清华大学一元微积分期末考题

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清华大学本科生微积分B(1)期末考试往年试题及解答

k =1
的收敛域是 ∑∞ an (x −1)n
．
n=1
答案： [0, 2)
．若，则 6
∫
lim
x→+∞
x x
− +
a a
x
=
+∞ xe−xdx
a
a=
.
答案：
．7
lim
n→∞
n
1 +1
+
n
1 +
2
+
⋯
+
n
1 +
n
=
.
函数 ≤ ≤ 的以为周期的级数是 8.
f
(x)
=
1, −1,
0 x π, −π<x < 0
+
x)
从而 ∑∞ (−1)n n=0
n+2 n +1
xn
=
1
1 +
x
+
ln(1 + x
2,
x)
,
x ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1), x = 0.
．证明，并计算定积分． 13
∫ ∫ π 3 π
cos2 x x(π − 2x)
dx
=
π
3 π
sin2 x x(π − 2x)
dx
∫ I =
π
3 π
3 π
6
． = ln 2 π
14. 已知曲线段：L y = ln x (1≤ x ≤ 3 ) ，有界区域 D 由 L 与 x 轴及直线 x = 3 围成．
（Ⅰ）求 D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积；
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一元微积分期末复习题目

这是一套期末测试题，基本上就是上学年的试卷，有修改。大家可以自己做一下，测评一下。注意，此次考试题目完全以课后作业和总习题为原型，所以大家要以基本题目为根本。
一、计算下列各题
1、计算下列积分（每题4分，共20分）：
（1）；（2）；
（3）；（4） .
பைடு நூலகம்(5)
2、求解下列微分方程：（每小题5分，共25分）
三、证明题（每小题5分，选做两道。）
1.设函数在上连续,且
试证在内至少存在两个不同的点使
2.设在区间上连续导数，且，若，证明：
.
3．设函数是上的连续,在内可导，且有，试证：必有，使 .
四、附加题（10分）
1.设是上的连续函数，证明：存在，使得 .
2．设函数和在上连续，证明： .
1．过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及轴围成平面图形 .
（1）求的面积；(2)求绕直线旋转一周所得旋转体的体积.
2．一物体按规律作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，即，其中为物体的运动速度，为比例常数。计算物体由移至时，克服介质阻力所作的功.（注：题目中的和均为正的常数）.
（1）求微分方程的通解；（2）求微分方程满足的特解.
(3)求微分方程的通解。
（4）求初值问题的解.
（5）设函数满足，求 .
3、求下列极限（每小题5分，共10分）
（1）；（2）设，求极限
4、(8分)求微分方程满足，的特解.
5、(6分)若，对，求 .
6、（6分）设，求 .
二、应用题（第一小题9分，第二题6分，共15分）

一元微积分A(上)试题

（勤奋、求是、创新、奉献）2012 ～ 2013学年第一学期考试 2012. 11课程代码 210151 班级姓名___ ______ 学号 ___ _________一元微积分A （上）试卷（本卷考试时间 120 分钟）题号一二三四五六七八九十十一十二总分分值 20分18分5分 5分 6分 5 分5分 6分 7分 9分 8分 6分 100分得分一、填空题（每小题4分，共5小题20分）1. 极限233632lim 15n n n n→∞++=+ ．2. 3. 设2sin ln3y x =+, 则dy = dx .4. 设函数()(1)(2)(3)(4)(5)f x x x x x x =-----，则方程()0f x '=正好有个实根.5. 函数23x y xe =+的驻点是x = .二、单项选择题（每小题3分，共6小题18分）2t a n 2,00.,0xx y x k xk x x ⎧<⎪===⎨⎪+≥⎩设函数在点连续，则()y f x =O yx2-2()y f x =O yx 2-2O yx 2-2()y f x =Oyx -22-11()y f x =1. 下列极限中存在的是（）. A. 11lim 2xx →-； B. 01lim sinx x→； C. 11lim 1x x →-； D. lim arctan x x →∞．2. 设质点的运动方程为)sin(θω+=t A s ，其中,,A ωθ为常数，则（）成立.A. 0ds s dt ω+=;B. 2220d s s dt ω+=; C. 220d s ds dt dt ω+=; D. 220d s ds dt dt+=． 3. 函数21()lim1nn xf x x →∞+=+有（）个间断点.A. 3;B. 2;C. 1;D. 0.4．在区间[1,1]-上满足罗尔定理条件的函数是（）. A. 41()f x x=； B. 2()1f x x =+； C . ()tan f x x =； D .()||f x x =. 5. 设函数()f x 可导，且0lim ()1x f x →'=，则0x =是函数()f x 的（） A ．零点; B ．驻点; C ．极值点; D ．以上都不是.6. 设函数()f x 可导，在(,2)-∞-上()0f x '>，在(2,2)-上()0f x '<，在(2,)+∞上()0f x '>，则此函数的图形是( ).A ．B ．C. D ．三、（5分）求极限30sin 21lim x x x e x→+-.四、（5分）设sin tan arccos ln 2xy x x x x =+++，求dxdy .五、（6分）设 sin cos ,cos sin ,x t t t y t t t =-⎧⎨=+⎩，求4t dydx π=，22d y dx．六、（5分）方程35y y xe x +=确定y 为x 的函数，求出它在1,0x y ==处的导数.七、（5分）一球形物体收缩时，其半径以2cm/s 的速率缩短，试求半径为４m 时，该球形物体体积的变化率.八、(6分) 设函数)(x f ln(2),0sin 2,0ax x x b x +≤⎧=⎨+>⎩，问b a ,为何值时，(1) )(x f 在0=x 连续； (2) )(x f 在0=x 可导；(3) )(x f 在0=x 可导时，求出)(x f '．九、（7分）设曲线c bx ax x y +++=23过)0,1(点，且在该点与直线33+-=x y 相切，此外该函数)(x y y =在2-=x 取得极值，求常数c b a ,,的值.十、(9分)求曲线2ln=的凹凸区间与拐点.y x x十一、（8分）油脂公司要制作一个容积为16πkL的圆柱形储油罐，问应当如何确定油罐的底圆半径r和高h，才能使得造价最省？(体积单位与容积单位的换算公式：3=)1m1kL十二、(6分) 设函数)(x f 在],[b a 上可导，在),(b a 内有二阶导数，且()()0,()()0,f a f b f a f b ''==>试证明：在),(b a 内至少有两个点,ξη，使得()0,()0.f f ξη''==。

清华大学本科生高等数学微积分A期末模拟试题解答

清华大学本科生高等数学微积分A期末模拟试题解答微积分A (A) 答案一．填空题（每空3分，共15题）（请将答案直接填写在横线上！）1. ∑=∞→++ni n i n i n n 1)2)((lim = 。

答案：2ln 3ln ?2. ∫dx e x x 2= 。

答案：C e xe e x x x x ++?2223. =∫→3020)sin(lim x dt t x x 。

答案：31 4. ∫+x x t d t dx d 22)sin 1ln(= 。

答案：)sin 1ln(2)2sin 1ln(22x x x +?+5. 求曲线x e y =、x y πcos ?=、21?=x 、21=x 围成的区域面积。

答案：π22121+??e e6. =?∫π03sin sin dx x x 。

答案：34 7. ∫=+)1(2x x dx 。

答案：C x x ++?)1ln(21ln 2 8. =+∫21xx dx 。

答案：2ln 2)12ln(2?+9. 悬链线 )(21x x e e y ?+=，1||≤x 的弧长 =L 。

答案：1e e10. 二阶方程 03'''2=??y xy y x 的通解为。

答案：x c x c y /231+= 11. 常微分方程组+=+=z y dxdz zy dx dy 22的通解为。

答案：+=?x x x x e e C e e C z y 3321 12. 设2,x x 是二阶齐次线线性常微分方程解，则该微分方程为。

答案：0222=+′?′′y xy x y 13. 0106=+′+′′y y y 的通解为。

答案：x e C x eC y x x sin cos 3231??+= 14. xy x y dx dy tan +=的通解为。

答案：Cx xy =sin 15. 常微分方程26xy y xy ?=?′的通解为。

答案：8126x x C y +=二．计算题（每题10分，共4题）（请写出详细计算过程和必要的根据！）1．计算∫+4/022cos 3sin πxx dx . 解：原式 =∫+4/022)tan 3(cos πx x dx ∫=+=102tan 3t dt x t = 363arctan 3110π=t 。

一元微积分试卷及答案

一、单项选择题1.设01<<-x ，21arcsin )(x x f -=，则=')(x f （C ）A ．211x x - B. 211x x -- C. 211x - D. 211x--2.当1→x 时，函数11211)(---=x e x x x f 的极限为（D ）A.2B.0C.∞D.不存在但不是∞ 3.设232)(-+=x x x f ，则当0→x 时，有（B ）A.)(x f 是x 的等价无穷小B. )(x f 与x 是同阶但非等价无穷小C. )(x f 是比x 高阶的无穷小D. )(x f 是比x 低阶的无穷小 4.函数1ln )(-=x x f 的导数是（B ）A. 11-xB.11-xC.x -11D.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-='1,111,11)(x xx x x f5.设1)()()(lim2-=--→a x a f x f ax ，则在a x =处（B ） A. )(x f 的导数存在，且0)(≠'a f 。

B. )(x f 取得极大值。

C. )(x f 取得极小值。

D. )(x f 的导数不存在。

6.设在[]10，区间0)(>''x f ，则下列不等式的大小关系正确的是（B ） A. )0()1()0()1(f f f f ->'>' B. )0()0()1()1(f f f f '>->' C. )0()1()0()1(f f f f '>'>- D. )0()1()0()1(f f f f '>->' 7.若)0(1)(2>='x xx f ，且2)1(=f ，则=)(x f （ C ） A. x 2 B. 2ln 21+x C. x 2 D.x18.设 ⎰=41tan I πdx xx ，⎰=402tan I πdx x x ，则（B ）A. 121>>I IB.211I I >>C.112>>I ID. 121I I >>二、填空题1．设2)(x x x f +=，⎩⎨⎧≥<=0,0,)(2x x x x x ϕ，则=)]([x f ϕ ⎩⎨⎧≥<0,0,02x x x2．设函数⎩⎨⎧>+≤+=0),cos (sin 0,2)(x x x e x a x x f x 在),(+∞-∞连续，则=a 1 .3．若0)(=a f ，1)(='a f ，则=-∞→)1(lim na nf n -1 .4．求极限=-+∞→2)(lim 22x n ax a x a e 2. 5．不定积分⎰=''dx x f x )(c x f x f x +-')()(.三、解答题1. 求极限 xx x x x c b a 10)3(lim ++→,(0,0,0>>>c b a )解：设x x x x c b a y 1)3(++=，xx x x c b a x y 1)3ln(1ln ++=xx x x x x c b a x y 100)3ln(1lim ln lim ++=→→ 3ln ln ln 3lim 0cc b b a a c b a x x x x x x x ++⋅++=→ ＝3ln 3ln ln ln abc cb a =++ ∴30lim abc y x =→2. 已知0333=-+axy y x （a 为常数），求dxdy . 解：0)(33322='+-'+y x y a y y x 022='+-'+y ax ay y y xax y x ay y --='223. 已知⎪⎩⎪⎨⎧-==t y t x 122,求22dx y d .解：tx y dx dy t t 1-=''=322211)()(t t t dtdx dt dx dy d dx dx dy d dx y d ====4. 求不定积分dx x x ⎰+1002)1(.解：dx x x ⎰+1002)1(＝）（1)1(2121002++⎰x d x ＝c x ++⋅101)1211012（＝c x ++202)11012（ 5. 求极限)1()21)(11ln(1lim n nn n n n +++∞→解：原式＝⎰+10)1ln(dx x ＝dx x xx x ⎰+-+10101)1ln(=-2ln dx x ⎰+-1)111( =10)1ln(12ln ++-x =12ln 2-四、叙述拉格朗日中值定理，并验证函数12ln , 1()1 1 , 13x x e f x x x⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩ 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3e 1，上满足拉格朗日中值定理的条件。

清华大学一元微积分期末考题-答案

一．填空题（每空3分，共15空）（请将答案直接填写在横线上！）1.=-⎰dx x x2)1(ln答案：C x x x x+--+-ln |1|ln 1ln 2. ⎰=+xdx2cos 1 。

答案：C x +⎪⎭⎫ ⎝⎛tan 21arctan 21 3.=⎰+∞12arctan dx xx解：22ln 4)1(arctan arctan 12112+=++-=⎰⎰∞++∞∞+πx x dx x x dx x x 4.C x dx x xf +=⎰arctan )(，则=⎰dx x f )(1。

答案：C x x ++4242 5.=++⎰-dx x xx 222sin 1cos )1(ππ 。

答案：2π 6. =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰22x x t dt e dx d 。

答案：242x x e xe-7. 设)(x f 为连续函数，0)0(≠f ，⎰=xdt t f t x F 02)()(，当0→x 时，)(x F 与kx 是同阶无穷小，则=k 。

答案：38. 将22(3)1x y -+=绕y 轴转一圈，则所得图形围成的体积为。

答案：26π9. 设0>m ，且广义积分⎰+∞+0mxx dx 收敛，则m 的范围为答案：1>m10．幂级数∑∞=-+12)5(2n nn nx 的收敛域为。

答案：)5,5(-11. 级数∑∞+=-11sin)1(n pn n n 条件收敛，则参数p 的范围为。

答案：01≤<-p 12.在00=x 点，函数⎰-xt dt e 02的幂级数展开为答案：∑+∞=++-012)12(!)1(n n nn n x ，ℜ∈x13.'xx yy e e++=，的通解是。

答案：ln 1y yx e e eC =++ 14.0)2(=-+dx y x xdy 满足0)1(=y 的解为。

答案：2x x y -=15. 初值问题()⎩⎨⎧='=='+''0)0(,1)0(022y y y x y 的解为。

清华大学微积分期末试题

期末样题参考解答一、填空题（15空45分，答案直接填写在横线上）1．积分⎰⎰xdy xy f dx 03)(在极坐标下的累次积分为。

答案：⎰⎰=θπθθθcos 30240)sin cos (rdr r f d2．设平面闭域}1|||| :),{(≤+=y x y x D ，则积分()=+⎰⎰Ddxdy yx x )sin(12。

答案：2==⎰⎰Ddxdy3．已知函数),(y x f 在{}10 ,10 :),(≤≤≤≤=y x y x D 上具有连续偏导数，且x x f cos 2)1,(=，⎰⎰=Ddxdy y x f 1),(，则⎰⎰=∂∂Ddxdy yy x f y),( 。

答案：11sin 2-4．计算积分值⎰⎰=-1)1ln(yydx xx dy。

答案：⎰⎰⎰-=--=-=101041)1ln()1()1ln(2dx x x dy x x dx x x5. 设}2:),,{(22≤≤+=Ωz y x z y x ，则=++⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x )( 。

