高中数学易错点八

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高考数学科目最容易出错的知识点

高考数学科目最容易出错的知识点x高考数学科目易错知识点数学是所有科学的基础。

数学网推荐了高考数学科目容易出错的知识点。

请仔细阅读，希望你喜欢。

集合和简单逻辑1.遗忘空集合导致的错误错误分析：因为空集是任何非空集的适当子集，对于集合B，有三种情况：B=A，B，B，如果在解题时考虑不够仔细，可能会忽略B的这种情况，导致解题结果错误。

特别是在求解带参数的集合问题时，更要注意当参数在一定范围内时，给定集合可能为空的情况。

空集是一种特殊的集合。

由于思维定势，考生在解题时往往会忘记这一套，导致解题错误或不完整。

2.忽略集合元素的三个特征会导致错误。

错误分析：一个集合中的元素是确定的、无序的、相互不同的。

集合元素的三个性质中，互差对解题影响很大，尤其是带字母参数的集合，实际上隐含了对字母参数的一些要求。

解题时也可以先确定字母参数的范围，再具体解题。

3.四个命题的结构不明，造成错误。

错误分析：如果原命题是如果a是b，那么这个命题的逆命题是如果b是a，无命题是如果A那么B，而逆无命题是如果B那么a。

有两组等价命题，即原命题与其逆无命题等价，反无命题与其逆命题等价。

在求解一个命题所写的其他形式的命题时，必须搞清楚四个命题的结构及其等价关系。

另外，在否定一个命题时，要注意全称命题的否定是一个特殊命题，而特殊命题的否定是一个全称命题。

如果a和b是偶数，那么否定应该是a和b不是偶数，而不是a和b是奇数。

4.充分必要条件颠倒引起的误差错误分析：对于A和B两个条件，如果A=B成立，那么A是B and B的充分条件是A的必要条件；如果B=A成立，那么A是B的必要条件，B是A的充分条件；如果是AB，那么a和b是相互充分必要条件。

在解决问题时，X因为颠倒了充分性和必要性而容易出错，所以在解决这类问题时，需要根据充分必要条件的概念做出准确的判断。

5.不允许对逻辑连词有误解错误分析：用逻辑连词判断命题时，由于理解不准确，容易出错。

下面我们给出一些常见的判断方法，希望对大家有所帮助：P=p真或q真，P=p假和q假(总结为一真一真)；Pq真，p真和q真，Pq假p假或q假(总结为一个假或假)；p真p假，p假p真(概括为一真一假)。

高中数学的78个易错易混知识点

中学数学的78个易错易混学问点中学数学的78个易错易混学问点在我们完全的中学生活里，有哪一些数学学问点是比较简洁搞混的呢？下面是为大家搜集整理出来的有关于中学数学的78个易错易混学问点，希望可以帮助到大家！一、集合与函数1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊状况，不要遗忘了借助数轴和文氏图进行求解。

2.在应用条件时，易忽视是空集的状况3.你会用补集的思想解决有关问题吗?4.简洁命题与复合命题有什么区分?四种命题之间的相互关系是什么?如何推断充分与必要条件?5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区分。

6.求解与函数有关的问题易忽视定义域优先的原则。

7.推断函数奇偶性时，易忽视检验函数定义域是否关于原点对称。

8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽视标注该函数的定义域。

9.原函数在区间[-a，a]上单调递增，则肯定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不肯定单调。

10.你娴熟地驾驭了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值，作差，判正负)和导数法11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示。

12.求函数的值域必需先求函数的定义域。

13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题)。

这几种基本应用你驾驭了吗?14.解对数函数问题时，你留意到真数与底数的限制条件了吗?(真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需探讨15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用驾驭了吗?如何利用二次函数求最值?16.用换元法解题时易忽视换元前后的等价性，易忽视参数的范围。

17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否留意到：当时，“方程有解”不能转化为。

若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形?二、不等式18.利用均值不等式求最值时，你是否留意到：“一正;二定;三等”。

高中数学37个易错点

易错点1遗忘空集致误由于空集是任何非空集合的真子集，因此B＝∅时也满足B⊆A.解含有参数的集合问题时，要特别注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况．易错点2忽视集合元素的三性致误集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求．易错点3混淆命题的否定与否命题命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念，命题p的否定是否定命题所作的判断，而“否命题”是对“若p，则q”形式的命题而言，既要否定条件也要否定结论．易错点4充分条件、必要条件颠倒致误对于两个条件A，B，如果A⇒B成立，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；如果B⇒A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件；如果A⇔B，则A，B互为充分必要条件．解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充分条件和必要条件的概念作出准确的判断．易错点5“或”“且”“非”理解不准致误命题p∨q真⇔p真或q真，命题p∨q假⇔p假且q假(概括为一真即真)；命题p∧q真⇔p 真且q真，命题p∧q假⇔p假或q假(概括为一假即假)；綈p真⇔p假，綈p假⇔p真(概括为一真一假)．求参数取值范围的题目，也可以把“或”“且”“非”与集合的“并”“交”“补”对应起来进行理解，通过集合的运算求解．易错点6函数的单调区间理解不准致误在研究函数问题时要时时刻刻想到“函数的图像”，学会从函数图像上去分析问题、寻找解决问题的方法．对于函数的几个不同的单调递增(减)区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可．易错点7判断函数的奇偶性忽略定义域致误判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶函数．易错点8函数零点定理使用不当致误如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续的曲线，并且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，但f(a)f(b)＞0时，不能否定函数y＝f(x)在(a，b)内有零点．函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，对于“不变号零点”函数的零点定理是“无能为力”的，在解决函数的零点问题时要注意这个问题．易错点9导数的几何意义不明致误函数在一点处的导数值是函数图像在该点处的切线的斜率．但在许多问题中，往往是要解决过函数图像外的一点向函数图像上引切线的问题，解决这类问题的基本思想是设出切点坐标，根据导数的几何意义写出切线方程．然后根据题目中给出的其他条件列方程(组)求解．因此解题中要分清是“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”．易错点10导数与极值关系不清致误f′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0处取得极值的必要条件，即必须有这个条件，但只有这个条件还不够，还要考虑是否满足f′(x)在x0两侧异号．另外，已知极值点求参数时要进行检验．易错点11三角函数的单调性判断致误对于函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性，当ω＞0时，由于内层函数u＝ωx＋φ是单调递增的，所以该函数的单调性和y＝sin x的单调性相同，故可完全按照函数y＝sin x的单调区间解决；但当ω＜0时，内层函数u＝ωx＋φ是单调递减的，此时该函数的单调性和函数y＝sin x的单调性相反，就不能再按照函数y＝sin x的单调性解决，一般是根据三角函数的奇偶性将内层函数的系数变为正数后再加以解决．对于带有绝对值的三角函数应该根据图像，从直观上进行判断．易错点12图像变换方向把握不准致误函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，x∈R)的图像可看作由下面的方法得到：(1)把正弦曲线上的所有点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度；(2)再把所得各点横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变)；(3)再把所得各点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)．即先作相位变换，再作周期变换，最后作振幅变换．若先作周期变换，再作相位变换，应左(右)平移|φ|ω个单位．另外注意根据φ的符号判定平移的方向．易错点13忽视零向量致误零向量是向量中最特殊的向量，规定零向量的长度为0，其方向是任意的，零向量与任意向量都共线．它在向量中的位置正如实数中0的位置一样，但有了它容易引起一些混淆，稍微考虑不到就会出错，考生应给予足够的重视．易错点14向量夹角范围不清致误解题时要全面考虑问题．数学试题中往往隐含着一些容易被考生所忽视的因素，能不能在解题时把这些因素考虑到，是解题成功的关键，如当a·b＜0时，a与b的夹角不一定为钝角，要注意θ＝π的情况．易错点15an与Sn关系不清致误在数列问题中，数列的通项an与其前n项和Sn之间存在下列关系：an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.这个关系对任意数列都是成立的，但要注意的是这个关系式是分段的，在n＝1和n≥2时这个关系式具有完全不同的表现形式，这也是解题中经常出错的一个地方，在使用这个关系式时要牢牢记住其“分段”的特点．易错点16对等差、等比数列的定义、性质理解错误等差数列的前n项和在公差不为零时是关于n的常数项为零的二次函数；一般地，有结论“若数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c∈R)，则数列{an}为等差数列的充要条件是c＝0”；在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m(m∈N*)是等差数列．易错点17数列中的最值错误数列问题中其通项公式、前n项和公式都是关于正整数n的函数，要善于从函数的观点认识和理解数列问题．数列的通项an与前n项和Sn的关系是高考的命题重点，解题时要注意把n＝1和n≥2分开讨论，再看能不能统一．在关于正整数n的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴的远近而定．易错点18错位相减求和时项数处理不当致误错位相减求和法的适用条件：数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积所组成的，求其前n项和．基本方法是设这个和式为Sn，在这个和式两端同时乘以等比数列的公比得到另一个和式，这两个和式错一位相减，就把问题转化为以求一个等比数列的前n项和或前n－1项和为主的求和问题．这里最容易出现问题的就是错位相减后对剩余项的处理．易错点19不等式性质应用不当致误在使用不等式的基本性质进行推理论证时一定要准确，特别是不等式两端同时乘以或同时除以一个数式、两个不等式相乘、一个不等式两端同时n次方时，一定要注意使其能够这样做的条件，如果忽视了不等式性质成立的前提条件就会出现错误．易错点20忽视基本不等式应用条件致误利用基本不等式a＋b≥2ab以及变式ab≤a＋b22等求函数的最值时，务必注意a，b为正数(或a，b非负)，ab或a＋b其中之一应是定值，特别要注意等号成立的条件．对形如y＝ax＋bx(a，b＞0)的函数，在应用基本不等式求函数最值时，一定要注意ax，bx的符号，必要时要进行分类讨论，另外要注意自变量x的取值范围，在此范围内等号能否取到．易错点21解含参数的不等式时分类讨论不当致误解形如ax2＋bx＋c＞0的不等式时，首先要考虑对x2的系数进行分类讨论．当a＝0时，这个不等式是一次不等式，解的时候还要对b，c进一步分类讨论；当a≠0且Δ＞0时，不等式可化为a(x－x1)(x－x2)＞0，其中x1，x2(x1＜x2)是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，如果a＞0，则不等式的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，如果a＜0，则不等式的解集是(x1，x2)．易错点22不等式恒成立问题处理不当致误解决不等式恒成立问题的常规求法是：借助相应函数的单调性求解，其中的主要方法有数形结合法、变量分离法、主元法．通过最值产生结论．应注意恒成立与存在性问题的区别，如对任意x∈[a，b]都有f(x)≤g(x)成立，即f(x)－g(x)≤0的恒成立问题，但对存在x∈[a，b]，使f(x)≤g(x)成立，则为存在性问题，即f(x)min≤g(x)max，应特别注意两函数中的最大值与最小值的关系．易错点23忽视三视图中的实、虚线致误三视图是根据正投影原理进行绘制，严格按照“长对正，高平齐，宽相等”的规则去画，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的原分界线，且分界线和可视轮廓线都用实线画出，不可见的轮廓线用虚线画出，这一点很容易疏忽．易错点24面积、体积的计算转化不灵活致误面积、体积的计算既需要学生有扎实的基础知识，又要用到一些重要的思想方法，是高考考查的重要题型．因此要熟练掌握以下几种常用的思想方法．(1)还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法．(2)割补法：求不规则图形面积或几何体体积时常用．(3)等积变换法：充分利用三棱锥的任意一个面都可作为底面的特点，灵活求解三棱锥的体积．(4)截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合问题，常画出轴截面进行分析求解．易错点25随意推广平面几何中的结论致误平面几何中有些概念和性质，推广到空间中不一定成立．例如“过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”“垂直于同一条直线的两条直线平行”等性质在空间中就不成立．易错点26对折叠与展开问题认识不清致误折叠与展开是立体几何中的常用思想方法，此类问题注意折叠或展开过程中平面图形与空间图形中的变量与不变量，不仅要注意哪些变了，哪些没变，还要注意位置关系的变化．易错点27空间点、线、面位置关系不清致误关于空间点、线、面位置关系的组合判断类试题是高考全面考查考生对空间位置关系的判定和性质掌握程度的理想题型，历来受到命题者的青睐，解决这类问题的基本思路有两个：一是逐个寻找反例作出否定的判断或逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、教室)作出判断，但要注意定理应用准确、考虑问题全面细致．易错点28忽视斜率不存在致误在解决两直线平行的相关问题时，若利用l1∥l2⇔k1＝k2来求解，则要注意其前提条件是两直线不重合且斜率存在．如果忽略k1，k2不存在的情况，就会导致错解．这类问题也可以利用如下的结论求解，即直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的必要条件是A1B2－A2B1＝0，在求出具体数值后代入检验，看看两条直线是不是重合从而确定问题的答案．对于解决两直线垂直的相关问题时也有类似的情况．利用l1⊥l2⇔k1·k2＝－1时，要注意其前提条件是k1与k2必须同时存在．利用直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0，就可以避免讨论．易错点29忽视零截距致误解决有关直线的截距问题时应注意两点：一是求解时一定不要忽略截距为零这种特殊情况；二是要明确截距为零的直线不能写成截距式．因此解决这类问题时要进行分类讨论，不要漏掉截距为零时的情况．易错点30忽视圆锥曲线定义中的条件致误利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a＜|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．易错点31忽视特殊性、误判直线与圆锥曲线位置关系过定点的直线与双曲线的位置关系问题，基本的解决思路有两个：一是利用一元二次方程的判别式来确定，但一定要注意，利用判别式的前提是二次项系数不为零，当二次项系数为零时，直线与双曲线的渐近线平行(或重合)，也就是直线与双曲线最多只有一个交点；二是利用数形结合的思想，画出图形，根据图形判断直线和双曲线各种位置关系．在直线与圆锥曲线的位置关系中，抛物线和双曲线都有特殊情况，在解题时要注意，不要忘记其特殊性．易错点32两个计数原理不清致误分步加法计数原理与分类乘法计数原理是解决排列组合问题最基本的原理，故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提，在解题时，要分析计数对象的本质特征与形成过程，按照事件的结果来分类，按照事件的发生过程来分步，然后应用两个基本原理解决．对于较复杂的问题既要用到分类加法计数原理，又要用到分步乘法计数原理，一般是先分类，每一类中再分步，注意分类、分步时要不重复、不遗漏，对于“至少、至多”型问题除了可以用分类方法处理外，还可以用间接法处理．易错点33排列、组合不分致误为了简化问题和表达方便，解题时应将具有实际意义的排列组合问题符号化、数学化，建立适当的模型，再应用相关知识解决．建立模型的关键是判断所求问题是排列问题还是组合问题，其依据主要是看元素的组成有没有顺序性，有顺序性的是排列问题，无顺序性的是组合问题．易错点34混淆项的系数与二项式系数致误在二项式(a＋b)n的展开式中，其通项Tr＋1＝Crnan－rbr是指展开式的第r＋1项，因此展开式中第1,2,3，…，n项的二项式系数分别是C0n，C1n，C2n，…，Cn－1n，而不是C1n，C2n，C3n，…，Cnn.而项的系数是二项式系数与其他数字因数的积．易错点35循环结束的条件判断不准致误控制循环结构的是计数变量和累加变量的变化规律以及循环结束的条件．在解答这类题目时首先要弄清楚这两个变量的变化规律，其次要看清楚循环结束的条件，这个条件由输出要求所决定，看清楚是满足条件时结束还是不满足条件时结束．易错点36条件结构对条件的判断不准致误条件结构的程序框图中对判断条件的分类是逐级进行的，其中没有遗漏也没有重复，在解题时对判断条件要仔细辨别，看清楚条件和函数的对应关系，对条件中的数值不要漏掉也不要重复了端点值．易错点37复数的概念不清致误对于复数a＋bi(a，b∈R)，a叫做实部，b叫做虚部；当且仅当b＝0时，复数a＋bi(a，b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z＝a＋bi叫做虚数；当a＝0且b≠0时，z＝bi叫做纯虚数．解决复数概念类试题要仔细区分以上概念差别，防止出错．另外，i2＝－1是实现实数与虚数互化的桥梁，要适时进行转化，解题时极易丢掉“－”而出错．。

