2014年上海市普陀区第二次高考模拟考 数学(文科)
2014年上海市高考数学试卷(文科)
2014年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．（4分）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是．2．（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•=．3．（4分）设常数a∈R，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，若f（2）=1，则f（1）=．4．（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程．5．（4分）某校高一、高二、高三分别有学生1600名，1200名，800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为．6．（4分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为．7．（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的大小为（结果用反三角函数值表示）8．（4分）在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图所示，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于．9．（4分）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为．10．（4分）设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=（a3+a4+…a n），则q=．11．（4分）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是．12．（4分）方程sinx+cosx=1在闭区间[0，2π]上的所有解的和等于．13．（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．14．（4分）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为．二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣117．（5分）如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB是大正方形的一条边，P i（i=1，2，…，7）是小正方形的其余顶点，则•（i=1，2，…，7）的不同值的个数为（）A．7 B．5 C．3 D．118．（5分）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A．无论k，P1，P2如何，总是无解B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解C．存在k，P1，P2，使之恰有两解D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解三、解答题（共5小题，满分74分）19．（12分）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．20．（14分）设常数a≥0，函数f（x）=．（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．21．（14分）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l 分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E的方程，并证明y轴为曲线E的分隔线．23．（18分）已知数列{a n}满足a n≤a n+1≤3a n，n∈N*，a1=1．（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）若{a n}是等比数列，且a m=，求正整数m的最小值，以及m取最小值时相应{a n}的公比；（3）若a1，a2，…a100成等差数列，求数列a1，a2，…a100的公差的取值范围．2014年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
2014年上海市高考数学卷(文)详解版
2014年上海市数学高考真题（文）一、填空题（本大题共14小题，满分56分）1．函数212cos (2)y x =-的最小正周期是___________．2T π=2．若复数12z i =+，其中i 是虚数单位，则1·z z z ⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________．6 3．设常数a ∈R ，函数2()1f x x x a =-+-．若(2)1f =，则(1)f =___________．34．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________．2x =-5．某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样．若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为___________．706．若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为___________．227．若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成的角的大小为___________（结果用反三角函数值表示）．1arcsin3α= 8．在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于___________．249．设,0,()1,0.x a x f x x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为___________．2a ≤10．设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若1a =34lim()n n a a a →∞+++，则q =___________．152-+ 11．若2132()f x x x -=-，则满足()0f x <的x 的取值范围是___________．01x <<12．方程sin 3cos 1x x +=在区间[0,2]π上的所有的解的和等于___________．73π 13．为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是___________（结果用最简分数表示）．11514．已知曲线2:4C x y =--，直线:6l x =．若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l上的Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为___________．[2,3] 二、选择题（本大题共4小题，满分20分）15．设,a b R ∈，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的（ B ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件16．已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{}{}22,,a b a b =，则a b +=（ D ）A ．2B ．2C ．0D ．1-17．如图，四个边长为1的小正方体排成一个大正方形，AB 是大正方形的一条边，(1,2,,7)i P i =是小正方形的其余顶点，则·(1,2,,7)i AB AP i =的不同值的个数为（ C ）A ．7B ．5C ．3D ．118．已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ B ）A ．无论12,,k P P 如何，总是无解B ．无论12,,k P P 如何，总有唯一解C ．存在12,,k P P ，使之恰有两解D ．存在12,,k P P ，使之有无穷多解三、解答题（本大题共有5小题，满分74分）19．底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是三角形123PP P ，如图，求123PP P 的各边长及此三棱锥的体积V ．解：在123PP P 中，1323,PA P A PC PC ==， 所以AC 是中位线，故122 4.PP AC ==同理，23314, 4.P P P P ==所以123PP P 是等边三角形，各边长均为4. 设Q 是ABC 的中心，则PQ ⊥平面ABC ， 所以22223, 6.33AQ PQ AP AQ ==-=从而，122.33ABC V S PQ =⋅=20．设常数0a ≥，函数2()2x x af x a+=-．（1）若4a =，求函数()y f x =的反函数1()y f x -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由．解：（1）因为2424x x y +=-，所以4(1)2,1xy y +=-得1y <-1,y >且24(1)log 1y x y +=-. 因此，所求反函数为124(1)()log ,11x f x x x -+=<-- 1.x > （2）当0a =时，()1f x =，定义域为R ，故函数()y f x =是偶函数；当1a =时，21(),21x xf x +=-定义域为(,0)(0,),-∞⋃+∞2121()()2121x x x x f x f x --++-==-=---，故函数()y f x =是奇函数；当0a >且1a ≠时，定义域22(,log )(log ,)a a -∞⋃+∞关于原点不对称， 故函数()y f x =既不是奇函数，也不是偶函数.21．如图，某公司要在A ,B 两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC长35米，CB 长80米．设点A ,B 在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为α和β．（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求2αβ≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差．现在实测得38.12,18.45αβ︒︒==，求CD 的长（结果精确到0.01米）．解：（1）记CD h =.根据已知得tan tan 20αβ≥>，tan ,tan 3580h hαβ==，所以22800,351()80hh h ⨯≥>-解得20228.28h ≤≈.因此，CD 的长至多约为28.28米.（2）在ABD 中，由已知，56.57,115AB αβ︒+==，由正弦定理得sin sin()BD ABααβ=+，解得85.064.BD ≈在BCD 中，由余弦定理得2222cos ,CD BC BD BC BD β=+-⋅⋅ 解得26.93.CD ≈所以，CD 的长约为26.93米.22．在平面直角坐标系xOy 中，对于直线:0l ax by c ++=和点111222(,),(,)P x y P x y ，记1122()()ax by c ax by c η=++++．若0η<，则称点12,P P 被直线l 分隔．若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点12,P P 被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线． （1）求证；点(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分隔；（2）若直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线，求实数k 的取值范围；（3）动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E ．求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分隔线．解：（1）因为40,η=-<所以点,A B 被直线10x y +-=分隔.（2）直线y kx =与曲线2241x y -=有公共点的充要条件是方程组2241y kxx y =⎧⎨-=⎩有解，即1||.2k <因为直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线，故它们没有公共点，即1||2k ≥. 当1||2k ≥时，对于直线y kx =，曲线2241x y -=上的点(1,0)-和(1,0)满足20,k η=-<即点(1,0)-和(1,0)被y kx =分隔.故实数k 的取值范围是11(,][,).22-∞-⋃+∞（3）设M 的坐标为(,)x y ，则曲线E ||1,x =即222[(2)] 1.x y x +-⋅=对任意的00,(0,)y y 不是上述方程的解，即y 轴与曲线E 没有公共点.又曲线E 上的点(1,2)-和(1,2)对于y 轴满足0,η<即点(1,2)-和(1,2)被y 轴分隔. 所以y 轴为曲线E 的分割线.若过原点的直线不是y 轴，设其为y kx =.由222[(2)]10y kx x y x =⎧⎨+-⋅-=⎩得222[(2)]10x kx x +-⋅-=， 令222()[(2)]1f x x kx x =+-⋅-，因为2(0)(2)(1)[16(1)15]0f f k ⋅=-⋅-+<，所以方程()0f x =有实数解， 即直线y kx =与曲线E 有公共点，故直线y kx =不是曲线E 的分隔线. 综上可得，通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分隔线.23．已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤，*n ∈N ，11a =． （1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围； （2）设{}n a 是等比数列，且11000m a =，求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}n a 的公比； （3）若12100,,,a a a 成等差数列，求数列12100,,,a a a 的公差的取值范围．解：（1）由条件得263x ≤≤且933xx ≤≤，解得3 6.x ≤≤ 所以x 的取值范围是[3,6].（2）设{}n a 的公比为q .由133n n a a ≤，且110n n a a q -=≠，得0.n a > 因为1133n n n a a a +≤≤，所以13.3q ≤≤从而1111111(),3100010003m m m m a q q ----==≥≥，解得8m ≥.8m =时，1[,3].3q =所以，m 的最小值为8，8m =时，{}n a （3）设数列12100,,,a a a 的公差为.d则123,,1,2,,99.33n n n n n a a d a a d a n ≤+≤-≤≤=①当0d >时，999821,a a a a >>>>所以102d a <≤，即0 2.d <≤②当0d =时，999821,a a a a ====符合条件.③当0d <时，999821,a a a a <<<<所以999922,3a d a -≤≤2(198)2(198)3d d d -+≤≤+，又0d <，所以20.199d -≤< 综上，12100,,,a a a 的公差的取值范围为2[,2].199-。
数学_2014年某校高考数学二模试卷(文科)(含答案)
2014年某校高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合P ={3, 4, 5}，Q ={6, 7}，定义P ∗Q ={(a, b)|a ∈P, b ∈Q}，则P ∗Q 的子集个数为（ ）A 7B 12C 32D 64 2. 已知复数a−2i i=b +i （a ，b ∈R ，i 为虚数单位），则a −2b =( )A 1B 2C 3D 43. “p 或q 为真命题”是“p 且q 为真命题”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 4. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A 6B 8C 10D 12 5. 已知数阵[a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33]中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数也依次成等差数列，若a 22=8，则这9个数的和为（ ） A 16 B 32 C 36 D 726. 如图所示的程序框图，它的输出结果是（ ）A 3B 4C 5D 67. 已知三个实数2，m ，8构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m +y 22=1的离心率为（ ）A √22 B √3 C √22或√3 D √22或√628. 若a ≥0，b ≥0，且当{x ≥0y ≥0x +y ≤1时，恒有ax +by ≤1，则以a ，b 为坐标的点P(a, b)所形成的平面区域的面积是（ ） A 12B π4C 1D π29. 在平行四边形ABCD 中，AD =1，∠BAD =60∘，E 为CD 的中点．若AD →⋅BE →=12，则AB的长为（ ）A 12B 1C 32D 210. 过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF →=λFB →(λ>1)，则λ的值为（ ） A 5 B 4 C 43 D 5211. 已知函数f(x)对定义域R 内的任意x 都有f(x)＝f(4−x)，且当x ≠2时其导函数f′(x)满足xf′(x)>2f′(x)，若2<a <4则（ ）A f(2a )<f(3)<f(log 2a)B f(3)<f(log 2a)<f(2a )C f(log 2a)<f(3)<f(2a )D f(log 2a)<f(2a )<f(3)12. 函数f(x)={1−|x −1|,x ∈[0,2]12f(x −2)，x ∈(2,+∞)，则下列说法中正确命题的个数是（ ）①函数y =f(x)−ln(x +1)有3个零点；②若x >0时，函数f(x)≤kx 恒成立，则实数k 的取值范围是[32, +∞)；③函数f(x)的极大值中一定存在最小值；④f(x)=2k f(x +2k)，(k ∈N)，对于一切x ∈[0, +∞)恒成立． A 1 B 2 C 3 D 4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸的相应位置． 13. 若非零向量a →、b →，满足|a →|=|b →|，且(2a →+b →)⋅b →=0，则a →与b →的夹角大小为________． 14. 函数f(x)=sinx +cosx ，在各项均为正数的数列{a n }中对任意的n ∈N ∗都有f(a n +x)=f(a n −x)成立，则数列{a n }的通项公式可以为（写一个你认为正确的）________． 15. 将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax +by =0与圆(x −2)2+y 2=2有公共点的概率为________．