第二节角的概念的推广
2.角的概念的推广
第2讲 角的概念的推广考点1任意角的概念1.定义：平面内，一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置，所形成的图形称为 ，射线的端点叫作交角的 ，开始位置的射线叫作角的 ，终止位置的数射线叫作角的 .2.规定：按 时针方向旋转所形成的角，叫作正角，按 时针方向旋转所形成的角，叫作负角，没有作任何旋转，终止位置与起始位置重合，我们称这样的角为 .这样就形成了任意大小的角.3.下列说法错误的是A. 按逆时针方向旋转所成的角是正角B. 按顺时针方向旋转所成的角是负角C. 没有作任何旋转所成的角是零角D. 终边和始边相同的角是零角 考点2 象限角角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z ；第二象限角的集合为： ；第三象限角的集合为： ；第四象限角的集合为： .1.下列说法正确的是A.第一象限的角一定是正角B.三角形的内角不是锐角就是钝角C.锐角小于090D.小于090的角为锐角2.判断下列各角所在的象限① 075-② 0225③ 0475④ 0315-2.若α是第四象限的角，则0180α-是A. 第一象限的角B. 第二象限的角C. 第三象限的角D. 第四象限的角3.已知α为第三象限角，则2α所在的象限是（分类讨论法或几何法） A.第一或第二象限 B.第二或第三象限 C.第一或第三象限 D.第二或第四象限 考点3 终边相同的角与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z1.在000360α≤<内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限的角① 0150-② 0650③ 015002.下列说法正确的是A.角α与角0360,()k k Z α⋅+∈的终边相同B.第二象限的角是钝角C.第二象限的角一定大于第一象限的角D.终边相同的角相等3. 01122-角的终边所在的象限A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.下列各角中，终边与角0330的终边相同的是A. 0630-B. 01830-C. 030D. 09905.与02011终边相同的最小的正角是 ，与02011终边相同的绝对值最小的角是 .。
2.角概念的推广
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随堂演练
【做一做2-2】 请你用负角表示第一象限角、第二象限角、第 三象限角、第四象限角的集合. 解:第一象限角的集合:{α|k×360°-360°<α<k×360°270°,k∈Z}; 第二象限角的集合:{α|k×360°-270°<α<k×360°180°,k∈Z}; 第三象限角的集合:{α|k×360°-180°<α<k×360°-90°,k∈Z}; 第四象限角的集合:{α|k×360°-90°<α<k×360°,k∈Z}.
§2 角的概念的推广
-1-
§2
角的概念的推广
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随堂演练
1.初步理解用“旋转”定义角的概念;理解“正角”“负角”“零角”“象 限角”“终边相同的角”的含义. 2.掌握所有与角α终边相同的角(包括角α)的表示方法.
-2-
§2
1 2
角的概念的推广
3
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知Байду номын сангаас梳理
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(3)角的记法:用1个希腊字母表示,如α,β,γ,…;也可用3个大写的英 文字母表示(字母前面要写符号“∠”),其中中间字母表示角的顶点, 如∠AOB,∠DEF,…. (4)角的分类:按旋转方向分为正角、零角和负角. 【做一做1】 下列说法中错误的是( A.按逆时针方向旋转所成的角是正角 B.按顺时针方向旋转所成的角是负角 C.没有作任何旋转所成的角是零角 D.终边和始边相同的角是零角 答案:D )
第二节 角的概念的推广
（2）角可以任意大； 实例：体操动作：旋转2周（360×2=720） 3周（360×3=1080） （3）还有零角，一条射线，没有旋转。
长风破浪会有时 直挂云帆济沧海
角的概念推广以后，它包括任意大小的正 角、负角和零角。
要注意，正角和负角是表示具有相反意义 的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象 与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好 象数零无正负一样。
例如： 体操运动员转体720º，跳水运动员向
内、向外转体1080º； 经过1小时，时针、分针、秒针各转了
多少度？ ……
这些例子不仅不在范围[0º, 360º) ，而 且方向不同。
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所以，就有必要将角的概念推广到任意 角，同学们想想用什么办法才能推广到任意 角？
