二叉树定价模型
二叉树模型介绍
5）偏离均衡价格时的套利： 如果期权的价值超过了$0.633，构造该 组合的成本就有可能低于$4.367，并将 获得超过无风险利率的额外收益； 如果期权的价值低于$0.633，那么卖空 该证券组合将获得低于无风险利率的资 金。
2、一般结论
1）条件： 考虑一个无红利支付的股票，股 票价格为S。 基于该股票的某个衍生证券的当 前价格为f。 假设当前时间为零时刻，衍生证 券给出了在T时刻的盈亏状况 。
看跌期权的价值是$4.1923。 利用每个单步二步二叉树向回倒推算， 也可以得到这个结果。
四、美式期权
1、方法： 从树图的最后末端向开始的起点倒推计 算。 在每个节点检验提前执行是否最佳。 在最后节点的期权价值与欧式期权在最 后节点的期权价值相同。
在较早的一些节点，期杈的价值是取如 下两者之中较大者： 1）．由公式f=e-rT[pfu+(1-p)fd] 求出的值。 2）．提前执行所得的收益。
该组合的现值 ( S u f u )e S f
rT
该组合的成本
则有: S f (Su f u )e
rT
rT
得到: f e [ pfu (1 p) f d ]
d 其中 : p ud e
rT
3、股票预期收益的无关性
衍生证券定价公式没有用到股票上升和 下降的概率。 人们感觉：假设如果股票价格上升的概 率增加，基于该股票的看涨期权价值也 增加，看跌期权的价值则减少。
3、风险中性估值(risk-neutralvaluation)： 把金融资产放在风险中性的世界去估值 即为期权和其它衍生证券估值时，世界 是风险中性的。 在风险中性世界中得到的价格，在现实 世界中也是正确的。
二叉树模型介绍
②期权定价: 在三个月末尾:看涨期权价值为$1的概率 为0.6523，价值为零的概率为0.3477。 看涨期权的期望值为： 0.6523×1+0.3477×0=$0.6523 期权现在的价值： f=0.6523e-0.12×0.25 =0.633
三、两步二叉树图
1、两步二叉树图的例子 1）条件： 开始的股票价格为$20，并在两步二叉树 图的每个单步二叉树图中，股票价格可 以上升10％或者下降10％。 我们假设在每个单步二叉树的步长是三 个月，无风险利率是年率12％。 期权的执行价格为$21
该组合的现值 ( S u f u )e S f
rT
该组合的成本
则有: S f (Su f u )e
rT
rT
得到: f e [ pfu (1 p) f d ]
d 其中 : p ud e
rT
3、股票预期收益的无关性
衍生证券定价公式没有用到股票上升和 下降的概率。 人们感觉：假设如果股票价格上升的概 率增加，基于该股票的看涨期权价值也 增加，看跌期权的价值则减少。
如果选取某个Δ值，以使得该组合的终值 对两个股票价格都是相等的，则该组合 就是无风险的。
22Δ—1=18Δ
Δ=0.25
一个无风险的组合是： 多头：0.25股股票 空头：一个期权
4）定价： 如果股票价格上升到$22，该组合的价值 为：22×0.25＝4.5 如果股票价格下跌到$18，该组合的价值 为：18×0.25＝4.5 无论股票价格是上升还是下降，在期权 有效期的末尾，该组合的价值总是$4.5。
第五讲期权定价理论I二叉树模型
记每步时长为Δt，那么单步二叉树模型下的期权价格 为：
f=e-rΔt[pfu +(1-p)fd] 其中，p=(erΔt-d)/(u-d)。由此可以计算出期初和第一步
到期时各个节点的期权价值：
fu=e-rΔt[pfuu+(1-p)fud] fd=e-rΔt[pfud+(1-p)fdd]
f=e-rΔt[pfu+(1-p)fd] 把fu和fd代入f可得：
f=e-2rΔt[ p2 fuu+2p(1-p)fud+(1-p)2 fdd] 因此，期权的价格为期权预期收益以无风险利率进行
贴现的现值。 想象一下，三步二叉树模型下期权的定价问题。
16
（四）看跌期权的情形
例5：考虑如下图11.7两年期的欧式看跌股票期 权，执行价格为52元，股票的当期价格为50元， 假设时期分为两步，每步期长为1年，且每步 股票价格要么上涨20%，要么下跌20%，无风 险利率为5%。
23
（七）Δ
回忆：Δ是什么？ Δ=(fu–fd)/(S0u-S0d) 什么意思？ Δ为期权价格变化与标的股票价格的变化之比； Δ为我们针对每个期权空头而持有的股票数量，
目的是构建一个无风险资产组合。 Δ对冲（delta hedging）通常是指构建一个无风险
对冲。看涨期权的Δ为正，看跌期权的Δ为负。 计算图11.1和11.7中的Δ。
26
4. 期货期权的定价 在风险中性世界里，期货的价格增长率为0。假设期货
的为期F0，初因价此格，为F0，时间长度为Δt的期货的期望价格也 E(FT)=pF0u+(1-p)F0d=F0 p=(1-d)/(u-d) 例10：一个期货的当前价格为31，波动率为30%，无风
二叉树定价模型知识讲解
二叉树定价模型期权定价的二叉树模型Cox、Ross和Rubinstein提出了期权定价的另一种常用方法二叉树（binomial tree）模型，它假设标的资产在下一个时间点的价格只有上升和下降两种可能结果，然后通过分叉的树枝来形象描述标的资产和期权价格的演进历程。
