2017-2018版高中数学第三章统计案例2独立性检验学案北师大版选修2_3
高中数学第三章统计案例2独立性检验教案北师大版选修2_320170927318
2 独立性检验一、教学目标：1、通过对典型案例的探究，了解独立性检验（只要求22⨯列联表）的基本思想、方法及初步应用；2、经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法。
二、教学重点、难点：独立性检验的基本方法是重点．基本思想的领会及方法应用是难点。
三、教学方法：讨论交流，探析归纳四、教学过程（一）、问题情境5月31日是世界无烟日。
有关医学研究表明，许多疾病，例如：心脏病、癌症、脑血管病、慢性阻塞性肺病等都与吸烟有关，吸烟已成为继高血压之后的第二号全球杀手。
这些疾病与吸烟有关的结论是怎样得出的呢？我们看一下问题：某医疗机构为了了解呼吸道疾病与吸烟是否有关，进行了一次抽样调查，共调查了515个成年人，其中吸烟者220人，不吸烟者295人．调查结果是：吸烟的220人中有37人患呼吸道疾病（简称患病），183人未患呼吸道疾病（简称未患病）；不吸烟的295人中有21人患病，274人未患病．问题：根据这些数据能否断定“患呼吸道疾病与吸烟有关”？（二）、学生活动为了研究这个问题，（1）引导学生将上述数据用下表来表示：（2）估计吸烟者与不吸烟者患病的可能性差异：在吸烟的人中，有3716.82%220≈的人患病，在不吸烟的人中，有217.12%295≈的人患病．问题：由上述结论能否得出患病与吸烟有关？把握有多大？（三）、探析新课1．独立性检验：（1）假设H：患病与吸烟没有关系．若将表中“观测值”用字母表示，则得下表：（近似的判断方法：设n a b c d =+++，如果0H 成立，则在吸烟的人中患病的比例与不吸烟的人中患病的比例应差不多，由此可得a c a b c d≈++，即()()0a c d c a b ad bc +≈+⇒-≈，因此，||ad bc -越小，患病与吸烟之间的关系越弱，否则，关系越强．）设n a b c d =+++，在假设0H 成立的条件下，可以通过求 “吸烟且患病”、“吸烟但未患病”、“不吸烟但患病”、“不吸烟且未患病”的概率（观测频率），将各种人群的估计人数用,,,,a b c d n 表示出来．如果实际观测值与假设求得的估计值相差不大，就可以认为所给数据（观测值）不能否定假设0H ．否则，应认为假设0H 不能接受，即可作出与假设0H 相反的结论．（四）、课堂练习：课本P90页练习题（五）、回顾小结：吸烟与肺癌列联表a恰好为事件AB发生的频数；a+b 和a+c恰好分别为事件A和B发生的频数．由于频率近似于概率，所以在H0成立的条件下应该有a a b a cn n n++≈⨯,其中n a b c d=+++为样本容量， (a+b+c+d)≈(a+b)(a+c) , 即ad≈bc.因此，|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；|ad -bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强。
3.2独立性检验教案(北师大版选修2-3)
3.2独立性检验（共计3课时）授课类型：新授课一、教学内容与教学对象分析通过典型案例，学习下列一些常用的统计方法，并能初步应用这些方法解决一些实际问题。
①通过对典型案例（如“患肺癌与吸烟有关吗”等）的探究。
了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及初步应用。
②通过对典型案例（如“人的体重与身高的关系”等）的探究，了解回归的基本思想、方法及其初步应用。
二. 学习目标1、知识与技能通过本节知识的学习，了解独立性检验的基本思想和初步应用，能对两个分类变量是否有关做出明确的判断。
明确对两个分类变量的独立性检验的基本思想具体步骤，会对具体问题作出独立性检验。
2、过程与方法在本节知识的学习中，应使学生从具体问题中认识进行独立性检验的作用及必要性，树立学好本节知识的信心，在此基础上学习三维柱形图和二维柱形图，并认识它们的基本作用和存在的不足，从而为学习下面作好铺垫，进而介绍K的平方的计算公式和K的平方的观测值R的求法，以及它们的实际意义。
从中得出判断“X与Y有关系”的一般步骤及利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并能较准确地给出这种判断的可靠程度的具体做法和可信程度的大小。
最后介绍了独立性检验思想的综合运用。
3、情感、态度与价值观通过本节知识的学习，首先让学生了解对两个分类博变量进行独立性检验的必要性和作用，并引导学生注意比较与观测值之间的联系与区别，从而引导学生去探索新知识，培养学生全面的观点和辨证地分析问题，不为假想所迷惑，寻求问题的内在联系，培养学生学习数学、应用数学的良好的数学品质。
加强与现实生活相联系，从对实际问题的分析中学会利用图形分析、解决问题及用具体的数量来衡量两个变量之间的联系，学习用图形、数据来正确描述两个变量的关系。
明确数学在现实生活中的重要作用和实际价值。
教学中，应多给学生提供自主学习、独立探究、合作交流的机会。
养成严谨的学习态度及实事求是的分析问题、解决问题的科学世界观，并会用所学到的知识来解决实际问题。
高中数学 第三章 统计案例整合学案 北师大版选修2-3-北师大版高二选修2-3数学学案
高中数学 第三章 统计案例整合学案 北师大版选修2-3知识建构综合应用专题一确定回归直线方程的策略准确确定回归直线方程,有利于进一步加强数学应用意识,培养运用所学知识解决实际问题的能力,正确地求出回归直线方程是本节的重点,现介绍求回归直线方程的三种方法. 一、利用回归直线过定点确定回归直线方程回归直线方程y=a+bx 经过样本的中心(x,y)点,(x,y)称为样本点的中心,回归直线一定过此点.x -1 -2 -3 -4 -5 5 4 3 2 1 y-0.9-2-3.1-3.9-5.154.12.92.10.9A.y=0.5x-1B.y=xC.y=2x+0.3D.y=x+1 答案：B二、利用公式求a,b ，确定回归直线方程 利用公式求回归直线方程时应注意以下几点:①求b 时利用公式b=2111)())((∑∑==---ni ini i x xy y x x,先求出x =n 1(x 1+x 2+x 3+…+x n ),y =n1(y 1+y 2+ y 3+…+y n ).再由a=y -b x 求a 的值,并写出回归直线方程.②线性回归方程中的截距a 和斜率b 都是通过样本估计而来,存在着误差,这种误差可能导致预报结果的偏差.③回归直线方程y=a+bx 中的b 表示x 每增加1个单位时y 的变化量,而a 表示y 不随x 的变化而变化的量.④可以利用回归直线方程y=a+bx 预报在x 取某一个值时y 的估计值. 学科学生 A B C D E 数学成绩（x ）8876736663（2）求化学成绩y 对数学成绩x 的回归直线方程. 解：（1）散点图略. (2) x =51×（88+76+73+66+63）=73.2,y =51×(78+65+71+64+61)=67.8. 所以b=251151)())((∑∑==---i i i ix xy y x x≈0.625.a=y -b x =67.8-0.625×73.2=22.05.所以y 对x 的回归直线方程为y=0.625x+22.05.三、先判定相关性，再求回归直线方程利用样本相关系数r 来判断两个变量之间是否有线性相关关系时，可以依据若|r|＞0.75，我们认为有很强的线性相关关系，可以求回归直线方程,并可用求得的回归直线方程来预报变量的取值；若|r|＜0.75,则认为两个变量之间的线性相关关系并不强,这时求回归直线方程没有太大的实际价值.(1)y 与x 是否具有相关关系;(2)如果y 与x 具有线性相关关系,求回归直线方程. 解：(1)由已知表格中的数据,求得x =71,y =72.3,r=2101121011)()())((∑∑∑===----i i n i ii i y y x xy y x x≈0.78.由于0.78＞0.75,所以y 与x 之间具有很强的线性相关关系. (2)y 与x 具有线性相关关系,设回归直线方程为: y=a+bx,则有b=∑∑==---1012101)())((i ii i ix xy y x x=1.22,a=y -b x =72.3-1.22×71=-14.32.所以y关于x的回归直线方程为y=1.22x-14.32.专题二可线性化的回归分析一、曲线线性化的意义曲线的线性化是曲线拟合的重要手段之一，对于某些非线性的资料可以通过简单的变量替换使之线性化，这样就可以按最小二乘法原理求出变换后变量的线性回归方程，在实际工作中常利用该线性回归方程绘制资料的标准工作曲线，同时根据需要可将此线性回归方程还原成曲线回归方程，实现对曲线的拟合.二、常用的非线性函数(一)指数函数y=ae bx (1)对(1)式的两边取对数,得lny=lna+bx当b＞0时,y随着x的增大而增大;当b＜0时,y随着x的增大而减小.当以lny和x绘制的散点图呈直线趋势时,可考虑采用指数函数来描述y与x间的非线性关系,lna和b分别为截距与斜率.更一般的指数函数是y=ae bx+k,式中的k为一常量,往往未知,应用时可试用不同的值. (二)对数函数y=a+blnx(x＞0)当b＞0时，y随着x的增大而增大，先快后慢；当b＜0时，y随着x的增大而减小，先快后慢，当以y和lnx绘制的散点图呈直线趋势时，可考虑采用对数函数描述y与x间的非线性关系，式中a和b分别为截距与斜率.更一般的对数函数是y=a+bln(x+k),式中的k为一常量,往往未知.(三)幂函数y=ax b(a＞0，x＞0）（2）当b＞0时，y随着x的增大而增大；b＜0时，y随着x的增大而减小.对(2)式的两边取对数,得lny=lna+blnx,当以lny和lnx绘制的散点图呈直线趋势时,可考虑采用对数函数描述y与x间的非线性关系,式中lna和b分别为截距与斜率.更一般的幂函数是y=ax b+k,式中的k为一常量,往往未知.以上三种模型是我们在日常生活中常遇到的曲线模型,掌握这三种模型,有利于我们研究更多的曲线拟合与回归分析的问题.三、利用线性回归拟合曲线的一般步骤(一)绘制散点图一般根据资料性质结合专业知识便可确定资料的曲线类型,不能确定时,可在方格坐标纸上绘制散点图,根据散点的分布,选择接近的、合适的曲线类型.(二)进行变量替换y′=f(y),x′=g(x)使变换后的两个变量呈线性相关关系.(三)按最小二乘法原理求线性回归方程及进行方差分析.(四)将线性化方程转换为关于原始变量x,y的回归方程.【例1】经过调查得到8个厂家同种类型的产品年新增加投资额和年利润额的数据资料,如表(1)所示.表(1) 八个厂家年新增投资额与年利润额数据资料x的增大Y也有明显的增加的趋势,因此两者之间存在着相关关系,但是这种相关关系与其用一条直线来描述倒不如用曲线描述更加合适,因此Y 与x 之间更加倾向于被认为是一种非线性关系.回归方程也需要用一些非线性函数来刻画,比如图（2） 年新增加投资额与年利润额数据的散点图图3 经过对数变换后的散点图Y=β0·e β1·x; ①或者Y=β0+β1·x 2②等等.图(3)给出的是变量lnY 与变量x 的散点图,从中可以看出这些点基本上是围绕一条直线波动,说明变量lnY 与x 之间近似是一种线性关系,从而也印证了回归方程取①形式的合理性.同时,图(3)也提示我们一种求解回归方程①的思路,即通过求解变量lnY 对x 的线性回归方程即可得到相应的①式所表示的Y 和x 的回归方程,即在图(3)中的回归直线同图(2)中的曲线(Ⅱ）是一致的.具体来说，首先对样本数据（x i ，Y i ），i=1，2，…，n 作对数变换 Z i =lnY i ，i=1，2，…，n ； ③ 然后利用最小二乘法求出变量Z 对x 的回归方程Z=a 0+a 1·x； ④即图（3）中的直线方程，则相应的形如①式的Y 对x 的回归方程是 Y=e z =e a0·e a1x； ⑤即β0=e a0，β1=a 1.利用表(1)中给出的数据,可以得到lnY 对x 的线性回归方程是 Z=1.314+0.100x由此可得Y 对x 的回归方程是Y=3.720 5·e 0.100x; ⑥如果采用形如②式的抛物线型回归方程,容易看出,令ω=x 2,②式就是表示了变量Y 对ω的线性回归方程:Y=β0+β1·ω； ⑦所以，对样本数据做变换ωi =x i 2（i=1，2，…，n ），利用（ωi ，Y i ）（i=1，2，…，n ）求解出⑦中的系数估计值β0、β1代入②式即得到Y 对x 的回归方程. 对表(1)中的数据计算结果为Y=4.413+0.057x 2； ⑧ 专题三独立性检验的基本方法判断结论成立的可能性的一般步骤：（1）假设两个分类变量X 和Y 没有关系； （2）给定一个显著水平，查表给出临界值；（3）计算χ2=;))()()(()(2d b d c b a c a bc ad n ++++-（4）若χ2大于临界值，则认为x 与y 有关系，否则没有充分的理由说明这个结论不成立随机抽取189名员工进行调查，所得数据如下表所示：对于人力资源部的研究项目，根据上述数据能得出什么结论？分析：首先由已知条件确定a ，b ，c ，d ，n 的数值，再利用公式求出χ2的观测值，最后与临界值比较再下结论. 解：由题目中表的数据可知:a=54,b=40,c=32,d=63,a+b=94,c+d=95,a+c=86,b+d=103,n=189.代入公式得χ2=103869594)32406354(1892⨯⨯⨯⨯-+⨯≈10.759.因为10.759＞6.635,所以有99%的把握认为员工“工作积极”与“积极支持企业改革”是有关的，可以认为企业的全体员工对待企业改革态度和工作积极性是有关的.【例2】在一次恶劣气候的飞行航程中调查男女乘客晕机的情况如下表所示,根据此资料您χ2=57323455)8312624(892⨯⨯⨯⨯-⨯⨯≈3.689.因为3.689＞2.706,所以有90%的把握认为此次飞行中晕机与否跟男女性别有关. 几点注意：(1)在列联表中注意各项的对应及有关值的确定,避免混乱. (2)若要判断X 与Y 有关时,先假设X 与Y 无关.(3)把计算出的χ2的值与相关的临界值作比较,确定出“X 与Y 有关系”的把握.科海观潮 相关与相关系数一、什么是相关事物总是相互联系的，它们之间的关系多种多样，分析起来，大概有以下几种情况：（1）一种是因果关系，即一种现象是另一种现象的因，而另一种现象则是果.例如学习的努力程度是学习成绩好坏的因（至少是部分的因）；在一定刺激强度范围内，刺激强度经常是反应强度的因等.(2)第二种是共变关系,即表面看来有联系的两种事物都与第三种现象有关,这时两种事物之间的关系,便是共变关系.例如春天出生的婴儿与春天栽种的小树,就其高度而言,表面上看来都在增长,好像有关,其实,这二者都是受时间因素影响在发生变化,在它们本身之间并没有直接的关系.(3)第三种是相关关系,即两类现象在发展变化的方向与大小方面存在一定的关系,但不能确定这两类现象之间哪个是因,哪个是果;也有理由认为这两者并不同时受第三因素的影响,即不存在共变关系.具有相关关系的两种现象之间,关系是复杂的,甚至可能包含有暂时尚未认识的因果关系及其共变关系在内.