关键是用运动的观点来看待角的变化。
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例如：
30、390、330是第Ⅰ象限角， 300、 60是第Ⅳ象限角， 585、1300是第Ⅲ象限角， 135 、2000是第Ⅱ象限角等。
Y
Ⅱ
Ⅰ
0
X
Ⅲ
Ⅳ
长风破浪会有时 直挂云帆济沧海
y 1、角的顶点与原点重合。
2、角的始边与x轴的非负半轴重合。
1、观察：390，330角，它们的终边都与 30角的终边相同. 2、探究：终边相同的角都可以表示成一个0到 360的角与k(k∈Z)个周角的和： 390=30+360(k=1), 330=30360 (k=－1) 30=30+0×360 (k=0), 1470=30+4×360(k=4)
它是第二象限角。
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高一数学角的概念的推广
90 ( 2 k 1 ) 180 , k Z
90 k 180 , k Z
Hale Waihona Puke 六：练习⒈把 1990 1 2 写成 k 360 ( 0 的形式, 并判定它是第几象限角：
360
,k Z )
解:
1990 1 2 190 1 2 5 360
190 1 2 是与 1990
1 2 终边相同的角
1 9 0 1 2 属 于 第 三 象 限
1 9 9 0 1 2 属 于 第 三 象 限
⒉时钟走过3小时20分钟，则分针转过的角的度数 为多少？
解:
3 360
角的概念的推广
一、复习引入
在初中是如何定义角的？ 有公共端点的两条射线组成的几何 图形叫做角。
顶 点 边
边
A′
A′
实例3
A′
A′ A′
A′
α′
A′
A
A′
A′
A′
实例4
A′
A′
A′
A′
α′
A′
A
A′
A′
A′
A′
二：角的概念与推广
1、定义：平面内一条射线绕着端点从一 这些例子所提到的角不仅不在范围 0 ,3600 ] 中，而且方向不同，有必要 个位置旋转到另一个位置所成的图形 [0 叫做角。 将角的概念推广到任意角，想想用什么 终边 B 思想来研究角的概念？
； /0_3/ 好想住你隔壁
adrfjrge ；
角的概念推广
【引入】
经过30分钟，时针，分针，秒针各旋转了多少度？
【结论】：
1.旋转产生了角；
2.方向不同体现在角上应有什么不同？
3.角的大小不能限定为周角，需要扩大。
【新课】：
1.概念：
（1）角的概念的推广：
由一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角，其度量值是正的。
按顺时针方向旋转所形成的角为负角，其度量值是负的。
特别地，当一条射线没有旋转时，我们也认为形成了一个角，这个角叫做零角
1）范围扩大
2）过程
3）正负角的形成
4）任意大小的角都有意义
2.象限角：
端点在原点，始边为x 轴的正半轴，则终边在第几象限，则角为第几象限角。
【练习】
指出下列的角是第几象限角？
30,60,90,280,315︒︒︒︒︒
【注】终边在坐标轴上的角不属于任何象限
3.终边相同角的表示：
360()k k Z βα=+⋅︒∈
4.练习：
（1）判断下列角是第几象限角，写出与下列角终边相同的角的集合
︒︒-︒︒-︒
45,405,200,1450,630
（2）α为锐角是α为第一象限角的________条件；（3）写出终边落在下列各处的角的集合：
①终边在x轴的正半轴上的所有角的集合;
②终边在x轴的负半轴上的所有角的集合;
③终边在y轴的正半轴上的所有角的集合;
④终边在y轴的负半轴上的所有角的集合;
⑤角所在象限表示：
第1象限
第2象限
第3象限
第4象限
课堂小结：
1.角的概念的推广；
2.象限角的概念；
3.终边相同的角的表示。
高中数学知识点精讲精析 角的概念的推广
1·2角的概念的推广1·2·1任意角的概念1．角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
射线的起始位置是角的起始边，射线的终止位置是角的终边，射线的端点是角的顶点。
按旋转方向，角可以分为三类：（1）正角：把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角。
（2）负角：把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角.（3）零角：如果一条射线没有作任何旋转称它形成一个零角.学习角的概念应注意角的三要素：顶点、始边、终边。
在初中几何中“角是从一点出发的两条射线所组成的图形”的概念上推广，又强调了角是“由一条射线绕着它的端点旋转而成的”旋转定义的观点，可见角是一种几何图形。
角是既有大小又有旋转方向的向量，其范围由初中的锐角、直角、钝角推广到任意大小的角，为与实数之间建立对应关系奠定了基础；其旋转方向有逆时针方向与顺时针方向的区别。
零角是始边与终边重合的角，但始边与终边重合的角不一定是零角。
1·2·2 象限角在直角坐标系内,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
