信号与系统

注意： 信号ε(t)在 处和 处和ε(t-t0)在t=t0处都是不连续的。 注意： 信号 在t=0处和 在 处都是不连续的。 21
图 1.4-2 单边信号和区间分段信号
f1(t) sin ω 0t 1 1 f2(t) sin ω 0t 1 f3(t)
o
t
o
t0
t
－2 －1 0 －1
1
2
3
t
－1
(a)
∞
−∞
f (t )δ '(t )dt = f (0) ∫ δ ' ' (t )dt − f ' (0) ∫ δ ' (t )dt = − f ' (0)
−∞ −∞
∞
∞
同理， 将δ′(t)换成δ′(t-t0)， 重复上述推导过程
f (t )δ ' (t − t0 ) = f (t0 )δ ' (t − t0 ) − f ' (t0 )δ (t − t0 )
41
δ ′(t)
(1)
o (－1)
t
图 1.4-4 单位冲激偶δ′(t)
42
43
同理，由广义函数的微分运算定义，并考虑到φ(∞)=0， 单位阶跃信号ε(t)的导数可表示为
∫
∞
−∞
ε (t )ϕ (t )dt = − ∫ ε (t )ϕ (t )dt = − ∫ ϕ ' (t )dt = ϕ (0) − ϕ (∞) = ϕ (0)
∫
∞
−∞
f (t )δ '(t − t0 )dt = − f ' (t0 )
48
49
性质4 性质 尺度变换 设常数a≠0，按照广义函数尺度变换和微分运算的 定义，可将δ(n)(at)表示为
50
根据广义函数相等的定义， 可得到
δ
(n)
1 1 (n) ( at ) = ⋅ n δ (t ) a a
∆ →0
24
δ (t ) = lim p∆ (t ) = lim
∆ →0
d ε ∆ (t ) ∆ →0 dt
p ∆ (t)
d d = lim ε ∆ (t ) = ε (t ) dt ∆→0 dt
[
]
δ (t)
2
∆
1
(1)
∆
o
∆
2
(a)
∆
t
o (b)
t
图 1.4-3 单位冲激信号
E ∆ lim ∫
τ
2 τ τ →∞ − 2
f (t ) dt
τ
2 τ − 2
2
P ∆ lim
τ →∞
τ∫
1
f (t ) dt
2
离散信号
4
信号划分： 1. 能量信号 2. 功率信号 3. 两者都不是 （如x(t) =t)
5
周期信号再讨论 例 1.1-1 试判断下列信号是否为周期信号。若是，确 定其周期。 (1) f1(t)=sin 2t+cos 3t (2) f2(t)=cos 2t+sinπt 解 如果两个周期信号x(t)和y(t)的周期具有公倍数 （两个周期的比值为有理数），则它们的和信号 f(t)=x(t)+y(t)仍然是一个周期信号， 其周期是x(t)和y(t) 周期的最小公倍数。
g (t )ϕ (t )dt = N g [φ (t )]
31
表 1.1 广义函数与普通函数的对应关系
借力
32
广义函数的基本运算包括： （1）相等 ） 若 N g1[ϕ (t )] = N g 2 [ϕ (t )], 则定义
g1 (t ) = g 2 (t )
（2）相加 ） 若 N g [ϕ (t )] = N g1[ϕ (t )] + N g 2 [ϕ (t )], 则定义
29
1.4.3 广义函数和 函数性质 广义函数和δ函数性质 函数性质 常规函数：在间断点处的导数不存在。除间断点外， 自变量t在定义域内取某值时，函数有确定的值。 但单位阶跃信号ε(t)在间断点处的导数是单位冲激信 号，δ函数在其惟一不等于零的点t=0处的函数值为无限 大。显然，这些结论是与常规函数的定义相违背的。 人们将这类非常规函数称为奇异函数或广义函数。
6
(1) 因为sin 2t是一个周期信号，其角频率ω1和 周期T1为 2π
ω1 = 2rad / s, T1 =
ω1
= πs
2π 2π ω 2 = 3rad / s, T2 = = = s ω2 3 3
(2) 同理，可先求得f2(t)中两个周期信号cos2t和 sinπt的周期分别为
2π
T1 = πs
∫
∞
−∞
f (t )δ (t )dt = f (0) ∫ δ (t )dt = f (0)
−∞
∞