例如,同一组学生的语文成绩与数学成绩的关系,即属于相关关系.统计学中所讲的相关是指具有相关关系的不同现象之间的关系程度.相关的情况有以下三种:一是两列变量变动方向相同,即一列变量变动时,另一列变量亦同时发生或大或小与前一列变量同方向的变动,这称为正相关.如身高与体重的关系,一般讲身长越长体重就越重.第二种相关情况是负相关,这时两列变量中若有一列变量变动时,另一列变量呈或大或小,但与前一列变量指向相反的变动.例如初学打字时练习次数越多,出现错误的量就越少等.第三处相关情况是零相关,即两列变量之间无关系.这种情况下,一列变量变动时,另一列变量作无规律的变动.如学习成绩优劣与身高之间的关系,就属零相关,即无相关关系,二者都是独立的随机变量.二、相关系数相关系数是两列变量间相关程度的数字表现形式,或者说是表示相关程度的指标,作为样本间相互关系程度的统计特征数,常用r表示,作为总体参数,一般用ρ表示,并且是指线性相关而言.相关系数的取值介于-1.00至+1.00之间，常用小数形式表示.它只是一个比率,不代表相关的百分数，更不是相关量的相等单位的度量.相关系数的正负号,表示相关方向,正值表示正相关,负值表示负相关.相关系数取值的大小表示相关的程度.相关系数为0时,称零相关即毫无相关,为1.00时,表示完全正相关,相关系数为-1.00时,为完全负相关.这二者都是完全相关.如果相关系数的绝对值在1.00与0之间不同时，则表示关系程度不同.接近1.00端一般为相关程度密切,接近0端一般为关系不够密切.(注意:若是非线性相关关系,而且直线相关计算r值可能很小,但不能说两变量关系不密切)关于这一点如何判定,尚需考虑计算相关系数时样本数目的多少.如果样本数目较少,受取样偶然因素的影响较大,很有可能本来无关的两类事物,却计算出较大的相关系数来.例如欲研究身高与学习有无关系,如果只选3、5个人,很可能遇到身材愈高学习愈好这一类偶然现象,这时虽然计算出的相关系数可能接近 1.00,但实际上这两类现象之间并无关系.究竟如何综合考虑样本数目大小,相关系数取值大小而判定相关是否密切这一问题,一般要经过统计检验后方能确定.相关系数不是等距的度量值,因此在比较相关程度时,只能说绝对值大者比绝对值小者相关更密切一些,如只能说相关系数r=0.50的两列数值比相关系数r=0.25的两列数值之间的关系程度更密切,而绝不能说前二者的密切程度是后二者密切程度的两倍.也不能说相关系数从0.25到0.50与从0.50到0.75所提高的程度一样多.存在相关关系,即相关系数取值较大的两类事物之间,不一定存在因果关系,这一点要从事物的本质方面进行分析,绝不可简单化.计算相关系数一般要求成对的数据,即若干个体中每个个体要有两种不同的观测值.例如每个学生(智力相同者)的算术和语文成绩;每个人的视反应和听反应时;每个学生的智力分数与学习成绩等等.任意两个个体之间的观测值不能求相关.计算相关的成对数据的数目,一般以30以上为宜.。
高中数学 第3章 统计案例 3.2 独立性检验学业分层测评 北师大版选修23
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第3章 统计案例 3.2 独立性检验学业分层测评 北师大版选修2-3(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．有两个分类变量X 与Y 的一组数据，由其列联表计算得χ2≈4.523，则认为“X 与Y 有关系”犯错误的概率为( )A ．95%B ．90%C ．5%D ．10%【解析】 χ2≈4.523＞3.841.这表明认为“X 与Y 有关系”是错误的可能性约为0.05，即认为“X 与Y 有关系”犯错误的概率为5%.【答案】 C2．在调查中发现480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲．下列说法正确的是( )A ．男、女患色盲的频率分别为0.038,0.006B ．男、女患色盲的概率分别为19240，3260C ．男人中患色盲的比例比女人中患色盲的比例大，患色盲与性别是有关的D ．调查人数太少，不能说明色盲与性别有关 【解析】 男人中患色盲的比例为38480，要比女人中患色盲的比例6520大，其差值为⎪⎪⎪⎪⎪⎪38480－6520≈0.067 6，差值较大．【答案】 C3．为了探究生的学习成绩是否与学习时间长短有关，在调查的500名学习时间较长的生中有39名学习成绩比较好，500名学习时间较短的生中有6名学习成绩比较好，那么你认为生的学习成绩与学习时间长短有关的把握为( )A ．0B ．95%C ．99%D ．都不正确【解析】 计算出χ2与两个临界值比较， χ2＝－245×955×500×500≈25.340 3＞6.635.所以有99%的把握说生的学习成绩与学习时间长短有关，故选C. 【答案】 C4．某卫生机构对366人进行健康体检，其中某项检测指标阳性家族史者糖尿病发病的有16人，不发病的有93人；阴性家族史者糖尿病发病的有17人，不发病的有240人，有________的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．( )【导学号：62690057】A ．99.9%B ．99.5%C ．99%D ．97.5%【解析】 可以先作出如下列联表(单位：人)：糖尿病患者与遗传列联表χ2＝－2109×257×33×333≈6.067＞5.024.故我们有97.5%的把握认为糖尿病患者与遗传有关系． 【答案】 D5．假设有两个分类变量X 与Y ，它们的可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其2×2列联表为：( )A ．a ＝5，b ＝4，c ＝3，d ＝2B ．a ＝5，b ＝3，c ＝4，d ＝2C ．a ＝2，b ＝3，c ＝4，d ＝5D ．a ＝2，b ＝3，c ＝5，d ＝4 【解析】 比较⎪⎪⎪⎪⎪⎪a a ＋b －c c ＋d .选项A 中，⎪⎪⎪⎪⎪⎪59－35＝245；选项B 中，⎪⎪⎪⎪⎪⎪58－46＝124；选项C 中，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－49＝245；选项D 中，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－59＝745.故选D.【答案】 D 二、填空题6．调查者通过随机询问72名男女生喜欢文科还是理科，得到如下列联表(单位：名) 性别与喜欢文科还是理科列联表【解析】 通过计算χ2＝－236×36×44×28≈8.42＞7.879.故我们有99.5%的把握认为生的性别和喜欢文科还是理科有关系． 【答案】 有7．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：χ2＝－223×27×20×30≈4.844，因为χ2≥3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为________．【解析】 ∵χ2＞3.841，所以有95%的把握认为主修统计专业与性别有关，出错的可能性为5%.【答案】 5%8．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：①若统计量χ2>6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；③从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．其中说法正确的是________．(填序号)【解析】统计量χ2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①错误；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；说法③正确．【答案】③三、解答题9．在一次天气恶劣的飞行航程中，调查了男女乘客在飞机上晕机的情况：男乘客晕机的有24人，不晕机的有31人；女乘客晕机的有8人，不晕机的有26人．请你根据所给数据判定：在天气恶劣的飞行航程中，男乘客是否比女乘客更容易晕机？【解】根据题意，列出2×2列联表如下：由公式可得χ2＝55×34×32×57≈3.689＞2.706，故我们有90%的把握认为“在天气恶劣的飞行航程中，男乘客比女乘客更容易晕机”．10．(2016·郑州模拟)有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为7.(1)请完成上面的列联表；(2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到6或10号的概率．参考公式：χ2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d【解】(2)根据列联表中的数据，得到χ2＝55×50×30×75≈6.109＞3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．(3)设“抽到6或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x，y)．所有的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36个．事件A包含的基本事件有：(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，共8个，∴P(A)＝836＝29.能力提升]1．硕士学位与博士学位的一个随机样本给出了关于所获取学位类别与学生性别的分类数据如表所示：A．性别与获取学位类别有关B．性别与获取学位类别无关C．性别决定获取学位的类别D．以上都是错误的【解析】由列联表可得χ2＝－2305×35×189×151≈7.34>6.635，所以有99%的把握认为性别与获取学位的类别有关．【答案】 A2．某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如下表：( ) A．0.01 B．0.025C．0.10 D．0.05【解析】χ2＝－226×24×27×23≈5.059＞5.024，因为P(χ2＞5.024)＝0.025，所以这种推断犯错误的概率不超过0.025.【答案】 B3．某研究小组为了研究生的身体发育情况，在某随机抽出20名15至16周岁的男生将他们的身高和体重制成2×2列联表，根据列联表中的数据，可以在犯错误的概率不超过________的前提下认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系.【解析】根据公式χ2＝a ＋b c＋d a＋c b＋d得，χ2＝－25×15×7×13≈5.934，因为χ2>5.024，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系．【答案】0.0254．(2016·延安二检)为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学(勤奋程度和自觉性都一样)．以下茎叶图321为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩.图321(1)现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；(2)学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.(参考公式：χ2＝a ＋b c＋d a＋c b＋d)【解】(1)记成绩为87分的同学为A，B，其他不低于80分的同学为C，D，E，“从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个．“至少有一个87分的同学被抽到”所组成的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，共7个，所以P＝710.(2)χ2＝＝6.4＞5.024，20×20×20×20因此，我们有97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关．。
2017_2018版高中数学第三章统计案例2独立性查验学案北师大版选修2_3
2 独立性查验学习目标 1.明白得2×2列联表，并会依据列联表判定两个变量是不是独立.2.明白得统计量χ2的意义和独立性查验的大体思想．知识点一2×2列联表试探某教育行政部门大力推行素养教育，增加了高中生的课外活动时刻，某校调查了学生的课外活动方式，结果整理成下表：体育文娱合计男生210230440女生60290350合计270520790如何判定“喜爱体育仍是文娱与性别是不是有联系”？梳理设A、B为两个变量，每一变量都能够取两个值，取得表格．BB1B2总计AA1 a bA2 c d总计n＝________其中，a表示变量A取 ________，且变量B取 ________时的数据，b表示变量A取 ________，且变量B取 ________时的数据；c表示变量A取 ________，且变量B取 ________时的数据；d表示变量A取 ________，且变量B 取 ________时的数据．上表在统计中称为2×2列联表．知识点二统计量χ2＝________________________.(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)知识点三独立性查验当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B________；当χ2>2.706时，有__________的把握判定变量A，B有关联；当χ2>3.841时，有__________的把握判定变量A，B有关联；当χ2>6.635时，有__________的把握判定变量A，B有关联．类型一2×2列联表和统计量χ2例1 某企业为了更好地了解设备改造与生产合格品的关系，随机抽取了180件产品进行分析，其中设备改造前生产的合格品有36件，不合格品有49件；设备改造后生产的合格品有65件，不合格品有30件，请依照数据，列出2×2列联表，并说明能够用本列表研究什么问题？反思与感悟2×2列联表将文字语言转换为图表语言，使问题更为清楚，可为进一步研究问题作充分的预备．跟踪训练1 已知药物成效与动物实验列联表如下所示：患病未患病总计服用药104555未服药203050总计3075105则χ2≈________.(结果保留3位小数)类型二独立性查验的方式例2 研究人员选取170名青年男、女大学生作为样本，对他们进行一种心理考试，发觉有60名女生对该心理考试中的最后一个题目的反映是：确信的有22名，否定的有38名；男生110名在相同的题目上确信的有22名，否定的有88名．问：性别与态度之间是不是存在某种关系？用独立性查验的方式判定．反思与感悟独立性查验能够通过2×2列联表计算χ2的值，然后和临界值对照作出判定．