2016年 图论及其应用1-3章习题答案(电子科大)
电子科技大学研究生试题《图论及其应用》(参考答案)
电子科技大学研究生试题《图论及其应用》(参考答案)考试时间：120分钟一．填空题(每题3分，共18分)1．4个顶点的不同构的简单图共有__11___个；2．设无向图G 中有12条边，已知G 中3度顶点有6个，其余顶点的度数均小于3。
则G 中顶点数至少有__9___个；3．设n 阶无向图是由k(k ?2)棵树构成的森林，则图G 的边数m= _n-k____;4．下图G 是否是平面图？答__是___; 是否可1-因子分解？答__是_.5．下图G 的点色数=)(G χ______, 边色数=')(G χ__5____。
图G二．单项选择(每题3分，共21分)1．下面给出的序列中，是某简单图的度序列的是( A )(A) (11123); (B) (233445); (C) (23445); (D) (1333).2．已知图G 如图所示，则它的同构图是（ D ）3． 下列图中，是欧拉图的是（ D ）4． 下列图中，不是哈密尔顿图的是（B ）5． 下列图中，是可平面图的图的是（B ）AC DA B CD6．下列图中，不是偶图的是（ B ）7．下列图中，存在完美匹配的图是（B ）三．作图(6分)1．画出一个有欧拉闭迹和哈密尔顿圈的图；2．画出一个有欧拉闭迹但没有哈密尔顿圈的图；3．画出一个没有欧拉闭迹但有哈密尔顿圈的图；解： 四．(10分)求下图的最小生成树，并求其最小生成树的权值之和。
解：由克鲁斯克尔算法的其一最小生成树如下图：权和为：20.五．(8分)求下图G 的色多项式P k (G).解：用公式(G P k -G 的色多项式：)3)(3)()(45-++=k k k G P k 。
六．(10分) 22，n 3个顶点的度数为3，…，n k 个顶点的度数为k ，而其余顶点的度数为1，求1度顶点的个数。
解：设该树有n 1个1度顶点，树的边数为m.一方面：2m=n 1+2n 2+…+kn k另一方面：m= n 1+n 2+…+n k -1 v v 13图G由上面两式可得：n 1=n 2+2n 3+…+(k -1)n k七．证明：(8分) 设G 是具有二分类(X,Y)的偶图，证明(1)G 不含奇圈；（2）若|X |≠|Y |，则G 是非哈密尔顿图。
电子科技大学-图论第一次作业-
课本习题一：
4. 证明下面两图同构。
v1
u1
v2
v6
v10 v5
v7
v8 v9
v3
v4 (a)
u6 u5
u2
u8
u10
u3
u7
u9
u4
(b)
证明:作映射 f : vi ↔ ui (i=1,2….10)
容易证明，对vi v j E ((a)),有 f (v i vj,),,ui,uj,,E,((b))
中不
3.设 G 是阶大于 2 的连通图，证明下列命题等价：
（1）
G 是块
（2）
G 无环且任意一个点和任意一条边都位于同一
个圈上；
（3）
G 无环且任意三个不同点都位于同一条路上。
： 是块，任取 的一点 ，一边 ，在 边插入一点 ，使得 成为两条边，由此 得到新图 ，显然 的是阶数大于 的块，由定理 4， 中的 u,v 位于同一个 圈上，于是 中 u 与边 都位于同一个圈上。
件下的不同构的情形，则从上面穷举出的情况可以看出四个顶点的非同构简单图
有 11 个。
11.证明：序列（7,6,5,4,3,3,2）和（6,6,5,4,3,3,1）
不是图序列。
证明：由于 7 个顶点的简单图的最大度不会超过 6，因此序列（7,6,5,4,3,3,2）不
是图序列；
（6,6,5,4,3,3,1）是图序列
(G1) 2 最小边割{（6,5），（8,5）} {（6,7），（8,7）}{（6,9），（8,9）}
1j 10 ) 由图的同构定义知，图(a)与(b)是同构的。
5.证明：四个顶点的非同构简单图有 11 个。
证明：设四个顶点中边的个数为 m，则有：
图论习题答案
图论习题答案
《图论习题答案》
图论作为数学中的一个重要分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
在学习
图论的过程中，我们常常会遇到各种各样的习题，通过解答这些习题可以帮助
我们更好地理解图论的知识。
下面就让我们来看一些图论习题的答案吧。
1. 问：一个图中有多少条边？
答：一个图中的边数可以通过计算每个顶点的度数之和再除以2来得到。
2. 问：一个图中有多少个连通分量？
答：一个图中的连通分量可以通过使用深度优先搜索或广度优先搜索来求得。
3. 问：一个图中是否存在欧拉回路？
答：一个图中存在欧拉回路的充分必要条件是每个顶点的度数都是偶数。
4. 问：一个图中是否存在哈密顿回路？
答：一个图中存在哈密顿回路的判定是一个NP难题，目前还没有有效的多项式时间算法。
5. 问：一个图中的最小生成树有多少条边？
