2016年秋季学期新版新人教版八年级数学上册14.3因式分解教案

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人教版数学八年级上册教学设计《14-3因式分解》(第3课时)

人教版数学八年级上册教学设计《14-3因式分解》（第3课时）一. 教材分析因式分解是八年级数学的重要内容，是解决多项式问题的基本方法。

本节课的内容是因式分解的方法，包括提取公因式法、十字相乘法、分组分解法等。

这些方法对于解决实际问题有着重要的作用。

二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了多项式的基本概念和运算方法，对于因式分解有一定的了解。

但是，对于因式分解的深入理解和灵活运用还不够熟练。

因此，在教学中需要通过例题和练习，让学生加深对因式分解的理解，并能够灵活运用。

三. 教学目标1.知识与技能目标：理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法，能够运用因式分解解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过小组合作、探究学习，培养学生的合作意识和问题解决能力。

3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，提高学生学习数学的积极性。

四. 教学重难点1.重点：因式分解的方法。

2.难点：因式分解的灵活运用。

五. 教学方法采用问题驱动法、小组合作学习法、案例教学法等，引导学生主动探究，合作学习，提高学生的数学素养。

六. 教学准备1.教学课件：制作因式分解的教学课件，包括例题和练习题。

2.教学素材：准备相关的数学题目，用于巩固和拓展学生的知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习多项式的基本概念和运算方法，引导学生回顾已学知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）介绍因式分解的概念，引导学生理解因式分解的意义。

通过示例，讲解因式分解的方法，包括提取公因式法、十字相乘法、分组分解法等。

3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，运用因式分解的方法解决实际问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）对学生的练习进行点评，总结因式分解的方法和技巧。

通过一些典型题目，让学生加深对因式分解的理解。

5.拓展（10分钟）引导学生思考因式分解在实际问题中的应用，让学生举例说明因式分解在解决实际问题中的重要性。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调因式分解的方法和运用。

人教版八年级数学上册14.3因式分解优秀教学案例

1.培养学生对数学学科的兴趣和热情，树立积极的数学学习态度。
2.培养学生自主学习、主动探索的精神，养成良好的学习习惯。
3.培养学生团队协作、沟通能力，增强学生的社会责任感。
三、教学策略
（一）情景创设
在教学过程中，我注重创设情境，激发学生的学习兴趣。例如，在讲解因式分解的概念时，我可以引入一个实际问题：“某商店举行打折活动，原价为1200元的商品现价为900元，求打折力度。”让学生思考如何利用因式分解解决这个问题。通过这样的情境创设，学生能够更好地理解因式分解的应用价值，激发学习兴趣。
1.能够准确地给出因式分解的定义，理解因式分解的本质。
2.掌握提公因式法、公式法等因式分解的基本方法，并能够灵活运用。
3.能够运用因式分解解决一些实际问题，如分解数字、解决方程等。
（二）过程与方法
在本节课的教学过程中，我将引导学生通过自主学习、小组讨论等方式，掌握因式分解的方法。具体来说，学生应达到以下几点：
（二）讲授新知
在学生对因式分解产生兴趣后，我会开始讲解因式分解的概念和方法。首先，我会用简洁明了的语言阐述因式分解的定义，让学生明白因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积的过程。然后，我会详细讲解提公因式法、公式法等因式分解的基本方法，并通过具体的例子进行演示。在讲解过程中，我会注意运用人性化的语言，使学生更容易理解和接受。
（四）总结归纳
在学生小组讨论结束后，我会组织学生进行总结归纳。我会让学生回顾所学的内容，总结因式分解的概念、方法和技巧。同时，我还会强调因式分解在数学学习和实际生活中的重要性，激发学生继续学习的动力。
（五）作业小结
在课堂的最后，我会布置适量的作业，让学生巩固所学知识。作业包括一些因式分解的实际问题，以及一些提高性的练习题。同时，我会提醒学生在完成作业时要注意运用所学的方法和技巧，提高解题效率。

八年级数学上册14.3因式分解学案新版新人教版

第十四章整式的乘法和因式分解14.3 因式分解一．学习目标1．理解因式分解的意义；学会用提公因式，公式和十字相乘法分解因式。

2．在学习过程中，感悟数与式的共同点，体验类比思想；培养学生的逆向思维。

3．在学习中树立学生的整体换元意识和体验成功的快乐。

二．学习重难点因式分解的意义和方法的应用。

三．学习过程第一课时分解因式——提公因式法（一）构建新知1．阅读教材114～115页（1）乘法的分配律：ab＋ac=_____________。

（2）因式分解就是把一个多项式化成_______的形式。

（3）多项式ax＋bx－x中共同的因式是_____；2．归纳与理解（1）公因式就是多项式中___项都有的______式。

（2）多项式8m2n＋2mn2，2a（y－z）－3b（z－y）中，含有的公因式分别是_______和_______，因此分解因式后8m2n＋2mn2 =____________，2a（y－z）－3b（z－y）=___________________。

（二）合作学习1．提公因式分解因式：（1）4x（a2+x2）－a2－x2（2）（a－b）（a＋b）2－（a+b）（a－b）2+2b（a2＋b2）（三）课堂检查1．因式分解：（1）4a（x－2）2－2b（2－x）3（2）12a2b－18ab2－24a3b32．求值：（1）若ab=5，a －b=4，求－a 3b 2＋a 2b 3的值．（2）不管a 取何值，求证多项式－3a 2（a 2－2a －3）+3a （a 3－2a 2－3a ）+2005的值恒不变。

（3）已知x 、y ，满足方程组 ⎩⎨⎧=+=-112122y x y x ，求（2x －y ）3－（2x －y ）2（x －3y ）的值。

3．解方程：（1）（45x+30）（33x+15）－（45x+30）（33x+16）=0（2）2x+3－2x+1=48．4．填空：（1）若多项式3ab （a －b ）＋M 分解因式是ab （a －b ）（3－2a ＋2b ），则M=____________。

2016秋人教版八年级数学上册教案：14.3因式分解

五、教学反思
今天我们在课堂上学习了因式分解这一章节，回顾整个教学过程，我觉得有几个方面值得反思和总结。
首先，我发现同学们在理解因式分解的概念上存在一定难度。虽然我在课堂上用生动的例子进行了解释，但仍有部分同学对因式分解的意义和应用感到困惑。在今后的教学中，我需要更加关注学生的理解程度，尽量用简单明了的语言和例子来阐述复杂的概念。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了因式分解的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对因式分解的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-举例：将$x^2 - 9$分解因式为$(x - 3)(x + 3)$，将$x^2 + 4x + 4$分解因式为$(x + 2)^2$。
4.十字相乘法：掌握十字相乘法的步骤，用于分解二次多项式。
-举例：将$x^2 + 5x + 6$分解因式为$(x + 2)(x + 3)$。
4.培养学生数学建模素养，能够运用因式分解解决实际问题，体会数学在现实生活中的应用价值；
5.培养学生合作交流能力，通过小组讨论、互帮互助，共同探索因式分解的方法和技巧，提升团队协作能力。
三、教学难点与重点
一）教学重点：
1.因式分解的定义及其应用：理解因式分解是将一个多项式表示为几个整式的乘积的过程，掌握其基本步骤和原则。
二）教学难点：
1.理解因式分解的意义：帮助学生理解因式分解对于简化问题、解决方程、优化计算等方面的作用。

人教版八年级上册数学教案14.3 因式分解(3课时)

