△OAB中，AB=，过点O作OD⊥AB于D，∵S△ABO=OD•AB=OA•OB，∴OD•=×，∵m＞0，解得OD=，由直线与圆的位置关系可知＜6，解得m＜．故答案为：m＜．三．解答题（共4小题）17．（2018•福建）如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB．（1）求证：BG∥CD；（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB=DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．【分析】（1）根据等边对等角得：∠PCB=∠PBC，由四点共圆的性质得：∠BAD+∠BCD=180°，从而得：∠BFD=∠PCB=∠PBC，根据平行线的判定得：BC∥DF，可得∠ABC=90°，AC是⊙O 的直径，从而得：∠ADC=∠AGB=90°，根据同位角相等可得结论；（2）先证明四边形BCDH是平行四边形，得BC=DH，根据特殊的三角函数值得：∠ACB=60°，∠BAC=30°，所以DH=AC，分两种情况：①当点O在DE的左侧时，如图2，作辅助线，构建直角三角形，由同弧所对的圆周角相等和互余的性质得：∠AMD=∠ABD，则∠ADM=∠BDE，并由DH=OD，可得结论；②当点O在DE的右侧时，如图3，同理作辅助线，同理有∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，得结论．【解答】（1）证明：如图1，∵PC=PB，∴∠PCB=∠PBC，∵四边形ABCD内接于圆，∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠BCD+∠PCB=180°，∴∠BAD=∠PCB，∵∠BAD=∠BFD，∴∠BFD=∠PCB=∠PBC，∴BC∥DF，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ABC=90°，∴AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∵BG⊥AD，∴∠AGB=90°，∴∠ADC=∠AGB，∴BG∥CD；（2）由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，∴四边形BCDH是平行四边形，∴BC=DH，在Rt△ABC中，∵AB=DH，∴tan∠ACB==，∴∠ACB=60°，∠BAC=30°，∴∠ADB=60°，BC=AC，∴DH=AC，①当点O在DE的左侧时，如图2，作直径DM，连接AM、OH，则∠DAM=90°，∴∠AMD+∠ADM=90°∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠BDE+∠ABD=90°，∵∠AMD=∠ABD，∴∠ADM=∠BDE，∵DH=AC，∴DH=OD，∴∠DOH=∠OHD=80°，∴∠ODH=20°∵∠AOB=60°，∴∠ADM+∠BDE=40°，∴∠BDE=∠ADM=20°，②当点O在DE的右侧时，如图3，作直径DN，连接BN，由①得：∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，∴∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°，综上所述，∠BDE的度数为20°或40°．18．（2018•温州）如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC 沿直线AD折叠，点C的对应点E落在BD上．（1）求证：AE=AB．（2）若∠CAB=90°，cos∠ADB=，BE=2，求BC的长．【分析】（1）由折叠得出∠AED=∠ACD、AE=AC，结合∠ABD=∠AED知∠ABD=∠ACD，从而得出AB=AC，据此得证；（2）作AH⊥BE，由AB=AE且BE=2知BH=EH=1，根据∠ABE=∠AEB=∠ADB知cos∠ABE=cos∠ADB==，据此得AC=AB=3，利用勾股定理可得答案．【解答】解：（1）由折叠的性质可知，△ADE≌△ADC，∴∠AED=∠ACD，AE=AC，∵∠ABD=∠AED，∴∠ABD=∠ACD，∴AB=AC，∴AE=AB；（2）如图，过A作AH⊥BE于点H，∵AB=AE，BE=2，∴BH=EH=1，∵∠ABE=∠AEB=∠ADB，cos∠ADB=，∴cos∠ABE=cos∠ADB=，∴=．∴AC=AB=3，∵∠BAC=90°，AC=AB，∴BC=3．19．（2018•天门）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的长．【分析】（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再根据斜边上的中线性质得MC=MG=ME，所以∠G=∠1，接着证明∠1+∠2=90°，从而得到∠OCM=90°，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断CM为⊙O的切线；（2）先证明∠G=∠A，再证明∠EMC=∠4，则可判定△EFC∽△ECM，利用相似比先计算出CE，再计算出EF，然后计算ME﹣EF即可．【解答】解：（1）CM与⊙O相切．理由如下：连接OC，如图，∵GD⊥AO于点D，∴∠G+∠GBD=90°，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵M点为GE的中点，∴MC=MG=ME，∴∠G=∠1，∵OB=OC，∴∠B=∠2，∴∠1+∠2=90°，∴∠OCM=90°，∴OC⊥CM，∴CM为⊙O的切线；（2）∵∠1+∠3+∠4=90°，∠5+∠3+∠4=90°，∴∠1=∠5，而∠1=∠G，∠5=∠A，∴∠G=∠A，∵∠4=2∠A，∴∠4=2∠G，而∠EMC=∠G+∠1=2∠G，∴∠EMC=∠4，而∠FEC=∠CEM，∴△EFC∽△ECM，∴==，即==，∴CE=4，EF=，∴MF=ME﹣EF=6﹣=．20．（2018•泰州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=3，DF=3，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出∠DEB=∠EDO=90°，进而得出答案；（2）利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案．【解答】解：（1）DE与⊙O相切，理由：连接DO，∵DO=BO，∴∠ODB=∠OBD，∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，∴∠EBD=∠DBO，∴∠EBD=∠BDO，∴DO∥BE，∵DE⊥BC，∴∠DEB=∠EDO=90°，∴DE与⊙O相切；（2）∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BE，DF⊥AB，∴DE=DF=3，∵BE=3，∴BD==6，∵sin∠DBF==，∴∠DBA=30°，∴∠DOF=60°，∴sin60°===，∴DO=2，则FO=，故图中阴影部分的面积为：﹣××3=2π﹣．。