答案：ππθπ4222302020====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωdz z zrdr dz d zdxdydz z6. 设L 是xy 平面上以)1,1(),1,1(),1,1(--C B A 为顶点的三角形周边构成的曲线，则第一型曲线积分=-⎰Lds y x )(22 。

答案：07. 设S 为上半球面222y x R z --=，则第一型曲面积分=++⎰⎰SdS z y x )( 。

答案：3222R dxdy zRzzdS R y x S π===⎰⎰⎰⎰≤+ 8. 设L 为xy 平面上的曲线10,2≤≤=x e y x ，起点为)1,0(，终点为),1(e ，则第二型曲线积分=+⎰Lydy xdx 。

答案：2222),1()1,0(22),1()1,0(22e y x y x d e e =+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰ 9．设32),,(z xy z y x f =，则在1===z y x 点=)],,(div[grad z y x f 。

2024届清华大学高一数学第二学期期末复习检测试题含解析

2024届清华大学高一数学第二学期期末复习检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为（） A ．1：3B ．3：1C ．2：3D ．3：22．在边长为1的等边三角形ABC 中，D 是AB 的中点，E 为线段AC 上一动点，则EB ED ⋅的取值范围为（） A ．233,162⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．233,644⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．23,316⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．233,642⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．已知实数满足约束条件，则的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3a =，3A π=，sin 2sin C B =，则ABC 的周长为（） A ．33+B ．36+C ．333+D ．336+5．数列{a n }中a 1＝﹣2，a n +1＝11na -，则a 2019的值为（） A ．﹣2 B ．13 C ．12D ．326．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c 2，则C = A ．π12B ．π6C ．π4D ．π37．若(0,),(,0)22ππαβ∈∈-，13cos ,cos +4342ππβα⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,则cos 2βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ （）A ．33B ．33-C ．69-D ．5398．已知*n N ∈，实数x 、y 满足关系式()2223n x y nx n +=++，若对于任意给定的*n N ∈，当x 在[)1,-+∞上变化时，x y +的最小值为n M ，则lim n n M →∞=（） A ．426-B ．0C ．424-D ．19．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若ABC ∆的面积15cos ,2,1S B a c ===，则b =( )A ．32B ．2C ．34D ．5210．如图，各棱长均为a 的正三棱柱111ABC A B C -，M 、N 分别为线段1A B 、1B C 上的动点，且MN ∥平面11ACC A ，M ，N 中点S 轨迹长度为3，则正三棱柱111ABC A B C -的体积为（）A 3B 233C ．3D ．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

清华大学微积分习题(有答案版)

第十二周习题课一．关于积分的不等式 1．离散变量的不等式（1）Jensen不等式：设)(x f 为],[b a 上的下凸函数，则1),,,2,1),1,0(],,[1==∈∀∈∀∑=nk k k k n k b a x λλΛ，有2),(11≥≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n x f x f k nk k k n k k λλ （2）广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得1),,,2,1),1,0(,01==∈∀>∑=nk k k k n k x λλΛ，有∑==≤∏nk k k k nk x x k11λλ当),2,1(1n k nk Λ==λ时，就是AG 不等式。

（3）Young 不等式：由（2）可得设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，qyp x y x q p +≤11。

（4）Holder 不等式：设111,1,),,,2,1(0,=+>=≥qp q p n k y x k k Λ，则有 qnk q k pn k p k n k k k y x y x 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===在（3）中，令∑∑======nk qk n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 11,,,即可。

（5） Schwarz 不等式：211221121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===nk k nk k n k k k y x y x 。

（6）Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有()pnk p k pnk p k pnk p k k y x y x 111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑∑=== 证明：()()()()()∑∑∑∑=-=-=-=+++=+⋅+=+nk p k k k nk p k k k nk p k k k k nk pk ky x y y x x y x y x y x1111111记111,11=+>-=qp p p q ，由Holder 不等式 ()()()qnk p q k k pnk p k qnk p q k k pnk p k nk p k ky x y y x x y x11)1(1111)1(111⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛≤+∑∑∑∑∑=-==-==()q n k p k k p n k p k p n k p k y x y x 111111⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑=== 即：()pnk p k pnk p k pnk p k ky x y x 111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑∑===。

一元微积分A：期末练习题1

复习题1一、填空题（每小题3分，共15分）.1．在积分曲线族⎰=xdx y sin 2中，过点)0,3(π的曲线为 .2．定积分1221sin (21)1x x d x x -+-=+⎰ . 3．微分方程02=+'y y 的通解是 .4. 设)(x f 是连续函数，且⎰+=2)(3)(dx x f x x f ，则=⎰dx x f 2)( .5．⎰+x t ttx 12d 1d d = .二、单项选择题（每小题3分，共18分）. 1．下列关系式中错误的是( )．A. C x f x f d +=⎰)()(；B. )()(x f dx x f d =⎰；C. C x f dx x f +='⎰)()(；D.)()(x f dx x f dx d=⎰. 2． x x d cos 204⎰π的值为( )．A ．π83；B ． 83；C ． π163；D ．163.3．设12,y y 是''()'()0y p x y q x y ++=的解，则( )也是它的解． A ． 12y y ； B ．112y y y +； C ．12yy ； D ．1122C y C y +. 4．设()arcsin f x dx x C =+⎰，则()x f x dx =⎰（）．A ．C x +-21；B ．C x +-212； C ． C x +--212；D ．C x +--21. 5．微分方程2(1)20x y xy '''++=满足初始条件(0)0,y =(0)1y '=的特解为（）．A ．arctan y x =；B ． arccos y x =；C ．arcsin y x =；D ．arccot y x =.6．下列反常积分发散的是（）．A ．x x d 1112⎰∞++； B ．x x x d 1arctan 12⎰∞++； C ．x x d )1(1102⎰-； D ．x x x d ln 10⎰. 三、（6分）计算极限⎰⎰+→x x x dtt dtt 03sin )1ln(lim2 .四、（6分）求⎰-20d )1(x x f ，其中=)(x f ⎩⎨⎧<<-≤≤01,10,e x e x x x . 五、（6分）求一阶线性微分方程 1tan cos y y x x'-= 的通解. 六、（6分）求不定积分 41dx x x+⎰. 七、（7分）求齐次方程 0)2(22=+-dy x dx xy y 满足初始条件12x y ==的特解.八、（7分）计算由曲线2x y =和直线1=y 所围平面图形 1. 绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积； 2. 绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积. 九、（9分）求微分方程2443x y y y e '''-+=的通解. 十、（9分）设曲线 .x y e =(1) 在此曲线上求一点A ，使曲线在该点的切线通过坐标原点(0,0)O . (2) 求位于曲线x y e =下方和切线OA 的左方以及x 轴上方之间图形的面积. 十一、（6分）一个锥顶向上的圆锥形蓄水池装满了水，高为10米，底半径为4米，问要把池内的水全部吸出，需要做多少功？(计算过程中，水的密度ρ、圆周率π和重力加速度g 的值不要求代入). 十二、（5分）设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()f x M '≤，()0f a =，证明：22()()b af x dx M b a ≤-⎰.yxo。

