三角形内角及外角基础及提高题[1]

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初二三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)

初二三角形所有知识点总结和常考题知识点：1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.1）2．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90°B．100°C．130°D．180°3．已知如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A．315°B．270°C．180°D．135°4．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C．D．5．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（）A．90°﹣αB．90°+αC．D．360°﹣α6．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（）A．40°B．30°C．20°D．10°7．如图，在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE相交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC=（）A．150°B．130°C．120°D．100°8．如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA=15米，OB=10米，A、B间的距离不可能是（）101315．…，1617．α19180°，则它的边数是．21．若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是．22．在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B﹣∠A=∠C﹣∠B，则∠B= 度．23．如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013= 度．24．如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF= 度．25．用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC= 度．26．平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2= ．三．解答题（共14小题）27．如图，直线DE交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC延长线于F，若∠B=67°，∠ACB=74°，∠AED=48°，求∠BDF的度数．28．如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A=35°，∠D=42°，求∠ACD的度数．29．已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．30．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，（1）若∠ABE=25°，∠BAD=50°，则∠BED的度数是度．（2）在△ADC中过点C作AD边上的高CH．（3）若△ABC的面积为60，BD=5，求点E到BC边的距离．31．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．（232EDF34．（1XZ（2）、C，那么∠35、C （2（1BOD=∠（2﹑37．如下几个图形是五角星和它的变形．（1）图（1）中是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E．（2）图（2）中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化说明你的结论的正确性．（3）把图（2）中的点C向上移到BD上时（1）如图（3）所示，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化说明你的结论的正确性．38．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2= °；（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：．39．如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．40．将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．（1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．（2）如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，则∠A′与∠2之间的关系是．（3）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由．1．（两边之2．（）∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2=180°，∴∠1+∠2=150°﹣∠3，∵∠3=50°，∴∠1+∠2=150°﹣50°=100°．故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角是解题的关键，也是本题的难点．3．（2010?西藏）已知如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A．315°B．270°C．180°D．135°【分析】利用三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和解答．【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，即∠1+∠2=2∠C+（∠3+∠4），∵∠3+∠4=180°﹣∠C=90°，∴∠1+∠2=2×90°+90°=270°．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．4．（2015?长沙）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）．．5．（．90°﹣+α．DPPCB=（∠）=180°﹣（180°﹣6．（上A′A．40°B．30°C．20°D．10°【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠A′DB=∠CA'D﹣∠B，又折叠前后图形的形状和大小不变，∠CA'D=∠A=50°，易求∠B=90°﹣∠A=40°，从而求出∠A′DB的度数．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，∴∠B=90°﹣50°=40°，∵将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠CA'D=∠A，∵∠CA'D是△A'BD的外角，∴∠A′DB=∠CA'D﹣∠B=50°﹣40°=10°．故选：D．【点评】本题考查图形的折叠变化及三角形的外角性质．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．解答此题的关键是要明白图形折叠后与折叠前所对应的角相等．7．（2004?陕西）如图，在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE相交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC=（）A．150°B．130°C．120°D．100°【分析】根据垂直的定义和四边形的内角和是360°求得．【解答】解：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC=∠AEB=90°，∴∠BPC=∠DPE=180°﹣50°=130°．故选B．8．（OA=15求得相10．（【解答】解：设这个内角度数为x°，边数为n，∴（n﹣2）×180﹣x=1510，180n=1870+x=1800+（70+x），∵n为正整数，∴n=11，∴=44，故选：C．【点评】此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，属于需要识记的知识．11．（2011春?滨城区期末）一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（）A．内角和增加360°B．外角和增加360°C．对角线增加一条D．内角和增加180°【分析】利用多边形的内角和定理和外角和特征即可解决问题．【解答】解：因为n边形的内角和是（n﹣2）?180°，当边数增加一条就变成n+1，则内角和是（n﹣1）?180°，内角和增加：（n﹣1）?180°﹣（n﹣2）?180°=180°；根据多边形的外角和特征，边数变化外角和不变．故选：D．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和特征．先设这是一个n边形是解题的关键．12．（2012?滨州）一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（）=30°，180°×=45°，180°×=105°，所以这个三角形是钝角三角形．180°×＞90°．13．（14．（（n ﹣2）?180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意，得（n﹣2）?180=3×360，解得n=8．则这个多边形的边数是8．【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．15．（2006?镇江）如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了120 米．【分析】由题意可知小亮所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案．∴他需要走12次才会回到原来的起点，即一共走了12×10=120米．故答案为：120．【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°．16．（2014?随州）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为75 度．【分析】根据三角形三内角之和等于180°求解．【解答】解：如图．∵∠3=60°，∠4=45°，∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°．故答案为：75．17．（19．（4+∠5= ﹣∠CDE=DEA）=900°﹣540°=360°．故答案为：360°．【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n边形的内角和=（n﹣2）?180 （n≥3）且n为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．20．（2014?自贡）一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是9 ．【分析】多边形的内角和比外角和的3倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是3×360°+180°．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）?180°，设这个多边形的边数是n，得到方程，从而求出边数．（n﹣2）?180°=3×360°+180°，解得：n=9．则这个多边形的边数是9．故答案为：9．【点评】考查了多边形内角与外角，此题只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解．21．（2015?徐州）若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是9 ．【分析】首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．【解答】解：∵正多边形的一个内角是140°，∴它的外角是：180°﹣140°=40°，22．（23．（和∠A1CD∠=∠=∠∠°．11∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC，即∠ACD=∠A1+∠ABC，∴∠A1=（∠ACD﹣∠ABC），∵∠A+∠ABC=∠ACD，∴∠A=∠ACD﹣∠ABC，∴∠A1=∠A，∴∠A1=m°，∵∠A1=∠A，∠A2=∠A1=∠A，…以此类推∠A2013=∠A=°．故答案为：．【点评】本题考查了角平分线性质、三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A1=∠A，并能找出24．（于D，25．（26．（2= 24°．【分析】首先根据多边形内角和定理，分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角的度数是多少，然后分别求出∠3、∠1、∠2的度数是多少，进而求出∠3+∠1﹣∠2的度数即可．【解答】解：正三角形的每个内角是：180°÷3=60°，正方形的每个内角是：360°÷4=90°，正五边形的每个内角是：（5﹣2）×180°÷5=3×180°÷5=540°÷5=108°，正六边形的每个内角是：（6﹣2）×180°÷6=4×180°÷6=720°÷6=120°，则∠3+∠1﹣∠2=（90°﹣60°）+（120°﹣108°）﹣（108°﹣90°）=30°+12°﹣18°=24°．故答案为：24°．1）n边27．（，若∠28．（于E，29．（，分别【解答】证明：∵∠ACB=90°，∴∠1+∠3=90°，∵CD⊥AB，∴∠2+∠4=90°，又∵BE平分∠ABC，∴∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵∠4=∠5，∴∠3=∠5，即∠CFE=∠CEF．【点评】本题考查了三角形角平分线、中线和高的有关知识；正确利用角的等量代换是解答本题的关键．30．（2010春?横峰县校级期末）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，（1）若∠ABE=25°，∠BAD=50°，则∠BED的度数是度．（2）在△ADC中过点C作AD边上的高CH．（3）若△ABC的面积为60，BD=5，求点E到BC边的距离．【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，∠BED=∠ABE+∠BAE=75°；（2）三角形高的基本作法：用圆规以一边两端点为圆心，任意长为半径作两段弧，交于角的两边，再以交点为圆心，用交轨法作两段弧，找到两段弧的交点，连接两个交点，并过另一端点作所成直线的平行线，叫该边所在直线一点，连接该点和另一端点，则为高线；（3D是BC 中点，E==×==×=BD?EF=×31．（PE⊥AD （2∠DAC【解答】解：（1）∵∠B=35°，∠ACB=85°，∴∠BAC=60°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=30°，∴∠ADC=65°，∴∠E=25°；（2）．设∠B=n°，∠ACB=m°，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2=∠BAC，∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，∵∠B=n°，∠ACB=m°，∴∠CAB=（180﹣n﹣m）°，∴∠BAD=（180﹣n﹣m）°，∴∠3=∠B+∠1=n°+（180﹣n﹣m）°=90°+n°﹣m°，∵PE⊥AD，∴∠DPE=90°，m°）B和∠32．（D，∠BDE在AFD是（2进行求解即可．【解答】解：（1）相等．理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．又∠EAD=∠EDA，∴∠EAC=∠EAD﹣∠CAD=∠EDA﹣∠BAD=∠B；（2）设∠CAD=x°，则∠E=3x°，由（1）知：∠EAC=∠B=50°，∴∠EAD=∠EDA=（x+50）°在△EAD中，∵∠E+∠EAD+∠EDA=180°，∴3x+2（x+50）=180，解得：x=16．∴∠E=48°．【点评】（1）建立要证明的两个角和已知角之间的关系，根据已知的相等的角，即可证明；（2）注意应用（1）中的结论，主要是根据三角形的内角和定理及其推论用同一个未知数表示相关的角，再列方程求解．34．（2010春?海口期末）（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A=30°，则∠ABC+∠ACB= 150°，∠XBC+（2）B、C，那么∠X为35．（、OE、（2【解答】解：（1）①∵∠MON=40°，OE平分∠MON∴∠AOB=∠BON=20°∵AB∥ON∴∠ABO=20°②∵∠BAD=∠ABD∴∠BAD=20°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=120°∵∠BAD=∠BDA，∠ABO=20°∴∠BAD=80°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=60°故答案为：①20 ②120，60（2）①当点D在线段OB上时，∵OE是∠MON的角平分线，∴∠AOB=∠MON=20°，∵AB⊥OM，∴∠AOB+∠ABO=90°，∴∠ABO=70°，若∠BAD=∠ABD=70°，则x=20若∠BAD=∠BDA=（180°﹣70°）=55°，则x=35若∠ADB=∠ABD=70°，则∠BAD=180°﹣2×70°=40°，∴x=50②当点D在射线BE上时，因为∠ABE=110°，且三角形的内角和为180°，所以只有∠BAD=∠BDA，此时x=125．综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，且x=20、35、50、125．【点评】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，注意：三角形的内角和等于（1BOD=∠（2BPD﹑和解答．37．（2013春?江都市校级期末）如下几个图形是五角星和它的变形．（1）图（1）中是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E．（2）图（2）中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化说明你的结论的正确性．（3）把图（2）中的点C向上移到BD上时（1）如图（3）所示，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化说明你的结论的正确性．【分析】（1）如图，连接CD，把五个角和转化为同一个三角形内角和．根据三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和，再根据三角形内角和定理可得．（2）、（3）五个角转化为一个平角．【解答】解：（1）如图，连接CD．在△ACD中，根据三角形内角和定理，得出∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB=180°．∵∠1=∠B+∠E=∠2+∠3，∴∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E=∠A+∠B+∠E+∠ACE+∠ADB=∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB=180°；（2）无变化．根据平角的定义，得出∠BAC+∠CAD+∠DAE=180°．∵∠BAC=∠C+∠E，∠EAD=∠B+∠D，∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠BAC+∠CAD+∠DAE=180°；（3）无变化．∵∠ACB=∠CAD+∠D，∠ECD=∠B+∠E，∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°．38．（（2）（3（4∴∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α．（4）∵∠PFD=∠EFC，∴180°﹣∠PFD=180°﹣∠EFC，∴∠α+180°﹣∠1=∠C+180°﹣∠2，∴∠2=90°+∠1﹣α．故答案为：∠2=90°+∠1﹣α．【点评】本题考查了三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质，熟练利用三角形外角的性质是解题的关键．39．（2016秋?南沙区校级期中）如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．【分析】连接BE，由三角形内角和外角的关系可知∠C+∠D=∠CBE+∠DEB，由四边形内角和是360°，即可求∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F=360°．【解答】解：如图连接BE．∵∠1=∠C+∠D，∠1=∠CBE+∠DEB，∴∠C+∠D=∠CBE+∠DEB，∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F=∠A+∠ABC+∠CBE+∠DEB+∠DEF+∠F=∠A+∠ABE+∠BEF+∠F．又∵∠A+∠ABE+∠BEF+∠F=360°，∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F=360°．【点评】本题考查的是三角形内角与外角的关系，涉及到四边形及三角形内角和定理，比较简单．（1（2）（3（2（3）1，即可即2∠A=∠2﹣∠1．【点评】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．。