本章只讨论股票期权定价的二叉树模型，基于其它标的资产如债券、货币、股票指数和期货的期权定价的二叉树方法，请参考有关的书籍和资料。
8.1一步二叉树模型我们首先通过一个简单的例子介绍二叉树模型。
例8.1 假设一只股票的当前价格是$20，三个月后该股票价格有可能上升到$22，也有可能下降到$18. 股票价格的这种变动过程可通过图8.1直观表示出来。
在上述二叉树中，从左至右的节点（实圆点）表示离散的时间点，由节点产生的分枝（路径）表示可能出现的不同股价。
由于从开始至期权到期日只考虑了一个时间步长，图8.1表示的二叉树称为一步（one-step）二叉树。
这是最简单的二叉树模型。
一般地，假设一只股票的当前价格是，基于该股票的欧式期权价格为。
经过一个时间步（至到期日T）后该股票价格有可能上升到相应的期权价格为；也有可能下降到相应的期权价格为. 这种过程可通过一步（one-step）二叉树表示出来，如图8.2所示。
我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。
为了对该欧式股票期权定价，我们采用无套利（no arbitrage）假设，即市场上无套利机会存在。
构造一个该股票和期权的组合（portfolio），组合中有股的多头股票和1股空头期权。
如果该股票价格上升到，则该组合在期权到期日的价值为；如果该股票价格下降到，则该组合在期权到期日的价值为。
根据无套利假设，该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相等，即有由此可得(8.1)上式意味着是两个节点之间的期权价格增量与股价增量之比率。
在这种情况下，该组合是无风险的。
以表示无风险利率，则该组合的现值（the present value）为 ,又注意到该组合的当前价值是，故有即将(8.1)代入上式，可得基于一步二叉树模型的期权定价公式为(8.2)(8.3)需要指出的是，由于我们是在无套利（no arbitrage）假设下讨论欧式股票期权的定价，因此无风险利率应该满足： .现在回到前面的例子中，假设相应的期权是一个敲定价为$21，到期日为三个月的欧式看涨权，无风险的年利率为12%，求该期权的当前价值。
二叉树期权定价模型
二叉树期权定价模型
二叉树期权定价模型是指基于二叉树构建的期权定价模型，该模型结合了终值定理（Binomial Option Pricing Model；BOPM）和二叉树的理论。
该模型的精确性比一般的期权定价模型（即欧式期权定价模型）要高，为投资者提供了更多的信息和选择。
二叉树期权定价模型以股票价格移动变量来构建定价模型，而欧式期权定价模型只考虑股票价格固定。
该模型使用二叉树，其中每个分支都对应一定的定价模型，以确定期权价格。
该方法有三个基本步骤：1）构建二叉树；2）确定期权执行价值；3）通过使用backward卷积，利用当前价格和当前的期权价值，来决定每个分支的期权价格。
二叉树期权定价模型具有不同的算法变种，它们能够捕获市场（股价）的单向和双向变化，以及波动性。
它比欧式期权模型更精确，也更灵活，可以捕获一系列特殊事件，比如空头期权，复合期权，多元期权，多档次期权。
此外，二叉树期权定价模型还能够用来估算期权的损失或收益，并对复杂的期权进行定价。
总的来说，二叉树期权定价模型是一种简单的，有效的，能够捕获市场变化的定价模型，为投资者提供了更多的信息和选择。
该模型比较早出现于二十世纪九十年代，自此后逐渐普及，并得到广泛应用。
期权二叉树定价模型
期权二叉树定价模型期权二叉树定价模型是一种常用的金融衍生品定价模型，用于计算期权合约的公平价格。
该模型基于二叉树的数据结构，将时间分为离散的步长，在每个步长上模拟期权的价格变化。
在期权二叉树定价模型中，二叉树的每个节点表示期权的一个可能价格，树的每一层表示时间的一个步长。
从根节点开始，根据期权的流动性和到期前可执行的次数，构建二叉树模型。
在每个节点上，计算期权的价值，以确定其合理价格。
在构建二叉树模型时，需要考虑期权的标的价格、波动率、到期时间和无风险利率等因素。
这些因素将被用来计算每个节点上的期权价格。
在每个步长上，通过向上或向下移动树的节点，模拟标的价格的波动，从而更新节点上的期权价格。
在二叉树的叶子节点上，期权的价值是已知的，可以直接计算。
在其他节点上，通过对未来价格的概率分布进行加权，计算期权的合理价格。
树的最后一层即为到期时间，即期权到期时的状态。
根据到期状态计算出期权的现值，并通过向根节点回溯，确定期权的公平价格。
期权二叉树定价模型的优点在于能够在离散时间步长上快速确定期权的价格，并且可以灵活地应用于不同类型的期权合约。
此外，该模型对于包含多个期权合约的复杂结构，如欧洲期权、美式期权和亚洲期权等，也具有较高的适用性。
然而，期权二叉树定价模型也存在一些局限性。
首先，该模型假设标的价格的波动服从几何布朗运动，这在实际市场中并不成立，因此模型的有效性有一定的限制。
其次，通过选择适当的步长数和树的深度来平衡精确度和计算效率是一个挑战。
总的来说，期权二叉树定价模型是一个常用且有效的金融工具，可以用于估计期权合约的公平价格。
该模型基于二叉树的数据结构，通过离散时间步长模拟期权的价格变化，并通过回溯计算确定期权的公平价格。
