一线三等角教案

初中数学_几何模型——一线三等角教学设计学情分析教材分析课后反思

几何模型——一线三等角教学目标：1、掌握相似三角形的判定和性质，并能熟练运用其解决重要类型“一线三等角”的类型题.2、经历运用相似三角形知识解决问题的过程，体验图形运动、分类讨论、方程与函数等数学思想.3、通过问题的解决，体验探究问题成功的乐趣，积极探索，提高学习几何的兴趣.重点：相似三角形的判定性质及其应用.难点：与相似、函数有关的综合性问题的解决技巧和方法.教学方法：启发式教学方法，尝试指导教学法.一、知识梳理：（图1）（图2）（1）如图1，已知三角形ABC中，AB=AC,∠ADE=∠B，那么一定存在的相似三角形有；（2）如图2，已知三角形ABC中，AB=AC,∠DEF=∠B，那么一定存在的相似三角形有.二、【专题练习】1.如图，等边△ABC中，边长为4，D是BC上动点，∠EDF=60°，（1）求证：△BDE∽△CFD；（2）当BD=1，FC=52时，求BE.2.在边长为4的等边ABC∆中，D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且保持ABCEDF∠=∠，连接EF.(1) 已知BE=1,DF=2，求DE的值； (2) 求证：∠BED=∠DEF.3.在边长为4的等边ABC ∆中，若BD =1时，当△DEF 与△AEF 相似，求BE 的值.4.如图，已知边长为3的等边ABC ∆，点F 在边BC 上，CF =1，点E 是射线BA 上一动点，以线段EF 为边向右侧作等边EFG ∆，直线EG ，FG 交直线AC 于点M ，N ，（1）写出图中与BEF ∆相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设BE =x ，MN =y ，，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.5.在ABC ∆中，O BC AC C ,3,4,90===∠o 是AB 上的一点，且52=AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q （不与点B ,C 重合），已知AP =2，求CQ .QC A P三、例题分析例。

一线三等角模型学案副本

一线三等角模型学案副本一线三等角模型是指三个三角形中，有一条公共边，且这三个三角形中的每一个都与该公共边相邻。

该模型在数学中有着广泛的应用，尤其是在平面几何和三角函数领域。

一线三等角模型的基本概念非常直观，但其在实际问题中的应用却十分灵活。

例如，在角度制转换问题中，我们可以利用一线三等角模型来简化计算过程。

另外，在一元二次方程的求解中，该模型也可以为我们提供便利。

除了在数学问题中的应用，一线三等角模型还在其他领域中具有重要价值。

例如，在物理学中的光学问题中，该模型可以用来描述光线在介质中的传播路径。

此外，在计算机图形学中，一线三等角模型也被广泛应用于图像处理和计算机视觉等领域。

一线三等角模型的优点在于其灵活性和可塑性。

该模型可以适应各种不同的场景，并为我们提供解决问题的新思路。

然而，该模型也存在一些缺点，例如在实际应用中可能存在计算复杂度高的问题。

因此，在使用一线三等角模型时，我们需要根据具体问题的情况进行综合考虑。

总之，一线三等角模型是一种重要的数学模型，具有广泛的应用价值。

在实际问题中，我们可以利用该模型来简化计算过程，提高解决问题的效率。

也需要根据具体情况进行合理的应用和评估。

八年级数学学案28全等三角形的复习一线三等角八年级数学学案28：全等三角形的复习一线三等角一、导入在八年级数学学习中，我们学习了一个重要的概念，即全等三角形。

全等三角形是形状和大小都完全相同的两个三角形，它们的对应边相等，对应角也相等。

为了使大家更好地掌握全等三角形的性质和判定方法，本学案将对全等三角形进行深入的复习，并结合一线三等角的概念进行讲解。

二、复习全等三角形1、全等三角形的定义和性质定义：全等三角形是指形状和大小都完全相同的两个三角形。

性质：（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等。

2、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；（4）两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。

初中数学_全等三角形AAS定理——一线三等角模型教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计全等三角形AAS定理一线三等角模型课程分析：本节课是在学生学完八年级直角坐标系和一次函数之后，全等三角形定理在函数中的应用过程，包括在坐标系中如何构造全等三角形，要求学生对AAS定理的熟练应用，能在直角坐标系中等腰直角三角形为模版，找出直角点的坐标来。

一线三等角模型在几何和函数中都有重要应用，包括两者结合的综合题，树立学生的一线三等角的数学模型思想，会让学生再解这类题时更加得心应手。

因此，本节课的复习目标是：复习目标：1.能熟练运用AAS定理证三角形全等体会“一线三等角”几何模型在解题中的作用.2.能构造出“一线三等角”模型，能提炼出“一线三等角”几何模型,提高解决问题的能力.学情分析：本班的学生学习数学的热情较高，基础挺好，思维比较活跃，研究的气氛比较浓，但需要进行适当的引导，一方面鼓励他们学习、提问的热情，一方面利用他们不同的见解，不同的看法，推进课堂进度，使问题回归知识本质从而使学生成为课堂的主人。

