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图论中的一种理论与方法，研究网络上的一类最优化问题。

1955年，T.E. 哈里斯在研究铁路最大通量时首先提出在一个给定的网络上寻求两点间最大运输量的问题。

1956年，L.R. 福特和 D.R. 富尔克森等人给出了解决这类问题的算法，从而建立了网络流理论。

所谓网络或容量网络指的是一个连通的赋权有向图D＝（V、E、C），其中V 是该图的顶点集，E是有向边(即弧)集，C是弧上的容量。

此外顶点集中包括一个起点和一个终点。

网络上的流就是由起点流向终点的可行流，这是定义在网络上的非负函数，它一方面受到容量的限制，另一方面除去起点和终点以外，在所有中途点要求保持流入量和流出量是平衡的。

如果把下图看作一个公路网，顶点v1…v6表示6座城镇，每条边上的权数表示两城镇间的公路长度。

现在要问：若从起点v1将物资运送到终点v6去，应选择那条路线才能使总运输距离最短 这样一类问题称为最短路问题。

如果把上图看作一个输油管道网，v1 表示发送点，v6表示接收点，其他点表示中转站，各边的权数表示该段管道的最大输送量。

现在要问怎样安排输油线路才能使从v1到v6的总运输量为最大。

这样的问题称为最大流问题。

最大流理论是由福特和富尔克森于1956 年创立的，他们指出最大流的流值等于最小割(截集)的容量这个重要的事实，并根据这一原理设计了用标号法求最大流的方法，后来又有人加以改进，使得求解最大流的方法更加丰富和完善。

最大流问题的研究密切了图论和运筹学，特别是与线性规划的联系，开辟了图论应用的新途径。

目前网络流的理论和应用在不断发展，出现了具有增益的流、多终端流、多商品流以及网络流的分解与合成等新课题。

网络流的应用已遍及通讯、运输、电力、工程规划、任务分派、设备更新以及计算机辅助设计等众多领域。

网络流算法一、网络流的基本概念先来看一个实例。

现在想将一些物资从S运抵T，必须经过一些中转站。

连接中转站的是公路，每条公路都有最大运载量。

如下图：每条弧代表一条公路，弧上的数表示该公路的最大运载量。

最多能将多少货物从S运抵T？这是一个典型的网络流模型。

为了解答此题，我们先了解网络流的有关定义和概念。

若有向图G=(V,E)满足下列条件：1、有且仅有一个顶点S，它的入度为零，即d-(S) = 0，这个顶点S便称为源点，或称为发点。

2、有且仅有一个顶点T，它的出度为零，即d+(T) = 0，这个顶点T便称为汇点，或称为收点。

3、每一条弧都有非负数，叫做该边的容量。

边(vi, vj)的容量用cij表示。

则称之为网络流图，记为G = (V, E, C)譬如图5-1就是一个网络流图。

1．可行流对于网络流图G，每一条弧(i,j)都给定一个非负数fij，这一组数满足下列三条件时称为这网络的可行流，用f表示它。

1、每一条弧(i,j)有fij≤cij。

2、除源点S和汇点T以外的所有的点vi，恒有：该等式说明中间点vi的流量守恒，输入与输出量相等。

3、对于源点S和汇点T有：这里V(f)表示该可行流f的流量。

例如对图5-1而言，它的一个可行流如下：流量V(f) = 5。

2．可改进路给定一个可行流f=。

若fij = cij，称<vi, vj>为饱和弧；否则称<vi, vj>为非饱和弧。

若fij = 0，称<vi, vj>为零流弧；否则称<vi, vj>为非零流弧。

定义一条道路P，起点是S、终点是T。

把P上所有与P方向一致的弧定义为正向弧，正向弧的全体记为P+；把P上所有与P方向相悖的弧定义为反向弧，反向弧的全体记为P-。

譬如在图5-1中，P = (S, V1, V2, V3, V4, T)，那么P+ = {<S, V1>, <V1, V2>, <V2, V3>, <V4, T>}P- = {<V4, V3>}给定一个可行流f，P是从S到T的一条道路，如果满足：那么就称P是f的一条可改进路。

（有些书上又称：可增广轨）之所以称作―可改进‖，是因为可改进路上弧的流量通过一定的规则修改，可以令整个流量放大。

具体方法下一节会重点介绍，此不赘述。

3．割切要解决网络最大流问题，必须先学习割切的概念和有关知识。

G = (V, E, C)是已知的网络流图，设U是V的一个子集，W = V\U，满足S U，T W。

即U、W把V分成两个不相交的集合，且源点和汇点分属不同的集合。

对于弧尾在U，弧头在W的弧所构成的集合称之为割切，用（U，W）表示。

把割切（U，W）中所有弧的容量之和叫做此割切的容量，记为C（U，W），即：例如图5-1中，令U = {S, V1}，则W = {V2, V3, V4, T}，那么C(U, W) = <S, V2> + <V1, V2> + <V1, V3>+<V1, V4>=8+4+4+1=17定理：对于已知的网络流图，设任意一可行流为f，任意一割切为(U, W)，必有：V(f) ≤ C(U, W)。

