2019-2020年中考数学试题分类汇编 二次函数
2020中考数学真题分类汇编二次函数在实际生活中应用 含解析
知识点20 二次函数在实际生活中的应用1．（2019·山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆,拉索与主梁相连.最高的钢拱如图2所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B 两点,拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米),跨径为90米,(即AB ＝90米),以最高点O 为坐标原点,以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系,则次抛物线型钢拱的函数表达式为( )A.y ＝26675x 2 B.y ＝26675-x 2 C.y ＝131350x 2 D.y ＝131350-x 2第9题图 【答案】B【解析】设二次函数表达式为y ＝ax 2,由题可知,点A 坐标为(－45,－78),代入表达式可得:－78＝a(－45)2,解得a ＝26675-,∴二次函数表达式为y ＝26675-x 2,故选B. 2．（2019年浙江省绍兴市，第22题，12分 ）.有一块形状如图的五边形余料ABCDE ，AB=AE=6，BC=5，∠A=∠B=90°，∠C=135°，∠E ＞90°.要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一边在AE 上，并使所截矩形的面积尽可能大.（1）若所截矩形材料的一条边是BC 或AE ，求矩形材料的面积；（2）能否截出比（1）中面积更大的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值，如果不能，请说明理由.【解题过程】3．（2019·嘉兴）某农作物的生长率p 与温度t （℃）有如下关系：如图1，当10≤t ≤25时可近似用函数p ＝t ﹣刻画；当25≤t ≤37时可近似用函数p ＝﹣（t ﹣h ）2+0.4刻画．（1）求h 的值．（2）按照经验，该作物提前上市的天数m （天）与生长率p 满足函数关系：生长率p0.2 0.25 0.3 0.35 提前上市的天数m （天）51015①请运用已学的知识，求m 关于p 的函数表达式； ②请用含t 的代数式表示m ．（3）天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在（2）的条件下，原计划大棚恒温20℃时，每天的成本为200元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本w （元）与大棚温度t （℃）之间的关系如图2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）．【解题过程】（1）把（25,0.3）的坐标代入21()0.4160p t h =--+，得h =29或h =21. ∵h >25，∴h =29.（2）①由表格可知m 是p 的一次函数，∴m=100p -20.②当1025t ≤≤时，p=11505t -，∴m=11100()20505t --=2t -40. 当2537t ≤≤时，21(29)0.4160p t =--+.∴m=21100[(29)0.4)]20160t --+-=25(29)208t --+（3）（I ）当2025t ≤≤时，由（20，200），（25，300），得20200w t =-∴增加利润为600m+[200×30-w （30-m ）]= 2406004000t t --. ∴当t=25时，增加利润的最大值为6000元. （II ）当2537t ≤≤时，300w =. 增加利润为600m+[200×30-w （30-m ）]= 25900()(29)150008t ⨯-⨯-+=21125(29)150002t --+ ∴当t=29时，增加利润的最大值为15000元.综上所述，当t=29时，提前上市20天，增加利润的最大值为15000元. 4．（2019山东省青岛市，22，10分）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. （1）求该商品每天的销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式；（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w （元）最大？最大利润是多少？（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？ 【解题过程】解：（1）设y 与销售单价x 之间的函数关系式为：y kx b =+， 将点(30,100)、(45,70)代入一次函数表达式得：100307045k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：2160k b =-⎧⎨=⎩，故函数的表达式为：2160y x =-+；（2）由题意得：2(30)(2160)2(55)1250w x x x =--+=--+，20-<Q ，故当55x <时，w 随x 的增大而增大，而3050x 剟， ∴当50x =时，w 由最大值，此时，1200w =，故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元； （3）由题意得：(30)(2160)800x x --+…，解得：70x „，∴每天的销售量216020y x =-+…，∴每天的销售量最少应为20件．5．（2019·武汉）某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y （件）是售价x （元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w （元）的三组对应值如下表：注：周销售利润＝周销售量×（售价－进价）（1） ① 求y 关于x 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）② 该商品进价是_________元/件；当售价是________元/件时，周销售利润最大，最大利润是__________元（2） 由于某种原因，该商品进价提高了m 元/件（m ＞0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m 的值【解题过程】（1）设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，依题意有，501006080k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得，k ＝－2，b ＝200，y与x 的函数关系式是y ＝－2x ＋200；（2）将售价50，周销售量100，周销售利润1000，带入周销售利润＝周销售量×（售价－进价）得到，1000＝100×（50－进价），即进价为40元/件；周销售利润w ＝（x －40）y ＝（x －40）（－2x ＋200）＝－2（x －70）2＋1800，故当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元，故答案为40，70，1800；（3）依题意有，w ＝（－2x ＋200）（x －40－m ）＝－2x 2＋（2m ＋280）x －8000－200m ＝221401260180022m x m m +⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭ ∵m ＞0，∴对称轴140=702m x +>， ∵－2＜0，∴抛物线开口向下， ∵x ≤65，∴w 随x 的增大而增大，∴当x ＝65时，w 有最大值（－2×65＋200）（65－40－m ）， ∴（－2×65＋200）（65－40－m ）＝1400， ∴m ＝5．6．（2019·黄冈）某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召，决定成立草莓产销合作社，负责扶贫对象户种植草莓的技术指导和统一销售，所获利润年底分红.经市场调研发现，草莓销售单价y (万元)与产量x (吨)之间的关系如图所示(0≤x ≤100)，已知草莓的产销投人总成本p (万元)与产量x (吨)之间满足P ＝x ＋1. (1)直接写出草莓销售单价y (万元)与产量x (吨)之间的函数关系式； (2)求该合作社所获利润w (万元)与产量x (吨)之间的函数关系式；(3)为提高农民种植草莓的积极性，合作社决定按0.3万元/吨的标准奖励扶贫对象种植户，为确保合作社所获利润w ＇不低于55万元，产量至少要达到多少吨?【解题过程】7. （2019·衢州市）某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为80间，经市场调查表明，该宾馆每间标准房的价格在170～240元之间（含170元，240元）浮动时，每天入住的房间数（间）与每间标准房的价格x （元）的数据如下表：（1）根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象。
2019年浙江省中考数学分类汇编专题：二次函数(含答案解析)
2019年浙江省中考数学分类汇编专题:二次函数一、单选题1.二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（）A.(1，3)B.（1，-3)C.（-1，3）D.（-1，-3）【答案】A【考点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质【解析】【解答】解：∵y=（x-1）2+3，∴二次函数图像顶点坐标为：（1，3）.故答案为：A.【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.2.已知二次函数，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A.有最大值﹣1，有最小值﹣2B.有最大值0，有最小值﹣1C.有最大值7，有最小值﹣1D.有最大值7，有最小值﹣2【答案】D【考点】二次函数的最值【解析】【解答】∵由知当x=2，最小值为-2，又∵x=-1与x=3关于x=2对称故最大值为，故答案为：D。
【分析】先配方，∵对称轴x=2，在给定定义域范围内，故最小值可求。
图像张口向上，故离图像最远的点为最大值。
3.小飞研究二次函数(为常数)性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线上；②存在一个的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点与点在函数图象上，若，，则；④当时，随的增大而增大，则的取值范围为其中错误结论的序号是（）A.①B.②C.③D.④【答案】C【考点】二次函数与一次函数的综合应用，二次函数y=a（x-h）^2+k的性质，二次函数的实际应用-几何问题【解析】【解答】解：∵抛物线y=-（x-m）2-m+1∴顶点坐标为：（m，-m+1）∵y=-x+1当x=m时，y=-m+1∴抛物线的顶点坐标始终在直线y=-x+1上，故①正确；设抛物线的顶点坐标C（m，-m+1），与x轴的两交点坐标为B、A过点C作CD⊥x轴，当△ACB是等腰直角三角形时，则AD=DB=CD=-m+1，OD=m∴点B的横坐标为：m+（-m+1）=1∴点B（1,0）∴-（1-m）2-m+1=0解之：m1=1（舍去），m2=0当m=0时，抛物线的顶点与x轴的两交点构成等腰直角三角形，故②正确；∵A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2＞2m∴∵a=-1，对称轴为直线x=m∴当x＞m时，y随x的增大而减小，∴时，，故③错误；∵当-1＜x＜2时，y随x的增大而增大，对称轴为直线x=m∴m≥2，故④正确；故答案为：C【分析】利用抛物线的解析式，可得到顶点坐标，再将顶点坐标代入y=-x+1进行验证，就可对①作出判断；过点C作CD⊥x轴，利用等腰直角三角形的性质，可知AD=DB=CD=-m+1，OD=m，从而求出点B的坐标，再将点B的坐标代入抛物线的解析式，就可求出符合题意的m的值，可对②作出判断；利用二次函数的性质，可对③④作出判断；综上所述，可得出说法错误的结论。
2019-2020年中考数学真题分类汇编-二次函数(含答案)
2019-2020年中考数学真题分类汇编二次函数一.选择题1．（2015•安徽,第10题4分）如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D考点：二次函数的图象；正比例函数的图象．分析：由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个不相等的根，进而得出函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣＞0，即可进行判断．解答：解：∵一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，∴方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个不相等的根，∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，∵方程ax2+（b﹣1）x+c=0的两个不相等的根x1＞0，x2＞0，∴x1+x2=﹣＞0，∴﹣＞0，∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣＞0，∵a＞0，开口向上，∴A符合条件，故选A．点评：本题考查了二次函数的图象，直线和抛物线的交点，交点坐标和方程的关系以及方程和二次函数的关系等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．2．（2015•湖北,第11题3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．分析：根据二次函数图象开口向下得到a＜0，再根据对称轴确定出b，根据与y轴的交点确定出c＞0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．解答：解：∵二次函数图象开口方向向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x=﹣＞0，∴b＞0，∵与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，反比例函数y=图象在第一三象限，只有C选项图象符合．故选C．点评：本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键．3．（2015•湘潭，第8题3分）如图，观察二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①a+b+c＞0，②2a+b＞0，③b2﹣4ac＞0，④ac＞0．其中正确的是（）考点：二次函数图象与系数的关系．.分析：令x=1代入可判断①；由对称轴x=﹣的范围可判断②；由图象与x轴有两个交点可判断③；由开口方向及与x轴的交点可分别得出a、c的符号，可判断④．解答：解：由图象可知当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故①不正确；由图象可知0＜﹣＜1，∴＞﹣1，又∵开口向上，∴a＞0，∴b＞﹣2a，∴2a+b＞0，故②正确；由图象可知二次函数与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即b2﹣4ac＞0，故③正确；由图象可知抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴的下方，∴a＞0，c＜0，∴ac＜0，故④不正确；综上可知正确的为②③，故选C．点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴、与x 轴的交点等知识是解题的关键．4.（2015江苏常州第7题2分）已知二次函数y＝2x＋（m－1）x＋1，当x＞1时，y随x 的增大而增大，而m的取值范围是A．m＝－1B．m＝3C．m≤－1D．m≥－15、(2015年陕西省,10,3分)下列关于二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（）A．没有交点B．只有一个交点，且它位于y轴右侧C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧考点：抛物线与x轴的交点．.分析：根据函数值为零，可得相应的方程，根据根的判别式，公式法求方程的根，可得答案．解答：解：当y=0时，ax2﹣2ax+1=0，∵a＞1∴△=（﹣2a）2﹣4a=4a（a﹣1）＞0，ax2﹣2ax+1=0有两个根，函数与有两个交点，x=＞0，故选：D．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，利用了函数与方程的关系，方程的求根公式．6、（2015年四川省达州市中考，9,3分）若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0），在x轴下方，则下列判断正确的是（）A．a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0 B． a＞0C．b2﹣4ac≥0 D． x1＜x0＜x2考点：抛物线与x轴的交点．.分析：由于a的符号不能确定，故应分a＞0与a＜0进行分类讨论．解答：解：A、当a＞0时，∵点M（x0，y0），在x轴下方，∴x1＜x0＜x2，∴x0﹣x1＞0，x0﹣x2＜0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；当a＜0时，若点M在对称轴的左侧，则x0＜x1＜x2，∴x0﹣x1＜0，x0﹣x2＜0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；若点M在对称轴的右侧，则x1＜x2＜x0，∴x0﹣x1＞0，x0﹣x2＞0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；综上所述，a （x 0﹣x 1）（x 0﹣x 2）＜0，故本选项正确； B 、a 的符号不能确定，故本选项错误；C 、∵函数图象与x 轴有两个交点，∴△＞0，故本选项错误；D 、x 1、x 0、x 2的大小无法确定，故本选项错误． 故选A ．点评： 本题考查的是抛物线与x 轴的交点，在解答此题时要注意进行分类讨论．7、(2015年浙江省义乌市中考,9,4分)如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换。
辽宁省2019年、2020年中考数学试题分类汇编(8)——二次函数