虽然该模型存在一定的局限性，但在实际应用中仍被广泛应用。
期权二叉树定价模型是一种基于离散时间步长和二叉树结构的金融衍生品定价模型。
它是Black-Scholes模型的一种改进方法，通过模拟期权价格的变化来计算期权的公平价格。
第五章_二项树定价模型(金融衍生品定价理论讲义)
第五章二项树定价模型这一章我们讨论期权和期货的二项树定价模型，这一模型为理解衍生证券的定价和套期保值提供了简单但有力的饿方法。
至今为止，有三种不同的期权定价模型。
第一种模型是Black和Scholes（1973）建立的。
在市场无摩擦、存在可连续交易的假设下，由持有股票的多头头寸，和持有以此股票为标的物的欧式看涨期权的空头头寸，形成一个无风险的套期保值证券组合。
这种思路是解决期权定价问题的关键。
第二种模型是从Harrison和Kreps（1979）开始的。
在市场无摩擦和完备的假设下，市场无套利等价于存在唯一的等价鞅测度，市场上的任何证券的折现价格在这个测度之下为一个鞅。
第三种是比较直观的模型。
这种模型采用二项分布，是由Cox，Ross和Rubinstern（1979），Rendleman和Bartter （1979）独立得到的。
前两种模型需要随机微分方程和鞅等复杂的数学工具。
除了容易理解外，第三种模型——二项树定价模型。
不仅为欧式看涨期权提供闭形式的解，而且在用数字计算方法解决更复杂的美式期权定价问题时，这种方法也能提供解。
所以，我们先在这一章里介绍第三种模型——二项树定价模型。
该模型由Sharpe（1978）提出， Cox, Ross and Rubinstein（1979）对它进行了拓展。
尽管最初提出二项树定价模型的目的是为了避开随机分析来解释Black-Scholes-Merton模型，但现在该模型已成为对复杂衍生证券进行定价的标准数值计算程序。
关于后两种模型，我们在以后的章节中讨论。
在应用二项树定价模型时，最重要的是合成构造（synthetic construction）或者套期保值(hedging) 的概念。
为了给看涨期权定价，利用股票和债券去复制期权的值。
这个证券组合称为合成看涨期权。
由无套利原理，这个证券组合的成本等于期权的价格。
合成构造的程序不仅给出了期权的定价方式，也给出了套期保值的方法。
二叉树定价模型公式
二叉树定价模型公式一、引言二叉树定价模型是金融衍生品定价中常用的一种模型，其基本原理是将金融衍生品的未来现金流量进行离散化，并通过构建二叉树来模拟其未来可能的价格变动，从而计算得到衍生品的定价。
二、二叉树定价模型的基本原理二叉树定价模型是基于离散时间和离散价格的模型，它假设在每个时间点上，价格只有两种可能的变动方向，即上涨或下跌。
根据这种假设，可以构建一棵二叉树，其中每个节点表示一个时间点，每个节点的两个子节点分别表示价格上涨和下跌的情况。
通过计算每个节点的期望价格，可以得到衍生品的定价。
三、二叉树的构建需要确定二叉树的层数，即模拟的时间段。
然后，在每个时间点上，需要确定上涨和下跌的幅度以及对应的概率。
一般情况下，可以根据历史数据或市场预期来确定这些参数。
根据上涨和下跌的幅度和概率，可以计算出每个节点的期望价格。
四、期权定价对于期权的定价，可以使用二叉树模型来计算。
期权是一种金融衍生品，它给予持有人在未来某个时间点上以指定价格购买或出售某个标的资产的权利。
根据期权的特性，可以将其分为两类：看涨期权和看跌期权。
1. 看涨期权定价对于看涨期权，持有人有权以事先约定的价格在未来购买标的资产。
在二叉树模型中，可以计算每个节点上看涨期权的价值。
对于每个节点，计算看涨期权的价值等于期权在上涨和下跌两种情况下的价值的加权平均值。
最后，通过逐层回溯计算，可以得到期权的定价。
2. 看跌期权定价对于看跌期权，持有人有权以事先约定的价格在未来出售标的资产。
在二叉树模型中，可以计算每个节点上看跌期权的价值。
同样地，计算看跌期权的价值等于期权在上涨和下跌两种情况下的价值的加权平均值。
最后，通过逐层回溯计算，可以得到期权的定价。
五、优缺点分析二叉树定价模型的优点在于它相对简单，易于理解和计算。
它可以在离散的时间点上模拟未来价格变动，并且可以灵活地调整模型参数来适应不同的市场情况。
此外，二叉树定价模型还可以应用于不同类型的金融衍生品的定价，包括期权、期货、利率互换等。
二叉树期权定价模型概述
二叉树期权定价模型概述二叉树期权定价模型是一种基于二叉树结构的金融衍生品定价模型。
它是由美国学者Cox、Ross和Rubinstein在1979年提出的，也被称为CRR模型。
二叉树期权定价模型的核心思想是将时间分割成若干个小时间段，然后在每个时间段内构建一个二叉树，即"向上"和"向下"的可能价格路径。
通过从期权到期时的终点开始，逆向计算每个节点的价值，最终计算出期权的定价。
模型中的二叉树由两个重要的参数组成：上涨幅度(u)和下跌幅度(d)。
这两个参数反映了标的资产价格在不同时间段内上涨或下跌的可能性。
根据这两个参数的取值，可以构建出一棵二叉树，每个节点表示标的资产在相应时间段内的价格。
在每个节点上，可以计算出无风险利率下的期权价格。
对于看涨期权而言，其在节点上的价格由其未来收益和风险中性概率相乘得到。