答：一个图中的最小生成树的边数恰好等于顶点数减一。
通过解答这些图论习题，我们可以更好地掌握图论的基本概念和算法。
图论不
仅在数学领域有着重要的应用，而且在计算机科学、电信网络等领域也有着广
泛的应用。
因此，熟练掌握图论知识对我们的学习和工作都有着重要的意义。
希望通过本文的分享，能够帮助大家更好地理解图论知识，提高解决问题的能力。
同时也希望大家在学习图论的过程中能够多多练习，勇于挑战各种各样的
图论习题，不断提升自己的图论水平。
祝大家在图论的学习道路上取得更大的
进步！。
电子科技大学-图论第二次作业
习题四：3. (1)画一个有Euler闭迹和Hamilton圈的图；(2) 画一个有Euler闭迹但没有Hamilton圈的图；(3) 画一个有Hamilton圈但没有Euler闭迹的图；(4) 画一个即没有Hamilton圈也没有Euler闭迹的图;解：找到的图如下：(1)一个有Euler闭迹和Hamilton圈的图；(2)—个有Euler闭迹但没有Hamilton圈的图;⑶一个有Hamilton圈但没有Euler闭迹的图;(4)一个即没有Hamilton圈也没有Euler闭迹的图.4. 设n阶无向简单图G有m条边，证明：若2 ) * ',则G是血加此"图。
证明：G是H图。
若不然，因为G是无向简单图，则n芝3,由定理％若G是n芝3的非单图，则G、一 ...C …度弱丁某个阵".于是有：- - 1 2 E(G)| E(C m,n ) - m (n 2m)(n m 1) m(m 1)1.这与条件矛盾！所以G 是H 图若G 有个奇点，则存在k 条边不重的迹Q1・Q 矿心，使得 E(G) = E(Q 】)U E(Q J U E(Q 3) U …U E(Q k ) 证明：不失一般性，只就 G 是连通图进行证明。
设 G=(n, m)是连通图。
令 虬 V 2,…,v,V k+1,…,v 是G 的所有奇度点。
在V i与v i+k 问连新边e i 得图G* (1三隹k). 则G*是欧拉图，因此，由Fleury 算法得欧拉环游C 在C 中删去e i (1m M k).得 k 条边不重的迹Qi (1 MiMk):E(G) E(Q1^E(Q2^^E(Qk)10. 证明：若：(1) G 不是二连通图，或者(2) G 是具有二分类|(X,Y)的偶图，这里|X” |Y|则G 是非Hamilton 图。
证明：(1) G|不是二连通图，则G 不连通或者存在割点v ,俨任-v) >2 ,由丁课本 上的相关定理：若G 是Hamilton 图，则对丁*勇)的任意非空顶点集S,有： w(G- S) <|S|,则该定理的逆否命题也成立，所以可以得出：若不是二连通图， 则G 是非Hamilton 图(2)因为是具有二分类(XI)的偶图，乂因为|X|丰1丫1,在这里假设|X| < |Y|,则有 w(G-X) = |Y|>|X|，也就是说：对北(G)|的非空顶点集S,有：w(G-S)>||S|成 立，则可以得出则G 是非Hamilton 图。
图论及其应用 第一章答案
)2214(题后两个算法不作要求题，除第图的基本概念<1.>若G 是简单图，证明：()()2V G E G ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭。
证明：()()1()()()1v Gd v V G d v V G V G ∈≤-∴≤-∑（当且仅当G 是完全图时取等号） 又11()()()()122v G E G d v V G V G ∈=≤-∑ ()()2V G E G ⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭。
<2.>设G 是(,)p q 简单图，且12p q -⎛⎫>⎪⎝⎭。
求证G 为连通图。
证明：反证法，假设G 为非连通图。
设G 有两个连通分支1G 和2G ，且112212()1,()1,V G p V G p p p p =≥=≥+= 则1212()()22p p E G E G q ⎛⎫⎛⎫+=≤+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而1211221(1)(1)(1)(2)222222p p p p p p p p p -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+-=+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222221212121222()2()222p p p p p p p p p p +-+-+-+++-==12(1)(1)0p p =--≤（因为121,1p p ≥≥），矛盾。