初二数学三角形外角练习题

初二数学三角形外角练习题三角形是初中数学中重要的几何形状之一，了解三角形的性质和特点对我们解题非常有帮助。

在三角形中，外角是一个重要的概念，它与内角有着特定的关系。

本文将围绕初二数学的三角形外角展开，提供一些练习题，旨在帮助同学们加深对该知识点的理解和掌握。

一、选择题1. 在三角形ABC中，已知∠ACB=90°，∠B=30°，那么∠C的外角为：A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°2. 在三角形DEF中，已知∠D=75°，∠E=60°，那么∠F的外角为：A. 60°B. 75°C. 105°D. 120°3. 在三角形GHI中，已知∠G=40°，∠H=80°，那么∠I的外角为：A. 60°B. 80°C. 100°D. 120°二、填空题1. 在三角形JKL中，已知∠J=50°，∠K=70°，∠L的外角为__________.2. 在三角形MNO中，已知∠M=30°，∠N=110°，∠O的外角为__________.3. 在三角形PQR中，已知∠P=80°，∠Q=50°，∠R的外角为__________.三、解答题1. 在三角形STU中，已知∠S=40°，∠T=60°，求∠U的外角大小及其所对的边的名称。

2. 在三角形VWX中，已知∠V=70°，∠W=110°，求∠X的外角大小及其所对的边的名称。

3. 在三角形YZA中，已知∠Y=75°，∠Z=65°，求∠A的外角大小及其所对的边的名称。

四、解题步骤和答案解析1. 选择题1. 解答：A根据三角形的外角性质可知，三角形的外角等于其不相邻内角的和。

《三角形的内角和及外角定理》热点专题高分特训(含答案)

A.40° B.24° C.50° D.45° 答案：A 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理 8.如图，已知∠A=35°，∠B=20°，∠C=25°，则∠BDC 的度数为()
A.30° B.45° C.60° D.75° 答案：A 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：角度的计算 6.如图，一个直角三角形纸片 ABC，剪去直角后，得到一个四边形 GBCH，则∠1+∠2=( )
A.90° B.180° C.240° D.270° 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角形的内角和 7.如图，在四边形 ABCD 中，∠A=62°，∠B=38°，∠BCD=140°，则∠D 的度数为) (
三角形的内角和及外角定理(人教版)
一、单选题(共 12 道，每道 8 分) 1.已知△ABC 中，∠B 是∠A 的 2 倍，∠C 比∠A 大 20°，则∠A 等于( ) A.30° B.40° C.60° D.80° 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角形内角和 2.如图，在△ABC 中，∠B=67°，∠C=33°，AD 是△ABC 的角平分线，则∠CAD 的度数为( )
试题难度：三颗星知识点：三角形的内角和 4.如图，在△ABC 中，∠B=∠C，FD⊥BC 于点 D，DE⊥AB 于点 E，∠AFD=158°，则∠EDF=( )
A.79° B.68° C.44° D.42° 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：角度的计算 5.如图，在△ABC 中，∠BAC=4∠1=4∠C，BD⊥CA 于点 D，则∠DBA=) (
A.40° B.45° C.50° D.55° 答案：A 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角形的内角和 3.如图，在△ABC 中，AE 平分∠BAC，AD⊥BC 于点 D，若∠BAC=128°，∠C=36°，பைடு நூலகம்则∠DAE 的度数为( )

三角形的内角及外角和试题

6.如图3，下列说法错误的是（）
A、∠A ＜∠1 ＞∠2 B、∠2 ＞∠1 ＞∠AC、∠1 ＞∠2 ＞∠A D、无法确定
7.以下命题中正确的是（）
A、三角形的三个内角与三个外角的和为540°B、三角形的外角大于它的内角
C、三角形的外角都比锐角大D、三角形中的内角没有小于60°的
8.如图4，∠B =∠C，则∠ADC与∠AEB的大小关系（）
S阴＝1/2S矩形ABCD；
（2）在图3中，E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S平行四边形ABCD之间满足的关系式为S阴＝1/2S平行四边形ABCD
（3）在图4中，E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S四边形ABCD之间满足的关系式为S阴＝1/2S四边形ABCD；
解决问题：
（4）在图5中，E、G、F、H分别为任意四边形ABCD的边AD、AB、BC、CD的中点，并且图中阴影部分的面积为20平方米，求图中四个小三角形的面积和，即S1+S2+S3+S4= 2020．
5．探索发现：（1）如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的面积为S，则△ACD的面积为1/2S
18．已知BD是△ABC的中线，△ABD的周长比△BCD的周长大2cm，若△ABC的周长为18cm，且AC=4cm，求AB和BC的长．
19．△ABC中，AB：AC=3：2，BC=AC+1，若△ABC的中线BD把△ABC的周长分成两部分的比是8：7，求边AB，AC的长．
20．若△ABC中两边长之比为2：3，三边都是整数且周长为18cm，求各边的长．
A∠ADC＞∠AEB B、∠ADC = ∠AEB C、∠ADC＜∠AEB D、大小关系不能确定

(完整版)三角形内角和外角练习题

规律方法指导1．三角形内角和为180°，三角形三个外角的和是360°，这是在做题时题设不用加以说明的已知条件;在三个角中已知其中两个角的度数便能求第三个角的大小。

2．在一个三角形中最多只能有一个钝角或者一个直角，最少有两个锐角。

3．三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度数及有关的推理论证时经常使用的理论依据．外角的性质应用：①证明一个角等于另两个角的和；②作为中间关系式证明两角相等；③证明角的不等关系。

4．利用作辅助线求解问题，会使问题变得简便。

经典例题透析类型一：三角形内角和定理的应用1．已知一个三角形三个内角度数的比是1:5：6，则其最大内角的度数为( ）A．60° B．75° C．90° D．120°举一反三:【变式1】在△ABC中，∠A=55°，∠B比∠C大25°,则∠B的度数为（ )A．50° B．75°C．100° D．125°【变式2】三角形中至少有一个角不小于________度。

类型二：利用三角形外角性质证明角不等2．如图所示，已知CE是△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA延长线于点E。

求证：∠BAC ＞∠B。

举一反三：【变式】如图所示,用“＜”把∠1、∠2、∠A联系起来________。

类型三：三角形内角和定理与外角性质的综合应用3．如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.举一反三：【变式】如图所示,五角星ABCDE中，试说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。

类型四:与角平分线相关的综合问题4．如图9，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点Ｄ．（1）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，则∠BDC＝________;（2）若∠ABC＋∠ACB＝120°，则∠BDC＝________；(3）若∠A＝60°，则∠BDC＝________；（4）若∠A＝100°,则∠BDC＝________；（5）若∠A＝n°，则∠BDC＝________．举一反三：【变式1】如图10，BE是∠ABD的平分线,CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC= 140°,∠BGC=110°，求∠A的大小.80【变式2】如图11, △ABC的两个外角的平分线相交于点D，如果∠A＝50°，求∠D.【变式3】如图12，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，则∠AEB的度数是_____.【变式4】（2009北京四中期末）如图所示，△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于点F，若∠A=68°，求∠F的度数。

三角形(知识点+题型分类练习+基础检测+能力提高)

三角形章节复习全章知识点梳理：一、三角形基本概念1. 三角形的概念由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。

2.3. 三角形三边的关系（重点）三角形的任意两边之和大于第三边。

三角形的任意两边之差小于第三边。

（这两个条件满足其中一个即可）用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。

已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b解题方法：①数三角形的个数方法：分类，不要重复或者多余。

②给出三条线段的长度或者三条线段的比值，要求判断这三条线段能否组成三角形方法：最小边＋较小边＞最大边不用比较三遍，只需比较一遍即可③给出多条线段的长度，要求从中选择三条线段能够组成三角形方法：从所给线段的最大边入手，依次寻找较小边和最小边；直到找完为止，注意不要找重，也不要漏掉。

④已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围方法：第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b⑤给出等腰三角形的两边长度，要求等腰三角形的底边和腰的长方法：因为不知道这两边哪条边是底边，哪条边是腰，所以要分类讨论，讨论完后要写“综上”，将上面讨论的结果做个总结。

二、三角形的高、中线与角平分线1. 三角形的高从△ABC的顶点向它的对边BC所在的直线画垂线，垂足为D，那么线段AD叫做△ABC的边BC上的高。

三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“三角形的垂心”。

2. 三角形的中线连接△ABC的顶点A和它所对的对边BC的中点D，所得的线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。

三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。

三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。

3. 三角形的角平分线∠A的平分线与对边BC交于点D，那么线段AD叫做三角形的角平分线。

要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”，其区别是：三角形的角平分线是条线段；角的平分线是条射线。