设计思路：本节课采用“诱思探究教学”，让学生在教师导向性信息的指引下，动用所有的感官，亲身体验，独立思考，自主探究，合作学习。

使本节课的教学任务得以顺利的完成。

充分体现“已诱达思，启智悟道”的教学精髓。

本节课采用学生动手和多媒体教学相结合的教学方法。

一方面增强了学生的动手能力，增加了学生的学习兴趣，另一方面通过演示使得导向性信息更加明确，有利于学生严密思维习惯的养成。

教学过程：导入：构造全等三角形时，技巧性不够，缺少数学模型思想，针对以上这个问题，引出复习目标。

一：归纳篇： 1.通过做习题1:已知：如图，AB=AD,∠C=∠BAD=∠E=90,点C 、A 、E 共线。

求证：（1）∠1=∠2 （2）△ABC ≌△DAE第一个结论是应用的同角的余角相等这个结论。

第二个全等的结论运用的是AAS 定理的，（让学生体会用AAS 定理证全等，关键是证角相等）从而让学生观察本题特点，引出一线三直角数学模型。

《相似三角形之一线三等角》教学课件

《相似三角形之一线三等角》教学ppt课件2023-10-26CATALOGUE目录•引言•相似三角形基本概念•一线三等角定理及其应用•课堂活动与练习•总结与回顾01引言•相似三角形是初中数学的重要内容，而一线三等角是相似三角形的一种重要类型。

通过学习本课，学生能够深入理解相似三角形的性质和判定方法，提高数学思维和解决问题的能力。

课程背景课程目标学会如何利用一线三等角判定两个三角形相似；掌握一线三等角的定义和性质；培养学生的自主学习和合作学习能力。

通过案例分析，培养学生的数学思维和解决问题的能力；教学策略利用PPT课件引导学生逐步深入学习；采用讲解、示范、小组讨论等多种教学方法，帮助学生掌握知识；通过案例分析，让学生了解一线三等角的应用；组织课堂练习和小组讨论，加深学生对知识的理解和应用。

02相似三角形基本概念如果两个三角形三边对应成比例，那么这两个三角形相似。

定义如果$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$，那么$\bigtriangleup ABC\backsim \bigtriangleup DEF$。

数学符号表示相似三角形的定义相似三角形的性质对应角相等相似三角形对应角相等，可以用$\bigtriangleup ABC \backsim \bigtriangleup DEF$推出$\angle A =\angle E$，$\angle B = \angle F$，$\angle C = \angle D$。

对应边成比例相似三角形对应边成比例，可以用$\bigtriangleup ABC \backsim \bigtriangleup DEF$推出$\frac{a}{d} = \frac{b}{e} = \frac{c}{f}$。

定义法根据相似三角形的定义进行判断，即判断两个三角形三边对应成比例。

平行线法通过平行线构造相似三角形，即利用平行线的性质，将两个三角形放在平行线上，通过移动使得对应边成比例，从而证明两个三角形相似。

“一线三等角”型相似优秀教案

“一线三等角”型相似教学目标：1、了解“一线三等角”型相似三角形的基本模型，建立模型解题意识；2、能熟练利用“一线三等角”型相似模型解决数学问题.教学重点：识别、构造“一线三等角”型相似模型并应用.教学难点：构造“一线三等角”型相似模型并灵活运用.教学方法：探究式教学法教学过程：1、建立模型：（1）如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，点B、C、D在同一直线上，则△ABC∽△CDE．（2）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．则△ABD∽△DCE．简介：两个等角的一边在同一直线上，另一边在该直线的同侧。