<3.>超图H 是有序二元组((),())V H E H ，其中()V H 是顶点非空有限集合，()E H 是()V H 的非空子集簇，且()()i i E E H E V H ∈=。
其中，()E H 中的元素i E 称为超图的边，没有相同边的超图称为简单超图。
证明：若H 是简单超图，则21υε≤-，其中,υε分别是H 的顶点数和边数。
证明：()V H υ=，有一条边的子集个数为1υ⎛⎫ ⎪⎝⎭，有i 条边的子集个数为,1,,.i n i υ⎛⎫= ⎪⎝⎭又02,211i i υυυυυυυ=⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∴++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 。
<4.>若G 是二部图，则2()()4V G E G ≤。
图论及应用习题答案
图论及应用习题答案图论及应用习题答案图论是数学中的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
图论在现实生活中有着广泛的应用，涵盖了许多领域，如计算机科学、通信网络、社交网络等。
本文将为读者提供一些关于图论及应用的习题答案，帮助读者更好地理解和应用图论知识。
1. 图的基本概念题目：下面哪个不是图的基本概念？A. 顶点B. 边C. 路径D. 线段答案：D. 线段。
图的基本概念包括顶点、边和路径。
线段是指两个点之间的连线，而在图论中，我们使用边来表示两个顶点之间的关系。
2. 图的表示方法题目：以下哪个不是图的表示方法？A. 邻接矩阵B. 邻接表C. 边列表D. 二叉树答案：D. 二叉树。
图的表示方法包括邻接矩阵、邻接表和边列表。
二叉树是一种特殊的树结构，与图的表示方法无关。
3. 图的遍历算法题目：以下哪个不是图的遍历算法？A. 深度优先搜索B. 广度优先搜索C. 迪杰斯特拉算法D. 克鲁斯卡尔算法答案：D. 克鲁斯卡尔算法。
图的遍历算法包括深度优先搜索和广度优先搜索，用于遍历图中的所有顶点。
迪杰斯特拉算法是用于求解最短路径的算法，与图的遍历算法有所不同。
4. 最小生成树题目：以下哪个算法不是用于求解最小生成树？A. 克鲁斯卡尔算法B. 普里姆算法C. 弗洛伊德算法D. 公交车换乘算法答案：D. 公交车换乘算法。
最小生成树是指包含图中所有顶点的一棵树，使得树的边的权重之和最小。
克鲁斯卡尔算法和普里姆算法是常用的求解最小生成树的算法，而弗洛伊德算法是用于求解最短路径的算法，与最小生成树问题有所不同。
5. 图的应用题目：以下哪个不是图的应用？A. 社交网络分析B. 路径规划C. 图像处理D. 数字逻辑电路设计答案：D. 数字逻辑电路设计。
图的应用广泛存在于社交网络分析、路径规划和图像处理等领域。
数字逻辑电路设计虽然也涉及到图的概念，但与图的应用有所不同。
总结：图论是一门重要的数学分支，具有广泛的应用价值。
通过本文提供的习题答案，读者可以更好地理解和应用图论知识。
图论及其应用1-3章习题答案(电子科大) (1)
学号：201321010808 姓名：马涛习题14．证明图1-28中的两图是同构的证明 将图1-28的两图顶点标号为如下的(a)与(b)图作映射f : f(v i )→u i (1≤ i ≤ 10)容易证明，对∀v i v j ∈E((a)),有f(v i v j )=u i u j ∈E((b)) (1≤ i ≤ 10, 1≤j ≤ 10 ) 由图的同构定义知，图1-27的两个图是同构的。
6．设G 是具有m 条边的n 阶简单图。
证明：m =⎪⎪⎭⎫⎝⎛2n 当且仅当G 是完全图。
证明 必要性 若G 为非完全图，则∃ v ∈V(G),有d(v)< n-1 ⇒ ∑ d(v) < n(n-1) ⇒ 2m <n(n-1)⇒ m < n(n-1)/2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛2n , 与已知矛盾！充分性 若G 为完全图，则 2m=∑ d(v) =n(n-1) ⇒ m= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2n 。
9.证明：若k 正则偶图具有二分类V = V 1∪V 2，则 | V 1| = |V 2|。
(a)v 1v 2 v 3 v 4v 5 v 6v 7v 8 v 9v 10 u 1 u 2u 3u 4u 5 u 6 u 7 u 8 u 9 u 10 (b)证明 由于G 为k 正则偶图，所以，k | V 1 | =m = k | V 2 | ⇒ ∣V 1∣= ∣V 2 ∣。
12.证明：若δ≥2，则G 包含圈。
证明 只就连通图证明即可。
设V(G)=｛v 1,v 2,…,v n ｝,对于G 中的路v 1v 2…v k ,若v k 与v 1邻接，则构成一个圈。