三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“三角形的内心”。

三角形的内角和与外角和关系(基础)知识讲解

三角形的内角和与外角和关系（基础）知识讲解【学习目标】1．理解三角形内角和定理的证明方法；2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.【要点梳理】要点一、三角形的内角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．2.结论：直角三角形的两个锐角互余.要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．要点二、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：（1）外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理、证明经常使用的理论依据．另外，在证明角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．【典型例题】类型一、三角形的内角和1．证明：三角形的内角和为180°.【答案与解析】解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°.证法1：如图1所示，延长BC 到E ，作CD ∥AB ．∵ AB ∥CD （已作），∴ ∠1=∠A （两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．又∵∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义），∴∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．证法2：如图2所示，在BC 边上任取一点D ，作DE ∥AB ，交AC 于E ，DF ∥AC ，交AB 于点F ．∵DF ∥AC （已作），∴∠1=∠C （两直线平行，同位角相等），∠2=∠DEC （两直线平行，内错角相等）．∵DE ∥AB （已作）．∴∠3=∠B ，∠DEC=∠A （两直线平行，同位角相等）．∴∠A=∠2（等量代换）．又∵∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．证法3：如图3所示，过A 点任作直线1l ，过B 点作2l ∥1l ，过C 点作3l ∥1l ，∵1l ∥3l （已作）．∴∠l=∠2（两直线平行，内错角相等）．同理∠3=∠4．又∵1l ∥2l （已作），∴∠5+∠1+∠6+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠5+∠2+∠6+∠3=180°（等量代换）．又∵∠2+∠3=∠ACB ，∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°（等量代换）．【总结升华】三角形内角和定理的证明方法有很多种，无论哪种证明方法，都是应用的平行线的性质.2.在△ABC 中，已知∠A+∠B ＝80°，∠C ＝2∠B ，试求∠A ，∠B 和∠C 的度数．【思路点拨】题中给出两个条件：∠A+∠B ＝80°，∠C ＝2∠B ，再根据三角形的内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C ＝180°就可以求出∠A ，∠B 和∠C 的度数．【答案与解析】解：由∠A+∠B ＝80°及∠A+∠B+∠C ＝180°，知∠C ＝100°．又∵ ∠C ＝2∠B ，∴ ∠B ＝50°．∴ ∠A ＝80°-∠B ＝80°-50°＝30°．【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件∠A+∠B+∠C ＝180°．本题可以设∠B ＝x ，则∠A ＝80°-x ，∠C ＝2x 建立方程求解．【高清课堂：与三角形有关的角例1、】举一反三：【变式】已知，如图，在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A ，BD 是AC 边上的高，求∠DBC 的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型二、三角形的外角【高清课堂：与三角形有关的角例2、】3.（1）如图，AB和CD交于点O，求证：∠A＋∠C＝∠B＋∠D ．（2）如图，求证：∠D=∠A＋∠B +∠C．【答案与解析】解：（1）如图，在△AOC中，∠COB是一个外角，由外角的性质可得：∠COB＝∠A＋∠C，同理，在△BOD中，∠COB＝∠B＋∠D，所以∠A＋∠C＝∠B＋∠D．（2）如图，延长线段BD交线段与点E，在△ABE中，∠BEC＝∠A＋∠B ①；在△DCE中，∠BDC＝∠BEC＋∠C ②，将①代入②得，∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C，即得证．【总结升华】重要结论：（1）“8”字形图：∠A＋∠C＝∠B＋∠D；（2）“燕尾形图”：∠D=∠A＋∠B +∠C．举一反三：【变式1】如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝40°，∠AOB＝75°，则∠C等于（）A、40°B、65°C、75°D、115°【答案】B【变式2】如图，在△ABC中，∠A＝70°，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，则∠BOC的度数为 .【答案】125°类型三、三角形的内角、外角综合4.如图所示，已知DE分别交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，∠B＝67°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°，求∠BDF的度数．【思路点拨】要求∠BDF的度数，应从三角形内角和与三角形的外角出发，若将∠BDF看成△BDF的内角，只需求∠F的度数即可．【答案与解析】解：∵∠CEF＝∠AED＝48°，∠BCA＝∠CEF+∠F，∴∠F＝∠BCA-∠CEF＝74°-48°＝26°，∴∠BDF＝180°-∠B-∠F＝180°-67°-26°＝87°．【总结升华】三角形内角和与外角是进行与角有关的计算或证明的重要工具，本题也可将∠BDF看成△ADE的外角来求解．举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC中，P为内角平分线AD、BE、CF的交点，过点P作PG⊥BC 于G，试说明∠BPD与∠CPG的大小关系并说明理由．【答案】解：∠BPD＝∠CPG；理由如下：∵ AD、BE、CF分别是∠BAC、∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠1＝12∠ABC，∠2＝12∠BAC，∠3＝12∠ACB，∴∠1+∠2+∠3＝12(∠ABC+∠BAC+∠ACB)＝90°，又∵∠4＝∠1+∠2，∴∠4+∠3＝90°，又∵ PG⊥BC，∴∠3+∠5＝90°，∴∠4＝∠5，即∠BPD＝∠CPG．。

三角形内角和、外角定理(含详细解答)

