高考全程复习高三理科一轮复习资料第一章 1.1 集合

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高三数学第一轮复习1.1 集合的概念与运算

B.{1,2,4}
C.{1,2,4,6} D.{x∈R|-1≤x≤5}
∵A={1,2,6},B={2,4},∴A∪B={1,2,4,6}. ∵C={x∈R|-1≤x≤5}, ∴(A∪B)∩C={1,2,4}.故选B.
B解析-21-关闭关闭答案第一章
1.1 集合的概念与运算
知识体系
知识梳理
核心考点
≥ <
2��, -1
或
�� + 3 2�� >
≥ 4,
2��,解得
a<-4
或
2<a≤3.
综上可得,实数 a 的取值范围为(-∞,-4)∪(2,+∞).
(-∞,-4)∪(2,+∞)
图(1) 图(2)
关闭
解析答案
第一章
1.1 集合的概念与运算
知识体系
知识梳理
核心考点
-19-
考点1
考点2
考点3
解题心得1.判定集合间的基本关系有两种方法.方法一:化简集合, 从表达式中寻找集合的关系;方法二:用列举法(或图示法等)表示各个集合,从元素(或图形)中寻找关系.
2.解决集合间的基本关系的常用技巧:(1)若给定的集合是不等式的解集,则用数轴求解;(2)若给定的集合是点集,则用数形结合法求解;(3)若给定的集合是抽象集合,则常用Venn图求解.
()
A.A=B
B.A∩B=⌀
C.A⊆B
D.B⊆A
思考判定集合间的基本关系有哪些方法?解决集合间的基本关系
的常用技巧有哪些? 关闭
∵A={x|y=ln(x+3)},∴A={x|x>-3}.
又B={x|x≥2},∴B⊆A.

高三数学人教A版理科一轮复习资料(WORD)

