数学精英解“平面向量”题

合集下载

平面向量专题练习(带答案详解)

平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练（附答案详解）一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$，$b=(1,1)$，则 $a\cdot b$ 等于（）A。

3 B。

2 C。

1 D。

02.已知向量 $a=(1,-2)$，$b=(2,x)$，若 $a//b$，则 $x$ 的值是（）A。

-4 B。

-1 C。

1 D。

43.已知向量 $a=(1,1,0)$，$b=(-1,0,2)$，且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）A。

1 B。

5/3 C。

3/5 D。

7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$，$AC=BC=2$，点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $BP=2PA$，那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于（）A。

-4 B。

-2 C。

2 D。

45.设 $a,b$ 是非零向量，则 $a=2b$ 是成立的（）A。

充分必要条件 B。

必要不充分条件 C。

充分不必要条件 D。

既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$，$b+c=4$，$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点，则 $AE\cdot AF$ 的最小值为（）A。

$\frac{8}{3}$ B。

$\frac{26}{9}$ C。

$\frac{2}{3}$ D。

$3$7.若 $a=2$，$b=2$，且 $a-b\perp a$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。

$\frac{\pi}{6}$ B。

$\frac{\pi}{4}$ C。

$\frac{\pi}{3}$ D。

$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$，$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$，且 $a\perp (a-kb)$，则实数 $k$ 的值为（）A。

18 B。

人教A版高中数学必修第二册6.2平面向量的运算经典例题及课后练习题

6.2 平面向量的运算复习巩固1. 如果a 表示“向东走10km ”， b 表示“向西走5km ”， c 表示“向北走10km ”， d 表示“向南走5km ”，那么下列向量具有什么意义？（1）a a +；（2）a b +；（3）a c +；（4）b d +；（5）b c b ++；（6）d a d ++. 【答案】（1）向东走20km ；（2）向东走5km ；（3）向东北走；（4）向西南走；（5）向西北走；（6）向东南走. 【分析】由向量加法及其几何意义和位移的关系可得.【详解】由题意知：a 表示“向东走10km ”， b 表示“向西走5km ”， c 表示“向北走10km ”，d 表示“向南走5km ”（1）a a +r r表示“向东走20km ” （2）a b +表示“向东走5km ”（3）a c +表示“向东北走”（4）b d +r u r表示“向西南走”（5）b c b ++表示“向西北走”（6）d a d ++表示“向东南走”2. 一架飞机向北飞行300km ，然后改变方向向西飞行400km ，求飞机飞行的路程及两次位移的合成.【答案】飞机飞行的路程为700km ；两次位移的合成是向北偏西约53°方向飞行500km . 【分析】由向量的加减运算，即可得出结论.【详解】由向量的加减运算可知：飞机飞行的路程是700km ；两次位移的合成是向北偏西约53°，方向飞行500km .3. 一艘船垂直于对岸航行，航行速度的大小为16/km h ，同时河水流速的大小为4/km h 求船实际航行的速度的大小与方向（精确到l °）.【答案】，方向与水流方向成76°角【分析】利用向量的加法运算，模的运算，勾股定理，即可得出结论.【详解】设船的航行速度为1v ，水流速度为2v ，船的实际航行速度为v ，v 与2v 的夹角为α，则||416//)v km km h === 由16tan 44α==，得76α︒≈.船实际航行的速度的大小为，方向与水流方向成76°角. 4. 化简：（1）AB BC CA ++；（2） ()AB MB BO OM +++；（3）OA OC BO CO +++；（4）AB AC BD CD -+-；（5）OA OD AD -+；（6）AB AD DC --；（7）NQ QP MN MP ++-. 【答案】（1）0.（2）AB （3）BA .（4）0（5）0（6）CB .（7）0 【分析】根据平面向量的加法与减法的运算法则，对每一个小题进行化简计算即可. 【详解】解：（1）原式0AC AC =-=.（2）原式AB BO OM MB AB =+++= （3）原式OA OC OB OC BA =+--=.（4）原式0AB BD DC CA =+++=（5）原式0OA AD DO =++=（6）原式()AB AD DC AB AC CB =-+=-=.（7）原式0MN NQ QP PM =+++= 5. 作图验证：（1）11()()22a b a b a ++-=（2）11()()22a b a b b +--= 【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】根据向量的平行四边形法则，画图验证即可.【详解】解：如图，在平行四边形ABCD 中，设,A B a A D b ==，则11(),()22AO a b OB a b =+=-.（1）因为AO OB AB +=，所以11()()22a b a b a ++-=（2）因为AO OB AO BO AO OD AD -=+=+=，所以11()()22a b a b b +--=6. （1）已知向量a ,b ,求作向量c ，使0a b c ++=. （2）（1）中表示a ,b ,c 的有向线段能构成三角形吗？【答案】（1）见解析.（2）当a ，b 共线时，不能构成三角形，当a ，b 不共线时能构成三角形. 【分析】作平行四边形OADB ，使得OA a =，OB b =，可得a b OD +=，由于0a b c ++=，可得OD c OC =-=-，或作ABC ∆，使得AB a =，BC b =，CA c =，即可得出.【详解】（1）方法一：如图所示，当向量a ,b 两个不共线时，作平行四边形OADB ，使得OA a =，OB b =，则a b OD +=，又0a b c ++=，所以0OD c +=，即OD c OC =-=-，方法二：利用向量的三角形法则，如下图：作ABC ∆，使得AB a =，BC b =，CA c =，则0AB BC CA ++=，即0a b c ++=，当向量a ,b 两个共线时，如下图：使得AB a =，BC b =，DE c =则AB BC a b +=+，()DE a b =-+，所以，0AB BC DE ++=，即0a b c ++=.（2）向量a ,b 两个不共线时，表示a ,b ,c 的有向线段能构成三角形，向量a ,b 两个共线时，a ,b ,c 的有向线段不能构成三角形. 7. 已知a ，b 为两个非零向量，（1）求作向量,a b a b +-；（2）当向量a ，b 成什么位置关系时，满足a b a b +=-？（不要求证明）【答案】（1）见解析.（2）a b ⊥r r【分析】根据向量的三角形法则，作出图象即可.【详解】（1）当向量a ,b 两个不共线时，作ABC ∆，使得AB a =，BC b =，AC c =，DB d =，所以a b AC c +==，a b DB d -==当向量a ,b 两个同向且共线时，作AB a =，BC b =，AC c =，所以a b AC c +==，a b AD d -==当向量a ,b 两个反向且共线时，作AB a =，BC b =，AC c =，所以a b AC c +==，a b AD d -==，（2）当a b ⊥时，满足a b a b +=-，如图，作矩形ABCD ，作AB a =，AD b =，所以，AC a b =+，DB a b =-. 8. 化简：（1）()()522423a b b a -+-；（2）()()634a b c a b c -+--+-；（3）()()113256923a b a a b ⎡⎤-+--⎢⎥⎣⎦；（4）()()()()x y a b x y a b -+---.【答案】（1）22a b --；（2）102210a b c -+；（3）132a b +；（4）2()x y b -【分析】根据平面向量的线性运算法则，对每一个小题进行计算即可．【详解】（1）()()522423101081222a b b a a b b a a b -+-=-+-=--.（2）()()6346186444102210a b c a b c a b c a b c a b c -+--+-=-++-+=-+.（3）()()()()1115113256932693232262a b a a b a b a a b a b ⎡⎤-+--=-+--=+⎢⎥⎣⎦.（4）()()()()()()()2x y a b x y a b x y x y a x y x y b x y b -+---=--++-+-=-. 9. 11,33AM AB AN AC ==.求证13MN BC =.。

平面向量经典例题30道

平面向量经典例题30道一、选择题1.已知|→a| = 3, |→b| = 2, 向量→a 和→b 的夹角为π/3，则→a · →b= A. 3 B. √3 C. -3 D. -√32.已知|→a| = 1, |→b| = 2, →a 与→b 的夹角为π/2，若→a - →b 与→a垂直，则→a 与→b 的夹角为 A. π/6 B. π/4 C. π/3 D. π/23.已知|→a| = 1, |→b| = 2, →a 与→b 的夹角为π/4，若→a - λ→b 与→a +→b 共线，则实数λ 的值为A. -1/2 B. 1/2 C. -√2/4 D. √2/44.已知|→a| = 1, |→b| = 2, 向量→a 与→b 的夹角为π/4，若(→a +→b) · (→a - λ→b) = 0，则实数λ 的值为A. -1 B. 1 C. -√2 D. √25.已知|→a| = 1, |→b| = 2, 向量→a 与→b 的夹角为π/3，若(→a +→b) · (→a - →b) = 0，则实数λ 的值为A. -1 B. 1 C. -√2 D.√26.已知向量a = (-2, 3)，b = (1, -1)，若a 与b 的夹角为钝角，则a · b 等于( ) A. -4 B. -2 C. 0 D. 27.若平面向量a，b 满足|a| = 1，|b| = 2，且向量a，b 的夹角为π/4，若 a - λb 与 b 垂直，则实数λ 的值为( ) A. -1/2 B. 1/2 C. -√2/4 D.√2/48.已知F1，F2 是椭圆C：(x^2)/9 + (y^2)/4 = 1 的两个焦点，P 是C 上一点，且与F1，F2 在同一直线上，若|PF1| × |PF2| = 12，则P 到椭圆C 的两个焦点的距离之和为( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 129.已知a = ，b = (-1, 1)，若a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( ) A. (0, +∞) B. (0, 1) ∪ (1, +∞) C. (-∞, 0) ∪ (0, +∞) D. (-∞, 0) ∪(1, +∞)10.已知向量a = (-2, 4)，b = (-1, 2)，若向量a - λb 与b 共线，则实数λ 的值为_______．11.已知向量a = (-2, 3)，b = (λ, 2)，若a 与b 的夹角为锐角，则λ 的取值范围是_______．12.已知向量a = (-2, 3)，b = (-4, 1)，若a 与b 的夹角为锐角，则实数m的取值范围是_______．13.已知向量a = (-2, 1)，b = (λ, 2)，若a 与b 的夹角为锐角，则λ 的取值范围是_______．14.在△ABC中，AB = (-1, 1)，AC = (2, 3)，则∠BAC = _______（用反三角函数的值表示）15.在△ABC中，AB = (-4, 3)，AC = (1, 2)，则BC = _______16.在△ABC中，AB = (-4, 3)，AC = (-1, 2)，且AB⊥AC，则BC = _______17.在△ABC中，AB = (2, -1)，AC = (-4, 3)，则BC = _______18.在△ABC中，AB = (3, -4)，AC = (-2, 3)，则BC = _______19.若点P 在直线l₁：x - 2y - 3 = 0 和直线l₂：3x + y - 1 = 0 的夹角平分线上，则点P 到直线l₃：x + 2y - 5 = 0 的距离为_______．20.已知等差数列{an} 中，a₁ = -1，且a₁，a₂，a₃ 三项及格率为5/4，若an= λ(n为正整数)，则实数λ 的取值集合为_______．二、填空题21.已知|→a| = 3, |→b| = 4, 向量→a 与→b 的夹角为π/4，则→a · _______ = 9√2．22.已知|→a| = 2, |→b| = 4, 向量→a 与→b 的夹角为π/6，则_______ =(√3 + 1)/4．23.已知|→a| = 1, |→b| = 2, 向量→a 与→b 的夹角为π/4，若_______ =(-√5)/5，则实数λ 的值为_______．24.若|→a| = 1, |→b| = 2, 向量→a 与→b 的夹角为π/4，则_______ =_______．25.若|→a| = 1, |→b| = 2, 向量→a 与→b 的夹角为π/4，则_______ =_______．三、解答题26.若|→a| = 3, |→b| = 5, 向量→a 与→b 的夹角为π/6，求向量→a 在向量→b 上的投影．27.若|→a| = 1, |→b| = 2, 向量→a 与→b 的夹角为π/3，求(→a +→b) · (→a - λ→b)．28.若|→a| = 1, |→b| = 2, 向量→a 与→b 的夹角为π/4，求(→a +λ→b) · (→a - λ→b)．29.若|→a| = 1, |→b| = 2, 向量→a 与→b 的夹角为π/6，求(→a +λ→b) · (→a - λ→b)．30.已知|a| = 1, |b| = 2, a与b的夹角为π/3, 若a - λb与b垂直，求实数λ的值．31.在△ABC中，AD为BC边上的中线，G为AD上靠近D的三等分点，若(1/2AB) · (AC - GC) = 0 ( ·表示向量的数量积)，求AG与BC边的夹角．32.在△ABC中，AB = AC = 2, 点D在BC上，且BD = DC, E,F分别是AB,AC上的点，且AE/EB = AF/FC = 1/2, AD与EF交于点G, 求向量EF ·向量AD 的值．33.若点A(x,y)在圆x²+y²=4上运动时，点B(x-3,y-4)也在圆上运动，求线段AB中点M的轨迹方程．34.在△ABC中，D是BC的中点，E、F分别在AB、AC上，且EF平行于BC，AD与EF交于点M，BD=CD=1,AD=3,求向量EF ·向量BC．。

平面向量练习题及答案

平面向量练习题及答案平面向量练习题及答案在数学学科中，平面向量是一个非常重要的概念。

它不仅在几何学中有广泛的应用，还在物理学、工程学等领域中发挥着重要的作用。

掌握平面向量的基本概念和运算法则对于解决各种实际问题具有重要意义。

本文将为大家提供一些平面向量练习题及答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一概念。

1. 题目：已知向量a = (3, -2)和向量b = (-1, 4)，求向量a + b的结果。

解答：向量a + b的结果可以通过将向量a和向量b的对应分量相加得到。

所以，向量a + b = (3 + (-1), -2 + 4) = (2, 2)。

2. 题目：已知向量a = (2, -5)和向量b = (4, 3)，求向量a - b的结果。

解答：向量a - b的结果可以通过将向量a和向量b的对应分量相减得到。

所以，向量a - b = (2 - 4, -5 - 3) = (-2, -8)。

3. 题目：已知向量a = (3, -2)和向量b = (-1, 4)，求向量a与向量b的数量积。

解答：向量a与向量b的数量积可以通过将向量a和向量b的对应分量相乘，并将结果相加得到。

所以，向量a与向量b的数量积为3*(-1) + (-2)*4 = -3 - 8 = -11。

4. 题目：已知向量a = (2, -5)，求向量a的模长。

解答：向量a的模长可以通过计算向量a的坐标分量的平方和的平方根得到。

所以，向量a的模长为√(2^2 + (-5)^2) = √(4 + 25) = √29。

5. 题目：已知向量a = (3, -2)和向量b = (-1, 4)，求向量a与向量b的夹角的余弦值。

解答：向量a与向量b的夹角的余弦值可以通过计算向量a与向量b的数量积与向量a和向量b的模长的乘积的商得到。

所以，向量a与向量b的夹角的余弦值为(-11) / (√(3^2 + (-2)^2) * √((-1)^2 + 4^2)) = -11 / (√13 * √17)。