三角形内角和、外角定理(含详细解答)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1三角形内角和、外角和定理一．选择题（共10小题）1．（2013?泉州）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（）A ．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形2．（2012?滨州）一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（）A ．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形3．（2012?河源）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（）A ．150°B．210°C．105°D．75°4．（2012?云南）如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（）A ．40°B．45°C．50°D．55°5．（2012?南通）如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（）A ．360°B．250°C．180°D．140°6．（2012?梧州）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=128°，∠C=36°，则∠DAE的度数是（）A ．10°B．12°C．15°D．18°7．（2011?日照）如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（）A ．70°B．80°C．90°D．100°8．（2011?台湾）如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何者正确（）A ．∠2=∠4+∠7B．∠3=∠1+∠6C．∠1+∠4+∠6=180°D．∠2+∠3+∠5=360°9．（2011?台湾）若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B的外角度数为何（）A ．36B．72C．108D．14410．（2011?台湾）若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列何者不可能是∠B的度数（）A ．37B．57C．77D．97二．填空题（共4小题）11．（2014?抚顺）将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2= _________度．12．（2013?河池）如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠BOC=118°，则∠A的大小是_________．13．（2008?安徽）如图，已知a∥b，∠1=70°，∠2=40°，则∠3=_________度．14．（2003?金华）如图，平面镜A与B之间夹角为120°，光线经过平面镜A反射后射在平面镜B上，再反射出去，若∠1=∠2，则∠1=_________度．三．解答题（共16小题）15．（2014?六盘水）（1）三角形内角和等于_________．（2）请证明以上命题．16．（2001?海南）如图，在△ABC中，已知∠ABC=46°，∠ACB=80°，延长BC至D，使CD=CA，连接AD，求∠BAD的度数．17．（2000?内蒙古）如图，已知在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．18．（2011?青海）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线∴∴又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A∴∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）=探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系请说明理由．探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系（只写结论，不需证明）结论：_________．19．（2010?玉溪）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系请证明你的结论；（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系（不需证明）（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．20．（2013?响水县一模）探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：_________．21．已知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=120°，求∠DAC的度数．22．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数和．23．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，试求∠DAC，∠ADC的度数．24．已知：如图所示，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC边上的高，CF是AB边上的高，H是BE和CF的交点，求：∠ABE，∠ACF和∠BHC的度数．25．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠A=50°，∠C=60°，求∠DAC及∠BOA．26．如图，AF是△ABC的高，AD是△ABC的角平分线，∠B=36°，∠C=76°，求∠DAF的度数．27．一个零件的形状如图，按规定∠A=90°，∠C=25°，∠B=25°，检验已量得∠BDC=150°，就判断这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由．28．一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠C应分别是30°和20°，李叔叔量得∠BDC=142°，就判定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗29．如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．30．如图，在三角形ABC中，∠A=35°，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数和．三角形内角和、外角和定理参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2013?泉州）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（）A ．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形考点：三角形内角和定理．分析：根据三角形的内角和定理求出∠C，即可判定△ABC的形状．解答：解：∵∠A=20°，∠B=60°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣20°﹣60°=100°，∴△ABC是钝角三角形．故选D．点评：本题考查了三角形的内角和定理，比较简单，求出∠C的度数是解题的关键．2．（2012?滨州）一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（）A ．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形考点：三角形内角和定理．专题：方程思想．分析：已知三角形三个内角的度数之比，根据三角形内角和定理，可求得三角的度数，由此判断三角形的类型．解答：解：三角形的三个角依次为180°×=30°，180°×=45°，180°×=105°，所以这个三角形是钝角三角形．故选：D．点评：本题考查三角形的分类，这个三角形最大角为180°×＞90°．本题也可以利用方程思想来解答，即2x+3x+7x=180，解得x=15，所以最大角为7×15°=105°．3．（2012?河源）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（）A ．150°B．210°C．105°D．75°考点：三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：先根据图形翻折变化的性质得出△ADE≌△A′DE，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再根据三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE的度数，然后根据平角的性质即可求出答案．解答：解：∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°，∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°，∴∠1+∠2=360°﹣2×105°=150°．故选A．点评：本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．4．（2012?云南）如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（）A ．40°B．45°C．50°D．55°考点：三角形内角和定理．分析：首先利用三角形内角和定理求得∠BAC的度数，然后利用角平分线的性质求得∠CAD的度数即可．解答：解：∵∠B=67°，∠C=33°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣67°﹣33°=80°∵AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD=∠BAC=×80°=40°故选A．点评：本题考查了三角形的内角和定理，属于基础题，比较简单．三角形内角和定理在小学已经接触过．5．（2012?南通）如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（）A ．360°B．250°C．180°D．140°考点：三角形内角和定理；多边形内角与外角．分析：先利用三角形内角与外角的关系，得出∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4），再根据三角形内角和定理即可得出结果．解答：解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=70°+180°=250°．故选B．点评：此题主要考查了三角形内角和定理及外角的性质，三角形内角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．6．（2012?梧州）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=128°，∠C=36°，则∠DAE的度数是（）A ．10°B．12°C．15°D．18°考点：三角形内角和定理；三角形的角平分线、中线和高．分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠CAD，再根据角平分线定义求出∠CAE，然后根据∠DAE=∠CAE ﹣∠CAD，代入数据进行计算即可得解．解答：解：∵AD⊥BC，∠C=36°，∴∠CAD=90°﹣36°=54°，∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC=128°，∴∠CAE=∠BAC=×128°=64°，∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=64°﹣54°=10°．故选A．点评：本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线，高线的定义，准确识图，找出各角度之间的关系并求出度数是解题的关键．7．（2011?日照）如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（）A ．70°B．80°C．90°D．100°考点：三角形内角和定理；平行线的性质．专题：计算题．分析：根据两直线平行，同旁内角互补，求得∠EFA=55°，再利用三角形内角和定理即可求得∠E的度数．解答：解：∵AB∥CD，∠C=125°，∴∠EFB=125°，∴∠EFA=180﹣125=55°，∵∠A=45°，∴∠E=180°﹣∠A﹣∠EFA=180°﹣45°﹣55°=80°．故选B．点评：本题应用的知识点为：两直线平行，同旁内角互补；三角形内角和定理．8．（2011?台湾）如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何者正确（）A ．∠2=∠4+∠7B．∠3=∠1+∠6C．∠1+∠4+∠6=180°D．∠2+∠3+∠5=360°考点：三角形内角和定理；对顶角、邻补角；三角形的外角性质．分析：根据对顶角的性质得出∠1=∠AOB，再用三角形内角和定理得出∠AOB+∠4+∠6=180°，即可得出答案．解答：解：∵四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角，∵∠1=∠AOB，∵∠AOB+∠4+∠6=180°，∴∠1+∠4+∠6=180°．故选C．点评：此题主要考查了对顶角的性质以及三角形的内角和定理，正确的应用三角形内角和定理是解决问题的关键．9．（2011?台湾）若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B的外角度数为何（）A ．36B．72C．108D．144考点：三角形内角和定理；解二元一次方程组；对顶角、邻补角．专题：计算题．分析：由∠A+∠B+∠C=180°，得到2（∠A+∠C）+2∠B=360°，求出∠B=72°，根据∠B的外角度数=180°﹣∠B即可求出答案．解答：解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2（∠A+∠B+∠C）=360°，∵2（∠A+∠C）=3∠B，∴∠B=72°，∴∠B的外角度数是180°﹣∠B=108°，故选C．点评：本题主要考查对二元一次方程组，三角形的内角和定理，邻补角等知识点的理解和掌握，能根据三角形的内角和定理求出∠B的度数是解此题的关键．10．（2011?台湾）若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列何者不可能是∠B的度数（）A ．37B．57C．77D．97考点：三角形内角和定理．专题：推理填空题．分析：根据钝角三角形有一内角大于90°且三角形内角和为180°，①∠C＞90°，②∠B＞90°，分类讨论解答．解答：解：∵钝角三角形△ABC中，∠A=27°，∴∠B+∠C=180°﹣27°=153°，又∵△ABC为钝角三角形，有两种可能情形如下：①∠C＞90°，∴∠B＜153°﹣90°=63°，∴选项A、B合理；②∠B＞90°，∴选项D合理，∴∠B不可能为77°．故选C．点评：本题考查了钝角三角形的定义及三角形的内角和定理，体现了分类讨论思想．二．填空题（共4小题）11．（2014?抚顺）将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2=70度．考点：三角形内角和定理；多边形内角与外角．专题：几何图形问题．分析：分别根据正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数及平角的定义进行解答即可．解答：解：∵∠3=32°，正三角形的内角是60°，正四边形的内角是90°，正五边形的内角是108°，∴∠4=180°﹣60°﹣32°=88°，∴∠5+∠6=180°﹣88°=92°，∴∠5=180°﹣∠2﹣108° ①，∠6=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1 ②，∴①+②得，180°﹣∠2﹣108°+90°﹣∠1=92°，即∠1+∠2=70°．故答案为：70°．点评：本题考查的是三角形内角和定理，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键．12．（2013?河池）如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠BOC=118°，则∠A的大小是56°．考点：三角形内角和定理．分析：先根据三角形内角和定理求出∠1+∠2的度数，再根据角平分线的定义求出∠ABC+∠ACB的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．解答：解：∵△BOC中，∠BOC=118°，∴∠1+∠2=180°﹣118°=62°．∵BO和CO是△ABC的角平分线，∴∠ABC+∠ACB=2（∠1+∠2）=2×62°=124°，在△ABC中，∵∠ABC+∠ACB=124°，∴∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣124°=56°．故答案为：56°．点评：本题考查的是角平分线的定义，三角形内角和定理，即三角形的内角和是180°．13．（2008?安徽）如图，已知a∥b，∠1=70°，∠2=40°，则∠3=70度．考点：三角形内角和定理；平行线的性质．专题：计算题．分析：把∠2，∠3转化为△ABC中的角后，利用三角形内角和定理求解．解答：解：由对顶角相等可得∠ACB=∠2=40°，在△ABC中，由三角形内角和知∠ABC=180°﹣∠1﹣∠ACB=70°．又a∥b，∴∠3=∠ABC=70°．点评：本题考查了平行线与三角形的相关知识．14．（2003?金华）如图，平面镜A与B之间夹角为120°，光线经过平面镜A反射后射在平面镜B上，再反射出去，若∠1=∠2，则∠1=30度．考点：三角形内角和定理；角平分线的定义．专题：压轴题．分析：因为入射角等于反射角，所以∠1=∠2=（180°﹣120°）÷2．解答：解：如图所示，作出入射光线的法线，根据“入射角等于反射角”可知∠1=∠3，∠2=∠4，∵∠1=∠2，∠AOB=120°，∴1=∠2=（180°﹣120°）÷2=30°．故答案为：30°．点评：此题由题意得出“入射角等于反射角”是关键．三．解答题（共16小题）15．（2014?六盘水）（1）三角形内角和等于180°．（2）请证明以上命题．考点：三角形内角和定理；平行线的性质．专题：证明题．分析：（1）直接根据三角形内角和定理得出结论即可；（2）画出△ABC，过点C作CF∥AB，再根据平行线的性质得出∠2=∠A，∠B+∠BCF=180°，再通过等量代换即可得出结论．解答：解：（1）三角形内角和等于180°．故答案为：180°；（2）已知：如图所示的△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°．证明：过点C作CF∥AB，∵CF∥AB，∴∠2=∠A，∠B+∠BCF=180°，∵∠1+∠2=∠BCF，∴∠B+∠1+∠2=180°，∴∠B+∠1+∠A=180°，即三角形内角和等于180°．点评：本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．16．（2001?海南）如图，在△ABC中，已知∠ABC=46°，∠ACB=80°，延长BC至D，使CD=CA，连接AD，求∠BAD的度数．考点：三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．分析：要求∠BAD的度数，只要求出∠C的度数就行了，根据三角形内角和为180°，求出∠BAD的度数，根据三角形内角和外角关系及等腰三角形性质，易求∠C的度数．解答：解：∵∠ACB=80°∴∠ACD=180°﹣∠ACB=180°﹣80°=100°又∵CD=CA∴∠CAD=∠D∵∠ACD+∠CAD+∠D=180°∴∠CAD=∠D=40°在△ABC内∴∠BAD=180°﹣∠ABC﹣∠D=180°﹣46°﹣40°=94°．点评：此题主要考三角形内角与外角的关系及等腰三角形的性质；找出角之间的关系利用内角和求解是正确解答本题的关键．17．（2000?内蒙古）如图，已知在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．考点：三角形内角和定理．专题：数形结合．分析：根据三角形的内角和定理与∠C=∠ABC=2∠A，即可求得△ABC三个内角的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠DBC的度数．解答：解：∵∠C=∠ABC=2∠A，∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°，∴∠A=36°．则∠C=∠ABC=2∠A=72°．又BD是AC边上的高，则∠DBC=90°﹣∠C=18°．点评：此题主要是三角形内角和定理的运用．三角形的内角和是180°．18．（2011?青海）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线∴∴又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A∴∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）=探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系请说明理由．探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系（只写结论，不需证明）结论：∠BOC=90°﹣∠A．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．专题：压轴题．分析：（1）根据提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠O与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC与∠A的关系；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．解答：解：（1）探究2结论：∠BOC=∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一外角，∴∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠2=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1，∵∠2是△BOC的一外角，∴∠BOC=∠2﹣∠1=∠A+∠1﹣∠1=∠A；（2）探究3：∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC），∠BOC=180°﹣∠0BC﹣∠OCB，=180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），=180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB），结论∠BOC=90°﹣∠A．点评：本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键，读懂题目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要．19．（2010?玉溪）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系请证明你的结论；（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系（不需证明）（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．考点：三角形的外角性质；平行线的性质；三角形内角和定理．专题：综合题；压轴题．分析：（1）延长BP交CD于E，根据两直线平行，内错角相等，求出∠PED=∠B，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可说明不成立，应为∠BPD=∠B+∠D；（2）作射线QP，根据三角形的外角性质可得；（3）根据三角形的外角性质，把角转化到四边形中再求解．解答：解：（1）不成立．结论是∠BPD=∠B+∠D延长BP交CD于点E，∵AB∥CD∴∠B=∠BED又∵∠BPD=∠BED+∠D，∴∠BPD=∠B+∠D．（2）结论：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D．（3）连接EG并延长，根据三角形的外角性质，∠AGB=∠A+∠B+∠E，又∵∠AGB=∠CGF，在四边形CDFG中，∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．点评：本题是信息给予题，利用平行线的性质和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答．20．（2013?响水县一模）探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．专题：探究型．分析：探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再根据三角形内角和定理整理即可得解；探究二：根据角平分线的定义可得∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；探究三：根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可；探究四：根据六边形的内角和公式表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可．解答：解：探究一：∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A；探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，=180°﹣∠ADC﹣∠ACD，=180°﹣（∠ADC+∠ACD），=180°﹣（180°﹣∠A），=90°+∠A；探究三：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠BCD，∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，=180°﹣∠ADC﹣∠BCD，=180°﹣（∠ADC+∠BCD），=180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B），=（∠A+∠B）；探究四：六边形ABCDEF的内角和为：（6﹣2）180°=720°，∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠P=∠ADC，∠PCD=∠ACD，∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，=180°﹣∠ADC﹣∠ACD，=180°﹣（∠ADC+∠ACD），=180°﹣（720°﹣∠A﹣∠B﹣∠E﹣∠F），=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°，即∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．点评：本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键．21．已知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=120°，求∠DAC的度数．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．分析：根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质即可解决．解答：解：∵∠BAC=120°，∴∠2+∠3=60°①∵∠1=∠2，∴∠4=∠3=∠1+∠2=2∠2②把②代入①得：3∠2=60°，∠2=20°．∴∠DAC=120°﹣20°=100°．点评：注意三角形的内角和定理以及推论的运用，还要注意角之间的等量代换．22．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数和．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．分析：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠4=∠A+∠2，∠2=∠D+∠C，进而利用三角形的内角和定理求解．解答：解：如图可知：∵∠4是三角形的外角，∴∠4=∠A+∠2，同理∠2也是三角形的外角，∴∠2=∠D+∠C，在△BEG中，∠B+∠E+∠4=180°，即∠B+∠E+∠A+∠D+∠C=180°．点评：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．23．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，试求∠DAC，∠ADC的度数．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．分析：由三角形的内角和是180°，和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可求∠1=39°，∠3=78°，所以∠DAC=24°，∠ADC=∠3=78°．解答：解：∵∠1=∠2，∴∠3=∠1+∠2=2∠1=∠4，∴2∠3+∠CAD=2∠1+2∠2+∠BAC﹣∠1=4∠1+63°﹣∠1=3∠1+63°=180°，∴∠1=39°=∠2，∠3=∠4=78°，∴∠DAC=63°﹣∠1=63°﹣39°=24°，∠ADC=∠3=78°．点评：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．24．已知：如图所示，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC边上的高，CF是AB边上的高，H是BE和CF的交点，求：∠ABE，∠ACF和∠BHC的度数．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．分析：由三角形的内角和是180°，可求∠A=60°．又因为BE是AC边上的高，所以∠AEB=90°，所以∠ABE=30°．同理，∠ACF=30度，又因为∠BHC是△CEH的一个外角，所以∠BHC=120°．解答：解：∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣66°﹣54°=60°．又∵BE是AC边上的高，所以∠AEB=90°，∴∠ABE=180°﹣∠BAC﹣∠AEB=180°﹣90°﹣60°=30°．同理，∠ACF=30°，∴∠BHC=∠BEC+∠ACF=90°+30°=120°．点评：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．25．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠A=50°，∠C=60°，求∠DAC及∠BOA．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．专题：计算题．分析：先利用三角形内角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC；再根据角平分线定义可求∠CBF、∠EAF，然后利用三角形外角性质，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA．解答：解：∵∠A=50°，∠C=60°∴∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°，又∵AD是高，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=180°﹣90°﹣∠C=30°，∵AE、BF是角平分线，∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°∴∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°，∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°，∴∠DAC=30°，∠BOA=120°．点评：本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出∠EAF、∠CBF，再运用三角形外角性质求出∠AFB．26．如图，AF是△ABC的高，AD是△ABC的角平分线，∠B=36°，∠C=76°，求∠DAF的度数．考点：三角形的外角性质；角平分线的定义；三角形内角和定理．分析：在△ADF中，由三角形的外角性质知：∠ADF=∠B+∠BAC，所以∠B+∠BAC+∠FAD=90°，联立△ABC中，由三角形内角和定理得到的式子，即可推出∠DAF，∠B，∠C的关系，再代值求解即可．解答：解：由三角形的外角性质知：∠ADF=∠B+∠BAC，故∠B+∠BAC+∠DAF=90°；①△ABC中，由三角形内角和定理得：∠C+∠B+∠BAC=180°，即：∠C+∠B+∠BAC=90°，②②﹣①，得：∠DAF=（∠C﹣∠B）=20°．点评：此题主要考查了三角形的外角性质、角平分线的性质以及三角形内角和定理等知识，熟记此题的结论在解选择和填空题时会加快解题效率．27．一个零件的形状如图，按规定∠A=90°，∠C=25°，∠B=25°，检验已量得∠BDC=150°，就判断这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由．考点：三角形的外角性质．分析：根据三角形外角的性质求出∠BDC的度数，与测量所得的度数对比即可得出结论．解答：解：如图，∠CDE是△ADC的外角，∠BDE是△ABD的外角，∵∠CDE=∠C+∠CAD，∠BDE=∠B+∠DAB，∴∠BDC=∠CDE+∠BDE=∠C+∠CAD+∠B+∠DAB，即∠BDC=∠B+∠C+∠A=25°+25°+90°=140°．检验已量得∠BDC=150°，就判断这个零件不合格．点评：考查了三角形的外角性质，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．28．一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠C应分别是30°和20°，李叔叔量得∠BDC=142°，就判定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗考点：三角形的外角性质．分析：连接AD并延长，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠1=∠B+∠BAD，∠2=∠C+∠CAD，然后求出∠1+∠2的度数，根据零件规定数据，只有140°才是合格产品．解答：解：如图，连接AD并延长，∴∠1=∠B+∠BAD，∠2=∠C+∠CAD，∵∠A=90°，∠B=30°，∠C=20°，∴∠BDC=∠1+∠2，=∠B+∠BAD+∠DAC+∠C，=∠B+∠BAC+∠C，=30°+90°+20°，=140°，∵140°≠142°，∴这个零件不合格．点评：本题主要利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握性质是解题的关键．29．如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．分析：连接BE，由三角形内角和外角的关系可知∠C+∠D=∠CBE+∠DEB，由四边形内角和是360°，即可求∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F=360°．解答：解：如图连接BE．∵∠1=∠C+∠D，∠1=∠CBE+∠DEB，∴∠C+∠D=∠CBE+∠DEB，∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F=∠A+∠ABC+∠CBE+∠DEB+∠DEF+∠F=∠A+∠ABE+∠BEF+∠F．又∵∠A+∠ABE+∠BEF+∠F=360°，∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F=360°．点评：本题考查的是三角形内角与外角的关系，涉及到四边形及三角形内角和定理，比较简单．30．如图，在三角形ABC中，∠A=35°，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数和．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．分析：根据三角形的内角和是180°，可分别求出∠1+∠2=∠3+∠4=145°，即可求出∠1+∠2+∠3+∠4的度数和．解答：解：∵∠A=35°，在△ABC中，∠A+∠1+∠2=180°，∴∠1+∠2=180°﹣∠A=145°，同理可证∠3+∠4=145°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=290°．点评：本题考查了三角形的内角和定理，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．。