象限角的前提条件是：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，否则不能判断该角是哪个象限角。
角的终边若落在坐标轴上，认为这个角不属于任一象限，即为轴线角。
锐角与第一象限角既有区别又有联系。
锐角是第一象限角，而第一象限角不一定是锐角；同样钝角是第二象限角，而第二象限角不一定钝角。
例1.在00到3600范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角. （1）-1200；（2）6400；（3）-950012，.解：（1）-1200=2400+（-1）×3600，∴与-1200角终边相同的角是2400角，它是第三象限角；（2）6400=2800+3600，∴与6400角终边相同的角是2800角，它是第四象限角；（3）-950012，=129048，+（-3）×3600，∴与-950012，角终边相同的角是129048，角，它是第二象限角.例2.若α是第二象限角，则α2，2α分别是第几象限的角？ 解：（1）∵α是第二象限角，∴900+k×3600<α<1800+k×3600（k∈Z）∴ 1800+k×7200<2α<3600+k×7200∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y ．轴的非正半轴上．．．．．．．。
角的概念的推广
角的概念的推广§2角的概念的推广一、教学目标1、知识与技能：（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解象限角、坐标轴上的角的概念；（3）理解任意角的概念，掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；（4）能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；（5）能进行简单的角的集合之间运算。
2、过程与方法：类比初中所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习。
3、情感态度与价值观：通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。
二、教学重、难点重点:理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断。
难点:把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。
三、学法与教法在初中，我们知道最大的角是周角，最小的角是零角；通过回忆和类比初中所学角的概念,把角的概念进行了推广；角是一个平面图形，把角放入平面直角坐标系中以后,了解象限角的概念；通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法；我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示，另外还有相同终边角的集合的表示等。
教法:类比探究交流法。
四、教学过程（一）、创设情境，揭示课题同学们，我们在拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧。
但不知同学们有没有注意到，在这两个过程中，扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系呢？请几个同学畅谈一下，教师控制好时间，2-3分钟为宜。
角的概念的推广
二、角的概念 的推广
B 12
90
9
O
3 A
6
二、角的概念
12
540
9
3
6
二、角的概念
“角 ”或“∠ ”可以简化成 “ ”
说 明
角的正负由旋转方向决定
角的绝对值大小由旋转次数及 终边位置决定
三、角的象限
y 终边 终 边 x o 始边
终边
终 边
终 边
1)角的顶点放置于原点 2)始边重合于X轴的正半轴 3)终边落在第几象限就是 第几象限角（终边落在坐 标轴上的角叫非象限角或 轴线角）
-950 °= 130 °-3 x360°
终边相同，第二象限角
巩固练习：
一、判断正误
1、终边相同的角一定相等
（ （ （ ） ） ）
2、锐角是第一象限的角。
3、第一象限的角都是锐角。 5、小于90°的角都是锐 角
4、）
小
1.按旋转方向分类
结
正角：按逆时针方向旋转形成的角
一、导入
一、导入
拧松
逆时针
拧紧
顺时针
一、导入
二、角的概念 的推广
B
顶点O
始边
A
角可以看做平面内一条射线绕着 它的端点从一个位置旋转到另一 个位置所形成的图形。
二、角的概念 的推广
正角：按逆时针方向 旋转形成的角 负角：按顺时针方向 旋转形成的角 零角：一条射线没 有作任何旋转
12 正角 9 3 负角 6
负角：按顺时针方向旋转形成的角
2.按角的终 边位置分类
零角：一条射线不作任何旋转形成的角 1)使角的顶点与原点重合 象限角 2)始边与x轴的非负半轴重合 3)终边(除端点外)落在第几象限就是 第几象限角 非象限角（轴线角）：终 边落在坐标轴上的角
高一数学角的概念的推广2