若v i1v i2…v in 是一条路，由于δ≥ 2，因此，对v in ，存在点v ik 与之邻接，则v ik ⋯v in v ik 构成一个圈 。
17.证明：若G 不连通，则G 连通。
证明 对)(,_G V v u ∈∀,若u 与v 属于G 的不同连通分支，显然u 与v 在_G 中连通；若u 与v 属于g 的同一连通分支，设w 为G 的另一个连通分支中的一个顶点，则u 与w ，v 与w 分别在_G 中连通，因此，u 与v 在_G 中连通。
图论及应用参考答案
图论及应用参考答案图论及应用参考答案图论是数学中的一个重要分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
图由节点（顶点）和边组成，节点代表对象，边代表对象之间的关系。
图论不仅在数学中有广泛的应用，也在计算机科学、物理学、生物学等领域中发挥着重要的作用。
本文将介绍图论的基本概念和一些应用。
一、图论的基本概念1. 图的类型图分为有向图和无向图。
有向图中的边有方向，表示节点之间的单向关系；无向图中的边没有方向，表示节点之间的双向关系。
2. 图的表示方法图可以用邻接矩阵或邻接表来表示。
邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示节点之间是否有边相连；邻接表是一个链表数组，数组中的每个元素对应一个节点，链表中存储了该节点相邻的节点。
3. 图的性质图的性质包括节点的度、连通性和路径等。
节点的度是指与该节点相连的边的数量；连通性指的是图中任意两个节点之间是否存在路径；路径是指由边连接的节点序列。
二、图论在计算机科学中的应用1. 最短路径算法最短路径算法是图论中的经典问题之一，它用于计算图中两个节点之间的最短路径。
著名的最短路径算法有迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。
这些算法在网络路由、地图导航等领域中有广泛的应用。
2. 最小生成树算法最小生成树算法用于找到一个连通图的最小生成树，即包含所有节点且边的权重之和最小的子图。
普里姆算法和克鲁斯卡尔算法是常用的最小生成树算法。
这些算法在电力网络规划、通信网络设计等领域中有重要的应用。
3. 图的着色问题图的着色问题是指给定一个图，将每个节点着上不同的颜色，使得相邻节点之间的颜色不同。
这个问题在地图着色、任务调度等方面有实际应用。
三、图论在物理学中的应用1. 粒子物理学在粒子物理学中，图论被用来描述和分析粒子之间的相互作用。
图论模型可以帮助研究粒子的衰变、散射等过程，为理解物质的基本结构提供了重要的工具。
2. 统计物理学图论在统计物理学中也有应用。
例如，渗透模型中的图可以用来研究流体在多孔介质中的渗透性质，为石油勘探、水资源管理等提供了理论基础。
2016年 图论及其应用1-3章习题答案(电子科大)
习题1： 4,5,11,12,17,184．证明 将图1-28的两图顶点标号为如下的(a)与(b)图作映射f : f(v i )→u i (1≤ i ≤ 10)容易证明，对∀v i v j ∈E((a)),有f(v i v j )=u i u j ∈E((b)) (1≤ i ≤ 10, 1≤j ≤ 10 ) 由图的同构定义知，图1-28的两个图是同构的。
5.分析：四个顶点的简单图最少边数为 0，最多边数为 6，所以可按边数进行枚举。
11.证明 由于7个顶点的简单图的最大度不会超过6，因此序列(7,6,5,4,3,3,2)不是图序列；(6,6,5,4,3,3,1)是图序列⇔（5，4，3，2，2，0）是图序列，然（5，4，2，2，0）不是图序列，所以(6,6,5,4,3,3,1) 不是图序列。
12.证明 只就连通图证明即可。
设V(G)=｛v 1,v 2,…,v n ｝,对于G 中的路v 1v 2…v k ,(a)v 1v 2v 3v 4 v 5 v 6v 7v 8 v 9v 10 u 1 u 2 u 3 u 4u 5 u 6u 7 u 8 u 9u 10(b)若v k 与v 1邻接，则构成一个圈。
若v i1v i2…v in 是一条路，由于δ≥ 2，因此，对v in ，存在点v ik 与之邻接，则v ik ⋯v in v ik 构成一个圈 。
17.证明 对)(,_G V v u ∈∀,若u 与v 属于G 的不同连通分支，显然u 与v 在_G 中连通；若u 与v 属于g 的同一连通分支，设w 为G 的另一个连通分支中的一个顶点，则u 与w ，v 与w 分别在_G 中连通，因此，u 与v 在_G 中连通。
18.证明: 因为e 只能属于G 的某一个连通分支,所以只需考虑G 是连通图的情况. 若G − e 仍然连通,则ω(G) = 1 = ω(G − e) < 2 = ω(G) + 1. 若G − e 不连通,则ω(G) = 1 < 2 = ω(G − e) = ω(G) + 1.习题2: 1,9,161. 证明 设是非平凡树T 中一条最长路，若则与在中的邻接点只能有一个，否则，若与除了中顶点之外的其他顶点相连，则可以继续延长，这与是最长路是相矛盾的。