三角形外角定理基础训练题(有详解)

三角形外角定理基础训练题(有详解)问题描述在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ADB = 130^{\circ}$，$\angle BDC = 40^{\circ}$，求 $\angle A$ 的度数。

解题思路三角形外角定理是指：三角形的一个外角等于其对应内角的两个非邻居内角之和。

因此，我们可以先求出 $\angle BDA$ 的度数，然后再利用外角定理求出 $\angle A$ 的度数即可。

根据题意，$\angle BDC = 40^{\circ}$，则 $\angle BDA =180^{\circ} - \angle BDC = 140^{\circ}$。

根据外角定理，$\angle ADB = \angle BDA + \angle BAD$，代入已知角度得：$130^{\circ} = 140^{\circ} + \angle BAD$则$\angle BAD = -10^{\circ}$，但是角度不可能为负数，因此，我们可以将三角形的另外两个内角相加后再用 $180^{\circ}$ 减去，即：$\angle A = 180^{\circ} - (\angle B + \angle C) = 180^{\circ} - (140^{\circ} + 40^{\circ}) = 180^{\circ} - 180^{\circ} = 0^{\circ}$因此，$\angle A$ 的度数为 $0$，即 $\triangle ABC$ 不是一个有效的三角形。

总结三角形外角定理是一个比较简单的几何定理，但是在应用时需要注意各个角度的定义以及单位，以免计算错误。

同时，我们还可以通过三角函数等方式来计算三角形的各个角度，提高计算效率。

三角形内角和、外角定理(含详细解答)

