2019年高考数学一轮复习课时分层训练44简单几何体的表面积与体积理北师大版

课时分层训练(四十四) 简单几何体的表面积与体积

A 组 基础达标

一、选择题

1．(2017·北京高考)某三棱锥的三视图如图7­5­9所示，则该三棱锥的体积为( )

图7­5­9

A ．60

B ．30

C ．20

D ．10

D [

由三视图画出如图所示的三棱锥P ­ACD ，过点P 作PB ⊥平面ACD 于点B ，连接BA ，BD ，BC ，根据三视

图可知底面ABCD 是矩形，AD ＝5，CD ＝3，PB ＝4，所以V

三棱锥P ­ACD

＝13×1

2

×3×5×4＝10. 故选D.]

2．(2016·全国卷Ⅱ)如图7­5­10是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

( )

图7­5­10

A ．20π

B ．24π

C ．28π

D ．32π

C [由三视图可知圆柱的底面直径为4，母线长(高)为4，所以圆柱的侧面积为2π×2×4＝16π，底面积为π·22

＝4π；圆锥的底面直径为4，高为23，所以圆锥的母线长为(23)2＋22＝4，所

以圆锥的侧面积为π×2×4＝8π.所以该几何体的表面积为S ＝16π＋4π＋8π＝28π.]

3．(2016·全国卷Ⅲ)如图7­5­11，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )

图7­5­11

A ．18＋365

B ．54＋185

C ．90

D ．81

B [由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行

四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×3

5)×2＝54＋18 5.故选B.]

4．某几何体的三视图如图7­5­12所示，且该几何体的体积是3，则主视图中的x 的值是( )

图7­5­12

A ．2

B ．9

2

C.32

D ．3

D [由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S 底

＝12

×(1＋2)×2＝3，

所以V ＝13

x ·3＝3，

解得x ＝3.]

5．(2018·石家庄质检)某几何体的三视图如图7­5­13所示，则该几何体的体积是( )

【导学号：79140241】

图7­5­13

A ．16

B ．20

C ．52

D ．60

视图得该几何体的直观图如图所示，其中四边形ABCD 为邻边长分别为B [由三方形，四边形CDEF 为上底为2、下底为6、高为3的等腰梯形，所以该2,4的长可以看作是由两个底面为直角边长分别为3,4的直角三角形，高为2的几何体和一个底面为直角边长分别为3,4的直角三角形，高为2的三棱柱组成，

三棱锥

则该几何体的体积为2×13×12×3×4×2＋1

2

×3×4×2＝20，故选B.]

二、填空题

6．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．

12 [设正六棱锥的高为h ，棱锥的斜高为h ′. 由题意，得13×6×1

2×2×3×h ＝23，∴h ＝1，

∴斜高h ′＝12＋(3)2＝2， ∴S 侧＝6×1

2

×2×2＝12.]

7．(2017·江苏高考)如图7­5­14，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V1

V2

的值是________．

图7­5­14

32

[设球O 的半径为R ，

∵球O 与圆柱O 1O 2

的上、下底面及母线均相切，

∴圆柱O 1O 2

的高为2R ，底面半径为R .

∴V1V2＝πR2·2R 43

πR3

＝3

2

.]

8．(2017·天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．

92

π [设正方体的棱长为a ，则6a 2

＝18，∴a ＝ 3. 设球的半径为R ，则由题意知2R ＝a2＋a2＋a2＝3， ∴R ＝32

.

故球的体积V ＝43πR 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝9

2π.]

三、解答题

9.如图7­5­15，在三棱锥D ­ABC 中，已知BC ⊥AD ，BC ＝2，AD ＝6，AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝10，求三棱锥D ­ABC 的体积的最大值.

【导学号：79140242】

图7­5­15

[解] 由题意知，线段AB ＋BD 与线段AC ＋CD 的长度是定值，∵棱AD 与棱BC 相互垂直，设d 为AD 到

BC 的距离，

则V D ­ABC

＝AD ·BC ×d ×12×1

3

＝2d ，

当d 最大时，V D ­ABC

体积最大．

∵AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝10， ∴当AB ＝BD ＝AC ＝CD ＝5时，

d 有最大值42－1＝15.

此时V ＝215.

10.如图7­5­16，长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝

D 1F ＝4.过点

E ，

F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．