2019年、2020年辽宁省数学中考试题分类（8）——二次函数一．二次函数的图象（共1小题）1．（2019•葫芦岛）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．二．二次函数图象与系数的关系（共6小题）2．（2020•葫芦岛）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，则以下四个结论中：①abc＞0，②2a+b＝0，③4a+b2＜4ac，④3a+c＜0．正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4 3．（2020•丹东）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C ，点A 坐标为（﹣1，0），点C 在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），抛物线的顶点为D ，对称轴为直线x ＝2．有以下结论：①abc ＞0；②若点M （−12，y 1），点N （72，y 2）是函数图象上的两点，则y 1＜y 2； ③−35＜a ＜−25；④△ADB 可以是等腰直角三角形．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．（2019•丹东）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x ＝1．有以下结论：①abc ＞0；②8a +c ＞0；③若A （x 1，m ），B （x 2，m ）是抛物线上的两点，当x ＝x 1+x 2时，y ＝c ；④点M ，N 是抛物线与x 轴的两个交点，若在x 轴下方的抛物线上存在一点P ，使得PM ⊥PN ，则a 的取值范围为a ≥1；⑤若方程a （x +2）（4﹣x ）＝﹣2的两根为x 1，x 2，且x 1＜x 2，则﹣2≤x 1＜x 2＜4． 其中结论正确的有（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个5．（2019•阜新）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和点（3，0），则下列说法正确的是（）A．bc＜0B．a+b+c＞0C．2a+b＝0D．4ac＞b2 6．（2019•朝阳）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给出下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＝0；③b2﹣4ac＜8a；④5a+b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4 7．（2019•沈阳）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．abc＜0B．b2﹣4ac＜0C．a﹣b+c＜0D．2a+b＝0三．抛物线与x轴的交点（共4小题）8．（2020•阜新）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（）A．图象的开口向上B ．图象的顶点坐标是（1，3）C ．当x ＜1时，y 随x 的增大而增大D ．图象与x 轴有唯一交点9．（2020•大连）抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＜0）与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x ＝1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x 轴的另一个交点坐标是（ ）A ．（72，0）B ．（3，0）C ．（52，0）D ．（2，0） 10．（2019•大连）如图，抛物线y =−14x 2+12x +2与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点D 在抛物线上，且CD ∥AB ．AD 与y 轴相交于点E ，过点E 的直线PQ 平行于x 轴，与拋物线相交于P ，Q 两点，则线段PQ 的长为（ ）A ．√5B ．2√5C ．√3D ．2√311．（2020•朝阳）抛物线y ＝（k ﹣1）x 2﹣x +1与x 轴有交点，则k 的取值范围是 ．四．二次函数的应用（共17小题）12．（2020•盘锦）某服装厂生产A 品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A 品牌服装x 件时，批发单价为y 元，y 与x 之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x 为10的正整数倍．（1）当100≤x ≤300时，y 与x 的函数关系式为 ．（2）某零售商到此服装厂一次性批发A 品牌服装200件，需要支付多少元？（3）零售商到此服装厂一次性批发A 品牌服装x （100≤x ≤400）件，服装厂的利润为w元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？13．（2020•朝阳）某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：销售单价x（元）406080日销售量y（件）806040（1）直接写出y与x的关系式；（2）求公司销售该商品获得的最大日利润；（3）销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了10元，若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．14．（2020•锦州）某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x （元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：每千克售价x（元）…253035…日销售量y（千克）…11010090…（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该超市要想获得1000的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？（3）当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？15．（2020•葫芦岛）小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y（本）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：销售单价x（元）121416每周的销售量y（本）500400300（1）求y与x之间的函数关系式；（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元（12≤x≤15，且x为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？16．（2020•鞍山）某工艺品厂设计了一款每件成本为11元的工艺品投放市场进行试销，经过市场调查，得出每天销售量y（件）是每件售价x（元）（x为正整数）的一次函数，其部分对应数据如下表所示：…15161718…每件售价x（元）每天销售量…150140130120…y（件）（1）求y关于x的函数解析式；（2）若用w（元）表示工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润，试求w关于x的函数解析式；（3）该工艺品每件售价为多少元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是多少元？17．（2020•丹东）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x（元/件）606570销售量y（件）140013001200（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？18．（2020•营口）某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每天的销售量为y（瓶）．（1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？19．（2019•丹东）某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为x元，平均月销售量为y件．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？（3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？20．（2019•盘锦）2018年非洲猪瘟疫情暴发后，专家预测，2019年我市猪肉售价将逐月上涨，每千克猪肉的售价y1（元）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间满足一次函数关系，如下表所示．每千克猪肉的成本y2（元）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间满足二次函数关系，且3月份每千克猪肉的成本全年最低，为9元，如图所示．月份x…3456…售价y1/元…12141618…（1）求y1与x之间的函数关系式．（2）求y2与x之间的函数关系式．（3）设销售每千克猪肉所获得的利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，哪个月份销售每千克猪肉所获得的利润最大？最大利润是多少元？21．（2019•营口）某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，日销售量y（kg）与时间第t天之间的函数关系式为y＝2t+100（1≤t≤80，t为整数），销售单价p（元/kg）与时间第t天之间满足一次函数关系如下表：时间第t天123 (80)销售单价p/（元/kg）49.54948.5 (10)（1）直接写出销售单价p（元/kg）与时间第t天之间的函数关系式．（2）在整个销售旺季的80天里，哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？22．（2019•铁岭）小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）．（1）求y与x的函数关系式．（2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？（3）求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．23．（2019•抚顺）某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的60%．在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系．当销售单价为35元时，每天的销售量为350件；当销售单价为40元时，每天的销售量为300件．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）当销售单价为多少时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少？24．（2019•朝阳）网络销售是一种重要的销售方式．某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品．其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克10元．公司在试销售期间，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中10＜x≤30）．（1）直接写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围．（2）若农贸公司每天销售该特产的利润要达到3100元，则销售单价x应定为多少元？（3）设每天销售该特产的利润为W元，若14＜x≤30，求：销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？25．（2019•鞍山）某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系如图所示．（1）根据图象直接写出y与x之间的函数关系式．（2）设这种商品月利润为W（元），求W与x之间的函数关系式．（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？26．（2019•葫芦岛）某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于90%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示：（1）根据图象，直接写出y与x的函数关系式．（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？27．（2019•锦州）2019年在法国举办的女足世界杯，为人们奉献了一场足球盛宴．某商场销售一批足球文化衫，已知该文化衫的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每个月可售出100件．根据市场行情，现决定涨价销售，调查表明，每件商品的售价每上涨1元，每个月会少售出2件，设每件商品的售价为x元，每个月的销量为y件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好为2250元；（3）当每件商品的售价定为多少元时，每个月获得利润最大？最大月利润为多少？28．（2019•辽阳）我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y （千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？五．二次函数综合题（共22小题）29．（2020•阜新）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．30．（2020•盘锦）如图1，直线y ＝x ﹣4与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，抛物线y =−12x 2+bx +c 经过点B 和点C （0，4），△ABO 沿射线AB 方向以每秒√2个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为△DEF （点A ，B ，O 的对应点分别为点D ，E ，F ），平移时间为t （0＜t ＜4）秒，射线DF 交x 轴于点G ，交抛物线于点M ，连接ME ．（1）求抛物线的解析式；（2）当tan ∠EMF =43时，请直接写出t 的值；（3）如图2，点N 在抛物线上，点N 的横坐标是点M 的横坐标的12，连接OM ，NF ，OM 与NF 相交于点P ，当NP ＝FP 时，求t 的值．31．（2020•锦州）在平面直角坐标系中，抛物线y =−13x 2+bx +c 交x 轴于A （﹣3，0），B （4，0）两点，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）如图，直线y =34x +94与抛物线交于A ，D 两点，与直线BC 交于点E ．若M （m ，0）是线段AB 上的动点，过点M 作x 轴的垂线，交抛物线于点F ，交直线AD 于点G ，交直线BC 于点H ．①当点F 在直线AD 上方的抛物线上，且S △EFG =59S △OEG 时，求m 的值；②在平面内是否存在点P ，使四边形EFHP 为正方形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．32．（2020•朝阳）如图，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，点C坐标为（0，4）．（1）求抛物线表达式；（2）在抛物线上是否存在点P，使∠ABP＝∠BCO，如果存在，求出点P坐标；如果不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点P在x轴上方，点M是直线BP上方抛物线上的一个动点，求点M到直线BP的最大距离；（4）点G是线段AC上的动点，点H是线段BC上的动点，点Q是线段AB上的动点，三个动点都不与点A，B，C重合，连接GH，GQ，HQ，得到△GHQ，直接写出△GHQ 周长的最小值．33．（2020•鞍山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）经过点A（﹣2，﹣4）和点C（2，0），与y轴交于点D，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接BD ，在抛物线上是否存在点P ，使得∠PBC ＝2∠BDO ？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接AC ，交y 轴于点E ，点M 是线段AD 上的动点（不与点A ，点D 重合），将△CME 沿ME 所在直线翻折，得到△FME ，当△FME 与△AME 重叠部分的面积是△AMC 面积的14时，请直接写出线段AM 的长．34．（2020•大连）在平面直角坐标系xOy 中，函数F 1和F 2的图象关于y 轴对称，它们与直线x ＝t （t ＞0）分别相交于点P ，Q ．（1）如图，函数F 1为y ＝x +1，当t ＝2时，PQ 的长为 ；（2）函数F 1为y =3x ，当PQ ＝6时，t 的值为 ；（3）函数F 1为y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），①当t =√b b 时，求△OPQ 的面积；②若c ＞0，函数F 1和F 2的图象与x 轴正半轴分别交于点A （5，0），B （1，0），当c ≤x ≤c +1时，设函数F 1的最大值和函数F 2的最小值的差为h ，求h 关于c 的函数解析式，并直接写出自变量c 的取值范围．35．（2020•葫芦岛）如图，抛物线y ＝ax 2+94x +c （a ≠0）与x 轴相交于点A （﹣1，0）和点B ，与y 轴相交于点C （0，3），作直线BC ．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC 上方的抛物线上存在点D ，使∠DCB ＝2∠ABC ，求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，点F 的坐标为（0，72），点M 在抛物线上，点N 在直线BC 上．当以D ，F ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N 的坐标．36．（2020•沈阳）如图1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，抛物线y =12x 2+bx +c 经过点B （6，0）和点C （0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）如图2，线段OC 绕原点O 逆时针旋转30°得到线段OD ．过点B 作射线BD ，点M 是射线BD 上一点（不与点B 重合），点M 关于x 轴的对称点为点N ，连接NM ，NB ． ①直接写出△MBN 的形状为 ；②设△MBN 的面积为S 1，△ODB 的面积为是S 2．当S 1=23S 2时，求点M 的坐标；（3）如图3，在（2）的结论下，过点B 作BE ⊥BN ，交NM 的延长线于点E ，线段BE 绕点B 逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜120°）得到线段BF ，过点F 作FK ∥x 轴，交射线BE 于点K ，∠KBF 的角平分线和∠KFB 的角平分线相交于点G ，当BG ＝2√3时，请直接写出点G的坐标为．37．（2020•丹东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于A，B两点，A点坐标为（﹣2，0），与y轴交于点C（0，4），直线y=−12x+m与抛物线交于B，D两点．（1）求抛物线的函数表达式．（2）求m的值和D点坐标．（3）点P是直线BD上方抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交直线BD于点F，过点D作x轴的平行线，交PH于点N，当N是线段PF的三等分点时，求P点坐标．（4）如图2，Q是x轴上一点，其坐标为（−45，0）．动点M从A出发，沿x轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设M的运动时间为t（t＞0），连接AD，过M作MG⊥AD 于点G，以MG所在直线为对称轴，线段AQ经轴对称变换后的图形为A′Q′，点M在运动过程中，线段A′Q′的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段A′Q′与抛物线有公共点时t的取值范围．38．（2020•营口）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；②如图2，点P在x轴上方，连接P A交抛物线于点N，∠P AB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．39．（2020•辽阳）如图，抛物线y＝ax2﹣2√3x+c（a≠0）过点O（0，0）和A（6，0）．点B是抛物线的顶点，点D是x轴下方抛物线上的一点，连接OB，OD．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，当∠BOD＝30°时，求点D的坐标；（3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段OD于点E，点F是线段OB上的动点（点F不与点O和点B重合），连接EF，将△BEF沿EF折叠，点B的对应点为点B'，△EFB'与△OBE的重叠部分为△EFG，在坐标平面内是否存在一点H，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由．40．（2019•营口）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC，将△OBC沿BC所在的直线翻折，得到△DBC，连接OD．（1）用含a的代数式表示点C的坐标．（2）如图1，若点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方，求抛物线的解析式．（3）设△OBD的面积为S1，△OAC的面积为S2，若S1S2=23，求a的值．41．