高中数学常见易错点总结(原创)

高中数学常见易错点总结1、在应用条件A ∪B ＝B <=> A ∩B ＝A <=> A B 时，易忽略A 是空集Φ的情况，并且要时刻注意集合的三要素中的互异性和无序性；2、明确命题的否定与否命题关系的区别。

3、理解集合的表示法，区分集合中代表元素的形式：如：}12|{2++==x x y x A ；}12|{2++==x x y y B ；},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++== }12|{2++==x x x x D ；4.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则.比如在求函数单调区间和值域时5.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”。

单调区间不能用集合或不等式表示.两个单调区间之间要用逗号相连6、函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。

如果不具备这个条件，一定是非奇非偶函数。

7.均值不等式a b +≥2ab （0,0a b >>）取等号的条件是“一正，二定，三相等”。

在解题过程中，务必要先检验取等号的三个条件是否成立。

常规的解法是①如果积或和不是定值，设法构造“定值”；② 若是0,0a b >>不能保证，可构造“正数”或利用导数求解；③若是等号不能成立，可根据“对勾函数”图象，利用单调性求解。

8.“数形结合”是重要思想方法之一，在解题时应充分利用函数性质，画准图形，不能主观臆造，导致图形“失真”，从而得出错误的答案。

9.用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性，也就是换元之后的自变量的取值范围10、要注意分段函数是一个函数而不是几个函数，如果自变量取值不能确定，要对自变量取值进行分类讨论，同时还要关注分界点附近函数值变化情况。

11、曲线上一点处的切线是指以该点为切点的曲线的切线，这样的切线只有一条；而曲线过某一点的切线是指过这个点的曲线的所有切线，此时的切线可能不止一条。

因此求曲线的切线时，首先要区分是什么类型的切线。

三角函数题型常见的八个易错点

三角函数模块常见的八个易错点易错点1：不能正确理解三角函数的定义例题1：角α的终边落在直线y ＝2x 上，则sin α的值为错解：在角的终边上取点P (1,2)，∴r ＝|OP |＝12＋22＝5，∴sin α＝y r ＝25＝255错因：当角的终边在一条直线上时，应注意到角的终边为两条射线，所以应分两种情况处理而错解中没有对两种情况进行讨论导致错误解析：当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P (1,2) 由r ＝|OP |＝12＋22＝5，得sin α＝25＝255当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q (－1，－2)∴r OQ ===sin α＝－25＝－255变式1：已知角的终边过点P ,,则角的正弦值、余弦值分别为解析：当0m <时，||,OP = 所以sin αα====当0m >时，||,OP =所以sin ,cos 55αα====总结：本题主要考查了三角函数的定义以及分类讨论思想方法，这也是高考考查的一个重点，在做题时容易遗忘0m <的情况α(,2)m m 0m ≠α易错点2 利用同角三角函数基本关系式时忽略参数取值例题2：已知cos θ＝t ，求sin θ、tan θ的值．错解：①当0<t <1时，θ为第一或第四象限角.θ为第一象限角时，sin θ＝1－cos 2θ＝1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝1－t 2t ；θ为第四象限角时，sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝－1－t 2t. ②当－1<t <0时，θ为第二或第三象限角. θ为第二象限角时，sin θ＝1－cos 2θ＝1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝1－t 2t； θ为第三象限角时，sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝－1－t 2t.综上，sin θθθ=⎪⎩为第一、二象限角为第三、四象限角tan t θθθ=⎨⎪⎪⎩为第一、二象限角为第三、四象限角错因：上述解法注意到了θ的余弦值含有参数t ，根据余弦函数的取值范围对t 进行分类讨论，但上述讨论不全面，漏掉了很多情况，如t ＝－1，t ＝0，t ＝1 解析：①当t ＝－1时，sin θ＝0，tan θ＝0 ②当－1<t <0时，θ为第二或第三象限角若θ为第二象限角，则sin θ＝1－t 2，tan θ＝1－t 2t若θ为第三象限角，则sin θ＝－1－t 2，tan θ＝－1－t2t③当t ＝0时，sin θ＝1，tan θ不存在或sin θ＝－1，tan θ不存在 ④当0<t <1时，θ为第一或第四象限角若θ为第一象限角，则sin θ＝1－t 2，tan θ＝1－t 2t若θ为第四象限角，则sin θ＝－1－t 2，tan θ＝－1－t 2t⑤当t ＝1时，sin θ＝0，tan θ＝0综上得：变式2：如果,那么解析：()222sin801cos 801cos 801k =-=--=-sin80tan100tan80cos80k∴=-=-=-总结：要作出正确选择，需认真选择诱导公式，不能错用公式．对于nπ＋α，若n 是偶数，则角nπ＋α的三角函数值等于角α的同名三角函数值；若n 为奇数，则角nπ＋α的三角函数值等于角π＋α的同名三角函数值．cos(80)k -︒=tan100︒=易错点3 不能准确运用诱导公式进行化简求值例题3：若sin θ＝33，求cos(π)cos(2π)3ππ3πcos [sin()1]cos(π)sin()sin()222θθθθθθθ--+--++-+的值错解：原式＝cos cos (sin 1)θθθ--＋cos θcos θsin θ＋cos θ＝－cos θcos θsin θ＋cos θ＋cos θcos θsin θ＋cos θ＝0. 错因：错解中混淆了诱导公式sin(3π2－θ)＝－cos θ，sin(3π2＋θ)＝－cos θ，cos(π－θ)＝－cos θ，cos(π＋θ)＝－cos θ. 解析：原式＝cos cos (cos 1)θθθ---＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝2sin 2θ，因为sin θ＝33，所以所求三角函数式的值为6=.变式3：若n ∈Z ，在①sin ⎝⎛⎭⎫n π＋π3；②sin ⎝⎛⎭⎫2n π±π3；③πsin[π(1)]3n n +-；④πcos[2π(1)]6n n +-中，与sin π3相等的是A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③解析：①sin ⎝⎛⎭⎫n π＋π3＝⎩⎨⎧sin π3，n 为偶数sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3，n 为奇数＝⎩⎨⎧sin π3，n 为偶数－sin π3，n 为奇数.②sin ⎝⎛⎭⎫2n π±π3＝sin(±π3)＝±sin π3. ③ππsin[(1)],sin ,π33sin[π(1)]=πππ3sin[π(1)],sin(π)sin ,333n nn n n n n n ⎧⎧-⎪⎪⎪⎪+-=⎨⎨⎪⎪+--=⎪⎪⎩⎩为偶数为偶数为奇数为奇数 . ④ππππcos[2π(1)]cos[(1)]cos sin 6663nn n +-=-⋅==. 故③④与sin π3相等，应选B ．易错点4 不能正确理解三角函数图象变换规律例题4：为得到函数y ＝cos(2x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象 A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位错解：y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin2(x ＋5π12)，因此向右平移5π12个长度单位，故选B ．错因：没有注意到变换方向导致了错解，目标是y ＝cos(2x ＋π3)的图象．解析：y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin(2x ＋5π6)＝sin2(x ＋5π12)，因此将函数y ＝sin2x 的图象向左平移5π12个长度单位即可．故选A ．变式4：将函数()()ππsin 2()22f x x θθ=+-<<的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象,若()f x ,()g x的图象都经过点P ,则ϕ的值可以是 A ．53π B ．56π C ．2πD ．6π 解析：依题意()()()sin 2sin 22g x x x ϕθθϕ=-+=+-⎡⎤⎣⎦,因为()f x ,()g x的图象都经过点P ,所以()sin sin 22θθϕ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩, 又因为22θππ-<<,所以3θπ=,所以2233k ϕππ-=π+或22233k ϕππ-=π+,k ∈Z , 解得k ϕ=-π或ππ6k ϕ=--,k ∈Z , 在6k ϕπ=-π-,k ∈Z 中,取1k =-,即得56ϕ=π,故选B.易错点5 注意符号对三角函数性质的影响例题5：已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2.（1）求f (x )的单调递增区间；（2）若x ∈[－π，π]，求f (x )的最大值和最小值．错解：（1）由－π≤π3－x 2≤0得，2π3≤x ≤8π3，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2π3，8π3. （2）∵－1≤cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2≤1，∴[f (x )]ma x ＝2，[f (x )]min ＝－2.错因：（1）忽略了函数f (x )的周期性；（2）忽略了x ∈[－π，π]对函数f (x )的最值的影响解析：（1）∵f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.由2k π－π≤x 2－π3≤2k π得，4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3(k ∈Z )．故f (x )的单调增区间为[4k π－4π3，4k π＋2π3](k ∈Z )．（2）由－π≤x ≤π⇒－5π6≤x 2－π3≤π6.当x 2－π3＝0，即x ＝2π3时，f (x )ma x ＝2，当x 2－π3＝－5π6，即x ＝－π时，f (x )min ＝－3变式5：（1）函数tan(2)3y x π=-的单调递减区间是______（2）已知函数y ＝a sin x ＋2，x ∈R 的最大值为3，则实数a 的值是______（3）若函数y ＝tan(2x ＋θ)的图象的一个对称中心为(π3，0)，且－π2<θ<π2，则θ的值是_____解析：（1）把函数tan(2)3y x π=-变为tan(2)3y x π=--由2,232k x k k ππππ-<-<π+∈Z ，得2,66k x k k π5ππ-<<π+∈Z 即5,212212k k x k ππππ-<<+∈Z,tan(2)3y x π=-减区间为5(,)()212212k k k ππππ-+∈Z （2）若a >0时，当sin x ＝1时，函数y ＝a sin x ＋2取最大值a ＋2，∴a ＋2＝3，∴a ＝1 若a <0，当sin x ＝－1时，函数y ＝a sin x ＋2(x ∈R )取得最大值－a ＋2＝3，∴a ＝－1 综上可知，a 的值为±1（3）易知函数y ＝tan x 的图象的对称中心为(k π2，0)，其中k ∈Z所以2x ＋θ＝k π2，其中x ＝π3，即θ＝k π2－2π3，k ∈Z因为－π2<θ<π2，所以当k ＝1时，θ＝－π6；当k ＝2时，θ＝π3.即θ＝－π6或π3易错点6 三角恒等变换中忽略角的范围致误例题6：已知α、β为三角形的两个内角，cos α＝17，sin （α＋β，则β＝错解：∵0<α<π，cos α＝17，∴sin α7=.又∵sin （α＋β）＝14，∴cos （α＋β11.14-∴sin β＝sin[（α+β）－α]＝sin （α＋β）cos α－cos （α＋β）sin α 又∵0<β<π，∴β＝233ππ或. 错因：（1）不能根据题设条件缩小α、β及α＋β取值范围，在由同角基本关系式求sin （α＋β）时不能正确判断符号，产生两角（2）结论处应由cos β的值确定β的取值，由sin β确定结论时易出现两解而造成失误解析：因为0<α<π，cos α＝17，所以sin α=，故32αππ<<又因为0<α＋β<π，sin （α＋β）＝142<，所以0<α＋β<3π或32π<α＋β<π由3π<α<2π知32π<α＋β<π，所以cos （α＋β1114∴cos β＝cos[（α＋β）－α]＝cos （α＋β）cos α＋sin （α＋β）sin α＝12.又0<β<π，∴β＝3π变式6：（1）已知△ABC 中，sin(A ＋B )＝45，cos B ＝－23，则cos A 的值为（2）已知sin α－sin β＝－23，cos α－cos β＝23，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则tan(α－β)的值为解析：（1）在△ABC 中，∵cos B ＝－23<0，∴B 为钝角，且sin B ＝53，∴A ＋B 为钝角由sin(A ＋B )＝45，得cos(A ＋B )＝－35∴cos A ＝cos[(A ＋B )－B ]＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B ＝－35×⎝⎛⎭⎫－23＋45×53＝6＋4515（2）由题知sin α－sin β＝－23①， cos α－cos β＝23②由于sin α－sin β＝－23<0，所以－π2<α－β<0由①2＋②2，得cos(α－β)＝59，所以sin(α－β)＝－2149.所以tan(α－β)＝－2145易错点7 求函数y=Asin(ωx+φ)的性质时出错例题7：函数y ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋50°)的最大值为错解：函数的最大值为52＋42＝41.错因：形如y ＝asin x ＋bcos x 的函数的最大值为a 2＋b 2，而函数y ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋50°)不符合上述形式．解析：y ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋50°)＝5sin(x ＋20°)＋4cos[(x ＋20°)＋30°] ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋20°)cos30°－4sin(x ＋20°)sin30°＝5sin(x ＋20°)＋23cos(x ＋20°)－2sin(x ＋20°)＝3sin(x ＋20°)＋23cos(x ＋20°)，∴max y ==变式7：已知函数2()sin 22sin f x x x =-（1）求函数()f x 的最小正周期（2）求函数()f x解析：（1）因为2()sin 22sin f x x x =-sin 2(1cos2x x =--所以函数()f x（2所以()f x [1]-易错点8 解三角形时忽略角的取值范围致误例题8：在ABC △中，若3C B =，则c b的取值范围为错解：由正弦定理，可得2222sin sin 3sin 2cos cos2sin =2cos cos24cos 1sin sin sin 0cos 1,14cos 13,0,0,03c C B B B B B B B B b B B BcB B b c b+===+=-≤<∴-≤-<>><<由可得错因：错解中没有考虑角B 的取值范围，误认为角B 的取值范围为()0,180︒︒ 解析：由正弦定理可得222sin sin 3sin 2cos cos2sin =2cos cos24cos 1sin sin sin 180,3,045,cos 1214cos 13,13c C B B B B B B B B b B B BA B C C B B B cB b+===+=-++=︒=∴︒<<︒<<∴<-<<<即变式8：已知,21,21a a a -+是钝角三角形的三边，则实数a 的取值范围为解析：因为,21,21a a a -+是三角形的三边，所以01210,2210a a a a >⎧⎪->>⎨⎪+>⎩即①所以21a +是三角形的最大边，设其所对的角为θ（钝角）则222(21)(21)cos 02(21)a a a a a θ+--+=<-，化简得280a a -<，解得08②a <<要使,21,21a a a -+构成三角形，需满足21212121,2121a a a a a a a a a ++>-⎧⎪+->+⎨⎪-++>⎩即2③a >结合①②③，可得28.a <<。

