2021年中考数学专题复习：画轴对称图形

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2021年中考数学专题复习：轴对称与中心对称(含答案)

2020-2021中考专题复习：轴对称与中心对称一、选择题1. 如图，在△ABC中，∠ACB为钝角.用直尺和圆规在边AB上确定一点D.使∠ADC=2∠B，则符合要求的作图痕迹是()2. 如图，线段AB与A'B'(AB=A'B')不关于直线l成轴对称的是()3. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝22.5°，AB边的垂直平分线交BC于点D，则下列结论中错误的是()A．∠ADC＝45°B．∠DAC＝45°C．BD＝AD D．BD＝DC4. 在汉字“生活中的日常用品”中，是轴对称图形的有()A.2个B.3个C.4个D.5个5. 如图，已知钝角三角形ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.步骤1:以点C为圆心，CA长为半径画弧①;步骤2:以点B为圆心，BA长为半径画弧②，交弧①于点D;步骤3:连接AD，交BC的延长线于点H.则下列叙述正确的是()A.BH垂直平分线段ADB.AC平分∠BADC.S△ABC=BC·AHD.AB=AD6. 如图，已知菱形ABCD与菱形EFGH关于直线BD上的某个点中心对称，则点B的对称点是()A．点E B．点FC．点G D．点H7. 把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形(如图0)的对应点所具有的性质是()A.对应点所连线段与对称轴垂直B.对应点所连线段被对称轴平分C.对应点所连线段都相等D.对应点所连线段互相平行8. 把一张长方形纸片按图2①②所示的方式从右向左连续对折两次后得到图③，再在图③中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是图3中的()二、填空题9. 若点A(x＋3，2y＋1)与点A′(y－5，1)关于原点对称，则点A的坐标是________．10. 如图，在△ABC中，已知AC=3，BC=4，点D为边AB的中点，连接CD，过点A作AE⊥CD于点E，将△ACE沿直线AC翻折到△ACE'的位置.若CE'∥AB，则CE'=.11. 如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，E为BC上一点，把△CDE沿DE 折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为.12. 如图，直线a，b垂直相交于点O，曲线C是以点O为对称中心的中心对称图形，点A的对称点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D.若OB＝3，OD＝2，则阴影部分的面积为________．13. 在平面直角坐标系中，点P(4，2)关于直线x＝1的对称点的坐标是________．14. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC.若DE＝1，则BC的长是________．15. 数学活动课上，两名同学围绕作图问题:“如图①，已知直线l和直线l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥直线l于点Q.”分别作出了如图②③所示的两个图形，其中作法正确的为图(填“②”或“③”).16. 现要在三角地带ABC内(如图)建一座中心医院，使医院到A，B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请你确定这座中心医院的位置.三、解答题17. 已知:如图，AB=AC，DB=DC，点E在直线AD上.求证:EB=EC.18. 如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A，B，C的坐标分别为(－2，4)，(－2，0)，(－4，1)，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：(1)画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；(2)平移△ABC，使点A移动到点A2(0，2)的位置，画出平移后的△A2B2C2，并写出点B2，C2的坐标；(3)在△ABC，△A1B1C1中，△A2B2C2与________成中心对称，其对称中心的坐标为________.19. 如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E.(1)若∠BAC=50°，求∠EDA的度数;(2)求证:直线AD是线段CE的垂直平分线.20. 如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE分别与AB边和AC边交于点D 和点E，BC边的垂直平分线FG分别与BC边和AC边交于点F和点G，若△BEG 的周长为16，GE=3，求AC的长.21. 如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF.(1)如图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF ＝3S△EDF，求AE的长；(2)如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M 处，且使MF∥CA.①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；②求EF的长．22. 如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线12y x b=-+交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．2020-2021中考专题复习：轴对称与中心对称-答案一、选择题1. 【答案】B[解析]∵∠ADC=2∠B，且∠ADC=∠B+∠BCD，∴∠B=∠BCD，∴点D在线段BC的垂直平分线上，故选B.2. 【答案】A[解析] 选项A中，A'B'是由线段AB平移得到的，所以线段AB与A'B'不关于直线l成轴对称.3. 【答案】D[解析] ∵AB的垂直平分线交BC于点D，∴AD＝BD，故C正确；∵AD＝BD，∴∠B＝∠BAD＝22.5°.∴∠ADC＝45°，故A正确；∠DAC＝90°－∠ADC＝90°－45°＝45°，故B正确．故选D.4. 【答案】B[解析] 根据轴对称图形的定义，在汉字“生活中的日常用品”中，是轴对称图形的有“中”“日”“品”3个.故选B.5. 【答案】A[解析] 如图，连接CD，BD.∵CA=CD，BA=BD，∴点C，B都在线段AD的垂直平分线上.∴BH垂直平分线段AD.故选A.6. 【答案】D[解析] 由于点B，D，F，H在同一条直线上，根据中心对称的定义可知，只能是点B和点H是对称点，点F和点D是对称点．故选D.7. 【答案】B[解析] 连接BB'交对称轴于点O，过点B作BM⊥对称轴，垂足为M，过点B'作B'N⊥对称轴，垂足为N，由轴对称的性质及平移的性质可得BM=B'N.又因为∠BOM=∠B'ON，∠BMO=∠B'NO=90°，所以△BOM≌△B'ON.所以OB=OB'.同理其他对应点也有这样的结论.8. 【答案】C二、填空题9. 【答案】(6，－1) [解析] 依题意，得⎩⎨⎧x ＋3＝－（y －5），2y ＋1＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－1.∴点A 的坐标为(6，－1)．10. 【答案】[解析]如图，作CH ⊥AB 于H.由翻折可知:∠AE'C=∠AEC=90°，∠ACE=∠ACE'， ∵CE'∥AB ，∴∠ACE'=∠CAD ，∴∠ACD=∠CAD ，∴DC=DA.∵AD=DB ，∴DC=DA=DB ，∴∠ACB=90°，∴AB==5，∵·AB ·CH=AC ·BC ，∴CH=， ∴AH==，∵CE'∥AB ，∴∠E'CH +∠AHC=180°， ∵∠AHC=90°，∴∠E'CH=90°， ∴四边形AHCE'是矩形， ∴CE'=AH=，故答案为.11. 【答案】[解析]设CE=x ，则BE=6-x.由折叠的性质可知，EF=CE=x ，DF=CD=AB=10，在Rt △DAF 中，AD=6，DF=10，∴AF=8， ∴BF=AB -AF=10-8=2，在Rt △BEF 中，BE 2+BF 2=EF 2，即(6-x )2+22=x 2，解得x=，故答案为.12. 【答案】6[解析] 如图，过点A ′作A ′B ′⊥a ，垂足为B ′，由题意可知，①与②关于点O 中心对称，所以阴影部分的面积可以看作四边形A ′B ′OD 的面积．又A′D⊥b于点D，直线a，b互相垂直，可得四边形A′B′OD是矩形，所以其面积为3×2＝6.13. 【答案】(－2，2)[解析] ∵点P(4，2)，∴点P到直线x＝1的距离为4－1＝3.∴点P关于直线x＝1的对称点P′到直线x＝1的距离为3.∴点P′的横坐标为1－3＝－2.∴对称点P′的坐标为(－2，2)．14. 【答案】3[解析] ∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE ＝1.∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD.∴∠B＝∠DAB.∵∠DAB＝∠CAD，∴∠CAD＝∠DAB＝∠B.∵∠C＝90°，∴∠CAD＋∠DAB＋∠B＝90°.∴∠B＝30°.∴BD＝2DE＝2.∴BC＝BD＋CD＝2＋1＝3.15. 【答案】③16. 【答案】解:作线段AB的垂直平分线EF，作∠BAC的平分线AM，EF与AM 相交于点P，则点P处即为这座中心医院的位置.三、解答题17. 【答案】证明:连接BC.∵AB=AC，DB=DC，∴直线AD是线段BC的垂直平分线.又∵点E在直线AD上，∴EB=EC.18. 【答案】解：(1)△ABC关于原点O对称的△A1B1C1如图所示．(2)平移后的△A2B2C2如图所示，其中点B2的坐标为(0，－2)，点C2的坐标为(－2，－1)．(3)△A1B1C1(1，－1)19. 【答案】解:(1)∵∠BAC=50°，AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠BAC=25°.∵DE⊥AB，∴∠AED=90°.∴∠EDA=90°-25°=65°.(2)证明:∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB.∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC.又∵AD=AD ，∴△AED ≌△ACD.∴AE=AC ，DE=DC.∴点A ，D 都在线段CE 的垂直平分线上.∴直线AD 是线段CE 的垂直平分线.20. 【答案】解:∵DE 垂直平分线段AB ，GF 垂直平分线段BC ，∴EB=EA ，GB=GC.∵△BEG 的周长为16，∴EB+GB+GE=16.∴EA+GC+GE=16.∴GA+GE+GE+GE+EC=16.∴AC+2GE=16.∵GE=3，∴AC=10.21. 【答案】(1)如解图①，∵折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，解图①∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ，∴S △AEF ＝S △DEF ，∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，∴S 四边形ECBF ＝3S △AEF ，∵S △ACB ＝S △AEF ＋S 四边形ECBF ，∴S △ACB ＝S △AEF ＋3S △AEF ＝4S △AEF ， ∴14△△AEF ACB S S ，∵∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°，∴△AEF ∽△ABC ， ∴2△△（）AEF ACB S AE ABS =， ∴214（）=，AE AB 在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴AB 2＝AC 2＋BC 2，即AB ＝42＋32＝5，∴(AE 5)2＝14，∴AE ＝52；(2)①四边形AEMF 是菱形．证明：如解图②，∵折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，∴∠CAB ＝∠EMF ，AE ＝ME ，又∵MF ∥CA ，∴∠CEM ＝∠EMF ，∴∠CAB ＝∠CEM ，∴EM ∥AF ，∴四边形AEMF 是平行四边形，而AE ＝ME ，∴四边形AEMF 是菱形，解图②②如解图②，连接AM ，与EF 交于点O ，设AE ＝x ，则AE ＝ME ＝x ，EC ＝4－x ， ∵∠CEM ＝∠CAB ，∠ECM ＝∠ACB ＝90°，∴Rt △ECM ∽Rt △ACB ，∴EC AC ＝EM AB ，∵AB ＝5，∴445-，x x =解得x ＝209， ∴AE ＝ME ＝209，EC ＝169，在Rt △ECM 中，∵∠ECM ＝90°，∴CM 2＝EM 2－EC 2，即CM 22EM EC -＝（209）2－（169）2＝43，∵四边形AEMF 是菱形，∴OE ＝OF ，OA ＝OM ，AM ⊥EF ，∴S AEMF 菱形＝4S △AOE ＝2OE ·AO ，在Rt △AOE 和Rt △ACM 中，∵tan ∠EAO ＝tan ∠CAM ，∴OE AO ＝CM AC ，∵CM ＝43，AC ＝4，∴AO ＝3OE ，∴S AEMF 菱形＝6OE 2，又∵S AEMF 菱形＝AE ·CM ，∴6OE 2＝209×43，解得OE ＝2109，∴EF ＝2OE ＝4109.22. 【答案】(1)①如图2，当E 在OA 上时，由12y x b =-+可知，点E 的坐标为(2b ,0)，OE ＝2b ．此时S ＝S △ODE ＝112122OE OC b b ⋅=⨯⨯=． ②如图3，当E 在AB 上时，把y ＝1代入12y x b =-+可知，点D 的坐标为(2b －2,1)，CD ＝2b －2，BD ＝5－2b ．把x ＝3代入12y x b =-+可知，点E 的坐标为3(3,)2b -，AE ＝32b -，BE ＝52b -．此时 S ＝S 矩形OABC －S △OAE － S △BDE －S △OCD＝1315133()()(52)1(22)22222b b b b -⨯-----⨯⨯- 252b b =-+． (2)如图4，因为四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 关于直线DE 对称，因此DM ＝DN ，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN 是菱形．作DH ⊥OA ，垂足为H ．由于CD ＝2b －2，OE ＝2b ，所以EH ＝2．设菱形DMEN 的边长为m ．在Rt △DEH 中，DH ＝1，NH ＝2－m ，DN ＝m ，所以12＋(2－m )2＝m 2．解得54m =．所以重叠部分菱形DMEN 的面积为54．图2 图3 图4考点伸展把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为53，如图7所示．图5 图6 图7。

2024年中考备考：初二数学上册：画轴对称图形经典例题(含答案)

2024年中考备考：初二数学上册：画轴对称图形经典例题（含答案）一、单选题1. 下列剪纸图案中，能通过轴对称变换得到的有（ C ）2. 下列说法错误的是（B ）A．关于某直线对称的两个图形一定能完全重合B．全等的两个三角形一定关于某直线对称C．轴对称图形的对称轴至少有一条D．线段是轴对称图形3.如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔.若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（B ）A．1 号袋 B．2 号袋 C．3 号袋 D．4 号袋4.如图所示，在3×3的正方形网格中已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的办法有( C )A．3种 B．4种 C．5种 D．6种解析：试题分析：如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置有以下几种：1处，3处，7处，6处，5处，选择的位置共有5处故选C.考点：利用轴对称设计图案点评：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5.在如上图由5个小正方形组成的图形中，再补上一个小正方形，使它成为轴对称图形，你有几种不同的方法( C )A．2种 B．3种 C．4种 D．5种6. 小强将一张正方形纸片按如图所示对折两次，并在如图位置上剪去一个小正方形，然后把纸片展开，得到的图形应是（B ）7. 如图，直线l1与直线l2相交，∠α＝60°，点P在∠α内（不在l1 ，l2上）。

小明用下面的方法作P的对称点：先以l1为对称轴作点P关于l1的对称点P1 ，再以l2为对称轴作P1关于l2的对称点P2 ，然后再以l1为对称轴作P2关于l1的对称点P3 ，以l2为对称轴作P3关于l2的对称点P4 ，……，如此继续，得到一系列点P1 ，P2 ，P3 ，…，。

