【志鸿优化设计】高中数学 1.2.2组合同步检测新人教A版选修2-3

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高中数学人教A版选修2-3优化练习第一章1.21.2.2组合含解析

[课时作业][A组基础巩固]1．某中学一年级有5个班，二年级有8个班，三年级有3个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，总共需进行比赛的场数是()A．C25＋C28＋C23B．C25C28C23C．A25＋A28＋A23D．C216解析：分三类：一年级比赛的场数是C25，二年级比赛的场数是C28，三年级比赛的场数是C23，再由分类加法计数原理可求．答案：A2．已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3点均不共线，则以其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为()A．3 B．4C．12 D．24解析：C34＝4.答案：B3．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A．12种B．10种C．9种D．8种解析：分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C12＝2(种)选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C24＝6(种)选派方法．由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2×6＝12(种)．答案：A4．C03＋C14＋C25＋C36＋…＋C1720的值为()A．C321B．C320C．C420D．C421解析：原式＝(C04＋C14)＋C25＋C36＋…＋C1720＝(C15＋C25)＋C36＋…＋C1720＝(C26＋C36)＋…＋C1720＝C1721＝C21－17＝C421.21答案：D5．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有()A．140种B．120种C．35种D．34种解析：分三种情况：①1男3女共有C14C33种选法．②2男2女共有C24C23种选法．③3男1女共C 34C 13种选法．则共有C 14C 33＋C 24C 23＋C 34C 13＝34种选法．答案：D6．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种．(用数字作答)解析：由题意知，所有可能的决赛结果有C 16C 25C 33＝6×5×42×1＝60(种)．答案：607．50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共有________种．解析：分两类，有4件次品的抽法有C 44C 146种；有3件次品的抽法有C 34C 246种，所以共有C 44C 146＋C 34C 246＝4 186种不同的抽法．答案：4 1868．从3,5,7,11这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为________．解析：从四个数中任取两个数的取法为C 24＝6. 答案：69．已知C 5n －1＋C 3n －3C 3n －3＝345，求n . 解析：原方程可变形为C 5n －1C 3n －3＋1＝195，即C 5n －1＝145C 3n －3，即(n －1)(n －2)(n －3)(n －4)(n －5)5！＝145·(n －3)(n －4)(n －5)3！，化简整理得n 2－3n －54＝0.解得n ＝9或n ＝－6(不合题意，舍去)．所以n ＝9.10．要从6男4女中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？ (1)甲当选且乙不当选；(2)至少有1女且至多有3男当选．解析：(1)∵甲当选且乙不当选，∴只需从余下的8人中任选4人，有C 48＝70种选法． (2)至少有1女且至多有3男当选时，应分三类：第一类是3男2女，有C 36C 24种选法；第二类是2男3女，有C 26C 34种选法；第三类是1男4女，有C16C44种选法．由分类加法计数原理知，共有C36C24＋C26C34＋C16C44＝186种选法.[B组能力提升]1．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法是() A．C25C26B．C25A26C．C25A22C26A22D．A25A26解析：分两步进行：第一步：选出两名男选手，有C25种方法；第2步，从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对，有A26种．故有C25A26种．答案：B2．某单位拟安排6位员工在2016年端午节3天假期值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值第一日，乙不值最后一日，则不同的安排方法共有()A．30种B．36种C．42种D．48种解析：所有排法减去甲值第一日或乙值最后一日，再加上甲值第一日且乙值最后一日的排法，即有C26C24－2×C15C24＋C14C13＝42(种)排法．答案：C3.如图，A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有________种．解析：四个小岛中每两岛建一座桥共建六座桥，其中建三座桥连接四个小岛符合要求的建桥方案是只要三座桥不围成封闭的三角形区域符合要求，如桥AC，BC，BD 符合要求，而围成封闭三角形不符合要求，如桥AC，CD，DA，不符合要求，故共有C36－C34＝16(种)．答案：164．如图，在排成4×4方阵的16个点中，中心4个点在某一圆内，其余12个点在圆外，在16个点中任取3个点构成三角形，其中至少有一个点在圆内的三角形共有________个．解析：有一个点在圆内的有：C14(C212－4)＝248(个)．有两个顶点在圆内的有：C24(C112－2)＝60(个)．三个顶点均在圆内的有：C34＝4(个)．所以共有248＋60＋4＝312(个)．答案：3125．现有10件产品，其中有2件次品，任意取出3件检查．(1)若正品A被取到，则有多少种不同的取法？(2)恰有一件是次品的取法有多少种？(3)至少有一件是次品的取法有多少种？解析：(1)C 29＝9×82＝36(种)． (2)从2件次品中任取1件，有C 12种取法，从8件正品中任取2件，有C 28种取法，由分步乘法计数原理得，不同的取法共有C 12×C 28＝2×8×72＝56种． (3)解法一含1件次品的取法有C 12×C 28种，含2件次品的取法有C 22×C 18种，由分类加法计数原理得，不同的取法共有C 12×C 28＋C 22×C 18＝56＋8＝64种．解法二从10件产品中任取3件，取法有C 310种，不含次品的取法有C 38种，所以至少有1件次品的取法有C 310－C 38＝64种．6．某次足球赛共12支球队参加，分三个阶段进行．(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名进行主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．全部赛程共需比赛多少场？解析：(1)小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，所以小组赛共要比赛2C 26＝2×6×51×2＝30(场)． (2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名(或乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一场，所需比赛的场次即为从2个元素中任取2个元素的排列数，所以半决赛共要比赛2A 22＝2×1×2＝4(场)．(3)决赛只需比赛1场，即可决出胜负．所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场)．。

(新人教版)新版高中数学第一章1.2 排列与组合 1.2.2 第2课时组合的综合应用学案新人教A版选修2-3【提

第2课时组合的综合应用学习目标 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.2.能解决有限制条件的组合问题．知识点组合的特点(1)组合的特点是只取不排组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m 次不放回地取出．(2)组合的特性元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，没有位置的要求．(3)相同的组合根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管顺序如何)，就是相同的组合．类型一有限制条件的组合问题例1 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)至少有一名队长当选；(2)至多有两名女生当选；(3)既要有队长，又要有女生当选．考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解(1)C513－C511＝825(种)(2)至多有2名女生当选含有三类：有2名女生；只有1名女生；没有女生，所以共有C25C38＋C15C48＋C58＝966(种)选法．(3)分两类：第一类女队长当选，有C412＝495(种)选法，第二类女队长没当选，有C14C37＋C24C27＋C34C17＋C44＝295(种)选法，所以共有495＋295＝790(种)选法．反思与感悟有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．跟踪训练1 某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法共有( )A．210种 B．420种 C．56种 D．22种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 A解析由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有C24C27＋C14C27＝210(种)．类型二与几何有关的组合应用题例2 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？考点组合的应用题点与几何有关的组合问题解(1)方法一可作出三角形C36＋C16·C24＋C26·C14＝116(个)．方法二可作三角形C310－C34＝116(个)，其中以C1为顶点的三角形有C25＋C15·C14＋C24＝36(个)．(2)可作出四边形C46＋C36·C16＋C26·C26＝360(个)．反思与感悟(1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法．(2)在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决．跟踪训练2 空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为( )A．205 B．110 C．204 D．200考点组合的应用题点与几何有关的组合问题答案 A解析方法一可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则得到所有的取法总数为C 05C 45＋C 15C 35＋C 25C 25＋C 35C 15＝205.方法二从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为C 410－C 45＝205. 类型三分组、分配问题命题角度1 不同元素分组、分配问题例3 6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)每组2本(平均分组)；(2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)； (3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组)．考点排列组合综合问题题点分组分配问题解 (1)每组2本，均分为3组的方法数为C 26C 24C 22A 33＝15×6×16＝15.(2)一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为C 36C 23C 11＝20×3＝60. (3)一组4本，另外两组各1本的分组种数为C 46C 12C 11A 22＝15×22＝15.反思与感悟一般地，n 个不同的元素分成p 组，各组内元素数目分别为m 1，m 2，…，m p ，其中k 组元素数目相等，那么分组方法数是C m 1n C m 2n －m 1C m 3n －m 1－m 2…C m p m pA kk. 跟踪训练3 6本不同的书，分给甲、乙、丙3人，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)甲2本，乙2本，丙2本； (2)甲1本，乙2本，丙3本； (3)甲4本，乙、丙每人1本； (4)每人2本；(5)一人1本，一人2本，一人3本； (6)一人4本，其余两人每人1本．考点排列组合综合问题题点分组分配问题解 (1)(2)(3)中，由于每人分的本数固定，属于定向分配问题，由分步乘法计数原理得： (1)共有C 26C 24C 22＝90(种)不同的分配方法；(2)共有C16C25C33＝60(种)不同的分配方法；(3)共有C46C12C11＝30(种)不同的分配方法．(4)(5)(6)属于不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题．分配给3人，同一本书给不同的人是不同的分法，属于排列问题．实际上可看作两个步骤：先分为3组，再把这3组分给甲、乙、丙3人的全排列数A33即可．因此，(4)共有C26C24C22÷A33×A33＝90(种)不同的分配方法；(5)共有C16C25C33×A33＝360(种)不同的分配方法；(6)共有C46C12C11÷A22×A33＝90(种)不同的分配方法．命题角度2 相同元素分配问题例4 将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数．(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子．考点排列组合综合问题题点分组分配问题解(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有C35＝10(种)．(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有C25种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000||00|，有C14种插法，故共有C25·C14＝40(种)．(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板，有C15种插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒．①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如||00||0000|，有C23种插法．②将两块板与前面三块板之一并放，如|00|||0000|，有C13种插法．故共有C15·(C23＋C13)＝30(种)．反思与感悟相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作在排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C m－1n－1种方法．可描述为n－1个空中插入m－1块板．跟踪训练4 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )A．4种B．10种C．18种D．20种考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案 B解析由于只剩一本书，且这些画册、集邮册分别相同，可以从剩余的书的类别进行分析．又由于排列、组合针对的是不同的元素，应从4位朋友中进行选取．第一类：当剩余的一本是画册时，相当于把3本相同的集邮册和1本画册分给4位朋友，只有1位朋友得到画册．即把4位朋友分成人数为1,3的两队，有1个元素的那队分给画册，另一队分给集邮册，有C14种分法．第二类：当剩余的一本是集邮册时，相当于把2本相同的画册和2本相同的集邮册分给4位朋友，有2位朋友得到画册，即把4位朋友分成人数为2,2的两队，一队分给画册，另一队分给集邮册，有C24种分法．因此，满足题意的赠送方法共有C14＋C24＝4＋6＝10(种)．1．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同选法共有( )A．26种 B．84种 C．35种 D．21种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 C解析从7名队员中选出3人有C37＝7×6×53×2×1＝35(种)选法．2．身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，这样的排法种数是( )A．5 040 B．36 C．18 D．20考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 D解析最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法，另3人在另一侧也只有一种站法，所以排法有C36＝20(种)．3．直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有( )A．25个 B．36个 C．100个 D．225个考点组合的应用题点与几何有关的组合问题答案 D解析从垂直于x轴的6条直线中任取2条，从垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为C26×C26＝15×15＝225.4．从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案140解析安排方案分为两步完成：从7名志愿者中选3人安排在周六参加社区公益活动，有C37种方法；再从剩下的4名志愿者中选3人安排在周日参加社区公益活动，有C34种方法．故不同的安排方案共有C37C34＝7×6×53×2×1×4＝140(种)．5．正六边形顶点和中心共7个点，可组成________个三角形．考点组合的应用题点与几何有关的组合问题答案32解析不共线的三个点可组成一个三角形，7个点中共线的是：正六边形过中心的3条对角线，即共有3种情况，故组成三角形的个数为C37－3＝32.1．无限制条件的组合应用题．其解题步骤为：(1)判断；(2)转化；(3)求值；(4)作答．2．有限制条件的组合应用题：(1)“含”与“不含”问题：这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”．若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法．解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准．(2)几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决．(3)分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的．一、选择题1．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取3个不同的数，使其和为奇数，则不同的取法共有( )A．30种 B．33种 C．37种 D．40种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 D解析从1,2,3，…，9这9个数中取出3个不同的数，使其和为奇数的情况包括：(1)取出的3个数都是奇数，取法有C35＝10(种)；(2)取出的3个数中有2个偶数、1个奇数，取法有C24C15＝30(种)，根据分类加法计数原理，满足题意的取法共有10＋30＝40(种)．2．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )A．24种 B．14种 C．28种 D．48种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 B解析方法一分两类完成：第1类，选派1名女生、3名男生，有C12·C34种选派方案；第2类，选派2名女生、2名男生，有C22·C24种选派方案．故共有C12·C34＋C22·C24＝14(种)不同的选派方案．方法二6人中选派4人的组合数为C46，其中都选男生的组合数为C44，所以至少有1名女生的选派方案有C46－C44＝14(种)．3．直线a∥b，a上有5个点，b上有4个点，以这九个点为顶点的三角形个数为( ) A．C25C14＋C15C24B．(C25＋C14)(C15＋C24)C．C39－9 D．C39－C35考点组合的应用题点与几何有关的组合问题答案 A解析可以分为两类：a 上取两点，b 上取一点，则可构成三角形个数为C 25C 14；a 上取一点，b 上取两点，则可构成三角形个数为C 15C 24，利用分类加法计数原理可得以这九个点为顶点的三角形个数为C 25C 14＋C 15C 24，故选A.4．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法有( ) A ．C 25C 26种 B ．C 25A 26种 C ．C 25A 22C 26A 22种D ．A 25A 26种考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用答案 B解析先从5名男选手中任意选取2名，有C 25种选法，再从6名女选手中任意选择两名与选出的男选手打比赛，有C 26A 22，即A 26种．所以共有C 25A 26种．5．将标号为A ，B ，C ，D ，E ，F 的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为A ，B 的卡片放入同1个信封，则不同的放法共有( ) A ．12种 B ．18种 C ．36种 D ．54种考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案 B解析由题意知，不同的放法共有C 13C 24＝3×4×32＝18(种)．6．某地招募了20名志愿者，他们编号分别为1号，2号，…，19号，20号，如果要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的人在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是( )A ．16B ．21C ．24D ．90 考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案 B 解析分2类：第1类，5号与14号为编号较大的一组，则另一组编号较小的有C 24＝6(种)选取方法．第2类，5号与14号为编号较小的一组，则编号较大的一组有C 26＝15(种)选取方法．由分类加法计数原理得，共有C 24＋C 26＝6＋15＝21(种)选取方法．7．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为( ) A ．C 1214C 412C 48 B ．C 1214A 412A 48 C.C 1214C 412C 48A 33D ．C 1214C 412C 48A 38考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案 A解析首先从14人中选出12人共C 1214种，然后将12人平均分为3组共C 412·C 48·C 44A 33种，然后这两步相乘，得C 1214·C 412·C 48A 33.将三组分配下去共C 1214·C 412·C 48种．故选A. 8．假如北京大学给中山市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为( ) A ．30 B ．21 C ．10 D ．15 考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案 D解析用“隔板法”．在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板，有C 26＝15(种)分配方法．二、填空题9．在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试．小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选择方案有________种．考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 10解析 ①在生物、政治、历史三门中选择1门，则在物理、化学、地理中选2门，有C 13C 23＝9(种)选法；②在生物、政治、历史三门中选择0门，则物理、化学、地理全选，有C 33＝1(种)选法．共有选法9＋1＝10(种)．10.如图所示的几何体是由一个正三棱锥P －ABC 与正三棱柱ABC －A 1B 1C 1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A 1B 1C 1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有______种．考点涂色问题题点涂色问题答案12解析先涂三棱锥P－ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C13×C12×C11×C12＝3×2×1×2＝12(种)不同的涂法．11．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用答案60解析一、二、三等奖，三个人获得，有A34＝24(种)．一、二、三等奖，有一个人获得2张，一个人获得1张，共有C23A24＝36(种)，共有24＋36＝60(种)不同的获奖情况．三、解答题12．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，求不同取法的种数．考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色，则有C14×C14×C14＝64(种)，若2张同色，则有C23×C12×C24×C14＝144(种)，若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有C14×C23×C14×C14＝192(种)，剩余2张同色，则有C14×C13×C24＝72(种)，所以共有64＋144＋192＋72＝472(种)不同的取法．13．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)．现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？考点排列组合综合问题题点分组分配问题解可以分三类．精品试卷第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有C24C23种选法；第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有C34C13种选法；第三类，让两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有C34C23种选法．根据分类加法计数原理，一共有C24C23＋C34C13＋C34C23＝42(种)不同的选法．四、探究与拓展14．20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为________．考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案120解析先在编号为2,3的盒内分别放入1,2个球，还剩17个小球，三个盒内分别至少再放入1个球，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共C216＝120(种)方法．15．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用解(1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C24A22＝A24(种)测法，再排余下4件的测试位置，有A44种测法．所以共有不同测试方法A46·A24·A44＝103 680(种)．(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同测试方法C16C34A44＝576(种)．欢迎下载。

1.2.2组合学案(人教A版选修2-3)

1.2.3组合与组合数公式课前预习学案一、预习目标预习：（1）理解组合的定义，掌握组合数的计算公式（2）正确认识组合与排列的区别与联系（3）会解决一些简单的组合问题二、预习内容1．组合的定义：2．组合与排列的区别与联系（1）共同点。