而看跌期权的价格则是在节点上的看涨期权价格减去标的资产价格与期权的行权价格差值。
通过从终点开始逆向计算每个节点的期权价格，最终可以得到期权在初始节点上的定价。
需要注意的是，为了确保模型的有效性和稳定性，构建二叉树需要满足一些条件，如无套利机会、欧式期权等。
二叉树期权定价模型很好地解决了离散时间下的期权定价问题，并且计算简单、直观。
然而，在实际应用中，它可能存在一些局限，如对标的资产价格的预测不准确、二叉树节点数较多导致计算过于复杂等。
因此，二叉树期权定价模型通常用于简单的期权合约和教学研究中。
在复杂的市场环境下，一般会采用更精细的定价模型，如Black-Scholes模型。
二叉树期权定价模型的应用广泛，特别适用于离散时间下的期权定价问题。
它可以用于定价欧式期权、美式期权、亚式期权等各种类型的期权合约。
同时，由于其简单直观的计算方式，二叉树模型也常被用作其他复杂期权定价模型的验证工具。
在二叉树期权定价模型中，最关键的是确定二叉树的参数，即上涨幅度(u)和下跌幅度(d)。
二叉树定价原理
二叉树定价原理二叉树定价原理通常是指在金融数学中，使用二叉树模型来对具有不确定性收益的金融衍生品进行定价的方法。
这种方法由经济学家Fischer Black和Myron Scholes在1973年提出，后来由Robert C. Merton 进一步发展，因此也被称为B-S模型或Merton模型。
在二叉树模型中，未来的资产价格被表示为一系列的二元选择，即资产价格要么上升，要么下降。
每一时期的结束都是一个决策点，在这里投资者必须决定是否购买、持有或出售资产。
每一时期结束时，资产价格要么翻倍，要么减半，这取决于模型的参数设置。
这种结构形成了一个二叉树，每一层的节点代表在下一时期结束时的可能资产价格。
二叉树定价模型的核心思想是通过反向递归的方式来计算每个时期结束时资产的期望收益，并且结合无风险利率和资产的当前价格来计算期权的价格。
具体步骤如下：1. **构建二叉树**：根据资产的波动率和其他参数（如无风险利率、到期时间等）构建二叉树。
2. **计算内在价值**：从二叉树的最后一个节点开始向前计算每个期权的内在价值。
对于看涨期权，内在价值为max(S_T - K, 0)，其中S_T 是到期时的资产价格，K是执行价格。
对于看跌期权，内在价值为max(K - S_T, 0)。
3. **计算期权价格**：对于欧式期权，使用布莱克-斯科尔斯定价公式来计算期权价格。
该公式考虑了期权的内在价值和时间价值，公式如下：\[ C(S, t) = S_0N(d_1) - Ke^{-r(T-t)}N(d_2) \]\[ P(S, t) = Ke^{-r(T-t)}N(-d_2) - S_0N(-d_1) \]其中，\( C(S, t) \) 是看涨期权的价格，\( P(S, t) \) 是看跌期权的价格，\( S_0 \) 是当前资产价格，\( K \) 是执行价格，\( r \) 是无风险利率，\( T \) 是期权到期时间，\( t \) 是当前时间，\( N(\cdot) \) 是累积标准正态分布函数，\( d_1 \) 和\( d_2 \) 是由以下公式计算得到的：\[ d_1 = \frac{\ln(S_0/K) + (r + \sigma^2/2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}} \] \[ d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T-t} \]其中，\( \sigma \) 是资产价格的波动率。
二叉树期权定价模型
二叉树期权定价模型[编辑本段]二叉树期权定价模型概述Black-Scholes期权定价模型虽然有许多优点, 但是它的推导过程难以为人们所接受。
在1979年, 罗斯等人使用一种比较浅显的方法设计出一种期权的定价模型, 称为二项式模型(Binomial Model)或二叉树法(Binomial tree)。
二项期权定价模型由考克斯（J.C.Cox）、罗斯（S.A.Ross）、鲁宾斯坦（M.Rubi nstein）和夏普（Sharpe）等人提出的一种期权定价模型，主要用于计算美式期权的价值。
其优点在于比较直观简单，不需要太多数学知识就可以加以应用。
二项期权定价模型假设股价波动只有向上和向下两个方向，且假设在整个考察期内，股价每次向上(或向下)波动的概率和幅度不变。
模型将考察的存续期分为若干阶段，根据股价的历史波动率模拟出正股在整个存续期内所有可能的发展路径，并对每一路径上的每一节点计算权证行权收益和用贴现法计算出的权证价格。
对于美式权证，由于可以提前行权，每一节点上权证的理论价格应为权证行权收益和贴现计算出的权证价格两者较大者。
[编辑本段]构建二项式期权定价模型1973年，布莱克和舒尔斯(Blackand Scholes)提出了Black-Scholes期权定价模型，对标的资产的价格服从正态分布的期权进行定价。
随后，罗斯开始研究标的资产的价格服从非正态分布的期权定价理论。
1976年，罗斯和约翰·考科斯(John Cox)在《金融经济学杂志》上发表论文“基于另类随机过程的期权定价”，提出了风险中性定价理论。