三角形内角和、外角和定理一．选择题（共10小题）1．（2013•泉州）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（）A ．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形2．（2012•滨州）一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（）A ．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形3．（2012•河源）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC 沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（）A ．150°B．210°C．105°D．75°4．（2012•云南）如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（）A ．40°B．45°C．50°D．55°5．（2012•南通）如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（）A ．360°B．250°C．180°D．140°6．（2012•梧州）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=128°，∠C=36°，则∠DAE的度数是（）A ．10°B．12°C．15°D．18°7．（2011•日照）如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（）A ．70°B．80°C．90°D．100°8．（2011•台湾）如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何者正确（）A ．∠2=∠4+∠7 B．∠3=∠1+∠6 C．∠1+∠4+∠6=180°D．∠2+∠3+∠5=360°9．（2011•台湾）若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B的外角度数为何（）A ．36 B．72 C．108 D．14410．（2011•台湾）若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列何者不可能是∠B的度数？（）A ．37 B．57 C．77 D．97二．填空题（共4小题）11．（2014•抚顺）将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2= _________度．12．（2013•河池）如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠BOC=118°，则∠A的大小是_________．13．（2008•安徽）如图，已知a∥b，∠1=70°，∠2=40°，则∠3=_________度．14．（2003•金华）如图，平面镜A与B之间夹角为120°，光线经过平面镜A反射后射在平面镜B上，再反射出去，若∠1=∠2，则∠1=_________度．三．解答题（共16小题）15．（2014•六盘水）（1）三角形内角和等于_________．（2）请证明以上命题．16．（2001•海南）如图，在△ABC中，已知∠ABC=46°，∠ACB=80°，延长BC至D，使CD=CA，连接AD，求∠BAD的度数．17．（2000•内蒙古）如图，已知在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．18．（2011•青海）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线∴∴又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A∴∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）=探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论：_________．19．（2010•玉溪）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．20．（2013•响水县一模）探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢？请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：_________．21．已知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=120°，求∠DAC的度数．22．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数和．23．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，试求∠DAC，∠ADC的度数．24．已知：如图所示，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC边上的高，CF是AB边上的高，H是BE和CF的交点，求：∠ABE，∠ACF和∠BHC的度数．25．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠A=50°，∠C=60°，求∠DAC及∠BOA．26．如图，AF是△ABC的高，AD是△ABC的角平分线，∠B=36°，∠C=76°，求∠DAF的度数．27．一个零件的形状如图，按规定∠A=90°，∠C=25°，∠B=25°，检验已量得∠BDC=150°，就判断这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由．28．一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠C应分别是30°和20°，李叔叔量得∠BDC=142°，就判定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？29．如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．30．如图，在三角形ABC中，∠A=35°，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数和．三角形内角和、外角和定理参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2013•泉州）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（）A ．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形考点：三角形内角和定理．分析：根据三角形的内角和定理求出∠C，即可判定△ABC的形状．解答：解：∵∠A=20°，∠B=60°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣20°﹣60°=100°，∴△ABC是钝角三角形．故选D．点评：本题考查了三角形的内角和定理，比较简单，求出∠C的度数是解题的关键．2．（2012•滨州）一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（）A ．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形考点：三角形内角和定理．专题：方程思想．分析：已知三角形三个内角的度数之比，根据三角形内角和定理，可求得三角的度数，由此判断三角形的类型．解答：解：三角形的三个角依次为180°×=30°，180°×=45°，180°×=105°，所以这个三角形是钝角三角形．故选：D．点评：本题考查三角形的分类，这个三角形最大角为180°×＞90°．本题也可以利用方程思想来解答，即2x+3x+7x=180，解得x=15，所以最大角为7×15°=105°．3．（2012•河源）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC 沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（）A ．150°B．210°C．105°D．75°考点：三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：先根据图形翻折变化的性质得出△ADE≌△A′DE，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再根据三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE的度数，然后根据平角的性质即可求出答案．解答：解：∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°，∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°，∴∠1+∠2=360°﹣2×105°=150°．故选A．点评：本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．4．（2012•云南）如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（）A ．40°B．45°C．50°D．55°考点：三角形内角和定理．分析：首先利用三角形内角和定理求得∠BAC的度数，然后利用角平分线的性质求得∠CAD的度数即可．解答：解：∵∠B=67°，∠C=33°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣67°﹣33°=80°∵AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD=∠BAC=×80°=40°故选A．点评：本题考查了三角形的内角和定理，属于基础题，比较简单．三角形内角和定理在小学已经接触过．5．（2012•南通）如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（）A ．360°B．250°C．180°D．140°考点：三角形内角和定理；多边形内角与外角．分析：先利用三角形内角与外角的关系，得出∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4），再根据三角形内角和定理即可得出结果．解答：解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=70°+180°=250°．故选B．点评：此题主要考查了三角形内角和定理及外角的性质，三角形内角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．6．（2012•梧州）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=128°，∠C=36°，则∠DAE的度数是（）A ．10°B．12°C．15°D．18°考点：三角形内角和定理；三角形的角平分线、中线和高．分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠CAD，再根据角平分线定义求出∠CAE，然后根据∠DAE=∠CAE﹣∠CAD，代入数据进行计算即可得解．解答：解：∵AD⊥BC，∠C=36°，∴∠CAD=90°﹣36°=54°，∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC=128°，∴∠CAE=∠BAC=×128°=64°，∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=64°﹣54°=10°．故选A．点评：本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线，高线的定义，准确识图，找出各角度之间的关系并求出度数是解题的关键．7．（2011•日照）如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（）A ．70°B．80°C．90°D．100°考点：三角形内角和定理；平行线的性质．专题：计算题．分析：根据两直线平行，同旁内角互补，求得∠EFA=55°，再利用三角形内角和定理即可求得∠E的度数．解答：解：∵AB∥CD，∠C=125°，∴∠EFB=125°，∴∠EFA=180﹣125=55°，∵∠A=45°，∴∠E=180°﹣∠A﹣∠EFA=180°﹣45°﹣55°=80°．故选B．点评：本题应用的知识点为：两直线平行，同旁内角互补；三角形内角和定理．8．（2011•台湾）如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何者正确（）A ．∠2=∠4+∠7 B．∠3=∠1+∠6 C．∠1+∠4+∠6=180°D．∠2+∠3+∠5=360°考点：三角形内角和定理；对顶角、邻补角；三角形的外角性质．分析：根据对顶角的性质得出∠1=∠AOB，再用三角形内角和定理得出∠AOB+∠4+∠6=180°，即可得出答案．解答：解：∵四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角，∵∠1=∠AOB，∵∠AOB+∠4+∠6=180°，∴∠1+∠4+∠6=180°．故选C．点评：此题主要考查了对顶角的性质以及三角形的内角和定理，正确的应用三角形内角和定理是解决问题的关键．9．（2011•台湾）若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B的外角度数为何（）A ．36 B．72 C．108 D．144考点：三角形内角和定理；解二元一次方程组；对顶角、邻补角．专题：计算题．分析：由∠A+∠B+∠C=180°，得到2（∠A+∠C）+2∠B=360°，求出∠B=72°，根据∠B的外角度数=180°﹣∠B即可求出答案．解答：解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2（∠A+∠B+∠C）=360°，∵2（∠A+∠C）=3∠B，∴∠B=72°，∴∠B的外角度数是180°﹣∠B=108°，故选C．点评：本题主要考查对二元一次方程组，三角形的内角和定理，邻补角等知识点的理解和掌握，能根据三角形的内角和定理求出∠B的度数是解此题的关键．10．（2011•台湾）若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列何者不可能是∠B的度数？（）A ．37 B．57 C．77 D．97考点：三角形内角和定理．专题：推理填空题．分析：根据钝角三角形有一内角大于90°且三角形内角和为180°，①∠C＞90°，②∠B＞90°，分类讨论解答．解答：解：∵钝角三角形△ABC中，∠A=27°，∴∠B+∠C=180°﹣27°=153°，又∵△ABC为钝角三角形，有两种可能情形如下：①∠C＞90°，∴∠B＜153°﹣90°=63°，∴选项A、B合理；②∠B＞90°，∴选项D合理，∴∠B不可能为77°．故选C．点评：本题考查了钝角三角形的定义及三角形的内角和定理，体现了分类讨论思想．二．填空题（共4小题）11．（2014•抚顺）将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2=70度．考点：三角形内角和定理；多边形内角与外角．专题：几何图形问题．分析：分别根据正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数及平角的定义进行解答即可．解答：解：∵∠3=32°，正三角形的内角是60°，正四边形的内角是90°，正五边形的内角是108°，∴∠4=180°﹣60°﹣32°=88°，∴∠5+∠6=180°﹣88°=92°，∴∠5=180°﹣∠2﹣108°①，∠6=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1 ②，∴①+②得，180°﹣∠2﹣108°+90°﹣∠1=92°，即∠1+∠2=70°．故答案为：70°．点评：本题考查的是三角形内角和定理，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键．12．（2013•河池）如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠BOC=118°，则∠A的大小是56°．考点：三角形内角和定理．分析：先根据三角形内角和定理求出∠1+∠2的度数，再根据角平分线的定义求出∠ABC+∠ACB的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．解答：解：∵△BOC中，∠BOC=118°，∴∠1+∠2=180°﹣118°=62°．∵BO和CO是△ABC的角平分线，∴∠ABC+∠ACB=2（∠1+∠2）=2×62°=124°，在△ABC中，∵∠ABC+∠ACB=124°，∴∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣124°=56°．故答案为：56°．点评：本题考查的是角平分线的定义，三角形内角和定理，即三角形的内角和是180°．13．（2008•安徽）如图，已知a∥b，∠1=70°，∠2=40°，则∠3=70度．考点：三角形内角和定理；平行线的性质．专题：计算题．分析：把∠2，∠3转化为△ABC中的角后，利用三角形内角和定理求解．解答：解：由对顶角相等可得∠ACB=∠2=40°，在△ABC中，由三角形内角和知∠ABC=180°﹣∠1﹣∠ACB=70°．又a∥b，∴∠3=∠ABC=70°．点评：本题考查了平行线与三角形的相关知识．14．（2003•金华）如图，平面镜A与B之间夹角为120°，光线经过平面镜A反射后射在平面镜B上，再反射出去，若∠1=∠2，则∠1=30度．考点：三角形内角和定理；角平分线的定义．专题：压轴题．分析：因为入射角等于反射角，所以∠1=∠2=（180°﹣120°）÷2．解答：解：如图所示，作出入射光线的法线，根据“入射角等于反射角”可知∠1=∠3，∠2=∠4，∵∠1=∠2，∠AOB=120°，∴1=∠2=（180°﹣120°）÷2=30°．故答案为：30°．点评：此题由题意得出“入射角等于反射角”是关键．三．解答题（共16小题）15．（2014•六盘水）（1）三角形内角和等于180°．（2）请证明以上命题．考点：三角形内角和定理；平行线的性质．专题：证明题．分析：（1）直接根据三角形内角和定理得出结论即可；（2）画出△ABC，过点C作CF∥AB，再根据平行线的性质得出∠2=∠A，∠B+∠BCF=180°，再通过等量代换即可得出结论．解答：解：（1）三角形内角和等于180°．故答案为：180°；（2）已知：如图所示的△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°．证明：过点C作CF∥AB，∵CF∥AB，∴∠2=∠A，∠B+∠BCF=180°，∵∠1+∠2=∠BCF，∴∠B+∠1+∠2=180°，∴∠B+∠1+∠A=180°，即三角形内角和等于180°．点评：本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．16．（2001•海南）如图，在△ABC中，已知∠ABC=46°，∠ACB=80°，延长BC至D，使CD=CA，连接AD，求∠BAD的度数．考点：三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．分析：要求∠BAD的度数，只要求出∠C的度数就行了，根据三角形内角和为180°，求出∠BAD的度数，根据三角形内角和外角关系及等腰三角形性质，易求∠C的度数．解答：解：∵∠ACB=80°∴∠ACD=180°﹣∠ACB=180°﹣80°=100°又∵CD=CA∴∠CAD=∠D∵∠ACD+∠CAD+∠D=180°∴∠CAD=∠D=40°在△ABC内∴∠BAD=180°﹣∠ABC﹣∠D=180°﹣46°﹣40°=94°．点评：此题主要考三角形内角与外角的关系及等腰三角形的性质；找出角之间的关系利用内角和求解是正确解答本题的关键．17．（2000•内蒙古）如图，已知在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．考点：三角形内角和定理．专题：数形结合．分析：根据三角形的内角和定理与∠C=∠ABC=2∠A，即可求得△ABC三个内角的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠DBC的度数．解答：解：∵∠C=∠ABC=2∠A，∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°，∴∠A=36°．则∠C=∠ABC=2∠A=72°．又BD是AC边上的高，则∠DBC=90°﹣∠C=18°．点评：此题主要是三角形内角和定理的运用．三角形的内角和是180°．18．（2011•青海）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线∴∴又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A∴∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）=探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论：∠BOC=90°﹣∠A．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．专题：压轴题．分析：（1）根据提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠O与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC与∠A的关系；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．解答：解：（1）探究2结论：∠BOC=∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一外角，∴∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠2=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1，∵∠2是△BOC的一外角，∴∠BOC=∠2﹣∠1=∠A+∠1﹣∠1=∠A；（2）探究3：∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC），∠BOC=180°﹣∠0BC﹣∠OCB，=180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），=180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB），结论∠BOC=90°﹣∠A．点评：本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键，读懂题目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要．19．（2010•玉溪）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．考点：三角形的外角性质；平行线的性质；三角形内角和定理．专题：综合题；压轴题．分析：（1）延长BP交CD于E，根据两直线平行，内错角相等，求出∠PED=∠B，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可说明不成立，应为∠BPD=∠B+∠D；（2）作射线QP，根据三角形的外角性质可得；（3）根据三角形的外角性质，把角转化到四边形中再求解．解答：解：（1）不成立．结论是∠BPD=∠B+∠D延长BP交CD于点E，∵AB∥CD∴∠B=∠BED又∵∠BPD=∠BED+∠D，∴∠BPD=∠B+∠D．（2）结论：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D．（3）连接EG并延长，根据三角形的外角性质，∠AGB=∠A+∠B+∠E，又∵∠AGB=∠CGF，在四边形CDFG中，∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．点评：本题是信息给予题，利用平行线的性质和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答．20．（2013•响水县一模）探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢？请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．专题：探究型．分析：探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再根据三角形内角和定理整理即可得解；探究二：根据角平分线的定义可得∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；探究三：根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可；探究四：根据六边形的内角和公式表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可．解答：解：探究一：∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A；探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，=180°﹣∠ADC﹣∠ACD，=180°﹣（∠ADC+∠ACD），=180°﹣（180°﹣∠A），=90°+∠A；探究三：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠BCD，∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，=180°﹣∠ADC﹣∠BCD，=180°﹣（∠ADC+∠BCD），=180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B），=（∠A+∠B）；探究四：六边形ABCDEF的内角和为：（6﹣2）•180°=720°，∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠P=∠ADC，∠PCD=∠ACD，∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，=180°﹣∠ADC﹣∠ACD，=180°﹣（∠ADC+∠ACD），=180°﹣（720°﹣∠A﹣∠B﹣∠E﹣∠F），=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°，即∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．点评：本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键．21．已知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=120°，求∠DAC的度数．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．分析：根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质即可解决．解答：解：∵∠BAC=120°，∴∠2+∠3=60°①∵∠1=∠2，∴∠4=∠3=∠1+∠2=2∠2②把②代入①得：3∠2=60°，∠2=20°．∴∠DAC=120°﹣20°=100°．点评：注意三角形的内角和定理以及推论的运用，还要注意角之间的等量代换．22．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数和．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．分析：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠4=∠A+∠2，∠2=∠D+∠C，进而利用三角形的内角和定理求解．解答：解：如图可知：∵∠4是三角形的外角，∴∠4=∠A+∠2，同理∠2也是三角形的外角，∴∠2=∠D+∠C，在△BEG中，∠B+∠E+∠4=180°，即∠B+∠E+∠A+∠D+∠C=180°．点评：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．23．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，试求∠DAC，∠ADC的度数．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．分析：由三角形的内角和是180°，和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可求∠1=39°，∠3=78°，所以∠DAC=24°，∠ADC=∠3=78°．解答：解：∵∠1=∠2，∴∠3=∠1+∠2=2∠1=∠4，∴2∠3+∠CAD=2∠1+2∠2+∠BAC﹣∠1=4∠1+63°﹣∠1=3∠1+63°=180°，∴∠1=39°=∠2，∠3=∠4=78°，∴∠DAC=63°﹣∠1=63°﹣39°=24°，∠ADC=∠3=78°．点评：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．24．已知：如图所示，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC边上的高，CF是AB边上的高，H是BE和CF的交点，求：∠ABE，∠ACF和∠BHC的度数．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．分析：由三角形的内角和是180°，可求∠A=60°．又因为BE是AC边上的高，所以∠AEB=90°，所以∠ABE=30°．同理，∠ACF=30度，又因为∠BHC是△CEH的一个外角，所以∠BHC=120°．解答：解：∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣66°﹣54°=60°．又∵BE是AC边上的高，所以∠AEB=90°，∴∠ABE=180°﹣∠BAC﹣∠AEB=180°﹣90°﹣60°=30°．同理，∠ACF=30°，∴∠BHC=∠BEC+∠ACF=90°+30°=120°．点评：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．25．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠A=50°，∠C=60°，求∠DAC及∠BOA．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．专题：计算题．分析：先利用三角形内角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC；再根据角平分线定义可求∠CBF、∠EAF，然后利用三角形外角性质，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA．解答：解：∵∠A=50°，∠C=60°∴∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°，又∵AD是高，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=180°﹣90°﹣∠C=30°，∵AE、BF是角平分线，∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°∴∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°，∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°，∴∠DAC=30°，∠BOA=120°．点评：本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出∠EAF、∠CBF，再运用三角形外角性质求出∠AFB．26．如图，AF是△ABC的高，AD是△ABC的角平分线，∠B=36°，∠C=76°，求∠DAF的度数．考点：三角形的外角性质；角平分线的定义；三角形内角和定理．分析：在△ADF中，由三角形的外角性质知：∠ADF=∠B+∠BAC，所以∠B+∠BAC+∠FAD=90°，联立△ABC中，由三角形内角和定理得到的式子，即可推出∠DAF，∠B，∠C的关系，再代值求解即可．解答：解：由三角形的外角性质知：∠ADF=∠B+∠BAC，故∠B+∠BAC+∠DAF=90°；①△ABC中，由三角形内角和定理得：∠C+∠B+∠BAC=180°，即：∠C+∠B+∠BAC=90°，②②﹣①，得：∠DAF=（∠C﹣∠B）=20°．点评：此题主要考查了三角形的外角性质、角平分线的性质以及三角形内角和定理等知识，熟记此题的结论在解选择和填空题时会加快解题效率．27．一个零件的形状如图，按规定∠A=90°，∠C=25°，∠B=25°，检验已量得∠BDC=150°，就判断这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由．考点：三角形的外角性质．分析：根据三角形外角的性质求出∠BDC的度数，与测量所得的度数对比即可得出结论．解答：解：如图，∠CDE是△ADC的外角，∠BDE是△ABD的外角，∵∠CDE=∠C+∠CAD，∠BDE=∠B+∠DAB，∴∠BDC=∠CDE+∠BDE=∠C+∠CAD+∠B+∠DAB，即∠BDC=∠B+∠C+∠A=25°+25°+90°=140°．检验已量得∠BDC=150°，就判断这个零件不合格．点评：考查了三角形的外角性质，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．28．一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠C应分别是30°和20°，李叔叔量得∠BDC=142°，就判定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？考点：三角形的外角性质．分析：连接AD并延长，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠1=∠B+∠BAD，∠2=∠C+∠CAD，然后求出∠1+∠2的度数，根据零件规定数据，只有140°才是合格产品．解答：解：如图，连接AD并延长，∴∠1=∠B+∠BAD，∠2=∠C+∠CAD，∵∠A=90°，∠B=30°，∠C=20°，∴∠BDC=∠1+∠2，=∠B+∠BAD+∠DAC+∠C，=∠B+∠BAC+∠C，=30°+90°+20°，=140°，∵140°≠142°，∴这个零件不合格．点评：本题主要利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握性质是解题的关键．29．如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．分析：连接BE，由三角形内角和外角的关系可知∠C+∠D=∠CBE+∠DEB，由四边形内角和是360°，即可求∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F=360°．解答：解：如图连接BE．∵∠1=∠C+∠D，∠1=∠CBE+∠DEB，∴∠C+∠D=∠CBE+∠DEB，∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F=∠A+∠ABC+∠CBE+∠DEB+∠DEF+∠F=∠A+∠ABE+∠BEF+∠F．又∵∠A+∠ABE+∠BEF+∠F=360°，∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F=360°．点评：本题考查的是三角形内角与外角的关系，涉及到四边形及三角形内角和定理，比较简单．30．如图，在三角形ABC中，∠A=35°，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数和．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．分析：根据三角形的内角和是180°，可分别求出∠1+∠2=∠3+∠4=145°，即可求出∠1+∠2+∠3+∠4的度数和．解答：解：∵∠A=35°，在△ABC中，∠A+∠1+∠2=180°，∴∠1+∠2=180°﹣∠A=145°，同理可证∠3+∠4=145°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=290°．点评：本题考查了三角形的内角和定理，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．。