2021届中考数学总复习：图形的对称-精练精析(1)及答案解析

图形的变化——图形的对称1一．选择题（共9小题）1．如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，则线段QR的长为（）A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．72．如图，直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．下列四个图形：其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44下面几何图形中，一定是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．点A（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（1，2）6．点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（﹣2，5）B．（2，5）C．（﹣2，﹣5）D．（2，﹣5）7．在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），则点A关于x轴的对称点的坐标为（）A．（3，2）B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）8．已知点A（a，2013）与点B（2014，b）关于x轴对称，则a+b的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．39．将一张正方形纸片按如图1，图2所示的方向对折，然后沿图3中的虚线剪裁得到图4，将图4的纸片展开铺平，再得到的图案是（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题）10．如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是_________ ．11．点P（﹣2，3）关于x轴的对称点P′的坐标为_________ ．12．点P（2，3）关于x轴的对称点的坐标为_________ ．13．点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标为_________ ．14．若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，则m+n= _________ ．15．如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有_________ 种．16．如图，菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，M、N分别是BC、CD的中点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是_________ ．三．解答题（共6小题）17．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，1），B（﹣1，0），C（﹣2，﹣1），请在图中画出△ABC，并画出与△ABC关于y轴对称的图形．18．如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点，点P是x轴上的一个动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当PA+PB的值最小时，求点P的坐标．19．如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿AC折叠，点B落在点E处，AE与DC的交点为O，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：DE∥AC．20．如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在E处，BE与CD相交于F，若AD=3，BD=6．（1）求证：△EDF≌△CBF；（2）求∠EBC．21．如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O．（1）求证：△AOE≌△COD；（2）若∠OCD=30°，AB=，求△AOC的面积．22．准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若四边形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面积．图形的变化——图形的对称1参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，则线段QR的长为（）A． 4.5 B．5.5 C．6.5 D．7考点：轴对称的性质．专题：几何图形问题．分析：利用轴对称图形的性质得出PM=MQ，PN=NR，进而利用MN=4cm，得出NQ的长，即可得出QR的长．解答：解：∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，∴PM=MQ，PN=NR，∵PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，∴RN=3cm，MQ=2.5cm，即NQ=MN﹣MQ=4﹣2.5=1.5（cm），则线段QR的长为：RN+NQ=3+1.5=4.5（cm）．故选：A．点评：此题主要考查了轴对称图形的性质，得出PM=MQ，PN=NR是解题关键．2．如图，直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在（）A．第一象限B第二象限C．第三象限D．第四象限考点：轴对称的性质．分析：根据轴对称的性质作出选择．解答：解：如图所示，直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在第一象限．故选：A．点评：本题考查了轴对称的性质．此题难度不大，采用了“数形结合”的数学思想．3．下列四个图形：其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是（）A． 1 B．2 C3 D． 4考点：轴对称图形．分析：根据轴对称图形及对称轴的定义求解．解答：解：第一个是轴对称图形，有2条对称轴；第二个是轴对称图形，有2条对称轴；第三个是轴对称图形，有2条对称轴；第四个是轴对称图形，有3条对称轴；∴对称轴的条数为2的图形的个数是3；故选：C．点评：本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；4下面几何图形中，一定是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：轴对称图形．分析：利用关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可．解答：解：圆弧、角、等腰梯形都是轴对称图形．故选：C．点评：此题主要考查了轴对称图形的定义，轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．5．点A（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C（﹣1，﹣2）D．（1，2）考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析：根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接得到答案．解答：解：点A（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（1，2），故选：D．点评：此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．6点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（﹣2，5）B（2，5）C．（﹣2，﹣5）D．（2，﹣5）考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析：根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P （x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案．解答：解：∵点P（2，﹣5）关于x轴对称，∴对称点的坐标为：（2，5）．故选：B．点评：此题主要考查了关于x轴对称点的坐标性质，正确记忆坐标变化规律是解题关键．7．在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），则点A关于x轴的对称点的坐标为（）A．（3，2）B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析：根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P （x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案．解答：解：∵点A（2，3），∴点A关于x轴的对称点的坐标为：（2，﹣3）．故选：B．点评：此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆关于坐标轴对称点的性质是解题关键．8已知点A（a，2013）与点B（2014，b）关于x轴对称，则a+b的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析：根据关于x轴对称点的坐标的特点，可以得到点A的坐标与点B的坐标的关系．解答：解：∵A（a，2013）与点B（2014，b）关于x轴对称，∴a=2014，b=﹣2013∴a+b=1，故选：B．点评：此题主要考查了关于x、y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．9．（将一张正方形纸片按如图1，图2所示的方向对折，然后沿图3中的虚线剪裁得到图4，将图4的纸片展开铺平，再得到的图案是（）A．B C．D．考点：剪纸问题．分析：对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．解答：解：严格按照图中的顺序向右上翻折，向左上角翻折，剪去左上角，展开得到结论．故选：B．点评：本题考查的是剪纸问题，此类题目主要考查学生的动手能力及空间想象能力，对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．二．填空题（共7小题）10．如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是2．考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质．专题：压轴题．分析：过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作AP′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值．解答：解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，∵DD′⊥AE，∴∠AFD=∠AFD′，∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，∴△DAF≌△D′AF，∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=4，∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′=45°，∴AP′=P′D′，∴在Rt△AP′D′中，P′D′2+AP′2=A D′2，AD′2=16，∵AP′=P′D'，2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16，∴P′D′=2，即DQ+PQ的最小值为2，故答案为：2．点评：本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质和全等三角形的判定和性质和轴对称﹣最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．11．点P（﹣2，3）关于x轴的对称点P′的坐标为（﹣2，﹣3）．考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析：让点P的横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得到点P关于x轴的对称点P′的坐标．解答：解：∵点P（﹣2，3）关于x轴的对称点P′，∴点P′的横坐标不变，为﹣2；纵坐标为﹣3，∴点P关于x轴的对称点P′的坐标为（﹣2，﹣3）．故答案为：（﹣2，﹣3）．点评：此题主要考查了关于x轴对称点的性质，用到的知识点为：两点关于x轴对称，横纵坐标不变，纵坐标互为相反数．12．点P（2，3）关于x轴的对称点的坐标为（2，﹣3）．考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析：根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P （x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）得出即可．解答：解：∵点P（2，3）∴关于x轴的对称点的坐标为：（2，﹣3）．故答案为：（2，﹣3）．点评：此题主要考查了关于x轴、y轴对称点的性质，正确记忆坐标规律是解题关键．13．点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣2）．考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．专题：常规题型．分析：根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可．解答：解：点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣2）．故答案为：（﹣1，﹣2）．点评：本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．14．若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，则m+n= 0 ．考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析：根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列出方程求解即可．解答：解：∵点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，∴m+2=4，3=n+5，解得：m=2，n=﹣2，∴m+n=0，故答案为：0．点评：本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．15．如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有 3 种．考点：利用轴对称设计图案．专题：几何图形问题．分析：根据轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合及正方形的对称轴是两条对角线所在的直线和两组对边的垂直平分线，得出结果．解答：解：在1，2，3处分别涂黑都可得一个轴对称图形，故涂法有3种，故答案为：3．点评：考查了利用轴对称设计图案，此题要首先找到大正方形的对称轴，然后根据对称轴，进一步确定可以涂黑的正方形．16如图，菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，M、N分别是BC、CD的中点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是 5 ．考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理的应用；平行四边形的判定与性质；菱形的性质．专题：几何图形问题．分析：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、PB，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．解答：解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，即Q在AB上，∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，∵M为BC中点，∴Q为AB中点，∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ=CN，∴四边形BQNC是平行四边形，∴NQ=BC，∵四边形ABCD是菱形，∴CP=AC=3，BP=BD=4，在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，∴MP+NP=QP+NP=QN=5，故答案为：5．点评：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．三．解答题（共6小题）17．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，1），B（﹣1，0），C（﹣2，﹣ 1），请在图中画出△ABC，并画出与△ABC关于y轴对称的图形．考点：作图-轴对称变换．专题：作图题．分析：根据关于y轴对称点的性质得出A，B，C关于y轴对称点的坐标，进而得出答案．解答：解：如图所示：△DEF与△ABC关于y轴对称的图形．点评：此题主要考查了轴对称变换，得出对应点坐标是解题关键．18．如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点，点P是x轴上的一个动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当PA+PB的值最小时，求点P的坐标．考点：轴对称-最短路线问题；待定系数法求二次函数解析式．专题：数形结合．分析：（1）设抛物线顶点式解析式y=a（x﹣1）2+4，然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得解；（2）先求出点B关于x轴的对称点B′的坐标，连接AB′与x轴相交，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点P，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出直线AB′的解析式，再求出与x轴的交点即可．解答：解：（1）∵抛物线的顶点为A（1，4），∴设抛物线的解析式y=a（x﹣1）2+4，把点B（0，3）代入得，a+4=3，解得a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4；（2）点B关于x轴的对称点B′的坐标为（0，﹣3），由轴对称确定最短路线问题，连接AB′与x轴的交点即为点P，设直线AB′的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，∴直线AB′的解析式为y=7x﹣3，令y=0，则7x﹣3=0，解得x=，所以，当PA+PB的值最小时的点P的坐标为（，0）．点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，（1）利用顶点式解析式求解更简便，（2）熟练掌握点P的确定方法是解题的关键．19．如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿AC折叠，点B落在点E处，AE与DC的交点为O，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：DE∥AC．考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．专题：证明题．分析：（1）根据矩形的性质和折叠的性质可得BC=CE=AD，AB=AE=CD，根据SSS可证△ADE≌△CED（SSS）；（2）根据全等三角形的性质可得∠EDC=∠DEA，由于△ACE与△ACB关于AC所在直线对称，可得∠OAC=∠CAB，根据等量代换可得∠OAC=∠DEA，再根据平行线的判定即可求解．解答：证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD，又∵AC是折痕，∴BC=CE=AD，AB=AE=CD，在△ADE与△CED中，，∴△ADE≌△CED（SSS）；（2）∵△ADE≌△CED，∴∠EDC=∠DEA，又∵△ACE与△ACB关于AC所在直线对称，∴∠OAC=∠CAB，∵∠OCA=∠CAB，∴∠OAC=∠OCA，∴2∠OAC=2∠DEA，∴∠OAC=∠DEA，∴DE∥AC．点评：本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键．20．如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在E处，BE与CD相交于F，若AD=3，BD=6．（1）求证：△EDF≌△CBF；（2）求∠EBC．考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．专题：证明题．分析：（1）首先根据矩形的性质和折叠的性质可得DE=BC，∠E=∠C=90°，对顶角∠DFE=∠BFC，利用AAS可判定△DEF≌△BCF；（2）在Rt△ABD中，根据AD=3，BD=6，可得出∠ABD=30°，然后利用折叠的性质可得∠DBE=30°，继而可求得∠EBC的度数．解答：（1）证明：由折叠的性质可得：DE=BC，∠E=∠C=90°，在△DEF和△BCF中，，∴△DEF≌△B CF（AAS）；（2）解：在Rt△ABD中，∵AD=3，BD=6，∴∠ABD=30°，由折叠的性质可得；∠DBE=∠ABD=30°，∴∠EBC=90°﹣30°﹣30°=30°．点评：本题考查了折叠的性质、矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键．21．如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O．（1）求证：△AOE≌△COD；（2）若∠OCD=30°，AB=，求△AOC的面积．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：证明题．分析：（1）根据矩形的对边相等可得AB=CD，∠B=∠D=90°，再根据翻折的性质可得AB=AE，∠B=∠E，然后求出AE=CD，∠D=∠E，再利用“角角边”证明即可；（2）根据全等三角形对应边相等可得AO=CO，解直角三角形求出CO，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠B=∠D=90°，∵矩形ABCD沿对角线AC折叠点B落在点E处，∴AB=AE，∠B=∠E，∴AE=CD，∠D=∠E，在△AOE和△COD中，，∴△AOE≌△COD（AAS）；（2）解：∵△AOE≌△COD，∴AO=CO，∵∠OCD=30°，AB=，∴CO=CD÷cos30°=÷=2，∴△AOC的面积=AO•CD=×2×=．点评：本题考查了翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟记各性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键．22．准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若四边形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面积．考点：翻折变换（折叠问题）；平行四边形的判定；菱形的性质．分析：（1）根据四边形ABCD是矩形和折叠的性质可得EB∥DF，DE∥BF，根据平行四边形判定推出即可．（2）求出∠ABE=30°，根据直角三角形性质求出AE、BE，再根据菱形的面积计算即可求出答案．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∴∠EBD=∠ABD=∠FDB，∴EB∥DF，∵ED∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形．（2）解：∵四边形BFDE为菱形，∴BE=ED，∠EBD=∠FBD=∠ABE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠ABC=90°，∴∠ABE=30°，∵∠A=90°，AB=2，∴AE==，BF=BE=2AE=，故菱形BFDE的面积为：×2=．点评：本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的性质，含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．。