第一节集合的概念与运算1．集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2．集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3．集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表示集合的关系及运算．1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法2.1．集合的运算性质并集的性质：A ∪∅＝A ；A ∪A ＝A ；A ∪B ＝B ∪A ；A ∪B ＝A ⇔B ⊆A . 交集的性质：A ∩∅＝∅；A ∩A ＝A ；A ∩B ＝B ∩A ；A ∩B ＝A ⇔A ⊆B . 补集的性质：A ∪(∁U A )＝U ；A ∩(∁U A )＝∅；∁U (∁U A )＝A . 2．判断集合关系的三种方法 (1)一一列举观察．(2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断集合关系．(3)数形结合法：利用数轴或Venn 图．1．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( )A ．A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32B ．A ∩B ＝∅C ．A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32 D ．A ∪B ＝R解析：因为B ＝{x |3－2x >0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <32，A ＝{x |x <2}，所以A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32，A ∪B ＝{x |x <2}．故选A.答案： A2．已知集合P ＝{x |x <2}，Q ＝{x |x 2<2}，则( ) A ．P ⊆Q B ．P ⊇Q C ．P ⊆∁R QD ．Q ⊆∁R P解析：解x 2<2，得－2<x <2，∴P ⊇Q . 答案： B3．(2017·天津卷)设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{1,2,3,4}，则(A ∪B )∩C ＝( ) A ．{2} B ．{1,2,4} C ．{1,2,4,6}D ．{1,2,3,4,6}解析：由题意知A ∪B ＝{1,2,4,6}，∴(A ∪B )∩C ＝{1,2,4}，故选B. 答案： B4．已知集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，则(∁R A )∩B ＝________. 解析：因为∁R A ＝{x |x <3或x ≥7}，所以(∁R A )∩B ＝{x |2<x <3或7≤x <10}．答案： {x |2<x <3或7≤x <10}5．已知集合M ＝{1，m }，N ＝{n ，log 2n }，若M ＝N ，则(m －n )2 019＝________. 解析：由M ＝N 知⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝1，log 2n ＝m 或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝m ，log 2n ＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝2.答案：－1或0考向一集合的基本概念自主练透型1．已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{(x ，y )|x ≥y ，x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1B ．3C ．6D ．9解析：当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0或y ＝1；当x ＝2时，y ＝0,1,2. 故集合B ＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}，即集合B 中有6个元素．答案： C2．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________.解析：因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2. 答案： 23．设集合A ＝{x |(x －a )2<1}，且2∈A,3∉A ，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2<1，(3－a )2≥1即⎩⎪⎨⎪⎧1<a <3，a ≤2或a ≥4，所以1<a ≤2. 答案： (1,2]求解集合基本问题的一般思路(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件．当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性. 考向二集合间的基本关系互动讲练型(1)已知集合A ＝{x |y ＝ln(x ＋3)}，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( ) A ．A ＝B B ．A ∩B ＝∅ C ．A ⊆BD ．B ⊆A(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．解析： (1)因为A ＝{x |x >－3}，B ＝{x |x ≥2}，结合数轴可得：B ⊆A . (2)∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2.②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①、②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3. 答案： (1)D (2)(－∞，3](1)判断两集合的关系的三种常用方法①列举法：根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．②变形：从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断(如例(1))．③数轴法：在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系．(2)根据两集合的关系求参数的方法①若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性；②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．[注意] 题目中若有条件B ⊆A ，则应分B ＝∅和B ≠∅两种情况进行讨论(如例(2)). [跟踪训练]1．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：因为A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，A ⊆C ⊆B ，则集合C 可以为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．答案： D2．已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }．若B ⊆A ，则m 的取值范围为________．解析：当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m >0时，∵A ＝{x |－1<x <3}．当B ⊆A 时，有∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m <m .∴0<m ≤1.综上所述，m 的范围为m ≤1. 答案： (－∞，1]考向三集合的基本运算分层深化型(1)(2017·全国卷Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( )A ．{1，－3}B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}(2)(2017·广东七校联考)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x >0}，B ＝{x |y ＝lg(x －1)}，则(∁U A )∩B ＝( )A ．{x |x >2或x <0}B ．{x |1<x <2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |1≤x ≤2}解析： (1)∵A ∩B ＝{1}，∴1∈B ， ∴1－4＋m ＝0，即m ＝3.∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．故选C.(2)解不等式x 2－2x >0，即x (x －2)>0，得x <0或x >2，故A ＝{x |x <0或x >2}．集合B 是函数y ＝lg(x －1)的定义域，由x －1>0，解得x >1，所以B ＝{x |x >1}．易知∁U A ＝{x |0≤x ≤2}，所以(∁U A )∩B ＝{x |0≤x ≤2}∩{x |x >1}＝{x |1<x ≤2}．答案： (1)C (2)C集合基本运算的方法技巧(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．(3)集合的交、并、补运算口诀如下：交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集.[同类练]1．(2017·天津卷)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝()A．{2} B．{1,2,4}C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}解析：因为A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，所以A∪B＝{1,2,4,6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，所以(A∪B)∩C＝{1,2,4}．答案： B2．(2017·南昌市第一次模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|y＝lg x}，集合B＝{y|y＝x＋1}，那么A∩(∁U B)＝()A．∅B．(0,1]C．(0,1) D．(1，＋∞)解析：由题知，A＝{x|y＝lg x}＝{x|x>0}＝(0，＋∞)，B＝{y|y＝x＋1}＝{y|y≥1}＝[1，＋∞)，所以A∩(∁U B)＝(0，＋∞)∩(－∞，1)＝(0,1)．答案： C[变式练]3．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A＝{9}，则A＝() A．{1,3} B．{3,7,9}C．{3,5,9} D．{3,9}解析：因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又(∁U B)∩A＝{9}，所以9∈A.若5∈A，则5∉B(否则5∈A∩B)，从而5∈∁U B，则(∁U B)∩A＝{5,9}，与题中条件矛盾，故5∉A.同理1∉A,7∉A，故A＝{3,9}．答案： D4．(2017·洛阳市第一次统一考试)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所表示阴影部分所示的集合为()A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤2}解析：依题意得A ＝{x |x <－1或x >4}，因为∁R A ＝{x |－1≤x ≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}．答案： D [拓展练]5．(2017·江西南昌模拟)已知集合M ＝{x |x 2－4x <0}，N ＝{x |m <x <5}，若M ∩N ＝{x |3<x <n }，则m ＋n 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：由x 2－4x <0得0<x <4，所以M ＝{x |0<x <4}．又因为N ＝{x |m <x <5}，M ∩N ＝{x |3<x <n }，所以m ＝3，n ＝4，则m ＋n ＝7.答案： C6．已知集合A ＝{x |a －1<x <a ＋1}，B ＝{x |x 2－5x ＋4≥0}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________．解析：因为A ＝{x |a －1<x <a ＋1}，B ＝(－∞，1]∪[4，＋∞)，由已知A ∩B ＝∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥1，a ＋1≤4，所以2≤a ≤3. 答案： [2,3]常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解、解决创新问题的能力．(1)设U ＝{1,2,3}，M ，N 是U 的子集，若M ∩N ＝{1,3}，则称(M ，N )为一个“理想配集”，则符合此条件的“理想配集”的个数(规定(M ，N )与(N ，M )不同)为________；(2)设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈(A ∪B )且x ∉(A ∩B )．已知集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⊗B ＝________.解析： (1)符合条件的理想配集有①M ＝{1,3}，N ＝{1,3}；②M ＝{1,3}，N ＝{1,2,3}；③M ＝{1,2,3}，N ＝{1,3}．共3个．(2)由已知A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，又由新定义A ⊗B ＝{x |x ∈(A ∪B )且x ∉(A ∩B )，结合数轴得A ⊗B ＝{0}∪[2，＋∞)．答案： (1)3 (2){0}∪[2，＋∞)解决集合中新定义问题的两个关键点(1)紧扣新定义：新定义型试题的难点就是对新定义的理解和运用，在解决问题时要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质：集合的性质是破解集合类新定义型试题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质.[跟踪训练]1．定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B .已知集合A ＝{2,4,6}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合BA ∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：由题意知，B ＝{0,1,2}，B A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，则BA ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，2，共有7个元素．答案： B2．对于集合M 、N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )，设A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－94，x ∈R ，B ＝{x |x <0，x ∈R }，则A ⊕B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫－94，0 B ．⎣⎡⎭⎫－94，0 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－94∪[0，＋∞) D ．⎝⎛⎦⎤－∞，－94∪(0，＋∞) 解析：依题意得A －B ＝{x |x ≥0，x ∈R }，B －A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－94，x ∈R ，故A ⊕B ＝⎝⎛⎭⎫－∞，－94∪[0，＋∞)．答案： C(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)1．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：集合A 表示以原点O 为圆心，半径为1的圆上的所有点的集合，集合B 表示直线y ＝x 上的所有点的集合．结合图形可知，直线与圆有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2. 故选B. 答案： B2．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤3}，则(∁U A )∪B ＝( ) A ．(2,3] B ．(－∞，1]∪(2，＋∞) C ．[1,2)D ．(－∞，0)∪[1，＋∞)解析：因为∁U A ＝{x |x >2或x <0}，B ＝{y |1≤y ≤3}，所以(∁U A )∪B ＝(－∞，0)∪[1，＋∞)．答案： D3．已知集合A ＝{x |x 2－3x <0}，B ＝{1，a }，且A ∩B 有4个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,1)∪(1,3)C ．(0,1)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析： ∵A ∩B 有4个子集，∴A ∩B 中有2个不同的元素，∴a ∈A ，∴a 2－3a <0，解得0<a <3且a ≠1，即实数a 的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B.答案： B4．(2017·湖北武昌一模)设A ，B 是两个非空集合，定义集合A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }．若A ＝{x ∈N |0≤x ≤5}，B ＝{x |x 2－7x ＋10<0}，则A －B ＝( )A ．{0,1}B ．{1,2}C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,5}解析： ∵A ＝{x ∈N |0≤x ≤5}＝{0,1,2,3,4,5}，B ＝{x |x 2－7x ＋10<0}＝{x |2<x <5}，A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，∴A －B ＝{0,1,2,5}．故选D. 答案： D5．(2017·河北衡水中学七调)已知集合A ＝{x |log 2x <1}，B ＝{x |0<x <c }，若A ∪B ＝B ，则c 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,2]D ．[2，＋∞)解析： A ＝{x |log 2x <1}＝{x |0<x <2}，因为A ∪B ＝B ，所以A ⊆B ，所以c ≥2，所以c ∈[2，＋∞)，故选D.答案： D6．(2017·江苏卷)已知集合A ＝{1,2}，B ＝{a ，a 2＋3}．若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________．解析： ∵B ＝{a ，a 2＋3}，A ∩B ＝{1}，∴a ＝1或a 2＋3＝1， ∵a ∈R ，∴a ＝1.经检验，满足题意．答案： 17．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x －1x ＝0，则满足A ∪B ＝{－1,0,1}的集合B 的个数是________．解析：解方程x －1x ＝0，得x ＝1或x ＝－1，所以A ＝{1，－1}，又A ∪B ＝{－1,0,1}，所以B ＝{0}或{0,1}或{0，－1}或{0,1，－1}，集合B 共有4个．答案： 48．设集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z }，A ＝{1,2}，B ＝{－2，－1,2}，则A ∩(∁I B )＝________. 解析：因为集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z }＝{－2，－1,0,1,2}，A ＝{1,2}，B ＝{－2，－1,2}，所以∁I B ＝{0,1}，则A ∩(∁I B )＝{1}．答案： {1}9．已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值． (1)9∈(A ∩B )； (2){9}＝A ∩B .解析： (1)∵9∈(A ∩B )， ∴2a －1＝9或a 2＝9， ∴a ＝5或a ＝3或a ＝－3.当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}；当a ＝3时，a －5＝1－a ＝－2，不满足集合元素的互异性；当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{－8,4,9}，所以a ＝5或a ＝－3. (2)由(1)可知，当a ＝5时， A ∩B ＝{－4,9}，不合题意，当a ＝－3时，A ∩B ＝{9}．所以a ＝－3.10．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}． (1)若A ∩B ＝[1,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解析： A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}． (1)∵A ∩B ＝[1,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝1，m ＋2≥3，得m ＝3. (2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}． ∵A ⊆∁R B ，∴m －2>3或m ＋2<－1. ∴m >5或m <－3.故m 的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．1．设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为________．解析：因为A ＝{x |y ＝f (x )}＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}，则u ＝1－x 2∈(0,1]，所以B ＝{y |y ＝f (x )}＝{y |y ≤0}，A ∪B ＝(－∞，1)，A ∩B ＝(－1,0]，故图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0,1)．答案： (－∞，－1]∪(0,1)2．设常数a ∈R ，集合A ＝{x |(x －1)·(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为________．解析：若a >1，则集合A ＝{x |x ≥a 或x ≤1}，利用数轴可知，要使A ∪B ＝R ，需要a －1≤1，则1<a ≤2；若a ＝1，则集合A ＝R ，满足A ∪B ＝R ，故a ＝1符合题意；若a <1，则集合A ＝{x |x ≤a 或x ≥1}，显然满足A ∪B ＝R ，故a <1符合题意．综上所述，a 的取值范围为(－∞，2]．答案： (－∞，2]3．已知集合A ＝{y |y ＝2x －1,0<x ≤1}，B ＝{x |(x －a )[x －(a ＋3)]<0}．分别根据下列条件，求实数a 的取值范围．(1)A ∩B ＝A ；(2)A ∩B ≠∅.解析：因为集合A 是函数y ＝2x －1(0<x ≤1)的值域，所以A ＝(－1,1]，B ＝(a ，a ＋3)．(1)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a ＋3>1，即－2<a ≤－1，故当A ∩B ＝A 时，a 的取值范围是(－2，－1]． (2)当A ∩B ＝∅时，结合数轴知，a ≥1或a ＋3≤－1，即a ≥1或a ≤－4. 故当A ∩B ≠∅时，a 的取值范围是(－4,1)． 4．设集合A ＝{x ∈R |2x 2＋ax －a 2＝0},1∈A ，－2∉A . (1)求a 的值，并写出A 的所有子集；(2)若集合B ＝{x ∈R |x 2＋(m －3)x ＋m ＝0}，(∁R A )∩B ＝∅，求实数m 的值构成的集合．解析： (1)因为1∈A ，所以2×12＋a ×1－a 2＝0，解得a ＝－1,2，当a ＝2时，A ＝{x ∈R |2x 2＋2x －4＝0}＝{1，－2}，与已知－2∉A 矛盾，所以a ≠2；当a ＝－1时，A ＝{x ∈R |2x 2－x －1＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，1，符合题意．所以A 的所有子集为∅，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，{1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，1.(2)因为(∁R A )∩B ＝∅，所以B ⊆A ，因为方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m －3)2－4m ＝m 2－10m ＋9，所以按照判别式的符号分类讨论如下：①当Δ<0即1<m <9时，集合B 为空集，符合题意．②当Δ＝0即m ＝1或m ＝9时，若m ＝1，则B ＝{1}，符合题意，若m ＝9，则B ＝{－3}，不符合题意，舍去．③当Δ>0即m <1或m >9时，集合B 有两个元素，所以B ＝A ，所以⎩⎨⎧－12＋1＝－(m －3)，⎝⎛⎭⎫－12×1＝m ，矛盾，舍去．所以实数m 的值构成的集合为[1,9)．第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1．理解命题的概念．2．了解“若p ，则q ”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.1．四种命题及其关系 (1)四种命题若原命题为“若p ，则q ”，则其逆命题是若q ，则p ；否命题是若綈p ，则綈q ；逆否命题是若綈q ，则綈p .(2)四种命题间的关系2．充分条件、必要条件与充要条件(1)“若p，则q”为真命题，记作：p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作：p⇔q，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件．1．四种命题间的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们的真假性相同．(2)两个命题互为逆命题或者互为否命题，它们的真假性没有关系．2．充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件．(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q，且q⇒r”⇒“p⇒r”或“p⇐q，且q⇐r”⇒“p⇐r”．1．在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由正弦定理知asin A＝bsin B＝2R(R为△ABC外接圆半径)．若sin A>sin B，则a2R>b2R，即a>b，所以A>B；若A>B，则a>b，所以2R sin A>2R sin B，即sin A>sin B，所以“A>B”是“sin A>sin B”成立的充要条件．答案： C2．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0解析：根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．故选D.答案： D3．“x>1”是“x2＋2x>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由x2＋2x>0，得x>0或x<－2，所以“x>1”是“x2＋2x>0”的充分不必要条件，故选A.答案： A4．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：________.解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，结论：∠A、∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”．答案：“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”5．在命题“若m>－n，则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m＝2，n＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m＝－3，n＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案： 3考向一四种命题及其相互关系自主练透型1．(2017·河南八市联考)命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是()A．若a≤b，则a＋c≤b＋c B．若a＋c≤b＋c，则a≤bC．若a＋c>b＋c，则a>b D．若a>b，则a＋c≤b＋c解析：否命题是将原命题的条件和结论都否定，故命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，故选A.答案： A2．下列命题中为真命题的是()A．命题“若x>1，则x2>1”的否命题B．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若1x>1，则x >1”的逆否命题解析：对于A ，命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4>1，故为假命题；对于B ，命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题为“若x >|y |，则x >y ”，分析可知为真命题；对于C ，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故为假命题；对于D ，命题“若1x >1，则x >1”的逆否命题为“若x ≤1，则1x≤1”，易知为假命题，故选B.答案： B3．(2017·河北衡水二中模拟)命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( )A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数解析：将原命题的条件和结论互换的同时进行否定即得逆否命题，因此“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”，所以选C.答案： C四种命题的关系及真假判断(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再分析每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性．(2)判断命题真假的方法：一是联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断；二是利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断.考向二充分必要条件的判定互动讲练型(1)(2017·天津卷)设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2017·浙江卷)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析： (1)由2－x ≥0，得x ≤2；由|x －1|≤1，得－1≤x －1≤1，即0≤x ≤2，因为[0,2]－∞，2]，所以“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要而不充分条件．(2)法一：S 4＋S 6>2S 5等价于(S 6－S 5)＋(S 4－S 5)>0，等价于a 6－a 5>0，等价于d >0.法二：∵S n ＝na 1＋12n (n －1)d ，∴S 4＋S 6－2S 5＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d －2(5a 1＋10d )·d ，即S 4＋S 6>2S 5等价于d >0.答案： (1)B (2)C充分、必要条件的判断方法(1)定义法：直接判断“若p ，则q ”，“若q ，则p ”的真假(如本例(1))．(2)集合法：若A ⊆B ，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件或“x ∈B ”是“x ∈A ”的必要条件；若A ＝B ，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的充要条件(如本例(2))．(3)等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假(如跟踪训练3).[跟踪训练]1．(2017·兰州市高考实战模拟)设向量a ＝(x －1，x )，b ＝(x ＋2，x －4)，则“a ⊥b ”是“x ＝2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： a ＝(x －1，x )，b ＝(x ＋2，x －4)，若a ⊥b ，则a ·b ＝0，即(x －1)(x ＋2)＋x (x －4)＝0，解得x ＝2或x ＝－12，∴x ＝2⇒a ⊥b ，反之a ⊥b ⇒x ＝2或x ＝－12，∴“a ⊥b ”是“x ＝2”的必要不充分条件．答案： B2．设p ：x 2－x －20>0，q ：log 2(x －5)<2，则p 是q 的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析： ∵x 2－x －20>0，∴x >5或x <－4，∴p ：x >5或x <－4.∵log 2(x －5)<2，∴0<x －5<4，即5<x <9，∴q ：5<x <9，∵{x |5<x x |x >5或x <－4}，∴p是q 的必要不充分条件，故选C.答案： C3．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件解析：法一：设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A 的补集C ＝{(x ，y )|x ＝y }，B 的补集D ＝{(x ，y )|cos x ＝cos y }，显然C D ，所以B A .于是“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．法二：(等价转化法)x ＝y ⇒cos x ＝cos y ，而cos x ＝cos y ⇒/ x ＝y . 答案： C考向三充分条件与必要条件的探求分层深化型已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．解析：因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}，所以由已知x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，得A B ，所以m ＋1>3，即m >2.答案： (2，＋∞)根据充要条件求解参数范围的方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍(如本例)，处理不当容易出现漏解或增解的现象.[同类练]1．已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值范围是________．解析：由|x －m |<1得m －1<x <m ＋1，若13<x <12是|x －m |<1成立的充分不必要条件，则⎩⎨⎧m －1≤13m ＋1>12或⎩⎨⎧m －1<13m ＋1≥12得－12≤m ≤43.答案： ⎣⎡⎦⎤－12，43 [变式练]2．是否存在实数m ，使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件？解析：欲使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件，则只要{x |x <－1，或x >3}⊆⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－m 2，这是不可能的．故不存在实数m 使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件． [拓展练]3．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：x >a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－3]解析：由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件．故a ≥1.答案： A解”的求解策略，对于一个难以入手的命题，可以把命题转化为易于解决的等价命题，每一个等价命题都能提供一个解题思路．设p ：|4x －3|≤1；q ：a ≤x ≤a ＋1，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，12 B ．⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞D ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析：设A ＝{x ||4x －3|≤1}，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤1，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．由綈p 是綈q 的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即A B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12，a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ＋1≥1，故所求实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 答案： A本例将“綈p 是綈q 的必要而不充分条件”转化为“p 是q 的充分而不必要条件”；将p 、q 之间的条件关系转化为相应集合之间的包含关系，使抽象问题直观化、复杂问题简单化，体现了等价转化思想的应用．,[跟踪训练]证明：若a 2－b 2＋2a －4b －3≠0，则a －b ≠1.证明：命题“若a 2－b 2＋2a －4b －3≠0，则a －b ≠1”的逆否命题是“ 若a －b ＝1，则a 2－b 2＋2a －4b －3＝0”．由a －b ＝1，得a 2－b 2＋2a －4b －3＝(a ＋b )(a －b )＋2(a －b )－2b －3＝a －b －1＝0，所以原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题．即若a 2－b 2＋2a －4b －3≠0，则a －b ≠1.(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)1．若非空集合M ，N ，则“a ∈M 或a ∈N ”是“a ∈M ∩N ”的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为“a ∈M ∩N ”可以推出“a ∈M 或a ∈N ”，但是反过来不能推出，所以“a ∈M 或a ∈N ”是“a ∈M ∩N ”的必要不充分条件．答案： C2．已知命题：若a >2，则a 2>4，其逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：原命题显然是真命题，其逆命题为“若a 2>4，则a >2”，显然是假命题，由互为逆否命题的等价性知，否命题是假命题，逆否命题是真命题．答案： B3．(2017·北京卷)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m·n <0”的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：由存在负数λ，使得m ＝λn ，可得m 、n 共线且反向，夹角为180°，则m·n ＝－|m ||n |<0，故充分性成立．由m·n <0，可得m ，n 的夹角为钝角或180°，故必要性不成立．答案： B4．使a >0，b >0成立的一个必要不充分条件是( ) A ．a ＋b >0 B ．a －b >0 C ．ab >1D ．ab>1解析：因为a >0，b >0⇒a ＋b >0，反之不成立，而由a >0，b >0不能推出a －b >0，ab >1，a b>1. 答案： A5．下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题是“若x 2＝1，则x ≠1”B ．“x ＝－1”是“x 2－x －2＝0”的必要不充分条件C ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题是真命题D ．“tan x ＝1”是“x ＝π4”的充分不必要条件解析：由原命题与否命题的关系知，原命题的否命题是“若x 2≠1，则x ≠1”，即A 不正确；因为x 2－x －2＝0⇔x ＝－1或x ＝2，所以由“x ＝－1”能推出“x 2－x －2＝0”，反之，由“x 2－x －2＝0”推不出“x ＝－1”，所以“x ＝－1”是“x 2－x －2＝0”的充分不必要条件，即B 不正确；因为由x ＝y 能推得sin x ＝sin y ，即原命题是真命题，所以它的逆否命题是真命题，故C 正确；由x ＝π4能推得tan x ＝1，但由tan x ＝1推不出x ＝π4，所以“x ＝π4”是“tan x＝1”的充分不必要条件，即D不正确．答案： C6．已知p(x)：x2＋2x－m>0，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为________．解析：因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3；又p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8.故实数m的取值范围是[3,8)．答案：[3,8)7．(2017·山东临沂模拟)有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，假命题．②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真命题．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，真命题．答案：②③8．若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则a的最大值为________．解析：由x2>1得x>1或x<－1.由题意知{x|x<a x|x>1或x<－1}，所以a≤－1，从而a的最大值为－1.答案：－19．写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解析：(1)逆命题：已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2<4b，为真命题．(3)逆否命题：已知a，b∈R，若a2<4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，为真命题．10．指出下列命题中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC 中，p ：∠A ＝∠B ，q ：sin A ＝sin B ； (2)非空集合A ，B 中，p ：x ∈(A ∪B )，q ：x ∈B ；(3)已知x ，y ∈R ，p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，q ：(x －1)(y －2)＝0.解析： (1)在△ABC 中，∠A ＝∠B ⇒sin A ＝sin B ，反之，若sin A ＝sin B ，因为A 与B 不可能互补(因为三角形三个内角和为180°)，所以只有A ＝B .故p 是q 的充要条件．(2)显然x ∈(A ∪B )不一定有x ∈B ，但x ∈B 一定有x ∈(A ∪B )，所以p 是q 的必要不充分条件． (3)条件p ：x ＝1且y ＝2，条件q ：x ＝1或y ＝2，所以p ⇒q 但q ⇒/ p ，故p 是q 的充分不必要条件．1．(2017·四川南山模拟)已知条件p ：14<2x <16，条件q ：(x ＋2)(x ＋a )<0，若p 是q 的充分而不必要条件，则a 的取值范围为( )A ．[－4，＋∞)B ．(－∞，－4)C ．(－∞，－4]D ．(4，＋∞)解析：由14<2x <16，得－2<x <4，即p ：－2<x <4.方程(x ＋2)(x ＋a )＝0的两个根分别为－a ，－2.①若－a >－2，即a <2，则条件q ：(x ＋2)(x ＋a )<0等价于－2<x <－a ，由p 是q 的充分而不必要条件可得－a >4，则a <－4；②若－a ＝－2，即a ＝2，则(x ＋2)(x ＋a )<0无解，不符合题意；③若－a <－2，即a >2，则q ：(x ＋2)(x ＋a )<0等价于－a <x <－2，不符合题意．综上可得a <－4，故选B. 答案： B2．(2017·山西五校4月联考)已知p ：(x －m )2>3(x －m )是q ：x 2＋3x －4<0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为____________．解析： p 对应的集合A ＝{x |x <m 或x >m ＋3}，q 对应的集合B ＝{x |－4<x <1}，由p 是q 的必要不充分条件可知B A ，∴m ≥1或m ＋3≤－4，即m ≥1或m ≤－7.答案： (－∞，－7]∪[1，＋∞)3．已知命题p ：“若ac ≥0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”． (1)写出命题p 的否命题；(2)判断命题p 的否命题的真假，并证明你的结论．解析： (1)否命题：“若ac <0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根”． (2)命题p 的否命题为真命题，证明如下：∵ac <0，∴－ac >0⇒Δ＝b 2－4ac >0⇒二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根． 4．已知p ：x 2－7x ＋12≤0，q ：(x －a )(x －a －1)≤0.(1)是否存在实数a ，使綈p 是綈q 的充分不必要条件，若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由；(2)是否存在实数a ，使p 是q 的充要条件，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解析：因为p ：3≤x ≤4， q ：a ≤x ≤a ＋1.(1)因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以綈p ⇒綈q ，且綈q ⇒/ 綈p ，所以q ⇒p ，且p ⇒/ q ，即q 是p 的充分不必要条件，故{x |a ≤x ≤a ＋x |3≤x ≤4}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a >3，a ＋1≤4或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3，a ＋1<4，无解，所以不存在实数a ，使綈p 是綈q 的充分不必要条件． (2)若p 是q 的充要条件，则{x |a ≤x ≤a ＋1}＝{x |3≤x ≤4}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，a ＋1＝4，解得a ＝3.故存在实数a ＝3，使p 是q 的充要条件．第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义． 2．理解全称量词与存在量词的意义． 3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．简单的逻辑联结词(1)常用的简单的逻辑联结词有“且”“或”“非”． (2)命题p ∧q 、 p ∨q 、綈p 的真假判断2.(1)全称量词和存在量词1．含逻辑联结词命题真假判断(1)p∧q中一假即假．(2)p∨q中一真必真．(3)綈p真，p假；綈p假，p真．2．全(特)称命题的真假判断方法1．命题“∃x0∈R，x20－x0－1>0”的否定是()A．∀x∈R，x2－x－1≤0 B．∀x∈R，x2－x－1>0C．∃x0∈R，x20－x0－1≤0 D．∃x0∈R，x20－x0－1≥0解析：依题意得，命题“∃x0∈R，x20－x0－1>0”的否定是“∀x∈R，x2－x－1≤0”，选A.答案： A2．下列命题中为真命题的是()A．∀x∈R，x2>0 B．∀x∈R，－1<sin x<1C．∃x0∈R,2x0<0 D．∃x0∈R，tan x0＝2解析：因为∀x∈R，x2≥0，故A错；∀x∈R，－1≤sin x≤1，故B错；∀x∈R,2x>0，故C错．答案： D3．命题p：∀x∈R，sin x＜1；命题q：∃x∈R，cos x≤－1，则下列结论是真命题的是()A．p∧q B．綈p∧qC．p∨綈q D．綈p∧綈q解析：p是假命题，q是真命题，所以B正确．答案： B4．命题“所有可以被5整除的整数，末位数字都是0”的否定为________________________．答案：“有些可以被5整除的整数，末位数字不是0”5．已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“綈q”同时为假命题，则x＝________.解析：若p 为真，则x ≥－1或x ≤－3，因为“綈q ”为假，则q 为真，即x ∈Z ，又因为“p ∧q ”为假，所以p 为假，故－3<x <－1，由题意，得x ＝－2. 答案：－2考向一全称命题与特称命题自主练透型1．已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则非p 为( ) A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤0 B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x ≤1 D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x ≤1解析：命题p 为全称命题，所以非p ：∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1. 答案： B2．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若m 满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项中的命题为真命题的是( )A ．∃x 0∈R ，f (x 0)<f (m )B ．∃x 0∈R ，f (x 0)>f (m )C ．∀x ∈R ，f (x 0)≤f (m )D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (m )解析：由2am ＋b ＝0，得m ＝－b2a ，又a >0，∴f (m )是函数f (x )的最小值，即∀x ∈R ，有f (x )≥f (m )，故选D. 答案： D3．若命题“∃x ∈R ，使得sin x cos x >m ”是真命题，则m 的值可以是( ) A ．－13B ．1 C.32D ．23解析： ∵sin x cos x ＝12sin 2x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12，∴m <12.故选A. 答案： A1．全称(特称)命题否定的两步曲(1)改写量词：找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再改变量词．(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．[提醒] 若命题p 是真命题，则綈p 是假命题；若命题p 是假命题，则綈p 是真命题． 2．全称命题与特称命题真假的判断方法考向二含有逻辑联结词的命题的真假判断互动讲练型(1)(2017·贵州省适应性考试)已知命题p ：∀x ∈R ，log 2(x 2＋4)≥2，命题q ：y ＝x12是定义域上的减函数，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∨(綈q )B ．p ∧qC ．(綈p )∨qD ．(綈p )∧(綈q )(2)(2017·山东卷)已知命题p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋1≥0；命题q ：若a 2<b 2，则a <b .下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧綈qC ．綈p ∧qD ．綈p ∧綈q解析： (1)命题p ：函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，x 2＋4≥4，所以log 2(x 2＋4)≥log 24＝2，即命题p 是真命题，因此綈p 为假命题；命题q ：y ＝x 12在定义域上是增函数，故命题q是假命题，綈q 是真命题．因此选项A 是真命题，选项B 是假命题，选项C 是假命题，选项D 是假命题，故选A.(2)p ：x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0恒成立，∴∃x ∈R ，x 2－x ＋1≥0成立．故命题p 为真． q ：a 2<b 2⇒a 2－b 2<0⇒(a ＋b )(a －b )<0，。