三角形的内角与外角计算练习题

三角形的内角与外角计算练习题在几何学中，三角形是最基本的几何图形之一。

学习三角形的性质和计算方法对理解其他几何图形和解题方法都有很大的帮助。

本文将为您提供一些关于三角形内角与外角计算的练习题，帮助您巩固相关概念和技巧。

练习题1：已知△ABC，∠A=50°，AB=5cm，AC=6cm，求∠B 和∠C 的度数以及三角形的外角之和。

解答：根据三角形内角和定理可知，三角形ABC的内角之和为180°。

∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 50° - ∠C，由此可知∠B的度数。

同理，∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 50° - ∠B，由此可知∠C的度数。

三角形的外角与其对应内角的关系为：外角 = 180° - 内角。

所以△ABC的外角之和为3 * 180° = 540°。

练习题2：已知△DEF，DE=8cm，∠D=60°，求角∠E 和∠F 的度数以及三角形的外角之和。

解答：根据三角形内角和定理可知，三角形DEF的内角之和为180°。

∠E = 180° - ∠D - ∠F = 180° - 60° - ∠F，由此可知∠E的度数。

同理，∠F = 180° - ∠D - ∠E = 180° - 60° - ∠E，由此可知∠F的度数。

三角形的外角与其对应内角的关系为：外角 = 180° - 内角。

所以△DEF的外角之和为3 * 180° = 540°。

练习题3：已知△GHI，∠G=70°，∠H=45°，求角∠I的度数以及三角形的外角之和。

解答：根据三角形内角和定理可知，三角形GHI的内角之和为180°。

∠I = 180° - ∠G - ∠H = 180° - 70° - 45°，由此可知∠I的度数。

三角形的内角和练习题

三角形的内角和练习题一、基础练习1、判断下列说法是否正确，并说明理由。

（1）一个三角形的内角和是180度。

（2）一个三角形的内角和等于3个直角。

（3）一个等边三角形的内角和等于一个等腰三角形的内角和。

2、一个三角形的三个内角分别为A、B、C，已知A=30度，B=80度，求C的度数。

二、提升练习1、一个三角形的三个内角分别为A、B、C，已知A=70度，B=90度，求C的度数。

2、一个等边三角形的三个内角分别为A、B、C，已知A=60度，求B 和C的度数。

3、一个等腰三角形的两个内角分别为A、B，已知A=80度，求B的度数（该三角形是等腰三角形，有两边长度相等）。

三、拓展练习1、一个四边形由两个等边三角形组成，它的四个内角分别为A、B、C、D，求A+B+C+D的度数。

2、一个五边形由三个等边三角形组成，它的五个内角分别为A、B、C、D、E，求A+B+C+D+E的度数。

3、一个n边形（n≥3）的所有内角之和是多少？在解答上述问题的过程中，我们可以使用三角形内角和定理以及多边形的内角和公式来进行计算。

我们还需要了解等边三角形和等腰三角形的性质，以便解决相关问题。

三角形的内角和教学设计一、教材分析三角形的内角和是义务教育课程标准实验教科书（人教版）四年级下册第8单元数学广角里的内容，本节课是在学生已经学习了三角形的概念及分类的基础上进一步研究三角形的有关知识，教材中安排了三部分内容：第一部分是例1通过测量计算三个内角的度数和，第二部分是例2通过撕拼、旋转、翻转等不同的方法验证三角形的内角和等于180度，第三部分是例3用已知的两个角度求出第三个角的度数。