中考数学专题复习练习：轴对称与轴对称图形

典型例题一例01．下列图形中，不是轴对称图形的是（）（A ）有两个角相等的三角形（B ）有一个内角是的直角三角形︒45（C ）有一个内角是，另一个内角为的三角形︒30︒120（D ）有一个角是的直角三角形︒30分析：在（A ）中，有两个角相等的三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形一定是轴对称图形，它的对称轴为底边上的高（或底边上的中线或顶角的平分线）. 而（B ）和（C ）中的两个三角形同样也是等腰三角形，所以也是轴对称图形. 那么（D ）中三角形的三个内角各不相等，不是等腰三角形，所以（D ）不是轴对称图形.解答：选（D ）说明：在三角形中，只有等腰三角形才是轴对称图形，而不是等腰三角形的三角形就一定不是轴对称图形.典型例题二例02．已知：直线MN ，同侧两点A 、B （如图）求作：点P ，使P 在MN 上，并且最小.BP AP +作法 1．作点A 关于直线MN 的对称点.A '2．连结交MN 于PA A '点P 就是所求作的点.说明这类问题经常遇到，可以和生活中的问题结合衍生出许多应用问题，但本质都是这道题.典型例题三例03．在图（a ）中，分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点，，连结交OA 1P 2P 21P P 于M ，交OB 于N ，若，则的周长为多少？cm P P 521=PMN ∆作法：略.解答：如图（b ）所示，∵，P 关于OA 对称，1P ∴PMM P =1同理可得.PN N P =2∴的周长PMN ∆MN PN PM ++=N P MN M P 21++=cmP P 521==∴的周长为. PMN ∆cm 5 说明准确作图是关键.典型例题四例04．已知：（如图）四边形ABCD 和过点D 的直线MN ，求作：四边形，使四边形与四边形ABCD 关于MN 对称.D C B A ''''D C B A ''''作法 1．作，垂足为E ；延长BE 到，使，得到点B 的对称MN BE ⊥B 'BE E B ='点.2．同法作点A 和点C 的对称点.C A ''3．因为D 在对称轴MN 上，所以点D 的对称点重合.D '4．连结、、.B A ''C B ''D C ''四边形即为所求.D C B A '''' 说明关键是掌握概念和基本作图.典型例题五例05．有一条小河（如图所示），两岸有A 、B 两地，要设计道路并在河上垂直于河岸架一座桥，用来连接A 、B 间路线怎样走，桥应架在何处，才能使A 到B 的距离最短.分析：桥梁无论架在何处均垂直于河岸，因此桥梁的长度是定值，决定路程长度的关键是选取建桥点的位置，相对应地在河岸A 地同测取一点，使B 与河岸距离等于与河B 'B '岸到桥头的距离之和，于是，这个总是转化为“直线同侧有两点A 、，欲在直线上求一B '点，使这一点与A 、距离之和最短.B '已知：如图，河岸AB 两地求作：线段CD ，使CD 与、均互相垂直，并且最小.1l 2l BD CD AC ++作法：（1）作，与、分别交点、E ，并且1l B B ⊥'1l 2l E 'BEE B =''（2）在上取一点使（或者找到点关于的对称点）E E 'B ''E B E B ''='''B '1l B ''（3）连结，与交于C 点，作，与交于D 点，CD 即为所求作的线段.B A ''l 2l CD ⊥2l 典型例题六例06．如图所示，P 是平分线AD 上一点，P 与A 不重合，.BAC ∠AB AC >求证：ABAC PB PC -<-分析：用对称法. 可利用轴对称图形的知识找出点B 关于直线AD 的对称点，因AD B '为的平分线，故在AC 上，连结，从而构造与两个轴对称图BAC ∠B 'P B 'P B A '∆ABP ∆形，再利用三角形两边之差小于第三边来证明.证明：作点B 关于直线AD 的对称点，连结.B 'P B '∵AD 是的平分线，BAC ∠∴点在AC 上（是以角平分线AD 所在直线为对称轴的轴对称图形），B 'BAC ∠又∵AP 在对称轴AD 上，∴，P B BP B A AB '='=,在中，C B P '∆∵，C B B P PC '<'-，AB AC B A AC C B -='-=' ，P B BP '=∴.AB AC BP PC -<-说明：和就是利用角平分线AD 构造出的轴对称图形，这种方法对于证BAC ∆P B A '∆明有关线段的不等关系非常方便、有效.典型例题七例07．如图，E 、F 是的边AB 、AC 上的点，在BC 上求一点M ，使的ABC ∆EMF ∆周长最小.分析因为E 、F 是定点，所以EF 是定值. 要使△EMF 的周长最小，只要MF ME +最小.解答（1）作点F 关于直线BC 的对称点.F '（2）连结交BC 于M ，点M 就是所求.F E '说明这类问题在日常生活中经常可以遇到.典型例题八例08．如图，过C 作的平分线AD 的垂线，垂足为D ，作交AC 于BAC ∠AB DE //E .求证：.CE AE =分析由已知条件容易得到，从而. 要证明，只须证明32∠=∠DE AE =CE AE =，联想到AD 是角平分线又是垂线，若延长CD 交AB 的延长线于P ，则C 、P 关CE DE =于直线AD 对称，于是问题可以解决.解答延长CD 交AB 的延长线于P .在和中，ADP ∆ADC ∆⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠ADP ADC ADAD 21∴（角边角）ADC ADP ∆≅∆故.ACD P ∠=∠又∵，AP DE //∴，P ∠=∠4则.,4CE DE ACD =∠=∠∵，AB DE //∴，31∠=∠又∵，21∠=∠∴，32∠=∠∵（等边对等角），AE DE =∴.CE AE =说明全等三角形是证明角或线段相等的一种方法，但不是惟一方法，不要一证线段相等就找全等三角形. 等腰三角形的判定定理及其推论，中垂线的性质，都是证线段相等的重要途径.典型例题九例09．如图，AD 是中的平分线，且.ABC ∆BAC ∠AC AB >求证：.DC BC>分析由于AD 是的平分线，所以可以以AD 为轴构造轴对称图形，即把BAC ∠ADC ∆沿AD 翻折，这样，就可以在中解决问题.︒180DC DE =BED ∆证明在AB 上截取AE ，使，连结DE .AC AE =∵AD 是的平分线，BAC ∠∴，21∠=∠在和中，AED ∆ACD ∆⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()(21)(公共边已证作图AD AD AC AE ∴（边角边），ACD AED ∆≅∆∴，DC DE =∴（全等三角形对应边对应角相等），43∠=∠∵，（内角和定理的推论），3∠>∠BED B ∠>∠4∴（大角对大边），ED BD B BED >∠>∠,∴.DC BD >说明本题中的的就是利用角平分线构造出来的轴对称图形. 本题还有AED ∆ACD ∆其他构造轴对称图形的方法，比如把沿AD 翻折，也可证明结论.ADB ∆︒180选择题1．选择题（1）在下列命题中：①两个全等三角形是轴对称图形②两个关于直线对称的图形是全等形l ③等边三角形是轴对称图形④线段有三条对称轴正确命题的个数是（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（2）下列图形是一定轴对称图形的是（）（A ）任意三角形（B ）有一个角等于的三角形︒60（C ）等腰三角形（D ）直角三角形（3）P 为内一点，且，则P 点是（）ABC ∆PC PB PA ==（A ）三条中线的交点（B ）三条高的交点（C ）三个角的平分线的交点（D ）三边垂直平分线的交点（4）已知：D 为的边BC 的中点，且，下面各结论不正确的是（）ABC ∆BC AD ⊥（A ）（B ）ACD ABC ∆≅∆CB ∠=∠（C ）AD 是的平分线（D ）是等边三角形BAC ∠ABC ∆（5）正五角星的对称轴有（）（A ）1条（B ）2条（C ）5条（D ）10条（6）等边三角形的对称轴共有（）（A ）1条（B ）3条（C ）6条（D ）无数条（7）下列四个图形①等腰三角形 ②等边三角形 ③等腰直角三角形 ④直角三角形中，一定是轴对称图形的有（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个（8）下列图形中，不一定是轴对称图形的是（）（A ）线段（B ）角（C ）三角形（D ）等腰直角三角形参考答案：1．选择题（1）B （2）C （3）D （4）D （5）C （6）B （7）C （8）C 填空题1．填空题（1）等边三角形的对称轴有______条.（2）如果沿着一条直线折叠，两个点能互相重合，那么这两个点叫做_______.（3）把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形_______.（4）如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做_______.参考答案1．填空题（1）3 （2）对称点（3）轴对称（4）轴对称图形解答题1．如图，已知线段AB 及直线MN ，求作线段AB 关于MN 的对称图形.2．如图，已知及直线EF ，求作关于EF 的对称图形.ABC ∆ABC ∆3．如图，已知折线ABC 及直线PQ ，求作折线ABC 关于直线PQ 的对称图形.4．如图，已知，分别以OM ，ON 为对称轴作三角形与它对称.ABC ∆5．在中，，，垂足为H ，点B 关于AH 的对称点是. ABC ∆C B ∠=∠2BC AH ⊥B '求证：.AB C B ='6．如图，已知：在直线MN 的同侧有两点A 和B .求作：MN 上一点，使.BCN ACM ∠=∠7．如图，EFGH 是一个矩形的台球台面，有黑白两球分别位于A ，B 两点位置上，试问：怎样撞击黑球A ，求能使A 先碰撞台边EF 反弹后两击中白球B ？参考答案1．略 2．略 3．略 4．略5．证明：连结，则易证，B A 'B A AB '=B B A B '∠=∠∵，∴，即.B CAC B B A '∠+∠='∠B ∠=C ∠=2B CA C '∠=∠AB C B AB =''=6．作法：作点A 关于MN 的对称点，连结，与MN 的交点为C ，则点C 就是所A 'A B '要求作的点. 证明：略.7．作点A 关于EF 的对称点，连结与EF 的交点为C ，则沿AC 方向撞击黑球A 'B A '就可以满足要求.。

中考数学一轮复习：图形的轴对称与中心对称

A．3
B．4
C．5
D．6
解析：由折叠知 BE＝EF＝3，则 EC＝5.故 CF＝ EC2－EF2＝4.设 AB＝x，则 AF＝x， AC＝x＋4，∴x2＋82＝(x＋4)2.∴x＝6.
答案：D
二、填空题 3．如图， D 是AB边上的中点，将△ABC 沿过D 的直线折叠，使点A 落在BC上的F 处．若∠B＝50°，则∠BDF＝________.
解析：由题意得AD＝DF，又AD＝DB，∴DB＝DF，∴∠DBF＝∠DFB＝50°， ∴∠BDF＝80°.
答案：80°
4．如图，△ABC 的顶点都在正方形网格格点上，点 A 的坐标为(－1,4)．将△ABC 沿 y 轴翻折到第一象限，则点 C 的对应点 C′的坐标是(3,1)．
三、解答题 5．如图，在 10× 10 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，网格中有一个格点 △ABC(即三角形的顶点都在格点上 )．
解析：∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ABC＝90° .由轴对称可知：∠DBF＝∠CBF， 1 ∠ABE＝∠DBE，∴∠EBF＝ ∠ABC＝45° . 2
答案：C
一、选择题 1．如图，在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(
)
答案：B
2.如图，在矩形纸片 ABCD 中，已知 AD＝8，折叠纸片使 AB 边与对角线 AC 重合，点 B 落在 F 处，折痕为 AE，且 EF＝3，则 AB 的长为( )
知识点二
中心对称图形和中心对称
1．在平面内，一个图形绕某个点旋转 180° ，能与原来的图形重合，这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，旋转前后图形上能够重合的点叫做对称点． 2．在平面内，一个图形绕某一定点旋转 180° ，它能够与另一个图形重合，就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做对称中心，旋转后两个图形上能够重合的点叫做关于对称中心的对称点． 3．中心对称与中心对称图形的区别与联系区别：(1)中心对称是指两个图形的位置关系，而中心对称图形是指具有某种性质的一类图形；(2) 成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，而中心对称图形的对称点在同一个图形上．联系：若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称；若把成中心对称的两个图形看成一个整体，则成为中心对称图形．

图形的变化——轴对称备战2023年中考数学考点微专题

考向5.2 图形的变化——轴对称[知识要点] 1、定义把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。