（2019•抚顺）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）点N是y轴负半轴上的一点，且ON=√2，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接QO，QO与抛物线的对称轴交于点M，连接MN，当MN平分∠OMD时，求点Q的坐标．（3）直线BC交对称轴于点E，P是坐标平面内一点，请直接写出△PCE与△ACD全等时点P的坐标．42．（2019•丹东）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y=−12x+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN与对称轴交于点G，与抛物线交于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x轴，MN＝7．（1）求此抛物线的解析式．（2）求点N的坐标．（3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tan∠F AC=12时，求点F的坐标．（4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，△AHK沿射线AC以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t（0≤t≤√5），请直接写出S与t的函数关系式．43．（2019•铁岭）如图1，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），与y 轴交于点C，顶点为D，直线AD交y轴于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）如图2，将△AOE沿直线AD平移得到△NMP．①当点M落在抛物线上时，求点M的坐标．②在△NMP移动过程中，存在点M使△MBD为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．44．（2019•盘锦）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，4），交x轴正半轴于点B，连接AC，点E是线段OB上一动点（不与点O，B重合），以OE为边在x轴上方作正方形OEFG，连接FB，将线段FB绕点F逆时针旋转90°，得到线段FP，过点P作PH∥y轴，PH交抛物线于点H，设点E（a，0）．（1）求抛物线的解析式．（2）若△AOC与△FEB相似，求a的值．（3）当PH＝2时，求点P的坐标．45．（2019•阜新）如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y 轴于点C．（1）求这个抛物线的函数表达式．（2）点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值．（3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．46．（2019•鞍山）在平面直角坐标系中，过点A（3，4）的抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点B（﹣1，0），与y轴交于点C，过点A作AD⊥x轴于点D．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，连接PD交AB于点Q，连接AP，当S△AQD＝2S△APQ时，求点P的坐标．（3）如图2，G是线段OC上一个动点，连接DG，过点G作GM⊥DG交AC于点M，过点M作射线MN，使∠NMG＝60°，交射线GD于点N；过点G作GH⊥MN，垂足为点H，连接BH．请直接写出线段BH的最小值．47．（2019•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A，C两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式．（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当EF=12BF时，求sin∠EBA的值．（3）点N是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．48．（2019•葫芦岛）如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x 2+bx +c 经过B ，C 两点，与x 轴另一交点为A ．点P 以每秒√2个单位长度的速度在线段BC 上由点B 向点C 运动（点P 不与点B 和点C 重合），设运动时间为t 秒，过点P 作x 轴垂线交x 轴于点E ，交抛物线于点M ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，过点P 作y 轴垂线交y 轴于点N ，连接MN 交BC 于点Q ，当MQ NQ =12时，求t 的值；（3）如图②，连接AM 交BC 于点D ，当△PDM 是等腰三角形时，直接写出t 的值．49．（2019•辽阳）如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的边BC 在x 轴上，∠ABC ＝90°，以A 为顶点的抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点C （3，0），交y 轴于点E （0，3），动点P 在对称轴上．（1）求抛物线解析式；（2）若点P 从A 点出发，沿A →B 方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B 停止，设运动时间为t 秒，过点P 作PD ⊥AB 交AC 于点D ，过点D 平行于y 轴的直线l 交抛物线于点Q ，连接AQ ，CQ ，当t 为何值时，△ACQ 的面积最大？最大值是多少？（3）若点M 是平面内的任意一点，在x 轴上方是否存在点P ，使得以点P ，M ，E ，C 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M 点坐标；若不存在，请说明理由．50．（2019•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE和抛物线的表达式；（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N （点M在点N的上方），且MN＝2√2，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．2019年、2020年辽宁省数学中考试题分类（8）——二次函数参考答案与试题解析一．二次函数的图象（共1小题）1．【解答】解：由二次函数图象，得出a＜0，−b2a＜0，b＜0，A、一次函数图象，得a＞0，b＞0，故A错误；B、一次函数图象，得a＜0，b＞0，故B错误；C、一次函数图象，得a＞0，b＜0，故C错误；D、一次函数图象，得a＜0，b＜0，故D正确；故选：D．二．二次函数图象与系数的关系（共6小题）2．【解答】解：①根据抛物线开口向下可知：a＜0，因为对称轴在y轴右侧，所以b＞0，因为抛物线与y轴正半轴相交，所以c＞0，所以abc＜0，所以①错误；②因为抛物线对称轴是直线x＝1，即−b2a=1，所以b＝﹣2a，所以b+2a＝0，所以②正确；③因为b＝﹣2a，由4a+b2＜4ac，得4a+4a2＜4ac，∵a＜0，∴c＜1+a，根据抛物线与y轴的交点，c＞1，所以③错误；④当x ＝﹣1时，y ＜0，即a ﹣b +c ＜0，因为b ＝﹣2a ，所以3a +c ＜0，所以④正确．所以正确的是②④2个．故选：B ．3．【解答】解：∵二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为：x =−b 2a， ∴−b 2a =2， ∴b ＝﹣4a ，∵点A 坐标为（﹣1，0），点C 在（0，2）与（0，3）之间，且都在抛物线上， ∴a ﹣b +c ＝0，2＜c ＜3，由二次函数图象可知，a ＜0，∴b ＞0，又∵c ＞0，∴abc ＜0，故①不正确；∵点N （72，y 2）关于对称轴x ＝2的对称点为（12，y 2），12＞−12，y 随x 的增大而增大， ∴y 1＜y 2，故②正确；∵{b =−4aa −b +c =02＜c ＜3，解得：−35＜a ＜−25，故③正确；∵抛物线的顶点为D ，对称轴为直线x ＝2，∴点A 与点B 关于直线x ＝2对称，点D 在直线x ＝2上，∴AB ＝6，DA ＝DB ，∴△ADB 是等腰三角形，如果△ADB 是等腰直角三角形，则点D 到AB 的距离等于12AB ＝3，即D （2，3），则{a −b +c =0b =−4a 3=4a +2b +c，解得：{ a =−13b =43c =53， ∴二次函数解析式为：y =−13x 2+43x +53，当x ＝0时，y =53，与点C 在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点）矛盾， ∴△ADB 不可能是等腰直角三角形，故④不正确；∴正确的有2个，故选：B ．4．【解答】解：①由图象可知：a ＞0，c ＜0，−b 2a ＞0，∴abc ＞0，故①正确；②∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴−b 2a =1， ∴b ＝﹣2a ，当x ＝﹣2时，y ＝4a ﹣2b +c ＝0，∴4a +4a +c ＝0，∴8a +c ＝0，故②错误；③∵A （x 1，m ），B （x 2，m ）是抛物线上的两点，由抛物线的对称性可知：x 1+x 2＝1×2＝2，∴当x ＝2时，y ＝4a +2b +c ＝4a ﹣4a +c ＝c ，故③正确；④由题意可知：M ，N 到对称轴的距离为3，当抛物线的顶点到x 轴的距离不小于3时，在x 轴下方的抛物线上存在点P ，使得PM ⊥PN ，即4ac−b 24a ≤−3，∵8a +c ＝0，∴c ＝﹣8a ，∵b ＝﹣2a ，∴4a⋅(−8a)−(−2a)24a≤−3， 解得：a ≥13，故④错误；⑤易知抛物线与x 轴的另外一个交点坐标为（4，0），∴y ＝ax 2+bx +c ＝a （x +2）（x ﹣4）若方程a （x +2）（4﹣x ）＝﹣2，即方程a （x +2）（x ﹣4）＝2的两根为x 1，x 2，则x 1、x 2为抛物线与直线y ＝2的两个交点的横坐标，∵x 1＜x 2，∴x 1＜﹣2＜4＜x 2，故⑤错误；故选：A ．5．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵对称轴在y 轴的右侧，∴a 和b 异号，∴b ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c ＜0，∴bc ＞0，所以A 选项错误；∵当x ＝1时，y ＜0，∴a +b +c ＜0，所以B 选项错误；∵抛物线经过点（﹣1，0）和点（3，0），∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，即−b 2a =1，∴2a +b ＝0，所以C 选项正确；∵抛物线与x 轴有2个交点，∴△＝b 2﹣4ac ＞0，即4ac ＜b 2，所以D 选项错误．故选：C ．。
2019年中考数学二次函数真题汇编试卷(附详细答案)
2019年中考数学二次函数真题汇编试卷(名师全国选择压轴真题+详细解析答案，值得下载练习)1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a ＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图：二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若AC⊥BC，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣1 D．﹣23．已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1＝0，（a＞b），x1、x2是此方程的两个实数根，且x1＜x2．现给出四个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x12+x22＜a2+b2；④x1＜x2＜b＜a其中正确结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y 与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD ＝BE＝5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（）A．①②③B．②③C．①③④D．②④5．已知抛物线y＝﹣x2+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结P A、PD，PD交AB于点E，△P AD与△PEA相似吗？（）A．始终不相似B．始终相似C．只有AB＝AD时相似D．无法确定6．定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线l：y＝x+b经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…B n（n，y n）（n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…A n+1（x n+1，0）（n为正整数）．若x1＝d（0＜d＜1），当d为（）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．A．或B．或C．或D．7．二次函数y＝x2﹣x+m（m为常数）的图象如图所示，当x＝a时，y＜0；那么当x＝a﹣1时，函数值（）A．y＜0 B．0＜y＜m C．y＞m D．y＝m8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若M＝a+b﹣c，N＝4a﹣2b+c，P＝2a﹣b．则M，N，P中，值小于0的数有（）A．3个B．2个C．1个D．0个9．如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C﹣D﹣E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（﹣1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．410．如图是某二次函数的图象，将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），则下列结论中正确的有（）（1）a＞0；（2）c＜0；（3）2a﹣b＝0；（4）a+b+c＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，记抛物线y＝﹣x2+1的图象与x正半轴的交点为A，将线段OA分成n等份，设分点分别为P1，P2，…P n﹣1，过每个分点作x轴的垂线，分别与抛物线交于点Q1，Q2，…，Q n﹣1，再记直角三角形OP1Q1，P1P2Q2，…，P n﹣2P n﹣1Q n﹣1的面积分别为S1，S2，…，这样就有S1＝，S2＝，…；记W＝S1+S2+…+S n﹣1，当n越来越大时，你猜想W最接近的常数是（）A．B．C．D．12．为了备战世界杯，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12m处的挑射正好射中了2.4m高的球门横梁，若足球运行的路线是抛物线y＝ax2+bx+c（如图所示）则下列结论：①a＜﹣，②﹣＜a＜0，③a﹣b+c＞0，④0＜b＜﹣24a，其中正确的结论是（）A．①③B．①④C．②③D．②④13．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc＝0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个14．如图，分别过点P i（i，0）（i＝1、2、…、n）作x轴的垂线，交的图象于点A i，交直线于点B i．则的值为（）A．B．2 C．D．15．如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O 为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分面积是（）A．πB．πC．πD．条件不足，无法求16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c ﹣m＝0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．317．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，x＝﹣1是对称轴，有下列判断：①b﹣2a＝0；②4a﹣2b+c＜0；③a﹣b+c＝﹣9a；④若（﹣3，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④18．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，OA＝3，AB＝2．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A和点B，与x轴分别交于点D、E（点D在点E左侧），且OE＝1，则下列结论：①a＞0；②c＞3；③2a﹣b＝0；④4a﹣2b+c＝3；⑤连接AE、BD，则S梯形ABDE＝9．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个19．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y 轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④3≤n≤4中，正确的是（）A．①②B．③④C．①④D．①③20．边长为1的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，将正方形OABC绕顶点O 顺时针旋转75°，使点B落在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上．则抛物线y＝ax2的函数解析式为（）A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣2x2D．y＝﹣21．已知直线经过点A（0，2），B（2，0），点C在抛物线y＝x2的图象上，则使得S△ABC ＝2的点有（）个．A．4 B．3 C．2 D．1参考答案1．解：由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，对称轴为x＝＜1，∵a＜0，∴2a+b＜0，而抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，当x＝1时，a+b+c＝2．∵＞2，∴4ac﹣b2＜8a，∴b2+8a＞4ac，∵①a+b+c＝2，则2a+2b+2c＝4，②4a+2b+c＜0，③a﹣b+c＜0．由①，③得到2a+2c＜2，由①，②得到2a﹣c＜﹣4，4a﹣2c＜﹣8，上面两个相加得到6a＜﹣6，∴a＜﹣1．故选：D．2．解：设A（x1，0）（x1＜0），B（x2，0）（x2＞0），C（0，t），∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象过点C（0，t），∴t＝2；∵AC⊥BC，∴OC2＝OA•OB，即4＝|x1x2|＝﹣x1x2，根据韦达定理知x1x2＝，∴a＝﹣．故选：A．3．解：如图所示，关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1＝0，x1，x2是此方程的两个实数根，x1，x2是抛物线y＝x2﹣（a+b）x+ab与直线y＝1的交点的横坐标，（不妨设x1＜x2且a＜b）观察图象可知，x1≠x2，故①正确设抛物线的对称轴为x＝h，x2＝h+m，x1＝h﹣m，b＝h+n，a＝h﹣n，m＞n，∴x1•x2＝h2﹣m2，ab＝h2﹣n2，∵m＞n，∴x1•x2＜ab，故②正确，∵＝，∴x1+x2＝a+b，∴x12+2x1x2+x22＝a2+2ab+b2，∵2x1x2＜2ab，∴x12+x22＞a2+b2，故③错误，观察图象可知x1＜b＜a＜x2，故④错误．故选：B．4．解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，∴BC＝BE＝5，∴AD＝BE＝5，故①小题正确；又∵从M到N的变化是2，∴ED＝2，∴AE＝AD﹣ED＝5﹣2＝3，在Rt△ABE中，AB＝＝＝4，∴cos∠ABE＝＝，故②小题错误；过点P作PF⊥BC于点F，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠PBF，∴sin∠PBF＝sin∠AEB＝＝，∴PF＝PB sin∠PBF＝t，∴当0＜t≤5时，y＝BQ•PF＝t•t＝t2，故③小题正确；当t＝秒时，点P在CD上，此时，PD＝﹣BE﹣ED＝﹣5﹣2＝，PQ＝CD﹣PD＝4﹣＝，∵＝，＝＝，∴＝，又∵∠A＝∠Q＝90°，∴△ABE∽△QBP，故④小题正确．