电子科技大学研究生试题《图论及其应用》(参考答案)
电子科技大学研究生试题《图论及其应用》(参考答案)考试时间：120分钟一．填空题(每题3分，共18分)1．4个顶点的不同构的简单图共有__11___个；2．设无向图G 中有12条边，已知G 中3度顶点有6个，其余顶点的度数均小于3。
则G 中顶点数至少有__9___个；3．设n 阶无向图是由k(k ≥2)棵树构成的森林，则图G 的边数m= _n-k____;4．下图G 是否是平面图？答__是___; 是否可1-因子分解？答__是_.5．下图G 的点色数=)(G χ______, 边色数=')(G χ__5____。
图G图G二．单项选择(每题3分，共21分)1．下面给出的序列中，是某简单图的度序列的是( A )(A) (11123); (B) (233445); (C) (23445); (D) (1333).2．已知图G 如图所示，则它的同构图是（ D ）3． 下列图中，是欧拉图的是（ D ）4． 下列图中，不是哈密尔顿图的是（B ）5． 下列图中，是可平面图的图的是（B ）A Bb c123A B 3CDAD6．下列图中，不是偶图的是（ B ）7．下列图中，存在完美匹配的图是（B ）三．作图(6分)1．画出一个有欧拉闭迹和哈密尔顿圈的图；2．画出一个有欧拉闭迹但没有哈密尔顿圈的图；3．画出一个没有欧拉闭迹但有哈密尔顿圈的图；解：四．(10分)求下图的最小生成树，并求其最小生成树的权值之和。
A B DC123A B DC解：由克鲁斯克尔算法的其一最小生成树如下图：权和为：20.五．(8分)求下图G 的色多项式P k(G).解：用公式)()()(e G P G P e G P k k k •+=-，可得G 的色多项式：)3)(2()1()()(3)()(2345---=++=k k k k k k k G P k 。
六．(10分) 一棵树有n 2个顶点的度数为2，n 3个顶点的度数为3，…，n k 个顶点的度数为k ，而其余顶点的度数为1，求1度顶点的个数。
图论第二次作业 电子科技大学
图论第二次作业一、第四章4.3（1）画一个有Euler 闭迹和Hamilton 圈的图； （2）画一个有Euler 闭迹但没有Hamilton 圈的图； （3）画一个有Hamilton 圈但没有Euler 闭迹的图； （4）画一个既没有Euler 闭迹也没有Hamilton 圈的图； 解：（1）一个有Euler 闭迹和Hamilton 圈的图形如下：（2）一个有Euler 闭迹但没有Hamilton 圈的图形如下：（3）一个有Hamilton 圈但没有Euler 闭迹的图形如下：（4）一个既没有Euler 闭迹也没有Hamilton 圈的图形如下：4.7证明：若G 没有奇点，则存在边不重的圈C 1,C 1,....,C m ,使得E(G)=E(C 1) E(C 2) ..... E(C m )。
证明：将G 中孤立点除去后的图记为G 1,则G 1也没有奇点，且δ(G 1)≥2，则G 1含圈C 1，在去掉G 1-E(C 1)的孤立点后，得图G 2，显然G 2仍无奇度点，且(G 2)≥2，从而G 2含圈C 2，如此重复下去，直到圈C m ，且G m -E(C m )全为孤立点为止，于是得到E(G) E(C 1) E(C 2) ... E(C m )。
4.10证明：若（1）G 不是二连通图，或者（2）G 是具有二分类(X,Y)的偶图，这里|X|≠|Y|， 则G 是非Hamilton 图。
证明：（1）因为G 不是二连通图，则G 不连通或者存在割点V ，有w(GV)2，由相关定理得：若G 是Hamilton 图，则对于V(G)的任意非空顶点集S ，有：w(GS)S ，则该定理得逆否命题也成立，所以可得：若G 不是二连通图，则G 是非Hamilton 图。
（2）因为G 是具有二分类(X,Y)的偶图，又因为|X|≠|Y|，在这里假设|X|≠|Y|，则有w(G-X)=Y>X ，也就是说：对于V(G)的非空顶点集S ，有：w(G-S)>S 成立，则可以得出G 是非Hamilton 图。
电子科技大学图论及其应用 第1章
例 判断下面两图是否同构。
u1
v1
解 两图不同构。 若两图同构，则两图中唯一的与环关联的两个点u1与v1一定 相对应，而u1的两个邻接点与v1的两个邻接点状况不同，u1 邻接有4度点，而v1没有。 所以，两图不同构。
例 指出4个顶点的非同构的所有简单图。
分析：四个顶点的简单图最少边数为0，最多边数为6，所以 可按边数进行枚举。 解 (a) (b) (c)
四、顶点的度、度序列