（2）不同点。

3．组合数mA= = =n4．归纳提升(1)区分组合与排列(2)组合数计算问题三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案一、学习目标（1）理解组合的定义，掌握组合数的计算公式（2）正确认识组合与排列的区别与联系（3）会解决一些简单的组合问题学习重难点：组合与排列的区分二、学习过程问题探究情境问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？合作探究：探究1：组合的定义？一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.探究2：排列与组合的概念有什么共同点与不同点？不同点: 排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关.共同点: 都要“从n 个不同元素中任取m 个元素” 问题三：判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1)设集合A={a ,b ,c ,d ,e }，则集合A 的含有3个元素的子集有多少个? (2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票? 组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果.探究3：写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合abc ， abd ， acd ，bcd 每一个组合又能对应几个排列？问题四：你能得出组合数的计算公式吗？mn C = = =规定：典例分析例1判断下列问题是排列问题还是组合问题？（1）a 、b 、c 、d 四支足球队之间进行单循环比赛，共需要多少场比赛？（2）a 、b 、c 、d 四支足球队争夺冠亚军，有多少场不同的比赛？变式训练1 已知ABCDE 五个元素，写出取出3个元素的所有组合例2计算下列各式的值（1）97999699C C组合排列abc abd acd bcdabc baccababd baddabacd caddacbcd cbddbc（2）nn n nC C 321383+-+ 变式训练2 （1）解方程247353---=x x x A C （2）已知m8765C 10711求m m mCCC=+三、反思总结1区分组合与排列 2组合数的计算公式的说明① ② ③ ④ 四、当堂检测1、计算=++293828C C C （）A120 B240 C60 D480 2、已知2n C =10，则n=（）A10 B5 C3 D23、如果436m m C A =，则m=（）A6 B7 C8 D9答案：1、A 2、B 3、B课后练习与提高1、给出下面几个问题，其中是组合问题的有（）①由1,2,3,4构成的2个元素的集合 ②五个队进行单循环比赛的分组情况 ③由1,2,3组成两位数的不同方法数④由1,2,3组成无重复数字的两位数 A ①③ B ②④ C ①② D ①②④2、rr C C -++1710110的不同值有（）A1个 B2个 C3个 D4个3、已知集合A={1,2,3,4,5,6}，B={1,2}，若集合M 满足B ⊂M ⊂A ，则这样的集合M 共有（）A12个 B13个 C14个 D15个 4、已知的值为与则n m ,43211+-==m nmn m nC C C5、若x 满足112x 1x 3C 2-+-+<x x C ，则x=6、已知的值求n ,15)4(420231355+-++++=n n n n A C n C参考答案：1C 2B 3C 4 m=14，n=34 5 2,3,4,5, 6 n=21.2.4组合应用题课前预习学案一、预习目标预习：（1）理解组合的定义，掌握组合数的计算公式（2）会解决一些简单的组合问题（3）体会简单的排列组合综合问题二、预习内容1．组合的定义：2．组合数mA= = =n3. 课本几个组合应用题，并将24页的探究写在下面三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案一、学习目标（1）理解组合的定义，掌握组合数的计算公式（2）会解决一些简单的组合问题（3）体会简单的排列组合综合问题学习重难点：解决一些简单的组合典型问题二、学习过程问题探究情境问题一：高一（1）班有30名男生，20名女生，现要抽取6人参加一次有意义的活动，问一下条件下有多少种不同的抽法？⑴只在男生中抽取⑵男女生各一半⑶女生至少一人问题二：10个不同的小球，装入3个不同的盒子中，每盒至少一个，共有多少种装法？合作探究：完成问题一问题二的方法总结①②典例分析例1六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端. 变式练习1.、7名学生站成一排，下列情况各有多少种不同的排法？（1）甲乙必须排在一起；（2）甲、乙、丙互不相邻；（3）甲乙相邻，但不和丙相邻.例2．平面上给定10个点，任意三点不共线，由这10个点确定的直线中，无三条直线交于同一点（除原10点外），无两条直线互相平行。

【志鸿优化设计】2021年高中数学第三章过关检测新人教A版选修2-3(1)

第三章过关检测(时刻:45分钟,总分值:100分)一、选择题(每题6分,共48分)1.(2021广西南宁模拟)如以下图所示,4个散点图中,不适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是( ).答案:A解析:题图A中的点不成线性排列,故两个变量不适合线性回归模型,应选A.2.(2021重庆高考)已知变量x与y正相关,且由观测数据算得样本平均数=3,=3.5,那么由该观测数据算得的线性回归方程可能是( ).A.=0.4x+2.3B.=2x-2.4C.=-2x+9.5D.=-0.3x+4.4答案:A解析:由变量x与y正相关,可知x的系数为正,排除C,D.而所有的回归直线必通过点(),由此排除B,应选A.3.某考察团对全国10个城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查,y与x具有相关关系,回归方程为=0.66x+1.562.假设某城市居民人均消费水平为7.675(千元),估量该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( ).A.83%B.72%C.67%D.66%答案:A解析:由已知=7.675,代入方程=0.66x+1.562,得x≈9.2621,因此百分比为≈83%.应选A.4.假设两个变量的残差平方和是325,(y i-)2=923,那么随机误差对预报变量的奉献率约为( ).A.64.8%B.60%C.35.2%D.40%答案:C解析:由题意可知随机误差对预报变量的奉献率约为≈0.352.5.以下说法:①在残差图中,残差点比较均匀地落在水平的带状区域内,说明选用的模型比较适合;②用相关指数能够刻画回归的成效,值越小说明模型的拟合成效越好;③比较两个模型的拟合成效,能够比较残差平方和的大小,残差平方和越小的模型拟合成效越好.其中说法正确的选项是( ).A.①②B.②③C.①③D.①②③答案:C解析:相关指数R2越大,说明模型拟合成效越好,故②错误.6.在抽烟与患肺病这两个分类变量的计算中,以下说法正确的选项是( ).①假设K2的观测值知足K2≥6.635,咱们有99%的把握以为抽烟与患肺病有关系,那么在100个抽烟的人中必有99人患有肺病;②从独立性查验可知有99%的把握以为抽烟与患病有关系时,咱们说某人抽烟,那么他有99%的可能患有肺病;③从统计量中得知有95%的把握以为抽烟与患肺病有关系,是指有5%的可能性使得推断显现错误A.① B.①③ C.③ D.②答案:C解析:若K2≥6.635,咱们有99%的把握以为抽烟与患肺病有关系,不表示有99%的可能患有肺病,也不表示在100个抽烟的人中必有99人患有肺病,故①不正确.也不表示某人抽烟,那么他有99%的可能患有肺病,故②不正确,假设从统计量中求出有95%是抽烟与患肺病的比例,表示有5%的可能性使得推断显现错误,故③正确.7.下表是性别与喜爱足球与否的统计列联表,依据表中的数据,取得( ).A.K2=9.564B.K2=3.564C.K2<2.706D.K2>3.841答案:D解析:由K2=,得K2的观测值k=≈4.722>3.841.8.为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系,某研究机构随机抽取了60名高中生,通过问卷调查,取得以下数据:由以上数据,计算取得K2的观测值≈9643,依照临界值表,以下说法正确的选项是( ).A.没有充沛的理由以为课外阅读量大与作文成绩优秀有关B.有0.5%的把握以为课外阅读量大与作文成绩优秀有关C.有99.9%的把握以为课外阅读量大与作文成绩优秀有关D.有99.5%的把握以为课外阅读量大与作文成绩优秀有关答案:D解析:依照临界值表,9.643>7.879,在犯错误的概率不超过0.005的前提下,以为课外阅读量大与作文成绩优秀有关,即有99.5%的把握以为课外阅读量大与作文成绩优秀有关.二、填空题(每题6分,共18分)9.对具有线性相关关系的变量x和y,由测得的一组数据已求得回归直线的斜率为6.5,且恒过(2,3)点,那么这条回归直线的方程为.答案:=-10+6.5x解析:设回归直线方程为=kx+,由题知,k=6.5,且直线恒过点(2,3),将(2,3)代入直线方程,得=-10,因此回归方程为=-10+6.5x.10.假设一组观测值(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n)之间知足y i=bx i+a+e i(i=1,2,…,n),假设e i恒为0,那么R2为. 答案:1解析:e i恒为0,说明随机误差总为0,于是y i=,故R2=1.11.对196个同意心脏搭桥手术的病人和196个同意血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究,调查他们是不是又发作过心脏病,调查结果如下表所示:试依照上述数据计算K2=,?(填“能”或“不能”).答案:1.78 不能解析:提出假设H0:两种手术对病人又发作心脏病的阻碍没有不同.依照列联表中的数据,能够求得K2的观测值k=≈1.78.当H0成立时,K2≈1.78,而K2<2.072的概率为0.85.因此,不可否定假设H0.也确实是不能作出这两种手术对病人又发作心脏病的阻碍有不同的结论.三、解答题(共34分)12.(10分)为了比较注射A,B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,选200只家兔做实验,将这200只家兔随机地分成两组,每组100只,其中一组注射药物A,另一组注射药物B.下表1和表2别离是注射药物A和药物B后的实验结果.(疱疹面积单位:mm2)表1:注射药物A后皮肤疱疹面积的频数散布表表2:注射药物B完成下面2×2列联表,B后的疱疹面积有不同”.表3:解:疱疹面积小于70mm2疱疹面积不小于70总计由列联表中的数据,得K2k=≈24.561>10.828.因此,有99.9%的把握以为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有不同”.13.(12分)(2021课标全国Ⅱ高考)某地域2007年至2021年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如下表:(1)求y关于t(2)利用(1)中的回归方程,分析2007年至2021年该地域农村居民家庭人均纯收入的转变情形,并预测该地域2021年农村居民家庭人均纯收入.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估量公式别离为:.解:(1)由所给数据计算得(1+2+3+4+5+6+7)=4,(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,(t i-)2=9+4+1+0+1+4+9=28,(t i-)(y i-)=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,=0.5,=4.3-0.5×4=2.3,所求回归方程为=0.5t+2.3.(2)由(1)知,=0.5>0,故2007年至2021年该地域农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每一年增加0.5千元.将2021年的年份代号t=9代入(1)中的回归方程,得=0.5×9+2.3=6.8,故预测该地域2021年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.14.(12分)某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”,每班50人.陈教师采纳A,B两种不同的教学方式别离在甲、乙两个班级进行教改实验.为了了解教学成效,期末考试后,陈教师别离从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,作出茎叶图如下.记成绩不低于90分者为“成绩优秀”.(1)在乙班样本中的20个个体中,从不低于86分的成绩中随机抽取2个,求抽出的两个均“成绩优秀”的概率;(2)由以上统计数据填写下面列联表,并判定是不是有90%的把握以为:“成绩优秀”与教学方式有关.(附:K2=,其中n=a+b+c+d.)解:(1)设“抽出的两个均成绩优秀为事件从不低于86分的成绩中随机抽取2个的大体事件个数为=15,而事件A包括的大体事件个数为=10,因此所求概率为P(A)=.(2)由已知数据得依照列联表中数据,得K2=≈3.137.由于3.137>2.706,因此有90%的把握以为“成绩优秀”与教学方式有关.。

高中数学人教版选修2-3(理科) 第一章计数原理1.2.2组合A卷(练习)

高中数学人教版选修2-3（理科）第一章计数原理1.2.2组合A卷（练习）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）三层书架，上层有10本不同的语文书，中层有9本不同的数学书，下层有8本不同的英语书，从书架上任取两本不同学科的书，不同取法共有（）A . 245种B . 242种C . 54种D . 27种2. （2分）从4种不同的蔬菜品种中选出3种，分别种在3块不同的土质的土地上进行试验，共有种植方法数为（）A .B .C .D .3. （2分）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一班，则不同分法的种数为（）A . 18B . 24C . 30D . 364. （2分）(2018·朝阳模拟) 某单位安排甲、乙、丙、丁名工作人员从周一到周五值班,每天有且只有人值班每人至少安排一天且甲连续两天值班,则不同的安排方法种数为（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高二下·阜平月考) 如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择．要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（）A . 24种B . 48种C . 72种D . 96种6. （2分）设集合A={a1,a2,a3,a4,a5}，记n(A)是ai+aj的不同值的个数，其中且,n(A),的最大值为k，n(A)的最小值为m，则（）A .B .C .D .7. （2分）如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有（）A . 50种B . 51种C . 140种D . 141种8. （2分） (2020高二下·龙江期末) 2020年4月30日，我国的5G信号首次覆盖了海拔8000米的珠穆朗玛峰峰顶和北坡登山路线，为了保证中国登山队珠峰高程测量的顺利直播，现从海拔5300米、5800米和6500米的三个大本营中抽出了4名技术人员，派往北坡登山路线中的3个崎岖路段进行信号检测，每个路段至少安排1名技术人员，则不同的安排方法共有（）A . 72B . 36C . 48D . 54二、填空题 (共3题；共3分)9. （1分） (2020高三上·浙江月考) 从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位偶数.10. （1分） (2020高三上·青浦期末) 某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到、、三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名优教师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有________种11. （1分） (2020高三上·浙江月考) 某地需要安排人员分别在上午、下午、前半夜、后半夜四个时间段值班，要求每班至少含一名民警和一名医务人员，且至少有一名女性，每人值一班.现有民警4人（4男），医务人员6人（5女1男），其中民警甲不排上午，男医生不排上午、下午，则不同的安排方法有________种.三、解答题 (共3题；共30分)12. （5分）设r，s，t为整数，集合{a|a=2r+2s+2t ，0≤t＜s＜r}中的数由小到大组成数列{an}．（1）写出数列{an}的前三项；（2）求a36 ．13. （10分）用这六个数字，完成下面两个小题．（1）若数字不允许重复，可以组成多少个能被整除的且百位数字不是的不同的五位数；（2）若直线方程中的可以从已知的六个数字中任取个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条？14. （15分） (2017高二下·莆田期末) 某校高2010级数学培优学习小组有男生3人女生2人，这5人站成一排留影．（1）求其中的甲乙两人必须相邻的站法有多少种？（2）求其中的甲乙两人不相邻的站法有多少种？（3）求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少种？参考答案一、选择题 (共8题；共16分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：二、填空题 (共3题；共3分)答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：三、解答题 (共3题；共30分)答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、答案：13-2、考点：解析：答案：14-1、答案：14-2、答案：14-3、考点：解析：。

【人教A版】数学《优化方案》选修2-3测试第1章1.2.2第一课时知能优化训练

1．计算C28＋C38＋C29等于()A．120B．240C．60 D．480解析：选A.原式＝C39＋C29＝C310＝120.2．若C7n＋1－C7n＝C8n，则n等于()A．12 B．13C．14 D．15解析：选C.C7n＋1－C7n＝C8n，即C7n＋1＝C8n＋C7n＝C8n＋1，所以n＋1＝7＋8，即n＝14.3．某校一年级有5个班，二年级有8个班，三年级有3个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，总共需进行比赛的场数是()A．C25＋C28＋C23B．C25C28C23C．A25＋A28＋A23D．C216解析：选A.分三类：一年级比赛的场数是C25，二年级比赛的场数是C28，三年级比赛的场数是C23，再由分类加法计数原理可求．4．把8名同学分成两组，一组5人学习电脑，一组3人做生物实验，则不同的安排方法有________种．解析：C38＝56.答案：56一、选择题1．下面几个问题中属于组合问题的是()①由1,2,3,4构成的双元素集合；②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1,2,3构成两位数的方法；④由1,2,3组成无重复数字的两位数的方法．A．①③B．②④C．①②D．①②④答案：C2．已知平面内A、B、C、D这4个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为()A．3 B．4C．12 D．24解析：选B.C34＝4.3．C03＋C14＋C25＋C36＋…＋C1720的值为()A．C321B．C320C．C420D．C421解析：选D.原式＝()C04＋C14＋C25＋C36＋…＋C1720＝()C15＋C25＋C36＋…＋C1720＝(C26＋C36)＋…＋C1720＝C1721＝C21－1721＝C421.4．若A3n＝12C2n，则n等于()A．8 B．5或6C．3或4 D．4解析：选A.A3n＝n(n－1)(n－2)，C2n＝12n(n－1)，∴n(n－1)(n－2)＝6n(n－1)，又n∈N*，且n≥3.解得n＝8.5．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则不同选法的种数为()A．9 B．14C．12 D．15解析：选A.法一：直接法：分两类，第一类张、王两人都不参加，有C44＝1种选法；第二类张、王两人只有1人参加，有C 12C 34＝8种选法．故共有C 44＋C 12×C 34＝9种选法．法二：间接法：C 46－C 24＝9(种)．6．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有( )A ．A 310种B ．C 310种C ．C 310A 310种D ．30种解析：选B.三张票没区别，从10人中选3人即可，即C 310.二、填空题7．若C 13n ＝C 7n ，则C 18n ＝________.解析：∵C 13n ＝C 7n ，∴13＝n －7，∴n ＝20，∴C 1820＝C 220＝190.答案：1908．C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 210＝________.解析：原式＝C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 210＝C 34＋C 24＋…＋C 210＝C 35＋C 25＋…＋C 210＝C 311＝165.答案：1659．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有________________________________________________________________________种．解析：(间接法)共有C 47－C 44＝34种不同的选法．答案：34三、解答题10．若C 4n >C 6n ，求n 的取值集合．解：∵C 4n >C 6n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ C 4n >C 6n n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧ n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧ n 2－9n －10<0n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6. ∵n ∈N *，∴n ＝6、7、8、9，∴n 的集合为{6,7,8,9}．11．要从6男4女中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？(1)甲当选且乙不当选；(2)至少有1女且至多有3男当选．解：(1)甲当选且乙不当选，∴只需从余下的8人中任选4人，有C 48＝70种选法．(2)至少有1女且至多有3男时，应分三类：第一类是3男2女，有C 36C 24种选法；第二类是2男3女，有C 26C 34种选法；第三类是1男4女，有C 16C 44种选法．由分类计数原理知，共有C 36C 24＋C 26C 34＋C 16C 44＝186种选法．12．现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查．(1)正品A 被抽到有多少种不同的抽法？(2)恰有一件是次品的抽法有多少种？(3)至少一件是次品的抽法有多少种？解：(1)C 29＝9×82＝36(种)． (2)从2件次品中任取1件有C 12种方法，从8件正品中取2件有C 28种方法，由分步乘法计数原理，不同的抽法共有C 12×C 28＝2×8×72＝56(种)． (3)法一：含1件次品的抽法有C 12C 28种，含2件次品的抽法有C 22×C 18种，由分类加法计数原理，不同的抽法共有C12×C28＋C22×C18＝56＋8＝64(种)．法二：从10件产品中任取3件的抽法为C310种，不含次品的抽法有C38种，所以至少1件次品的抽法为C310－C38＝64(种)．高∴考≧试∠题]库。