综上所述，正确的有①③④．故选：C．5．解：令x＝0，则y＝1，∴OP＝1，设点A的横坐标为m，则AD＝﹣m2+1，∵AB⊥y轴，AD⊥x轴，∴AF＝OD＝m，OF＝﹣m2+1，PF＝1﹣（﹣m2+1）＝m2，在Rt△P AF中，P A2＝PF2+AF2＝（m2）2+m2＝m4+m2，在Rt△POD中，PD＝＝＝，由AB∥x轴得，△PEF∽△PDO，∴＝，即＝，解得，PE＝m2，∴P A2＝PD•PE＝m4+m2，∴＝，∵∠APE＝∠DP A，∴△P AD∽△PEA，即，△P AD与△PEA始终相似．故选：B．6．解：直线l：y＝x+b经过点M（0，），则b＝；∴直线l：y＝x+．由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形；∴该等腰三角形的高等于斜边的一半．∵0＜d＜1，∴该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）；∵当x＝1时，y1＝×1+＝＜1，当x＝2时，y2＝×2+＝＜1，当x＝3时，y3＝×3+＝＞1，∴美丽抛物线的顶点只有B1、B2．①若B1为顶点，由B1（1，），则d＝1﹣＝；②若B2为顶点，由B2（2，），则d＝1﹣[（2﹣）﹣1]＝，综上所述，d的值为或时，存在美丽抛物线．故选：B．7．解：∵对称轴是x＝，0＜x1＜故由对称性＜x2＜1当x＝a时，y＜0，则a的范围是x1＜a＜x2，所以a﹣1＜0，当x时y随x的增大而减小，当x＝0时函数值是m．因而当x＝a﹣1＜0时，函数值y一定大于m．故选：C．8．解：∵图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴左侧，∴a，b同号，∴a＜0，b＜0，∵图象经过y轴正半轴，∴c＞0，∴M＝a+b﹣c＜0当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，∴N＝4a﹣2b+c＜0，∵﹣＞﹣1，∴＜1，∵a＜0，∴b＞2a，∴2a﹣b＜0，∴P＝2a﹣b＜0，则M，N，P中，值小于0的数有M，N，P．故选：A．9．解：由图知：当点B的横坐标为1时，抛物线顶点取C（﹣1，4），设该抛物线的解析式为：y＝a（x+1）2+4，代入点B坐标，得：0＝a（1+1）2+4，a＝﹣1，即：B点横坐标取最小值时，抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）2+4．当A点横坐标取最大值时，抛物线顶点应取E（3，1），则此时抛物线的解析式：y ＝﹣（x﹣3）2+1＝﹣x2+6x﹣8＝﹣（x﹣2）（x﹣4），即与x轴的交点为（2，0）或（4，0）（舍去），∴点A的横坐标的最大值为2．故选：B．10．解：（1）∵将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）（如虚线部分），∴y＝ax2+bx+c的对称轴为：直线x＝﹣1；∵开口方向向上，∴a＞0，故①正确；（2）∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上∴c＜0，故②正确；（3）∵对称轴x＝＝﹣1，∴2a﹣b＝0，故③正确；（4）当x＝1时，y＝a+b+c＞0，故④正确．故选：D．11．解：由图象知S3＝，总结出规律：，则w＝S1+S2+…+S n﹣1＝++…+＝＝＝＝﹣﹣+﹣＝﹣﹣，当n越来越大时，可知W最接近的常数为．故选：C．12．解：由抛物线的开口向下知a＜0，对称轴为x＝＞0，∴a、b异号，即b＞0．与y轴的交点坐标为（0，2.4），∴c＝2.4把点（12，0）代入解析式得：144a+12b+2.4＝0．∴144a＝﹣2.4﹣12b，12b＝﹣2.4﹣144a∴144a＜﹣2.4，12b＜﹣144a∴a＜﹣，b＜﹣12a，∴2b＜﹣24a，即b＜﹣12a，∴b＜﹣24a，∴①④正确，②错误∵此题是实际问题，∴x不能取﹣1，∴③a﹣b+c＞0错误．故选：B．13．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c图象经过原点，∴c＝0，∴abc＝0∴①正确；∵x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴②不正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴是x＝﹣，∴﹣，b＜0，∴b＝3a，又∵a＜0，b＜0，∴a＞b，∴③正确；∵二次函数y＝ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，∴△＞0，∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，∴④正确；综上，可得正确结论有3个：①③④．故选：C．14．解：根据题意得：A i B i＝x2﹣（﹣x）＝x（x+1），∴＝＝2（﹣），∴++…+＝2（1﹣+﹣+…+﹣）＝．故选：A．15．解：由分析知图中阴影面积等于半圆的面积，则s＝＝．故选：B．16．解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故①正确；②∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∵对称轴x＝﹣＞0，∴ab＜0，∵a＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故②正确；③∵一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，∴y＝ax2+bx+c和y＝m没有交点，由图可得，m＞2，故③正确．故选：D．17．解：∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，b＝2a，∴b﹣2a＝0，故①正确；∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，和x轴的一个交点是（2，0），∴抛物线和x轴的另一个交点是（﹣4，0），∴把x＝﹣2代入得：y＝4a﹣2b+c＞0，故②错误；∵图象过点（2，0），代入抛物线的解析式得：4a+2b+c＝0，又∵b＝2a，∴c＝﹣4a﹣2b＝﹣8a，∴a﹣b+c＝a﹣2a﹣8a＝﹣9a，故③正确；根据图象，可知抛物线对称轴的右边y随x的增大而减小，∵抛物线和x轴的交点坐标是（2，0）和（﹣4，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，∴点（﹣3，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（（1，y1），∵（，y2），1＜，∴y1＞y2，故④正确；即正确的有①③④，故选：B．18．解：由函数图象可得：抛物线开口向下，∴a＜0，选项①错误；又OA＝3，AB＝2，∴抛物线与y轴交于A（0，3），即c＝3，选项②错误；又A和B关于对称轴对称，且AB＝2，∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，即2a﹣b＝0，选项③正确；∴B（﹣2，3），将x＝﹣2，y＝3代入抛物线解析式得：4a﹣2b+c＝3，选项④正确；由OE＝1，利用对称性得到CD＝OE＝1，又OC＝AB＝2，∴DE＝CD+OC+OE＝1+2+1＝4，又OA＝3，则S梯形ABDE＝OA（AB+DE）＝9，选项⑤正确，综上，正确的个数为3个．故选：C．19．解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x＝1，∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．故①正确；②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．∵对称轴x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，即3a+b＜0．故②错误；③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0），∴﹣1×3＝﹣3，∴＝﹣3，则a＝﹣．∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），∴2≤c≤3，∴﹣1≤﹣≤﹣，即﹣1≤a≤﹣．故③正确；④根据题意知，a＝﹣，﹣＝1，∴b＝﹣2a＝，∴n＝a+b+c＝c．∵2≤c≤3，∴≤c≤4，即≤n≤4．故④错误．综上所述，正确的说法有①③．故选：D．20．解：如图，作BE⊥x轴于点E，连接OB，∵正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，∴∠AOE＝75°，∵∠AOB＝45°，∴∠BOE＝30°，∵OA＝1，∴OB＝，∵∠OEB＝90°，∴BE＝OB＝，∴OE＝，∴点B坐标为（，﹣），代入y＝ax2（a＜0）得a＝﹣，∴y＝﹣．故选：B．21．解：∵S△ABC＝×2×2＝2，可见，当O与C重合时，S△ABC＝2，作CD⊥AB，∵AO＝BO＝2，可见，△ACB为等腰直角三角形，CD＝2×cos45°＝2×＝．由图易得，到AB距离为的点有C、C1、C2，作CC3∥AB，则CC3的解析式为y＝﹣x，将y＝﹣x和y＝x2组成方程组得，，解得，，，则C3坐标为（﹣1，1），可见，有四个点，使得S△ABC＝2．故选：A．。
2019年全国中考数学真题分类汇编：二次函数(含答案)
2019年全国中考数学真题分类汇编：二次函数一、选择题1.（2019年四川省广安市）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＜0②b＜c③3a+c＝0④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数图象的性质、二次函数y＝ax2+bx+c系数符号的确定【解答】解：①对称轴位于x轴的右侧，则a，b异号，即ab＜0．抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．∴abc＜0．故①正确；②∵抛物线开口向下，∴a＜0．∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a．∵x＝﹣1时，y＝0，∴a﹣b+c＝0，而b＝﹣2a，∴c＝﹣3a，∴b﹣c＝﹣2a+3a＝a＜0，即b＜c，故②正确；③∵x＝﹣1时，y＝0，∴a﹣b+c＝0，而b＝﹣2a，∴c ＝﹣3a ，∴3a +c ＝0．故③正确；④由抛物线的对称性质得到：抛物线与x 轴的另一交点坐标是（3，0）．∴当y ＞0时，﹣1＜x ＜3故④正确．综上所述，正确的结论有4个．故选：D ．2.(2019年天津市)二次函数c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，0≠a ）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：且当x=21-时，与其对应的函数值0>y ，有下列结论：①0>abc ；②-2和3是关于x 的方程t c bx ax =++2的两个根；③3200<+<n m 。
其中，正确结论的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3【考点】二次函数的性质【解答】由表格可知，二次函数c bx ax y ++=2过点（0，-2），（1，-2），∴对称轴为21210=+=x ，c=-2,由图可知，0,0,0<<>c b a ，∴0>abc ，所以①正确；∵对称轴21=x ，∴212=-a b ，∴a b -=，∵当21-=x 时，0>y ，∴022141>--b a ，022141>-+a a ，∴38>a ；∵二次函数c bx ax y ++=2过点（-1，m ），（2，n ），∴m=n ，当1-=x 时，m=a-b+c=a+a-2=2a-2，∴m+n=4a-4，∵38>a ，∴32044>-a ，∴③错误.故选C.3.（2019年山东省德州市）若函数y =k x 与y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则函数y =kx +b 的大致图象为（）A. B.C. D.【考点】二次函数、一次函数、反比例函数的图象与系数的关系【解答】解：根据反比例函数的图象位于二、四象限知k ＜0，根据二次函数的图象确知a ＞0，b ＜0，∴函数y=kx+b 的大致图象经过二、三、四象限，故选：C ．4.（2019年山东省济宁市）将抛物线y ＝x 2﹣6x +5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）A ．y ＝（x ﹣4）2﹣6B ．y ＝（x ﹣1）2﹣3C ．y ＝（x ﹣2）2﹣2D ．y ＝（x ﹣4）2﹣2【考点】了二次函数图象的平移【解答】解：y ＝x 2﹣6x +5＝（x ﹣3）2﹣4，即抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），所以平移后得到的抛物线解析式为y ＝（x ﹣4）2﹣2．故选：D ．5.（2019年山东省青岛市）已知反比例函数y ＝的图象如图所示，则二次函数y ＝ax 2﹣2x 和一次函数y ＝bx +a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【考点】二次函数、一次函数、反比例函数的图象与系数的关系【解答】解：∵当x ＝0时，y ＝ax 2﹣2x ＝0，即抛物线y ＝ax 2﹣2x 经过原点，故A 错误；∵反比例函数y ＝的图象在第一、三象限，∴ab ＞0，即a 、b 同号，当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2﹣2x 的对称轴x ＝＜0，对称轴在y 轴左边，故D 错误；当a ＞0时，b ＞0，直线y ＝bx +a 经过第一、二、三象限，故B 错误，C 正确．故选：C ．6.（2019年四川省资阳市）如图是函数y ＝x 2﹣2x ﹣3（0≤x ≤4）的图象，直线l ∥x 轴且过点（0，m ），将该函数在直线l 上方的图象沿直线l 向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m 的取值范围是（）A ．m ≥1B ．m ≤0C ．0≤m ≤1D ．m ≥1或m ≤0【考点】二次函数性质【解答】解：如图1所示，当t 等于0时，∵y ＝（x ﹣1）2﹣4，∴顶点坐标为（1，﹣4），当x ＝0时，y ＝﹣3，∴A （0，﹣3），当x ＝4时，y ＝5，∴C （4，5），∴当m ＝0时，D （4，﹣5），∴此时最大值为0，最小值为﹣5；如图2所示，当m＝1时，此时最小值为﹣4，最大值为1．综上所述：0≤m≤1，故选：C．7.（2019年河南省）已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为（）A．﹣2B．﹣4C．2D．4【考点】二次函数的性质【解答】解：抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，可知函数的对称轴x＝1，∴＝1，∴b＝2；∴y＝﹣x2+2x+4，将点（﹣2，n）代入函数解析式，可得n＝4；故选：D．8.（2019年浙江省衢州市）二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（）A.(1，3)B.（1，-3)C.（-1，3）D.（-1，-3）【考点】二次函数y=a（x-h）2+k的性质【解答】解：∵y=（x-1）2+3，∴二次函数图像顶点坐标为：（1，3）.故答案为：A.9.(2019年浙江省温州市)已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值﹣1，有最小值﹣2B．有最大值0，有最小值﹣1C．有最大值7，有最小值﹣1D．有最大值7，有最小值﹣2【考点】二次函数的最值问题【解答】解：∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，∴在﹣1≤x≤3的取值范围内，当x＝2时，有最小值﹣2，当x＝﹣1时，有最大值为y＝9﹣2＝7．故选：D．10.（2019年内蒙古赤峰市）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＝0；③一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；④当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．上述结论中正确的是．（填上所有正确结论的序号）【考点】二次函数的性质【解答】解：由图可知，对称轴x＝1，与x轴的一个交点为（3，0），∴b＝﹣2a，与x轴另一个交点（﹣1，0），①∵a＞0，∴b＜0；∴①错误；②当x＝﹣1时，y＝0，∴a﹣b+c＝0；②正确；③一元二次方程ax2+bx+c+1＝0可以看作函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的交点，由图象可知函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1有两个不同的交点，∴一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；∴③正确；④由图象可知，y＞0时，x＜﹣1或x＞3∴④正确；故答案为②③④．11.（2019年甘肃省）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．③④⑤【考点】二次函数的性质【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，∴ac＜0，故①错误；②由于对称轴可知：＜1，∴2a+b＞0，故②正确；③由于抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图象可知：x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确；⑤当x＞时，y随着x的增大而增大，故⑤错误；故选：C．12.（2019年湖北省鄂州市）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数的性质【解答】解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴b＜0∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＞0，∴abc＜0，①正确；②当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∵，∴b＝﹣2a，把b＝﹣2a代入a﹣b+c＞0中得3a+c＞0，所以②正确；③当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴a+c＜﹣b，∵a＞0，c＞0，﹣b＞0，∴（a+c）2＜（﹣b）2，即（a+c）2﹣b2＜0，所以③正确；④∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴x＝1时，函数的最小值为a+b+c，∴a+b+c≤am2+mb+c，即a+b≤m（am+b），所以④正确．故选：D．13.（2019年湖北省随州市）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA=OC，对称轴为直线x=1，则下列结论：①abc＜0；②a+ b+ c=0；③ac+b+1=0；④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根．其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【考点】二次函数的性质【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x=-=1，∴b=-2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；∵b=-2a，∴a+b=a-a=0，∵c＞0，∴a+b+c＞0，所以②错误；∵C（0，c），OA=OC，∴A（-c，0），把A（-c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2-bc+c=0，∴ac-b+1=0，所以③错误；∵A（-c，0），对称轴为直线x=1，∴B（2+c，0），∴2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，所以④正确；故选：B．14.