通过这些活动，培养学生动手操作能力和数学思维能力。

同时，还体现了数学来源于生活，又应用于生活这一理念。

二、学情分析作为四年级的学生，他们已经具备了一定的观察、猜测、动手操作、积极思考的能力，因此他们可以根据自己的实际情况选择喜欢的方法来研究验证三角形的内角和。

三角形内角和及外角的典型题例析[1]

三角形内角和及外角的典型题例基础知识：⑴三角形的三内角之和等于；⑵三角形的一个外角等于与它的两内角之和；⑶三角形的一个外角大于与它的任一内角；一、基础题1．在△ABC中,若∠A+∠B=∠C,则此三角形为_______三角形;2.已知等腰三角形的两个内角的度数之比为1: 2, 求这个等腰三角形的顶角的度数？3.在△ABC中,已知∠B-∠A=5°,∠C-∠B=20°,求三角形各内角的度数.4.如图所示,在△ABC中,∠A=70°,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,求∠BOC的度数.OCBA5．⑴（基础）在锐角△ABC中，高BD和CE所在直线相交于点O，且∠A=60°，则∠BOC= .⑵（提高）在△ABC（不是Rt△）中，高BD和CE所在直线相交于点O，且∠A=60°，求∠BOC的度数.二、提高题例1如图在ABC△中，1240B C BAD∠=∠∠=∠∠=︒，，求EDC∠的度数.例2 如图所示,已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠C=32°,∠D=28°,求∠P的度数.43P21DCBA例3⑴（基础）在等边△ABC中，AD是BC边上的高，则∠BAD= 。

⑵（提高）如图，在一个正方体的两个面上画了两条对角线AB，AC，则∠BAC= 。

⑶（提高）如图，六边形ABCDEF的六个角都是120°，边长AB＝1cm，BC=3cm，CD＝3cm，DE＝2cm，你能求出这个六边形的周长吗？DCBA F- 1 -- 2 -。

《三角形的内角和及外角定理》热点专题高分特训

《三角形的内角和及外角定理》热点专题高分特训一、单选题(共12道，每道8分)1.已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于( )A.30°B.40°C.60°D.80°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形内角和2.如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为( )A.40°B.45°C.50°D.55°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的内角和3.如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D，若∠BAC=128°，∠C=36°，则∠DAE的度数为( )A.10°B.12°C.15°D.18°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的内角和4.如图，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，∠AFD=158°，则∠EDF=( )A.79°B.68°C.44°D.42°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：角度的运算5.如图，在△ABC中，∠BAC=4∠1=4∠C，BD⊥CA于点D，则∠DBA=( )A.30°B.45°C.60°D.75°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：角度的运算6.如图，一个直角三角形纸片ABC，剪去直角后，得到一个四边形GBCH，则∠1+∠2=( )A.90°B.180°C.240°D.270°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的内角和7.如图，在四边形ABCD中，∠A=62°，∠B=38°，∠BCD=140°，则∠D的度数为( )A.40°B.24°C.50°D.45°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理8.如图，已知∠A=35°，∠B=20°，∠C=25°，则∠BDC的度数为( )A.55°B.60°C.80°D.90°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理9.一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中α的度数为( )A.90°B.105°C.120°D.135°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理10.如图，P为△ABC内任一点，延长CP交AB于点D，则下列结论一定正确的是( )A.∠1=∠2+∠3B.∠1=∠2+∠A+∠ACDC.∠2=∠A+∠ACDD.∠3=∠A+∠ACD答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理11.已知△ABC中，∠BAC=50°，∠ABC=60°，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD，BE相交于点H，则∠AHB的度数为( )A.90°B.100°C.110°D.120°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理12.已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，∠B=∠1，∠ADC=80°．求∠C的度数．解：如图，∵∠ADC是△ABD的一个外角（外角的定义）∴∠ADC=∠1+∠B（_______________________）∵∠B=∠1（已知）∴∠ADC=2∠1（等式的性质）∵∠ADC=80°（已知）∴∠1=∠ADC=40°（_______________________）∵AD是∠BAC的角平分线（已知）∴∠2=∠1=40°（角平分线的定义）∴∠C=180°-∠2-∠ADC=180°-40°-80°=60°（_______________________）①三角形的内角和是180°；②同角或等角的补角相等；③三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；④等式的性质；⑤等量代换．以上空缺处依次所填正确的是( )A.②④①B.③④①C.③②①D.②⑤④答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理。

八年级数学上三角形阶段题型专训三角形内角和及内外角关系应用的八种常见题型人教

，∠ACB的平分线交于点O，D 是外角∠ACH与内角∠ABC平分线的交点，∠BOC＝ 120°.
(1)求∠A的度数；解：∵∠BOC＝120°，∴∠OBC＋∠OCB＝60°. ∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O， ∴∠ABC＋∠ACB＝2∠OBC＋2∠OCB＝2(∠OBC＋∠OCB) ＝120°，∴∠A＝60°.
3．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点 D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE所在直线折叠压平，使点A与点N重合．
(1)若∠B＝35°，∠C＝60°，求∠A的度数；
解：∵∠B＝35°，∠C＝60°， ∴∠A＝180°－∠B－∠C＝180°－35°－60°＝85°.
(2)若∠A＝70°，求∠1＋∠2的度数．解：∵∠A＝70°， ∴∠ADE＋∠AED＝180°－70°＝110°. ∵△ABC沿着DE所在直线折叠压平，点A与点N重合， ∴∠NDE＝∠ADE，∠NED＝∠AED. ∴∠1＋∠2＝180°－(∠NED＋∠AED)＋180°－(∠NDE ＋∠ADE)＝360°－2×110°＝140°.
解：∠BDC＝∠A＋∠ABD＋∠ACD. 理由：∵∠BDC＋∠DBC＋∠DCB＝180°， ∠A＋∠ABC＋∠ACB＝∠A＋∠ABD＋∠ACD ＋∠DBC＋∠DCB＝180°， ∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＋∠ACD.
应用：某零件如图②所示，图纸要求∠A＝90°，∠B＝32°， ∠C＝21°，当检验员量得∠BDC＝145°时，就断定这个零件不合格．你能说出其中的道理吗？
∠BDC＝90°＋12∠A.
6．如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA. (1)求证∠EAC＝∠B；
证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD. 又∵∠EAD＝∠EDA， ∴∠EAC＝∠EAD－∠CAD＝∠EDA－ ∠BAD＝∠B.

2024七年级数学下册练测第6招三角形的内角与外角及它们的关系的常见题型习题课件鲁教版五四制

2 一副三角板如图所示摆放，以AC为一边，在△ABC外作 ∠CAF＝∠DCE，边AF交DC的延长线于点F，求∠F的度数．
【解】∵∠BCA＝90°，∠DCE＝30°， ∴∠ACF＝180°－∠BCA－∠DCE＝180°－90°－ 30°＝60°. ∵∠CAF＝∠DCE＝30°， ∴∠F＝180°－∠CAF－∠ACF＝180°－30°－60°＝ 90°.
②随着点A，B的运动，∠D的大小是否会发生变化？如果不变，求∠D的度数；如果发生变化，请说明理由．【解】不会发生变化．设∠BAD＝α.∵AD 平分∠BAO， ∴∠BAO＝2∠BAD＝2α.∵∠AOB＝90°， ∴∠ABN＝∠AOB＋∠BAO＝90°＋2α. ∵BC 平分∠ABN，∴∠ABC＝12∠ABN＝45°＋α. ∴∠D＝∠ABC－∠BAD＝45°＋α－α＝45°.
∵∠ADE＝∠AED， ∴∠ADC－∠CDE＝45°＋x－∠CDE＝45°＋∠CDE. ∴x＝2∠CDE，即∠CDE＝12x＝12∠BAD.
6 (1)如图，BO平分△ABC的外角∠CBD，CO平分△ABC
的外角 ∠ BCE ，则 ∠ BOC 与 ∠ A 的关系为 _∠__B_O__C_＝__9_0_°_－__12_∠__A___．
7 已知∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动(不与点O重合)． (1)如图①，AE，BE分别是∠BAO和∠ABO 的平分线，随着点A，B的运动， ∠AEB＝___1_3_5___°.
(2)如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与 ∠OAB的平分线交于点D. ①若∠BAO＝60°，则∠D＝___4_5____°.
(2)若∠B＋∠C＝130°，求∠1＋∠2的度数．【解】∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＋∠AEF＋ ∠AFE＝180°，∴∠AEF＋∠AFE＝∠B＋∠C＝130°. 由折叠知∠AEF＝∠DEF，∠AFE＝∠DFE， ∴∠AED＝2∠AEF，∠AFD＝2∠AFE. ∴∠AED＋∠AFD＝2∠AEF＋2∠AFE＝2(∠AEF＋ ∠AFE)＝260°. ∵∠1＋∠2＋∠AED＋∠AFD＝360°， ∴∠1＋∠2＝360°－260°＝100°.

2024年沪科版八年级上册数学期末复习极速提分第8招三角形内角与外角及它们的关系的常见题型

∴∠ BDC ＞∠ ABD .
∵∠ BEC 是△ DEC 的一个外角，
∴∠ BEC ＞∠ BDC .
∴∠ BEC ＞∠ ABD .
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分类训练
三角形外角的性质在探究动点问题中有关角度之间的
关系的应用
5. [2024·淮南二中期末]如图，在△ ABC 中，∠ B ＝∠ C ＝
45°，点 D 在 BC 边上，点 E 在 AC 边上，连接 DE ，
沪科版八年级上
第8招
三角形内角与外角及它们
的关系的常见题型
CONTENTS
目
录
01
教你一招
02
典例剖析
03
分类训练
教你一招
三角形的内角与外角有着广泛的应用，利用它们可以解
决有关角的很多问题，一般可用于直接计算角度、三角尺或
直尺中求角度、与平行线的性质综合求角度、截角或折叠问
题中求角度等.
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典例剖析
如图，将△ ABC 沿着 DE 翻折，使 B 点与B'点重合，若
∠1＋∠2＝78°，求∠ B 的度数.
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典例剖析
根据折叠的对称性，即可求得答案.
解：由折叠知∠ BED ＝∠B'ED，∠ BDE ＝∠B'DE，
∴∠1＋∠2＋2(∠ BED ＋∠ BDE )＝360°，
即78°＋2(∠ BED ＋∠ BDE )＝360°.
∴∠1＋2∠ A ＋∠AEA'＝180°.
∴25°＋2∠ A ＋80°＝180°.
∴∠ A ＝37.5°.
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