若有第三个与之相等的角、其顶点在该直线上，角的两边（或两边所在直线）分别与两等角的非共线边（或该边所在直线）相交，此时通过证明，一般都可以得到一组相似三角形，该组相似三角形习惯上被称为“一线三等角型”相似三角形．应用1、如图，在边长为9的正方形中，为上一点，连接.过点作ABCD F AB CF F ，交于点,=3，则等于( )FE CF ⊥AD E AF AE A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5应用2、如图，点在反比例函数的图像上，点在反比例函数A 6(0)y x x =-<B 1(0)y x x=>的图像上，且，则的值为( )90AOB ∠=︒AO OBA. 6B. 3 D. 2应用3、如图，在等边中，为边上一点，且，求ABC ∆D BC 60,3,2ADE BD CE ∠=︒== 的边长.ABC ∆应用4、如图，等腰三角形OAB 的一边OB 在x 轴的正半轴上，点A 的坐标为(6，8)，OA=OB ．动点P 从原点O 出发，在线段OB 上以每秒2个单位的速度向点B 匀速运动，动点Q 从原点O 出发，沿y 轴的正半轴以每秒1个单位的速度向上匀速运动，过点Q 作x 轴的平行线，分别交OA 、AB 于E 、F ，连结PE 、PF ．设动点P 、Q 同时出发，当点P 到达点B 时，点Q 也停止运动，它们运动的时间为t 秒(t ≥0)．(1)点E 的坐标为___________，F 的坐标为 ___________ ；(均用t 来表示)(2)是否存在某一时刻t ，使∠EPF 为直角?若存在，请求出此时刻t 的值：若不存在，请说明理由．应用5、如图，已知点A 是双曲线y =在第一象限的分支上的一个动点，连结AO 并延长2x 交另一分支于点B ，以AB 为边作等边△ABC ，点C 在第四象限．随着点A 的运动，点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线y =(k <0)上运动，则k 的值是 .k x4、课堂小结感悟：____________________________________________________________________________________________________________________________________________________5、练习与作业：1．如图，面积为24的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF=，则小正方形的周长为（）A．B．C．D．2．如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（）A． B． C． D．OABC O A x3.如图，将一张矩形纸片放在平面直角坐标系中，为原点，点在轴的正半轴C y OCD BD C OA上，点在轴的正半轴上.在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处.若=10,=5，则点的坐标为___________ .E OA CD E4. △ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．。

12.2三角形全等的判定-一线三等角全等模型(教案)

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调“一线三等角”全等模型的识别和应用，以及SSA判定方法的正确使用。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与“一线三等角”全等模型相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用直尺和量角器来构造满足“一线三等角”条件的三角形，并验证它们的全等关系。
3.能够运用“一线三等角”全等模型解决实际问题，如几何图形的拼接、角度的求解等。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标旨在培养学生以下能力：
1.增强空间观念：通过“一线三等角”全等模型的探究，使学生能够把握图形的空间特征，提高空间想象力和直观感知能力。
2.提升逻辑推理能力：在学习SSA判定方法的过程中，培养学生严谨的逻辑思维，让学生学会从特殊到一般、从具体到抽象的分析和解决问题。
- SSA判定方法的应用：重点讲解在已知一边和两个角（其中一个为非夹角）的情况下，如何判定两个三角形全等，并强调在应用时需要注意角的对应关系。
-实际问题的解决：将全等知识应用于解决实际问题，如测量、建筑、艺术等领域的问题。
举例：在讲解“一线三等角”全等模型时，可以给出以下例题进行强调：
问题：在直线MN上，有∠AMN=∠BPN=∠CQO=90°，AB=BC，证明△ABC全等于△PQN。
其次，实践活动中的分组讨论环节，我发现有些学生参与度不高，可能是由于主题难度较大或者他们对讨论的主题不够感兴趣。针对这个问题，我计划在下次的活动中，提供更多元化的讨论主题，或者引入一些竞争机制，以提高学生的参与度和积极性。
在学生小组讨论环节，我发现很多学生能够提出有见地的观点，但他们的表达和逻辑推理能力还有待提高。在接下来的教学中，我将更加注重培养学生的表达能力和逻辑思维，通过提问和引导，帮助他们更好地组织语言和思考。

初中数学_几何模型——一线三等角教学设计学情分析教材分析课后反思

几何模型——一线三等角教学目标：1、掌握相似三角形的判定和性质，并能熟练运用其解决重要类型“一线三等角”的类型题.2、经历运用相似三角形知识解决问题的过程，体验图形运动、分类讨论、方程与函数等数学思想.3、通过问题的解决，体验探究问题成功的乐趣，积极探索，提高学习几何的兴趣.重点：相似三角形的判定性质及其应用.难点：与相似、函数有关的综合性问题的解决技巧和方法.教学方法：启发式教学方法，尝试指导教学法.一、知识梳理：（图1）（图2）（1）如图1，已知三角形ABC中，AB=AC,∠ADE=∠B，那么一定存在的相似三角形有；（2）如图2，已知三角形ABC中，AB=AC,∠DEF=∠B，那么一定存在的相似三角形有.二、【专题练习】1.如图，等边△ABC中，边长为4，D是BC上动点，∠EDF=60°，（1）求证：△BDE∽△CFD；（2）当BD=1，FC=52时，求BE.2.在边长为4的等边ABC∆中，D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且保持ABCEDF∠=∠，连接EF.(1) 已知BE=1,DF=2，求DE的值； (2) 求证：∠BED=∠DEF.3.在边长为4的等边ABC ∆中，若BD =1时，当△DEF 与△AEF 相似，求BE 的值.4.如图，已知边长为3的等边ABC ∆，点F 在边BC 上，CF =1，点E 是射线BA 上一动点，以线段EF 为边向右侧作等边EFG ∆，直线EG ，FG 交直线AC 于点M ，N ，（1）写出图中与BEF ∆相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设BE =x ，MN =y ，，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.5.在ABC ∆中，O BC AC C ,3,4,90===∠o 是AB 上的一点，且52=AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q （不与点B ,C 重合），已知AP =2，求CQ .QC A P三、例题分析例。