16. 已知四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AA 1=2，底面ABCD 的边长均大于2，且∠DAB =45∘，点P 在底面ABCD 内运动且在AB ，AD 上的射影分别为M ，N ，若|PA|=2，则三棱锥P −D 1MN 体积的最大值为________．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤 17. 在△ABC 中，已知角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，直l 1:ax +y +1=0与直线l 2：(b 2+c 2−bc)x +ay +4=0互相平行（其中a ≠4） （1）求角A 的值，（2）若B ∈[π2，2π3)，求sin 2A+C 2+cos2B 的取值范围．18. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155, 160)，第二组[160, 165)，…，第八组[190, 195]，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人． （1）求第七组的频率；（2）估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180cm 以上（含180cm ）的人数； （3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x ，y ，事件E ={|x −y|≤5}，事件F ={|x −y|>15}，求P(E ∪F)．19. 如图，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD // BC ，AD =6，BC =4，AB =2，E 、F 分别在BC 、AD 上，EF // AB ．现将四边形ABEF 沿EF 折起，使得平面ABEF ⊥平面EFDC ．（1）当BE =1，是否在折叠后的AD 上存在一点P ，且AP →=λPD →，使得CP // 平面ABEF ？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；（2）设BE =x ，问当x 为何值时，三棱锥A −CDF 的体积有最大值？并求出这个最大值． 20. 已知函数f(x)=e x ，若函数g(x)满足f(x)≥g(x)恒成立，则称g(x)为函数f(x)的下界函数．（1）若函数g(x)=kx 是f(x)的下界函数，求实数k 的取值范围；（2）证明：对任意的m ≤2，函数ℎ(x)=m +lnx 都是f(x)的下界函数．21. 已知F 1、F 2是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，O 为坐标原点，点P(−1, √22)在椭圆上，线段PF 2与y 轴的交点M 满足PM →+F 2M →=0→.(1)求椭圆的标准方程；(2)圆O 是以F 1F 2为直径的圆，一直线l:y =kx +m 与圆O 相切，并与椭圆交于不同的两点A 、B ，当OA →⋅OB →=λ且满足23≤λ≤34时，求△OAB 的面积S 的取值范围．四、选做题：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22. 选修4一1：几何证明选讲如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线交直线AB于E，交过A点的切线于D，BC // OD．（1）求证：DE是圆O的切线；（2）如果AD=AB=2，求EB．【选修4-4：坐标系与参数方程】23. 在极坐标系内，已知曲线C1的方程为ρ2−2ρ(cosθ−2sinθ)+4=0，以极点为原点，极轴方向为x正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为{5x=1−4t5y=18+3t（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程以及曲线C2的普通方程；（2）设点P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的两条切线，求这两条切线所成角余弦的最小值．【选修4-5：不等式选讲】24. 设函数f(x)＝|2x+1|−|x−4|．（1）求不等式f(x)>2的解集；（2）求函数f(x)的最小值．2014年某校高考数学二模试卷（文科）答案1. D2. C3. B4. D5. D6. C7. C8. C9. D10. B11. C12. B13. 120∘14. a n=(n−34)π(n∈Z)15. 71216. 13(√2−1)17. 解：（1）l1 // l2，得a2=b2+c2−bc(a≠4)即b2+c2−a2=bc…∴ cosA=b2+c2−a22bc =bc2bc=12∵ A∈(0, π)，∴ A=π3．…（2）sin2A+C2+cos2B=cos2B2+2cos2B−1=cosB+12+2cos2B−1=2cos2B+12cosB−1 2=2(cosB+18)2−1732…∵ B∈[π2，2π3), ∴ cosB∈(−12，0]…∴ 2(cosB+18)2−1732∈[−1732,−14)…即sin2A+C2+cos2B的取值范围为[−1732，−14)…18. 解：（1）第六组的频率为450=0.08，所以第七组的频率为1−0.08−5×(0.008×2+0.016+0.04×2+0.06)=0.06；（2）身高在第一组[155, 160)的频率为0.008×5=0.04，身高在第二组[160, 165)的频率为0.016×5=0.08，身高在第三组[165, 170)的频率为0.04×5=0.2，身高在第四组[170, 175)的频率为0.04×5=0.2，由于0.04+0.08+0.2=0.32<0.5，0.04+0.08+0.2+0.2=0.52>0.5估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m，则170<m<175由0.04+0.08+0.2+(m−170)×0.04=0.5得m=174.5所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5由直方图得后三组频率为0.06+0.08+0.008×5=0.18，所以身高在180cm以上（含180cm）的人数为0.18×800=144人．（3）第六组[180, 185)的人数为4人，设为a，b，c，d，第八组[190, 195]的人数为2人，设为A，B，则有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，AB共15种情况，因事件E={|x−y|≤5}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况，故P(E)=715．由于|x−y|max=195−180=15，所以事件F={|x−y|>15}是不可能事件，P(F)=0由于事件E和事件F是互斥事件，所以P(E∪F)=P(E)+P(F)=715．19. CP // 平面ABEF成立．（2）∵ 平面ABEF⊥平面EFDC，ABEF∩平面EFDC=EF，AF⊥EF，∴ AF⊥平面EFDC，∵ BE=x，∴ AF=x，(0<x<4)，FD=6−x，故三棱锥A−CDF的体积V=13×12×2×(6−x)x=13[−(x−3)2+9]=−13(x−3)2+3，∴ x =3时，三棱锥A −CDF 的体积V 有最大值，最大值为3． 20. 解：（1）若g(x)=kx 为f(x)=e x 的下界函数，易知k <0不成立，而k =0必然成立． 当k >0时，若g(x)=kx 为f(x)=e x 的下界函数，则f(x)≥g(x)恒成立， 即e x −kx ≥0恒成立．令ϕ(x)=e x −kx ，则ϕ′(x)=e x −k ．易知函数ϕ(x)在(−∞, lnk)单调递减，在(lnk, +∞)上单调递增．由ϕ(x)≥0恒成立得ϕ(x)min =ϕ(lnk)=k −klnk ≥0，解得0<k ≤e ． 综上知0≤k ≤e ．（2）由（1）知函数G(x)=ex 是f(x)=e x 的下界函数，即f(x)≥G(x)恒成立． 由于 m ≤2，构造函数F(x)=ex −lnx −m(x >0)， 则 F′(x)=e −1x =ex−1x，易知F(x)min =F(1e )=2−m ≥0，即ℎ(x)=m +lnx 是G(x)=ex 的下界函数， 即G(x)≥ℎ(x)恒成立．所以f(x)≥G(x)≥ℎ(x)恒成立，即m ≤2时，ℎ(x)=m +lnx 是f(x)=e x 的下界函数． 21. 解：(1)∵ PM →+F 2M →=0→， ∴ 点M 是线段PF 2的中点， ∴ OM 是△PF 1F 2的中位线， 又OM ⊥F 1F 2， ∴ PF 1⊥F 1F 2，∴ {c =11a 2+12b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a 2=2，b 2=1，c 2=1， ∴ 椭圆的标准方程为x 22+y 2=1． (2)∵ 圆O 与直线l 相切， ∴√k 2+1=1，即m 2=k 2+1，由{x 22+y 2=1y =kx +m，消去y ， 得：(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0， ∵ 直线l 与椭圆交于两个不同点， ∴ Δ>0，∴ k 2>0，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 则x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−21+2k 2，y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m) =k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =m 2−2k 21+2k 2，OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=1+k 21+2k 2=λ，∵ 23≤λ≤34，∴ 23≤1+k 21+2k 2≤34，解得：12≤k 2≤1， S =S △AOB =12|AB|⋅1=12√1+k 2√(−4km 1+2k 2)2−42m 2−21+2k 2 =√2(k 4+k 2)4(k 4+k 2)+1，设μ=k 4+k 2，则34≤μ≤2，S =√2μ4μ+1=√24+1μ，μ∈[34，2]，∴ S 关于μ在[34,2]上单调递增， S(34)=√64，S(2)=23．∴√64≤S ≤23．22. （1）证：连接AC ，AB 是直径，则BC ⊥AC由BC // OD ⇒OD ⊥AC则OD 是AC 的中垂线⇒∠OCA =∠OAC ，∠DCA =∠DAC ，⇒∠OCD =∠OCA +∠DCA =∠OAC +∠DAC =∠DAO =90∘． ⇒OC ⊥DE ，所以DE 是圆O 的切线．（2） BC // OD ⇒∠CBA =∠DOA ，∠BCA =∠DAO ⇒△ABC ∽△AOD ⇒BC OA =AB OD ⇒BC =OA ⋅AB OD =1×2√5=2√55⇒BC OD =25⇒BE OE =25⇒BE OB =23 ⇒BE =2323. 解：（1）对于曲线C 1的方程为ρ2−2ρ(cosθ−2sinθ)+4=0，可化为直角坐标方程x 2+y 2−2x +4y +4=0，即(x −1)2+(y +2)2=1； 对于曲线C 2的参数方程为{5x =1−4t5y =18+3t（t 为参数），可化为普通方程3x +4y −15=0．（2）过圆心(1, −2)点作直线3x +4y −15=0的垂线，此时两切线成角θ最大，即余弦值最小．则由点到直线的距离公式可知，d =√32+42=4，则sin θ2=14，因此，cosθ=1−2sin 2θ2=78，因此两条切线所成角的余弦值的最小值是78．24. ①由{−x −5>2x <−12 ，解得x <−7； ②{3x −3>2−12≤x ≤4 ，解得53<x ≤4；③{x +5>2x >4，解得x >4；综上可知不等式的解集为{x|x <−7或x >53}．如图可知f(x)min =−92．。
数学_2014年上海市某校高考数学二模试卷(六)(文科)_(含答案)
2014年上海市某校高考数学二模试卷（六）（文科）一、填空题（共14小题，每小题0分，满分39分） 1. 方程组{x −2y −5=03x +y =8的增广矩阵为________．2. 已知集合M ={x|x 2<4, x ∈R}，N ={x|log 2x >0}，则集合M ∩N =________．3. 若Z 1=a +2i ，Z 2=|12i23|，且z 1z 2为实数，则实数a 的值为________．4. 用二分法研究方程x 3+3x −1=0的近似解x =x 0，借助计算器经过若干次运算得下表：05. 已知e →1、e →2是夹角为π2的两个单位向量，向量a →=e →1−2e →2，b →=ke →1+e →2，若a → // b →，则实数k 的值为________．6. 某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间[96, 106]，样本中净重在区间[96, 100)的产品个数是24，则样本中净重在区间[100, 104)的产品个数是________．7. 一个圆锥的底面积为4π，且该圆锥的母线与底面所成的角为π3，则该圆锥的侧面积为________．8. 公差为d ，各项均为正整数的等差数列{a n }中，若a 1=1，a n =65，则n +d 的最小值等于________．9. 设双曲线x 2−y 2=6的左右顶点分别为A 1、A 2，P 为双曲线右支上一点，且位于第一象限，直线PA 1、PA 2的斜率分别为k 1、k 2，则k 1⋅k 2的值为________．10. 设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长依次为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且S =a 2−(b −c)2，则sinA 1−cosA=________．11. 袋中装有7个大小相同的小球，每个小球上标记一个正整数号码，号码各不相同，且成等差数列，这7个号码的和为49，现从袋中任取两个小球，则这两个小球上的号码均小于7的概率为________．12. 设f(x)=ax 2+bx ，且1≤f(−1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(2)的最大值为________． 13. 已知△ABC 的重心为O ，AC =6，BC =7，AB =8，则AO →⋅BC →=________．14. 设f(x)是定义在R 上的函数，若f(0)=18，且对任意的x ∈R ，满足f(x +2)−f(x)≤3x ，f(x +4)−f(x +2)≥9×3x ，则f(8)=________．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分） 15. 二项式(x −1x )6展开式中x 4的系数为（ ）A 15B −15C 6D −616. 在△ABC 中，“AB →⋅AC →<0”是“△ABC 是钝角三角形”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 17. 设函数f(x)=|sinx|+cos2x,x ∈[−π2，π2]，则函数f(x)的最小值是（ ） A −1 B 0 C 12D 9818. 给出下列四个命题：①如果复数z 满足|z +i|+|z −i|=2，则复数z 在复平面的对应点的轨迹是椭圆．②若对任意的n ∈N ∗，(a n+1−a n −1)(a n+1−2a n )=0恒成立，则数列{a n }是等差数列或等比数列．③设f(x)是定义在R 上的函数，且对任意的x ∈R ，|f(x)|=|f(−x)|恒成立，则f(x)是R 上的奇函数或偶函数． ④已知曲线C ：√x 29−√y 216=1和两定点E(−5, 0)、F(5, 0)，若P(x, y)是C 上的动点，则||PE|−|PF||<6．上述命题中错误的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4三、解答题（共5小题，满分74分） 19.如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠BAC =π2，AB =AC =2，AA 1=6，点E 、F 分别在棱AA 1、CC 1上，且AE =C 1F =2．(1)求三棱锥A 1−B 1C 1F 的体积；(2)求异面直线BE 与A 1F 所成的角的大小．20. 如图，在半径为20cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．（1）请你在下列两个小题中选择一题作答即可：①设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S=g(θ)，求g(θ)的表达式，并写出θ的范围．②设BC=x(cm)，矩形ABCD的面积为S=f(x)，求f(x)的表达式，并写出x的范围．（2）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积．21. 已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过M(2,1),N(2√2，0)两点．（1）求椭圆E的方程；（2）若平行于OM的直线l在y轴上的截距为b(b<0)，直线l交椭圆E于两个不同点A、B，直线MA与MB的斜率分别为k1、k2，求证：k1+k2=0．22. 已知函数f(x)=x|x−a|−1，x∈R．4（1）当a=1时，指出f(x)的单调递减区间和奇偶性（不需说明理由）；（2）当a=1时，求函数y=f(2x)的零点；（3）若对任何x∈[0, 1]不等式f(x)<0恒成立，求实数a的取值范围．23. 过坐标原点O作倾斜角为60∘的直线交抛物线Γ：y2=x于P1点，过P1点作倾斜角为120∘的直线交x轴于Q1点，交Γ于P2点；过P2点作倾斜角为60∘的直线交x轴于Q2点，交Γ于P3点；过P3点作倾斜角为120∘的直线，交x轴于Q3点，交Γ于P4点；如此下去…．又设线段OQ1，Q1Q2，Q2Q3，…，Q n−1Q n，…的长分别为a1，a2，a3，…，a n，…，数列{a n}的前n项的和为S n．（1）求a1，a2；（2）求a n，S n；（3）设b n=a a n(a>0且a≠1)，数列{b n}的前n项和为T n，若正整数p，q，r，s成等差数列，且p<q<r<s，试比较T p⋅T s与T q⋅T r的大小．2014年上海市某校高考数学二模试卷（六）（文科）答案]1. [1−253182. {x|1<x<2}3. −324. 5.35. −126. 447. 8π8. 179. 1 10. 4 11. 1712. 14 13. −283 14.6561815. D 16. A 17. B 18. B19. 解：(1)在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，FC 1⊥平面A 1B 1C 1， 故FC 1=2是三棱锥A 1−B 1C 1F 的高．而直角三角形的S △A 1B 1C 1=12A 1B 1×A 1C 1=12×2×2=2．∴ 三棱锥A 1−B 1C 1F 的体积=V F−A 1B 1C 1 =13S △A 1B 1C 1×FC 1 =13×2×2=43． (2)连接EC ，∵ A 1E // FC ，A 1E =FC =4， ∴ 四边形A 1ECF 是平行四边形， ∴ A 1C // EC ，∴ ∠BEC 是异面直线A 1F 与BE 所成的角或其补角．