一元微积分数学函数题库有答案

一元微积分数学函数题库有答案一元微积分学数学（1）函数一、填空题： 1．函数 y=arcsin 92-x定义域是:310103-≤≤-⋃≤≤x x2.设y=f (x)的定义域是[0，1]，则复合函数f (sinx)的定义域是:z k k x k ∉+≤≤,22πππ.3．函数33+=x y 的值域是 0≤y ≤+∝ . 4．函数)1,0(11≠>+-=a a ax ax y 的反函数是:axa xy +-=1. 5．函数12+-=x y 在区间 ]0,(-∞ 内是单调增加的.在区间)0[∞+，内是单调减少.6．设21)1(x x x f ++=，（x>o ）,则)(x f =xx 211++.7．设1)(-=x x x f ,则))(((x f f f =1-x x, ))((x f f = x . 8．函数⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<≤≤<<-∞=x x x x x y x 4,241,1,2的反函数y=⎪⎩⎪⎨⎧+∞<≤≤≤<<-∞.16,log ,161,,1,2x x x x x x. 二．选择题：1．在同一直角坐标系中，函数与它的反函数说代表的曲线具有的性质是（D ）(A) 关于y 轴对称; (B) 关于x 轴对称; (C)重合； (D) 关于直线y=x 对称.2.下列几对函数中，)(x f 与)(x g 相同的是（C ）.（A ）2lg )(x x f =与x x g lg 2)(= （B ）x x f =)(与2)(x x g = （C ）2)(x x g =与2)(x x g = （D ）1)(=x f 与xxx g =)( 3．已知的定义域为则的定义域是（C ）（A ）[-a,3a] (B) [a,3a] (C) {a} (D) {-a} 4．如果1)(-=x x x g ，那么))(1(x f f 的表达式是（B ）(A) x-1 (B)1-x (C)xx 1- (D) 都不是三．设函数)(x f y =是线性函数，已知,3)1(,1)0(-==f f 求此函数. 解：设f(x)=ax+b,则有0+b=1, a+b=-3,解得a= -4,b=1.四．证明函数1)(2+=x xx f 在它的整个定义域内是有界.证明：f(x)的定义域为R.xx x x1112+=+因为2111,21≤+≥+xx xx 所以所以：函数1)(2+=x xx f 在它的整个定义域内是有界五．试讨论函数21121)(+-=xx f 的奇偶性. 解：21121)(+-=xx f 21121)(+-=--xx f 211211+-=x 212211+-=xx 21212+-=x x 2121211+-+-=xx 212111+-+-=x21211--=x )(x f -= 所以 21121)(+-=xx f 偶函数. 一元微积分学题库（2）数列的极限一．判断题：1．如果数列{n u }以A 为极限，那么在数列｛n u ｝增加或去掉有限项之后，说形成的新数列｛n u ｝仍以阿A 为极限． ( T )2．如果0lim =∞→n n n v u ，则有0lim =∞→n n u 或0lim =∞→n n v( F )3．如果a a n n =∞→lim ，且存在自然数N ，当n>N 时恒有n a ＜０，则必有a<０． ( F )4．如果n n a ∞→lim ，n n b ∞→lim 均不存在，则有)(lim n n n b a +∞→必不存在． ( F )一元微积分学题库（3）函数的极限，无穷大，无穷小一．选择题：下列题中其条件对其结论来说是（Ａ）充分但非必要条件；（Ｂ）必要但非充分条件；（Ｃ）充分必要条件：（Ｄ）既非充分又非必要条件；１．条件a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim .结论b a b a n n n +=+∞→)(lim （A ）２．条件)(lim 0x f a n -→和)(lim 0x f a n +→都存在.结论)(lim x f an →存在（B ）３．条件)(lim x f an →和)(lim x g an →都存在.结论 )]()([lim x g x f an +→存在. （A ）４．条件f(x)在a 的某个邻域内单调有界．结论)(lim x f an →存在．（D ）三．求0)(,)(→==x xx x g x xx f ，当时的左右极限，并说明它们在x →0时的极限是否存在？解：xxx f =)(=1，所以1)(lim 0=→x f x .⎩⎨⎧><-==.0,1,0,1)(x x x xx g 所以 1)(lim 00-=-→x g x ， 1)(lim 00=+→x g x 显然≠-→)(lim 00x g x )(lim 00x g x +→，故)(lim 0x g x →不存在.五．证明：函数 xx y 1cos 1=在区间（０，１］上无界，但当x →＋０时，这函数不是无穷大．证明：1. 取+∞→∈=k N k k x 当),(21π时，x x y 1cos 1==+∞=πk 2 所以 x x y 1cos 1=在区间（０，１］上无界.2.取0),(21+→+∞→∈+=x k N k k x 时，当ππ， x x y 1cos 1==021⋅+ππk =0 即在0的任何邻域都不可能有M xx y >=1cos 1（M>0）成立. 所以当x →＋０时，这函数不是无穷大．一元微积分学题库（4）极限的求法一．判断题：下列运算是否正确：0)(lim .12=∞-∞=--∞→x x x n(F).1)53(lim )32(lim 5332lim .24343=∞∞=++=++∞→∞→∞→x x x x x x x(F)0lim 2lim 1lim )21(lim .3222222=+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++∞→∞→∞→∞→nnn n n n n n n n n n （F ）二．计算下列极限：１．x x xx x x 2324lim 2230++-→解：xx x x x x 2324lim 2230++-→ =23124lim 20++-→x x x x =21 ２．)2141211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→解：)2141211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→=211)21(1lim--∞→nn =2３．)1111(lim 31xx x ---→ 解：设31111)(x x x f ---=，则311111)(1x x x f ---=因为2313111lim 11111lim )(1lim x x x x x x f x x x +-=---=→→→=0，所以∞=→)(lim 1x f x即：∞=---→)1111(lim 31xx x 从而时，当,10,1lim .40-∞→-→→x x x arctgx 从而时，当,10,21lim 0+∞→+→-=-→x x x arctgx π)(.1lim ,21lim 00T xarctg x arctgx x 不存在所以→+→=π４．x x x 11lim-+→ 解：xx x 11lim-+→ =)11()11()11(lim++⋅++⋅-+→x x x x x=)11(lim++⋅→x x x x=111lim++→x x=21 ５．xarctgxx ∞→lim解：因为 22ππ<<-arctgx 所以arctgx 为有界函数.而 xx 1lim∞→=0，由有界函数与无穷小的乘积是无穷小知.xarctgxx ∞→lim =0６．)(lim x x x x x -+++∞→解：)(lim x x x x x -+++∞→=xx x x x x x x x x x x x ++++++⋅-+++∞→)()(lim=xx x x x x x x x +++-+++∞→)(lim=xx x x x x x +++++∞→lim=xxx 111111lim+++++∞→=21 ７．)1()1)(1(lim 2n n x x x +⋅⋅⋅++∞→解：)1()1)(1(lim 2n n x x x +⋅⋅⋅++∞→=x x x x x n n -+⋅⋅⋅++-∞→1)1()1)(1)(1(lim 2=xx n n --∞→11lim 2=x-11 三．已知a x f x a x x x x f x 存在，求且)(lim ,3,3,3)(3→⎩⎨⎧<+≥-= 解：)(lim 03x f x +→=3lim3-+→x x =0，)(lim 03x f x -→=)(lim 03a x x +-→=3+a,)(lim 3x f x →存在，即：)(lim 03x f x +→=a x f x +==-→3)(lim 003所以. 3-=a .一元微积分学题库（5）极限存在准则两个重要极限无穷小的比较一、判断题：1．因为0→x 时，tgx~x,sinx~x,所以 0lim sin lim 330=-=-→→xxx xtgx x x x （F ） 2． 222)21(lim )2(lim e xx x xx x x =+=+•∞→∞→ (T)3． 1sin lim )sin (lim sin lim=⋅=⋅=→→→x xx tgx x x x tgx x tgx x x x πππ (F)二、计算下列极限1. xxx 5sin 2sin lim 0→解：x x x 5sin 2sin lim 0→=)525sin 522sin (lim 0⋅⋅→x x x x x =⋅→x x x 22sin lim 0⋅→x x x 5sin 5lim 052=522. xctgx x 0lim →解：xctgx x 0lim →=)cos sin (lim 0x x x x ⋅→=)sin (cos lim 0x x x x ⋅→=⋅→x x cos lim 0xxx sin lim 0→=13. xx xx sin 2cos 1lim0-→解：x x x x sin 2cos 1lim 0-→=xx x x sin sin 2lim 20⋅→=x x x sin 2lim 0→=x x x sin lim 20→⋅=24. xx x 1sin lim ∞→解：x x x 1sin lim ∞→=x x x 11sinlim∞→=xx x11sinlim 01→=1. 5. kx x x)11(lim -∞→解：kx x x )11(lim -∞→=)()()11(lim k x x x -•-∞→--+=k x x x --∞→--+])11[(lim =ke - 6. xx x x )11(lim -+∞→ 解：x x x x )11(lim -+∞→=x x x x ]12)1([lim -+-∞→=x x x )121(lim -+∞→=1221)2111(lim +•-∞→-+x x x=)]2111()2111[(lim 221-+⋅-+•-∞→x x x x =2e . 二、证明：当x →0时，下列各对无穷小量是等价的 1.x arctgx ~证明：设A=arctgx,则 x=tgA, 当0→x 时，0→A . xarctgx x 0lim→=tgA AA 0lim →=12.1-cosx ~ 22x证明：2cos 1lim 20x x x -→=2)2sin(2lim 220x xx ⋅→=2202)2(2)2sin(2lim x x x ⋅⋅→=2202)2()2sin(lim x x x →=1. 四、证明：0)2124321(lim =-⋅⋅⋅⋅∞→nn n 用两边夹法则：（解法一）设F(n)= nn 2124321-⋅⋅⋅⋅>0 则2)2124321()(nn n F -⋅⋅⋅=22222)2()12(4321n n -⋅⋅⋅⋅=1)2()12(14312122222--⋅⋅⋅-⋅-<n n )12()12()12(75353122+⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n n121+=n 设 g(n)=0, h(n)= 121+n , 则g(n)=0 < F(n) < h(n).显然0)(lim =∞→n g n ，0)(lim =∞→n h n ；由极限存在准则I 知：0)(lim =∞→n F n .证毕.（解法二）：设F(n)=nn 2124321-⋅⋅⋅⋅>0 因为 nn n n 112-<--（n 为自然数），所以有F(n)< 12254322124321+⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n n n=n21 设 g(n)=0, h(n)= 121+n , 则g(n)=0 < F(n) < h(n).显然0)(lim =∞→n g n ，0)(lim =∞→n h n ；由极限存在准则I 知：0)(lim =∞→n F n .证毕.另解：设F(n)=nn 2124321-⋅⋅⋅⋅( 0<F(n)<1 )，则F(n+1)= 122)(+⋅n nn F ，有F(n+1)<F(n).所以F(n)为单调有界数列，由极限存在准则II 知F(n)有极限.设A n F n =∞→)(lim .则有)1(lim +∞→n F n =))(1(lim n F n nn ⋅+∞→ )1(lim +∞→n F n =1+n n)(lim n F n ∞→⋅A=1+n nA , A=0. 即0)(lim =∞→n F n .证毕.五、设2112,,2,1,10n n n x x x n x -=⋅⋅⋅=<<+，证明数列}{n x 的极限存在，并求其极限.证明： 212n n n x x x -=+ 2211n n x x -+-=2)1(1n x --= ]))1(1(1[1221-----=n x 221)1(1---=n x 322)1(1---=n x = (1)21)1(1---=k x因为 ,101<<x 所以 ,10<<n x 因为 212n n n x x x -=+所以)1(1n n n n x x x x -=-+>0 即： n n x x >+1 所以}{n x 为单调有界数列，由极限存在准则II 知}{n x 有极限. A x n n =∞→lim ，则有 )2(lim lim 21n n n n n x x x -=∞→+∞→，A=2A--2A ，解得：A=1 或A=0（舍去，因为}{n x 为递增数列且01>x .）所以 1lim =∞→n n x一元微积分学题库（6）函数的连续性一．判断题1．21))12)(12(1...5*313*11(lim =+-+++∞→n n n （ T ） 2.设)(x f 在0x 点连续，则)lim ()(lim 0x f x f x x x x →→=（ T ）3．如果函数)(x f 在],[b a 上有定义，在],[b a 上连续，且<)(*)(b f a f 0，则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得)(ξf = 0（ T ）4．若)(x f 连续，则)(x f 必连续. （ T ）5．若函数)(x f 在],[b a 上连续且恒为正，则)(1x f 在],[b a 上必连续. （ T ）6．若a x f x x =→)(lim 0,且0>a ，则在0x 的某一邻域内恒有0)(>x f .（ F ）7．0=x 是函数xx x f 1sin )(=的振荡间断点.（ F ）二．填空题：1．-→ππx xx sin lim(1-) 2. =∞→x xx sin lim( 0 ) 3. =+--+-→123lim2312x x x x x x ( ∞ ) 4. 0=x 是xe xf 1)(=的第（二）类间断点.三．求xx x x sin 10sin 1tan 1lim ⎪⎭⎫⎝⎛++→解：xx x x sin 10sin 1tan 1lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→=()()1sin 1tan 1lim sin 1sec cot 0==++→ee x x xxx x 四．求函数4tan()1()(π-+=x xx x f 在)2,0(π内的间断点，并判断其类型.解：)(x f 在()π2,0内的间断点有：4π=x ，43π=x ，45π=x ，47π=x因为 ),(lim 4x f x π→)(lim 45x f x π→不存在，,1)(lim 43=→x f x π1)(lim 47=→x f x π所以43π=x ，47π=x 是)(x f 的第一类（可去）间断点; 4π=x ，45π=x 是)(x f 的第二类间断点.五．设1lim )(2212+++=-∞→n n n x bxax x x f ，（1）求)(x f ；（2）当)(x f 连续时，求b a ,的值.解：(1) n n n n xx bx ax x f 2122231lim )(---∞→+++= ∴ ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<+-=-+-=++>=112112111)(2x bx ax x b a x b a x x x f(2) )(x f 连续21)1(11lim)(lim 0101ba f x x f x x ++====+→+→1=+⇒b a 21)1(11lim )(lim )01()01(b a f x x f x x -+-====--→--→1-=-⇒b a∴⎩⎨⎧==1b a .一元微积分学题库（7）连续函数的性质一．计算下列极限： 1．2321lim4--+→x x x 解：原式= )321)(4()2)(921(lim4++-+-+→x x x x x =321)2(2lim4+++→x x x =342．22011lim xx x +-→ 解：原式=2220)11(lim x x x x ++→=)11(lim 20x x ++→=2 3．x x x sin lnlim 0→ 解：原式=)sin limln(0xxx →=01ln = 4．ctgx x tgx )31(lim 0+→解：原式=tgxx tgx 33)31(lim +→=331])31(lim [tgx x tgx +→=3e5．145lim1---→x xx x解：原式=)45)(1()1(4lim1x x x x x +---→=xx x +-→454lim1=26．xe x x 1lim 0-→解：令t e x =-1，得)1ln(+=t x ，当0,0→→t x 时原式=)1ln(limt tt +→=tt t 10)1ln(1lim+→=])1(lim ln[110tt t +→=1ln 1=e二．证明方程b x a x +=sin 至少有一个不超过b a +的正根（其中0,0>>b a ）. 证明：设x b x a x f -+=sin )(，则)(x f 在],0[b a +上连续. 又0)0(>=b f ，0]1)[sin()(≤-+=+b a a b a f . 若0)(=+b a f ，则结论成立.若0)(<+b a f ，则由零点定理0)(),0(=+∈∃ξξf b a 使得. 三．设)(x f 在]1,0[上连续，且1)(0≤≤x f ，证明：至少存在一点]1,0[∈ξ，使得ξξ=)(f .证明：设x x f x F -=)()(，则)(x F 在]1,0[上连续. 又0)0(0)0()0(≥=-=f f F ,01)1()1(≤-=f F 若0)1(0)0(==F F 或，则结论成立.若0)1(0)0(<>F F 或，则由零点定理0)()1,0(=∈∃ξξf 使得.四．设)(x f 在),(b a 上连续，且B x f x f bx ax ==-+→→)(lim )(lim 00，又存在),(1b a x ∈使 B x f >)(1.证明)(x f 在),(b a 上有最大值. 证明：取),(1B x f -=ε1δ∃, 当10δ<-<a x 时, B x f B x f -<-)()(1. 即当),(1δ+∈a a x 时，)()(1x f x f <.2δ∃, 当02<-<-b x δ时, B x f B x f -<-)()(1. 即当),(2b b x δ-∈时，)()(1x f x f <.若21δδ->+b a ,)(1x f 为最大值),(1b a x ∈.若21δδ-≤+b a ,)(x f 在],[21δδ-+b a 上连续,必有最大值. )()(10x f x f ≥, ],[210δδ-+∈b a x .∴在),(b a 上)(x f 取得最大值)(0x f .一元微积分学题库（8）导数的概念一．选择题：1．设f ′ (x)存在，a 为常数，则ha h x f a h x f h )()(lim0--+→等于（C ）. (A) f ′(x) ; (B) 0 ; (C) )('2x f a; (D) )('2x f .2. 在抛物线23x y =上，与抛物线上横坐标11=x 和22-=x 的两点连线平行的切线方程是（B ）.(A) 12x-4y+3=0; (B)12x+4y+3=0; (C) 4x+12x+3=0; (D)12x+4y+1=0.3. 将一个物体铅直上抛，设经过时间t 秒后，物体上升的高度为22140gt t s -=，则物体在3秒时的瞬时速度为（B ）.(A) g 2340-; (B) 40-3g ; (C) 0 ; (D) g 29120-.4. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f 在x=0处 (B). (A) 连续且可导；（B ）连续，不可导；（C ）不连续；（D ）都不是.二．设函数⎩⎨⎧>+≤=1,1,)(2x b ax x x x f 在处x=1可导，求a 和b. 解：)(x f 在x=1处可导∴)(x f 在x=1处连续，可得 )(lim )(lim 0101x f x f x x -→+→= 即 1=+b a (1)又)(x f 在x=1处可导, 可得1)1()(lim 1)1()(lim0101--=---→+→x f x f x f x f x x 即 211lim 11lim20101=--=--+-→+→x x x b ax x x (2) 由(1),(2)得 2=a , 1-=b . 三．设5323)(xx x x f =，求)('x f .解: 67)(x x f =, 由幂函数的导数公式可得6167)('x x f =.四．已知⎩⎨⎧≥<=0,0,sin )(x x x x x f ，求)('x f .（提示：分段点x=0处的导数用导数的定义求）解: 当x=0时, 令0-=x h , 1sinhlim )0()0(lim 00==-+--→→hh f h f h h ;1lim )()0(lim00==-+++→→h hhx f h f h h . 所以 1)0('=f∴ ⎩⎨⎧≥<=0,10,cos )('x x x x f 五．设f(x)在),(+∞-∞上有连续导函数.证明f(x)为偶函数的充要条件是：)('x f 为奇函数（充分性的证明用到不定积分的概念，只证必要性）.证明: 对于∀ ),(0+∞-∞∈x 则有),(0+∞-∞∈-x 依题意令0x x h -=有 h x f h x f x f h )()(lim)('0000-+=→;hx f h x f x f h )()(lim)('0000--+-=-→;)(x f 为偶函数).(')()(lim)('00000x f hx f h x f x f h -=--=-∴→一元微积分学题库（9）求导法与复合函数求导一．填空题：1．曲线xx y 1-=与x 轴交点的切线方程是)1(2±=x y .2．曲线2sin 2x x y +=在横坐标x=0点处的切线方程是x y 2=,法线方程是x y 21-=.3．设x x y ln 1ln 1+-=，则2)ln 1(2'x x y +-=. 4．设x x y 2sin =，则22sin 2cos 2'xxx x y -=. 5．设)(cos )(sin 22x f x f y +=，则x x f x x f y 2sin )(cos '2sin )(sin ''22-=. 二．求下列函数的导数. 1. 52322+-=xx y .解: 3222246)'2()'3()'523('x x x x x x y +=-=+-=.2. x x y cos 2=.解: )'(cos cos )()'cos ('222x x x x x x y +==x x x x sin cos 22-=. 3. x x y cos sin ⋅=.解: x x x x y 2cos )'2sin 21()'cos (sin '==⋅=.4. )13(2+-=x x e y x .解: )'13()13('22+-++-=x x e x x e y x x )3213(2-++-=x x x e x )2(2--=x x e x .5. 110110+-=x x y .解: 2)110()110(10ln 10)110(10ln 10'+--+=x x x x x y2)110(10ln 102+⋅=x x . 