初二上学期全等三角形专题之一线三等角模型教案(有答案)

一线三等角互动精讲【知识梳理】【例题精讲】题型一、一线三等角（直角）例1、已知如图1，△ABC中∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于E，CE⊥AE于E．（1）证明：BD=DE+CE；（2）若直线AE绕点A点顺时针旋转，当点B、C在AE同侧且BD＜CE，其它条件不变，在图2上画出此时的图，并直接写出BD与DE、CE的关系，不须证明；（3）继续绕点A顺时针旋转，当B、C在AE同侧且BD＞CE其它条件不变，在图3上画出此时的图，并写出BD与DE、CE的关系，请加以证明．例2、已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点A、B分别是x轴和y轴上的一动点。

(1) 如图1，若点C的横坐标为－4，求点B的坐标；(2) 如图2，BC交x轴于D，若点C的纵坐标为3，A(5，0)，求点D的坐标；(3) 如图3，分别以OB、AB为直角边在第三、四象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，EF交y轴于M，求S△BEM∶S△ABO。

5432215215221=⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+=OD OD S S S DCMDMB BCM △△△ ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,54D题型二、一线三等角（一般角）例3、如图，在△ABC中，AB=AC，P、M分别在BC、AC边上，且∠APM=∠B，AP=MP，求证：△APB≌△PMC例4、已知，M是等边△ABC边BC上的点，如图，连接AM，过点M作∠AMH＝60°，MH与∠ACB的邻补角的平分线交于点H，过H作HD⊥BC于点D(1) 求证：MA＝MH(2) 猜想写出CB、CM、CD之间的数量关系式，并加以证明【课堂练习】1、如图，等腰Rt △ACB 中，∠ACB=90°,∠CAB=∠CBA=45°，AC=BC ，E 点为射线CB 上一动点，连接AE ，作AF ⊥AE 且AF=AE ．（1）如图1，过F 点作FG ⊥AC 交AC 于G 点，求证：△AGF ≌△ECA, AG=EC ；（2）如图2，在（1）的条件下，连接BF 交AC 于D 点，若AD=3CD ，求证：E 点为BC 中点；（3）如图3，当E 点在CB 的延长线上时，连接BF 与AC 的延长线交于D 点，若34=BE BC ，则________=CDAD2、等腰Rt△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝90°，点A、点B分别是y轴、x轴上的两个动点。

相似三角形的判定---“一线三等角”
一、教学目标
1.学生会运用两组对应角分别相等的两个三角形为相似三角形的判定方法证明两个三角形相似。

2.学生经历观察、比较、归纳的学习过程，归纳出“一线三等角”图形的基本特征，并且能够在不同的背景中认识和把握基本图形。

3.学生在学习过程中感受几何直观图形对几何学习的重要性。

二、教学重点、难点
1、重点：运用判定方法解决“一线三等角”的相关计算与证明
2、难点：在不同背景中识别基本图形
三、教学方法：教师主导与学生合作探究相结合。

四、教学过程
四知识巩固：
1已知，如图，在矩形ABCE 中，
D 为EC 上一点，沿线段AD 翻折，使得点
E 落在BC 上，若BC=12,BE ∶EC=2∶1.求AB 的长
A
B
C
D
E
借助此题，让学生感到在矩形中因为矩形四个角为直角
的特点，容易和“一线三直
角”基本图形建立联系。

本题融入了轴对称的变换，
让题目更鲜活
教师引导学生观察图形，找基本图
形。

师生共同完成
2. 在平面直角坐标系中，A(0,1),B （2,0），AC ⊥AB,AC=
3.
求点C 的坐标。

B
A
C
在坐标系中感受基本图形的作用。

引导学生分析如果要求出点c 的坐标应求那条线段的长？鼓励学生添加辅助线，构造
基本图形。

学生到黑板
上完成。

人教版九年级数学下册相似专题一线三等角模型教学设计

《相似专题——“一线三等角"模型》教学设计一、【教材分析】教学目标知识技能经历观察、比较、归纳的学习过程，归纳出“一线三等角”模型的基本特征，并且能够在不同的背景中认识和把握基本模型。