∵ AE ⊥AB ，AE ⊥AC ，AC ⊥AB ，AE =AB =AC =2， ∴ EC =EB =BC =2√2． ∴ △BCE 是等边三角形．∴ ∠BEC =60∘，即为异面直线BE 与A 1F 所成的角．20. 解：如图所示，（1）①连接OC ，设∠BOC =θ，矩形ABCD 的 面积为S ，则BC =20sinθ，OB =20cosθ（其中0<θ<π2）；∴ S =AB ⋅BC =2OB ⋅BC =400sin2θ，且当sin2θ=1，即θ=π4时，S 取最大值为400，此时BC =10√2；所以，取BC =10√2时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为400cm 2．②连接OC ，设BC =x ，矩形ABCD 的面积为S ；则AB =2√400−x 2（其中0<x <30）， ∴ S =2x√400−x 2=2√x 2(400−x 2)≤x 2+(400−x 2)=400，当且仅当x 2=400−x 2，即x =10√2时，S 取最大值400；所以，取BC =10√2cm 时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为400cm 2．（2）由（1）知，取∠BOC =π4时，得到C 点，从而截得的矩形ABCD ，此时截得的矩形ABCD 的面积最大，最大值为400cm 2． 21. 解：（1）设椭圆E 的方程为mx 2+ny 2=1(m >0, n >0, m ≠n) 将M(2,1),N(2√2，0)代入椭圆E 的方程，得{4m +n =18m =1解得m =18，n =12，所以椭圆E 的方程为x 28+y 22=1．（2）∵ 直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为b ，又k OM =12， ∴ 直线l 的方程为y =12x +b ．由{y =12x +bx 28+y 22=1得x 2+2bx +2b 2−4=0，设A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−2b ，x 1x 2=2b 2−4． 又k 1=y 1−1x 1−2，k 2=y 2−1x 2−2，故k 1+k 2=y 1−1x 1−2+y 2−1x 2−2=(y 1−1)(x 2−2)+(y 2−1)(x 1−2)(x 1−2)(x 2−2)．又y 1=12x 1+b ，y 2=12x 2+b ，所以上式分子=(12x 1+b −1)(x 2−2)+(12x 2+b −1)(x 1−2)=x 1x 2+(b −2)(x 1+x 2)−4(b −1)=2b 2−4+(b −2)(−2b)−4(b −1)=0 故k 1+k 2=0．22. 解：（1）当a=1时，函数的单调递减区间为[12，1]…函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．…（2）当a=1时，f(x)=x|x−1|−14，由f(2x)=0得2x|2x−1|−14=0…即{2x≥1(2x)2−2x−14=0或{2x<1(2x)2−2x+14=0…解得2x=1+√22或2x=1−√22(舍)，或2x=12所以x=log21+√22=log2(1+√2)−1或x=−1．…（3）当x=0时，a取任意实数，不等式f(x)<0恒成立，故只需考虑x∈(0, 1]，此时原不等式变为|x−a|<14x即x−14x <a<x+14x…故(x−14x )max<a<(x+14x)min，x∈(0,1]又函数g(x)=x−14x 在(0, 1]上单调递增，∴ (x−14x)max=g(1)=34…函数ℎ(x)=x+14x 在(0,12]上单调递减，在[12，1]上单调递增，∴ (x+14x )min=ℎ(12)=1；所以34<a<1，即实数a的取值范围是(34，1)．…23. 解：（1）如图，由△OQ1P1是边长为a1的等边三角形，得点P1的坐标为(a12，√3a12)，又∵ P1(a12，√3a12)在抛物线y2=x上，∴ 3a124=a12，得a1=23…同理根据P2(23+a22，−√3a22)在抛物线y2=x上，可得a2=43…（2）如图，因为点Q n−1的坐标为(a 1+a 2+a 3+...+a n−1, 0)，即点(S n−1, 0)（点Q 0与原点重合，S 0=0）， 所以直线Q n−1P n 的方程为y =√3(x −S n−1)或y =−√3(x −S n−1)，因此，点P n 的坐标满足{y 2=x|y|=√3(x −S n−1)消去x 得√3y 2−|y|−√3S n−1=0，所以|y|=√1+12S n−12√3…又|y|=a n ⋅sin60∘=√32a n，故3a n =1+√1+12S n−1从而3a n 2−2a n =4S n−1…①由①有3a n+12−2a n+1=4S n …②②-①得3(a n+12−a n 2)−2(a n+1−a n )=4a n即(a n+1+a n )(3a n+1−3a n −2)=0，又a n >0，于是a n+1−a n =23 所以{a n }是以23为首项、23为公差的等差数列，a n =a 1+(n −1)d =23n由此可得：S n =(a 1+a n )n2=13n(n +1)…（3）∵b n+1b n=a2(n+1)3a 2n 3=a 23，∴ 数列{b n }是正项等比数列，且公比q 0=a 23≠1，首项b 1=a 23=q 0，∵ 正整数p ，q ，r ，s 成等差数列，且p <q <r <s ，设其公差为d ，则d 为正整数， ∴ q =p +d ，r =p +2d ，s =p +3d 则T p =b 1(1−q 0p)1−q 0，T q =b 1(1−q 0p+d)1−q 0，T r =b 1(1−q 0p+2d)1−q 0，T s =b 1(1−q 0p+3d)1−q 0…T p ⋅T s −T q ⋅T r =b 12(1−q0)2⋅[(1−q 0p)(1−q 0p+3d)−(1−q 0p+d)(1−q 0p+2d )]=b 12(1−q0)2⋅[(q 0p+d+q 0p+2d)−(q 0p+q 0p+3d)]…而(q 0p+d +q 0p+2d )−(q 0p +q 0p+3d )=q 0p (q 0d −1)−q 0p+2d (q 0d −1)=(q 0d −1)(q 0p −q 0p+2d )=(q 0d −1)q 0p (1−q 02d )=−q 0p (q 0d −1)(q 02d−1)… 由于a >0且a ≠1，可得q 0=a 23>0且q 0≠1，又∵ d 为正整数，∴ (q 0d −1)与(q 02d −1)同号，因此，−q 0p (q 0d −1)(q 02d−1)<0，可得T p ⋅T s <T q ⋅T r ．综上所述，可得若正整数p ，q ，r ，s 成等差数列，且p <q <r <s ，必定有T p ⋅T s <T q ⋅T r ．…。
2014年上海市高考数学(文)解答题及答案(word版)
2014年上海市高考数学（文）解答题三．解答题（本大题共5题，满分74分）19、（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥P ABC -,其表面展开图是三角形321p p p ，如图，求△321p p p 的各边长及此三棱锥的体积V .19.解：∵由题得，三棱锥P ABC -是正三棱锥∴侧棱与底边所成角相同且底面ABC ∆是边长为2的正三角形∴由题得，3ABC BCA CAB π∠=∠=∠=，112233PBA PAB P BC PCB P AC PCA ∠=∠=∠=∠=∠=∠ 又∵,,A B C 三点恰好在123,,P P P 构成的123PP P ∆的三条边上 ∴1122333PBA P AB P BC P CB P AC PCA π∠=∠=∠=∠=∠=∠=∴1122332PA PB P B PC PC P A ====== ∴1213234PP PP P P ===，三棱锥P ABC -是边长为2的正四面体∴如右图所示作图，设顶点P 在底面ABC 内的投影为O ，连接BO ，并延长交AC 于D ∴D 为AC 中点，O 为ABC ∆的重心，PO ⊥底面ABC∴233BO BD ==，3PO =112232233V =⋅⋅⋅⋅⋅=20.（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分1分。
设常数0≥a ，函数aa x f x x -+=22)( （1）若a =4，求函数)(x f y =的反函数)(1x f y -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由.20.解：（1）由题得，248()1(,1)(1,)2424x x x f x +==+∈-∞-+∞-- ∴121()2log 1x f x x -+⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，(,1)(1,)x ∈-∞-+∞ （2）∵2()2x x a f x a+=-且0a ≥ ∴①当0a =时，()1,f x x R =∈，∴对任意的x R ∈都有()()f x f x =-，∴()y f x =为偶函数②当1a =时，21(),021x x f x x +=≠-，2112()2112x xx xf x --++-==--， ∴对任意的0x ≠且x R ∈都有()()f x f x =--，∴()y f x =为奇函数③当0a ≠且1a ≠时，定义域为{2log ,}x x a x R ≠∈，∴定义域不关于原定对称，∴()y f x =为非奇非偶函数21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米，设A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为βα和.（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求βα2≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后.CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得，， 45.1812.38==βα求CD 的长（结果精确到0.01米）？21.解：（1）由题得，∵2αβ≥，且022πβα<≤<，tan tan 2αβ∴≥ 即2403516400CDCD CD ≥-，解得，CD ≤，∴28.28CD ≈米 （2）由题得，18038.1218.45123.43ADC ∠=--=， ∵3580sin123.43sin18.45AD +=，∴43.61AD ≈米 ∵22235235cos38.12CD AD AD =+-⋅⋅⋅，∴26.93CD ≈米22（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.在平面直角坐标系xoy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔。
2014年高考文科数学上海卷-答案
x2 y2 1的右焦点重合，故 p 2 得 p 4 ，∴抛物线的准线方程为 x p 2 .故答案为： x 2 .
95
2
2
【提示】由题设中的条件 y2 2 px (p 0)的焦点与椭圆 x2 y2 1的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右 95
焦点坐标，根据两曲线的关系求出 p，再由抛物线的性质求出它的准线方程.
即可. 【考点】一次函数的性质与图象. 三、解答题 19.【答案】 2 2
3 【解析】依题意：△P1P2P3 是边长为 4 的正三角形，折叠后是棱长为 2 的正四面体 y f (x) （如图）.
设顶点 A、B 在底面 C 内的投影为 CD ，连接 D ，
则 B 为△ABC 的重心，和 底面 CD . BO 3 , AB 2 3 ,
【提示】建立适当的平面直角坐标系，利用坐标分别求出数量积，由结果可得答案.
【考点】平面向量数量积的运算.
18.【答案】B
【解析】解：P(a1,b1) 与 P2 (a1,b1) 是直线 y kx 1（k 为常数）上两个不同的点，直线 y kx 1 的斜率存在，
∴
k
b2 a2
b1 a1
，即
a1
a2
a b
a2 b2
①或
a b
b2 a2
②，由①得
a b
0或a 0或b
1 ，
1
∵ ab 0 ，∴ a 0 且 b 0 ，即 a 1， b 1，此时集合{1,1}不满足条件. 由②得，若 b a2 ， a b2 ，则两式相减得 a2 b2 b a ，即 (a b)(a b) (a b) ， ∵互异的复数 a，b，∴ a b 0 ，即 a b 1 ，故选：D. 【提示】根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论. 【考点】集合的相等. 17.【答案】C 【解析】解：如图建立平面直角坐标系，则 A(0,0) ，B(0,2) ，P1(0,1) ，P2 (1,0) ，P3 (1,1) ，P4 (1,2) ，P5 (2,0) ，
2014年上海市高考数学试卷(文科)学生版
2014 年上海市高考数学试卷（文科）一、填空 （本大 共 14 ， 分 56 分）考生 在答 相 的空格内直接填写 果，每个空格填 得4 分，否 一律得零分。
1．（4 分）（2014?上海）函数 y=1 2cos 2（ 2x ）的最小正周期是．2．（ 4 分）（2014?上海）若复数 z=1+2i ，此中 i 是虚数 位， （z+ ）? = ．3．（4 分）（ 上海） 常数a ∈R ，函数 f （ x ） =| x 2a| ，若 f （ 2） 2014? 1|+| x=1， f （1）= ．4．（4 分）（2014?上海）若抛物 y 2=2px 的焦点与的右焦点重合， 抛物 的准 方程 ．5．（4 分）（2014?上海）某校高一、高二、高三分 有学生1600 名， 1200 名，800 名． 认识 校高中学生的牙 健康状况，按各年 的学生数 行分 抽 ，若高三抽取20 名学生， 高一、高二共需抽取的学生数 ．．（ 分）（ 2014? 上海）若 数 ， 足xy=1， x 2+2y 2的最小．6 4 x y7．（4 分）（2014?上海）若 的 面 是底面 的3 倍， 其母 与 所成角的大小（ 果用反三角函数 表示）8．（4 分）（2014?上海）在 方体中割去两个小 方体后的几何体的三 如所示， 切割掉的两个小 方体的体 之和等于．9．（4 分）（2014?上海） f （x ）=，，若 f （0）是 f （x ）的最小， ＞， a 的取 范．10．（4 分）（ 2014?上海） 无 等比数列 { a n } 的公比 q ，若 a 1=（a 3+a 4+⋯a n ），q=．11．（ 4 分）（ 2014?上海）若 f（x）=，足 f（ x）＜ 0 的 x 的取范是．12．（ 4 分）（2014?上海）方程 sinx+cosx=1 在区 [ 0，2π] 上的全部解的和等于．13．（ 4 分）（ 2014?上海）化安全意，某商在将来的10 天中随机3天行急分散演，的 3 天恰巧 3 天的概率是（果用最分数表示）．14．（4 分）（2014?上海）已知曲：，直 l：x=6，若于点 A（m，C x=），存在C 上的点P 和 l上的Q使得 +=， m 的取范．二、（共 4 ，分 20 分）每有且只有一个正确答案，得 5 分，否一律得零分15．（ 5 分）（2014?上海） a， b∈ R，“a+b＞4”是“a＞2 且 b＞2”的（）A．充足非必需条件B．必需非充足条件C．充要条件D．既非充足又非必需条件16．（ 5分）（2014?上海）已知互异的复数a， b足ab≠0，会合 { a， b} ={ a2，b2} ，a+b=（）A．2B．1C．0D． 117．（ 5 分）（2014?上海）如，四个 1 的小正方形排成一个大正方形，AB 是大正方形的一条， P（i i=1，2，⋯，7）是小正方形的其他点，?（i=1，2，⋯，7）的不一样的个数（）A．7B．5C．3D．118．（ 5 分）（2014?上海）已知 P1（a1，b1）与 P2（a2， b2）是直 y=kx+1（k常数）上两个不一样的点，则对于x 和 y 的方程组的解的状况是（）A．不论 k，P1，P2怎样，老是无解B．不论 k，P1，P2怎样，总有独一解C．存在 k，P1，P2，使之恰有两解D．存在 k，P1，P2，使之有无量多解三、解答题（共 5 小题，满分 74 分）19．（ 12 分）（ 2014?上海）底面边长为2 的正三棱锥 P﹣ABC，其表面睁开图是三角形 P1P2P3，如图，求△ P1P2 P3的各边长及此三棱锥的体积 V．20．（ 14 分）（ 2014?上海）设常数 a≥0，函数 f（ x）=．（1）若 a=4，求函数 y=f（ x）的反函数 y=f﹣1（x）；（2）依据 a 的不一样取值，议论函数 y=f（x）的奇偶性，并说明原因．21．（ 14 分）（ 2014?上海）如图，某企业要在A、 B 两地连线上的定点 C 处建筑广告牌 CD，此中 D 为顶端， AC 长 35 米， CB 长 80 米，设点 A、 B 在同一水平面上，从 A 和 B 看 D 的仰角分别为α和β．（1）设计中 CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问 CD的长至多为多少（结果精准到 0.01 米）？（2）施工达成后，CD 与铅垂方向有误差，此刻实测得α=38.12，°β=18.45，°求CD的长（结果精准到 0.01 米）．22．（ 16 分）（2014?上海）在平面直角坐标系 xOy 中，对于直线 l：ax+by+c=0 和点P1（x1，y1），P2（ x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点 P1，P2被直 l 分开，若曲 C 与直 l 没有公共点，且曲 C 上存在点P1、P2被直 l 分开，称直 l 曲 C 的一条分开．（1）求：点 A（1，2），B（ 1，0）被直 x+y 1=0 分开；（2）若直 y=kx 是曲 x2 4y2=1 的分开，求数 k 的取范；（3）点 M 到点 Q（0，2）的距离与到 y 的距离之 1，点 M 的迹E，求 E 的方程，并明 y 曲 E 的分开．23．（ 18 分）（ 2014?上海）已知数列 { a n} 足a n≤a n+1≤3a n，n∈N*，a1=1．（ 1）若 a2=2，a3=x， a4=9，求 x 的取范；（ 2）若{ a n} 是等比数列，且 a m=，求正整数m的最小，以及m取最小相 { a n} 的公比；（ 3）若 a1， a2，⋯a100成等差数列，求数列a1， a2，⋯a100的公差的取范。
2014年上海市高考数学试卷(文科)(含解析版).docx
2014 年上海市高考数学试卷（文科）一、填空（本大共14 ，分 56 分）考生在答相号的空格内直接填写果，每个空格填得 4 分，否一律得零分。