2、性质（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。

（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。

（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。

3、判定如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

4、轴对称图形把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

例题1．在ABC 中，90ACB ∠=︒，ACm BC=，D 是边BC 上一点，将ABD △沿AD 折叠得到AED ，连接BE ．（1）特例发现：如图1，当1m =，AE 落在直线AC 上时， ①求证：DAC EBC ∠=∠； ②填空：CDCE的值为______；（2）类比探究：如图2，当1m ≠，AE 与边BC 相交时，在AD 上取一点G ，使ACG BCE ∠=∠，CG 交AE 于点H ．探究CGCE的值（用含m 的式子表示），并写出探究过程；（3）拓展运用：在（2）的条件下，当22m =，D 是BC 的中点时，若6EB EH ⋅=，求CG 的长．解：（1）①证明：延长AD 交BE 于点F ．由折叠得90AFB ACB ∠=︒=∠．∴90DAC ADC BDF EBC ∠+∠=∠+∠=︒． ∵ADC BDF ∠=∠， ∴DAC EBC ∠=∠． ②当1m =，即1ACBC=时，可知AC =BC ，在ACD △和BCE 中， 90DAC EBC ACD BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴ACD ≌BCE (AAS )， ∴CD CE =， ∴1CDCE=．故答案为：1；（2）解：CGm CE=．理由：延长AD 交BE 于点F ，由折叠得90AFB ACB ∠=︒=∠．∴90ADC DAC BDF CBE ∠+∠=∠+∠=︒， ∵ADC BDF ∠=∠，∴DAC CBE ∠=∠， ∵ACG BCE ∠=∠， ∴ACG BCE △∽△， ∴CG ACm CE BC==．（3）解：由折叠得90AFB ∠=︒，BF FE =， ∵D 是BC 的中点， ∴//DF CE ，∴90BEC BFD ∠=∠=︒，AGC ECG ∠=∠，GAH CEA ∠=∠，由（2）知ACG BCE △∽△， ∴90AGC BEC ∠=∠=︒， 22AG CG AC m BE CE BC ====， D 是BC 的中点，2,BC CD ∴=∴2ACCD=， ∴1tan 2CG DC GAC AG AC =∠==，设CG x =，则2AG x =，2CE x =，2BE x =， ∴AG CE =，,,GAH HEC AHG CHE ∠=∠∠=∠∴AGH ECH ≌△△， ∴AH EH =，GH CH =， ∴12GH x =，在Rt AGH 中，由勾股定理得2232AH AG GH x EH =+==， ∵6EB EH ⋅=， ∴3262x x ⋅=，解得2x =±（负值舍去）， ∴2CG =．【点拨】本题．1、轴对称图形和折叠的关系：折叠形成的图形就是轴对称图形，其中折痕所在的直线就是对称轴；2、“对称点的连线被对称轴垂直平分”这个知识点常常是解题的突破口；3、本题为三角形综合题，考查折叠的性质，全等三角形判定与性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，根据折叠性质找到角度之间的关系是解题的关键一、单选题1．（2022·重庆·模拟预测）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．（2021·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点()3,4A -关于y 轴对称的点B 的坐标是（） A ．()3,4-B ．()3,4--C ．()3,4-D ．()3,43．（2021·山东青岛·中考真题）如图，在四边形纸片ABCD 中，//AD BC ，10AB =，60B ∠=︒．将纸片折叠，使点B 落在AD 边上的点G 处，折痕为EF ．若45BFE ∠=︒，则BF 的长为（）A ．5B ．35C ．53D 34．（2021·山东滨州·中考真题）在四张反面无差别的卡片上，其正面分别印有线段、等边三角形、平行四边形和正六边形．现将四张卡片的正面朝下放置，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率为（） A ．12B ．13C ．14D ．345．（2018·四川内江·中考真题）如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在F 处，BF 交AD 于点E ．若∠BDC ＝62°，则∠DEF 的度数为（）A ．31°B ．28°C ．62°D ．56°6．（2021·山东潍坊·中考真题）如图，某机器零件的三视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．主视图B ．左视图C ．俯视图D ．不存在7．（2021·四川凉山·中考真题）如图，ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，将ADE 沿DE 翻折，使点A 与点B 重合，则CE 的长为（）A ．198B ．2C ．254 D ．748．（2011·甘肃天水·中考真题）把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM 、FM 为折痕，折叠后的C 点落在B′M 或B′M 的延长线上，那么∠EMF 的度数是( )A ．85°B ．90°C ．95°D ．100°9．（2020·山东济南·中考真题）如图，在ABC 中，AB ＝AC ，分别以点A 、B 为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E ，F ，作直线EF ，D 为BC 的中点，M 为直线EF 上任意一点．若BC ＝4，ABC 面积为10，则BM +MD 长度的最小值为（）A ．52B ．3C ．4D ．5二、填空题10．（2021·四川内江·中考真题）有背面完全相同，正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的卡片5张，现正面朝下放置在桌面上，将其混合后，并从中随机抽取一张，则抽中正面的图形一定是轴对称图形的卡片的概率为 __．11．（2021·河南·中考真题）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，1AC =．第一步，在AB 边上找一点D ，将纸片沿CD 折叠，点A落在A '处，如图2，第二步，将纸片沿CA '折叠，点D 落在D 处，如图3．当点D 恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段A D ''的长为__________．12．（2014·贵州黔西·中考真题）如图．将长方形纸片ABCD 折叠，使边AB 、CB 均落在对角线BD 上，得折痕BE 、BF ，则∠EBF 的大小为_____ .13．（2021·湖南湘西·中考真题）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB 、CD ，若//CD BE ，1=20∠︒，则2∠的度数是____．14．（2021·湖南株洲·中考真题）《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（蜨，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图①中的“様”和“隻”为“样”和“只”）．图②为某蝶几设计图，其中ABD △和CBD 为“大三斜”组件（“一様二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点P 处，点P 与点A 关于直线DQ 对称，连接CP 、DP ．若24ADQ ∠=︒，则DCP ∠= ___________度．15．（2014·四川德阳·中考真题）如图，△ABC 中，∠A=60°，将△ABC 沿DE 翻折后，点A 落在BC 边上的点A′处．如果∠A′EC=70°，那么∠A′DE 的度数为___．16．（2017·山东泰安·中考真题）如图，30BAC ∠=︒，M 为AC 上一点，2AM =，点P 是AB 上的一动点，PQ AC ⊥，垂足为点Q ，则PM PQ +的最小值为_________．17．（2015·四川内江·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，E 为CD 上一点，分别以EA ，EB 为折痕将两个角（∠D ，∠C ）向内折叠，点C ，D 恰好落在AB 边的点F 处．若AD=2，BC=3，则EF 的长为____．18．（2012·山东潍坊·中考真题）点P 在反比例函数ky x= (k ≠0)的图象上，点Q (2，4)与点P 关于y 轴对称，则反比例函数的解析式为____ 三、解答题19．（2021·湖北武汉·二模）如图，在下列88⨯的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点，ABC 的顶点的坐标分别为()3,0A ，()0,4B ，()4,2C ．（1）直接写出ABC 的形状；（2）要求在下图中仅用无刻度的直尺作图：将ABC 绕点B 逆时针旋转角度2α得到11A BC ，其中ABC α=∠，A ，C 的对应点分别为1A ，1C ，请你完成作图；（3）在网格中找一个格点G ，使得1C G AB ⊥，并直接写出G 点的坐标；（4）作点1C 关于BC 的对称点D ．20．（2021·北京东城·二模）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，直线l过点A．点B与点D 关于直线l对称，连接AD，CD．求证：∠ACD=∠ADC．21．（2017·山东威海·中考真题）如图，四边形为一个矩形纸片，，，动点自点出发沿方向运动至点后停止.以直线为轴翻折，点落到点的位置.设，与原纸片重叠部分的面积为.（1）当为何值时，直线过点？（2）当为何值时，直线过的中点？（3）求出与的函数关系式.一、单选题1．（2021·湖北荆门·中考真题）下列图形既是中心对称又是轴对称的是（）A ．B ．C ．D ．2．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，将边BC 沿CN 折叠，使点B 落在AB 上的点B ′处，再将边AC 沿CM 折叠，使点A 落在CB '的延长线上的点A '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点N 、M ，则线段A M '的长为（）A ．95B ．85C ．75D ．653．（2021·黑龙江绥化·中考真题）已知在Rt ACB 中，90,75C ABC ∠=︒∠=︒，5AB =．点E 为边AC 上的动点，点F 为边AB 上的动点，则线段FE EB +的最小值是（）A 53B ．52C 5D 34．（2021·江苏苏州·中考真题）如图，在平行四边形ABCD 中，将ABC 沿着AC 所在的直线翻折得到AB C '，B C '交AD 于点E ，连接B D '，若60B ∠=︒，45ACB ∠=︒，6AC =则B D '的长是（）A ．1B ．2C ．3D ．625．（2021·湖北湖北·中考真题）若抛物线2y x bx c =++与x 轴两个交点间的距离为4．对称轴为2x =，P 为这条抛物线的顶点，则点P 关于x 轴的对称点的坐标是（） A ．()2,4B ．()2,4-C ．()2,4--D ．()2,4-6．（2021·内蒙古·中考真题）如图，在ABC 中，AB AC =，DBC △和ABC 关于直线BC 对称，连接AD ，与BC 相交于点O ，过点C 作CE CD ⊥，垂足为C ，与AD 相交于点E ．若8AD =，6BC =，则2+OE AEBD的值为（）A ．43B ．34C ．53D ．547．（2021·河北·中考真题）如图，直线l ，m 相交于点O ．P 为这两直线外一点，且 2.8OP =．若点P 关于直线l ，m 的对称点分别是点1P ，2P ，则1P ，2P 之间的距离可能．．是（）A ．0B ．5C ．6D ．78．（2021·湖北武汉·中考真题）如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的弦，先将BC 沿BC 翻折交AB 于点D ．再将BD 沿AB 翻折交BC 于点E ．若BE DE =，设ABC α∠=，则α所在的范围是（）A ．21.922.3α︒<<︒B ．22.322.7α︒<<︒C ．22.723.1α︒<<︒D ．23.123.5α︒<<︒9．（2021·四川宜宾·中考真题）如图，在矩形纸片ABCD 中，点E 、F 分别在矩形的边AB 、AD 上，将矩形纸片沿CE 、CF 折叠，点B 落在H 处，点D 落在G 处，点C 、H 、G 恰好在同一直线上，若AB ＝6，AD ＝4，BE ＝2，则DF 的长是（）A ．2B ．74C ．322D ．3二、填空题10．（2021·山东青岛·中考真题）已知正方形ABCD 的边长为3，E 为CD 上一点，连接AE 并延长，交BC 的延长线于点F ，过点D 作DG AF ⊥，交AF 于点H ，交BF 于点G ，N 为EF 的中点，M 为BD 上一动点，分别连接MC ，MN ．若14DCG FCE S S =△△，则MN MC +的最小值为__________．11．（2021·青海西宁·中考真题）如图，ABC 是等边三角形，6AB =，N 是AB 的中点，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 上的一个动点，连接,BM MN ，则BM MN +的最小值是________．12．（2021·辽宁鞍山·中考真题）如图，90POQ ∠=︒，定长为a 的线段端点A ，B 分别在射线OP ，OQ 上运动（点A ，B 不与点O 重合），C 为AB 的中点，作OAC 关于直线OC 对称的OA C '，A O '交AB 于点D ，当OBD 是等腰三角形时，OBD ∠的度数为_____________．13．（2021·广东广州·中考真题）如图，在ABC 中，AC BC =，38B ∠=︒，点D 是边AB 上一点，点B 关于直线CD 的对称点为B '，当//B D AC '时，则BCD ∠的度数为________．14．（2021·贵州毕节·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，2BC =，120C ∠=︒，Q 为AB 的中点，P 为对角线BD 上的任意一点，则AP PQ +的最小值为_____________．15．（2021·辽宁大连·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，点E 在边BC 上，将ABE △沿直线AE 翻折180°，得到'AB E △，点B 的对应点是点B '若AB BD '⊥，2BE =，则BB '的长是__________．16．（2021·辽宁营口·中考真题）如图，40MON ∠=︒，以O 为圆心，4为半径作弧交OM 于点A ，交ON 于点B ，分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧在MON ∠的内部相交于点C ，画射线OC 交AB 于点D ，E 为OA 上一动点，连接BE ，DE ，则阴影部分周长的最小值为_________．17．（2021·山东聊城·中考真题）有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有等边三角形、平行四边形、菱形和圆，将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面上的图形都既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是__________． 18．（2021·四川广安·中考真题）如图，将三角形纸片ABC 折叠，使点B 、C 都与点A 重合，折痕分别为DE 、FG .已知15ACB ∠=︒，AE EF =，3DE =，则BC 的长为_______．19．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点F 是正方形内一点，连接,CF DF ，且ADF =DCF ∠∠，点E 是AD 边上一动点，连接,EB EF ，则EB EF +长度的最小值为___________．三、解答题20．（2021·辽宁阜新·中考真题）下面是小明关于“对称与旋转的关系”的探究过程，请你补充完整．（1）三角形在平面直角坐标系中的位置如图1所示，简称G ，G 关于y 轴的对称图形为1G ，关于x 轴的对称图形为2G ．则将图形1G 绕____点顺时针旋转____度，可以得到图形2G ．（2）在图2中分别画出．．．．G 关于 y 轴和直线1y x =+的对称图形1G ，2G ．将图形1G 绕____点（用坐标表示）顺时针旋转______度，可以得到图形2G ．（3）综上，如图3，直线1:22l y x =-+和2:l y x =所夹锐角为α，如果图形G 关于直线1l 的对称图形为1G ，关于直线2l 的对称图形为2G ，那么将图形1G 绕____点（用坐标表示）顺时针旋转_____度（用α表示），可以得到图形2G ．21．（2021·山东济宁·中考真题）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．（1）阅读材料立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．例如，正方体ABCD A B C D ''''-（图1）．因为在平面AA C C ''中，//CC AA ''，AA '与AB 相交于点A ，所以直线AB 与AA '所成的BAA '∠就是既不相交也不平行的两条直线AB 与CC '所成的角．解决问题如图1，已知正方体ABCD A B C D ''''-，求既不相交也不平行的两条直线BA '与AC 所成角的大小．（2）如图2，M ，N 是正方体相邻两个面上的点．①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是； ②在所选正确展开图中，若点M 到AB ，BC 的距离分别是2和5，点N 到BD ，BC 的距离分别是4和3，P 是AB 上一动点，求PM PN +的最小值．22．（2021·湖北荆门·中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++交x 轴于(1,0)A -，(3,0)B 两点，交y 轴于点(0,3)C -，点Q 为线段BC 上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求||||QO QA +的最小值；（3）过点Q 作//PQ AC 交抛物线的第四象限部分于点P ，连接P A ，PB ，记PAQ △与PBQ △的面积分别为1S ，2S ，设12S S S =+，求点P 坐标，使得S 最大，并求此最大值．1．C【解析】【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C【点拨】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．2．D【解析】【分析】根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得答案．【详解】解：点A（-3，4）关于y轴对称的点的坐标是（3，4），【点拨】本题考查了关于y 轴对称的点的坐标，明确关于y 轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等是解题的关键 3．C 【解析】【分析】过点A 作AH BC ⊥ 于H ，由折叠知识得：90BFG ∠=︒ ，再由锐角三角函数可得53AH =，然后根据//AD BC ，可证得四边形AHFG 是矩形，即可求解．【详解】解：过点A 作AH BC ⊥ 于H ，由折叠知：BF =GF ，∠BFE =∠GFE ，45BFE ∠=︒， 90BFG ∴∠=︒ ，在Rt ABH 中，10AB =，60B ∠=︒， 3sin sin 60101053AH B AB =⨯=︒⨯==， //AD BC ，90GAH AHB ∴∠=∠=︒ ， 90GAH AHB BFG ∴∠=∠=∠=︒ ，∴ 四边形AHFG 是矩形， 3FG AH ∴==， 3BF GF ∴==．故选：C ．【点拨】本题主要考查了折叠变换，解直角三角形，矩形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 4．A 【解析】【分析】首先判断各图形是否是轴对称图形，再根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．解：∵线段是轴对称图形，等边三角形是轴对称图形，平行四边形不是轴对称图形，正六边形是轴对称图形，分别用A 、B 、C 、D 表示线段、等边三角形、平行四边形和正六边形，∴随机抽取两张，则抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率为612=12，故选：A ．【点拨】本题考查概率公式、轴对称图形，解答本题的关键是写出题目中的图形是否为轴对称图形，明确两张都是轴对称图形是同时发生的． 5．D 【解析】【分析】先利用互余计算出∠BDE ＝28°，再根据平行线的性质得∠CBD ＝∠BDE ＝28°，接着根据折叠的性质得∠FBD ＝∠CBD ＝28°，然后利用三角形外角性质计算∠DEF 的度数，于是得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD 为矩形， ∴AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，∵90906228BDE BDC ∠︒-∠︒-︒︒＝＝＝， ∵AD ∥BC ，∴∠CBD ＝∠BDE ＝28°， ∵矩形ABCD 沿对角线BD 折叠， ∴∠FBD ＝∠CBD ＝28°，∴∠DEF ＝∠FBD +∠BDE ＝28°+28°＝56°．故选：D ．【点拨】本题考查了矩形的性质，平行线和折叠的性质，综合运用以上性质是解题的关键． 6．C 【解析】【分析】根据该几何体的三视图，结合轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形及中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形进行判断即可．【详解】解：该几何体的三视图如下：三视图中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是俯视图，故选：C．【点拨】本题考查简单几何体的三视图，中心对称、轴对称，理解视图的意义，掌握简单几何体三视图的画法以及轴对称、中心对称的意义是正确判断的前提．7．D【解析】【分析】先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10，再利用折叠的性质得到AE=BE，AD=BD=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2，解得x，可得CE．【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB22AC BC+，∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，∴AE=BE，AD=BD=12AB=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中∵BE2=BC2+CE2，∴x2=62+（8-x）2，解得x=254，∴CE=2584-=74，故选：D．【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了勾股定理．8．B 【解析】【分析】根据折叠性质可得∠EMB′=∠EMB＝12∠BMC′，∠FMB′＝∠FMC＝12∠CMC′，再根据平角定义即可解答．【详解】解：∠EMF＝∠EMB′＋∠FMB′＝12∠BMC′＋12∠CMC′＝12×180°＝90°，故选：B．【点拨】本题考查折叠的性质、平角定义，熟练掌握折叠的性质求角度是解答的关键．9．D【解析】【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．【详解】解：由作法得EF垂直平分AB，∴MB＝MA，∴BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），∴MA+MD的最小值为AD，∵AB＝AC，D点为BC的中点，∴AD⊥BC，∵110,2ABCS BC AD==∴1025,4AD⨯==∴BM+MD长度的最小值为5．故选：D．【点拨】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键．10．45【解析】【分析】卡片中，轴对称图形有等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形，再根据概率公式P =满足条件的样本个数÷总体的样本个数，可求出最终结果．【详解】解：卡片中，轴对称图形有等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形，根据概率公式，P （轴对称图形）45=．故答案为：45．【点拨】本题主要考查概率问题，属于基础题，掌握轴对称图形的性质以及概率公式是解题关键．11．12或2【解析】【分析】因为点D 恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当D 落在AB 边上和BC 边上两种情况分析，勾股定理求解即可．【详解】解：当D 落在AB ：设DD '交AB 于点E ，由折叠知：60EA D A '∠=∠=︒, AD A D A D '''==,DD A E ''⊥,A C AC '=90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，1AC =2,AB BC ∴==设AD x =，则在Rt A ED '中，12A E x '=在Rt ECB 中，12EC BC ==A C AC '=112x ∴=即2x =当D 落在BC 边上时，如图（2）因为折叠，30,ACD A CD A CD '''∠=∠=∠=︒∴ 11,122A D A C A B A C A B AC ''''''===== 12AD A D ''∴==．故答案为：12或23【点拨】本题考查了轴对称变换，勾股定理，直角三角形中30的性质，正确的作出图形是解题的关键．12．45°【解析】【分析】根据折叠的性质可以得出∠EBD=12∠ABD, ∠FBD=12∠CBD,即可求出∠EBF.【详解】解：将长方形纸片ABCD 折叠，使边AB 、CB 均落在对角线BD 上，得折痕BE 、BF 得到∠EBD=∠ABE=12∠ABD, ∠FBD=∠CBF=12∠CBD∵ ∠ABC=90°∴∠EBF=∠EBD+∠FBD=12∠ABD+12∠CBD=12∠ABC=45°故答案为：45°【点拨】本题主要考查了折叠的性质及角度的计算，掌握概念是解题的关键.13．40°【解析】【分析】如图，由折叠的性质可得1=20BAF ∠=∠︒，进而可得40CHB HAB HBA ∠=∠+∠=︒，然后易得四边形CHBD 是平行四边形，最后根据平行四边形的性质可求解．【详解】解：如图所示：∵1=20∠︒，由折叠的性质可得1=20BAF ∠=∠︒，∵//CD BE ，∴20HBA BAF ∠=∠=︒，∴40CHB HAB HBA ∠=∠+∠=︒，∵//CH BD ，∴四边形CHBD 是平行四边形，∴240CHB ∠=∠=︒；故答案为40°．【点拨】本题主要考查平行四边形的性质与判定、平行线的性质及折叠的性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定、平行线的性质及折叠的性质是解题的关键．14．21【解析】【分析】由题意易得四边形ABCD 是正方形，进而根据轴对称的性质可得AD =DP ，24PDQ ADQ ∠=∠=︒，则有CD =DP ，然后可得138CDP ∠=︒，最后根据等腰三角形的性质可求解．【详解】解：∵CBD ABD ≌，且都为等腰直角三角形，∴四边形ABCD 是正方形，∴90,CDA CD AD ∠=︒=，∵点P 与点A 关于直线DQ 对称，24ADQ ∠=︒，∴24PDQ ADQ ∠=∠=︒，AD =DP ，∴CD =DP ，48ADP ∠=︒，∴138CDP ∠=︒， ∴180212CDP DCP DPC ︒-∠∠=∠==︒，故答案为21．【点拨】本题主要考查正方形的判定与性质、轴对称的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握正方形的判定与性质、轴对称的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．15．65°．【解析】【详解】试题分析：：∵∠AEA′=180°﹣∠A′EC=180°﹣70°=110°，又∵∠A′ED=∠AED=12∠AEA′=55°，∠DA′E=∠A=60°，∴∠A′DE=180°﹣∠A′ED ﹣∠DA′E=180°﹣55°﹣60°=65°．故答案是65°．考点：翻折变换（折叠问题）．16．【解析】【详解】试题分析：作点M 关于AB 的对称点N ，过N 作NQ ⊥AC 于Q 交AB 于P ，则NQ 的长即为PM+PQ 的最小值，连接MN 交AB 于D ，则MD ⊥AB ，DM=DN ，∵∠NPB=∠APQ ，∴∠N=∠BAC=30°，∵∠BAC=30°，AM=2，∴MD=AM=1，∴MN=2，∴NQ=MN•cos∠N=2×=，故答案为．考点：轴对称﹣最短路线问题17．6．【解析】【详解】试题分析：先根据折叠的性质得DE=EF，CE=EF，AF=AD=2，BF=CB=3，则DC=2EF，AB=5，再作AH⊥BC于H，由于AD∥BC，∠B=90°，则可判断四边形ADCH为矩形，所以AH=DC=2EF，HB=BC﹣CH=BC﹣AD=1，然后在Rt△ABH中，利用勾股定理计算出AH=2，所以EF=．考点：翻折变换（折叠问题）．.18．8yx=-．【解析】【分析】根据轴对称的定义，利用点Q（2，4），求出P点坐标，将P点坐标代入解析式，即可求出反比例函数解析式．【详解】解：∵点Q（2，4）和点P关于y轴对称，关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数∴P点坐标为（－2，4）．将（－2，4）解析式kyx=得，k=xy=－2×4=－8．∴函数解析式为8yx=-．故答案为：8yx=-．【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟悉待定系数法是解题的关键．19．（1）ABC 是直角三角形；（2）见解析；（3）图见解析，()0,3G ；（4）见解析【解析】【分析】（1）利用勾股定理以及勾股定理的逆定理解决问题即可．（2）利用数形结合的思想解决问题即可．（3）利用数形结合的思想解决问题即可．（4）取格点T ，作直线1TC ，取格点P ，连接OP 交1TC 于点D ，点D 即为所求作．【详解】解：（1）∵()3,0A ，()0,4B ，()4,2C ， ∴22345AB =+=，22521AC =+=，224225BC =+=，∴222AB AC BC =+，∴90ACB ∠=︒，∴ABC 是以AB 为斜边的直角三角形．（2）11A BC 如图所示．先将AB 绕点B 逆时针旋转2α到达1BA ，点1(5,4)A ；再将CB 绕点B 逆时针旋转2α到达1BC ，点1(4,6)C ，连接11A C ，即可得到11A BC ；（3）如图，过点1C 作直线1C G AB ⊥ 交y 轴于点G ，由图可知：点()0,3G ．（4）如图，取格点T （1，0），作直线1TC ，取格点P （4，-2），连接OP 交1TC 于点D ，点D 即为所求作．【点拨】本题考查作图-旋转变换，轴对称，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．20．证明见解析【解析】【分析】要证明∠ACD=∠ADC，只需证明AD=AC，又AB=AD，AB=AC，等量代换即可．【详解】证明：∵点B与点D关于直线l对称，∴AB=AD，又∵AB=AC，∴AD=AC．∴∠ACD=∠ADC．【点拨】本题考查的是等腰三角形的相关定理，能根据要求进行条件的等量转换是解题关键．21．（1）当x=时，直线AD1过点C（2）当x=时，直线AD1过BC的中点E（3）当0＜x≤2时，y=x；当2＜x≤3时，y=【解析】【详解】试题分析：（1）根据折叠得出AD=AD1=2，PD=PD1=x，∠D=∠AD1P=90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AC，在Rt△PCD1中，根据勾股定理得出方程，求出即可；（2）连接PE，求出BE=CE=1，在Rt△ABE中，根据勾股定理求出AE，求出AD1=AD=2，PD=PD1=x，D1E=﹣2，PC=3﹣x，在Rt△PD1E和Rt△PCE中，根据勾股定理得出方程，求出即可；（3）分为两种情况：当0＜x≤2时，y=x；当2＜x≤3时，点D1在矩形ABCD的外部，PD1交AB于F，求出AF=PF，作PG⊥AB于G，设PF=AF=a，在Rt△PFG中，由勾股定理得出方程（x﹣a）2+22=a2，求出a即可．试题解析：（1）如图1，∵由题意得：△ADP≌△AD1P，∴AD=AD1=2，PD=PD1=x，∠D=∠AD1P=90°，∵直线AD1过C，∴PD1⊥AC，在Rt△ABC中，AC=，CD1=﹣2，在Rt△PCD1中，PC2=PD12+CD12，即（3﹣x）2=x2+（﹣2）2，解得：x=，∴当x=时，直线AD1过点C；（2）如图2，连接PE，∵E为BC的中点，∴BE=CE=1，在Rt△ABE中，AE==，∵AD1=AD=2，PD=PD1=x，∴D1E=﹣2，PC=3﹣x，在Rt△PD1E和Rt△PCE中，x2+（﹣2）2=（3﹣x）2+12，解得：x=，∴当x=时，直线AD1过BC的中点E；（3）如图3，当0＜x≤2时，y=x，如图4，当2＜x≤3时，点D1在矩形ABCD的外部，PD1交AB于F，∵AB∥CD，∴∠1=∠2，∵∠1=∠3（根据折叠），∴∠2=∠3，∴AF=PF，作PG⊥AB于G，设PF=AF=a，由题意得：AG=DP=x，FG=x﹣a，在Rt△PFG中，由勾股定理得：（x﹣a）2+22=a2，解得：a=，所以y==，综合上述，当0＜x≤2时，y=x；当2＜x≤3时，y=．考点：1、勾股定理，2、折叠的性质，3、矩形的性质，4、分类推理思想1．C【解析】【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．【详解】解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意．B 、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C 、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；D 、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意．故选：C ．【点拨】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．2．B【解析】【分析】利用勾股定理求出AB =10，利用等积法求出CN ＝245，从而得AN ＝325，再证明∠NMC ＝∠NCM ＝45°，进而即可得到答案．【详解】解：∵90,8,6ACB AC BC ∠=︒==∴AB 10，∵S △ABC ＝12×AB ×CN ＝12×AC ×BC∴CN ＝245，∵AN 325=， ∵折叠∴AM ＝A'M ，∠BCN ＝∠B'CN ，∠ACM ＝∠A'CM ，∵∠BCN +∠B'CN +∠ACM +∠A'CM =90°，∴∠B'CN +∠A'CM ＝45°，∴∠MCN ＝45°，且CN ⊥AB ，∴∠NMC ＝∠NCM ＝45°，∴MN ＝CN ＝245， ∴A'M ＝AM ＝AN −MN ＝325-245=85．故选B ．【点拨】本题考查了翻折变换，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．3．B【解析】【分析】作点F关于直线AB的对称点F’，如下图所示，此时EF+EB=EF’+EB，再由点到直线的距离垂线段长度最短求解即可．【详解】解：作点F关于直线AB的对称点F’，连接AF’，如下图所示：由对称性可知，EF=EF’，此时EF+EB= EF’+EB，由“点到直线的距离垂线段长度最小”可知，当BF’⊥AF’时，EF+EB有最小值BF0，此时E位于上图中的E0位置，由对称性知，∠CAF0=∠BAC=90°-75°=15°，∴∠BAF0=30°，由直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半可知，BF0=12AB=15522⨯=，故选：B．【点拨】本题考查了30°角所对直角边等于斜边的一半，垂线段最短求线段最值等，本题的核心思路是作点F关于AC的对称点，将EF线段转移，再由点到直线的距离最短求解．4．B【解析】【分析】利用平行四边形的性质、翻折不变性可得△AEC为等腰直角三角形，根据已知条件可得CE得长，进而得出ED的长，再根据勾股定理可得出B D'；【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD∠B=∠ADC=60°，∠ACB＝∠CAD由翻折可知：BA＝AB′＝DC，∠ACB＝∠AC B′=45°，∴△AEC为等腰直角三角形。