跟踪训练2 为了研究人的性别与患色盲是不是有关系，某研究所进行了随机调查，发此刻调查的480名男性中有39名患有色盲，520名女性中有6名患有色盲，试问人的性别与患色盲有关系吗？1．当χ2>3.841时，以为事件A与事件B( )A．有95%的把握有关B．有99%的把握有关C．没有理由说它们有关D．不确信2．为了考察中学生的性别与是不是喜爱数学课程之间的关系，在某校中学生中随机抽取了300名学生，取得如以下联表：喜欢数学不喜欢数学总计男3785122女35143178合计72228300你以为性别与是不是喜爱数学课程之间有关系的把握有( )A．0 B．95% C．99% D．100%3．某大学在研究性别与职称(分正教授、副教授)之间是不是有关系时，你以为应该搜集哪些数据？4．2021年世界杯期间，某一电视台对年龄高于40岁和不高于40岁的人是不是喜爱西班牙队进行调查，对高于40岁的调查了50人，不高于40岁的调查了50人，所得数据制成如以下联表：不喜欢西班牙队 喜欢西班牙队 总计 高于40岁 pq50 不高于40岁153550 总计a b100假设工作人员从所有统计结果中任取一个，取到喜爱西班牙队的人的概率为35，那么有超过________的把握以为年龄与西班牙队的被喜爱程度有关．5．某省进行高中新课程改革已经四年了，为了解教师对新课程教学模式的利用情形，某一教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的利用情形进行了问卷调查，共调查了50人，其中有老教师20人，青年教师30人．老教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人．(1)依照以上数据成立一个2×2列联表；(2)判定是不是有99%的把握说明对新课程教学模式的赞同情形与教师年龄有关系．1．独立性查验的思想：先假设两个事件无关，计算统计量χ2的值．假设χ2值较大，那么拒绝假设，以为两个事件有关．2．独立性查验的步骤 (1)画列联表． (2)计算χ2.(3)将取得的χ2值和临界值比较，下结论．答案精析问题导学 知识点一试探 可通过表格与图形进行直观分析，也可通过统计分析定量判定． 梳理 a ＋b c ＋d a ＋c b ＋d a ＋b ＋c ＋d A 1 B 1 A 1 B 2 A 2 B 1 A 2 B 2 知识点二n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d知识点三有关联 90% 95% 99% 题型探讨例1 解 依照题意列出2×2列联表如下：产品设备 合格 不合格 总计 设备改造前 36 49 85 设备改造后 65 30 95 总计10179180通过研究此2×2列联表能够研究设备改造对产品合格率是不是有阻碍． 跟踪训练1 6.109解析 χ2＝105×10×30－20×45230×75×55×50≈6.109.例2 解 依照题目所给数据成立如下2×2列联表：肯定 否定 总计 男生 22 88 110 女生 22 38 60 总计44126170依照2×2列联表中的数据，得χ2＝170×22×38－22×882110×60×44×126≈5.622>3.841，因此有95%的把握以为性别与态度有关系． 跟踪训练2 解 由题意列出2×2列联表：患色盲 未患色盲 总计 男性 39 441 480 女性6514520总计45 955 1 000由公式得χ2＝1 000×39×514－441×62480×520×45×955≈28.225.因为28.225＞6.635，因此有99%的把握以为人的性别与患色盲有关系． 当堂训练 1．A 2.B3．女正教授人数、男正教授人数、女副教授人数、男副教授人数 4．95%5．解 (1)2×2列联表如下所示：赞同 不赞同 总计 老教师 10 10 20 青年教师 24 6 30 总计341650(2)假设“对新课程教学模式的赞同情形与教师年龄无关”． 由公式，得χ2＝50×10×6－24×10234×16×20×30≈4.963<6.635，因此没有99%的把握以为对新课程教学模式的赞同情形与教师年龄有关．。
第三章统计案例小结与复习 教案高中数学选修2-3 北师大版
第三章统计案例小结与复习一、教学目标：会利用散点图和线性回归方程，分析变量间的相关关系；掌握独立性检验的步骤与方法。
二、教学重难点：会利用散点图和线性回归方程，分析变量间的相关关系；掌握独立性检验的步骤与方法。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程（一）、知识归纳与梳理 1、线性回归：(1)相关关系：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系。
注：与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系。
(2)回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法。
(3)散点图：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形。
(4)回归直线方程：a bx y +=，其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=∑∑==x b y a x n x y x n y x b n i i ni i i 2121， ∑==n i i x n x 11。
相应的直线叫回归直线，对两个变量所进行的上述统计叫做回归分析。
(5)相关系数：)()(21221211y n y x n x yx n yx r ni i n i i ni ii ---=∑∑∑====相关系数的性质：（1）|r|≤1。
（2）|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小。
2、独立性检验①22⨯列联表：列出的两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为12{,}x x 和12{,}y y 的样本频数表称为22⨯列联表1构造随机变量2χ()()()()()2n ad bc a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）得到2χ常与以下几个临界值加以比较：如果 2 2.706χ>，就有0090的把握因为两分类变量X 和Y 是有关系； 如果 2 3.841χ> 就有0095的把握因为两分类变量X 和Y 是有关系； 如果 2 6.635χ> 就有0099的把握因为两分类变量X 和Y 是有关系； 如果22.706χ≤，就认为没有充分的证据说明变量X 和Y 是有关系． （二）、典例探析例1、一个工厂在某年里每月产品的总成本y （万元）与该月产量x （万件）之间由如下一组数据：归直线方程. 解： 1）画出散点图：x2）r=∑∑∑===---1211212222121)12)(12(12i i i i i ii y y x x yx yx=18.534.1754.243120.997891-⨯⨯=在“相关系数检验的临界值表”查出与显著性水平0.05及自由度12-2=10相应的相关数临界值r 0 05=0.576<0.997891, 这说明每月产品的总成本y （万元）与该月产量x （万件）之间存在线性相关关系.3）设回归直线方程a bx y+=ˆ， 利用⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=∑∑==xb y a x x y x y x b i i i i i 121221211212,计算a ，b ，得b≈1.215, a=x b y -≈0.974，∴回归直线方程为：974.0215.1ˆ+=x y例2、在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人。
高中数学 第三章 统计案例 3.2 独立性检验课件 北师大版选修2-3
χ2＝1 63235×4×310×3719×35554－×21245×79242≈68.033.
∵68.033>6.635，∴有 99%的把握认为每一晚都打鼾与患心
脏病有关．
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一 看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体
规律方法 “每一晚都打鼾与患心脏病有关”指的是统计上 的关系，不要误以为是因果关系．具体到某一个每一晚都打鼾的 人，并不能说他一定患心脏病．其实从 2×2 列联表中也可以看 出，每一晚都打鼾的人群中，患心脏病的概率也只有23504，稍微 超过十分之一．至于他患不患心脏病，应该由医学检查来确定．
解：计算得 χ2＝1 0004×742×585×262×845－002×425×002162≈7.075， ∵χ2＝7.075>6.635， 所以我们有 99%的把握认为该种血清能起到预防感冒的作 用．
7．为了研究患慢性气管炎与吸烟量的关系，调查了 228 人， 其中每天的吸烟支数在 10 支以上的 20 支以下的调查者中，患者 人数有 98 人，非患者人数有 89 人，每天的吸烟支数在 20 支以 上的调查者中，患者人数有 25 人，非患者人数有 16 人．
60 分以 61～70 71～80 81～90 91～100
下
分
分
分
分
甲班(人数) 3
6
11
18
12
乙班(人数) 4
8
13
15
10
现规定平均成绩在 80 分以上(不含 80 分)的为优秀．
(1)试分别估计两个班级的优秀率；
(2)由以上统计数据填写下面 2×2 列联表，并问是否有 95%
高中数学 第三章 统计案例教案 北师大版选修23
第三章统计案例§1回归分析1．1 回归分析(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解回归分析的基本思想，会对两个变量进行回归分析．(2)明确建立回归模型的基本步骤，并对具体问题进行回归分析．(3)会解决实际问题．2．过程与方法(1)通过实际问题去理解回归分析的必要性，明确回归分析的基本思想．(2)从散点图中的点的分布上，发现直接求回归直线方程存在明显不足，从中引导学生去发现解决问题的新思路——进行回归分析．3．情感、态度与价值观(1)培养学生用整体的观点和互相联系的观点，来分析问题．(2)进一步加强数学的应用意识，培养学生学好数学、用好数学的信心．(3)加强与现实生活中的联系，以科学的态度评价两个变量的相关关系．●重点难点重点：掌握回归分析的步骤、相关系数、建立回归模型的步骤；体会有些非线性模型通过变换，可以转化为线性回归模型；在解决实际问题的过程中寻找更好的建型方法．难点：求线性回归方程的系数a，b；相关系数；选择不同的模型建模．回归分析主要是研究两个变量间的关系，是在必修三的基础上学习，教材的1.1回归分析是复习必修三的内容，为了使建立回归方程有意义，提出了相关系数，这与回归直线中b的系数有关联，教师可通过实例，让学生了解相关系数的大小与线性相关的关系；在现实中又有一种非线性的相关性，如何解决引导学生转化为线性关系，主要通过数形结合思想、函数思想，使问题化归为线性关系，教学中可通过提醒、猜想、练习等方法，使学生掌握本节的重点内容．(教师用书独具)●教学建议建议本节课用3课时讲解完成．教学中通过组织学生自己动手操作计算、观察、分析、交流、讨论、归纳让他们在探究学习中经历知识形成的全过程，从而形成“自主探究、合作交流”的数学学习方法．教师在课堂上可以用计算机软件进行参数的估计、相关系数的计数，让学生掌握利用计算器进行线性回归方程的求解和评价．●教学流程第1课时以实际问题作为课题引入．⇒回顾建立回归直线方程的基本步骤．⇒通过实例巩固、体验线性回归直线方程的求法及应用．⇒第2课时提出新问题，如何用其他方法刻画变量之间的线性相关．⇒师生共同探究，得出相关系的概念及相关系数的大小与线性相关之间的关系．⇒通过例题，巩固验证相关系数刻画变量之间的线性相关的特点．⇒第3课时引导学生探究如果不是线性回归模型，如何估计参数，能否利用线性回归模型．⇒对数据进行分析变换后，对新数据建立线性模型．⇒转化为原来变量模型，得出结论，总结建模思想，补充拓展．⇒课堂小结并完成当堂双基达标，巩固本节所学知识.课标解读 1.通过实例掌握回归分析的基本思想方法．2．利用最小二乘法会求线性回归直线方程，并能用线性回归直线方程进行预报.变量之间的相关关系【问题导思】1．正方形的面积S 与其边长a 是什么关系？圆的周长l 与半径r 是什么关系？ 【提示】 ∵S ＝a 2，l ＝2πr ， ∴它们都是确定的函数关系．2．父亲的身高与儿子的身高之间有何关系？耕种深度与水稻产量之间有何关系？ 【提示】 非确定关系．1．变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达．如人的体重y 与身高x .一般来说，身高越高，体重越重，但不能用一个函数来严格地表示身高与体重之间的关系．相关关系是非确定性关系，因变量的取值具有一定的随机性．2．在考虑两个变量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常把这种图叫作变量之间的散点图．线性回归方程【问题导思】1．确定线性回归方程，只需得出哪两个量？【提示】 确定线性回归直线方程，只需确定a ，b 两个量即可．2．在线性回归方程y ＝a ＋bx 中，当一次项系数b 为正数时，说明两个变量有何相关关系？在散点图上如何反映？ 【提示】 说明两个变量正相关，在散点图上自左向右看这些点呈上升趋势．假设样本点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，设线性回归方程为y ＝a ＋bx ，要使这n 个点与直线y ＝a ＋bx 的“距离”平方之和最小，即使得Q (a ，b )＝(y 1－a －bx 1)2＋(y 2－a －bx 2)2＋…＋(y n －a －bx n )2达到最小，a ，b 需满足b ＝∑nb ＝1x i y i －n x y∑ni ＝1x 2i －n x2，a ＝y －b x .由数据求线性回归方程已知x ，y 之间一组数据：x 0 1 2 3 y1357(1)分别计算：x 、y 、x 1y 1＋…＋x 4y 4，x 21＋x 22＋…＋x 24； (2)求出线性回归方程y ＝bx ＋a .【思路探究】 可利用表格的数直接计算，然后把这些结果代入线性回归方程系数公式，分别求得a ，b ，再求出线性回归方程． 【自主解答】 (1)x ＝0＋1＋2＋34＝1.5，y ＝1＋3＋5＋74＝4，x 1y 1＋…＋x 4y 4＝0×1＋1×3＋2×5＋3×7＝34，x 21＋x 22＋…＋x 24＝02＋12＋22＋32＝14；(2)b ＝x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3＋x 4y 4－4x yx 21＋x 22＋x 23＋x 24－4x 2＝34－4×1.5×414－4×1.52＝2；a ＝y －b x ＝4－2×1.5＝1.