人教a版高中数学选修2-3全册同步测控知能训练题集含答案

人教A版高中数学选修2-3全册知能训练目录第1章1.1知能优化训练第1章1.2.1第一课时知能优化训练第1章1.2.1第二课时知能优化训练第1章1.2.2第一课时知能优化训练第1章1.2.2第二课时知能优化训练第1章1.3.1知能优化训练第1章1.3.2知能优化训练第2章2.1.1知能优化训练第2章2.1.2知能优化训练第2章2.2.1知能优化训练第2章2.2.2知能优化训练第2章2.2.3知能优化训练第2章2.3.1知能优化训练第2章2.3.2知能优化训练第2章2.4知能优化训练第3章3.1知能优化训练第3章3.2知能优化训练1．从A 地到B 地要经过C 地和D 地，从A 地到C 地有3条路，从C 地到D 地有2条路，从D 地到B 地有4条路，则从A 地到B 地不同走法的种数是( )A ．3＋2＋4＝9B ．1C ．3×2×4＝24D ．1＋1＋1＝3解析：选C.由题意从A 地到B 地需过C 、D 两地，实际就是分三步完成任务，用乘法原理．2．某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有( )A ．3种B ．6种C ．7种D ．9种解析：选C.分3类：买1本书，买2本书和买3本书，各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7(种)．3．(2011年高考课标全国卷)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A.甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3＝9(种)，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3(种)．故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率P ＝39＝13. 4．将3封信投入6个信箱内，不同的投法有________种．解析：第1封信有6种投法，第2、第3封信也分别有6种投法，因此共有6×6×6＝216种投法．答案：216一、选择题1．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )A ．7B ．12C ．64D ．81解析：选B.要完成配套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故共有4×3＝12种不同的配法．2．从A 地到B 地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法为( )A ．1＋1＋1＝3B ．3＋4＋2＝9C ．3×4×2＝24D ．以上都不对答案：B3．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有不同的行车路线( )A ．24种B ．16种C ．12种D ．10种解析：选C.完成该任务可分为四类，从每一个方向入口都可作为一类，如图：从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类加法计数原理可得共有3＋3＋3＋3＝12种不同的行车路线，故选C.4．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有() A．30个B．42个C．36个D．35个解析：选C.第一步取b的数，有6种方法，第二步取a的数，也有6种方法，根据乘法计数原理，共有6×6＝36种方法．5．从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为直线Ax＋By＝0的系数，则形成不同的直线最多有()A．18条B．20条C．25条D．10条解析：选A.第一步取A的值，有5种取法，第二步取B的值有4种取法，其中当A＝1，B＝2时，与A＝2，B＝4时是相同的；当A＝2，B＝1时，与A＝4，B＝2时是相同的，故共有5×4－2＝18(条)．6．用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()A．36个B．18个C．9个D．6个解析：选B.分3步完成，1,2,3这三个数中必有某一个数字被使用2次．第1步，确定哪一个数字被使用2次，有3种方法；第2步，把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上有3种方法；第3步，将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置上，有2种方法．故有3×3×2＝18个不同的四位数．二、填空题7．加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3人每人做一道工序，则选法有________种．解析：选第一、第二、第三道工序各一人的方法数依次为5、6、4，由分步乘法计数原理知，选法总数为N＝5×6×4＝120.答案：1208．如图是某校的校园设施平面图，现用不同的颜色作为各区域的底色，为了便于区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色．若有6种不同的颜色可选，则有________种不同的着色方案．解析：操场可从6种颜色中任选1种着色；餐厅可从剩下的5种颜色中任选1种着色；宿舍区和操场、餐厅颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色；教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色．根据分步乘法计数原理，共有6×5×4×4＝480种着色方案．答案：4809．从1,2,3,4,7,9六个数中，任取两个数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值的个数为________．解析：(1)当取1时，1只能为真数，此时对数的值为0.(2)不取1时，分两步：①取底数，5种；②取真数，4种．其中log23＝log49，log32＝log94，log24＝log39，log42＝log93，∴N＝1＋5×4－4＝17.答案：17三、解答题10．8张卡片上写着0,1,2，…，7共8个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？解：先排放百位，从1,2，…，7共7个数中选一个有7种选法；再排十位，从除去百位的数外，剩余的7个数(包括0)中选一个，有7种选法；最后排个位，从除前两步选出的数外，剩余的6个数中选一个，有6种选法．由分步乘法计数原理，共可以组成7×7×6＝294个不同的三位数．11．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法？解：若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2×1＝6种不同种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2×1＝6(种)．故不同的种植方法共有6×3＝18(种)．12．某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．(1)选其中一人为学生会主席，有多少种不同的选法？(2)若每年级选1人为校学生会常委成员，有多少种不同的选法？(3)若要选出不同年级的两人分别参加市里组织的两项活动，有多少种不同的选法？解：(1)分三类：第一类，从高一年级选一人，有5种选择；第二类，从高二年级选一人，有6种选择；第三类，从高三年级选一人，有4种选择．由分类加法计数原理，共有5＋6＋4＝15种选法．(2)分三步完成：第一步，从高一年级选一人，有5种选择；第二步，从高二年级选一人，有6种选择；第三步，从高三年级选一人，有4种选择．由分步乘法计数原理，共有5×6×4＝120种选法．(3)分三类：高一、高二各一人，共有5×6＝30种选法；高一、高三各一人，共有5×4＝20种选法；高二、高三各一人，共有6×4＝24种选法；由分类加法计数原理，共有30＋20＋24＝74种选法．1．用1,2,3,4,5这5个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数共有()A．30个B．36个C．40个D．60个解析：选B.分2步完成：个位必为奇数，有A13种选法；从余下的4个数中任选2个排在三位数的百位、十位上，有A24种选法．由分步乘法计数原理，共有A13×A24＝36个无重复数字的三位奇数．2．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为()A．720 B．144C．576 D．684解析：选C.(间接法)甲、乙、丙三人在一起的排法种数为A44×A33；不考虑任何限制，6人的全排列有A66.∴符合题意的排法种数为：A66－A44×A33＝576.3．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法种数为()A．42 B．30C．20 D．12解析：选A.分两类：①两个新节目相邻的插法有6A22种；②两个新节目不相邻的插法有A26种．故N＝6×2＋6×5＝42.4．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小口袋中，若不允有空袋，且红口袋中不能装入红球，则有______种不同的放法．解析：先装红球，且每袋一球，所以有A14×A44＝96(种)．答案：96一、选择题1．高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是()A．1800 B．3600C．4320 D．5040解析：选B.利用插空法，先将4个音乐节目和1个曲艺节目全排列有A55种，然后从6个空中选出2个空将舞蹈节目全排列有A26种，所以共有A55A26＝3600(种)．故选B.2．某省有关部门从6人中选4人分别到A、B、C、D四个地区调研十二五规划的开局形势，要求每个地区只有一人，每人只去一个地区，且这6人中甲、乙两人不去A地区，则不同的安排方案有()A．300种B．240种C．144种D．96种解析：选B.A地区有A14种方法，其余地区有A35种方法，共有A14A35＝240(种)．3．用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有() A．48个B．36个C．24个D．18个解析：选B.个位数字是2的有3A33＝18(个)，个位数字是4的有3A33＝18(个)，所以共有36个．4．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()A．A88A29B．A88A210C．A88A27D．A88A26解析：选A.运用插空法，8名学生间共有9个空隙(加上边上空隙)，先把老师排在9个空隙中，有A29种排法，再把8名学生排列，有A88种排法，共有A88×A29种排法．5．五名男生与两名女生排成一排照相，如果男生甲必须站在中间，两名女生必须相邻，符合条件的排法共有()A．48种B．192种C．240种D．288种解析：选B.(用排除法)将两名女生看作1人，与四名男生一起排队，有A55种排法，而女生可互换位置，所以共有A55×A22种排法，男生甲插入中间位置，只有一种插法；而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有A22×A44(种)，这时男生甲若插入中间位置不符合题意，故符合题意的排列总数为A55×A22－A44×A22＝192.6．由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是() A．36 B．32C．28 D．24解析：选A.分类：①若5在首位或末位，共有2A12×A33＝24(个)；②若5在中间三位，共有A13×A22×A22＝12(个)．故共有24＋12＝36(个)．二、填空题7．5人站成一排，甲必须站在排头或排尾的不同站法有________种．解析：2A44＝48.答案：488．3个人坐8个位置，要求每人的左右都有空位，则有________种坐法．解析：第一步：摆5个空位置，○○○○○；第二步：3个人带上凳子插入5个位置之间的四个空，有A34＝24(种)，故有24种不同坐法．答案：249．5名大人要带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头、尾，则共有________种排法(用数字作答)．解析：先让5名大人全排列有A55种排法，两个小孩再依条件插空有A24种方法，故共有A55A24＝1440种排法．答案：1440三、解答题10．7名班委中有A、B、C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．(1)若正、副班长两职只能从A、B、C三人中选两人担任，有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职至少要选A、B、C三人中的一人担任，有多少种分工方案？解：(1)先排正、副班长有A23种方法，再安排其余职务有A55种方法，依分步计数原理，共有A23A55＝720种分工方案．(2)7人中任意分工方案有A77种，A、B、C三人中无一人任正、副班长的分工方案有A24 A55种，因此A、B、C三人中至少有一人任正、副班长的方案有A77－A24A55＝3600(种)．11．用0,1,2,3,4,5这六个数字：(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？(3)能组成多少个无重复数字的比1325大的四位数？解：(1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时，有A 35个；第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5中选定1个有A 14种，十位和百位从余下的数字中选，有A 24种，于是有A 14×A 24(个)；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A 14×A 24(个)．由分类加法计数原理得：共有A 35＋2A 14×A 24＝156(个)．(2)为5的倍数的五位数可分为两类：第一类：个位上为0的五位数有A 45个；第二类：个位上为5的五位数有A 14×A 34(个)，故满足条件的五位数共有A 45＋A 14×A 34＝216(个)．(3)比1325大的四位数可分为三类：第一类：形如2，3 ，4 ，5 ，共有A 14×A 35(个)；第二类：形如14 ，15 ，共有A 12×A 24(个)；第三类：形如134 ，135 ，共有A 12×A 13(个)．由分类加法计数原理可得，比1325大的四位数共有：A 14×A 35＋A 12×A 24＋A 12×A 13＝270(个)．12．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？(1)两名女生必须相邻而站；(2)4名男生互不相邻；(3)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站；(4)老师不站中间，女生不站两端．解：(1)2名女生站在一起有站法A 22种，视为一种元素与其余5人全排，有A 66种排法，所以有不同站法A 22×A 66＝1440(种)．(2)先站老师和女生，有站法A 33种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法A 44种，所以共有不同站法A 33×A 44＝144(种)．(3)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A 44种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法2×A 77A 44＝420(种)． (4)中间和两侧是特殊位置，可分类求解如下：①老师站在两侧之一，另一侧由男生站，有A 12×A 14×A 55种站法；②两侧全由男生站，老师站除两侧和正中的另外4个位置之一，有A 14×A 24×A 44种站法，所以共有不同站法A 12×A 14×A 55＋A 14×A 24×A 44＝960＋1152＝2112(种)．1．5A35＋4A24＝()A．107B．323C．320 D．348解析：选D.原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.2．4×5×6×…·(n－1)·n等于()A．A4n B．A n－4nC．n！－4! D．A n－3n解析：选D.原式可写成n·(n－1)·…×6×5×4，故选D.3．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()A．36 B．120C．720 D．240解析：选C.排法种数为A66＝720.4．下列问题属于排列问题的是________．①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算．解析：①选出的2人有不同的劳动内容，相当于有顺序．②选出的2人劳动内容相同，无顺序．③5人一组无顺序．④选出的两个数作为底数或指数其结果不同，有顺序．答案：①④一、选择题1．甲、乙、丙三地客运站，需要准备在甲、乙、丙三地之间运行的车票种数是() A．1 B．2C．3 D．6解析：选D.A23＝6.2．已知A2n＋1－A2n＝10，则n的值为()A．4 B．5C．6 D．7解析：选B.由A2n＋1－A2n＝10，得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5.3．从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送法种数是() A．5 B．10C．20 D．60解析：选C.A25＝20.4．将3张不同的电影票分给10人中的3人，每人一张，则不同的分法种数是() A．2160 B．720C．240 D．120解析：选B.A310＝10×9×8＝720.5．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有车站数是()A．8 B．12C．16 D．24解析：选B.设车站数为n，则A2n＝132，n(n－1)＝132，∴n ＝12.6．S ＝1！＋2！＋3！＋…＋99！，则S 的个位数字为( )A ．0B ．3C ．5D ．7解析：选B.∵1！＝1,2！＝2,3！＝6,4！＝24,5！＝120,6！＝720，…∴S ＝1！＋2！＋3！＋…＋99！的个位数字是3.二、填空题7．若A m 10＝10×9×…×5，则m ＝________.解析：10－m ＋1＝5，得m ＝6.答案：68．A n ＋32n ＋A n ＋14＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ n ＋3≤2n ，n ＋1≤4，n ∈N *，得n ＝3， ∴A n ＋32n ＋A n ＋14＝6！＋4！＝744. 答案：7449．甲、乙、丙、丁四人轮读同一本书，则甲首先读的安排方法有________种．解析：甲在首位，相当于乙、丙、丁全排，即3！＝3×2×1＝6.答案：6三、解答题10．解不等式：A x 9>6A x －29.解：原不等式可化为9！(9－x )！>6·9！(9－x ＋2)！，其中2≤x ≤9，x ∈N *，∴(11－x )(10－x )>6，即x 2－21x ＋104>0，∴(x －8)(x －13)>0，∴x <8或x >13.又∵2≤x ≤9，x ∈N *，∴2≤x <8，x ∈N *.故x ＝2,3,4,5,6,7.11．解方程3A x 8＝4A x －19.解：由3A x 8＝4A x －19得3×8！(8－x )！＝4×9！(10－x )！. ∴3×8！(8－x )！＝4×9×8！(10－x )(9－x )(8－x )！. 化简得：x 2－19x ＋78＝0，解得x 1＝6，x 2＝13.∵x ≤8，且x －1≤9，∴原方程的解是x ＝6.12．判断下列问题是否为排列问题．(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．解：(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题；(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；(3)、(4)不存在顺序问题，不属于排列问题；(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)、(5)、(6)属于排列问题．1．编号为1、2、3、4、5、6、7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有( )A ．60种B ．20种C ．10种D ．8种解析：选C.四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入3盏亮灯，即C 35＝10.2．某中学要从4名男生和3名女生中选4人参加公益劳动，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有( )A ．25种B ．35种C ．820种D ．840种解析：选A.分3类完成：男生甲参加，女生乙不参加，有C 35种选法；男生甲不参加，女生乙参加，有C 35种选法；两人都不参加，有C 45种选法．所以共有2C 35＋C 45＝25(种)不同的选派方案．3．(2010年高考大纲全国卷Ⅰ)某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )A ．30种B ．35种C ．42种D ．48种解析：选A.法一：可分两种互斥情况：A 类选1门，B 类选2门或A 类选2门，B 类选1门，共有C 13C 24＋C 23C 14＝18＋12＝30种选法．法二：总共有C 37＝35种选法，减去只选A 类的C 33＝1(种)，再减去只选B 类的C 34＝4(种)，故有30种选法．4．(2011年高考江苏卷)从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．解析：从1,2,3,4中任取两个数的组合个数为C 24＝6，满足一个数是另一个数两倍的组合为{1,2}，{2,4}，故P ＝26＝13.答案：13一、选择题1．9名会员分成三组讨论问题，每组3人，共有不同的分组方法种数为( )A ．C 39C 36B ．A 39A 36C.C 39C 36A 33 D ．A 39A 36A 33 解析：选C.此为平均分组问题，要在分组后除以三组的排列数A 33.2．5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少1本，不同的分法种数有( ) A ．480 B ．240 C ．120 D ．96 解析：选B.先把5本书中两本捆起来，再分成4份即可，∴分法数为C 25A 44＝240.3．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )A ．14B ．24C ．28D ．48解析：选A.6人中选4人的方案有C 46＝15(种)，没有女生的方案只有一种，所以满足要求的方案总数有14种．4．已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有( ) A ．36个 B ．72个 C ．63个 D ．126个解析：选D.此题可化归为：圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有C 49＝126(个)．5．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种解析：选B.先将1,2捆绑后放入信封中，有C 13种方法，再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中，有C 24C 22种方法，所以共有C 13C 24C 22＝18种方法．6．如图所示的四棱锥中，顶点为P ，从其他的顶点和各棱中点中取3个，使它们和点P 在同一平面内，不同的取法种数为( )A ．40B ．48C ．56D ．62解析：选C.满足要求的点的取法可分为3类：第1类，在四棱锥的每个侧面上除点P 外任取3点，有4C 35种取法；第2类，在两个对角面上除点P 外任取3点，有2C 34种取法；第3类，过点P 的四条棱中，每一条棱上的两点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面，有4C 12种取法．所以，满足题意的不同取法共有4C 35＋2C 34＋4C 12＝56(种)．二、填空题7．在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有三件是次品的抽法共有________种．解析：分两类，有4件次品的抽法为C 44C 146(种)；有三件次品的抽法有C 34C 246(种)，所以共有C 44C 146＋C 34C 246＝4186种不同的抽法．答案：41868．某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4个运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法数为________．解析：先抽取4对老搭档运动员，再从每对老搭档运动员中各抽1人，故有C 45C 12C 12C 12C 12＝80(种)．答案：809．2011年3月10日是第六届世界肾脏日，某社区服务站将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传这届肾脏日的主题：“保护肾脏，拯救心脏”，不同的分配方案有________种．(用数字作答)解析：分配方案有C 25C 23C 11A 22×A 33＝10×3×62＝90(种)．答案：90三、解答题 10．四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？解：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1,1,2，实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法有C 14C 13C 22A 22(种)，然后将这三组再加上一个空盒进行全排列，即共有C 14C 13C 22A 22·A 44＝144(种)． 11．要从7个班中选10人参加数学竞赛，每班至少1人，共有多少种不同的选法？解：法一：共分三类：第一类：一个班出4人，其余6个班各出1人，有C 17种；第二类：有2个班分别出2人，3人，其余5个班各出1人，有A 27种；第三类：有3个班各出2人，其余4个班各出1人，有C 37种，故共有C 17＋A 27＋C 37＝84(种)．法二：将10人看成10个元素，这样元素之间共有9个空(两端不计)，从这9个空中任选6个(即这6个位置放入隔板，将其分为七部分)，有C 69＝84种放法．故共有84种不同的选法．12．如图，在以AB 为直径的半圆周上，有异于A 、B 的六个点C 1、C 2、C 3、C 4、C 5、C 6，直径AB 上有异于A 、B 的四个点D 1、D 2、D 3、D 4.(1)以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个？其中含C 1点的有多少个？ (2)以图中的12个点(包括A 、B )中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？解：(1)可分三种情况处理：①C 1、C 2、…、C 6这六个点任取三点可构成一个三角形；②C 1、C 2、…、C 6中任取一点，D 1、D 2、D 3、D 4中任取两点可构成一个三角形； ③C 1、C 2、…、C 6中任取两点，D 1、D 2、D 3、D 4中任取一点可构成一个三角形．∴C 36＋C 16C 24＋C 26C 14＝116(个)．其中含C 1点的三角形有C 25＋C 15·C 14＋C 24＝36(个)． (2)构成一个四边形，需要四个点，且无三点共线，∴共有C 46＋C 36C 16＋C 26C 26＝360(个)．1．计算C 28＋C 38＋C 29等于() A ．120 B ．240C ．60D ．480解析：选A.原式＝C 39＋C 29＝C 310＝120.2．若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15解析：选C.C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，即C 7n ＋1＝C 8n ＋C 7n ＝C 8n ＋1，所以n ＋1＝7＋8，即n ＝14. 3．某校一年级有5个班，二年级有8个班，三年级有3个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，总共需进行比赛的场数是( )A ．C 25＋C 28＋C 23B ．C 25C 28C 23C ．A 25＋A 28＋A 23 D ．C 216解析：选A.分三类：一年级比赛的场数是C 25，二年级比赛的场数是C 28，三年级比赛的场数是C 23，再由分类加法计数原理可求．4．把8名同学分成两组，一组5人学习电脑，一组3人做生物实验，则不同的安排方法有________种．解析：C 38＝56. 答案：56一、选择题1．下面几个问题中属于组合问题的是( )①由1,2,3,4构成的双元素集合；②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1,2,3构成两位数的方法；④由1,2,3组成无重复数字的两位数的方法．A ．①③B ．②④C ．①②D ．①②④ 答案：C2．已知平面内A 、B 、C 、D 这4个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为( )A ．3B ．4C ．12D ．24解析：选B.C 34＝4.3．C 03＋C 14＋C 25＋C 36＋…＋C 1720的值为( ) A ．C 321 B ．C 320C ．C 420 D ．C 421 解析：选D.原式＝()C 04＋C 14＋C 25＋C 36＋…＋C 1720 ＝()C 15＋C 25＋C 36＋…＋C 1720＝(C 26＋C 36)＋…＋C 1720＝C 1721＝C 21－1721＝C 421. 4．若A 3n ＝12C 2n ，则n 等于( ) A ．8 B ．5或6 C ．3或4 D ．4解析：选A.A 3n ＝n (n －1)(n －2)，C 2n ＝12n (n －1)，∴n (n －1)(n －2)＝6n (n －1)，又n ∈N *，且n ≥3.解得n ＝8.5．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则不同选法的种数为( )A ．9B ．14C ．12D ．15解析：选A.法一：直接法：分两类，第一类张、王两人都不参加，有C 44＝1种选法；第二类张、王两人只有1人参加，有C 12C 34＝8种选法．故共有C 44＋C 12×C 34＝9种选法．法二：间接法：C 46－C 24＝9(种)．6．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有( ) A ．A 310种 B ．C 310种C ．C 310A 310种D ．30种解析：选B.三张票没区别，从10人中选3人即可，即C 310. 二、填空题7．若C 13n ＝C 7n ，则C 18n ＝________.解析：∵C 13n ＝C 7n ，∴13＝n －7，∴n ＝20， ∴C 1820＝C 220＝190. 答案：1908．C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 210＝________. 解析：原式＝C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 210＝C 34＋C 24＋…＋C 210＝C 35＋C 25＋…＋C 210＝C 311＝165. 答案：1659．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有________________________________________________________________________种．解析：(间接法)共有C 47－C 44＝34种不同的选法．答案：34 三、解答题10．若C 4n >C 6n ，求n 的取值集合．解：∵C 4n >C 6n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n n ≥6⇒⎩⎨⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！n ≥6⇒⎩⎨⎧ n 2－9n －10<0n ≥6⇒⎩⎨⎧－1<n <10，n ≥6.∵n ∈N *，∴n ＝6、7、8、9，∴n 的集合为{6,7,8,9}．11．要从6男4女中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？ (1)甲当选且乙不当选；(2)至少有1女且至多有3男当选．解：(1)甲当选且乙不当选，∴只需从余下的8人中任选4人，有C 48＝70种选法．(2)至少有1女且至多有3男时，应分三类：第一类是3男2女，有C 36C 24种选法；第二类是2男3女，有C 26C 34种选法；第三类是1男4女，有C 16C 44种选法．由分类计数原理知，共有C 36C 24＋C 26C 34＋C 16C 44＝186种选法． 12．现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查． (1)正品A 被抽到有多少种不同的抽法？ (2)恰有一件是次品的抽法有多少种？ (3)至少一件是次品的抽法有多少种？解：(1)C 29＝9×82＝36(种)．(2)从2件次品中任取1件有C 12种方法，从8件正品中取2件有C 28种方法，由分步乘法计数原理，不同的抽法共有C 12×C 28＝2×8×72＝56(种)． (3)法一：含1件次品的抽法有C 12C 28种，含2件次品的抽法有C 22×C 18种，由分类加法计数原理，不同的抽法共有C 12×C 28＋C 22×C 18＝56＋8＝64(种)．法二：从10件产品中任取3件的抽法为C 310种，不含次品的抽法有C 38种，所以至少1件次品的抽法为C 310－C 38＝64(种)．1．(x ＋2)6的展开式中x 3的系数是( ) A ．20 B ．40 C ．80 D ．160解析：选D.法一：设含x 3的为第r ＋1项，则T r ＋1＝C r n x6－r ·2r，令6－r ＝3，得r ＝3，故展开式中x 3的系数为C 36×23＝160.法二：根据二项展开式的通项公式的特点：二项展开式每一项中所含的x 与2分得的次数和为6，则根据条件满足条件x 3的项按3与3分配即可，则展开式中x 3的系数为C 36×23＝160.2．(2x －12x)6的展开式的常数项是( )A ．20B ．－20C ．40D ．－40解析：选B.由题知(2x －12x )6的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 626－2r x 6－2r，令6－2r ＝0得r ＝3，故常数项为(－1)3C 36＝－20.3．1.056的计算结果精确到0.01的近似值是( ) A ．1.23 B ．1.24 C ．1.33 D ．1.34解析：选 D.1.056＝(1＋0.05)6＝C 06＋C 16×0.05＋C 26×0.052＋C 36×0.053＋…＝1＋0.3＋0.0375＋0.0025＋…≈1.34.4．(2011年高考浙江卷)设二项式⎝⎛⎭⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数是A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则a 的值是________．解析：A ＝C 26(－a )2，B ＝C 46(－a )4，由B ＝4A 知，4C 26(－a )2＝C 46(－a )4，解得a ＝±2. 又∵a >0，∴a ＝2. 答案：2一、选择题1．在(1－x )5－(1－x )6的展开式中，含x 3的项的系数是( ) A ．－5 B ．5 C ．－10 D ．10解析：选D.(1－x )5中x 3的系数－C 35＝－10，－(1－x )6中x 3的系数为－C 36·(－1)3＝20，故(1－x )5－(1－x )6的展开式中x 3的系数为10.2．(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数是( ) A ．840 B ．－840 C ．210 D ．－210解析：选A.在通项公式T r ＋1＝C r 10(－2y )r x10－r 中，令r ＝4，即得(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数为C 410·(－2)4＝840.3．(2010年高考陕西卷)⎝⎛⎭⎫x ＋ax 5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．1D ．2解析：选D.由二项式定理，得T r ＋1＝C r 5x 5－r ·⎝⎛⎭⎫a x r ＝C r 5·x 5－2r ·a r ，∴5－2r ＝3，∴r ＝1，∴C 15·a ＝10，∴a ＝2.4．若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( ) A ．x ＝4，n ＝3 B ．x ＝4，n ＝4 C ．x ＝5，n ＝4 D ．x ＝6，n ＝5解析：选C.由C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n－1，分别将选项A 、B 、C 、D 代入检验知，仅有C 适合．5.⎝⎛⎭⎫x －13x 10的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．6解析：选B.T r ＋1＝C r 10x 10－r 2·⎝⎛⎭⎫－13r ·x －r ＝C r 10⎝⎛⎭⎫－13r ·x 10－3r2.若是正整数指数幂，则有10－3r2为正整数，∴r 可以取0,2，∴项数为2.6．(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－2 C ．2 D ．4解析：选C.(1＋2x )3(1－3x )5＝(1＋6x 12＋12x ＋8x 32)·(1－5x 13＋10x 23－10x ＋5x 43－x 53)，x的系数是－10＋12＝2.二、填空题 7.⎝⎛⎭⎪⎫2－13x 6的展开式中的第四项是________．解析：T 4＝C 3623⎝⎛⎭⎪⎫－13x 3＝－160x .答案：－160x8．若(x ＋a )5的展开式中的第四项是10a 2(a 为大于0的常数)，则x ＝________.解析：∵T 4＝C 35(x )2·a 3＝10x ·a 3. ∴10xa 3＝10a 2(a >0)，∴x ＝1a.答案：1a9．(2010年高考辽宁卷)(1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎫x －1x 6的展开式中的常数项为__________．解析：(1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎫x －1x 6＝(1＋x ＋x 2)[ C 06x 6⎝⎛⎭⎫－1x 0＋C 16x 5⎝⎛⎭⎫－1x 1＋C 26x 4⎝⎛⎭⎫－1x 2＋C 36x 3⎝⎛⎭⎫－1x 3。