全国通用2023高中数学必修二第六章平面向量及其应用经典大题例题

全国通用2023高中数学必修二第六章平面向量及其应用经典大题例题单选题1、已知向量a ⃗,b ⃗⃗满足|a ⃗|=2，|b ⃗⃗|=3，|a ⃗−2b ⃗⃗|=2√13则a ⃗与b ⃗⃗的夹角为（） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6 答案：C分析：先对|a ⃗−2b ⃗⃗|=2√13平方，代入已知条件整理得a ⃗⋅b ⃗⃗=−3，再利用数量积公式可求得. ∵|a ⃗−2b ⃗⃗|=2√13，∴|a ⃗−2b ⃗⃗|2=a ⃗2−4a ⃗⋅b ⃗⃗+4b ⃗⃗2=52，又|a ⃗|=2，|b ⃗⃗|=3，∴a ⃗⋅b ⃗⃗=−3，设a ⃗与b ⃗⃗的夹角为θ， ∴cosθ=a ⃗⃗⋅b ⃗⃗|a ⃗⃗||b ⃗⃗|=−12，从而θ=2π3，所以a ⃗与b⃗⃗的夹角θ=2π3. 故选：C2、向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(7,−5)，将AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 按向量a =(3,6)平移后得到向量A ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则A ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标形式为（） A ．(10,1)B ．(4,−11) C ．(7,−5)D ．(3,6) 答案：C分析：由向量平移可知，A ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同且长度相等，即可得A ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标. 因为平移后，A ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同且长度相等，故A ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(7,−5). 故选：C3、在正方形ABCD 中，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（） A ．BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B ．DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C ．AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D ．DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案：C分析：根据平面向量加减运算法则计算可得.解：BC⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选：C.4、定义空间两个向量的一种运算a⊗b⃗=|a|⋅|b⃗|sin⟨a ,b⃗⟩，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）A．λ(a⊗b⃗)=(λa)⊗b⃗B．(a⊗b⃗)⊗c=a⊗(b⃗⊗c)C．(a+b⃗)⊗c=(a⊗c)+(b⃗⊗c)D．若a=(x1,y1)，b⃗=(x2,y2)，则a⊗b⃗=|x1y2−x2y1|答案：D分析：A．按λ的正负分类讨论可得，B．由新定义的意义判断，C．可举反例说明进行判断，D．与平面向量的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断．A．(λa )⊗b⃗=|λa||b⃗|sin<λa ,b⃗>，λ>0时，<λa ,b⃗>=<a ,b⃗>，(λa )⊗b⃗=λ|a||b⃗|sin<a ,b⃗>=λ(a⊗b⃗)，λ=0时，λ(a⊗b⃗)=0,(λa)⊗b⃗=0，成立，λ<0时，<λa ,b⃗>=π−<a ,b⃗>，sin<λa ,b⃗>=sin(π−<a ,b⃗>)=sin<a ,b⃗>(λa )⊗b⃗=−λ|a||b⃗|sin<a ,b⃗>=−λ(a⊗b⃗)，综上，A不恒成立；B．a⊗b⃗是一个实数，(a⊗b⃗)⊗c无意义，B不成立；C．若a=(0,1),b⃗=(1,0)，c=(1,1)，则a+b⃗=(1,1)，<a+b⃗,c>=0，(a+b⃗)⊗c=|a+b⃗||c|sin0=√2×√2×0=0，<a ,c>=π4,<b⃗,c>=π4，(a⊗c)+(b⃗⊗c)=1×√2×sinπ4+1×√2×sinπ4=2，(a+b⃗)⊗c≠(a⊗c)+(b⃗⊗c)，C错误；D．若a=(x1,y1)，b⃗=(x2,y2)，则|a|=√x12+y12，|b⃗|=√x22+y22，cos<a ,b⃗>=1212√x1+y1×√x2+y2，sin <a ,b ⃗ >=√1−cos 2<a ,b⃗ >=√1−(x 1x 2+y 1y 2)2(x 12+y 12)(x 22+y 22)=1221√(x 1+y 1)(x 2+y 2)，所以a ⊗b ⃗ =|a ||b ⃗ |sin <a ,b ⃗ >=|x 1y 2−x 2y 1|，成立．故选：D ．小提示：本题考查向量的新定义运算，解题关键是理解新定义，并能运用新定义求解．解题方法一种方法是直接利用新定义的意义判断求解，另一种方法是把新定义与向量的数量积进行联系，把新定义中的sin <a ,b ⃗ >用cos <a ,b⃗ >，而余弦可由数量积进行计算． 5、若z(1+i 3)=i ，则在复平面内复数z 对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B分析：先利用复数的除法化简，再利用复数的几何意义判断. 因为z(1−i )=i ，所以z =i 1−i=i (1+i )2=−1+i 2，故z 对应的点位于复平面内第二象限．故选：B ．6、已知菱形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 为AO 的中点，若AB =2，∠BAD =60°，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=（） A ．−2B ．−12C ．−72D ．12 答案：B分析：根据题意,以对角线交点为坐标原点，对角线所在直线为x,y 轴建立直角坐标系,利用坐标法求解. 解：如图，以点O 为坐标原点，OD,OA 所在直线为x,y 轴建立平面直角坐标系，由AB =2，∠BAD =60°，所以A(0,√3)，B(−1,0)，D(1,0)，E(0,√32)，所以AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,−√3),DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,√32)，所以AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1−32=−12. 故选：B小提示：本题考查向量的数量积运算，解题的关键在于根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标法求解，考查运算求解能力，是中档题.7、已知向量a ，b ⃗ 满足|a |=√3，|b ⃗ |=2，且a ⊥(a −b ⃗ )，则a 与b ⃗ 的夹角为（） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：A分析：利用数量积的定义，即可求解.解：a ⊥(a −b ⃗ ),所以a ⋅(a −b ⃗ )=0,即|a →|2−|a →||b →|cos <a →,b →>=0，解得cos <a →,b →>=√32,又因为向量夹角的范围为[0°,180°]，则a 与b ⃗ 的夹角为30°，故选：A.8、“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为36°的等腰三角形，暂且称为“黄金三角形A ”．如图所示，已知五角星是由5个“黄金三角形A ”与1个正五边形组成，其中sin18°=√5−14，则阴影部分面积与五角形面积的比值为（）．A ．√5−14B ．√55C ．√5+16D ．3√520答案：B分析：在三角形ABC 中，由sin18°值，可得BCAC =√5−12，即BD AB=√5−12，设△ABC 的面积为x ，由此可知△BCD 和△CEF 的面积均为√5−12x ，△CDE 的面积为x ，由此即可求出结果.如图所示，依题意，在三角形ABC 中，sin18°=BC2AC=√5−14，故BC AC=√5−12；所以BD AB=√5−12，设△ABC 的面积为x ，则△BCD 面积为√5−12x ，同理△CEF 的面积为√5−12x ， △CDE 的面积为x ，则阴影部分面积与五角形面积的比值为2x+2⋅√5−12x 2⋅√5−12x+6x=√55. 故选：B ．9、△ABC 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知b 2+c 2−a 2=bc ，则A =（）A ．π6B ．5π6C ．π3D ．2π3 答案：C分析：利用余弦定理求出cosA ，再求出A 即可. ∵b 2+c 2−a 2=bc ,∴cosA =b 2+c 2−a 22bc=bc 2bc=12，∵0<A <π，∴A =π3.故选：C10、在△ABC 中，已知AB =6，AC =2，且满足DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若线段CD 和线段BE 的交点为P ，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(CA⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=（）. A ．3B ．4C ．5D ．6 答案：B分析：待定系数法将AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 向量分解，由平面向量共线定理求出系数，然后代回原式计算设AP⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3xAD ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵D ，P ，C 三点共线，∴3x +y =1①，由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ 知AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2yAE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵B ，P ，E 三点共线，∴x +2y =1②，由①②得：x =15.y =25，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =15AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，而CA⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(15AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=15(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=15×(62−4×22)=4 故选：B 填空题11、设向量a ，b ⃗ 的夹角的余弦值为13，且|a |=1，|b ⃗ |=3，则(2a +b⃗ )⋅b ⃗ =_________．答案：11分析：设a 与b ⃗ 的夹角为θ，依题意可得cosθ=13，再根据数量积的定义求出a ⋅b⃗ ，最后根据数量积的运算律计算可得．解：设a 与b ⃗ 的夹角为θ，因为a 与b⃗ 的夹角的余弦值为13，即cosθ=13，又|a |=1，|b ⃗ |=3，所以a ⋅b ⃗ =|a |⋅|b⃗ |cosθ=1×3×13=1，所以(2a +b ⃗ )⋅b ⃗ =2a ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=2a ⋅b⃗ +|b ⃗ |2=2×1+32=11．所以答案是：11．12、已知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=10,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=7,，则|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围为______．答案：[3,17]分析：由题可得|CB⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，利用||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |−|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||≤|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |即可求解. 因为CB⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，又||AB⃗⃗⃗⃗⃗ |−|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||≤|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，即3≤|AB⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤17，即3≤|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤17. 所以答案是：[3,17].13、如图，圆O 是半径为1的圆，OA =12，设B ，C 为圆上的任意2个点，则AC →⋅BC →的取值范围是___________.答案：[−18,3]分析：连接OA ，OB ，设D 是线段BC 的中点，连接OD ，则有OD ⊥BC .设θ为OA →和BC →的夹角.求出 AC →⋅BC →=12|BC →|2−12|BC →|cosθ,利用二次函数即得解.解：连接OA ，OB ，设D 是线段BC 的中点，连接OD ，则有OD ⊥BC . 设θ为OA →和BC →的夹角.则AC →⋅BC →=(OC →−OA →)⋅BC →=OC →⋅BC →−OA →⋅BC →=|OC →|⋅|BC →|⋅cos∠BCO −|OA →|⋅|BC →|⋅cosθ =12|BC →|2−12|BC →|cosθ，12|BC →|2−12|BC →|cosθ≥12|BC →|2−12|BC →| =12(|BC →|−12)2−18，（当cosθ=1即θ=0时取等）因为|BC →|∈[0,2]，所以当|BC →|=12时，AC →⋅BC →有最小值−18.12|BC →|2−12|BC →|cosθ≤12|BC →|2+12|BC →| =12(|BC →|+12)2−18，（当cosθ=−1即θ=π时取等）当|BC →|=2时，12|BC →|2+12|BC →|有最大值为3，即AC →⋅BC →有最大值3，所以AC →⋅BC →的取值范围是[−18,3]. 所以答案是：[−18,3]小提示：关键点睛：解答本题的关键是利用向量的运算建立函数模型AC →⋅BC →=12|BC →|2−12|BC →|cosθ，再利用二次函数的图象和性质求解. 解答题14、已知正方形ABCD 的边长为1．E 是AB 上的一个动点，求DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值及DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值．答案：1，最大值为1．分析：建立如图所示的平面直角坐标系，设E (x 0,0)，得到向量的坐标，利用向量数量积的运算公式，即可求解. 如图所示，建立如图所示的平面直角坐标系，则CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1)，设E (x 0,0)，其中0≤x 0≤1，则DE⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,−1)，所以DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，又由DC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，所以DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 0，而0≤x 0≤1，所以DE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为1．所以答案是：1； 1.15、在平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b⃗ ，（1）如图1，如果E ，F 分别是BC ，DC 的中点，试用a ,b ⃗ 分别表示BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ . （2）如图2，如果O 是AC 与BD 的交点，G 是DO 的中点，试用a ,b ⃗ 表示AG ⃗⃗⃗⃗⃗ . 答案：（1）BF ⃗⃗⃗⃗⃗ −12a +b ⃗ ，DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −12b ⃗ （2）AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =14a +34b ⃗ . 分析：（1）利用平面向量基本定理，结合平面向量线性运算性质、平行四边形的性质进行求解即可；（2）利用平面向量基本定理，结合平面向量线性运算性质、平行四边形的性质进行求解即可.（1）BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a +b⃗ ， DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −12b ⃗ ；（2）AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +14DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =14a +34b ⃗ .。

初中数学解题技巧迅速解决复杂的平面向量题目

初中数学解题技巧迅速解决复杂的平面向量题目平面向量作为初中数学中的重要内容之一，在解题过程中可能会遇到一些较为复杂的题目。

本文将介绍一些解题技巧，帮助同学们快速解决这些复杂的平面向量题目。

一、快速计算向量的模和方向在解决平面向量题目时，经常需要计算向量的模和方向。

为了方便计算，我们可以使用平面向量的坐标表示法。

假设有一个向量AB，设点A的坐标为(A₁, A₂)，点B的坐标为(B₁, B₂)，则向量AB的坐标表示为(B₁ - A₁, B₂ - A₂)。

通过坐标表示法，我们可以快速计算向量的模和方向。

向量的模可以通过使用勾股定理计算得到，即向量的模为√((B₁ -A₁)² + (B₂ - A₂)²)。

向量的方向可以通过使用反正切函数计算得到，即向量的方向为arctan((B₂ - A₂) / (B₁ - A₁))。

二、夹角的计算在解决平面向量题目时，有时需要计算向量之间的夹角。

我们可以使用向量的点积来计算夹角。

设有两个向量A和B，它们的夹角记为θ，则有cosθ = (A·B) / (|A|·|B|)。

通过这个公式，可以快速计算出向量之间的夹角。

三、向量共线与共面判断在解决平面向量题目时，有时需要判断向量是否共线或共面。

可以通过计算向量的比值来判断。

1. 共线判断：如果向量A与向量B共线，那么它们的对应坐标之间的比值应该相等。

即 (B₁/A₁) = (B₂/A₂) = k。

如果向量A与向量B共线，那么我们可以通过求两个坐标之间的比值，判断出它们是否共线。

2. 共面判断：如果向量A、B和向量C共面，那么向量A与向量B的叉积与向量A与向量C的叉积应该平行。

即A×B = λ(A×C)，其中λ是一个实数。

通过判断两个向量的叉积是否平行，我们可以判断出它们是否共面。

四、平面向量的运算在解决平面向量题目时，有时需要进行向量的运算。

以下是一些常见的向量运算规则：1. 向量的加法：设有向量A和向量B，它们的和记为A + B。

平面向量50道解答题

平面向量练习题1．设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．（1）试求向量2AB ＋AC 的模；（2）试求向量与的夹角；（3）试求与垂直的单位向量的坐标．2.已知向量a =(θθcos ,sin )（R ∈θ）,b =(3,3)（1）当θ为何值时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底（2）求|a －b |的取值范围3．已知向量a 、b 是两个非零向量，当a +t b (t ∈R)的模取最小值时，（1）求t 的值（2）已知a 、b 共线同向时，求证b 与a +t b 垂直4. 设向量)2,1(),1,3(-==，向量OC 垂直于向量OB ，向量BC 平行于OA ，试求OD OC OA OD ,时=+的坐标.5.将函数y=－x 2进行平移，使得到的图形与函数y=x 2－x －2的图象的两个交点关于原点对称.(如图)求平移向量a 及平移后的函数解析式.6.已知平面向量).23,21(),1,3(=-=若存在不同时为零的实数k 和t,使.,,)3(2t k t ⊥+-=-+=且（1）试求函数关系式k =f （t ）（2）求使f （t ）>0的t 的取值范围.7．已知向量 = , 求向量b ，使|b |=2| |，并且与b 的夹角为。

（10分）8、已知平面上3个向量、b 、的模均为1，它们相互之间的夹角均为120。

(1) 求证：( -b )⊥ ;(2)若|k +b + |>1 (k ∈R), 求k 的取值范围。

（12分）9．（本小题满分12分)已知e 1，e 2是两个不共线的向量，AB =e 1+e 2，=-λe 1-8e 2, =3e 1-3e 2,若A 、B 、D 三点在同一条直线上，求实数λ的值.10．某人在静水中游泳，速度为43公里/小时，他在水流速度为4公里/小时的河中游泳.(1)若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？(2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？11．（本小题满分12分）设向量OA =（3，1），OB =（-1，2），向量OB OC ⊥，BC ∥OA ，又+=，求。

高三数学平面向量基本定理试题答案及解析

高三数学平面向量基本定理试题答案及解析1.如图，四边形是边长为1的正方形，，点为内（含边界）的动点，设，则的最大值等于【答案】【解析】如图建立直角坐标系．三角形CDB中的点x,y满足不等式组．又因为．所以．将代入可得．由图可知，目标函数过点时在轴上的截距最大，即的最大值为．【考点】1．平面向量的基本定理．2．线性规划问题．3．构建坐标系解决向量问题．4．换元的思想．2.如图，△ABC中，在AC上取一点N，使得AN＝AC，在AB上取一点M，使得AM＝AB，在BN的延长线上取点P，使得NP＝BN，在CM的延长线上取点Q，使得＝λ时，＝，试确定λ的值．【答案】λ＝.【解析】∵＝－＝ (－)＝ (＋)＝，＝－＝＋λ，又∵＝，∴＋λ＝，即λ＝，∴λ＝.3.设平面向量，，若，则等于（）A．4B．5C．D．【答案】D【解析】平面向量，，且，所以，，选D.【考点】平面向量的坐标运算，平面向量的数量积、模.4.若非零向量满足//，且，则（）A．4B．3C．2D．0【答案】D【解析】非零向量//，若所以存在实数使得.又，所以.【考点】共线向量基本定理、向量的数量积5.在平面直角坐标系中，已知，，点在第一象限内，，且，若，则+的值是．【答案】【解析】根据平面向量基本定理，，，所以.【考点】平面向量基本定理.6.在中，是边的中点，角的对边分别是，若，则的形状为( )A．直角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰三角形但不是等边三角形【答案】C【解析】由题意知，∴，∴，又、不共线，∴∴.【考点】1.向量共线；2.判断三角形形状.7.已知向量，在同一平面内，若对于这一平面内的任意向量，都有且只有一对实数，使，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】对于平面内的任意向量，都有且只有一对实数，使，则与不共线，由于，，，解得.【考点】共线向量、平面向量的基底8.如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设与同方向的单位向量分别为，依题意有，又，，则，所以.故选C.【考点】平面向量的基本定理9.已知向量，且，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】若∥，则，求得，故选A.【考点】向量的平行运算.10.已知a、b是非零向量且满足(a－2b) ⊥a，(b－2a) ⊥b，则a与b的夹角是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：因为a、b是非零向量且满足(a－2b) ⊥a，(b－2a) ⊥b，则a与b的夹角是，选B11.已知向量，并且满足.则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】,.应选B.12.已知中，，为的外心，若点在所在的平面上，，且，则边上的高的最大值为．【答案】.【解析】取AC的中点为D，设的外接圆半径为R，则, 设的夹角为，则.又因为所以所以R的最小值为,所以h的最大值为.13.中，点在上，平分．若，，，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：因为中，点在上，平分,所以,14.如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合．若，则x ，y等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：由题意得，若设 AD=DC=1，则 AC=" 2" ，AB=2 2 ，BC=" 6" ，由题意知，△BCD中，由余弦定理得 DB2=DC2+CB2-2DC•CB•cos（45°+90°）=15.已知向量且，若数列的前项和为，且∥，则=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：因为，∥，所以16.如图，向量等于A．B．C．D．【答案】D【解析】本题考查平面向量基本定理，向量加法的平行四边形法则.如图：则故选D17.已知点在平面内，并且对空间任一点，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略18.若A、B、C、D是平面内任意四点，给出下列式子：①＋＝＋；②＋＝＋；③－＝＋.其中正确的有()A．0个 B．1个C．2个 D．3个【答案】C【解析】略分的比为_____19.已知点P分有向线段的比为3，则P1【答案】－【解析】略20.已知两点，，，则P点坐标是；【答案】【解析】略21.若向量 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】略22.设平面向量，则A．B．C．D．【答案】B【解析】略23.如图所示的方格纸中有定点，则A．B．C．D．【答案】C【解析】略24.设点P是三角形ABC内一点（不包括边界），且,,则的取值范围为（）A B C D【答案】B【解析】根据点P是△ABC内一点（不包括边界），向量加法的平行四边形法则得m，n的范围，据两点距离公式赋予几何意义，用线性规划求出最值．解：∵点P在△ABC内部，∴∵在直角坐标系mon内，表示平面区域内的点（m，n）到点（0，2）的距离．∴数形结合知（0，2）到（0，1）的距离最小，到（1，0）的距离最大∴最小距离为1，最大距离为=m2+（n-2）2的取值范围是（1，5）故答案选B25.已知和点M满足.若存在实数m使得成立，则m=（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】略26.在四面体O－ABC中，为BC的中点，E为AD的中点，则= （用表示）.【答案】【解析】在四面体O－ABC中，为BC的中点，E为AD的中点，则==27.已知和点M满足.若存在实数m使得成立，则m=A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】略28.已知，，为坐标原点，点在内，且，设，则实数等于（）A．B．C．D．3【答案】C【解析】设则，，所以，即。