故y ＝2x ＋1.答：(1)所求的值分别为：1.5,4,34,14； (2)所求的线性回归方程是：y ＝2x ＋1.求线性回归方程的步骤：(1)列表求出x ，y ，∑ni ＝1x 2i ，∑ni ＝1x i y i ；(2)利用公式b ＝∑ni ＝1x i y i －n x y∑ni ＝1x 2i －n x2，a ＝y －b x ，求出b ，a ；(3)写出线性回归方程．观察两相关量得如下数据：x －1 －2 －3 －4 －5 5 3 4 2 1 y－9－7－5－3－115379求两变量间的回归方程． 【解】 列表i 12345678910 x i－1－2－3－4－55342 1 y i－9－7－5－3－115379 x2i1491625259164 1 x i y i9141512551512149由此可得x＝0，y＝0，∑10i＝1x2i＝110，∑10i＝1x i y i＝110，b＝∑10i＝1x i y i－10x y∑10 i＝1x2i－10x2＝110－10×0110－10×0＝1，a＝y－b x＝0，∴所求回归方程为y＝x.求实际问题的回归方程某企业想通过做广告来提高自己的知名度，经预测可知本企业产品的广告费支出x 与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x 24568y 3040605070(1)判断y与x是否具有线性相关关系；(2)求回归直线方程．【思路探究】先画出散点图，即可判断y与x是否具有相关关系，如果y与x具有相关关系可将有关数据代入公式求得回归直线方程．【自主解答】(1)散点图如图所示：根据散点图可知，所给的数据点都在一条直线的附近，所以y与x具有线性相关关系．(2)列出下表，并且科学地的进行有关计算．i 1234 5x i24568y i3040605070x i y i60160300300560x＝5，y＝50，∑5 i＝1x2i＝145，∑5i＝1y2i＝135 000，∑5i＝1x i y i＝1 380于是可得，b＝∑5i＝1x i y i－5x y∑5 i＝1x2i－5x2＝1 380－5×5×50145－5×52＝6.5，a＝y－b x＝50－6.5×5＝17.5，于是所求的回归直线方程是y＝6.5x＋17.5.对一级数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数a、b的计算公式，算出a、b.由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误．某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量(毫克/升)与消光系数如下表：汞含量x 2 4 6 8 10 消光系数y64138205285360(1)作散点图；(2)如果y 与x 之间具有线性相关关系，求线性回归方程． 【解】 (1)散点图如图．(2)由散点图可知，y 与x 呈相关关系，设线性回归方程为：y ＝bx ＋a .经计算：得x ＝6，y ＝210.4，∑5i ＝1x 2i ＝220，∑5i ＝1x i y i ＝7 790.∴b ＝7 790－5×6×210.4220－5×62＝36.95， a ＝210.4－36.95×6＝－11.3.∴线性回归方程为y ＝36.95x －11.3.利用回归直线方程进行统计某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价x (x 取整数)元与日销售量y 台之间有如下关系：x 35 40 45 50 y 56 41 28 11(1)画出散点图，并判断y 与x 是否具有线性相关关系； (2)求日销售量y 对销售单价x 的线性回归方程；(3)设经营此商品的日销售利润为P 元，根据(2)写出P 关于x 的函数关系式，并预测当销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润．【思路探究】 两个变量呈现近似的线性关系，可通过公式计算出其线性回归方程，并根据方程求出其预测值．【自主解答】 (1)散点图如图所示，从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量线性相关．(2)∵x ＝14×(35＋40＋45＋50)＝42.5，y ＝14×(56＋41＋28＋11)＝34，∑4i＝1x i y i＝35×56＋40×41＋45×28＋50×11＝5 410，∑4i＝1x2i＝352＋402＋452＋502＝7 350，∴b＝∑4i＝1x i y i－4x·y∑4 i＝1x2i－4x2＝5 410－4×42.5×347 350－4×42.52＝－370125＝－2.96.∴a＝y－b x＝34－(－2.96)×42.5＝159.8.∴y＝－2.96x＋159.8.(3)依题意有P＝(－2.96x＋159.8)(x－30)＝－2.96x2＋248.6x－4 794，∴当x＝248.62×2.96≈42时，P有最大值，约为426，即预测销售单价为42元时，能获得最大日销售利润．1．b＝－2.96是斜率的估计值，说明单价每增加一个单位，日销售量就减少2.96. 2．借助于回归方程对实际问题的估计值是个近似值，不是一个准确值．假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费y (万元)有如下的统计资料：x 2 3 4 5 6 y2.23.85.56.57.0若由资料可知y 对x 呈线性相关关系． (1)求线性回归方程；(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少万元？ 【解】 (1)列表如下：ix iy ix 2ix i y i1 2 2.2 4 4.4 2 3 3.8 9 11.4 3 4 5.5 16 22.0 4 5 6.5 25 32.5 5 6 7.0 36 42.0 ∑202590112.3由此可得：x ＝4，y ＝5.进而可以求得b ＝∑5i ＝1x i y i －5x y∑5i ＝1x 2i －5x2＝1.23，a ＝y －b x ＝0.08.∴线性回归方程为y ＝0.08＋1.23x .(2)当x ＝10时，y ＝0.08＋1.23×10＝12.38(万元)，即估计使用10年时维修费用是12.38万元.数形结合思想在回归分析中的应用(12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨标准煤)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据．x 345 6y 2.534 4.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)【思路点拨】(1)可直接由表格提供的点，列出散点图；(2)可利用线性回归方程中a，b公式直接求解；(3)直接用方程来估计所求值．【规范解答】(1)图形如图所示．3分(2)x ＝3＋4＋5＋64＝4.5；y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5；∑4i ＝1x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5.∑4i ＝1x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86. 6分∴b ＝∑4i ＝1x i y i －4x ·y ∑4i ＝1x 2i －4x2＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝0.7， 8分 a ＝y －b x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35. 9分∴y ＝0.7x ＋0.35. 10分 (3)现在生产100吨甲产品用煤y ＝0.7×100＋0.35＝70.35，∴降低90－70.35＝19.65吨标准煤. 12分线性回归方程的应用(1)描述两变量间的依存关系；(2)利用回归方程可进行预测；(3)利用回归方程还可以进行统计控制．1．作回归分析要有实际意义．2．回归分析前，最好先做出散点图．3．应用回归分析预测时，最好先作出散点图．1．下列说法正确的是( )A．任何两个变量都具有相关关系B．球的体积与该球的半径具有相关关系C．农作物的产量与施化肥量之间是一种确定性的关系D．某商品的生产量与该商品的销售价格之间是一种非确定性的关系【解析】两个变量之间的关系有两种，即函数关系与相关关系，故A错误．B中球的体积与该球的半径是函数关系．C中农作物的产量与施化肥量之间不是严格的函数关系，但是具有相关关系，因而是非确定性的关系．D中商品的生产量还和市场需求有关，故商品的生产量与该商品的销售价格之间是非确定性的关系．故选D.【答案】 D2．一位母亲记录了儿子3岁～9岁的身高(数据略)，由此建立的身高y(单位：cm)与年龄x(单位：岁)的回归模型为y＝7.19x＋73.93.用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则下列叙述正确的是( )A．身高一定是145.83 cmB．身高在145.83 cm以上C．身高在145.83 cm以下D．身高在145.83 cm左右【解析】x＝10时，y＝7.19×10＋73.93＝145.83，但这是预测值而不是精确值，所以只能选D.【答案】 D3．在一次实验中，测得(x，y)的四组值分别是A(1,2)，B(2,3)，C(3,4)，D(4,5)，则y与x之间的线性回归方程为________．【解析】通过检验A，B，C，D四点共线，都在直线y＝x＋1上．【答案】y＝x＋14．已知一个回归直线方程为y＝1.5x＋45，x∈{1,7,5,13,19}，求y.【解】由已知可知：x＝1＋7＋5＋13＋195＝9.又∵回归直线过点(x，y)，∴y ＝1.5x ＋45，即y ＝1.5×9＋45＝58.5.一、选择题1．对具有线性相关关系的两个变量建立的线性回归方程y ＝a ＋bx 中，回归系数b ( ) A ．可以小于0 B ．只能大于0 C ．可能等于0D ．只能小于0【解析】 b 可能大于0，也可能小于0，但当b ＝0时，x ，y 不具有线性相关关系． 【答案】 A2．下列两个变量间的关系不是函数关系的是( ) A ．正方体的棱长与体积 B ．角的弧度数与它的正弦值C ．单产为常数时，土地面积与粮食总产量D ．日照时间与水稻亩产量【解析】 ∵A 、B 、C 都可以得出一个函数关系式，而D 不能写出确定的函数关系式，它只是一个不确定关系． 【答案】 D3．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x (万元) 4 2 3 5 销售额y (万元)49263954根据上表可得回归方程y ＝bx ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ) A ．63.36万元 B ．65.5万元 C ．67.7万元D ．72.0万元【解析】 x ＝4＋2＋3＋54＝3.5，y ＝49＋26＋39＋544＝42，∴a＝y－b x＝42－9.4×3.5＝9.1，∴回归方程为y＝9.4x＋9.1，∴当x＝6时，y＝9.4×6＋9.1＝65.5，故选B.【答案】 B4．由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)得到回归直线方程y＝bx＋a，那么下列说法中不正确的是( ) A．直线y＝bx＋a必经过点(x，y)B．直线y＝bx＋a至少经过点(x1，y1)(x2，y2)，…，(x n，b n)中的一个点C．直线y＝bx＋a的斜率为∑ni＝1x i y i－n x·y∑ni＝1x2i－n x2D．直线y＝bx＋a的纵截距为y－b x【解析】回归直线可以不经过任何一个点．其中A：由a＝y－b x代入回归直线方程y＝bx＋y－a x，即y＝b(x－x)＋y过点(x，y)．∴B错误．【答案】 B5．已知两个变量x和y之间具有线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用线性回归的方法求得回归直线分别为l1和l2，已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均数都为s，对变量y的观测数据的平均数都是t，则下列说法正确的是( )A．l1与l2一定有公共点(s，t)B．l1与l2相交，但交点一定不是(s，t)C．l1与l2必定平行D．l1与l2必定重合【解析】由于回归直线y＝bx＋a恒过(x，y)点，又两人对变量x的观测数据的平均值为s，对变量y的观测数据的平均值为t，所以l1和l2恒过点(s，t)．【答案】 A二、填空题6．从某大学随机选取8名女大学生，其身高x(cm)和体重y(kg)的线性回归方程为y＝0.849x－85.712，则身高172 cm的女大学生，由线性回归方程可以预测其体重约为________．【解析】将x＝172代入线性回归方程y＝0.849x－85.712，有y＝0.849×172－85.712＝60.316(kg)．【答案】60.316 kg7．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量(单位：千箱)与单位成本的资料进行线性回归分析，结果如下：x＝72，y＝71，∑6i＝1x2i＝79，∑6i＝1x i y i＝1 481.b ＝1 481－6×72×7179－6×722≈－1.818 2，a ＝71－(－1.818 2)×72≈77.36，则销量每增加1 000箱，单位成本下降________元．【解析】 由上表可得，y ＝－1.818 2x ＋77.36，销量每增加1千箱，则单位成本下降1.818 2元． 【答案】 1.818 28．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．【解析】 由题意知[0.254(x ＋1)＋0.321]－(0.254x ＋0.321)＝0.254. 【答案】 0.254 三、解答题9．某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：推销员编号 1 2 3 4 5 工作年限x /年 3 5 6 7 9 推销金额y /万元23345(1)求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程；(2)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额． 【解】 (1)设所求的线性回归方程为y ＝bx ＋a ，则b ＝∑i ＝15x i －xy i －y∑i ＝15x i －x2＝1020＝0.5， a ＝y －b x ＝0.4.所以年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程为y ＝0.5x ＋0.4. (2)当x ＝11时，y ＝0.5x ＋0.4＝0.5×11＋0.4 ＝5.9(万元)．