湘教版高中数学必修一第一章《集合与函数》单元测试

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）数学：第一章《集合与函数》单元测试（湘教版必修1）一、选择题（本大题共10个小题；每小题3分，共30分）在每小题给出的四个结论中，只有一项是符合题目要求的，把正确结论的代号填入本大题后的答题表内. 1．已知全集U R =，集合{|212}M x x =-≤-≤和{|21,1,2,}N x x k k ==-=的关系的韦恩（Venn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 （ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．无穷多个 2．函数(0)y x x =-≤的反函数是（ ）A ．2(0)y x x =≥ B ．2(0)y x x =-≥C ．2(0)y x x =≤D ．2(0)y x x =-≤ 3．|x | < 2是|x | < 1的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件4．已知函数()224,0,4,0.x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩ 若()()22f a f a ->,则实数a 的取值范围是（ ） A ．()(),12,-∞-+∞B ．()1,2-C ．()2,1-D ．()(),21,-∞-+∞5．函数)(x f 在区间（－2，3）上是增函数，则)5(+=x f y 的递增区间是 （ ）A ．（3，8）B ．（－7，－2）C ．（－2，3）D ．（0，5）6．函数)(x f y =的定义域为[1，4]，则函数)(x f y =的定义域是 （ ）A ．[1，2]B ．[－2，2]C ．]1,2][]2,1[--D ．[1，16]7．已知复合命题“p 且q ”为假命题，则可以肯定的是 （ ）A ．p 为假命题B ．q 为假命题C ．p 、q 中至少有一个为假命D ．p 、q 均为假命题 8．已知y n xm x y x y x a a a log ,11log ,)1(log ,0,0,122则且=-=+>>=+等于（ ）A ．)(21n m + B ．)(21n m - C ．m + nD ．m －n 9．若不等式6|2|<+ax 的解集为（－1，2），则实数a 等于 （ ）A ．8B ．2C ．－4D ．－810．已知B A Z x x N x B x N x A 则,},1|{},5|{∈>∈=≤∈=等于 （ ） A ．{1,2,3,4,5} B ．{2,3,4}C ．{2,3,4,5,}D ．}51|{≤<∈x R x二、填空题（本大题共5个小题；每小题4分，共20分）把答案填在题中横线上.11．命题“若m > 0，则关于x 的方程x 2+ x －m = 0有实数根”的否命题是 . 12．函数29124)(x x x f -+-=的定义域为 .13．若函数=-⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=)))9200(((,)0(0)0()0(1)(2f f f x x x x x f 则π . 14．已知函数)1(,12)(2++=x f x x f 则函数的值域为 .15．对于任意定义在R 上的函数)(x f ，若实数x 0满足00)(x x f =，则称x 0是函数f (x )的一个不动点.若二次函数1)(2+-=ax x x f 没有不动点，则实数a 的取值范围是 . 三、解答题（本大题共5小题，共50分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16．（本小题满分8分） 试用定义判断函数),1(12)(+∞-=在区间x xx f 上的单调性．17．（本小题满分10分） 比较2122255++xx 与的大小.18．（本小题满分10分）已知边长为1的正方形ABCD （如图），P 是对角线BD 上的点，连结AP 延长AP 交BC或其延长线于Q ，设DP = x ，y 为△ADP 和△BPQ 的面积之和.写出y 关于x 的函数关系式.19．（本大题满分10分） 已知二次函数x x f f bx ax x f ==+=)(,0)2()(2且方程满足有等根.（1）求f (x )的解析式；（2）求f (x )的值域；（3）是否存在实数m 、n(m<n)，使f (x )的定义域和值域分别为[m ，n]和[4m ，4n].若存在，求出m 、n 的值；若不存在，请说明理由.20．（本大题满分12分）已知集合{})2(,,,,321≥=k a a a a A k 其中),,2,1(k i Z a i =∈，由A 中的元素构成两个相应的集合(){}A b a A b A a b a S ∈+∈∈=,,,，(){}A b a A b A a b a T ∈-∈∈=,,,，其中()b a ,是有序实数对，集合T S 和的元素个数分别为n m ,.若对于任意的A a A a ∉-∈，总有，则称集合A 具有性质P .（Ⅰ）检验集合{}3,2,1,0与{}3,2,1-是否具有性质P ，并对其中具有性质P 的集合写出 相应的集合T S 和； （Ⅱ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：()21-≤k k n ； （Ⅲ）判断n m 和的大小关系，并证明你的结论.参考答案一、选择题1．B 2．B 3．B 4．C 5．B 6．D 7．C 8．B 9．C 10．C1．B ；由{212}M x x =-≤-≤得31≤≤-x ，则{}3,1=⋂N M ，有2个． 2．