中考数学复习《轴对称》专项练习题-带含有答案

中考数学复习《轴对称》专项练习题-带含有答案一、单选题1．下列平面图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．若点与关于x轴对称，则点的坐标为（）A．B．C．D．3．在中，和的度数如下，能判定是等腰三角形的是（）A．B．C．D．4．如图，PD垂直平分AB，PE垂直平分BC，若PA的长为7，则PC的长为（）A．5 B．6 C．7 D．85．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（）A．8 B．11 C．16 D．176．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则下列结论不正确的是（）A．B．BC＝2DE C．∠ABE＝15°D．DE＝2AE7．如图，矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点，若AM=1，BN=2，则的长为（）A．B．C．D．8．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM、MC下列结论：①DF=DN；②ABE≌△MBN；③△CMN 是等腰三角形；④AE=CN；，其中正确的结论个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝．10．已知等腰三角形ABC，其中两边，满足，则ABC的周长为．11．在中，点D为斜边上的一点，若为等腰三角形，那么的度数为．12．如图，在中AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线分别交，于D，E，BE=3，则的长为.13．如图，在中，∠ACB=90°，∠A=30°，将绕点C逆时针旋转得到，点M是的中点，点N是的中点，连接，若，则线段的最大值是．三、解答题14．如图,在正方形网格上的一个△ABC．(其中点A． B． C均在网格上)①作△ABC关于直线MN的轴对称图形△A′B′C′；②以P点为一个顶点作一个与△ABC全等的△EPF(规定点P与点B对应,另两顶点都在图中网格交点处).③在MN上画出点Q，使得QA+QC最小。