14．3因式分解14．3.1提公因式法(第1课时)一、基本目标【知识与技能】1．明确提公因式法分解因式与单项式乘多项式的关系．2．能正确找出多项式的公因式，熟练用提公因式法分解简单的多项式．【过程与方法】1．经历从分解因数到分解因式的类比过程，掌握因式分解的概念，感受因式分解在解决问题中的作用．2．使学生经历探索多项式各项公因式的过程，根据化归思想方法进行因式分解．【情感态度与价值观】培养学生分析、类比以及化归的思想，增进学生的合作交流意识，主动、积极地积累确定公因式的初步经验，体会其应用价值．二、重难点目标【教学重点】用提公因式法把多项式分解因式．【教学难点】整式乘法与因式分解之间的关系，正确确定多项式的最大公因式．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P114～P115的内容，完成下面练习．【3 min反馈】一、因式分解的概念1．把下列多项式写成整式的积的形式：x2＋x＝x(x＋1)；x2－1＝(x＋1)(x－1)；ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c).2．把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解(或分解因式)．3．多项式与因式分解的关系：整式的乘积多项式因式分解整式乘法4．下列各式从左到右的变形为因式分解的是③.(填序号)①(x＋1)(x－1)＝x2－1；②a2－1＋b2＝(a＋1)(a－1)＋b2；③7x－7＝7(x－1)．二、公因式与提公因式法1．公因式：如果一个多项式中各项都含有一个公共的因式，那么这个公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．如pa＋pb＋pc中，p是这个多项式的公因式．2．提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．字母表示：pa＋pb＋pc＝p(a＋b＋c)．3．多项式6ab2c－3a2bc＋12a2b2中各项的公因式是3ab.4．把下列各式分解因式：(1)3x2－6xy；(2)3a2(x－y)3－4b2(y－x)2.解：(1)x(3x－6y)．(2)(x－y)2(3a2－4b2)．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】把下列各式分解因式：(1)(1)4x2y3＋8x2y2z－12xy2z；(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；(3)(a＋b)(a－b)－a－b.【互动探索】(引发学生思考)找出式子的公因式→确定提公因式后剩下的多项式→写成乘积形式．【解答】(1)(1)原式＝4xy2(xy＋2xz－3z)．(2)原式＝(2a－3)(b＋c)．(3)原式＝(a＋b)(a－b)－(a＋b)＝(a＋b)·(a－b－1)．【互动总结】(学生总结，老师点评)确定多项式中各项的最大公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；③定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂．【例2】已知2x－y＝1，xy＝2，求2x4y3－x3y4的值．【互动探索】(引发学生思考)因式分解2x4y3－x3y4→确定已知等式与因式分解结果的关系→代入求值．【解答】原式＝x3y3(2x－y)＝(xy)3(2x－y)＝23×1＝8.【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此类问题的一般步骤：先分解因式→再代值计算．活动2巩固练习(学生独学)1．下列从左到右的变形中是因式分解的有(B)①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．A．1个B．2个C．3个D．4个2．多项式15m3n2＋5m2n－20m2n3的公因式是(C)A．5mn B．5m2n2C．5m2n D．5mn23．把2(x－3)＋x(3－x)提取公因式(x－3)后，另一个因式是(C)A．x－2B．x＋2C．2－x D．－2－x4．把下列各式分解因式：(1)a2x2y－axy2；(2)3a(x－y)－5b(y－x)；(3)x2(a－1)＋x(1－a)；(4)x(x2－xy)－(4x2－4xy)．解：(1)axy(ax－y)．(2)(x－y)(3a＋5b)．(3)x(a－1)(x－1)．(4)x(x－y)(x－4)．5．已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．解：∵a＋b＝7，ab＝4，∴a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝4×7＝28.教师点拨：求代数式的值，有时要将已知条件看作一个整体代入求值．活动3拓展延伸(学生对学)【例3】△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC的形状，并说明理由．【互动探索】要判断△ABC 的形状→化简已知等式，找出边a 、b 、c 之间的关系→确定△ABC 的形状．【解答】△ABC 是等腰三角形．理由如下：由a ＋2ab ＝c ＋2bc ，得a ＋2ab －c －2bc ＝0，则(a －c )＋2b (a －c )＝0，即(a －c )(1＋2b )＝0，∴(a －c )＝0或(1＋2b )＝0，即a ＝c 或b ＝－12(舍去)，∴△ABC 是等腰三角形．【互动总结】(学生总结，老师点评)通过提公因式分解因式，从而找出三边的关系来判定三角形的形状．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)因式分解与整式乘法是方向相反的变形．整式乘法↔因式分解——提公因式法字母表示：pa ＋pb ＋pc ＝p (a ＋b ＋c )，其中p 为公因式．请完成本课时对应练习！14.3.2 公式法第2课时平方差公式一、基本目标【知识与技能】1．掌握平方差公式分解因式的方法．2．掌握提公因式法、平方差公式分解因式的综合运用．【过程与方法】通过平方差公式逆向的变形，发展学生逆向思维；通过将高次偶数指数向2次指数的转化，培养学生的化归思想．【情感态度与价值观】培养学生的观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法，体会数学在实际问题中的应用价值．二、重难点目标【教学重点】运用平方差公式分解因式．【教学难点】平方差公式的逆用及高次指数的转化、两种因式分解方法的灵活运用．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P116～P117的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．(1)(x＋2)(x－2)＝x2－4；(y＋5)(y－5)＝y2－25.(2)根据(1)中等式填空：x2－4＝(x＋2)(x－2)；y2－25＝(y＋5)(y－5).2．平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b).即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.3．下列各式中，能运用平方差公式分解的多项式是②.(填序号)①x2＋y2；②1－x2；③－x2－y2；④x2－xy.3．分解因式：(1)4x2－9y2；(2)16－a4；(3)(a2＋1)2－4a2解：(1)(2x＋3y)(2x－3y)．(2)(4＋a2)(2＋a)(2－a)．(3)(a＋1)2(a－1)2.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】分解因式：(1)x2－9y2；(2)16x4－y4；(3)12a2x2－27b2y2；(4)(x＋2y)2－(x－3y)2；(5)m2(16x－y)＋n2(y－16x)．【互动探索】(引发学生思考)观察各式的特点，运用平方差公式进行因式分解．【解答】(1)x2－9y2＝x2－(3y)2＝(x＋3y)(x－3y)．(2)16x4－y4＝(4x2＋y2)(4x2－y2)＝(4x2＋y2)(2x＋y)(2x－y)．(3)12a2x2－27b2y2＝3(4a2x2－9b2y2)＝3(2ax＋3by)(2ax－3by)．(4)(x＋2y)2－(x－3y)2＝[(x＋2y)＋(x－3y)][(x＋2y)－(x－3y)]＝5y(2x－y)．(5)m2(16x－y)＋n2(y－16x)＝(16x－y)·(m2－n2)＝(16x－y)(m＋n)(m－n)．【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．(2)在平方差公式a2－b2＝(a＋b)(a－b)中，a和b可以代表单项式、多项式或单独一个数．【例2】248－1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数．【互动探索】被自然数整除的含义是什么？248－1这个数比较大，怎样求出符合要求的两个数？【解答】248－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)·(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)．∵26＝64，∴26－1＝63,26＋1＝65，∴这两个数是65和63.【互动总结】(学生总结，老师点评)解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析被哪些数或式子整除．活动2巩固练习(学生独学)1．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(D)A．a2＋(－b)2B．5m2－20mnC．－x2－y2D．－x2＋92．下列各式从左到右的变形正确的是(D)A．－2x＋4y＝－2(x－4y)B．a2－6＝(a＋2)(a－3)C．(a＋b)2＝a2＋b2D．x2－y2＝(x－y)(x＋y)3．当整数a为－4时(只写一个)，多项式x2＋a能用平方差公式分解因式．教师点拨：此题答案不唯一．4．分解因式：(1)a 4－116b 4；(2)x 3y 2－xy 4； (3)(a ＋b )2－4a 2； (4)9(m ＋n )2－(m －n )2.解：(1)⎝⎛⎭⎫a 2＋14b 2⎝⎛⎭⎫a －12b ⎝⎛⎭⎫a ＋12b . (2)xy 2(x ＋y )(x －y )． (3)(b －a )(3a ＋b )． (4)4(m ＋2n )(2m ＋n )．5．已知x 2－y 2＝－1，x ＋y ＝12，求x －y 的值．解：∵x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )＝－1，x ＋y ＝12，∴x －y ＝－2.活动3 拓展延伸(学生对学) 【例3】利用因式分解计算： (1)1012－992； (2)5722×14－4282×14.【互动探索】观察式子特点，用提公因式法和平方差公式进行因式分解．【解答】(1)1012－992＝(101＋99)(101－99)＝400.(2)5722×14－4282×14＝(5722－4282)×14＝(572＋428)(572－428)×14＝1000×144×14＝36000.【互动总结】(学生总结，老师点评)对于一些比较复杂的计算，若通过变形转化为平方差公式的形式，则可以使运算简便．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．分解因式的步骤：先排列，首系数不为负；然后提取公因式；再运用公式分解，最后检查各因式是否能再分解．2．不能直接用平方差公式分解的，应考虑能否通过变形，创造应用平方差公式的条件．请完成本课时对应练习！第3课时完全平方公式一、基本目标【知识与技能】1．理解用完全平方公式分解因式的原理．2．初步掌握适合用完全平方公式分解因式的条件，会用完全平方公式分解因式．【过程与方法】经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程，感受逆向思维的意义，掌握因式分解的基本步骤．【情感态度与价值观】培养良好的推理能力，体会“化归”与“换元”的思想方法，形成灵活的应用能力．二、重难点目标【教学重点】理解并掌握用完全平方公式分解因式．【教学难点】识别并掌握用完全平方公式分解因式的条件．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P117～P119的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．填空：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2.2．根据(1)中的式子填空：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2；a2－2ab＋b2＝(a－b)2.3．形如a2＋2ab＋b2与a2－2ab＋b2的式子称为完全平方式．4．完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.4．.下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是③.(填序号)①x2－2x－2；②x2＋1；③x2－4x＋4；④x2＋4x＋1.5．分解因式：(1)9x2＋6x＋1；(2)3m 2n －12mn ＋12n ； (3)(a ＋b )2－12(a ＋b )＋36. 解：(1)(3x ＋1)2. (2)3n (m －2)2. (3)(a ＋b －6)2.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】因式分解： (1)－3a 2x 2＋24a 2x －48a 2； (2)(a 2＋4)2－16a 2.【互动探索】(引发学生思考)观察式子中的各项，提取公因式，用公式进行因式分解．【解答】(1)原式＝－3a 2·(x 2－8x ＋16)＝－3a 2(x －4)2.(2)原式＝(a 2＋4)2－(4a )2＝(a 2＋4＋4a )·(a 2＋4－4a )＝(a ＋2)2(a －2)2.【互动总结】(学生总结，老师点评)分解因式的基本步骤可概括为一提、二用、三查，即有公因式的先提公因式，没有公因式的用公式法，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．【例2】已知|b －4|＋a 2－a ＋14＝0，求a b 的值．【互动探索】(引发学生思考)等式左边变形→转化为|b －4|＋⎝⎛⎭⎫a －122＝0→确定a 、b 的值→a b 的值．【解答】依题意，得|b －4|＋⎝⎛⎭⎫a －122＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ b －4＝0，a －120.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝4. ∴a b ＝⎝⎛⎭⎫124＝116.【互动总结】(学生总结，老师点评)先分解因式得到两个非负数的和，再根据绝对值和完全平方数的非负性求出a 、b .活动2 巩固练习(学生独学)1．下列多项式能用完全平方公式分解因式的有( B )(1)a 2＋ab ＋b 2；(2)a 2－a ＋14；(3)9a 2－24ab ＋4b 2；(4)－a 2＋8a －16.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．有一个式子为x 2＋6x ＋△＝(x ＋Ω)2，则( A ) A ．△＝9，Ω＝3 B ．△＝6，Ω＝3 C ．△＝3，Ω＝9D ．△＝3，Ω＝63．若x 2＋(m －3)x ＋16可直接用完全平方公式分解因式，则m 的值等于－5或11. 4．因式分解： (1)2a 3－4a 2b ＋2ab 2； (2)(x ＋2)(x ＋3)＋14；(3)(x 2－1)2＋6(1－x 2)＋9. 解：(1)2a (a －b )2. (2)⎝⎛⎭⎫x ＋522. (3)(x ＋2)2(x －2)2. 5．利用因式分解计算： (1)342＋34×32＋162； (2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.解：(1)342＋34×32＋162＝(34＋16)2＝2500. (2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92＝(38.9－48.9)2＝100. 活动3 拓展延伸(学生对学) 【例3】已知x ＋1x ＝4，求：(1)x 2＋1x 2的值；(2)⎝⎛⎭⎫x －1x 2的值．【互动探索】确定x ＋1x 与所求式子之间的联系→利用完全公式变形x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2，⎝⎛⎭⎫x －1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－4→代入数据求值．解：(1)x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2＝42－2＝14. (2)⎝⎛⎭⎫x －1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－4＝42－4＝12.【互动总结】(学生总结，老师点评)这里需要活用公式，如x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2，⎝⎛⎭⎫x －1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－4，将两个完全平方公式进行互相转化．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．用完全平方式分解因式，关键在于观察各项之间的关系，配凑a 、b .2．分解因式的步骤：先排列，使首项系数不为负；提取公因式；然后运用公式法；检查各因式是否能再分解．请完成本课时对应练习！。