（2019年内蒙古呼和浩特市）二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象性质、一次函数的图象性质【解答】解：由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），排除A、B；当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C；故选：D．15.（2019年内蒙古通辽市）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给以下结论：①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④a﹣b≥m（am+b）（m为实数）；⑤4ac﹣b2＜0．其中错误结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数的图象性质【解答】解：①由抛物线可知：a＞0，c＜0，对称轴x＝﹣＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；②由对称轴可知：﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵x＝1时，y＝a+b+c＝0，∴c+3a＝0，∴c+2a＝﹣3a+2a＝﹣a＜0，故②正确；③（1，0）关于x＝﹣1的对称点为（﹣3，0），∴x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＝0，故③正确；④当x＝﹣1时，y的最小值为a﹣b+c，∴x＝m时，y＝am2+bm+c，∴am2+bm+c≥a﹣b+c，即a﹣b≤m（am+b），故④错误；⑤抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，即b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故⑤正确；故选：A．16.（2019年西藏）把函数y＝﹣x2的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数y＝﹣（x﹣1）2+1的图象（）A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位C．向右平移1个单位，再向上平移1个单位D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位【考点】二次函数的图象性质【解答】解：抛物线y＝﹣x2的顶点坐标是（0，0），抛物线线y＝﹣（x﹣1）2+1的顶点坐标是（1，1），所以将顶点（0，0）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点（1，1），即将函数y＝﹣x2的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数y＝﹣（x﹣1）2+1的图象．故选：C．二、填空题1.（2019年湖北省荆州市）二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的最大值是．【考点】二次函数的性质【解答】解：y＝﹣2x2﹣4x+5＝﹣2（x+1）2+7，即二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的最大值是7，故答案为：7．2.（2019年山东省济宁市）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集是．【考点】二次函数的性质、一次函数的性质、二次函数与不等式【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，∴﹣m+n＝p，3m+n＝q，∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P（1，p），Q（﹣3，q）两点，观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+bx+c的下方，∴不等式ax2+mx+c＞n的解集为x＜﹣3或x＞1．故答案为：x＜﹣3或x＞1．3.（2019年四川省达州市）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为+．其中正确判断的序号是．【考点】二次函数的性质【解答】解：①把y＝m+2代入y＝﹣x2+2x+m+1中，得x2﹣2x+1＝0，∵△＝4﹣4＝0，∴此方程两个相等的实数根，则抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点，故此小题结论正确；②∵抛物线的对称轴为x＝1，∴点P（2，y3）关于x＝1的对称点为P′（0，y3），∵a＝﹣1＜0，∴当x＜1时，y随x增大而减小，又∵﹣2＜0＜，点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P′（0，y3）在该函数图象上，∴y2＜y3＜y1，故此小题结论错误；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+2（x+2）x+m+1﹣2，即y＝﹣（x+1）2+m，故此小题结论正确；④当m＝1时，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+2，∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），作点B关于y轴的对称点B′（﹣1，3），作C点关于x轴的对称点C′（2，﹣2），连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，如图，则BE+ED+CD+BC＝B′E+ED+C′D+BC＝B′C′+BC，根据两点之间线段最短，知B′C′最短，而BC的长度一定，∴此时，四边形BCDE周长＝B′C′+BC最小，为：，故此小题结论正确；故答案为：①③④．4.（2019年广西贺州市）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，下列说法中：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③3a+c＝0；④当﹣1＜x＜3时，y ＞0，正确的是（填写序号）．【考点】二次函数的性质【解答】解：根据图象可得：a＜0，c＞0，对称轴：x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∵a＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；把x＝﹣1代入函数关系式y＝ax2+bx+c中得：y＝a﹣b+c，由抛物线的对称轴是直线x＝1，且过点（3，0），可得当x＝﹣1时，y＝0，∴a﹣b+c＝0，故②错误；∵b＝﹣2a，∴a﹣（﹣2a）+c＝0，即：3a+c＝0，故③正确；由图形可以直接看出④正确．故答案为：①③④．5.（2019年甘肃省天水市）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，若M＝4a+2b，N＝a﹣b．则M、N的大小关系为M N．（填“＞”、“＝”或“＜”）【考点】二次函数的性质【解答】解：当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，M﹣N＝4a+2b﹣（a﹣b）＝4a+2b+c﹣（a﹣b+c）＜0，即M＜N，故答案为：＜6.（2019年甘肃省武威市）将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为．【考点】二次函数的解析式【解答】解：y＝x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1，所以，y＝（x﹣2）2+1．故答案为：y＝（x﹣2）2+1．7.（2019年辽宁省大连市）如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴相交于A、B两点，与y 轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB．AD与y轴相交于点E，过点E的直线PQ 平行于x轴，与拋物线相交于P，Q两点，则线段PQ的长为．【考点】二次函数的性质、待定系数法、一元二次方程的解【解答】解：当y＝0时，﹣x2+x+2＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝4，∴点A的坐标为（﹣2，0）；当x＝0时，y＝﹣x2+x+2＝2，∴点C的坐标为（0，2）；当y＝2时，﹣x2+x+2＝2，解得：x1＝0，x2＝2，∴点D的坐标为（2，2）．设直线AD的解析式为y＝kx+b（k≠0），将A（﹣2，0），D（2，2）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴直线AD 的解析式为y ＝x +1．当x ＝0时，y ＝x +1＝1，∴点E 的坐标为（0，1）．当y ＝1时，﹣x 2+x +2＝1，解得：x 1＝1﹣，x 2＝1+，∴点P 的坐标为（1﹣，1），点Q 的坐标为（1+，1），∴PQ ＝1+﹣（1﹣）＝2．故答案为：2．三、解答题1.（2019年安徽省）一次函数y=kx+4与二次函数y=ax 2+c 的图像的一个交点坐标为（1,2），另一个交点是该二次函数图像的顶点.（1）求k ，a ，c 的值；（2）过点A （0，m ）（0＜m ＜4）且垂直于y 轴的直线与二次函数y=ax 2+c 的图像相交于B ，C 两点，点O 为坐标原点，记W=OA 2+BC 2，求W 关于m 的函数解析式，并求W 的最小值.【考点】二次函数的性质【解答】解：（1）由题意得，k+4=-2，解得k=-2，又二次函数顶点为（0,4），∴c=4把（1,2）带入二次函数表达式得a+c=2，解得a=-2.（2）由（1）得二次函数解析式为y=-2x 2+4，令y=m ，得2x 2+m-4=0.∴4-mx=2±，设B ，C 两点的坐标分别为（x 1，m ）（x 2，m ），则124-mx x =22+，∴W=OA 2+BC 2=2224-m m 4=m -2m+8=m-172+⨯+（）∴当m=1时，W 取得最小值7.2.（2019年北京市）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21yax bx a=+-与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．（1）求点B 的坐标（用含a 的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点11(,2P a-，(2,2)Q ．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．【考点】二次函数图象的性质【解答】（1）∵抛物线与y 轴交于点A ，∴令0=x ，得ay 1-=，∴点A 的坐标为)1,0(a -，∵点A 向右平移两个单位长度，得到点B ，∴点B 的坐标为1,2(a-；（2）∵抛物线过点)1,0(a A -和点)1,2(aB -，由对称性可得，抛物线对称轴为直线1220=+=x ，故对称轴为直线1=x （3）①当0>a 时，则01<-a，分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A 和点P ；也不可能同时经过点B 和点Q ，所以，此时线段PQ 与抛物线没有交点.②当0<a 时，则01>-a.分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A 和点P ；但当点Q 在点B 上方或与点B 重合时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，此时,21≤-a即21-≤a 综上所述，当21-≤a 时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点.3.（2019年四川省广安市）如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点N ，过A 点的直线l ：y ＝kx +n 与y 轴交于点C ，与抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 的另一个交点为D ，已知A （﹣1，0），D （5，﹣6），P 点为抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 上一动点（不与A 、D 重合）．（1）求抛物线和直线l 的解析式；（2）当点P 在直线l 上方的抛物线上时，过P 点作PE ∥x 轴交直线l 于点E ，作PF ∥y 轴交直线l 于点F ，求PE +PF 的最大值；（3）设M 为直线l 上的点，探究是否存在点M ，使得以点N 、C ，M 、P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数图象的性质、待定系数法、数形结合的思想【解答】解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：，解得：，故直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，将点A、D的坐标代入抛物线表达式，同理可得抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；（2）直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，则直线l与x轴的夹角为45°，即：则PE＝PE，设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4）、则点F（x，﹣x﹣1），PE+PF＝2PF＝2（﹣x2+3x+4+x+1）＝﹣2（x﹣2）2+18，∵﹣2＜0，故PE+PF有最大值，当x＝2时，其最大值为18；（3）NC＝5，①当NC是平行四边形的一条边时，设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4）、则点M（x，﹣x﹣1），由题意得：|y M﹣y P|＝5，即：|﹣x2+3x+4+x+1|＝5，解得：x＝2或0或4（舍去0），则点P坐标为（2+，﹣3﹣）或（2﹣，﹣3+）或（4，﹣5）；②当NC是平行四边形的对角线时，则NC的中点坐标为（﹣，2），设点P坐标为（m，﹣m2+3m+4）、则点M（n，﹣n﹣1），N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形，则NC的中点即为PM中点，即：﹣＝，2＝，解得：m＝0或﹣4（舍去0），故点P（﹣4，3）；故点P的坐标为：（2+，﹣3﹣）或（2﹣，﹣3+）或（4，﹣5）或（﹣4，3）．4.（2019年重庆市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD，交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF+FP+PC的最小值；（2）在（1）中，当MN取得最大值，HF+FP+PC取得最小值时，把点P向上平移个单位得到点Q，连结AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G．在旋转过程中，是否存在一点G，使得∠Q'＝∠Q'OG？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q′的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数图象的性质、待定系数法、数形结合的思想、直角三角形的中线性质【解答】解：（1）如图1∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C∴令y＝0解得：x1＝﹣1，x2＝3，令x＝0，解得：y＝﹣3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）∵点D为抛物线的顶点，且＝＝1，＝＝﹣4∴点D的坐标为D（1，﹣4）∴直线BD的解析式为：y＝2x﹣6，由题意，可设点N（m，m2﹣2m﹣3），则点F（m，2m﹣6）∴|NF|＝（2m﹣6）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3∴当m＝＝2时，NF取到最大值，此时MN取到最大值，此时HF＝2，此时，N（2，﹣3），F（2，﹣2），H（2，0）在x轴上找一点K（，0），连接CK，过点F作CK的垂线交CK于点J点，交y 轴于点P，∴sin∠OCK＝，直线KC的解析式为：y＝，且点F（2，﹣2），∴PJ＝PC，直线FJ的解析式为：y＝∴点J（，）∴FP+PC的最小值即为FJ的长，且|FJ|＝∴|HF+FP+PC|min＝；（2）由（1）知，点P（0，），∵把点P向上平移个单位得到点Q∴点Q（0，﹣2）∴在Rt△AOQ中，∠AOG＝90°，AQ＝，取AQ的中点G，连接OG，则OG＝GQ＝AQ＝，此时，∠AQO＝∠GOQ把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G①如图2G点落在y轴的负半轴，则G（0，﹣），过点Q'作Q'I⊥x轴交x轴于点I，且∠GOQ'＝∠Q'则∠IOQ'＝∠OA'Q'＝∠OAQ，∵sin∠OAQ＝＝＝∴sin∠IOQ'＝＝＝，解得：|IO|＝∴在Rt△OIQ'中根据勾股定理可得|OI|＝∴点Q'的坐标为Q'（，﹣）；②如图3，当G点落在x轴的正半轴上时，同理可得Q'（，）③如图4当G点落在y轴的正半轴上时，同理可得Q'（﹣，）④如图5当G点落在x轴的负半轴上时，同理可得Q'（﹣，﹣）综上所述，所有满足条件的点Q′的坐标为：（，﹣），（，），（﹣，），（﹣，﹣）5.(2019年天津市)已知抛物线c b c bx x y ,(2+-=为常数，0>b ）经过点A （-1，0），点M （m ，0）是x 轴正半轴上的点.（I ）当b=2时，求抛物线的顶点坐标；（II ）点D （b ，D y ）在抛物线上，当AM=AD ，m=5时，求b 的值；（III ）点Q （21+b ，Q y ）在抛物线上，当2AM+2QM 的最小值为4233时，求b 的值.【考点】二次函数的性质、待定系数法、数形结合思想【解答】（I ）∵抛物线c bx x y +-=2经过点A （-1，0），∴1+b+c=0,即c=-b-1所以当b=2时，c=-3,∴4)1(3222--=--=x x x y 所以顶点坐标为（1，-4）.（II ）由（I ）知，c=-b-1，则12---=b bx x y 因为点（b ，D y ）在抛物线12---=b bx x y 上，所以112--=--⋅-=b b b b b y D ∵b ＞0，∴-b -1＜0∴点D 在第四象限且在抛物线对称轴2bx =的右侧如图，过点D 作DE ⊥x 轴，则E （b ，0）∴AE=b+1，DE=b+1即AE=DE ∴在Rt △ADE 中，∠ADE=∠DAE=45°∴AD=2AE 又∵AM=AD ，m=5∴b=1-23（III ）∵点Q （21+b ，Q y ）在抛物线12---=b bx x y 上，∴432--=b y Q ，则点Q （21+b ，432--b ）在第四象限，且在直线x=b 的右侧,∵2AM+2QM=2（22AM+QM ），可取点N （0，1）如图所示，过点Q 作直线AN 的垂线。
2019—2020数学中考试题分类汇编知识点17二次函数概念、性质和图象
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3a – b=0；② b2-4ac ＞ 0；
第 12 题图
【答案】 A
b3
【解析】根据对称轴
得 b=3a，故可得 3a – b=0，所以结论①正确；由于抛物线与 x 轴有两个不
2a 2
5 / 13
同的交点，所以 b2-4 ac＞0，结论②正确；根据结论①可知 b=3a，∴ 5a- 2 b + c=5a-6 a+c=- a+c，观察图像可
（
m为常数）
,
D．④
①∵顶点坐标为（ m，﹣ m+1）且当 xБайду номын сангаасm时， y＝﹣ m+1,
∴这个函数图象的顶点始终在直线 y＝﹣ x+1 上 ,
故结论①正确；
②假设存在一个 m的值，使得函数图象的顶点与 x 轴的两个交点构成等腰直角三角形 , 令 y＝ 0，得﹣（ x﹣ m） 2﹣ m+1＝ 0，其中 m≤ 1，
C
．4
D
．5
【答案】 B
【解题过程】先根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线，由图象可以看出抛物线开口向上，
所以结论①正确，由图象（或表格）可以看出抛物线与
x 轴的两个交点分别为 （0,0 ），（4,0 ），所以抛
物线的对称轴为直线 x 2 且抛物线与 x 轴的两个交点间的距离为 4，所以结论②和④正确， 有抛物线的
则这个变换可以是 ( )
A. 向左平移 2 个单位
B.