中考数学复习考点知识归类讲解21 二次函数中对称轴与对称问题

中考数学复习考点知识归类讲解专题21 二次函数中对称轴与对称问题知识对接考点一、求二次函数图象的顶点坐标、对称轴的3种方法1. 公式法:二次函数c bx ax y ++=2(a≠0)的图象的顶点坐标是)44,2(2ab ac a b -- 2.配方法:将抛物线的解析式配方,化为y=a(x-h)2+k 的形式,得到顶点坐标为(h,k),对称轴为直线x=h.3.运用抛物线的对称性:抛物线是轴对称图形,对称轴与抛物线的交点是顶点.若已知抛物线上两点(x 1,m),(x 2,m),则对称轴为直线x=221x x +,再将其代入抛物线的解析式,即可得顶点坐标.专项训练一、单选题1．抛物线y ＝2（x +1）2﹣3的对称轴是（） A ．直线x ＝1B ．直线x ＝﹣1C ．直线x ＝3D ．直线x ＝﹣32．已知抛物线2y ax bx =+经过点(3,3)A --，且该抛物线的对称轴经过点A ，则该抛物线的解析式为（）A ．2123y x x =--B ．2123y x x =-+C ．2123yx x D ．2123y x x =+3．抛物线()20y axbx c a =++≠的对称轴是直线1x =-，其图象如图所示．下列结论：①0abc <；②()()2242a c b +<；③若()11,x y 和()22,x y 是抛物线上的两点，则当1211x x +>+时，12y y <；④抛物线的顶点坐标为()1,m -，则关于x 的方程21ax bx c m ++=-无实数根．其中正确结论的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．14．如图，以直线1x =为对称轴的二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴负半轴交于A 点，则一元二次方程20ax bx c ++=的正数解的范围是（）．A ．23x <<B ．34x <<C ．45x <<D ．56x <<5．已知关于x 的二次函数2y x bx c =++的图象关于直线2x =对称，则下列关系正确的是（） A ．4b = B ．240b c -≤C ．0x =的函数值一定大于3x =的函数值D ．若0c <，则当2x =时，0y >6．点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（）A．154B．4 C．﹣154D．﹣1747．二次函数y＝ax2﹣4ax+2（a≠0）的图象与y轴交于点A，且过点B（3，6）若点B关于二次函数对称轴的对称点为点C，那么tan∠CBA的值是（）A．23B．43C．2 D．348．已知二次函数y＝（2﹣a）23ax ，在其图象对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则a 的值为（）A B C D．09．抛物线y=x2﹣2x﹣15，y=4x﹣23，交于A、B点（A在B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（）A．B．C．D．10．已知抛物线c：y=x2+2x﹣3，将抛物线c平移得到抛物线c′，如果两条抛物线，关于直线x=1对称，那么下列说法正确的是（）A．将抛物线c沿x轴向右平移52个单位得到抛物线c′B．将抛物线c沿x轴向右平移4个单位得到抛物线c′C．将抛物线c沿x轴向右平移72个单位得到抛物线c′D．将抛物线c沿x轴向右平移6个单位得到抛物线c′二、填空题11．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+6x+c的对称轴与x轴交于点A，在直线AB ：y ＝kx +3上取一点B ，使点B 在第四象限，且到两坐标轴的距离和为7，设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，若以点A ，B ，P ，Q 为顶点的四边形为正方形，则c 的值为________．12．已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()3,4,M 是抛物线22(0)y ax bx a =++≠对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当b a的值确定时，抛物线的对称轴上能使AOM 为直角三角形的点M 的个数也随之确定．若抛物线22(0)y ax bx a =++≠的对称轴上存在3个不同的点M ，使AOM 为直角三角形，则ba 的值是____．13．如果一抛物线的对称轴为1x =，且经过点A （3,3），那么点A 关于对称轴的对称点B 的坐标为____________14．已知点A 、B 在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像上（A 在B 右侧），且关于图像的对称轴直线x ＝2对称，若点A 的坐标为（m ，1），则点B 的坐标为_______．（用含有m 的代数式表示）15．已知抛物线2441y ax ax a =-+-. （1）该抛物线的对称轴是x =________.（2）该抛物线与x 轴交于点A ，点B 与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(1,0)，若此抛物线的对称轴上的点P 满足APB ACB ∠<∠，则点P 的纵坐标n 的取值范围是________. 三、解答题16．已知抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴只有一个公共点()30A -,且经过点12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求抛物线的函数解析式；（2）直线l ：34y x m =+与抛物线2y ax bx c =++相交于B 、C 两点（B 点在C 点的左侧），与对称轴相交于点P ，且B ，C 分布在对称轴的两侧．若B 点到抛物线对称轴的距离为n ，且()23CP t BP t =⋅≤≤． ①试探求n 与t 的数量关系；②求线段BC 的最大值，以及当BC 取得最大值时对应m 的值．17．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线213222y x x =+-交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C ．（1）求线段BC 的长；（2）点P 为第三象限内抛物线上一点，连接BP ，过点C 作//CE BP 交x 轴于点E ，连接PE ，求BPE 面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，以y 轴为对称轴，将抛物线213222y x x =+-对称，对称后点P 的对应点为点P '，点M 为对称后的抛物线对称轴上一点，N 为平面内一点，是否存在以点A 、P '、M 、N 为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N 的坐标，若不存在，则请说明理由．18．已知一条抛物线顶点为(),2P m m -，且与x 轴交于点()2,0A m （0m >）（1）当2m =时； ①求二次函数解析式；②直线l ：y kx b =+（0k >）过定点()3,4-与抛物线交于B 、C 两点（B 在C 右侧），连接BP 、CP ，若PBC S =△，求直线l 的解析式；（2）若H 为对称轴右侧的二次函数图象上的一点，且OH 交对称轴于点M ，点N ，M 关于点P 对称，求证：N ，A ，H 三点共线．19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2＋bx ＋c 与x 轴分别交于点A (﹣1，0)和点B ，与y 轴交于点C (0，3)．（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）如图1，点D 与点C 关于对称轴对称，点P 在对称轴上，若∠BPD ＝90°，求点P 的坐标；（3）点M 是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N 在抛物线的对称轴上，当BMN 为等边三角形时，请直接写出点M 的坐标．20．如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A （4，0），B （﹣2，0），C （0，﹣4）三点．（1）求抛物线解析式，并求出该抛物线对称轴及顶点坐标；（2）如图1，点M 是抛物线对称轴上的一点，求△MBC 周长的最小值；（3）如图2，P 是线段AB 上一动点（端点除外），过P 作PD //AC ，交BC 于点D ，连接CP ，求△PCD 面积的最大值，并判断当△PCD 的面积取最大值的时，以PA 、PD 为邻边的平行四边形是否为菱形．21．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()1,0,A B -两点，与y 轴交于点(0,3)C -．()1求抛物线的函数解析式；()2抛物线的对称轴与x 轴交于点M ．点D 与点C 关于点M 对称，试问在该抛物线上是否存在点P ．使ABP △与全ABD △全等﹖若存在，请求出所有满足条件的P 点的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A B 、两点，与y 轴相交于点C ．连接,AC BC A C 、、两点的坐标分别为()1,0A C -、，且它的图象关于直线1x =对称（1）求抛物线的函数关系式；（2）若点M N 、同时从A 点出发，均以每秒2个单位长度的速度分别沿AB AC 、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连接MN ，将AMN ∆沿MN 翻折，A 点恰好落在BC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ，使得以,,A N Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．23．如图所示，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且2OA =，4OB =，8OC =，抛物线的对称轴与直线BC 交于点M ，与x 轴交于点N ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是对称轴上的一个动点，是否存在以P 、C 、M 为顶点的三角形与MNB 相似？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．（3）D 为CO 的中点，一个动点G 从D 点出发，先到达x 轴上的点E ，再走到抛物线对称轴上的点F ，最后返回到点C ．要使动点G 走过的路程最短，请找出点E 、F 的位置，写出坐标，并求出最短路程．（4）点Q 是抛物线上位于x 轴上方的一点，点R 在x 轴上，是否存在以点Q 为直角顶点的等腰Rt CQR △？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．。

中考数学必考知识点-轴对称与中心对称

中考数学必考知识点轴对称与中心对称知识点回顾知识点一：轴对称、轴对称图形1、轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折，对折的两部分是的，那么就称这样的图形为轴对称图形。

这条直线称为，一定为直线。

2、轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形成，两个图形中的对应点叫。

例1：（2009湖南株洲）下列四个图形中，不是．．轴对称图形的是A．B．C．D．解析：轴对称图形的特点就是对折后两旁部分完全重合，所以，判断图形是不是轴对称图形，关键是观察能不能找到一条直线可以对折。

四幅图案中，A、B、C都是轴对称图形；D不是。

选择D。

同步测试：1．（2009广西梧州）在下列对称图形中，对称轴的条数最少的图形是（）A．圆 B．等边三角形 C．正方形 D。

正六边形【答案】B2.（2009贵州黔东南州）在下列几何图形中一定是轴对称图形的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个【答案】B知识点二：轴对称图形的性质1、轴对称图形的对应线段，对应角，对应点的连线被对称轴。

轴对称的两个图形，对应线段或延长线相交，交点在上。

2、轴对称图形变换的特征是不改变图形的和，只改变图形的，新旧图形具有对称性。

例2：（2009湖北荆门）如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则∠A ′DB =（） A ．40° B．30° C．20° D．10° 解析：有关折叠问题是中考常考的题型，必须要辨别清楚折叠前后图形和数量关系。

本题中，将∠A 折叠，出现了轴对称，∠CA ′D =∠A ，因为∠A =50°，所以∠CA ′D =50°。

在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =90°-∠A =40°。

∠CA ′D 是△ A ′B D 的一个外角，等于∠A ′DB 与∠B 之和，所以∠A ′DB =∠A ′DB -∠B =50°- 40°=10°。

2020-2021学年全国各地中考数学真题汇编：轴对称变换及答案

中考数学真题汇编:轴对称变换一、选择题1.下列图形中是中心对称图形的是（）A. B. C.D.【答案】D2.下列图形中一定是轴对称图形的是（）A. B. C.D.【答案】D3.下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A. B. C.D.【答案】B4.如图，将一个三角形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为，则下列结论一定正确的是（）A. B. C.D.【答案】D5.如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（）A.1条B.3条C.5条D.无数条【答案】C6.如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE=32°，则∠GHC等于（）A.112°B.110°C.108°D.106°【答案】D7.如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点，已知,则的度为（）A. B.C. D.【答案】D8.如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP= ，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（）A. B.C.6D. 3【答案】D9.如图，在正方形中，，分别为，的中点，为对角线上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（）A. B.C. D.【答案】D10.将一张正方形纸片按如图步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（）A. B. C.D.【答案】A二、填空题11.已知点是直线上一点，其横坐标为.若点与点关于轴对称，则点的坐标为________.【答案】（，）12.有五张卡片(形状、大小、质地都相同)，正面分别画有下列图形：①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆.将卡片背面朝上洗匀，从中任取一张，其正面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是________．【答案】13.如图，在菱形中，，分别在边上，将四边形沿翻折，使的对应线段经过顶点，当时，的值为________.【答案】14.在平面直角坐标系中，点的坐标是.作点关于轴的对称点，得到点，再将点向下平移个单位，得到点，则点的坐标是（________），（________）.【答案】；15.折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在直线AE上的点H 处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD=________。

2021年中考数学专题冲刺：轴对称与中心对称(含答案)