高中数学常见易错点提醒

高中数学常见易错点提醒易错点充要条件判断不准1．“x 2＝x ＋2”是“x x ＋2＝x 2”的________条件．错解1 由x 2＝x ＋2⇒x ＝x ＋2⇒x 2＝x x ＋2得出“x 2＝x ＋2”是“x x ＋2＝x 2”的充分条件．错解2 由x x ＋2＝x 2⇒x ＋2＝x ⇒x ＋2＝x 2得出“x 2＝x ＋2”是“x x ＋2＝x 2”的必要条件．找准失分点错解1中，事实上x 2＝x ＋2不能⇒x ＝x ＋2；错解2中，x x ＋2＝x 2也不能⇒x ＋2＝x ．正解方程x 2＝x ＋2的解集为{－1，2}，x x ＋2＝x 2的解集为{0，2}，所以“x 2＝x ＋2”是“x x ＋2＝x 2”的既不充分也不必要条件．答案既不充分也不必要易错点函数概念不清致误2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x ＜0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是．错解由f (1－x 2)＞f (2x )得1－x 2＞2x ，即－1－2＜x ＜－1＋2．找准失分点在解决分段函数的问题时，先要判断其在各个定义域内的单调性，其次要看所求参数或取值范围是否满足相对应的定义域，此题容易无视1－x 2＞0．正解画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x ＜0的图象，由图象知：若f (1－x 2)＞f (2x )，则⎩⎨⎧1－x 2＞01－x 2＞2x ，即－1＜x ＜－1＋2．易错点混淆“切点”致误3．求过曲线y ＝x 3－2x 上的点(1，－1)的切线方程．错解 ∵y ′＝3x 2－2，∴k ＝y ′|x ＝1＝3×12－2＝1，∴切线方程为y ＋1＝x －1，即x －y －2＝0.找准失分点错把(1，－1)当切点．正解设P (x 0，y 0)为切点，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝3x 20－2．∴切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)，即y －(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(x －x 0)．又知切线过点(1，－1)，把它代入上述方程，得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)，整理，得(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，解得x 0＝1，或x 0＝－12. 故所求切线方程为y －(1－2)＝(3－2)(x －1)，或y －(－18＋1)＝(34－2)(x ＋12)，即x －y －2＝0，或5x ＋4y －1＝0. 易错点图象变换方向或变换量把握不准致误4．要得到y ＝sin(－3x )的图象，需将y ＝22(cos 3x －sin 3x )的图象向______平移______个单位(写出其中的一种特例即可)．错解右 π4或右 π12找准失分点 y ＝22(cos 3x －sin 3x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12. 题目要求是由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π4→y ＝sin(－3x )．右移π4平移方向和平移量都错了；右移π12平移方向错了．正解 y ＝22(cos 3x －sin 3x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12，要由y ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12得到y ＝sin(－3x )只需对x 加上π12即可，因而是对y ＝22(cos 3x －sin 3x )向左平移π12个单位．答案左 π12易错点错误理解向量的平移就是点的平移致误5．已知点A (3，7)，B (5，2)，向量AB →按a ＝(1，2)平移后所得向量是．错解 (3，－3)正解向量AB →平移后所得向量还是向量AB →＝(2，－5)．易错点应用a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)时，无视n ≥2从而导致错误6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1，求数列的通项a n ．错解 a n ＝S n －S n －1＝2n －1．正解 n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋1＝3，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1)－(2n －1＋1)＝2n －1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n －1，n ≥2易错点在等比数列求和时无视对公比是否为1的讨论7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝S 9，则数列的公比q 是________．错解－1 找准失分点当q ＝1时，符合要求．很多考生在做此题时都想当然地认为q ≠1．正解 ①当q ＝1时，S 3＋S 6＝9a 1，S 9＝9a 1，∴S 3＋S 6＝S 9成立．②当q ≠1时，由S 3＋S 6＝S 9 得a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝a 1(1－q 9)1－q∴q 9－q 6－q 3＋1＝0，即(q 3－1)(q 6－1)＝0.∵q ≠1，∴q 3－1≠0，∴q 6＝1，∴q ＝－1．答案 1或－1易错点无视等比数列中的隐含条件致误8．各项均为实数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 30＝70，则S 40＝________.错解 150或－200找准失分点数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30的公比q 10＞0．忽略了此隐含条件，就产生了增解－200.正解记b 1＝S 10，b 2＝S 20－S 10，b 3＝S 30－S 20，b 4＝S 40－S 30，b 1，b 2，b 3，b 4是以公比为r ＝q 10＞0的等比数列．∴b 1＋b 2＋b 3＝10＋10r ＋10r 2＝S 30＝70，∴r 2＋r －6＝0，∴r ＝2或r ＝－3(舍去)，∴S 40＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝101－241－2＝150．答案 150易错点直线倾斜角与斜率关系不清致误9．已知直线x sin α＋y ＝0，则该直线的倾斜角的变化范围是__________．错解由题意得，直线x sin α＋y ＝0的斜率k ＝－sin α，∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k ≤1，直线的倾斜角的变化范围是⎣⎡⎦⎤π4，34π.找准失分点直线斜率k ＝tan β(β为直线的倾斜角)在[0，π)上是不单调的且不连续．正解由题意得，直线x sin α＋y ＝0的斜率k ＝－sin α，∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k ≤1，当－1≤k ＜0时，倾斜角的变化范围是⎣⎡⎭⎫34π，π；当0≤k ≤1时，倾斜角的变化范围是⎣⎡⎦⎤0，π4. 故直线的倾斜角的变化范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π. 答案 ⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π 易错点无视斜率不存有情形致误10．已知直线l 1：(t ＋2)x ＋(1－t )y ＝1与l 2：(t －1)x ＋(2t ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则t 的值为________．错解直线l 1的斜率k 1＝－t ＋21－t，直线l 2的斜率k 2＝－t －12t ＋3， ∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－t ＋21－t ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－t －12t ＋3＝－1，解得t ＝－1．答案－1 找准失分点 (1)盲目认为两直线的斜率存有，无视对参数的讨论．(2)无视两直线有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存有时，两直线垂直这个情形．正解方法一 (1)当l 1，l 2的斜率都存有时，由k 1·k 2＝－1得，t ＝－1.(2)若l 1的斜率不存有，此时t ＝1，l 1的方程为x ＝13，l 2的方程为y ＝－25，显然l 1⊥l 2，符合条件；若l 2的斜率不存有，此时t ＝－32，易知l 1与l 2不垂直，综上t ＝－1或t ＝1.方法二 l 1⊥l 2⇔(t ＋2)(t －1)＋(1－t )(2t ＋3)＝0⇔t ＝1或t ＝－1.答案－1或1。

高中数学第八章立体几何初步易错知识点总结(带答案)