数学精英解“平面向量”题

例象的解析式为 A.243cos 2-⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=x y B. 243cos 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=x y C. 2123cos 2-⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=x y D. 2123cos 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=x y 解答：看向量a =⎪⎭⎫ ⎝⎛-π-2,4的数据“符号”，指令图象左移和下移，按“同旁相减，异旁相加”的口诀，立可否定B 、C 、D.答案为A.【说明】口诀是经验的总结.直用口诀可不讲道理.沿向量a =(m,n)移动y=f(x)图象的结果是y-n=f(x-m) (同旁相减)或y=f(x-m)+n (异旁相加)2.（北京卷第4题）已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且++2=0，那么A ．= B.2= C.3= D.=2 解答：,2==+因此答案A.3.（湖南卷第4题）设，a b 是非零向量，若函数f （x ）=(x a +b )·(a -x b )的图象是一条直线，则必有（）A ．⊥a bB ．∥a bC ．||||=a bD ．||||≠a b解答： f (x )的图象是一直线，则f (x )是x 的一次式.而f (x )展开后有x 的二次-x 2a ·b ，故-a ·b=0⇒a ⊥b ，故选A.4.（全国卷Ⅰ第3题）已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b （）A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向解答：05665=⨯+⨯-，即a ·b =0. 答案为A.：8.（天津卷第10题）设两个向量22(2cos )λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，则m λ的取值范围是（）Ａ．[-6,1] Ｂ．[48]，Ｃ．[-1,1] Ｄ．[-1,6]解答：由题意知λ+2=2m ， ①α+=α-λsin 2cos 22m , ② 由①得.22mm -=λ 由①②得,3sin 2sin 4cos sin 294222-α+α-=-α+α=-m m∴-6≤4m 2-9m ≤-2. ∴41≤m ≤2. ∴]1,6[22-∈-=λm m 答案为A.1.（湖北卷第2题）将⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=63cos 2x y 的图象按向量a =⎪⎭⎫ ⎝⎛-π-2,4平移，则平移后所得图5.（浙江卷第7题）若非零向量，a b 满足+=a b b ，则（）Ａ．2>2+a a bＢ．22<+a a b Ｃ．2>+2b a b Ｄ．22<+b a b解答： +=a b b ,∴|a+b |2=|b |2,即(a+b )2=b 2,整理得a ·b =-21|a |2. ∴（|a +2b |-|2b |）2=a 2+4a ·b =-|a |2<0,∴|a +2b |<|2b |. 答案为C.6.（全国卷Ⅱ第5题）在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =CB CA λ+31,则λ= (A)32 (B)31 (C) -31 (D) -32 解答： 1222()33AD DB CD CA CB CD CD CA CB =⇒-=-⇒=+ ，故选A 【说明】本题在正常运算的情况下，基本不会出现错误，除非在马虎大意的情况下，将向量“移项”过程中没有变号.7．（全国卷Ⅱ第9题）把函数y =e x 的图象按向量a =(2,3)平移，得到y =f (x )的图象，则f (x )=(A) e x -3+2 (B) e x +3-2 (C) e x -2+3 (D) e x +2-3解答：按“左加右减，上加下减”法则和所给向量易知，答案为C.【说明】如果法则和向量平移问题连接不好，易选错为A 或B 或D.8.（天津卷第10题）设两个向量22(2cos )λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，则m λ的取值范围是（）Ａ．[-6,1] Ｂ．[48]，Ｃ．[-1,1] Ｄ．[-1,6]解答：由题意知λ+2=2m ， ①α+=α-λsin 2cos 22m , ② 由①得.22mm -=λ 由①②得,3sin 2sin 4cos sin 294222-α+α-=-α+α=-m m∴-6≤4m 2-9m ≤-2. ∴41≤m ≤2. ∴]1,6[22-∈-=λm m 答案为A.一、迎接客人(1)了解客人的姓名、国籍、身份。

平面向量习题及答案

平面向量习题及答案平面向量习题及答案引言：平面向量是高中数学中的重要内容之一，它在几何、代数和物理等领域中都有广泛的应用。

通过解决平面向量习题，我们可以加深对平面向量的理解，提高解题能力。

本文将介绍几个常见的平面向量习题，并给出详细的解答过程。

一、向量的加法和减法1. 已知向量a=2i+3j，b=4i-5j，求a+b和a-b。

解答：a+b=(2+4)i+(3-5)j=6i-2ja-b=(2-4)i+(3+5)j=-2i+8j2. 已知向量a=3i+2j，b=-i+4j，求2a-3b。

解答：2a-3b=2(3i+2j)-3(-i+4j)=6i+4j+3i-12j=9i-8j二、向量的数量积和向量积1. 已知向量a=2i+3j，b=-i+4j，求a·b和|a×b|。

解答：a·b=(2)(-1)+(3)(4)=-2+12=10|a×b|=|(2)(4)-(3)(-1)|=|8+3|=112. 已知向量a=3i+2j，b=4i-5j，求a×b的模长和方向角。

解答：a×b=(3)(-5)-(2)(4)=-15-8=-23|a×b|=|-23|=23设a×b与x轴正向的夹角为θ，则cosθ=(4)/√(4^2+(-23)^2)=4/√545θ≈84.3°三、向量的共线与垂直1. 已知向量a=2i+3j，b=-4i-6j，判断a和b是否共线。

解答：若a和b共线，则存在实数k，使得a=kb。

2i+3j=k(-4i-6j)2i+3j=-4ki-6kj2=-4k，3=-6k解得k=-1/2所以，a和b共线。

2. 已知向量a=2i+3j，b=-4i-6j，判断a和b是否垂直。

解答：若a和b垂直，则a·b=0。

a·b=(2)(-4)+(3)(-6)=-8-18=-26-26≠0所以，a和b不垂直。

结论：通过解答上述平面向量习题，我们可以巩固向量的加法、减法、数量积、向量积等基本概念和运算规则。

方法技巧专题26 平面向量(解析版)