向右平移 2 个单位
C. 向左平移 8 个单位
D.
向右平移 8 个单位
【答案】 B 【解析】 y＝（ x+5）（ x﹣3）＝（ x+1） 2﹣ 16，顶点坐标是（﹣ 1，﹣ 16）．
湖南省2019年、2020年数学中考试题分类(8)——二次函数(含解析)
湖南省2019年、2020年数学中考试题分类（8）——二次函数一．选择题（共8小题）1．（2020•湘西州）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0，①b﹣2a＜0，①a﹣b+c＞0，①a+b＞n（an+b），（n≠1），①2c＜3b．正确的是（）A．①①B．①①C．①①D．①①2．（2020•长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：P＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（）A．3.50分钟B．4.05分钟C．3.75分钟D．4.25分钟3．（2020•岳阳）对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x 的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），则下列关系式一定正确的是（）A．0＜x1x3＜1B．x1x3＞1C．0＜x2x4＜1D．x2x4＞14．（2020•株洲）二次函数y＝ax2+bx+c，若ab＜0，a﹣b2＞0，点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数的图象上，其中x1＜x2，x1+x2＝0，则（）A．y1＝﹣y2B．y1＞y2C．y1＜y2D．y1、y2的大小无法确定5．（2020•常德）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；①abc＜0；①4a+b＝0；①4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．16．（2019•娄底）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的是（）①abc＜0①b2﹣4ac＜0①2a＞b①（a+c）2＜b2A．1个B．2个C．3个D．4个7．（2019•益阳）下列函数中，y总随x的增大而减小的是（）A．y＝4x B．y＝﹣4x C．y＝x﹣4D．y＝x28．（2019•岳阳）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（）A．c＜﹣3B．c＜﹣2C．c＜14D．c＜1二．填空题（共3小题）9．（2020•益阳）某公司新产品上市30天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是元．10．（2019•衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A 作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为．11．（2019•株洲）若二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，则a0（填“＝”或“＞”或“＜”）．三．解答题（共29小题）12．（2020•益阳）如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标是（4，2），点P为一个动点，过点P作x轴的垂线PH，垂足为H，点P在运动过程中始终满足PF＝PH．【提示：平面直角坐标系内点M、N的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则MN2＝（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2】（1）判断点P在运动过程中是否经过点C（0，5）；（2）设动点P的坐标为（x，y），求y关于x的函数表达式；填写下表，并在给定坐标系中画出该函数的图象；x…02468…y……（3）点C关于x轴的对称点为C'，点P在直线C'F的下方时，求线段PF长度的取值范围．13．（2020•永州）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B 在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．①已知Q（1，−32）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．14．（2020•娄底）如图，抛物线经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）是抛物线上的动点，当﹣3＜m＜0时，试确定m的值，使得△P AC的面积最大；（3）抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足DA2﹣DC2＝6，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．15．（2020•郴州）如图1，抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0），与y 轴交于点C ．已知直线y ＝kx +n 过B ，C 两点．（1）求抛物线和直线BC 的表达式；（2）点P 是抛物线上的一个动点．①如图1，若点P 在第一象限内，连接P A ，交直线BC 于点D ．设△PDC 的面积为S 1，△ADC 的面积为S 2，求x 1x 2的最大值； ①如图2，抛物线的对称轴l 与x 轴交于点E ，过点E 作EF ⊥BC ，垂足为F ．点Q 是对称轴l 上的一个动点，是否存在以点E ，F ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P ，Q 的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2020•湘西州）已知直线y ＝kx ﹣2与抛物线y ＝x 2﹣bx +c （b ，c 为常数，b ＞0）的一个交点为A （﹣1，0），点M （m ，0）是x 轴正半轴上的动点．（1）当直线y ＝kx ﹣2与抛物线y ＝x 2﹣bx +c （b ，c 为常数，b ＞0）的另一个交点为该抛物线的顶点E 时，求k ，b ，c 的值及抛物线顶点E 的坐标；（2）在（1）的条件下，设该抛物线与y 轴的交点为C ，若点Q 在抛物线上，且点Q 的横坐标为b ，当S △EQM =12S △ACE 时，求m 的值；（3）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为b +12，当√2AM +2DM 的最小值为27√24时，求b 的值．17．（2020•长沙）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H 函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H 点”．根据该约定，完成下列各题．（1）在下列关于x 的函数中，是“H 函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H 函数”的打“×”．①y ＝2x （ ）；①y =x x （m ≠0）（ ）；①y ＝3x ﹣1（ ）．（2）若点A （1，m ）与点B （n ，﹣4）是关于x 的“H 函数”y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的一对“H 点”，且该函数的对称轴始终位于直线x ＝2的右侧，求a ，b ，c 的值或取值范围．（3）若关于x 的“H 函数”y ＝ax 2+2bx +3c （a ，b ，c 是常数）同时满足下列两个条件：①a +b +c ＝0，①（2c +b ﹣a ）（2c +b +3a ）＜0，求该“H 函数”截x 轴得到的线段长度的取值范围．18．（2020•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C（8，0），B（0，6），CD＝5，抛物线y＝ax2−154x+c（a≠0）过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t．（1）求抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，求t的值；（4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段BA沿过点B的直线翻折，点A的对称点为A'，求A'Q+QN+DN的最小值．19．（2020•岳阳）如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线F1：y＝a（x−25）2+6415与x轴交于点A（−65，0）和点B，与y轴交于点C．（1）求抛物线F1的表达式；（2）如图2，将抛物线F1先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线F2，若抛物线F1与抛物线F2相交于点D，连接BD，CD，BC．①求点D的坐标；①判断△BCD的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，抛物线F2上是否存在点P，使得△BDP为等腰直角三角形，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2020•株洲）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象（记为抛物线Γ）与y轴交于点C，与x轴分别交于点A、B，点A、B的横坐标分别记为x1，x2，且0＜x1＜x2．（1）若a＝c，b＝﹣3，且过点（1，﹣1），求该二次函数的表达式；（2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝4．求证：当b＜−52时，二次函数y1＝ax2+（b+1）x+c的图象与x轴没有交点．（3）若AB2=x 2−2x+6x，点P的坐标为（−√x0，﹣1），过点P作直线l垂直于y轴，且抛物线的Γ的顶点在直线l上，连接OP、AP、BP，P A的延长线与抛物线Γ交于点D，若∠OPB＝∠DAB，求x0的最小值．21．（2020•怀化）如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．（1）求点C及顶点M的坐标．（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．（4）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22．（2020•张家界）如图，抛物线y＝ax2﹣6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x+5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理由；（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．23．（2020•湘潭）如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +5与x 轴交于A ，B 两点．（1）若过点C 的直线x ＝2是抛物线的对称轴．①求抛物线的解析式；①对称轴上是否存在一点P ，使点B 关于直线OP 的对称点B '恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（2）当b ≥4，0≤x ≤2时，函数值y 的最大值满足3≤y ≤15，求b 的取值范围．24．（2020•衡阳）在平面直角坐标系xOy 中，关于x 的二次函数y ＝x 2+px +q 的图象过点（﹣1，0），（2，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当﹣2≤x ≤1时，y 的最大值与最小值的差；（3）一次函数y ＝（2﹣m ）x +2﹣m 的图象与二次函数y ＝x 2+px +q 的图象交点的横坐标分别是a 和b ，且a ＜3＜b ，求m 的取值范围．25．（2020•常德）如图，已知抛物线y ＝ax 2过点A （﹣3，94）． （1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l 过点A ，M （32，0）且与抛物线交于另一点B ，与y 轴交于点C ，求证：MC 2＝MA •MB ；（3）若点P ，D 分别是抛物线与直线l 上的动点，以OC 为一边且顶点为O ，C ，P ，D 的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P 点坐标．26．（2019•湘潭）如图一，抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，√3）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）P（x1，y1）、Q（4，y2）两点均在该抛物线上，若y1≥y2，求P点横坐标x1的取值范围；（3）如图二，过点C作x轴的平行线交抛物线于点E，该抛物线的对称轴与x轴交于点D，连结CD、CB，点F为线段CB的中点，点M、N分别为直线CD和CE上的动点，求△FMN周长的最小值．27．（2019•湘潭）湘潭政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店A、B两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？（2）小亮调査发现，A种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若B种湘莲礼盒的售价和销量不变，当A 种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？28．（2019•永州）如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△P AB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．29．（2019•娄底）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．30．（2019•张家界）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）过点A （1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，OC ＝3．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）过点A 作AM ⊥BC ，垂足为M ，求证：四边形ADBM 为正方形；（3）点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点，当△PBC 面积最大时，求点P 的坐标； （4）若点Q 为线段OC 上的一动点，问：AQ +12QC 是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由． 31．（2019•湘西州）如图，抛物线y ＝ax 2+bx （a ＞0）过点E （8，0），矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上（点A 在点B 的左侧），点C 、D 在抛物线上，∠BAD 的平分线AM 交BC 于点M ，点N 是CD 的中点，已知OA ＝2，且OA ：AD ＝1：3．（1）求抛物线的解析式；（2）F 、G 分别为x 轴，y 轴上的动点，顺次连接M 、N 、G 、F 构成四边形MNGF ，求四边形MNGF 周长的最小值；（3）在x 轴下方且在抛物线上是否存在点P ，使△ODP 中OD 边上的高为6√105？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）矩形ABCD 不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K 、L ，且直线KL 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．32．（2019•邵阳）如图，二次函数y =−13x 2+bx +c 的图象过原点，与x 轴的另一个交点为（8，0）（1）求该二次函数的解析式；（2）在x 轴上方作x 轴的平行线y 1＝m ，交二次函数图象于A 、B 两点，过A 、B 两点分别作x 轴的垂线，垂足分别为点D 、点C ．当矩形ABCD 为正方形时，求m 的值；（3）在（2）的条件下，动点P 从点A 出发沿射线AB 以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q 以相同的速度从点A 出发沿线段AD 匀速运动，到达点D 时立即原速返回，当动点Q 返回到点A 时，P 、Q 两点同时停止运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．过点P 向x 轴作垂线，交抛物线于点E ，交直线AC 于点F ，问：以A 、E 、F 、Q 四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t 的值；若不能，请说明理由．33．（2019•益阳）在平面直角坐标系xOy 中，顶点为A 的抛物线与x 轴交于B 、C 两点，与y 轴交于点D ，已知A （1，4），B （3，0）．（1）求抛物线对应的二次函数表达式；（2）探究：如图1，连接OA ，作DE ∥OA 交BA 的延长线于点E ，连接OE 交AD 于点F ，M 是BE 的中点，则OM 是否将四边形OBAD 分成面积相等的两部分？请说明理由；（3）应用：如图2，P （m ，n ）是抛物线在第四象限的图象上的点，且m +n ＝﹣1，连接P A 、PC ，在线段PC 上确定一点N ，使AN 平分四边形ADCP 的面积，求点N 的坐标．