高中数学：排列与组合练习

高中数学:排列与组合练习

1．(昆明质检)互不相同的5盆菊花,其中2盆为白色,2盆为黄色,1盆为红色,先要摆成一排,要求红色菊花摆放在正中间,白色菊花不相邻,黄色菊花也不相邻,共有摆放方法(D) A．A55种B．A22种

C．A24A22种D．C12C12A22A22种

解析:红色菊花摆放在正中间,白色菊花不相邻,黄色菊花也不相邻,即红色菊花两边各一盆白色菊花,一盆黄色菊花,共有C12C12A22A22种摆放方法．

2．(广州测试)某学校获得5个高校自主招生推荐名额,其中甲大学2个,乙大学2个,丙大学1个,并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加,学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象,则不同的推荐方法共有(B)

A．36种B．24种

C．22种D．20种

解析:根据题意,分两种情况讨论:第一种,3名男生每个大学各推荐1人,2名女生分别推荐给甲大学和乙大学,共有A33A22＝12种推荐方法；第二种,将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学,共有C23A22A22＝12种推荐方法．故共有24种推荐方法,选B.

3．(广东珠海模拟)将5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则不同放法共有(C)

A．480种B．360种

C．240种D．120种

解析:根据题意,将5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则必须有2个小球放入1个盒子,其余的小球各单独放入一个盒子,分2步进行分析:①先将5个小球分成4组,有C25＝10种分法；②将分好的4组全排列,放入4个盒子,有A44＝24种情况,则不同放法有10×24＝240种．故选C.

4．某小区有排成一排的7个车位,现有3辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的4个车位连在一起,那么不同的停放方法的种数为(C)

A．16 B．18

C．24 D．32

解析:将4个车位捆绑在一起,看成一个元素,先排3辆不同型号的车,在3个车位上任意排列,有A33＝6(种)排法,再将捆绑在一起的4个车位插入4个空档中,有4种方法,故共有4×6＝24(种)方法．

5．(河北保定一模)甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A、B、C三个不同社区进行帮扶活动,每人只能去一个社区,每个社区至少一人．其中甲必须去A社区,乙不去B社区,则不同的安排方法种数为(B)

A．8 B．7

C．6 D．5

解析:根据题意,分2种情况讨论:①乙和甲一起去A社区,此时将丙丁二人安排到B、C社区即可,有A22＝2种情况,②乙不去A社区,则乙必须去C社区,若丙丁都去B社区,有1种情况,若丙丁中有1人去B社区,则先在丙丁中选出1人,安排到B社区,剩下1人安排到A或C社区,有2×2＝4种情况,则不同的安排方法种数有2＋1＋4＝7种,故选B.

6．将7个人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排,若甲不能在排头,乙不能在排尾,丙、丁两人必须相邻,则不同的排法共有(B)

A．1 108种B．1 008种

C．960种D．504种

解析:将丙、丁两人进行捆绑,看成一人．将6人全排列有A22A66种排法；将甲排在排头,有A22A55种排法；乙排在排尾,有A22A55种排法；甲排在排头,乙排在排尾,有A22A44种排法．则甲不能在排头,乙不能在排尾,丙、丁两人必须相邻的不同排法共有A22A66－A22A55－A22A55＋A22A44＝1 008(种)．

7．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有(C)

A．24对B．30对

C．48对D．60对

解析:利用正方体中两个独立的正四面体解题,如图,它们的棱是原正方体的12条面对角线．一个正四面体中两条棱成60°角的有(C26－3)对,两个正四面体有(C26－3)×2对．又正方体的面对角线中平行成对,所以共有(C26－3)×2×2＝48对,故选C.

8．(河南豫北名校联考)2018年元旦假期,高三的8名同学准备拼车去旅游,其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名,分乘甲乙两辆汽车,每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置),其中(1)班两位同学是孪生姐妹,需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有(B)

A．18种B．24种

C．48种D．36种

解析:由题意,有两类:第一类,一班的2名同学在甲车上,甲车上剩下两个要来自不同的班级,从三个班级中选两个,有C23＝3种,然后分别从选择的班级中再选择一个学生,有C12C12＝4种,故有3×4＝12种．第二类,一班的2名同学不在甲车上,则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上,有C13＝3种,然后再从剩下的两个班级中分别选择一人,有C12C12＝4种,这时共有3×4＝12种,根据分类计数原理得,共有12＋12＝24种不同的乘车方式,故选B.

9．(洛阳统考)某校有4个社团向高一学生招收新成员,现有3名同学,每人只选报1个社团,恰有2个社团没有同学选报的报法有36种(用数字作答)．

解析:解法一第一步,选2名同学报名某个社团,有C23·C14＝12种报法；第二步,从剩余的3个社团里选一个社团安排另一名同学,有C13·C11＝3种报法．由分步乘法计数原理得共有12×3＝36种报法．

解法二第一步,将3名同学分成两组,一组1人,一组2人,共C23种方法；第二步,从4个社团里选取2个社团让两组同学分别报名,共A24种方法．由分步乘法计数原理得共有C23·A24＝36种报法．

10．(豫南九校联考)某医院拟派2名内科医生,3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队,平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊,其中每个分队都必须有内科医生,外科医生和护士,则不同的分配方案有36种．

解析:2名内科医生的分法为A22,3名外科医生与3名护士的分法为C23C13＋C13C23,共有A22(C23C13＋C13C23)＝36(种)不同的分法．

11．(衡水模拟)某宾馆安排A,B,C,D,E五人入住3个房间,每个房间至少住1人,且A,B不能住同一房间,则共有114种不同的安排方法．(用数字作答)

解析:5个人住3个房间,每个房间至少住1人, 则有(3,1,1)和(2,2,1)两种,当为(3,1,1)时,有

C35·A33＝60(种),A,B住同一房间有C13·A33＝18(种),共有60－18＝42(种),当为(2,2,1)时,有C25·C23

A22·A

3

3

＝90(种),A,B住同一房间有C23·A33＝18(种),