； prz60nsr 放到一旁的桌子上，拉刘氏在炕沿上坐了，说“什么事儿啊嫂子？看把你急的！”刘氏忍不住眼泪了，撩起衣襟来擦擦，说： “俺侄儿刚才来了，说是俺娘昨儿个晚上临睡前摔了一跤，到后半夜就说不利索话了，一个劲儿地嘟囔加比划着，要俺回去 呢„„”不等刘氏说完，裴氏就说：“哦，是这事儿啊！你干着急没有用的，这就赶快回去照看老人哇！还有哇，你只管放心 多住些日子好好照顾着，家里的事情不用结记啊，董大哥他们爷儿几个如果有什么需要俺帮忙做的，让妮儿过来说一声就行 了！”刘氏说：“俺过来，主要是和你说咱们今儿个过节的事儿呢。俺想啊，只是他们爷儿几个随便吃个饺子，妮儿还是可以 包了的，只是这炒菜什么的，她可就不上了手了。还有，今儿个晚上拜月什么的，没有俺在，恐怕还真得不行呢！”裴氏赶快 说：“你放心照顾你娘去哇！吃了早饭，俺就让青山去说给耿嫂子，今儿个中午来俺们家吃饺子哇。还有啊，今儿个晚上，咱 们三家还在俺家拜月不就得了！”刘氏放心地说：“那就还是麻烦你和秀儿了。俺端过来的，是昨儿个晚上才刚做好的凉菜， 你们中午就不用再做凉菜了！”送走刘氏后，秀儿对娘说：“多大的事儿啊，看把她急的！俺还想让兰兰和俺大娘来咱们家吃 饺子呢！”裴氏说：“你不知道，她主要是着急她那老娘的病呢！上了年纪的人，就怕摔跤！”早饭后，裴氏吩咐青山：“去 告诉你耿大娘，让她和兰兰今儿个中午来俺们家吃饺子吧！你们大壮哥他姥娘病了，他表哥一早就跑来把他娘接走了。还有， 再说给你耿大娘，今儿个晚上，大家还在俺们家一起拜月！”然后，娘儿俩就为中午丰盛的节日饭菜忙活开了。听了青山转告 他娘的话，郭氏也没有客气什么，只说：“好啊，那大娘和你兰妹妹还去地里掰玉米了。中午回来就上你们家吃现成的饺子 去！”中午时分，郭氏和耿兰从地里回来后，不请自到按时过耿憨家来。进屋看到几大拍拍儿白腾腾的大饺子已经包好了，裴 氏娘儿俩正在收拾几个小炒菜呢。看到郭氏和耿兰来了，裴氏高兴地说：“嫂子，兰兰，你们快坐了歇着，咱们的饭菜很快就 好啦！”耿兰要帮着烧水，秀儿拦了，说：“兰兰，你坐了歇着，有姐呢！”说着就在大铁锅里添上水，生了火慢慢地烧着。 一会儿，耿憨和两个儿子也回来了。父子们洗手擦脸后，和郭氏娘儿俩在炕桌周围坐了喝水说话，裴氏就在小炉灶上开始炒菜 了。当几个热炒菜都炒好了摆上炕桌时，秀儿也把半锅水烧开了，裴氏端起几大拍拍儿白腾腾的大饺子一股脑儿下到大铁锅里， 秀儿加了柴火用力拉风箱烧着。裴氏用大铜勺推一推下到锅里的饺子，然后盖上锅盖，转身把刘氏一早端过来的凉拌海带丝和 芥菜丝也摆了上来，笑着对郭氏娘儿俩说：“这两个凉菜是壮子他娘今儿个
角的概念的推广
角的概念的推广江陵中学高香会角的概念的推广是在初中学习了角的概念之后为高中进一步学习任意角的三角函数等知识而专门安排的，无论是“推广”的思想还是“推广”的知识都决定了其重要性和不可替代性。
一、角的概念的推广首先，回顾初中学习过的角的定义:在平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
过去研究的是到之间的角。
接下来，通过问题引出课题：1、在体操中，有“转体”、“转体”；2、时钟在旋转过程中，时针形成的图形是角吗？分针呢？如果是角，你知道如何度量它们吗？从而，引出课题：角的概念的推广规定：按逆时针方向旋转形成的角叫正角，按顺时针方向旋转形成的角叫负角，不作任何旋转形成的角叫零角。
借助动画加深学生对概念的理解，从而指出角的概念被推广后同数一样，也可以是任意大小的正角、负角和零角。
二、象限角角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边（除端点外）在第几象限，则这个角就是第几象限角。
如果角的终边落在坐标轴上，则这个角不属于任一象限。
引例：请你判断锐角、直角、钝角、平角、周角中哪些角是象限角，并判断它们是第几象限角？例1：请你判断下列角分别是第几象限角？（1）（2）（3）（4）（5）（6）三、终边相同的角的集合所有与角终边相同的角，连同在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以写成角与整数个周角的和。
例2：a、写出终边落在y轴非负半轴的角的集合；b、写出终边落在y轴非正半轴的角的集合；c、写出终边落在y轴的角的集合；（用到的角表示）解：a、所有与终边相同的角构成集合=b、所有与终边相同的角构成集合==c、终边落在y轴的角的集合==练习：a、写出终边落在y=x(x0)的角的集合；b、写出终边落在y=x(x0)的角的集合；c、写出终边落在y=x的角的集合；例3：找出在到之间与终边相同的角。
解：在到之间S中的元素有：练习：1、找出在到之间与终边相同的角；2、找出在到之间与终边相同的角。
角的概念的推广
五 、已知角二α的终边在x轴的上方那么α是
A C第一象限角
B 第一、二象限角
C 第一、三象限角 D 第一、四象限角
六、若α是第四象限角则一八0º－α是 C
A 第一象限角
B 第二象限角
C 第三象限角
D 第四象限角
七、在直角坐标系中若α与β终边互相垂直那么
α与β之间的关系是
D
A. β=α+九0o
B β=α±九0o
一.一.一角的概念的推广
一、角的概念
初中是如何定义角的 从一个点出发引出的两条射线构成的几
何图形. 这种概念的优点是形象、直观、容易理
解但它是从图形形状来定义角因此角的范围 是[0º三六0º
这种定义称为静态定义其弊端在于“狭 隘”.