高三数学一轮复习第1单元 1.1 集合的概念与运算课件理新人教A版

1．集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． 2．集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
提示：(1)注意集合表示的列举法与描述法在形式上的区别，列举法一般适合于有限集，而描述法一般适合于无限集．
(2)注意集合中元素的互异性：集合{x|x2－2x＋1＝0}可写为{1}，但不可写为 {1，1}． 3．元素与集合的关系有：属于和不属于，分别用符号∈ 和 ∉ 表示．
结合思想方法的运用．
二、集合的运算 1．两个集合的交、并、补的运算分别与逻辑联结词且、或、非对应，但不能等同
和混淆． 2．数形结合的思想方法在集合的运算中也是常见的，对于一般的集合运算时可用
文氏图直观显示，例如若A⊆S，B⊆S，则全集S最多被四个集合A∩B，A∩(∁SB)， B∩(∁SA)和∁U(A∪B)所划分；对于可以用区间表示的数集可以利用数轴进行集合的运算．
【例2】 (2010·衡水中学调研)已知集合A＝{x|x2＋ x＋1＝0}，B＝{y|y＝x2＋a，
x∈R}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－ ] B.
C.
D．(－∞，－2]
解析：由x2＋ x＋1＝0得(2x＋1)(x＋2)＝0，则x＝－，或x＝－2，
既A＝ ≤－ .
. 又B＝{y|y＝x2＋a，x∈R}＝[a，＋∞)．由A∩B≠∅，知a
1．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩 (Venn)图是( )
解析：N＝{x|x2＋x＝0}＝{－1,0}，则N M，故选B. 答案：B
2．已知集合A＝{－1,2}，B＝{x|mx＋1＝0}，若A∩B＝B，则所有实数m的值组成的集合是( ) A．{－1,2} B．{1，－ } C．{1,0，－ } D．{－1,0， } 解析：∵A∩B＝B，即B⊆A，若m＝0，B＝∅⊆A；若m≠0，B＝{x|x＝－ }；由B⊆A得：－＝－1或－＝2， ∴m＝1或m＝－ .综上选C. 答案：C

1.1 集合与集合的运算

2
={x|-2≤x<4}. (2)当P≠⌀时,由P∪Q=Q,得P⊆Q,所以
a 1 2, 2a 1 5, 2a 1 a 1,
解得0≤a≤2;
高考第一轮复习用书· 数学(理科)
第一章 1.1 集合与集合的运算
当P=⌀,即2a+1<a+1时,有P⊆Q,得a<0. 综上,实数a的取值范围是(-∞,2]. 【点评】求集合的交、并、补集时,注意数形结合的运用;P ∪Q=Q⇔P⊆Q,P∩Q=P⇔P⊆Q,当子集是待定的集合时,要
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2
第一章 1.1 集合与集合的运算
(2)已知集合A={x|ax -3x-4=0,x∈R},若A中至多有一个元素, 则实数a的取值范围是 .
【分析】(1)按照新的定义,先确定集合A*B中的元素,然后求出该集合中所有元素之和. (2)集合A是方程ax -3x-4=0的解集,A中至多有一个元素,则a ≠0时,应有Δ≤0;a=0时,恰有一个元素. 【解析】(1)依据A*B的定义,当A={1,2},B={0,2}时,A*B={0, 2,4},因此A*B中所有元素之和为6.
∪A.
5.A∩ UA=⌀,A∪ UA=U, U( UA)=A.
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第一章 1.1 集合与集合的运算
6. (A∪B)=( UA)∩( UB), (A∩B)=( UA)∪( UB).
U U
7.A∪B=A⇔B⊆A,A∩B=A⇔A⊆B,A⊆B且B⊆C⇒A⊆C.
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【点评】理解子、交、并、补集的概念,掌握有关术语和符号,熟练掌握两个集合之间包含关系的判断问题.在判断两个抽象集合之间的关系时,则应尽可能地把问题具体化、形象化;在判断两个具体集合之间的关系时,要弄清楚集合元素所具有的形式及其含有哪些元素.

2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§1.1 集合(讲解部分)

实践探究
例 (2016北京文,16)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天
售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出
的商品有3种,后两天都售出的商品有4种,则该网店:
①第一天售出但第二天未售出的商品有
种;
②这三天售出的商品最少有
种.
解题导引 “网购”是现代购物的重要方式之一,本题以售出商品的种类为背景,取材于人A必修113页的“阅读与思考——集合中元素的个数”, 考查了集合运算和Venn图等基本知识,同时也涉及化归与转化、数形结合的数学思想. ①可以通过集合交、补运算确定元素个数;②中“三天共售出的商品种类最少”应该是第三天与前二天售出的商品种类完全相同时,总的种类最少. 解析 ①设第一天售出的商品为集合A,则A中有19个元素,第二天售出的商品为集合B,则B中有13个元素.由于前两天都售出的商品有3种,则A∩B 中有3个元素.如图所示, 所以该网店第一天售出但第二天未售出的商品有19-3=16(种). ②由①知,前两天售出的商品为19+13-3=29(种),当第三天售出的18种都是前两天售出的商品时,这三天售出的商品种类最少,售出的商品最少为29种.
由图可知∁U(M∪N)=(∁UM)∩(∁UN)={2,7},故选B. (2)A={x|x2+x-2≤0}={x|-2≤x≤1},U=R,∴∁UA={x|x<-2或x>1},又B={x|x< 0},∴借助数轴可知(∁UA)∩B={x|x<-2}.故选C. 答案 (1)B (2)C
方法总结集合的基本运算包括集合的交、并、补运算,解决此类运算问题一般应注意以下几点:一是看集合的表示方法,用列举法表示的集合,易用Venn图求解,用描述法表示的数集,常借助数轴分析得出结果,二是对集合进行化简,有些集合是可以化简的,通过化简集合,可使问题变得简单明了,易于解决.

高三理科数学第一轮复习§1.1：集合

解析
解析
第一章：集合与常用逻辑用语
第1节：集合
解析
第一章：集合与常用逻辑用语
第1节：集合
第一章：集合与常用逻辑用语
第1节：集合
第一章：集合与常用逻辑用语
第1节：集合
第一章：集合与常用逻辑用语
第1节：集合
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析
第一章：集合与常用逻辑用语
第1节：集合
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第一章：集合与常用逻辑用语
第1节：集合
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第一章：集合与常用逻辑用语
第1节：集合
第1节：集合
第一章：集合与常用逻辑用语
第1节：集合
第一章：集合与常用逻辑用语
第1节：集合
第一章：集合与常用逻辑用语
第1节：集合
第一章：集合与常用逻辑用语
第1节：集合
第一章：集合与常用逻辑用语
第1节：集合
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第1节：集合
第一章：集合与常用逻辑用语
第1节：集合
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第1节：集合
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第1节：集合
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第1节：集合
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第1节：集合
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第1节：集合
第一章：集合与常用逻辑用语
第1节：集合
第一章：集合与常用逻辑用语
第1节：集合
第一章：集合与常用逻辑用语
第1节：集合
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第一章：集合与常用逻辑用语
第1节：集合
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第一章：集合与常用逻辑用语
第1节：集合
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高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合与集合的运算公开课课件省市一等奖完整版

方法 3 与集合有关的新概念问题的解题策略
与集合有关的新概念问题属于信息迁移类问题,它是化归思想的具体运用,这类试题的特点是:通过给出新的数学概念或新的运算方法,在新的情境下完成某种推理证明,这是集合命题的一个新方向.常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型. 解此类题的一般思路: 1.理解问题中的新概念、新公式、新运算、新法则的含义. 2.利用学过的数学知识进行逻辑推理. 3.对选项进行筛选、验证、定论. 例4 (2016浙江名校协作体测试,8)在n元数集S={a1,a2,…,an}中,设x(S)=
A∩A=A A∪A=A ∁U⌀=U
3.两个常用结论 A∩B=A⇔A⊆B;A∪B=B⇔A⊆B. 4.设有限集合A,card(A)=n(n∈N*),则 (1)A的子集个数是⑧ 2n ; (2)A的真子集个数是⑨ 2n-1 ; (3)A的非空子集个数是⑩ 2n-1 ; (4)A的非空真子集个数是 2n-2 .
⑥ A⫋B(或B⫌A)
集合相等
集合A与集合B中元素相同,那么 A=B 就说集合A与集合B相等
Venn图表示
考点二集合的运算
1.集合间的运算
名称
自然语言描述
ห้องสมุดไป่ตู้
符号语言表示
并集
对于两个给定集合A、B,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
A∪B={x|x∈A,或x∈B}
交集补集
对于两个给定集合A、B,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合
集合中的元素必须是互异的.对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同的.这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确,或用来求集合中的未知元素
集合与其中元素的排列顺序无关,如{a,b,c}与{b,c,a}是相同的集合.这个特性通常被用来判断两个集合的关系

高考数学一轮复习 1.1集合教案-人教版高三全册数学教案

课题第一章集合与常用逻辑用语第一节集合教学目标：知识与技能：了解集合的含义，元素与集合的属于关系，理解集合之间的包含与相等关系，理解子集与补集的关系。

过程与方法：会求两个集合的交，并，补集，能使用韦恩图表达集合的关系及运算。

情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验集合的具体应用，应用集合解决实际问题的方法。

教学重点：集合的交，并，补关系及运算教学难点：使用韦恩图表达集合的关系及运算教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.集合的含义与表示方法2.集合间的基本关系3.集合的基本运算二、例题讲解例1判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)已知集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2}，则A=B=C.( )(2)含有n 个元素的集合的子集个数是2n ，真子集个数是2n-1，非空真子集的个数是2n-2.( )(3)A ∩B= 的充要条件是A=B= .( )(4)A ∩B=A ⇔A ⊆B.( )(5)A ∪B=A ⇔B ⊆A.( )(6) (A ∪B)=( A)∩( B).( )【解析】(1)错误．集合A 是函数y=x2的定义域，即A=(-∞,+∞)；集合B 是函数y=x2的值域，即B=［0,+∞)；集合C 是满足方程y=x2的实数x,y 的集合，也可以看作是函数y=x2图象上的点组成的集合，因此这三个集合互不相等．(2)正确．空集的子集个数为1个，即；含有1个元素的集合{a1}的子集个数为2个，即 ,{a1}；含有2个元素的集合{a1,a2}的子集个数为4个，即 ,{a1},{a2},{a1,a2}……归纳可得含有n 个元素的集合的子集个数为2n 个，故其真子集个数是2n-1，非空真子集的个数是2n-2．(3)错误．A ∩B= 时，只要集合A,B 没有公共元素即可，不一定是A=B= ．(4)正确．当A ⊆B 时，显然A ∩B=A ；当A ∩B=A 时，对任意x ∈A ，得x ∈A ∩B ，得x ∈B ，即x ∈A ⇒x ∈B ，故A ⊆B ．(5)正确．当B ⊆A 时，显然A ∪B=A ； ∅∅当A∪B=A时，对任意x∈B，则x∈A∪B，得x∈A，即x∈B⇒x∈A，即B⊆A．(6)正确．设x∈ (A∪B)，则x (A∪B)，得x A且x B，即x∈ A且x∈ B，即x∈( A)∩( B)，即 (A∪B)⊆( A)∩( B)；反之，当x∈( A)∩( B)时，得x∈ A且x∈ B得x A且x B，得x (A∪B)，得x∈ (A∪B)，即 (A∪B) ( A)∩( B)．根据集合相等的定义得 (A∪B)=( A)∩( B)．答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)√考向 1 集合的基本概念【典例1】(1)(2012·新课标全国卷)已知集合A={1,2,3,4,5}, B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y ∈A},则B中所含元素的个数为( )(A)3 (B)6 (C)8 (D)10(2)已知A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3}，若1∈A，则实数a构成的集合B的元素个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【思路点拨】(1)集合B中的元素是满足x∈A,y∈A,x-y∈A的有序实数对，根据要求分类列举求解．(2)据1∈A逐个讨论求解a值，根据集合元素的互异性得集合B中元素的个数．【规范解答】(1)选D.方法：x=2时，y=1，x-y=1，此时(x,y)=(2,1)，此时(x,y)有1个；x=3时，y=1,2，此时x-y=2,1，(x,y)有2个；x=4时，y=1,2,3，此时x-y=3,2,1，(x,y)有3个；x=5时，y=1,2,3,4，此时x-y=4,3,2,1，(x,y)有4个．所以集合B中的元素个数为1+2+3+4=10．(2)选B.若a+2=1，则a=-1，代入集合A，得A={1,0,1}，与集合元素的互异性矛盾；若(a+1)2=1，得a=0或-2，代入集合A，得A={2,1,3}或A={0,1,1}，后者与集合元素的互异性矛盾，故a=0符合要求；若a2+3a+3=1，则a=-1或-2，代入集合A，得A={1,0,1}或A={0,1,1}，都与集合元素的互异性相矛盾．综上可知，只有a=0符合要求，故集合B中只有一个元素．【互动探究】在本例(1)的集合B中如果去掉x-y∈A的限制条件，其他条件均不变，则集合B中含有的元素个数是多少？【解析】当x=1时，y=1,2,3,4,5，同理当x=2,3,4,5时，y=1,2,3,4,5，所以集合B中含有5×5=25个元素【变式训练】定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B}.设A={1,2},B={0,2},则集合A*B的所有元素之和为( )(A)0 (B)2 (C)3 (D)6【解析】选D.根据指定的法则，集合A*B中的元素是A，B中的元素的乘积，根据集合元素的性质，得A*B={0，2，4}，故集合A*B中所有元素之和为6.考向 2 集合间的基本关系【典例2】(1)(2014·三明模拟)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x ∈R},B={x|0<x<5,x ∈N},则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为 ( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(2)若集合A={1,a,b},B={a,a2,ab},且A ∪B=A ∩B,则实数a 的取值集合是 .【思路点拨】(1)求出A,B 中的元素,由A ⊆C ⊆B,知集合C 的个数由B 中有A 中没有的元素个数决定.(2)A ∪B=A ∩B ⇔A=B ，得出关于a,b 的方程组，解出a,b ，再根据集合元素的性质加以检验得出结论．【规范解答】(1)选D.A={x|x2-3x+2=0,x ∈R}={1,2},B={x|0<x<5,x ∈N}={1,2,3,4},由A ⊆C ⊆B,方法一:则C 中含有除1,2之外的3,4两元素中的0个、1个、2个,即C 的个数可以看作是集合{3,4}的子集的个数,有22=4个.方法二:则C 可能为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}共4个(2)方法一：因为A ∪B=A ∩B,所以A=B ，所以{1,b}={a2,ab}，所以解得反代回A,B 集合知，只有适合，所以即实数a 的取值集合是{-1}.【变式训练】(1)已知M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0}，若M ∩N=N ，则实数a 的值为( )(A)1 (B)-1 (C)1或-1 (D)0或1或-1【解析】选D ．M ∩N=N ⇔N ⊆M ．当a=0时，N= ，符合要求，当a ≠0时，只要即a=±1即可． (2)设集合A={x,y,x+y},B={0,x2,xy}，若A=B ，则实数对(x,y)的取值集合是_________.【解析】由A=B ，且0∈B ，故集合B 中的元素x2≠0,xy ≠0，故x ≠0,y ≠0，那么只能是集合A 中的x+y=0，此时就是在条件x+y=0下，{x,y}={x2,xy}，答案：{(1,-1),(-1,1)}考向 3 集合的基本运算【典例3】(1)(2012·福建高考)已知集合M={1，2，3，4}，N={-2，2}，下列结论成立的是( )(A)N ⊆M (B)M ∪N=M (C)M ∩N=N (D)M ∩N={2}(2)(2012·辽宁高考)已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A={0,1,3,5,8}，集合B={2,4,5,6,8}，则( A)∩( B)为( )(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6}【思路点拨】(1)根据集合M ，N 中元素的特点逐一验证.(2)可以根据补集定义求出 A, B ，再根据交集定义得出结论，还可以利用Venn 图解决．【规范解答】(1)选D.显然M ∩N={2}. (2)选B.方法：集合( A)∩( B)= (A ∪B)={7,9}．如图所示：【拓展提升】小结：集合的运算律 221ab,1a b ab b a =⎧⎧=⎨⎨==⎩⎩，或，∅1a a =，(1)交换律：A∪B=B∪A,A∩B=B∩A.(2)结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)；(A∩B)∩C=A∩(B∩C).(3)分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).【变式训练】(1)已知集合M={y|y=2x}，集合N={x|y=lg(2x-x2)}，则M∩N=( )(A)(0,2) (B)(2,+∞)（C）［0,+∞］ (D)(-∞,0)∪(2,+∞)【解析】选A. 集合M为函数y=2x的值域，即M=(0,+∞)，集合N是函数y=lg(2x-x2)的定义域，由不等式2x-x2＞0，解得N=(0,2)，所以M∩N=(0,2).三，布置作业思考辨析，考点自测，知能巩固。