步步高导学设计高中数学人教A版选修2-3配套练习1.2.2组合(二)(含答案详析)

组合(二)一、基础过关1．凸十边形的对角线的条数为() A． 10B．35C． 45D． 902．在直角坐标系xOy 平面上，平行直线x＝ m(m＝ 0,1,2,3,4)，与平行直线y＝ n(n＝ 0,1,2,3,4)构成的图形中，矩形共有()A．25 个B．100 个C． 36个D． 200 个3．某班级要从 4 名男生、 2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，假如要求起码有 1 名女生，那么不一样的选派方案种数为()A． 14B．24C． 28D． 48 4．现有 16 张不一样的卡片，此中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张，从中任取 3 张，要求这 3 张卡片不可以是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张，不一样取法的种数为()A． 232B．252C． 472D． 484 5．在 50 件产品中有 4 件是次品，从中随意抽出5件，起码有 3 件是次品的抽法共有 ___种．6．某运动队有 5 对老搭档运动员，现抽派 4 个运动员参加比赛，则这 4 人都不是老搭档的抽派方法数为 ________．二、能力提高7．编号为 1、2、 3、4、5、6、7 的七盏路灯，夜晚用时只亮三盏灯，且随意两盏亮灯不相邻，则不一样的开灯方案有()A．60 种B．20 种C．10 种D．8 种8．已知圆上 9 个点，每两点连一线段，全部线段在圆内的交点有() A．36 个B．72 个C． 63个D． 126 个9．将 7 名学生疏派到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍起码安排两名学生，那么互不同样的分配方案共有()A． 252 种B．112 种C． 20种D．56 种10．空间有10 个点，此中有 5 个点共面 (除此以外再无 4 点共面 )，以每 4 个点为极点作一个四周体，一共可作 ________个四周体． (用数字作答 )11 ．在某次数字测验中，记座号为n(n ＝ 1,2,3,4) 的同学的考试成绩为f(n) ．若 f(n)∈{70,85,88,90,98,100} ，且知足 f(1)< f(2) ≤f(3)< f(4) ，则这 4 位同学考试成绩的全部可能有 ________种．12．在一次数学比赛中，某学校有12人经过了初试，学校要从中选出 5 人去参加市级培训，在以下条件下，有多少种不一样的选法？(1)随意选 5 人；(2)甲、乙、丙三人一定参加；(3)甲、乙、丙三人不可以参加；(4)甲、乙、丙三人只好有 1 人参加；(5)甲、乙、丙三人起码 1 人参加．三、研究与拓展13．将 1,2,3，， 9 这 9 个数字填在如下图的九个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下挨次增大．当3,4 固定在图中地点时，所填写空格的方法有()A．6种B．12 种C．18 种D．24 种答案1． B 2.B 3.A4． C5． 4 186 6． 80 7.C 8． D 9． B 10． 205 11． 3512．解(1)C125＝792(种 )不一样的选法．(2)甲、乙、丙三人一定参加，只要从此外的9 人中选 2 人，共有 C92＝36(种 )不一样的选法．(3)甲、乙、丙三人不可以参加，只要从此外的9 人中选 5 人，共有 C95＝ 126( 种 )不一样的选法．(4)甲、乙、丙三人只好有 1 人参加，分两步，先从甲、乙、丙中选 1 人，有 C31＝ 3(种 )选法，再从此外的9 人中选 4 人有 C94种选法，共有 C31C94＝ 378(种 )不一样的选法．(5)方法一( 直接法 )可分为三类：第一类：甲、乙、丙中有 1 人参加，共有C31C94种；第二类：甲、乙、丙中有 2 人参加，共有C32C93种；第三类：甲、乙、丙 3 人均参加，共有 C33C92种．142332共有 C3C9＋ C3C9＋ C3C9＝ 666( 种 )不一样的选法．方法二(间接法 )12 人中随意选 5 人共有 C125种，甲、乙、丙三人不可以参加的有C95种，因此，共有 C125－C95＝ 666(种)不一样的选法．13． A。