三.求导数:1. x y 2ln 1+=,求'y . 解: x x x x x y 222ln 1211ln 2ln 121)'ln 1('+⋅⋅=+⋅+= xx x 2ln 1ln +=.2. 2ln x tgy =,求dx dy. 解: x x x x x x tg y csc sin 12cos 2sin 212sec 2121'2==⋅=⋅⋅=.3. t t y cos 1sin 1-+=,求dtdy.解: 2)cos 1()'cos 1()sin 1()cos 1()'sin 1('t t t t t y --⋅+--⋅+=222)cos 1(sin cos sin cos t t t t t ----= 2)cos 1(1sin cos t t t ---=. 四.已知)2523(+-=x x f y ,2arctan )('x x f =,求0=x dx dy. 解: 令2523+-=x x u ,则 22)2523()25()23(5)25(3)('''+-⋅+--+=⋅=x x arctg x x x u f u y ===140arctg dxdy x π.一元微积分学题库(10) 复合函数求导(二) 高阶导数一. 求下列函数的导数: 1. )21arcsin(2x y -=. 解：2222124)21(11)'21('xx x x x y --=--⋅-=.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--<<--=01,1210,1222x xx x2．xe y arcsin=.解： xxe xxe x y arcsinarcsin1121)'(arcsin '⋅-⋅=⋅=2arcsin2xx e x -=.3．3212tt arctgy +=. 解： 1444)21()21(82)212(11)'212('23623233233++++⋅+-=++⋅+=t t t t t t tt tty 1444822363+++-=t t t t .4．242arcsinx xx y -+=. 解： 22422)2(11212arcsin 'xx xx x y ---⋅⋅+=)4242(22arcsin 22x x x x ---+=2arcsin x =. 5．xey 1sin 2-=.解： x xe x x xe x y 1sin 21sin 222)1cos 1sin 2(1)'1sin ('--⋅⋅-⋅-=⋅-=x e x x 1sin 222sin-⋅=.二. 求下列函数的二阶导数:1. )1ln(2x y -=.解： 212'x x y --=, 222222)1()1(2)1(22)1(2''x x x x x x y -+-=-⋅---=. 2. arctgx x y )1(2+=.解： 1211)1(2'22+=+⋅++=xarctgx x x xarctgx y , 2122''xx arctgx y ++=. 3. x xe y =.解： x x xe e y +=', x x x x x xe e xe e e y +=++=2''. 三. 求函数x x y ln =的n 阶导数. 解： 1ln '+=x y ，x y 1''=，21'''x y -=，3)4(2x y =，一般地，可得 ⎪⎩⎪⎨⎧≥--=+=-2,)!2()1(1,1ln 1)(n x n n x y n n n . 四. 设)()()(2x a x x f ϕ-=,其中)('x ϕ在点a 的邻域内连续,求)(''a f . 解： )(')()()22()('2x a x x a x x f ϕϕ-+-=.ax x a x x a x a x a f x f a f a x a x --+-=--=→→)(')()()22(lim )(')('lim )(''2ϕϕ)('x ϕ在点a 的邻域内连续 ∴)(')('lim a x ax ϕϕ=→∴0)(lim )(')(')(lim2=-=--→→a x a ax x a x a x a x ϕϕ. )(20)(2lim )(''a x a f ax ϕϕ=+=→.一元微积分学题库(11) 隐函数求导法一. 求由下列方程所确定的隐函数y 的导数dxdy. 1. y xe y -=1.解： )'('yye xy e y +-=, 即 yyxee y +-=1' 其中y 是由方程y xe y -=1所确定的隐函数. 2. )(y x tg y +=.解： )(sec )'1('2y x y y +⋅+=, 即 221'yy y +-=. 其中y 是由方程)(y x tg y +=所确定的隐函数. 3. 0922=+-xy y .解： 0'22'2=--xy y y y , 即 xy y y -='. 其中y 是由方程0922=+-xy y 所确定的隐函数. 二. 用对数函数求导法求下列函数的导数'y : 1. 22x ctg xtg y =.解：先两边取对数(假定422πππk x k +<< . ,2,1,0±±=k ) 得 x tg xctg y 2ln 2ln ⋅=. 则)2ln 2csc 21222sec 2('122x tg xx ctg x ctg x y y -⋅⋅=. )2ln 2csc 21222sec 2(2'222x tg xx ctgx ctg x x tg y xctg -⋅⋅=. 当2)1(42πππ+<<+k x k 时,用同样的方法可得与上面相同的结果. 2. 55225+-=x x y .解：先两边取对数(假定5>x ) 得)]2ln(51)5[ln(51ln 2+--=x x y .对上式两边对x 求导，得)2125151(51'12+⋅⋅--=x x x y y .即 ])2(5251[2551'2552+--+-=x xx x x y . 当5<x 时,用同样的方法可得与上面相同的结果.三. 求下列函数的二阶导数22dxyd .1. ⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos .解： t a bt a t b dtdx dt dy dx dy cot sin cos -=-==,t a b t a t a b dtdx t a b dt d dx y d 32222sin sin 1csc 1)cot (-=-⋅=⋅-=.2. 已知⎩⎨⎧-==)()(')('t f t tf y t f x 这里)(''t f 存在且不为零.解： )(''t f 存在且不为零 ∴t t f t f t tf t f dx dy =-+=)('')(')('')(', )(''122t f dxy d =. 四. 设⎪⎩⎪⎨⎧+=+=tt t y tt x 4522,证明y=y(x)在t=0时dx dy 存在,并求其值. 证明：原方程可化为 02=-x y . 当0=t 时0=x ,.0)0()(lim lim )0()(lim 0200=-==--+→→→hf h f h h h f h f h h h 一元微积分学题库(12) 微分一. 选择题:1. 已知x y 2tan =,则dy 等于(C).(A) 2tgxdx ; (B)tgxdx x212+ ; (C) xdx tgx 2sec 2 ; (D) x tgx 2sec 2. 2．一元函数连续是可导的（A ）；一元函数可导是可微的（C ）. （A ）必要条件；（B ）充分条件；（C ）充要条件；（D ）既非充分条件又非必要条件. 2. 函数x x x x x f ---=32)2()(不可微点的个数是（B ）. （A ） 3; (B) 2; (C) 1; (D) 0. 二．填空题：1．已知函数2)(x x f =在点x 处的自变量的增量2.0=∆x ，对应的函数增量y ∆的线性主部是8.0-=dy ，那末自变量的始值为2-. 2． )](ln ln[ln 32x y =，则dx xx dy ln ln ln 2-=.3. xdx c x d 3cos )sin 31(=+; dx e c e d xx22)2(--=+-;dx xc xd 1)2(=+; dx x c x d 11))1(ln(-=+-. 三．利用微分求近似值：ο59cos .解： 180359ππο-=. 这里x ∆较小应用(p150)(2)式,得1803sin3cos)1803cos(59cos πππππο⋅+≈+=5151.01802321=⋅+=π. 四．已知测量球的直径D 时有1%的相对误差，问用公式36D V π=计算球的体积时，相对误差有多少？解：我们把测量D 时所产生的误差当作自变量D 的增量D ∆，那么，利用公式36D V π=来计算V 时所产生的误差就是函数V 的对应增量V ∆.当V∆很小时，可以利用微分dV 近似地代替增量V ∆，即D D D V dV V ∆⋅=∆⋅=≈∆22'π.其相对误差 %3)(3=∆=∆=D VV V s v . 五．求由方程t t s st =-+)ln()sin(所确定的隐函数s 在t=0处的微分ds .解：对方程两边关于t 求导，得11')cos()'(=--++t s s st s t s . 当 t=0时, 得 1'2++-=s s s .又对原方程, 当 t=0时, 得 0ln =s 即 s=1.1111=++-=∴dt ds一元微积分学题库（13）中值定理一．选择题：1．下列函数中，满足罗尔定理条件的是（B ）.(A)()[];1,1,132-∈-=x x x f (B)()()[];8,0,42∈-=x x x f(C)()];3,1[,3-∈=x x x f(D)()[].1,10,00,1sin 2-∈⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x x xx x f 2.对于函数()332x x f -=，在区间[]1,0上满足拉格朗日中值定理的点ξ是(A).(A)21; (B)31±; (C)31; (D)1. 二. 应用导数证明恒等式：()112arccos arcsin ≤≤-=+x x x π.（注意：对1±=x处的讨论）证：令()x x x f arccos arcsin +=当()1,1-∈x 时，()()()01111'arccos 'arcsin '22=---=+=xxx x x f()C x f =∴（C 为常数）. 特别地，取0=x ,则求得()20π==f C当1-=x 时，()221πππ=+-=-f当1=x 时，()2021ππ=+=f∴ 当[]1,1-∈x 时，2arccos arcsin π=+x x三. 设0>>b a ，证明：bba b a a b a -<<-ln .证：设()x x f ln =，在],[a b 上利用拉格朗日中值定理，有：()()a b b a b a <<==--ξξξ1'ln ln lnba 111<<ξ∴bba b a a b a -<<-ln . 四. 证明：不论b 取何值，方程033=+-b x x 在区间[]1,1-上至多有一个实根.证：反证法.设()b x x x f +-=33，且在区间[]1,1-上有两个以上实根，其中两个分别记为21,x x ，不妨设1121≤<≤-x x ，则()()021==x f x f ，由罗尔定理，在()1,1-内至少有一点ξ，使()0'=ξf . 而()33'2-=x x f 在()1,1-内恒小于0，矛盾.命题成立.五. 构造辅助函数，证明不等式e e ππ>.证：设()x x f ln =，则在区间[]π,e 上，()ππln =f ，().1=e f 根据拉格朗日中值定理，在()π,e 内至少存在一点ξ使()()()()πξξξππ<<==--e f e e f f ,1'即()ξππe -+=1ln 又πξ<<e()()e e e ππξππ=-+<-+=∴11lnππ<∴ln e 即ππe e <六. 设函数()x f 和()x g 在[]b a ,上存在二阶导数，且(),0''≠x g()()()()0====b g a g b f a f ，证明（1）在(a,b)内()0≠x g ；（2）在(a,b)内至少存在一点ξ，使()()()()ξξξξ''''g f g f =. 证：（1）反证法.设（a,b ）内存在一点1x 使0)(1=x g ，则在[]1,x a 上有g(a)=g(x 1)=0,由罗尔定理知在(a,x 1)内至少存在一点ξ1使'g (ξ1)=0. 同理在(x 1,b)内也至少存在一点ξ2使'g (ξ2)=0. ∵'g (ξ1)='g (ξ2)=0∴由罗尔定理，在(ξ1,ξ2)内至少存在一点3ξ使0)(''3=ξg ,这与0)(''≠x g 矛盾，故在()b a ,内()0≠x g . （3）令)(')()(')()(x f x g x g x f x F -=由题设条件可知，F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且F(a)=F(b)=0,由罗尔定理可知，存在()b a ,∈ξ使得()0'=ξF 即()()()()0''''=-ξξξξg f g f 由于()()0'',0≠≠ξξg g ，故()()()()ξξξξ''''g f g f =. 一元微积分学题库（14）罗必塔法则一. 求下列极限：1. xe e x x x cos 12lim 0--+-→解：原式=2cos lim sin lim00=+=--→-→xe e x e e xx x x x x 2. 0lim→x xxx 3sin arcsin -解：原式=0lim →x cos sin 311122=--x x x 0lim →x ()()xx x x x sin cos 9sin 321212232+---- =0lim→x xx sin 0lim→x ()xx 2232cos 931+----=61- 3．0lim →x xctgx解：原式=0lim→x x xsin 0lim →x x cos =1 4．tgxx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→1lim 0 解：令tgxx y ⎪⎭⎫⎝⎛=1，则ctgx x x tgx y ln ln ln -=-= 0lim +→x =y ln 0sin lim csc 1lim ln lim 20200===-+→+→+→xx x x ctgx x x x x ∴lim +→x y=e 0=1 5．⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x x xx ln 11lim 1 解：原式=()()21111lim 1ln 11ln lim ln 11ln lim 2111=+=-+-+=---→→→xx xx x x x x x x x x x x x 一元微积分学题库（15）函数的单调性一．填空题：1．函数y=(x-1)(x+1)3在区间)5.0,(-∞内单调减少，在区间),5.0(+∞内单调增加.2．函数2x ax x y -= （a>0）在区间)43,0(a 内单调增加，在区间),43(a a 内单调减少.3．函数7186223---=x x x y 在区间),3()1,(+∞⋃--∞内单调增加，在区间（-1， 3）内单调减少. 4. 函数xx x y 6941023+-=在区间（0.5，1）内单调增加，在区间()),1()5.0,0(0,+∞∞- 内单调减少.二. 证明下列不等式： 1. 当4>x 时，22x x >.证：令22)(x x f x -=，则0)4(=f .x x f x 22ln 2)('-=，082ln 16)4('>-=f2)2(ln 2)(''2-=x x f ，显然，当4>x 时，0)(''>x f )('x f ∴在区间),4(+∞内单调增加. 又0)4('>f)('x f ∴在区间),4(+∞内恒大于零. 又0)4(=f)(x f ∴在区间),4(+∞内大于零.即当4>x 时，02)(2>-=x x f x 即22x x >. 2. 当20π<<x 时，x tgx x 2sin >+.证：令x tgx x x f 2sin )(-+= 2sec cos )('2-+=x x x f)1sec 2(sin sec 2sin )(''32-=+-=x x x tgx x x f 显然，当20π<<x 时，0)(''>x f)('x f ∴在)2,0(π内单调增加.又)0('f =0)('x f ∴在)2,0(π内大于零.)(x f ∴在)2,0(π内单调增加.而)0(f =0 )(x f ∴在)2,0(π内恒大于零. 即当20π<<x 时，02sin )(>-+=x tgx x x f即.2sin x tgx x >+ 3. 当20π<<x 时，x x x <<sin 2π证：令x x x f sin )(=，则2sin cos )('x xx x x f -=. 令x x x x g sin cos )(-=，则)20(0sin )('π<<<-=x x x x g .)(x g ∴在此区间内单调减少.)('x f ∴在此区间内也单调减少.而()02sin lim sin cos lim0'020=-=-=→→x xx xx x x f x x )('x f ∴在)2,0(π内小于0.)(x f ∴在)2,0(π内单调减少.∴xxx f sin )(=在区间的两端取得极大极小值.即ππ2)2(1sin lim)0(0===→f xxf xx x x <<∴sin 2π三. 证明方程sinx=x 只有一个根.证：令x x x f -=sin )(，则01cos )('≤-=x x f . )(x f ∴在),(+∞-∞内单调减少.∴f(x)=sinx-1=0至多有一个根.而f(0)=0, 0)(=∴x f 有且只有一个根. 即方程sinx=x 只有一个根.一元微积分学题库（16）函数的极值一. 填空题：1. 函数3443x x y -=在1=x 处取得极小值.2. 已知函数322)1()5(+-=x x y 当=x -1或5时，y=0为极小值；当x=0.5时， y=318881为极大值. 3．已知bx ax x x f ++=23)(在x=1处有极值-2，则a=0,b=-3,y=f(x)的极大值为2；极小值为-2.二. 求下列函数的极值： 1. ()()23321--=x x y解：)12)(32()1(5'2++-=x x x y)188)(1(10''2-+-=x x x y令0'=y 得三驻点：5.0,5.1,1321-=-==x x x . 当1>x 时，0'>y ，当15.0<<-x 时，0'>y . 11=∴x 处为非极值点.当5.12-=x 时，,0''<y 取得极大值，其值为0. 当5.03-=x 时，0''>y ，取得极小值，其值为-13.5. 2. x e y x cos =解：)sin (cos 'x x e y x -=，令0'=y ，得驻点4ππ+=k x （k 为整数）.x e y x sin 2''-=∴当42ππ+=k x 时，,0''<y x 在该处取得极大值，其值为4222ππ+=k ey 当452ππ+=k x 时，,0''>y x 在该处取得极小值，其值为45222ππ+-=k ey 三. 试问a 为何值时，函数x x a x f 2sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值？它是极大值还是极小值？并求出此极值.解：x x a x f 2cos 32cos )('+=，令0)('=x f ，则02cos 32cos =+x x a即x x a cos /2cos 32-=3π=x 时)(x f 取得极值.323cos /32cos 32=-=∴ππax x x x a x f 2sin 34sin 322sin 34sin )(''--=--=0332sin 343sin 32)3(''<-=--=πππf)(x f ∴在3π=x 处取得极大值，其值为23. 四. 设q px x x f +-=3)(，q p ,为实数，且0>p(1) 求函数的极值.(2) 求方程03=+-q px x 有三个实根的条件.解：(1) p x x f -=23)('，令0)('=x f 得3p x ±=，而x x f 6)(''= 31px =∴处取得极小值，其值为q p +-23)3(231px -=处取得极大值，其值为q p +23)3(2 (2)由上述的讨论我们可以看出，)(x f 仅有 ),3(),3,3(),3,(+∞---∞p p p p 三个单调区间，由介值定理及区间单调性知：方程要有三个实根，必须满足在这三个单调区间上各有一个实根，也就是说，极小值应小于或等于0同时极大值应大于或等于0（等于0时含重根）.即0320322323≥+⎪⎭⎫⎝⎛≤+⎪⎭⎫⎝⎛-q p q p即当23233232⎪⎭⎫⎝⎛≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-p q p 时，方程有三个实根.五. 一个无盖的圆柱形大桶，已规定体积为V,要使其表面积为最小，问圆柱的底半径及高应是多少？解：设圆柱的底半径为R,高为h ，则h R V 2π=,R V R Rh R S /2222+=+=πππ表0/222=-=R V R dRdS π表则3πVR =32/RV R V h ==π 六. 设)(x f 在[]1,0上二阶可微，0)1()0(==f f ，且2)(max 10=≤≤x f x .证明存在 )1,0(∈ξ，使得()16''-≤ξf .证：将)1(),0(f f 在x 取得极大值处展开一阶泰勒公式（设此时0x x =）201000)0(!2)('')0(!1)(')()0(x f x x f x f f -+-+=ξ，010x <<ξ202000)1(!2)('')1(!1)(')()1(x f x x f x f f -+-+=ξ，120<<ξx 0)1()0(,0)(',2)(00====f f x f x f ，两式相加得：8)1)(('')(''202201-=-+x f x f ξξ令()(){}21'',''min )(''ξξξf f f =，则16212128)(''8)122)((''20020-≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤-≤+-x f x x f ξξ一元微积分学题库 (17) 最大值最小值凹凸性拐点一、求下列函数的最大值和最小值： 1.)41( 3223≤≤--=x x x y-11234-2-11函数在所给区间内可导，因此可令 066)(2=-='='x x x f y 解得 1 ,0==x x而 104)4( ,1)1( ,0)0( ,5)1(=-==-=-f f f f 所以函数在区间]4,1[-上的最大值、最小值分别为104和-5. 2. )41( 718x -6223≤≤+-=x x x y-1123456-50-25255075100函数在所给区间内可导，因此可令18126)(2=--='='xxxfy解得)(1,3舍去-==xx而33)4(,47)3(,15)1(-=-=-=fff所以函数在区间]4,1[上的最大值、最小值分别为-47和-15.二、某车间靠墙壁盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20米长的墙壁，问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？解：设宽为)200(<<xx米，则长为x220-米，因此，面积为xxS)220(-=显然，当5=x时，面积取最大值502m.三、求数项),2,1(=nnn中的最大项.解：246810121.11.21.31.4令 0)(x )(1>=xx x f 则 )ln 1()(21x xx f x-='-解得唯一驻点，e x = ，并且)(x f 在区间e] ,0[上单调递增，在区间] ,[∞+e 上单调递减，而332<所以数项),2,1( =n n n 中的最大项为33. 四、求下列函数的凹凸区间与拐点： 1. 53x 523++-=x x y 解：-2246-20-101020函数在定义域) ,(∞+-∞内阶导数存在，并且 3106)(2+-='='x x x f y 1012)(-=''=''x x f y因此，当)65 ,(-∞∈x 时，0<''y ，曲线为凸的，当) ,65(∞+∈x 时，0>''y ，曲线为凹的，点)216995,65(是曲线的拐点. 2. )1ln(2+=x y解：-4-2240.511.522.53函数在定义域) ,(∞+-∞内阶导数存在，并且 12)(2+='='x xx f y 22)1()1)(1(2)(x x x x f y ++-=''='' 因此，当)1- ,(-∞∈x 时，0<''y ，曲线为凸的，当) 1 ,1(-∈x 时，0>''y ，曲线为凹的，当) ,1(∞+∈x 时，0<''y ，曲线为凸的，点)ln2 ,1(±是曲线的拐点.五、证明112+-=x x y 有三个拐点位于同一直线上. 证明：-4-224-1.5-1-0.5函数在定义域) ,(∞+-∞内二阶导数存在，并且。