设v为G 的顶点，G 中以v为端点的边的条数(环计算两次)称 为点v的度数，简称为点v的度，记为dG (v)，简记为d(v)。 相关术语和记号
G ： 图G 的顶点的最小度
G ：图G 的顶点的最大度
奇点：度数为奇数的顶点 偶点：度数为偶数的顶点 k-正则图: 每个点的度均为k 的简单图 例如，完全图和完全偶图Kn, n 均是正则图。
完全偶图是指具有二分类(X, Y )的简单偶图，其中X的 每个顶点与Y 的每个顶点相连，若 |X|=m，|Y|=n，则这 样的偶图记为Km,n。
例
偶图
不是偶图
例
G1
G2
K1, 3
K3, 3
四个图均为偶图
K1, 3, K3, 3为完全偶图
偶图是一种常见数学模型。
例 学校有6位教师将开设6门课程。六位教师的代号分别是 xi (i=1,2,3,4,5,6 )，六门课程代号是yi (i=1,2,3,4,5,6 )。已知教 师x1能够胜任课程y2和y3；教师x2能够胜任课程y4和y5；教师 x3能够胜任课程y2；教师x4能够胜任课程y6和y3；教师x5能够 胜任课程y1和y6；教师x6能够胜任课程y5和y6。请画出老师和 课程之间的状态图。 解
dG (v) dG (v) n 1 。
电子科技大学《图论及其应用》复习总结--第一章图的基本概念
电⼦科技⼤学《图论及其应⽤》复习总结--第⼀章图的基本概念⼀、重要概念图、简单图、图的同构、度序列与图序列、偶图、补图与⾃补图、两个图的联图、两个图的积图1.1 图⼀个图G定义为⼀个有序对(V, E)，记为G = (V, E)，其中（1）V是⼀个有限⾮空集合，称为顶点集或边集，其元素称为顶点或点；（2）E是由V中的点组成的⽆序点对构成的集合，称为边集，其元素称为边，且同⼀点对在E中可出现多次。
注：图G的顶点数（或阶数）和边数可分别⽤符号n(G) 和m(G)表⽰。
连接两个相同顶点的边的条数，叫做边的重数。
重数⼤于1的边称为重边。
端点重合为⼀点的边称为环。
1.2 简单图⽆环⽆重边的图称为简单图。
（除此之外全部都是复合图）注： 1.顶点集和边集都有限的图称为有限图。
只有⼀个顶点⽽⽆边的图称为平凡图。
其他所有的图都称为⾮平凡图。
边集为空的图称为空图。
2.n阶图：顶点数为n的图，称为n阶图。
3.(n, m) 图：顶点数为n的图，边数为m的图称为(n, m) 图1.3 邻接与关联：顶点u与v相邻接：顶点u与v间有边相连接(u adj v)；其中u与v称为该边的两个端点。
注：1.规定⼀个顶点与⾃⾝是邻接的。
2.顶点u与边e相关联：顶点u是边e的端点。
3.边e1与边e2相邻接：边e1与边e2有公共端点。
1.4 图的同构设有两个图G1=(V1,E1)和G2=(V2,E2),若在其顶点集合间存在双射，使得边之间存在如下关系：u1,v1∈V1,u2,v2∈ V2 ，设u1↔u2，v1↔v2,; u1v1∈E1 当且仅当u2v2∈E2,且u1v1与u2v2的重数相同。
称G1与G2同构，记为：G1≌G2注：1、图同构的两个必要条件： (1) 顶点数相同；(2) 边数相同。
2、⾃⼰空间的理解：通过空间的旋转折叠可以进⾏形态转换1.5 完全图、偶图1、在图论中，完全图是⼀个简单图，且任意⼀个顶点都与其它每个顶点有且只有⼀条边相连接。
电子科大图论 第二次作业(4、5章) 答案(优.选)
，在这里假设
,则有
,也就是说：对于
的非空顶点集 ，有：
成
立，则可以得出则 是非 Hamilton 图。
习题五
1. (1)证明：每个 k 方体都有完美匹配(k 大于等于 2)
(2) 求 K2n 和 Kn,n 中不同的完美匹配的个数。 证明一：证明每个 k 方体都是 k 正则偶图。 事实上，由 k 方体的构造：k 方体有 2k 个顶点，每个顶点可以用长度为 k 的二进 制码来表示，两个顶点连线当且仅当代表两个顶点的二进制码只有一位坐标不 同。如果我们划分 k 方体的 2k 个顶点，把坐标之和为偶数的顶点归入 X，否则 归入 Y。显然，X 中顶点互不邻接，Y 中顶点也如此。所以 k 方体是偶图。又不 难知道 k 方体的每个顶点度数为 k,所以 k 方体是 k 正则偶图。 由推论：k 方体存在完美匹配。 证明二：直接在 k 方体中找出完美匹配。
10．证明：若：
（1） 不是二连通图，或者
（2） 是具有二分类 的偶图，这里
,
1 / 4word.
则 是非 Hamilton 图。
证明：（1） 不是二连通图，则 不连通或者存在割点 ,有
,由于课本
上的相关定理：若 是 Hamilton 图，则对于
的任意非空顶点集 ，有：
,则该定理的逆否命题也成立，所以可以得出：若 不是二连通图，
所以 可以表示为四个边不重的 2 因子之和，对于每个分解出的因子的路径为：
, 则 的四条路径为：
,
, ,
则生成圈 是 圈之和。
, 与 的两个端点连线生成的。所以可以将 表示为四个生成
13.
3 / 4word.