高中数学第八章立体几何初步易错知识点总结单选题1、如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120°，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（）A．23B．24C．26D．27答案：D分析：作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积.该几何体由直三棱柱AFD−BHC及直三棱柱DGC−AEB组成，作HM⊥CB于M，如图，因为CH=BH=3,∠CHB=120∘，所以CM=BM=3√32,HM=32，因为重叠后的底面为正方形，所以AB=BC=3√3,在直棱柱AFD−BHC中，AB⊥平面BHC，则AB⊥HM, 由AB∩BC=B可得HM⊥平面ADCB，设重叠后的EG与FH交点为I,则V I−BCDA =13×3√3×3√3×32=272,V AFD−BHC =12×3√3×32×3√3=814则该几何体的体积为V =2V AFD−BHC −V I−BCDA =2×814−272=27.故选：D.2、已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（） A ．√3πB ．√33C ．√33πD ．√3 答案：C分析：求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长与高，再计算圆锥的体积．解：设圆锥的底面半径为r ，圆锥的母线长为l ，由πl =2πr ，得l =2r ，又S =πr 2+πr ⋅2r =3πr 2=3π，所以r 2=1，解得r =1；所以圆锥的高为ℎ=√l 2−r 2=√22−12=√3，所以圆锥的体积为V =13πr 2ℎ=13π×12×√3=√33π．故选：C ．3、一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面D．相交或异面答案：D分析：根据空间中两直线的位置关系，即可求解：如图（1）所示，此时直线a与直线b为异面直线，其中l//a，此时直线l与b为相交直线；如图（2）所示，此时直线a与直线b为异面直线，其中l//a，此时直线l与b为异面直线，综上，一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线的位置关系是相交或异面.故选: D.4、若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是（）A．一定平行B．一定相交C．平行或相交D．以上判断都不对答案：C分析：利用面面平行的判定即得.一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，若这两条直线相交且这两条直线平行于另一个平面，则可得这两个平面平行；若这两条直线平行，则这两个平面可能相交也可能平行；故选：C.5、在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=5，点P在长方体的面上运动，且满足AP=5，则P的轨迹长度为（）A．12πB．8πC．6πD．4π答案：C分析：由题设，在长方体表面确定P 的轨迹，应用弧长公式计算轨迹长度.如图，P 在左侧面的轨迹为弧A 1N ⏜，在后侧面的轨迹为弧NC ⏜，在右侧面的轨迹为弧MC ⏜，在前侧面内的轨迹为弧A 1M ⏜.易知|NC ⏜|=14π×4×2=2π，|MC ⏜|=14π×3×2=3π2，又sin∠A 1AN =cos∠NAD =35，cos∠A 1AM =sin∠MAB =35，∴∠A 1AN +∠A 1AM =π2，则|A 1N ⏜|+|A 1M ⏜|=14π×5×2=5π2，∴P 的轨迹长度为6π，故选：C.6、如图，矩形BDEF 所在平面与正方形ABCD 所在平面互相垂直，BD =2，DE =1，点P 在线段EF 上.给出下列命题：①存在点P ，使得直线DP//平面ACF ； ②存在点P ，使得直线DP ⊥平面ACF ；③直线DP 与平面ABCD 所成角的正弦值的取值范围是[√55,1]；④三棱锥A−CDE的外接球被平面ACF所截得的截面面积是9π8.其中所有真命题的序号（）A．①③B．①④C．①②④D．①③④答案：D分析：当点P是线段EF中点时判断①；假定存在点P，使得直线DP⊥平面ACF，推理导出矛盾判断②；利用线面角的定义转化列式计算判断③；求出△ACF外接圆面积判断④作答.取EF中点G，连DG，令AC∩BD=O，连FO，如图，在正方形ABCD中，O为BD中点，而BDEF是矩形，则DO//GF且DO=GF，即四边形DGFO是平行四边形，即有DG//FO，而FO⊂平面ACF，DG⊄平面ACF，于是得DG//平面ACF，当点P与G重合时，直线DP//平面ACF，①正确；假定存在点P，使得直线DP⊥平面ACF，而FO⊂平面ACF，则DP⊥FO，又DG//FO，从而有DP⊥DG，在Rt△DEF中，∠DEF=90∘，DG是直角边EF上的中线，显然在线段EF上不存在点与D连线垂直于DG，因此，假设是错的，即②不正确；因平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，则线段EF上的动点P在平面ABCD上的射影在直线BD上，于是得∠PDB是直线DP与平面ABCD所成角的，在矩形BDEF中，当P与E不重合时，∠PDB=∠DPE，sin∠PDB=sin∠DPE=DEDP =√DE2+EP2=√1+EP2，而0<EP≤2，则√55≤sin∠PDB<1，当P与E重合时，∠PDB=π2，sin∠PDB=1，因此，√55≤sin∠PDB≤1，③正确；因平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，BF⊥BD，BF⊂平面BDEF，则BF⊥平面ABCD，BC=√2，在△ACF中，AF=CF=√BC2+BF2=√3，显然有FO⊥AC，sin∠FAC=FOAF =√BO2+BF2AF=√2√3，由正弦定理得△ACF外接圆直径2R=CFsin∠FAC =√2，R=2√2三棱锥A−CDE的外接球被平面ACF所截得的截面是△ACF的外接圆，其面积为πR2=9π8，④正确，所以所给命题中正确命题的序号是①③④.故选：D小提示：名师点评两个平面互相垂直，则一个平面内任意一点在另一个平面上的射影都在这两个平面的交线上.7、已知α,β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行B．过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直C．平面α不垂直平面β，但平面α内存在直线垂直于平面βD．若直线l不垂直于平面α，则在平面α内不存在与l垂直的直线答案：B分析：举特例说明判断A；由平面的基本事实及线面垂直的性质推理判断B；推理说明判断C；举例说明判断D作答.正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1B1、直线B1C1都平行于平面ABCD，而直线A1B1与B1C1相交，A不正确；如图，直线l是平面α的斜线，l∩α=O，点P是直线l上除斜足外的任意一点，过点P作PA⊥α于点A，则直线OA是斜线l在平面α内射影，直线l与直线OA确定平面β，而PA⊂平面β，则平面β⊥平面α，即过斜线l有一个平面垂直于平面α，因平面的一条斜线在此平面内的射影是唯一的，则直线l与直线OA确定的平面β唯一，所以过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直，B正确；如果平面α内存在直线垂直于平面β，由面面垂直的判断知，平面α垂直于平面β，因此，平面α不垂直平面β，则平面α内不存在直线垂直于平面β，C 不正确；如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，平面ABCD 为平面α，直线BC 1为直线l ，显然直线l 不垂直于平面α，而平面α内直线AB,CD 都垂直于直线l ，D 不正确. 故选：B8、已知正四面体P −ABC 内接于球O ，点E 是底面三角形ABC 一边AB 的中点，过点E 作球O 的截面，若存在半径为√3的截面圆，则正四面体P −ABC 棱长的取值范围是（） A ．[√2，√3]B ．[√3，√6] C ．[2√2，2√3]D ．[2√3，2√6] 答案：C分析：根据条件设正四面体的棱长为a ，用棱长a 表示出其外接球的半径R =√64a ，过E 点作外接球O 的截面，只有当OE ⊥截面圆所在的平面时，截面圆的面积最小，此时此时截面圆的半径为r =12a ，最大截面圆为过球心的大圆，半径为R =√64a ，根据题意则12a ≤√3≤√64a ，从而可得出答案. 如图，在正四面体P −ABC 中，设顶点P 在底面的射影为O 1，则球心O 在PO 1上，O 1在CE 上，且|PO 1|=23|CE |,连接OE ､OC ，设正四面体的棱长为a ，则|CE |=√32a ，|PO 1|=23|CE |=√33a 则正四面体的高PO 1=√PC 2−O 1C 2=a 2−(√33a)2=√63a ，设外接球半径为R ，在Rt △OO 1C 中，OC 2=OO 12+O 1C 2，即R 2=(√63a −R)2+(√33a)2，解得R =√64a ， ∴在Rt △OO 1E 中，OE =√OO 12+O 1E 2=(√612a)2+(√36a)2=√24a ，过E点作外接球O的截面，只有当OE⊥截面圆所在的平面时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径为r=√R2−OE2=(√64a)2−(√24a)2=12a，最大截面圆为过球心的大圆，半径为R=√64a，由题设存在半径为√3的截面圆，∴12a≤√3≤√64a，解得2√2≤a≤2√3，故选:C.小提示：关键点睛：本题考查正四棱锥的外接球的截面圆的半径范围问题，解答本题的关键是用正四棱锥棱长a表示出其外接球的半径R=√64a，得出过E点的球的截面圆的半径的范围，从而得解，属于中档题.多选题9、在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，E，F分别为BB1,CD的中点，P是BC1上的动点，则（）A．A1F⊥平面AD1EB．平面AD1E截正方体ABCD−A1B1C1D1的截面面积为18C．三棱锥P−AD1E的体积与P点的位置有关D ．过作正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的外接球的截面，所得截面圆的面积的最小值为5π 答案：AB解析：建立坐标系，利用向量法可判断A ；取B 1C 1中点G ，连接D 1G,GE ，利用平面性质可知等腰梯形AD 1GE 即为截面，求出其面积即可判断；根据平行间的距离不变可判断C ；设外接球心为O ，过O 作OOʹ⊥AE ，垂足为Oʹ，则以Oʹ为圆心，O ′A 为半径的圆是过AE 面积最小的截面圆，求出其面积即可判断D. 对于A ，如图，以A 为原点，AD,AB,AA 1为坐标轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,0),E (0,4,2),A 1(0,0,4),F (4,2,0),D 1(4,0,4), ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,2),A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,−4),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,0,4)，∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0×4+4×2+2×(−4)=0，∴A 1F ⊥AE ， ∵AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4×4+0×2+4×(−4)=0，∴A 1F ⊥AD 1， ∵AE ∩AD 1=A ，∴A 1F ⊥平面AD 1E ，故A 正确；对于B ，如图，取B 1C 1中点G ，连接D 1G,GE ，则GE//C 1B 且GE =12C 1B =2√2，可知C 1B//AD 1，所以A,D 1,G,E 共面，则等腰梯形AD 1GE 即为截面，可求得其面积为18，故B 正确；AE对于C ，可知在正方体中，BC 1//AD 1，又BC 1⊄平面AD 1E ，AD 1⊂平面AD 1E ，所以BC 1//平面AD 1E ，因为P 是BC 1上的动点，所有P 到平面AD 1E 的距离为定值，故三棱锥P −AD 1E 的体积与P 点的位置无关，故C 错误；对于D ，设外接球心为O ，过O 作OOʹ⊥AE ，垂足为Oʹ，则以Oʹ为圆心，O ′A 为半径的圆是过AE 面积最小的截面圆，则O (2,2,2)，设Oʹ(0,y,12y)，∴OOʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,y −2,12y −2)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,2)， ∴OOʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(y −2)×4+(12y −2)×2=0，解得y =125，则OʹA =√(125)2+(65)2=6√55，故截面圆的最小面积为π×(6√55)2=36π5，故D 错误.小提示：本题考查立体几何的综合问题，属于中档题.10、如图，点E 为正方形ABCD 边CD 上异于点C 、D 的动点，将△ADE 沿AE 翻折成△SAE ，在翻折过程中，下列说法正确的是（）A ．存在点E 和某一翻折位置，使得SB ⊥SE B ．存在点E 和某一翻折位置，使得AE ∥平面SBCC ．存在点E 和某一翻折位置，使得直线SB 与平面ABC 所成的角为45°D ．存在点E 和某一翻折位置，使得二面角S ﹣AB ﹣C 的大小为60° 答案：ACD分析：对于A ，当E 为CD 中时，当翻折到AD ＝BS ＝α时，SB ⊥SE ；对于B ，由CE ∥AB ，且CE ＜BC ，得AE 与BC 相交；对于C ，对于C ，DF ⊥AE ，交AE 于G ，S 在平面ABCD 的投影O 在FG 上，连结BO ，则∠SBO 为直线SB 于平面 ABC 所成角，由此能求出cosα=23；对于D ，过点O 作OM ⊥AB ，交AB 于点M ，则∠SMO 为二面角S﹣AB ﹣C 的平面角，由此能求出结果．对于A ，设正方形边长为a ，当E 为CD 中点时，AE ＝BE =√a 2+a 24=√52a ，当翻折到AD ＝BS ＝α时，SB ⊥SE ，故A 正确；对于B ，∵CE ∥AB ，且CE ＜BC ，∴AE 与BC 相交，∴AE 与平面SBC 相交，故B 错误；对于C ，如图所示，DF ⊥AE ，交AE 于G ，S 在平面ABCD 的投影O 在FG 上，连结BO ，则∠SBO 为直线SB 于平面ABC 所成角，取二面角D ﹣AE ﹣B 的平面角为α，取AD ＝4，DE ＝3，则AE ＝DF ＝5，CE ＝BF ＝1，DG =125，OG =125cosα，∴只需满足SO ＝OB =125sinα，在△OFB 中，根据余弦定理得：(125sinα)2=12+(135−125cosα)2−2(135−125cosα)cos∠OFB ，解得cosα=23，故C 正确；对于D ，过点O 作OM ⊥AB ，交AB 于点M ，则∠SMO 为二面角S ﹣AB ﹣C 的平面角，取二面角D ﹣AE ﹣B 的平面角为60°，故只需满足DG ＝2GO ＝2OM ，设∠OAG ＝∠OAM ＝θ，π8＜θ＜π4，则∠DAG =π2−2θ，AG =DG tan(π2−2θ)=OGtanθ，化简，得2tanθtan2θ=1，解得tanθ=√55，验证满足，故D 正确．故选:ACD ．11、如图，在棱长均相等的正四棱锥P −ABCD 中，O 为底面正方形的中心，M,N 分别为侧棱PA,PB 的中点，下列结论正确的是（）A ．平面OMNB ．平面PCD//平面OMNC ．OM ⊥PAD ．直线PD 与直线MN 所成角的大小为90° 答案：ABC分析：A 选项:连接AC ,O 为AC 中点，M 为PA 中点，可证OM ∥根据线面平行的判定可以证明∥平面OMN ；B 选项:；连接BD ,同理证明PD ∥平面OMN ,结合A 选项可证明平面PCD//平面OMN ；C 选项:由于正四棱锥P −ABCD 的棱长均相等，且四边形ABCD 为正方形，根据勾股定理可证PA ⊥PC ,结合OM ∥可证OM ⊥PA ;D 选项:先利用平移思想，根据平行关系找到异面直线PD 与直线MN 所成角的平面角，结合△PDC 为正三角形，即可求出直线PD 与直线MN 所成角. 连接AC 如图示：//PC PC PC PC∵O 为底面正方形的中心, ∴O 为AC 中点，又∵M 为PA 中点，∴OM ∥又∵OM ⊂平面OMN ,PC ⊄平面OMN ，∴PC ∥平面OMN ，故A 选项正确；连接BD ，同理可证ON ∥PD ,又∵ON ⊂平面OMN ,PD ⊄平面OMN ，∴PD ∥平面OMN ,又∵PD ∩PC =P ,∥平面OMN 平面PCD ,PD ⊂平面PCD , ∴平面PCD//平面OMN ,故B 选项正确；由于正四棱锥P −ABCD 的棱长均相等，且四边形ABCD 为正方形，∴AB 2+BC 2=PA 2+PC 2=AC 2∴PA ⊥PC ,又∵OM ∥， ∴OM ⊥PA ,故C 选项正确;∵M,N 分别为侧棱PA,PB 的中点，∴MN ∥AB ∵四边形ABCD 为正方形, ∴CD ∥AB ,∴直线PD 与直线CD 所成的角即为直线PD 与直线MN 所成角∴∠PDC 即为直线PD 与直线MN 所成角，又∵△PDC 为正三角形，∴∠PDC =600, ∴直线PD 与直线MN 所成角为600.故D 选项不正确. 故选：ABC12、如图所示，P 为矩形ABCD 所在平面外一点，矩形对角线交点为O ，M 为PB 的中点，下列结论正确的是（）A ．OM ∥PDB ．OM ∥平面PCDC ．OM ∥平面PDAD ．OM ∥平面PBA 答案：ABCPC PC PCPC分析：通过直线与平面平行的判定定理，即可判断ABC 正确；由线面的位置关系，即可得到直线在平面内，故D 错误；解：对于A ，由于O 为BD 的中点，M 为PB 的中点，则OM ∥PD ，故正确；对于B ，由于OM ∥PD ，OM ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，则OM ∥平面PCD ，故正确；对于C ，由于OM ∥PD ，OM ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，则OM ∥平面PAD ，故正确；对于D ，由于M ∈平面PAB ，故错误．故选：ABC ．小提示：本题考查线面平行的判定定理及应用，考查直线与平面的位置关系，考查空间想象能力.13、如图，已知四棱锥P −ABCD 中，PD ⊥平ABCD ，∠DAB =∠CBD =90°，∠ADB =∠BDC =60°，E 为中点，F 在CD 上，∠FBC =30°，PD =2AD =2，则下列结论正确的是（）A ．BE//面PADB ．PB 与平面ABCD 所成角为30°C ．四面体D −BEF 的体积为√33 D ．平面PAB ⊥平面PAD 答案：ACD分析：对A ，连结EF ，DE ，通过证明EF//平面PAD 和BF//平面PAD 得出平面BEF//平面PAD 可证；对B ，易得∠PBD 即为PB 与平面ABCD 所成角，求出即可；对C ，利用V D−BEF =V E−BDF 可求；对D ，由PD ⊥AB 和AB ⊥AD 证明AB ⊥平面PAD 即可.对于A ，连结EF ，DE ，因为∠DAB =∠CBD =90°，∠ADB =2∠BDC =60°，PC所以∠DCB =30°，∠FBC =30°，故BF =CF ，同理可得DF =BF ，故DF =CF ，所以F 为CD 的中点，又E 为的中点，故EF//PD ，又平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，故EF//平面PAD ，又因为∠ADC =60°+60°=120°，∠BFC =180°−∠FBC −∠BCF =120°，所以∠ADC =∠BFC ，故AD//BF ，又BF ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，故BF//平面PAD ，又EF ∩BF =F ，EF ，BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF//平面PAD ，又BE ⊂平面BEF ，所以BE//平面PAD ，故A 正确；对于B ，因为PD ⊥平面ABCD ，所以PB 与平面ABCD 所成的角即为∠PBD ，因为AD =1，所以BD =2，则tan∠PBD =PD BD=1，又∠PBD ∈(0,π2]，故∠PBD =45°，故选项B 错误；对于C ，S △BDF =12⋅BD ⋅DF ⋅sin60°=√3，因为PD ⊥平面ABCD ，EF//CD ，所以EF ⊥平面ABCD ，又EF =12PD ，所以ℎ=EF =1，故V D−BEF =V E−BDF =13S △BDF ⋅ℎ=13×√3×1=√33，故选项C 正确；对于D ，因为PD ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AB ，又因为AB ⊥AD ，AD ∩PD =D ，AD ，PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ，又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ，故选项D 正确．故选：ACD ．PC EF小提示：关键点睛：解决本题的关键是正确利用线面平行、面面垂直的判断定理，正确寻找图中位置关系. 填空题14、在正三棱锥S −ABC 中，AB =BC =CA =6，点D 是SA 的中点，若SB ⊥CD ，则该三棱锥外接球的表面积为___________. 答案：54π分析：通过线面垂直的判定定理和性质可得出SA ，SB ，SC 两两垂直，则可求出外接球的半径，进而求出球的表面积.设△ABC 的中心为G ，连接SG ，BG ，∴SG ⊥平面ABC ， ∵AC ⊂面ABC ，∴SG ⊥AC ，又AC ⊥BG ，BG ∩SG =G ，∴AC ⊥平面SBG ， ∵SB ⊂平面SBG ，∴AC ⊥SB ，又SB ⊥CD ，AC ∩CD =C ，∴SB ⊥平面ACS . ∵SA,SC ⊂平面ACS ，∴SB ⊥SA,SB ⊥SC ， ∵S −ABC 为正三棱锥，∴SA ，SB ，SC 两两垂直， ∴SA =SB =SC =3√2，故外接球直径为√(3√2)2+(3√2)2+(3√2)2=3√6，故三棱锥S −ABC 外接球的表面积为4π×(3√62)2=54π.所以答案是：54π.小提示：本题考查三棱锥的外接球问题，解题的关键是通过线面垂直的判定定理和性质可得出SA，SB，SC两两垂直，即可求出半径.15、圆锥的底面半径为√3，母线与底面成45°角，过圆锥顶点S作截面SAB，且与圆锥的高SO成30°角，则底面圆心O到截面SAB的距离是______.答案：√32分析：确定高SO与截面SAB所成的角，如图作出点O到SE的垂线OP，并说明OP的长是点O到平面SAB的距离，然后在直角三角形中求得点面距．如图，底面直径CD⊥AB，SO⊥平面OAB，AB⊂平面OAB，则SO⊥AB，又SO∩CD=O，SO,CD⊂平面SOE，则AB⊥平面SOE，AB⊂平面SAB，所以平面SAB⊥平面SOE，所以SO在平面SAB的射影是SE，所以∠OSE是SO与平面SAB所成的角，即∠OSE=30°，又∠SCO是母线SC与底面所成的角，即∠SCO=45°，所以在直角△SOC中，SO=OC=√3，作OP⊥SE，垂足为P，则OP⊥平面SAB，且OP=12SO=√32．所以答案是：√32．16、已知A、B、C、D四点不共面，且AB//平面α，CD∥α，AC∩α=E，AD∩α=F，BD∩α=H，BC∩α=G，则四边形EFHG是______四边形．答案：平行分析：由题，平面ABD∩平面α=FH，结合AB//平面α可得AB//FH，同理可得四边形EFHG另外三边与AB，CD的位置关系，即可得到答案.由题，平面ABD∩平面α=FH，因为AB//平面α，所以AB//FH，又平面ABC∩平面α=EG，所以AB//EG，则FH//EG，同理GH//CD//EF，所以四边形EFHG是平行四边形，所以答案是：平行解答题17、如图，四边形BCC1B1是圆柱的轴截面，AA1是圆柱的一条母线，已知AB=4，AC=2√2，AA1=3，求该圆柱的侧面积与表面积．答案：侧面积为6√6π，表面积为6√6π+12π分析：圆柱的侧面积S =2πrl ，圆柱的表面积S =2πrl +2πr 2. 易知：AB ⊥AC ，因为AB =4，AC =2√2，所以BC =√AB 2+AC 2=2√6，即r =√6，因为AA 1=3，所以圆柱的侧面积S =2πrl =2π×√6×3=6√6π，圆柱的表面积S 表=2πrl +2πr 2=6√6π+12π． 18、已知正方体ABCD −AʹBʹCʹDʹ.(1)G 是△BAʹCʹ的重心，求证：直线DG ⊥平面BAʹCʹ；(2)若AB =1，动点E ､F 在线段AD ､D ′C ′上，且DE =DʹF =a ，M 为AB 的中点，异面直线EF 与DM 所成的角为arccos√210，求a 的值.答案：(1)证明见解析 (2)√24分析：（1）根据空间向量，以BʹAʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =i →,BʹB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =j →,BʹCʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k →为基底，用基底向量表示其他向量，根据向量的数量积为0判断线线垂直，进而证明线面垂直.（2）以空间直角坐标系，写成点的坐标，根据向量的夹角与异面直线夹角间的关系，列出方程即可求解. （1）证明：设BʹAʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =i →,BʹB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =j →,BʹCʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k →，显然i →⋅j →=0，j →⋅k →=0，k →⋅i →=0，因为G 是△BAʹCʹ的重心，所以BʹG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(i →+j →+k →),故DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =BʹG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BʹD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BʹG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −(BʹB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(i +j +k ⃗ )−(j +i +k )=−23(i +j +k ⃗ ) AʹCʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k →−i →；DG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AʹCʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−23(k →2−i →2)=0，得DG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AʹCʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，同理DG⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AʹB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得DG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AʹB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 因为AʹCʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不平行于AʹB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以直线DG ⊥平面BAʹCʹ. （2）以D 为坐标原点，射线DA 、DC 、DDʹ分别是x 轴､y 轴､z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，于是E(a,0,0),F(0,a,1),M (1,12,0)，则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,a,1),DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,12,0). 于是cos 〈EF⃗⃗⃗⃗⃗ ,DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=|EF⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||EF⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12a √52⋅√2a 2+1=√210，解得a =√24，所以a 的值为√24.。