14.3 因式分解【教案】八年级上册数学

14.3.1提公因式法课时目标1.了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系,掌握因式分解的概念,体会数学知识的内在含义与价值.2.能确定多项式各项的公因式,会用提公因式法把多项式分解因式,培养学生有条理的思考和运算能力.3.会利用因式分解进行简便计算,体会因式分解的价值,培养学生的创新意识.学习重点运用提公因式法分解因式.学习难点正确理解因式分解的概念,准确找出公因式.课时活动设计回顾引入1.回顾整式乘法完成填空:(1)m(a+b+c)=ma+mb+mc.(2)(x+1)(x-1)=x2-1.(3)(a+b)2=a2+2ab+b2.2.根据等式性质填空:(1)ma+mb+mc=m(a+b+c).(2)x2-1=(x+1)(x-1).(3)a2+2ab+b2=(a+b)2.设计意图:引导学生回顾旧知识,激活学生已有的知识体系,为学习新知识打下基础.探究新知探究1因式分解问题:回顾引入中第2组式子有什么共同特点?学生回答:将一个多项式化成多个整式相乘.教师引导并给出因式分解的概念:把一个多项式化成几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.p(a+b+c)pa+pb+pc通过观察,你发现因式分解和整式乘法有什么关系?学生发现:因式分解与整式乘法的互逆性.探究2提公因式法问题1:观察下列多项式有哪些相同因式?学生观察发现前者的相同因式为p,后者的相同因式为x.总结如下:多项式中各项都含有的相同因式,叫做这个多项式的公因式.师生活动:教师板书:pa+pb+pc=p(a+b+c).引导学生用文字进行总结:一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来,将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.问题2:找出3x2-6xy的公因式,并思考如何确定一个多项式的公因式?师生活动:学生先独立思考,然后小组交流得出结论:公因式为3x.教师引导学生用文字总结如何确定一个多项式的公因式:1.定字母:字母取多项式各项中都含有的相同的字母;2.定系数:公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数;3.定指数:相同字母的指数取各项中最小的一个,即字母的最低次数.设计意图:通过具体问题的解决,让学生在观察、思考和操作的过程中,了解因式分解的概念,培养学生类比的思想方法和运算能力;学生从系数、字母、指数多个角度思考问题,培养学生思维的全面性和开阔性,养成积极思考的学习态度和创新意识.典例精讲例1把下列各式分解因式:(1)8a3b2+12ab3c;(2)2a(b+c)-3(b+c);(3)(a+b)(a-b)-a-b.解:(1)8a3b2+12ab3c=4ab2·2a2+4ab2·3bc=4ab2(2a2+3bc).(2)2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3).(3)(a+b)(a-b)-a-b=(a+b)(a-b)-(a+b)=(a+b)(a-b-1).技巧:1.整体思想找公因式;2.整项被提取后,1不能丢;3.可以用整式乘法验证.例2以下因式分解是否正确?如果错误,请指出原因并改正.(1)把12x2y+18xy2分解因式.解:原式=3xy(4x+6y).解:不正确.正解:原式=6xy(2x+3y).注意:公因式要提尽.(2)把3x2-6xy+x分解因式.解:原式=x(3x-6y).解:不正确.正解:原式=3xx-6yx+1·x=x(3x-6y+1).注意:某项提出莫漏1.(3)把-x2+xy-xz分解因式.解:原式=-x(x+y-z).解:不正确.正解:原式=-(x2-xy+xz)=-x(x-y+z).注意:首项有负常提负.例3计算:(1)39×37-13×91;(2)29×20.16+72×20.16+13×20.16-20.16×14.解:(1)原式=3×13×37-13×91=13×(3×37-91)=13×20=260.(2)原式=20.16×(29+72+13-14)=2 016.例4已知a+b=7,ab=4,求a2b+ab2的值.解:∵a+b=7,ab=4,∴原式=ab(a+b)=4×7=28.设计意图:通过例题,让学生寻求不同的解题方法,体会在计算求值时,若式子各项都含有公因式,用提公因式的方法可使运算简便,感悟学习因式分解的作用,培养学生转化意识、整体思想,进一步训练运算能力.巩固训练1.多项式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是(C)A.5mnB.5m2n2C.5m2nD.5mn22.把多项式(x+2)(x-2)+(x-2)提取公因式(x-2)后,余下的部分是(D)A.x+1B.2xC.x+2D.x+33.简便计算:2 0132+2 013-2 0142.解:原式=2 013×(2 013+1)-2 0142=2 013×2 014-2 0142=2 014×(2 013-2 014)=-2 014.设计意图:巩固训练共设计3个题目,针对所学知识点对本节所学知识再巩固,检验学生的学习效果,准确地进行教学评价,帮助教师发现问题和进行教学改进.课堂小结1.整式乘法和因式分解的关系是方向相反的变形,因式分解的目的是把一个多项式化成了几个整式的积的形式.2.找公因式的方法三定:定系数;定字母;定指数.3.提公因式的因式分解的步骤第一步找公因式,第二步提公因式.4.提公因式的技巧或注意问题1.要提尽;2.不漏项;3.提负数要注意变号.5.本节用到什么研究问题的方法?设计意图:引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获,把握本节课的核心,梳理本节课内容,回顾由具体到抽象的过程,总结方法,建立知识体系,体会类比、转化方法在研究数学问题中的重要作用,促进学生数学思维品质的优化.课堂8分钟.1.教材第115页练习第1,2,3题.2.作业.教学反思14.3.2公式法第1课时运用平方差公式因式分解课时目标1.探索并运用平方差公式进行因式分解,体会转化思想和逆向思维.2.能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解,培养运算能力和应用意识.3.培养良好的推理能力,体会“化归”与“整体”的思想方法,形成灵活的应用能力.学习重点掌握平方差公式的特点,运用平方差公式进行因式分解.学习难点灵活应用平方差公式因式分解.课时活动设计回顾引入之前学习了平方差公式,今天先回顾一下.计算:(1)(x+2)(x-2);(2)(x-1)(x+1).选两名学生黑板上板书计算过程:解:(1)(x+2)(x-2)=x2-4.(2)(x-1)(x+1)=x2-1.设计意图:从结构上认识本节课所研究的多项式的结构特点,引出课题,培养学生观察问题的能力和模型观念.探究新知问题:多项式a2-b2有什么特点?你能将它分解因式吗?学生观察得出结论:a2-b2=(a+b)(a-b)是a,b两数的平方差的形式.追问1:你能根据符号语言写出文字语言吗?师生活动:教师引导学生结合整式乘法归纳出因式分解平方差公式的文字语言:两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.追问2:如图,在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形,将剩余部分拼成一个长方形,根据此图形变换,你能验证刚才的公式吗?师生活动:教师首先引导学生利用面积验证平方差公式,提问两名同学分别列出左右两个图形涂色区域的面积.左:涂色区域的面积=a2-b2;右:涂色区域的面积=(a+b)(a-b).根据左右涂色区域的面积相等得到:a2-b2=(a+b)(a-b).设计意图:通过利用拼图求面积验证平方差公式,培养学生多角度思考问题的习惯和图形语言、符号语言、文字语言的相互转化能力.典例精讲例1分解因式:(1)4x2-9;(2)(x+p)2-(x+q)2.解:(1)原式=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).(2)原式=[(x+p)+(x+q)]·[(x+p)-(x+q)].例2分解因式:(1)x4-y4;(2)a3b-ab.解:(1)原式=(x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y).(2)原式=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1).例3已知x2-y2=-2,x+y=1,求x-y,x,y的值.解:∵x2-y2=(x+y)(x-y)=-2,∵x+y=1,①∴x-y=-2.②联立①②,组成二元一次方程组{x+y=1, x-y=−2,解得{x =−12,y =32. 例4 计算下列各题:(1)1012-992; (2)53.52×4-46.52×4. 解:(1)原式=(101+99)×(101-99)=200×2=400. (2)原式=4×(53.52-46.52) =4×(53.5+46.5)(53.5-46.5) =4×100×7=2 800.例5 求证:当n 为整数时,多项式(2n +1)2-(2n -1)2一定能被8整除. 证明:原式=(2n +1+2n -1)(2n +1-2n +1)=4n ·2=8n , ∵n 为整数,∴8n 能被8整除.即多项式(2n +1)2-(2n -1)2一定能被8整除.设计意图:进一步通过例题强调平方差公式和因式分解的两种方法的综合应用,让学生体会若用平方差公式分解后的结果中有公因式,一定要再用提公因式法继续分解,分解到不能再分解为止,体会“一提二套三彻底”,培养学生归纳抽象能力和数学思想方法的掌握.巩固训练1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( D )A.a 2+(-b )2B.5m 2-20mnC.-x 2-y 2D.-x 2+9 2.把下列各式分解因式: (1)16a 2-9b 2= (4a +3b )(4a -3b ) ; (2)(a +b )2-(a -b )2= 4ab ; (3)2x 2-8= 2(x +2)(x -2) ; (4)-a 4+16= (4+a 2)(2+a )(2-a ) .3.如图,在边长为6.8 cm 正方形钢板上,挖去4个边长为1.6 cm 的小正方形,求剩余部分的面积.解:根据题意,得6.82-4×1.62=6.82-(2×1.6)2=6.82-3.22=(6.8+3.2)(6.8-3.2)=10×3.6=36(cm2).答:剩余部分的面积为36 cm2.设计意图:共设计3个题目,针对所学知识点对本节所学知识再巩固,检验学生的学习效果,准确地进行教学评价,帮助教师发现问题和进行教学改进.课堂小结1.因式分解有哪些方法?2.能用平方差公式因式分解的结构特点是什么?3.平方差公式因式分解的步骤及注意问题有什么?4.本节用到什么研究问题的方法?5.根据本节的研究思路思考因式分解还有什么方法?设计意图:以提问的方式引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获,把握本节课的核心,梳理本节课内容,回顾由具体到抽象的过程,总结方法,建立知识体系,体会类比、转化方法在研究数学问题中的重要作用,促进学生数学思维品质的优化.课堂8分钟.1.教材第119页习题14.3第2,5(4)题.2.作业.教学反思第2课时运用完全平方公式因式分解课时目标1.理解完全平方公式的结构特点,培养模型观念.2.经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程,感受逆向思维的意义,掌握因式分解的基本步骤.3.在运用完全平方公式法进行因式分解的同时,培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力.学习重点掌握完全平方公式的结构特点,运用完全平方公式进行因式分解.学习难点理解完全平方公式的结构特征,灵活运用完全平方公式进行因式分解.课时活动设计回顾引入之前学习了完全平方公式,今天先来回顾一下.计算:(1)(x+2)(x+2);(2)(x-1)(x-1).选两名学生黑板上板书计算过程:解:(1)(x+2)(x+2)=x2+4x+4.(2)(x-1)(x-1)=x2-2x+1.设计意图:通过复习旧知,巩固因式分解和整式乘法的关系,为探究新知做准备,回顾完全平方公式,注重知识间的联系和知识体系的渗透,培养知识的迁移能力.探究新知问题1:观察多项式a2+2ab+b2,a2-2ab+b2,并回答下列各题.(1)每个多项式有几项?解:三项.(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征?解:都是一个数的平方.(3)中间项和第一项,第三项有什么关系?解:中间项是正负这两个数的积的2倍.追问:你能用符号语言和文字语言表述完全平方式吗?师生活动:选两名学生在黑板上板书整式乘法的完全平方公式.(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.等号两边互换位置,就得到:a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2.教师引导学生用文字表述完全平方式:两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.问题2:你能把下面4个图形拼成一个正方形,并根据拼成的图形的面积写出等量关系吗?学生动手操作,通过拼图前后图形面积相等写出等量关系a2+2ab+b2=(a+b)2.设计意图:学生在归纳出完全平方式的结构特征后,尝试用符号语言和文字语言表述完全平方式,最后通过动手操作,以拼图的形式再次验证完全平方式,同时在探究过程中感受到学习数学的乐趣.典例精讲例1分解因式:(1)16x2+24x+9;(2)-x2+4xy-4y2.解:(1)原式=(4x)2+2·4x·3+32=(4x+3)2.(2)原式=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2.例2把下列各式分解因式:(1)3ax2+6axy+3ay2;(2)(a2+4)2-16a2.解:(1)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2.(2)原式=(a2+4)2-(4a)2=(a2+4+4a)(a2+4-4a)=(a+2)2(a-2)2.例3计算:(1)1002-2×100×99+992;(2)342+34×32+162;(3)7652×17-2352×17.解:(1)原式=(100-99)2=1.(2)原式=(34+16)2=2 500.(3)原式=17×(7652-2352)=17×(765+235)(765-235)=17×1 000×530=9 010 000.例4已知a2+b2+2a-4b+5=0,求2a2+4b-3的值.解:由已知可得(a2+2a+1)+(b2-4b+4)=0,即(a+1)2+(b-2)2=0,解得a=-1,b=2.∴2a2+4b-3=2×(-1)2+4×2-3=7.设计意图:通过多种方法的综合应用,感受因式分解给计算带来的便捷,选题层次分明考察各有侧重点,让学生体会“数式同性”,掌握研究方法和知识的迁移性,形成体系,培养数感和运算能力.巩固训练1.下列四个多项式中,能因式分解的是(B)A.a2+1B.a2-6a+9C.x2+5yD.x2-5y2.把多项式4x2y-4xy2-x3分解因式的结果是(B)A.4xy(x-y)-x3B.-x(x-2y)2C.x(4xy-4y2-x2)D.-x(-4xy+4y2+x2)3.把下列多项式因式分解.(1)4(2a+b)2-4(2a+b)+1;(2)y2+2y+1-x2.解:(1)原式=[2(2a+b)]2-2·2(2a+b)·1+12=(4a+2b-1)2.(2)原式=(y+1)2-x2=(y+1+x)(y+1-x).设计意图:共设计3个题目,针对所学内容对本节所学知识再巩固,检验学生的学习效果,准确地进行教学评价,帮助教师发现问题和进行教学改进.课堂小结(1)因式分解有哪些方法?(2)能用完全平方公式因式分解的结构特点是什么?(3)因式分解的步骤及注意问题有什么?(4)本节用到什么研究问题的方法?设计意图:引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获,把握本节课的核心,梳理本节课内容,回顾由具体到抽象的过程,总结方法,建立知识体系,体会类比、转化方法在研究数学问题中的重要作用,促进学生数学思维品质的优化.课堂8分钟.1.教材第119页练习第1,2题.2.作业.教学反思。

人教版八年级数学上册教学设计14.3 因式分解

人教版八年级数学上册教学设计14.3 因式分解一. 教材分析因式分解是八年级数学上册的教学内容，主要目的是让学生掌握因式分解的基本方法和技巧。

教材通过引入多项式的乘法，让学生理解因式分解的实质，进而学习提公因式法、公式法等因式分解方法。

本节课的内容在数学知识体系中具有重要的地位，为学生深入学习代数运算和方程求解打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的乘法运算，具备一定的代数基础。

但因式分解作为一种独立的解题方法，对学生来说较为抽象，需要通过实例分析、动手操作、小组讨论等方式，让学生逐步理解和掌握。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握因式分解的基本方法，能够运用提公因式法、公式法等进行因式分解。

2.过程与方法：培养学生观察、分析、归纳的能力，提高学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识，使学生感受到数学的内在美。