所以最小的权值之和为 30
图论及其应用2016年春-期末考试-无答案
1图论及其应用研究生试卷一．填空题(每空3分，共30分)1.若n 阶图G 是自补图，则其边数为______________。
2．若简单图G 的边数为m ，则其所有不同生成子图(包括G 和空图)的个数为________。
3.设1G 是11(,)n m 图，设2G 是22(,)n m 图，且它们不相交，则它们的联图12G G G =∨的边数为__________。
4.设图G 的邻接矩阵()ij n n A a ⨯=，则图中从顶点i v 到顶点j v 中长度为k的途径条数为__________________。
5.设G 是一个9阶简单图，且不含有完全子图4K ，则G 能够达到的最多边数为________________。
6.图1中树的中心为_______________。
7.图2中最大生成树的权值为____________。
168 13147105 129172431116 15图 11 244 3 33 4 5 12图2图3u x1 4 52 12 3 26 3 2y wz图 428.图3中，割点数为____，割边数为____，块数为_____. 9.设图G 的顶点数为n 且5连通，则其边数至少为_________。
10.图4的最优欧拉环游的总权值为_______。
二．单项选择(每题3分，共15分) 1．下列说法错误的是( )(A) 若一个图中存在闭途径，则一定存在圈； (B) 偶图中不存在奇圈；(C) 无向图的顶点之间的连通关系一定是等价关系； (D). 存在非平凡简单图G ，使得每个顶点的度数互不相同。
2．设图G 是一个非平凡块，下列说法错误的是（ ） (A) G 中一定有圈；(B) 若G 的阶数大于等于3，则G 中任意两点必位于某一圈上； (C) 若G 的阶数大于等于3，则G 中任意两条边必位于某一圈上； (D) 若G 的阶数大于等于3，则G 中没有割边。
3. 关于欧拉图，下面说法错误的是( ) (A) 欧拉图中每个顶点度数一定为偶数； (B) 顶点度数为偶数的图一定是欧拉图； (C) 有向欧拉图中每个顶点的入度一定等于出度； (D) 有向欧拉图的边集合可以划分为有向圈。
电子科大图论答案(优.选)
图论第三次作业一、第六章2.证明：根据欧拉公式的推论，有m ≦l*(n-2)/(l-2),(1)若deg(f)≧4,则m ≦4*(n-2)/2=2n-4;(2)若deg(f)≧5,则m ≦5*(n-2)/3,即：3m ≦5n-10;(3)若deg(f)≧6,则m ≦6*(n-2)/4,即：2m ≦3n-6.3.证明：∵G 是简单连通图，∴根据欧拉公式推论，m ≦3n-6;又，根据欧拉公式：n-m+φ=2,∴φ=2-n+m ≦2-n+3n-6=2n-4.4.证明：(1)∵G 是极大平面图，∴每个面的次数为3，由次数公式：2m==3φ,由欧拉公式：φ=2-n+m,∴m=2-n+m,即：m=3n-6.(2)又∵m=n+φ-2,∴φ=2n-4.(3)对于3n >的极大可平面图的的每个顶点v ，有()3d v ≥，即对任一一点或者子图，至少有三个邻点与之相连，要使这个点或子图与图G 不连通，必须把与之相连的点去掉，所以至少需要去掉三个点才能使()(H)w G w G <-，由点连通度的定义知()3G κ≥。
5.证明：假设图G 不是极大可平面图，那么G 不然至少还有两点之间可以添加一条边e ，使G+e 仍为可平面图，由于图G 满足36m n =-，那么对图G+e 有36m n '=-，而平面图的必要条件为36m n '≤-，两者矛盾，所以图G 是极大可平面图。
6.证明：(1)由()4G δ=知5n ≥当n=5时，图G 为5K ，而5K 为不可平面图，所以6n ≥，（由()4G δ=和握手定理有24m n ≥，再由极大可平面图的性质36m n =-，即可得6n ≥）对于可平面图有()5G δ≤，而6n ≥，所以至少有6个点的度数不超过5.(2)由()5G δ=和握手定理有25m n ≥，再由极大可平面图的性质36m n =-，即可得12n ≥，对于可平面图有()5G δ≤，而12n ≥，所以至少有12个点的度数不超过5.二、第七章2.证明：设n=2k+1,∵G 是Δ正则单图，且Δ>0,∴m(G)==>k Δ,由定理5可知χˊ(G)=Δ(G)+1.28.解： (1)又：=k(k-1)(k-2)2(k-3)+k(k-1)2(k-2)=k(k-1)(k-2)(k2-4k+5)=k(k-1)(k-2)2(k-3),所以，原图色多项式为：k(k-1)(k-2)2(k2-4k+5)-k(k-1)(k-2)2(k-3)=k(k-1)(k-2)2(k2-5k+8)(2)∵原图与该图同构，又，同构的图具有相同的色多项式，所以原图色多项式为：k(k-1)(k-2)2(k2-5k+8)。
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习题1： 4,5,11,12,17,18
4．
证明 将图1-28的两图顶点标号为如下的(a)与(b)图
作映射f : f(v i )→u i (1≤ i ≤ 10)
容易证明，对∀v i v j ∈E((a)),有f(v i v j )=u i u j ∈E((b)) (1≤ i ≤ 10, 1≤j ≤ 10 ) 由图的同构定义知，图1-28的两个图是同构的。
5.
分析：四个顶点的简单图最少边数为 0，最多边数为 6，所以可按边数进行枚举。
11.
证明 由于7个顶点的简单图的最大度不会超过6，因此序列(7,6,5,4,3,3,2)不是图序列；
(6,6,5,4,3,3,1)是图序列⇔（5，4，3，2，2，0）是图序列，然（5，4，2，2，0）不是图序列，所以(6,6,5,4,3,3,1) 不是图序列。
12.
证明 只就连通图证明即可。
设V(G)=｛v 1,v 2,…,v n ｝,对于G 中的路v 1v 2…v k ,
(a)
v 1
v 2
v 3
v 4 v 5 v 6
v 7
v 8 v 9
v 10 u 1 u 2 u 3 u 4
u 5 u 6
u 7 u 8 u 9
u 10
(b)
若v k 与v 1邻接，则构成一个圈。
若v i1v i2…v in 是一条路，由于δ≥ 2，因此，对v in ，存在点v ik 与之邻接，则v ik ⋯v in v ik 构成一个圈 。
17.