一元微积分期末考试答案

n→∞
lim
n2
n n n + 2 + ··· + 2 +1 n +2 n +n
.
Solution This problem uses the Squeeze Theorem. Since n· and
n→∞
n2
n n n n n < 2 + 2 + ··· + 2 <n· 2 , +n n +1 n +2 n +n n +1 lim n · lim n · n 1 = lim 1 = 1 , + 1 n→∞ 1 + n 2 n 1 = lim + n n→∞ 1 +
1 2 1 2 d e 2 x y = x3 e 2 x . dx
xdx
= e 2 x . Multiplying this factor on both sides
1 2
4
Integrating both sides of the above, we get e 2 x − 2e 2 x + C .
2π (2 − y )xdy = 2π
0 0
2 1 (2y − y )dy = 2π ( y 3 − y 4 ) 3 4
2 3
2 0
8 = π. 3
8. [9 points] Find the area of the surface generated by revolving the given √ curve y = x3 /3, 1 ≤ x ≤ 7, about the x-axis. 5
ξ 1 0
f (t)dt > 0, since f (t) < 1 for all t ∈ [0, 1]. By

一元微积分试卷(1)

一、填空题（每小题4分，共20分）1、极限 ()()21ππ2πsin2sin 1sin limn n n n n n n→∞-+++-= 1π 2、202d sin()d d x t x t x-=⎰22sin x x 3、220e d x x x +∞-=⎰124、函数()2f x x x =-在22,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为0，最小值为14-5、()()1200911ee d xx x x x --+-=⎰14e -二、单项选择题（每小题4分，共20分）1、设函数()f x 连续，且(0)0f '>，则存在0δ>，使得（C ）.（A ）()f x 在(0,)δ内单调增加；（B ）()f x 在(,0)δ-内单调减少；（C ）对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >；（D ）对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >. 2、=( B).（A ）12C ；（B ）2C ；（C ）()2arcsin 21x C -+;(D) ()arcsin 21x C -+.3、设函数()y f x =满足关系式240y y y '''-+=，且()00f x >，()00f x '=，则()f x 在0x 点处(A). （A ）取得极大值；（B ）取得极小值；（C ）在0x 点某邻域内单调增加；（D ）在0x 的某邻域内单调减少. 4、若()1cos 2sin d x f x t t -=⎰，()5656x x g x =-，则当0x →时，()f x 是()g x的(B ).（A ）低阶无穷小；（B ）高阶无穷小；（C ）等价无穷小；（D ）同阶但不是等价的无穷小。

5、设()21,0e ,xx x f x x ⎧+<=⎨≥⎩，则()312d f x x -=⎰( B ) .（A ）1e 3-； (B) 1e 3+；（C ）13；（D ）2e .三、计算下列各题（每小题4分，共12分）1、求抛物线2y a x =上任一点处的曲率，在那一点它的曲率最大？解：因为33222222(1)(14)y a y a x ''K =='++要使K 最大，只需3222(14)a x +最小，所以有0x =，即曲线在(0,0)处曲率最大。

清华大学微积分期末试题

切线与横轴交点的坐标等于切点横坐标的一半。
三．证明题（请写出详细的证明过程！）
∫ ∫ ∫ 1.（8 分）设 f ∈ C[0,1]，利用分部积分证明
1⎡ 0 ⎢⎣
x x2
f (t)dt⎥⎦⎤dx =
1
(
0
x − x2 ) f (x)dx 。
2.（7 分）设 a(x) 和 b(x) 为 (−∞,+∞) 上以 2π 为周期的连续函数，考虑一阶线性常微分方程
d
2x
ln(1 + sin t)dt =
dx x2
。
5. 求曲线 y = ex 、 y = − cosπ x 、 x = − 1 、 x = 1 围成的区域面积
2
2
∫ 6. π sin x − sin3 xdx = 0
。
∫ 7.
dx =
x(x2 + 1)
。
∫ 8. 2 dx =
1 x+ x
。
9. 悬链线 y = 1 (ex + e−x ) ，| x |≤ 1的弧长 L = 2
dy = a(x) y + b(x) 解的情况。 dx （I）举出 a(x),b(x) 的一个例子，使得该方程的解为下列三种情况之一：
（a）没有以 2π 为周期的解；（b）只有一个以 2π 为周期的解；（c）任意解都以 2π 为周期。
（只要就上面三种情况中的一种举一个例子即可）（II）证明该方程解的情况只能是上述三种之一。
10. 二阶方程 x2 y''−xy'−3y = 0 的通解为
。。
11.
⎧ dy
一阶线性常微分方程组
⎪ 43; 2z
的通解为