通俗简明的讲：―最大流小于等于最小割‖。

这是―流理论‖里最基础最重要的定理。

整个―流‖的理论系统都是在这个定理上建立起来的，必须特别重视。

下面我们给出证明。

网络流、可改进路、割切都是基础的概念，应该扎实掌握。

它们三者之间乍一看似乎风马牛不相干，其实内在联系是十分紧密的。

二、求最大流何谓最大流？首先它必须是一个可行流；其次，它的流量必须达到最大。

这样的流就称为最大流。

譬如对图5-1而言，它的最大流如下：下面探讨如何求得最大流。

在定义―可改进路‖概念时，提到可以通过一定规则修改―可改进路‖上弧的流量，可以使得总流量放大。

下面我们就具体看一看是什么―规则‖。

对可改进路P上的弧<vi, vj>，分为两种情况讨论：第一种情况：<vi, vj>∈P+，可以令fij增加一个常数delta。

必须满足fij + delta ≤ cij，即delta ≤ cij – fij。

第二种情况：<vi, vj>∈P-，可以令fij减少一个常数delta。

必须满足fij - delta ≥ 0，即delta ≤ fij根据以上分析可以得出delta的计算公式：因为P+的每条弧都是非饱和弧，P-的每条弧都是非零流弧，所以delta > 0。

容易证明，按照如此规则修正流量，既可以使所有中间点都满足―流量守恒‖（即输入量等于输出量），又可以使得总的流量有所增加（因为delta > 0）。

因此我们对于任意的可行流f，只要在f中能找到可改进路，那么必然可以将f 改造成为流量更大的一个可行流。

我们要求的是最大流，现在的问题是：倘若在f中找不到可改进路，是不是f就一定是最大流呢？答案是肯定的。

下面我们给出证明。

定理1 可行流f是最大流的充分必要条件是：f中不存在可改进路。

证明：首先证明必要性：已知最大流f，求证f中不存在可改进路。

若最大流f中存在可改进路P，那么可以根据一定规则（详见上文）修改P中弧的流量。

可以将f的流量放大，这与f是最大流矛盾。

故必要性得证。

再证明充分性：已知流f，并且f中不存在可改进路，求证f是最大流。

我们定义顶点集合U, W如下：（a）S∈U，（b）若x∈U，且fxy<cxy，则y∈U;若x∈U，且fyx>0，则y∈U。

（这实际上就是可改进路的构造规则）（c）W = V \ U。

由于f中不存在可改进路，所以T∈W；又S∈U，所以U、W是一个割切（U, W）。

按照U的定义，若x∈U，y∈W，则fxy = cxy。

若x∈W，y∈U，则fxy = 0。

所以，又因v(f)≤C(U,W)所以f是最大流。

得证。

根据充分性证明中的有关结论，我们可以得到另外一条重要定理：最大流最小割定理：最大流等于最小割，即max V(f) = min C(U, W)。

至此，我们可以轻松设计出求最大流的算法：step 1. 令所有弧的流量为0，从而构造一个流量为0的可行流f（称作零流）。

step 2. 若f中找不到可改进路则转step 5；否则找到任意一条可改进路P。

step 3. 根据P求delta。

step 4. 以delta为改进量，更新可行流f。

转step 2。

step 5. 算法结束。

此时的f即为最大流。

三、最小费用最大流1．问题的模型流最重要的应用是尽可能多的分流物资，这也就是我们已经研究过的最大流问题。

然而实际生活中，最大配置方案肯定不止一种，一旦有了选择的余地，费用的因素就自然参与到决策中来。

图5-8是一个最简单的例子：弧上标的两个数字第一个是容量，第二个是费用。

这里的费用是单位流量的花费，譬如fs1=4，所需花费为3*4=12。

容易看出，此图的最大流（流量是8）为：fs1 = f1t = 5, fs2 = f2t = 3。

所以它的费用是：3*5+4*5+7*3+2*3 = 62。

一般的，设有带费用的网络流图G = (V, E, C, W)，每条弧<Vi, Vj>对应两个非负整数Cij、Wij，表示该弧的容量和费用。

若流f满足：(a) 流量V(f)最大。

(b) 满足a的前提下，流的费用Cost(f) = 最小。

就称f是网络流图G的最小费用最大流。

2．算法设计我们模仿求最大流的算法，找可改进路来求最小费用最大流。

设P是流f的可改进路，定义为P的费用（为什么如此定义？）。

如果P是关于f的可改进路中费用最小的，就称P是f的最小费用可改进路。

求最小费用最大流的基本思想是贪心法。

即：对于流f，每次选择最小费用可改进路进行改进，直到不存在可改进路为止。

这样的得到的最大流必然是费用最小的。

算法可描述为：step 1. 令f为零流。

step 2. 若无可改进路，转step 5；否则找到最小费用可改进路，设为P。

step 3. 根据P求delta（改进量）。

step 4. 放大f。

转step 2。

step 5. 算法结束。

此时的f即最小费用最大流。

至于算法的正确性，可以从理论上证明。

读者可自己思考或查阅有关运筹学资料。

2．最小费用可改进路的求解求―最小费用可改进路‖是求最小费用最大流算法的关键之所在，下面我们探讨求解的方法。

设带费用的网络流图G = (V, E, C, W)，它的一个可行流是f。

我们构造带权有向图B = (V’, E’)，其中：1、V’ = V。

2、若<Vi, Vj>∈E，fij<Cij，那么<Vi, Vj>∈E’，权为Wij。

若<Vi, Vj>∈E，fij>0，那么<Vj, Vi>∈E’，权为-Wij。

显然，B中从S到T的每一条道路都对应关于f的一条可改进路；反之，关于f的每条可改进路也能对应B中从S到T的一条路径。