程法过小1、培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力；2、体会由特殊到一般思想、分类讨论思想和化归思想方法。

情感态度敢于面对数学活动中的困难，并能有意识地运用已有知识解决新问题.教学重点归纳“一线三等角”模型的基本特征。

教学难点在不同的背景中识别“一线三等角”模型，以及灵活解决该模型的相关问题。

学情分析该班级学生已完成了中考第一轮基本知识点的复习，对相似的判定以及相似性质的运用较熟练。

为提升综合解决问题的能力，设计了 “一线三等角”模型的专题训练。

教学内容分析《相似》一章的教学内容位于人教版九年级下册第二十七章，是中考的重要考点之一，而“一线三等角”模型也曾多次出现在中考的压轴题里面，因此有必要对“一线三等角”模型进行专题训练。

二、【教学过程】【归纳1】“K 字型”条件：三个直角结论： △CBE s^EAD问题设计环节一•从特殊到一般师生活动学生回忆曾接触过的K 字型，教师引导学生回答：K 字型题目一般给出什么条件，能得到什么结论。

设计意图通过回忆K 字型的条件与结论，为归纳 “一线三等角”模型的基本特征作铺垫。

几何画板展示三个直角变为三个相等的锐角或钝角。

【归纳2】“一线三等角”条件:①有三个相等的角；②三等角顶点在同一直线上。

结论：△CBE s^EAD 学生思考：当三个直角变为三个相等的锐角或钝角的时候，两三角形相似的结论是否还成立？教师引导学生得出证明两三角形相似的过程，并归纳出“一线三等角”模型的基本特征。

NB的对应角为NC的对应角为NBEC的对应角为BC的对应边为BE的对应边为CE的对应边为则, ________ 学生找准相似三角形的三对对应角，三对对应边，从而得出进一步推论：对应边的比相等。

一线三等角教案

4、等腰三角形中，在底边上作一角与底角相等；
5、坐标系中的一线三直角包括已知相似比求点的坐标或直角三角形的讨论性问题。
教学环B=2，AD=4，BP⊥PQ，
AP∶PD=3∶7，则BP∶PQ=．
例4、已知：在梯形ABCD中，AD//BC，AD<BC，且AD=5，AB=DC=2．如图，P为AD上的一点，满足∠BPC=∠A．
教师可根据班级实际情况将边DC改为射线DC。
学生课后完成。
此题是对于上题变式演练的延续，也是初三同学在总复习中需要加强的动点函数问题，通过此题检验同学对于构造一线三等角的题型掌握程度。
2、通过归纳同种类型例题，提升学生数学自我分析能力，培养良好数学的思维方式和归纳能力。
过程与方法目标
情感态度与价值观目标
教学关键把握
教学重点
1、通过观察、分析、归纳、总结的方法探寻一线三等角基本图形特征。
2、培养学生分析，归纳能力。
教学难点
在复杂背景图形下识别、运用一线三等角基本图形解决问题。
教学方法
请同学简述此类图像的特征。
通过观察上述图像，说一说此类图像的共同特征。
通过观察发现在有“有三个相等的角的顶点在同一条直线上”的情况下，可以利用外角性质找到一对相等的角，再结合原有的一对相等的角，可以得到相似三角形。简称为“一线三等角”
两张图形分别展示了三角形中一线三等角的基本模型。
教学环节
三．变化探索
上大附中实验学校
教
学
设
计
年度2017年度
学期第一学期
姓名徐树茂
班级九年级（1）班
数学教研组制
2017年12月
教学设计
课题
一线三等角
上课时间
2017．12

一线三等角教学设计

EDCBA相似三角形专题复习————“一线三等角”型【教学目标】 1、会用“一线三等角”的基本图形解决相似中的相关问题 2、通过抽象模型，图形变换，变式类比等方法提高综合解题能力【重点】运用“一线三等角”相似型的基本图形解题。

【难点】 “一线三等角”的基本图形的提炼、变式和运用【教学方法】合作探究、小组讨论【教具准备】三角尺，多媒体．【教学过程】一．类比探究，问题导入：（1）如图，已知∠A=∠BCD=∠E=90°，图中有没有相似三角形？并说明理由。

△BAC ∽△CED（2）如图，已知∠A=∠BCD=∠E=60°，图中有没有相似三角形？并说明理由。

△ABC ∽△ECD（3）如图，已知∠A=∠BCD=∠E=120°，图中有没有相似三角形？并说明理由。

△BAC ∽△CED设计意图一、导入新课,揭示目标(7分钟) 情景：（1）师生解读学习目标（1分钟）（2）三个问题呈现提供了同类相似三角形，让学生说出每一个问题的证明过程是必要的，使学生的“直观经验”由“量”变产生“质“变。