1．（4 分）函数 y=1 2cos2（2x）的最小正周期是．2．（4 分）若复数 z=1+2i，其中 i 是虚数位，（ z+）? =．．（分）常数a∈R，函数 f（ x ）=|x 1|+|x 2 a|，若 f（2）=1， f（1）=．3 44．（4 分）若抛物 y2=2px 的焦点与的右焦点重合，抛物的准方程．5．（4 分）某校高一、高二、高三分有学生1600 名， 1200 名， 800 名．了解校高中学生的牙健康状况，按各年的学生数行分抽，若高三抽取20 名学生，高一、高二共需抽取的学生数．6．（4 分）若数 x， y 足 xy=1， x2+2y2的最小．7．（4 分）若的面是底面的3倍，其母与所成角的大小（果用反三角函数表示）8．（4 分）在方体中割去两个小方体后的几何体的三如所示，切割掉的两个小方体的体之和等于．9．（4 分） f （x）=，若f（0）是f（x）的最小， a 的取范．10．（ 4 分）无等比数列nq，若1 3 4n），{a } 的公比 a =（ a +a +⋯ aq=．111．（4 分）若 f（x）=，足f（x）＜0的x的取范是．12．（4 分）方程 sinx+ cosx=1 在区 [0，2π] 上的所有解的和等于．13．（ 4 分）化安全意，某商在未来的10 天中随机 3 天行急疏散演，的 3 天恰好 3 天的概率是（果用最分数表示）．14．（ 4 分）已知曲 C：x=，直l：x=6，若于点A（m，0），存在C 上的点 P 和 l 上的 Q 使得+ = ， m 的取范．二、（共 4 ，分 20 分）每有且只有一个正确答案，得5 分，否一律得零分15．（ 5 分） a， b∈ R，“ a+b＞ 4”是“ a＞2 且 b＞2”的（）A ．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件．（分）已知互异的复数，足ab≠ 0，集合 {a，b}={a 2，b2}，（）16 5a b a+b=A ．2B．1C． 0D． 1 17．（5 分）如，四个 1 的小正方形排成一个大正方形， AB 是大正方形的一条，P（i i=1，2，⋯，7）是小正方形的其余点，?（i=1，2，⋯，7）的不同的个数（）A ．7B．5C． 3D． 118．（ 5 分）已知 P1（a1，b1）与 P2（a2， b2）是直 y=kx+1（k 常数）上两个不同的点，关于x 和 y 的方程的解的情况是（）A ．无 k，P1， P2如何，是无解B．无 k，P1， P2如何，有唯一解C．存在 k，P1， P2，使之恰有两解2D．存在 k，P1， P2，使之有无穷多解三、解答题（共 5 小题，满分 74 分）19．（12 分）底面边长为 2 的正三棱锥 P﹣ABC ，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△ P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积 V ．20．（ 14 分）设常数 a≥0，函数 f（ x） =．（1）若 a=4，求函数 y=f （x）的反函数 y=f﹣1（ x）；（2）根据 a 的不同取值，讨论函数 y=f （x）的奇偶性，并说明理由．21．（ 14 分）如图，某公司要在A 、B 两地连线上的定点 C 处建造广告牌 CD，其中 D 为顶端， AC 长 35 米， CB 长 80 米，设点 A 、 B 在同一水平面上，从A 和B 看 D 的仰角分别为α和β．（1）设计中 CD 是铅垂方向，若要求α≥ 2β，问 CD 的长至多为多少（结果精确到 0.01 米）？（2）施工完成后， CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得α =38.12°，β=18.45°，求CD 的长（结果精确到 0.01 米）．322．（ 16 分）在平面直角坐系xOy 中，于直l：ax+by+c=0和点1（x1，Py1），P2（ x2， y2），η =（ ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜ 0，称点P1，P2被直 l 分隔，若曲 C 与直 l 没有公共点，且曲 C 上存在点 P1、 P2被直 l 分隔，称直 l 曲 C 的一条分隔．（ 1）求：点 A （1，2），B（ 1，0）被直 x+y 1=0 分隔；2 2（2）若直 y=kx 是曲 x 4y =1 的分隔，求数 k 的取范；（3）点 M 到点 Q（0，2）的距离与到 y 的距离之 1，点 M 的迹E，求 E 的方程，并明 y 曲 E 的分隔．23．（ 18 分）已知数列 {a n} 足a n≤a n+1≤ 3a n， n∈ N*，a1=1．（1）若 a2=2，a3=x， a4=9，求 x 的取范；（2）若{a n} 是等比数列，且 a m=，求正整数m的最小，以及m取最小相 {a n } 的公比；（ 3）若 a1， a2，⋯ a100成等差数列，求数列a1， a2，⋯ a100的公差的取范．42014 年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14 题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分。
2014年高考文科数学上海卷及答案解析
数学试卷 第1页（共14页） 数学试卷 第2页（共14页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（文史类）考生注意：1.本试卷共4页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 .2.若复数12i z =+,其中i 是虚数单位,则1()z z z+= .3.设常数a ∈R ,函数2()|1|||f x x x a =-+-.若(2)1f =,则(1)f = .4.若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为 .5.某校高一、高二、高三分别有学生1 600名、1 200名、800名.为了解该校高中学生的牙齿健康状况,按各年级的学生数进行分层抽样.若高三抽取20名学生,则高一、高二共需抽取的学生数为 .6.若实数x ,y 满足1xy =,则222x y +的最小值为 .7.若圆锥的侧面积是底面积的3倍,则其母线与轴所成角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.8.在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图,则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 .9.设,0,()1,0,x a x f x x x x -+⎧⎪=⎨+⎪⎩≤＞若(0)f 是()f x 的最小值,则a 的取值范围为 . 10.设无穷等比数列{}n a 的公比为q .若134lim()n n a a a a →∞=+++…,则q = .11.若2132()f x x x -=-,则满足()0f x <的x 的取值范围是 . 12.方程sin 1x x =在区间[0,2π]上的所有解的和等于 .13.为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示）.14.已知曲线C：x =,直线l ：6x =.若对于点(,0)A m ,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP AQ +=0,则m 的取值范围为 .二、选择题（本大题共有4题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 15.设a ,b ∈R ,则“4a b +>”是“22a b >>且”的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分也非必要条件16.已知互异的复数a ,b 满足0ab ≠,集合22{,}{,}a b a b =,则a b +=( )A .2B .1C .0D .1-17.如图,四个边长为1的小正方形排成一个大正方形,AB 是大正方形的一条边,(1,2,,7)i P i =是小正方形的其余顶点,则(1,2,,7)i AB AP i =的不同值的个数为( )A .7B .5C .3D .118.已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y k x =+（k 为常数）上两个不同的点,则关于x y 和的方程组11221,1,a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是 ( )A .无论k ,1P ,2P 如何,总是无解B .无论k ,1P ,2P 如何,总有唯一解C .存在k ,1P ,2P ,使之恰有两解D .存在k ,1P ,2P ,使之有无穷多解姓名________________ 准考证号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共14页） 数学试卷 第4页（共14页）三、解答题（本大题共有5小题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥P ABC -,其表面展开图是三角形123PP P ,如图.求123PP P △的各边长及此三棱锥的体积V .20.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.设常数0a ≥,函数2()2x x af x a +=-.（Ⅰ）若4a =,求函数()y f x =的反函数1()y f x -=；（Ⅱ）根据a 的不同取值,讨论函数()y f x =的奇偶性,并说明理由.21.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图,某公司要在A 、B 两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ,其中D 为顶端,AC 长35 米,CB 长80 米.设点A 、B 在同一水平面上,从A 和B 看D 的仰角分别为α和β.（Ⅰ）设计中CD 是铅垂方向.若要求2αβ≥,问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01 米）？（Ⅱ）施工完成后,CD 与铅垂方向有偏差.现在实测得38.12α=,18.45β=,求CD 的长（结果精确到0.01 米）.22.（本题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分7分.在平面直角坐标系xOy 中,对于直线l ：0ax by c ++=和点111(,)P x y ,222(,)P x y ,记1122()()ax by c ax by c η=++++.若0η<,则称点1P ,2P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点,且曲线C 上存在点1P ,2P 被直线l 分隔,则称直线l 为曲线C 的一条分隔线.（Ⅰ）求证：点(1,2)A ,(1,0)B -被直线10x y +-=分隔；（Ⅱ）若直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线,求实数k 的取值范围；（Ⅲ）动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1,设点M 的轨迹为E .求E的方程,并证明y 轴为曲线E 的分隔线.23.（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤,*n ∈N ,11a =. （Ⅰ）若22a =,3a x =,49a =,求x 的取值范围； （Ⅱ）若{}n a 是等比数列,且11000m a =,求正整数m 的最小值,以及m 取最小值时相应{}n a 的公比；（Ⅲ）若1a ,2a ,⋅⋅⋅,100a 成等差数列,求数列1a ,2a ,⋅⋅⋅,100a 的公差的取值范围.数学试卷 第5页（共14页） 数学试卷 第6页（共14页）151z z z ⎫=+=+⎪⎭【提示】把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可.22222x =，代入要求的式子，由基本不等式可得即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，故圆锥的轴截面如下图所示：1r 11数学试卷 第7页（共14页） 数学试卷 第8页（共14页）12x x =，∴)n a ++是以原点为圆心，2为半径的圆，使得0AP AQ +=，说明【提示】通过曲线方程判断曲线特征，通过0AP AQ +=，说明数学试卷 第9页（共14页） 数学试卷 第10页（共14页）x 的范围，求出m 的范围即可. 【考点】直线与圆的位置关系. 二、选择题 15.【答案】B【解析】解：当5a =，0b =时，满足4a b +>，但2a >且2b >不成立，即充分性不成立，若2a >且2b >，则必有4a b +>，即必要性成立，故“4a b +>”是“2a >且2b >”的必要不充分条件，故选：B.【提示】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定. 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 16.【答案】D【解析】解：根据集合相等的条件可知，若22{}{}a b a b =,,，则22a a b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩①或22a bb a ⎧=⎪⎨=⎪⎩②，由①得0101a a b b ==⎧⎨==⎩或或，∵0ab ≠，∴0a ≠且0b ≠，即1a =，1b =，此时集合{11},不满足条件.由②得，若2b a =，2a b =，则两式相减得22a b b a -=-，即()(a b)(a b)a b -+=--，∵互异的复数a ，b ，∴0a b -≠，即1a b +=-，故选：D. 【提示】根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论. 【考点】集合的相等. 17.【答案】C【解析】解：如图建立平面直角坐标系，则(00)A ,，(02)B,，11(0)P ,，2(10)P ,，3(11)P ,，42(1)P ,，50(2)P ,，61(2)P ,，72(2)P ,， ∴(0,2)AB =，(0,1)AP =，2(0,1)AP =，3(1,1)AP =，4(1,2)AP =，5(2,0)AP =，6(2,1)AP =，7(2,2)AP =，∴2AB AP =，22AB AP =，32AB AP =，44AB AP =，52AB AP =，62AB AP =，74AB AP =，∴(1,2,...,7)i AB AP i =的不同值的个数为3，故选C.12233ABC S PO =△数学试卷 第11页（共14页） 数学试卷 第12页（共14页）1)(1)+∞，是偶函数，1a =时，，∴()f x =1)(1)+∞，.)为偶函数，则)0x=.35()802802h h ，h ≤56.57︒，115AB =cos BC BD β，解得，利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论1,2⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭222]1x =），见解析）把点(1,2)1,2⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭22)||1x -=，故曲线不是上述方程的解，即y 轴与曲线轴(0)x =数学试卷第13页（共14页）数学试卷第14页（共14页）。
上海市2014届高三高考数学系列模拟卷(2)答案--含答案
2013学年上海高考数学模拟试卷答题卡B一、填空题 1. {}0,2 2. i 3. 04.89 5. 30- 6. 33(,)33-7. 2± 8. 30 9. 120010. 322-+ 11. 1：24 12. ()()+∞⋃-,50,513. [2,)+∞ 14. )111(222210nx x x a +++ 62π二、选择题15. A B C D 16. A B C D 17. A B C D 18. A B C D21.(本题满分12分）（I ）．因为34cos ,sin 55θθ==,所以24sin 22sin cos 25θθθ==（6分）（II ）因为AOB ∆为等边三角形,所以60AOC ∠=,所以cos cos(60)∠=∠+BOC AOC 34310-=同理, 433sin 10BOC +∠=,故点A 的坐标为343433(,)1010-+（6分）19.(本题满分14分）（I ）由题设AB AC SB SC====SA ，连结OA ，ABC △为等腰直角三角形，所以22OA OB OC SA ===，且AO BC ⊥，又SBC △ 为等腰三角形，SO BC ⊥，且22SO SA =，从而222OA SO SA +=． 所 以SOA △为直角三角形，SO AO ⊥．又AO BO O =．所以SO ⊥平面ABC ．（7分）（II ）取SC 中点M ，连结AM OM ，，由（Ⅰ）知SO OC SA AC ==，，得OM SC AM SC ⊥⊥，．OMA ∠∴为二面角A SC B --的平面角．由AO BC AO SOSO BC O ⊥⊥=，，得AO ⊥平面SBC ．所以AO OM⊥，又32AM SA =，故26sin 33AO AMO AM ∠===．所以二面角A SC B --的余弦值为33（7分）20.(本题满分14分）（I ）157a b =．证明如下：设11a b a ==，则0a ≠，且22a d aq +=……⑴，46a d aq +=……⑵，由⑴，⑵得：()2423a a q q =-，从而42320q q -+=，∴22q =或21q =．（∵0q >，∴1q =，此时0d =，不可，舍之）∴2 2.q =代入⑴得2a d =．61517148,8a a d a b aq a =+===，因此，157a b =．（7分）（II ）假设存在正整数,m n ，使得n m a b =，即()11m a n d aq-+-=，由(1)可知：22,2q a d ==，∴()1212m d n d dq -+-=，∴112m n q -+=，∴()()1221114422m m m n q--++==⨯=， 即存在正整数,m n ，使得n m a b =，,m n 之间所满足的关系式为()2112m n ++=，,m n N +∈．事实上，当()2112m n ++=，,m n N +∈时，有()()121n a a n d d n d =+-=+-()1212m n d d +=+=⋅()11212222m m m m d qa aqb ---=⋅=⋅==．故知结论成立． （7分）22.(本题满分16分）（I ）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为3-．23.(本题满分18分）（I ）函数2(0)by x x x=+>的最小值是2b 2，则226b =，∴2log 9b =（4分）。
上海市六校2014届高三下学期第二次联考数学(文)试题--含答案