人教A版高中数学选修2-3全册同步练习及单元检测含答案

⼈教A版⾼中数学选修2-3全册同步练习及单元检测含答案⼈教版⾼中数学选修2～3 全册章节同步检测试题⽬录第1章《计数原理》同步练习 1.1测试1第1章《计数原理》同步练习 1.1测试2第1章《计数原理》同步练习 1.1测试3第1章《计数原理》同步练习 1.2排列与组合第1章《计数原理》同步练习 1.3⼆项式定理第1章《计数原理》测试（1）第1章《计数原理》测试（2）第2章同步练习 2.1离散型随机变量及其分布列第2章同步练习 2.2⼆项分布及其应⽤第2章测试（1）第2章测试（2）第2章测试（3）第3章练习 3.1回归分析的基本思想及其初步应⽤第3章练习 3.2独⽴性检验的基本思想及其初步应⽤第3章《统计案例》测试（1）第3章《统计案例》测试（2）第3章《统计案例》测试（3）1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题⼀、选择题1．⼀件⼯作可以⽤2种⽅法完成，有3⼈会⽤第1种⽅法完成，另外5⼈会⽤第2种⽅法完成，从中选出1⼈来完成这件⼯作，不同选法的种数是（）Ａ．8 Ｂ．15Ｃ．16 Ｄ．30答案：Ａ2．从甲地去⼄地有3班⽕车，从⼄地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅⾏⽅式有（）Ａ．5种Ｂ．6种Ｃ．7种Ｄ．8种答案：Ｂ3．如图所⽰为⼀电路图，从A 到B 共有（）条不同的线路可通电（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4答案：Ｄ4．由数字0，1，2，3，4可组成⽆重复数字的两位数的个数是（）Ａ．25 Ｂ．20 Ｃ．16 Ｄ．12答案：Ｃ5．李芳有4件不同颜⾊的衬⾐，3件不同花样的裙⼦，另有两套不同样式的连⾐裙．“五⼀”节需选择⼀套服装参加歌舞演出，则李芳有（）种不同的选择⽅式（）Ａ．24 Ｂ．14 Ｃ．10 Ｄ．9答案：Ｂ 6．设A ，B 是两个⾮空集合，定义{}()A B a b a A b B *=∈∈，，|，若{}{}0121234P Q ==，，，，，，，则P *Q 中元素的个数是（）Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ．12 Ｄ．16答案：Ｃ⼆、填空题7．商店⾥有15种上⾐，18种裤⼦，某⼈要买⼀件上⾐或⼀条裤⼦，共有种不同的选法；要买上⾐，裤⼦各⼀件，共有种不同的选法．答案：33，2708．⼗字路⼝来往的车辆，如果不允许回头，共有种⾏车路线．答案：129．已知{}{}0341278a b ∈∈，，，，，，，则⽅程22()()25x a y b -+-=表⽰不同的圆的个数是．答案：1210．多项式123124534()()()()a a a b b a a b b ++++++··展开后共有项．答案：1011．如图，从A →C ，有种不同⾛法．答案：612．将三封信投⼊4个邮箱，不同的投法有种．答案：34三、解答题 13．⼀个⼝袋内装有5个⼩球，另⼀个⼝袋内装有4个⼩球，所有这些⼩球的颜⾊互不相同．（1）从两个⼝袋内任取⼀个⼩球，有多少种不同的取法？（2）从两个⼝袋内各取⼀个⼩球，有多少种不同的取法？解：（1）549N =+=种；（2）5420N =?=种．14．某校学⽣会由⾼⼀年级5⼈，⾼⼆年级6⼈，⾼三年级4⼈组成．（1）选其中1⼈为学⽣会主席，有多少种不同的选法？（2）若每年级选1⼈为校学⽣会常委，有多少种不同的选法？（3）若要选出不同年级的两⼈参加市⾥组织的活动，有多少种不同的选法？解：（1）56415N =++=种；（2）564120N =??=种；（3）56644574N =?+?+?=种15．已知集合{}321012()M P a b =---，，，，，，，是平⾯上的点，a b M ∈，．（1）()P a b ，可表⽰平⾯上多少个不同的点？（2）()P a b ，可表⽰多少个坐标轴上的点？解：（1）完成这件事分为两个步骤：a 的取法有6种，b 的取法也有6种，∴P 点个数为N =6×6=36(个)；（2）根据分类加法计数原理，分为三类：①x 轴上（不含原点）有5个点；②y 轴上（不含原点）有5个点；③既在x 轴，⼜在y 轴上的点，即原点也适合，∴共有N =5+5+1=11（个）．1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题⼀、选择题 1．从集合{ 0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a bi +，其中虚数有（） A ．30个 B ．42个 C ．36个 D ．35个答案：Ｃ2．把10个苹果分成三堆，要求每堆⾄少1个，⾄多5个，则不同的分法共有（） A ．4种 B ．5种 C ．6种 D ．7种答案：Ａ3．如图，⽤4种不同的颜⾊涂⼊图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂⾊不同，则不同的涂法有（） A ．72种 B ．48种 C ．24种 D ．12种答案：Ａ4．教学⼤楼共有五层，每层均有两个楼梯，由⼀层到五层的⾛法有（） A ．10种 B ．52种Ｃ．25种Ｄ．42种答案：Ｄ5．已知集合{}{}023A B x x ab a b A ===∈，，，，，|，则B 的⼦集的个数是（）Ａ．4 Ｂ．8 Ｃ．16 Ｄ．15答案：Ｃ6．三边长均为正整数，且最⼤边长为11的三⾓形的个数为（）Ａ．25 Ｂ．26 Ｃ．36 Ｄ．37答案：Ｃ⼆、填空题7．平⾯内有7个点，其中有5个点在⼀条直线上，此外⽆三点共线，经过这7个点可连成不同直线的条数是．答案：128．圆周上有2n 个等分点（1n >），以其中三个点为顶点的直⾓三⾓形的个数为．答案：2(1)n n -9．电⼦计算机的输⼊纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排可产⽣种不同的信息．答案：25610．椭圆221x y m n+=的焦点在y 轴上，且{}{}123451234567m n ∈∈，，，，，，，，，，，，则这样的椭圆的个数为．答案：20 11．已知集合{}123A ，，ü，且A 中⾄少有⼀个奇数，则满⾜条件的集合A 分别是．答案：{}{}{}{}{}13122313，，，，，，，12．整数630的正约数（包括1和630）共有个．答案：24三、解答题 13．⽤0，1，2，3，4，5六个数字组成⽆重复数字的四位数，⽐3410⼤的四位数有多少个？解：本题可以从⾼位到低位进⾏分类．（1）千位数字⽐3⼤．（2）千位数字为3：①百位数字⽐4⼤；②百位数字为4： 1°⼗位数字⽐1⼤；2°⼗位数字为1→个位数字⽐0⼤．所以⽐3410⼤的四位数共有2×5×4×3+4×3+2×3+2=140（个）．14．有红、黄、蓝三种颜⾊旗⼦各(3)n n >⾯，任取其中三⾯，升上旗杆组成纵列信号，可以有多少种不同的信号？若所升旗⼦中不允许有三⾯相同颜⾊的旗⼦，可以有多少种不同的信号？若所升旗⼦颜⾊各不相同，有多少种不同的信号？解： 1N =3×3×3=27种； 227324N =-=种； 33216N =??= 种．15．某出版社的7名⼯⼈中，有3⼈只会排版，2⼈只会印刷，还有2⼈既会排版⼜会印刷，现从7⼈中安排2⼈排版，2⼈印刷，有⼏种不同的安排⽅法．解：⾸先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版⼜会印刷”中的⼀个作为分类的标准．下⾯选择“既会排版⼜会印刷”作为分类的标准，按照被选出的⼈数，可将问题分为三类：第⼀类：2⼈全不被选出，即从只会排版的3⼈中选2⼈，有3种选法；只会印刷的2⼈全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1=3种选法．第⼆类：2⼈中被选出⼀⼈，有2种选法．若此⼈去排版，则再从会排版的3⼈中选1⼈，有3种选法，只会印刷的2⼈全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1=6种选法；若此⼈去印刷，则再从会印刷的2⼈中选1⼈，有2种选法，从会排版的3⼈中选2⼈，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法；再由分类计数原理知共有6+12=18种选法．第三类：2⼈全被选出，同理共有16种选法．所以共有3+18+16=37种选法．1． 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合卷⼀．选择题：1．⼀个三层书架，分别放置语⽂书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出⼀本，则不同的取法共有（）（A ） 37种（B ） 1848种（C ） 3种（D ） 6种2．⼀个三层书架，分别放置语⽂书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出语⽂、数学、英语各⼀本，则不同的取法共有（）（A ） 37种（B ） 1848种（C ） 3种（D ） 6种3．某商业⼤厦有东南西3个⼤门，楼内东西两侧各有2个楼梯，从楼外到⼆楼的不同⾛法种数是（）（A ） 5 （B ）7 （C ）10 （D ）124．⽤1、2、3、4四个数字可以排成不含重复数字的四位数有（）（A ）265个（B ）232个（C ）128个（D ）24个5．⽤1、2、3、4四个数字可排成必须含有重复数字的四位数有（）（A ）265个（B ）232个（C ）128个（D ）24个6．3科⽼师都布置了作业，在同⼀时刻4名学⽣都做作业的可能情况有（）（A ）43种（B ）34种（C ）4×3×2种（D ） 1×2×3种7．把4张同样的参观券分给5个代表，每⼈最多分⼀张，参观券全部分完，则不同的分法共有（）（A ）120种（B ）1024种（C ）625种（D ）5种8．已知集合M={l ，－2，3}，N={－4，5，6，7}，从两个集合中各取⼀个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直⾓坐标系中可表⽰第⼀、⼆象限内不同的点的个数是（）（A ）18 （B ）17 （C ）16 （D ）109．三边长均为整数，且最⼤边为11的三⾓形的个数为（）（A ）25 （B ）36 （C ）26 （D ）3710．如图，某城市中，M 、N 两地有整齐的道路⽹，若规定只能向东或向北两个⽅向沿途中路线前进，则从M 到N 不同的⾛法共有（）（A ）25 （B ）15 （C）13 （D ）10 ⼆．填空题：11．某书店有不同年级的语⽂、数学、英语练习册各10本，买其中⼀种有种⽅法；买其中两种有种⽅法．12．⼤⼩不等的两个正⽅形玩具，分别在各⾯上标有数字1，2，3，4，5，6，则向上的⾯标着的两个数字之积不少于20的情形有种．13．从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到个不同的对数值．14．在连结正⼋边形的三个顶点组成的三⾓形中，与正⼋边形有公共边的有个．15．某班宣传⼩组要出⼀期向英雄学习的专刊，现有红、黄、⽩、绿、蓝五种颜⾊的粉笔供选⽤，要求在⿊板中A 、B 、C 、D 每⼀部分只写⼀种颜⾊，如图所⽰，相邻两块颜⾊不同，则不同颜⾊的书写⽅法共有种．三．解答题：16．现由某校⾼⼀年级四个班学⽣34⼈，其中⼀、⼆、三、四班分别为7⼈、8⼈、9⼈、10⼈，他们⾃愿组成数学课外⼩组．（1）选其中⼀⼈为负责⼈，有多少种不同的选法？（2）每班选⼀名组长，有多少种不同的选法？（3）推选⼆⼈做中⼼发⾔，这⼆⼈需来⾃不同的班级，有多少种不同的选法？17．4名同学分别报名参加⾜球队，蓝球队、乒乓球队，每⼈限报其中⼀个运动队，不同的报名⽅法有⼏种？［探究与提⾼］1．甲、⼄两个正整数的最⼤公约数为60，求甲、⼄两数的公约数共有多个？2．从{－3，－2，－1，0，l，2，3}中，任取3个不同的数作为抛物线⽅程y=ax2＋bx＋c（a≠0）的系数，如果抛物线过原点，且顶点在第⼀象限，这样的抛物线共有多少条？3．电视台在“欢乐今宵”节⽬中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的群众来信，甲信箱中有30封，⼄信箱中有20封．现由主持⼈抽奖确定幸运观众，若先确定⼀名幸运之星，再从两信箱中各确定⼀名幸运伙伴，有多少种不同的结果？综合卷1．A 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．D 8．B 9．B 10．B11．30；300 12．513．17 14．40 15．1801． 2排列与组合1、排列综合卷1．90×9l ×92×……×100=（）（A ）10100A （B ）11100A （C ）12100A （D ）11101A 2．下列各式中与排列数mn A 相等的是（）（A ）!(1)!-+n n m （B ）n(n －1)(n －2)……(n －m) （C ）11m n nA n m --+ （D ）111m n n A A --3．若 n ∈N 且 n<20，则(27－n )(28－n)……(34－n)等于（）（A ）827n A - （B ）2734nn A -- （C ）734n A - （D ）834n A -4．若S=123100123100A A A A ++++，则S 的个位数字是（）（A ）0 （B ）3 （C ）5 （D ）85．⽤1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）（A ）24个（B ）30个（C ）40个（D ）60个6．从0，l ，3，5，7，9中任取两个数做除法，可得到不同的商共有（）（A ）20个（B ）19个（C ）25个（D ）30个7．甲、⼄、丙、丁四种不同的种⼦，在三块不同⼟地上试种，其中种⼦甲必须试种，那么不同的试种⽅法共有（）（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）96种8．某天上午要排语⽂、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第⼀节，那么这天上午课程表的不同排法共有（）（A ）6种（B ）9种（C ）18种（D ）24种9．有四位司机、四个售票员组成四个⼩组，每组有⼀位司机和⼀位售票员，则不同的分组⽅案共有（）（A ）88A 种（B ）48A 种（C ）44A ·44A 种（D ）44A 种10．有4位学⽣和3位⽼师站在⼀排拍照，任何两位⽼师不站在⼀起的不同排法共有（）（A ）(4!)2种（B ）4!·3!种（C ）34A ·4!种（D ）3 5A ·4!种11．把5件不同的商品在货架上排成⼀排，其中a ，b 两种必须排在⼀起，⽽c ，d 两种不能排在⼀起，则不同排法共有（）（A ）12种（B ）20种（C ）24种（D ）48种⼆．填空题:：12．6个⼈站⼀排，甲不在排头，共有种不同排法．13．6个⼈站⼀排，甲不在排头，⼄不在排尾，共有种不同排法．14．五男⼆⼥排成⼀排，若男⽣甲必须排在排头或排尾，⼆⼥必须排在⼀起，不同的排法共有种．15．将红、黄、蓝、⽩、⿊5种颜⾊的⼩球，分别放⼊红、黄、蓝、⽩、⿊5种颜⾊的⼝袋中，但红⼝袋不能装⼊红球，则有种不同的放法．16．（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每⼈各⼀本，共有种不同的送法；（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每⼈各⼀本，共有种不同的送法．三、解答题：17．⼀场晚会有5个唱歌节⽬和3个舞蹈节⽬，要求排出⼀个节⽬单（1）前4个节⽬中要有舞蹈，有多少种排法？（2）3个舞蹈节⽬要排在⼀起，有多少种排法？（3）3个舞蹈节⽬彼此要隔开，有多少种排法？18．三个⼥⽣和五个男⽣排成⼀排．（1）如果⼥⽣必须全排在⼀起，有多少种不同的排法？（2）如果⼥⽣必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排⼥⽣，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排⼥⽣，有多少种不同的排法？（5）如果三个⼥⽣站在前排，五个男⽣站在后排，有多少种不同的排法？综合卷1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．C 9．D 10．D 11．C12．600 13．504 14．480 15．9616．(1) 60；(2) 12517．(1) 37440；(2) 4320；(3) 1440018．(1) 4320；(2) 14400；(3) 14400；(4) 36000；(5) 7202、组合综合卷⼀、选择题：1．下列等式不正确的是（）（A ）!!()!mn n C m n m =- （B ）11mm n n m C C n m++=- （C ）1111m m n n m C C n +++=+ （D ）11m m n n C C ++= 2．下列等式不正确的是（）（A ）m n m n n C C -= （B ）11m m mm m m C C C -++=（C ）123455555552C C C C C ++++= （D ）11 111m m m m n n n n C C C C --+--=++3．⽅程2551616x x x C C --=的解共有（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个4．若372345n n n C A ---=，则n 的值是（）（A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）145．已知7781n n n C C C +-=，那么n 的值是（）（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15 6．从5名男⽣中挑选3⼈，4名⼥⽣中挑选2⼈，组成⼀个⼩组，不同的挑选⽅法共有（）（A ）3254C C 种（B ） 3254C C 55A 种（C ） 3254A A 种（D ） 3254A A 55A 种7．从4个男⽣，3个⼥⽣中挑选4⼈参加智⼒竞赛，要求⾄少有⼀个⼥⽣参加的选法共有（）（A ）12种（B ）34种（C ）35种（D ）340种8．平⾯上有7个点，除某三点在⼀直线上外，再⽆其它三点共线，若过其中两点作⼀直线，则可作成不同的直线（）（A ）18条（B ）19条（C ）20条（D ）21条9．在9件产品中，有⼀级品4件，⼆级品3件，三级品2件，现抽取4个检查，⾄少有两件⼀级品的抽法共有（）（A ）60种（B ）81种（C ）100种（D ）126种10．某电⼦元件电路有⼀个由三节电阻串联组成的回路，共有6个焊点，若其中某⼀焊点脱落，电路就不通．现今回路不通，焊点脱落情况的可能有（）（A ）5种（B ）6种（C ）63种（D ）64种⼆．填空题：11．若11m m n n C xC --=，则x= ．12．三名教师教六个班的课，每⼈教两个班，分配⽅案共有种。

【志鸿优化设计】2021年高中数学 2.1.1离散型随机变量同步检测新人教A版选修2-3(1)

2.1.1 离散型随机变量一、选择题1.抛掷一枚质地均匀的硬币一次,随机变量为( ).A.掷硬币的次数B.显现正面向上的次数C.显现正面向上或反面向上的次数D.显现正面向上与反面向上的次数之和答案:B解析:显现正面向上的次数为0或1,是随机变量.2.以下随机变量是离散型随机变量的是( ).①抛5颗骰子取得的点数和;②某人一天内接收到的次数;③某地一年内下雨的天数;④某机械生产零件的误差数.A.①②③B.④C.①④D.②③答案:A解析:由离散型随机变量的概念知①②③均是离散型随机变量,而④不是,由于那个误差数几乎都是在0周围的实数,无法一一列出.3.已知以下随机变量:①10件产品中有2件次品,从中任选3件,取到次品的件数X;②一名射击手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,用X表示该射击手在一次射击中的得分;③刘翔在一次110米跨栏竞赛中的成绩X;④在体育彩票的抽奖中,一次摇号产生的号码数X.其中X是离散型随机变量的是( ).A.①②③B.②③④C.①②④D.③④答案:C解析:③中X的值可在某一区间内取值,不能一一列出,故不是离散型随机变量.4.袋中装有10个红球,5个黑球,每次随机抽取一个球,假设取得黑球,那么另换一个红球放回袋中,直到取到红球为止,假设抽取的次数为X,那么表示“放回5个球”的事件为( ).A.X=4B.X=5C.X=6D.X≤4答案:C解析:第一次取到黑球,那么放回1个球,第二次取到黑球,那么放回2个球……共放了五回,第六次取到了红球,实验终止,故X=6.5.对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ,那么ξ=k表示的实验结果为( ).A.第k-1次检测到正品,而第k次检测到次品B.第k次检测到正品,而第k+1次检测到次品C.前k-1次检测到正品,而第k次检测到次品D.前k次检测到正品,而第k+1次检测到次品答案:D6.一用户在打时忘了号码的最后四位数字,只记得最后四位数字两两不同,且都大于5,于是他随机拨最后四位数字(两两不同),设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ,那么随机变量ξ的所有可能取值的种数为( ).A.20B.24C.4D.18答案:B解析:由于后四位数字两两不同,且都大于5,因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列,故有=24(种).二、填空题7.在考试中,需回答三个问题,考试规那么规定:每题回答正确得100分,回答不正确得-100分,那么这名同窗回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是.答案:-300,-100,100,300解析:假设答对0个问题得分-300;假设答对1个问题得分-100;假设答对2个问题得分100;假设问题全答对得分300.8.一袋中装有5个一样的球,编号依次为1,2,3,4,5,从该袋中随机掏出3个球.记三个球中最小编号为ξ,那么“ξ=3”表示的实验结果是.答案:掏出编号为3,4,5的三个球9.在8件产品中,有3件次品,5件正品,从中任取一件,取到次品就停止,取后不放回,抽取次数为X,那么“X=3”表示的实验结果是.答案:前两次均取到正品,第三次取到次品三、解答题10.写出以下各随机变量可能取的值,并说明随机变量所取的值表示的随机实验的结果:(1)盒中装有6支白粉笔和8支红粉笔,从中任意掏出3支,其中所含白粉笔的支数ξ;(2)从4张已编号(1~4号)的卡片中任意掏出2张,被掏出的卡片号数之和ξ.解:(1)ξ可取0,1,2,3.ξ=i表示掏出i支白粉笔,3-i支红粉笔,其中i=0,1,2,3.(2)ξ可取3,4,5,6,7.其中ξ=3表示掏出编号为1,2的两张卡片.ξ=4表示掏出编号为1,3的两张卡片.ξ=5表示掏出编号为2,3或1,4的两张卡片.ξ=6表示掏出编号为2,4的两张卡片.ξ=7表示掏出编号为3,4的两张卡片.11.一个袋中装有5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数为ξ.(1)列表说明可能显现的结果与对应的ξ的值;(2)假设规定抽取3个球中,每抽到一个白球加5分,抽到黑球不加分,且最后不管结果都加上6分,求最终得分η的可能取值,并判定η的随机变量类型.解:(1)(2)由题意可得η=5那么η对应的各值是5×0+6,5×1+6,5×2+6,5×3+6,故η的可能取值为{6,11,16,21},显然η为离散型随机变量.12.以下随机实验的结果可否用离散型随机变量表示?假设能,请写出各随机变量可能的取值并说明这些值所表示的随机实验的结果.(1)离开天安门的距离η;(2)袋中有大小完全相同的红球5个,白球4个,从袋中任意掏出一球,假设掏出的球是白球,那么进程终止;假设掏出的球是红球,那么将此红球放回袋中,然后从头从袋中任意掏出一球,直至掏出的球是白球,此规定下的取球次数ξ.解:(1)η可取[0,+∞)中的数.η=k表示离开天安门的距离为k(km).不是离散型随机变量.(2)ξ可取所有的正整数.{ξ=i}表示前i-1次掏出红球,而第i次掏出白球,那个地址i∈N*.。