所以可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元．10．一种机器可以按各种不同速度运转，其生产物件中有一些含有缺点，每小时生产有缺点物件的多少随机器运转速度而变化，用x 表示转速(单位：转/秒)，用y 表示每小时生产的有缺点物件个数．现观测得到(x ，y )的4组值为(8,5)，(12,8)，(14,9)，(16,11)．(1)假设y 与x 之间存在线性相关关系，求y 与x 之间的线性回归方程．(2)若实际生产中所容许的每小时最大有缺点物件数为10，则机器的速度不得超过多少转/秒？(精确到1) 【解】 (1)设回归方程为y ＝a ＋bx ，则x ＝8＋12＋14＋164＝12.5，y ＝5＋8＋9＋114＝8.25， ∑4i ＝1x 2i ＝660，∑4i ＝1x i y i ＝438，b ＝∑4i ＝1x i y i －4x y∑4i ＝1x 2i －4x2＝438－4×12.5×8.25660－4×12.52≈0.73， a ＝y －b x ＝8.25－0.73×12.5＝－0.875，所以所求回归方程为y ＝－0.875＋0.73x .(2)由y ≤10，即－0.875＋0.73x ≤10，得x ≤10.8750.73≈15，即机器速度不得超过15转/秒．11．高二(3)班学生每周用于数学学习的时间x (单位：小时)与数学成绩y (单位：分)之间有如下数据：x 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 y92799789644783687159若某同学每周用于数学学习的时间为18小时，试预测该同学的数学成绩．【解】 显然学习时间与学习成绩间具有相关关系，可以列出下表，并用科学计算器进行计算．i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x i 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 y i 927997896447 83687159 x i y i2 208 1 185 2 231 1 691 1 024 5171 660 1 088 1 207767∑10i ＝1x 2i＝3 182，∑10i ＝1x i y i＝13 578于是可得b ＝∑10i ＝1x i y i －10x y∑10i ＝1x 2i －10x2＝545.4154.4≈3.53，a＝y－b x＝74.9－3.53×17.4≈13.5.因此可求得回归直线方程为y＝3.53x＋13.5.当x＝18时，y＝3.53×18＋13.5≈77.故该同学预计可得77分左右.(教师用书独具)在一段时间内，某种商品的价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据如下表所示：价格x 1.4 1.6 1.82 2.2需求量y 121075 3(1)画出散点图；(2)求出y对x的回归直线方程；(3)如价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少．(精确到0.01 t)【思路探究】先根据所给数据画出散点图，判断y与x是否具有线性相关关系，在此基础上利用回归方程系数的有关公式，求出相应的系数，然后结合函数知识预测需求量．【自主解答】(1)散点图如图所示．(2)采用列表的方法计算a与回归系数b.序号x i y i x2i x i y i1 1.412 1.9616.82 1.610 2.56163 1.87 3.2412.64 25 4 105 2.2 3 4.84 6.6Σ9 37 16.6 62x＝15×9＝1.8，y＝15×37＝7.4，b＝62－5×1.8×7.416.6－5×1.82＝－11.5，a＝7.4＋11.5×1.8＝28.1.所以y对x的回归直线方程为y＝a＋bx＝28.1－11.5x.(3)当x＝1.9时，y＝28.1－11.5×1.9＝6.25，所以价格定为1.9万元时，需求量大约是6.25 t.解答本类题目的关键首先应先通过散点图来分析两变量间的关系是否相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行预测．已知10只狗的血球体积x(单位：mm3)及红血球数y(单位：百万)的测量值如下：x 45424648423558403950y 6.53 6.309.257.50 6.99 5.909.49 6.20 6.557.72(1)画出散点图；(2)求出y对x的回归线性方程；(3)若血球体积为49 mm3，预测红血球数大约是多少？【解】(1)散点图如图(2)设线性回归方程为y ＝bx ＋a ，由表中数据代入公式，得b ＝∑i ＝110x i y i －10x y∑i ＝110x 2i －10x2≈0.16，a ＝y －b x ≈0.12.所以所求线性回归方程为y ＝0.16x ＋0.12. (3)把x ＝49代入线性回归方程得：y ＝0.16×49＋0.12≈7.96(百万)，计算结果表明，当血球体积为49 mm 3时，红血球数大约为7.96百万．拓展阅读GDDS 和SDDS随着世界经济一体化的加快，各国间的交流与合作越来越频繁，为加强国际组织对各国经济运行状况的监督，国际社会在各领域纷纷建立了国际通行标准，其中国际货币基金组织(简称IMF)制定的数据公布通用系统(简称GDDS)和数据公布特殊标准(简称SDDS)．GDDS 的主要内容和要求：在统计范围内，它将国民经济活动划分为5大经济部门，对每一部门各选定一组能够反映其活动实绩和政策以及可以帮助理解经济发展和结构变化的最为重要的数据．系统提出了五大部门综合框架和相关的数据类别和指标编制、公布的目标．选定的数据类别和指标中规定为主要部分．SDDS 将国民经济活动划分为4大经济部门．选定的数据类别分为：必须的、受鼓励的和“视相关程度”三类．必须的数据类别包括：综合统计框架、跟踪性数据、与部门有关的其他数据.IMF 为什么制定GDDS 和SDDS 呢？进入20世纪90年代以来，世界一些地区金融危机频繁爆发.1994年墨西哥的金融危机、1997年东南亚金融危机都导致国际金融市场剧烈动荡．两次金融危机给IMF 一个深刻的教训，也对其职能提出了挑战，在总结经验教训的基础上，IMF 认为，在新的国际经济、金融形势下，必须制定统一的数据发布标准，使各成员国按照统一程序提供全面、准确的经济金融信息，从而可以有效及时地对各国的经济进行正确的分析预测，从宏观上来作出调控，减少金融危机的发生和影响．1．2 相关系数课标解读 1.了解两个随机变量间的线性相关系数r ，并能利用公式求出相关系数r ；了解正相关、负相关、不相关的概念． 2．能利用相关系数r 判断两个随机变量间线性相关程度的大小，从而判断回归直线拟合的效果.相关系数【问题导思】1．有什么办法判断两个变量是否具有线性相关关系？【提示】 作出散点图，看这些点是否在某一直线的附近，计算线性相关系数． 2．线性相关系数与最小误差有何关系？ 【提示】 Q (误差)＝l yy (1－r 2)．3．相关系数r 的绝对值的大小对相关性有何影响？【提示】 |r |越大，变量之间的相关程度越高；|r |越小，变量间线性相关程度越低；当r ＝0时，两个变量线性不相关．4．r 的正负对相关性的影响． 【提示】 r >0，b ＝l xyl xx>0两变量正相关； r <0，b ＝l xyl xx<0，两变量负相关．1．判断两个变量之间的线性相关关系的方法有： (1)计算线性相关系数r . (2)画散点图．2．假设两个随机变量的数据分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则变量间线性相关系数r 的计算公式为r ＝l xyl xx l yy＝∑ni＝1x i－x y i－y∑ni＝1x i－x2i＝1ny i－y2＝∑ni＝1x i y i－n x y∑ni＝1x2i－n x2∑ni＝1y2i－n y2相关系数及其应用维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度”y来衡量，这个指标越高，耐热水性能就越好，而甲醛浓度是影响“缩醛化度”的重要因素，在生产中常用甲醛浓度x(克/升)去控制这一指标，为此必须找出它们之间的关系，现安排一批试验，获得如下表数据．甲醛浓度18202224262830(克/升)缩醛化度26.8628.3528.7528.8729.7530.0030.36(克分子%)求相关系数r.【思路探究】可直接利用相关系数r的公式直接计算．【自主解答】列表如下：i x i y i x2i x i y i y2i11826.86324483.48721.459 622028.35400567803.722 532228.75484632.5826.562 542428.87576692.88833.476 952629.75676773.5885.062 562830.0078484090073030.36900910.80921.729 6∑168202.94 4 144 4 900.16 5 892.013 6 x＝24，y＝28.99，r＝∑7i＝1x i y i－7x y∑7i＝1x2i－7x2∑7i＝1y2i－7y2＝4 900.16－7×24×28.994 144－7×242×5 892.013 6－7×28.992≈0.94.当相关系数|r|越接近1时，两个变量的线性相关程度越高，当相关系数|r|越接近0时，两个变量的线性相关程度越低．下列是小麦产量与施化肥量的一组观测数据：施化肥量15202530354045小麦产量320330360410460470480 判断施化肥量与水稻产量是否有相关关系．【解】i x i y i x2i y2i x i y i115320225102 400 4 800220330400108 900 6 600325360625129 6009 000430410900168 10012 300535460 1 225211 60016 100640470 1 600220 90018 800745480 2 025230 40021 600∑210 2 8307 000 1 171 90089 200∴r＝∑i＝17x i y i－7x y∑i＝17x2i－7x2∑i＝17y2i－7y2＝4 300700×27 771.43≈0.975.由于r＝0.975>0，因此施化肥量和水稻产量近似成线性正相关关系．线性回归分析的综合应用“阿曼德匹萨”是一个制作和外卖意大利匹萨的餐饮连锁店，其主要客户群是在校大学生，为研究各店铺的销售额与店铺附近地区大学生人数的关系，随机抽取十个分店的样本，得到数据如下：店铺编号 区内大学生数(万人)季度销售额(万元)1 0.2 5.8 2 0.6 10.53 0.8 8.84 0.8 11.85 1.2 11.76 1.6 13.7 7 2 15.78 2 16.9 9 2.2 14.9 10 2.620.2(1)试对区内大学生人数与店铺的销售额的关系进行相关性检验；(2)试根据这些数据建立回归模型，然后再进一步根据回归方程预测一个区内大学生人数1万人店铺的季度销售额； (3)若店铺的季度销售额低于10万元则亏损，试求建店区内大学生人数至少约多少人？【思路探究】 先根据表中的数据作相关检验，然后判断是否具有相关关系，再根据所给的数据解出线性回归方程，最后进行预测． 【自主解答】 (1)根据数据我们对区内大学生人数x 与店铺季度销售额y 作相关检验．根据数据可知：x ＝110(0.2＋0.6＋…＋2.6)＝1.4；y ＝110(5.8＋10.5＋…＋20.2)＝13，∑10i ＝1x 2i －10x 2＝5.68，∑10i ＝1x i y i －10x y ＝28.4，∑10i ＝1y 2i －10y 2＝157.3，因此r ＝28.45.68×157.3≈0.95；|r |接近1，因此有把握认为区内大学生人数x 与店铺季度销售额y 具有线性相关关系，求y 对x 的回归直线方程有意义．(2)回归系数b ＝28.45.68＝5，a ＝13－5×1.4＝6.因此回归直线方程是y＝bx＋a＝5x＋6.当x＝1时，y＝5×1＋6＝11，即区内大学生人数1万元店铺的季度销售额约11万元．(3)由回归直线方程是y＝5x＋6.令y≥10，解得x≥0.8，所以当建店区内大学生人数至少8 000人时才适合建店．进行相关性检验主要有两种常用方法，一是作散点图，观察所给的数据点是否在一条直线的附近，作散点图的优点是既直观又方便，是解决相关性检验问题比较常用的方法；缺点是作图总是存在误差，有时很难判断这些点是不是分布在一条直线的附近．二是利用样本相关系数对其进行相关性检验，优点是判断准确，缺点是计算繁琐，但可以借助计算器进行处理．在我国某地的一个县城，近期发现了好几个癌症村．政府部门十分震惊，马上组成调查组调查病因，经调查发现致癌的罪魁祸首是水源中的金属砷，它们来自附近的几家化工厂，化工厂排出的废水中含有金属砷，废水污染了水源，人食用了这种水就会致癌．下面就是调查组对几个癌症村水源中的砷超标的倍数和患癌症的人数统计的数据：砷超标的倍数x 34 5.5 4.2 5.86 3.5患癌症人数y 15202824354434(1)画出表中数据的散点图； (2)求y 对x 的回归方程；(3)若一个村的水源中砷超标的倍数为7，试估计这个村的患癌症的人数． 【解】 (1)散点图如图所示：(2)观察散点图，可知x 、y 成线性相关关系． 计算得x ＝327，y ＝2007，根据求b 公式代入数据计算得b ≈6.065，a ＝2007－6.065×327≈0.846. 所以患癌症人数y 对水源中砷超标的倍数x 的回归直线方程为y ＝6.065x ＋0.846.(3)根据上面求得的回归直线方程，当水源中砷超标的倍数为7时，y ＝6.065×7＋0.846＝43.301. 即该村患癌症的人数约为43人．对误差的大小与变量相关关系的理解有误对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，则下列说法中不正确的是( )A．由样本数据得到的回归方程y＝bx＋a必过样本点的中心(x，y)B．在回归分析中，误差Q越小，变量之间的线性相关程度越高C．相关系数r越小，说明变量之间的线性相关程度越小D．在散点图中，若n个点在一条直线上，说明变量之间的相关性强【错解】 B【错因分析】对误差Q与变量间的相关关系理解错误．【防范措施】正确理解回归方程、相关系数r、误差Q、散点图等概念是解决概念题的基础．【正解】∵误差Q越小，|r|越大，变量之间的线性相关程度越高，而相关系数r的范围为－1≤r≤1，∴C错误．【答案】 C1．相关系数是用来刻画两个变量相关关系的强与弱的．2．相关系数的计算公式r＝∑ni＝1x i－x y i－y∑ni＝1x i－x2∑ni＝1y i－y2＝∑ni＝1x i y i－n x y∑ni＝1x2i－n x2∑ni＝1y2i－n y21．在对变量y和x进行线性相关检验时，已知n是观测值组数，r是相关系数，且已知：①n＝7，r＝0.953 3；②n＝15，r＝0.301 2；③n＝17，r＝0.499 1；④n＝3，r＝0.9950.则变量y和x具有较高线性相关程度的是( )A．①和②B．①和④C．②和④D．③和④【解析】相关系数r的绝对值越大，变量x，y的线性相关程度越高，故选B.【答案】 B2．对相关系数r，下列说法正确的是( )A．|r|越大，相关程度越大B．|r|越小，相关程度越大C．|r|越大，相关程度越小，|r|越小，相关程度越大D．|r|≤1且|r|越接近于1，相关程度越大，|r|越接近0，相关程度越小【解析】由两个变量相关系数公式。