生活中很多实例会不在该范围 体操运动员转体七二0º跳水运动员向内、 向外转体一0八0º； 经过一小时时针、分针、秒针各转了多 少度 这些例子不仅不在范围[0º三六0º而且方 向不同有必要将角的概念推广到任意角 想想用什么办法才能推广到任意角 关键是用运动的观点来看待角的变化
思考八：如果α是第二象限的角那么二α、α/二 分别是第几象限的角
九0°＋k·三六0°<α<一八0°＋k·三六0° 一八0°＋k·七二0°<二α<三六0°＋k·七二0°
四五°＋k·一八0°<α/二<九0°＋k·一八0°
课堂练习
一．锐角是第几象限的角第一象限的角是否 都是锐角小于九0º的角是锐角吗区间0º九0º内 的角是锐角吗
2100
6600
-1500
特别地当一条射线没有作任何旋转时我 们也认为这时形成了一个角并把这个角叫做 零度角0º．
角的记法：角α或可以简记成∠α.
角的概念的推广
1.1.1角的概念的推广【概念形成】1、在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向：和习惯上规定，按照旋转而成的角叫做正角；按照旋转而成的角叫做负角；当时，我们也把它看成一个角叫做零角。
2、角的概念经过这样的推广之后，就应该包括、、；为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可简记为 .3、一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，所形成的角为；旋转开始时的射线OA叫做，OB叫，射线的端点O叫做。
4、象限角：角的顶点与重合，角的始边与重合。
那么，角的终边（除端点外）在，我们就说这个角是；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角。
5、终边相同的角：设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身所构成的集合是S=【例题选讲】360间找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角例1、在︒0～︒（1）；（2）；（3）．例3、写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-3600≤β<7200的元素β写出来：（1）600；（2）-210；（3）41︒，363'例4．写出终边在下列位置的角的集合(1)x轴的正半轴上 (2)x轴的负半轴上（3）y轴正半轴上(4) y轴的负半轴上 (5)终边落在x轴上 (6)终边落在y轴上(7)终边落在坐标轴上例5 （1）分别写出终边落在第一、二、三、四象限的角的集合。
（2）写出终边落在第一或三象限的角的集合（变式：二或四象限呢）【巩固提高】1、表示辨析下列各角：①︒0～︒90间的角 ②第一象限角 ③锐角 ④小于︒90的角．2、分别写出：（1）终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合（2）终边落在第四象限角平分线上的角的集合3、将角︒30的终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为 ；如果改为顺时针旋转则角的度数为【课后作业】1、若α与β的终边角相同，则α-β的终边角一定在（ ）A 、x 的非负半轴上B 、x 的非正半轴上C 、y 的非正半轴上D 、y 的非负半轴上2、若α与β的终边关于直线x-y=0对称，且α=-300，则β= _______。
角的概念的推广
【典型热点考题】 典型热点考题】 例1 若α是第二象限的角,则180°α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解:∵k360°+90°<α< k360°+180°(k∈Z). ∴-k360°-180°<-α<-k360°90° ∴-k360°<180°-α<k360°+90° ∵180°-α是第一象限角 ∴应选A.
【生活实际运用】 生活实际运用】 自行车大链轮有48齿,小链轮 有20齿,当大链轮转过一周时, 小链轮过的角度是多少? 解:∵当大链轮转过一周时, 转过了48个齿,这时小链轮也 48 必须同步转过48齿,有=2.4(周), 20 也就是说小链轮转过2.4周. ∴小链轮转过的角度是 360°×2.4=864°
(2)∵k120°< 3 <30°+k120°(k∈Z), 当k=3n(n∈Z)时, α α n360°< 3 <30°+n360°,是第一象限的角;当 3 n=3n+1(n Z) n=3n+1(n∈Z)时, α α 120°+n360°< <150°+n360°, 是第二象限的角;当 3 3 k=3n+2(n∈Z)时, α α 240°+n360°< 3<270°+n360°, 是第三象限的角. 3 α ∴ 3 是第一象限或第二象限或第三象限的角. 评析 对(1)不可遗漏终边落在y轴正半轴上的情况;对(2) α 可以于k120°< 3 <30°+k180°(k∈Z)中令k=0,1, α α 2来确定 所在的象限.并且要注意所求的所在的 象限 3 3 并不是整个象限出与下列各角终 边相同的角,并判定下列各角是哪个象限 的角? (1)908°28′;(2)-734° 分析 将题给角x化成α+k360°,(k∈Z),α 在0°～360°间的形式即可. 解 (1)908°28′=188°28′+2×360°,则 188°28′即为所求角,因它是第三象限的 角,从而908°28′也是第三象限的角. (2)-734°=346°-3×360°,则346°即为 所求角,因它是第四象限的角,从而734°也是第四象限的角. 评析 一般地化角x为α+k360°,(k∈Z)时, 可由x除以360°来定k及α的值.对不符合 要求的α可以通过修正k值来进一步求解. 例如(2)中-734°=-14°-2×360°,完全可 以由-14°来判定-734°是第四象限角,但 -14°不在0°～360°,不合题设,虚修 正.