方法技巧专题26 平面向量解析版【一】向量的概念1.例题【例1】给出下列结论：①数轴上相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等； ②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；③数轴上向量AB 的坐标是一个实数，实数的绝对值为线段AB 的长度，若起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数；④数轴上起点和终点重合的向量是零向量，它的方向不确定，它的坐标是0. 其中正确结论的个数是( ) A.1 B.2C.3D.4【答案】D【解析】①向量相等，则它们的坐标相等，坐标相等，则向量相等，①正确；②实数和数轴上的点是一一对应的关系，即有一个实数就有一个点跟它对应，有一个点也就有一个实数与它对应，②正确；③数轴用一个实数来表示向量AB ，正负决定其方向，绝对值决定其长度，③正确； ④数轴上零向量其起点和终点重合，方向不确定，大小为0，其坐标也为0，④正确. 【例2】下列命题中，正确的个数是（） ①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；③若a ，b 满足b a >且a 与b 同向，则a b >； ④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若a b b c ∥，∥，则a c ∥． A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A【解析】对于①，单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误；对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误；对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误；对于④，向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故④错误；对于⑤，0b =时，a b b c ∥，∥，，则a 与c 不一定平行．综上，以上正确的命题个数是0． 2.巩固提升综合练习【练习1】给出下列命题： ①若c b b a ==,则c a=；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则DC AB =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③b a==且b a //；④若c b b a //,//，则c a //；其中正确命题的序号是 . 【答案】①②【解析】①正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .②正确．∵DC AB ==且DC AB //，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，=且DC AB //，，因此，DC AB =.③不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件． ④不正确．考虑b ＝0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是①②.【二】平面向量的线性表示1.例题【例1】在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=EB （）A.AC AB 4143- B. AC AB 4341- C. AC AB 4143+ D. AC AB 4341+ 【解析】根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.【例2】在梯形ABCD 中，AB →＝3DC →，则BC →等于( )A ．－13AB →＋23AD → B ．－23AB →＋43AD → C.23AB →－AD → D ．－23AB →＋AD →【解析】在线段AB 上取点E ，使BE ＝DC ，连接DE ，则四边形BCDE 为平行四边形，则BC →＝ED →＝AD →－AE →＝AD →－23AB →；故选D.【例3】已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若()12AO AB AC =+则AB 与AC 的夹角为__________．【解析】由()12AO AB AC =+可得O 为BC 的中点，则BC 为圆O 的直径，即∠BAC ＝90°，故AB 与AC 的夹角为90°. 2.巩固提升综合练习【练习1】在正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE AB AC λμ=+，则λμ+的值为（） A ．12-B ．12C ．1-D ．1【答案】B【解析】由题得1111111122222222AE AD AC BC AC AC AB AC AB AC =+=+=-+=-+, 11,1,22λμλμ∴=-=∴+=.故选：B【练习2】已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足：OP →＝13⎪⎭⎫ ⎝⎛++OC OB OA 22121，则P 一定为△ABC 的( )A ．重心B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．AB 边中线的中点D ．AB 边的中点【解析】如图所示：设AB 的中点是E ，△O 是三角形ABC 的重心，OP →＝13⎪⎭⎫ ⎝⎛++C O B O A O 22121＝13()OE →＋2OC →，△2EO →＝OC →， △OP →＝13()4EO →＋OE →＝EO →，△P 在AB 边的中线上，是中线的三等分点，不是重心，故选B.【练习3】如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠===若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为（）A.2116B.32C.2516D.3【答案】A【解析】连接BD,取AD 中点为O,可知ABD △为等腰三角形，而,AB BC AD CD ⊥⊥，所以BCD 为等边三角形，BD =.设(01)DE tDC t =≤≤AE BE ⋅223()()()2AD DE BD DE AD BD DE AD BD DE BD DE DE =+⋅+=⋅+⋅++=+⋅+ =233322t t -+(01)t ≤≤ 所以当14t =时，上式取最小值2116，选A.【三】向量共线的应用1.例题【例1】设两个非零向量a 与b不共线．(1)若b a AB +=，b a BC 82+=，)(3b a CD-=，求证：D B A ,,三点共线；(2)试确定实数k ，使b a k +和b k a+共线．【答案】（1）见解析；（2）k ＝±1.【解析】(1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →，∴AB →，BD →共线．又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)假设k a ＋b 与a ＋k b 共线，则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0. 消去λ，得k 2－1＝0，∴k ＝±1.【例2】已知点()3,1A ，()1,4B -，则与向量AB 的方向相反的单位向量是（） A.43,55⎛⎫-⎪⎝⎭ B.43,55⎛⎫-⎪⎝⎭ C.34,55⎛⎫-⎪⎝⎭D.34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭1.共线向量定理：向量a (0≠a )与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得a b λ=2.平面向量共线定理的三个应用：3.求解向量共线问题的注意事项：（1）向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用；（2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线；（3）直线的向量式参数方程：B P A ,,三点共线OB t OA t OP +-=⇔)1((O 为平面内任一点，R t ∈)．【解析】(4,3)AB =-,∴向量AB 的方向相反的单位向量为4343(,)(,)5555||AB AB --=-=-，2.巩固提升综合练习【练习1】设P 是△ABC 所在平面内的一点，且CP →＝2P A →，则△P AB 与△PBC 的面积的比值是( )A.13B.12C.23D.34【解析】因为CP →＝2P A →，所以|CP →||P A →|＝21，又△P AB 在边P A 上的高与△PBC 在边PC 上的高相等，所以S △P AB S △PBC ＝|P A →||CP →|＝12.【练习2】设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________．【解析】因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．【四】平面向量基本定理及应用 1.例题【例1】如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若(,)DE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ+等于（）．A ．12-B ．12C ．1D ．1-【答案】A【解析】由平面向量基本定理，化简()11DE DA AE DA AC AD AB AD 44=+=+=-++ 13AB AD 44=-，所以13λ,μ44==-，即1λμ2+=-，【例2】在中，点满足，当点在射线（不含点）上移动时，若，则的取值范围为__________．【答案】【解析】因为点在射线（不含点）上，设，又，所以，所以，，故的取值范围.2.巩固提升综合练习【练习1】如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别在边CD 和BC 上，且DC →＝3 DE →，BC →＝3 BF →，若AC →＝mAE →＋nAF →，其中m ，n △R ，则m ＋n ＝________.【解析】由题设可得AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋13DC →＝AD →＋13AB →，AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋13AD →＝AB →＋13AD →，又AC→＝mAE →＋nAF →，故AC →＝mAD →＋13mAB →＋nAB →＋13nAD →＝(13m ＋n )AB →＋(m ＋13n )AD →，而AC →＝12(AB →＋AD →)，故⎩⎨⎧13m ＋n ＝12m ＋13n ＝12△m ＋n ＝32. 故应填答案32.ABC ∆D 34BD BC =E AD A AE AB AC λμ=+()221λμ++()1,+∞E AD A ,0AE k AD k =<34BD BC=()()33444kk AE k AB AD k AB AC AB AB AC ⎡⎤=+=+-=+⎢⎥⎣⎦4{34kk λμ==()2222295291114168510k t k k λμ⎛⎫⎛⎫=++=++=++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()221λμ++()1,+∞【练习2】如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，EA BE 2=，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD .()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，得2213,22AB AC =即3,AB AC =故AB AC=【五】平面向量的坐标运算1.例题【例1】已知向量)3,2(=a，)2,3(=b ，则=-b a （）A ．2B ．2C ．52D ．50【答案】A【解析】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)-=-=-a b ，所以||-==a b故选A【例2】在平面直角坐标系中，向量n ＝(2,0)，将向量n 绕点O 按逆时针方向旋转π3后得向量m ，若向量a满足|a －m －n |＝1，则|a |的最大值是( )A ．23－1B ．23＋1C ．3 D.6＋2＋1 【解析】由题意得m ＝(1，3)．设a ＝(x ，y )，则a －m －n ＝(x －3，y －3)， △|a －m －n |2＝(x －3)2＋(y －3)2＝1，而(x ，y )表示圆心为(3，3)的圆上的点，求|a |的最大值，即求该圆上点到原点的距离的最大值，最大值为23＋1.【例3】在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )A ．[4,6]B ．[19－1，19＋1]C ．[23，27]D ．[7－1，7＋1]【解析】法一：设出点D 的坐标，利用向量的坐标运算公式及向量模的运算公式求解．设D (x ，y )，则由|CD →|＝1，C (3,0)，得(x －3)2＋y 2＝1. 又△OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)， △|OA →＋OB →＋OD →|＝(x －1)2＋(y ＋3)2.△|OA →＋OB →＋OD →|的几何意义为点P (1，－3)与圆(x －3)2＋y 2＝1上点之间的距离，由|PC |＝7知，|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是1＋7，最小值是7－1.故选D.法二：根据向量OA →＋OB →的平行四边形法则及减法法则的几何意义，模的几何意义求解．如图，设M (－1，3)，则OA →＋OB →＝OM →，取N (1，－3)，△OM →＝－ON →.由|CD →|＝1，可知点D 在以C 为圆心，半径r ＝1的圆上， △OA →＋OB →＋OD →＝OD →－ON →＝ND →，△|OA →＋OB →＋OD →|＝|ND →|，△|ND →|max ＝|NC →|＋1＝7＋1，|ND →|min ＝7－1.2.巩固提升综合练习【练习1】在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．22C. 5D ．2【解析】如图所示，建立平面直角坐标系：设A (0,1)，B (0,0)，C (2,0)，D (2,1)，P (x ，y )，根据等面积公式可得圆的半径r ＝25，即圆C 的方程是(x －2)2＋y 2＝45，AP →＝(x ，y －1)，AB →＝(0，－1)，AD →＝(2,0)，若满足AP →＝λAB →＋μAD →，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2μy －1＝－λ，μ＝x 2，λ＝1－y ，所以λ＋μ＝x 2－y ＋1，设z ＝x 2－y ＋1，即x 2－y ＋1－z＝0，点P (x ，y )在圆(x －2)2＋y 2＝45上，所以圆心到直线的距离d ≤r ，即|2－z |14＋1≤25，解得1≤z ≤3，所以z的最大值是3，即λ＋μ的最大值是3.【练习2】如图，正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC →＝λAM →＋μBN →，则λ＋μ＝( )A ．2 B.83 C.65 D.85【解析】法一如图以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1， AM →＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21,1，BN →＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21，AC →＝(1,1)．△AC →＝λAM →＋μBN →＝λ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,1＋μ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+-μλμλ2,2，△⎩⎨⎧λ－12μ＝1，λ2＋μ＝1，解之得⎩⎨⎧λ＝65，μ＝25，故λ＋μ＝85.法二以AB →，AD →作为基底，△M ，N 分别为BC ，CD 的中点， △AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋12AD →，BN →＝BC →＋CN →＝AD →－12AB →，因此AC →＝λAM →＋μBN →＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-2μλAB →＋⎪⎭⎫ ⎝⎛+μλ2AD →，又AC →＝AB →＋AD →，因此⎩⎨⎧λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得λ＝65且μ＝25.所以λ＋μ＝85【例1】已知向量(1,)a m =，(,2)b m =，若//a b ，则实数m 等于（） A.C.D.0【答案】C 【解析】.【例2】若()3,4a =-，则与a 同方向的单位向量0a =____________【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】与a 同方向的单位向量0134(3,4)(,)555aa a ==-=-2.巩固提升综合练习【练习1】如图，在平面四边形ABCD 中，90CBA CAD ∠=∠=︒，30ACD ∠=︒，AB BC =，点E 为线段BC 的中点．若AC AD AE λμ=+(,R λμ∈)，则λμ的值为_______．【解析】以A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设AB ＝BC ＝2，则有A （0,0），B （2,0），C （2,2），E （2,1），AC ＝， AD ＝，过D 作DF⊥x 轴于F ，∠DAF＝180°－90°－45°＝45°， DF＝32=D（）， AC ＝（2,2），AD＝（3-），AE ＝（2,1），因为AC AD AE λμ=+，所以，（2,2）＝λ（3-，3）+μ（2,1），所以，2223μλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：43λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩λμ【练习2】已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k ，－2)，若(a －c )△b ，则向量a 与向量c 的夹角的余弦值是( )A.55 B.15 C ．－55 D ．－15【解析】 △a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k ，－2)，△a －c ＝(3－k,3)，△(a －c )△b ， △(3－k )·3＝3×1，△k ＝2，△a ·c ＝3×2＋1×(－2)＝4，△|a |＝10，|c |＝22， △cos 〈a ，b 〉＝a ·c |a |·|c |＝410·22＝55，故选A.【一】平面向量数量积的概念 1.例题【例1】在如图的平面图形中，已知0120,2,1=∠==MON ON OM ,NA CN MA BM 2,2==则OM BC •的值为（）1.两个向量的夹角：（1）定义：已知两个非零向量a 和b ，作a =，b =，则θ=∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角．（2）范围：向量夹角θ的范围是πθ≤≤0；a 与b 同向时，夹角θ＝0°；a 与b反向时，夹角θ＝180°.（3）向量垂直：如果向量a 与b 的夹角是90°，则a 与b垂直，记作b a ⊥.2.平面向量的数量积的概念：（1）已知两个非零向量a 与b ，则数量θcos b a ⋅叫做a 与b的数量积，记作b a •，即：b a •=θcos b a ⋅，其中θ是a 与b的夹角．规定：00=•a ；（2）b a •的几何意义：数量积b a•等于a 的长度a与b在a的方向上的投影θcos b的乘积． 3.数量积的运算律：（1）交换律：a b b a•=•；（2）分配律：()c b c a c b a •+•=•+；（3）对R ∈λ，()())(b a b a b aλλλ•=•=•．4.计算向量数量积的三种常用方法：（1）定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即b a •=θcos b a⋅，其中θ是a 与b的夹角．（2）基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．（3）坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．OA OBA ．B ．C ．D ．0【答案】C【解析】如图所示，连结MN ，由可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，，结合数量积的运算法则可得：.本题选择C 选项.【例2】已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，||BC =1，则AB BC ⋅=（） A ．-3 B ．-2 C ．2 D ．3【答案】C【解析】由(1,3)BC AC AB t =-=-，211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．2.巩固提升综合练习【练习1】如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是弧AB 的三等分点，M ，N 是线段AB 的三等分点．若6OA =，则MD NC ⋅的值是（）A.12B.C.26D.36【答案】C 【解析】连接,OC OD ，由C 、D 是弧AB 的三等分点，得∠AOD ＝∠BOC ＝60°，()()MD NC OD OM OC ON ⋅=-⋅-OD OC OD ON OM OC OM ON =⋅-⋅-⋅+⋅66cos6062cos12026cos12022=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯18664=++-26=．【练习2】已知,a b 为单位向量，且a b ⋅=0，若25c a b =- ，则cos ,a c <>=___________. 【解析】因为25c a b =-，0a b ⋅=，所以225a c a a b ⋅=-⋅2=，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c <>= 22133a c a c ⋅==⨯⋅．【练习3】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝__________.【解析】∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )|b |2.又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ，∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )，0＝12t ＋1－t .∴t ＝2.1.例题【例1】已知平面向量,a b不共线，且1a=，1a b⋅=，记b与2a b+的夹角是θ，则θ最大时，a b-=（）A．1B C D．2【答案】C【解析】设|b|=x，则()22·22?2b a b a b b x+=+=+，22|2+|=44?8a b a a b b++=+所以()2·22cos 28b a bb a bx θ++==++易得cos 0θ>，()()()2222222222211cos 124811411222263x x x x xx θ+===+⎛⎫-++--+⎪+++⎝⎭，当24x =时，2cos θ取得最小值，θ取得最大值，此时22||=2?12a b a a b b --+=-=故选C.【例2】已知,a b 为单位向量，且a b ⋅=0，若25c a b =- ，则cos ,a c <>=___________. 【解析】因为25c a b =-，0a b ⋅=，所以225a c a a b ⋅=-⋅2=，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c <>= 22133a c a c ⋅==⨯⋅．【例3】设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()a mab ⊥-，则m =_________. 【解析】(1,0),(1,)a b m ==-，(,0)(1,)(1,)ma b m m m m ∴-=--=+-，由()a ma b ⊥-得：()0a ma b ⋅-=，()10a ma b m ∴⋅-=+=，即1m =-.2.巩固提升综合练习【练习1】若两个非零向量a ，b 满足2a b a b a +=-=，则向量a b +与a b -的夹角是（） A.6πB.2π C.23π D.56π 【解析】将2a b a b a +=-=平方得：22222224a a b b a a b b a +⋅+=-⋅+=，解得：2203a b b a⎧⋅=⎪⎨=⎪⎩ . 222()()1cos ,42||||a b a b a b a b a b a a b a b +⋅--<+->===-+-.所以向量a b +与a b -的夹角是23π.【练习2】已知非零向量a与b满足b a2=，且b b a⊥-）（，则a与b的夹角为（） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【解析】因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||12||2a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ．【练习3】已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 【解析】由|2a －b |＝10，得4 a 2－4 a ·b ＋b 2＝10，得4－4×|b |×cos45°＋|b |2＝10，即－6－22|b |＋|b |2＝0，解得|b |＝32或|b |＝－2(舍去)．1.例题【例1】已知e b a ，，是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e的夹角为3π，向量b 满足0342=+•-b e b ，则b a-的最小值是（）A ．1-3B ．13+C ．2D ．3-2 【答案】A 【解析】设，则由得，由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.【例2】在ABC △，若0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC △的形状为（） A.直角三角形 B.等腰三角形C.等边三角形D.无法判断【答案】C【解析】由题意可得：()cos cos AB BC B AC BC C AB AC BC AB AC AB AC ⎛⎫⨯⨯-⨯⨯ ⎪+⋅=+ ⎪⎝⎭()cos cos BC C B =⨯-，故()cos cos 0BC C B ⨯-=，cos cos ,B C B C ∴==，且：cos 1cos 2AB AC A AB AC A ABACAB AC⨯⨯⋅===⨯，则3A π=，结合,3B C A π==可知△ABC 为等边三角形.【例3】如图所示，直线x ＝2与双曲线C ：x 24－y 2＝1的渐近线交于E 1，E 2两点．记OE 1→＝e 1，OE 2→＝e 2，任取双曲线C 上的点P ，若OP →＝a e 1＋b e 2(a ，b △R )，则ab 的值为( )A.14 B ．1 C.12 D.18【解析】由题意易知E 1(2,1),E 2(2，－1)，△e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－1)，故OP →＝a e 1＋b e 2＝(2a ＋2b ，a －b )，又点P 在双曲线上，△(2a ＋2b )24－(a －b )2＝1，整理可得4ab ＝1，△ab ＝14.【答案】 A2.巩固提升综合练习【练习1】在平面四边形ABCD 中，o90=∠BAD ，1,2==AD AB ，若CB CA BC BA AC AB •=•+•34，则CD CB 21+的最小值为____．【答案】【解析】如图，以的中点为坐标原点，以方向为轴正向，建立如下平面直角坐标系.则，，设，则，，因为所以，即：整理得：，所以点在以原点为圆心，半径为的圆上. 在轴上取，连接可得，所以，所以由图可得：当三点共线时，即点在图中的位置时，最小.此时最小为.【练习2】已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ,求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值. 【答案】（1）5π6x =（2）0x =时，取得最大值，为3； 5π6x =时，取得最小值，为23-.【解析】解：（1）因为co ()s ,sin x x =a ，(3,=b ，a ∥b ，（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅==+a b . 因为，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()62x -≤+≤. 于是，当ππ66x +=，即0x =时，取到最大值3；当π6x +=π，即5π6x =时，取到最小值23-.1.已知O,A,B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，且20AC CB +=，则OC =（） A.2OA OB - B.2OA OB -+C.2133OA OB - D.1233OA OB -+【答案】A【解析】因为20AC CB +=，所以2()()0OC OA OB OC -+-=, 所以OC =2OA OB -，故选：A.2.已知G 是ABC ∆的重心，D 是AB 的中点则GA GB GC +-=____________ 【答案】4GD【解析】因为D 是AB 的中点，G 是ABC ∆的重心，则2CG GD =，即2GC GD =- 又1()2GD GA GB =+，所以2GA GB GD +=, 所以2(2)4GA GB GC GD GD GD +-=--=, 故答案为：4GD .3.在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =，则的AE BF ⋅最小值为____．【答案】-3【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）； ∴2EF a b =-=； ∴a=b+2，或b=a+2；且()()12AE a BF b ==-，，，； ∴2AE BF ab ⋅=-+；当a=b+2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，AE BF ⋅的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．4.在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AB =，5AD = ，30A ∠=︒ ，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=__________. 【答案】1-.【解析】建立如图所示的直角坐标系，则B ，5()22D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以150CBA ∠=︒，因为AE BE =，所以30BAE ABE ∠=∠=︒，所以直线BE y x =-，直线AE的斜率为-y x =.由(3y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x =1y =-，所以1)E -.所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-.5.已知数列{}n a 为等差数列，且满足12107OA a OB a OC =+，若AB AC λ=（R λ∈），点O 为直线BC 外一点，则1009a =（）A ． 3B ． 2C ． 1D ．12【答案】D6.设向量a，b 满足|+|=a b ||-=a b ，则a ·b ＝( )．A ．1B ．2C ．3D ．5 【解析】∵|+|=a b (a ＋b )2＝10，即a 2＋b 2＋2a ·b ＝10.①∵||-=a b ，∴(a －b )2＝6，即a 2＋b 2－2a ·b ＝6.②由①②可得a ·b ＝1.故选A.7.已知a ＝(3,2)，b ＝(2，－1)，若λa ＋b 与a ＋λb 平行，则λ＝________.【解析】 △a ＝(3,2)，b ＝(2，－1)，△λa ＋b ＝(3λ＋2，2λ－1)，a ＋λb ＝(3＋2λ，2－λ)，△λa ＋b △a ＋λb ，△(3λ＋2)(2－λ)＝(2λ－1)(3＋2λ)，解得λ＝±18.在平行四边形ABCD 中，|AD →|＝3，|AB →|＝5，AE →＝23AD →，BF →＝13BC →，cos A ＝35，则|EF →|＝( )A.14 B ．2 5 C ．4 2 D ．211 【解析】如图，取AE 的中点G ，连接BG △AE →＝23AD →，BF →＝13BC →，△AG →＝12AE →＝13AD →＝13BC →＝BF →，△EF →＝GB →，△|GB →|2＝|AB →－AG |2＝AB →2－2AB →·AG →＋AG →2＝52－2×5×1×35＋1＝20，△|EF →|＝|GB →|＝25，故选B.9.已知锐角△ABC 的外接圆的半径为1，△B ＝π6，则BA →·BC →的取值范围为__________．【解析】如图，设|BA →|＝c ，|BC →|＝a ，△ABC 的外接圆的半径为1，△B ＝π6.由正弦定理得a sin A ＝c sin C ＝2，△a＝2sin A ，c ＝2sin C ，C ＝5π6－A ，由⎩⎨⎧0<A <π20<5π6－A <π2，得π3<A <π2，△BA →·BC →＝ca cos π6＝4×32sin A sin C ＝23sin A sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-A 65π ＝23sin A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+A A sin 23cos 21＝3sin A cos A ＋3sin 2A＝32sin2A ＋3(1－cos2A )2＝32sin2A ＋32cos2A ＋32＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ＋32. △π3<A <π2，△π3<2A －π3<2π3，△32<sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ≤1，△3<3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ＋32≤3＋32. △BA →·BC →的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛+233,3.10.已知点O ，N ，P 在△ABC 所在的平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心【解析】因为|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，所以点O 到三角形的三个顶点的距离相等，所以O 为△ABC 的外心；由NA →＋NB →＋NC →＝0，得NA →＋NB →＝－NC →＝CN →，由中线的性质可知点N 在三角形AB 边的中线上，同理可得点N 在其他边的中线上，所以点N 为△ABC 的重心；由P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，得P A →·PB →－PB →·PC →＝PB →·CA →＝0，则点P 在AC 边的垂线上，同理可得点P 在其他边的垂线上，所以点P 为△ABC 的垂心．【答案】 C11.设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a △b ＝(a 1，a 2)△(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知向量m ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21，n ＝⎪⎭⎫⎝⎛0,6π，点P 在y ＝cos x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ →＝m △OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ上的最大值是( ) A ．4 B ．2 C ．2 2 D ．23【解析】因为点P 在y ＝cos x 的图象上运动，所以设点P 的坐标为(x 0，cos x 0)，设Q 点的坐标为(x ，y )，则OQ →＝m △OP →＋n △(x ，y )＝⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21△(x 0，cos x 0)＋⎪⎭⎫ ⎝⎛0,6π△(x ，y )＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+00cos 4,621x x π△⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x 0＋π6，y ＝4cos x 0，即⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00cos 462xy x x π△y ＝4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx ，即f (x )＝4cos ⎪⎭⎫⎝⎛-32πx ，当x △⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ时，由π6≤x ≤π3△π3≤2x ≤2π3△0≤2x －π3≤π3，所以12≤cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx ≤1△2≤4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx ≤4，所以函数y ＝f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ的最大值是4，故选A. 12.已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小是( ) A ．－2 B ．－32 C ．－43 D ．－1【解析】以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线AD 为y 轴，D 为坐标原点建立坐标，则A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)，设P (x ，y )，所以 P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )所以PB →＋PC →＝(－2x ，－2y )，P A →·(PB →＋PC →)＝2x 2－2y (3－y )＝2x 2＋2223⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y －32≥－32当P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0时，所求的最小值为－32，故选B.13.已知O 是正△ABC 的中心．若CO AB ACλμ→→→=+，其中λ， R μ∈，则λμ的值为（） A ． 14-B ． 13-C ． 12- D ． 2 【解析】由题O 是正△ABC 的中心，延长CO 交AB 与.D 则()()221112,332333CO CD CA CB AC AB AC AB AC ⎡⎤==+=-+-=-⎢⎥⎣⎦ 即121,,.332λλμμ==-=- 故选C.。