四. 教学重难点1.重点：因式分解的方法和技巧。

2.难点：如何引导学生发现和运用提公因式法、公式法等进行因式分解。

五. 教学方法采用问题驱动法、实例分析法、小组合作法、引导发现法等，以学生为主体，教师为主导，充分调动学生的积极性，提高学生的学习兴趣。

六. 教学准备1.准备相关教学PPT和教学素材。

2.设计好教学问题和练习题。

3.准备好黑板和粉笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出因式分解的必要性，激发学生的学习兴趣。

例如：已知二次函数的图像，求其解析式。

2.呈现（10分钟）呈现因式分解的定义和基本方法，引导学生观察、分析、归纳因式分解的规律。

通过PPT展示提公因式法、公式法等具体的因式分解方法。

3.操练（10分钟）让学生动手操作，尝试运用所学的因式分解方法解决实际问题。

教师巡回指导，解答学生遇到的问题。

4.巩固（10分钟）设计一些练习题，让学生运用所学的因式分解方法进行解答。

教师选取部分学生的答案进行讲解和评价，及时巩固所学知识。

八年级数学上册14.3因式分解14.3.1提公因式法说课稿(新版)新人教版

八年级数学上册 14.3 因式分解 14.3.1 提公因式法说课稿（新版）新人教版一. 教材分析《八年级数学上册》第14.3节是关于因式分解的内容，其中14.3.1节是提公因式法。

这一节内容是在学生已经掌握了多项式乘法、完全平方公式和平方差公式的基础上进行教学的。

教材通过引入提公因式法，使学生能够更好地理解和掌握因式分解的方法，为后续学习更复杂的因式分解方法打下基础。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于多项式乘法和完全平方公式等概念有一定的了解。

但是，学生在学习过程中可能会对因式分解的方法和思路感到困惑，特别是对于提公因式法的应用可能会存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对学生的困惑进行解答和指导。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握提公因式法的概念和步骤，能够灵活运用提公因式法进行因式分解。

2.过程与方法目标：通过学生的自主探究和合作交流，培养学生的解决问题的能力和合作意识。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的耐心和自信心。

四. 说教学重难点1.教学重点：使学生掌握提公因式法的概念和步骤，能够灵活运用提公因式法进行因式分解。

2.教学难点：如何引导学生理解和掌握提公因式法的应用，以及如何解决因式分解过程中的关键步骤。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法进行教学。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板和教学卡片等辅助教学。

六. 说教学过程1.引入新课：通过一个具体的例子，让学生观察和分析，引导学生思考如何将一个多项式进行因式分解。

2.讲解提公因式法：讲解提公因式法的概念和步骤，通过示例进行讲解，让学生理解和掌握提公因式法的应用。

3.练习与讨论：给出一些练习题，让学生独立进行因式分解，然后进行小组讨论，共同解决问题。

4.总结与拓展：对提公因式法进行总结，引导学生思考如何解决更复杂的因式分解问题。

八年级数学上册14.3因式分解教案(新版)新人教版

14.3 因式分解教学目标1．知识与技能了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系．2．过程与方法经历从分解因数到分解因式的类比过程，掌握因式分解的概念，感受因式分解在解决问题中的作用．3．情感、态度与价值观在探索因式分解的方法的活动中，培养学生有条理的思考、表达与交流的能力，培养积极的进取意识，体会数学知识的内在含义与价值．重点难点1．重点：了解因式分解的意义，感受其作用．2．难点：整式乘法与因式分解之间的关系．通过分解因数引入到分解因式，并进行类比，加深理解．教学方法采用“激趣导学”的教学方法．教学过程一、创设情境，激趣导入【问题牵引】请同学们探究下面的 2 个问题：问题 1： 720 能被哪些数整除？谈谈你的想法．问题 2：当 a=102， b=98 时，求 a2－ b2的值．二、丰富联想，展示思维探索：你会做下面的填空吗？1． ma+mb+mc=（）（）；2． x2－ 4=（）（）；3． x2－ 2xy+y 2=（）2．【师生共识】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．三、小组活动，共同探究【问题牵引】（1）下列各式从左到右的变形是否为因式分解：①（ x+1）（ x－ 1） =x2－ 1；② a2－ 1+b2=（ a+1）（ a－ 1） +b2；③ 7x－ 7=7（ x－ 1）．（2）在下列括号里，填上适当的项，使等式成立．① 9x2（ ______） +y2=（ 3x+y ）（ _______）；② x2－ 4xy+（ _______） =（ x－ _______）2．四、随堂练习，巩固深化补充练习．【探研时空】计算： 993－ 99 能被 100 整除吗？五、课堂总结，发展潜能由学生自己进行小结，教师提出如下纲目：1．什么叫因式分解？2．因式分解与整式运算有何区别？六、布置作业，专题突破补充题．板书设计14.3因式分解1、因式分解例：练习：14.3.1提公因式法教学目标1．知识与技能能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式分解因式．2．过程与方法使学生经历探索多项式各项公因式的过程，依据数学化归思想方法进行因式分解．3．情感、态度与价值观培养学生分析、类比以及化归的思想，增进学生的合作交流意识，主动积极地积累确定公因式的初步经验，体会其应用价值．重点难点1．重点：掌握用提公因式法把多项式分解因式．2．难点：正确地确定多项式的最大公因式．提公因式法关键是如何找公因式．方法是：一看系数、二看字母． ?公因式的系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，并且各字母的指数取最低次幂．教学方法采用“启发式”教学方法．教学过程一、回顾交流，导入新知【复习交流】下列从左到右的变形是否是因式分解，为什么？（ 1） 2x2 +4=2（ x2+2）；（2）2t2－3t+1=（2t3－3t2+t）；（3） x2+4xy － y2=x（x+4y ）－ y2；（ 4） m（ x+y）=mx+my；（5） x2－ 2xy+y 2=（ x－ y）2．问题：1．多项式 mn+mb中各项含有相同因式吗？2．多项式 4x2－ x 和 xy 2－ yz －y 呢？请将上述多项式分别写成两个因式的乘积的形式，并说明理由．【教师归纳】我们把多项式中各项都有的公共的因式叫做这个多项式的公因式，如在mn+mb中的公因式是m，在 4x 2－ x 中的公因式是x，在 xy 2－ yz－ y 中的公因式是y．概念：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．二、小组合作，探究方法【教师提问】多项式 4x 2－ 8x6， 16a3b2－ 4a3b2－ 8ab4各项的公因式是什么？【师生共识】提公因式的方法是先确定各项的公因式再将多项式除以这个公因式得到另一个因式，找公因式一看系数、二看字母，公因式的系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，并且各字母的指数取最低次幂．三、范例学习，应用所学【例 1】把－ 4x2yz －12xy 2z+4xyz 分解因式．解：－ 4x2yz － 12xy2z+4xyz= －（ 4x2 yz+12xy 2z－4xyz ）= － 4xyz （ x+3y －1）【例 2】分解因式， 3a2（ x－y）3－ 4b2（ y－ x）2【思路点拨】观察所给多项式可以找出公因式（y－ x）2或（ x－ y）2，于是有两种变形，（x－y）3=－（ y－ x）3和（ x－ y）2=（ y－ x）2，从而得到下面两种分解方法．解法 1：3a2（ x－ y）3－ 4b2（ y－ x）2=－ 3a2（ y－ x）3－ 4b2（y－ x）2=－ [ （ y－ x）2· 3a2（y－ x） +4b2（ y－ x）2]=－（ y－x）2 [3a 2（y－ x） +4b2]=－（ y－x）2（ 3a2y－3a2x+4b2）解法 2：3a2（ x－ y）3－ 4b2（ y－ x）2=（ x－ y）2· 3a2（ x－y）－ 4b2（x－ y）2=（ x－ y）2 [3a 2（ x－y）－ 4b2 ]=（ x－ y）2（ 3a2x－ 3a2y－ 4b2）【例 3】用简便的方法计算：0.84 × 12+12× 0.6 － 0.44 ×12．【教师活动】引导学生观察并分析怎样计算更为简便．解： 0.84 × 12+12× 0.6 － 0.44 × 12=12 ×（ 0.84+0.6 －0.44 ）=12 × 1=12．【教师活动】在学生完全例 3 之后，指出例 3 是因式分解在计算中的应用，提出比较例1，例2，例 3 的公因式有什么不同？四、随堂练习，巩固深化【探研时空】利用提公因式法计算：0.582×8.69+1.236× 8.69+2.478× 8.69+5.704× 8.69五、课堂总结，发展潜能1 ．利用提公因式法因式分解，关键是找准最大公因式．?在找最大公因式时应注意：（1）系数要找最大公约数；（2）字母要找各项都有的；（3）指数要找最低次幂．2．因式分解应注意分解彻底，也就是说，分解到不能再分解为止．六、布置作业，专题突破课本 P119 习题 14． 3 第 1、 4（ 1）、 6 题．练习：板书设计14.3.1提公因式法1、提公因式法例：14.3.2公式法（一）教学目标1．知识与技能会应用平方差公式进行因式分解，发展学生推理能力．2．过程与方法经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的完整性．3．情感、态度与价值观培养学生良好的互动交流的习惯，体会数学在实际问题中的应用价值．重点难点1．重点：利用平方差公式分解因式．2．难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性．应用逆向思维的方向，演绎出平方差公式， ?对公式的应用首先要注意其特征，其次要做好式的变形，把问题转化成能够应用公式的方面上来．教学方法采用“问题解决”的教学方法，让学生在问题的牵引下，推进自己的思维．教学过程一、观察探讨，体验新知【问题牵引】请同学们计算下列各式．（1）（ a+5）（ a－ 5）；（2）（ 4m+3n）（ 4m－ 3n）．【学生活动】动笔计算出上面的两道题，并踊跃上台板演．（1）（ a+5）（ a－ 5） =a2－ 52=a2－ 25；2222（ 2）（ 4m+3n）（ 4m－ 3n）=（ 4m）－（ 3n） =16m－ 9n．【教师活动】引导学生完成下面的两道题目，并运用数学“互逆”的思想，寻找因式分解的规律．1．分解因式：a2－ 25； 2 ．分解因式16m2－ 9n．【学生活动】从逆向思维入手，很快得到下面答案：（1） a2－ 25=a2－ 52=（ a+5）（ a－5）．2222（ 2） 16m－ 9n =（ 4m）－（ 3n）=（4m+3n）（ 4m－ 3n）．【教师活动】引导学生完成a2－ b2=（ a+b）（ a－ b）的同时，导出课题：用平方差公式因式分解．平方差公式：a2－ b2=（ a+b）（ a－ b）．评析：平方差公式中的字母 a 、 b，教学中还要强调一下，可以表示数、含字母的代数式（单项式、多项式）．二、范例学习，应用所学【例 1】把下列各式分解因式：（投影显示或板书）（ 1） x2－ 9y2；（2）16x4－y4；（ 3） 12a2x2－ 27b2y2；（4）（x+2y）2－（x－3y）2；（5） m2（ 16x－ y） +n2（ y－ 16x）．【思路点拨】在观察中发现 1 ～ 5 题均满足平方差公式的特征，可以使用平方差公式因式分解．【学生活动】分四人小组，合作探究．解：（ 1） x2－ 9y2=（x+3y ）（ x－ 3y）；（2） 16x4－ y4=（ 4x2+y2）（ 4x2－ y2） =（ 4x2+y2）（ 2x+y）（ 2x－ y）；2 2 2 2 2 222（3） 12a x － 27b y =3（ 4a x － 9b y ） =3（ 2ax+3by ）（ 2ax－ 3by ）；（4）（ x+2y ）2－（ x－ 3y）2=[ （ x+2y ） +（ x－3y） ][ （ x+2y）－（ x－ 3y） ] =5y （ 2x－ y）；（5） m2（ 16x－ y） +n2（ y－ 16x）=（ 16x －y）（ m2－ n2） =（ 16x－ y）（ m+n）（ m－n）．三、随堂练习，巩固深化课本 P117 练习第 1、 2 题．【探研时空】1 ．求证：当n 是正整数时， n3－ n 的值一定是 6 的倍数．2．试证两个连续偶数的平方差能被一个奇数整除．连续偶数的平方差能被一个奇数整除．四、课堂总结，发展潜能运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征．分析多项式的次数和项数，然后再确定公式．如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提”得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要化简，二是分解因式时，每个因式都要分解彻底．五、布置作业，专题突破课本 P119 习题 14． 3 第 2、 4（ 2）、 11 题．板书设计14.3 .2公式法（一）1、平方差公式：例：a 2－ b2=（ a+b）（ a－ b）练习：14.3.2公式法（二）教学目标1．知识与技能领会运用完全平方公式进行因式分解的方法，发展推理能力．2．过程与方法经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程，感受逆向思维的意义，掌握因式分解的基本步骤．3．情感、态度与价值观培养良好的推理能力，体会“化归”与“换元”的思想方法，形成灵活的应用能力．重点难点1．重点：理解完全平方公式因式分解，并学会应用．2．难点：灵活地应用公式法进行因式分解．应用“化归”、“换元”的思想方法，把问题进行形式上的转化，?达到能应用公式法分解因式的目的．教学方法采用“自主探究”教学方法，在教师适当指导下完成本节课内容．教学过程一、回顾交流，导入新知【问题牵引】1．分解因式：（1）－ 9x2+4y2；（2）（ x+3y）2－（ x－3y）2；（ 3）x2－ 0.01y 2．【知识迁移】2．计算下列各式：（ 1）（ m－ 4n）2；（2）（m+4n）2；（ 3）（ a+b）2；（4）（a－b）2．【教师活动】引导学生完成下面两道题，并运用数学“互逆”的思想，寻找因式分解的规律．3．分解因式：2222（ 1） m－ 8mn+16n（ 2） m+8mn+16n；（ 3） a2+2ab+b2；（ 4） a2－2ab+b2．【学生活动】从逆向思维的角度入手，很快得到下面答案：222222解：（ 1） m－ 8mn+16n=（ m－4n）；（ 2） m+8mn+16n=（ m+4n）；222222 （ 3） a +2ab+b =（ a+b）；（ 4） a － 2ab+b =（ a－ b）．【归纳公式】完全平方公式a2± 2ab+b2=（a± b）2．二、范例学习，应用所学【例 1】把下列各式分解因式：223（2－4；（ 1）－ 4a b+12ab－9b；2）8a－ 4a（ 3）（ x+y ）2－ 14（ x+y ） +49；（4）+n4．【例 2】如果 x2+axy+16y 2是完全平方，求 a 的值．【思路点拨】根据完全平方式的定义，解此题时应分两种情况，即两数和的平方或者两数差的平方，由此相应求出 a 的值，即可求出 a3．三、随堂练习，巩固深化课本 P119 练习第 1、 2 题．【探研时空】1．已知 x+y=7 ， xy=10 ，求下列各式的值．（1） x2+y2；（ 2）（ x－ y）22 ．已知 x+ =－ 3，求 x4+的值．四、课堂总结，发展潜能由于多项式的因式分解与整式乘法正好相反，因此把整式乘法公式反过来写，就得到多项式因式分解的公式，主要的有以下三个：a 2－ b2=（ a+b）（ a－b）；a 2± ab+b2=（a± b）2．在运用公式因式分解时，要注意：（ 1）每个公式的形式与特点，通过对多项式的项数、?次数等的总体分析来确定，是否可以用公式分解以及用哪个公式分解，通常是，当多项式是二项式时，考虑用平方差公式分解；当多项式是三项时，应考虑用完全平方公式分解；（2） ?在有些情况下，多项式不一定能直接用公式，需要进行适当的组合、变形、代换后，再使用公式法分解；（3）当多项式各项有公因式时，应该首先考虑提公因式，?然后再运用公式分解．五、布置作业，专题突破课本 P119 习题 14． 3 第 3、 5、 7、 8 题．板书设计14.3.2公式法（二）1、完全平方公式：例：a2± 2ab+b2=（ a± b）2练习：。