提示：若点A 、B 的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2），则线段AB 的中点坐标为（x 1+x 22，x 1+x 22）．34．（2019•郴州）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点F是线段AD上一个动点．①如图1，设k=xxxx，当k为何值时，CF=12 AD？①如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．35．（2019•常德）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B 点的坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使△PNC的面积是矩形MNHG面积的916？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．36．（2019•岳阳）如图1，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1：y=13x2+73x的图象上，点A的横坐标为﹣4，点B的纵坐标为﹣2．（点A在点B的左侧）（1）求点A、B的坐标；（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，已知点M 为抛物线F 2的对称轴上一定点，且点A '恰好在以OM 为直径的圆上，连接OM 、A 'M ，求△OA 'M 的面积；（3）如图2，延长OB '交抛物线F 2于点C ，连接A 'C ，在坐标轴上是否存在点D ，使得以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA 'C 相似．若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．37．（2019•株洲）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＞0） （1）若a ＝1，b ＝﹣2，c ＝﹣1 ①求该二次函数图象的顶点坐标； ①定义：对于二次函数y ＝px 2+qx +r （p ≠0），满足方程y ＝x 的x 的值叫做该二次函数的“不动点”．求证：二次函数y ＝ax 2+bx +c 有两个不同的“不动点”． （2）设b =12c 3，如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴分别相交于不同的两点A （x 1，0），B （x 2，0），其中x 1＜0，x 2＞0，与y 轴相交于点C ，连结BC ，点D 在y 轴的正半轴上，且OC ＝OD ，又点E 的坐标为（1，0），过点D 作垂直于y 轴的直线与直线CE 相交于点F ，满足∠AFC ＝∠ABC ．FA 的延长线与BC 的延长线相交于点P ，若xx xx=√5，求二次函数的表达式．38．（2019•衡阳）如图，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点N ，以AB 为边在x 轴上方作正方形ABCD ，点P 是x 轴上一动点，连接CP ，过点P 作CP 的垂线与y 轴交于点E ．（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P 在线段OB （点P 不与O 、B 重合）上运动至何处时，线段OE 的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M ，连接MN 、MB ．请问：△MBN 的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由．39．（2019•怀化）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点．①若S△PMN＝2，求k的值；①证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；①当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．40．（2019•长沙）如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的①P相交于点C．（1）求点A的坐标；（2）过点C作①P的切线CE交x轴于点E．①如图1，求证：CE＝DE；①如图2，连接AC，BE，BO，当a=√33，∠CAE＝∠OBE时，求1xx −1xx的值．湖南省2019年、2020年数学中考试题分类（8）——二次函数一．选择题（共8小题）1．（2020•湘西州）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0，①b﹣2a＜0，①a﹣b+c＞0，①a+b＞n（an+b），（n≠1），①2c＜3b．正确的是（）A．①①B．①①C．①①D．①①【答案】D【解答】解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故①错误；①由于a＜0，所以﹣2a＞0．又b＞0，所以b﹣2a＞0，故①错误；①当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故①错误；①当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，而当x＝n时，y＝an2+bn+c，所以a+b+c＞an2+bn+c，故a+b＞an2+bn，即a+b＞n（an+b），故①正确；①当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且该抛物线对称轴是直线x=−x2x=1，即a=−x2，代入得9（−x2）+3b+c＜0，得2c＜3b，故①正确；故①①正确．故选：D．2．（2020•长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：P＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（）A ．3.50分钟B ．4.05分钟C ．3.75分钟D ．4.25分钟 【答案】C【解答】解：将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系P ＝at 2+bt +c 中， {9x +3x +x =0.816x +4x +x =0.925x +5x +x =0.6， 解得{x =−0.2x =1.5x =−1.9，所以函数关系式为：P ＝﹣0.2t 2+1.5t ﹣1.9，由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标： t =−x2x =−1.52×(−0.2)=3.75，则当t ＝3.75分钟时，可以得到最佳时间． 故选：C ． 3．（2020•岳阳）对于一个函数，自变量x 取c 时，函数值y 等于0，则称c 为这个函数的零点．若关于x 的二次函数y ＝﹣x 2﹣10x +m （m ≠0）有两个不相等的零点x 1，x 2（x 1＜x 2），关于x 的方程x 2+10x ﹣m ﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x 3，x 4（x 3＜x 4），则下列关系式一定正确的是（ ） A ．0＜x 1x 3＜1 B ．x 1x 3＞1 C ．0＜x 2x 4＜1 D ．x 2x 4＞1【答案】A【解答】解：由题意关于x 的方程x 2+10x ﹣m ﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x 3，x 4（x 3＜x 4），就是关于x 的二次函数y ＝﹣x 2﹣10x +m （m ≠0）与直线y ＝﹣2的交点的横坐标， 画出函数的图象草图如下：∵抛物线的对称轴为直线x =−−102×(−1)=−5，∴x 3＜x 1＜﹣5，由图象可知：0＜x1x 3＜1一定成立，故选：A ． 4．（2020•株洲）二次函数y ＝ax 2+bx +c ，若ab ＜0，a ﹣b 2＞0，点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在该二次函数的图象上，其中x 1＜x 2，x 1+x 2＝0，则（ ）word可编辑文档A．y1＝﹣y2B．y1＞y2C．y1＜y2D．y1、y2的大小无法确定【答案】B【解答】解：∵a﹣b2＞0，b2≥0，∴a＞0．又∵ab＜0，∴b＜0，∵x1＜x2，x1+x2＝0，∴x2＝﹣x1，x1＜0．∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数y＝ax2+bx+c的图象上，∴x1=xx12+xx1+x，x2=xx22+xx2+x=xx12−xx1+x．∴y1﹣y2＝2bx1＞0．∴y1＞y2．故选：B．5．（2020•常德）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；①abc＜0；①4a+b＝0；①4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1【答案】B【解答】解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴直线为x＝2，∴−x2x=2，∴4a+b＝0，由图象知，抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵4a+b＝0，∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0，故①①正确，由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故①错误，即正确的结论有3个，故选：B．6．（2019•娄底）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的是（）①abc＜0①b2﹣4ac＜0①2a＞b①（a+c）2＜b2A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解答】解：由函数图象可知a＜0，对称轴﹣1＜x＜0，图象与y轴的交点c＞0，函数与x轴有两个不同的交点，∴b﹣2a＞0，b＜0；△＝b2﹣4ac＞0；abc＞0；当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0；当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0；∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即（a+c）2＜b2；∴只有①是正确的；故选：A．7．（2019•益阳）下列函数中，y总随x的增大而减小的是（）A．y＝4x B．y＝﹣4x C．y＝x﹣4D．y＝x2【答案】B【解答】解：y＝4x中y随x的增大而增大，故选项A不符题意，y＝﹣4x中y随x的增大而减小，故选项B符合题意，y＝x﹣4中y随x的增大而增大，故选项C不符题意，y＝x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项D不符合题意，故选：B．8．（2019•岳阳）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（）A．c＜﹣3B．c＜﹣2C．c＜14D．c＜1【答案】B【解答】解：由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个不相等实数根，且x1＜1＜x2，整理，得：x2+x+c＝0，由x2+x+c＝0有两个不相等的实数根，且x1＜1＜x2，知△＞0，令y＝x2+x+c，画出该二次函数的草图如下：则{1−4x＞01+1+x＜0，解得c＜﹣2，故选：B．二．填空题（共3小题）9．（2020•益阳）某公司新产品上市30天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是1800元．【答案】1800．【解答】解：设日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y＝kx，30k＝60，得k＝2，即日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y＝2t，当0＜t≤20时，设单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝at，20a＝30，得a＝1.5，即当0＜t≤20时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝1.5t，当20＜t≤30时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝30，设日销售利润为W元，当0＜t≤20时，W＝1.5t×2t＝3t2，故当t＝20时，W取得最大值，此时W＝1200，当20＜t≤30时，W＝30×2t＝60t，故当t＝30时，W取得最大值，此时W＝1800，综上所述，最大日销售利润为1800元，故答案为：1800．10．（2019•衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A 作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为（﹣1010，10102）．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵A点坐标为（1，1），∴直线OA为y＝x，A1（﹣1，1），∵A1A2∥OA，∴直线A 1A 2为y ＝x +2，解{x =x +2x =x 2得{x =−1x =1或{x =2x =4，∴A 2（2，4）， ∴A 3（﹣2，4）， ∵A 3A 4∥OA ，∴直线A 3A 4为y ＝x +6，解{x =x +6x =x 2得{x =−2x =4或{x =3x =9，∴A 4（3，9）， ∴A 5（﹣3，9） …，∴A 2019（﹣1010，10102）， 故答案为（﹣1010，10102）． 11．（2019•株洲）若二次函数y ＝ax 2+bx 的图象开口向下，则a ＜ 0（填“＝”或“＞”或“＜”）． 【答案】见试题解答内容【解答】解：∵二次函数y ＝ax 2+bx 的图象开口向下， ∴a ＜0．故答案是：＜．三．解答题（共29小题） 12．（2020•益阳）如图，在平面直角坐标系中，点F 的坐标是（4，2），点P 为一个动点，过点P 作x 轴的垂线PH ，垂足为H ，点P 在运动过程中始终满足PF ＝PH ． 【提示：平面直角坐标系内点M 、N 的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2），则MN 2＝（x 2﹣x 1）2+（y 2﹣y 1）2】（1）判断点P 在运动过程中是否经过点C （0，5）； （2）设动点P 的坐标为（x ，y ），求y 关于x 的函数表达式；填写下表，并在给定坐标系中画出该函数的图象； x … 0 2 4 6 8 … y … 5 2 1 2 5 … （3）点C 关于x 轴的对称点为C '，点P 在直线C 'F 的下方时，求线段PF 长度的取值范围．【答案】（1）点P 在运动过程中经过点C （0，5）． （2）y =14x 2﹣2x +5，5，3，2，1，2，5． （3）1≤PF ＜65+7√658． 【解答】解：（1）当P 与C （0，5）重合，∴PH ＝5，PF =√(5−2)2+42=5， ∴PH ＝PF ，∴点P 运动过程中经过点C ．（2）由题意：y 2＝（x ﹣4）2+（y ﹣2）2， 整理得，y =14x 2﹣2x +5， ∴函数解析式为y =14x 2﹣2x +5， 当x ＝0时，y ＝5， 当x ＝2时，y ＝2， 当x ＝4时，y ＝1， 当x ＝6时，y ＝2， 当x ＝8时，y ＝5， 函数图象如图所示：故答案为5，2，1，2，5．（3）由题意C ′（0，﹣5），F （4，2），∴直线FC ′的解析式为y =74x ﹣5，设抛物线交直线FC ′于G ，K ． 由{x =74x −5x =14x 2−2x +5，解得{x =15+√652x =65+7√658或{x =15−√652x =65−7√658， ∴G （15−√652，65−7√658），K （15+√652，65+7√658），观察图象可知满足条件的PF 长度的取值范围为1≤PF ＜65+7√658． 13．（2020•永州）在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角△ABC 的直角顶点C 在y 轴上，另两个顶点A ，B 在x 轴上，且AB ＝4，抛物线经过A ，B ，C 三点，如图1所示． （1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l 交抛物线于M ，N 两点，如图2所示． ①求△CMN 面积的最小值．①已知Q （1，−32）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P ，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，若存在，求出点P 的坐标及直线l 的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y =12x 2−2；（2）①∴△CMN 面积的最小值为4；①点P （√3，−12），直线l 的解析式为y ＝（1−√3）x 或点P （−√3，−12），直线l 的解析式为y ＝（1+√3）x ． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）， 在等腰Rt △ABC 中，OC 垂直平分AB ，且AB ＝4， ∴OA ＝OB ＝OC ＝2， ∴A （﹣2，0），B （2，0），C （0，﹣2）， ∴{4x +2x +x =04x −2x +x =0x =−2， 解得，{x =12x =0x =−2，∴抛物线的解析式为y =12x 2−2；（2）①设直线l 的解析式为y ＝kx ，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由{x =12x 2−2x =xx，可得12x 2−xx −2=0，∴x 1+x 2＝2k ，x 1•x 2＝﹣4，∴(x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4x 2+16， ∴|x 1−x 2|=2√x 2+4，∴x △xxx =12xx ⋅|x 1−x 2|=2√x 2+4， ∴当k ＝0时2√x 2+4取最小值为4． ∴△CMN 面积的最小值为4．①假设抛物线上存在点P （m ，12x 2−2），使得点P 与点Q 关于直线l 对称，∴OP ＝OQ ，即√12+(32)2=√x 2+(12x 2−2)2，解得，x 1=√3，x 2=−√3，m 3＝1，m 4＝﹣1， ∵m 3＝1，m 4＝﹣1不合题意，舍去， 当x 1=√3时，点P （√3，−12），线段PQ 的中点为（1+√32，−1），∴1+√32x =−1，∴x =1−√3，∴直线l 的表达式为：y ＝（1−√3）x ， 当x 2=−√3时，点P （−√3，−12）， 线段PQ 的中点为（1−√32，﹣1），∴1−√32x =−1，∴x =1+√3，∴直线l 的解析式为y ＝（1+√3）x ．综上，点P （√3，−12），直线l 的解析式为y ＝（1−√3）x 或点P （−√3，−12），直线l 的解析式为y ＝（1+√3）x ． 14．（2020•娄底）如图，抛物线经过点A （﹣3，0）、B （1，0）、C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）点P （m ，n ）是抛物线上的动点，当﹣3＜m ＜0时，试确定m 的值，使得△P AC 的面积最大； （3）抛物线上是否存在不同于点B 的点D ，满足DA 2﹣DC 2＝6，若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意可以假设抛物线的解析式为y ＝a （x +3）（x ﹣1）， 把C （0，3）代入，可得a ＝﹣1， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3．（2）设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ，将A （﹣3，0），C （0，3）代入得到{0=−3x +x3=x，解得{x =1x =3，∴直线AC 的解析式为y ＝x +3．当﹣3＜m ＜0时，点P （m ，n ）在直线AC 的上方，过点P 作x 轴的垂线交AC 于Q ．则P （m ，﹣m 2﹣2m +3），Q （m ，m +3），∴PQ ＝﹣m 2﹣2m +3﹣（m +3） ＝﹣m 2﹣3m ， ＝﹣（m +32）2+94， ∵﹣3＜m ＜0，∴当m =−32时，PQ 的值最大， 此时S △P AC =12•PQ •AO =32PQ 最大， ∴m =−32．（3）由A （﹣3，0），B （1，0），C （0，3），可得AB ＝4，OB ＝1，OC ＝3， ∵BC 2＝10，∠CAO ＝45°， ∴BA 2﹣BC 2＝6，连接BC ，过点B 作AC 的垂线交抛物线于D ，交AC 于H ，连接AD ． 则∠AHB ＝90°，∠DBA ＝∠CAO ＝45°， ∴DA 2﹣DC 2＝HA 2﹣HC 2＝AB 2﹣BC 2＝6， ∵∠CAO ＝∠DBA ，∴点H 在AB 的垂直平分线上，即点H 在抛物线的对称轴x ＝﹣1上，∴点D 与点C 关于抛物线的对称轴x ＝﹣1对称， ∵C （0，3），∴点D 的坐标为（﹣2，3）．15．（2020•郴州）如图1，抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0），与y 轴交于点C ．已知直线y ＝kx +n 过B ，C 两点． （1）求抛物线和直线BC 的表达式； （2）点P 是抛物线上的一个动点．①如图1，若点P 在第一象限内，连接P A ，交直线BC 于点D ．设△PDC 的面积为S 1，△ADC 的面积为S 2，求x 1x 2的最大值；①如图2，抛物线的对称轴l 与x 轴交于点E ，过点E 作EF ⊥BC ，垂足为F ．点Q 是对称轴l 上的一个动点，是否存在以点E ，F ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P ，Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝﹣x 2+2x +3，y ＝﹣x +3． （2）①最大值为916．①点P 的坐标为（2，3），点Q 的坐标为（1，2）或（1，﹣2），P （0，3）时，Q （1，4）．【解答】解：（1）把A （﹣1，0），B （3，0）代入y ＝ax 2+bx +3得：{x −x +3=09x +3x +3=0，解得{x =−1x =2∴抛物线的表达式为y ＝﹣x 2+2x +3， ∴点C 坐标为（0，3），把B （3，0），C （0，3）代入y ＝kx +n 得：{3x +x =0x =3，解得{x =−1x =3∴直线BC 的表达式为y ＝﹣x +3．（2）①∵P A 交直线BC 于点D ， ∴设点D 的坐标为（m ，﹣m +3）， 设直线AD 的表达式为y ＝k 1x +b 1， ∴{−x 1+x 1=0xx 1+x 1=−x +3， 解得，{x 1=−x +3x +1x 1=−x +3x +1 ∴直线AD 的表达式，y =−x +3x +1x +−x +3x +1， ∴−x +3x +1x +−x +3x +1=−x 2+2x +3， 整理得，（x −4xx +1）（x +1）＝0 解得x =4xx +1或﹣1（不合题意，舍去）， ∴点D 的横坐标为m ，点P 的横坐标为4xx +1，分别过点D 、P 作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，如图1中：。
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2019-2020年中考数学试题分类汇编 二次函数1．（2015江苏苏州3分）若二次函数y =x 2+bx 的图像的对称轴是经过点（2，0）且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2+bx=5的解为 A ．120,4x x == B ．121,5x x == C ．121,5x x ==- D ．121,5x x =-=【答案】D【分析】二次函数y =x 2+bx 的图像的对称轴是212b bx =-=-⨯， ∵对称轴过点（2，0），∴22b-=，即4b =-， 将b 值代入方程，得245x x -=，()()510x x -+=，∴11x =-，25x =故选D 。
【考点】二次函数对称轴；二元一次方程的解。
2．（2015江苏常州2分）已知二次函数y ＝2x ＋（m －1）x ＋1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，而m 的取值范围是A ．m ＝－1B ．m ＝3C ．m ≤－1D ．m ≥－1 【答案】D【分析】∵当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，∴对称轴在直线1x =左侧，即1121m --⨯≤，解得m ≥－1【考点】二次函数增减性，二次函数对称轴【点评】对二次函数的增减性一定要结合图像来记忆，请根据本题自己出类似的题目，争取把所有可能情况都列清楚，要做到举一反三，做一道题目会一类题目。
3．（2015江苏常州2分）二次函数y ＝－2x ＋2x －3图像的顶点坐标是____________． 【答案】（1 ，2-）【分析】方法一：根据二次函数顶点公式，（2ba-，244ac b a -），代入可得（1 ，2-）；方法二：()222312y x x x =-+-=---，∴顶点坐标为（1 ，2-）。
【考点】二次函数顶点公式；配方法解二次函数 【点评】这两种方法是中考常用方法，一定要熟记。
4.（2015江苏连云港3分）已知一个函数，当x ＞0时，函数值y 随着x 的增大而减小，请写出这个函数关系式 (写出一个即可）．【答案】2y x =-+【分析】此题是开放性题目，可写的函数关系式很多，比如一次函数y kx b =+，只要0k ＜都行，b 值随便写；二次函数2y=ax +c ，只要0a ＜都行，c 值随便写；反比例函数y=k x，0k ＞都行。
做题要举一反三，做一道会一类。
【考点】二次函数；一次函数；反比例函数5.二次函数322+-=x x y 的图像是顶点坐标是 。
【答案】（1,2）【分析】方法一（公式法）：顶点为（2b a-，244ac b a -），将1a =、2b =-、3c =代入，可得顶点坐标为（1,2）方法二（配方法）：()222312y x x x =-+=-+，∴顶点坐标为（1,2）。
【考点】二次函数6.（2015江苏淮安10分）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤。
通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤。
为了保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售。
（1）若将这种水果每斤的售价降低x 元，则每天的销售量是 斤（用含x 的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 【答案】解：（1）设每斤的售价降低x 元，每天销售量为201001002000.1xx ⨯+=+。
为了保障每天至少售出260斤，即100200x +260≥，∴0.8x ≥， ∴每天的销售量是100200x +（0.8≤x ＜2）斤。
（2）设张阿姨需将每斤的售价降低x 元，设其利润为W 元，根据题意得 ()()10020042W x x =+--=2200300200x x -++若=300W ，即2200300200x x -++=300，解得11x =，212x =（舍去）， ∴张阿姨需将每斤的售价降低1元。
【考点】二次函数应用题7. （2015江苏扬州12分）科研所计划建一幢宿舍楼，因为科研所实验中会产生辐射，所以需要有两项配套工程：①在科研所到宿舍楼之间修一条笔直的道路；②对宿舍楼进行防辐射处理，已知防辐射费y 万元与科研所到宿舍楼的距离x km 之间的关系式为：b x a y +=（0≤x ≤9）， 当科研所到宿舍楼的距离为1km 时，防辐射费用为720万元；当科研所到宿舍楼的距离为9km 或大于9km 时，辐射影响忽略不计，不进行防辐射处理，设每公里修路的费用为m 万元，配套工程费w =防辐射费+修路费（1）当科研所到宿舍楼的距离为x =9km 时，防辐射费y = 万元；=a ，=b （2）若每公里修路的费用为90万元，求当科研所到宿舍楼的距离为多少km 时，配套工程费最少？ （3）如果配套工程费不超过675万元，且科研所到宿舍楼的距离小于9km ，求每公里 修路费用m 万元的最大值【答案】解：（1）当x =9km 时，防辐射费y =0万元； ∴30a b += ①当x =1km 时，防辐射费y =720万元； ∴720a b += ② 联立①②解得3601080a b =-⎧⎨=⎩（2）设科研所到宿舍楼的距离为x km 时，配套工程费为w ，根据题意，得)2108090902720w x =-+=+2=即4x =时配套工程费最少，为720万元。
（3）1080675w mx =-+≤∴405mx ≤24051405360mx x -=-+≤=()360424059-=⨯-，即8116x =时方程取最大值，m 的最大值为16440536080819-⨯+⨯=。
∴每公里修路费用m 万元的最大值为80.【考点】二次函数应用题；不等式；整体思维8. （2015江苏南通10分）某网店打出促销广告：最潮新款服装30件，每件售价300元。
若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买1件，所买的每件服装的售价均降低3元。
已知该服装成本是每件200元。
设顾客一次性购买服装x 件时，该网店从中获利y 元。
（1）求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？ 【答案】解：（1）当010x ≤≤时，300200100y x x x =-=；当1030x ＜≤时，()23003102003130y x x x x x =---=-+⎡⎤⎣⎦综上，y 与x 的函数关系式为：2100 010 3130 1030x x y x x x ⎧=⎨-+⎩≤≤＜≤ （2）当010x ≤≤时，1000 y ≤；当1030x ＜≤时，23130y x x =-+，2213x =时y 取最大值， ∵x 为整数，根据抛物线的对称性，22x =时，y 有最大值1408. ∵1408＞1000，∴顾客一次性购买22件时，该网店从中获利最多。
【分析】当x 不能取顶点值时，越接近顶点越接近最值（包括最大值和最小值）。
【考点】二次函数应用；一次函数9．（2015江苏南京10分）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．下图中的折线ABD 、线段CD 分别表示该产品每千克生产成本y 1(单位：元)、销售价y 2(单位：元)与产量x (单位：kg )之间的函数关系．(1)请解释图中点D 的横坐标、纵坐标的实际意义． (2)求线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数表达式．(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】解：（1）点D 的横坐标、纵坐标的实际意义为：当产量为130kg 时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元。
/kgy /（第27题）（2）设线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数表达式为111y k x b =+， ∵AB 过点A （0 ，60）和B （90 ，42）.∴111609042b k b =⎧⎨+=⎩，解得110.260k b =-⎧⎨=⎩y 1与x 之间的函数表达式为10.260y x =-+（090x ≤≤） （3）设2y 与x 之间的函数表达式为222y k x b =+，∵222y k x b =+的函数图象过点C （0 ，120）和D （130 ，42）.∴22212013042b k b =⎧⎨+=⎩，解得220.6120k b =-⎧⎨=⎩2y 与x 之间的函数表达式为20.6120y x =-+（0130x ≤≤） 设该产品产量为x 时，获得的利润为W ，当090x ≤≤时，()()()2W=0.61200.2600.4752250x x x x -+--+=--+⎡⎤⎣⎦， ∴当75x =时，W 值最大，最大值为2250元。
当90130x ≤≤时，()()2W=0.6120420.6652535x x x -+-=--+⎡⎤⎣⎦， 在该区间内，W 随x 的增大而减小，所以当90x =时，W 值最大，最大值为()2W=0.690652535--+=2160.∴当该产品产量为75kg 时，获得的利润最大，最大利润为2250万元。
【考点】二次函数应用；二次函数最值，二元一次方程组 10．（2015江苏无锡10分）一次函数34y x =的图象如图所示，它与二次函数24y ax ax c =-+的图象交于A 、B 两点（其中点A 在点B 的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C ． （1）求点C 的坐标；（2）设二次函数图象的顶点为D ．①若点D 与点C 关于x 轴对称，且△ACD 的面积等于3，求此二次函数的关系式； ②若CD =AC ，且△ACD 的面积等于10，求此二次函数的关系式．【答案】解：（1）∵()22424y ax ax c a x a c =-+=--+，∴二次函数图象的对称轴为直线x =2，∵一次函数34y x =的图象与对称轴交于点C ， ∴C 点横坐标为2，当2x =时，3332442y x ==⨯=，故点C （2，32）；（2）①∵点D 与点C 关于x 轴对称，∴D（2，32-）， ∴CD=3，设A （m ，34m ）（m ＜2）， 由S △ACD =3得：()13232m ⨯⨯-=，解得m=0， ∴A（0，0）．由A （0，0）、D （2，32-）得： 0342c a c =⎧⎪⎨-+=-⎪⎩，解得：a=38，c=0． ∴二次函数的关系式为23382y x x =-； ②设A （m ，34m ）（m ＜2），过点A 作AE⊥CD 于E ，则AE=2m -，CE=3324m -， ()()222233522244AE CE m m m ⎛⎫+=-+-=- ⎪⎝⎭，∵CD=AC，∴CD=()524m -， 由S △ACD =10得()()()21155222102248ACD S CD AE m m m ∆==⨯-⨯-=-=，解得：2m =-或6m =（舍去）， ∴2m =-， ∴A（2-，32-），CD=5， 当a ＞0时，则点D 在点C 下方，∴D（2，72-）， 由A （2-，32-）、D （2，72-）得：3122742a c a c ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-+=-⎪⎩ ，解得183a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∴211382y x x =--； 当a ＜0时，则点D 在点C 上方，∴D（2，132）， 由A （2-，32-）、D （2，132）得：31221342a c a c ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ ，解得1292a c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴219222y x x =-++。