平面向量经典练习题(含答案)

平面向量经典练习题(含答案)1、向量a=(2,4)，b=(-1,-3)，则向量3a-2b的坐标是(8,22)。

2、已知向量a与b的夹角为60°，a=(3,4)，|b|=1，则|a+5b|=√61.3、已知点A(1,2)，B(2,1)，若AP=(3,4)，则BP=(-1,-1)。

4、已知A(-1,2)，B(1,3)，C(2,0)，D(x,1)，若AB与CD共线，则|BD|=2.5、向量a、b满足|a|=1，|b|=2，(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为30°。

6、设向量a，b满足|a+b|=10，|a-b|=6，则a·b=7.7、已知a、b是非零向量且满足(a-2b)⊥a，(b-2a)⊥b，则a与b的夹角是60°。

8、在△ABC中，D为AB边上一点，AD=2DB，CD=3CA+mCB，则m=1.9、已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，a⊥(2a+b)，则a与b的夹角是53.13°。

10、在三角形ABC中，已知A(-3,1)，B(4,-2)，点P(1,-1)在中线AD上，且AP=2PD，则点C的坐标是(6,-3)。

二、选择题1、设向量OA=(6,2)，OB=(-2,4)，向量OC垂直于向量OB，向量BC平行于OA，若OD+OA=OC，则OD坐标=(11,6)。

2、把A(3,4)按向量a(1,-2)平移到A'，则点A'的坐标(4,2)。

3、已知向量a，b，若a为单位向量，且|a|=|2b|，则(2a+b)⊥(a-2b)，则向量a与b的夹角是30°。

4、已知向量ab的夹角60°，|a|=2，b=(-1,√3)，则|2a-3b|=13.5、在菱形ABCD中，∠DAB=60°，|2·0C+CD|=4，则|BC+CD|=2.6、略。

7、略。

8、若向量a=(3,4)，向量b=(2,1)，则a在b方向上的投影为2.9、略。

含解析高中数学《平面向量》专题训练30题（精）

含解析高中数学《平面向量》专题训练30题（精）含解析高中数学《平面向量》专题训练30题（精）1．已知向量．（1）若，求x的值；（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．【答案】（1）（2）时，取到最大值3；时，取到最小值.【解析】【分析】（1）根据，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x的值．（2）根据求解求函数y＝f（x）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x的值．【详解】解：（1）∵向量．由，可得：，即，∵x∈[0，π]∴．（2）由∵x∈[0，π]，∴∴当时，即x＝0时f（x）max＝3；当，即时．【点睛】本题主要考查向量的坐标运用以及三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．2．已知中，点在线段上，且，延长到，使．设．（1）用表示向量；（2）若向量与共线，求的值．【答案】（1）,；（2）【解析】【分析】（1）由向量的线性运算，即可得出结果；（2）先由(1)得，再由与共线，设，列出方程组求解即可.【详解】解：（1）为BC的中点，，可得，而（2）由（1）得，与共线，设即，根据平面向量基本定理，得解之得，．【点睛】本题主要考查向量的线性运算，以及平面向量的基本定理，熟记定理即可，属于常考题型.3．（1）已知平面向量、，其中，若，且，求向量的坐标表示；（2）已知平面向量、满足，，与的夹角为，且（+）（），求的值.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）设，根据题意可得出关于实数、的方程组，可求得这两个未知数的值，由此可得出平面向量的坐标；（2）利用向量数量积为零表示向量垂直，化简并代入求值，可解得的值．【详解】（1）设，由，可得，由题意可得，解得或.因此，或；（2），化简得，即，解得4．已知向量，向量.（1）求向量的坐标；（2）当为何值时，向量与向量共线.【答案】（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（1）根据向量坐标运算公式计算；（2）求出的坐标，根据向量共线与坐标的关系列方程解出k;试题解析：（1）（2），∵与共线，∴∴5．已知向量与的夹角，且，．（1）求，；（2）求与的夹角的余弦值．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的定义可计算得出的值，利用平面向量数量积的运算性质计算得出的值；（2）计算出的值，利用平面向量夹角的余弦公式可求得与的夹角的余弦值．【详解】（1）由已知，得，；（2）设与的夹角为，则，因此，与的夹角的余弦值为.6．设向量,,记（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数在上的值域．【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】分析：（1）利用向量的数量积的坐标运算式，求得函数解析式，利用整体角的思维求得对应的函数的单调减区间；（2）结合题中所给的自变量的取值范围，求得整体角的取值范围，结合三角函数的性质求得结果.详解：（1）依题意,得．由,解得故函数的单调递减区间是．（2）由（1）知,当时,得,所以,所以,所以在上的值域为．点睛：该题考查的是有关向量的数量积的坐标运算式，三角函数的单调区间，三角函数在给定区间上的值域问题，在解题的过程中一是需要正确使用公式，二是用到整体角思维.7．在中，内角，，的对边分别是，，，已知，点是的中点.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求中线的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（1）由正弦定理，已知条件等式化边为角，结合两角和的正弦公式，可求解；（2）根据余弦定理求出边的不等量关系，再用余弦定理把用表示，即可求解；或用向量关系把用表示，转化为求的最值.【详解】（Ⅰ）由已知及正弦定理得.又，且，∴，即.（Ⅱ）方法一：在中，由余弦定理得，∵，当且仅当时取等号，∴.∵是边上的中线，∴在和中，由余弦定理得，，①.②由①②，得，当且仅当时，取最大值.方法二：在中，由余弦定理得，∵，当且仅当时取等号，∴.∵是边上的中线，∴，两边平方得，∴，当且仅当时，取最大值.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在三角形中应用，考查基本不等式和向量的模长公式的灵活运用，是一道综合题.8．已知平面向量，.(1)若，求的值；(2)若，与共线，求实数m的值.【答案】（1）；（2）4.【解析】（1）求出，即可由坐标计算出模；（2）求出，再由共线列出式子即可计算.【详解】(1)，所以；(2)，因为与共线，所以，解得m＝4.9．已知向量．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求向量与夹角的大小．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）首先求出的坐标，再根据，可得，即可求出，再根据向量模的坐标表示计算可得；（Ⅱ）首先求出的坐标，再根据计算可得；【详解】解：（Ⅰ）因为，所以，由，可得，即，解得，即，所以；（Ⅱ）依题意，可得，即，所以，因为，所以与的夹角大小是．10．如图，在中，，，，，.（1）求的长；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）将用和表示，利用平面向量数量积的运算律和定义计算出的值，即可得出的长；（2）将利用和表示，然后利用平面向量数量积的运算律和定义计算出的值．【详解】（1），，，，，，.；（2），，，.【点睛】本题考查平面向量模与数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底将题中所涉及的向量表示出来，考查计算能力，属于中等题.11．如图所示，在中，，，，分别为线段，上一点，且，，和相交于点.（1）用向量，表示；（2）假设，用向量，表示并求出的值.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）把放在中，利用向量加法的三角形法则即可；（2）把，作为基底，表示出，利用求出.【详解】解：由题意得，，所以，（1）因为，，所以.（2）由（1）知，而而因为与不共线，由平面向量基本定理得解得所以，即为所求.【点睛】在几何图形中进行向量运算:(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；(2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.12．已知向量与的夹角为，且，.（1）若与共线，求k；（2）求，；（3）求与的夹角的余弦值【答案】（1）；（2），；（3）.【解析】【分析】（1）利用向量共线定理即可求解.（2）利用向量数量积的定义：可得数量积，再将平方可求模.（3）利用向量数量积即可夹角余弦值.【详解】（1）若与共线，则存在，使得即，又因为向量与不共线，所以，解得，所以.（2），，（3）.13．已知.（1）当为何值时，与共线（2）当为何值时，与垂直？（3）当为何值时，与的夹角为锐角？【答案】（1）；（2）；（3）且.【解析】【分析】（1）利用向量共线的坐标表示：即可求解.（2）利用向量垂直的坐标表示：即可求解.（3）利用向量数量积的坐标表示，只需且不共线即可求解.【详解】解：（1）.与平行，，解得.（2）与垂直，，即，（3）由题意可得且不共线，解得且.14．如图，在菱形ABCD中，，．（1）若，求的值；（2）若，，求．（3）若菱形ABCD的边长为6，求的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）由向量线性运算即可求得值；（2）先化，再结合（1）中关系即可求解；（3）由于，，即可得，根据余弦值范围即可求得结果．【详解】解：（1）因为，，所以，所以，，故．（2）∵，∴∵ABCD为菱形∴∴，即．（3）因为，所以∴的取值范围：．【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．15．已知，，与夹角是．（1）求的值及的值；（2）当为何值时，？【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用数量积定义及其向量的运算性质，即可求解；（2）由于，可得，利用向量的数量积的运算公式，即可求解．【详解】（1）由向量的数量积的运算公式，可得，.（2）因为，所以，整理得，解得．即当值时，．【点睛】本题主要考查了数量积定义及其运算性质、向量垂直与数量积的关系，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，以及向量垂直的坐标运算是解答的关键，着重考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．设向量（I）若（II）设函数【答案】（I）（II）【解析】【详解】(1)由＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及，得4sin2x＝1.又x∈，从而sinx＝，所以x＝.(2)sinx·cosx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，当x∈时，－≤2x－≤π，∴当2x－＝时，即x＝时，sin取最大值 1.所以f(x)的最大值为.17．化简．（1）．（2）．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果；（2）利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果.【详解】（1）；（2）.18．已知点,,，是原点.（1）若点三点共线，求与满足的关系式；（2）若的面积等于3，且,求向量.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】(1)由题意结合三点共线的充分必要条件确定m,n满足的关系式即可；(2)由题意首先求得n的值，然后求解m的值即可确定向量的坐标.【详解】（1），，由点A，B，C三点共线，知∥，所以，即；（2）由△AOC的面积是3，得，，由，得，所以，即,当时，，?解得或，当时，，方程没有实数根，所以或．【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．如图，在直角梯形中，为上靠近B的三等分点，交于为线段上的一个动点．（1）用和表示；（2）求；（3）设，求的取值范围．【答案】(1)；(2)3；(3).【解析】【分析】(1)根据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算求解而得；(2)选定一组基向量，将由这一组基向量的唯一表示出而得解；(3)由动点P设出，结合平面向量基本定理，建立为x的函数求解.【详解】(1)依题意，，，；(2)因交于D，由(1)知，由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，则，，；(3)由已知，因P是线段BC上动点，则令，，又不共线，则有，，在上递增，所以，故的取值范围是.【点睛】由不共线的两个向量为一组基底，用该基底把相关条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．20．设向量满足，且．（1）求与的夹角；（2）求的大小.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知得，展开求得，结合夹角公式即可求解；（2）由化简即可求解．【详解】（1）设与的夹角为θ由已知得，即，因此，得，于是，故θ=，即与的夹角为；（2）由．21．已知，，(t∈R)，O是坐标原点．（1）若点A，B，M三点共线，求t的值；（2）当t取何值时，取到最小值？并求出最小值．【答案】（1）t；（2）当t时，?的最小值为.【解析】【分析】（1）求出向量的坐标，由三点共线知与共线，即可求解t的值．（2）运用坐标求数量积，转化为函数求最值．【详解】（1），，∵A，B，M三点共线，∴与共线，即，∴，解得：t.（2），，，∴当t时，?取得最小值．【点睛】关键点点睛：（1）由三点共线，则由它们中任意两点构成的向量都共线，求参数值.（2）利用向量的数量积的坐标公式得到关于参数的函数，即可求最值及对应参数值.22．设向量，，.(1)求；(2)若，，求的值；(3)若，，，求证：A，，三点共线.【答案】(1) 1(2)2(3)证明见解析【解析】【分析】（1）先求，进而求；（2）列出方程组，求出，进而求出；（3）求出，从而得到，得到结果.(1)，；(2)，所以，解得：，所以；(3)因为，所以，所以A，，三点共线.23．在平面直角坐标系中，已知，.（Ⅰ）若，求实数的值；（Ⅱ）若，求实数的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）求出向量和的坐标，然后利用共线向量的坐标表示得出关于的方程，解出即可；（Ⅱ）由得出，利用向量数量积的坐标运算可得出关于实数的方程，解出即可.【详解】（Ⅰ），，，，，，解得；（Ⅱ），，，解得.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查利用共线向量和向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.24．在中，，，，点，在边上且，.（1）若，求的长；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先设，，根据题意，求出，，再由向量模的计算公式，即可得出结果；（2）先由题意，得到，，再由向量数量积的运算法则，以及题中条件，得到，即可求出结果.【详解】（1）设，，则，，因此，所以，，（2）因为，所以，同理可得，，所以，∴，即，同除以可得，.【点睛】本题主要考查用向量的方法求线段长，考查由向量数量积求参数，熟记平面向量基本定理，以及向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.25．已知向量，，，且．（1）求，；（2）求与的夹角及与的夹角．【答案】（1），；（2），．【解析】【分析】（1）由、，结合平面向量数量积的运算即可得解；（2）记与的夹角为，与的夹角为，由平面向量数量积的定义可得、，即可得解.【详解】（1）因为向量，，，且，所以，所以，又，所以；（2）记与的夹角为，与的夹角为，则，所以．，所以．【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算与应用，考查了运算求解能力，属于基础题.26．平面内给定三个向量，，.（1）求满足的实数，；（2）若，求实数的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）依题意求出的坐标，再根据向量相等得到方程组，解得即可；（2）首先求出与的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得；【详解】解：（1）因为，，，且，，，，.，解得，.（2），，，.，，，.，解得.27．如图，已知中，为的中点，，交于点，设，．（1）用分别表示向量，；（2）若，求实数t的值．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）根据向量线性运算，结合线段关系，即可用分别表示向量，；（2）用分别表示向量，，由平面向量共线基本定理，即可求得t的值.【详解】（1）由题意，为的中点，，可得，，．∵，∴，∴（2）∵，∴∵，，共线，由平面向量共线基本定理可知满足，解得．【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量共线基本定理的应用，属于基础题.28．已知，向量，.（1）若向量与平行，求k的值；（2）若向量与的夹角为钝角，求k的取值范围【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）利用向量平行的坐标表示列式计算即得结果；（2）利用，且不共线，列式计算即得结果.【详解】解：（1）依题意，，，又，得，即解得或；（2）与的夹角为钝角，则，即，即，解得或.由（1）知，当时，与平行，舍去，所以.【点睛】思路点睛：两向量夹角为锐角（或钝角）的等价条件：（1）两向量夹角为锐角，等价于，且不共线；（2）两向量夹角为钝角，等价于，且不共线.29．已知．(1)若，求的值；(2)若，求向量在向量方向上的投影．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先得到，根据可得,即可求出m；（2）根据求出m=2,再根据求在向量方向上的投影.【详解】；；；；；；；在向量方向上的投影为．【点睛】本题主要考查了向量坐标的加法和数量积的运算，向量垂直的充要条件及向量投影的计算公式，属于中档题.30．平面内给定三个向量.（1）求；（2）求满足的实数m和n；（3）若，求实数k.【答案】（1）6；（2）；（3）.【解析】（1）利用向量加法的坐标运算得到，再求模长即可；（2）先写的坐标，再根据使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；（3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可.【详解】解：（1）由，得，；（2），，，，故，解得；（3），，，，，，即，解得.【点睛】结论点睛：若，则等价于；等价于.试卷第1页，共3页试卷第1页，共3页。

高三数学平面向量试题答案及解析

高三数学平面向量试题答案及解析1.已知，若共线，则实数x=A．B．C．1D．2【答案】B【解析】此题考查向量共线的条件；由已知得到，又因为共线，所以。

选B2.已知向量的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】故选C3.已知向量、的夹角为，且，，则向量与向量＋2的夹角等于（）A．150°B．90°C．60°D．30°【答案】D【解析】设量与向量＋2的夹角为故选D4.设向量，是两个相互垂直的单位向量，一直角三角形两条边所对应的向量分别为，，，则的值可能是（）A．或B．或C．或D．或【答案】C【解析】若则；若则若则无解；故选C5.已知，则实数k的值是。

【答案】-1【解析】略6.已知：（1）求关于x的表达式，并求的最小正周期；（2）若时，的最小值为5，求m的值.【答案】（1）（2）3【解析】7.已知向量，则实数k的值为（）A．B．0C．3D．【答案】C【解析】，又，，即，解得【考点】平面向量的坐标运算。