2016年秋八年级数学上册14整式的乘法与因式分解教案(新版)新人教版

第十四章整式的乘法与因式分解1.了解幂的意义,并学会简单的同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法的运算,能根据幂的各种运算性质解决数学问题和简单的实际问题.2.了解零指数幂的意义;探索整式乘除法的法则,会进行简单的乘除法运算.3.要求学生说出平方差公式和完全平方式的特点,能正确地利用平方差公式和完全平方式进行多项式的乘法.4.了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系,从中体会事物之间可以相互转化的思想,学会用提公因式法、公式法(直接用公式不超过两次)进行因式分解(指数是正整数).让学生主动参与到一些探索过程中来,逐步形成独立思考、主动探索的习惯,培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的能力.通过本章中一些生活实例的学习,体会数学与生活之间的密切联系,在一定程度上了解数学的应用价值,提高学生学习的兴趣.本章是整式的加减的后续学习,首先,从幂的运算开始入手,逐步展开整式的乘除法运算;接着,在整式的乘法中提炼出两种特殊的乘法运算,即两个乘法公式;最后,从整式乘法的逆过程出发,引入因式分解的相关知识.本章主要有如下特点:1.注重知识形成的探索过程,让学生在探索过程中领悟知识,在领悟的过程中建构体系,从而更好地实现知识体系的更新和知识的正向迁移.2.知识内容的呈现方式力求与学生已有的知识结构相联系,同时兼顾学生的思维水平和心理特征.3.让学生掌握基本的数学事实与数学活动经验,减轻不必要的记忆负担.4.注意从生活中选取素材,给学生提供一些交流、讨论的空间,让学生从中体会数学的应用价值,逐步养成谈数学、想数学、做数学的良好习惯.5.教材的安排、例题的讲解与习题的处理都给教师留有较大的余地与足够的空间,教师能根据各地学生的实际情况,充分发挥自己的教学主动性和积极性,创造性地进行教学.【重点】1.理解和掌握幂的运算性质.2.掌握整式的乘除运算方法,理解乘法公式,能对多项式进行因式分解.【难点】1.整式的乘除运算.2.利用乘法公式进行计算,利用提公因式法和因式分解法对多项式进行因式分解.1.幂的运算是整式乘除的基础,在教学幂的运算性质时,要让学生经历探索的过程,通过特例计算,自己概括出有关运算法则,理解并掌握这些法则,并能用来进行简单的计算.要注意留给学生探索与交流的空间,让学生在自己的实践中获得运算法则.在教学中要注意渗透化归的思想.对于整式的乘除法要让学生通过适当的尝试,获得一些直接体验,体验单项式与单项式相乘的运算规律,在此基础上总结出整式乘除法的一些运算法则,对于一些法则的获得要注意结合图形,让学生体会特点,从而加深对知识的理解和掌握.2.对于乘法公式的教学,要留出更多的时间和空间让学生自主探索,发现规律,体验乘法公式的来源,理解公式的意义和作用,降低对公式的记忆要求.教学时可以让学生直接计算较为简单的情况,在此基础上指出这一乘法结果的普遍性.教师要注意从已有的整式乘法的知识中提炼出这一乘法公式,让学生明确公式来源于整式的乘法,又应用于整式乘法的辩证性.3.对于因式分解这部分内容,要注意留给学生讨论的时间,引导学生进行归纳、概括.注意教给学生因式分解的方法和步骤,强化提公因式法和公式法的结构特点,让学生在不断练习中得以巩固和提高.总之,在本章的教学中,教师要创造性地使用教材,充分发挥自己在教学中的组织、引导、合作的作用,通过创设一定的问题情境,帮助学生在做一做、探索、交流与讨论中,主动地去获取知识.本章的教学中,教师不要人为地增加学生的记忆负担,提高对学生的要求,也不要人为地补充一些繁、难、偏、旧的内容,根据学生的具体情况,可以在某些具体问题上,让一部分学有余力的学生得到更好的发展,体现教材的弹性.14.1 整式的乘法14.1.1同底数幂的乘法(1课时)7课时14.1.2幂的乘方(1课时)14.1.3积的乘方(1课时)14.1.4整式的乘法(4课时)14.2乘法公式2课时14.2.1平方差公式(1课时)14.2.2完全平方公式(1课时)14.3因式分解3课时14.3.1提公因式法(1课时)14.3.2公式法(2课时)单元复习1课时14.1整式的乘法1.了解幂的意义,并学会简单的同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法的运算.2.从幂的运算入手,逐步展开整式的乘法,要了解单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的法则,会进行简单的整式乘法的计算.3.通过计算,提高学生独立思考、主动探索的能力.1.在推理的过程中,让学生学会类比的方法,培养学生的观察、抽象、概括的能力.2.在观察的过程中,让学生掌握整式乘法的一些计算方法,并能运用这些方法进行计算.1.让学生体验从特殊到一般的过程,能自己在实践中总结概括法则.2.培养学生学习数学的积极性,让学生树立热爱数学的情感.【重点】1.同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法法则.2.整式的乘法法则.【难点】1.能正确进行同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法计算.2.整式的乘法的一些计算.14.1.1同底数幂的乘法1.理解同底数幂的乘法法则.2.能运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题.1.在进一步体会幂的意义时,发展推理能力和有条理的表达能力.2.通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用,使学生初步理解特殊到一般,一般到特殊的认知规律.体会科学的思想方法,激发学生探索创新的精神.【重点】正确理解同底数幂的乘法法则.【难点】正确理解和应用同底数幂的乘法法则.【教师准备】多媒体课件(1,2,3).【学生准备】复习幂的意义.导入一:复习a n的意义:a n表示n个a相乘,我们把这种运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂;a叫做底数,n是指数.提出问题:一种电子计算机每秒可进行1千万亿(1015)次运算,它工作103秒可进行多少次运算?【师】能否用我们学过的知识来解决这个问题呢?【生】运算次数=运算速度×工作时间,所以计算机工作103秒可进行的运算次数为:1015×103.【师】1015×103如何计算呢?【生】根据乘方的意义可知:1015×103= ×(10×10×10)==1018.【师】很好,通过观察大家可以发现1015,103这两个因数是同底数幂的形式,所以我们把像1015×103的运算叫做同底数幂的乘法,根据实际需要,我们有必要研究和学习这样的运算——同底数幂的乘法.[设计意图]首先让学生回忆幂的一些知识,然后根据教材中的问题1让学生列式、观察并计算出结果,从而导入到本节课的学习之中.导入二:“盘古开天辟地”的故事:公元前一百万年,没有天没有地,整个宇宙是混沌的一团,突然间窜出来一个巨人,他的名字叫盘古,他手握一把巨斧,用力一劈,把混沌的宇宙劈成两半,上面是天,下面是地,从此宇宙有了天地之分,盘古完成了这样一个壮举,累死了,他的左眼变成了太阳,右眼变成了月亮,毛发变成了森林和草原,骨头变成了高山和高原,肌肉变成了平原与谷地,血液变成了河流.【师】盘古的左眼变成了太阳,那么太阳离我们多远呢?光的速度为3×105千米/秒,太阳光照射到地球大约需要5×102秒,你能计算出地球距离太阳大约有多远吗?【生】可以列出算式:3×105×5×102=15×105×102=15×“?”.(引入课题)[设计意图]从远古到现代,让学生感受传说,极大地激发了学生的学习热情,同时相应问题的提出,也为学习同底数幂的乘法埋下了伏笔.导入三:北京奥运场馆一平方千米的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃烧108千克煤所产生的能量.那么105平方千米的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克煤?【师】你们能列式吗?(学生讨论得出108×105)【师】108,105我们称之为什么?(幂)【师】我们再来观察底数有什么特点?【生1】都是10.【生2】是一样的.【师】像这样底数相同的两个幂相乘的运算,我们把它叫做同底数幂的乘法.(揭示课题)[设计意图]利用提问题,一方面可以集中学生注意力,使之较快进入课堂学习状态,另一方面可以对学生进行爱国主义教育,增强学生的环保意识.[过渡语]刚才我们通过计算知道1015×103=1018,下面我们再来观察几道题.问题1【课件1】计算下列各式:(1)25×22;(2)a3·a2;(3)5m·5n(m,n都是正整数).你发现了什么?注意观察计算前后底数和指数的关系,并能用自己的语言描述.【师】根据乘方的意义,同学们可以独立解决上述问题.【生】25×22=(2×2×2×2×2)×(2×2)=27 =25+2.25表示5个2相乘,22表示2个2相乘,根据乘方的意义:a3·a2=(a·a·a)·(a·a)=a5=a3+2.5m·5n==5m+n.(让学生自主探索,在启发性设问的引导下发现规律,并用自己的语言叙述) 【生】我们可以发现下列规律:(1)这三个式子都是底数相同的幂相乘;(2)相乘结果的底数与原来底数相同,指数是原来两个幂的指数的和.【师生共析】a m·a n表示同底数幂的乘法,根据幂的意义可得:a m·a n==a m+n.于是有a m·a n=a m+n(m,n都是正整数),用语言来描述此法则即为:“同底数幂相乘,底数不变,指数相加”.[知识拓展]同底数幂是具有相同底数的幂.(1)幂可以看做是代数式中的一类,是形如a n的代数式.目前,在我们研究的这类式子中,可以是任何有理数,也可以是整式,而a n中的n只能是正整数.(2)35与155不是同底数幂,因为它们的底数一个是3,一个是15,是不一样的,这说明两个幂是不是同底数幂,与它们的指数是否相同毫无关系.(3)53与515是同底数幂,因为它们的底数相同(都是5).同理,x3与x5,(a+b)2与(a+b)5也都是同底数幂.同底数幂的乘法法则的关键在于底数,底数一定要相同,并且二者是相乘关系,这样指数才能相加,否则不能运用此法则.问题2(针对导入三)1.探索 108×105等于多少.(鼓励学生大胆猜想)学生可能会出现以下几种情况: ①10013;②1040; ③10040;④1013.[设计意图]猜想产生疑问,激发兴趣,为学生推导公式做好情感铺垫.【师】那到底谁的猜想正确呢?小组合作讨论,生回答,师板演:108× 105===1013.即108× 105=108+5.[设计意图]师给出适当的提示后,相信学生能在已有的知识基础上,利用集体的智慧,找出猜想中的正确答案,并通过“转化”思想得出结论,也找到了正确的推理过程.2.出示问题:(学生口答,课件显示过程)a6·a9=·==a15.即a6·a9=a6+9.3.观察以上两个式子,你有什么发现?【师】这是两个特殊的式子,它们的指数分别是8,5;6,9.底数相同的两数的任何次幂相乘,都是底数不变,指数相加吗?能找到一个具有一般性,代表性的式子吗?a m·a n怎么计算?[设计意图]a6·a9和a m·a n的推导过程由于108·105打好了坚实的基础,所以用填空的形式简化公式的推导过程,既避免了重复教学过程,也节约时间,同时也能达到让学生经历从具体到一般的推导过程.【板书】a m·a n=a m+n(m,n都是正整数).师补充解释m,n都是正整数的原因,并请学生用自己的语言概括该结论,之后全体学生用精炼的文字概括表述.【板书】同底数幂相乘,底数不变,指数相加.[设计意图]全班学生参与活动,经历从理解法则的含义的概括到用十分准确简练的语言概括过程,从而提高学生的表达能力.问题3[过渡语]刚才通过探究,我们知道了同底数幂的乘法法则,现在我们就可以利用这个法则进行同底数幂的乘法计算.【课件2】(教材例1)计算:(1)x2·x5;(2)a·a6;(3)(-2)×(-2)4×(-2)3;(4)x m·x3m+1.计算a m·a n·a p后,能找到什么规律?【师】我们先来看例1,是不是可以用同底数幂的乘法法则呢?【生1】(1)(2)(4)可以直接用“同底数幂相乘,底数不变,指数相加”的法则.【生2】(3)也可以,先算2个同底数幂相乘,将其结果再与第三个幂相乘,仍是同底数幂相乘,再用法则运算就可以了.【师】同学们分析得很好.请自己做一遍,每组出一名同学板演,看谁算得又准又快.【生板演】(1)解:x2·x5=x2+5=x7.(2)解:a·a6=a1+6=a7.(3)解:(-2)×(-2)4×(-2)3=(-2)5×(-2)3=(-2)8=256.(4)解:x m·x3m+1=x m+3m+1=x4m+1.【师】接下来我们来看例2.受例1中第(3)题的启发,能自己解决吗?与同伴交流一下解题方法.解法1:a m·a n·a p=(a m·a n) ·a p=a m+n·a p =a m+n+p.解法2:a m·a n·a p=a m·(a n·a p)=a m·a n+p=a m+n+p.解法3:a m·a n·a p= =a m+n+p.【归纳】解法1与解法2都直接应用了运算法则,同时还运用了乘法的结合律;解法3是直接应用乘方的意义.三种解法得出了同一结果,我们需要这种开拓思维的创新精神.【生】那我们就可以推断,不管是多少个幂相乘,只要是同底数幂相乘,就一定是底数不变,指数相加呢?【师】是的,能不能用符号表示出来呢?【生】···…·.【师】(鼓励学生)那么例1中的第(3)题我们就可以直接应用法则运算了.(-2)×(-2)4×(-2)3=(-2)1+4+3=(-2)8=256.1.同底数幂的乘法的运算性质是底数不变,指数相加.应用这个性质时,应注意两点:一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质;二是运用这个性质计算时一定是底数不变,指数相加,即a m·a n=a m+n(m,n都是正整数).2.推广:a m·a n·a p=a m+n+p.3.(课件3)注意:在应用同底数幂乘法法则时,注意以下几点:(1)底数必须相同,如23与25,(a2b2)3与(a2b2)4,(x-y)2与(x-y)5等.(2)a可以是单项式,也可以是多项式.(3)按照运算性质,只有相乘时才是底数不变,指数相加.1.计算a6×a3的结果是()A.a9B.a2C.a18D.a3解析:原式=a6+3=a9.故选A.2.下列计算正确的是()A.x·x2=x2B.x2·x2=2x2C.x2+x3=x5D.x2·x=x3解析:A.底数不变,指数相加,故A错误;B.底数不变,指数相加,故B错误;C.不是同底数幂的乘法,指数不能相加,故C错误;D.底数不变,指数相加,故D正确.故选D.3.计算(-a)3·(-a)2的正确结果是()A.a5B.-a5C.a6D.-a6解析:原式=(-a)3+2=(-a)5=-a5.故选B.4.计算.(1)(-5)×(-5)2×(-5)3;(2)(-a)·(-a)3;(3)-a3·(-a)2;(4)(a-b)2·(a-b)3;(5)(a+1)2·(1+a)·(a+1)3.