1.2.1角的概念的推广
思考：锐角是第几象限的角？第一象限的角是 否都是锐角？小于90º 的角是锐角吗？区间(0º ,90º ) 内的角是锐角吗？
例1.判定下列各角是第几象限角 (1)-60
o
答：第四象限角。 (2) 585
o
答： 585 1 360 225 , 是第三象限角。
(3)-950 12’
o
答： 950 12 3 360 129 48, 是第二象限角。
（2）理解象限角的概念 （3）掌握终边相同的角的集合的表示方法
作业
1、已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x 轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪 个象限的角？ (1)420º ，(2) －75º ，(3)855º ，(4) －510º ． 2、已知α,β角的终边相同，那么α －β的终边在
零角 如果一条射线从起始位置OA没有作任何旋转,终止位置 OB与起始位置OA重合,我们称这样的角为零度角,简称零角, 记作
0
o
角的概念推广到任意大小的正角、负角和零角。
例如，如图，以OA为始边的角α=210°，β=－150°， γ=660°，
2100
6600
-1500
角的概念扩展的意义：
例2 在直角坐标系中写出终边在y轴上的角
的集合(角α用0 o ~360 oy 的角表示)。
270
O 90 x
练习：终边在x轴上的角的集合呢？ 终边在坐标轴上的角的集合呢？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 例3 写出与60 角终边相同的角的集合S，并 把S中适合不等式：-360o ≤β≤720o的元素β 写出来。
o
小结
（1）理解正角、负角和零角的概念
用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了
角的概念的推广
4.1 角的概念的推广教学目标1.理解并掌握正角、负角、零角的定义；理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；2.能在0°和360°范围内，找出与此范围外每一个已知角终边相同的角，并判断其为第几象限角；能写出与任一已知角终边相同的角的集合；3.能树立运动变化的观点，深刻理解推广后的角的概念；4.从“射线绕着其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化的观点审视事物，用对立统一规律提示生活中的空间形式和数量关系．教学建议1．关于角的概念的推广的知识结构本小节内容从角不大于周角的非负角开始扩充到任意角，使角有正角、负角、零角之分。
在平面直角坐标系内建立适当的直角坐标系后，根据角的终边在哪一象限，把角划分为四个象限和特殊角等若干类，于是引入了第几象限角和终边相同的角的集合这样两个概念。
再由特殊到一般进行归纳总结.2．关于角的概念的推广的重点、难点分析本节的重点是任意角的概念和象限角的概念；难点是把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来．可以通过实例帮助建立任意角的概念，如用扳手拧螺母；车轮转动辐条形成的角，特别是钟表的指针转动，因为正角、负角是依据逆时针和顺时针来定义的．建立直角平面坐标系的前提是：角的顶点和坐标原点重合，角的始边与轴的正半轴重合．在这个前提下角的终边落在第几象限就称为第几象限的角，若终边落在坐标轴上，称为坐标轴上的角．为了加深对任意角概念的理解，应正确区分锐角、的角、小于的角．凡与角终边相同的角均可以写作．这一条件不可少，它表明了与终边相同的角都相差的整数倍，或者在形成角的过程中，每当射线绕原点转一圈时，就会出现一个与终边相同的角，经常使在之间，求终边相同的角，可用此角去除以，使余数在之间．3．关于角的概念的推广的教法建议（1）建议通过实例帮助建立任意角的概念，如用扳手拧螺母；车轮转动辐条形成的角，特别是钟表的指针转动，因为正角、负角是依据逆时针和顺时针来定义的．也就是用运动的观点来讲述角的概念的推广实际意义．（2）正角与负角的规定是出于习惯，就和正数、负数规定一样。
角的概念的推广
第四象限角 第三象限角
第二象限角
例2 在直角坐标系中，写出终边在y轴上的 角的集合（用0°～360°的角表示).