从问题和模型引入本专题，使学生对产生模型有个感性的认识，为下一环节抽象模型打好铺垫。

（6分钟）追问：三个图形有什么共同点？（引入“一线三等角”的概括性名称）二、抽象模型，揭示实质（3分钟抽象模型的目的是让学生的认识从“特殊“上升到“一般”，这是核心结论的生成阶段，时间上用多一点，要求学生写出证明过程，为例1的学习提供帮助，同时让学生对“一线三等角”基本图形的本质理解，在整节课的设计中起承上启下的作用，为下面的运用规律和知识有枢纽的效果。

E DCBA EDCBA321G FED CBA 321ED C B A二、抽象模型，揭示实质如图，已知∠A=∠BCD=∠E=α°，图中有没有相似三角形，并写出证明过程结论：图中△ABC ∽△ECD理由：∵∠BCE=∠A+∠B=∠BCD+∠DCE 又∵∠A=∠BCD ∴∠B=∠DCE ∵∠A=∠E ∴△ABC ∽△ECD总结规律：顺口溜：“一线三等角，两头对应好，互补导等角，相似轻易找” 三．运用新知，看图作答下列每个图形中，∠1=∠2=∠3，请你快速找出“一线三等角”的基本图形所形成的相似三角形（要求对应的顶点写在对应的位置）四、典例解析综合运用例1、已知，如图，在矩形ABCE 中，D 为EC 上一点，沿线段AD 翻折，使得点E 落在BC 上，若BC=10,BE ∶EC=4∶1.求CD 的长ABCDE例2如图，在平面直角坐标系中，o 为坐标原点，B 点坐标总结规律：（学生会用自己的语言总结出规律，老师应适当给予肯定，然后总结出顺口溜）顺口溜：“一线三等角，两头对应好，互补导等角，相似轻易找” 这里通过口诀来总结规律，学生兴趣盎然，形象易记。

数学-九年级-第7讲-相似综合一(一线三等角)-教案

学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期时间主题第7讲-相似综合一（一线三等角）学习目标 1．准确掌握的一线三等角的概念；2．理解和掌握一线三等角和其他模型的使用．教学内容（一）上次课课后巩固作业处理，建议让学生互批互改，个别错题可以让学生进行分享，针对共性的错题教师讲解为主。

（二）上次预习思考内容讨论分享1、如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是()1,2-，OB OA ⊥，且2OB OA =，则点B 的坐标是．答案：（4,2）2、如图，将矩形ABCD 的边AD 折叠，使点D 落在边BC 上的点E 处，若6BE =，3tan 4FEC ∠=，则CF 的长为．图1 xyB AO答案：3 3、如图，E 、F 分别是等边ABC V 的边AB 、AC 上的点，把AEF V 沿EF 折叠，点A 恰好落在BC 边上的D 点处，已知4BE =，2CF =，设BD x =，则CD = （用含x 的代数式表示）．答案：8x知识点1：一线三等角一线三等角是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的定点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示。

等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当定点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。

知识点2：一线三直角三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：BC DA E FD CAB EF例1：（2015学年崇明一模）如图，等边△ABC 中，D 是边BC 上的一点，且:1:3BD DC =，把△ABC 折叠，使点A 落在边BC 上的点D 处，那么AM AN的值为__________；答案：57例2：如图，梯形ABCD 中，BC AD P ，90BAD ∠=o ，18AD =，24BC =，AB m =，在线段BC 上任取一点P ，连结DP ，作射线PE DP ⊥，PE 与直线AB 交于点E ．设CP x =，BE y =，写出y 关于x 的函数关系式．答案：EABC D PCF ，点E是射线BA上一个动点，以线段EF为例3：已知边长为3的等边△ABC，点F在边BC上，1边向右侧做等边△EFG，直线EG,FG交直线AC于点M,N（1）写出图中与△BEF相似的三角形（2）证明其中的一对三角形相似（3）设BE=x, MN=y，求y与x之间的函数关系，并写出自变量的取值范围。

人教版数学九年级下册27.2.1《相似三角形的判定-“一线三等角”》教案

5.培养学生的合作交流能力：在小组讨论和实践活动中，培养学生主动参与、倾听他人意见、表达个人观点的能力，提高合作交流素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
a. “一线三等角”定理的内容及其应用。
-学生需理解并掌握“一线三等角”定理：两个三角形中有两边分别相等，且这两边的夹角相等，则这两个三角形相似。
-通过具体例题，强调定理在实际问题中的应用，如建筑物的相似设计、图形的放大与缩小等。
学生小组讨论环节，我发现有些学生发言不够积极，可能是因为他们对主题不够熟悉或者缺乏自信。在今后的教学中，我要鼓励更多的学生参与到讨论中来，提高他们的自信心。此外，我还应该加强对学生讨论成果的点评，让他们明白自己的优点和需要改进的地方。
最后，在总结回顾环节，我觉得可以让学生来总结今天所学的内容，这样可以更好地检查他们的学习效果。同时，我也应该鼓励学生在课后主动提问，及时解决他们的疑惑。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了“一线三等角”定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对相似三角形判定的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“相似三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。