高中数学常考易错知识点整理

高中数学常考易错知识点整理
1. 乘法与除法的运算顺序：在一个算式中，乘法和除法的运算优先级高于加法和减法。

容易错的点在于没有按照运算顺序进行计算，导致结果错误。

2. 分式的运算：分式的运算需要注意分母不能为0的情况，同时需要注意约分的步骤，避免最终结果没有化简到最简形式。

3. 平方根的性质：平方根在运算中常常需要使用到一些性质，例如：$\\sqrt{a^2} =
a$、$\\sqrt{ab} = \\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b}$等。

容易错的点在于没有正确应用平方
根的性质，导致计算错误。

4. 直角三角形的勾股定理：直角三角形的勾股定理指出，直角三角形的两直角边的平
方和等于斜边的平方。

容易错的点在于直角边和斜边的位置搞反，导致计算错误。

5. 数列的继续规律：数列的继续规律是指根据已知的一部分数列成员，推出数列的下
一个成员。

容易错的点在于没有找到数列成员之间的规律，导致求解错误。

6. 因式分解：因式分解是将一个多项式表示为几个不可再约的乘积的形式。

容易错的
点在于没有找到多项式的因式或者错误地分解多项式，导致分解结果错误。

7. 函数的性质：在函数的题目中，需要注意函数的定义域、值域和图像等性质，并且
要根据题意正确应用函数的性质进行求解。

以上只是一些可能的易错知识点，具体还要根据个人的学习情况和考试内容进行整理
和准备。

建议多做一些习题和练习，熟悉常见的易错点，提高解题的准确性。

75个高中数学粗心点

75个高中数学粗心点1. 忘记将x标出来，试图直接解出方程，导致无法得到正确答案。

2. 在计算中，忽略了符号的变化，导致得出错误的结果。

3. 对于复杂的计算题，没有列出步骤或者没有规范地记录计算，导致错算或者错漏。

4. 在几何问题中，没有严格地描述图形和定义，导致难以解决问题。

5. 忽视了“数据有误”的情况，直接按照给定数据进行计算，导致得出错误答案。

6. 在公式运用中，没有把握好精度，导致答案偏差过大。

7. 在试图运用公式解决问题时，没有先明确问题的内涵、外延，导致公式无法适用。

8. 对于一些特例，没有注意到其特殊的性质，导致运用公式时无法得到正确的答案。

9. 在解决题目时，没有把握题目的方向，导致花费大量时间解决了本来简单的问题。

10. 在做计算答题题目时，没有掌握好单位换算、精度要求等，导致答案偏差过大，得分偏低。

11. 对于不同性质和范围的数据，没有选择合适的计算方法，导致最终结果错误。

12. 在考虑问题时，没有选取合适的变量或者没有选择合适的变量来描述问题，导致解题困难。

13. 没有注意到一些式子的特殊性质，如对称性、周期性等，导致没能运用它们解题。

14. 运用不严格的证明方法，导致无法得到正确的答案。

15. 未能正确区分问题中不同概念的定义，导致对问题的认识误差较大。

16. 没有采用推理或证明的方法检验一些结论或答案，导致结论或答案存在错误。

17. 没有清楚地表示自己的思路和解题方法，导致无法查错或找出解题错误。

18. 使用符号和术语不清晰，导致降低别人理解自己的思路和传达自己的思想的能力。

19. 未能考虑题目的逻辑结构和内在关系，导致解决问题时失去方向。

20. 在应用自己的思维方式和理解能力之前，没有仔细思考题目的信息和限制条件。

21. 将一些含混的词汇或问题理解成具体的数学方法，从而造成整个问题的偏差。

22. 运用不符合实际逻辑的方法，在解决问题时失去关键的细节和条件，导致答案偏差过大。

75个高中数学粗心点

75个高中数学粗心点1. 估算错误：在进行数值计算时，常常因为估算错误导致答案不准确。

2. 符号混淆：不正确地使用加减乘除符号，导致计算错误。

3. 单位混淆：在进行物理题或者工程问题时，对单位的使用混淆，导致答案错误。

4. 小数点位置错误：在数字排列中，小数点的位置错误会导致计算错误。

5. 未化简：在进行分数计算时，未化简最简分数会导致计算错误。

6. 弄错分数和小数的比较：在比较大小时，混淆了分数和小数，导致答案错误。

7. 未化简根式：在进行根式计算时，未化简根式会导致答案不准确。

8. 未确定解的取值范围：在解方程时，未确定解的取值范围，导致得到错误的解。

9. 用错公式：在应用数学公式时，用错了公式导致计算错误。

10. 未注意到题目中的条件：在解题时，未注意到题目给出的条件会导致答案错误。

11. 道题不清：在解题时，未弄清楚题目中所求的量，导致答案错误。

12. 未检查答案：在计算完成后，未对答案进行检查，导致错误答案的提交。

这些粗心点在高中数学学习中十分常见，但只要学生能够加强对这些方面的注意，就能够避免上述的错误。

下面就给出一些帮助学生避免这些粗心点的方法：1. 认真审题：在做数学题时，一定要认真审题，明确题目所求的量和条件，避免因为道题不清而导致错误。

2. 细心估算：在进行计算时，一定要细心估算，确保计算的准确性。

3. 化简工作：在进行分数计算、根式计算等时，一定要进行化简工作，确保得到的答案是最简形式。

4. 检查答案：在计算完成后，一定要对答案进行检查，确保答案的准确性。

5. 多加练习：通过多加练习，可以提高对数学知识点的熟练程度，从而避免犯错。

6. 多查找资料：在学习数学的过程中，可以多查找资料，了解各种典型错误，避免犯错。

在学习高中数学的过程中，一定要注意细节，加强对知识点的熟悉，避免犯错。

希望以上提到的粗心点和避免方法能够帮助各位学生更好地学习数学，提高数学成绩。

高中数学易错题库

第一章空间向量与立体几何易错点一：空间向量的加减运算1．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AC 1的中点为O ,则下列命题中正确的是( ) A ．OA OD +与11OB OC +是一对相等向量 B ．OB OC -与11OA OD -是一对相反向量 C ．1OA OA -与1OC OC -是一对相等向量D ．OA OB OC OD +++与1111OA OB OC OD +++是一对相反向量2．已知在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，M 为空间任意两点，如果1111764PM PB BA AA A D =++-，那么点M 必（） A ．在平面1BAD 内 B ．在平面1BA D 内 C ．在平面11BA D 内D ．在平面11AB C 内3．已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',则下列四式中:①AB CB AC -=;②''''AC AB B C CC =++;③''AA CC =;④'''AB BB BC C C AC +++=. 其中正确的是_____.易错点二：空间向量的数量积1．平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）1111ABCD A B C D -所有棱长都为1，且1160,45,A AD A AB DAB ︒∠=∠=∠=︒则1BD =（） A ．31-B ．21-C ．32-D ．32-2．在空间直角坐标系O xyz -中，(0,0,0),(22,0,0),(0,22,0)O E F ，B 为EF 的中点，C 为空间一点且满足||||3CO CB ==，若1cos ,6EF BC <>=，，则OC OF ⋅=（） A ．9B ．7C ．5D ．33．设a b c ，，是单位向量，且0⋅＝a b ，则()()a cbc -⋅-的最小值为__________．易错点三：用空间基底表示向量1．在三棱柱111A B C ABC -中，D 是四边形11BB C C 的中心，且1,,AA a AB b AC c ===，则1A D =（）A ．111222a b c ++B ．111222a b c -+C ．111222a b c +-D ．111222a b c -++2．如图，在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA a =，OB b =，OC c =，则BD 等于（）A ．1122a b c -+B ．a b c +-C ．a b c -+D ．1122a b c -+-3．如图，在空间四边形OABC 中，M ，N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且3MG GN =，用向量OA 、OB 、OC 表示向量OG ，设OG x OA y OB z OC =⋅+⋅+⋅，则x 、y 、z 的和为______.易错点四：空间向量的坐标运算1．已知点A(3,3,-5),B(2,-3,1),C 为线段AB 上一点,且23AC AB = ,则点C 的坐标为( ) A ． 715(,,)222-B ． 3(,3,2)8-C ． 7(,1,1)3--D ． 573(,,)222-2．已知()1,1,2P -，()23,1,0P 、()30,1,3P ，则向量12PP 与13PP 的夹角是（）A ．30B ．45C ．60D ．903．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，B 1C 1的中点，若以{}1,,AB AD AA 为基底，则向量AE 的坐标为___，向量AF 的坐标为___，向量1AC 的坐标为___.易错点五：空间向量运算的坐标表示1．在空间直角坐标系中，已知()1,2,3A ，()1,0,4B ，()3,0,5C ，()4,1,3D -，则直线AD 与BC 的位置关系是（） A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法判定2．已知A(1,2,3)，B(2,1,2)，C(1,1,2)，O 为坐标原点，点D 在直线OC 上运动，则当DA ·DB 取最小值时，点D 的坐标为A ．444,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．848,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．884,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭3．已知AB ＝(1，5，－2)，BC ＝(3，1，z )，若AB ⊥BC ，BP ＝(1x -，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x y +=________．易错点六：空间位置关系的向量证明1．已知正方体1111ABCD A B C D -，E 是棱BC 的中点，则在棱1CC 上存在点F ，使得（） A ．1//AF D E B ．1AF D E ⊥ C ．//AF 平面11C D ED ．AF ⊥平面11C D E2．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M=AN=23a，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是（） A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定3．若直线l 1的方向向量为1u =(1,3,2),直线l 2上有两点A(1,0,1),B(2,-1,2),则两直线的位置关系是_____. 易错点七：异面直线夹角的向量求法1．如图所示，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥平面ABC ，D 是棱PB 的中点，已知PA =BC =2，AB =4，CB ⊥AB ，则异面直线PC ，AD 所成角的余弦值为A ．3010-B ．305-C ．305D ．30102．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，若E 为11D C 的中点，则11AC →与DE →所成角的余弦值为（）A ．1010B ．13C ．24D ．553．在三棱锥O ABC -中，已知OA 、OB 、OC 两两垂直且相等，点P 、Q 分别是线段BC 和OA 上的动点，且满足12BP BC ≤，12AQ AO ≥，则PQ 和OB 所成角的余弦的取值范围是___________.易错点八：线面角的向量求法A ．6πB ．3π C ．2π D ．56π2．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为棱1CC 的中点，则直线1B M 与平面11A D M 所成角的正弦值是（）A ．215B ．25 C ．35D ．453．在正四棱锥S -ABCD 中，O 为顶点在底面内的投影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面PAC 的夹角是________．易错点九：面面角的向量求法1．如图，在空间直角坐标系D xyz -中，四棱柱1111ABCD A B C D -为长方体，12AA AB AD ==，点E ，F 分别为11C D ，1A B 的中点，则二面角11B A B E --的余弦值为（）A ．33-B ．32-C ．33D ．322．如图，在空间直角坐标系Dxyz 中，四棱柱1111ABCD A B C D -为长方体， 12AA AB AD ==，点E 为11C D 的中点，则二面角11B A B E --的余弦值为（）A ．33-B ．32-C ．33D ．323．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上.若二面角1D EC D --的大小为4π，则AE =__________．第二章直线和圆的方程易错点一：两条直线平行和垂直的判定1．若过点A (2,-2)，B (5,6)的直线与过点P (2m ,1)，Q (-1,-m )的直线平行，则m 的值为（） A ．-1B ．-513C ．2D ．122．若直线a ，b 的斜率分别为方程2410x x --=的两个根，则a 与b 的位置关系为（） A ．互相平行B ．互相重合C ．互相垂直D ．无法确定3．经过点A (1,2)和点B (-3,2)的直线l 1与经过点C (4,5)和点D (a ,-7)的直线l 2垂直，则a =________. 易错点二：直线的方程1．在x 轴和y 轴上的截距分别为4-和5的直线方程是（） A ．154x y +=- B ．145x y +=- C ．145x y +=- D ．154x y +=- 2．直线()2(2)232m x m m y m ++--=在x 轴上的截距为3，则实数m 的值为（）A ．65B ．6-C ．65-D ．63．过点P (1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为____________________. 易错点三：两条直线的交点坐标1．直线x －2y ＋3＝0与2x －y ＋3＝0的交点坐标为（） A ．(－1，1) B ．(1，－1) C ．(1，1)D ．(－1，－1)2．两条直线1l ：x =2和2l ：32120x y +-=的交点坐标是 A ．(2,3)B ．(2,3)-C ．(3,2)-D ．(3,2)-3．已知直线1:l 3250x y +-=与直线2:l 4110x ay +-=，且12l l ⊥，则直线1l 与直线2l 的交点坐标是______．易错点四：两点间的距离公式1．点()2,5P -为平面直角坐标系内一点，线段PM 的中点是()1,0，那么点M 到原点O 的距离为（） A ．41B ．41C ．39D ．392．光线从点(3,5)A -射到x 轴上，经x 轴反射后经过点(2,10)B ，则光线从A 到B 的距离为 A ．52B ．25C ．510D ．1053．已知点()2,1A ，点()5,1B -，则AB =________．易错点五：圆的方程1．以()3,1A -，()2,2B -为直径的圆的方程是 A ．2280x y x y +---= B ．2290x y x y +---= C ．2280x y x y +++-=D ．2290x y x y +++-=2．圆224630x y x y ++--=的标准方程为（） A ．22(2)(3)16x y -+-= B ．22(2)(3)16x y -++= C ．22(2)(3)16x y ++-=D ．22(2)(3)16x y +++=3．圆心为直线20x y -+=与直线280x y +-=的交点，且过原点的圆的标准方程是________．易错点六：直线与圆的位置关系 1．直线y=x+1与圆x 2+y 2=1的位置关系为 A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离2．已知过点P(2,2) 的直线与圆22(1)5x y -+=相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =（） A ．12-B ．1C ．2D ．123．直线()0kx y k k R --=∈与圆222x y +=交点的个数为______. 易错点七：圆与圆的位置关系1．圆M ：x 2+y 2+4x ＝0与圆N ：(x +6)2+(y ﹣3)2＝9的位置关系是（） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离2．已知圆C 1：x 2+y 2+2x ﹣4y +4＝0，圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣1＝0，则圆C 1与圆C 2（） A ．相交B ．外切C ．内切D ．外离3．已知圆221:1C x y +=，圆222:2210C x y x y +--+=，则圆1C 与圆2C 的位置关系为______.第三章圆锥曲线的方程易错点一：利用椭圆定义求方程1．椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（） A ．22+169144x y ＝1 B ．2144x +2169y ＝1C ．2169x +225y ＝1D ．2144x +225y ＝12．已知ABC 的两个顶点分别为(4,0),(4,0),A B ABC -的周长为18，则点C 的轨迹方程为（）A ．221(0)259x y y +=≠B ．221(0)259y x y +=≠C ．221(0)169x y y +=≠D ．221(0)169y x y +=≠3．已知圆221:(2)36F x y ++=，定点2(20)F ，，A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点，则P 点的轨迹C 的方程是_____________. 易错点二：求椭圆的焦点1．若直线l ：2x ＋by ＋3＝0过椭圆C ：10x 2＋y 2＝10的一个焦点，则b 等于（） A ．1B ．±1C ．－1D ．±22．已知12,F F 分别为椭圆221169x y+=的左，右焦点，A 为上顶点，则12AF F △的面积为（）A ．6B ．15C ．67D ．373．设椭圆221129x y +=的短轴端点为1B 、2B ，1F 为椭圆的一个焦点，则112B F B ∠=________.易错点三：求椭圆的长轴、短轴1．已知椭圆9x 2+4y 2＝36，则其长轴长为（） A ．2B ．4C ．6D ．92．椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为（） A ．2B ．4C ．12D ．143．已知椭圆()2222:111x y C a a a +=>-的左，右焦点分别为1F ，2F ，点()0,6A ，椭圆C 短轴的一个端点恰为12AF F △的重心，则椭圆C 的长轴长为________. 