上海市六校2014届高三下学期第二次联考数学（文）试题 数学试卷（文科） 2014年3月6日（完卷时间120分钟，满分150分）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求将最终结果直接填写答题纸上相应的横线上，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，4sin 5α=，则tan α= ．2. 已知集合{}1,A m =-，{}|1B x x =>，若AB ≠∅，则实数m 的取值范围是 ．3.设等差数列{}n a 的前项和为n S ，若911a =，119a =，则19S 等于 ．4. 若()()2i i a ++是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 的值为 ．5. 抛物线24y x =的焦点到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是 ．6. 已知向量2a =，1b =，1a b ⋅=，则向量a 与a b -的夹角为 ．7. 执行右图的程序框图，如果输入6i =，则输出的S 值为 ． 8. 不等式1011ax x <+对任意R x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 9. 若n a 是()()*2,2,nx n n x +∈≥∈N R 展开式中2x项的系数，则2323222lim n n n a a a →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+=⎪⎝⎭ ． 10. 已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的体积为 ．11. 设,x y ∈R ，若不等式组320,220,10x y x y ax y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域是一个锐角三角形，则实数a 的12. 从1,2,,9⋅⋅⋅这10个整数中任意取3个不同的数作为二次函数()2f x ax bx c =++的系数，则使得()12f ∈Z 的概率为 ． 13. 已知点F 为椭圆:C 2212x y +=的左焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为()4,3，则PQ PF +取最大值时，点P 的坐标为 ． 14. 已知A 、B 、C 为直线l 上不同的三点，点O ∉直线l ，实数x 满足关系式220x OA xOB OC ++=，有下列命题：① 20OB OC OA -⋅≥； ② 20OB OC OA -⋅<；③ x 的值有且只有一个； ④ x 的值有两个； ⑤ 点B 是线段AC 的中点．则正确的命题是 ．（写出所有正确命题的编号）二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应的正确代号用2B 铅笔涂黑，选对得5分，不16. 下列函数中，既是偶函数，又在区间()1,2内是增函数的为 （ ） （A ）2log y x = （B ）cos 2y x =（C ）222x x y --= （D ）22log 2x y x-=+ 17. 已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m β⊥的是（ ）A ）αβ⊥且m α⊂≠（B ）αβ⊥且mα∥ （C ）m n 且n β⊥ （D ）m n ⊥且αβ18. 对于函数()f x ，若存在区间[],A m n =，使得(){},y y f x x A A =∈=，则称函数()f x 为“可等域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间”．下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为 （ ） （A ）()sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭（B ）()221f x x =- （C ）()21x f x =+ （D ）()()2log 22f x x =-三、解答题（本大题共5题，满分74分）每题均需写出详细的解答过程．19. （本题满分12分）本题共有2小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且1cos22A C +=． （1）若3a =，b =c 的值；（2）若())sin sin f A A A A =-，求()f A 的取值范围．20. （本题满分14分）本题共有2小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分．如图，几何体EF ABCD -中，CDEF 为边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AD DC ⊥，2AD =，4AB =，90ADF ∠=．（1）求异面直线BE 和CD 所成角的大小； （2）求几何体EF ABCD -的体积．A21. （本题满分14分） 本题共有2小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分．为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本y （万元）与处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为：250900y x x =-+，且每处理一吨废弃物可得价值为10万元的某种产品，同时获得国家补贴10万元．（1）当[]10,15x ∈时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？ （2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？22. （本题满分16分）本题共有3小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分．已知各项为正数的数列{}n a 中，11a =，对任意的*k N ∈，21221,,k k k a a a -+成等比数列，公比为k q ；22122,,k k k a a a ++成等差数列，公差为k d ，且12d =． （1）求2a 的值； （2）设11k k b q =-，证明：数列{}k b 为等差数列； （3）求数列{}k d 的前k 项和k D ．23. （本题满分18分）本题共有3小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分．如图，圆O与直线20x ++=相切于点P ，与x 正半轴交于点A，与直线y =在第一象限的交点为B . 点C 为圆O 上任一点，且满足OC xOA yOB =+，动点(),D x y 的轨迹记为曲线Γ．（1）求圆O 的方程及曲线Γ的轨迹方程；（2）若直线y x =和y x =-分别交曲线Γ于点A 、C 和B 、D ，求四边形ABCD 的周长；（3）已知曲线Γ为椭圆，写出椭圆Γ的对称轴、顶点坐标、范围和焦点坐标．2014年上海市高三年级 六校联考数学试卷（文科）答案一、填空题1. 43-2. ()1,+∞3. 1904. 126、6π7. 21 8. (]4,0- 9. 8 10. 3 11、1[2,]3-- 12. 419013. ()0,1- 14．①③⑤二、选择题15. C 16. A 17. C 18. B三、解答题 19. 解：（1）在△ABC 中，A B C π++=． 所以cos cos 22A C B π+-=1sin 22B ==．26B π=，所以3B π=． ………………3分由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2320c c -+=．解得1c =或2c =． ………………6分（2）()sin sin )f A A A A =-1cos 2222A A -=- 1sin 262A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. ………………9分由（1）得3B π=，所以23A C π+=，20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则32,662A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭. ∴sin 2(1,1]6A π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭.∴()31,22f A ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦.∴()f A 的取值范围是31,22⎛⎤- ⎥⎝⎦. ………………12分20. 解：（1）解法一：在CD 的延长线上延长至点M 使得CD DM =,连接,,ME MB BD . 由题意得，AD DC ⊥，AD DF ⊥，,DC DF ⊂≠平面CDEF ，∴AD ⊥平面CDEF ，∴AD DE ⊥，同理可证DE ⊥面ABCD .∵ //CD EF ，CD EF DM ==， ∴EFDM 为平行四边形， ∴//ME DF .则MEB ∠（或其补角）为异面直线DF 和BE所成的角. ………………3分由平面几何知识及勾股定理可以得ME BE BM === 在MEB △中，由余弦定理得222cos 26ME BE BM MEB ME BE +-∠==-⋅．∵ 异面直线的夹角范围为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，∴ 异面直线DF 和BE所成的角为arccos6． ………………7分解法二：同解法一得,,AD DC DE 所在直线相互垂直，故以D 为原点，,,DA DC DE 所在直线 分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， ………………2分 可得()()()()0,0,0,0,2,2,2,4,0,0,0,2D F B E ， ∴ (0,2,2),(2,4,2)DF BE ==--，得22,26DF BE ==………………4分 设向量,DFBE 夹角为θ，则022422cos DF BE DF BEθ⋅-+⋅-+⋅⋅===⋅6-∵ 异面直线的夹角范围为0,2π⎛⎤⎥，M∴ 异面直线DF 和BE所成的角为arccos6． ………………7分（２）如图，连结EC ，过B 作CD 的垂线，垂足为N ，则BN ⊥平面CDEF ，且2BN =. ………………9分 ∵EF ABCD V -E ABCD B ECF V V --=+ ……………11分 1133ABCD EFC S DE S BN =⋅+⋅△△ 1111(42)222223232=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅ 163=. ∴ 几何体EF ABCD -的体积为163.……14分21. 解：（1）根据题意得，利润P 和处理量x 之间的关系： (1010)P x y =+-22050900x x x =-+-270900x x =-+- ………………2分()235325x =--+，[10,15]x ∈.∵35[10,15]x =∉，()235325P x =--+在[10,15]上为增函数，可求得[300,75]P ∈--. ………………5分 ∴ 国家只需要补贴75万元，该工厂就不会亏损． ………………7分 （2）设平均处理成本为90050y Q x x x==+- ………………9分5010≥=， ………………11分当且仅当900x x=时等号成立，由0x > 得30x =．因此，当处理量为30吨时，每吨的处理成本最少为10万元． ………………14分 22. 解：（1）由题意得2213322a a a a a ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，2222a a =+，22a =或21a =-. ………………2分 故数列{}n a 的前四项为1,2,4,6或1,1,1,3-. ………………4分（2）∵21221,,k k k a a a -+成公比为k q 的等比数列， 212223,,k k k a a a +++成公比为1k q +的等比数列∴212k k k a a q +=，22211k k k a a q +++= N∴212222k k k a a a ++=+. 得21212112k k k k k a a a q q ++++=+，112k kq q +=+， ………………6分 111k k kq q q +-=-， ∴1111111k k k k q q q q +==+---，111111k k q q +-=--，即11k k b b +-=. ∴ 数列数列{}k b 为公差1d =等差数列，且11111b q ==-或111112b q ==--. ……8分 ∴()111k b b k k =+-⋅=或32k b k =-. ………………10分（3）当11b =时，由（2）得11,1k k k k b k q q k+===-. 221211k k a k a k +-+⎛⎫= ⎪⎝⎭，()22222121321121231121111k k k k k a a a k k a a k a a a k k +-+--+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()2121k k kaa k k q +==+，()2121231,2k k k k k k k k a d a a k D q +++=-==+=. ………………13分 当112b =-时，同理可得42k d k =-，22k D k =. ………………16分解法二：（2）对1,1,1,3,-这个数列，猜想()*2123N m m q m m -=∈-， 下面用数学归纳法证明： ⅰ）当1m =时，12111213q ⋅-==-⋅-，结论成立.ⅱ）假设()*N m k k =∈时，结论成立，即2123k k q k -=-.则1m k =+时，由归纳假设，222121212121,2323k k k k k k a a a a k k -+---⎛⎫== ⎪--⎝⎭. 由22122,,k k k a a a ++成等差数列可知()()()222122122121223k k k k k k a a a a k ++--+=-=⋅-，于是221212121k k k a k q a k ++++==-，∴ 1m k =+时结论也成立.所以由数学归纳法原理知()*2123N m m q m m -=∈-. ………………7分 此时1132112123k k b k k q k ===-----.同理对1,2,4,6,这个数列，同样用数学归纳法可证1k k q k +=. 此时11111k k b k k q k===+--.∴k b k =或32k b k =-. ………………10分（3）对1,1,1,3,-这个数列，猜想奇数项通项公式为()22123k a k -=-.显然结论对1k =成立. 设结论对k 成立，考虑1k +的情形. 由（2），()211,23k k q k k k -=≥∈-N 且21221,,k k k a a a -+成等比数列， 故()()22222121212123212323k k k k a a k k k k +---⎛⎫⎛⎫=⋅=-⋅=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，即结论对1k +也成立. 从而由数学归纳法原理知()22123k a k -=-.于是()()22321k a k k =--（易见从第三项起每项均为正数）以及21242k k k d a a k +=-=-，此时()22422k D k k =++-=. ………………13分对于1,2,4,6,这个数列，同样用数学归纳法可证221k a k -=，此时()22121,1k k k k a k k d a a k +=+=-=+.此时()()32312k k k D k +=++++=. ………………16分23. 解：（1）由题意圆O 的半径1r ==，故圆O 的方程为221x y +=. ………………2分 由OC xOA yOB =+得，()22OC xOA yOB =+， 即222222cos60OC x OA y OB xy OA OB =++，得221x y xy++=（,x y ⎡∈⎢⎣⎦）为曲线Γ的方程.（未写,x y 范围不扣分）…4分（2）由221y xx y xy =⎧⎨++=⎩解得：33xy ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或33x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以，A，C，－） 同理，可求得B （1,1），D （－1,－1）所以，四边形ABCD 的周长为：179（3）曲线Γ的方程为221x y xy ++=（,x y ⎡∈⎢⎣⎦）， 它关于直线y x =、y x =-和原点对称，下面证明：设曲线Γ上任一点的坐标为()00,P x y ，则2200001x y x y ++=，点P 关于直线y x =的对称点为()100,P y x ，显然2200001y x y x ++=，所以点1P 在曲线Γ上，故曲线Γ关于直线y x =对称， 同理曲线Γ关于直线y x =-和原点对称.可以求得221x y xy ++=和直线y x =的交点坐标为12,3333B B ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221x y xy ++=和直线y x =-的交点坐标为()()121,1,1,1A A --，1OA =13OB =3=3=.在y x =-上取点12,F F ⎛ ⎝⎭⎝⎭. 曲线Γ为椭圆：其焦点坐标为12,,3333F F ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.。
上海市普陀区高三数学4月质量调研(二模)试题 文(无答案)
2014学年第二学期普陀区高三文科数学质量调研卷一、填空题（本大题共56分）123456789/313、已知复数12,z z 满足1221,1Re 1,1Im 1≤-≤≤-≤≤z z z 。
若12=+z z z ，则z 在复平面上对应的点组成的图形的面积为 。
14、∈x R ，用记号()N x 表示不小于实数x 的最小整数，例如()(()2.53,1,11==-=N N N ，若函数()()13122=+-+f x N x x 的零点分别为()1,2,,=L i x i n ，则12+++=L n x x x 。
二、选择题（满分20分）15、,,a b c 表示直线，α表示平面，下列命题正确的是（ ） A 、 若//,//αa b a ，则//αb B 、 若,α⊥⊥a b b ，则α⊥a C 、若,⊥⊥a c b c ，则//a b D 、若,αα⊥⊥a b ，则//a b16、“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ ）A 、充分非必要条件B 、必要非充分条件C 、充要条件D 、既非充分又非必要条件17、在()*22⎫∈⎪⎭nn N x 的展开式中，若第5项的系数与第3项的系数之比为56:3，则展开式中的常数项是（ ）A 、第2项B 、第3项C 、第4项D 、第5项18、已知,,,m n i j 均为正整数，记,i j a 为矩阵1,21,2,22,,1,2,12⨯⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L L L L Lm m n mn n n m a a a a A aa a 中第i 行、第j 列的元素，且,,12,1,,1,2++++==+i j i j i j i j i j a a a a a （其中1,2≤-≤-j m i n ）给出结论：○15,6134=a ；○22,12,22,2+++=L m a a a m ；○31,,12+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭nn m n m a a ；○4若m 为常数，,23lim 3→∞+=n m n ma .正确命题的个数为（ ） A 、0 B 、 1 C 、 2 D 、3 三、解答题（本大题满分74分）19、（12分）在正方体1111-ABCD A B C D 中，E 是棱1DD 的中点。
上海市杨浦、静安、宝山、青浦四区2014届下学期高三年级二模考试数学试卷(文科) 有答案