解析:利用同底数幂乘法法则进行计算,底数不同的利用互为相反数的奇偶次幂的性质进行转化.解:(1)(-5)×(-5)2×(-5)3=(-5)6=56.(2)(-a)·(-a)3=(-a)4=a4.(3)-a3·(-a)2=-a3·a2=-a5. (4)(a-b)2·(a-b)3=(a-b)5.(5)(a+1)2·(1+a)·(a+1)3=(a+1)6.14.1.1同底数幂的乘法1.法则2.公式例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材第96页练习.【选做题】教材第104页习题14.1第9,10题.二、课后作业【基础巩固】1.计算(-x2)·x3的结果是()A.x5B.-x5C.x6D.-x62.下列计算正确的是()A.a3·a2=a6B.b4·b4=2b4C.x5+x5=x10D.y7·y=y83.下列运算正确的是()A.a5·a5=2a5B.a5+a5=a10C.a5·a5=2a10D.a5·a5=a104.a2014可以写成()A.a2010+a4B.a2010·a4C.a2014·aD.a2007·a20075.下列运算错误的是()A.(-a)(-a)=(-a)2B.-32·(-3)4=(-3)6C.(-a)3·(-a)2=(-a)5D.(-a)3·(-a)3=a6【能力提升】6.设a m=8,a n=16,则a m+n等于()A.24B.32C.64D.1287.下列各式成立的是()A.(x-y)2=-(y-x)2B.(x-y)n=-(y-x)n(n为正整数)C.(x-y)2(y-x)2=-(x-y)4D.(x-y)3(y-x)3=-(x-y)6【拓展探究】8.阅读材料:求1+2+22+23+24+…+22013的值.解:设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013,将等式两边同时乘以2得:2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014,将下式减去上式得2S-S=22014-1,即S=22014-1,即1+2+22+23+24+…+22013=22014-1.请你仿照此法计算:(1)1+2+22+23+24+ (210)(2)1+3+32+33+34+…+3n(其中n为正整数).【答案与解析】1.B(解析:(-x2)·x3=-x2+3=-x5.故选B.)2.D(解析:A.应为a3·a2=a5,故本选项错误;B.应为b4·b4=b8,故本选项错误;C.应为x5+x5=2x5,故本选项错误;D.y7·y=y8,正确.故选D.)3.D(解析:A.应为a5·a5=a10,故本选项错误;B.应为a5+a5=2a5,故本选项错误;C.应为a5·a5=a10,故本选项错误;D.a5·a5=a10,正确.故选D.)4.B(解析:A.a2010+a4不能进行计算;B.a2010·a4 =a2014;C.a2014·a=a2015 ;D.a2007·a2007=a4014,故选B.)5.B(解析:A.(-a)(-a)=(-a)2,故本选项正确;B.-32·(-3)4=-32·34=-36,故本选项错误;C.(-a)3·(-a)2=(-a)3+2=(-a)5,故本选项正确;D.(-a)3·(-a)3=(-a)3+3=(-a)6=a6,故本选项正确.故选B.)6.D(解析:∵a m=8,a n=16,∴a m+n=a m·a n=8×16=128.故选D.)7.D(解析:A.(x-y)2=(y-x)2,故本选项错误;B.(x-y)n=-(y-x)n(n为奇数),故本选项错误;C.(x-y)2(y-x)2=(x-y)4,故本选项错误;D.(x-y)3(y-x)3=-(x-y)6,故本选项正确.故选D.)8.解:(1)设S=1+2+22+23+24+…+210,将等式两边同时乘以2得2S=2+22+23+24+…+210+211,将两式相减得2S-S=211-1,即S=211-1,则1+2+22+23+24+…+210=211-1.(2)设S=1+3+32+33+34+…+3n①,两边同时乘以3得3S=3+32+33+34+…+3n+3n+1②,②-①得3S-S=3n+1-1,即S=(3n+1-1),则1+3+32+33+34+…+3n=(3n+1-1).在教学中教师通过实际问题创设情境,导入新课,激发了学生学习数学的兴趣,通过学生的自主探索,让学生经历观察——类比——抽象——概括等过程,归纳出同底数幂的乘法法则,提高了学生的自主意识和自我解题的能力.在归纳出同底数幂的乘法法则之后,教师通过例1、例2的学习,让学生加深了对同底数幂的乘法法则的理解.整个过程学生对知识的接受和理解较好,突出了学生的主体地位和教师的主导作用,学生学得开心,知识掌握较好.因为本节课的内容较简单,所以在习题的设计上,教师可增加些难度,让学生通过变式训练,使学生的能力得到进一步的提高.另外,对于法则的概括和理解要尽量让学生自己去独立完善,教师要少说,多讲评.教学中要适当增加难度,增加变式训练,如法则的逆应用和底数为负数的习题.法则的逆应用要重点让学生掌握,以提高学生解决问题的能力.同时,一定要让学生分清幂的底数,明确只要在同底数幂相乘的时候才能用法则进行计算,否则不行.另外,对于法则的概括以及延伸的a m·a n·a p=a m+n+p,一定要让学生尽量发挥小组合作的能力,发现计算方法,从而总结出规律.教学过程能让学生独立完成的,教师绝不包办代替,把课堂应尽量还给学生.练习(教材第96页)解:(1)原式=b5+1=b6. (2)原式=-1+2+3=-6=. (3)原式=a2+6=a8. (4)原式=y2n+n+1=y3n+1.题型1一般的同底数幂的乘法问题计算:(1)x2·x3;(2)(-2)4·(-2)3;(3)(a-1)4·(a-1)2.〔解析〕(1)可以直接得到x5;(2)中将(-2)看作相同的底数,由法则可得(-2)7;(3)中将(a-1)看作一个整体作为相同的底数.解:(1)x2·x3=x5. (2)(-2)4·(-2)3=(-2)7 =-27. (3) (a-1)4·(a-1)2=(a-1)6.题型2间接运用同底数幂的乘法法则计算:(1)-t3·(-t)4·(-t)5;(2)(z-y)3·(z-y)·(y-z)2.〔解析〕虽然底数不同,但仅仅只有符号之差,如z-y与y-z,可以先把底数变为相同的底数,再用法则计算.解:(1) -t3·(-t)4·(-t)5 =-t3·t4·(-t5)=t3·t4·t5=t12.(2)(z-y)3·(z-y)·(y-z)2=(z-y)3·(z-y)·(z-y)2=(z-y)6.〔方法提示〕对于不能直接运用同底数幂乘法法则的问题,通常先将题目中各项进行转化,化为同底数幂再运用法则计算,此过程中注意符号的确定.题型3同底数幂乘法法则的逆用计算:(-2)2007+(-2)2008.〔解析〕若直接计算,则相当麻烦,可以运用同底数幂的逆运算,将(-2)2008化成(-2)2007×(-2),再进行计算,比较简便.解:(-2)2007+(-2)2008=(-2)2007+(-2)2007×(-2)=(-2)2007× (1-2)=(-2)2007×(-1)=22007.(2014·温州中考)计算m6·m3的结果是()A.m18B.m9C.m3D.m2〔解析〕根据同底数幂的乘法法则,底数不变,指数相加可知m6·m3=m9.故选B.14.1.2幂的乘方1.知道幂的乘方的意义.2.会进行幂的乘方计算.1.经历探索幂的乘方的运算性质的过程,进一步体会幂的意义,发展推理能力和有条理的表达能力.2.了解幂的乘方的运算性质,并能解决一些实际问题.通过分组探究,培养学生合作交流的意识、提高学生勇于探究数学的品质.【重点】会进行幂的乘方的运算.【难点】幂的乘方法则的总结及运用.【教师准备】预设学生学习中容易混淆的知识.【学生准备】复习同底数幂的乘法法则.导入一:(1)叙述同底数幂乘法法则,并用字母表示.(2)计算:①a2·a5·a3;②a4·a4·a4.大家已经会进行同底数幂的乘法运算:a m·a n=a m+n(m,n都是正整数),那么幂的乘方运算又应该如何进行呢?[设计意图]通过复习巩固上节课所学的同底数幂的乘法法则的内容,为探索幂的乘方做好准备.导入二:(1)有甲、乙两个球,如果甲球的半径是乙球半径的n倍,那么甲球的体积是乙球体积的多少倍?学生口答:n3倍.(2)引导学生计算:(102)3=,怎样计算?(102)3=106.方法一:(102)3=102×102×102=102+2+2=106.方法二:(102)3=(100)3=1000000=106.[设计意图]在独立思考的基础上,组织学生交流、讨论,培养学生思维的严密性,让学生体验在交流中获益的乐趣.并在此过程中,引导学生主动反思,回顾解决问题的方法,为进入新课做准备.一、法则的探究[过渡语]我们知道表示几个相同因数积的运算叫做乘方.根据乘方的意义,请同学们解决以下问题.思路一1.思考.【课件1】根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空,看看计算的结果有什么规律:(1)(32)3=32×32×32 =3();(2)(a2)3=a2·a2·a2=a();(3)(a m)3=a m·a m·a m=a()(m是正整数).【师】教师要加强引导,强调应用中的注意事项.2.小组讨论.对正整数n,你认为(a m)n等于什么?能对你的猜想给出检验过程吗?【生】小组互相探索、交流,积极思考,然后各组派代表回答,相互点评,补充得出关于幂的乘方法则.幂的乘方法则:(a m)n==a mn.字母表示:(a m)n=a mn(m,n是正整数).语言叙述:幂的乘方,底数不变,指数相乘.教师说明法则中a可以是一个具体的数,也可以是单项式或多项式.[知识拓展]理解法则注意两点:(1)在形式上,幂的乘方的底数本身就是一个幂;(2)法则可推广到[(a m)n]k=a mnk(m,n,k是正整数);(3)幂的乘方不能和同底数幂的乘法相混淆,例如不能把(a5)2写成a7,也不能把a5·a2的计算结果写成a10;(4)幂的乘方是变乘方为乘法(底数不变,指数相乘),如(a3)2=a3×2=a6;而同底数幂的乘法是变乘法为加法(底数不变,指数相加),如a3·a2=a3+2=a5.[设计意图]在探索幂的乘方法则的过程中,学生经历了由特殊到一般的过程,让学生学会了归纳,同时培养学生的合作意识.思路二探索练习1.32表示个相乘;(32)3表示个相乘;a2表示个相乘;(a2)3表示个相乘.2.(32)3=××=(根据a m·a n=a m+n)=;(a2)3=××=(根据a m·a n=a m+n)=.引导学生观察、猜测(32)3与(a2)3的底数、指数,并用乘方的概念解答问题.3.(a m)3=××=(根据a m·a n=a m+n)=;(a m)n=××…×=(根据a m·a n=a m+n)=.通过上面的探索活动,你发现了什么?【归纳】幂的乘方,底数不变,指数相乘.(a m)n=a mn(m,n是正整数).【说明】在此过程中教师应当鼓励学生,自己发现幂的乘方的性质特点(如底数、指数发生了怎样的变化),并运用自己的语言进行描述,然后再让学生回顾这一性质的得出过程,进一步体会幂的意义.[设计意图]学生在探索练习的指引下,自主完成有关的练习,并在练习中发现幂的乘方的法则,经历由猜测到探索的过程,从而理解法则的实际意义,在本质上认识、学习幂的乘方的来历.思路三1.x3表示什么意义?2.如果把x换成a4,那么(a4)3表示什么意义?3.怎样把a2·a2·a2·a2 =a2+2+2+2写成比较简单的形式?4.由此你会计算(a4)5吗?5.根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空:(1)(53)2 =53×53=5();(2)(52)3=()×()×()=5();(3) (a3)5 =a3×()×()×()×()=a().6.用同样的方法计算(a3)4,(a11)9,(b3)n(n为正整数).这几道题学生都不难做出,在处理这类问题时,关键是如何得出3+3+3+3=12,教师应多举几例.(a11)9=a11·a11·…·a11==a99.(b3)n=b3·…·b3==b3n.教师应指出这样处理既麻烦,又容易出错,此时应让学生思考,有没有简捷的方法?引导学生认真思考,并得到:(23)2 =23×2=26;(32)3=32×3 =36;(a11)9=a11×9=a99;(b3)n=b3×n= b3n.观察结果中幂的指数与原式中幂的指数及乘方的指数,猜想它们之间有什么关系?结果中的底数与原式的底数之间有什么关系?怎样说明你的猜想是正确的?(a m)n=(乘方的意义)=(同底数幂的乘法)=a mn(乘法定义),即(a m)n=a mn(m,n是正整数).这就是幂的乘方法则.你能用语言叙述这个法则吗?幂的乘方,底数不变,指数相乘.[设计意图]通过层层导入与渗透,让学生通过类比总结出幂的乘方的计算法则,整个过程由浅入深,体现了循序渐进的原则.二、例题讲解[过渡语]刚才通过探究我们了解了幂的乘方法则,利用幂的乘方法则,我们可以直接计算幂的乘方.(教材例2)计算:(1)(103)5;(2)(a4)4;(3)(a m)2;(4)-(x4)3.〔解析〕要充分理解幂的乘方法则,准确地运用幂的乘方法则进行计算.启发学生共同完成例题.学生在教师启发下,完成例题的问题,并进一步理解幂的乘方法则.解:(1)(103)5=103×5=1015.(2)(a4)4=a4×4=a16.(3)(a m)2=a m×2=a2m.(4)-(x4)3=-x4×3=-x12.想一想:a mn等于(a m)n(m,n是正整数)吗?学生类比同底数幂的乘法运算得出a mn=(a m)n(m,n是正整数),也就是说对于幂的乘方法则,它的逆应用同样成立.当一个幂的指数是积的形式时,就可以写成幂的乘方的形式.a20=(a4)()=(a5)()=(a2)()=(a10)().已知x m=4,x n=5,试求代数式x3m+2n的值.〔解析〕x3m+2n x3m·x2n整体代入,即可求解.解:x3m+2n=x3m·x2n=(x m)3·(x n)2=43×52=1600.1.(a m)n=a mn(m,n都是正整数)的使用范围:幂的乘方.方法:底数不变,指数相乘.2.知识拓展:这里的底数、指数可以是数,也可以是单项式或多项式.3.幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则区别在于一个是“指数相乘”,一个是“指数相加”.1.下列运算正确的是()A.2a2+3a=5a3B.a2·a3=a6C.(a3)2=a6D.a3-a3=a解析:A.2a2+3a,不是同类项不能相加,故A选项错误;B.a2·a3=a5,故B选项错误;C.(a3)2=a6,故C选项正确;D.a3-a3=0,故D选项错误.故选C.2.下列运算中,计算结果正确的是()A.3x-2x=1B.2x+2x=x2C.x·x=x2D.(a3)2=a4解析:A.3x-2x=x,所以A选项不正确;B.2x+2x=4x,所以B选项不正确;C.x·x=x2,所以C 选项正确;D.(a3)2=a6,所以D选项不正确.故选C.。