专题“一线三等角”的相似模型教学设计

相关图表素材
几何图形解析
精心设计的图表,详细展示不同类型的几何图形及其相似性关系。
建筑模型对比
对比不同尺度的建筑物模型,形象说明相似模型的长度比、面积比等特征。
机械部件分析
利用工程图纸和细节截图,深入分析机械设备内部相似零件的设计。
教学评价
为了全面评估学生的学习效果,我们将采取多元化的教学评价方式,既包括学习过程中的观察和诊断,也涵盖期末的综合考核。通过这样的评价体系,我们可以及时发现学生的掌握程度,并针对性地提供帮助与反馈。
展示交流
1
小组展示
各小组将自己设计的相似模型进行展示,详细介绍模型的特点和设计思路。
2
师生点评
师生对小组展示的相似模型进行点评,提出建设性意见和建议。
3
交流讨论
师生就相似模型的应用、设计方法等进行讨论交流,互相学习。
小结反思
总结相似模型的重要性
通过本节课的学习,我们深入了解了相似模型的概念及其在生活中的广泛应用,极大地拓宽了视野。
动手制作自己的相似模型
为了巩固学习成果,我们将安排一系列的练习活动。首先,让学生在生活中寻找并识别各种相似模型,观察它们的共同特点。接下来,通过分析相似模型的长度比、面积比等指标,深化对相似模型概念的理解。最后,鼓励学生动手设计并制作自己独特的相似模型,运用所学知识将创意付诸实践。这些练习将帮助学生更好地掌握相似模型的本质内涵。
未来展望
1
融合创新
将相似模型概念与新兴技术如虚拟仿真、3D打印等深入融合,开拓更广阔的应用前景。
2
跨学科协作
与数学、物理、艺术等相关学科联手,探索跨界整合的教学模式,提升学生的综合素养。
3
持续优化
基于教学实践和反馈,不断优化教学内容、方法和资源,持续提高相似模型教学的质量和效果。

一线三等角模型讲课稿

注意：压轴题中出现射线、直线要分类讨论！
中点型“一线三等角”模型
中点型：
至少有三
对相似三
β
角形
2024/2/25
再次提醒：对应边和对应角千万不要找错！
一线三直角在直角坐标系中的应用
2012年上海中考24题
1t 2
4
2
2
1t
t
2
4
一线三直角巧求点坐标
尝试用上题中你总结的方法解答下题： 2011年宝山一模18题
方法二：两点距离公式；
方法三：利用互相垂直的一次函数（针对优等生，且此法适用于任意三角形翻折）
a
1
2a
2
2 2a 1 a
2 1
方法一：一线三直角
注意：点坐标的正负号问题！
一线三等角在直角坐标系中的应用
2014年宝山一模18题
67
9 2
(9,9 3) 22
93
9
2
思考：若把 tan BAO
3 45
32
26 1
5
3 45
2024/2/25
（2）
3x
2
2
x
x2 4
3
3 x3 x2 3 (0 x 3)
2
2
4
2024/2/25
（2）
3x
2
2
x
x2 4
3 x2 4
3
2
3 x 2 3x 2
2
3
13
13 2
2024/2/25
谢谢大家聆听！！！
18
3 3
样？
改t为an BAO
1 2
，解法是否一
2024/2/25

一线三等角专题复习教案

“一线三等角”专题复习浙江慈溪育才初中苏生年教学要求：1.掌握“一线三等角”的有关结论；2. 学会在几何图形中分离或构造“一线三等角”的基本图形，进而解决问题；3.探索解决几何问题的规律，提高学生解决问题的能力。

教学重点：掌握“一线三等角”的结论并学会应用。

难点：在“残缺”图形中构造基本图形，需要学生的猜想并探索，是本次专题复习的难点。

教学过程：一、“一线三等角”的引出及结论如图1，已知∠BAD＝∠DB E＝∠BCE＝Rt∠，由余角的关系可得∠1＝∠E，进一步得到△ABD∽△CEB。

一般地，如图2，已知∠1＝∠2＝∠3，由三角形内角和定理可得∠CBE＝∠D，进一步得到△ABD∽△CEB。

结论：一直线上的三个等角，可得到两个三角形相似图1 图2二、“一线三等角”的应用例1：（2011•荆州）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD 于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对利用“一线三等角”的结论，由∠CPD=∠A=∠B得到△APG∽△BFP。