高中数学人教A版选修2-3同步辅导与检测1.2.2组合2

解析：三种分配类型： ①分为 2,2,5 有 A1 3种． ②分为 2,3,4 有 A3 3种． ③分为 3,3,3 有 1 种． 3 由加法原理知，共有：A1 ＋ A 3 3＋1＝10(种)．答案：10
4．一排7个座位分给3人坐，要求任何两人都不得相邻，所有不同排法的总数有________种．
根据分步计数原理知，不同的抽取方法共有 2 C1 · C 2 98 ＝2×4753＝9 506(种)． (3)法一：直接分类法．抽出的 3 件中至少有一件是次品的这件事，分为两类． 2 第一类：抽出的 3 件中有 1 件是次品的抽法，有 C1 · C 2 98 种； 1 第二类：抽出的 3 件中有 2 件是次品的抽法，有 C2 · C 2 98 种．根据分类计数原理，不同的抽法共有 2 2 1 C1 · C ＋ C C98＝9 506＋98＝9 604(种)． 2 98 2· 法二：间接法．从 100 件产品中任取 3 件的抽法，有 C3 100种，其中抽出的 3 件中至少有一件是次品的抽法，共有 3 C3 － C 100 98＝161 700－152 096＝9 604(种)．
解析：从左向右编号分别为 1 号至 7 号，选中 1 号的排法总数为：6A3 3；选中 2 号的排法总数为：3A3 3；选中 3 号的排法总数为：A3 3. 3 3 3 由加法原理知，共有：6A3 ＋ 3A ＋ A ＝ 10A 3 3 3 3＝60(种)．
答案：60
简单的综合应用题
在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查，现有100件产品，其中有98件正品，2件次品，从中任意抽出3件检查． (1)共有多少种不同的抽法？ (2)恰好有一件是次品的抽法有多少种？ (3)至少有一件是次品的抽法有多少种？分析：由于抽取的产品与次序无关，因此是一个组合问题，其中：

【志鸿优化设计】2021年高中数学第二章过关检测新人教A版选修2-3(1)

第二章过关检测(时刻:45分钟,总分值:100分)一、选择题(每题6分,共48分)1.袋中有2个黑球6个红球,从中任取两个,能够作为随机变量的是( ).A.取到的球的个数B.取到红球的个数C.至少取到一个红球D.至少取到一个红球的概率答案:B解析:取到球的个数是一个固定的数字,不是随机变量,故A不正确;取到红球的个数是一个随机变量,它的可能取值是0,1,2,故B正确;至少取到一个红球表示取到一个红球,或取到两个红球,表示一个事件,故C不正确;D显然不正确.应选B.2.(2021福建厦门模拟)位于坐标原点的一个质点P按下述规那么移动:质点每次移动一个单位长度,移动的方向为向上或向右,而且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是( ).A. B.C. D.答案:B解析:由于质点每次移动一个单位长度,移动的方向为向上或向右,移动五次后位于点(2,3),因此质点P必需向右移动二次,向上移动三次,故其概率为·.3.某射手射击所得环数ξ的散布列如下:已知ξ的数学期望E(ξ)=8.9,那么y的值为( )A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8答案:B解析:∵E(ξ)=7x+8×0.1+9×0.3+10y=7(0.6-y)+10y+3.5=7.7+3y,∴7.7+3y=8.9,∴y=0.4.4.某一般高校招生体育专业测试合格分数线确信为60分.甲、乙、丙三名考生独立参加测试,他们能达到合格的概率别离是0.9,0.8,0.75,那么三人中至少有一人达标的概率为( ).A.0.015B.0.005C.0.985D.0.995答案:D解析:三人都不合格的概率为(1-0.9)×(1-0.8)×(1-0.75)=0.005.∴至少有一人合格的概率为1-0.005=0.995.5.将两枚质地均匀的骰子各掷一次,设事件A={两个点数互不相同},B={显现一个5点},那么P(B|A)=( ).A. B.C. D.答案:A解析:显现点数互不相同的共有6×5=30种,显现一个5点共有5×2=10种,∴P(B|A)=.6.已知一次考试共有60名同窗参加,考生成绩X~N(110,52),据此估量,大约有57人的分数所在的区间为( ).A.(90,100]B.(95,125]C.(100,120]D.(105,115]答案:C解析:∵X~N(110,52),∴μ=110,σ=5.=0.95≈P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=P(100<X≤120).∴X∈(100,120].7.把10个骰子全数投出,设显现6点的骰子的个数为X,那么P(X≤2)=( ).A.B.C.D.以上都不对答案:D解析:P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=.8.已知随机变量X~B(6,0.4),那么当η=-2X+1时,D(η)=( ).A.-1.88B.-2.88C.5.76D.6.76答案:C解析:由已知D(X)=6×0.4×0.6=1.44,那么D(η)=4D(X)=4×1.44=5.76.二、填空题(每题6分,共18分)9.已知正态整体的数据落在区间(-3,-1)内的概率和落在区间(3,5)内的概率相等,那么那个正态整体的数学期望为.答案:1解析:区间(-3,-1)和区间(3,5)关于x=1对称(-1的对称点是3,-3的对称点是5),因此正态散布的数学期望确实是1.10.将一个大正方形平均分成9个小正方形,向大正方形区域随机地抛掷一个点(每次都能投中),投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A,投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B,那么P(A|B)=.答案:解析:依照几何概型,得P(AB)=,P(B)=,因此P(A|B)=.11.某毕业生参加人材招聘会,别离向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历,假定该毕业生取得甲公司面试的概率为,取得乙、丙两公司面试的概率均为p,且三个公司是不是让其面试是彼此独立的.记X为该毕业生取得面试的公司个数.若P(X=0)=,那么随机变量X的数学期望E(X)=.答案:解析:由P(X=0)=,因此×(1-p)×(1-p)=,得p=,因此X的散布列如下:因此()0123三、解答题(共34分)12.(10分)设进入某商场的每一名顾客购买甲种商品的概率为0.5,购买乙种商品的概率为0.6,且购买甲种商品与购买乙种商品彼此独立,各顾客之间购买商品也是彼此独立的.(1)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率;(2)记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数,求ξ的散布列及期望.解:(1)由题可得,至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率为p=1-(1-0.5)(1-0.6)=0.8.(2)ξ可能的取值有0,1,2,3,p(ξ=0)=(1-0.8)3=0.008,p(ξ=1)=(1-0.8)20.8=0.096,p(ξ=2)=(1-0.8)10.82=0.384,p(ξ=3)=0.83=0.512.故ξ的散布列为ξ的数学期望E(ξ)=3×0.8=2.4.13.(12分)(2021大纲全国高考)设每一个工作日甲、乙、丙、丁4人需利用某种设备的概率别离为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是不是需利用设备彼此独立.(1)求同一工作日至少3人需利用设备的概率;(2)X表示同一工作日需利用设备的人数,求X的数学期望.解:记A i表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需利用设备,i=0,1,2,B表示事件:甲需利用设备,C表示事件:丁需利用设备,D表示事件:同一工作日至少3人需利用设备.(1)D=A1·B·C+A2·B+A2··C.P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(A i)=×0.52,i=0,1,2,因此P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2··C)=P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2··C)=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P()P(C)=0.31.(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,其散布列为P(X=0)=P(·A0·)=P()P(A0)P()=(1-0.6)×0.52×(1-0.4)=0.06,P(X=1)=P(B·A0··A0·C+·A1·)=P(B)P(A0)P()+P()P(A0)P(C)+P()P(A1)P()=0.6×0.52×(1-0.4)+(1-0.6)×0.52×0.4+(1-0.6)×2×0.52×(1-0.4)=0.25,P(X=4)=P(A2·B·C)=P(A2)P(B)P(C)=0.52×0.6×0.4=0.06,P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25,P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,数学期望E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2.14.(12分)某同窗参加3门课程的考试.假设该同窗第一门课程取得优秀成绩的概率为,第二、第三门课程取得优秀成绩的概率别离为p,q(p>q),且不同课程是不是取得优秀成绩彼此独立.记ξ为该生取得优秀成绩的课程数,其散布列为(1)求该生至少有1(2)求p,q的值;(3)求数学期望E(ξ).解:事件A i表示“该生第i门课程取得优秀成绩”,i=1,2,3.由题意知P(A1)=,P(A2)=p,P(A3)=q.(1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ξ=0”是对立的,因此该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是1-P(ξ=0)=1-.(2)由题意知P(ξ=0)=P()=(1-p)(1-q)=,P(ξ=3)=P(A1A2A3)=pq=.整理得pq=,p+q=1.由p>q,可得p=,q=.(3)由题意知a=P(ξ=1)=P(A1)+P( A2)+P( A3)=(1-p)(1-q)+p(1-q)+(1-p)q=,b=P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=.因此E(ξ)=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=.。

【志鸿优化设计】高中数学 2.4正态分布同步检测新人教A版选修2-3

正态分布一、选择题1.设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数f(x)的图象,且f(x)=φμ,σ(x)=,则这个正态总体的平均数与标准差分别是( ).A.10与8B.10与2C.8与10D.2与10答案:B解析:由正态密度函数的定义可知,总体的均值μ=10,方差σ2=4,即σ=2.2.设两个正态分布N(μ1,)(σ1>0)和N(μ2,)(σ2>0)的密度函数图象如图所示,则有( ).A.μ1<μ2,σ1<σ2B.μ1<μ2,σ1>σ2C.μ1>μ2,σ1<σ2D.μ1>μ2,σ1>σ2答案:A解析:根据正态分布密度曲线的性质:正态分布密度曲线是一条关于直线x=μ对称,在x=μ处取得最大值的连续钟形曲线;σ越大,曲线越“矮胖”;σ越小,曲线越“瘦高”,结合图象可知μ1<μ2,σ1<σ2.故选A.3.已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(2≤X≤4)=0.6826,则P(X>4)=( ).A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.158 5答案:B解析:P(X>4)=[1-P(2≤X≤4)]=×(1-0.6826)=0.1587.4.已知随机变量ξ服从正态分布N(3,4),则E(2ξ+1)与D(2ξ+1)的值分别为( ).A.13,4B.13,8C.7,8D.7,16答案:D解析:由已知E(ξ)=3,D(ξ)=4,得E(2ξ+1)=2E(ξ)+1=7,D(2ξ+1)=4D(ξ)=16.5.(2014河北高阳中学高三月考)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)等于( ).A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2答案:C解析:P(ξ≥4)=1-0.8=0.2,P(ξ≤0)=0.2,P(0<ξ<2)==0.3.6.设随机变量X服从正态分布N(2,9),若P(X>C+1)=P(X<C-1),则C=( ).A.1B.3C.2D.5答案:C解析:∵X~N(2,9),∴P(X>C+1)=P(X<3-C).又P(X>C+1)=P(X<C-1),∴3-C=C-1.∴C=2.7.某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站,由于交通拥挤,所需时间(单位:min)服从X~N(50,102),则他在时间段(30,70]内赶到火车站的概率为( ).A.0.6826B.0.997 4C.0.3174D.0.954 4答案:D解析:∵X~N(50,102),μ=50,σ=10,∴P(30<X≤70)=P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544.二、填空题8.(2014山东桓台一中月考)已知正态分布总体落在区间(-∞,0.3)的概率为0.5,那么相应的正态曲线Φμ,σ(x)在x=时达到最高点.答案:0.3解析:∵P(X<0.3)=0.5,∴P(X≥0.3)=0.5,即x=0.3是正态曲线的对称轴,∴当x=0.3时Φμ,σ(x)达到最高点.9.设在一次数学考试中,某班学生的分数服从ξ~N(110,202),且知满分150分,这个班的学生共54人.则这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上的人数的和约为.答案:54解析:因为ξ~N(110,202),所以μ=110,σ=20,P(110-20<ξ≤110+20)=0.6826.所以ξ>130的概率为(1-0.6826)=0.1587.所以ξ≥90的概率为0.6826+0.1587=0.8413.所以及格的人数为54×0.8413≈45,130分以上的人数为54×0.1587≈9.故所求的和约为45+9=54人.10.某班有50名学生,一次考试的成绩ξ(ξ∈N)近似服从正态分布N(100,102),已知P(90≤ξ≤100)=0.3,估计该班数学成绩在110分以上的人数为.答案:10解析:考试的成绩ξ服从正态分布N(100,102),∴考试的成绩ξ关于ξ=100对称.∵P(90≤ξ≤100)=0.3,∴P(100≤ξ≤110)=0.3.∴P(ξ>110)=0.2.∴该班数学成绩在110分以上的人数约为0.2×50=10.三、解答题11.设X~N(1,22),试求:(1)P(-1<X≤3);(2)P(3<X≤5);(3)P(X≥5).解:因为X~N(1,22),所以μ=1,σ=2,如图.(1)P(-1<X≤3)=P(1-2<X≤1+2)=P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826.(2)因为P(3<X≤5)=P(-3<X≤-1),所以P(3<X≤5)=[P(-3<X≤5)-P(-1<X≤3)]=[P(1-4<X≤1+4)-P(1-2<X≤1+2)]=[P(μ-2σ<X≤μ+2σ)-P(μ-σ<x≤μ+σ)]=(0.9544-0.6826)=0.1359.(3)因为P(X≥5)=P(X≤-3),所以P(X≥5)=[1-P(-3<X≤5)]=[1-P(1-4<X≤1+4)]=[1-P(μ-2σ<X≤μ+2σ)]=(1-0.9544)=0.0228.12.已知某种零件的尺寸X(单位:mm)服从正态分布,其正态曲线在(0,80)上是增函数,在(80,+∞)上是减函数,且f(80)= .(1)求正态分布密度函数的解析式:(2)估计尺寸在72mm~88 mm之间的零件大约占总数的百分之几.解:(1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数,在(80,+∞)上是减函数,所以正态曲线关于直线x=80对称,且在x=80处取得最大值.因此得μ=80,,所以σ=8.故正态分布密度函数的解析式是f(x)=.(2)由μ=80,σ=8,得μ-σ=80-8=72,μ+σ=80+8=88,所以零件尺寸X在区间(72,88)内的概率是0.6826.因此尺寸在72mm~88 mm间的零件大约占总数的68.26%. 13.正态总体当μ=0,σ=1时的概率密度函数是φμ,σ(x)=,x∈R.(1)证明φμ,σ(x)是偶函数;(2)求φμ,σ(x)的最大值;(3)利用指数函数的性质说明φμ,σ(x)的增减性.(1)证明:对于任意的x∈R,φμ,σ(-x)==φμ,σ(x),所以φμ,σ(x)是偶函数.(2)解:令z=,当x=0时,z=0,e-z=1;当x≠0时,>0,e z>1,由于y=e z是关于z的增函数,所以当x=0(即z=0)时,=e0取得最大值.这时φμ,σ(x)的最大值为e0= .(3)任取x1<0,x2<0且x1<x2有,所以,所以,即φμ,σ(x1)<φμ,σ(x2).它表明当x<0时,φμ,σ(x)是递增的.又因为φμ,σ(x)是偶函数,所以φμ,σ(x)在(0,+∞)上是减函数.故φμ,σ(x)在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数.。

【志鸿优化设计】2021年高中数学 2.2.1条件概率同步检测新人教A版选修2-3(1)

