《2.3 向量的坐标表示和空间向量基本定理(1)》课件-优质公开课-北师大选修2-1精品

[解析] (1)A→E＝A→D＋D→E＝A→D＋12DD→′ ＝A→D＋12AA→′＝(0,1，12)， A→G＝A→B＋B→G＝A→B＋12A→D＝(1，12，0)， A→F＝A→A′＋A′→D′＋D→′F＝AA→′＋A→D＋12A→B ＝(12，1,1)．
(2)E→F＝A→F－A→E ＝(AA→′＋A→D＋12A→B)－(A→D＋12AA→′) ＝12AA→′＋12A→B＝(12，0，12)， E→G＝A→G－A→E＝(A→B＋12A→D)－(A→D＋12AA→′) ＝A→B－12A→D－12AA→′＝(1，－12，－12)， D→G＝A→G－A→D＝A→B＋12A→D－A→D ＝A→B－12A→D＝(1，－12，0)．
• 5．空间向量基本定理的证明
设 a、b、c 不共面，过点 O 作O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，O→P ＝p；过点 P 作直线 PP′平行于 OC，交平面 OAB 于点 P′； 在平面 OAB 内，过点 P′作直线 P′A′∥OB，P′B′∥OA， 分别与直线 OA，OB 相交于点 A′，B′.于是存在三个实数 x， y，z，使O→A′＝xO→A＝xa，O→B′＝yO→B＝yb，P′ →P＝zO→C＝zc，
O→P＝O→A′＋O→B′＋P′ →P＝xO→A＋yO→B＋zO→C. ∴p＝xa＋yb＋zc.
• 6．特殊向量的坐标表示 • 若向量a平行x轴，则a＝(x,0,0)． • 若向量a平行y轴，则a＝(0，y,0)． • 若向量a平行z轴，则a＝(0,0，z)． • 若向量a平行xOy平面，则a＝(x，y,0)． • 若向量a平行yOz平面，则a＝(0，y，z)． • 若向量a平行zOx平面，则a＝(x,0，z)．
• 任一向量在坐标轴正方向上的投影就是此向 量相应坐标．
• 4．空间向量基本定理
• 如果向量e1、e2、e3是空间三个不共面的向 量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实 数λ1，λ2，λ3，使得a＝ ______λ1_e1_＋_λ_2e_2＋_λ_3_e3_______.
• 5．基底
• (1)空间中不共面的三个向量e1、e2、e3叫作 这个空间的一个____基_底_____．
[解析] 假设存在实数 λ，μ，v，使 a4＝λa1＋μa2＋va3， 则 3i＋2j＋5k＝λ(2i－j＋k)＋μ(i＋3j－2k)＋v(－2i＋j－ 3k)，
2λ＋μ－2v＝3
λ＝－2
∴－λ＋3μ＋v＝2， ，解得μ＝1 ，
λ－2μ－3v＝5
v＝－3
故有 a4＝－2a1＋a2－3a3.
• [点评] 用基底表示空间向量，一般要用向量 的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的 平行四边形法则，加法、减法的三角形法 则．逐步向基向量过渡，直到全部用基向量 表示．
如图所示，在平行六面体 ABCD－ A′B′C′D′ 中 ， A→B ＝ a ， A→D ＝ b ， AA→′＝c，P 是 CA′的中点，M 是 CD′ 的中点，N 是 C′D′的中点，点 Q 在 CA′上，且 CQ QA′＝ ，用基底 {a，b，c}表示以下向量．
[解析] (1)由于 B1 的坐标为(1,1,1)，则D→B1的坐标为(1,1,1)， 即D→B1＝i＋j＋k.
(2)连接 DB，D→B1在 xOy 面上的投影长为： |D→B1|cos∠B1DB＝|D→B|＝ 2. (3)由于D→B1＝i＋j＋k，则D→B1·i＝1，D→B1·k＝1，D→B1·j＝D→B1·k ＝1.
•
• 投影问题
在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，以 D 为原点，建立如图的空间坐标系．
(1)令D→A＝i，D→C＝j，D→D1＝k，试用 i，j，k 表示D→B1； (2)求D→B1在 xOy 面上的投影长； (3)求D→B1·i，D→B1·k，D→B1·j 的值． [分析] 先用 i，j，k 表示出D→B1，并用投影公式求出第(2) 问，第(3)问直接用公式可求出．
• 2．空间任意三个不共面的向量都可以作为表 示空间向量的一个基底．
• 3．由于0可看作是与任意一个非零向量共线， 与任意两个非零向量共面，所以三个向量不 共面，就隐含它们都不是0.
• 要明确：一个基底是一个向量组，一个基向 量是指基底中的某一个向量，二者是相关联 的不同概念．
• 4．用基底中的基向量表示向量(即向量的分 解)，关键是结合图形，运用三角形法则、平 行四边形法则及多边形法则，逐步把待求向 量转化为基向量的“代数和”．
《2.3 向量的坐标表示和空间向量 基本定理（1）》课件
1 知能目标解读 2 重点难点点拨 3 知能自主梳理 4 学习方法指导
5 思路方法技巧 6 探索拓研创新 8 课堂巩固训练
知能目标解读
• 1．了解空间向量基本定理及其意义，掌握空 间向量的正交分解及其坐标表示．
• 2．会在简单问题中选用空间三个不共面向量 作为基底表示其他向量．
• ___(x_，_y_，_z_) __ 叫作空间向量a的坐标，记作a ＝___(x_，_y_，_z)__，a＝__(_x，__y，__z)_____ 叫作向量 a的坐标表示．
在空间直角坐标系中，点 P 的坐标为__(x_，__y_，__z_)_，向量O→P
的坐标也是__(_x_，__y，__z_)_．
• 空间向量基本定理
如图，已知 PA⊥平面 ABCD，四边形 ABCD 为 正方形，G 为△PDC 的重心，A→B＝i，A→D＝j，A→P＝k，试用基 底{i，j，k}表示向量P→G，B→G.