一元微积分数学函数题库有答案

一元微积分数学函数题库有答案一元微积分学数学（1）函数一、填空题： 1．函数 y=arcsin 92-x定义域是:310103-≤≤-⋃≤≤x x2.设y=f (x)的定义域是[0，1]，则复合函数f (sinx)的定义域是:z k k x k ∉+≤≤,22πππ.3．函数33+=x y 的值域是 0≤y ≤+∝ . 4．函数)1,0(11≠>+-=a a ax ax y 的反函数是:axa xy +-=1. 5．函数12+-=x y 在区间 ]0,(-∞ 内是单调增加的.在区间)0[∞+，内是单调减少.6．设21)1(x x xf ++=，（x>o ）,则)(x f =x x 211++.7．设1)(-=x x x f ,则))(((x f f f =1-x x, ))((x f f = x . 8．函数⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<≤≤<<-∞=x x x x x y x 4,241,1,2的反函数y=⎪⎩⎪⎨⎧+∞<≤≤≤<<-∞.16,log ,161,,1,2x x x x x x. 二．选择题：1．在同一直角坐标系中，函数与它的反函数说代表的曲线具有的性质是（D ）(A) 关于y 轴对称; (B) 关于x 轴对称; (C)重合； (D) 关于直线y=x 对称.2.下列几对函数中，)(x f 与)(x g 相同的是（C ）.（A ）2lg )(x x f =与x x g lg 2)(= （B ）x x f =)(与2)(x x g = （C ）2)(x x g =与2)(x x g = （D ）1)(=x f 与xxx g =)( 3．已知的定义域为则的定义域是（C ）（A ）[-a,3a] (B) [a,3a] (C) {a} (D) {-a} 4．如果1)(-=x xx g ，那么))(1(x f f 的表达式是（B ）(A) x-1 (B)1-x (C)xx 1- (D) 都不是三．设函数)(x f y =是线性函数，已知,3)1(,1)0(-==f f 求此函数. 解：设f(x)=ax+b,则有0+b=1, a+b=-3,解得a= -4,b=1.四．证明函数1)(2+=x xx f 在它的整个定义域内是有界.证明：f(x)的定义域为R.xx x x1112+=+因为2111,21≤+≥+xx xx 所以所以：函数1)(2+=x xx f 在它的整个定义域内是有界五．试讨论函数21121)(+-=x x f 的奇偶性.解：21121)(+-=x x f21121)(+-=--x x f211211+-=x 212211+-=xx 21212+-=x x 2121211+-+-=xx 212111+-+-=x21211--=x )(x f -= 所以 21121)(+-=xx f 偶函数. 一元微积分学题库（2）数列的极限一．判断题：1．如果数列{n u }以A 为极限，那么在数列｛n u ｝增加或去掉有限项之后，说形成的新数列｛n u ｝仍以阿A 为极限． ( T )2．如果0lim =∞→n n n v u ，则有0lim =∞→n n u 或0lim =∞→n n v( F )3．如果a a n n =∞→lim ，且存在自然数N ，当n>N 时恒有n a ＜０，则必有a<０． ( F )4．如果n n a ∞→lim ，n n b ∞→lim 均不存在，则有)(lim n n n b a +∞→必不存在． ( F )一元微积分学题库（3）函数的极限，无穷大，无穷小一．选择题：下列题中其条件对其结论来说是（Ａ）充分但非必要条件；（Ｂ）必要但非充分条件；（Ｃ）充分必要条件：（Ｄ）既非充分又非必要条件；１．条件a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim .结论b a b a n n n +=+∞→)(lim （A ）２．条件)(lim 0x f a n -→和)(lim 0x f a n +→都存在.结论)(lim x f an →存在（B ）３．条件)(lim x f an →和)(lim x g an →都存在.结论 )]()([lim x g x f an +→存在. （A ）４．条件f(x)在a 的某个邻域内单调有界．结论)(lim x f an →存在．（D ）三．求0)(,)(→==x xx x g x xx f ，当时的左右极限，并说明它们在x →0时的极限是否存在？解：xxx f =)(=1，所以1)(lim 0=→x f x .⎩⎨⎧><-==.0,1,0,1)(x x x xx g 所以 1)(lim 00-=-→x g x ， 1)(lim 00=+→x g x 显然≠-→)(lim 00x g x )(lim 00x g x +→，故)(lim 0x g x →不存在.五．证明：函数 xx y 1cos 1=在区间（０，１］上无界，但当x →＋０时，这函数不是无穷大．证明：1. 取+∞→∈=k N k k x 当),(21π时，x x y 1cos 1==+∞=πk 2 所以 x x y 1cos 1=在区间（０，１］上无界.2.取0),(21+→+∞→∈+=x k N k k x 时，当ππ，x x y 1cos 1==021⋅+ππk =0即在0的任何邻域都不可能有M xx y >=1cos 1（M>0）成立. 所以当x →＋０时，这函数不是无穷大．一元微积分学题库（4）极限的求法一．判断题：下列运算是否正确：0)(lim .12=∞-∞=--∞→x x x n(F).1)53(lim )32(lim 5332lim .24343=∞∞=++=++∞→∞→∞→x x x x x x x(F)0lim 2lim 1lim )21(lim .3222222=+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++∞→∞→∞→∞→nnn n n n n n n n n n （F ）二．计算下列极限：１．x x xx x x 2324lim 2230++-→解：xx x x x x 2324lim 2230++-→ =23124lim 20++-→x x x x =21 ２．)2141211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→解：)2141211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→=211)21(1lim--∞→nn =2３．)1111(lim 31x x x ---→ 解：设31111)(x x x f ---=，则311111)(1x x x f ---=因为2313111lim 11111lim )(1lim x x x x x x f x x x +-=---=→→→=0，所以∞=→)(lim 1x f x即：∞=---→)1111(lim 31xx x 从而时，当,10,1lim .40-∞→-→→xx x arctg x 从而时，当,10,21lim 0+∞→+→-=-→x x x arctgx π)(.1lim ,21lim 00T xarctg x arctgx x 不存在所以→+→=π４．x x x 11lim-+→ 解：xx x 11lim-+→ =)11()11()11(lim++⋅++⋅-+→x x x x x=)11(lim++⋅→x x x x=111lim 0++→x x=21 ５．xarctgxx ∞→lim解：因为 22ππ<<-arctgx 所以arctgx 为有界函数.而 xx 1lim∞→=0，由有界函数与无穷小的乘积是无穷小知.x arctgxx ∞→lim =0６．)(lim x x x x x -+++∞→解：)(lim x x x x x -+++∞→=xx x x x x x x x x x x x ++++++⋅-+++∞→)()(lim=xx x x x x x x x +++-+++∞→)(lim=xx x x x x x +++++∞→lim=xxx 111111lim+++++∞→=21 ７．)1()1)(1(lim 2n n x x x +⋅⋅⋅++∞→解：)1()1)(1(lim 2n n x x x +⋅⋅⋅++∞→=x x x x x n n -+⋅⋅⋅++-∞→1)1()1)(1)(1(lim 2=xx n n --∞→11lim 2=x-11 三．已知a x f x a x x x x f x 存在，求且)(lim ,3,3,3)(3→⎩⎨⎧<+≥-=解：)(lim 03x f x +→=3lim3-+→x x =0，)(lim 03x f x -→=)(lim 03a x x +-→=3+a,)(lim 3x f x →存在，即：)(lim 03x f x +→=a x f x +==-→3)(lim 003所以. 3-=a .一元微积分学题库（5）极限存在准则两个重要极限无穷小的比较一、判断题：1．因为0→x 时，tgx~x,sinx~x,所以 0lim sin lim 330=-=-→→xxx xtgx x x x （F ） 2． 222)21(lim )2(lim e xx x xx x x =+=+•∞→∞→ (T)3． 1sin lim )sin (lim sin lim=⋅=⋅=→→→x xx tgx x x x tgx x tgx x x x πππ (F)二、计算下列极限1. xxx 5sin 2sin lim 0→解：x x x 5sin 2sin lim 0→=)525sin 522sin (lim 0⋅⋅→x x x x x =⋅→x x x 22sin lim 0⋅→x x x 5sin 5lim 052=522. xctgx x 0lim →解：xctgx x 0lim →=)cos sin (lim 0x x x x ⋅→=)sin (cos lim 0x x x x ⋅→=⋅→x x cos lim 0xxx sin lim0→=1 3. xx xx sin 2cos 1lim0-→解：x x x x sin 2cos 1lim 0-→=x x x x sin sin 2lim 20⋅→=x x x sin 2lim 0→=xx x sin lim 20→⋅=24. xx x 1sin lim ∞→解：x x x 1sin lim ∞→=x x x 11sinlim∞→=xx x11sinlim 01→=1.5. kx x x)11(lim -∞→解：kx x x )11(lim -∞→=)()()11(lim k x x x -•-∞→--+=k x x x --∞→--+])11[(lim =ke -6. xx x x )11(lim -+∞→解：x x x x )11(lim -+∞→=x x x x ]12)1([lim -+-∞→=xx x )121(lim -+∞→=1221)2111(lim +•-∞→-+x x x=)]2111()2111[(lim 221-+⋅-+•-∞→x x x x =2e . 二、证明：当x →0时，下列各对无穷小量是等价的 1.x arctgx ~证明：设A=arctgx,则 x=tgA, 当0→x 时，0→A . xarctgxx 0lim→=tgA A A 0lim →=1 2.1-cosx ~ 22x证明：2cos 1lim 20x x x -→=2)2sin(2lim 220x x x ⋅→=2202)2(2)2sin(2lim x x x ⋅⋅→=222)2()2sin(lim x x x →=1. 四、证明：0)2124321(lim =-⋅⋅⋅⋅∞→nn n 用两边夹法则：（解法一）设F(n)= n n 2124321-⋅⋅⋅⋅>0 则2)2124321()(nn n F -⋅⋅⋅= 22222)2()12(4321n n -⋅⋅⋅⋅=1)2()12(14312122222--⋅⋅⋅-⋅-<n n )12()12()12(75353122+⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n n121+=n 设 g(n)=0, h(n)= 121+n , 则g(n)=0 < F(n) < h(n).显然0)(lim =∞→n g n ，0)(lim =∞→n h n ；由极限存在准则I 知：0)(lim =∞→n F n .证毕.（解法二）：设F(n)=nn 2124321-⋅⋅⋅⋅>0 因为 n n n n 112-<--（n 为自然数），所以有F(n)< 12254322124321+⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n n n=n21 设 g(n)=0, h(n)= 121+n , 则g(n)=0 < F(n) < h(n).显然0)(lim =∞→n g n ，0)(lim =∞→n h n ；由极限存在准则I 知：0)(lim =∞→n F n .证毕.另解：设F(n)=nn 2124321-⋅⋅⋅⋅( 0<F(n)<1 )，则F(n+1)= 122)(+⋅n nn F ，有F(n+1)<F(n).所以F(n)为单调有界数列，由极限存在准则II 知F(n)有极限.设A n F n =∞→)(lim .则有)1(lim +∞→n F n =))(1(lim n F n nn ⋅+∞→ )1(lim +∞→n F n =1+n n)(lim n F n ∞→⋅A=1+n nA , A=0. 即0)(lim =∞→n F n .证毕.五、设2112,,2,1,10n n n x x x n x -=⋅⋅⋅=<<+，证明数列}{n x 的极限存在，并求其极限.证明： 212n n n x x x -=+ 2211n n x x -+-=2)1(1n x --= ]))1(1(1[1221-----=n x 221)1(1---=n x 322)1(1---=n x = (1)21)1(1---=k x因为 ,101<<x 所以 ,10<<n x 因为 212n n n x x x -=+所以)1(1n n n n x x x x -=-+>0 即： n n x x >+1 所以}{n x 为单调有界数列，由极限存在准则II 知}{n x 有极限. A x n n =∞→lim ，则有 )2(lim lim 21n n n n n x x x -=∞→+∞→，A=2A--2A ，解得：A=1 或A=0（舍去，因为}{n x 为递增数列且01>x .）所以 1lim =∞→n n x一元微积分学题库（6）函数的连续性一．判断题1．21))12)(12(1...5*313*11(lim =+-+++∞→n n n （ T ） 2.设)(x f 在0x 点连续，则)lim ()(lim 0x f x f x x x x →→=（ T ）3．如果函数)(x f 在],[b a 上有定义，在],[b a 上连续，且<)(*)(b f a f 0，则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得)(ξf = 0（ T ）4．若)(x f 连续，则)(x f 必连续. （ T ）5．若函数)(x f 在],[b a 上连续且恒为正，则)(1x f 在],[b a 上必连续. （ T ）6．若a x f x x =→)(lim 0,且0>a ，则在0x 的某一邻域内恒有0)(>x f .（ F ）7．0=x 是函数xx x f 1sin )(=的振荡间断点.（ F ）二．填空题：1．-→ππx xx sin lim (1-)2. =∞→x x x sin lim ( 0 )3. =+--+-→123lim2312x x x x x x ( ∞ ) 4. 0=x 是xe xf 1)(=的第（二）类间断点.三．求xx x x sin 10sin 1tan 1lim ⎪⎭⎫⎝⎛++→解：xx x x sin 10sin 1tan 1lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→=()()1sin 1tan 1lim sin 1sec cot 0==++→ee x x xxx x 四．求函数4tan()1()(π-+=x xx x f 在)2,0(π内的间断点，并判断其类型.解：)(x f 在()π2,0内的间断点有：4π=x ，43π=x ，45π=x ，47π=x因为 ),(lim 4x f x π→)(lim 45x f x π→不存在，,1)(lim 43=→x f x π1)(lim 47=→x f x π 所以43π=x ，47π=x 是)(x f 的第一类（可去）间断点; 4π=x ，45π=x 是)(x f 的第二类间断点.五．设1lim )(2212+++=-∞→n n n x bxax x x f ，（1）求)(x f ；（2）当)(x f 连续时，求b a ,的值.解：(1) n n n n xx bx ax x f 2122231lim )(---∞→+++= ∴ ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<+-=-+-=++>=112112111)(2x bx ax x b a x b a x x x f(2) )(x f 连续21)1(11lim)(lim 0101ba f x x f x x ++====+→+→1=+⇒b a21)1(11lim )(lim )01()01(ba f x x f x x -+-====--→--→ 1-=-⇒b a∴⎩⎨⎧==1b a .一元微积分学题库（7）连续函数的性质一．计算下列极限： 1．2321lim4--+→x x x 解：原式= )321)(4()2)(921(lim4++-+-+→x x x x x =321)2(2lim4+++→x x x =342．22011lim xx x +-→ 解：原式=2220)11(lim x x x x ++→=)11(lim 20x x ++→=2 3．x x x sin lnlim 0→ 解：原式=)sin lim ln(0xxx →=01ln =4．ctgx x tgx )31(lim 0+→解：原式=tgxx tgx 33)31(lim +→=331])31(lim [tgx x tgx +→=3e5．145lim1---→x xx x解：原式=)45)(1()1(4lim1x x x x x +---→=xx x +-→454lim1=26．xe x x 1lim 0-→解：令t e x =-1，得)1ln(+=t x ，当0,0→→t x 时原式=)1ln(limt tt +→=tt t 10)1ln(1lim+→=])1(lim ln[110tt t +→=1ln 1=e二．证明方程b x a x +=sin 至少有一个不超过b a +的正根（其中0,0>>b a ）. 证明：设x b x a x f -+=sin )(，则)(x f 在],0[b a +上连续. 又0)0(>=b f ，0]1)[sin()(≤-+=+b a a b a f . 若0)(=+b a f ，则结论成立.若0)(<+b a f ，则由零点定理0)(),0(=+∈∃ξξf b a 使得. 三．设)(x f 在]1,0[上连续，且1)(0≤≤x f ，证明：至少存在一点]1,0[∈ξ，使得ξξ=)(f .证明：设x x f x F -=)()(，则)(x F 在]1,0[上连续. 又0)0(0)0()0(≥=-=f f F ,01)1()1(≤-=f F 若0)1(0)0(==F F 或，则结论成立.若0)1(0)0(<>F F 或，则由零点定理0)()1,0(=∈∃ξξf 使得. 四．设)(x f 在),(b a 上连续，且B x f x f bx ax ==-+→→)(lim )(lim 00，又存在),(1b a x ∈使 B x f >)(1.证明)(x f 在),(b a 上有最大值. 证明：取),(1B x f -=ε1δ∃, 当10δ<-<a x 时, B x f B x f -<-)()(1. 即当),(1δ+∈a a x 时，)()(1x f x f <.2δ∃, 当02<-<-b x δ时, B x f B x f -<-)()(1. 即当),(2b b x δ-∈时，)()(1x f x f <.若21δδ->+b a ,)(1x f 为最大值),(1b a x ∈.若21δδ-≤+b a ,)(x f 在],[21δδ-+b a 上连续,必有最大值. )()(10x f x f ≥, ],[210δδ-+∈b a x .∴在),(b a 上)(x f 取得最大值)(0x f .一元微积分学题库（8）导数的概念一．选择题：1．设f ′ (x)存在，a 为常数，则ha h x f a h x f h )()(lim0--+→等于（C ）. (A) f ′(x) ; (B) 0 ; (C) )('2x f a; (D) )('2x f .2. 在抛物线23x y =上，与抛物线上横坐标11=x 和22-=x 的两点连线平行的切线方程是（B ）.(A) 12x-4y+3=0; (B)12x+4y+3=0; (C) 4x+12x+3=0; (D)12x+4y+1=0.3. 将一个物体铅直上抛，设经过时间t 秒后，物体上升的高度为22140gt t s -=，则物体在3秒时的瞬时速度为（B ）.(A) g 2340-; (B) 40-3g ; (C) 0 ; (D) g 29120-.4. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f 在x=0处 (B). (A) 连续且可导；（B ）连续，不可导；（C ）不连续；（D ）都不是.二．设函数⎩⎨⎧>+≤=1,1,)(2x b ax x x x f 在处x=1可导，求a 和b. 解：)(x f 在x=1处可导∴)(x f 在x=1处连续，可得 )(lim )(lim 0101x f x f x x -→+→= 即 1=+b a (1)又)(x f 在x=1处可导, 可得1)1()(lim1)1()(lim0101--=---→+→x f x f x f x f x x 即 211lim 11lim20101=--=--+-→+→x x x b ax x x (2) 由(1),(2)得 2=a , 1-=b . 三．设5323)(xx x x f =，求)('x f .解: 67)(x x f =, 由幂函数的导数公式可得6167)('x x f =.四．已知⎩⎨⎧≥<=0,0,sin )(x x x x x f ，求)('x f .（提示：分段点x=0处的导数用导数的定义求）解: 当x=0时, 令0-=x h , 1sinhlim )0()0(lim 00==-+--→→hh f h f h h ;1lim )()0(lim 00==-+++→→h hh x f h f h h .所以 1)0('=f∴ ⎩⎨⎧≥<=0,10,cos )('x x x x f五．设f(x)在),(+∞-∞上有连续导函数.证明f(x)为偶函数的充要条件是：)('x f 为奇函数（充分性的证明用到不定积分的概念，只证必要性）.证明: 对于∀ ),(0+∞-∞∈x 则有),(0+∞-∞∈-x 依题意令0x x h -=有 h x f h x f x f h )()(lim)('0000-+=→;hx f h x f x f h )()(lim)('0000--+-=-→;)(x f 为偶函数).(')()(lim )('00000x f hx f h x f x f h -=--=-∴→一元微积分学题库（9）求导法与复合函数求导一．填空题：1．曲线xx y 1-=与x 轴交点的切线方程是)1(2±=x y .2．曲线2sin 2x x y +=在横坐标x=0点处的切线方程是x y 2=,法线方程是x y 21-=.3．设x x y ln 1ln 1+-=，则2)ln 1(2'x x y +-=. 4．设xxy 2sin =，则22sin 2cos 2'x x x x y -=. 5．设)(cos )(sin 22x f x f y +=，则x x f x x f y 2sin )(cos '2sin )(sin ''22-=. 二．求下列函数的导数.1. 52322+-=xx y .解: 3222246)'2()'3()'523('x x x x x x y +=-=+-=.2. x x y cos 2=.解: )'(cos cos )()'cos ('222x x x x x x y +==x x x x sin cos 22-=. 3. x x y cos sin ⋅=.解: x x x x y 2cos )'2sin 21()'cos (sin '==⋅=.4. )13(2+-=x x e y x .解: )'13()13('22+-++-=x x e x x e y x x )3213(2-++-=x x x e x )2(2--=x x e x .5. 110110+-=x x y .解: 2)110()110(10ln 10)110(10ln 10'+--+=x x x x x y2)110(10ln 102+⋅=x x . 