易错点四：求椭圆的离心率或离心率的取值范围1．在Rt ABC 中，1AB AC ==，如果一个椭圆通过A ､B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率e =（）A ．32-B ．21-C ．31-D ．63-2．曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）上点()00,P x y 处的曲率半径公式为3222220044x y R a b a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．若椭圆C 上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆C 的离心率为（）A ．12B ．22C ．32D ．1443．已知椭圆M ：2222x y a b+＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆M 与坐标轴分别交于A ，B ，C ，D 四点，且从F 1，F 2，A ，B ，C ，D 这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆M 的离心率的可能取值为__． ①512-；②312-；③32；④22．易错点五：根据离心率求椭圆的标准方程 1．焦点在y 轴上的椭圆mx 2＋y 2＝1的离心率为32，则m 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．42．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为,a b ，则椭圆的面积公式为S ab π=.若椭圆C 的离心率为32，面积为8π，则椭圆的C 的标准方程为（） A ．221164x y +=或221164y x +=B ．2211612x y +=或2211612y x += C ．221124x y +=或221124y x +=D ．221169x y +=或221916x y +=3．已知焦点在x 轴上的椭圆2215x y m +=的离心率105e =，则m 的值为______．易错点六：利用定义解决双曲线中焦点三角形问题1．已知O 为坐标原点，设12,F F 分别是双曲线221x y -=的左、右焦点，点P 为双曲线左支上任一点，自点1F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足为H ，则||OH = A ．1B ．2C ．4D ．122．已知F 是双曲线C ：2213y x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则APF 的面积为 A ．13B ．1 2C ．2 3D ．323．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：221x y -=的左､右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2=60°，则|PF 1|·|PF 2|等于________.易错点七：根据方程表示双曲线求参数的范围1．若方程22191x y k k +=--表示焦点在y 轴上的双曲线，则k 的取值范围为（）A ．9k >B ．1k <C ．19k <<D ．(1,5)(5,9)k ∈⋃2．已知方程2211-2x y m m +=+表示双曲线，则m 的取值范围是（）A ．(-1，+∞)B ．(2，+∞)C ．(-∞，-1)∪(2，+∞)D ．(-1，2)3．已知双曲线的一个焦点到其一条渐近线的距离为，则实数的值是_______．易错点八：根据a,b,c 求双曲线的标准方程1．过双曲线2222:1x y C a b-=的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于点A ，若以C 的右焦点为圆心，以2为半径的圆经过A ､O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为（） A ．2213x y -=B ．2213y x -=C ．22122x y -=D ．22126x y -=2．已知双曲线的渐近线方程为y=±2x,焦点坐标为(-6,0),(6,0),则双曲线方程为( ) A ．22x y 28-=1B ．22x y 82-=1C ．22x y 24-=1D ．22x y 42-=13．已知双曲线中心在原点，一个焦点为1(5,0)F -，点P 在双曲线上，且线段1PF 的中点坐标为（0，2），则此双曲线的方程是________________. 易错点九：求双曲线的焦点坐标1．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆22182x y +=有公共焦点.则双曲线C 的渐近线方程为（） A ．77y x =±B ．7y x =±C ．55y x =±D ．5y x =±2．过双曲线221169x y -=的一个焦点F 作弦AB ，则11||||AF BF +的值等于（） A ．92B ．89C ．49D ．293．若双曲线22154x y -=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为________.易错点十：根据焦点或准线写出抛物线的标准方程1．已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22(3)16x y -+=相切，则p 的值为 A ．12B ．1C ．2D ．42．以坐标轴为对称轴，焦点在直线34120x y --=上的抛物线的标准方程为（） A ．216x y =或212y x = B ．216y x =或212x y = C ．216y x =或212x y =-D ．216x y =或212y x =-3．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为____．第四章数列易错点一：判断或写出数列中的项 13,5,7,3,11,,21,n +51 ） A ．第12项B ．第13项C ．第14项D ．第25项2．已知数列{}n a 的通项公式为21nn a =+，则257是这个数列的（）A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项3．已知数列210，4，…()231n -…，则8是该数列的第________项易错点二：判断等差数列1．若{}n a 是等差数列，则下列数列中也成等差数列的是 A ．{}2n aB ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．{}3n aD ．{}n a2．数列{}n a 中，15a =，13n n a a +=+，那么这个数列的通项公式是（） A ．31n -B ．32n +C ．32n -D ．31n +3．给出下列命题，正确命题的是（）(多选题） A ．数列6，4，2，0是公差为2的等差数列； B ．数列1,23a a a a ---,,是公差为1-的等差数列；C ．等差数列的通项公式一定能写成n a kn b =+的形式(k ，b 为常数)；D ．数列{}()21n n N*+∈是等差数列．易错点三：等差数列通项公式的基本两计算1．在等差数列{a n }中，a 3＝2，d ＝6.5，则a 7＝（） A ．22B ．24C ．26D ．282．已知数列{}n a 是等差数列，若35715a a a ++=，8212a a -=，则10a 等于（） A ．10B ．12C ．15D ．183．三数成等差数列，首末两数之积比中间项的平方小16，则公差为__________．易错点四：利用等差数列的性质计算1．在等差数列{a n }中，a 3+a 4+a 5＝6，则a 1+a 7＝（） A ．2B ．3C ．4D ．52．在等差数列{}n a 中，2510a a +=，3614a a +=，则58a a +=（） A ．12B ．22C ．24D ．343．在等差数列{}n a 中，194a a +=，那么238a a a ++⋅⋅⋅+等于______. 易错点五：等差数列前n 项和的基本量计算1．已知等差数列{}n a 的前5项和为25，且11a =，则7a =（） A ．10B ．11C ．12D ．132．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若254a a +=，7S =21，则7a 的值为 A ．6B ．7C ．8D ．93．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若63511a a =，则115SS =__________. 易错点六：等比数列通项公式的基本量计算1．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为2，若415S =，则6a 的值为（） A ．16B ．32C ．48D ．642．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S =，621S =-，则1a =（） A ．2-B ．1-C ．1D ．23．设正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若423S S =，则q =_______________. 易错点七：求等比数列前n 项和1．已知数列{}n a 的通项公式212n n n a -=，则数列{}n a 的前5项和5S 等于（）A ．3132B ．2516C ．12932D ．211322．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ，22a ，3a 成等差数列.若11a =，则3S =（） A ．15B ．7C ．8D ．163．对于数列{}n a ，若点()()n n a n ∈*N ,都在函数()2x f x =的图象上，则数列{}n a 的前4项和4S =___________.第五章一元函数的导数及其应用易错点一：平均变化率1．设函数2()1f x x =-，当自变量x 由1变到1.1时，函数的平均变化率是（） A ．2.1B ．0.21C ．1.21D ．0.1212．函数1y x=在1x =到3x =之间的平均变化率为（） A ．23B ．23-C ．13-D ．133．函数()ln f x x =在区间[]1,e 上的平均变化率为_________. 易错点二：瞬时变化率的概率及辨析1．如果一个物体的运动方程为()()30s t t t =>，其中s 的单位是千米，t 的单位是小时，那么物体在4小时末的瞬时速度是（） A ．12千米/小时B ．24千米/小时C ．48千米/小时D ．64千米/小时2．已知某物体的运动方程是39t s t =+，则当3t s =时的瞬时速度是A ．2/m sB ．3/m sC ．4/m sD ．5/m s3．质点M 按规律()()21s t t =-做直线运动（位移单位：m ，时间单位：s ），则质点M 在3t s=时的瞬时速度为______（单位：/m s ）. 易错点三：导数定义中极限的简单计算 1．已知函数()sin f x a x =-，且0()()lim 2x f x f xππ∆→+∆-=∆，则实数a 的值为（）A ．2πB ．2π-C ．2D ．2-2．已知(1)1f '=，0(13)(1)lim x f x f x∆→+∆-∆等于（）A ．1B ．1-C ．3D ．133．已知()03f x '=，则()()0002limx x x f x f x∆→+∆-=∆______.易错点四：求曲线切线的斜率（倾斜角）1．已知函数()32f x x x =-，则()f x 在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为（）A ．34π B ．3π C ．4πD ．6π2．设()()22lim2x f x f x x∆→+∆--∆=-∆，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线的倾斜角是（）A ．4πB ．3π C ．34π D ．23π 3．已知函数()321313f x x x x =---+，则在曲线()y f x =的所有切线中，斜率的最大值为______.易错点五：基本初等函数的导数公式 1．若函数()31f x x =--，则()f x '=（） A ．0B ．3x -C ．3D ．3-2．函数()3ln 2x f x =+的导数为（） A ．3ln 3xB ．13ln 32x+C ．132x+D ．3x3．若()()23,f x x g x x ==，则满足()1()f x g x ''+=的x 值为________.易错点六：导数的运算1．已知函数2()2x f x x x xe =+-，则(0)f '=（） A ．1B ．0C ．1-D ．22．下列导数运算正确的是（） A ．()122x x x -'=⋅ B ．(sin cos 1)cos2x x x +=' C ．1(lg )x x'=D ．()12x x --'=3．已知函数2()x f x x e =，'()f x 为()f x 的导函数，则(1)f '的值为___________. 易错点七：用导数判断或证明已知函数的单调性 1．函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞,＋∞)上是（） A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减D ．不确定2．已知()'f x 是定义在R 上的函数()f x 的导函数，且满足()()0xf x f x '+>对任意的x ∈R 都成立，则下列选项中一定正确的是（）A ．(2)(1)2f f >B ．(1)(2)2f f > C ．(2)(1)2f f <D ．(1)(2)2f f < 3．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足'()()f x x f x ⋅<，()30f =，则()0f x x>的解集为_________. 易错点八：求已知函数的极值1．函数y ＝x ＋1x(－2<x <0)的极大值为（）A ．－2B ．2C ．－52D ．不存在2．函数f (x )＝1－x ＋x 2的极小值为（） A ．1 B ．34C ．14D ．123．已知函数()ln f x x x =，则()y f x =的极小值为______．易错点九：由导数求函数的最值1．函数f (x )＝x 2－4x ＋1在[1，5]上的最大值和最小值分别是（） A ．f （1），f （2） B ．f （2），f （5） C ．f （1），f （5）D ．f （5），f （2）2．关于函数3()f x x x =+，下列说法正确的是（） A ．没有最小值，有最大值 B ．有最小值，没有最大值 C ．有最小值，有最大值D ．没有最小值，也没有最大值3．已知函数2 ()2ln f x x x =-，则() f x 在[1,]e 上的最大值是__________．第六章计数原理易错点1：分步标准不清致错典例甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生，则不同的冠军获得情况共有__64__种．易错点2：忽视排列数公式的隐含条件致误典例解不等式A x8<6A x －28．由排列数公式得8！(8－x )！<6×8！(10－x )！，化简得x 2－19x ＋84<0，解之得7<x <12．∵x ∈N *，∴x ＝8,9,10,11．易错点3：重复计数与遗漏计数致误典例 6个人站成前、中、后三排，每排2人，则不同的排法有__720__种．易错点4：混淆“排列”与“组合”的概念致错典例某单位需派人同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法共有__2_520__种(用数字作答)．易错点5：计数时重复或遗漏致错典例将4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中，则恰好有1个空盒子的放法有__144__种(用数字作答)．易错点6：混淆项的系数与二项式系数典例设(x －2)n (n ∈N *)的展开式中第二项与第四项的系数之比为1∶2，求含x 2的项．易错点7：错用二项式系数的性质致误典例 (1＋2x )20的展开式中，x 的奇次项系数的和与x 的偶次项系数的和之比为__(320－1)∶(320＋1)__．第七章随机变量及其分布列易错点1：误认为条件概率P (B |A )与积事件的概率P (AB )相同典例袋中装有大小相同的6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，每次抽取一球，取后不放回，连取两次，求在第一次取到白球的条件下第二次取到黄球的概率．易错点2：概率计算公式理解不清而致误典例(多选题)若0<P(A)<1,0<P(B)<1，则下列式子中成立的为__BCD__．A．P(A|B)＝P(AB) P(A)B．P(AB)＝P(A)P(B|A)C．P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)D．P(A|B)＝P(B)P(A|B)P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)易错点3：离散型随机变量的可能取值搞错致误典例小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1 000元，3 000元，6 000元的奖品(不重复得奖)用X表示小王所获奖品的价值，写出X的所有可能取值．易错点4：对离散型随机变量均值的性质理解不清致误典例若X是一个离散型随机变量，则E(E(X)－X)＝(A)A．0 B．1C．2E(X) D．不确定易错点5：要准确理解随机变量取值的含义典例某人有5把钥匙，其中只有一把能打开某一扇门，今任取一把试开，不能打开者除去，求打开此门所需试开次数X的均值和方差．易错点6：审题不清致误典例9粒种子分别种在3个坑内，每坑放3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，求需要补种坑数的分布列．易错点7：对超几何分布的概念理解不透致错典例盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，若取出的是次品不再放回，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数X 的分布列．易错点8：对正态曲线的性质理解不准确致错典例设ξ～N (1,4)，那么P (5<ξ<7)＝__0.021_5__．第八章成对数据的统计分析易错点1：概念不清致误典例 (2021·陕西西安高三月考)在一组成对样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( D )A ．－1B ．0C ．12D ．1易错点2：生搬硬套求回归直线方程的步骤致错．典例在一次抽样调查中测得样本的5个样本点数值如下表：x 0.25 0.5 1 2 4 y1612521试建立y 与x 之间的经验回归方程．易错点3：没有准确掌握公式中参数的含义致误典例有甲、乙两个班级进行一门考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如下的列联表班级与成绩列联表试问能有多大把握认为“成绩与班级有关系”？。