8.已知平面向量，，，，，，若，则实数（）A．4B．－4C．8D．－8【答案】D．【解析】∵，，∴，故选D【考点】平面向量共线的坐标表示．9.若向量，，则=（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为向量，，所以．故选B．【考点】向量减法的坐标的运算．10.已知向量，满足，，则夹角的余弦值为( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】，，则的夹角余弦值为．故选D.【考点】向量的基本运算.11.已知向量若与平行，则实数的值是（）A．－2B．0C．2D．1【答案】C【解析】，根据题意有，解得，故选C．【考点】向量的运算，向量共线的坐标表示．12.（本小题满分12分）已知向量，函数．（1）若，求的值；（2）若，求函数的值域．【答案】（1）；（2）．【解析】本题主要考查平面向量的数量积的运算、三角函数中的恒等变换的应用、两角和与差的正弦公式、倍角公式、三角函数的值域、正弦函数的图象和性质等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，运用平面向量的数量积的坐标表示和两角差的正弦公式以及二倍角的余弦公式，即可得到结论；第二问，由，则可以得到，运用正弦函数的图象和性质，即可得到函数的值域．试题解析：（1）向量，则函数，，则，；（2）由，则，，则．则的值域为．【考点】平面向量的数量积的运算、三角函数中的恒等变换应用、三角函数的值域、正弦函数的图象和性质．13.设，，若，则= ．【答案】【解析】因为，所以，解得，所以＝．【考点】1、平面向量垂直的充要条件；2、平面向量的模．14.己知向量，满足||=||=2且，则向量与的夹角为．【答案】【解析】因为||=||=2，所以由数量积的运算律可将化为，即，所以，故向量与的夹角为．【考点】①向量数量积的运算律；②向量夹角计算公式．15.在△ABC中，若点D满足，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于，因此．【考点】向量的加法法则．16.设向量，，且，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得，即，解得，故选C．【考点】向量垂直的条件，向量数量积坐标运算公式．17.已知，，，且与垂直，则实数的值为．【答案】．【解析】本题考查两个向量垂直，向量的数量积的计算，难度简单．由得．由得，所以．【考点】向量垂直，向量的数量积．18.设直角的三个顶点都在单位圆上，点M，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，，当且仅当共线同向时，取等号，即取得最大值，最大值是，故选：C．【考点】1．点与圆的位置关系；2．平面向量及应用．【思路点睛】由题意，，当且仅当共线同向时，取等号，即可求出的最大值．19.已知为同一平面内的四个点，若，则向量等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得，即，故选C．【考点】向量的回头法运算及几何意义．20.已知点，，点在轴上，当取最小值时，点的坐标是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，则，所以，由二次函数的性质得，当时有最小值，所以点的坐标是．【考点】1．向量的运算；2．二次函数．21.已知向量，，，若向量与共线，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，，故由与共线得，解得，故D项正确．【考点】平面向量的运算及共线定理．22.设是所在平面内一点，且，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，又，所以，即．故选D．【考点】向量的线性运算．23.已知向量的夹角为，，向量，的夹角为，，则与的夹角正弦值为，．【答案】，或【解析】作，则，向量，由题意可得为边长为的等边三角形，向量的夹角为，可得，由，可得四点共圆，在中，，由正弦定理可得，在中，，由余弦定理可得，解得，当在中，同理可得．【考点】平面向量的数量积的运算．24.设向量与的夹角为，且，则等于（）A．B．C．D．6【答案】B【解析】，故选B.【考点】平面向量数量积的定义.25.已知向量，，则当时，的取值范围是___________．【答案】．【解析】根据向量的差的几何意义，表示向量终点到终点的距离，当时，该距离取得最小值为1，当时，根据余弦定理，可算得该距离取得最大值为，即的取值范围是，故填：．【考点】平面向量的线性运算．26.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，．若＝－3，则＝．【答案】【解析】因为，所以【考点】向量数量积27.如图，中，，为的中点，以为圆心，为半径的半圆与交于点，为半圆上任意一点，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，所以，设且，所以，令，则，其中.所以当时有最小值.故选D.【考点】1、平面向量的数量积公式；2、圆的参数方程的应用.28.梯形中，，则（）A．B．C．D．不能确定【答案】C【解析】由梯形易得：，所以，又，所以，由于，所以，可得，故选C.【考点】1、平面向量基本定理；2、向量的平行.29.设向量，若向量与向量垂直，则的值为（）A．3B．1C．D．-1【答案】D【解析】因为向量，向量与向量垂直，所以，故选D.考点 1、向量的坐标表示；2、平面向量的数量积公式 .30.边长为的等边三角形中心为，是边上的动点，则（）A．有最大值B．有最小值C．是定值D．与的位置有关【答案】C【解析】设是中点，则.故选C．【考点】向量的数量积．【名师】本题是求平面向量的数量积的问题，解题时要把动点与定点结合起来，如果能化动为静，则问题易解．为此可选取两个向量作为基底，其他向量都用它们表示，然后求解，在求数量积时，垂直的向量是我们要着重考虑的，因为垂直的数量积为0，计算时比较方便，易于求解．31.如图，四边形是三个全等的菱形，，设，，已知点在各菱形边上运动，且，，则的最大值为 .【答案】4【解析】根据条件知，G，O，C三点共线，连接OE，则OE⊥GC；∴分别以OC，OE所在直线为x轴，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，设棱形的边长为2，则；设，则；∴；∴；∴；设，则，表示在y轴上的截距；当截距最大时，取到最大值；由图形可以看出当直线经过点时截距最大；∴；即x+y的最大值为4．【考点】向量的线性运算．【名师】考查向量的线性运算，通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，能确定平面上点的坐标，以及向量坐标的加法和数乘运算，直线的点斜式方程，线性规划的运用．这是一道综合题，有一定的难度，对学生分析问题解决问题的能力要求较高．32.若向量，，则=（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，向量，故选B．【考点】向量的运算．33.设是圆上不同的三个点，且，若存在实数，使得，则实数的关系为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，两边平方得：，∵，∴,故选A．【考点】（1）直线与圆的方程的应用；（2）向量共线定理；（3）平面向量的垂直.【思路点晴】本题主要考查圆的定义及向量的模及其数量积运算，还考查了向量与实数的转化．在向量的加，减，数乘和数量积运算中，数量积的结果是实数，所以考查应用较多．由是圆上不同的三个点，可得，又，所以对两边平方即可得到结论．34.如图，正方形中，为的中点，若，则的值为（）A．B．C．1D．-1【答案】A【解析】，又,所以,又,那么.故本题选A．【考点】1.平面向量的线性运算；2.平面向量的基本定理.35.已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，终边落在第二象限，是其终边上的一点，向量，若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设与轴正向的夹角为，则，因为角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，终边落在第二象限且，所以，．故应选D．【考点】1、向量垂直的性质；2、两角和的正切公式.36.已知非零向量且对任意的实数都有，则有（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为非零向量且对任意的实数都有，所以，，，即，，故选C.【考点】1、平面向量数量积公式；2、一元二次方程根与系数的关系.【方法点睛】本题主要考查平面向量数量积公式以及一元二次方程根与系数的关系，属于难题.对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法有两个：一是对于未知量为不做限制的题型可以直接运用判别式解答（本题属于这种类型）；二是未知量在区间上的题型，一般采取列不等式组（主要考虑判别式、对称轴、的符号）的方法解答.37.已知向量，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以A错；因为，所以B错；因为，所以，所以，所以C正确，故选C．【考点】向量平行与垂直的充要条件．38.如图所示，矩形的对角线相交于点，的中点为，若（为实数），则（）A．1B．C．D．【答案】C【解析】,,所以，故选C.【考点】平面向量基本定理39.已知向量＝（－1，1），向量＝（3，t），若∥（＋），则t＝________．【答案】－3【解析】，由∥（＋）得，．【考点】向量平行．40.已知向量,若,则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因,故代入可得,故应选C.【考点】向量坐标形式及运算.41.已知向量满足，那么向量的夹角为（）A．30°B．60°C．150°D．120°【答案】D【解析】.【考点】向量运算.42.已知非零向量满足，且，则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】若，则，即有，由，可得，即有，，由，可得与夹角的大小为．故选：D．【考点】向量的夹角.43.等腰直角三角形中，，，点分别是中点，点是（含边界）内任意一点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】以为坐标原点，边所在直线为轴，建立直角坐标系，则，，设，则且，,，令，结合线性规划知识，则，当直线经过点时，有最小值，将代入得，当直线经过点时，有最大值，将代入得，故答案为A．【考点】（1）平面向量数量积的运算；（2）简单线性规划的应用.【方法点睛】本题考查的知识点是平面向量的数量积运算及线性规划，处理的关键是建立恰当的坐标系，求出各点、向量的坐标，利用平面向量的数量积公式，将其转化为线性规划问题，再利用“角点法”解决问题．选择合适的原点建立坐标系，分别给出动点（含参数）和定点的坐标，结合向量内积计算公式进行求解．44.设向量，且，则的值是（）A．2B．C．8D．【答案】C【解析】由已知得，∴.【考点】平面向量坐标运算．45.边长为的正三角形，其内切圆与切于点为内切圆上任意一点，则的取值范围为__________．【答案】【解析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点，，内切圆的方程为，设点，则．【考点】向量的坐标运算；向量的数量积．【方法点晴】本题主要考查了平面向量的坐标运算、平面向量的数量接的运算等知识点的应用，解答中，以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，确定点的坐标，利用内切圆得出的坐标，利用向量的数量积的公式和坐标运算，即可求解的取值范围，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题．46.平面向量与的夹角为30°，已知，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因,故,故应选D．【考点】向量的有关运算．47.已知非零向量的夹角为，且，则（）A．B．1C．D．2【答案】A【解析】由得，，解得，故选A．【考点】向量的数量积．48.在等腰梯形中，已知，点和点分别在线段和上，且，则的值为_____________．【答案】【解析】以为坐标原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系，则，所以.【考点】向量的数量积、向量运算．【思路点晴】本题主要考查向量的数量积、向量运算，利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算．对向量与几何图形的综合问题，可通过向量的数量积运算把向量问题转化为代数问题来求解．49.已知是单位圆上的两点（为圆心），，点是线段上不与重合的动点．是圆的一条直径，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，点是线段上,，故选A．【考点】向量及其运算．50.设是单位向量，且，则的最小值为（）A．-2B．C．-1D．【答案】D【解析】当时，，故选D．【考点】向量及其基本计算．51.在平行四边形中，为一条对角线，，，则＝（）A．（2,4）B．（3,5）C．（1，1）D．（－1，－1）【解析】,故选C.【考点】平面向量的线性运算．52.已知在内有一点，满足，过点作直线分别交、于、，若，，则的最小值为A．B．C．D．【答案】A【解析】由知P是的重心，则，所以，∵共线，∴，∴，当且仅当时取等号，∴的最小值为．故选A．【考点】平面向量基本定理，三点共线定理．【名师】设上直线外一点，，则三点共线的条件是．利用此共线定理可以解决平面向量中的共线点问题，通过它把几何问题代数化．53.已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（）A．重心B．垂心C．内心D．外心【答案】A【解析】由正弦定理得，所以，而，所以表示与共线的向量，而点是的中点，即的轨迹一定是通过三角形的重心，故选A.【考点】平面向量.【思路点晴】本题主要考查向量的加法和减法的几何意义，考查了解三角形正弦定理，考查了三角形四心等知识.在几何图形中应用平面向量加法和减法，往往要借助几何图形的特征，灵活应用三角形法则和平行四边形.当涉及到向量或点的坐标问题时，应用向量共线的充要条件解题较为方便.三角形的四心是：内心、外心、重心和垂心.54.已知向量，，且，则．【答案】【解析】因为，所以，所以.【考点】向量运算.55.已知菱形的对角线，则（）A．1B．C．2D．【解析】在菱形中，，设相交于点，由向量数量积的几何意义可知，故选C.【考点】向量数量积的几何意义.56.已知向量，向量，则_____________.【答案】【解析】,所以.【考点】向量的坐标运算.57.已知向量满足，且，则___________．【答案】【解析】由于，两边平方得，因为.【考点】向量运算.58.已知向量，满足，，且（），则．【答案】【解析】设，则，又因为，即，所以，解得，即，解得．【考点】向量的坐标运算．59.已知向量_________.【答案】【解析】，解得，，那么，故填：.【考点】向量数量积的坐标表示60.已知向量，，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为所以所以所以故答案选A【考点】向量的数量积；向量的模.61.设向量.若，则实数等于（）A．-1B．1C．-2D．2【解析】，∴，得.故选C.【考点】向量的基本运算.62.已知向量，，若，则实数__________．【答案】【解析】因为向量，，所以有 , 若,则有，解得.63.已知，分别是椭圆的左、右焦点.（1）若点是第一象限内椭圆上的一点，,求点的坐标；（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）首先得到焦点的坐标，点满足两个条件，一个是点在椭圆上，满足椭圆方程，另一个是将 ,转化为坐标表示，这样两个方程两个未知数，解方程组；（2）首项设过点的直线为，与方程联立，得到根与系数的关系，和，以及，根据向量的数量积可知，为锐角，即，这样代入根与系数的关系，以及，共同求出的取值范围.试题解析：（1）易知.，设，则，又.联立，解得，故.（2）显然不满足题设条件，可设的方程为，设，联立由，得.①又为锐角，又.②综①②可知的取值范围是【点睛】解析几何中的参数范围的考查是高考经常考的的问题，这类问题，要将几何关系转化为代数不等式的运算，必然会考查转化与化归的能力，将为锐角转化为 ,这样就代入根与系数的关系，转化为解不等式的问题,同时不要忽略.64.若向量，且∥，则实数_________.【答案】【解析】依题设，，由∥得，，解得.65.已知向量，若，则__________．【答案】11【解析】由题意可知，因为，所以∙=0，解得m=11.66.已知函数的部分图象如图所示，点，是该图象与轴的交点，过点的直线与该图象交于，两点，则的值为（）A．B．C．D．2【答案】D【解析】解：∵函数的周期，则，即C点是一个对称中心，根据向量的平行四边形法则可知： ,则： .本题选择D选项.67.已知向量，若向量与向量共线，则实数__________．【答案】【解析】因为，又因为向量与向量共线，所以，所以.68.（理科）已知平面上共线的三点和与这三点不共线的定点，若等差数列满足：，则数列的前38项之和为__________．【答案】19【解析】三点共线，，，，故答案为.69.已知向量满足，若，的最大值和最小值分别为，则等于（）A．B．2C．D．【答案】C【解析】因为所以；因为，所以的最大值与最小值之和为，选C.70.已知向量，，且，则向量和的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，则，，则向量和的夹角为，选C.【点睛】本题考查平面向量的有关知识及及向量运算，借助向量的模方和模，求向量的夹角，本题属于基础题.解决向量问题有两种方法，第一种是借助向量的几何意义，利用加法、减法、数乘、数量积运算，借助线性运算解题，另一种方法是建立适当的平面直角坐标系，利用向量的坐标运算解题.71.在中，，，，，是线段的三等分点，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】,,则【点睛】向量的运算有两种方法，一种是线性运算，如本题以为基底，把有关向量利用加法、减法及数乘运算表示出来，然后利用数量积运算计算出结果，另一种方法是建立直角坐标系，把相关点得坐标写出来，然后利用坐标运算公式计算出结果.72.在为所在平面内一点，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题可知．故本题选．点睛：本题主要考查平面向量的基本定理.用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合．在基底未给出的情况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中.73.已知，，则的最大值是__________．【答案】3【解析】，所以的最大值是3.74.设向量，．则与垂直的向量可以是A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知：，本题选择A选项.75.已知的外接圆圆心为，且，若，则的最大值为__________．【答案】【解析】设三个角所对的边分别为，由于，，，所以，解得，.76.若向量，且，则的最大值是A．1B．C．D．3【答案】D【解析】× ,选D.77.设，向量且，若不等式恒成立，则实数k的最大值为____．【答案】【解析】由向量平行的充要条件有：，据此可得：，其中整理可得：，当时满足题意，否则：当时，由对称轴处的函数值可得恒成立，综上可得实数k的最大值为.78.已知向量，若与垂直，则实数的值是_________.【解析】，79.已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于,两点,且,抛物线的准线与轴交于点,于点,若四边形的面积为,则准线的方程为( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，知，直线的方程为．设，则，．由，得，即①．设直线的方程为，代入抛物线方程消去，得，所以②．联立①②，得或（舍去），所以．因为＝，将的值代入解得，所以直线的方程为，故选A．点睛：本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系和平面向量的坐标运算．求解与向量交汇的圆锥曲线问题，通常利用点的坐标对已知的或所求的向量式进行转化，然后再利用解析几何的知识求解．80.（20分）已知为的外心，以线段为邻边作平行四边形，第四个顶点为,再以为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为.（1）若,试用表示；（2）证明：；（3）若的外接圆的半径为，用表示.【答案】解：（1）由平行四边形法则可得：即（2）O是的外心，∣∣=∣∣=∣∣，即∣∣=∣∣=∣∣,而，=∣∣-∣∣=0，（3）在中,O是外心A=，B=于是∣∣2=（=+2+2=（），【解析】略81.已知向量a＝(cosθ，sinθ)，θ∈[0，π]，向量b＝(，－1)．(1)若a⊥b，求θ的值；(2)若|2a－b|<m恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）(4，＋∞)【解析】解：(1)∵a⊥b，∴cosθ－sinθ＝0，得tanθ＝，又θ∈[0，π]，∴θ＝.(2)∵2a－b＝(2cosθ－，2sinθ＋1)，∴|2a－b|2＝(2cosθ－)2＋(2sinθ＋1)2＝8＋8(sinθ－cosθ)＝8＋8sin(θ－)，又θ∈[0，π]，∴θ－∈[－，]，∴sin(θ－)∈[－，1]，∴|2a－b|2的最大值为16，∴|2a－b|的最大值为4，又|2a－b|<m恒成立，∴m>4.故m的取值范围为(4，＋∞)．82. [2014·牡丹江模拟]设e1，e2是两个不共线的向量，且a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，则实数λ＝()A．－1B．3C．－D．【答案】D【解析】∵a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，∴存在实数t，使得b＝ta，即－e2－e1＝t(e1＋λe2)，－ e2－e1＝te1＋tλe2，由题意，e1，e2不共线，∴t＝－1，tλ＝－，即λ＝，故选D.83.已知，若，则__________.【答案】1【解析】因为，所以，，解得。