高中数学 第三章 统计案例 2 独立性检验学案 北师大版选修23
§2 独立性检验学习目标重点难点1.通过对典型案例的探究，了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想．2．会求χ2，及利用χ2判断两个变量的把握程度(两个变量是否有关系).重点：独立性检验的基本思想．难点：利用χ2判断两个变量的关联程度.独立性检验设A ，B 为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A ：A 1，A 2＝A 1；变量B ：B 1，B 2＝B 1.其中，a 表示变量A 取A 1，且变量B 取B 1时的数据，b 表示变量A 取A 1，且变量B 取B 2时的数据，c 表示变量A 取A 2，变量B 取B 1时的数据，d 表示变量A 取A 2，变量B 取B 2时的数据．设n ＝a ＋b ＋c ＋d ，χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).(1)χ2≤2.706时，没有充分证据判定变量A ，B 有关联；(2)χ2＞2.706时，有90%的把握判定变量A ，B 有关联；(3)χ2＞3.841时，有95%的把握判定变量A ，B 有关联；(4)χ2＞6.635时，有99%的把握判定变量A ，B 有关联． 预习交流独立性检验的基本思想是什么？提示：把假设检验的基本思想具体化到独立性检验中，就可以通过随机变量χ2把两个分类变量的独立性检验的基本思想表述为：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )(n ＝a ＋b ＋c ＋d )．独立性检验的基本思想为观察药物A ，B 治疗某病的疗效，某医生将100例该病病人随机地分成两组，一组40人，服用A 药；另一组60人，服用B 药，结果发现：服用A 药的40人中有30人治愈；服用B 药的60人中有11人治愈，问A ，B 两种药对该病的治愈率是否有显著差别？思路分析：首先应考查该资料取自什么样的试验设计，由于100个病人完全随机地被分成两组，而且，事先不知道任何一个病人的治疗结果是治愈还是不能治愈，故该资料取自完全随机统计，符合2×2列联表的要求．解：为了便于将数据代入公式计算，先列出2×2列联表：由公式得：χ2＝100(30×49－10×11)240×60×41×59≈31.859.因31.859＞6.635，所以我们有99%以上的把握说，A ，B 两种药对该病的治愈率有显著差别．为了探究患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以上的人，调查结果如下：试问：50岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯有关吗？ 解：根据列2×2列联表中的数据，得到χ2＝339×(43×121－162×13)2205×134×56×283≈7.469.因为7.469＞6.635，所以我们有99%以上的把握说：50岁以上的人患慢性气管炎与吸烟有关．独立性假设检验的主要步骤：①根据数据绘制成表格；②根据公式求出χ2值；③比较χ2与临界值的关系；④作出统计判断．1．在对吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是( )．A ．若χ2＞6.635，我们有99%的把握说明吸烟与患肺病有关，则若某人吸烟，那么他99%的可能患肺病B ．若由随机变量χ2求出有99%的把握说吸烟与患肺病有关，则在100人吸烟者中有99人患肺病C ．若由随机变量求出有95%的把握说明吸烟与患肺病有关，那么有5%的可能性使得推断错误D ．以上说法均不正确 答案：C解析：χ2的意义与概率不能混淆．2．对两个分类变量A ，B 的下列说法中正确的个数为( )．①A 与B 关系越密切，则χ2的值就越大； ②A 与B 无关，即A 与B 互不影响；③χ2的大小是判定A 与B 是否相关的唯一依据． A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 答案：A解析：①不正确，χ2的值的大小只是用来检验A 与B 是否相互独立．②正确，A 与B 无关即A 与B 相互独立．③不正确，还可借助三维柱形图、二维条形图等．3．以下关于独立性检验的说法中，错误的是( )． A ．独立性检验依据小概率原理 B ．独立性检验得到的结论一定正确C ．样本不同，独立性检验的结论可能有差异D ．独立性检验不是判断两分类变量是否相关的唯一方法 答案：B解析：独立性检验得到的结论不一定正确，如我们得出有90%的把握认为A 与B 有关，只是说这种判断的正确性为90%，具体问题中A 与B 可能有关，也可能无关．4．吃零食是中学生中普遍存在的现象．吃零食对学生身体发育有诸多不利影响，影响学生的健康成长．下表给出性别与吃零食的列联表：试回答吃零食与性别有关系吗？______.(填“有”或“没有”) 答案：有解析：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝85×(5×28－12×40)217×68×45×40＝9 826 0002 080 800≈4.722＞3.841.所以有95%以上的把握认为“吃零食与性别”有关．5．考察小麦种子经过灭菌与否跟发生黑穗病的关系，经试验观察，得到数据如下，试按照原试验目的作统计推断． 解：由公式得：χ2＝460×(26×200－184×50)2210×250×76×384≈4.804.由于4.804＞3.841，所以我们有95%以上的把握认为小麦种子灭菌与小麦发生黑穗病是有关系的．。
【小初高学习]2017-2018版高中数学 第三章 统计案例疑难规律方法学案 北师大版选修2-3
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第三章 统计案例1 回归分析与独立性检验的理解与加深一、回归分析1．线性回归方程y ＝bx ＋a ，其中：b ＝∑ni ＝1x i －xy i －y∑n i ＝1 x i －x 2＝∑ni ＝1x i y i －n x y∑n i ＝1x 2i －n x2，a ＝y －b x .(注：b ＝∑ni ＝1x i y i －n x y∑n i ＝1x 2i －n x2主要方便计算，其中(x i ，y i )为样本数据，(x ，y )为样本点的中心)公式作用：通过刻画线性相关的两变量之间的关系，估计和分析数据的情况，解释一些实际问题，以及数据的变化趋势． 2．样本相关系数的具体计算公式：r ＝∑n i ＝1 x i －xy i －y∑n i ＝1x i －x2∑n i ＝1y i －y2＝∑ni ＝1x i y i －n x y∑n i ＝1x 2i －n x 2∑ni ＝1y 2i －n y2公式作用：反映两个变量之间线性相关关系的强弱．当r 的绝对值接近1时，表明两个变量的线性相关性越强；当r 的绝对值接近0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系． 公式联系：(1)由于分子与回归方程中的斜率b 的分子一样(这也给出了公式的内在联系以及公式的记法)，因此，当r >0时，两个变量正相关；当r <0时，两个变量负相关． (2)常配合散点图判断两个随机变量是否线性相关．散点图是从形上进行粗略地分析判断，这个判断是可行的、可靠的，也是进行线性回归分析的基础，否则回归方程失效；它形象直观地反映了数据点的分布情况．相关系数r 是从数上反映了两个随机变量是否具有线性相关关系，以及线性相关关系的强弱，它较精确地反映了数据点的分布情况，准确可靠． 二、独立性检验(一)基础概念的梳理与理解1．分类变量：对于宗教信仰来说，其取值为信宗教信仰与不信宗教信仰两种．像这样的变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量．例如性别变量其取值为男和女两种，吸烟变量其取值为吸烟与不吸烟两种．2．两个分类变量：是否吸烟与是否患肺癌，性别男和女与是否喜欢数学课程等等，这些关系是我们所关心的．3．2×2列联表：列出的两个分类变量A 和B ，它们的取值分别为{A 1，A 2}和{B 1，B 2}的样本频数表称为2×2列联表(如表1)． 表1(二)独立性检验的基本思想从理论上说明两类分类变量是否有关，请同学们从中体会其思想方法． 1．基本思想与图形的联系假设两类分类变量是无关的，可知如下的比应差不多，即：aa ＋b ≈cc ＋d⇒|ad －bc |＝0.构造随机变量χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )(此公式如何记忆，其特点是什么？结合2×2列联表理解) 显然所构造的随机变量与|ad －bc |的大小具有一致性． 2．独立性检验的思想方法如果χ2的值较大，说明其发生(无关系)的概率很小，此时不接受假设，也就是两分类变量是有关系的(称小概率事件发生)；如果χ2的值较小，此时接受假设，说明两分类变量是无关系的．其思想方法类似于数学上的反证法． 3．得到χ2的值常与以下几个临界值加以比较：如果χ2>2.706，就有90%的把握认为两分类变量A 和B 有关系；如果χ2>3.841，就有95%的把握认为两分类变量A 和B 有关系；如果χ2>6.635，就有99%的把握认为两分类变量A 和B 有关系；如果χ2≤2.706，就认为没有充分的证据说明变量A 和B 有关系．像这种利用随机变量χ2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.2 回归分析题目击破一、基本概念函数关系是一种确定关系，而相关关系是一种非确定关系，回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．例1 下列变量之间的关系是相关关系的是________． (1)正方形的边长与面积之间的关系； (2)水稻产量与施肥量之间的关系； (3)人的身高与年龄之间的关系； (4)降雪量与交通事故发生率之间的关系．分析 两变量之间的关系有两种：函数关系和带有随机性的相关关系．解析 (1)是函数关系；(2)不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系；(3)既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具有相关关系；(4)降雪量与交通事故发生率之间具有相关关系． 答案 (2)(4)点评 该例主要考查对变量相关关系概念的掌握． 二、线性回归方程设x 与y 是具有相关关系的两个变量，且相应于n 个观测值的n 个点大致分布在一条直线的附近，这条直线就叫作回归直线．例2 假设关于某设备的使用年限x (年)和所支出的维修费用y (万元)有如下的统计资料：若由资料知y 对x 呈线性相关关系，试求： (1)回归方程y ＝a ＋bx ；(2)估计使用年限10年时，维修费用是多少？分析 因为y 对x 呈线性相关关系，所以可以用线性相关的方法解决问题． 解 (1)制表于是有b ＝112.3－5×4×590－5×42＝1.23，a＝y－b x＝5－1.23×4＝0.08.∴回归方程为y＝1.23x＋0.08.(2)当x＝10时，y＝1.23×10＋0.08＝12.38，即估计使用10年时维修费用约是12.38万元．点评已知y对x呈线性相关关系，无须进行相关性检验，否则，应首先进行相关性检验．三、非线性回归问题分析非线性回归问题的具体做法是：(1)若问题中已给出经验公式，这时可以将解释变量进行变换(换元)，将变量的非线性关系转化为线性关系，将问题化为线性回归分析问题来解决．(2)若问题中没有给出经验公式，需要我们画出已知数据的散点图，通过与各种函数(如指数函数、对数函数、幂函数等)的图像作比较，选择一种与这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量变换，将问题化为线性回归分析问题来解决．下面举例说明非线性回归分析问题的解法．例3 某地区对本地的企业进行了一次抽样调查，表中是这次抽查中所得到的各企业的人均资本x(单位：万元)与人均产值y(单位：万元)的数据：(1)设y与x之间具有近似关系y≈ax b (a，b为常数)，试根据表中数据估计a和b的值；(2)估计企业人均资本为16万元时的人均产值(精确到0.01)．解(1)在y≈ax b的两边取常用对数，可得lg y≈lg a＋b lg x，设lg y＝z，lg a＝A，lg x ＝X，则z≈A＋bX.相关数据计算如图所示．由公式(1)可得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－0.215 5，b ＝1.567 7，由lg a ＝－0.215 5， 得a ≈0.608 8，即a ，b 的估计值分别为0.608 8和1.567 7. (2)由(1)知y ＝0.608 8x1.567 7.样本数据及回归曲线的图形如图所示．当x ＝16时，y ＝0.608 8×161.567 7≈47.01(万元)，故当企业人均资本为16万元时，人均产值约为47.01万元．3 巧解非线性回归问题如果题目所给样本点的分布不呈带状分布，即两个变量不呈线性关系，那么，就不能直接利用线性回归方程建立两个变量之间的关系，这时我们可以把散点图和已经学过的各种函数，如幂函数、指数函数、对数函数、二次函数等作比较，挑选出与这些散点拟合最好的函数，然后利用变量置换，把非线性回归方程问题转化为线性回归方程的问题来解决，这是解决此类问题的通法，体现了转化思想． 一、案例分析例 一个昆虫的某项指标和温度有关，现收集了7组数据如下表：试建立某项指标y 关于温度x 的回归模型，并判断你所建立的回归模型的拟合效果． 分析 根据表中的数据画出散点图，再由图设出相应的回归模型．解 画出散点图如图所示，样本点并没有分布在某个带状区域内，而是分布在某一条二次函数曲线y ＝Bx 2＋A 的周围．令X ＝x 2，则变换后的样本点应该分布在y ＝bX ＋a (b ＝B ，a ＝A )的周围． 由已知数据可得变换后的样本数据表：计算得到线性回归方程为y ＝0.199 94X ＋4.999 03.用x 2替换X ，得某项指标y 关于温度x 的回归方程y ＝0.199 94x 2＋4.999 03. 计算得r ≈0.999 997，几乎为1，说明回归模型的拟合效果非常好．点评 本题是非线性回归分析问题，解决这类问题应该先画出散点图，把它与我们所学过的函数图像相对照，选择一种跟这些样本点拟合的最好的函数，然后采用适当的变量变换转化为线性回归分析问题，使之得以解决． 