[分析] 利用三角形法则，平行四边形法则将向量P→G，B→G
用A→B，A→D，A→P来表示．由于点 G 为△PDC 的重心，所以有
(1)A→P；(2)A→M；(3)A→N；(4)A→Q.
[解析] 连结 AC，AD′.
(1)A→P＝12(A→C＋AA→′)＝12(A→B＋A→D ＋AA→′)
＝12(a＋b＋c)． (2)A→M＝12(A→C＋AD→′)＝12(a＋2b＋c) ＝12a＋b＋12c.
(3)
→ AN
• [点评] 求投影有两种方法：①先求出两个点 A、B分别在平面上的投影A′、B′，则A′、B′ 的连线就为AB在平面上的投影；②根据公式 a·b0＝|a|cos〈a，b〉，b0为b的单位向量．
探索拓研创新
• 探索性问题
已知 A，B，C 三点不共线， 对平面 ABC 外的任一点 O，若点 M 满足O→M ＝13O→A＋13O→B＋13O→C.
• [点评] 本题的意思是a4能否用a1，a2，a3线 性表示．其实，只要a1，a2，a3不共面，就 可以表示空间任一向量．线性运算在向量运 算中具有十分重要的作用．
思路方法技巧
• 空间向量的坐标表示
棱长为 1 的正方体 ABCD －A′B′C′D′中，E、F、G 分别为棱 DD′、D′C′、BC 的中点，以{A→B，A→D， AA→′}为基底，求下列向量的坐标．
(1)A→E，A→G，A→F；(2)E→F，E→G，D→G.
• [分析] 若向量a可以用基向量e1，e2，e3表 示为a＝xe1＋ye2＋ze3，则(x，y，z)就是a在 基底{e1，e2，e3}下的坐标．
• (2)空间中任意三个不共面的向量都可以构成 空间的一个___基_底____．
• (3)如果作为空间的一个基底的三个基向量两 两互相垂直，那么这个基底叫作 ___正_交__基_底___．
学习方法指导
• 1．用空间三个不共面的已知向量a，b，c可 以线性表示出空间任意一个向量，而且表示 的结果是唯一的．
• [点评] 本题为综合题，用到了投影公式．(3) 题中可由i·k＝i·j＝k·j＝0，i·i＝1，j·j＝ k·k＝1求出．
已知点 A 的坐标为(3,5，－7)，点 B 的坐标为(－2,4,3)，则 A→B在坐标平面 yOz 上的射影的长度为多少？
[解析] 由于 A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则 A 在 yOz 上的 投影为 A′(0,5，－7)，B 在 yOz 上的投影为 B′(0,4,3)，所以A→B 在坐标平面 yOz 上的投影为A′→B′，所以A→B在 yOz 面上的投影 长度为|A′→B′|＝ 02＋4－52＋3＋72＝ 101.
PG＝23PN. [解析]
P→G＝23P→N＝23[12(P→C＋P→D)]
＝13(P→A＋A→B＋A→D＋A→D－A→P)
＝13A→B＋23A→D－23A→P
＝13i＋23j－23k.
B→G＝B→C＋C→N＋N→G ＝B→C＋C→N＋13N→P ＝A→D－12D→C－13P→N＝A→D－12A→B－(16A→B＋13A→D－13A→P) ＝23A→D－23A→B＋13A→P＝－23i＋23j＋13k.
• 2．向量坐标的求法
• 若向量a不在任何一个坐标平面内，把a的起 点移到坐标原点，以a为对角线，以x轴，y轴， z轴为棱，作长方体．长方体各棱长就是相应 ____坐_标_的__绝_对__值___．与平面向量一样，向量 起点在原点时，终点坐标就是向量坐标．
• 3．向量a在向量b上的投影
• 一般地，若b0为b的单位向量，称a·b0＝ ___|a_|c_os_〈_a_，_b_〉__ 为向量a在向量b上的投影．
(1)判断M→A，M→B，M→C三个向量是否共面． (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内．
[解析] (1)由已知，得O→A＋O→B＋O→C＝3O→M， ∴O→A－O→M＝(O→M－O→B)＋(O→M－O→C)． ∴M→A＝B→M＋C→M＝－M→B－M→C. ∴向量M→A，M→B，M→C共面． (2)由(1)向量M→A，M→B，M→C共面，三个向量的基线又过同 一点 M， ∴四点 M，A，B，C 共面． ∴点 M 在平面 ABC 内．
• 3．会求某一空间向量在一平面上的投影．
重点难点点拨
• 本节重点：空间向量基本定理．
• 本节难点：基底概念的理解和用基底表示空 间任一向量．