2021中考数学专题冲刺：轴对称与中心对称一、选择题1. 下列四个标志是关于安全警示的标志，在这些标志中，是轴对称图形的是()2. 下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是()3. 如图所示的图案中，是中心对称图形的是()4. 在平面直角坐标系中，点A(m，2)与点B(3，n)关于y轴对称，则() A．m＝3，n＝2 B．m＝－3，n＝2C．m＝2，n＝3 D．m＝－2，n＝－35. 将一张长与宽的比为2∶1的长方形纸片按图①②所示的方式对折，然后沿图③中的虚线裁剪，得到图④，最后将图④中的纸片展开铺平，所得到的图案是()6. 如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点中心对称，则这个点是() A．O1B．O2C．O3D．O47. 如图，在△ABC中，点D在BC上，将点D分别以AB，AC为对称轴，画出对称点E，F，并连接AE，AF.根据图中标示的角度，∠EAF的度数为()A．113°B．124°C．129°D．134°8. 如图，△ABC中，点D在BC上，∠B=62°，∠C=53°，将点D分别以AB，AC所在直线为对称轴，画出对称点E，F，并连接AE，AF，则∠EAF的度数为()A.124°B.115°C.130°D.106°二、填空题9. 如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，E为BC上一点，把△CDE沿DE 折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为.10. 如图，直线a，b垂直相交于点O，曲线C是以点O为对称中心的中心对称图形，点A的对称点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D.若OB＝3，OD＝2，则阴影部分的面积为________．11. 已知点P (x ，y )的坐标满足等式(x －2)2＋|y －1|＝0，且点P 与点P ′关于y 轴对称，则点P ′的坐标为________．12. 若将等腰直角三角形AOB 按图所示的方式放置，OB ＝2，则点A 关于原点对称的点的坐标为________．13. 画图:试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格.根据上表，猜想正n 边形有条对称轴.14. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰三角形ABC 中，∠A ＝80°，则它的特征值k ＝________．15. 如图，在△ABC 中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB 翻折得到△ABD ，则四边形ADBC 的形状是形，点P ，E ，F 分别为线段AB ，AD ，DB 上的任意一点，则PE+PF 的最小值是 .16. (2019•黄冈)如图，AC BD ，在AB 的同侧，288AC BD AB ===，，，点M 为AB 的中点，若120CMD ∠=︒，则CD 的最大值是__________．三、解答题17. 已知:如图，AB=AC ，DB=DC ，点E 在直线AD 上.求证:EB=EC.18. 如图，在矩形ABCD 中，点E 在AD 上，EC 平分∠BED .(1)试判断△BEC 是不是等腰三角形，并说明理由；(2)在原图中画△FCE ，使它与△BEC 关于CE 的中点O 中心对称，此时四边形BCFE 是什么特殊平行四边形？请说明理由．19. [材料阅读]在平面直角坐标系中，以任意两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)为端点的线段的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.[运用](1)已知点A (－2，1)和点B (4，－3)，则线段AB 的中点坐标是________；已知点M (2，3)，线段MN 的中点坐标是(－2，－1)，则点N 的坐标是________． (2)已知平面上四点A (0，0)，B (10，0)，C (10，6)，D (0，6)．直线y ＝mx －3m ＋2将四边形ABCD 分成面积相等的两部分，则m 的值为________．(3)在平面直角坐标系中，有A (－1，2)，B (3，1)，C (1，4)三点，另有一点D ，可使以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形为平行四边形，求点D 的坐标．20. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，DE 垂直平分AB 交AB 于点D.求证:BE+DE=AC.21. 如图1，△ABC 中，∠ACB=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E.(1)若∠BAC=50°，求∠EDA 的度数; (2)求证:直线AD 是线段CE 的垂直平分线.22. 如图1，将△ABC 纸片沿中位线EH 折叠，使点A 的对称点D 落在BC 边上，再将纸片分别沿等腰△BED 和等腰△DHC 的底边上的高线EF 、HG 折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．(1)将▱ABCD 纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG ，则操作形成的折痕分别是线段________，________；S 矩形AEFG ∶S ▱ABCD ＝________．(2)▱ABCD 纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH ，若EF ＝5，EH ＝12，求AD 的长．(3)如图4，四边形ABCD 纸片满足AD ∥BC ，AD <BC ，AB ⊥BC ，AB ＝8，CD ＝10.小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．．．，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD ，BC 的长．图1 图2 图3 图42021中考数学专题冲刺：轴对称与中心对称-答案一、选择题1. 【答案】D2. 【答案】C3. 【答案】D4. 【答案】B[解析] ∵点A(m，2)与点B(3，n)关于y轴对称，∴m＝－3，n＝2.5. 【答案】A6. 【答案】A[解析] 如图，连接HC和DE交于点O1.7. 【答案】D[解析] 连接AD.∵点D分别以AB，AC为对称轴，画出对称点E，F，∴∠EAB＝∠BAD，∠FAC ＝∠CAD.∵∠B＝62°，∠C＝51°，∴∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝67°.∴∠EAF＝2∠BAC＝134°.8. 【答案】C[解析] 连接AD，如图.∵点D分别以AB，AC所在直线为对称轴，画出对称点E，F，∴∠EAB=∠BAD，∠F AC=∠CAD.∵∠B=62°，∠C=53°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=180°-62°-53°=65°.∴∠EAF=2∠BAC=130°.故选C.二、填空题9. 【答案】[解析]设CE=x，则BE=6-x.由折叠的性质可知，EF=CE=x，DF=CD=AB=10，在Rt△DAF中，AD=6，DF=10，∴AF=8，∴BF=AB-AF=10-8=2，在Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2，即(6-x)2+22=x2，解得x=，故答案为.10. 【答案】6[解析] 如图，过点A′作A′B′⊥a，垂足为B′，由题意可知，①与②关于点O中心对称，所以阴影部分的面积可以看作四边形A′B′OD的面积．又A′D⊥b于点D，直线a，b互相垂直，可得四边形A′B′OD是矩形，所以其面积为3×2＝6.11. 【答案】(－2，1)[解析] ∵(x－2)2≥0，|y－1|≥0，又(x－2)2＋|y－1|＝0，∴x －2＝0且y－1＝0，即x＝2，y＝1.∴点P的坐标为(2，1)．那么点P关于y轴的对称点P′的坐标为(－2，1)．12. 【答案】(－1，－1)[解析] 如图，过点A作AD⊥OB于点D.∵△AOB是等腰直角三角形，OB＝2，∴OD＝AD＝1，∴A(1，1)，∴点A关于原点对称的点的坐标为(－1，－1)．13. 【答案】解:如图.故填3，4，5，6，n.14. 【答案】85或14[解析] ①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为180°－80°2＝50°，∴特征值k＝80°50°＝85.②当∠A为底角时，顶角的度数为180°－80°－80°＝20°，∴特征值k＝20°80°＝14.综上所述，特征值k为85或14.15. 【答案】菱[解析]∵AC=BC，∴△ABC是等腰三角形.将△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴AC=BC=AD=BD，∴四边形ADBC是菱形.∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴△ABC与△ABD关于AB成轴对称.如图所示，作点E关于AB的对称点E'，连接PE'，根据轴对称的性质知AB垂直平分EE'，∴PE=PE'，∴PE+PF=PE'+PF，当E'，P，F三点共线，且E'F⊥AC时，PE+PF有最小值，该最小值即为平行线AC与BD间的距离.作CM⊥AB于M，BG⊥AD于G，由题知AC=BC=2，AB=1，∠CAB=∠BAD，∴cos ∠CAB=cos ∠BAD ，即=，∴AG=，在Rt △ABG 中，BG===，由对称性可知BG 长即为平行线AC ，BD 间的距离， ∴PE +PF 的最小值=.16. 【答案】14【解析】如图，作点A 关于CM 的对称点A'，点B 关于DM 的对称点B'．∵120CMD ∠=︒，∴60AMC DMB ∠+∠=︒， ∴60CMA'DMB'∠+∠=︒， ∴60A'MB'∠=︒， ∵MA'MB'=，∴A'MB'△为等边三角形，∵14CD CA'A'B'B'D CA AM BD ≤++=++=， ∴CD 的最大值为14，故答案为：14．三、解答题17. 【答案】证明:连接BC.∵AB=AC ，DB=DC ，∴直线AD 是线段BC 的垂直平分线. 又∵点E 在直线AD 上，∴EB=EC.18. 【答案】解：(1)△BEC 是等腰三角形．理由：∵在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DEC ＝∠BCE .∵EC 平分∠BED ，∴∠DEC ＝∠BEC ， ∴∠BEC ＝∠BCE ，∴BC ＝BE ， ∴△BEC 是等腰三角形．(2)连接BO 并延长至点F ，使OF ＝OB ，连接FE ，FC ，△FCE 即为所求．四边形BCFE 是菱形．理由： ∵OB ＝OF ，OE ＝OC ， ∴四边形BCFE 是平行四边形．又∵BC ＝BE ， ∴▱BCFE 是菱形．19. 【答案】解：(1)(1，－1) (－6，－5) (2)12(3)设点D 的坐标为(x ，y)．若以AB 为对角线，AC ，BC 为邻边的四边形为平行四边形，则AB ，CD 的中点重合，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 2＝－1＋32，4＋y 2＝2＋12，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1；若以BC 为对角线，AB ，AC 为邻边的四边形为平行四边形，则AD ，BC 的中点重合，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋x 2＝3＋12，2＋y 2＝1＋42，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝3；若以AC 为对角线，AB ，BC 为邻边的四边形为平行四边形，则BD ，AC 的中点重合，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＋x 2＝－1＋12，1＋y 2＝2＋42，解得⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝5.综上可知，点D 的坐标为(1，－1)或(5，3)或(－3，5)．20. 【答案】证明:∵∠ACB=90°，∴AC ⊥BC.又∵DE ⊥AB ，BE 平分∠ABC ，∴CE=DE.∵DE 垂直平分AB ，∴AE=BE.∵AC=AE+CE ，∴BE+DE=AC.21. 【答案】解:(1)∵∠BAC=50°，AD 平分∠BAC ，∴∠EAD=∠BAC=25°.∵DE ⊥AB ，∴∠AED=90°.∴∠EDA=90°-25°=65°.(2)证明:∵DE ⊥AB ，∴∠AED=90°=∠ACB.∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAE=∠DAC.又∵AD=AD ，∴△AED ≌△ACD.∴AE=AC ，DE=DC.∴点A ，D 都在线段CE 的垂直平分线上.∴直线AD 是线段CE 的垂直平分线.22. 【答案】【思维教练】(2)AD＝DH＋AH，由折叠性质和全等三角形得出DH＝HN，FN＝AH，即AD＝FH，由叠合矩形的概念可知∠FEH＝90°，利用勾股定理求出AD；(3)观察图形的特点，可以考虑从CD的中点横向和竖向折叠或从分别从每个角的位置向内折叠构成矩形，利用构成的直角三角形求解得出结果．解：(1)AE，GF；1∶2(2分)(2)∵四边形EFGH是叠合矩形，∠FEH＝90°，又EF＝5，EH＝12.∴FH＝EF2＋EH2＝52＋122＝13.(4分)由折叠的轴对称性可知，DH＝HN，AH＝HM，CF＝FN.易证△AEH≌△OGF，∴CF＝AH.(5分)∴AD＝DH＋AH＝HN＋FN＝FH＝13.(6分)(3)本题有以下两种基本折法，如解图1，解图2所示．(作出一种即可)1 2按解图1的折法，则AD＝1，BC＝7；按解图2的折法，则AD＝134，BC＝374.(10分)。

初中数学：13.1-13.2 轴对称、画轴对称图形

M
N
轴对称图形
区别
一个图形
两个图形成轴对称
两个图形
1.沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合．
2.都有对称轴．
联系 3.如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条直线对称.
4.如果把两个成轴对称的图形看成一个图形，那么这个图形就是轴对称图形.
例3 如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′，B′，
B C
M A
D
N
C' B'
解：∵ 五边形ABCC′B′是轴对称图形 ∴ ∠B′=∠B=120°，∠C′=∠C=110°，
CD=C′D=1/2CC′=2 cm 又∵五边形ABCC′B′的内角和为540°， ∴ ∠BAB′=540°－∠B′－∠B－∠C′－∠C=80°
B C
M A
D
N
C' B'
初中数学
总结
证明两条线段相等线段的垂直平分线的性质
MN⊥AB，AP=BP
AM=BM，AN=BN
线段的垂直平分线的判定
证明两线的位置关系（垂直平分）
互逆定理
例4 如图，已知线段AB，用直尺和圆规作AB的垂直平分线. 思路：找两个到点A、B距离相等的点.
A
B
例4 如图，已知线段AB，用直尺和圆规作AB的垂直平分线.
关键词
中点垂直直线MN 线段AA
M
P
A
A′
N
图形轴对称的性质
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
M
A
A'
B C
B' D D'

2020中考数学专题复习：图形和变换(轴对称、轴对称图形)(共29张PPT)

3- 2
例题6．
A O
Q
F
B E
综合提优
①求证：DQ＝AE；②推断:GF:AE的值；
D
G
C
综合提优
A
D BC:AB＝k(k为常数)．探究GF与AE之间的数量
关系，并说明理由；
MO
F
B
E
G P
C
A
5X
O2 10 F 3 10 x
4X 5X
拓展应用：在(2)的条件下，连接CP,当k＝ 2 D 时，若tan∠CGP＝ 3 ,GF＝2 10 ，求CP的长．3
2. 下列图形中，为轴对称图形的是（ D ）
基础训练
3.(2017黑龙江哈尔滨)下列图形中,既是轴对称图形
又是中心对称图形的是 ( D )
基础训练
4.如图所示,在Rt△ABC中，
∠C= 90°,以顶点A为圆心,适当
长为半径画弧，分别交AC,AB
于点M、N,再分别以点M,N为
圆心,大于0.5MN的长为半径画
例题讲解
∵以△ADE、△AD′E，关于直线AE 成轴对称图形∴AD＝AD′， ∵在△ABD和△ACD′中
∴△ABD≌△ACD′（sss）
（2）解：∵△ABD≌△ACD′，∴∠BAD＝∠CAD′， ∴∠BAC＝∠DAD′＝120°， ∵以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形 △AD′E， ∴∠DAE＝∠D′AE＝ ∠DAD′＝60°，即∠DAE＝60°
E是边CD上一点,连接AE.折叠该纸片,使点A落在AE
上的G点,并使折痕经过点B,得到折痕BF,点F在AD上.
若DE=5,则GE的长为
.
例题讲解
12
由折叠及轴对称的性质可知， △ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，

中考数学专题复习卷：轴对称、平移与旋转(含解析)

轴对称、平移与旋转一、选择题1.下列图形中一定是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】A、40°的直角三角形不是轴对称图形，故不符合题意；B、两个角是直角的四边形不一定是轴对称图形，故不符合题意；C、平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故不符合题意；D、矩形是轴对称图形，有两条对称轴，故符合题意，故答案为：D.【分析】把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形就是轴对称图形；根据轴对称图形的定义，再一一判断即可。

2.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A. 正三角形B. 菱形C. 直角梯形D. 正六边形【答案】C【解析】：A.正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故正确，A符合题意；B.菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故错误，B不符合题意；C.直角梯形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故错误，C不符合题意；D.正六边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故错误，D不符合题意；故答案为：A.【分析】根据轴对称图形和中心对称图形定义一一判断对错即可得出答案.3.将抛物线y=-5x +l向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得到的抛物线为（）.A. y=-5(x+1) -1B. y=-5(x-1) -1C. y=-5(x+1) +3D. y=-5(x-1) +3【答案】A【解析】：将抛物线y=-5x+l向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为：y=-5（x+1）2+1再向下平移2个单位长度得到的抛物线为：y=-5(x-1)+1-2即y=-5(x+1)-1故答案为：A【分析】根据二次函数图像的平移规律：上加下减，左加右减，将抛物线y=ax2向上或向下平移m个单位，再向左或向右平移n个单位即得到y=a（x±n）2±m。

根据平移规则即可得出平移后的抛物线的解析式。

即可求解。

4.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】：点关于原点对称的点的坐标为（3,5）故答案为：C【分析】根据关于原点对称点的坐标特点是横纵坐标都互为相反数，就可得出答案。