条件概率一、选择题1.已知P(B|A)=,P(A)=,那么P(AB)=( ).A. B. C. D.答案:C解析:∵P(B|A)=,∴P(AB)=P(B|A)·P(A)=.2.某种电子元件用满3 000 h不坏的概率为,用满8 000 h不坏的概率为.现有一个此种电子元件,已经用满3 000 h不坏,还能用满8000 h不坏的概率是( ).A. B. C. D.答案:B解析:记事件A为“用满3 000 h不坏”,那么P(A)=;记事件B为“用满8 000 h不坏”,那么P(B)=.因为B⊂A,因此P(AB)=P(B)=,那么P(B|A)=.3.将两枚质地均匀的骰子各掷一次,设事件A为两个点数都不相同,事件B为两个点数和是7或8,那么P(B|A)=( ).A. B. C. D.答案:A解析:由已知n(A)=30,n(AB)=10,∴P(B|A)=.4.抛掷红、蓝两个骰子,设事件A为“红骰子显现4点”,事件B为“蓝骰子显现的点数是偶数”,那么P(A|B)=( ).A. B. C. D.答案:A解析:∵A,B彼此独立,∴P(AB)=P(A)P(B).P(A|B)==P(A)=.5.甲、乙两班共有70名同窗,其中女同窗40名,设甲班有30名同窗,而女同窗有15名,那么在碰着甲班同窗时正好碰着一名女同窗的概率为( ).A. B. C. D.答案:A解析:设“碰着甲班同窗”为事件A,“碰着女同窗”为事件B,那么P(A)=,P(AB)=,因此P(B|A)=.6.(2021课标全国Ⅱ高考)某地域空气质量监测资料说明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,持续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,那么随后一天的空气质量为优良的概率是( ).A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45答案:A解析:设某天空气质量为优良为事件A,随后一天空气质量为优良为事件B,由已知得P(A)=0.75,P(AB)=0.6,所求事件的概率为P(B|A)==0.8,应选A.二、填空题7.设A,B为两个事件,假设事件A和B同时发生的概率为,在事件A发生的条件下,事件B发生的概率为,那么事件A发生的概率为.答案:解析:由已知P(AB)=,P(B|A)=,故P(A)=.8.别离用集合M={2,4,5,6,7,8,11,12}中的任意两个元素作分子与分母组成真分数,已知掏出的一个元素是12,那么掏出的另一个元素与之组成可约分数的概率是.答案:解析:设“掏出的两个元素中有一个是12”为事件A,“掏出的两个元素组成可约分数”为事件B.那么n(A)=7,n(AB)=4,因此P(B|A)=.9.6位同窗参加百米短跑竞赛,赛场共有6条跑道,已知甲同窗排在第一跑道,那么乙同窗排在第二跑道的概率是.答案:解析:甲排在第一道记为A,乙排在第二道记为B.那么P(A)=,P(AB)=.三、解答题10.一只口袋内装有2个白球和2个黑球,那么(1)先摸出1个白球不放回,再摸出1个白球的概率是多少?(2)先摸出1个白球后放回,再摸出1个白球的概率是多少?解:(1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A,“再摸出1个白球”为事件B,那么“前后两次摸到白球”为事件AB,先摸出一球不放回,再摸出一球共有4×3种结果.∵P(A)=,P(AB)=,∴P(B|A)=.∴先摸出一个白球不放回,再摸出一个白球的概率为.(2)设“先摸出1个白球放回”为事件A1,“再摸出1个白球”为事件B1,那么“两次都摸到白球”为事件A1B1.∵P(A1)=,P(A1B1)=,∴P(B1|A1)=.∴先摸出1个白球后放回,再摸出1个白球的概率为.11.现有6个节目预备参加竞赛,其中4个舞蹈节目,2个语言类节目,若是不放回地依次抽取2个节目,求:(1)第1次抽到舞蹈节目的概率;(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率;(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率.解:设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A,“第2次抽到舞蹈节目”为事件B,那么“第1次和第2次都抽到舞蹈节目”为事件AB.(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)==30,依照分步计数原理n(A)==20,于是P(A)=.(2)因为n(AB)==12,于是P(AB)=.(3)方式一:由(1)(2)可得,在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)=.方式二:因为n(AB)=12,n(A)=20,12.某市为增强市民的环境爱惜意识,面向全市征召义务宣传志愿者.把符合条件的1 000名志愿者按年龄分组:第1组[20,25)、第2组[25,30)、第3组[30,35)、第4组[35,40)、第5组[40,45],取得的频率散布直方图如下图: (1)假设从第3,4,5组顶用分层抽样的方式抽取12名志愿者参加广场的宣传活动,应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者?(2)在(1)的条件下,该市决定在这12名志愿者中随机抽取3名志愿者介绍宣传体会,求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率;(3)在(2)的条件下,假设ξ表示抽出的3名志愿者中第3组的人数,求ξ的散布列.解:(1)由题意可知,第3组的人数为0.06×5×1 000=300,第4组的人数为0.04×5×1 000=200,第5组的人数为0.02×5×1 000=100,第3,4,5组共有600名志愿者.因此利用分层抽样在600名志愿者中抽取12名志愿者,每组抽取的人数为第3组:×300=6;第4组:×200=4;第5组:×100=2.因此应从第3,4,5组别离抽取6人、4人、2人.(2)从12名志愿者中抽取3名共有=220种可能,第4组至少有一名志愿者被抽中有=164种可能,因此第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为P=.(3)ξ的可能取值为0,1,2,3,P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,因此ξ的散布列为。

【优化方案】高中数学人教A版选修2-3同步测试卷(十二)(含答案解析)

高中同步测试卷(十二) 章末检测统计案例(二) (时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中错误的是( )A ．如果变量x 与y 之间存在着线性相关关系，则我们根据试验数据得到的点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )将散布在某一条直线的附近B ．如果两个变量x 与y 之间不存在着线性关系，那么根据它们的一组数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )不能写出一个线性方程C ．设x ，y 是具有相关关系的两个变量，且y 关于x 的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，b ^叫做回归系数D ．为使求出的线性回归方程有意义，可用统计检验的方法来判断变量y 与x 之间是否存在线性相关关系2．两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数R 2如下，其中拟合效果最好的模型是( )A ．模型1的相关指数R 2为0.98B ．模型2的相关指数R 2为0.80C ．模型3的相关指数R 2为0.50D ．模型4的相关指数R 2为0.253．某研究所为了检验某血清预防感冒的作用，把500名使用了该血清的志愿者与另外500名未使用该血清的志愿者一年中的感冒记录作比较，提出假设H ：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K 2≈3.918，经查临界值表知P (K 2≥3.841)≈0.05，则下列叙述中正确的是( )A ．有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”B ．若有人未使用该血清，那么他一年中有95%的可能性得感冒C ．这种血清预防感冒的有效率为95%D ．这种血清预防感冒的有效率为5%4．为了调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了200位老年人，结果如下：附：K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）.参照附表，得到的正确结论是( )A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关”C ．最多有99%的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”D ．最多有99%的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关” 5．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：① y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423；② y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648；③ y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493；④ y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578.其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 6．根据如下样本数据得到的回归方程为y ＝bx ＋a ，则( )A ．a ＞0，b ＜0 A ．a ＞0，b ＞0 C ．a ＜0，b ＜0 D ．a ＜0，b ＞0 7．以下四个命题：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每间隔20分钟抽取一件产品进行某项指标的检测，这样的抽样是分层抽样；②在刻画回归模型的拟合效果时，R 2的值越大，说明拟合的效果越好；③在回归直线方程y ^＝0.2x ＋12中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y ^平均增加0.2个单位；④对分类变量X 与Y ，若它们的随机变量K 2的观测值k 越小，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大．其中正确的说法是( )A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③8．冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检验用这两种设备生产的产品所含杂质的关系，调查结果如下表所示：A．含杂质的高低与设备改造有关B．含杂质的高低与设备改造无关C．设备是否改造决定含杂质的高低D．以上答案都不对9．有下列数据A．y＝3×2x－1B．y＝log2x C．y＝3x D．y＝x210．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是()表1表3A．成绩B．视力C．智商D．阅读量11．在对两个变量x，y进行线性回归分析时一般有下列步骤：①对所求出的回归方程作出解释；②收集数据(x i，y i)，i＝1，2，…，n；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图．如果根据可靠性要求能够判定变量x，y具有线性相关性，则在下列操作顺序中正确的是()A．①②⑤③④B．③②④⑤①C．②④③①⑤D．②⑤④③①12．在研究打鼾与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得到“打鼾与患心脏病有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的．下列说法中正确的是()A．100个心脏病患者中至少有99人打鼾B．1个人患心脏病，则这个人有99%的概率打鼾C．100个心脏病患者中一定有打鼾的人D．100个心脏病患者中可能一个打鼾的人都没有813．利用独立性检验来考察两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定“X 与Y有关系”的可信程度．0.2514．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y ^＝0.67x ＋54.9.．15．下表是关于新生婴儿的性别与出生时间段调查的列联表，那么，A ＝________，B ＝________，C ＝________，D ＝________.16.已知变量x ，y ________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)以下是某地区不同身高的未成年男性的体重平均值表：(1)给出两个回归方程：①y ＝0.429 4x －25.318；②y ＝2.004e 0.019 7x .通过计算，得到它们的相关指数分别是：R 21＝0.931 1，R 22＝0.998.试问哪个回归方程拟合效果较好？(2)若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8为偏瘦，那么该地区某中学一男生身高为175 cm ，体重为78 kg ，他的体重是否正常？18．(本小题满分12分)某省全面实行一项教育改革措施，某社会实践小组为了解这一教育改革对中学生的影响，对某中学调查研究所得数据如表中所示：19．(本小题满分12分)某电脑公司有6名产品推销员，其中5名产品推销员的工作年限与年推销金额数据如下表：(1)(2)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．20．(本小题满分12分)某项试验，在100次试验中，成功率只有10%，进行技术改造后，又进行了100次试验，试问：在犯错的概率不超过0.025的前提下，若认为“技术改造有明显效果”，则试验的成功率最少应该是多少？(设P (K 2≥5)＝0.025)21．(本小题满分12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据.(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤．22．(本小题满分12分)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：(1)惯方面有差异”；(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.参考答案与解析1．【解析】选B.任何一组(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )都能写出一个线性方程，只是有的无意义．2．【解析】选A.相关指数越大拟合效果就越好，故选A.3．【解析】选A.K 2≈3.918>3.841，因此有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．故选A.4．【解析】选A.由公式计算得观测值k ≈18.18>10.828，所以A 项正确． 5．【解析】选D.x 的系数大于零为正相关；小于零为负相关． 6．【解析】选A.由题中数据知，b <0，因为x －＝3＋4＋5＋6＋7＋86＝112，y －＝4.0＋2.5－0.5＋0.5－2.0－3.06＝14，所以14＝112b ＋a ，所以a ＝14－112b .又因为b <0，所以a >0，故选A.7．【解析】选D.①为系统抽样；④错误． 8．【解析】选A.由已知数据得到如下2×2列联表K 2的观测值k ＝382×（37×202－121×22）2158×224×59×323≈13.11，由于13.11>10.828，故在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为含杂质的高低与设备改造是有关的．9．【解析】选A.把x ＝1，2，3分别代入求值，可得A 正确．10．【解析】选D.A 中，a ＝6，b ＝14，c ＝10，d ＝22，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52，K 2＝52×（6×22－14×10）220×32×16×36＝131 440.B 中，a ＝4，b ＝16，c ＝12，d ＝20，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52，K 2＝52×（4×20－16×12）220×32×16×36＝637360.C 中，a ＝8，b ＝12，c ＝8，d ＝24，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52，K 2＝52×（8×24－12×8）220×32×16×36＝1310.D 中，a ＝14，b ＝6，c ＝2，d ＝30，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52，K 2＝52×（14×30－6×2）220×32×16×36＝3 757160.因为131 440＜1310＜637360＜3 757160，所以与性别有关联的可能性最大的变量是阅读量．11．【解析】选D.对两个变量进行线性回归分析的步骤是：收集数据，绘制散点图，求相关系数，通过这三个步骤确定两个变量是不是具有线性相关关系，不然回归直线方程也没有什么价值，在此基础上求出回归直线方程，对所求出的回归直线方程进行解释．故正确的步骤是②⑤④③①.12．【解析】选D.这是独立性检验，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“打鼾与患心脏病有关”．这只是一个概率，即打鼾与患心脏病有关的可能性为99%.根据概率的意义可知答案应选D.13．【解析】由表可知k 0＝5.024对应的P 为0.025，即P (K 2≥5.024)＝0.025.从而推断“X 与Y 有关系”出错的概率不超过0.025.【答案】0.02514．【解析】由表知x －＝30，设模糊不清的数据为m ，则y －＝15(62＋m ＋75＋81＋89)＝307＋m 5，因为y －＝0.67x －＋54.9，即307＋m 5＝0.67×30＋54.9，解得m ＝68. 【答案】6815．【解析】A ＝92－45＝47，D ＝180－98＝82，B ＝98－45＝53，C ＝180－92＝88. 【答案】47 53 88 82 16.y ^＝1.75＋2.05x17．【解】(1)因为R 22>R 21，所以第二个方程拟合效果较好．(2)把x ＝175代入y ＝2.004e 0.019 7x ，得y ≈62.97，由于7862.97≈1.24>1.2，所以这名男生偏胖．18．【解】由题意可知，把表中数据列成2×2列联表得：由K 2＝236×（65×59－82×30）147×89×95×141≈2.546<2.706.因此，在犯错误的概率不超过0.1的前提下，不能认为成绩情况与对教育改革的态度有关系．19．【解】(1)设所求的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则b ^＝＝1020＝0.5，a ^＝y －－b ^ x －＝0.4.所以年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程为y ^＝0.5x ＋0.4. (2)当x ＝11时，y ^＝0.5x ＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9(万元)．所以可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元．20．【解】设技术改造后成功次数为x .由题意给出列联表如下：则有K 2＝200×[10×（100－x ）－90x ]100×100×（10＋x ）×（190－x ）>5，解得x >21.52或x <2.38(舍去)．所以，在犯错的概率不超过0.025的前提下，认为“技术改造有明显效果”时，试验成功率最少应是22%.21．【解】(1)由题设所给数据，可得散点图如图．(2)由对照数据，计算得x －＝3＋4＋5＋64＝4.5， y －＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为b ^＝＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝0.7，a ^＝y －－b ^x －＝3.5－0.7×4.5＝0.35.因此，所求的线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.(3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为90－(0.7×100＋0.35)＝19.65吨标准煤．22．【解】(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K 2＝100×（60×10－20×10）270×30×80×20 ＝10021≈4.762. 因为4.762>3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 2，b 3)，(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 2，b 3)，(a 1，b 1，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}．其中a i 表示喜欢甜品的学生，i ＝1，2；b j 表示不喜欢甜品的学生，j ＝1，2，3.Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 2，b 3)，(a 1，b 1，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}．7事件A由7个基本事件组成，因而P(A)＝10.。