1979年，罗斯、考科斯和马克·鲁宾斯坦(Mark Rubinstein)在《金融经济学杂志》上发表论文“期权定价：一种简单的方法”，该文提出了一种简单的对离散时间的期权的定价方法，被称为Cox-Ross-Rubinstein二项式期权定价模型。
二项式期权定价模型和布莱克-休尔斯期权定价模型，是两种相互补充的方法。
第八章 期权定价二叉树模型
S0u2d S0ud2 S0d3
其中，0<d<1<u
三、单步二叉树定价模型
• 构造由 单位的股票多头和一个单位衍生 证券的空头形成的投资组合，则 • 如股票价格上升，则投资组合的价值为：
S0u fu
• 若下跌，则组合的价值为： • S0 d f d
• 如果 取特殊值，使得股价无论上升还 是下降，其价值都相等，即
t t
其中，a e r t
第三节 利用二叉树模型给美式期权定价 • 一，基本方法 • 在每个节点都将二叉树模型所计算出来 的值与提前执行所得的收益进行比较， 取较大者。 • 二、例1
• 一份2年期的美式股票看跌期权，期权执 行价格为52，当前价格为50。假设用两 步二叉树模型，每步长一年，每步股票 价格或上升20%，或下跌20%。无风险利 率为5%。见下图
=5.0894
• 3、例2 • 假设标的资产为不付红利股票，其当前市场价 为50元,波动率为每年40%，无风险连续复利 年利率为10%，该股票5个月期的美式看跌期 权协议价格为50元，求该期权的价值。
4、倒推定价法总结
5、有红利资产期权的定价
• 课后自行阅读
6、构造树图的其他方法和思路
• 不作要求
72 47
f
4
9.4636
20
• 对于1.4147点，提前执行受益为-8，提前执行 不合算。但对9.4636，提前执行受益却为12， 所以要提前执行。故该点应为12。即
0
1.4147
f
4
12
20
• 这样，该美式看跌期权价值为：
f=e
0.051
（0.6282 1.4147+0.3718 12）
期权定价-二叉树模型
期权定价-二叉树模型期权定价是金融市场中的重要内容，它是根据期权的特点和市场条件来确定期权价格的过程。
二叉树模型是一种常用的期权定价方法之一，其基本思想是将时间离散化，并通过构建一个二叉树来模拟标的资产价格的变动。
在二叉树模型中，每个节点代表了一个特定的时刻，而每个节点之间的关系是通过上涨和下跌两种情况进行连接的。
通过调整上涨和下跌的幅度，可以模拟出不同标的资产的价格变动情况。
期权的定价在二叉树模型中可以通过回溯法进行计算。
首先，在最后一个节点上，根据期权的特点以及市场条件来确定期权的价值。
然后，逐步向前回溯，通过考虑不同的路径来计算每个节点上的期权价值。
在回溯过程中，需要考虑每个节点的两个子节点的权重，即上涨和下跌的概率。
这可以根据市场条件来确定，通常是基于历史数据进行估计。
然后，在回溯过程中，可以根据节点上的期权价值和子节点的权重来计算每个节点的期权价格。
通过不断回溯，最终可以得到期权的初始价值，即在当前市场条件下，期权价格应该是多少。
这个初始价值可以用作参考，帮助投资者做出合理的投资决策。
需要注意的是，二叉树模型是一个简化的模型，它有一些假设和限制。
首先，它假设标的资产的价格只有上涨和下跌两种情况，而忽略了其他可能的情况。
其次，它假设市场条件在整个期权有效期内保持不变，而实际情况可能是变化的。
因此，在使用二叉树模型进行期权定价时，需要注意这些假设和限制。
总而言之，期权定价是金融市场中的重要内容，二叉树模型是一种常用的定价方法。
通过构建二叉树模型，并根据回溯法计算每个节点上的期权价值，可以得到期权的初始价格。
然而，需要注意二叉树模型的假设和限制，并结合实际情况进行综合分析和判断。
期权定价是金融市场中的重要内容，其旨在确定期权的合理价格。
期权是一种金融工具，赋予购买者在期权到期时以约定价格购买或出售标的资产的权利。
很多投资者都希望能够在市场上买入或者卖出期权，以便于在未来某个时刻获得利润。
因此，了解期权的合理价格对投资者来说至关重要。
二叉树期权定价模型
支付已知红利率资产的期权定价
可通过调整在各个结点上的证券价格，算出期权价格；
如果时刻 it 在除权日之前，则结点处证券价格仍为：
Su j d i j , j 0,1,, i
如果时刻 it 在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：
S (1 )u j d i j
j 0,1, ,i
若在期权有效期内有多个已知红利率，则 it 时刻结点的相应的证券价格为：
2、保持不变，仍为 S ；
3、下降到原先的 d 倍，即 Sd
Su3
Su2
Su2
Su
Su
Su
S
S
S
S
Sd
Sd
Sd
Sd2 Sd2
Sd3
一些相关参数：
u e 3t
d1 u
pm
2 3
pd
t 12 2
r
q
2 2
1 6
t
2 1
pu
12 2
r q
2
6
控制方差技术 基本原理：期权A和期权B的性质相似，我们可以得到期权B的解析定价公
的波动率，mˆ i 为 i 在风险中性世界中的期望增长率， ik为 i 和 k 之间的瞬间相关系数）
常数利率和随机利率的蒙特卡罗模拟 利率为常数时：期权价值为（初始时刻设为0）：
.