八年级数学上册 14.3 因式分解 14.3.1 提公因式法教学设计 (新版)新人教版

八年级数学上册 14.3 因式分解 14.3.1 提公因式法教学设计（新版）新人教版一. 教材分析《新人教版八年级数学上册》第14.3节讲述了因式分解中的提公因式法。

这一节内容是在学生已经掌握了多项式的基本概念、多项式的乘法以及十字相乘法的基础上进行学习的。

提公因式法是因式分解的一种常用方法，它可以帮助学生更好地理解多项式的结构，提高解题效率。

本节内容的学习，既是对前面知识的巩固，也是为后面学习更复杂的因式分解方法打下基础。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，对多项式的基本概念和运算已经有了一定的了解。

但是，学生在学习因式分解时，可能会对提公因式法的应用范围和选择公因式的方法感到困惑。

因此，在教学过程中，需要引导学生积极参与，通过实例分析和练习，让学生掌握提公因式法的应用技巧。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握提公因式法，能够运用提公因式法进行因式分解。

2.过程与方法：通过实例分析，引导学生学会如何选择公因式，如何进行因式分解。

3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：提公因式法的应用。

2.难点：如何选择合适的公因式，以及如何进行因式分解。

五. 教学方法采用讲授法、引导法、实例分析法、练习法等方法，通过讲解、提问、讨论、练习等形式，引导学生积极参与，提高学生的学习兴趣和主动性。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，包括提公因式法的定义、应用范围、选择公因式的方法等。

2.准备一些练习题，包括简单的和复杂的题目，以便在课堂上进行练习和巩固。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的多项式乘法例子，引导学生思考如何将乘法转化为因式分解，从而引出提公因式法。

2.呈现（10分钟）讲解提公因式法的定义、应用范围、选择公因式的方法等，通过PPT的形式，让学生清晰地了解提公因式法的相关知识。

3.操练（10分钟）给出一些简单的题目，让学生运用提公因式法进行因式分解。

人教版数学八年级上册教学设计《14-3因式分解》(第1课时)

人教版数学八年级上册教学设计《14-3因式分解》（第1课时）一. 教材分析《14-3因式分解》是人教版数学八年级上册的教学内容，本节课主要让学生掌握因式分解的方法和技巧，并能应用于实际问题中。

教材通过引入实例和问题，引导学生探究因式分解的规律，从而达到理解并掌握因式分解的目的。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的乘法、平方差公式等基础知识，具备了一定的数学思维能力。

但因式分解较为抽象，需要学生通过实例和问题去理解和掌握。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习兴趣，激发他们的探究欲望，帮助他们建立因式分解的知识体系。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握因式分解的方法和技巧，能够独立完成因式分解的题目。

2.过程与方法：通过实例和问题，引导学生探究因式分解的规律，培养学生的逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们独立思考和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：因式分解的方法和技巧。

2.难点：如何引导学生发现并总结因式分解的规律。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。

通过提出问题，引导学生思考和探究；通过案例分析，让学生理解并掌握因式分解的方法；通过小组合作，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.准备相关的实例和问题，用于引导学生探究因式分解的规律。

2.准备PPT，用于展示和讲解因式分解的方法和技巧。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出一个实际问题，引导学生思考如何将问题转化为数学问题。