【志鸿优化设计】高中数学综合检测试题新人教A版选修2-3

【志鸿优化设计】2014年高中数学综合检测试题新人教A版选修2-3(时间:120分钟,满分:150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张.不同取法的种数为( ).A.232B.252C.472D.484答案:C解析:完成这件事可分为两类,第一类3张卡片颜色各不相同共有=256种;第二类3张卡片有两张同色且不是红色卡片共有=216种,由分类加法计数原理得共有472种,故选C.2.(2014重庆高考)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( ).A.72B.120C.144D.168答案:B解析:解决该问题分为两类:第一类分两步,先排歌舞类,然后利用插空法将剩余3个节目排入左边或右边3个空,故不同排法有·2=72.第二类也分两步,先排歌舞类,然后将剩余3个节目放入中间两空排法有,故不同的排法有=48,故共有120种不同的排法,故选B.3.(x2+2)的展开式中的常数项是( ).A.-3B.-2C.2D.3答案:D解析:的通项为T r+1=(-1)r=(-1)r x2r-10.要使(x2+2)的展开式中存在常数项,须令2r-10=-2或0,此时r=4或5.故(x2+2)·的展开式中的常数项是(-1)4×+2×(-1)5×=3.4.小明同学在网易上申请了一个电子信箱,密码由4位数字组成,现在小明只记得密码是由2个6,1个3,1个9组成,但忘记了它们的顺序.那么小明试着输入由这样4个数组成的一个密码,则他恰好能输入正确进入邮箱的概率是( ).A. B. C. D.答案:C解析:由2个6,1个3,1个9这4个数字一共可以组成=12种不同的密码顺序,因此小明试着输入由这样4个数组成的一个密码,他恰好能输入正确进入邮箱的概率是P=.5.将三颗骰子各掷一次,设事件A=“三个点数都不相同”,B=“至少出现一个6点”,则概率P(A|B)等于( ).A. B. C. D.答案:A解析:P(B)=1-P()=1-,P(AB)=,故P(A|B)=.6.已知随机变量X服从二项分布,X~B,则P(X=2)等于( ).A. B. C. D.答案:D解析:P(X=2)=··.7.6个电子产品中有2个次品,4个合格品,每次从中任取一个测试,测试完后不放回,直到两个次品都找到为止,那么测试次数X的均值为( ).A. B. C. D.答案:D解析:测试次数X为随机变量,其可能的取值为2,3,4,5,6,其分布列如下:∴E(X)=2×+3×+4×+5×+6×.8.某次语文考试中考生的分数X~N(80,100),则分数在60~100分的考生占总考生数的百分比是( ).A.68.26%B.95.44%C.99.74%D.31.74%答案:B解析:由题意得μ=80,σ=10,μ-2σ=60,μ+2σ=100,故60~100分之间的考生占总考生数的百分比是95.44%.9.已知x,y之间的一组数据x与y之间的线性回归方程x必过( ).A.(0,0)B.(1.1675,0)C.(0,2.3925)D.(1.1675,2.3925)答案:D解析:回归直线过样本中心点().∵=1.1675,=2.3925,∴x必过点(1.1675,2.3925).10.已知(x+)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2的值为( ).A.0B.1C.-1D.2答案:B解析:令x=1,得a0+a1+a2+…+a10=(1+)10.令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…-a9+a10=(-1)10.∴(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2=(a0+a1+a2+…+a10)(a0-a1+a2-a3+…+a8-a9+a10)=(1+)10·(1-)10=1.11.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:由K2=算得,K2=≈7.8.附表:参照附表,得到的正确结论是( ).A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”答案:C解析:∵K2≈7.8>6.635,∴有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”,即犯错误的概率不超过1%.12.抛一枚均匀硬币,正反面出现的概率都是,反复这样投掷,数列{a n}定义如下:a n=若S n=a1+a2+…+a n(n∈N*),则事件“S8=2”的概率,事件“S2≠0,S8=2”的概率分别是( ).A. B.C. D.答案:B解析:根据定义事件“S8=2”是指8次投掷中5次正面3次反面,其概率为P=;事件“S2≠0,S8=2”是指:(1)前2次都是正面,后6次中3正3反;(2)前2次都是反面,后6次中5正1反,故其概率为P=.二、填空题(每小题4分,共16分)13.5名男性驴友到某旅游风景区游玩,晚上入住一家宾馆,宾馆有3间客房可选,一间客房为3人间,其余为2人间,则5人入住两间客房的不同方法有种(用数字作答).答案:20解析:依题可知这5人只能入住一间3人间及一间2人间,第一步先确定在2个2人间中选择哪一间有种;第二步确定哪三个人入住3人间有种,剩下的2人住2人间,故这5人入住两间空房的不同方法有=20种.14.(2014大纲全国高考)的展开式中x2y2的系数为.(用数字作答)答案:70解析:设的第r+1项中含有x2y2,则T r+1=·(-1)r·,因此8-r-=2,r-=2,即r=4.故x2y2的系数为×(-1)4==70.15.某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位:h)均服从正态分布N(1000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为.答案:解析:设元件1,2,3的使用寿命超过1000小时的事件分别记为A,B,C,显然P(A)=P(B)=P(C)=, ∴该部件的使用寿命超过1000的事件为(AB+AB)C.∴该部件的使用寿命超过1000小时的概率为P=.16.甲、乙两队进行排球比赛,已知在一局比赛中甲队获胜的概率是,没有平局,若采用三局两胜制比赛,即先胜两局者获胜且比赛结束,则甲队获胜的概率等于.答案:解析:甲队2∶0获胜的概率为,甲队2∶1获胜的概率为···,故甲队获胜的概率为.三、解答题(共6小题,共74分)17.(12分)在研究某种新药对小白兔的治疗效果时,得到如下数据:试分析新药对治疗小白兔是否有效?解:由公式计算得,随机变量K2的观测值k=≈8.658,由于8.658>6.635,故有99%的把握可以判断新药对治疗小白兔是有效的.18.(12分)已知在的展开式中,第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3.(1)求展开式中的所有有理项;(2)求展开式中系数绝对值最大的项;(3)求n+9+81+…+9n-1的值.解:(1)由(-2)4∶(-2)2=56∶3,解得n=10.因为通项T r+1=)10-r=(-2)r,当5-为整数时,r可取0,6,于是有理项为T1=x5和T7=13440.(2)设第r+1项系数绝对值最大,则解得于是r=7.所以系数绝对值最大的项为T8=-15360.(3)10+9+81+…+910-1===.19.(12分)在一个盒子中,放有标号分别为1,2,3的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x,y,设O为坐标原点,点P的坐标为(x-2,x-y),记ξ=|x-2|+|y-x|.(1)求随机变量ξ的最大值,并求事件“ξ取得最大值”的概率;(2)求随机变量ξ的分布列和数学期望.解:(1)∵x,y可能的取值为1,2,3,∴|x-2|≤1,|y-x|≤2.∴ξ≤3,且当x=1,y=3或x=3,y=1时,ξ=3.因此,随机变量ξ的最大值为3.∵有放回抽两张卡片的所有情况有3×3=9种,故P(ξ=3)=,即事件“ξ取最大值”的概率是.(2)随机变量ξ可能取值为0,1,2,3,∵当ξ=0时,x=2,y=2,∴P(ξ=0)=;∵当ξ=1时,x=1,y=1或x=2,y=1或x=2,y=3或x=3,y=3,∴P(ξ=1)=;∵当ξ=2时,x=1,y=2或x=3,y=2,∴P(ξ=2)=;由(2)知P(ξ=3)=,∴随机变量ξ的分布列为随机变量ξ的数学期望E(ξ)=0×+1×+2×+3×.20.(12分)假设关于某设备使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下统计资料:若由资料知,y对x呈线性相关关系,试求:(1)回归直线方程;(2)估计使用年限为10年时,维修费用约是多少?解:(1)依题列表如下:=1.23.=5-1.23×4=0.08.∴回归直线方程为=1.23x+0.08.(2)当x=10时,=1.23×10+0.08=12.38(万元).即估计用10年时,维修费约为12.38万元.21.(12分)现在要对某个学校今年将要毕业的900名高三毕业生进行乙型肝炎病毒检验,可以利用两种方法.①对每个人的血样分别化验,这时共需要化验900次;②把每个人的血样分成两份,取其中m个人的血样各一份混合在一起作为一组进行化验,结果为阴性,那么对这m个人只需这一次检验就够了;结果为阳性,那么再对这m个人的另一份血样逐个化验,这时对这m个人一共需要m+1次检验.据统计报道,对所有人来说,化验结果为阳性的概率为0.1.(1)求当m=3时,一个小组经过一次检验就能确定化验结果的概率是多少?(2)试比较在第二种方法中,m=4和m=6哪种分组方法所需要的化验次数更少一些?解:(1)当m=3时,一个小组有3个人,经过一次检验就能确定化验结果是指经过一次检验,结果为阴性,所以概率为P=(1-0.1)3=0.729.(2)当m=4时,一个小组有4个人,这时每个人需要检验的次数是一个随机变量η1,其分布列为η1P 0.941-0.94所以E(η1)=×0.94+×(1-0.94)≈0.59;当m=6时,一个小组有6个人,这时需要检验的次数是一个随机变量η2,其分布列为η2P 0.961-0.96所以E(η2)=×0.96+×(1-0.96)≈0.64,由于E(η2)>E(η1),因此当每4个人一组时所需要的化验次数更少一些.22.(14分)一次小测验共有3道选择题和2道填空题,每答对一道题得20分,答错或不答得0分.某同学答对每道选择题的概率均为0.8,答对每道填空题的概率均为0.5,各道题答对与否互不影响.(1)求该同学恰好答对2道选择题和1道填空题的概率;(2)求该同学至多答对4道题的概率;(3)若该同学已经答对了两道填空题,把他这次测验的得分记为X,求X的概率分布列及数学期望.解:(1)P=.(2)该同学至多答对4道题的概率为1-·.(3)X的可能取值为40,60,80,100.P(X=40)=,P(X=60)=,P(X=80)=,P(X=100)=.∴X的概率分布列为E(X)=40×+60×+80×+100×=88.。

【志鸿优化设计】2014年高中数学 1.2.2组合课件新人教A版选修2-3

KETANG HEZUO TANJIU
问题导学
当堂检测
��+1 (��+1)! · ��+1 (��+1)![(��+1)-(��+1)]! ��+1 (��+1)! ��! �� = · = = C�� =左边, ��+1 (��+1)!(��-��)! ��!(��-��)!
�� -1 �� -1
�� (2)C�� =
0 1 2 (3)C�� + C�� +1 + C�� +2 +…+C�� +�� -1 = C�� +�� .
证明:(1)右边= · =
��! [��·(��-1)!](��-��)!
n 为字母的题目,一般偏向于不等式的求解或恒
等式的证明.
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
问题导学
当堂检测
2 8 98 199 3 例 2 计算:(1)3C8 - 2 C5 + C8 ;(2)C100 + C200 ; 1 2 3 (3)C6 + C6 + C7 . 2 8 3 解:(1)3C8 - 2 C5 + C8 =3×
… =C�� +�� -1 + C�� +�� -1 = C�� +�� =右边,故原式成立.

【志鸿全优设计】高中数学第一章1.2.2 组合讲解与例题新人教A版选修2-3

1.2.2 组合问题导学一、组合概念的理解与应用活动与探究1判断下列问题是排列问题还是组合问题，并分别求出对应的方法数．(1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？(2)从2,3,5,7,11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？(3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同选法？迁移与应用1．若已知集合P ＝{1,2,3,4,5,6}，则集合P 的子集中含有3个元素的子集数为__________．2．中国、日本、韩国、朝鲜四国举行女足邀请赛，赛制采取单循环赛方式，请列举出所有各场比赛的双方．区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．二、与组合数有关的计算与证明活动与探究21．计算：(1)3C 38－2C 25＋C 88；(2)C 98100＋C 199200；(3)C 16＋C 26＋C 37．2．证明：m C m n ＝n C m －1n －1．迁移与应用1．计算：C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 210＝__________．2．若C x 15＝C 2x －615，则x ＝__________． 3．证明下列各等式：(1)C mn ＝n mC m －1n －1；(2)C mn ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1；(3)C 0n ＋C 1n ＋1＋C 2n ＋2＋…＋C m －1n ＋m －1＝C m －1n ＋m ．(1)组合数公式的选取：涉及具体数字的可以用展开式计算，涉及字母的可以用阶乘式计算．(2)性质1：C m n ＝C n －m n 主要应用于简化运算．性质2：C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n 从右到左两个组合数合为一个，实现了由繁到简的化简过程，主要应用于组合数的化简．三、简单组合问题活动与探究3现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？(3)现要从中选出男、女老师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？迁移与应用1．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种2．一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这两个球同色的不同取法有__________种．解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，取出元素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；取出元素排成一列，与顺序有关则是排列问题．只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求出其种数．在解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，注意有无重复或遗漏．四、有限制条件的组合问题活动与探究41．某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )A ．30种B ．35种C ．42种D ．48种2．某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，且既会划左舷又会划右舷的最多选1人，则不同的选法有( )A ．4种B ．36种C ．40种D ．92种迁移与应用1．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为( )A ．360B ．520C ．600D ．7202．(2013辽宁大连模拟)有8名男生和5名女生，从中任选6人． (1)有多少种不同的选法？(2)其中有3名女生，有多少种不同的选法？ (3)其中至多有3名女生，有多少种不同的选法？(4)其中有2名女生，4名男生，分别负责6种不同的工作，共有多少种不同的分工方法？(5)其中既有男生又有女生，有多少种不同的选法？(1)解有约束条件的组合问题与解有约束条件的排列问题的方法一样，都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提下，或分类或分步或用间接法．(2)要正确理解题中的关键词(如“都”与“不都”，“至少”与“至多”，“含”与“不含”等)的确切含义，正确分类，合理分步．(3)分配问题的一般思路是先选取，再分配．答案：课前·预习导学【预习导引】 1．组合预习交流1 提示：联系：二者都是从n 个不同的元素中取m (m ≤n )个元素．区别：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关，只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列．只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．2．(1)组合数 C mn (2)n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！ n ！m ！(n －m )！预习交流2 (1)提示：C (2)提示：D3．C n －m n C m n ＋C m －1n预习交流3 提示：(1)C 220 (2)C 39 课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：明确组合、排列的定义是解题的关键．若问题是否与顺序有关不明显，可以尝试写出其中的一个结果进行判断，再运用排列数与组合数公式求值．解：(1)是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关．分配方法有C 45＝5种．(2)是排列问题，选出的2个数有角色差异(作分子与作分母)．不同的分数有A 25＝20个．(3)是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序．不同的选法有C 49＝126种．迁移与应用 1．20 解析：由于集合中的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素顺序无关，是组合问题，共有C 36＝20种．2．解：单循环赛，指双方只赛一场，因此所有各场比赛双方为中国——日本；中国——韩国；中国——朝鲜；日本——韩国；日本——朝鲜；韩国——朝鲜．活动与探究2 1．思路分析：先考虑利用组合数的性质对原式进行化简，然后利用组合数公式展开计算．解：(1)3C 38－2C 25＋C 88＝3×8×7×63×2×1－2×5×42×1＋1＝149．(2)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992×1＋200＝5 150．(3)C 16＋C 26＋C 37＝C 27＋C 37＝C 38＝8×7×63×2×1＝56．2．思路分析：式子中涉及字母，可以用阶乘式证明．证明：左边＝m ·n ！m ！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n (n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n C m －1n －1＝右边， ∴m C m n ＝n C m －1n －1．迁移与应用 1．165 解析：∵C 22＝C 33＝1，∴原式＝C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 210＝C 311＝11×10×93×2＝165．2．6或7 解析：由已知x ＝2x －6或x ＋2x －6＝15，∴x ＝6或x ＝7．3．证明：(1)右边＝n m ·(n －1)！(m －1)！[(n －1)－(m －1)]！＝n ！[m ·(m －1)！](n －m )！＝n ！m ！(n －m )！＝C mn ＝左边， ∴原式成立．(2)右边＝m ＋1n ＋1·(n ＋1)！(m ＋1)！[(n ＋1)－(m ＋1)]！＝m ＋1n ＋1·(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！＝n ！m ！(n －m )！＝C mn ＝左边， ∴原式成立．(3)左边＝(C 0n ＋1＋C 1n ＋1)＋C 2n ＋2＋C 3n ＋3＋…＋C m －1n ＋m －1＝(C 1n ＋2＋C 2n ＋2)＋C 3n ＋3＋…＋C m －1n ＋m －1＝(C 2n ＋3＋C 3n ＋3)＋…＋C m －1n ＋m －1 ＝C 3n ＋4＋C 4n ＋4＋…＋C m －1n ＋m －1 …＝C m －2n ＋m －1＋C m －1n ＋m －1＝C m －1n ＋m ＝右边，∴原式成立．活动与探究3 思路分析：首先确定是否是组合问题，再确定完成事情是分步，还是分类．解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C 210＝10×92×1＝45．(2)可把问题分两类：第1类，选出的2名是男教师有C 26种方法；第2类，选出的2名是女教师有C 24种方法，即C 26＋C 24＝21种．(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，共有选法C 26×C 24＝6×52×1×4×32×1＝90种．迁移与应用 1．D 解析：和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数的取法有C 44＝1种，取2奇数2偶数的取法有C 24·C 25＝60种，取4个数均为奇数的取法有C 45＝5种，故不同的取法共有1＋60＋5＝66种．2．21 解析：分两类：一类是2个白球有C 26＝15种取法，另一类是2个黑球有C 24＝6种取法，所以共有15＋6＝21种取法．活动与探究4 1．思路分析：两类选修课选3门，依据A 类选修课选1门或2门进行分类，每类需要利用分步乘法计数原理解决．A 解析：分两类，A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，或者A 类选修课选2门，B类选修课选1门，因此，共有C 13·C 24＋C 23·C 14＝30种选法．2．思路分析：既会划左舷又会划右舷是多面手，是特殊元素，可以从他们的参与情况入手分类讨论．C 解析：第一类：无既会划左舷又会划右舷的有C 33·C 34＝4种选法．第二类：只有一名既会划左舷又会划右舷的有C 12(C 23C 34＋C 33C 24)＝2(3×4＋6)＝36种选法． ∴共有40种选法．迁移与应用 1．C 解析：分两类：第一类，甲、乙中只有一人参加，则有C 12C 35A 44＝2×10×24＝480种选法．第二类，甲、乙都参加时，则有C 25(A 44－A 22A 33)＝10(24－12)＝120种选法． ∴共有480＋120＝600种选法．2．解：(1)是无限制条件的组合问题．适合题意的选法有C 613＝1 716种． (2)是有限制条件的组合问题．第1步，选出女生，有C 35种；第2步，选出男生，有C 38种．由分步乘法计数原理，适合题意的选法有C 35·C 38＝560种． (3)是有限制条件的组合问题．至多有3名女生包括：没有女生，1名女生，2名女生，3名女生四类情况．第1类没有女生，有C 68种；第2类1名女生，有C 58·C 15种；第3类2名女生，有C 48·C 25种；第4类3名女生，有C 38·C 35种．由分类加法计数原理，适合题意的选法共有 C 68＋C 58·C 15＋C 48·C 25＋C 38·C 35＝1 568种． (4)是有限制条件的组合与排列问题．第1步，选出适合题意的6名学生，有C 25·C 48种；第2步，给这6名学生安排6种不同的工作，有A 66种．由分步乘法计数原理，适合题意的分工方法共有C 25·C 48·A 66＝504 000种． (5)是有限制条件的组合问题．用间接法，排除掉全是男生的情况和全是女生的情况即是符合题意的选法．而由题意知不可能6人全是女生，所以只需排除全是男生的情况，C 613－C 68＝1 716－28＝1 688种．当堂检测1．2973100100101(C C )A +÷的值为( ) A ．6 B ．101C ．16 D ．1101答案：C 解析：329732333331011001001011001001011011011013333A 11(C C )A(CC )ACAA A A 6÷=+÷=÷=÷==+． 2．从6名女生、4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为( )A ．3264C C ⋅B ．2364C C ⋅ C ．510C D ．3264A A ⋅答案：A 解析：由已知女生抽取3人，男生抽取2人，则抽取方法有3264C C ⋅种．3．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有__________种．答案：34 解析：(间接法)共有4474C C 34-=种不同的选法．4．6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4，现从中任取三条网线且使三条网线通过最大信息量的和大于等于6的方法共有__________种．答案：15 解析：当选用信息量为4的网线时有25C 种；当选用信息量为3的网线时有112222(C C +C )种，共有21125222C +C C C 15+=种．5．计算：(1)383321C C n nn n -++；解：由题意知，原式中的自然数n 必须满足不等式组3380, 2130, n n n n ≥-≥⎧⎨+≥≥⎩①②由①，得380,338,n n n -≥⎧⎨≥-⎩解此不等式组得192≤n ≤38；由②，得30,213,n n n ≥⎧⎨+≥⎩解此不等式组得0≤n ≤212．又∵n ∈N *，∴n ＝10，38328303213031C +C C +C 466n n n n -+∴==．(2)33132171312112C +C +C C n n n n n n n n ---++++…+．答案：由原式知，n 需满足0≤3n ≤13＋n 且0≤17－n ≤2n ，即满足不等式组*0313,0172,,n n n n n ⎧≤≤+⎪≤-≤⎨⎪∈⎩N即130,21717,3*.n n n ⎧≤≤⎪⎪⎪≤≤⎨⎪∈⎪⎪⎩N ∴可得n ＝6，∴原式＝1817161111111918171219181712C +C +C C C +C +C C 124+=+=…+…+．。

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