高三数学一轮总结复习目录

高三数学一轮总结复习目录理科数学 -模拟试题分类目录1第一章会合与常用逻辑用语1.1 会合的观点与运算专题 1 会合的含义与表示、会合间的基本关系专题 2 会合的基本运算专题 3 与会合有关的新观点问题1.2 命题及其关系、充要条件专题 1 四种命题及其关系、命题真假的判断专题 2 充足条件和必需条件专题 3 充足、必需条件的应用与研究（利用关系或条件求解参数范围问题）1.3 简单的逻辑联络词、全称量词与存在量词专题 1 含有简单逻辑联络词的命题的真假专题 2 全称命题、特称命题的真假判断专题 3 含有一个量词的命题的否认专题 4 利用逻辑联络词求参数范围第二章函数2.1 函数及其表示专题 1 函数的定义域专题 2 函数的值域专题 3 函数的分析式专题 4 分段函数2.2 函数的单一性与最值专题 1 确立函数的单一性（或单一区间）专题 2 函数的最值专题 3 单一性的应用2.3 函数的奇偶性与周期性专题 1 奇偶性的判断专题 2 奇偶性的应用专题 3 周期性及其应用2.4 指数与指数函数专题 1 指数幂的运算专题 2 指数函数的图象及应用专题 3 指数函数的性质及应用2.5 对数与对数函数专题 1 对数的运算专题 2 对数函数的图象及应用专题 3 对数函数的性质及应用2.6 幂函数与二次函数专题 1 幂函数的图象与性质专题 2 二次函数的图象与性质2.7 函数的图像专题 1 函数图象的辨别专题 2 函数图象的变换专题 3 函数图象的应用2.8 函数与方程专题 1 函数零点所在区间的判断专题 2 函数零点、方程根的个数专题 3 函数零点的综合应用2.9 函数的应用专题 1 一次函数与二次函数模型专题 2 分段函数模型2专题 3 指数型、对数型函数模型第三章导数及其应用3.1 导数的观点及运算专题 1 导数的观点与几何意义专题 2 导数的运算3.2 导数与函数的单一性、极值、最值专题 1 导数与函数的单一性专题 2 导数与函数的极值专题 3 导数与函数的最值3.3 导数的综合应用专题 1 利用导数解决生活中的优化问题专题 2 利用导数研究函数的零点或方程的根专题 3 利用导数解决不等式的有关问题3.4 定积分与微积分基本定理专题 1 定积分的计算专题 2 利用定积分求平面图形的面积专题 4 定积分在物理中的应用第四章三角函数、解三角形4.1 三角函数的观点、同角三角函数的基本关系及引诱公式专题 1 三角函数的观点专题 2 同角三角函数的基本关系专题 3 引诱公式4.2 三角函数的图像与性质专题 1 三角函数的定义域、值域、最值专题 2 三角函数的单一性专题 3 三角函数的奇偶性、周期性和对称性4.3 函数 y = A sin(wx +j ) 的图像及应用专题 1 三角函数的图象与变换专题 2 函数 y=Asin( ωx+φ ) 图象及性质的应用4.4 两角和与差的正弦、余弦与正切公式专题 1 非特别角的三角函数式的化简、求值专题 2 含条件的求值、求角问题专题 3 两角和与差公式的应用4.5 三角恒等变换专题 1 三角函数式的化简、求值专题 2 给角求值与给值求角专题 3 三角变换的综合问题4.6 解三角形专题 1 利用正弦定理、余弦定理解三角形专题 2 判断三角形的形状专题 3 丈量距离、高度及角度问题专题 4 与平面向量、不等式等综合的三角形问题第五章平面向量5.1 平面向量的观点及线性运算专题 1 平面向量的线性运算及几何意义专题 2 向量共线定理及应用专题 3 平面向量基本定理的应用5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示专题 1 平面向量基本定理的应用3专题 2 平面向量的坐标运算专题 3 平面向量共线的坐标表示5.3 平面向量的数目积专题 1 平面向量数目积的运算专题 2 平面向量数目积的性质专题 3 平面向量数目积的应用5.4 平面向量的应用专题 1 平面向量在几何中的应用专题 2 平面向量在物理中的应用专题 3 平面向量在三角函数中的应用专题 4 平面向量在分析几何中的应用第六章数列6.1 数列的观点与表示专题 1 数列的观点专题 2 数列的通项公式6.2 等差数列及其前 n 项和专题 1 等差数列的观点与运算专题 2 等差数列的性质专题 3 等差数列前 n 项和公式与最值6.3 等比数列及其前 n 项和专题 1 等比数列的观点与运算专题 2 等比数列的性质专题 3 等比数列前 n 项和公式6.4 数列乞降专题 1 分组乞降与并项乞降专题 2 错位相减乞降专题 3 裂项相消乞降6.5 数列的综合应用专题 1 数列与不等式相联合问题专题 2 数列与函数相联合问题专题 3 数列中的研究性问题第七章不等式推理与证明7.1 不等关系与一元二次不等式专题 1 不等式的性质及应用专题 2 一元二次不等式的解法专题 3 一元二次不等式恒建立问题7.2 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题专题 1 二元一次不等式（组）表示的平面地区问题专题 2 与目标函数有关的最值问题专题 3 线性规划的实质应用7.3 基本不等式及其应用专题 1 利用基本不等式求最值专题 2 利用基本不等式证明不等式专题 3 基本不等式的实质应用7.4 合情推理与演绎推理专题 1 概括推理专题 2 类比推理专题 3 演绎推理7.5 直接证明与间接证明专题 1 综合法4专题 2 剖析法专题 3 反证法7.6 数学概括法专题 1 用数学概括法证明等式专题 2 用数学概括法证明不等式专题 3 概括－猜想－证明第八章立体几何8.1 空间几何体的构造及其三视图和直观图专题 1 空间几何体的构造专题 2 三视图与直观图8.2 空间几何体的表面积与体积专题 1 空间几何体的表面积专题 2 空间几何体的体积专题 3 组合体的“接”“切”综合问题8.3 空间点、直线、平面之间的地点关系专题 1 平面的基天性质及应用专题 2 空间两条直线的地点关系专题 3 异面直线所成的角8.4 直线、平面平行的判断与性质专题 1 线面平行、面面平行基本问题专题 2 直线与平面平行的判断与性质专题 3 平面与平面平行的判断与性质8.5 直线、平面垂直的判断与性质专题 1 垂直关系的基本问题专题 2 直线与平面垂直的判断与性质专题 3 平面与平面垂直的判断与性质专题 4 空间中的距离问题专题 5 平行与垂直的综合问题（折叠、研究类）8.6 空间向量及其运算专题 1 空间向量的线性运算专题 2 共线定理、共面定理的应用专题 3 空间向量的数目积及其应用8.7 空间几何中的向量方法专题 1 利用空间向量证明平行、垂直专题 2 利用空间向量解决研究性问题专题 3 利用空间向量求空间角第九章分析几何9.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程专题 1 直线的倾斜角与斜率专题 2 直线的方程9.2 点与直线、两条直线的地点关系专题 1 两条直线的平行与垂直专题 2 直线的交点问题专题 3 距离公式专题 4 对称问题9.3 圆的方程专题 1 求圆的方程专题 2 与圆有关的轨迹问题专题 3 与圆有关的最值问题59.4 直线与圆、圆与圆的地点关系专题 1 直线与圆的地点关系专题 2 圆与圆的地点关系专题 3 圆的切线与弦长问题专题 4 空间直角坐标系9.5 椭圆专题 1 椭圆的定义及标准方程专题 2 椭圆的几何性质专题 3 直线与椭圆的地点关系9.6 双曲线专题 1 双曲线的定义与标准方程专题 2 双曲线的几何性质9.7 抛物线专题 1 抛物线的定义与标准方程专题 2 抛物线的几何性质专题 3 直线与抛物线的地点关系9.8 直线与圆锥曲线专题 1 轨迹与轨迹方程专题 2 圆锥曲线中的范围、最值问题专题 3 圆锥曲线中的定值、定点问题专题 4 圆锥曲线中的存在、研究性问题第十章统计与统计事例10.1 随机抽样专题 1 简单随机抽样专题 2 系统抽样专题 3 分层抽样10.2 用样本预计整体专题 1 频次散布直方图专题 2 茎叶图专题 3 样本的数字特点专题 4 用样本预计整体10.3 变量间的有关关系、统计事例专题 1 有关关系的判断专题 2 回归方程的求法及回归剖析专题 3 独立性查验第十一章计数原理11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理专题 1 分类加法计数原理专题 2 分步乘法计数原理专题 3 两个计数原理的综合应用11.2 摆列与组合专题 1 摆列问题专题 2 组合问题专题 3 摆列、组合的综合应用11.3 二项式定理专题 1 通项及其应用专题 2 二项式系数的性质与各项系数和专题 3 二项式定理的应用第十二章概率与统计612.1 随机事件的概率专题 1 事件的关系专题 2 随机事件的频次与概率专题 3 互斥事件、对峙事件12.2 古典概型与几何概型专题 1 古典概型的概率专题 2 古典概型与其余知识的交汇（平面向量、直线、圆、函数等）专题 3 几何概型在不一样测度中的概率专题 4 生活中的几何概型问题12.3 失散型随机变量及其散布列专题 1 失散型随机变量的散布列的性质专题 2 求失散型随机变量的散布列专题 3 超几何散布12.4 失散型随机变量的均值与方差专题 1 简单的均值、方差问题专题 2 失散型随机变量的均值与方差专题 3 均值与方差在决议中的应用12.5 二项散布与正态散布专题 1 条件概率专题 2 互相独立事件同时发生的概率专题 3 独立重复试验与二项散布专题 4 正态散布下的概率第十三章算法初步、复数13.1 算法与程序框图专题 1 次序构造专题 2 条件构造专题 3 循环构造13.2 基本算法语句专题 1 输入、输出和赋值语句专题 2 条件语句专题 3 循环语句13.3 复数专题 1 复数的有关观点专题 2 复数的几何意义专题 3 复数的代数运算第十四章选修模块14.1 几何证明选讲专题 1 平行线分线段成比率定理专题 2 相像三角形的判断与性质专题 3 直角三角形的射影定理专题 4 圆周角、弦切角及圆的切线专题 5 圆内接四边形的判断及性质专题 6 圆的切线的性质与判断专题 7 与圆有关的比率线段14.2 坐标系与参数方程专题 1 极坐标与直角坐标的互化专题 2 直角坐标方程与极坐标方程的互化专题 3 曲线的极坐标方程的求解专题 4 曲线的参数方程的求解专题 5 参数方程与一般方程的互化7专题 6 极坐标方程与参数方程的应用14.3 不等式选讲专题 1 含绝对值不等式的解法专题 2 绝对值三角不等式的应用专题 3 含绝对值不等式的问题专题 4 不等式的证明8。

2023年新高考数学一轮复习1-1 集合(知识点讲解)解析版

专题1.1 集合【知识框架】【核心素养】1.考查集合的概念、元素的性质，凸显数学抽象的核心素养.2.考查集合的基本关系，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养.3.与不等式、数轴、Venn 图等相结合考查集合的运算，凸显数学运算、直观想象的核心素养.【知识点展示】1.元素与集合（1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．（2）集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作a A ∈；若b 不属于集合A ，记作b A ∉．（3）集合的表示方法：列举法、描述法、区间法、图示法．（4）五个特定的集合及其关系图： N*或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集．2.集合间的基本关系(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则A B或B A.(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本运算求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为C U A.4.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(C U A)＝∅，A∪(C U A)＝U，C U(C U A)＝A.特别提醒:1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔C U A⊇C U B.4. C U(A∩B)＝(C U A)∪(C U B)，C U(A∪B)＝(C U A)∩(C U B).【常考题型剖析】题型一集合的基本概念例1.(2018课标II 理2)已知集合(){}22,3,,A x y xy x y =+≤∈∈Z Z ，则A 中元素的个数为（）A ．9B ．8C ．5D ．4【答案】A方法二：根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x 2＋y 2＝3中有9个整点，即为集合A 的元素个数，故选A.【规律方法】与集合中的元素有关的问题的三种求解策略(1)研究一个用描述法表示的集合时，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件. (2)根据元素与集合的关系求参数时要注意检验集合中的元素是否满足互异性. (3)集合中的元素与方程有关时注意一次方程和一元二次方程的区别.例2.（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））已知集合{}()()2,1,0,1,2,{Z 230},A B x x x =--=∈+-<∣则集合{},,z z xy x A y B =∈∈∣的元素个数为（） A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】B 【解析】【分析】化简集合B ，由条件确定{},,z z xy x A y B =∈∈∣的元素及其个数. 【详解】由()()023x x +-<解得23x -<<，所以{}1,0,1,2B =-.又{}2,1,0,1,2A =--所以{}{},,2,0,2,4,1,1,4z z xy x A y B =∈∈=---∣，共有7个元素，故选：B.【规律方法】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集．（2）看这些元素满足什么限制条件．（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性题型二：集合间的基本关系例3.（2022·河南·开封市东信学校模拟预测）集合{0,1,2}A =的非空真子集的个数为（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】B 【解析】【分析】根据真子集的定义即可求解. 【详解】由题意可知，集合A 的非空真子集为{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2}，共6个. 故选：B.【易错警示】空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．例4.（2012·湖北省高考真题（文））已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义，集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【方法技巧】(1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法．(2)要确定非空集合A 的子集的个数，需先确定集合A 中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集．(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．题型三：集合的基本运算例5.（2022·全国·高考真题（文））设集合5{2,1,0,1,2},02A B xx ⎧⎫=--=≤<⎨⎬⎩⎭∣，则A B =（） A ．{}0,1,2 B ．{2,1,0}-- C ．{0,1} D ．{1,2}【答案】A 【解析】【分析】根据集合的交集运算即可解出．【详解】因为{}2,1,0,1,2A =--，502B x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭∣，所以{}0,1,2A B =．故选：A.例6．（2022·全国·高考真题（理））设全集{2,1,0,1,2,3}U =--，集合{}2{1,2},430A B xx x =-=-+=∣，则()UA B ⋃=（）A ．{1,3}B ．{0,3}C ．{2,1}-D ．{2,0}-【答案】D 【解析】【分析】解方程求出集合B ,再由集合的运算即可得解.【详解】由题意，{}{}2=4301,3B x x x -+==，所以{}1,1,2,3A B ⋃=-,所以(){}U2,0A B ⋃=-.故选：D.例7．（2022·全国·高考真题（理））设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =，则（） A ．2M ∈B ．3M ∈C ．4M ∉D ．5M ∉【答案】A 【解析】【分析】先写出集合M ,然后逐项验证即可【详解】由题知{2,4,5}M =,对比选项知，A 正确,BCD 错误故选:A例8.（2020·全国高考真题（理））已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（） A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】C 【解析】采用列举法列举出A B 中元素的即可.【详解】由题意，A B 中的元素满足8y x x y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故AB 中元素的个数为4.故选：C. 【规律方法】如何解集合运算问题(1)看元素构成:集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键.(2)对集合化简:有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决. (3)应用数形结合:常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图.(4)创新性问题:以集合为依托，对集合的定义、运算、性质进行创新考查，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决.题型四：利用集合的运算求参数例9.（2020·全国高考真题（理））设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（）A ．–4B ．–2C ．2D ．4【答案】B 【解析】由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值. 【详解】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭. 由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a-=，解得：2a =-. 故选：B. 【方法规律】利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；①若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．例10.（2022·山西运城·高二阶段练习）设集合{23},{}A x x B x x a =-<<=>，若R A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围为____．【答案】2a ≤- 【解析】【分析】先求出RB ，则RA B ⋂=∅，{23}A x x =-<<，由分析即可求出a 的取值范围.【详解】RB {}x x a =≤，又因为RA B ⋂=∅，{23}A x x =-<<，所以2a ≤-．故答案为：2a ≤-.【易错提醒】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B ⋂=∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．题型五：集合的新定义问题例11.（2015·湖北高考真题（理））已知集合A ={(x,y)|x 2+y 2≤1, x,y ∈Z}，B ={(x,y)| |x|≤2 , |y|≤2, x,y ∈Z}，定义集合A ⊕B ={(x 1+x 2,y 1+y 2)|(x 1,y 1)∈A, (x 2,y 2)∈B}，则A ⊕B 中元素的个数为（）A ．77B ．49C ．45D ．30 【答案】C 【解析】因为集合A ={(x,y)|x 2+y 2≤1, x,y ∈Z}，所以集合中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合B ={(x,y)| |x|≤2 , |y|≤2, x,y ∈Z}中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合A ⊕B ={(x 1+x 2,y 1+y 2)|(x 1,y 1)∈A, (x 2,y 2)∈B}的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．例12. （2021·江西·丰城九中高二阶段练习）已知非空集合,A B 满足下列四个条件：①{}1,2,3,4,5,6,7A B =；①A B =∅；③A 中的元素个数不是A 中的元素；④B 中的元素个数不是B 中的元素．（1）若集合A 中只有1个元素，则A =________；（2）若两个集合A 和B 按顺序组成的集合对()A B ，叫作有序集合对，则有序集合对(),A B 的个数是________.【答案】 {6} 32 【解析】【分析】根据给定信息，分析集合A ，B 不能取的元素即可得解；按集合A 中元素个数分类计算作答. 【详解】（1）因{}1,2,3,4,5,6,7A B =，A B =∅，则集合A ，B 的元素个数和为7，而集合A 中只有1个元素，则集合B 中有6个元素，又B 中的元素个数不是B 中的元素，即6B ∉，所以{6}A =；（2）集合A 中有1个元素时，由（1）知{6}A =，{1,2,3,4,5,7}B =，则有序集合对(),A B 有1个，集合A 中有2个元素时，即2,5A B ∉∉，则{5,},{1,3,4,6,7}A a a =∈，有序集合对(),A B 有15C 5=个，集合A 中有3个元素时，即3,4A B ∉∉，则{4,,},,{1,2,5,6,7}A a b a b =∈，有序集合对(),A B 有25C 10=个，集合A 中有4个元素时，即4,3A B ∉∉，则{3,,,},,,{1,2,5,6,7}A a b c a b c =∈，有序集合对(),A B 有35C 10=个，集合A 中有5个元素时，即5,2A B ∉∉，则{2,,,,},,,,{1,3,4,6,7}A a b c d a b c d =∈，有序集合对(),A B 有45C 5=个，集合A 中有6个元素时，即6,1A B ∉∉，则{1,,,,,},,,,,{2,3,4,5,7}A a b c d e a b c d e =∈，有序集合对(),A B 有55C 1=个，所以有序集合对()A B ，的个数是1+5+10+10+5+1=32. 故答案为：{6}；32 【方法技巧】解决集合新定义问题的方法(1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口.(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用.(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的.。