高中数学知识点易错点梳理八解析几何

高中数学知识点易错点梳理八解析几何第18题（解几综合题）——从平几中寻突破到解几中找关系解析几何：近几年江苏高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型：1、求曲线方程，适当关注点的轨迹问题，尤其是一些根据定义求解的简单问题；2、位置问题(含切线问题)；3、定点定值问题、最值问题；4、范围问题，以上这些问题由于综合性较强，所以备受高考命题者的青睐，常用来考察学生在数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理等方面的能力．解析几何复习中要以直线和圆、圆锥曲线的标准方程为重点，要重视体现解析几何基本思想的问题的学习，重视以椭圆为背景的圆的问题的学习．另外，解析几何的运算量很大，忌讳不利用定义、图形的几何特征瞎算． 18.1、圆锥曲线中的精要结论：1.焦半径：(1)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>：0201,ex a PF ex a PF -=+=；（左“+”右“-”）；(2)抛物线：20px PF += 2.弦长公式：]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+=]4)[()11(11212212122y y y y ky y k -+⋅+=-⋅+=；【注】：(1)焦点弦长：i ．椭圆：)(2||21x x e a AB +±=；ii ．抛物线：AB ＝1222sin p x x p α++=；(2)通径（最短弦）：i ．椭圆、双曲线：22b a ；ii ．抛物线：2p .3.过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：122=+ny mx （n m ,同时大于0时表示椭圆，0<mn 时表示双曲线）；4.椭圆中的结论：(1)内接矩形最大面积：2ab ；(2)P ，Q 为椭圆上任意两点，且OP OQ ⊥，则22221111||||OP OQ a b +=+； (3)椭圆焦点三角形：122tan2PF F S b θ∆=，（12F PF θ=∠）；(4)当点P 与椭圆短轴顶点重合时21PF F ∠最大； (5)共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12222φφb a b y a x =+的离心率是)(22b a c ace -==，方程t t b y a x (2222=+是大于0的参数，)0φφb a 的离心率也是ace =，我们称此方程为共离心率的椭圆系方程． 5.双曲线中的结论：(1)双曲线12222=-b y a x （0,0a b >>）的渐近线：02222=-by a x ； (2)共渐近线x a b y ±=的双曲线标准方程为λλ(2222=-bya x 为参数，λ≠0）；(3)双曲线焦点三角形：2cot 221θb S F PF =∆，（21PF F ∠=θ）；(4)等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=(渐近线互相垂直)，离心率2=e ． (5)共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλby ax 的渐近线方程为02222=-by ax 如果双曲线的渐近线为0=±b ya x 时，它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλby a x ． (6) 双曲线一个焦点到一条渐近线的距离等于b ． 6.抛物线中的结论：(1)抛物线22y px =(0)p >的焦点弦AB 性质：i ．2124p x x =；212y y p =-； ii ．pBF AF 2||1||1=+ ；iii ．以AB 为直径的圆与准线相切；iv ．以AF （或BF ）为直径的圆与y 轴相切；v ．αsin 22p S AOB=∆. (2)抛物线22y px =(0)p >内结直角三角形OAB 的性质：i ． 2212214,4P y y P x x -==； ii ．AB l 恒过定点)0,2(p ；iii ．B A ,中点轨迹方程：)2(2p x p y -=；iv ．AB OM ⊥，则M 轨迹方程为：222)(p y p x =+-；v ．2min 4)(p S AOB =∆ .(3)抛物线22y px =(0)p >，对称轴上一定点)0,(a A ，则： i ．当0a p <≤时，顶点到点A 距离最小，最小值为a ；ii ．当p a >时，抛物线上有关于x 轴对称的两点到点A 距离最小，最小值为22p ap -. 18.2、两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <.当22min{,}k a b <时,表示椭圆；当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.18. 3、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1）；在ABC ∆中，给出()12AD AB AC =+u u ru u r u u r，则AD 是ABC ∆中BC 边的中线；（2）给出0PM PN +=ru u u r u u r，即已知P 是MN 的中点；（3）给出以下情形之一：①||AB AC u u r u u r；②存在实数,AB AC λλ=rr 使；③若存在实数,,1,αβαβ+=且，OC OA OB αβ=+u u r u u r u u r使等于已知,,A B C 三点共线. （4）给出0MA MB ⋅=u u r u u r ，等于已知MA MB ⊥，即AMB ∠是直角，给出0MA MB m ⋅=<u u r u u r，等于已知AMB ∠是钝角，给出0MA MB m ⋅=>u u r u u r，等于已知AMB ∠是锐角；（5）给出()MP MA MB MA MBλ=+u u u r u u u ru u r u u u r u u u r ，等于已知MP 是AMB ∠的平分线；（6）在平行四边形ABCD 中，给出()()0AB AD AB AD +⋅-=u u r u u r u u r u u r，等于已知ABCD 是菱形；（7）在平行四边形ABCD 中，给出||||AB AD AB AD +=-u u r u u r u u r u u r，等于已知ABCD 是矩形；（8）在ABC ∆中，给出OP OA =+u u ru u r()||||AB AC AB AC λ+u u r u u r u u r u u r )(+∈R λ，则AP 通过ABC ∆的内心；18.4、解题规律盘点 1、交点①直线与圆锥曲线交于不同的两点：直线与二次曲线联立，当二次项系数不为0时，1212x x x x ∆>⎧⎪+=⎨⎪⋅=⎩L L，x my b =+与二次曲线联立，12120y y y y ∆>⎧⎪+=⎨⎪⋅=⎩L L ； ②直线与圆锥曲线相切：直线与二次曲线联立， 00⎧⎨∆=⎩二次项系数不等于③直线与二次曲线有一个公共点：⇒⎩⎨⎧双曲线直线l二次项系数为0，表示平行于渐近线的两条直线；二次项系数为0，△=0l ⎧⎨⎩直线抛物线⇒二次项系数为0，表示平行于对称轴的一条直线；二次曲线不为0，△=0(2)定点处理思路；(3)①设参数方程；椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的参数方程是：为参数）θθθ(sin cos ⎩⎨⎧==b y a x ；圆222()()x a x b r -+-=的参数方程：为参数）θθθ(sin cos ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x 以简化计算. 2、直线(1)设直线方程分斜率k 存在、k 不存在两种情况讨论．如果什么信息也没有：讨论斜率不存在情形，当斜率存在时，往往设为斜截式：y kx b =+；巧设直线方程00()x x k y y -=-回避讨论及运算等问题当直线过定点00(,)x y 时，若设成00()y y k x x -=-有时会出现下列情况： (i)容易忽视斜率不存在的情形；(ii)运算较繁，有时还会陷入僵局.(2)过x 轴上一点(,0)m 的直线一般设为x ty m =+可以避免对斜率是否存在的讨论 (3)两解问题：3、角(1)余弦定理; (2)向量的夹角公式 4、直线与圆锥曲线(1)直线与圆锥曲线问题解法：1.直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解. 【运算规律】：直线与圆锥曲线位置关系运算程式【后话】:联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解时，注意以下问题：①联立的关于“x ”还是关于“y ”的一元二次方程？②二次项系数系数为0的情况讨论了吗？③直线斜率不存在时考虑了吗？④判别式验证了吗？ 2.设而不求（点差法）——处理弦中点与直线斜率问题步骤如下：已知曲线()22221,0x y a b a b±=>，①设点11(,)A x y 、22(,)B x y 中点为00(,)M x y ，②作差得ΛΛ=--=2121x x y y k AB；20AB OM 20b x k k a y =m ；对抛物线22(0)y px p =≠有AB 122p y p k y y =+＝.【细节盘点】*1.用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后，注意用判别式、韦达定理、弦长公式；注意对参数分类讨论和数形结合、设而不求思想的运用；注意焦点弦可用焦半径公式，其它用弦长公式.*2.在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，常与“弦”相关，“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长度(弦长)”问题关键是长度(弦长)公式或“小小直角三角形”.*3. 在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，涉及到“交点”时，转化为函数有解问题；先验证因所设直线斜率存在，造成交点漏解情况，接着联立方程组，然后考虑消元建立关于x 的方程还是y 的方程，接着讨论方程二次项系数为零的情况，再对二次方程判别式进行分析，即0∆=时，直线与曲线相切，……*4.求解直线与圆锥曲线的“弦长”、“交点”问题时，必要条件（注意判别式失控情况）是他们构成的方程组有实数解，当出现一元二次方程时，务必先有“0∆≥”. 求解直线与圆锥曲线的其它问题时，如涉及到二次方程问题，必须优先考虑“二次项系数”与“判别式”问题.*5.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).*6.韦达定理在解几中的应用：①求弦长； ②判定曲线交点的个数； ③求弦中点坐标；④求曲线的方程.(2)直线与圆锥曲线相交的弦长公式:AB或12|AB x x =-21221221224)(11))(11(||y y y y k y y k AB -++=-+=【注】：弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由方程{(,)0y kx b F x y =+= 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率，12||x x -=(3)抛物线的切线方程①抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.②过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+.③抛物线px y 22=与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =. 5、几何定值、极值问题几何极值问题实际上就是以几何条件出现的极值问题，通常运用几何中的有关不等式和定理解决，有时运用“对角”变换及局部调整法，有时运用三角方法，如有关三角函数性质、正弦定理、三角形面积公式等转化为三角极值问题解决.有关面积与周长的极值问题除了运用有关面积的几何知识外，常常需要用如下结论：①周长一定的三角形中，以正三角形的面积最大；②周长一定的矩形中，以正方形面积最大；③面积一定的三角形中，以正三角形的周长最小；④周长一定的平面曲线中，圆所围成的面积最大；⑤在面积一定的闭曲线中，圆的周长最小；⑥在边长分别相等的多边形中，以圆内接多边形的面积最大；⑦在等周长的边形中，以圆内接多边形的面积最大；⑧在面积一定的边形中，正边形的周长最小.几何定值问题主要是研究和解决变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素的和谐几何性质或位置保持不变等问题.常见的几何定值中的定量问题为定角、定长（线段长、周长、距离之和等）、定比（线段比、面积比）、定积（面积、线段积）等.常见的几何定值中的定位问题为过定点、过定直线等. 几何定值问题可以分为两类：一类是绝对的定值问题，即需要证明的定值为一确定的常数.这种定值为所给图形的位置、大小、形状无关；另一类是相对定值问题，即要证明的定值与题设图形中的某些定量有关，这种定值是随题设图形的位置、大小和形状的变化而改变的，因此，只有相对的意义，也就是证明题推断的几何量可以用题设已知量的某种确定的关系来表示.解决定值问题常用的处理思路和方法：（1）利用综合法证明时，需要改变题目的形式，把一般定值题转化为特殊情况，因此，常作辅助图形；其次要明确图形中哪些元素是固定元素，哪些量是定量，分析问题时要围绕着固定元素和定量进行，把定值固定在已知量上；（2）利用参数法证明时，要根据题设的条件，选取适当的参数，然后将所要证明的定值用参数表示出来，最后消去参数，便求得用常量表示的定值；（3）利用计算法证明时，通常借助于正、余弦定理或坐标法将有关量用某些特定的量表示出来，再通过计算证明所求的式子的值为定值；（4）综合运用几何、代数、三角知识证题. 6、求轨迹方程的常用方法：⑴直接法：直接通过建立x 、y 之间的关系，构成(,)0F x y =，是求轨迹的最基本的方法.⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可.⑶代入法(相关点法或转移法).⑷定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程.⑸交轨法(参数法)：当动点(,)P x y 坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x 、y 均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程. 7、定义解题①椭圆：第一定义：平面上一动点P 到平面上两个定点F 1、F 2的距离和为定值，且|PF 1|+|PF 2|>|F 1F 2|,则P 点轨迹为椭圆． ②双曲线：||PF 1|-|PF 2||=定值<｜F 1F 2|③三种圆锥曲线的统一定义：e dPF =||（e ∈(0,1)：椭圆；e =1：抛物线；e>1：双曲线（2009江苏卷18）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=.（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为23，求直线l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标． ⑴0y=或724280x y +-=⑵点P 坐标为313(,)22-或51(,)22-（2010江苏卷18）（本小题满分16分）在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F ．设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y ．（1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹；（P 的轨迹为直线92x =）（2）设31,221==x x ，求点T 的坐标；（T 的坐标为10(7,)3）（3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）．（直线MN 必过x轴上的点（1，0））（2011江苏卷18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆12422=+y x 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k（1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值；（2k =）（2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ；（223d =）（3）对任意k>0，求证：PA ⊥PBNMPAxyBC。