上海市杨浦、静安、宝山、青浦四区2014届下学期高三年级二模考试数学试卷（文科）（满分150分，完卷时间120分钟） 2014.4一、填空题 (本大题共有14题，满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1.二阶行列式ii i ++-1101的值是 . （其中i 为虚数单位）2. 已知j i,是方向分别与x 轴和y 轴正方向相同的两个基本单位向量，则平面向量ji +的模等于 .3．二项式7)1(+x 的展开式中含3x 项的系数值为_______________.4.已知圆锥的母线长为5,侧面积为π15,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留π)5.已知集合{}sin ,A y y x x R ==∈，{}21,B x x n n Z ==+∈，则AB = .（文）若),(ππ-∈x ，则方程12cos 2sin 3=-x x 的解是_____________. 9．（文）满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+,0,0,32,42y x y x y x 的目标函数y x f +=的最小值为_______.10. 阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 .11．（文）在平面直角坐标系xOy 中，若中心在坐标原点的双曲线过点()2,3，且它的一个第10题图顶点与抛物线24y x =的焦点重合，则该双曲线的方程为 .12． （文）从5男3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动，所选3人中恰有两位女志愿者的概率是 ．13.（文）若三个数c a ,1,成等差数列（其中c a ≠），且22,1,c a 成等比数列，则nn ca c a )(lim 22++∞→的值为 ．14． （文） 函数()f x 的定义域为实数集R ，⎪⎩⎪⎨⎧<≤--≤≤=.01,1)21(,10,)(x x x x f x 对于任意的x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-.若在区间[1,3]-上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 .二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15. （文） 不等式12x x->的解集为……………………………………………（ ）. )(A }01|{>-<x x x 或 )(B }1|{-<x x )(C }1|{->x x )(D }01|{<<-x x16．“1=ω”是“函数x x x f ωω22cos sin )(-=的最小正周期为π”的…………（ ）.)(A 充分必要条件 )(B 充分不必要条件 )(C 必要不充分条件 )(D 既不充分又必要条件17. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为1S 、2S ,则1S :2S =………………………………………………………………（ ）.)(A 1:1 )(B 2:1 )(C 3:2 )(D 4:118. （文）已知向量，满足：1||||==b a ，且||3||b k a b a k -=+（0>k ）．则向量a 与向量b 的夹角的最大值为 ……………………………… （ ）.)(A 3π )(B 32π )(C 6π )(D 65π三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分） （文）已知几何体由正方体和直三棱柱组成，其三视图和直观图（单位：cm ）如图所示．设两条异面直线1AQ 和PD 所成的角为θ，求cos θ的值． 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛是由以点O 为圆心的两个同心圆弧AD 、弧BC 以及两条线段AB 和CD 围成的封闭图形．花坛设计周长为30米，其中大圆弧AD 所在圆的半径为10米．设小圆弧BC 所在圆的半径为x 米（100<<x ），圆心角为θ弧度．（1）求θ关于x 的函数关系式；（2）在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，当x 为何值时，y 取得最大值？21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分（文）已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的右焦点F (1,0)，长轴的左、右端点分别1A 1D C 1Q 1 A 正视图侧视图俯视图为12,A A ,且121FA FA ⋅=-. （1）求椭圆C 的方程；（2）过焦点F 斜率为k （0>k ）的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，弦AB 的垂直平分线与x轴相交于D 点. 试问椭圆C 上是否存在点E 使得四边形ADBE 为菱形？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由.22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分（文）已知数列}{n a 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥=+==-+).2(,,8,21121n ca a a a a n n n （c 为常数，*N n ∈）（１）当2=c 时，求n a ； （２）当1=c 时，求2014a 的值；（3）问：使n n a a =+3恒成立的常数c 是否存在？并证明你的结论．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分（文）设函数xx g 3)(=，xx h 9)(=. （1）解方程：0)1()(8)(=--h x g x h ； （2）令3)()()(+=x g x g x p ，求证：22013)20142013()20142012()20142()20141(=++++p p p p ； （3）若bx g ax g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，且0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立，求实数k 的取值范围.四区2013学年度高考模拟考试数学试卷文理科解答参考答案及评分标准 2014.04一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 理1．2； 2．2 3．35； 4．π125．{}1,1-；6． 30x y +-= 7. 22； 8．41 9． ⎩⎨⎧==,sin 4,cos 4ααy x （α为参数）；10. 13811．.895613561525630156100=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 12．3． 13.2314．1012sin =α 文1．2； 2．2 3．35； 4．π12 5．{}1,1-；6．}2,6,2,65{ππππ--7.30x y +-= ； 8．22 9．37； 10. 4111. 2213y x -=； 12．1253381556C C C = 13．当1-=ac 时，0lim 622222=⎪⎭⎫⎝⎛++∴⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→nn n n c a c a c a c a ； 当1=ac 时，c a =舍去． 14.]41,0(二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．D ；16．B ；17．C ；18．理D ；文A三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（理）1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(1,,0),(0,0,1)2A CB D F P --. (1) 证明方法一：Q 四边形是平行四边形，Q PA ⊥平面A B C D ∴P A D A ⊥，又A C D A ⊥，AC PA A =I ，∴DA ⊥平面PAC .方法二：证得DA uu u r是平面PAC 的一个法向量，∴DA ⊥平面PAC .(2)通过平面几何图形性质或者解线性方程组,计算得平面PAF 一个法向量为(1,2,0)m =u r， 又平面PCD 法向量为(1,1,1)n =r，所以||cos ,||||m n m n m n ⋅<>==u r ru r r u r r∴.（文）由//PQ CD ，且PQ CD =，可知//PD QC ，故1AQC ∠为异面直线1AQ 、PD 所成的角（或其补角）． 由题设知2222111126AQ A B B Q =+==，12AC == 取BC 中点E ，则QE BC ⊥，且3QE =，222223110QC QE EC =+=+=．由余弦定理，得2221111cos cos 2AQ QC AC AQC AQ QCθ+-=∠=⋅==． 20．(1)设扇环的圆心角为θ，则()30102(10)x x θ=++-， 所以10210xxθ+=+， (2) 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<． 装饰总费用为()9108(10)17010x x x θ++-=+，所以花坛的面积与装饰总费用的比22550550==1701010(17)x x x x y x x -++---++，令17t x =+，则3913243()101010y t t =-+≤，当且仅当t =18时取等号， 此时121,11x θ==． 答：当1x =时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．21．理（1）依题意不妨设1(0,)B b -，2(0,)B b ，则1(1,)FB b =--，2(1,)FB b =-.由12FB FB a ⋅=-，得21b a -=-.又因为221a b -=，解得2,a b =.所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）依题意直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=.设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k-=+. 所以弦MN 的中点为22243(,)3434k kP k k -++.所以MN ===2212(1)43k k +=+. 直线PD 的方程为222314()4343k k y x k k k +=--++， 由0y =，得2243k x k =+，则22(,0)43k D k +，所以DP =.所以224312(1)43DP k k MN k +==++=. 又因为211k +>，所以21011k <<+.所以104<. 所以DP MN 的取值范围是1(0,)4.（文）（1）依题设1(,0)A a -，2(,0)A a ，则1(1,0)FA a =--，2(1,0)FA a =-. 由121FA FA ⋅=-，解得22a =，所以21b =. 所以椭圆C 的方程为2212x y +=. （2）依题直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),22y k x x y =-⎧⎨+=⎩得()2222214220k x k x k +-+-=. 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,弦AB 的中点为00(,)M x y ，则2122421k x x k +=+，21222(1)21k x x k -=+，22221k x k =+，0221k y k -=+，所以2222(,)2121k kM k k -++.直线MD 的方程为22212()2121kk y x k k k +=--++， 令0y =，得2221D k x k =+，则22(,0)21k D k +. 若四边形ADBE 为菱形，则02E D x x x +=，02E D y y y +=.所以22232(,)2121k kE k k -++.若点E 在椭圆C 上，则2222232()2()22121k kk k -+=++.整理得42k =，解得2k =所以椭圆C 上存在点E 使得四边形ADBE 为菱形.22．理（1）99)832(3+=-⋅⋅x x x ，93=x，2=x（2）21323)21()20141007(===p p ，2163)21()20141007(===q q ． 因为1333333333333)1()(11=+++=+++=-+--xxx xx xx x p x p ，1393399399399)1()(11=+++=+++=-+--x x x x x x x x q x q所以，211006)20142013()20142()20141(+=+++p p p ， 211006)20142013()20142()20141(+=+++q q q ． )20142013()20142()20141(p p p +++ =)20142013()20142()20141(q q q +++ ． （3）因为bx ax x f +++=)()1()(ϕϕ是实数集上的奇函数，所以1,3=-=b a .)1321(3)(+-=xx f ，)(x f 在实数集上单调递增. 由0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 得))(2()1)((x g k f x h f ⋅-->-，又因为)(x f 是实数集上的奇函数，所以，)2)(()1)((-⋅>-x g k f x h f ，又因为)(x f 在实数集上单调递增，所以2)(1)(-⋅>-x g k x h 即23132-⋅>-x xk 对任意的R x ∈都成立，即x xk 313+<对任意的R x ∈都成立，2<k . （文）（1）46)1(62-=-+=n n a n （2） 21=a ，82=a ，63=a ，24-=a ，85-=a ，66-=a ，27=a ，88=a ，69=a ，210-=a ，811-=a ，612-=a ，我们发现数列为一周期为６的数列．事实上，由n n n a a a =+-+11有n n n n a a a a -=-=+++123，n n n n a a a a =-==++++3336．……8分(理由和结论各2分)因为 463352014+⨯=，所以242014-==a a ． （3）假设存在常数c ，使n n a a =+3恒成立． 由n n n ca a a =+-+11 ○1，及n n a a =+3，有1112+-++=+⇒=+n n n n n n ca a a ca a a ○2 ○1式减○2式得0)1)((1=+-+c a a n n ． 所以01=-+n n a a ，或01=+c ．当*N n ∈，01=-+n n a a 时，数列｛n a ｝为常数数列，不满足要求．由01=+c 得1-=c ，于是n n n a a a -=+-+11，即对于2≥∈n N n 且，都有11-+--=n n n a a a ，所以 nn n n n n a a a a a a --=--=+++++12123,，从而n n n n n n n a a a a a a a =-+=--=+++++11123, )1(≥n ．所以存在常数1-=c ，使n n a a =+3恒成立． 23．理（1）1111a b a a ===，242112211--====--n a n n n n a a b ；（2）根据反证法排除11a =和*113()a a N ≥∈证明：假设12a ≠，又*N a n ∈，所以11a =或*113()a a N ≥∈11 ①当11a =时，1111a b a a ===与13b =矛盾，所以11a ≠；②当*113()a a N ≥∈时，即1113a a b a ≥==，即11a a a ≥，又1+<n n a a ，所以11a ≤与*113()a a N ≥∈矛盾；由①②可知21=a ．（3）首先{}n a 是公差为1的等差数列，证明如下：1n n a a +>*2,n n N ⇒≥∈时1n n a a ->，所以11n n a a -≥+()n m a a n m ⇒≥+-，*(,)m n m n N <∈、1111[1(1)]n n a a n n a a a a ++++⇒≥++-+即11n n n n c c a a ++-≥-由题设11n n a a +≥-又11n n a a +-≥11n n a a +⇒-=即{}n a 是等差数列．又{}n a 的首项11a =，所以n a n =，)223222(32n n n S ⋅++⋅+⋅+-= ，对此式两边乘以2，得14322232222+⋅--⋅-⋅--=n n n S两式相减得=⋅-++++=+13222222n n n n S 22211-⋅-++n n n22211-=⋅+++n n n n S ，5021>⋅++n n n S 即5221≥+n ，当5≥n 时，526421>=+n ，即存在最小正整数5使得5021>⋅++n n n S 成立．注：也可以归纳猜想后用数学归纳法证明n a n =．（文）（1）0)1()(8)(=--h x g x h 即：09389=-⋅-x x ，解得93=x ，2=x（2）21323)21()20141007(===p p . 因为1333333333333)1()(11=+++=+++=-+--x x xx x x xx p x p ， 所以，22013211006)20142013()20142()20141(=+=+++p p p ， （3）同理科22（3）．。
数学_2014年上海市普陀区高考数学二模试卷(文科)_(含答案)
