20122013学年度太原五中第一学期高三数学(

2012—2013学年度太原五中第一学期高三数学（文）10月月考卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。

考试用时120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。

1．若集合R I =,}02sin |{==ααA ，则下列元素属于A C I 的是（ ）A.0B.2π C.3π D.π 2. 15sin 225cos 15cos 45sin +的值为（ ）A ．23- B. 21- C. 21 D. 23 3．给出下面四个函数，其中既在区间（0，)2π上的增函数又是以π为周期的偶函数的函数是（ ）A ．x y 2tan = B.x y sin = C.y ＝cos2x D.x y cos =4.函数x x x f cos )(-=在],0[π内（ ）A ．没有零点 B.有且仅有一个零点 C. 有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点5．下列命题错误的是（ ）A. 命题“若00>>y x 且则0>+y x ”的否命题是假命题；B. 若命题01,:0200≤+-∈∃x x R x p ，则01,:2>+-∈∀⌝x x R x p ； C.ABC ∆中，B A sin sin >是B A >的充要条件；D.若y x cos sin =，则2π=+y x6.已知对数函数()log a f x x =是增函数,则函数(||1)f x +的图象大致是（ ）7.直线y k x =是曲线2l n y x =+的切线，则k 的值为（ ） A ．2e - B ．1e - C ．e D ．2e8．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG 是边长为2的等边三角形，则f (1)的值为( )A ．－32B ．－62C.3 D ．－ 39.若α∈（0， 2π），且2sin α+1cos 24α=，则tan α的值等于（ ）A. 2B.C.D. 10．已知定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的x 都有(1)(3)f x f x -=-，且(1)(3)f x f x -=-，当12x ≤≤时， AB CD2()f x x =，则()f x 的单调递减区间是A. [2,21]()k k k Z +∈B. [21,2]()k k k Z -∈C. [2,22]()k k k Z +∈D. [22,2]()k k k Z -∈11． 已知函数),0,(cos sin )(R x a b a x b x a x f ∈≠+=为常数，在4π=x 处取 得最小值，则函数)43(x f y -=π（ ） A ．是偶函数且它的图象关于点)0,(π对称B ．是偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称 C ．是奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称 D ．是奇函数且它的图象关于点)0,(π对称12．关于x 的方程2(1)10(0,)x a x a b a a b +++++=≠∈R 、的两实根为12,x x ，若12012x x <<<<，则b a 的取值范围是（ ）A ．4(2,)5--B ．34(,)25--C ．52(,)43--D ．51(,)42-- 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13． 设函数))(()(R x ae e x x f x x ∈+=-是偶函数，则实数a 的值为 ．14．2cos10sin 20cos20-= ． 15.在ABC ∆中，332tan tan ,120=+=B A C ，则B A tan tan 的值为 16．函数sin 1()1x x f x x -+=+()x R ∈的最大值为M ，最小值为m,则M+m=_____三、解答题：（本大题共6小题，共70分。

）17．（本小题满分12分）已知函数1)cos (sin sin 2)(-+=x x x x f ．（1）求函数)(x f 的最小正周期（2）当]6,0[π∈x 时，求函数的最小值； （3）求函数的单调增区间；18．（本小题满分12分）已知53)2sin(=-βα，,1312sin -=β且),2(ππα∈，)0,2(πβ-∈，求αsin 的值。

19．（本小题满分12分）在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin sin cos A B C ==-，（1）求角A ，B ，C 的大小；（2）若BC 边上的中线AM 的长为7，求△ABC 的面积．20．（本小题满分12分）已知函数0,13)(3≠--=a ax x x f（1）求)(x f 的单调区间 （2）若)(x f 在1-=x 处取得极值，直线m y =与)(x f y =的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围。