f erT Eˆ fT
其中， Eˆ 表示风险中性世界中的期望。
利率为变量时：期权价值为（初始时刻设为0）： f Eˆ erT fT
j 0,1, ,i
注意：由于
u 1 d
，使得许多结点是重合的，从而大大简化了树图。
得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价 法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。
7.3 .1二叉树定价模型_bak
输出参数: Price 二叉树每个节点的价格,是一个N+1方阵.其中Price(1,1)就 是期权的价格. Option 期权在每个节点的现金流 例16:股票价格为52元,无风险收益率为10%,期权存续期为5个月,波 动率的标准差为0.4,在3个半月（折合时间倍数为3.5）发放红利 2.06元.欧式看跌期权执行价格为50,请用二叉树模型估计该看跌 期权的价格. 解:>> [Price,Option]=binprice(52, 50, 0.1, 5/12, 1/12, 0.4, 0, 0, 2.06, 3.5)
t0 (j,i) u的 指数
Δt
2Δt
3Δt Su3 (3,0)
资产价格二叉树
在时间iΔt,资产价 格有i+1种可能,可 表示为: Sujdi-j i=0,1,2,…N j=i, i-1,i-2,…0
d的 指数
Su2 (2,0)
Su2d (2,1) Sud (1,1)
Su (1,0) S (0,1) Sd (0,1) Sd2 (0,2)
（2）matlab计算期权的二叉树方法
① 调用现有函数 Matlab中计算欧式期权的CRR二叉树模型函数为binprice. 调用方式: [AssetPrice, OptionValue] = binprice(Price, Strike, Rate, Time, Increment, Volatility, Flag, DividendRate, Dividend, ExDiv) 输入参数: Increment: 时间的增量,即Δt,即步长 Flag: 期权的种类,Flag=1表示看涨,0表示看跌 DividentRate:（optional）红利发放率,默认值为0,表示没有红利,如 果给出了红利率,则Dividend值为0 Dividend（optional）标的资产价外的红利金额,默认值是0,如果 Dividend不为0,则DividendRate=0 ExDiv （optional）标的资产的除息日期. 可以理解为红利发放日至 期权起始日之间的天数,但是表示与increment（Δt）的倍数.
二叉树定价模型
期权定价的二叉树模型Cox、Ross和Rubinstein提出了期权定价的另一种常用方法二叉树（binomial tree）模型，它假设标的资产在下一个时间点的价格只有上升和下降两种可能结果，然后通过分叉的树枝来形象描述标的资产和期权价格的演进历程。
本章只讨论股票期权定价的二叉树模型，基于其它标的资产如债券、货币、股票指数和期货的期权定价的二叉树方法，请参考有关的书籍和资料。
8.1 一步二叉树模型我们首先通过一个简单的例子介绍二叉树模型。
例8.1 假设一只股票的当前价格是$20，三个月后该股票价格有可能上升到$22，也有可能下降到$18. 股票价格的这种变动过程可通过图8.1直观表示出来。
在上述二叉树中，从左至右的节点（实圆点）表示离散的时间点，由节点产生的分枝（路径）表示可能出现的不同股价。
由于从开始至期权到期日只考虑了一个时间步长，图8.1表示的二叉树称为一步（one-step）二叉树。
这是最简单的二叉树模型。
一般地，假设一只股票的当前价格是，基于该股票的欧式期权价格为。
经过一个时间步（至到期日T）后该股票价格有可能上升到相应的期权价格为；也有可能下降到相应的期权价格为. 这种过程可通过一步（one-step）二叉树表示出来，如图8.2所示。
我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。
为了对该欧式股票期权定价，我们采用无套利（no arbitrage）假设，即市场上无套利机会存在。
构造一个该股票和期权的组合（portfolio），组合中有股的多头股票和1股空头期权。
如果该股票价格上升到，则该组合在期权到期日的价值为；如果该股票价格下降到，则该组合在期权到期日的价值为。
根据无套利假设，该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相等，即有由此可得(8.1)上式意味着是两个节点之间的期权价格增量与股价增量之比率。
在这种情况下，该组合是无风险的。
以表示无风险利率，则该组合的现值（the present value）为,又注意到该组合的当前价值是，故有即将(8.1)代入上式，可得基于一步二叉树模型的期权定价公式为(8.2)(8.3)需要指出的是，由于我们是在无套利（no arbitrage）假设下讨论欧式股票期权的定价，因此无风险利率应该满足：.现在回到前面的例子中，假设相应的期权是一个敲定价为$21，到期日为三个月的欧式看涨权，无风险的年利率为12%，求该期权的当前价值。
课程资料：第45讲_二叉树期权定价模型
（二）二叉树期权定价模型1.单期二叉树定价模型期权价格=×+×U:上行乘数=1+上升百分比d:下行乘数=1-下降百分比【理解】风险中性原理的应用其中：上行概率=（1+r-d）/（u-d）下行概率=（u-1-r）/（u-d）期权价格=上行概率×C u/（1+r）+下行概率×C d/（1+r）【教材例7-10】假设ABC公司的股票现在的市价为50元。
有1股以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为52.08元，到期时间是6个月。
6个月以后股价有两种可能：上升33.33%，或者降低25%。
无风险利率为每年4%。
【答案】U=1+33.33%=1.3333d=1-25%=0.75=6.62（元）【例题•计算题】假设甲公司的股票现在的市价为20元。