平面向量有关习题及答案

平面向量有关习题及答案平面向量是高中数学中的一个重要概念，也是许多学生感到困惑的内容之一。

在这篇文章中，我将为大家提供一些关于平面向量的习题及答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一概念。

1. 习题：已知向量A = (2, 3)和向量B = (4, -1)，求向量A + B的坐标。

解答：向量A + B的坐标可以通过将A和B的相应坐标相加得到。

所以，A + B = (2 + 4, 3 + (-1)) = (6, 2)。

2. 习题：已知向量A = (3, -2)和向量B = (-1, 5)，求向量A - B的坐标。

解答：向量A - B的坐标可以通过将A和B的相应坐标相减得到。

所以，A - B = (3 - (-1), -2 - 5) = (4, -7)。

3. 习题：已知向量A = (1, 2)和向量B = (3, 4)，求向量A与向量B的数量积。

解答：向量A与向量B的数量积可以通过将A和B的相应坐标相乘，并将乘积相加得到。

所以，A·B = 1×3 + 2×4 = 11。

4. 习题：已知向量A = (2, 3)，求向量A的模长。

解答：向量A的模长可以通过使用勾股定理计算得到。

所以，|A| = √(2^2 +3^2) = √(4 + 9) = √13。

5. 习题：已知向量A = (1, 2)和向量B = (3, 4)，求向量A与向量B的夹角的余弦值。

解答：向量A与向量B的夹角的余弦值可以通过使用向量的数量积公式计算得到。

所以，cosθ = (A·B) / (|A| × |B|) = (1×3 + 2×4) / (√(1^2 + 2^2) × √(3^2 + 4^2)) = 11 / (√5 × √25) = 11 / (5 × 5) = 11 / 25。

通过以上习题及答案的解析，我们可以看到平面向量的运算和性质是相对简单的，只需要掌握一些基本的概念和计算方法就能够解决大部分的问题。

数学课程平面向量练习题及答案

数学课程平面向量练习题及答案平面向量练习题及答案1. 题目：给定向量a = (1, 2)和向量b = (3, -1)，求向量a与向量b的和。

解答：要求向量a与向量b的和，只需要将它们对应位置的分量相加即可。

所以向量a + 向量b = (1 + 3, 2 + (-1)) = (4, 1)。

2. 题目：已知向量a = (2, -3)和向量b = (-4, 5)，求向量a与向量b 的数量积。

解答：向量a与向量b的数量积（也称为点积或内积），可以通过将对应位置的分量相乘，并将乘积相加得到。

所以向量a·向量b = (2 * (-4)) + (-3 * 5) = (-8) + (-15) = -23。

3. 题目：已知向量a = (1, 2, -1)和向量b = (3, -2, 4)，求向量a与向量b的叉积。

解答：向量a与向量b的叉积（也称为矢量积或外积），可以通过计算以下行列式得到：| i j k || 1 2 -1 || 3 -2 4 |其中i、j和k分别代表x、y和z轴的单位向量。

按照行列式的计算规则，得到向量a×向量b = (2 * 4 - (-1) * (-2), (-1) * 3 - 1 * 4, 1 * (-2) - 2 * 3) = (10, -7, -8)。

4. 题目：已知向量a = (2, 3)和向量b = (-1, 4)，求向量a与向量b的夹角。

解答：要求向量a与向量b的夹角，可以通过计算它们的数量积和各自的模长来得到。

首先计算数量积：向量a·向量b = (2 * (-1)) + (3 * 4) = (-2) + 12 = 10。

接下来计算各自的模长：|向量a| = √(2^2 + 3^2) = √13，|向量b| = √((-1)^2 + 4^2) = √17。

最后，根据余弦定理，夹角θ的余弦值为：cosθ = 向量a·向量b / (|向量a| * |向量b|) = 10 / (√13 * √17) = 10 / √221。

高中数学第六章平面向量及其应用考点精题训练(带答案)

高中数学第六章平面向量及其应用考点精题训练单选题1、已知向量|a ⃗|=2,|b ⃗⃗|=4，且a ⃗,b ⃗⃗不是方向相反的向量，则|a ⃗−b ⃗⃗|的取值范围是（） A ．(2,6)B ．[2,6) C ．(2,6]D ．[2,6] 答案：B分析：直接由||a ⃗|−|b ⃗⃗||≤|a ⃗−b ⃗⃗|<|a ⃗|+|b⃗⃗|求解即可. 由已知必有||a ⃗|−|b ⃗⃗||≤|a ⃗−b ⃗⃗|<|a ⃗|+|b ⃗⃗|，则所求的取值范围是[2,6)．故选：B.2、已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3，t )，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = A ．-3B ．-2 C ．2D ．3 答案：C分析：根据向量三角形法则求出t ，再求出向量的数量积.由BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,t −3)，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√12+(t −3)2=1，得t =3，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,3)(1,0)=2×1+3×0=2．故选C ．小提示：本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大． 3、在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于（） A ．14B ．C ．√24D ．√23答案：B分析：利用余弦定理求得cosB . b 2=ac,c =2a ，则b 2=2a 2，由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac=a 2+4a 2−2a 22a⋅2a=34.故选：B344、某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得角∠A ＝23°，∠C ＝120°，AC =60√3米，则A ，B 间的直线距离约为（参考数据sin37°≈0.6）（）A ．60米B ．120米C ．150米D ．300米答案：C分析：应用正弦定理有ACsinB=AB sinC，结合已知条件即可求A ，B 间的直线距离.由题设，∠B =180°−∠A −∠C =37°，在△ABC 中，ACsinB=AB sinC，即60√3sin37°=√32，所以AB =90sin37°≈150米. 故选：C5、“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为36°的等腰三角形，暂且称为“黄金三角形A ”．如图所示，已知五角星是由5个“黄金三角形A ”与1个正五边形组成，其中sin18°=√5−14，则阴影部分面积与五角形面积的比值为（）．A ．√5−14B ．√55C ．√5+16D ．3√520分析：在三角形ABC 中，由sin18°值，可得BC AC=√5−12，即BD AB=√5−12，设△ABC 的面积为x ，由此可知△BCD 和△CEF 的面积均为√5−12x ，△CDE 的面积为x ，由此即可求出结果.如图所示，依题意，在三角形ABC 中，sin18°=BC 2AC=√5−14，故BC AC=√5−12；所以BD AB=√5−12，设△ABC 的面积为x ，则△BCD 面积为√5−12x ，同理△CEF 的面积为√5−12x ， △CDE 的面积为x ，则阴影部分面积与五角形面积的比值为2x+2⋅√5−12x 2⋅√5−12x+6x=√55. 故选：B ．6、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a =3，b =4，，则cosB =（）A ．23B ．√53C ．−√53D ．±√53答案：D分析：根据正弦定理及同角三角函数基本关系求解. 由正弦定理知，sinB =bsinA a=4×123=23，所以cosB =±√53， 6A π=7、已知向量a ⃗=(−1,m )，b ⃗⃗=(2,4)，若a ⃗与b ⃗⃗共线，则m =（） A ．−1B ．1C ．−2D ．2 答案：C分析：根据平面向量共线坐标表示可得答案. 由题意得2m =−4，即m =−2. 故选：C8、已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(t,1)，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2，则t =（） A ．5B ．4C ．3D ．2 答案：B分析：先根据已知条件计算BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗，再根据向量数量积的坐标运算求解即可得答案. 解：根据题意得：BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(t,1)−(2,2)=(t −2,−1)，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2(t −2)+2×(−1)=2t −4−2=2，解得t =4. 故选：B.小提示：本题考查向量的减法坐标运算，数量积的坐标运算，考查运算能力，是基础题. 多选题9、在下列向量组中，可以把向量a →=(3,2)表示出来的是（） A ．e 1→=(0,0),e 2→=(1,2)B ．e 1→=(−1,2),e 2→=(5,−2) C ．e 1→=(3,5),e 2→=(6,10)D ．e 1→=(2,−3),e 2→=(2,3) 答案：BD分析：根据a →=λe 1→+μe 2→，选项A ：无解，故选项A 不能；选项B ：解得λ=2，μ=1，故选项B 能．选项C ：无解，故选项C 不能．选项D ：解得λ=512，μ=1312，故选项D 能．解：根据a→=λe1→+μe2→，选项A：(3，2)=λ(0，0)+μ(1，2)，则3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能；选项B：(3，2)=λ(−1，2)+μ(5，−2)，则3=−λ+5μ，2=2λ−2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B能．选项C：(3，2)=λ(3，5)+μ(6，10)，则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C不能．选项D：(3，2)=λ(2，−3)+μ(2，3)，则3=2λ+2μ，2=−3λ+3μ，解得λ=512，μ=1312，故选项D能．故选：BD10、已知平面向量a⃗=(1,0)，b⃗⃗=(1,2√3)，则下列说法正确的是（）A．|a⃗+b⃗⃗|=16B．(a⃗+b⃗⃗)⋅a⃗=2C．向量a⃗+b⃗⃗与a⃗的夹角为30°D．向量a⃗+b⃗⃗在a⃗上的投影向量为2a⃗答案：BD分析：根据向量坐标得线性运算和模的坐标表示即可判断A；根据向量数量积的坐标表示即可判断B；根据cos〈a⃗+b⃗⃗,a⃗〉=(a⃗⃗+b⃗⃗)⋅a⃗⃗|a⃗⃗+b⃗⃗||a⃗⃗|即可判断C；根据投影向量的定义即可判断D.解：a⃗+b⃗⃗=(2,2√3)，则|a⃗+b⃗⃗|=√4+12=4，故A错误；(a⃗+b⃗⃗)⋅a⃗=2，故B正确；cos〈a⃗+b⃗⃗,a⃗〉=(a⃗⃗+b⃗⃗)⋅a⃗⃗|a⃗⃗+b⃗⃗||a⃗⃗|=12，又0°≤〈a⃗+b⃗⃗,a⃗〉≤180°，所以向量a⃗+b⃗⃗与a⃗的夹角为60°，故C错误；向量a⃗+b⃗⃗在a⃗上的投影向量为(a⃗⃗+b⃗⃗)⋅a⃗⃗|a⃗⃗|a⃗=2a⃗，故D正确.故选：BD.11、在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（）A．bsinB =a+b+csinA+sinB+sinCB．若A>B，则sin2A>sin2B C．a=bcosC+ccosBD ．若(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|)⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=12，则△ABC 为等边三角形答案：ACD分析：A 由正弦定理及等比的性质可说明；B 令A =π3,B =π6可得反例；C 由和角正弦公式及三角形内角和的性质有sinBcosC +sinCcosB =sinA ，由正弦定理即可证；D 若AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|,AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，根据单位向量的定义，向量加法的几何意义及垂直表示、数量积的定义易知△ABC 的形状. A ：由asinA =bsinB =csinC ，根据等比的性质有bsinB =a+b+csinA+sinB+sinC ，正确； B ：当A =π3,B =π6时，有sin2A =sin2B ，错误；C ：sinBcosC +sinCcosB =sin(B +C)，而B +C =π−A ，即sinBcosC +sinCcosB =sinA ，由正弦定理易得a =bcosC +ccosB ，正确；D ：如下图，AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|,AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|是单位向量，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，即AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0、AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12，则AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗且AG 平分∠BAC ，AE⃗⃗⃗⃗⃗⃗,AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的夹角为π3，易知△ABC 为等边三角形，正确.故选：ACD小提示：关键点点睛：D 选项，注意应用向量在几何图形中所代表的线段，结合向量加法、数量积的几何意义判断夹角、线段间的位置关系，说明三角形的形状. 12、已知向量m ⃗⃗⃗=(1,0)，n ⃗⃗=(12,12)，则（） A ．|m ⃗⃗⃗|=√2|n ⃗⃗|B ．(m ⃗⃗⃗−n ⃗⃗)//n ⃗⃗ C ．(m ⃗⃗⃗−n ⃗⃗)⊥n ⃗⃗D ．m ⃗⃗⃗与n ⃗⃗的夹角为π4 答案：ACD解析：由m ⃗⃗⃗，n ⃗⃗的坐标，根据向量模、夹角的坐标表示及向量垂直、平行的判定即可判断各选项的正误.∵m ⃗⃗⃗=(1,0)，n ⃗⃗=(12,12)，∴|m ⃗⃗⃗|=1，|n ⃗⃗|=√(12)2+(12)2=√22，∴|m ⃗⃗⃗|=√2|n ⃗⃗|，故A 正确； ∵m →−n →=(12,−12)，∴m ⃗⃗⃗−n ⃗⃗与n ⃗⃗不平行，故B 错误；又(m ⃗⃗⃗−n ⃗⃗)⋅n ⃗⃗=0，C 正确； ∵cos〈m ⃗⃗⃗,n ⃗⃗〉=m⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗|m⃗⃗⃗⃗||n ⃗⃗|=√22，又〈m ⃗⃗⃗,n ⃗⃗〉∈[0,π]，∴m ⃗⃗⃗与n ⃗⃗的夹角为π4， D 正确. 故选：ACD13、在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，点G 为△ABC 的重心，则下述结论中正确的是（） A ．AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗B ．AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) C ．AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗D ．GA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+GB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+GC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗ 答案：CD分析：根据向量的加法运算、相反向量、中线的向量表示，重心的性质分别计算求解. 由D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，点G 为△ABC 的重心，因为AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC →≠CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，故A 错误；由12(AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=AD →≠AG →, 故B 错误；因为AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=0⇀, 故C 正确；因为GA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+GB⃗⃗⃗⃗⃗⃗+GC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−23[12(AB →+AC →)+12(BA →+BC →)+12(CA →+CB →)] =−13(AB →+BA →+BC →+CB →+AC →+CA →)=0→, 故D 正确.故选：CD 填空题14、与向量a →＝(−3,4)平行的单位向量是________.答案：(35,−45)或(−35,45)分析：设所求单位向量的坐标为(x,y )，由与向量(−3,4)平行可得−3y −4x =0，又由其为单位向量，则x 2+y 2=1，联立即可求出答案．解：设所求单位向量的坐标为(x,y )，由与向量(−3,4)平行可得−3y −4x =0，又由其为单位向量，则x 2+y 2=1， ∴{4x +3y =0x 2+y 2=1得：{x =35y =−45或{x =−35y =45， ∴所以答案是：(35,−45)或(−35,45)15、已知A (2,3)，B (4,−3)，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−2BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则点P 的坐标为___________. 答案：(103,−1)分析：设P(x,y)，根据向量的坐标表示求出AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗,BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，再由向量的数量关系列方程组求出P 的坐标即可. 设P(x,y)，则AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x −2,y −3)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x −4,y +3)，又AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−2BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，有{，可得{，所以P 的坐标为(103,−1). 所以答案是：(103,−1)16、已知|OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1，若存在m,n ∈R ，使得mAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗与nAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗夹角为60∘，且|(mAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)−(nAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)|=12，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的最小值为___________. 答案：√132分析：设a ⃗=OAʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=mAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，b ⃗⃗=OBʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=nAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗可得A,Aʹ,B,Bʹ共线，又|a ⃗−b⃗⃗|=|BʹAʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=12，当|BʹAʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=12为最小时|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|最小，而此时Aʹ、Bʹ关于y 轴对称，结合已知即可求|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的最小值. 由题意，AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， ∴令a ⃗=OAʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=mAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1−m)OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+mOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，b ⃗⃗=OBʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=nAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1+n)OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−nOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，故有A,Aʹ,B,Bʹ共线，∵|a →−b →|=|BʹAʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=12，故当且仅当|BʹAʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=12为最小时，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|最小， ∴有Aʹ、Bʹ关于y 轴对称时，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|最小，此时O 到AB 的距离为√3⋅|BʹAʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2=√34， ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2=√1−316=√134，即|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√132.所以答案是：√132. 小提示：关键点点睛：应用向量的线性关系及共线性质，可知a ⃗=OAʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=mAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，b ⃗⃗=OBʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=nAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗、OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗、OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的终点共线，且|a ⃗−b⃗⃗|=|BʹAʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=12可分析得Aʹ、Bʹ关于y 轴对称时，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|最小，进而求最小值即可. 解答题17、在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，B =π3，a =3.(1)若，求b .(2)若______，求c 的值及△ABC 的面积.4A π=请从①b =√13，②sinC =2sinA ，这两个条件中任选一个，将问题（2）补充完整，并作答. 答案：(1)3√62； (2)选①c =4，S △ABC =3√3；选②c =6，S △ABC =9√32分析：(1)根据正弦定理计算即可得出结果；(2)利用余弦定理或正弦定理求出c 的值，再结合三角形的面积公式计算即可. (1)B =π3，a =3，A =π4，由正弦定理，得，所以b =a sinA ×sinB =√22√32=3√62； (2)选①：由余弦定理，得，即13=c 2+9−2×3c ×12，整理，得c 2−3c −4=0，由c >0，得c =4，所以S △ABC =12acsinB =12×3×4×√32=3√3；选②：因为sinC =2sinA ，由正弦定理，得c =2a ，所以c =6，所以S △ABC =12acsinB =12×6×3×√32=9√32.18、已知点O (0，0)，A (1，2).（1）若点B (3t ，3t )，OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？（2）若B (4，5)，P (1＋3t ，2＋3t )，则四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求t 值；若不能，说明理由. 答案：（1）答案见解析；（2）不能，理由见解析.分析：（1）首先求出OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗的坐标，再根据P 的位置，得到方程或不等式组，解得即可；（2）表示出OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,若四边形OABP 为平行四边形，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，得到方程组，即可判断；解：（1），若点P 在x 轴上，则2+3t =0，∴t =−23. 若点P 在y 轴上，则1+3t =0，∴t =−13.sin sin b aB A =2222cos b a c ac B =+-()()()1,23,313,23OP OA OB t t t t =+=+=++u u u r u u u r u u u r若点P 在第二象限，则{2+3t >01+3t <0，∴−23<t <−13. （2）因为OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,2)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(4,5)−(1+3t,2+3t )=(3−3t,3−3t ). 若四边形OABP 为平行四边形，则PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， ∴{3−3t =13−3t =2该方程组无解. 故四边形OABP 不能成为平行四边形.。