例3：写出与600终边相同的角的集合S,并把S中适合 不等式-3600≤ ＜7200 的元素 写出来.
-3000, 600, 4200
1. 锐角是第几象限的角？ 答：锐角是第一象限的角. 2. 第一象限的角是否都是锐角？
-330° 390° 30°
30°-3×360°
o
…… …,
x
与30°终边相同的角的
一般形式为30°＋K·360°，K∈Z
与α终边相同的角的一般形式为 α＋k·360°，k∈Z
注意: (1)k∈Z (2)α是任意角 (3)k·360°与α 之间是“+”号， 如k·360°-30°,应看成k·360°+（-30°）.
零角：射线不做旋转时形成的角
记法：角 或∠ ，可简记为
顺时针
说明： 1.角的正负由旋转方向决定.
2.角可以任意大小，其数值的大小由旋转次数 及终边位置决定.
终边 终边
终边
y
Ⅰ Ⅱ
x
o 始边 Ⅲ Ⅳ
终边
2.象限角的定义
1)将角的顶点与原点重合 2)始边重合于x轴的非负半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
答：第一象限的角并不都是锐角. 3. 小于90°的角都是锐角吗？ 答：小于90°的角并不都是锐角，它也有可能是零角 或负角.
4. 下列说法： ①一个角的终边在第几象限，就说这个角 是第几象限的角； ②1400°的角是第四象限的角； ③-300°的角与160°的角的终边相同 ④相等的角的终边一定相同； ⑤终边相同的角一定相等.其中正确说法的 序号是____(1_)_.(_2)_.(_4_).______.
角的概念的推广1
终边在y轴非正半轴的角的集合: { x | x k 360 270, k Z } 故终边落在坐标轴上角的集合为:
{ x | x k 90, k Z }
思考： 求终边为直线 y = -x的 角的集合.
(2) 轴线角的集合： 终边在x轴非负半轴的角的集合：
{ x | x k 360, k Z}
终边在x轴非正半轴的角的集合：
{ x | x k 360 180, k Z}
(2) 轴线角的集合： 终边在x轴非负半轴的角的集合：
{ x | x k 360, k Z}
(2) 轴线角的集合：
(2) 轴线角的集合： 终边在x轴非负半轴的角的集合：
(2) 轴线角的集合： 终边在x轴非负半轴的角的集合：
{ x | x k 360, k Z}
(2) 轴线角的集合： 终边在x轴非负半轴的角的集合：
{ x | x k 360, k Z}
终边在x轴非正半轴的角的集合：
下列各角终边相同的角，并 判断它是哪个象限的角。
(1) 120(2)640(3) 95012'
例2： 写出与下列各角终边相同
的角的集合S，并把S中在
360 ~ 720 间的角写出来：
(1)60(2) 21(3)36314 '
思 考
怎样用集合表示各象限角与 轴线角?
(1) 象限角的集合：
第三象限角的集合：
{ x | k 360 180 x k 360 270, k Z}
第四象限角的集合：
第三象限角的集合：
{ x | k 360 180 x k 360 270, k Z}
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§2 角的概念的推广（1课时）洋浦实验中学吴永和一、教学目标：1、知识与技能（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解象限角、坐标轴上的角的概念；（3）理解任意角的概念，掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（4）能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；（5）能进行简单的角的集合之间运算。
2、过程与方法类比初中所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习。
3、情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。
二、教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断。
难点: 把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。
三、学法与教学用具在初中，我们知道最大的角是周角，最小的角是零角；通过回忆和类比初中所学角的概念,把角的概念进行了推广；角是一个平面图形，把角放入平面直角坐标系中以后,了解象限角的概念；通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法；我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示，另外还有相同终边角的集合的表示等。
教学用具:多媒体、三角板、圆规四、教学思路【创设情境，揭示课题】同学们，我们在拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧。
但不知同学们有没有注意到，在这两个过程中，扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系呢？请几个同学畅谈一下，教师控制好时间，2-3分钟为宜。
这里面到底是怎么回事？这就是我们这节课所要学习的内容。
初中我们已给角下了定义，先请一个同学回忆一下当时是怎么定义的？我们把“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角”，这是从静止的观点阐述的。
【探究新知】如果我们从运动的观点来看，角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
(先后用教具圆规和多媒体给学生演示：逆时针转动形成角，顺时针转动而成角，转几圈也形成角，为推广角的概念做好准备)1．正角、负角、零角的概念(打开课件第一版，演示正角、负角、零角的形成过程)．我们规定：(板书)按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，如图（见课件）。
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α.旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点.按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转，我们认为这时它也形成了一个角，并把这个角叫做零角，如果α是零角，那么α＝0°。