21．（本小题满分12分）已知函数2()ln f x x a x =+（Ⅰ）当2-=a 时，求函数()f x 的最值；（Ⅱ）若xx f x g 2)()(+=在),1[+∞上是单调函数，求实数a 的取值范围. 请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 已知AB 为半圆O 的直径，4AB =，C 为半圆上一点，过点C 作半圆的切线CD ，过点A 作AD CD ⊥于D ，交圆于点E ，1DE =．（Ⅰ）求证：AC 平分BAD ∠；（Ⅱ）求BC 的长．23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l 的极坐标方程为：)4sin(210πθρ-=,点(2cos ,2sin 2)P αα+，参数[]0,2απ∈．（Ⅰ）求点P 轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）求点P 到直线l 距离的最大值．24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数a a x x f +-=2)(． （Ⅰ）若不等式6)(≤x f 的解集为{}32≤≤-x x ，求实数a 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数n 使)()(n f m n f --≤成立，求实数m 的取值范围．参考答案一、 选择题（每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 C C B B D B C D D A D D二、填空题（每小题5分，共20分）13． -1 ; 1415．31 ； 16．2 ； 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17. （本小题满分12分）（1）1cos sin 2sin 21)cos (sin sin 2)(2-+=-+=x x x x x x x fx x 2cos 2sin -= …………………………2分)42sin(2π-=x ， ……………………………4分∴)(x f 的最小正周期为π=T ，)(x f 的最大值为2．… ………………6分（2）1)(min -=x f … ………………9分（3）)(x f 单调递增区间是))(83,8(Z k k k ∈+-ππππ… ………………12分 18．（本小题满分12分）已知sin(2α－β)＝35，sin β＝－1213，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求sin α的值． 解：∵π2<α<π，∴π<2α<2π.又－π2<β<0，∴0<－β<π2. ∴π<2α－β<5π2.而sin(2α－β)＝35>0，∴2π<2α－β<5π2，cos (2α－β)＝45. 又－π2<β<0且sin β＝－1213，∴cos β＝513，∴cos2α＝cos[(2α－β)＋β] ＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)sin β＝45×513－35×⎝⎛⎭⎫－1213＝5665.又cos2α＝1－2sin 2α， ∴sin 2α＝9130，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝3130130. 19．（本小题满分12分）答案：解：（1）由sin sin A B =知A B =，所以2C A π=-，………2分又sin cos A C =-得sin cos 2A A =，即22sin sin 10A A +-=，解得1sin 2A =，sin 1A =-（舍）．………4分故6A B π==，23C π=． …………………6分（2）在△ABC 中，由于BC 边上中线AM ABM 中，由余弦定理得2222cos 426a a AM c c π=+-⋅⋅，即227.4a c =+ ① ………………8分 在△ABC 中，由正弦定理得,32sin 6sin 6sin πππc b a== 即.3c b a == ② ………………10分由①②解得2,2,a b c ===故11sin 2222ABC S ab C ∆==⨯⨯=的面积 ……………12分 20．(本小题满分12分）(1) 0<a 时，)(x f 在R 上单调递增0>a 时，)(x f 在),(),,(+∞--∞a a 上单调递增，在),(a a -上单调递减。

（2）)1,3(-∈m21．(本小题满分12分）解：（Ⅰ）()f x 的单调递增区间是(1，+∞)，()f x 的单调递减区间是(0，1). （Ⅱ）由题意得22()2a g x x x x '=+-，函数g(x)在[1，+∞)上是单调函数. ① 若函数g(x)为[1，+∞)上的单调增函数，则()0g x '≥在[1，+∞)上恒成立， 即222a x x ≥-在[1，+∞)上恒成立，设22()2x x xϕ=-，∵()x ϕ在[1，+∞)上单调递减， ∴max ()(1)0x ϕϕ==，∴a ≥0②若函数g(x)为[1，+∞)上的单调减函数，则()0g x '≤在[1，+∞)上恒成立，不可能.∴实数a 的取值范围[0，+∞)22．解：（Ⅰ）连结AC ，因为OA OC =，所以OAC OCA ∠=∠， 2分因为CD 为半圆的切线，所以OC CD ⊥，又因为AD CD ⊥，所以OC ∥AD ，所以OCA CAD ∠=∠，OAC CAD ∠=∠，所以AC 平分BAD ∠． ················ 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知BC CE =， ··································································· 6分连结CE ，因为ABCE 四点共圆，B CED ∠=∠，所以cos cos B CED =∠， ···· 8分 所以DE CB CE AB=，所以2BC =． ····························································· 10分 23．解：(Ⅰ)2cos ,2sin 2.x y αα=⎧⎨=+⎩ 且参数[]0,2απ∈， 所以点P 的轨迹方程为22(2)4x y +-=． ··············································· 3分(Ⅱ)因为)4sin(210πθρ-=，所以)104πθ-=，所以sin cos 10ρθρθ-=，所以直线l 的直角坐标方程为100x y -+=． ······ 6分法一：由(Ⅰ) 点P 的轨迹方程为22(2)4x y +-=，圆心为(0,2)，半径为2.d ==P 到直线l距离的最大值2. ········· 10分法二：)44d πα==++，当74πα=，max 2d =，即点P 到直线l 距离的最大值2. ··········································································· 10分24．解：（Ⅰ）由26x a a -+≤得26x a a -≤-，∴626a x a a -≤-≤-，即33a x -≤≤，∴32a -=-，∴1a =． ··················································· 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()211f x x =-+,令()()()n f n f n ϕ=+-，则()124, 211212124, 22124, n 2n n n n n n n ϕ⎧-≤-⎪⎪⎪=-+++=-<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩∴()n ϕ的最小值为4，故实数m 的取值范围是[)4,+∞． ······························ 10分。