高中数学平面向量精选题目(附答案)

高中数学平面向量精选题目（附答案）一、平面向量的概念及线性运算1.在△ABC 中，点M ，N 满足AM ―→＝2MC ―→，BN ―→＝NC ―→.若MN ―→＝x AB ―→＋y AC ―→，则x ＝________；y ＝________.[解析] ∵AM ―→＝2MC ―→，∴AM ―→＝23AC ―→. ∵BN ―→＝NC ―→，∴AN ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)， ∴MN ―→＝AN ―→－AM ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)－23AC ―→ ＝12AB ―→－16AC ―→. 又MN ―→＝x AB ―→＋y AC ―→， ∴x ＝12，y ＝－16. [答案] 12 －16 注：向量线性运算的基本原则向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．2．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( ) A ．13 B ．－13 C ．9D ．－9解析：选D ∵AB ―→＝(－8,8)，AC ―→＝(3，y ＋6)．又∵AB ―→∥AC ―→，∴－8(y ＋6)－24＝0.∴y ＝－9.3.如图，点A ，B ，C 是圆O 上不重合的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点P .若OC ―→＝m OA ―→＋2m OB ―→，AP ―→＝λAB ―→，则λ＝( )A.56B.45C.34D.23解析：选D 由题意，设OP ―→＝n OC ―→. 因为AP ―→＝OP ―→－OA ―→＝λ(OB ―→－OA ―→)，故n OC ―→－OA ―→＝λ(OB ―→－OA ―→)，n (m OA ―→＋2m OB ―→)－OA ―→＝λ(OB ―→－OA ―→)，即(mn ＋λ－1)OA ―→＋(2mn －λ)OB ―→＝0.而OA ―→与OB ―→不共线，故有⎩⎨⎧mn ＋λ－1＝0，2mn －λ＝0，解得λ＝23.选D.4.如图，半径为1的扇形AOB 的圆心角为120°，点C 在AB 上，且∠COB ＝30°.若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，则λ＋μ＝________.解析：由已知，可得OA ⊥OC ，以O 为坐标原点，OC ，OA 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则有C (1,0)，A (0,1)，B (cos 30°，－sin 30°)，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12.于是OC ―→＝(1,0)，OA ―→＝(0,1)，OB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，由OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，得(1,0)＝λ(0,1)＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32μ，λ－12μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧32μ＝1，λ－12μ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝233，λ＝33.∴λ＋μ＝ 3. 答案：3二、平面向量的数量积5.(1)设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋kb .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ) A ．－32 B ．－53 C.53D.32(2)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB ―→|＝6，|AD ―→|＝4.若点M ，N 满足BM ―→＝3MC ―→，DN ―→＝2NC ―→，则AM ―→·NM ―→＝( )A ．20B ．15C ．9D ．6[解析] (1)c ＝a ＋kb ＝(1＋k,2＋k ), 又b ⊥c ，所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得k ＝－32.(2)如图所示，由题设知：AM ―→＝AB ―→＋BM ―→＝AB ―→＋34AD ―→，NM ―→＝NC ―→－MC ―→＝13AB ―→－14AD ―→， ∴AM ―→·NM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→＋34 AD ―→ ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13 AB ―→－14 AD ―→ ＝13|AB ―→|2－316|AD ―→|2＋14AB ―→·AD ―→－14AB ―→·AD ―→＝13×36－316×16＝9. [答案] (1)A (2)C 注：(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中已知向量的模和夹角进行计算．6．已知△ABC 中，AB ―→＝c ，BC ―→＝a ，CA ―→＝b ，若a ·b ＝b ·c 且c ·b ＋c ·c ＝0，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．等腰非直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解析：选D 由c ·b ＋c ·c ＝c ·(b ＋c )＝0，即AB ―→·(CA ―→＋AB ―→)＝AB ―→·CB ―→＝0，可得∠B 是直角．又由a ·b ＝b ·c ，可得b ·(a －c )＝0，即CA ―→·(BC ―→＋BA ―→)＝0，所以CA 与CA 边的中线垂直，所以△ABC 是等腰直角三角形．7．若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A.2－1 B ．1 C. 2D ．2解析：选B 由题意，知a 2＝1，b 2＝1，c 2＝1，由a ·b ＝0及(a －c )·(b －c )≤0，知(a ＋b )·c ≥c 2＝1.因为|a ＋b －c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ＝3－2(a ·c ＋b ·c )≤1，故|a ＋b －c |的最大值为1.8．已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 方向上的投影是________．解析：∵|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，∴b 在a 方向上的投影是|b |cos 60°＝1.答案：19．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC ―→·BE ―→＝1，则AB 的长为________．解析：设|AB ―→|＝x ，x ＞0，则AB ―→·AD ―→＝12x .又AC ―→·BE ―→＝(AD ―→＋AB ―→)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→－12 AB ―→ ＝1－12x 2＋14x ＝1，解得x ＝12，即AB 的长为12. 答案：12三、平面向量与三角函数的综合问题10.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值． [解] (1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0.由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0， ∴tan x ＝1.(2)∵m 与n 的夹角为π3， ∴m ·n ＝|m |·|n |cos π3，即22sin x －22cos x ＝12， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.又∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4，∴x －π4＝π6，即x ＝5π12. 注：在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．11．已知向量a ＝(6sin α，2)与向量b ＝(3,4sin α)平行，则锐角α＝( ) A.π4B.π6C.π3D.5π12解析：选B 因为向量a ＝(6sin α，2)与向量b ＝(3,4sin α)平行，所以24sin 2α＝6，所以sin 2α＝14，sin α＝±12.又α是锐角，所以sin α＝12，α＝π6.12．(2017·江苏高考)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．解：(1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，所以－3cos x ＝3sin x . 则tan x ＝－33.又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.巩固练习：1.如图所示，在△ABC 中，设AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点恰为P ，则AP ―→＝( )A.12a ＋12bB.13a ＋23bC.27a ＋47bD.47a ＋27b2．已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|a －b |＝( ) A ．0B ．1C ．2 D. 53．若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 的坐标为( ) A ．(3，－6) B ．(－3,6) C ．(6，－3)D ．(－6,3)4．已知平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，|a －b |＝x ，a ·b ＝－38x ，则x ＝( ) A. 3 B ．2 C. 5D ．35．在△ABC 中，(BC ―→＋BA ―→)·AC ―→＝|AC ―→|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形6．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，且a ，b ，c 两两所成的角相等，则|a ＋b ＋c |等于( )A ．6或 3B ．6或 2 C. 2D ．67．设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. 8．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 9．已知向量OA ―→＝(1,7)，OB ―→＝(5,1)(O 为坐标原点)，设M 为直线y ＝12x 上的一点，那么MA ―→·MB ―→的最小值是________．10．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |.11．已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，a 与b 满足|ka ＋b |＝3|a －kb |，其中k >0.(1)用k 表示a ·b ；(2)求a ·b 的最小值，并求出此时a ，b 的夹角．12．已知平面上三个向量a ，b ，c 的模均为1，它们两两之间的夹角均为120°. (1)求证：(a －b )⊥c ；(2)若|ka ＋b ＋c |>1(k ∈R)，求实数k 的取值范围．参考答案：1.解析：选C 连接BP ，则AP ―→＝AC ―→＋CP ―→＝b ＋PR ―→， ① AP ―→＝AB ―→＋BP ―→＝a ＋RP ―→－RB ―→. ② 由①＋②，得2AP ―→＝a ＋b －RB ―→.③ 又RB ―→＝12QB ―→＝12(AB ―→－AQ ―→)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12 AP ―→ ，④将④代入③，得2AP ―→＝a ＋b －12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12 AP ―→ ，解得AP ―→＝27a ＋47b .2.解析：选D 因为|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－0＋22＝5，所以|a －b |＝5，故选D.3.解析：选A 由题意设b ＝λa ＝(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b |＝35，则λ2＋4λ2＝35，所以λ＝－3，b ＝(3，－6)．4.解析：选B |a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝x 2，两式相减得4a ·b ＝1－x 2.又a ·b ＝－38x ，所以1－x 2＝－32x ，解得x ＝2或x ＝－12(舍去)．故选B.5.解析：选C 由(BC ―→＋BA ―→)·AC ―→＝|AC ―→|2，得AC ―→·(BC ―→＋BA ―→－AC ―→)＝0，即AC ―→·(BC ―→＋BA ―→＋CA ―→)＝0，∴2AC ―→·BA ―→＝0，∴AC ―→⊥BA ―→，∴A ＝90°.故选C.6.解析：选A ∵a ，b ，c 两两所成的角相等， ∴这个角为0°或120°.当夹角为0°时，|a ＋b ＋c |＝|a |＋|b |＋|c |＝1＋2＋3＝6，排除C ；当夹角为120°时，a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，b ·c ＝|b ||c |·cos 120°＝2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－3，c ·a ＝|c ||a |cos 120°＝3×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32， ∴|a ＋b ＋c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝12＋22＋32＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－3－32＝3，∴|a ＋b ＋c |＝ 3. ∴|a ＋b ＋c |＝6或 3.7.解析：∵|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2， ∴a ·b ＝0.又a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，∴m ＋2＝0，∴m ＝－2. 答案：－28.解析：∵a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ， ∴－2m －4×3＝0.∴m ＝－6. 答案：－69.解析：设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12x ，则MA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x ，7－12x ，MB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5－x ，1－12x ，MA ―→·MB―→＝(1－x )(5－x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫7－12x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x ＝54(x －4)2－8.所以当x ＝4时，MA ―→·MB ―→ 取得最小值－8.答案：－810.解：(1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4a 2－4a ·b －3b 2＝61，即64－4a ·b －27＝61. ∴a ·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12，∴θ＝120°.(2)|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－6)＋9＝13.11.解：(1)将|ka ＋b |＝3|a －kb |两边平方，得|ka ＋b |2＝(3|a －kb |)2，k 2a 2＋b 2＋2ka ·b ＝3(a 2＋k 2b 2－2ka ·b )，∴8ka ·b ＝(3－k 2)a 2＋(3k 2－1)b 2， a ·b ＝(3－k 2)a 2＋(3k 2－1)b 28k.∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，∴a 2＝1，b 2＝1，∴a ·b ＝3－k 2＋3k 2－18k ＝k 2＋14k .(2)∵k 2＋1≥2k (当且仅当k ＝1时等号成立)，即k 2＋14k ≥2k 4k ＝12，∴a ·b 的最小值为12.设a ，b 的夹角为γ，则a ·b ＝|a ||b |cos γ. 又|a |＝|b |＝1，∴12＝1×1×cos γ，∴γ＝60°，即当a ·b 取最小值时，a 与b 的夹角为60°.12.解：(1)证明：∵|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ，b ，c 之间的夹角均为120°， ∴(a －b )·c ＝a ·c －b ·c ＝|a ||c |cos 120°－|b ||c |·cos 120°＝0，∴(a －b )⊥c . (2)∵|ka ＋b ＋c |>1，∴(ka ＋b ＋c )2>1，即k 2a 2＋b 2＋c 2＋2ka ·b ＋2ka ·c ＋2b ·c >1，∴k 2＋1＋1＋2k cos 120°＋2k cos 120°＋2cos 120°>1. ∴k 2－2k >0，解得k <0或k >2.∴实数k 的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)．。

高中数学平面向量基本定理题库

高中数学平面向量基本定理题库1. 向量的概念与运算(a) 请简述向量的定义，并说明向量与有向线段的关系。

(b) 如何表示向量的模、方向和共线性？(c) 证明向量加法满足交换律和结合律。

(d) 向量的数量积和叉积分别是什么，它们有什么特点？2. 平面向量基本定理(a) 什么是平面向量基本定理？请写出其几何解释。

(b) 根据平面向量基本定理，如果向量a和向量b的数量积为0，能得出什么结论？(c) 证明平面向量基本定理对应的数学表达式。

3. 平面向量基本定理的应用(a) 判断以下向量是否共线：向量m = (2, -3)和向量n = (-4, 6)。

(b) 若向量a = (3, -2)和向量b = (k, 4)共线，求k的值。

4. 平行四边形的性质(a) 平行四边形的定义和性质是什么？(b) 若平行四边形ABCD中，向量AB = (3, 5)和向量AD = (1, 2)，求向量AC和向量BC。

5. 三角形的面积与向量表示(a) 利用向量求证：三角形的面积公式。

(b) 已知三角形ABC的顶点坐标分别为A(2, 1)，B(-1, 3)和C(3, -2)，求三角形ABC的面积。

6. 向量垂直与平行的判定(a) 如何判断两个向量垂直？(b) 如何判断两个向量平行？(c) 证明向量的数量积性质：若向量a与向量b垂直，且向量b与向量c平行，则向量a与向量c垂直。

7. 向量投影与向量夹角(a) 定义向量的投影是什么？(b) 如何计算向量在另一个向量上的投影？(c) 定义向量的夹角是什么？(d) 利用向量的数量积计算夹角的公式是什么？总结：以上是高中数学平面向量基本定理题库的内容。

数学精英解“平面向量”题

平面向量专题练习(带答案详解)

人教A版高中数学必修第二册6.2平面向量的运算 经典例题及课后练习题

平面向量经典例题30道

平面向量练习题及答案

全国通用2023高中数学必修二第六章平面向量及其应用经典大题例题

初中数学解题技巧迅速解决复杂的平面向量题目

平面向量50道解答题

高三数学平面向量基本定理试题答案及解析

数学精英解“平面向量”题

平面向量习题及答案

方法技巧专题26 平面向量(解析版)

平面向量经典练习题(含答案)

含解析高中数学《平面向量》专题训练30题（精）

高三数学平面向量试题答案及解析

平面向量有关习题及答案

数学课程平面向量练习题及答案

高中数学第六章平面向量及其应用考点精题训练(带答案)

高中数学平面向量精选题目(附答案)

高中数学平面向量基本定理题库

人教A版高中数学必修第二册6.2平面向量的运算经典例题及课后练习题