B ；【解1】因为0x ≤，所以0y x =-≥，由y x =-，得2x y =-，所以(0)y x x =-≤的反函数为2(0)y x x =-≥．故选B ．【解2】（排除法）因为0x ≤，所以排除A,C ；又因为0y x =-≥，所以排除D ．故选B ．4．C ；【解法1】函数()24f x x x =+在0x ≥时是增函数,函数()24f x x x =-在0x <时是增函数,并且当0x =时, 2244x x x x +=-,所以, ()224,0,4,0.x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩在R 上是增函数．于是由()()22f af a ->得22,aa ->即220a a +-<，解得21a -<<．故选Ｃ．【解法2】画出函数()224,0,4,0.x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩的图象,可以看出,已知函数是R 上的增函数．于是由()()22f af a ->得22,aa ->即220a a +-<，解得21a -<<．故选Ｃ． 【解法3】用特殊值排除．当0a =时,()()()()222448,00f a f f a f -==+===, 不等式()()22f a f a ->成立,从而排除A,D ；当1a =-时, ()()()()221145,1415f a f f a f -==+==-=--=-, 不等式()()22f a f a ->成立,从而排除B ．故选C ． 二、填空题11．若m ≤0，则关于x 的方程x 2+ x －m = 0没有实数根； 12．}32{； 13．12+π； 14．[)+∞,3； 15．13<<-a三、解答题16．解：设211x x <<…………2分则)1)(1()(2)()(211221---=-x x x x x f x f…………4分01010,1211221>->->-∴<<x x x x x x…………5分0)1)(1()(22112>---∴x x x x…………6分)()(,0)()(2121x f x f x f x f >>-∴即 …………7分 故函数f (x )在区间（1，+∞）上递减. …………8分17．解：∵5＞1时或即当11,1,212222-<>>+>+∴x x x x x ， …………2分 2122255++>xx…………4分 当11,1,212222-===+=+x x x x x 或即时…………5分 2122255++=x x…………6分 当11,1,212222<<-<+<+x x x x 即时，…………7分 2122255++<xx…………9分212212222255,11;55,11++++=-==>-<>∴xxxxx x x x 时或当时或当；当.55,1121222++<<<-x xx 时…………10分 18．解：（1）x BP x DP -=∴=2,…………2分又△APD ∽△BPQ (]2,0,2∈-=∴x xxQB …………5分BP BQ PD AD y 22212221⋅+⋅=…………8分则：(]2,0,1)1(22∈-+=x xx y …………10分19．解：（1）0)2(,)(2=+=f bx ax x f.21,1,00)1(0)1(,)(02,02422-===--=∆∴=-+==+=+∴a b b x b ax x x f b a b a 即有等根即又即x x x f +-=∴221)(…………3分（2）2121)1(2121)(22≤+--=+-=x x x x f∴函数⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,)(的值域为x f…………6分（3）设有实数m 、n(m<n)使f (x )定义域为[m ，n]，值域为[4m ，4n] 当81214,21)(,1max ≤≤==n n x f x 即时…………7分⎩⎨⎧==∴nn f mm f n m x f 4)(4)(,],[)(则上是增函数在…………8分⎩⎨⎧=-==-=∴0606n n m m 或或，由于0,6,=-=∴<n m n m 取…………10分20．（Ⅰ）解：集合{}3,2,1,0不具有性质P ，{}3,2,1-具有性质P ，其相应的集合T S 和是()(){}()(){}3,2,1,2,1.3,3,1-=--=T S ； …………3分 （Ⅱ）证明：首先由A 中的元素构成的有序实数对共有2k 个，因为()T a a A i i ∈∈,,0),,2,1(k i =,又因为当A a A a ∉-∈时，，所以当()()T a a T a a i j j i ∉∈,,时，),,2,1(k i =． 于是集合T 中的元素的个数最多为()()121212-=-=k k k k n ，即()21-≤k k n ． …………6分（Ⅲ）解：n m =，证明如下：①对于()S b a ∈,，根据定义()T b b a A b a A b A a ∈+∈+∈∈,,，从而，则 如果()()d c b a ,,与是S 中的不同元素，那么d b c a ==与中至少有一个不成立，于是d c b a +=+与d b =中至少有一个不成立，故()b b a ,+与()d d c ,+也是T 中的不同元素.可见S 中的元素个数不多于T 中的元素个数，即n m ≤； (9)分②对于()T b a ∈,，根据定义()S b b a A b a A b A a ∈-∈-∈∈,,，从而，则 如果()()d c b a ,,与是T 中的不同元素，那么d b c a ==与中至少有一个不成立，于是d c b a -=-与d b =中至少有一个不成立，故()b b a ,-与()d d c ,-也是S 中的不同元素.可见T 中的元素个数不多于S 中的元素个数，即m n ≤． …………11分 由①、②可知n m =． …………12分。