高三一轮复习集合知识点和题型

第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念知识点1.元素和集合的概念元素：一般地，我们把研究对象统称为元素集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。

集合通常用大写的字母表示，如A B C 、、、……；元素通常用小写的字母表示，如a b c d 、、、……。

知识点2.集合中元素的特性（1）确定性：给定一个集合，它的元素必须是确定的。

设A 是一个给定的集合，x 是某一具体的对象，则x 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，二者必居其一，不能模棱两可．（2）互异性：给定一个集合，它的任意两个元素是互不相同的。

也就是说集合中的元素是不重复出现的。

集合中相同的元素只能算是一个。

（3）无序性：集合中的元素是不分先后顺序的．知识点3.元素与集合的关系一般地，如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A ∈；如果a 不是集合的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉。

特别注意：（1）集合和元素是两个不同的概念，它们之间是个体与整体的关系，并且这种关系是相对的；（2）元素与集合之间不存在大小与相等的关系，只存在属于或不属于的关系。

如2与{}3，只能是{}23∉，不能写成{}23≠。

知识点4.集合的第一种表示方法自然语言和常用数集及记法上面举的例子：中国的直辖市组成的集合。

还比如：地球上的四大洋组成的集合；小于10的所有自然数组成的集合等等我们是可以用自然语言表示一个集合。

数学中有一些常用数集，就是自然语言表示的，这些常用数集及记法如下：（1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N 。

（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作*N 或+N 。

（3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z 。

（4）全体有理数数组成的集合称为有理数集，记作Q 。

（5）全体实数组成的集合称为实数集，记作R 。

知识点5.集合的表示方法（1）自然语言（2）列举法列举法概念：像这样把集合中的元素一一列举出来，并用大括号括起来表示集合的方法叫做列举法。

1.1集合的概念及运算(讲义)-2023届高考一轮复习

1.1集合的概念及运算【考试要求】.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系，能用集合语言描述不同的具体问题；1.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；.在具体情境中，了解全集与空集的含义；2.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集，能使用Venn图表示集合间的基本关系及集合的基本运算。

【考点提示】.以选择题、填空题的形式考查集合的交集、并集、补集运算；1.以集合为载体，考查函数的定义域、值域、方程、不等式及曲线间的交点问题;.以考查集合含义及运算为主，同时考查集合语言和思想的运用。

【要点梳理】1.集合的含义与表示（1）集合的含义：指定某些对象的全体称为集合,集合的每个对象称为元素;（2）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性;（3）元素与集合的关系：属于记为，反4;不属于记为agA;（4）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法;（5）常用数集及其符号表示：自然数集：JV；正整数集：N*或"整数集：Z；有理数集：。

；实数集：区；（6）集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集;.集合的基本关系（1）子集：一般地，对于两个集合A , B,集合A中任何一个元素均为集合「中的元素，那么称集合A是集合B的子集，记作：AqB或（2）相等：如果且那么A = B；（3）真子集：对于两个集合A, B,如果且AwB,那么称集合A是集合B的真子集，记作：A曙8或A；（4）空集：不含任何元素的集合，空集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集，可以表示为：0GA或0思3 （B^0）；（5）假设一个集合A中有〃个元素，那么集合A有2：个子集，2"-1个真子集。

2.集合的运算（1）集合的基本运算【基础自测】]假设集合 A = {2£ N IX W 12022 } , 贝 Ij()A. tzeAB. [a}eAC.[a}^AD. a^A答案：D2.(21•全国乙理)集合3 = {5|5 = 2〃 + 1,〃£2}, 2={Z|E=4〃+1/£Z},那么S"=()A. 0B. SC. TD. Z答案：c3.(21•全国甲理)设集合M={x[0<xv4}, N = {x|1wxW5}那么MAN=()A. {x|O<x<l}B. {x|-<x<4}C. {x|4<x<5}D. {x|0<x<5}答案：B4.(21 •全国乙文)全集。

[精品]新高三高考数学一轮复习1、集合与逻辑优质课教案

1、集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念及其运算（1）【知识网络】1.集合的有关概念：集合、全集、子集、空集、集合的包含与相等2.集合的表示法：列举法、描述法、韦恩图法【典型例题】例 1.（1）下列集合中，是空集的是（D ）A ．2{|33}x x +=B ．2{(,)|,,}x y y x x y R =-∈C ．2{|0}x x -≥D ．},01|{2R x x x x ∈=+- 提示：方程210x x -+=没有实数根.（2）若集合{},,M a b c =中的元素是ABC ∆的三边长，则△ABC 一定不是（D ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形提示：由集合中元素的互异性可知.（3）若全集{}{}0,1,2,3,42,3U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（C ）A ．3个B ．5个C ．7个D ．8个提示：{0,1,4}A =.（4）方程组⎩⎨⎧=-=+9122y x y x 的解集是 . (){}4,5-（5）设{}{}34|,|,<>=≤≤==x x x A C b x a x A R U U 或，则a = ，b = .3,4提示：{|}U C A x x a x b =<>或. 例2.已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-∈=N x N x A 68|，试求集合A 的所有子集. 解：由题意可知6x -是8的正约数，所以 6x -可以是1,2,4,8；相应的x 为2,4,5，即 {}5,4,2=A .∴A 的所有子集为,{2},{4},{5},{2,4},{2,5},{4,5}{2,4,5}φ.例3.已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B φ≠，且B A ⊆,求m 的取值范围.解：由题设知12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解之得，23m ≤≤.例4.全集{}321,3,32S x x x =++，{}1,21A x =-，如果{},0=A C S 则这样的实数x 是否存在？若存在，求出x ；若不存在，请说明理由.解：假设这样的x 存在， ∵{},0=A C S ∴0S ∈，且|21|x S -∈. 易知32320x x x ++=，且|21|3x -=，解之得，2x =-. 当2x =-时，{1,3,0},{1,3}S A ==，符合题设条件. ∴存在实数2x =-满足{},0=A C S . 【课内练习】1.设集合{|1X x x =>-，下列关系式中成立的为（D ）A ．0X⊆ B ．{}0X ∈ C ．Xφ∈D ．{}0X ⊆2.设集合{|A y y ==，{|B x y ==，则下列关系中正确的是（D ）A ．AB = B ．A B ⊆C ．B A ⊆D ．[1,)A B ⋂=+∞提示：{|0}A y y =≥，{|11}B x x x =≥≤-或. 3.下列说法中，正确的是（D ）A.任何一个集合必有两个子集B.若,A B φ=则,A B 中至少有一个为φC.任何集合必有一个真子集D.若S 为全集，且,AB S =则A B S ==提示：A 错，因为空集只有一个子集；B 错，如{1,2},{3,4}A B ==，有；A B φ=；C 错，空集就没有真子集.4.已知集合{|8}M x N x N =∈-∈，则M 中元素的个数是（B ）A ．10B ．9C ．8D ．7 提示：x 可取0,1,2,3,4,5,6,7,8，此时都有8x N -∈.5.集合111{1,,,,}234⋅⋅⋅可用描述法表示为 .1{|,}x x n N n*=∈6.设集合3{|(3)(2)0},{|0}3x A x x x B x x -=-+===+，则,A B 之间的关系是 A B .（填,⊆⊇或=）⊇提示：{2,3},{3}A B =-=.7.设集合{32}A x x =-≤≤,{2121}B x k x k =-≤≤+,且A B ⊇，则实数k 的取值范围是 .112k -≤≤提示:2121k k -<+, ∴B ≠∅8. 已知集合,,A B C ,且,A B A C ⊆⊆,若{0,1,2,3,4}B =,{0,2,4,8}C =,集合A 中最多含有几个元素?解:设x A ∈,则必有,x B x C ∈∈, ∴x 只能是0,2,4, ∴集合A 中最多含有3个元素9.设U Z =,{|2,},{|21,}A x x k k N B x x k k N ==∈==+∈,求,U U C A C B . 解：集合A 是所非负偶数的集合，集合B 是所有正奇数的集合，所以，A 的补集是所有负数和正奇数的集合，B 的补集是所有负数和非负偶数的集合，即{|21()}U C A x x k k k N +==--∈或，{|2()}U C B x x k k k N ==-∈或. 10.已知集合2{|210,}A x R ax x a R =∈++=∈中只有一个元素(A 也可叫作单元素集合),求a 的值,并求出这个元素. 解:①当0a =时,1{|210,}{}2A x x x R =+=∈=-;②当0a ≠时,有2240a ∆=-=, ∴1a =,此时1x =-. 由①,②知0a =或1a =,A 相应的元素为1,12--.1.2 集合的概念及其运算（2）【知识网络】集合的运算：交集、并集、补集【典型例题】例 1.（1）设22{|0},{|0}A x x xB x x x =-==+=，则集合A B =（B ）A ．0B ．{}0C ．φD ．{}1,0,1-（2）全集{,,,,}U a b c d e =，集合{,,},{,,}M c d e N a b e ==，则集合{,}a b 可表示为（B ）A ．M N ⋂B ．()UC M N ⋂ C ．()U M C N ⋂D ．()()U U C M C N ⋂（3）下列表示图形中的阴影部分的是（A ）A ．()()A CBC B ．()()A B A C C ．()()A B B CD ．()A B C提示：设阴影部分表示的集合为M ，由图可知，,C M A B M ⊆⋂⊆. （4）已知集合{}{}22,1,3,3,21,1A a a B a a a =+-=--+，若{}3A B =-，则实数a的值为 . 1-提示：211a +≠-；故分33a -=-和213a -=-进行讨论.(要检验所得结果是否符合题设条件)ABC（5）给出下列六个等式：①A A A ⋂=；②()U A C A U ⋃=；③()U A C A ⋂=∅；④()A A B A B ⋃⋂=⋂；⑤()()A B A B A B ⋃⋃⋂=⋂；⑥()A B A A ⋃⋂=（其中,A B 为全集U 的子集）.其中正确的有个.4提示：④、⑤不正确，如{1,2},{2,4}A B ==.例2.设全集U R =，{|M m =方程210mx x --=有实数根}，{|N n =方程20x x n -+=有实数根}，求()U C M N ⋂.解：当0m =时，1x =-，即0M ∈；当0m ≠时，140,m ∆=+≥即14m ≥-，且0m ≠ ∴14m ≥-，∴1|4U C M m m ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭而对于N ，140,n ∆=-≥即14n ≤，∴1|4N n n ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭.∴1()|4U C M N x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭例3.已知{|3}A x a x a =≤≤+,{|1B x x =<-或5}x >. (1)若A B =∅,求a 的取值范围; (2) 若A B B =,求a 的取值范围.解:(1)A B =∅, ∴135a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解之得12a -≤≤.(2) A B B =, ∴A B ⊆. ∴31a +<-或5a >， 4a <-或5a > ∴若A B =∅,则a 的取值范围是[1,2]-；若A B B ⋃=,则a 的取值范围是(,4)(5,)-∞-⋃+∞.例 4.已知222{|190},{|560}A x x ax aB x x x =-+-==-+=,是否存在实数a ,使A ,B同时满足下列三个条件:①A B ≠,②A B B ⋃=,③∅()A B ⋂.若存在,试求出a 的值;若不存在,请说明理由.解:{2,3}B =, ∵A B B ⋃=, ∴B A ⊆, ∵∅()A B ⋂, ∴B ≠∅,又A B ≠,∴{2}A =或{3}A =. 当{2}A =时,有2()4194a a --=⎧⎨-=⎩,此方程组无解. 当{3}A =时,有2()6199a a --=⎧⎨-=⎩,此方程组也无解. ∴不存在满足条件的实数a . 【课内练习】1.若集合{}{}22(,)0,(,)1,,M x y x y N x y x y x R y R =+==+=∈∈，则M N ⋂=（D ）A ．{(1,1),(1,1)}--B ． {(C ．D ． {(),(,2222-- 提示：M 表示直线0x y +=上的点的集合，N 表示坐标单位圆上的点的点的集合.2．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为 ( D ）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．1或1-或0提示：A B A =⋃， ∴B A ⊆， ∴B =∅或{1}B =或{1}B =-.3.50名同学参加跳远和铅球测验，测验成绩及格的分别为40人和31人，2项测验成绩均不及格的有 4人，2项测验成绩都及格的人数是（B ）A ．35B ．25C ．28D ．15提示：利用韦恩图.3.4.{|24},{|}A x x B x x a =-<<=≥，若A B ⋂=∅，且A B ⋃中不含元素6，则a的一个可能值为（D ）A. 4B. 5C. 6D. 7提示：由A B ⋂=∅可知4a ≥，但A B ⋃中不含元素6， ∴a 的一个可能值为75.若{}{}21,4,,1,A x B x ==且A B B =，则x = .2,2,0-或提示：A B B =， ∴B A ⊆, ∴24x =或2x x =,且21x ≠. 对所得到的x 进行检验即得.6. 已知{}{}221,21A y y x x B y y x ==-+-==+，则A B =_________. {|0}y y ≤提示：A 表示函数221y x x =-+-的值域，B 表示函数21y x =+的值域.7.设集合{(,)|4A x y x y =+=，{(,)|327}B x y x y =+=，则满足()C A B ⊆⋂的集合C 为 . {(1,2)}或∅提示：{(1,2)}A B ⋂=，{(1,2)}C ⊆.8.设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{}2|(1)0B x x m x m =+++=；若()U C A B =∅，求m 的值.解：{}2,1A =--，由(),U C A B B A =∅⊆得，∵方程2(1)0x m x m +++=的判别式:22(1)4(1)0m m m ∆=+-=-≥, ∴B ≠∅,∴{}1B =-或{}2B =-或{}1,2B =--. ①若{}1B =-,则1m =;②若{}2B =-,则应有(1)(2)(2)4m -+=-+-=-且(2)(2)4m =-⋅-=,这两式不能同时成立 , ∴{}2B ≠-;③若{}1,2B =--,则应有(1)(1)(2)3m -+=-+-=-且(1)(2)2m =-⋅-=, 由这两式得2m =.经检验知1m =和2m =符合条件. ∴1m =或2.9.设集合2{|(2)10,}A x x b x b b R =++++=∈，求集合A 中所有元素的和S .解：2(2)1(1)(1)x b x b x x b ++++=+++. 当0b =时，{1}A =-，此时1S =-；当0b ≠时，{1,(1)}A b =--+，此时(2)S b =-+ 综上，1(0)(2)(0)b S b b -=⎧=⎨-+≠⎩.10.设集合2{1,3,},{1,}A a B a ==，问是否存在这样的实数a ，使得2{1,,}A B a a =与{1,}A B a =同时成立？若存在，求出实数a ；若不存在，说明理由.解：假设这样的实数a 存在，由{1,}A B a =，知2a a =， ∴0a =或1a =.当0a =时，A B 不可能为2{1,,}a a ，故0a =不合题意；当1a =时，2{1,}B a =中，21a =，与集合中元素的互异性矛盾，故1a =也不合题意.综上可知，满足题设条件的实数a 不存在.1.3 命题及其关系【知识网络】1.四种命题及其相互关系2.充分条件和必要条件【典型例题】例1.（1）下面有四个命题：①集合N 中最小的数是1；②若a -不属于N ，则a 属于N ；③若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；④x x 212=+的解可表示为{}1,1.其中真命题的个数为（A ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个提示：①假命题，集合N 中最小的数是0；②假命题，如12a =；③假命题，如0,1ab ==；④假命题，{}1,1与集合元素的互异性矛盾.（2）命题：“若220(,)a b a b R +=∈，则0a b ==”的逆否命题是（D ）A.若0(,)a b a b R ≠≠∈，则220a b +≠B.若0,0(,)a b a b R ≠≠∈且，则220a b +≠C. 若0(,)a b a b R =≠∈，则220a b +≠D.若0,0(,)a b a b R ≠≠∈或，则220a b +≠提示：0a b ==的否定为,a b 至少有一个不为0.（3）若:,1A a R a ∈<, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的（A ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件提示：:,120A a R a a ∈<⇒-<，可知方程的两根异号，条件充分；条件不必要，如1a =时，方程一个根大于零,另一根小于零.（4）给出以下四个条件：①0ab >；②0a >或0b >；③2a b +>；④0a >且0b >.其中可以作为“若,a b R ∈，则0a b +>”的一个充分而不必要条件的是 .③④提示：①0ab >不充分，如1,2a b =-=-；②既不充分，如1,2a b ==-；③、④充分而不必要，20a b a b +>⇒+>，但反之不成立，000a b a b >>⇒+>且，但反之不成立.（5）设有两个命题：:p 不等式|||1|x x a ++>的解集为R ，命题:q ()(73)x f x a =--在R 上为减函数.如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a 的取值范围是 . [1,2)提示：|||1|x x ++表示x 轴上的点到点(0,0)和(1,0)-的距离之和，易知其最小值为1，若命题p为真，则1a <；若命题q 为真，则731a ->，可得2a <. p 真q 假不可能，若p假q真，则有12a≤<.例2.写出命题“若ba,都是偶数，则ba+是偶数”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假.解:逆命题:若ba+是偶数，则ba,都是偶数，它是假命题;否命题:若ba,不都是偶数，则ba+不是偶数，它是假命题;逆否命题:若ba+不是偶数，则ba,不都是偶数，它是真命题.例3. .是有理数，故它可以用一个qp=（,p q N*∈，且,p q互质），∴222q p=，∴q为偶数，设2q r=，则2242r p=，即222p r=，∴p为偶数. ,p q都是偶数与,p q互质矛盾.∴.例4.已知方程22(21)0x k x k+-+=,求使方程有两个大于1的实数根的充要条件。