有1份以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为21元，到期时间是1年。
1年以后股价有两种可能：上升40%，或者降低30%。
无风险利率为每年4%。
要求：利用单期二叉树定价模型确定期权的价值。
【答案】期权价格=（1+r-d）/（u-d）×C u/（1+r）=（1+4%-0.7）/（1.4-0.7）×7/（1+4%）=3.27（元）2.两期二叉树模型（1）基本原理：由单期模型向两期模型的扩展，不过是单期模型的两次应用。
【教材例7-11】继续采用[例7-10]中的数据，把6个月的时间分为两期，每期3个月。
变动以后的数据如下：ABC公司的股票现在的市价为50元，看涨期权的执行价格为52.08元，每期股价有两种可能：上升22.56%或下降18.4%；无风险利率为每3个月1%。
【解析】P=(1+1%-0.816)/(1.2256-0.816)=0.47363C U=23.02×0.47363/(1+1%)=10.80C d=0C0=10.80×0.47363/(1+1%)=5.06（2）方法：先利用单期定价模型，根据C uu和C ud计算节点C u的价值，利用C ud和C dd计算C d的价值；然后，再次利用单期定价模型，根据C u和C d计算C0的价值。
第8讲：二叉树期权定价模型
Binomial Trees and Option Valuation
6
组合的价值
The riskless portfolio is: long 0.25 shares short 1 call option The value of the portfolio in 3 months is 220.25 – 1 = 4.50 (no matter if the price is up or down) The value of the portfolio today (r =12% per annum) is 4.5e – 0.120.25 = 4.3670
17
两期二叉树定价A Two-Step Binomial Tree
24.2 22
B D
20
A
19.8
E
18
C
16.2
F
Stock: Price = $20, up or down by 10% in each quarter (3 months); there are two quarters. A call with a strike of $21. r = 12%.
Binomial Trees and Option Valuation
7
期权的价值
The portfolio that is long 0.25 shares short 1 option is worth 4.367 The value of the shares is D stock value = 5.000 (i.e., 0.2520 ) The value of the option is $0.633. D stock value – call value = 4.367 Call value = 5.000 – 4.367 = 0.633
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期权定价的二叉树模型
Cox、Ross和Rubinstein提出了期权定价的另一种常用方法二叉树（binomial tree）模型，它假设标的资产在下一个时间点的价格只有上升和下降两种可能结果，然后通过分叉的树枝来形象描述标的资产和期权价格的演进历程。
本章只讨论股票期权定价的二叉树模型，基于其它标的资产如债券、货币、股票指数和期货的期权定价的二叉树方法，请参考有关的书籍和资料。
8.1一步二叉树模型
我们首先通过一个简单的例子介绍二叉树模型。
例8.1 假设一只股票的当前价格是$20，三个月后该股票价格有可能上升到$22，也有可能下降到$18. 股票价格的这种变动过程可通过图8.1直观表示出来。
在上述二叉树中，从左至右的节点（实圆点）表示离散的时间点，由节点产生的分枝（路径）表示可能出现的不同股价。
由于从开始至期权到期日只考虑了一个时间步长，图8.1表示的二叉树称为一步
（one-step）二叉树。
这是最简单的二叉树模型。
一般地，假设一只股票的当前价格是，基于该股票的欧式期权价格为。
经过一个时间步（至到期日T）后该股票价格有可能上升到相应的期权价格为；也有可能下降到
相应的期权价格为. 这种过程可通过一步（one-step）二叉树表示出来，如图8.2所示。
我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。
为了对该欧式股票期权定价，我们采用无套利（no arbitrage）假设，即市场上无套利机会存在。
构造一个该股票和期权的组合（portfolio），组合中有股的多头股票和1股空头期权。
如果该股票价格上升到，则该组合在期权到期日的价值为；如果该股票价格下降到，则该组合在期权
到期日的价值为。
根据无套利假设，该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相等，即有
由此可得
(8.1)
上式意味着是两个节点之间的期权价格增量与股价增量之比率。
在这种情况下，该组合是无风险的。
以表示无风险利率，则该组合的现值（the present value）为,又注意到该组合的当前价值是，故有
即
将(8.1)代入上式，可得基于一步二叉树模型的期权定价公式为
(8.2)
(8.3)
需要指出的是，由于我们是在无套利（no arbitrage）假设下讨论欧式股票期权的定价，因此无风险利率应该满足： .
现在回到前面的例子中，假设相应的期权是一个敲定价为$21，到期日为三个月的欧式看涨权，无风险的年利率为12%，求该期权的当前价值。
已知：且在期权到期日，当时，该看涨权的价值为而当时，该看涨权的价值为
根据(8.3)和(8.2)，可得
.