例如：已知一家电器商店举行优惠活动，购买一台电视需要支付1200元，同时赠送一个价值300元的音响。

请问，购买一台电视和一台音响需要支付多少钱？2.呈现（10分钟）展示PPT，呈现因式分解的定义和基本方法。

解释因式分解的意义，以及如何将一个多项式转化为几个整式的乘积。

3.操练（10分钟）让学生独立完成一些因式分解的题目，教师巡回指导。

题目难度可以适当调整，以满足不同学生的需求。

近年秋八年级数学上册 14.3 因式分解教案新人教版(2021年整理)

2016秋八年级数学上册14.3 因式分解教案（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016秋八年级数学上册14.3 因式分解教案（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016秋八年级数学上册14.3 因式分解教案（新版）新人教版的全部内容。

14．3 因式分解第1课时提公因式法错误!1．了解因式分解公因式等相关的概念及与整式乘法的关系．2．能找出多项式的公因式，会用提公因式法分解简单的多项式．错误!会用提公因式法分解因式．错误!正确理解因式分解的概念,准确找出公因式．错误!一师一优课一课一名师（设计者：）错误!错误!错误!错误!错误!错误!一、创设情景,明确目标同学们,我们先来看下面两个问题：1．630能被哪些数整除，说说你是怎么想的？（2,3，5，7，9，10等)2．当a＝101，b＝99时,求a2－b2的值．对于问题1我们必须对630进行质因数分解,对于问题2，虽然可以直接代值进行计算，但有没有简单的方法使计算变得简单呢?这就是我们这节课要解决的问题．二、自主学习,指向目标自学教材第114页至115页,思考下列问题：1．把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解2．因式分解与整式的乘法之间的关系是互逆变形的关系．3．公因式确定的方法是:①系数是各项系数的最大公约数，②因式的字母取各项都含有的字母；③因式的指数取最低次数．三、合作探究,达成目标错误!因式分解的定义活动一：填空并观察:(1)计算：x（x＋1）＝________；(x＋1)(x－1)＝________.（2）请你将下列各式写成乘积的形式:①x2＋x＝________；②x2－1＝________；③am＋bm＋cm＝________。

人教版八年级数学上册(教案)：14.3 因式分解教案

《因式分解》教案【教学目标】知识技能目标：1、理解因式分解的含义，能判断一个式子的变形是否为因式分解。

2、熟练运用提取公因式法分解因式。

过程与方法目标：在教学过程中，体会类比思想逐步形成独立思考，主动探索的习惯。

情感与态度目标:通过现实情景，让学生认识到数学的应用价值，并提高学生关注生存环境的环保意识。

【教学重点与难点】重点:理解因式分解的含义及运用提取公因式法分解因式。

难点：合理分组，运用提取公因式法分解因式。

【教学方法与手段】教法：类比、探究式教学方法学法：自主、合作、探索的学习方法【教具准备】多媒体展示【教学过程】一、创设情景组织学生先观看一段有关沙尘暴的视频（或图片）资料，并请学生谈谈看后有何感想。

（2至3人）二、提出问题近年来，我国土地沙漠化严重，很多城市受到沙尘暴的侵袭，但狂沙埋不住希望，有一些青年志愿者向沙漠宣战，组织了一次植树造林活动。

如图，在沙漠边上开垦荒地植树造林。

共开了三块，从左到右，它们的长分别是a﹑b﹑c,宽是m，那么一共开垦荒地的面积是？方法一得：方法二得：总结：因此=利用整式乘法验证：=我们把=这一变换过程称作因式分解。

出示课题：因式分解概念：像这样把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，称作因式分解。

对象：多项式结果：整式的乘积形式学生举例：（说明什么是因式分解）思考：整式的乘法与因式分解的关系1、因式分解积整式的乘法2、利用整式的乘法检验因式分解的正确性。

辩一辩：判断下列各式是不是因式分解，为什么？⑴ 12x3y2=3x3·4y2⑵ 5x-5y+5z=5(x-y+z)⑶ax+bxy-xy=ax+xy(b-1)⑷a2-b2=(a-b)·(a+b)说明：1、等式左边是多项式，右边是整式的乘积形式;2、因式分解一般分解到不能再分解为止。

三、引入新知=想学习这样分解因式的方法吗？这种方法就是提取公因式法，哪什么叫做公因式呢?公因式：多项式中的每一项都含有一个相同的因式m，我们称之为公因式。

人教版初中数学八年级上册14.3因式分解(一)教案

因式分解（一）一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：● 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；● 能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式；● 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；● 经历综合利用提公因式法和公式法将多项式因式分解的过程，发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯。

重点难点：● 重点：因式分解的概念及各种方法的使用条件。

● 难点：因式分解方法的综合应用。

学习策略：● 通过观察，归纳出分解因式与整式乘法的关系，并能根据多项式的特点，选择适当的方法进行分解，培养逆向思维的意识。

二、学习与应用（一）写出平方差公式和完全平方公式：平方差公式：()()_____a b a b +-= ．完全平方公式：2()_______a b ±= ．（二）乘法对加法的分配律：()_______a b c+= ．（三）分解质因数的概念：把一个数写成几个质数的形式．（四）计算下列各式：（1）(m+4)(m －4)= ；（2）(y －3)2= ；“凡事预则立，不预则废”。

科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对知识回顾---复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？（3）3x(x －1)= ；（4）m(a+b+c)= ；（5）a(a+1) (a －1)=（五）请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立：（1）2－a = (a －2)；（2）y －x = (x －y )；（3）b +a = (a +b )；（4）(b －a )2= (a －b )2；（5）－m －n = (m+n )；（6）－s 2+t 2= (s 2－t 2).知识点一：因式分解的概念把一个多项式化成几个的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式，如：2____________a ab -=，222____________x yx y ++=等。

人教版八年级上册14.3因式分解课程设计

人教版八年级上册14.3因式分解课程设计一、课程背景及目的在高中数学教材中，代数学是一个重要的内容，而因式分解则是代数学的一个非常基础的知识点。

因式分解是指将一个代数式分解成几个乘积的形式，每个乘积称为一个因式。

本课程设计的目的是让学生了解并掌握因式分解的基本方法，从而提高他们的数学运算能力和思维能力。

二、知识点概述1. 因式分解的定义因式分解指将一个代数式分解成几个乘积的形式，每个乘积称为一个因式。

例如：2x2+4x+6，它的因式分解式为2(x+1)(x+3)。

2. 因式分解的基本思想和方法1.提取公因数法2.公式法3.分组法3. 因式分解的应用因式分解在数学中有很多应用，例如：1.求解方程2.化简分式3.简化运算4.发现规律三、课程内容及教学策略1. 教学内容1.提取公因数法2.公式法3.分组法的基本思想和方法4.各种方法的比较和应用2. 教学策略1.采用启发式教学法，引导学生通过演示、分析和讨论思考思路。

2.强调学生应该熟练掌握分解时的基本思想和方法，而不仅仅是单纯的背诵公式。

3.利用生活中的例子和问题，帮助学生更好地理解因式分解的应用。

4.通过练习题的讲解和实践，提高学生的数学运算能力和思维能力。

四、教学计划及方法1. 教学计划第一课时1.介绍因式分解的概念和基本思想。

2.详细讲解提取公因数法和练习。

第二课时1.介绍公式法和分组法的基本思想和方法。

2.讲解三种方法的比较及应用。

3.练习。

第三课时1.讲解因式分解在不同问题中的应用。

2.练习。

第四课时1.提高学生解决复杂问题的能力。

2.练习。

2. 教学方法1.演示分析法：将一些典型例子进行演示和分析，引导学生理解因式分解的基本思想和方法。

2.启发式教学法：通过提出问题、讨论和解决问题的过程，让学生掌握因式分解的应用和解决问题的方法。

3.练习训练法：通过不同的练习题，让学生熟练掌握因式分解的基本思想和方法。

五、总结通过本次因式分解的课程设计，学生能够掌握因式分解的基本思想和方法，并且能够在实际问题中应用这些知识。

人教版数学八年级上册教学设计《14-3因式分解》(第2课时)

人教版数学八年级上册教学设计《14-3因式分解》（第2课时）一. 教材分析《14-3因式分解》是人教版数学八年级上册的教学内容，本节课的主要内容是利用提公因式法分解因式。

学生在之前的学习中已经掌握了整式的乘法，包括提公因式法和多项式乘以多项式，为本节课的学习打下了基础。

本节课的内容对于学生来说具有一定的挑战性，需要他们能够灵活运用已学的知识，发现并总结因式分解的规律。

教材中通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固和掌握因式分解的方法。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于整式的乘法有一定的了解。

他们在学习过程中，需要通过实例和练习，将已学的知识转化为自己的能力，从而理解和掌握因式分解的方法。

同时，八年级的学生正处于青春期的转折点，思维活跃，好奇心强，对于新知识有较强的求知欲，但也容易注意力不集中，需要教师通过丰富的教学手段和方法，激发他们的学习兴趣，引导他们积极参与课堂活动。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握因式分解的概念，能够运用提公因式法分解因式。

2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳，培养学生发现和总结规律的能力。

3.情感态度与价值观目标：培养学生积极参与课堂活动，合作学习的良好习惯，增强学生对数学的兴趣。

四. 教学重难点1.重点：掌握因式分解的概念，能够运用提公因式法分解因式。

2.难点：发现并总结因式分解的规律，能够灵活运用提公因式法分解因式。

五. 教学方法采用问题驱动法、引导发现法、合作交流法等教学方法，引导学生积极参与课堂活动，通过观察、分析、归纳，发现和总结因式分解的规律，提高学生解决实际问题的能力。

六. 教学准备1.教师准备：准备好相关的教学材料，如PPT、黑板、粉笔等。

2.学生准备：预习相关内容，了解整式的乘法，准备参与课堂活动。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入因式分解的概念，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）通过PPT或黑板，展示因式分解的定义和提公因式法，让学生初步了解因式分解的方法。

八年级数学上册 14.3 因式分解综合复习教案 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中八年级上册数学

(3) 8a3bc=2a2·4abc
(4) a2-b2=(a+b)(a-b)
(5) m2+m-4=(m+3)(m-2)+2
因式分解的步骤：
（1）若多项式各项有公因式,则先提取公因式.
（2）若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.
（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.
重点
复习综合应用提公因式法,公式法分解因式.
难点
利用分解因式进行计算及讨论.
使用
器材
多媒体课件
教学
过程
教师活动
学生活动
说明或
设计意图
提
出
问
题
，
引
入
新
课
知识回顾，提出问题
在一个大正方形中截取一个小正方形后，剩余的面积为13，且两正方形的边长均为整数。求两正方形的边长？
让学生先思考，回顾所学知识，再请学生来回答。
通过例题和练习的巩固，相互提醒该注意的小细节，以及一些做题技巧。
若时间充足，还可提问一两个平时做题爱出错的同学，问他们还有什么疑惑，并抽成绩好的同学帮他
课
外
作
业
教科书复习题14第3、7题
板
书
设
计
《因式分解》小与复习
一、1.讨论推导本章知识结构图
2.重点知识讲解
（1）举例说明什么是因式分解.
（2）分解因式与整式乘法有什么关系?
(3) 5(x-y)3+10(y-x)2
(4)计算：9992+999
分解因式：
(1)25-16x2
(2)－81x2+4y2
(3) (x－y)2－(x+y)2

14.3因式分解方法(教案)

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“因式分解在实际数学问题中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了因式分解的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对因式分解方法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
b)公式法的应用：学生需要记住平方差和完全平方公式，并能够灵活应用到具体的因式分解问题中。
-举例：学生在分解$x^2 - 2x + 1$时可能会忘记是完全平方公式$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$的应用。
c)十字相乘法的步骤：学生需要掌握十字相乘法的详细步骤，包括如何找到乘积项和常数项。
在教学过程中，教师应针对以上重点和难点内容，采用适当的举例、图示、练习等方法，确保学生能够透彻理解和掌握因式分解的核心知识。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“14.3因式分解方法”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在数学学习中是否遇到过多项式难以简化的问题？”比如$x^2 + 2x + 1$，看起来复杂，但其实可以简化为$(x+1)^2$。这个问题与我们将要学习的因式分解密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索因式分解的奥秘。