三.求导数:1. x y 2ln 1+=,求'y . 解: xx x x x y 222ln 1211ln 2ln 121)'ln 1('+⋅⋅=+⋅+= xx x 2ln 1ln +=.2. 2ln x tgy =,求dx dy. 解: x x x x x x tg y csc sin 12cos 2sin 212sec 2121'2==⋅=⋅⋅=.3. t t y cos 1sin 1-+=,求dt dy.解: 2)cos 1()'cos 1()sin 1()cos 1()'sin 1('t t t t t y --⋅+--⋅+=222)cos 1(sin cos sin cos t t t t t ----= 2)cos 1(1sin cos t t t ---=. 四.已知)2523(+-=x x f y ,2arctan )('x x f =,求=x dx dy .解: 令2523+-=x x u ,则 22)2523()25()23(5)25(3)('''+-⋅+--+=⋅=x x arctg x x x u f u y ===140arctg dxdyx π.一元微积分学题库(10) 复合函数求导(二) 高阶导数一. 求下列函数的导数: 1. )21arcsin(2x y -=. 解：2222124)21(11)'21('xx x x x y --=--⋅-=.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--<<--=01,1210,1222x xx x2．x e y arcsin =.解： x xe xxe x y arcsin arcsin1121)'(arcsin '⋅-⋅=⋅=2arcsin2xx e x -=.3．3212ttarctgy +=. 解： 1444)21()21(82)212(11)'212('23623233233++++⋅+-=++⋅+=t t t t t t tt tty 1444822363+++-=t t t t .4．242arcsin x xx y -+=.解： 22422)2(11212arcsin'xx xx x y ---⋅⋅+=)4242(22arcsin22xx x x ---+=2arcsin x=.5．xey 1sin 2-=.解： xx e x x xe x y 1sin 21sin 222)1cos 1sin 2(1)'1sin ('--⋅⋅-⋅-=⋅-=xe xx 1sin 222sin-⋅=. 二. 求下列函数的二阶导数:1. )1ln(2x y -=.解： 212'x x y --=, 222222)1()1(2)1(22)1(2''x x x x x x y -+-=-⋅---=. 2. arctgx x y )1(2+=.解： 1211)1(2'22+=+⋅++=xarctgx x x xarctgx y , 2122''xxarctgx y ++=. 3. x xe y =.解： x x xe e y +=', x x x x x xe e xe e e y +=++=2''. 三. 求函数x x y ln =的n 阶导数. 解： 1ln '+=x y ，x y 1''=，21'''x y -=，3)4(2xy =，一般地，可得 ⎪⎩⎪⎨⎧≥--=+=-2,)!2()1(1,1ln 1)(n x n n x y n n n . 四. 设)()()(2x a x x f ϕ-=,其中)('x ϕ在点a 的邻域内连续,求)(''a f . 解： )(')()()22()('2x a x x a x x f ϕϕ-+-=.ax x a x x a x a x a f x f a f a x a x --+-=--=→→)(')()()22(lim )(')('lim )(''2ϕϕ)('x ϕ在点a 的邻域内连续 ∴)(')('lim a x ax ϕϕ=→∴0)(lim )(')(')(lim2=-=--→→a x a ax x a x a x a x ϕϕ. )(20)(2lim )(''a x a f ax ϕϕ=+=→.一元微积分学题库(11) 隐函数求导法一. 求由下列方程所确定的隐函数y 的导数dxdy. 1. y xe y -=1.解： )'('yye xy e y +-=, 即 yyxee y +-=1' 其中y 是由方程y xe y -=1所确定的隐函数. 2. )(y x tg y +=.解： )(sec )'1('2y x y y +⋅+=, 即 221'yy y +-=.其中y 是由方程)(y x tg y +=所确定的隐函数. 3. 0922=+-xy y .解： 0'22'2=--xy y y y , 即 xy y y -='. 其中y 是由方程0922=+-xy y 所确定的隐函数. 二. 用对数函数求导法求下列函数的导数'y : 1. 22x ctg xtg y =.解：先两边取对数(假定422πππk x k +<< . ,2,1,0±±=k ) 得 x tg xctg y 2ln 2ln ⋅=. 则)2ln 2csc 21222sec 2('122x tg xx ctg x ctg x y y -⋅⋅=. )2ln 2csc 21222sec 2(2'222x tg xx ctgx ctg x x tg y xctg -⋅⋅=. 当2)1(42πππ+<<+k x k 时,用同样的方法可得与上面相同的结果. 2. 55225+-=x x y .解：先两边取对数(假定5>x ) 得)]2ln(51)5[ln(51ln 2+--=x x y .对上式两边对x 求导，得)2125151(51'12+⋅⋅--=x x x y y .即 ])2(5251[2551'2552+--+-=x x x x x y . 当5<x 时,用同样的方法可得与上面相同的结果.三. 求下列函数的二阶导数22dxyd .1. ⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos .解：t a b t a t b dtdx dt dy dx dy cot sin cos -=-==, t a b t a t a b dtdx t a b dt d dx y d 32222sin sin 1csc 1)cot (-=-⋅=⋅-=.2. 已知⎩⎨⎧-==)()(')('t f t tf y t f x 这里)(''t f 存在且不为零.解： )(''t f 存在且不为零 ∴t t f t f t tf t f dx dy =-+=)('')(')('')(', )(''122t f dx y d =. 四. 设⎪⎩⎪⎨⎧+=+=tt t y tt x 4522,证明y=y(x)在t=0时dx dy 存在,并求其值. 证明：原方程可化为 02=-x y . 当0=t 时0=x ,.0)0()(lim lim )0()(lim 0200=-==--+→→→hf h f h h h f h f h h h 一元微积分学题库(12) 微分一. 选择题:1. 已知x y 2tan =,则dy 等于(C).(A) 2tgxdx ; (B)tgxdx x212+ ; (C) xdx tgx 2sec 2 ; (D) x tgx 2sec 2. 2．一元函数连续是可导的（A ）；一元函数可导是可微的（C ）. （A ）必要条件；（B ）充分条件；（C ）充要条件；（D ）既非充分条件又非必要条件. 2. 函数x x x x x f ---=32)2()(不可微点的个数是（B ）. （A ） 3; (B) 2; (C) 1; (D) 0. 二．填空题：1．已知函数2)(x x f =在点x 处的自变量的增量2.0=∆x ，对应的函数增量y ∆的线性主部是8.0-=dy ，那末自变量的始值为2-. 2． )](ln ln[ln 32x y =，则dx xx dy ln ln ln 2-=.3. xdx c x d 3cos )sin 31(=+; dx e c e d xx22)2(--=+-;dx xc xd 1)2(=+; dx x c x d 11))1(ln(-=+-. 三．利用微分求近似值：ο59cos .解： 180359ππο-=. 这里x ∆较小应用(p150)(2)式,得1803sin 3cos )1803cos(59cos πππππο⋅+≈+= 5151.01802321=⋅+=π. 四．已知测量球的直径D 时有1%的相对误差，问用公式36D V π=计算球的体积时，相对误差有多少？解：我们把测量D 时所产生的误差当作自变量D 的增量D ∆，那么，利用公式36D V π=来计算V 时所产生的误差就是函数V 的对应增量V ∆.当V∆很小时，可以利用微分dV 近似地代替增量V ∆，即D D D V dV V ∆⋅=∆⋅=≈∆22'π.其相对误差%3)(3=∆=∆=DVV V s v . 五．求由方程t t s st =-+)ln()sin(所确定的隐函数s 在t=0处的微分ds .解：对方程两边关于t 求导，得11')cos()'(=--++t s s st s t s . 当 t=0时, 得 1'2++-=s s s .又对原方程, 当 t=0时, 得 0ln =s 即 s=1.1111=++-=∴dt ds一元微积分学题库（13）中值定理一．选择题：1．下列函数中，满足罗尔定理条件的是（B ）.(A)()[];1,1,132-∈-=x x x f (B)()()[];8,0,42∈-=x x x f(C)()];3,1[,3-∈=x x x f(D)()[].1,10,00,1sin 2-∈⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x x xx x f 2.对于函数()332x x f -=，在区间[]1,0上满足拉格朗日中值定理的点ξ是(A).(A)21; (B)31±; (C)31; (D)1. 二. 应用导数证明恒等式：()112arccos arcsin ≤≤-=+x x x π.（注意：对1±=x处的讨论）证：令()x x x f arccos arcsin +=当()1,1-∈x 时，()()()01111'arccos 'arcsin '22=---=+=xxx x x f()C x f =∴（C 为常数）.特别地，取0=x ,则求得()20π==f C当1-=x 时，()221πππ=+-=-f当1=x 时，()2021ππ=+=f∴ 当[]1,1-∈x 时，2arccos arcsin π=+x x三. 设0>>b a ，证明：bba b a a b a -<<-ln .证：设()x x f ln =，在],[a b 上利用拉格朗日中值定理，有：()()a b b a b a <<==--ξξξ1'ln ln lnba 111<<ξ ∴bba b a a b a -<<-ln . 四. 证明：不论b 取何值，方程033=+-b x x 在区间[]1,1-上至多有一个实根.证：反证法.设()b x x x f +-=33，且在区间[]1,1-上有两个以上实根，其中两个分别记为21,x x ，不妨设1121≤<≤-x x ，则()()021==x f x f ，由罗尔定理，在()1,1-内至少有一点ξ，使()0'=ξf . 而()33'2-=x x f 在()1,1-内恒小于0，矛盾.命题成立.五. 构造辅助函数，证明不等式e e ππ>.证：设()x x f ln =，则在区间[]π,e 上，()ππln =f ，().1=e f 根据拉格朗日中值定理，在()π,e 内至少存在一点ξ使()()()()πξξξππ<<==--e f e e f f ,1'即()ξππe -+=1ln 又πξ<<e()()e e e e ππξππ=-+<-+=∴11lnππ<∴ln e 即ππe e <六. 设函数()x f 和()x g 在[]b a ,上存在二阶导数，且(),0''≠x g()()()()0====b g a g b f a f ，证明（1）在(a,b)内()0≠x g ；（2）在(a,b)内至少存在一点ξ，使()()()()ξξξξ''''g f g f =. 证：（1）反证法.设（a,b ）内存在一点1x 使0)(1=x g ，则在[]1,x a 上有g(a)=g(x 1)=0,由罗尔定理知在(a,x 1)内至少存在一点ξ1使'g (ξ1)=0. 同理在(x 1,b)内也至少存在一点ξ2使'g (ξ2)=0. ∵'g (ξ1)='g (ξ2)=0∴由罗尔定理，在(ξ1,ξ2)内至少存在一点3ξ使0)(''3=ξg ,这与0)(''≠x g 矛盾，故在()b a ,内()0≠x g . （3）令)(')()(')()(x f x g x g x f x F -=由题设条件可知，F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且F(a)=F(b)=0,由罗尔定理可知，存在()b a ,∈ξ使得()0'=ξF 即()()()()0''''=-ξξξξg f g f 由于()()0'',0≠≠ξξg g ，故()()()()ξξξξ''''g f g f =. 一元微积分学题库（14）罗必塔法则一. 求下列极限：1. xe e x x x cos 12lim 0--+-→解：原式=2cos lim sin lim00=+=--→-→xe e x e e xx x x x x 2. 0lim→x xxx 3sin arcsin -解：原式=0lim →x cos sin 311122=--x x x 0lim →x ()()xx x x xsin cos 9sin 321212232+---- =0lim →x xx sin 0lim→x ()xx 2232cos 931+----=61-3．0lim →x xctgx解：原式=0lim→x x xsin 0lim →x x cos =1 4．tgxx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→1lim 0 解：令tgxx y ⎪⎭⎫⎝⎛=1，则ctgx x x tgx y ln ln ln -=-= 0lim +→x =y ln 0sin lim csc 1lim ln lim 20200===-+→+→+→xx x x ctgx x x x x ∴lim +→x y=e 0=1 5．⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x x xx ln 11lim 1 解：原式=()()21111lim 1ln 11ln lim ln 11ln lim 2111=+=-+-+=---→→→xx xx x x x x x x x x x x x 一元微积分学题库（15）函数的单调性一．填空题：1．函数y=(x-1)(x+1)3在区间)5.0,(-∞内单调减少，在区间),5.0(+∞内单调增加.2．函数2x ax x y -= （a>0）在区间)43,0(a 内单调增加，在区间),43(a a 内单调减少.3．函数7186223---=x x x y 在区间),3()1,(+∞⋃--∞内单调增加，在区间（-1， 3）内单调减少.4. 函数xx x y 6941023+-=在区间（0.5，1）内单调增加，在区间()),1()5.0,0(0,+∞∞- 内单调减少.二. 证明下列不等式： 1. 当4>x 时，22x x >.证：令22)(x x f x -=，则0)4(=f .x x f x 22ln 2)('-=，082ln 16)4('>-=f2)2(ln 2)(''2-=x x f ，显然，当4>x 时，0)(''>x f )('x f ∴在区间),4(+∞内单调增加. 又0)4('>f)('x f ∴在区间),4(+∞内恒大于零. 又0)4(=f)(x f ∴在区间),4(+∞内大于零.即当4>x 时，02)(2>-=x x f x 即22x x >. 2. 当20π<<x 时，x tgx x 2sin >+.证：令x tgx x x f 2sin )(-+= 2sec cos )('2-+=x x x f)1sec 2(sin sec 2sin )(''32-=+-=x x x tgx x x f 显然，当20π<<x 时，0)(''>x f)('x f ∴在)2,0(π内单调增加.又)0('f =0)('x f ∴在)2,0(π内大于零.)(x f ∴在)2,0(π内单调增加.而)0(f =0 )(x f ∴在)2,0(π内恒大于零. 即当20π<<x 时，02sin )(>-+=x tgx x x f即.2sin x tgx x >+ 3. 当20π<<x 时，x x x <<sin 2π证：令x x x f sin )(=，则2sin cos )('xxx x x f -=. 令x x x x g sin cos )(-=，则)20(0sin )('π<<<-=x x x x g .)(x g ∴在此区间内单调减少.)('x f ∴在此区间内也单调减少.而()02sin lim sin cos lim0'020=-=-=→→x xx xx x x f x x )('x f ∴在)2,0(π内小于0.)(x f ∴在)2,0(π内单调减少.∴xxx f sin )(=在区间的两端取得极大极小值.即ππ2)2(1sin lim)0(0===→f xxf xx x x <<∴sin 2π三. 证明方程sinx=x 只有一个根.证：令x x x f -=sin )(，则01cos )('≤-=x x f . )(x f ∴在),(+∞-∞内单调减少.∴f(x)=sinx-1=0至多有一个根.而f(0)=0, 0)(=∴x f 有且只有一个根. 即方程sinx=x 只有一个根.一元微积分学题库（16）函数的极值一. 填空题：1. 函数3443x x y -=在1=x 处取得极小值.2. 已知函数322)1()5(+-=x x y 当=x -1或5时，y=0为极小值；当x=0.5时， y=318881为极大值. 3．已知bx ax x x f ++=23)(在x=1处有极值-2，则a=0,b=-3,y=f(x)的极大值为2；极小值为-2.二. 求下列函数的极值： 1. ()()23321--=x x y解：)12)(32()1(5'2++-=x x x y)188)(1(10''2-+-=x x x y令0'=y 得三驻点：5.0,5.1,1321-=-==x x x . 当1>x 时，0'>y ，当15.0<<-x 时，0'>y . 11=∴x 处为非极值点.当5.12-=x 时，,0''<y 取得极大值，其值为0. 当5.03-=x 时，0''>y ，取得极小值，其值为-13.5. 2. x e y x cos =解：)sin (cos 'x x e y x -=，令0'=y ，得驻点4ππ+=k x （k 为整数）.x e y x sin 2''-=∴当42ππ+=k x 时，,0''<y x 在该处取得极大值，其值为4222ππ+=k e y 当452ππ+=k x 时，,0''>y x 在该处取得极小值，其值为45222ππ+-=k e y 三. 试问a 为何值时，函数x x a x f 2sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值？它是极大值还是极小值？并求出此极值.解：x x a x f 2cos 32cos )('+=，令0)('=x f ，则02cos 32cos =+x x a即x x a cos /2cos 32-=3π=x 时)(x f 取得极值.323cos /32cos 32=-=∴ππax x x x a x f 2sin 34sin 322sin 34sin )(''--=--=0332sin 343sin 32)3(''<-=--=πππf)(x f ∴在3π=x 处取得极大值，其值为23. 四. 设q px x x f +-=3)(，q p ,为实数，且0>p(1) 求函数的极值.(2) 求方程03=+-q px x 有三个实根的条件. 解：(1) p x x f -=23)('，令0)('=x f 得3p x ±=，而x x f 6)(''=31px =∴处取得极小值，其值为q p+-23)3(231px -=处取得极大值，其值为q p+23)3(2 (2)由上述的讨论我们可以看出，)(x f 仅有 ),3(),3,3(),3,(+∞---∞p p p p 三个单调区间，由介值定理及区间单调性知：方程要有三个实根，必须满足在这三个单调区间上各有一个实根，也就是说，极小值应小于或等于0同时极大值应大于或等于0（等于0时含重根）.即0320322323≥+⎪⎭⎫⎝⎛≤+⎪⎭⎫⎝⎛-q p q p即当23233232⎪⎭⎫⎝⎛≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-p q p 时，方程有三个实根.五. 一个无盖的圆柱形大桶，已规定体积为V,要使其表面积为最小，问圆柱的底半径及高应是多少？解：设圆柱的底半径为R,高为h ，则h R V 2π=,R V R Rh R S /2222+=+=πππ表0/222=-=R V R dRdS π表则3πV R = 32/RV R V h ==π 六. 设)(x f 在[]1,0上二阶可微，0)1()0(==f f ，且2)(max 10=≤≤x f x .证明存在 )1,0(∈ξ，使得()16''-≤ξf .证：将)1(),0(f f 在x 取得极大值处展开一阶泰勒公式（设此时0x x =）201000)0(!2)('')0(!1)(')()0(x f x x f x f f -+-+=ξ，010x <<ξ202000)1(!2)('')1(!1)(')()1(x f x x f x f f -+-+=ξ，120<<ξx 0)1()0(,0)(',2)(00====f f x f x f ，两式相加得：8)1)(('')(''20221-=-+x f x f ξξ 令()(){}21'',''m in )(''ξξξf f f =，则16212128)(''8)122)((''20020-≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤-≤+-x f x x f ξξ一元微积分学题库 (17) 最大值最小值凹凸性拐点一、求下列函数的最大值和最小值： 1.)41( 3223≤≤--=x x x y-11234-2-11函数在所给区间内可导，因此可令 066)(2=-='='x x x f y 解得 1 ,0==x x而 104)4( ,1)1( ,0)0( ,5)1(=-==-=-f f f f 所以函数在区间]4,1[-上的最大值、最小值分别为104和-5. 2. )41( 718x -6223≤≤+-=x x x y-1123456-50-25255075100函数在所给区间内可导，因此可令18126)(2=--='='xxxfy解得)(1,3舍去-==xx而33)4(,47)3(,15)1(-=-=-=fff所以函数在区间]4,1[上的最大值、最小值分别为-47和-15.二、某车间靠墙壁盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20米长的墙壁，问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？解：设宽为)200(<<xx米，则长为x220-米，因此，面积为xxS)220(-=显然，当5=x时，面积取最大值502m.三、求数项),2,1(=nnn中的最大项.解：246810121.11.21.31.4令 0)(x )(1>=xx x f 则 )ln 1()(21x xx f x-='-解得唯一驻点，e x = ，并且)(x f 在区间e] ,0[上单调递增，在区间] ,[∞+e 上单调递减，而332<所以数项),2,1( =n n n 中的最大项为33. 四、求下列函数的凹凸区间与拐点： 1. 53x 523++-=x x y 解：-2246-20-101020函数在定义域) ,(∞+-∞内阶导数存在，并且 3106)(2+-='='x x x f y 1012)(-=''=''x x f y因此，当)65 ,(-∞∈x 时，0<''y ，曲线为凸的，当) ,65(∞+∈x 时，0>''y ，曲线为凹的，点)216995,65(是曲线的拐点.2. )1ln(2+=x y 解：-4-2240.511.522.53函数在定义域) ,(∞+-∞内阶导数存在，并且 12)(2+='='x xx f y 22)1()1)(1(2)(x x x x f y ++-=''='' 因此，当)1- ,(-∞∈x 时，0<''y ，曲线为凸的，当) 1 ,1(-∈x 时，0>''y ，曲线为凹的，当) ,1(∞+∈x 时，0<''y ，曲线为凸的，点)ln2 ,1(±是曲线的拐点.五、证明112+-=x x y 有三个拐点位于同一直线上. 证明：-4-224-1.5-1-0.5函数在定义域) ,(∞+-∞内二阶导数存在，并且。