2014年上海市普陀区高考数学二模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1. 若复数z=|i1i i|（i是虚数单位），则z¯=________．2. 若集合A={y|y=tanx, 0<x≤π4}，B={x|x2−x−2<0}，则A∩B=________．3. 直线l1:x+1=0与l2:√3x+y=0的夹角的大小为________．4. 若函数y=f(x)(x∈R)满足条件：f(x+2)=f(x)，且f(1)=1，则f(101)=________．5. 若cosα=13(0<α<π)，则sin2α=________．6. 若集合D={x||x−1|≤1}，则函数f(x)=1x+1(x∈D)的值域为________．7. 若函数f(x)=sin(x+φ)(0<φ<π)是偶函数，则函数f(x)的单调递减区间为________．8. 一个正方体内接于球，若球的体积为4π3，则正方体的棱长为________．9. 若实数x、y满足条件：{2x−y−3≤0x+3y−3≤0y≥0，则x+y的最大值为________．10. 袋中有形状、大小完全相同的10个红球、20个白球，从中随机取出5个，则红球恰好为4个的概率为________（结果精确到0.01）．11. 某质量监测中心在一届学生中随机抽取39人，对本届学生成绩进行抽样分析．统计分析的一部分结果，见下表：根据上述表中的数据，可得本届学生方差的估计值为________（结果精确到0.01）．12. 如图所示，在一个(2n−1)×(2n−1)(n∈N且n≥2)的正方形网格内涂色，要求两条对角线的网格涂黑色，其余网格涂白色．若用f(n)表示涂白色网格的个数与涂黑色网格的个数的比值，则f(n)的最小值为________．13. 若a ij表示n×n阶矩阵，如图所示中第i行、第j列的元素(i、j= 1, 2, 3,…,n)，其中若a ij=321，则i+j=________．14. 若函数f(x)=√a−x+√x（a为常数），对于定义域内的任意两个实数x1、x2，恒有|f(x1)−f(x2)|<1成立，用S(a)表示满足条件的所有正整数a的和，则S(a)=________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中.每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分. 15. 下列命题中，是假命题的为（ ）A 平行于同一直线的两个平面平行B 平行于同一平面的两个平面平行C 垂直于同一平面的两条直线平行D 垂直于同一直线的两个平面平行 16. 已知曲线C 1:x 23+y 2=1和C 2:x 2−y 2=1的焦点分别为F 1、F 2，点M 是C 1和C 2的一个交点，则△MF 1F 2的形状是（ ）A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 不能确定17. 若函数f(x)=x 2+x −a ，则使得“函数y =f(x)在区间(−1, 1)内有零点”成立的一个必要非充分条件是（ ）A −14≤a ≤2 B −14≤a <2 C 0<a <2 D −14<a <018.对于向量PA i →(i =1, 2,…n)，把能够使得|PA 1→|+|PA 2→|+...+|PA n →|取到最小值的点P 称为A i (i =1, 2,…n)的“平衡点”．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，延长BC 至E ，使得BC =CE ，联结AE ，分别交BD 、CD 于F 、G 两点．下列结论中，正确的是（ ）A A 、C 的“平衡点”必为OB D 、C 、E 的“平衡点”为D 、E 的中点 C A 、F 、G 、E 的“平衡点”存在且唯一 D A 、B 、E 、D 的“平衡点”必为F三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19. 如图，在xOy 平面上，点A(1, 0)，点B 在单位圆上，∠AOB =θ(0<θ<π)．（1）若点B(−35, 45)，求tan(2θ+π4)的值；（2）若OA →+OB →=OC →，四边形OACB 的面积用S θ表示，求S θ+OA →⋅OC →的取值范围．20.如图，已知AB 是圆柱OO 1底面圆O 的直径，底面半径R =1，圆柱的表面积为8π；点C 在底面圆O 上，且∠AOC =120∘． （1）求三棱锥A −A 1CB 的体积；（2）求异面直线A 1B 与OC 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）． 21. 已知函数f(x)=2x −1的反函数为y =f −1(x)，记g(x)=f −1(x −1) （1）求函数y =2f −1(x)−g(x)的最小值；（2）集合A ={x|[1+f(x)]⋅|f(x)|≥2}，对于任意的x ∈A ，不等式2f −1(x +m)−g(x)≥0恒成立，求实数m 的取值范围．22.已知曲线Γ：y 2=4x ，直线l 经过点(0, 2)且其一个方向向量为d →=(1, k)．（1）若曲线Γ的焦点F 在直线l 上，求实数k 的值；（2）当k =−1时，直线l 与曲线Γ相交于A 、B 两点，求|AB|的值；（3）当k(k >0)变化且直线l 与曲线Γ有公共点时，是否存在这样的实数a ，使得点P(a, 0)关于直线l 的对称点Q(x 0, y 0)落在曲线Γ的准线上．若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．23. 用记号∑a i n i=0表示a 0+a 1+a 2+a 3+...+a n ，b n =∑a 2i n i=0，其中i ∈N ，n ∈N ∗．（1）设∑(2n k=11+x)k =a 0+a 1x +a 2x 2+...+a 2n−1x 2n−1+a 2n x 2n (x ∈R)，求b 2的值； （2）若a 0，a 1，a 2，…，a n 成等差数列，求证：∑n i=0（a i C i n ）=(a 0+a n )⋅2n−1； （3）在条件（1）下，记d n =1+∑[n i=1(−1)i b i C i n ]，计算lim n →∞d n b n 的值．2014年上海市普陀区高考数学二模试卷（文科）答案1. −1+i2. (0, 1]3. 30∘4. 15.4√296. [13, 1]7. [2kπ, 2kπ+π]，k ∈Z 8.2√33 9. 15710. 0.03 11. 51.23 12. 45 13. 26 14. 15 15. A 16. B 17. A 18. D19. 解：（1）由题意可得tanθ=yx =45−35=−43，∴ tan2θ=2tanθ1−tan 2θ=247．∴ tan(2θ+π4)=tan2θ+11−tan2θ×1=−3117．（2）∵ OA →+OB →=OC →，OA =OB ，则四边形OACB 为菱形，它的面积用S θ表示， 则 S θ+OA →⋅OC →=1×sin(π−θ)+OA →⋅(OA →+OB →)=sinθ+1+1×1×cosθ =1+sinθ+cosθ=1+√2sin(θ+π4)． ∵ 0<θ<π，∴ π4<θ+π4<5π4，∴ −√22<sin(θ+π4)≤1，1+√2sin(θ+π4)∈(0, 1+√2]．20. 解：（1）设AA 1=ℎ，∵ 底面半径R =1，圆柱的表面积为8π，∴ 2π×12+2πℎ=8π，解得ℎ=3．∵ 点C 在底面圆O 上，且∠AOC =120∘，AB 是圆柱OO 1底面圆O 的直径， ∴ AB =2，BC =1，AC =√3，∠ACB =90∘， ∴ S △ACB =12×1×√3=√32，∴ 三棱锥A −A 1CB 的体积V =13×ℎ×S △ACB =√32． （2）取AA 1中点Q ，连接OQ ，CQ ，则OQ // A 1B ， 得∠COQ 或它的补角为异面直线A 1B 与OC 所成的角． 又AC =√3，AQ =12AA 1=32，得OQ =12A 1B =12√9+4=√132， CQ =√94+3=√212，OC =1，由余弦定理得cos∠COQ =CO 2+OQ 2−CQ 22CO⋅OQ=1+134−2142×1×√132=−√1313， ∴ 异面直线A 1B 与OP 所成的角为arccos√1313． 21. 解：（1）函数f(x)=2x −1的反函数为y =f −1(x)=log 2(x +1)，x >−1 ∴ g(x)=f −1(x −1)=log 2x ．x >0．∴ 函数y =2f −1(x)−g(x)=2log 2(x +1)−log 2x =log 2(x+1)2x=log 2x 2+2x+1x=log 2(x +1x+2)，∵ x >0，∴ x +1x +2≥4，当且仅当x =1时取等号， ∴ 函数y =2f −1(x)−g(x)的最小值为：log 24=2． （2）∵ 集合A ={x|[1+f(x)]⋅|f(x)|≥2}， ∴ [1+f(x)]•|f(x)|≥2，即2x |2x −1|≥2， 可得：{2x −1≥022x −2x ≥2…①或{2x −1<022x −2x ≤−2…②解①得x ≥1；解②得：x ∈⌀．∴ A ={x|x ≥1}，∴ 不等式2f −1(x +m)−g(x)≥0，化为2log 2(x +m +1)−log 2x ≥0， 对于任意的x ∈A ，不等式2f −1(x +m)−g(x)≥0恒成立，即对于任意的x ∈A ，不等式2log 2(x +m +1)−log 2x ≥0恒成立， ∴ 表达式转化为：log 2(x+m+1)2x≥0，在x ≥1时恒成立；即(x+m+1)2x≥1，在x ≥1时恒成立；(x +m +1)2≥x 在x ≥1时恒成立；x 2+(2m +1)x +(m +1)2≥0，在x ≥1时恒成立；令ℎ(x)=x 2+(2m +1)x +(m +1)2，函数的开口向上，要使在x ≥1时恒成立； 必须满足{−2m+12≤1ℎ(1)≥0或△<0，即{−2m+12≤11+2m +1+(m +1)2≥0…①或(2m +1)2−4(m +1)2<0…②解①得：m ≥−1或m ≤−3． 解②得：m >−34，综上：m ∈{m|m ≥−1或m ≤−3}．22.解：（1）由y 2=4x 得，p =2，所以F(1, 0)，k =0−21−0=−2，所以k =−2…（2）当k =−1时，d →=(1, k)=(1, −1)，直线l:y =−x +2…将直线l 与曲线Γ的方程联立消去y 并整理得，x 2−8x +4=0，其中△>0…设A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2)，则x 1+x 2=8，x 1x 2=4…于是|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=4√6…（3）假设存在这样的实数a ，使得点P(a, 0)关于直线l 的对称点Q(x 0, y 0)落在曲线Γ的准线上，根据题意可得k >0，所以直线l:y =kx +2，由于k >0，直线l 与曲线Γ的方程联立消去y 并整理得，k 2x 2+4(k −1)x +4=0，直线l 与曲线Γ有公共点，故△=16(k −1)2−16k 2≥0，解得k ≤12，所以0<k ≤12…点P(a, 0)关于直线l 的对称点Q(x 0, y 0)，则{y 02=k ⋅x 0+a 2+2y 0x 0−a=−1k… 得x 0=a(1−k 2)−4k1+k 2(0<k ≤12)…，当点Q 落在曲线Γ的准线x =−1上时，a(1−k 2)−4k1+k 2=−1，所以a =1−4(k−12)k 2−1，即a−14=−k−12k 2−1…当k =12时，a =1；当0<k <12时，41−a=(k −12)−34k−12+1>2，解得−1<a <1所以−1≤a ≤1，所以存在这样的实数a ，满足题设条件．…23. （1）解：将n =2代入∑(2n k=11+x)k =a 0+a 1x +a 2x 2+...+a 2n−1x2n−1+a 2n x 2n 中得， ∑(4i=11+x)k =a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4，其中a 0+a 1+a 2+a 3+a 4=2+4+8+16=30， a 0−a 1+a 2−a 3+a 4=0， 所以b 2=a 0+a 2+a 4=15；（2）证明：设等差数列的通项公式为a n =a 0+nd ，其中d 为公差， 则∑n i=0（a i C i n ）=a 0(C n 0+C n 1+...+C n n )+d(C n 1+2C n 2...+nC n n)， 因为kC n k =nC n−1k−1，所以C n 1+2C n 2...+nC n n=n(C n−10+C n−11+...+C n−1n−1)，所以∑n i=0（a i C i n ）=a 0⋅2n +nd ⋅2n−1=(2a 0+nd)⋅2n−1=(a 0+a n )⋅2n−1；（3）解：令x =1，则∑a i 2n i=0=2+22+ (22)=2(1−4n)1−2=2⋅4n −2，x =−1，则∑[2n i=0(−1)i a i ]=0，所以b n =∑a 2i n i=0=4n−1根据已知条件可知，d n =1+∑[n i=0(−1)i b i C i n ]=(−3)n +1， 将b n =4n −1、d n =(−3)n +1，代入lim n →∞d n b n 得到：lim n →∞d n b n =lim n →∞(−3)n +14n −1=lim n →∞(−34)n −(14)n1−(14)n =0．。
2014年上海市普陀区中考数学二模试卷
2014年上海市普陀区中考数学二模试卷一、单项选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）（2014•普陀区二模）下列各数中，能化为有限小数的分数是（）A．B．C．D．【考点】实数的概念M121【难易度】容易题【分析】本题需根据有理数的除法法则分别对每一项进行计算。
A.=0.3…，故本选项错误；B.=0.2，故本选项正确；C.=0.42857…，故本选项错误；D.=0.1…，故本选项错误．【解答】答案：B．【点评】本题主要考查了有理数的除法，属于容易题。
在解题时要根据有理数的除法法则分别计算是解题的关键．2．（4分）（2014•普陀区二模）在平面直角坐标系中，将正比例函数y=kx（k＞0）的图象向上平移一个单位，那么平移后的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】一次函数的的图象、性质M422结合图像对函数关系进行分析M413【难易度】容易题【分析】先由“上加下减”的平移规律求出正比例函数y=kx（k＞0）的图象向上平移一个单位后的解析式y=kx+1（k＞0），因为k＞0，b=1＞0，所以图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．【解答】答案：D．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象与系数的关系，属于容易题。
正确得出函数平移后的解析式是解题的关键．3．（4分）（2014•普陀区二模）已知两圆的圆心距是3，它们的半径分别是方程x2﹣7x+10=0的两个根，那么这两个圆的位置关系是（）A．内切 B．外切 C．相交 D．外离【考点】两圆的位置关系M356一元二次方程的概念、解法M241因式分解M217【难易度】容易题【分析】由两圆的半径分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，利用因式分解法因为x2﹣7x+10=0，所以（x﹣2）（x﹣5）=0，解得：x1=2，x2=5，两圆的半径分别是2，5。
又因为两圆的圆心距为3，因为3=5﹣2，所以这两个圆的位置关系是：内切．【解答】答案：A．【点评】此题考查了圆与圆的位置关系与一元二次方程的解法．属于容易题，解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系得出两圆位置关系．4．（4分）（2014•普陀区二模）一个不透明的盒子中装有2个白球，5个红球和8个黄球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为（）A．B．C．D．【考点】概率的计算M512【难易度】容易题【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．根据题意可得：一个不透明的盒子中装有2个白球，5个红球和8个黄球，共15个，摸到红球的概率为=，【解答】答案：B．【点评】此题考查概率的求法，属于容易题。
2014上海市高考文科数学(文)试题真题含答案
2014年上海市高考文科数学真题及答案数学试卷（文史类）考生注意：1．本试卷共4页，23道试题，满分150分．考试时间120分钟．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题） 在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚的填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码 贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名．一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个 空格填对得4分，否则一律得零分．1．函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 ．2．若复数12z i =+，其中i 是虚数单位，则1z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭． 3．设常数a R ∈，函数2()1f x x x a =-+-．若(2)1f =，则(1)f = ．4．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 ． 5．某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况， 按各年级的学生数进行分层抽样．若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为 ．6．若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为 ．7．若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成的角的大小为 （结果用反三角函数值表示）．8．在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 ． 9．设,0,()1,0.x a x f x x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为 ． 10．设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞=+++L ，则q = ．11．若2132()f x x x -=-，则满足()0f x <的x 的取值范围是 ．12．方程sin 3cos 1x x +=在区间[0,2]π上的所有的解的和等于 ．13．为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好 为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示）．14．已知曲线2:4C x y =--，直线:6l x =．若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上的Q使得0AP AQ +=u u u r u u u r r ，则m 的取值范围为 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．设,a b ∈R ，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的（ ）(A) 充分非必要条件(B) 必要非充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件16．已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{}{}22,,a b a b =，则a b +=（ ）(A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) 1-17．如图，四个边长为1的小正方体排成一个大正方形，AB 是大正方形的一条边，(1,2,,7)i P i =L 是小正方形的其余顶点， 则(1, 2, , 7)i AB AP i ⋅=u u u r u u u r K 的不同值的个数为（ ） (A) 7 (B) 5 (C) 3 (D) 118．已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）(A) 无论12,,k P P 如何，总是无解 (B) 无论12,,k P P 如何，总有唯一解(C) 存在12,,k P P ，使之恰有两解(D) 存在12,,k P P ，使之有无穷多解 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出 必要的步骤．19．（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是三角形123PP P ，如图，求123PP P ∆的各边长及此三棱锥的体积V ．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．设常数0≥a ，函数aa x f x x -+=22)(． （1）若4a =，求函数)(x f y =的反函数)(1x f y -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，某公司要在AB 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米， CB 长80米．设点A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为βα和．（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求βα2≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差．现在实测得38.1218.45αβ==o o,，求CD 的长（结果精确到0.01米）．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．