一线三等角专题训练

一线三等角问题

一、问题引入

如图，ABC ∆中，90B ∠=︒，CD AC ⊥，过D 作DE AB ⊥交BC 延长线与E 。

求证：△ABC ∽△CED

B E

A

D

C

其他常见的一线三等角图形

（等腰三角形中底边上一线三等角） （等腰梯形中底边上一线三等角）

A

B D

C

E

F

（直角坐标系中一线三等角） （矩形，正方形中一线三等角） （1）等腰三角形中一线三等角

例1、 如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上

一动点，联结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ． （1）求证：△DBE ∽△ECF ；

（2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长；

（3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长．

F

D C

D (备用图)

（1、 本题中，第一问的结论是这类题共同的特性，只要等腰三角形底边上有三等角，必

有三角形相似；

（2、 第二问中根据相似求线段的长，也很常见；有时候会反过来问，线段的长是多少时，

三角线相似。变式练习1就是这类题型；

（3、 第三问，中间的三角形与左右两个形似时，有两种情况，一种是DF 与底边平行，

一种是E 为中点；

（4、 在等腰梯形中，将腰延长会交于一点，也构成等腰三角形，故而以上三点，在等腰

梯形中也适用。

变式练习1 （浦东新区22题）

如图，已知等边△ABC 的边长为8，点D 、F 、E 分别在边AB 、BC 、AC 上，3BD =，E 为AC 中

点，当△BPD 与△PCE 相似时，求BP 的值.

变式练习2（宝山22题）

如图6，已知ΔABC 中，AB AC =,点E 、F 在边BC 上，满足∠EAF =∠C .求证：

2BF CE AB ⋅=；

F

E C

B

A

（图6）

（2）等腰梯形中一线三等角

例2.（长宁区18题）如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，2AD =

，42BC =，

∠45B =˚，直角三角板含45度角的顶点E 在边BC 上移动，一直角边始终经过点A ，斜边与CD 交于点F .若△ABE 为等腰三角形，则CF 的长等于 .

\

第18题

E

F

D

C

B

A

例3（徐汇区25）．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，6AB CD BC ===，3AD =．点M 为边BC 的中点，以M 为顶点作EMF B ∠=∠，射线ME 交腰AB 于点E ，射线MF 交腰CD 于点F ，联结EF ．

（1）求证：△MEF ∽△BEM ；

（2）若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形，求EF 的长； （3）若EF CD ⊥，求BE 的长．

例4、（杨浦区基础考）四边形ABCD 中，AD ∥BC ，()

090ABC αα∠=<<，3AB DC ==，5BC =．点P 为射线BC 上动点（不与点B 、C 重合），点E 在直线DC 上，且APE α∠=．记1PAB ∠=∠，2EPC ∠=∠，BP x =，CE y =．

（1）当点P 在线段BC 上时，写出并证明1∠与2∠的数量关系； （2）随着点P 的运动，（1）中得到的关于1∠与2∠的数量关系，是否改变？若认为不改变，请证明；若认为会改变，请求出不同于（1）的数量关系，并指出相应的x 的取值范围； （3）若cos α=

1

3

，试用x 的代数式表示y ．

（3）坐标系中一线三等角

例5．（金山区24）如图，住平面直角系中，直线AB ：()4

40y x a a

=

+≠分别交x 轴、y 轴于B 、A 两点，直线AE 分别交x 轴、y 轴于E 、A 两点，D 是x 轴上的一点，OA OD =，过D 作CD ⊥x 轴交AE 于C ，连接B C ，当动点B 在线段OD 上运动（不与点O 点D 重合）且AB BC ⊥时

(1)求证：ABO ∆∽BCD ∆；

(2)求线段CD 的长（用a 的代数式表示）； (3)若直线AE 的方程是13

16

y x b =-

+，求tan BAC ∠的值．

变式练习3、在平面直角坐标系XOY 中，AOB ∆的位置如图所示，已知

0060,90=∠=∠A AOB ,点A 的坐标为(

)

1,

3-

（1） 求点B 的坐标；

（2） 若抛物线c bx ax y ++=2

经过A 、O 、B 三点，求函数解析式。

（4）矩形中一线三等角

例6、（长宁区24题）．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，点P 是射线DA 上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点P ，三角板两直角中的一边始终经过点C ，另一直角边交射线BA 于点E ．

（1）判断△EAP 与△PDC 一定相似吗？请证明你的结论；

（2）设PD x =，AE y =，求y 与x 的函数关系式，并写出它的定义域；

（3）是否存在这样的点P ，是△EAP 周长等于△PDC 周长的2倍？若存在，请求出PD 的长度；若不存在， 请简要说明理由．

一线三等角与因动点产生的等腰三角形问题的综合题目

（徐汇24）如图，等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，5,AB DC ==AD =2，BC =8，

MEN B ∠=∠．

MEN ∠的顶点E 在边BC 上移动，一条边始终经过点A ，另一边与CD 交于点F ，联接

AF ．

（1）设y DF x BE ==,，试建立y 关于x 的函数关系式，并写出函数定义域； （2）若AEF △为等腰三角形，求出BE 的长．

E

P

D

C

B

A C

D

C

B

A 备用图