二、知识拓展常见的非线性函数转换方法：(1)幂型函数y ＝ax m(a 为正数，x ，y 取正值)解决方案：对y ＝ax m 两边取常用对数，有lg y ＝lg a ＋m lg x ，令u ＝lg y ，v ＝lg x ，则原式可变为u ＝mv ＋lg a ，其中m ，lg a 为常数，该式表示u ，v 的线性函数． (2)指数型函数y ＝c ·a x (a ，c >0，且a ≠1)解决方案：对y ＝ca x两边取常用对数，则有lg y ＝lg c ＋x lg a ，令u ＝lg y ，则原式可变为u ＝x lg a ＋lg c ，其中lg a 和lg c 为常数，该式表示u ，x 的线性函数．与幂函数不同的是x 保持不变，用y 的对数lg y 代替了y . (3)反比例函数y ＝k x(k >0)解决方案：令u ＝1x，则y ＝ku ，该式表示y ，u 的线性函数．(4)二次函数y ＝ax 2＋c解决方案：令u ＝x 2，则原函数可变为y ＝au ＋c ，该式表示y ，u 的线性函数． (5)对数型函数y ＝c log a x解决方案：令x ＝a u ，则原函数可变为y ＝cu ，该式表示y ，u 的线性函数.4 判断两个分类变量的关系本章的重点是用独立性检验的基本思想对两个分类变量作出明确的判断，下面通过典例剖析如何判断两个分类变量的关系．例某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了189名员工进行调查，所得数据如下表所示：对于人力资源部的研究项目，根据上述数据能得出什么结论？分析首先由已知条件确定a、b、c、d、n的数值，再利用公式求出χ2的值，最后根据χ2值分析结果．解由题目中表的数据可知，χ2＝n ad－bc2a＋c a＋b c＋d b＋d＝－294×95×86×103≈10.759.因为10.759>6.635，所以有99%的把握说员工“工作积极”与“积极支持企业改革”有关，可以认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性是有关的．点评在列联表中注意事件的对应及有关值的确定，避免混乱；在判断两个分类变量的关系的可靠性时一般利用随机变量来确定；把计算出的χ2的值与临界值作比较，确定出“A与B 有关系”的把握．5 独立性检验思想的应用在日常生活中，经常会面临一些需要推断的问题．在对这些问题作出推断时，我们不能仅凭主观臆断作出结论，需要通过试验来收集数据，并依据独立性检验思想做出合理的推断．所谓独立性检验，就是根据采集样本的数据，利用公式计算χ2的值，比较与临界值的大小关系来判定事件A与B是否有关的问题．其基本步骤如下：(1)考察需抽样调查的背景问题，确定所涉及的变量是否为二值分类变量；(2)根据样本数据制作列联表；(3)计算统计量χ2，并查表分析．当χ2很大时，就认为两个变量有关系；否则就认为没有充分的证据显示两个变量有关系．下面举例说明独立性检验思想在解决实际问题中的应用．例为了调查患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以上的人，统计结果为：患慢性气管炎共有56人，患慢性气管炎且吸烟的有43人，未患慢性气管炎但吸烟的有162人．根据调查统计结果，分析患慢性气管炎与吸烟在多大程度上有关系？解根据所给样本数据得到如下2×2列联表：由列联表可以粗略估计出：有吸烟者中，有20.98%的患慢性气管炎；在不吸烟者中，有9.70%的患慢性气管炎．两个比例的值相差较大，所以结论“患慢性气管炎与吸烟有关”成立的可能性较大．根据列联表中的数据，得到χ2＝－256×283×205×134≈7.469>6.635.所以有99%的把握认为“患慢性气管炎与吸烟有关”．点评通过计算检验随机变量χ2，可以比较精确地给出这种判断的可靠程度．先收集数据，然后通过一些统计方法对数据进行科学的分析，这是我们用统计方法解决实际问题的基本策略．。
【配套K12】高中数学第三章统计案例2独立性检验的基本思想教案北师大版选修2_3
2 独立性检验的基本思想一、教学目标：通过对典型案例的探究，进一步巩固独立性检验的基本思想、方法，并能运用2χ统计量进行独立性检验。
二、教学重点，难点：独立性检验的基本方法是重点．基本思想的领会及方法应用是难点． 三、教学方法：讨论交流，探析归纳 四、教学过程（一）、提出问题，导入新课在上一节研究吸烟是否对患肺癌有影响的问题中，我们表明了|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；|ad -bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强。
但这些量究竟要多大才能说明变量之间不独立呢？我们能不能选择一个量，用它的大小来检验变量之间是否不独立呢？（二）、探究新课：为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上面的分析，我们构造一个随机变量卡方统计量：为了消除样本对上式的影响，通常用卡方统计量（2χ2()-=∑观测值预期值预期值）来进行估计。
1、卡方2χ统计量公式：由此若0H 成立，即患病与吸烟没有关系，则χ2的值应该很小．把37,183,21,274a b c d ====代入计算得χ211.8634=，统计学中有明确的结论，在0H 成立的情况下，随机事件“26.635χ≥”发生的概率约为0.01，即2( 6.635)0.01P χ≥≈，也就是说，在0H 成立的情况下，对统计量χ2进行多次观测，观测值超过6.635的频率约为0.01．由此，我们有99%的把握认为0H 不成立，即有99%的把握认为“患病与吸烟有关系”．象以上这种用2χ统计量研究吸烟与患呼吸道疾病是否有关等问题的方法称为独立性检验．说明：（1）估计吸烟者与不吸烟者患病的可能性差异是用频率估计概率，利用χ2进行独立性检验，可以对推断的正确性的概率作出估计，观测数据,,,a b c d 取值越大，效果越好．在实际应用中，当,,,a b c d 均不小于5，近似的效果才可接受．（2）这里所说的“呼吸道疾病与吸烟有关系”是一种统计关系，这种关系是指“抽烟的人患呼吸道疾病的可能性（风险）更大”，而不是说“抽烟的人一定患呼吸道疾病”．（3）在假设0H 下统计量χ2应该很小，如果由观测数据计算得到χ2的观测值很大，则在一定程度上说明假设不合理（即统计量χ2越大，“两个分类变量有关系”的可能性就越大）． 2、独立性检验的一般步骤：一般地，对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类取值：类A 和类B （如吸烟与不吸烟），Ⅱ也有两类取值：类和类2（如患呼吸道疾病与不患呼吸道疾病），得到如下表所示：推断“Ⅰ和Ⅱ有关系”的步骤为：第一步，提出假设0H ：两个分类变量Ⅰ和Ⅱ没有关系；第二步，根据2×2列联表和公式计算χ2统计量；第三步，查对课本中临界值表，作出判断。
2017-2018学年高中数学北师大版选修2-3课件：第三章 2 独立性检验
k
2.706 3.841 6.635 10.828
附：χ2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d
解：(1)由已知得，样本中有 25 周岁以上组工人 60 名， 25 周岁以下组工人 40 名． 所以，样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中，25 周岁以上组工人有 60×0.05＝3(人)，25 周岁以下组工人 有 40×0.05＝2(人)．
性别 男
女
是否需要志愿者
需要
40
30
不需要
160
270
(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的 比例；
(2)能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿 者提供帮助与性别有关？
[思路点拨] 解答本题先分析列联表数，后计算 χ2，再与临界 值比较，判断两个变量是否相互独立．
[精解详析] (1)调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿 者提供帮助，因此在该地区老年人中，需要帮助的老年人的比
§2
第独 三立 章性
检 验
理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练
考点一 考点二
§2
独立性检验
1．2×2 列联表
设 A，B 为两个变量，每个变量都可以取两个值，变量 A：
A1，A2＝－A 1；变量 B：B1，B2＝－B 1，用下表表示抽样数据
B A
A1
A2 总计
B1
a c a＋c
B2
b d b＋d
3．在一个 2×2 列联表中，通过数据计算 χ2＝8.325，则这两 个变量间有关系的可能性为________． 答案：99%
4．某高校《统计初步》课程的教师随机调查了选该课的学生的
一些情况，具体数据如下表：
2017-2018版高中数学第三章统计案例章末复习课学案北师大版选修2_3
第三章统计案例学习目标 1.能通过相关系数判断两变量间的线性相关性.2.掌握建立线性回归模型的步骤.3.理解条件概率的定义及计算方法.4.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题.5.掌握利用独立性检验解决一些实际问题．知识点一线性回归分析1．线性回归方程在线性回归方程y＝a＋bx中，b＝____________＝____________，a＝____________.其中x ＝____________，y＝____________.2．相关系数(1)相关系数r的计算公式r＝∑ni＝1x i y i－n x y∑ni＝1x2i－n x2∑ni＝1y2i－n y2.(2)相关系数r的取值范围是________，|r|值越大，变量之间的线性相关程度越高．(3)当r>0时，b________0，称两个变量正相关；当r<0时，b________0，称两个变量负相关；当r＝0时，称两个变量线性不相关．知识点二独立性检验1．2×2列联表设A、B为两个变量，每一变量都可以取两个值，得到表格其中，a表示变量A取 ________，且变量B取 ________时的数据，b表示变量A取 ______，且变量B取________时的数据；c表示变量A取 __________，且变量B取 ________时的数据；d表示变量A取________，且变量B取________时的数据．上表在统计中称为2×2列联表．2．统计量χ2＝____________________.3．独立性检验当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；当χ2>2.706时，有________的把握判定变量A，B有关联；当χ2>3.841时，有________的把握判定变量A，B有关联；当χ2>6.635时，有________的把握判定变量A，B有关联．类型一线性回归分析例1 某城市理论预测2010年到2014年人口总数与年份的关系如表所示：(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；(3)据此估计2018年该城市人口总数．反思与感悟解决回归分析问题的一般步骤(1)画散点图．根据已知数据画出散点图．(2)判断变量的相关性并求回归方程．通过观察散点图，直观感知两个变量是否具有相关关系；在此基础上，利用最小二乘法求回归系数，然后写出回归方程．(3)实际应用．依据求得的回归方程解决实际问题．跟踪训练1 在一段时间内，某种商品的价格x元和需求量y件之间的一组数据为：且知x与y具有线性相关关系，求出y关于x的线性回归方程．类型二 独立性检验思想与应用例2 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表：已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为23.(1)请将上面的2×2列联表补充完整；(不用写计算过程)(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由．反思与感悟 独立性检验问题的求解策略 χ2统计量法：通过公式 χ2＝n ad －bc 2a＋bc ＋d a ＋cb ＋d先计算统计量，再用以下结果对变量的独立性进行判断．(1)当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的．(2)当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联．(3)当χ2>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联．(4)当χ2>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．跟踪训练2 某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数，如图所示．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)．(1)根据茎叶图，帮助这位同学说明其亲属30人的饮食习惯；(2)根据以上数据完成如下2×2列联表；(3)在犯错误的概率不超过0.01的前提下，是否能认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”？1．“回归”一词是在研究子女的身高与父母的身高之间的遗传关系时由高尔顿提出的，他的研究结果是子代的平均身高向中心回归．根据他的结论，在儿子的身高y与父亲的身高x的线性回归方程y＝bx＋a中，b( )A．在(－1,0)内B．等于0C．在(0,1)内D．在[1，＋∞)内2．已知线性回归方程中斜率的估计值为1.23，回归方程过点(4,5)，则线性回归方程为( ) A．y＝1.23x＋0.08 B．y＝0.08x＋1.23C．y＝1.23x＋4 D．y＝1.23x＋53．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：由以上数据，计算得到χ2≈9.643，则以下说法正确的是( )A．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关B．有1%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关C．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关D．有99%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关4．考察棉花种子经过处理与生病之间的关系，得到下表中的数据：根据以上数据可得出( )A．种子是否经过处理与是否生病有关B．种子是否经过处理与是否生病无关C．种子是否经过处理决定是否生病D．