上述期权定价公式(8.2)和(8.3)似乎与股价上升或下降的概率无关，实际上，在我们推导期权价值时它已经
隐含在股票价格中了。
不妨令股价上升的概率为，则股价下降的概率就是，在时间的期望股票价格为
如果我们假设市场是风险中性的（risk neutral），则所有证券的价格都以无风险利率增加，故有
于是，我们有
由此可得
与(8.3)比较，我们发现：，这就是参数的含义，我们称之为风险中性状态下股价上升的概率。
8.2两步二叉树模型
在一步二叉树模型中，股票和期权的价格只经过一个时间步的演化，如果初始时间距期权到期日的时间间隔太长，有可能造成计算误差太大的缺陷。
因此，在初始时间与期权到期日之间增加离散的时间点，缩短计算的时间步长，有助于提高计算精度。
现在我们将初始时间距期权到期日的时间T分成两个相等的时间步，则每个时间步长。
假设一只股票的初始价格是，基于该股票的欧式期权价格为，且每经过一个时间步，该股票价格或者增加到当前价格的倍，或者下降到当前价格的倍。
股票和期权价格的演化过程可通过如图8.3所示的二叉树表示出来，这种含有两个时间步长的二叉树称为两步二叉树（Two-step binomial trees）模型。
我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。
类似于一步二叉树模型的期权定价方法，采用无套利（no arbitrage）假设，由前向后（backward）逐步计算期权价值，我们得到
(8.4)
其中，
(8.5)
在(8.4)中，分别是风险中性状态下最后一个时间步股价到达上节点，中间节点和下节点的概率。
因此，期权的初始价值可认为是期权在到期日的期望价值贴现。
例8.2 假设一只股票的初始价格是$50，且每过1年该股票价格或者上升20%，或者下降20%，无风险利率为5%，现有一个基于该股票，敲定价为$52且2年后到期的欧式看跌权，试用二叉树模型确定该期权的价值。
分析将初始时间到期权到期日的2年时间分成相等的两个时间步，则股票和期权价格的演化进程可通过图4直观表示出来。
依题意，已知：
且在期权到期日，当时，该看跌权的价值为
当时，该看跌权的价值为
当时，该看跌权的价值为
根据(8.5)，可得
再由(8.4)，即可求得该看跌权的初始价值为
.
8.3多步二叉树模型
一步和两步二叉树模型太简单了，实际使用的二叉树要求具有多个离散的时间步长来计算期权的价值。
通常从初始时间到期权到期日需要分成30或更多个时间步长。
两步二叉树模型的欧式股票期权定价公式容易推广到多步二叉树模型的情形。
如果我们将初始时间距期权到期日的时间T分成个相等的时间步，则每个时间步长。
令股票的初始价格为，且每经过一个时间步，股价或向上增加到当前价格的倍，或向下下降到当前价格的倍，无风险利率为的，则在期权到期日，股票价格有种可能结果：
它们在风险中性状态下出现的概率分别是：
其中
(8.6)
令为与种股票价格对应的期权价值，为期权的敲定价，则在无套利假设下，股票看涨权在到期日的价值为
股票看跌权在到期日的价值为
将该期权在到期日的期望价值贴现，我们即可得到期权的（初始）价值为
(8.7)
关于参数的取值，Cox，Ross和Rubinstein给出了由股票价格波动率确定的公式：
(8.8)
8.4二叉树模型的美式股票期权定价
上面我们讨论了应用二叉树模型给欧式股票期权定价。
实际上，二叉树模型还可给美式股票期权定价。
美式和欧式股票期权在到期日的价值是相同的。
不同的是，美式股票期权的定价过程要求在到期前每一个离散时间点上判断提早执行（early exercise）是否最优，并计算对应的期权价值。
假设股票价格经历了个时间步的演化到达期权到期日，且每一个时间步长为，这可用一个步二叉树描述（图形省略）。
若股票的初始价格为，且每经过一个时间步，股价或向上增加到当前价格的倍，或向下下降到当前价格的倍，无风险利率为的，则在第
个时间步后，二叉树上产生个节点，自上而下分别用
表示，则节点对应的股票价格为期权价值用表示。
如果在节点处期权没有被提早执行，则期权价值可通过式(8.2)和(8.3)来计算，即
(8.9)
(8.10)
如果在节点处期权被提早执行是最优的，则期权价值就是提早执行的收益（payoff），令
为期权的敲定价，对股票看涨权，有
(8.11)
对股票看跌权，有
(8.12)
显然，美式股票期权在节点处的价值应该取中的较大者，即
(8.13)
由于美式股票期权在期权到期日的价值是已知的，因此美式股票期权的定价应该由前向后逐步计算，这也称作向后推演（backwards induction）。
先由第步（期权到期日）的个节点上的期权价值通过公式(8.9)~(8.13)推出第步对应的个节点上的期权价值，依此下去，我们可以得到初始时间上的期权价值。
下面通过一个例题具体介绍美式股票期权的二叉树定价过程。
例8.3 若例7.2考察的股票期权是美式的，试对该美式股票期权定价。
分析股票价格的演化进程见图8.5。
与欧式股票期权一样，在期权到期日，该美式看跌权的价值自上而下分别为
(8.12)，可得~根据式(8.9)
故有
(8.12)，可得 再由式(8.9)
美式看跌权的（初始）价值为
.。