75个高中数学粗心点

75个高中数学粗心点高中数学作为学生的必修课程，是学生学习过程中较为重要的一环。

由于学生自身的粗心或者是因为数学知识的复杂性，很容易出现一些错误。

下面就列举出了75个高中数学学习过程中的常见粗心点，希望能够引起同学们的注意，避免犯错。

一、代数基础知识的粗心点（1-15）1. 疏漏符号计算，如忘记加减乘除的符号，导致错误的计算结果。

2. 漏写变量指数，导致运算错误。

3. 漏写加号或减号，导致结果错误。

4. 换元时不注意符号的变化，导致计算错误。

5. 对象摆错位置，引发错误运算。

6. 对代数式多项式的展开计算不完整，导致结果错误。

7. 对分母有变动的式子提取因式时，受式子长度影响，引发计算错误。

8. 未将分式进行通分，导致最终计算错误。

9. 对比大小不严谨，导致结果错误。

10. 对代数式的因式分解时，对题目的条件、方法不够熟悉，导致错误。

11. 对代数式的分式化简中，未将分母的因式完全提取出来，导致计算错误。

12. 对多项式间的运算，因为符号摆放的不当导致运算错误。

13. 对二次根式的运算，解决方程时，因为忘记写出正负号，导致结果错误。

14. 对二次方程根的关系不够熟悉，导致计算错误。

15. 对绝对值的取值范围不够熟悉，导致计算错误。

16. 对函数的定义域与增减性、凹凸性的关系不够熟悉，导致计算错误。

17. 对极限的计算，因为不熟悉符号运算规则而导致计算错误。

18. 对函数的奇偶性与周期性的关系不够熟悉，导致计算错误。

19. 对函数的图像与性质的关系不够熟悉，导致计算错误。

20. 对函数的单调性不够熟悉，导致计算错误。

21. 对函数的零点、极值点与图像的关系不够熟悉，导致计算错误。

22. 对函数的渐近线与图像的关系不够熟悉，导致计算错误。

23. 对利用导数计算函数图像的一阶导数、二阶导数不够熟悉，导致计算错误。

24. 对导数的几何意义、微分的含义不够熟悉，导致计算错误。

25. 对函数的积分计算不熟练，导致计算错误。

高中数学易混易错知识点大全

高中数学易错、易混、易忘备忘录1.在应用条件A ∪B ＝Ｂ⇔A ∩B ＝Ａ⇔ＡＢ时，易忽略Ａ是空集Φ的情况2.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则 3 根据定义证明函数的奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称 4 求反函数时，易忽略求反函数的定义域 5 单调区间不能用集合或不等式表示. 6 用基本不等式求最值时，易忽略验证“一正二定三等”这一条件7 你知道函数(0,0)b y ax a b x=+>>的单调区间吗？（该函数在(,)-∞+∞和上单调递增；在[和（0上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！(其在第一象限的图像就象“√”，特命名为：对勾函数) 是奇函数，图像关于原点对称. 8 解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀 9 用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为０尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略 10 等差数列中的重要性质：若m+n=p+q ，则m n p q a a a a +=+;（反之不成立）等比数列中的重要性质：若m+n=p+q,则m n p a a a a = （反之不成立） 11 用等比数列求和公式求和时，易忽略公比ｑ＝１的情况12 已知n S 求n a 时, 易忽略n ＝１的情况13 等差数列的一个性质：设n S 是数列{n a }的前n 项和, {n a }为等差数列的充要条件是：2n S an bn =+（a, b 为常数）其公差是2a14 你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？（若n n n c a b =其中{n a }是等差数列，{n b }是等比数列，求{n c }的前n 项的和） 15 你还记得裂项求和吗？（如111(1)1n n n n =-++） 16 在解三角问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？17 你还记得三角化简的通性通法吗？（异角化同角，异名化同名，高次化低次）18 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？1(||,2l r S lr α==扇形） 19 在三角中，你知道1等于什么吗？(这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的应用20 0与实数0有区别，0的模为数0，它不是没有方向，而是方向不定 0可以看成与任意向量平行，但与任意向量都不垂直 21 0a =，则0a b ⋅=，但0a b ⋅=不能得到0a =或b = a b ⊥有0a b ⋅= 22 a b =时，有a c b c ⋅=⋅ 反之a c b c ⋅=⋅不能推出a b = 23一般地()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅ 24 使用正弦定理时易忘比值还等于2R ::sin :sin :sin a b c A B C = 25 两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘；同时要注意“同号可倒”即ａ＞ｂ＞ｏ11a b ⇒<，ａ＜ｂ＜ｏ1a b ⇒> 26 分式不等式的一般解题思路是什么？（移项通分、零点分段） 27 解指对数不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性, 对数的真数大于零） 28 在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底或）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解是…… 29常用放缩技巧：211111111(1)(1)1n n n n n n n n n-=<<=-++-- k k k k k k k k k +-=+-<<++=-+1112111130用直线的点斜式、斜截式设直线的方程时, 易忽略斜率不存在的情况31直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是[0,),(0,),(0,2πππ 32 函数的图象的平移、方程的平移以及点的平移公式易混：33sin sin()3x x x y x y x πππ→-=−−−−−−→=-沿轴向右平移① 22sin 2sin ,sin 2y y y y x y x y x →-=−−−−−→-==+沿轴向上平移②即 212sin sin 2x x x y x y x →=−−−−−−−→=沿轴缩短到原来的③ 1221sin sin 2x x x y x y x →=−−−−−−−→=沿轴伸长到原来的倍④ 2121sin 2sin ,sin 2y y y y x y x y x →=−−−−−−−→==沿轴缩短到原来的⑤即 1221sin sin ,2sin 2y y y y x y x y x →=−−−−−−−→==沿轴伸长到原来的倍⑥即 33 定比分点的坐标公式是什么？（起点，中点，分点以及值可要搞清） 34 直线在坐标轴上的截距可正，可负，也可为0 35 处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距离；（2）直线方程与圆的方程联立，判别式一般来说，前者更简捷 36处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系 37 在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形 38 还记得圆锥曲线方程中的a,b,c,p ,ca a c 2,的意义吗？ 39 离心率的大小与曲线的形状有何关系？（圆扁程度，张口大小）等轴双曲线的离心率是多少？40 在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式的限制（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行） 41 椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形（a ，b ，c ） 42 通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦（通径是过焦点，且垂直于x 轴的弦） 43 你知道椭圆、双曲线标准方程中a ，b ，c 之间关系的差异吗？45作出二面角的平面角主要方法是什么？（定义法、三垂线法、垂面法）三垂线法：一定平面，二作垂线，三作斜线，射影可见 46 求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、等体积法、换点法、向量法） 47 求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法） 48 两条异面直线所成的角的范围：0°<α≤90°直线与平面所成的角的范围：0o ≤α≤90°二面角的平面角的取值范围：0°≤α≤180° 49 二项式()na b +展开式的通项公式中ａ与ｂ的顺序不变 50 二项式系数与展开式某一项的系数易混, 第ｒ＋１项的二项式系数为rn C 51 二项式系数最大项与展开式中系数最大项易混二项式系数最大项为中间一项或两项；展开式中系数最大项的求法为用解不等式组112r r r r T T T T +++≥⎧⎨≥⎩来确定ｒ 52 解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合 53 解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法或看为若干个恰好 54 二项式展开式的通项公式、n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率与二项分布的分布列三者易记混通项公式：1r n r r r n T C a b -+= （它是第ｒ＋１项而不是第ｒ项）事件A 发生k 次的概率：()(1)k k n k n n P k C p p -=-其中ｋ＝0,1,2,3,…,n,且0<p<1，p+q=1 55 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -= x x )'(ln = xx a a log 1)'(log = x x e e =)'( a a a x x ln )'(= 2();u u v uv uv u v uv v v '''-⎛⎫'''=+= ⎪⎝⎭，(())u x f u x f u '''=⋅高中数学重要基础知识记忆检查一、幂函数、指数函数和对数函数1、由n 个元素组成的集合，其非空真子集个数为。

18个高考数学易错点至少有一条是你容易出错的

18个高考数学易错点至少有一条是你容易出错的本篇文章为高中的同学整理了18个高考数学易错点，至少有一条或多条都是同学们容易出错的，这些易错的都是资金的数学老师在教学过程中整理出来的，有很高的参考价值，同学们一定要认真阅读。

★1易错点：遗忘空集致误错因分析：由于空集是任何非空集合的真子集，因此，对于集合B，就有B=A，B，B ，三种情况，在解题中如果思维不够缜密就有可能忽视了 B 这种情况，导致解题结果错误。

尤其是在解含有参数的集合问题时，更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。

空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致解题错误或是解题不全面。

★2易错点：忽视集合元素的三性致误错因分析：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。

在解题时也可以先确定字母参数的范围后，再具体解决问题。

★3易错点：四种命题的结构不明致误错因分析：如果原命题是若A则B ，则这个命题的逆命题是若B则A ，否命题是若┐A则┐B ，逆否命题是若┐B则┐A 。

这里面有两组等价的命题，即原命题和它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价。

在解答由一个命题写出该命题的其他形式的命题时，一定要明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系。

另外，在否定一个命题时，要注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。

如对a，b都是偶数的否定应该是a，b不都是偶数，而不应该是a，b都是奇数。

★4易错点：充分必要条件颠倒致误错因分析：对于两个条件A，B，如果A=B成立，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；如果B=A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件；如果AB，则A，B互为充分必要条件。

解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充要条件的概念作出准确的判断。

高考数学18个易错知识点

高考数学18个易错知识点考试是每个考生都要面对的一场重要考试，而数学考试中总会有些易错的知识点让考生们头疼不已。

以下将介绍中的18个易错知识点，帮助考生们更好地备考和应对高考。

一、平方差公式平方差公式的应用非常广泛，但很多考生容易在运用时出错。

平方差公式的形式是：(a+b)(a-b)=a²-b²考生在运用平方差公式时，首先要将式子化简，再进行计算。

此外，还要注意运用平方差公式的时机和条件是否符合。

二、向量的坐标表示在向量的坐标表示中，很多考生容易出现弄反或漏写坐标的情况。

在使用向量的坐标表示时，要格外小心，确保坐标的正确性，避免计算错误。

三、三角函数的定义域和值域在求解三角函数的定义域和值域时，考生们往往会遗漏或混淆一些常见角度的范围。

因此在备考过程中，要重点掌握各个三角函数的定义域和值域，加强记忆和理解。

四、二次函数的图像二次函数的图像在中是重点和难点。

考生们容易在画图时弄错横坐标和纵坐标的方向，或者忽略关键点。

因此，在备考时，要细致入微地分析二次函数的特性和图像的绘制方法。

五、函数的奇偶性判断函数的奇偶性也是考试中的一道常见题型。

考生们容易在判断过程中出现计算错误或判断错误的情况。

因此，备考时要充分理解函数的奇偶性的定义和性质，多做例题进行巩固。

六、概率问题概率问题是高考中的常见题型，但很多考生在计算过程中容易出错。

在解决概率问题时，要注意列出概率空间和事件，并根据题目给出的条件进行计算，避免计算错误和逻辑错误。

七、直线的方程直线的方程是中的基本知识点，但很多考生在转换斜率和截距、利用已知点求方程等环节容易出错。

因此，在备考中要熟悉直线的各种方程形式，并能熟练地进行方程的转换和运算。

八、立体图形的体积和表面积立体图形的体积和表面积计算是中的重要内容，但很多考生容易计算错维度、忽略某些面或边等。

在备考过程中，要熟悉各种立体图形的计算公式，并注意问题的维度和条件。

九、逻辑推理与证明逻辑推理与证明是中的较难的内容，但也是容易得分的一部分。

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