2021新高考数学一轮复习第01章 1.1 集合

§1.1集合1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R2.集合的基本关系(1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B；(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A B；(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；(4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算表示运算文字语言集合语言图形语言记法交集属于A且属于B的所有元素组成的集合{x|x∈A，且x∈B} A∩B并集属于A或属于B的元素组成的集合{x|x∈A，或x∈B} A∪B概念方法微思考1．若一个集合A有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集．提示2n,2n－1.2．从A∩B＝A，A∪B＝A中可以分别得到集合A，B有什么关系？提示A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．(×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×)(4)若P∩M＝P∩N＝A，则A⊆(M∩N)．(√)题组二教材改编2．若集合A＝{x∈N|x≤ 2 021}，a＝22，则下列结论正确的是()A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉A答案 D3．已知集合A＝{a，b}，若A∪B＝{a，b，c}，满足条件的集合B有________个．答案 4解析因为(A∪B)⊇B，A＝{a，b}，所以满足条件的集合B可以是{c}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，所以满足条件的集合B有4个．4．设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(∁U A)∪B＝________.答案(－∞，0)∪[1，＋∞)解析因为∁U A＝{x|x>2或x<0}，B＝{y|1≤y≤3}，所以(∁U A)∪B＝(－∞，0)∪[1，＋∞)．题组三易错自纠5．(多选)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有()A．∅⊆A B．－2∈AC．{0,2}⊆A D．A⊆{y|y<3}答案ACD解析易知A＝{0,2}，A，C，D均正确．6．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝________.答案0或3解析因为B⊆A，所以m＝3或m＝m.即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合元素的互异性可知m≠1，所以m＝0或3.7．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．答案0或1或－1解析易得M＝{a}．∵M∩N＝N，∴N⊆M，∴N＝∅或N＝M，∴a＝0或a＝±1.集合的含义与表示1．已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{(x ，y )|x ≥y ，x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．6 D ．9 答案 C解析当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0或y ＝1；当x ＝2时，y ＝0,1,2.故集合B ＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}，即集合B 中有6个元素．2．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪32－x ∈Z，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C 解析因为32－x∈Z ，且x ∈Z ，所以2－x 的取值有－3，－1,1,3，所以x 的值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4. 3．给出下列四个命题： ①{(x ，y )|x ＝1或y ＝2}＝{1,2}；②{x |x ＝3k ＋1，k ∈Z }＝{x |x ＝3k －2，k ∈Z }；③由英文单词“apple ”中的所有字母组成的集合有15个真子集；④设2 021∈{x ，x 2，x 2}，则满足条件的所有x 组成的集合的真子集的个数为3. 其中正确的命题是________．(填序号) 答案 ②③④解析 ①中左边集合表示横坐标为1，或纵坐标为2的所有点组成的集合，即x ＝1和y ＝2两直线上所有点的集合，右边集合表示有两个元素1和2，左、右两集合的元素属性不同．②中3k ＋1,3k －2(k ∈Z )都表示被3除余1的数，易错点在于认为3k ＋1与3k －2中的k 为同一个值，对集合的属性理解错误．③中集合有4个元素，其真子集的个数为24－1＝15(个)．④中x ＝－2 021或x ＝－ 2 021，满足条件的所有x 组成的集合为{－2 021，－ 2 021}，其真子集有22－1＝3个．所以②③④正确．思维升华解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．特别提醒：含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性．集合间的基本关系例1 (1)集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝n 2＋1，n ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝m ＋12，m ∈Z ，则两集合M ，N 的关系为( ) A ．M ∩N ＝∅ B ．M ＝N C ．M ⊆N D ．N ⊆M答案 D解析由题意，对于集合M ，当n 为偶数时，设n ＝2k (k ∈Z )，则x ＝k ＋1(k ∈Z )，当n 为奇数时，设n ＝2k ＋1(k ∈Z )，则x ＝k ＋1＋12(k ∈Z )，∴N ⊆M ，故选D.(2)已知集合A ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x ∈N |0<x <5}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为________．答案 4解析由题意可得，A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．又∵A⊆C⊆B，∴C＝{1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}，∴有4个．(3)已知集合A＝{x|x2－2 021x＋2 020<0}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________________________________________________________________________．答案[2 020，＋∞)解析由x2－2 021x＋2 020<0，解得1<x<2 020，故A＝{x|1<x<2 020}．又B＝{x|x<a}，A⊆B，如图所示，可得a≥2 020.思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．跟踪训练1(1)已知集合A＝{x|y＝1－x2}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则()A．A B B．B AC．A⊆B D．B＝A答案 B解析由题意知A＝{x|y＝1－x2}，所以A＝{x|－1≤x≤1}．所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，所以B A ，故选B.(2)已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －6)≤0}，B ＝{x |m －1≤x ≤2m ＋1}．若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．答案 (－∞，－2)∪⎣⎡⎦⎤0，52 解析 A ＝{x |－1≤x ≤6}． ∵B ⊆A ，∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，m －1>2m ＋1，即m <－2.符合题意．当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤2m ＋1，m －1≥－1，2m ＋1≤6.解得0≤m ≤52.得m <－2或0≤m ≤52.集合的基本运算命题点1 集合的运算例2 (1)(2019·日照模拟)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x <2}，则A ∩B 等于( ) A ．(1,3) B ．(1,3] C ．[－1,2) D ．(－1,2)答案 C解析因为A ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x <2}，所以A ∩B ＝[－1,2)．(2)(2020·沈阳检测)已知全集U＝{1,3,5,7}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则如图所示的阴影区域表示的集合为()A．{3} B．{7} C．{3,7} D．{1,3,5}答案 B解析由图可知，阴影区域为∁U(A∪B)．由题意知，A∪B＝{1,3,5}，U＝{1,3,5,7}，则由补集的概念知，∁U(A∪B)＝{7}．故选B.命题点2利用集合的运算求参数例3(1)已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是()A．(0,3) B．(0,1)∪(1,3)C．(0,1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)答案 B解析因为A∩B有4个子集，所以A∩B中有2个不同的元素，所以a∈A，所以a2－3a<0，解得0<a<3.又a≠1，所以实数a的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B.(2)已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x2－3x＋2<0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是() A．a<1 B．a≤1C．a>2 D．a≥2答案 D解析集合B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1<x<2}，由A∩B＝B可得B⊆A，作出数轴如图．可知a≥2.本例(2)中，若集合A＝{x|x>a}，其他条件不变，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，1]解析∵A＝{x|x>a}，B＝{x|1<x<2}，由B⊆A结合数轴观察(如图)．可得a≤1.思维升华(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，可用Venn图表示；数集中的元素若是连续的，则可用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．跟踪训练2(1)(2019·全国Ⅰ)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩∁U A等于()A．{1,6} B．{1,7}C．{6,7} D．{1,6,7}答案 C解析∵U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，∴∁U A＝{1,6,7}．又B＝{2,3,6,7}，∴B∩∁U A＝{6,7}．(2)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是()A．－1<a≤2 B．a>2C．a≥－1 D．a>－1答案 D解析在数轴上画出集合A，B(如图)，观察可知a >－1.解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．例1 对于集合M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ∈M ，1，x ∉M .对于两个集合A ，B ，定义集合A △B ＝{x |f A (x )·f B (x )＝－1}．已知A ＝{2,4,6,8,10}，B ＝{1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合A △B 的结果为________．答案 {1,6,10,12}解析要使f A (x )·f B (x )＝－1，必有x ∈{x |x ∈A 且x ∉B }∪{x |x ∈B 且x ∉A }＝{1,6,10,12}，所以A △B ＝{1,6,10,12}．例2 (多选)设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a ，b ∈P ，都有a ＋b ，a －b ，ab ，ab ∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域，下列命题中正确的是( ) A ．数域必含有0,1两个数 B ．整数集是数域C ．若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域D ．数域必为无限集答案 AD解析当a ＝b 时，a －b ＝0，ab ＝1∈P ，故可知A 正确．当a ＝1，b ＝2时，12∉Z 不满足条件，故可知B 不正确．当M 比Q 多一个元素i 时，则会出现1＋i ∉M ，所以它也不是一个数域，故可知C 不正确．根据数域的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知D 正确．例3 已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素数字之和为( ) A ．15 B ．16 C ．20 D ．21 答案 D解析由x 2－2x －3≤0，得(x ＋1)(x －3)≤0，得A ＝{0,1,2,3}．因为A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，所以A *B 中的元素有：0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A *B ＝{1,2,3,4,5,6}，所以A *B 中的所有元素数字之和为21.1．下列各组集合中表示同一集合的是()A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{2,3}，N＝{3,2}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}答案 B2．已知集合M＝{x|x2－x－6＝0}，则下列表述正确的是()A．{－2}∈M B．2∈MC．－3∈M D．3∈M答案 D解析∵集合M＝{x|x2－x－6＝0}．∴集合M＝{－2,3}，∴－2∈M,3∈M，故选D.3．(2018·全国Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为() A．9 B．8 C．5 D．4答案 A解析将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.4．已知集合A＝{x∈N*|x2－3x－4<0}，则集合A的真子集有()A．7个B．8个C．15个D．16个答案 A解析 ∵集合A ＝{x ∈N *|x 2－3x －4<0}＝{x ∈N *|－1<x <4}＝{1,2,3}， ∴集合A 中共有3个元素，∴真子集有23－1＝7(个)．5．已知集合M ＝{x |x >4或x <1}，N ＝[－1，＋∞)，则M ∩N 等于( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－1,1)∪(4，＋∞) C ．∅ D ．[－1,1)∪(4，＋∞)答案 D解析因为M ＝{x |x >4或x <1}，N ＝[－1，＋∞)，所以M ∩N ＝[－1,1)∪(4，＋∞)． 6．(2020·山东模拟)设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2}，B ＝{(x ，y )|y ＝x 2}，则A ∩B 等于( ) A ．{(1,1)} B ．{(－2,4)} C ．{(1,1)，(－2,4)} D ．∅答案 C解析首先注意到集合A 与集合B 均为点集，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4.从而集合A ∩B ＝{(1,1)，(－2,4)}．7．(多选)已知集合A ＝{x |－1<x ≤3}，集合B ＝{x ||x |≤2}，则下列关系式正确的是( ) A ．A ∩B ＝∅B ．A ∪B ＝{x |－2≤x ≤3}C ．A ∪∁R B ＝{x |x ≤－1或x >2}D ．A ∩∁R B ＝{x |2<x ≤3} 答案 BD解析 ∵A ＝{x |－1<x ≤3}，B ＝{x ||x |≤2}＝{x |－2≤x ≤2}， ∴A ∩B ＝{x |－1<x ≤3}∩{x |－2≤x ≤2}＝{x |－1<x ≤2}，A 不正确； A ∪B ＝{x |－1<x ≤3}∪{x |－2≤x ≤2}＝{x |－2≤x ≤3}，B 正确； ∵∁R B ＝{x |x <－2或x >2}，∴A ∪∁R B ＝{x |－1<x ≤3}∪{x |x <－2或x >2}＝{x |x <－2或x >－1}，C 不正确； A ∩∁R B ＝{x |－1<x ≤3}∩{x |x <－2或x >2}＝{x |2<x ≤3}，D 正确．8．(多选)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |2<2x ≤8}，则下列判断不正确的是( )A ．A ∪B ＝B B ．(∁R B )∪A ＝RC ．A ∩B ＝{x |1<x ≤2}D ．(∁R B )∪(∁R A )＝R答案 ABD解析因为x 2－3x ＋2≤0，所以1≤x ≤2，所以A ＝{x |1≤x ≤2}；因为2<2x ≤8，所以1<x ≤3，所以B ＝{x |1<x ≤3}．所以A ∪B ＝{x |1≤x ≤3}，A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2或x >3}，(∁R B )∪(∁R A )＝{x |x ≤1或x >2}．9．设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝________. 答案 {1,3}解析 ∵A ∩B ＝{1}，∴1∈B . ∴1－4＋m ＝0，即m ＝3. ∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．10．(2019·湖北黄石一中模拟)设集合M ＝{y |y ＝2cos x ，x ∈[0,5]}，N ＝{x |y ＝log 2(x －1)}，则M ∩N ＝________. 答案 {x |1<x ≤2}解析 ∵M ＝{y |y ＝2cos x ，x ∈[0,5]}＝{y |－2≤y ≤2}，N ＝{x |y ＝log 2(x －1)}＝{x |x >1}， ∴M ∩N ＝{y |－2≤y ≤2}∩{x |x >1}＝{x |1<x ≤2}．11．设集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，若A ∩B ＝{－1,2}，则a 的值为________．答案－2或1解析 ∵集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，A ∩B ＝{－1,2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝－1，a 2－2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝2，a 2－2＝－1，解得a ＝－2或a ＝1. 经检验，a ＝－2和a ＝1均满足题意．12．已知集合A ＝{x |x 2＋x ＝0，x ∈R }，则集合A 中的元素为________．若集合B 满足B ⊆A ，则集合B 的个数是________．答案－1,0 4解析解方程x 2＋x ＝0得x ＝－1或x ＝0，所以集合A ＝{x |x 2＋x ＝0，x ∈R }＝{－1,0}，故集合A中的元素为－1,0.因为集合B满足B⊆A，所以集合B的个数为22＝4.13．(2020·青岛模拟)已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B ＝(－1，n)，则m＝______，n＝________.答案－1 1解析A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，则B＝{x|m<x<2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.14．设常数a∈R，集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为________．答案(－∞，2]解析当a>1时，A＝(－∞，1]∪[a，＋∞)，B＝[a－1，＋∞)，当且仅当a－1≤1时，A∪B＝R，故1<a≤2；当a＝1时，A＝R，B＝{x|x≥0}，A∪B＝R，满足题意；当a<1时，A＝(－∞，a]∪[1，＋∞)，B＝[a－1，＋∞)，又∵a－1<a，∴A∪B＝R，故a<1满足题意，综上知a∈(－∞，2]．15．(多选)设S为复数集C的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题中是真命题的有()A．集合S＝{a＋b i|a，b为整数，i为虚数单位}为封闭集B．若S为封闭集，则一定有0∈SC．封闭集一定是无限集D．若S为封闭集，则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集答案AB解析两个复数的和、差、积仍是复数，且运算后的实部、虚部仍为整数，所以集合S＝{a＋b i|a，b为整数，i为虚数单位}为封闭集，A正确．当S为封闭集时，因为x－y∈S，取x＝y，得0∈S，B正确．对于集合S＝{0}，显然满足所有条件，但S是有限集，C错误．取S＝{0}，T＝{0,1}，满足S⊆T⊆C，但由于0－1＝－1不属于T，故T不是封闭集，D错误．16．当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”．对于集合M ＝{x |ax 2－1＝0，a >0}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，12，1，若M 与N “相交”，则a ＝________.答案 1 解析 M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1a ，1a ，由1a ＝12，得a ＝4，由1a＝1，得a ＝1. 当a ＝4时，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，12，此时M ⊆N ，不合题意；当a ＝1时，M ＝{－1,1}，满足题意．。