在平面直角坐标系xOy 中，对于直线:0l ax by c ++=和点111222(,),(,)P x y P x y ，记1122()()ax by c ax by c η=++++．若0η<，则称点12,P P 被直线l 分隔．若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点12,P P 被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线．（1）求证；点(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分隔；（2）若直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线，求实数k 的取值范围；（3）动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E ．求E 的方程， 并证明y 轴为曲线E 的分隔线．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤，*n N ∈，11a =．（1）若1342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；（2）设{}n a 是等比数列，且11000m a =，求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}n a 的公比； （3）若12100,,,a a a L 成等差数列，求数列12100,,,a a a L 的公差的取值范围．上海数学试卷（文史类） 参考答案一、填空题（第1题至第14题）1．2π 2．6 3．3 4．2x =- 5．70 6．22 7．1arcsin 38．24 9．(],2-∞ 10．512- 11．(0,1) 12．73π 13．115 14．[2,3] 二、选择题（第15题至第18题）15．B 16．D 17．C 18．B三、解答题（第19题至第23题）19．[解]：在123PP P ∆中，13P A P A =，23P C P C =，所以AC 是中位线，故1224PP AC ==． 同理，234P P =，314P P =．所以123PP P ∆是等边三角形，各边长均为4．设Q 是ABC ∆的中心，则PQ ⊥平面ABC ，所以233AQ =，22263PQ AP AQ =-=． 从而，12233ABC V S PQ ∆=⋅=． 20．[解]：（1）因为2424x x y +=-，所以()4121x y y +=-，得1y <-或1y >，且()241log 1y x y +=-． 因此，所求反函数为()1241()log 1x f x x -+=-，()(),11,x ∈-∞-+∞U ． （2）当0a =时，()1f x =，定义域为R ，故函数()y f x =是偶函数；当1a =时，21()21x x f x +=-，定义域为()(),00,-∞+∞U ， 2121()()2121x x x x f x f x --++-==-=---，故函数()y f x =为奇函数； 当0a >且1a ≠时，定义域为()()22,log log ,a a -∞+∞U 关于原点不对称，故函数()y f x =既不是奇函数，也不是偶函数．21．[解]：（1）记CD h =．根据已知得tan tan 20αβ≥>，tan 35h α=，tan 80h β=，所以2280035180hh h ⨯≥>⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得20228.28h ≤≈．因此，CD 的长至多约为28.28米． （2）在ABD ∆中，由已知，56.57αβ+=o ，115AB =，由正弦定理得()sin sin BD AB ααβ=+ ，解得85.064BD ≈． 在BCD ∆中，有余弦定理得2222cos CD BC BD BC BD β=+-⋅⋅， 解得26.93CD ≈．所以，CD 的长约为26.93米．22．[证]：（1）因为40η=-<，所以点,A B 被直线10x y +-=分隔．[解]：（2）直线y kx =与曲线2241x y -=有公共点的充要条件是方程组2241x y y kx ⎧-=⎨=⎩有解，即12k <． 因为直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线，故它们没有公共点，即12k ≥． 当12k <时，对于直线y kx =，曲线2241x y -=上的点()1,0-和()1,0满足20k η=-<， 即点()1,0-和()1,0被y kx =分隔．故实数k 的取值范围是11(,][,)22-∞-+∞U ． [证]：（3）设M 的坐标为(,)x y ，则曲线E 的方程为22(2)1x y x +-⋅=，即22[(2)]1x y x +-⋅=． 对任意的0y ，()00,y 不是上述方程的解，即y 轴与曲线E 没有公共点．又曲线E 上的点()1,2-和()1,2对于y 轴满足0η<，即点()1,2-和()1,2被y 轴分隔．所以y 轴为曲线E 的分隔线．23．[解]：（1）由条件得263x ≤≤且933x x ≤≤，解得36x ≤≤．所以x 的取值范围是[3,6]x ∈． （2）设{}n a 的公比为q ．由133n n a a ≤，且110n n a a q -=≠，得0n a >． 因为1133n n n a a a +≤≤，所以133q ≤≤．从而111111()10003m m m a q q ---==≥，131000m -≥，解得8m ≥． 8m =时，711[,3]10003q =∈．所以，m 的最小值为8，8m =时，{}n a 的公比为741010． （3）设数列12100,,a a a L 的公差为d ．由133n n n a a d a ≤+≤，223n n a d a -≤≤，1,2,,99n =L ． ① 当0d >时，999821a a a a >>>>L ，所以102d a <≤，即02d <≤．② 当0d =时，999821a a a a ====L ，符合条件． ③ 当0d <时，999821a a a a <<<<L ，所以9999223a d a -≤≤，2(198)2(198)3d d d -+≤≤+， 又0d <，所以20199d -≤<． 综上，12100,,a a a L 的公差的取值范围为2[,2]199-．。
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2014年普陀区高考数学(文科)二模卷考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，满分150分.考试时间120分钟.3.本试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相．．．．．．．．．应位置，本卷上任何解答都不作．．．．．．．．．．．．．．评分依据．．．．. 一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分. 1.若复数i 1i iz =(i 是虚数单位)，则=z . 2.若集合π{|tan ,0}4A y y x x ==<…，}02|{2<--=x x x B ，则=B A . 3.直线01:1=+x l 与03:2=+y x l 的夹角的大小为 .4.若函数)(x f y =(x ∈R )满足条件：)()2(x f x f =+，且1)1(=f ，则=)101(f .5.若31cos =α(0πα<<)，则=α2sin . 6.若集合D {||1|1}x x =-…，则函数11)(+=x x f (D x ∈)的值域为 .7.若函数)s i n ()(ϕ+=xx f (0πϕ<<)是偶函数，则函数)(x f 的单调递减区间为 .8.一个正方体内接于球，若球的体积为4π3，则正方体的棱长为 . 9.若实数x 、y 满足条件：2303300x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪⎩………，则y x +的最大值为 .10.袋中有形状、大小完全相同的10个红球、20个白球，从中随机取出5个，则红球恰好为4个的概率为 (结果精确到01.0). 11.某质量监测中心在一届学生中随机抽取39人，对本届学生成绩进行抽样分析.统计分析的根据上述表中的数据，可得本届学生方差的估计值为 (结果精确到01.0). 12.如图所示，在一个)12()12(-⨯-n n (n ∈N 且2n …)的正方形网格内涂色,要求两条对角线的网格涂黑色，其余网格涂白色.若用)(n f 表示涂白色网格的个数与涂黑色网格的个数的比值，则)(n f 的最小值为 .13.若ij a 表示n n ⨯阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn a25191410181396128537421中第i 行、第j 列的元素(i 、n j ,,3,2,1 =)，其中321=ij a ，则=+j i .14.若函数x x a x f +-=)((a 为常数)，对于定义域内的任意两个实数1x 、2x ，恒有1|)()(|21<-x f x f 成立，用)(a S 表示满足条件的所有正整数a 的和，则)(a S = .二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个(不论是否都写在空格内)，或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分. 15.下列命题中，是假命题．．．的为 ( ) A.平行于同一直线的两个平面平行 B.平行于同一平面的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两条直线平行 D.垂直于同一直线的两个平面平行16.已知曲线1C :1322=+y x 和2C :122=-y x 的焦点分别为1F 、2F ，点M 是1C 和2C 的一个交点，则△21F MF 的形状是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 17.若函数a x x x f -+=2)(，则使得“函数)(x f y =在区间)1,1(-内有零点”成立的一个必要非充分条件是 ( ) A.124a -剟 B.124a -<… C.20<<a D.041<<-a18.对于向量i (n i ,2,1=)，把能够使得||||||21n PA PA PA +++ 取到最小值的点P称为i A (n i ,2,1=)的“平衡点”. 如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，延长BC 至E ,使得CE BC =，联结AE ，分别交BD 、CD 于F 、G 两点.下列结论中，正确的是( ) A.A 、C 的“平衡点”必为OB.D 、C 、E 的“平衡点”为D 、E 的中点C.A 、F 、G 、E 的“平衡点”存在且唯一D.A 、B 、E 、D 的“平衡点”必为F三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19.(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.如图，在xOy 平面上，点)0,1(A ，点B 在单位圆上，θ=∠AOB (0πθ<<). (1)若点)54,53(-B ，求πtan(2)4θ+的值； (2)若OC OB OA =+，四边形OACB 的面积用θS 表示，求OC OA S ⋅+θ的取值范围.20.(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，已知AB 是圆柱1OO 底面圆O 的直径，底面半径1=R ，圆柱的表面积为8π；点C 在底面圆O 上，且︒=∠120AOC .(1)求三棱锥CB A A 1-的体积；(2)求异面直线B A 1与OC 所成的角的大小(结果用反三角函数值表示).21.(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数12)(-=x x f 的反函数为)(1x f y -=，记)1()(1-=-x f x g(1)求函数)()(21x g x fy -=-的最小值；(2)集合}2|)(|)](1[|{≥⋅+=x f x f x A ，对于任意的A x ∈，不等式0)()(21≥-+-x g m x f 恒成立，求实数m 的取值范围.22.(本题满分16分)本题共有3个小题，第(1)小题5分，第(2)小题6分，第(3)小题5分.已知曲线Γ:x y 42=，直线l 经过点)2,0(且其一个方向向量为),1(k =.(1)若曲线Γ的焦点F 在直线l 上，求实数k 的值；(2)当1-=k 时，直线l 与曲线Γ相交于A 、B 两点，求||AB 的值；(3)当k (0>k )变化且直线l 与曲线Γ有公共点时，是否存在这样的实数a ，使得点)0,(a P 关于直线l 的对称点),(00y x Q 落在曲线Γ的准线上.若存在,求出a 的值；若不存在，请说明理由.23.(本题满分18分)本题共有3个小题，第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(3)小题8分用记号∑=ni ia表示n a a a a a +++++ 3210，∑==ni in ab 02，其中i ∈N ，n ∈*N .(1)设n n n n nk kx a x a x a x a a x 221212221021)1(+++++=+--=∑ (x ∈R )，求2b 的值；(2)若0a ，1a ，2a ，…，n a 成等差数列，求证：()∑==ni i niC a 0102)(-⋅+n n a a；(3)在条件(1)下，记∑=-+=ni i n i i n C b d 1])1[(1，计算nnn b d ∞→lim的值.普陀区高三数学质量调研卷（文）参考答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分. 1.i +-1； 2.]1,0(； 3.【理科】5；【文科】6π； 4.【文科】1； 5.【文科】924； 6.【文科】]1,31[； 7.【文科】]2,2[πππ+k k ，z k ∈；8. 【文科】332； 9.【文科】715； 10.【文科】03.0； 11.【文科】56； 12.【文科】54； 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.题号 15 16 17 18 答案ABAD三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 19、 (本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．【解】（1）【文科】由于)54,53(-B ，θ=∠AOB ，所以34tan -=θ 724916138tan 1tan 22tan 2=--=-=θθθ 于是)42tan(πθ+1731724172412tan 12tan 1-=-+=-+=θθ （2）θS θθsin sin 11=⨯⨯=由于)0,1(=,)sin ,(cos θθ=……7分，所以)sin ,cos 1(θθ+=+=OB OA OCθθθcos 1sin 0)cos 1(1+=⨯++⨯=⋅OC OA …………9分S ⋅+θ1)4sin(21cos sin ++=++=πθθθ（πθ<<0）由于4544ππθπ<+<，所以1)4s i n (22≤+<-πθ，所以120+≤⋅+<S θ20、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．【解】【文科】（1）设圆柱的母线长为l ，则根据已知条件可得，πππ8222=+⋅=Rl R S 全，1=R ，解得3=l ⊥A A 1底面ACB ,所以A A 1是三棱锥CB A A 1-的高︒=∠120AOC ，所以3=AC ,1=BC ,231321=⨯⨯=∆ACB S 23323313111=⨯⨯=⨯=∆=A A S V ACB ACB A 【文科】（2）取A A 1的中点为D ,连接OD 、CD ，由于B A OD 1//,所以DOC ∠或其补角即为异面直线B A 1与OC 所成的角。
在DOC ∆中，213211==B A OD ;221493=+=CD ;1=OC 01313213124211413cos <-=⨯⨯-+=∠DOC 所以DOC ∠1313arccos-=π，于是异面直线B A 1与OC 所成的角的大小为1313arccos。
21、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 【解】（1）由12-=xy 得)1(log 2+=y x ，即)1(log )(21+=-x x f（1->x ）)1()(1-=-x f x g x 2log =（0>x ） )()(21x g x fy -=-x x 22log )1(log 2-+=)21(log 12log 222++=++=xx x x x第20题图由于0>x ，所以21≥+xx （当且仅当1=x 时，等号成立） 所以当1=x 时，函数24log 2min ==y （2）【文科】2|12|22|)(|)](1[≥-⋅⇔≥⋅+x x x f x f ①若0≥x ，解得1≥x ，所以1≥x ； ②若0<x ，解得φ∈x .所以),1[+∞=A 由)1(log )(21+=-x x f （1->x ）得，x m x x g m x f 221log )1(log 2)()(2≥++⇔≥+-(1≥x ) 所以不等式1-+-≥x x m (1≥x )恒成立，函数143)21(12-≥---=-+-=x x x y ，所以1-≥m22、（本题满分16分）第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分． 【解】（1）由x y 42=得，2=p ，即12=p ，所以)0,1(F ，20120-=--=k ，所以2-=k ……3分（2）当1-=k 时，),1(k d =)1,1(-=，直线l ：1210--=-y x …4分 将直线l 与曲线Γ的方程联立得，⎩⎨⎧=+-=xy x y 422，……5分消去y 并整理得，0482=+-x x ，其中0>∆……6分设),(11y x A 、),(22y x B ，则⎩⎨⎧=⋅=+482121x x x x ……7分于是)1](4)[()1()(||2212212221k x x x x k x x AB +-+=+-=642)1664(=⨯-= (9)分（3）假设存在这样的实数a ,使得点)0,(a P 关于直线l 的对称点),(00y x Q 落在曲线Γ的准线上,根据题意可得0>k ，所以直线l ：ky x 21-=，即l ：2+=kx y ，由于0>k ，方程组⎩⎨⎧=+=xy kx y 422消去y 得方程04)1(422=+-+x k x k ，直线l 与曲线Γ有公共点，故xyO第21题016)1(1622≥--=∆k k ，解得21≤k ，所以210≤<k ……11分 点)0,(a P 与),(00y x Q 关于直线l ：2+=kx y 对称，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-++⋅=k ax y a x k y 12220000……12分 得22014)1(k kk a x +--=（210≤<k ）……13分，当点Q 落在曲线Γ的准线1-=x 上时，2214)1(kkk a +--1-=， 所以1)21(41114222---=-+-=k k k k k a ，即121412---=-k k a ……14分 当21=k 时，1=a ；当210<<k 时，212143)21(211142>+---=--=-k k k k a ，解得11<<-a所以11≤<-a ，所以存在这样的实数a ，满足题设条件。