另外有△APD∽△PGD。

故选B.FGB C ADEHF DCA B EE D CFB A 例2：如图，在平面直角坐标系中，B(5，3)、C(0，3)、D(1,3)，P 点在x 轴上，且∠BPD ＝45°，则点P 的坐标为．图1 图2 本例是一个中考的压轴题。

因为∠BPD ＝45°，有学生考虑到圆周角与圆心角的关系，作△BDP 的外接圆，再添加适当的辅助线，如图1，O ’E=2，O ’F=EF-O ’E=3-2=1，O ’B=O ’P=22， ∴FP=7，点P （37+，0）或点P （37-，0）.另外，因为∠BPD ＝45°是特殊角，结合“一线三等角”，设法作∠DMP=∠BNP=∠BPD ＝45°，如图2，设P （x,0）由△PMD ∽△BNP 得MP MD BN PN =，∴32832x =-，求得x=3±7， ∴点P （37+，0）或点P （37-，0）.比较两者，利用“一线三等角”的结论，添加辅助线，思路相当顺畅。

一线三等角教案

相似三角形的判定---“一线三等角”一、教学目标1.学生会运用两组对应角分别相等的两个三角形为相似三角形的判定方法证明两个三角形相似。

2.学生经历观察、比较、归纳的学习过程，归纳出“一线三等角”图形的基本特征，并且能够在不同的背景中认识和把握基本图形。

3.学生在学习过程中感受几何直观图形对几何学习的重要性。

二、教学重点、难点1、重点：运用判定方法解决“一线三等角”的相关计算与证明2、难点：在不同背景中识别基本图形三、教学方法：教师主导与学生合作探究相结合。

四、教学过程例2. 在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=CD=AD=6，∠ABC=60°，点E,F 分别在线段AD,DC 上（点E 与点A,D 不重合），且∠BEF=120°，设AE=x,DF=y.（1）求y 与x 的函数关系式；（2）当x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？CD ABEF一线三等角与梯形知识的结合。

引导学生思考如何确定y 与x 的关系，有没有基本图形的模型。

例2，学生到黑板上完成，其他同学自主完成，教师巡视例3如图，正方形ABCD 的边长为10，部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E 、F 、G 、H 分别落在边AD 、AB 、BC 、CD 上，则DE 的长为．在正方形中体会“一线三等角”的重要性教师引导学生观察有没有基本图形？如何构造基本图形。

学生思考问题，可以在和同学交流的基础上完成。

四知识巩固：1已知，如图，在矩形ABCE 中，D 为EC 上一点，沿线段AD 翻折，使得点E 落在BC 上，若借助此题，让学生感到在矩形中因为矩形四个角为直角的特点，容易和“一线三直角”基本图形建立联系。

本题融入了轴对称的变换，教师引导学生观察图形，找基本图形。

师生共同完成。

八年级体育学案28 篮球技巧的复习(3)--一线三等角

八年级体育学案28 篮球技巧的复习(3)--一线三等角一线三等角是篮球运动中常用的进攻技巧，它能够帮助球员在比赛中更好地突破防守、寻找出手机会。

本文将对一线三等角进行复和讲解。

一、一线三等角的概念一线三等角是指进攻方在球场上的三名球员按照特定的位置站位，形成一个等边三角形，其中一名球员站在底线附近，另外两名球员站在底角位置。

这样的站位能够有效地制造出手机会，让进攻更具威胁性。

二、一线三等角的特点1. 打破对方防守：一线三等角的站位会让对方防守球员分散注意力，难以有效地围堵进攻方，为球员创造出机会。

2. 各个球员之间的配合：一线三等角的站位需要球员之间有良好的默契和配合。

底线附近的球员可以选择突破或传球给底角的队友，形成内外结合，让防守方无法应对。

3. 运用篮球基本技巧：在一线三等角的进攻中，球员需要运用篮球的基本技巧，包括过人、接球、传球和投篮等，以创造进攻机会和得分。

三、一线三等角的训练方法1. 站位练：球员按照一线三等角的站位进行练，通过不断的站位调整和默契配合，提高球员的意识和反应能力。

2. 过人训练：通过对抗训练和技术练，提高球员的过人技巧，增强突破能力。

3. 传球和接球练：通过队内练和对抗训练，提高球员的传球和接球技巧，增强团队配合能力。

4. 投篮练：通过技术练和比赛训练，提高球员的投篮准确率和进攻效果。

四、总结一线三等角是篮球进攻中常用的技巧，能够帮助球员打破对方防守，创造出手机会。

通过适当的训练方法，球员可以提高在一线三等角中的表现，增加篮球比赛中的进攻威胁。

(以上为简要复，仅供参考，具体内容请根据教材要求进行展开。

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