钟表的时针和分针在旋转时所形成的角总是负角．为了简便起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以记成“α”。
过去我们研究了0°～360°范围的角．如图（见课件）中的角α就是一个0°～360°范围内的角(α＝30°)．如果我们将角α的终边OB继续按逆时针方向旋转一周、两周……而形成的角是多少度?是不是仍为30°的角?(用多媒体演示这一旋转过程，让学生思考；为终边相同角概念做准备)．将终边OB旋转一周、两周……，分别得到390°，750°……的角．如果将OB继续旋转下去，便可得到任意大小的正角。
同样地，如果将OB按顺时针方向旋转，也可得到任意大小的负角(通过课件，动态演示这一无限旋转过程)．这就是说，角度并不局限于0°～360°的范围，它可以为任意大小的角(与数轴进行比较)．(打开课件第三版)．如图(1)中的角为正角，它等于750°；(2)中，正角α＝210°，负角β＝—150°，γ＝－660°．在生活中，我们也经常会遇到不在0°～360°范围的角，如在体操中，有“转体720°”(即“转体2周”)，“转体1080°”(即“转体3周”)这样的动作名称；紧固螺丝时，扳手旋转而形成的角．角的概念经过这样的推广以后，就包括正角、负角和零角．2．象限角、坐标轴上的角的概念．由于角是一个平面图形，所以今后我们常在直角坐标系内讨论角，(板书)我们使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴(包括原点)重合，那么角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．(打开课件第四版)例如图(1)中的30°、390°、－330°角都是第一象限角，图(2)中的300°、－60°角都是第四象限角；585°角是第三象限角．(板书)如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限．3．终边相同的表示方法．(返回课件第二版，在图(1)1(2)中分别以O为原点，直线0A为x轴建立直角坐标系，重新演示前面的旋转过程)在图(1)中，如果将终边OB按逆时针方向旋转一圈、两圈……，分别得到390°，750°……的角，这些角的终边与30°角的终边相同，只是转过的圈数不同，它们可以用30°角来表示，如390°＝30°十360°，750°＝30°十2×360°，……在图(2)中，如果将终边OB按顺时针方向旋转一圈、两圈……分别得到－330°，－690°……的角，这些角的终边与30°角终边也相同，也只是转过的圈数不同，它们也都可以用30°的角来表示，如－330°＝30°－360°，－690°＝30°—2×360°，……由此可以发现，上面旋转所得到的所有的角(记为β)，都可以表示成一个0°到360°的角与k(k∈Z)个周角的和，即：β＝30°十k·360°(k∈Z)．如果我们把β的集合记为S，那么S＝{β|β＝30°十k·360°， k∈Z}．容易看出：所有与30°角终边相同的角，连同30°角(k＝0)在内，都是集合S的元素；反过来，集合S的任一元素显然与30°角终边相同。
【巩固深化，发展思维】1．例题讲评例1.判断下列各角是第几象限角.(1)—60°； (2)585°； (3)—950°12’．解：(1)∵—60°角终边在第四象限，∴它是第四象限角；(2)∵585°＝360°十225°，∴585°与225°终边相同，又∵225°终边在第三象限，∴585°是第三象限角；(3)∵—950°12’＝－230°12’—2×360°，又∵－230°12’终边在第二象限，∴—950°12’是第二象限角.例2．在直角坐标系中，写出终边在y轴上的角的集合（α用0°～360°的角表示）.解：在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°与270°角，因此，所有与90°角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}；所有与270°角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}；所以，终边在y轴上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}.例3．写出与60°角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β＜270°的元素β写出来.解：S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β＜270°的元素是：60°－1×360°＝－300°，60°＋0×360°＝60°，60°＋1×360°＝420°.2．学生课堂练习参考练习 (通过多媒体给题)。
(1) (口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.(2)与—496°终边相同的角是，它是第象限的角，它们中最小正角是，最大负角是。
(3)时针经过3小时20分，则时针转过的角度为，分针转过的角度为。
(4)若α、β的终边关于x轴对称，则α与β的关系是；若α与β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系是；若α、β的终边关于原点对称，则α与β的关系是；若角α是第二象限角，则180°—α是第象限角。
[答案](1)是，不一定.(2)—496°十k·360°(k∈Z)，三，240°，—136°.(3)—100°，—1200°．(4)α十β＝k·360°(k∈Z)；α十β＝180°十k·360。
(k∈Z)；α一β＝180°十k·360°(k∈Z)；一.五、归纳整理，整体认识(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？你知道角是如何推广的吗?(2)象限角是如何定义的呢? 你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?（3）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（4）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？六、布置作业: 习题1.2第2,3题．七、课后反思。