有90%的把握认为种子经过处理与生病有关5．对于线性回归方程y＝bx＋a，当x＝3时，对应的y的估计值是17，当x＝8时，对应的y的估计值是22，那么，该线性回归方程是________，根据线性回归方程判断当x＝________时，y的估计值是38.1．建立回归模型的基本步骤(1)确定研究对象，明确变量．(2)画出散点图，观察它们之间的关系．(3)由经验确定回归方程的类型．(4)按照一定的规则估计回归方程中的参数．2．独立性检验是对两个分类变量间是否存在相关关系的一种案例分析方法．答案精析知识梳理 知识点一1.∑ni ＝1x i －xy i －y∑n i ＝1x i －x 2∑ni ＝1x i y i －n x y∑n i ＝1x 2i －n x2y －b x 1n ∑ni ＝1x i 1n ∑ni ＝1y i2．(2)[－1,1] (3)> < 知识点二1．a ＋b c ＋d a ＋c b ＋d a ＋b ＋c ＋d A 1 B 1 A 1 B 2 A 2 B 1 A 2 B 2 2.n ad －bc 2a＋bc ＋d a ＋cb ＋d3．90% 95% 99% 题型探究例1 解 (1)散点图如图．(2)因为x ＝0＋1＋2＋3＋45＝2，y ＝5＋7＋8＋11＋195＝10，∑5i ＝1x i y i ＝0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132，∑5i ＝1x 2i ＝02＋12＋22＋32＋42＝30， 所以b ＝132－5×2×1030－5×22＝3.2， a ＝y －b x ＝3.6.所以线性回归方程为y ＝3.2x ＋3.6. (3)令x ＝8，则y ＝3.2×8＋3.6＝29.2， 故估计2018年该城市人口总数为292万人．跟踪训练1 解 x ＝15×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，y ＝15×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，∑i ＝15x 2i ＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660， ∑i ＝15y 2i ＝122＋102＋72＋52＋32＝327， ∑i ＝15x i y i ＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，所以b ＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2＝620－5×18×7.41 660－5×182＝－1.15，所以a ＝7.4＋1.15×18＝28.1，所以y 对x 的线性回归方程为y ＝－1.15x ＋28.1. 例2 解 (1)列联表补充如下：(2)由χ2＝－228×20×32×16≈4.286.因为4.286>3.841，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关． 跟踪训练2 解 (1)30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉类为主．(2)2×2列联表如下：(3)χ2＝－212×18×20×10＝10>6.635，故在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”．当堂训练1．C 2.A 3.D 4.B5．y＝x＋14 24。
高中数学 第3章 2独立性检验课件 北师大版选修23
• [答案] C
[解析] 由题意得 2×2 列联表： 色盲 不色盲 合计
男 39 461 500 女 6 494 500 合计 45 955 1000 χ2＝100500×0×395×004×944－5×6×9545612≈25.34， ∵25.34＞6.635， ∴有 99%把握认为色盲与性别有关．
2．2×2 列联表的独立性检验 根据 2×2 列联表计算出频率值，用频率估计概率进行独立 性检验． 用an估计 P(A1B1)，a＋n b估计 P(A1)，a＋n c估计 P(B1)．
若有式子an＝a＋n b·a＋n c，则可以认为 A1 与 B1 独立． 同理，若bn＝a＋n b·b＋n d，则可以认为 A1 与 B2 独立． 若nc＝c＋n d·a＋n c，则可以认为 A2 与 B1 独立； 若dn＝c＋n d·b＋n d，则可以认为 A2 与 B2 独立． 但在an＝a＋n b·a＋n c中，由于an、a＋n b、a＋n c表示的是频率， 不同于概率，即使变量之间独立，式子两边也不一定恰好相 等．但是当两边相差很大时，变量之间就不独立．
3．独立性检验的基本思想 利 用 2×2 列 联 表 检 验 变 量 之 间 是 否 独 立 ， 当 an－a＋n b·a＋n c 、 bn－a＋n b·b＋n d 、 nc－c＋n d·a＋n c 、 dn－c＋n d·b＋n d大时，变量之间不独立．但不能解释这些量究竟 要多大才能说明变量之间不独立． 为此，统计学家引入统计量 χ2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d， 用它的大小来检验变量之间是否独立．当 χ2 较大时，说明变量 之间不独立．
• 1.在吸烟与患肺病是否相关的计算中，有下面的说法：( )
• ①若χ2＝6.635，我们有99%的把握判定吸烟与患肺病有关 联，那么在100个吸烟的人中必有99个人患肺病；
高中数学 第三章 统计案例 2 独立性检验自我小测 北师大版选修2-3(2021年最新整理)
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高中数学第三章统计案例 2 独立性检验自我小测北师大版选修2—3 1．根据下面的列联表判断患肝病与嗜酒有关系的把握有（）.A．90% B．99% C．97。
5％D．95%2．判断两个分类变量是彼此相关还是相互独立的常用方法中，最为精确的是（）．A．三维柱形图 B．二维条形图C．等高条形图D．独立性检验3．想要检验是否参加体育运动是不是与性别有关，应该检验( )．A．男性喜欢参加体育运动B．女性不喜欢参加体育运动C．喜欢参加体育运动与性别有关D．喜欢参加体育运动与性别无关4．某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如表则推断“学生的性别与认为作业量大有关"这种推断犯错误的概率不超过( )．A．0。
01 B．0.05 C．0.10 D．0.955．考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如下数据表:根据数据，则( ）．A．种子经过处理跟是否生病有关B．种子经过处理跟是否生病无关C．种子是否经过处理决定是否生病D．以上都是错误的6．在从烟台—大连的某次航运中，海上出现恶劣气候，随机调查男、女乘客在船上晕船的情况如下表所示：根据此资料:在恶劣气候航行中，晕船与性别______关．(填“有”或“无”）7．有两个分类变量X与Y,有一组观测的2×2列联表如下，其中，a，15－a均为大于5的整数，则a＝______时，有90％以上的把握认为“X与Y之间有关系”。
2017_2018学年高中数学第三章统计案例章末小结知识整合与时期检测教学案北师大版选修2_3
序号
x
y
x2
xy
1
1
2
1
2
2
2
3
4
6
3
3
4
9
12
4
4
4
16
16
5
5
5
25
25
∑
表格2
b＝ ，a＝ －b .
①求出y对x的回归直线方程y＝a＋bx中回归系数a，b；
②估量当x为10时y的值是多少．
解：(1)数据(x，y)的散点图如下图：
(2)表格如下：
序号
x
A．83%B．72%
C．67%D．66%
解析：当y＝7.675时，x＝ ≈9.262，
×100%≈83%.应选A.
答案：A
8．两个相关变量知足如下关系：
x
10
15
20
25
30
y
1 003
1 005
1 010
1 011
1 014
那么两变量的回归方程为( )
A．y＝0.56x＋997.4B．y＝0.63x－231.2
二、独立性查验
独立性查验的一计算χ2＝ ；
(3)依照χ2的值的大小作出判定．
(时刻90分钟，总分值120分)
一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)
1．(全国新课标)在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，假设所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝ x＋1上，那么这组样本数据的样本相关系数为( )
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2 独立性检验
学习目标 1.理解2×2列联表，并会依据列联表判断两个变量是否独立.2.理解统计量χ2的意义和独立性检验的基本思想．
知识点一2×2列联表
思考某教育行政部门大力推行素质教育，增加了高中生的课外活动时间，某校调查了学生的课外活动方式，结果整理成下表：
如何判定“喜欢体育还是文娱与性别是否有联系”？
梳理设A、B为两个变量，每一变量都可以取两个值，得到表格．
其中，a表示变量A取 ________，且变量B取 ________时的数据，b表示变量A取 ________，且变量B取 ________时的数据；c表示变量A取 ________，且变量B取 ________时的数据；d表示变量A取 ________，且变量B取 ________时的数据．上表在统计中称为2×2列联表．
知识点二统计量
χ2＝________________________.
(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)
知识点三独立性检验
当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B________；
当χ2>2.706时，有__________的把握判定变量A，B有关联；
当χ2>3.841时，有__________的把握判定变量A，B有关联；
当χ2>6.635时，有__________的把握判定变量A，B有关联．
类型一2×2列联表和统计量χ2
例1 某企业为了更好地了解设备改造与生产合格品的关系，随机抽取了180件产品进行分析，其中设备改造前生产的合格品有36件，不合格品有49件；设备改造后生产的合格品有65件，不合格品有30件，请根据数据，列出2×2列联表，并说明可以用本列表研究什么问题？
反思与感悟2×2列联表将文字语言转换为图表语言，使问题更为清晰，可为进一步研究问题作充分的准备．
跟踪训练1 已知药物效果与动物试验列联表如下所示：
则χ2≈________.(结果保留3位小数)
类型二独立性检验的方法
例2 研究人员选取170名青年男、女大学生作为样本，对他们进行一种心理测验，发现有60名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是：肯定的有22名，否定的有38名；男生110名在相同的题目上肯定的有22名，否定的有88名．问：性别与态度之间是否存在某
种关系？用独立性检验的方法判断．
反思与感悟独立性检验可以通过2×2列联表计算χ2的值，然后和临界值对照作出判断．跟踪训练2 为了研究人的性别与患色盲是否有关系，某研究所进行了随机调查，发现在调查的480名男性中有39名患有色盲，520名女性中有6名患有色盲，试问人的性别与患色盲有关系吗？
1．当χ2>3.841时，认为事件A与事件B( )
A．有95%的把握有关B．有99%的把握有关
C．没有理由说它们有关D．不确定
2．为了考察中学生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某校中学生中随机抽取了300名学生，得到如下列联表：
你认为性别与是否喜欢数学课程之间有关系的把握有( )
A．0 B．95% C．99% D．100%
3．某大学在研究性别与职称(分正教授、副教授)之间是否有关系时，你认为应该收集哪些数据？
4．2014年世界杯期间，某一电视台对年龄高于40岁和不高于40岁的人是否喜欢西班牙队进行调查，对高于40岁的调查了50人，不高于40岁的调查了50人，所得数据制成如下列联表：
若工作人员从所有统计结果中任取一个，取到喜欢西班牙队的人的概率为3
5
，则有超过
________的把握认为年龄与西班牙队的被喜欢程度有关．
5．某省进行高中新课程改革已经四年了，为了解教师对新课程教学模式的使用情况，某一教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查，共调查了50人，其中有老教师20人，青年教师30人．老教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人．
(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；
(2)判断是否有99%的把握说明对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有关系．
1．独立性检验的思想：先假设两个事件无关，计算统计量χ2的值．若χ2值较大，则拒绝假设，认为两个事件有关．
2．独立性检验的步骤
(1)画列联表．
(2)计算χ2.
(3)将得到的χ2值和临界值比较，下结论．
答案精析
问题导学
知识点一
思考可通过表格与图形进行直观分析，也可通过统计分析定量判断．
梳理a＋b c＋d a＋c b＋d a＋b＋c＋d A1B1A1B2A2B1A2B2知识点二
n ad －bc2
a ＋
b c＋d a＋
c b＋d
知识点三
有关联90% 95% 99%
题型探究
例1 解根据题意列出2×2列联表如下：
通过研究此2×2列联表可以研究设备改造对产品合格率是否有影响．
跟踪训练1 6.109
解析χ2＝
－2
30×75×55×50
≈6.109.
例2 解根据题目所给数据建立如下2×2列联表：
根据2×2列联表中的数据，得χ2＝
－2
110×60×44×126
≈5.622>3.841，
所以有95%的把握认为性别与态度有关系．跟踪训练2 解由题意列出2×2列联表：
由公式得χ2＝
－2
480×520×45×955
≈28.225.
因为28.225＞6.635，
所以有99%的把握认为人的性别与患色盲有关系．
当堂训练
1．A 2.B
3．女正教授人数、男正教授人数、女副教授人数、男副教授人数4．95%
5．解(1)2×2列联表如下所示：
(2)假设“对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关”．
由公式，得χ2＝
－2
34×16×20×30
≈4.963<6.635，
所以没有99%的把握认为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有关．。