证明 对)(,_G V v u ∈∀,若u 与v 属于G 的不同连通分支，显然u 与v 在_
G 中连通；若u 与v 属于g 的同一连通分支，设w 为G 的另一个连通分支中的一个顶点，则u 与w ，v 与w 分别在_
G 中连通，因此，u 与v 在_
G 中连通。
18.
证明: 因为e 只能属于G 的某一个连通分支,所以只需考虑G 是连通图的情况. 若G − e 仍然连通,则ω(G) = 1 = ω(G − e) < 2 = ω(G) + 1. 若G − e 不连通,则ω(G) = 1 < 2 = ω(G − e) = ω(G) + 1.
习题2: 1,9,16
1. 证明 设
是非平凡树T 中一条最长路，若
则与在
中的邻接点只能有一个，否则，若与除了中顶点之外的其他顶点相连，则可以继续延长，这与是最长路是相矛盾的。
若与上的某顶点相连，则就构成了圈，这与数相矛盾，推出不是最长路。
即说明与是树叶，则与均是一
度的。
所以非平凡树的最长路的起点和终点均是度的。
9.
证明 由于是连通非平凡的且每个顶点度数为偶数，所以中至少存在圈,
从中去掉
中的边，得到的生成子图
,若
没有边，则的边集合能划分为
圈。
否则，的每个度数均为偶数的连通图，反复这样抽取，最终划分为若
干圈。
设
是的边划分中的一个圈。
若仅由此圈组成，则显然是闭迹。
否则，
由于连通，所以，必然存有公共顶点。
于是，
是一条含有
与
的边的
迹，如此拼接下去，得到包含的所有边的一条闭迹.
16.
解：（1）不能，Kruskal 算法得到的任何生成树一定是最小生成树。
（2）可以，步骤如下：
步骤一：选择边e1，是的)(1e ω尽可能小；
步骤二：若已选定边i e e e ,...,,21，则从},...,{\21i e e e E 选取1+i e ，使}],...,[{121+i e e e G 为无圈图，)(1+i e ω是满足a 的尽可能小的权；
步骤三：当步骤二不能继续执行时停止；
习题3：1,3,7,12,13
1. 证明
充分性: 是的割边，故
至少含有两个连通分支，设是其中一个连通
分支的顶点集，是其余分支的顶点集，对
12,u V v V ∀∈∀∈，因为中的不连
通，而在中与连通，所以在每一条
路上，中的
必含。
必要性：取
12,u V v V ∈∈，由假设中所有
路均含有边，从而在中
不存在从与到的路，这表明不连通，所以e 是割边。
3. 证明
（1）→（2）：
错误！未找到引用源。
是块，任取错误！未找到引用源。
的一点错误！未找到引用源。
，一边错误！未找到引用源。
，在错误！未找到引用源。
边插入一点错误！未找到引用源。
，使得错误！未找到引用源。
成为两条边，由此得到新图1G ，显然错误！未找到引用源。
的是阶数大于3的块，由定理，错误！未找到引用源。
中的u,v 位于同一个圈上，于是错误！未找到引用源。
中u 与边错误！未找到引用源。
都位于同一个圈上。
（2）→（3）:
无环，且任意一点和任意一条边都位于同一个圈上，任取错误！未找到引用源。
的点u ，边e ，若错误！未找到引用源。
在错误！未找到引用源。
上，则三个不同点位于同一个闭路，即位于同一条路，如错误！未找到引用源。
不在错误！未找到引用源。
上，由定理，错误！未找到引用源。
的两点在同一个闭路上，在错误！未找到引用源。
边插入一个点v ，由此得到新图错误！未找到引用源。
，显然错误！未找到引用源。
的是阶数大于3的块，则两条边的三个不同点在同一条路上。
(3)→(1):
错误！未找到引用源。
连通，若错误！未找到引用源。
不是块，则错误！未找到引用源。
中存在着割点错误！未找到引用源。
，划分为不同的子集块错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
无环，12,x v y v ∈∈，点错误！未找到引用源。
在每一条错误！未找到引用源。
的路上，则与已知矛盾，错误！未找到引用源。
是块。
7.
证明 是单图的割点，则有两个连通分支。
现任取
, 如
果
不在
的同一分支中，令
是与
处于不同分支的点，那么，
与
在
的补图中连通。
若在
的同一分支中，则它们在
的补图中邻接。
所以，若是的割点，则不是补图的割点。
12. 解：
()12
G κ= 最小点割 {6,8}
1()2G λ= 最小边割{（6,5），（8,5）}
()25
G κ= 最小点割{6,7,8,9,10}
2()5G λ= 最小边割{（2,7）…（1,6）}
13. 解： 通常
.
整个图为，割点
左边的图
为
的的子图，
，则
.
e
H。