f (t )δ (t − t0 ) = f (t0 )δ (t − t0 )
∫
∞
−∞
f (t )δ (t − t0 )dt = f (t0 )
37
38
例 1.4 –1 试化简下列各信号的表达式。
39
40
2
幅度：无限精度（抽样信号）到有限精度（数字信号） 幅度：无限精度（抽样信号）到有限精度（数字信号）
Amplitude x(t)
111 3.1867 110 2.2762 101 1.3657 100 0.4552 011 -0.4552 010 -1.3657 001 -2.2762 000 -3.1867
25
26
27
28
Dirac Delta函数
δ (t) = 0
∫
+∞
−∞
δ (t)dt =1
( t ≠ 0)
∫
+∞
−∞
δ (t)dt = ∫0 δ (t)dt
−
0+
函数值只在t = 0时不为零； 时不为零； 函数值只在 时不为零 积分面积为1 积分面积为1；
δ t =0 时， ( t ) →∞ ，为无界函数。 为无界函数。
∞
−∞
∞
借力
∆ 1 ∆ 1 lim ∫ p∆ (t )ϕ (t )dt = lim ∫ ϕ (t )dt = lim ϕ (0) ∫ dt = ϕ (0) 0 ∆ →0 − ∞ ∆ →0 ∆ 0 ∆ →0 ∆
∞
δ (t ) = lim p∆ (t )
∆ →0
35
3. δ函数的性质 函数的性质 函数的性质 δ函数与普通函数f(t)相乘 若将普通函数f(t)与广义函数δ(t)的乘积看成是新的 广义函数， 则按广义函数定义和δ函数的筛选性质， 有
' ' −∞ 0
∞
∞
44
45
总结：f(t)，u(t)，δ(t)， δ’(t) 之间的关系
性质3 δ′(t)函数与普通函数f(t)相乘 性质
47
根据广义函数相等的定义， 有
f (t)δ ' (t) = f (0)δ ' (t) − f ' (0)δ (t)
对上式两边在(-∞, ∞)区间取积分
∫
信号与系统
（2）
白 勇
海南大学 信息学院 2011年 2011年2月25日 25日
1
模拟信号，抽样信号，数字信号（复习）
•模拟信号：时间和幅值均为连续 模拟信号： 模拟信号 抽 的信号。 的信号。 样 •抽样信号：时间离散的，幅值 抽样信号：时间离散的， 抽样信号 量 连续的信号。 连续的信号。 化 • 信号： 信号：时间和幅值均为离散 的信号。 的信号。
11
1.指数信号 1.指数信号 2.正弦信号 2.正弦信号 3.复指数信号(表达具有普遍意义) 3.复指数信号(表达具有普遍意义) 复指数信号 4. 抽样信号 抽样信号(Sampling Signal) 5.钟形脉冲函数(高斯函数) 5.钟形脉冲函数(高斯函数) 钟形脉冲函数
12
13
14
15
(1.4-36)
当n=0和1时，分别有 n=0 1
1 δ ( at ) = δ (t ) a 1 1 δ ' (at ) = ⋅ δ ' (t ) a a
51
性质5 性质 奇偶性 式(1.4 - 36)中，若取a=-1， 则可得
δ δ
(n)
( −t ) = ( −1) δ
n
(n)
(t )
显然， 当n为偶数时， 有
－1
(b)
(c)
22
而图1.4-2(c)所示的区间分段信号 f3(t)为 1
3 (t + 2) 1 f 3 (t ) = − (t − 1) 2 0
−2 < t <1
1< t < 3 其他t
可应用几个不同时移的单位阶跃信号把f3(t)表示为
1 1 f 3 (t ) = (t + 2)[ε (t + 2) − ε (t − 1)] − (t − 1)[ε (t − 1) − ε (t − 3)] 3 2
ε∆ (t) ε (t) ε (t－t 0)
1
1
1
o
∆
t
o
t
o
t0 (c)
t
(a)
(b)
0 1 ε ∆ (t ) = t ∆ 1
t<0 0<t<∆ t>∆
0(t < 0) ε (t ) ∆ lim ε ∆ (t ) = ∆ →0 1(t > 0)
0 t < t0 ε (t − t0 ) = 1 t > t0
∞ ∞
∫
−∞
[ f (t )δ (t )]ϕ (t )dt = ∫ δ (t )[ f (t )ϕ (t )] = f (0)ϕ (0)