清华大学考试题及答案数学

清华大学考试题及答案数学清华大学数学考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B2. 函数f(x) = x^2在x=2处的导数是：A. 2B. 4C. 6D. 8答案：A3. 不等式x^2 + 3x + 2 > 0的解集是：A. (-∞, -2)B. (-2, -1)C. (-1, ∞)D. (1, 2)答案：C4. 圆的方程为(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25，该圆的半径是：A. 5B. 10D. 20答案：A5. 极限lim (x->0) [sin(x)/x]的值是：A. 0B. 1C. ∞D. 不存在答案：B6. 方程组x + y = 52x - y = 1的解是：A. (1, 4)B. (2, 3)C. (3, 2)D. (4, 1)答案：C7. 集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∪B是：A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}答案：B8. 已知数列1, 4, 7, 10, ...的第n项是3n-2，那么该数列的第5项是：A. 10C. 16D. 19答案：B9. 如果一个平面图形的周长是固定的，要使其面积最大，该图形应该是：A. 正方形B. 长方形C. 圆形D. 三角形答案：C10. 微分方程dy/dx = x/y的通解是：A. y^2 = x^2 + CB. y^2 = 2x + CC. x^2 = y^2 + CD. x^2 = 2y^2 + C答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 圆心在原点，半径为5的圆的方程是________。

答案：(x-0)^2 + (y-0)^2 = 5^212. 函数f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 3x的拐点个数是________。

答案：213. 已知向量a = (3, 4)，b = (-2, 1)，则向量a与b的夹角余弦值为________。

一元微积分A：期末练习题4

复习题4一、填空题（每小题3分）1．若C x dx x f +=⎰sin )( ，则='⎰dx x f )( ． 2．⎰--+222 4)1( dx x x = ．3．若反常积分dx x k)1(121⎰-收敛，则参数k 的取值范围是．4．已知二阶常系数齐次线性微分方程有一个特解为x xe y 2=，则此微分方程是．二、单项选择题(每小题3分)1．设)0( 1)(ln >='x xx f ，则=)(x f ( ).A ．C e x +--；B ．C x +ln ； C ．C e x +-；D ．C e x +． 2．设)(x f 是R 上的连续周期函数，若对于任意x 恒有4 )( )(233 0=+⎰⎰-+x x dt t f dt t f成立，则)(x f 的周期是（）.A ．2；B ．3；C ．4；D ．6． 3．心形线)cos 1(θ-=a r （0>a ）所围成的图形的面积是（）.A ．22a π； B ．2a π； C ．232a π； D ．22a π．三、计算题（解题要有必要的步骤）（每小题6分）1．若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=⎰-0,0,)1(1)(2032x a x dt e x x f x t ，在0=x 处连续，求a 的值．2．求不定积分dx x ⎰-12cos ．3．设⎪⎩⎪⎨⎧>+≤-=0,10,1)(x xxx x x f ，求定积分⎰-2)1(dx x f ．4．求圆的渐伸线⎩⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos t t t a y t t t a x )0(>a 相应于π≤≤t 0的一段弧的弧长．5．求微分方程 x x y y x ln =-' 满足初始条件11==x y 的特解． 6. 求微分方程x xe y y y 223=+'-''的通解．四、[8分]求微分方程0)(2='+''y y e x 满足初始条件00==x y ，210-='=x y 的特解．五、[8分]直径为20cm ，高为80cm 的圆柱形容器内充满压强为10N/cm 2的气体，设温度保持不变，要使气体体积缩小到原体积的1/3, 问要作多少功？（注，恒温下，压强p 与体积V 成反比）六、综合题（9分）（1）求曲线x e y =，该曲线过原点的切线以及y 轴所围成的封闭图形的面积；（2）求该图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积．七、证明题（本题6分）设)(x f 在],[b a 上连续，且0)(>x f ，证明：在),(b a 内有唯一的ξ，使下式成立：⎰⎰=badx x f dx x f ξξ)(1)(．。

清华大学高等数学期末考试

...清华大学2021- 2021学年第一学期期末考试试卷〔A 卷〕考试科目：高等数学A〔上〕考试班级：2021级工科各班考试方式：闭卷命题教师：大题一二三四五六总分得分得分评卷人一 . 填空题〔将正确答案填在横线上。

本大题共3 小题，每题 3 分，总计 9 分〕1、假设在( a, b)内，函数f ( x)的一阶导数f (x)0 ，二阶导数 f ( x) 0 ,那么函数 f (x)在此区间内单调，曲线是的。

x t 22t2确定函数 y d 2 y2、设2t 33ty(x) ，求2。

y dx3、12cos 1dx。

x x得分评卷人二. 单项选择题〔在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中。

本大题共 3 小题，每题 3 分，总计 9 分〕...x 3ax 2 x 41、设limx 1 A ，那么必有x 1( A)a 2， A 5 ; (B)a 4， A 10 ;(C )a 4， A6 ;(D ) a4，A 10 .答 ( )2、设f ( x)1，那么 f (x) 的一个原函数为21 x( A) arcsin x (B) arctanx1 1 x 1 1 x(C ) ln1 x(D)lnx221答 ( )e x3、设f 为连续函数，又，F ( x)x 3 f (t) dt 那么F(0)( A) e (B) f (1)(C)0(D )f (1)f (0)答 ( )得分评卷人三 . 解答以下各题〔本大题共 2 小题，每题 5分，总计 10分〕1、求极限 lime xe x2 。

x 01 cos x2、 y1ln 2 x , 求y 。

得分评卷人四 . 解答以下各题〔本大题共 3 小题，每题 8 分，总计 24分〕arctanx21、讨论f ( x)x， x处的可导性。

，在x0,x2、设f ( x)在[ 0,1]上连续，且0f ( x) 1，证明：至少存在一点[0,1] ，使得f ( )。

微积分试题(sc)

一元微积分期末综合测试任课老师：学号：姓名：班级：得分：一、填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分. 把答案填在题中横线上）1.xy 2=的麦克劳林公式中n x 项的系数是 2. =⎰→22cos limxdtt x x3.=⎰xx cos tan4. 12lim(sin sin sin n n n n n nπππ→∞+++= 5.=-⎰+∞121x xdx6.()=-+⎰-dx x x 112217. 微分方程]')'[(2''2y y yy -=满足2',10====x x y y 的特解是8. ()=+→xx x e x 10lim9. 微分方程()()0d 2d 1=-++-y x y x y x 的通解是二、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）1.设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有( )(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立. (C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在.2.设⎰=401tan πdx xx I ,dx x xI ⎰=402tan π, 则 ( )(A) .121>>I I (B) .121I I >> (C) .112>>I I (D) .112I I >>3.设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有 ( )(A) 一个极小值点和两个极大值点.(B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点.4.设dx x xa n n nn n +=⎰+-123101,则极限n n na ∞→lim 等于 ( ) (A) 1)1(23++e . (B) 1)1(231-+-e .(C) 1)1(231++-e . (D) 1)1(23-+e .三、计算题（本题共4小题，每小题5分，满分20分.）1.求极限 2031)cos(sin lim x x x -→2.求不定积分dx x x x x e x ⎪⎭⎫⎝⎛+⎰2cos sin cos sin3. 求微分方程x xe y y y 22'3''-=++的通解4. 求()dx x I nn ⎰-=121 )(N n ∈四、（本题满分6分）求曲线132--=x y 与x 轴围成的封闭图形的绕直线3=y 旋转一周所围成的旋转体体积五、（本题满分7分）已知函数)(x f 在()+∞,0内可导，0)(>x f ，1)(lim =+∞→x f x 且满足()()x hh e x f hx x f 110lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+→，求)(x f 六、（本题满分7分）设函数)(x y y =可导，且满足下面积分方程)(2)(2t y x dt t ty x++=⎰，求函数)(x y y =七、（本题满分8分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且.0)(>'x f 若极限ax a x f ax --+→)2(lim 存在，证明：(1) 在(a,b)内f(x)>0; (2) 在(a,b)内存在点ξ，使)(2)(22ξξf dxx f a b ba=-⎰； (3) 在(a,b) 内存在与(2)中ξ相异的点η，使 ⎰-=-'ba dx x f aa b f .)(2))((22ξξη。