高三数学第一轮复习-知识点

高三数学第一轮复习-知识点高中数学一轮复习知识点第一章-集合考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．考试要求：（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．§01.集合与简易逻辑知识要点一、知识结构:本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：二、知识回顾：（一）集合1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为AA；②空集是任何集合的子集，记为A；③空集是任何非空集合的真子集；如果AB，同时BA，那么A=B.如果AB，BC，那么AC.[注]：①Z={整数}（√）②已知集合S中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（某）（例：S=N；A=N，则CA={0}）③空集的补集是全集.④若集合A=集合B，则CBA=，CAB=CS（CAB）=D（注：CAB=）.3.①{（某，y）|某y=0，某∈R，y∈R}：坐标轴上的点集.②{（某，y）|某y＜0，某∈R，y∈R：二、四象限的点集.第1页共73页③{（某，y）|某y＞0，某∈R，y∈R}：一、三象限的点集.[注]：①对方程组解的集合应是点集.例：某y3解的集合{(2，1)}.2某3y12②点集与数集的交集是.（例：A={(某，y)|y=某+1}B={y|y=某+1}则A∩B=）4.①n个元素的子集有2个.②n个元素的真子集有2－1个.③n个元素的非空真子n集有2－2个.5.⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题逆命题.②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题逆否命题.例：①若ab5，则a2或b3应是真命题.解：逆否：a=2且b=3，则a+b=5，成立，所以此命题为真.②某1且y2，某y3.解：逆否：某+y=3某1且y2nn某=1或y=2.某y3,故某y3是某1且y2的既不是充分，又不是必要条件.⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围.3.例：若某5，某5或某2.4.集合运算：交、并、补.交：AB{某|某A,且某B}并：AB{某|某A或某B}补：CUA{某U,且某A}5.主要性质和运算律（1）包含关系：AA,A,AU,CUAU,AB,BCAC;ABA,ABB;ABA,ABB.（2）等价关系：ABA（3）集合的运算律：交换律：ABBA;ABBA.BAABBCBUUA结合律:(AB)CA(BC);(AB)CA(BC)分配律:.A(BC)(AB)(AC);A(BC)(AB)(AC)0-1律：A,AA,UAA,UAU等幂律：AAA,AAA.求补律：A∩CUA=φA∪CUA=UCUU=φCUφ=U反演律：CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB)CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)6.有限集的元素个数第2页共73页定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card(A)规定card(φ)=0.基本公式：(1)card(AB)card(A)card(B)card(AB)(2)card(ABC)card(A)card(B)c ard(C)card(AB)card(BC)card(Ccard(ABC)A)(3)card(UA)=card(U)-card(A)(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式的解法根轴法（零点分段法）①将不等式化为a0(某-某1)(某-某2)…(某-某m)>0(<0)形式，并将各因式某的系数化“+”；(为了统一方便)②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（某的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在某轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在某轴下方的区间.某1某2某3某m-3-某m-2某m-1+-某m+某（自右向左正负相间）则不等式a0某a1某nn1a2某n2an0(0)(a00)的解可以根据各区间的符号确定.2特例①一元一次不等式a某>b解的讨论；②一元二次不等式a某+b 某+c>0(a>0)解的讨论.000二次函数ya某2b某c（a0）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根a某2b某c0a0的根a某2b某c0(a0)的解集a某2b某c0(a0)的解集某1,某2(某1某2)b某1某22a某某某或某某12b某某2aR某某1某某2第3页共73页2.分式不等式的解法（1）标准化：移项通分化为f(某)f(某)f(某)f(某)>0(或<0)；≥0(或≤0)的形式，g(某)g(某)g(某)g(某)（2）转化为整式不等式（组）3.含绝对值不等式的解法f(某)f(某)f(某)g(某)00f(某)g(某)0;0g(某)0g(某)g(某)（1）公式法：a某bc,与a某bc(c0)型的不等式的解法.（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.4.一元二次方程根的分布2一元二次方程a某+b某+c=0(a≠0)（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.（三）简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。

核按钮(新课标)高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合及其运算习题理

核按钮（新课标）高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合及其运算习题理1.集合(1)集合的含义与表示①了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．(2)集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．②在具体情境中，了解全集与空集的含义．(3)集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．③能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．2．常用逻辑用语(1)理解命题的概念．(2)了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．(3)理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．(4)了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．(5)理解全称量词和存在量词的意义．(6)能正确地对含一个量词的命题进行否定.§1.1 集合及其运算1．集合的基本概念(1)我们把研究对象统称为________，把一些元素组成的总体叫做________．(2)集合中元素的三个特性：________，________， ________.(3)集合常用的表示方法：________和________．2．常用数集的符号数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号3.元素与集合、集合与集合之间的关系(1)元素与集合之间存在两种关系：如果a是集合A中的元素，就说a________集合A，记作________；如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作________．(2)集合与集合之间的关系：表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素都相同__________⇔A＝B子集A中任意一个元素均为B中的元素________或________真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素________或________空集空集是任何集合的子集，是任何______的真子集∅⊆A，∅B(B≠∅)结论：集合{a1，a2，…，a n}的子集有______个，非空子集有________个，非空真子集有________个．集合的并集集合的交集集合的补集符号表示若全集为U，则集合A 的补集记为________Venn图表示(阴影部分)意义5.集合运算中常用的结论(1)①A∩B________A；②A∩B________B；③A∩A＝________；④A∩∅＝________；⑤A∩B________B∩A.(2)①A∪B________A; ②A∪B________B；③A∪A＝________；④A∪∅＝________；⑤A∪B________B∪A.(3)①∁U(∁U A)＝________；②∁U U＝________；③∁U∅＝________；④A∩(∁U A)＝____________；⑤A∪(∁U A)＝____________.(4)①A∩B＝A⇔________⇔A∪B＝B；②A∩B＝A∪B⇔____________.(5)记有限集合A，B的元素个数为card(A)，card(B)，则：card(A∪B)＝____________________________；card[∁U(A∪B)]＝________________________.自查自纠1．(1)元素集合(2)确定性互异性无序性(3)列举法描述法2．N N*(N＋) Z Q R C3．(1)属于a∈A不属于a∉A(2)A⊆B且B⊆A A⊆B B⊇A A B B A非空集合2n2n－1 2n－24．A∪B A∩B∁U A{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B} {x|x∈U且x∉A}5．(1)①⊆②⊆③A④∅⑤＝(2)①⊇ ②⊇ ③A ④A ⑤＝ (3)①A ②∅ ③U ④∅ ⑤U (4)①A ⊆B ②A ＝B(5)card(A )＋card(B )－card(A ∩B ) card(U )－card(A )－card(B )＋card(A ∩B )(2015·安徽)设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，则A ∩(∁UB )＝( )A ．{1，2，5，6}B ．{1}C ．{2}D ．{1，2，3，4}解：∵∁U B ＝{1，5，6}，∴A ∩(∁U B )＝{1}．故选B .(2015·陕西)设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N ＝( ) A ．[0，1] B ．(0，1] C ．[0，1)D ．(－∞，1]解：∵M ＝{x |x 2＝x }＝{0，1}，N ＝{x |lg x ≤0}＝{x |0＜x ≤1}，∴M ∪N ＝[0，1]．故选A .(2015·全国Ⅱ)已知集合A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋2)＜0}，则A ∩B ＝( )A ．{－1，0}B ．{0，1}C ．{－1，0，1}D ．{0，1，2}解：由已知得B ＝{x |－2＜x ＜1}，∴A ∩B ＝{－1，0}．故选A .已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈A }，则B 中所含元素的个数为________．解：根据x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈A ，知集合B ＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)}，有3个元素．故填3.设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是________．解：A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，设函数f (x )＝x 2－2ax －1，则其对称轴x ＝a ＞0，由对称性知，若A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数为2，∴f (2)≤0且f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1＞0，得34≤a ＜43.故填⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，43.类型一集合的概念(1)若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a ＝( )A ．4B ．2C ．0D ．0或4解：由ax 2＋ax ＋1＝0只有一个实数解，可得当a ＝0时，方程无实数解；当a ≠0时，Δ＝a 2－4a ＝0，解得a ＝4.故选A .(2)已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．解：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32，当m ＝1时，m ＋2＝3，2m 2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，2m 2＋m ＝3，综上知，m ＝－32.故填－32.【点拨】(1)用描述法表示集合，首先要弄清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合．(2)含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．(1)(2015·苏州一模)集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N *|12x∈Z 中含有的元素个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．12解：令x ＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，代入验证，得x ＝1，2，3，4，6，12时，12x∈Z ，即集合中有6个元素．故选B .(2)已知a ∈R ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a 2，a ＋b ，0}，则a 2 017＋b 2 017＝________.解：由已知得b a＝0及a ≠0，∴b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝－1，∴a2 017＋b2 017＝－1.故填－1.类型二集合间的关系已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}．(1)若B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，B ⊆A ，求实数m 的取值范围； (2)若B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，A ＝B ，求实数m 的取值范围； (3)若B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，A ⊆B ，求实数m 的取值范围．解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}， (1)若B ⊆A ，则①当B ＝∅，有m ＋1＞2m －1，即m ＜2，此时满足B ⊆A ；②当B ≠∅，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．(2)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧m －6＝－2，2m －1＝5，解得m ∈∅，即不存在实数m 使得A ＝B .(3)若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1＞m －6，m －6≤－2，2m －1≥5，解得3≤m ≤4.∴m 的取值范围为[3，4]．【点拨】本例主要考查了集合间的关系，“当B ⊆A 时，B 可能为空集”很容易被忽视，要注意这一“陷阱”．集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围； (2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数； (3)当x ∈R 时，若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)①当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足B ⊆A .②当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤5，可得2≤m ≤3.综上，m 的取值范围是(－∞，3]．(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}， ∴A 的非空真子集个数为28－2＝254. (3)∵x ∈R ，且A ∩B ＝∅，∴当B ＝∅时，即m ＋1＞2m －1，得m ＜2，满足条件；当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1＞5，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1＜－2，解得m ＞4.综上，m 的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)．类型三集合的运算(1)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |lg x ≤0}，B ＝{x |2x ≤32}，则A ∪B ＝( )A ．∅ B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1 D ．(－∞，1] 解：由题意知，A ＝(0，1]，B ＝⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13， ∴A ∪B ＝(－∞，1]．故选D .(2)已知集合A ，B 均为全集U ＝{1，2，3，4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1，2}，则A ∩(∁U B )＝________.解：∵U ＝{1，2，3，4}，∁U (A ∪B )＝{4}，∴A ∪B ＝{1，2，3}．又∵B ＝{1，2}，∴{3}⊆A ⊆{1，2，3}．又∁U B ＝{3，4}，∴A ∩(∁U B )＝{3}．故填{3}．(3)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.解：A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}，由A ∩B ＝(－1，n )，可知m <1，由B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.故填－1，1.【点拨】(1)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时需注意端点值的取舍．(2)在解决有关A ∩B ＝∅的问题时，往往忽略空集的情况，一定要先考虑A (或B )＝∅是否成立，以防漏解．另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(1)已知集合A ＝{x |y ＝x }，B ＝{x|12<2x<4}，则(∁R A )∩B 等于( )A ．{x |－1<x <2}B ．{x |－1<x <0}C ．{x |x <1}D ．{x |－2<x <0}解：∵A ＝{x |y ＝x }＝{x |x ≥0}，∴∁R A ＝{x |x <0}．又B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12<2x <4＝{x |－1<x <2}，∴(∁R A )∩B ＝{x |－1<x <0}．故选B .(2)(2015·唐山模拟)集合M ＝{2，log 3a }，N ＝{a ，b }，若M ∩N ＝{1}，则M ∪N ＝( ) A ．{0，1，2} B ．{0，1，3} C ．{0，2，3}D ．{1，2，3}解：∵M ∩N ＝{1}，∴log 3a ＝1，即a ＝3，∴b ＝1.∴M ＝{2，1}，N ＝{3，1}，M ∪N ＝{1，2，3}．故选D .(3)设集合A ＝{x ||x －a |<1，x ∈R }，B ＝{x |1<x <5，x ∈R }，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |0≤a ≤6}B ．{a |a ≤2或a ≥4}C ．{a |a ≤0或a ≥6}D ．{a |2≤a ≤4}解：|x －a |<1⇔－1<x －a <1⇔a －1<x <a ＋1，由A ∩B ＝∅知，a ＋1≤1或a －1≥5，解得a ≤0或a ≥6.故选C .类型四 Venn 图及其应用设M ，P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为：M －P ＝{x |x ∈M ，且x ∉P }，则M －(M －P )等于( )A．P B．M∩P C．M∪P D．M解：作出Venn图．当M∩P≠∅时，由图知，M－P为图中的阴影部分，则M－(M－P)显然是M∩P.当M∩P＝∅时，M－(M－P)＝M－M＝{x|x∈M，且x∉M}＝∅＝M∩P.故选B.【点拨】这是一道信息迁移题，属于应用性开放问题．“M－P”是我们不曾学过的集合运算关系，根据其元素的属性，借助Venn图将问题简单化．已知集合A＝{－1，0，4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是________．解：B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}＝{x|－1≤x≤3，x∈N}＝{0，1，2，3}，图中阴影部分表示的为属于A且不属于B的元素构成的集合，该集合为{－1，4}．故填{－1，4}．类型五和集合有关的创新试题在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论：①2 017∈[2]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中正确命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4解：∵2 017＝403×5＋2，∴2 017∈[2]，结论①正确；－3＝－1×5＋2，∴－3∈[2]，－3∉[3]，结论②不正确；整数可以分为五“类”，这五“类”的并集就是整数集，即Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，结论③正确；若整数a，b属于同一“类”，则a＝5n＋k，b＝5m＋k，a－b＝5(n－m)＋0∈[0]，反之，若a－b∈[0]，则a，b被5除有相同的余数，故a，b属于同一“类”，结论④正确，综上知，①③④正确．故选C.【点拨】(1)以集合语言为背景的新信息题，常见的类型有定义新概念型、定义新运算型及开放型，解决此类信息迁移题的关键是在理解新信息并把它纳入已有的知识体系中，用原来的知识和方法来解决新情境下的问题．(2)正确理解创新定义，分析新定义的表述意义，把新定义所表达的数学本质弄清楚，转化成熟知的数学情境，并能够应用到具体的解题之中，这是解决问题的基础．设S为复数集C的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集，下列命题：①集合S＝{a＋b i|a，b为整数，i为虚数单位}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0∈S ； ③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆C 的任意集合T 也是封闭集．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)解：①对，当a ，b 为整数时，对任意x ，y ∈S ，x ＋y ，x －y ，xy 的实部与虚部均为整数；②对，当x ＝y 时，0∈S ；③错，当S ＝{0}时，是封闭集，但不是无限集；④错，设S ＝{0}⊆T ，T ＝{0，1}，显然T 不是封闭集．因此，真命题为①②.故填①②.1．首先要弄清构成集合的元素是什么，如是数集还是点集，要明了集合{x |y ＝f (x )}、{y |y ＝f (x )}、{(x ，y )|y ＝f (x )}三者是不同的．2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错．3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn 图实施；对连续的数集间的运算，常利用数轴进行；对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解．这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何元素的子集．5．五个关系式A ⊆B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B ，∁U B ⊆∁U A 以及A ∩(∁U B )＝∅是两两等价的．对这五个式子的等价转换，常使较复杂的集合运算变得简单．6．正难则反原则对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论不明确、难以从正面入手的涉及集合的数学问题，在解题时要调整思路，考虑问题的反面，探求已知与未知的关系，化难为易、化隐为显，从而解决问题．例如：已知A ＝{x |x 2＋x ＋a ≤0}，B ＝{x |x 2－x ＋2a －1＜0}，C ＝{x |a ≤x ≤4a －9}，且A ，B ，C 中至少有一个不是空集，求a 的取值范围．这个问题的反面即是三个集合全为空集，即⎩⎪⎨⎪⎧1－4a ＜0，1－4（2a －1）≤0，a ＞4a －9，解得58≤a ＜3，从而所求a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a ＜58或a ≥3.1．(2015·全国Ⅰ)已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6，8，10，12，14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解：A ∩B ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }∩{6，8，10，12，14}＝{8，14}．故选D .2．设集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{x |x 2≤x }，则M ∩N ＝( )A ．{0}B ．{0，1}C ．{－1，1}D ．{－1，0，1} 解：∵N ＝{x |0≤x ≤1}，M ＝{－1，0，1}，∴M ∩N ＝{0，1}．故选B .3．(2013·辽宁)已知集合A ＝{x |0<log 4x <1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝( )A.()0，1B.(]0，2C.()1，2D.(]1，2解：易知A ＝{}x |1<x <4，∴A ∩B ＝(]1，2.故选D .4．(2013·山东)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．5D ．9解：由题意知，x －y ＝0，－1，－2，1，2.故B 中元素个数为5，故选C . 5．设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}，B ＝{x ∈Z |－1<x ≤3}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．8 解：A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}＝{x ∈N |7x －x 2－6≥0}＝{x ∈N |1≤x ≤6}，由题意知，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{1，2，3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共7个．故选C .6．给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合A ＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合；②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }为闭集合；③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合．其中正确结论的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：①(－4)＋(－2)＝－6∉A ，不正确；②设n 1，n 2∈A ，n 1＝3k 1，n 2＝3k 2，k 1，k 2∈Z ，则n 1＋n 2∈A ，n 1－n 2∈A ，正确；③令A 1＝{n |n ＝5k ，k ∈Z }，A 2＝{n |n ＝2k ，k ∈Z }，则A 1，A 2为闭集合，但A 1∪A 2不是闭集合，不正确．故选B .7．(2014·重庆)设全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1，2，3，5，8}，B ＝{1，3，5，7，9}，则(∁U A )∩B ＝________.解：∵U ＝{1，2，3，…，9，10}，A ＝{1，2，3，5，8}，∴∁U A ＝{4，6，7，9，10}．∴(∁U A )∩B ＝{7，9}．故填{7，9}．8．已知集合S ＝{0，1，2，3，4，5}，A 是S 的一个子集，当x ∈A 时，若有x －1∉A ，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 中无“孤立元素”的4个元素的子集共有________个．解：由成对的相邻元素组成的四元子集都没有“孤立元素”，如{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，4，5}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}这样的集合，共有6个．故填6.9．(2014·天津)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0，1，2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n qn －1，x i ∈M ，i ＝1，2，…，n }，当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A .解：当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋2x 2＋4x 3，x i ∈M ，i ＝1，2，3}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．10．设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x |x 2＋a ＜0}．(1)当a ＝－4时，求A ∩B 和A ∪B ；(2)若(∁R A )∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解：(1)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12≤x ≤3，当a ＝－4时，B ＝{x |－2＜x ＜2}，A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12≤x ＜2，A ∪B ＝{x |－2＜x ≤3}． (2)∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜12或x ＞3，当(∁R A )∩B ＝B 时，B ⊆∁R A ，即A ∩B ＝∅.①当B ＝∅，即a ≥0时，满足B ⊆∁R A ；②当B ≠∅，即a ＜0时，B ＝{x |－－a ＜x ＜－a }，要使B ⊆∁R A ，只须－a ≤12，解得－14≤a ＜0. 综上可得，实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a ≥－14. 11．设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R ，x ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：易知A ＝{0，－4}，若B ⊆A ，则可分以下三种情况：①当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0，解得a ＜－1；②当∅≠B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}，并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意；③当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程 x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4（a ＋1）2－4（a 2－1）＞0，－2（a ＋1）＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1.综上所述，a 的取值范围为{}a |a ≤－1或a ＝1.(2015·杭州模拟)已知集合A ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)<0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x －2a x －（a 2＋1）＜0.(1)当a ＝2时，求A ∩B ；(2)求使B ⊆A 时实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，A ＝{x |x 2－9x ＋14<0}＝(2，7)， B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x －4x －5＜0＝(4，5)，∴A ∩B ＝(4，5)．(2)当a ≠1时，B ＝(2a ，a 2＋1)；当a ＝1时，B ＝∅. 又A ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]<0}，①当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝(3a ＋1，2)，要使B ⊆A 成立，只须满足⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥3a＋1，a 2＋1≤2，解得a ＝－1；②当a ＝13时，A ＝∅，B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，109，B ⊆A 不成立；③当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝(2，3a ＋1)，要使B ⊆A 成立，只须满足⎩⎪⎨⎪⎧2a≥2，a 2＋1≤3a ＋1，或a ＝1，a ≠1，解得1≤a ≤3.综上可知，使B ⊆A 的实数a 的取值范围为[1，3]∪{－1}．。

高中数学一轮复习(含答案)1.1 集合

第一章集合与常用逻辑用语第一节集合一、基础知识1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中．(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.(4)五个特定的集合及其关系图：N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ⊆B (或B ⊇A )．(2)真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A B 或B A . A B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ A ⊆B ，A ≠B .既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A . (3)集合相等：如果A ⊆B ，并且B ⊆A ，则A ＝B . 两集合相等：A ＝B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ⊇B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性．(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作∅.∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A ∩B ，即A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }．(2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }．(3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作∁U A ，即∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }．求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁U A .二、常用结论(1)子集的性质：A ⊆A ，∅⊆A ，A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B .(2)交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A .(3)并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ⊇A ，A ∪B ⊇B ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝∅∪A ＝A .(4)补集的性质：A ∪∁U A ＝U ，A ∩∁U A ＝∅，∁U (∁U A )＝A ，∁A A ＝∅，∁A ∅＝A .(5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集．(6)等价关系：A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ；A ∪B ＝A ⇔A ⊇B .考点一集合的基本概念[典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 (2)已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1[解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.(2)由已知得a ≠0，则b a＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.[答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．[题组训练]1．设集合A ＝{0,1,2,3}，B ＝{x |－x ∈A,1－x ∉A }，则集合B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A 若x ∈B ，则－x ∈A ，故x 只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B 时，1－0＝1∈A ；当－1∈B 时，1－(－1)＝2∈A ；当－2∈B 时，1－(－2)＝3∈A ；当－3∈B 时，1－(－3)＝4∉A ，所以B ＝{－3}，故集合B 中元素的个数为1.2．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a 等于( )A.92B.98 C ．0 D ．0或98解析：选D 若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意．当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的值为0或98. 3.（2018·厦门模拟）已知P ={x |2<x <k ,x ∈N},若集合P 中恰有3个元素，则k 的取值范围为_____________ 解析：因为P 中恰有3个元素，所以P =｛3，4，5｝，故k 的取值范围为5<k ≤6.答案：（5，6］考点二集合间的基本关系[典例] (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则( )A ．B ⊆AB ．A ＝BC ．A BD ．B A(2)(2019·湖北八校联考)已知集合A ＝{x ∈N *|x 2－3x <0}，则满足条件B ⊆A 的集合B 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．8(3)已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为________．[解析] (1)由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，比较A ，B 中的元素可知A B ，故选C. (2)∵A ＝{x ∈N *|x 2－3x <0}＝{x ∈N *|0<x <3}＝{1,2}，又B ⊆A ，∴满足条件B ⊆A 的集合B 的个数为22＝4，故选C.(3)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m >0时，因为A ＝{x |－1<x <3}．若B ⊆A ，在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －m ≥－1，m ≤3，－m <m .所以0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]． [答案] (1)C (2)C (3)(－∞，1][变透练清]1.(变条件)若本例(2)中A 不变，C ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则满足条件A ⊆B ⊆C 的集合B 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 因为A ＝{1,2}，由题意知C ＝{1,2,3,4}，所以满足条件的B 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．2.(变条件)若本例(3)中，把条件“B ⊆A ”变为“A ⊆B ”，其他条件不变，则m 的取值范围为________．解析：若A ⊆B ，由⎩⎪⎨⎪⎧－m ≤－1，m ≥3得m ≥3，∴m 的取值范围为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞) 3．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0，x ∈R}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．解析：①若B ＝∅，则Δ＝m 2－4<0，解得－2<m <2；②若1∈B ，则12＋m ＋1＝0，解得m ＝－2，此时B ＝{1}，符合题意；③若2∈B ，则22＋2m ＋1＝0，解得m ＝－52，此时B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12，不合题意．综上所述，实数m 的取值范围为[－2,2)．答案：[－2,2)考点三集合的基本运算考法(一) 集合的运算[典例] (1)(2018·天津高考)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，C ＝{x ∈R|－1≤x ＜2}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{－1,1}B ．{0,1}C ．{－1,0,1}D ．{2,3,4}(2)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4>0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤2}[解析] (1)∵A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，∴A ∪B ＝{－1,0,1,2,3,4}．又C ＝{x ∈R|－1≤x ＜2}， ∴(A ∪B )∩C ＝{－1,0,1}．(2)依题意得A ＝{x |x <－1或x >4}，因此∁R A ＝{x |－1≤x ≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}． [答案] (1)C (2)D考法(二) 根据集合运算结果求参数[典例] (1)已知集合A ＝{x |x 2－x －12>0}，B ＝{x |x ≥m }．若A ∩B ＝{x |x >4}，则实数m 的取值范围是( )A ．(－4,3)B ．[－3,4]C ．(－3,4)D ．(－∞，4](2)(2019·河南名校联盟联考)已知A ＝{1,2,3,4}，B ＝{a ＋1,2a }，若A ∩B ＝{4}，则a ＝( )A ．3B ．2C ．2或3D ．3或1[解析] (1)集合A ＝{x |x <－3或x >4}，∵A ∩B ＝{x |x >4}，∴－3≤m ≤4，故选B.(2)∵A ∩B ＝{4}，∴a ＋1＝4或2a ＝4.若a ＋1＝4，则a ＝3，此时B ＝{4,6}，符合题意；若2a ＝4，则a ＝2，此时B ＝{3,4}，不符合题意．综上，a ＝3，故选A. [答案] (1)B (2)A[题组训练]1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z}，则A ∪B ＝( )A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}解析：选C 因为集合B ＝{x |－1<x <2，x ∈Z}＝{0,1}，而A ＝{1,2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}．2．(2019·重庆六校联考)已知集合A ＝{x |2x 2＋x －1≤0}，B ＝{x |lg x <2}，则(∁R A )∩B ＝( )A.⎝⎛⎭⎫12，100B.⎝⎛⎭⎫12，2C.⎣⎡⎭⎫12，100 D ．∅解析：选A 由题意得A ＝⎣⎡⎦⎤－1，12，B ＝(0,100)，则∁R A ＝(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞，所以(∁R A )∩B ＝⎝⎛⎭⎫12，100. 3．(2019·合肥质量检测)已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B.⎣⎡⎦⎤12，1C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)解析：选A 因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎨⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1. [课时跟踪检测]1．(2019·福州质检)已知集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z}，B ＝{x |－1<x ≤4}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 依题意，集合A 是由所有的奇数组成的集合，故A ∩B ＝{1,3}，所以A ∩B 中元素的个数为2.2．设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{1,3,5}，B ＝{3,4,5}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{2,6}B ．{3,6}C ．{1,3,4,5}D ．{1,2,4,6}解析：选A 因为A ＝{1,3,5}，B ＝{3,4,5}，所以A ∪B ＝{1,3,4,5}．又U ＝{1,2,3,4,5,6}，所以∁U (A ∪B )＝{2,6}．3．(2018·天津高考)设全集为R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．{x |0＜x ≤1}B ．{x |0＜x ＜1}C ．{x |1≤x ＜2}D ．{x |0＜x ＜2}解析：选B ∵全集为R ，B ＝{x |x ≥1}，∴∁R B ＝{x |x ＜1}．∵集合A ＝{x |0＜x ＜2}，∴A ∩(∁R B )＝{x |0＜x ＜1}．4．(2018·南宁毕业班摸底)设集合M ＝{x |x <4}，集合N ＝{x |x 2－2x <0}，则下列关系中正确的是( )A ．M ∩N ＝MB ．M ∪(∁R N )＝MC ．N ∪(∁R M )＝RD ．M ∪N ＝M解析：选D 由题意可得，N ＝(0,2)，M ＝(－∞，4)，所以M ∪N ＝M .5．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤2x <2，B ＝{x |ln x ≤0}，则A ∩B 为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．[－1,0) C.⎣⎡⎭⎫12，1 D ．[－1,1]解析：选A ∵12≤2x <2，即2－1≤2x <212，∴－1≤x <12，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1≤x <12.∵ln x ≤0，即ln x ≤ln 1，∴0<x ≤1，∴B ＝{x |0<x ≤1}，∴A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <12. 6．(2019·郑州质量测试)设集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ＝A ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，1]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选D 由A ∩B ＝A ，可得A ⊆B ，又因为A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，所以a ≥2.7．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，()∁U A ∪()∁U B 中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为( )A ．mnB ．m ＋nC ．n －mD ．m －n解析：选D 因为()∁U A ∪()∁U B 中有n 个元素，如图中阴影部分所示，又U ＝A ∪B 中有m 个元素，故A ∩B 中有m －n 个元素．8．定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B ，已知集合A ＝{2,4,6}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合B A∪B 中的元素个数为( ) A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 由题意知，B ＝{0,1,2}，B A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，则B A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，2，共有7个元素．9．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x <1，且x ∈Z}，则A ∩B ＝________. 答案：{－1,0}解析：依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x <1，x ∈Z}＝{－1,0}．10．已知集合U ＝R ，集合A ＝[－5,2]，B ＝(1,4)，则下图中阴影部分所表示的集合为________．解析：∵A ＝[－5,2]，B ＝(1,4)，∴∁U B ＝{x |x ≤1或x ≥4}，则题图中阴影部分所表示的集合为(∁U B )∩A ＝{x |－5≤x ≤1}．答案：{x |－5≤x ≤1}11．若集合A ＝{(x ，y )|y ＝3x 2－3x ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则集合A ∩B 中的元素个数为________．解析：法一：由集合的意义可知，A ∩B 表示曲线y ＝3x 2－3x ＋1与直线y ＝x 的交点构成的集合．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x 2－3x ＋1，y ＝x ，解得⎩⎨⎧ x ＝13，y ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，故A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫13，13，(1，1)，所以A ∩B 中含有2个元素．法二：由集合的意义可知，A ∩B 表示曲线y ＝3x 2－3x ＋1与直线y ＝x 的交点构成的集合．因为3x 2－3x ＋1＝x 即3x 2－4x ＋1＝0的判别式Δ>0，所以该方程有两个不相等的实根，所以A ∩B 中含有2个元素．答案：212．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝{x |x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是__________．解析：由log 2x ≤2，得0＜x ≤4，即A ＝{x |0＜x ≤4}，而B ＝{x |x ＜a }，由于A ⊆B ，在数轴上标出集合A ，B ，如图所示，则a ＞4.答案：(4，＋∞)13．设全集U ＝R ，A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2<x <4}，C ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．(1)分别求A ∩B ，A ∪(∁U B )；(2)若B ∪C ＝B ，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意知，A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}∩{x |2<x <4}＝{x |2<x ≤3}．易知∁U B ＝{x |x ≤2或x ≥4}，所以A ∪(∁U B )＝{x |1≤x ≤3}∪{x |x ≤2或x ≥4}＝{x |x ≤3或x ≥4}．(2)由B ∪C ＝B ，可知C ⊆B ，画出数轴(图略)，易知2<a <a ＋1<4，解得2<a <3. 故实数a 的取值范围是(2,3)．。

2025年高考数学一轮复习(新高考版)第1章 §1.1 集合

√A.0是任何数域的元素 √B.若数域F有非零元素，则2 023∈F
C.集合P＝{x|x＝3k，k∈Z}为数域
√D.有理数集为数域
对于A，若a∈F，则a－a＝0∈F，故A正确；对于 B，若 a∈F 且 a≠0，则 1＝aa∈F，2＝1＋1∈F，3＝1＋2∈F，依此类推，可得 2 023∈F，故 B 正确；对于 C，P＝{x|x＝3k，k∈Z},3∈P,6∈P，但36∉P，故 P 不是数域，故 C 错误；对于 D，若 a，b 是两个有理数，则 a＋b，a－b，ab，ab(b≠0)都是有理数，所以有理数集是数域，故 D 正确.
命题点2 利用集合的运算求参数的值(范围)
例4 (2023·衡水模拟)已知集合A＝{x|y＝ln(1－x2)}，B＝{x|x≤a}，若
(∁RA)∪B＝R，则实数a的取值范围为
A.(1，＋∞)
√B.[1，＋∞)
C.(－∞，1)
D.(－∞，1]
由题可知A＝{x|y＝ln(1－x2)}＝{x|－1<x<1}， ∁RA＝{x|x≤－1或x≥1}，所以由(∁RA)∪B＝R，得a≥1.
(2)设全集U＝R，A＝{x|－2≤x<4}，B＝{x|y＝ x＋2}，则图中阴影部分表示的集合为 A.{x|x≤－2} B.{x|x>－2}
√C.{x|x≥4}
D.{x|x≤4}
观察Venn图，可知阴影部分的元素由属于B而不属于A的元素构成，所以阴影部分表示的集合为(∁UA)∩B. ∵A＝{x|－2≤x<4}，U＝R， ∴∁UA＝{x|x<－2或x≥4}，又B＝{x|y＝ x＋2 }⇒B＝{x|x≥－2}， ∴(∁UA)∩B＝{x|x≥4}.
√A.[1,4)
C.[4，＋∞)