中考数学总复习--轴对称图形

中考数学总复习--轴对称图形一、选择题1.下列图案属于轴对称图形的是（）A. B.C. D.2.下列说法：①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线；②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴；③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形；④两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁，其中正确的有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个3.下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（）A. 清华大学B. 北京大学C. 中国人民大学D. 浙江大学4.给出下列图形名称：（1）线段；（2）直角；（3）等腰三角形；（4）平行四边形；（5）长方形，在这五种图形中是轴对称图形的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，则线段QR的长为（）A. 4.5cmB. 5.5cmC. 6.5cmD. 7cm6.如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点（P不与AA′共线），下列结论中错误的是（）A. △AA′P是等腰三角形B. MN垂直平分AA′，CC′C. △ABC与△A′B′C′面积相等D. 直线AB、A′B′的交点不一定在MN上7.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A. B. C. D.8.把一个正方形纸片折叠三次后沿虚线剪断①②两部分，则展开①后得到的是（）A. B. C. D.9.如图，在小方格中画与△ABC成轴对称的三角形（不与△ABC重合），这样的三角形能画出（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A. 95B. 125C. 165D. 18511.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O、点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是（）A. 60∘B. 55∘C. 50∘D. 45∘12.如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE所在直线折叠得到△AGE，延长AG交CD于点F，已知CF=2，FD=1，则BC的长是（）A. 5cmB. 10cmC. 20cmD. 15cm二、填空题13.如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为______．14.如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，C点落在C′处，D点落在D′处，ED′交BC于点G．已知∠EFG=50°，则∠BGD′的度数为______ ．15.如图，是4×4正方形网格，其中已有4个小方格涂成了黑色．现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有________种选择.16.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边CO、OA分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的F处．若OA=8，CF=4，则点E的坐标是______．17.如图，直线y=x+6与x轴、y轴分别交于点A和点B，x轴上有一点C（-4，0），点P为直线一动点，当PC+PO值最小时点P的坐标为______．三、解答题（本大题共3小题，共24.0分）18.如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，BD=6，DC=4，求AD的长．小明同学利用翻折，巧妙地解答了此题，按小明的思路探究并解答下列问题：（1）分别以AB，AC所在直线为对称轴，画出△ABD和△ACD的对称图形，点D的对称点分别为点E，F，延长EB和FC相交于点G，求证：四边形AEGF是正方形；（2）设AD=x，建立关于x的方程模型，求出AD的长．19.如图，它是一个8×10的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上．（1）画出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1．（2）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2．（3）△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形吗？如果是，请画出对称轴．△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形______（填“是”或“不是”）轴对称图形．20.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕EF分别与AB、DC交于点E和点F．（1）证明：△ADF≌△AB′E；（2）若AD=12，DC=18，求△AEF的面积．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A、能找出一条对称轴，故A是轴对称图形；B、不能找出对称轴，故B不是轴对称图形；C、不能找出对称轴，故C不是轴对称图形；D、不能找出对称轴，故D不是轴对称图形．故选：A．根据轴对称图形的定义，寻找四个选项中图形的对称轴，发现只有，A有一条对称轴，由此即可得出结论．本题考查了轴对称图形，解题的关键是分别寻找四个选项中图形的对称轴．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，通过寻找给定图象有无对称轴来确定该图形是否是轴对称图形是关键．2.【答案】C【解析】解：①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线，而非角平分线，故①错误；②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴，正三角形有三条对称轴，故②正确；③关于某直线对称的两个三角形一定可以完全重合，所以肯定全等，故③正确；④两图形关于某直线对称，对称点可能重合在直线上，故④错误；综上有②、③两个说法正确．故选C．要找出正确的说法，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．本题考查了轴对称以及对称轴的定义和应用，难度不大，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：B．根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．此题主要考查了轴对称图形，关键是找出图形中的对称轴．4.【答案】D【解析】解：（1）线段；（2）直角；（3）等腰三角形；（5）长方形是轴对称图形，共4个，故选：D．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称可得答案．此题主要考查了轴对称图形，关键是找出图形的对称轴．5.【答案】A【解析】解：∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，∴PM=MQ，PN=NR，∵PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，∴RN=3cm，MQ=2.5cm，即NQ=MN-MQ=4-2.5=1.5（cm），则线段QR的长为：RN+NQ=3+1.5=4.5（cm）．故选：A．利用轴对称图形的性质得出PM=MQ，PN=NR，进而利用MN=4cm，得出NQ 的长，即可得出QR的长．此题主要考查了轴对称图形的性质，得出PM=MQ，PN=NR是解题关键．6.【答案】D【解析】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点，∴△AA′P是等腰三角形，MN垂直平分AA′，CC′，这两个三角形的面积相等，A、B、C选项正确；直线AB，A′B′关于直线MN对称，因此交点一定在MN上．D错误；故选：D．据对称轴的定义，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点，可以判断出图中各点或线段之间的关系．本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．7.【答案】C【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图，不是轴对称图形，故本选项错误；C、既是中心对称图又是轴对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．8.【答案】C【解析】解：如图，展开后图形为正方形．故选：C．由图可知减掉的三角形为等腰直角三角形，展开后为正方形．本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了画轴对称图形.找出对称轴，根据对称轴的性质画图是解题的关键.根据网格可知，画三角形ABC的对称图形共有3个符号题意得对称轴，所以可以画3个符合题意的三角形即可解答.【解答】解：根据题意画出图形如下：，共有三条对称轴，分别是a，b，c，根据画轴对称图形的方法可以画3个符合题意的三角形.故选C.10.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC=90°，根据勾股定理求出答案．【解答】解：连接BF，∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=3，又∵AB=4，∴AE==5，由折叠知，BF⊥AE（对应点的连线必垂直于对称轴）∴BH==，则BF=，∵FE=BE=EC，∴∠BFC=90°，∴CF==．故选D．11.【答案】C【解析】解：如图，连接OB，∵∠BAC=50°，AO为∠BAC的平分线，∴∠BAO=∠BAC=×50°=25°．又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=65°．∵DO是AB的垂直平分线，∴OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=25°，∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°．∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，∴直线AO垂直平分BC，∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=40°，∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴OE=CE．∴∠COE=∠OCB=40°；在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-40°-40°=100°，∴∠CEF=∠CEO=50°．故选：C．连接OB，OC，先求出∠BAO=25°，进而求出∠OBC=40°，求出∠COE=∠OCB=40°，最后根据等腰三角形的性质，问题即可解决．该题主要考查了等腰三角形的性质以及翻折变换及其应用，解题的关键是根据翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系，灵活运用有关定理来分析、判断．12.【答案】B【解析】解：连接EF，∵E是BC的中点，∴BE=EC，∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴BE=EG，∴EG=EC，∵在矩形ABCD中，∴∠C=90°，∴∠EGF=∠B=90°，∵在Rt△EFG和Rt△EFC中，，∴Rt△EFG≌Rt△EFC（HL），∴FG=CF=2，∵在矩形ABCD中，AB=CD=CF+DF=2+1=3，∴AG=AB=3，∴AF=AG+FG=3+2=5，∴BC=AD===2．故选B．首先连接EF，由折叠的性质可得BE=EG，又由E是BC边的中点，可得EG=EC，然后证得Rt△EFG≌Rt△EFC（HL），继而求得线段AF的长，再利用勾股定理求解，即可求得答案．此题考查了折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．注意证得FG=FC是关键．17.【答案】80°【解析】【分析】本题主要考查的是平行线的性质和轴对称的性质.首先由平行线的性质得出∠DEF=∠EFG=50°，然后由折叠性质得出∠DEG=100°，最后根据对顶角相等得出∠BGD′的度数即可.【解答】解：∵四边形ED′C′F由四边形EDCF折叠而成，∴∠DEG=2∠DEF=2∠D′EF．∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFG=50°，∠AEG=∠EGF，∴∠GEF=∠DEF=50°，∴∠DEG=∠GEF+∠DEF=100°．∴∠AEG=180°-∠DEG=80°∴∠EGF=80° ,∴∠BGD′=∠EGF=80°.故答案为80°.18.【答案】3【解析】【分析】本题主要考查轴对称图形的概念．此题利用格点图，考查学生轴对称性的认识．此题关键是找对称轴，按对称轴的不同位置，可以有多种画法．根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格即可．【解答】解：如图所示，有3个位置使之成为轴对称图形．故答案为3．19.【答案】（-10，3）【解析】解：设CE=a ，则BE=8-a ，由题意可得，EF=BE=8-a ，∵∠ECF=90°，CF=4，∴a 2+42=（8-a ）2，解得，a=3，设OF=b ，∵△ECF ∽△FOA ， ∴，即，得b=6，即CO=CF+OF=10，∴点E 的坐标为（-10，3），故答案为（-10，3）．根据题意可以得到CE 、OF 的长度，根据点E 在第二象限，从而可以得到点E 的坐标．本题考查勾股定理的应用，矩形的性质、翻折变化、坐标与图形变化-对称，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．20.【答案】（-92，32）【解析】【分析】本题考查的是一次函数的应用和轴对称的性质，作点C 关于直线y=x+6的对称点C′，连接AC′，OC′交直线y=x+6于点P ，则点P 即为所求．求出AB 两点的坐标，据此可得出∠BAO 及∠ACC′的度数，根据轴对称的性质得出△ACC′是等腰直角三角形，故可得出C′点的坐标，利用待定系数法求出直线OC′的坐标，进而可得出P 点坐标．【解答】解：如图，作点C 关于直线y=x+6的对称点C′，连接AC′，OC′交直线y=x+6于点P，则点P即为所求，∵直线y=x+6与x轴、y轴分别交于点A和点B，∴A（-6，0），B（0，6），∴∠BAO=45°．∵CC′⊥AB，∴∠ACC′=45°．∵点C，C′关于直线AB对称，∴AB是线段CC′的垂直平分线，∴△ACC′是等腰直角三角形，∴AC=AC′=2，∴C′（-6，2）．设直线OC′的解析式为y=kx（k≠0），则2=-6k，解得k=-，∴直线OC′的解析式为y=-x，∴，解得，∴P（-，）．故答案为（-，）.21.【答案】（1）证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°，∴∠EAF=90°．又∵AD⊥BC∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°．∴四边形AEGF是矩形，又∵AE=AD，AF=AD∴AE=AF．∴矩形AEGF是正方形；（2）解：设AD=x，则AE=EG=GF=x．∵BD=6，DC=4，∴BE=6，CF=4，∴BG=x-6，CG=x-4，在Rt△BGC中，BG2+CG2=BC2，∴（x-6）2+（x-4）2=102．化简得，x2-10x-24=0解得x1=12，x2=-2（舍去）所以AD=x=12．【解析】（1）先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF=90°；再根据对称的性质得到AE=AF，从而说明四边形AEGF是正方形；（2）利用勾股定理，建立关于x的方程模型（x-6）2+（x-4）2=102，求出AD=x=12．本题考查图形的翻折变换和利用勾股定理，建立关于x的方程模型的解题思想．要能灵活运用．22.【答案】是【解析】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求；（3）如图，△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形，其对称轴为直线l．（1）根据△ABC与△A1B1C1关于直线OM对称进行作图即可；（2）根据△ABC与△A2B2C2关于点O成中心对称进行作图即可；（3）一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．本题主要考查了利用轴对称变换以及中心对称进行作图，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时互相重合．把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点中心对称．23.【答案】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠C=∠B′=90°，AD=CB=AB′，∵∠DAF+∠EAF=90°，∠B′AE+∠EAF=90°，∴∠DAF=∠B′AE，在△ADF和△AB′E中，{∠D=∠B′AD=AB′∠DAF=∠B′AE，∴△ADF≌△AB′E（ASA）．（2）由折叠性质得FA=FC，设FA=FC=x，则DF=DC-FC=18-x，在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，∴122+（18-x）2=x2．解得x=13．∵△ADF≌△AB′E（已证），∴AE=AF=13，∴S△AEF=12⋅AE⋅AD=12×12×13=78．【解析】（1）根据折叠的性质以及矩形的性质，运用ASA即可判定△ADF≌△AB′E；（2）先设FA=FC=x，则DF=DC-FC=18-x，根据Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，即可得出方程122+（18-x）2=x2，解得x=13．再根据AE=AF=13，即可得出S△AEF==78．本题属于折叠问题，主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及三角形面积的计算公式的运用，解决问题的关键是：设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．。

中考复习轴对称与图案设计(含答案)

中考系列复习之（1）轴对称一、基础知识梳理（一）主要概念1．轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，•直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．2．线段的垂直平分线：线段是轴对称图形，•它的一条对称轴垂直于这条线段并且平分它，这样的直线叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）．3．等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（二）主要性质1．角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．2．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．3．等腰三角形是轴对称图形等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴．等腰三角形的两个底角相等．4．两个图形关于某条直线成轴对称，•则对应点所连的线段被对称轴垂直平分．对应线段相等，对就角相等．二、考点与命题趋向分析（一）能力1．通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，•理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质．2．能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；•探索简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴．3．探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、•圆）的轴对称性及其相关性质．4．欣赏现实生活中的轴对称图形，•结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称进行图案设计．5．了解角平分线及其性质．6．了解线段垂直平分线及其性质．7．了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质．（二）命题趋向分析1．中考中常在拼图中考查轴对称的有关概念，考查学生动手操作能力．【例1】（2001年福建省福州市）两个全等的三角板，•可以拼出各种不同的图形，图中已画出其中一个三角形，请你分别补出另一个与其全等的三角形，使每个图形分别成不同的轴对称图形（所画三角形可与原三角形有重叠部分）．【思路分析】只要对轴对称图形的概念清楚，弄清题意，本题还是很容易完成的，现举几例如下．【解】2．有些找规律题也利用轴对称图形出题．【例2】（2004年烟台市）把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5•个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为（）①F R P J L G □；②H I O □③N S □；④B C K E □⑤V A T Y W U □A．Q X Z W D B．D M Q Z X C．Z X M D Q D．Q X Z D M 【思路分析】第①组不是中心对称图形，也不是轴对称图形，应填Q；第②组既是中心对称图形，也是轴对称图形，应填X；第③组是中心对称图形，不是轴对称图形，应填Z；第④组不是中心对称图形，仅是轴对称图形，并且对称轴为一条水平线，应填D；第⑤组也不是中心对称图形，仅是轴对称图形，并且对称轴为一条竖线，应填M．【解】选D三、解题方法与技巧方法1：转化方法【例1】如图所示，已知等腰三角形ABC ，AB 边的垂直平分线交AC 于D ，AB=•AC=8，BC=6，求△BDC 周长．【解】∵DE 是AB 的垂直平分线∴点B 、A 关于BD 轴对称∴AD=BD∴△BCD 的周长=BC+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC ∵AC=8，BC=6∴△BCD 周长=8+6=14．【规律总结】本题的思路主要是将线段转化代换，把三角形周长转代为已知线段的和，这种转化的思想是解决数学问题的重要思想方法．【例2】如图所示，在公路a 同侧有两个居民小区A 、B ，•现需要在公路旁建一个液化气站，要求到A 、B 的距离之和最短，这个液化气站应建在哪一个地方？【解】已知直线a 和a 的同侧两点A 、B ，如同所示．求作：点C ，使C 在直线a 上，并且使AC+BC 最小．作法：1．作A 点关于直线a 的对称点A ′．2．连结A ′B 交直线a 于点C ，则C 就是所求作的点．【规律总结】本题通过作点A 关于直线a 的对称点A 把AC+BC 的和最短问题转化为A ′、B 两点之间线段最短的问题．方法2：分类讨论法【例3】如图所示，在四个正方形拼接的图形中，以这十个点中任意三点为顶点，共能组成________个等腰直角三角形，你愿意把得到上述结论的探究方法与他人交流吗？请在下面简要写出你的探究过程．______________________________________________________________________________________________________。

中考数学专题复习12轴对称试题

卜人入州八九几市潮王学校12轴对称一、知识性专题专题1轴对称及轴对称图形【专题解读】此局部内容是近几年中考中常见的题型，也是新题型之一，解题的根据主要是轴对称及轴对称的性质．例1如图12－112所示的是小方画的正方形风筝图案，她以图中的对角线所在直线为对称轴，在对角线的下方画一个三角形，使得新的风筝图案成为轴对称图形，假设如图12－113所示的图形中有一图形为此轴对称图形，那么此图为()专题2利用轴对称变换作轴对称变换后的图形及设计方案【专题解读】利用轴对称变换设计精巧图案，当对称轴改变方向时，原图形的对称图形也改变方向，一个图形经过假设干次轴对称变换，再结合平移、旋转等．就可以得到非常美丽的图案．例2如图12－114①所示，给出了一个图案的一半，其中的虚线就是这个图案的对称轴，请画出这个图案的另一半．专题3等腰三角形的性质和断定【专题解读】等腰三角形的性质和断定可以用来证明角相等、线段相等以及线段垂直，这是几何证明中最重要的知识之一，它经常与其他几何知识(如四边形、圆等)综合在一起考察．例3如图12－115所示，AB＝AC，E，D分别在AB，AC上，BD和CE相交于点F，且∠ABD＝∠ACE．求证BF＝CF．专题4等边三角形的性质和断定【专题解读】等边三角形是一个很特殊的三角形，它的三边都相等，三个角都是60°，正是由于它的特殊性，因此在很多的几何证明题中都会用到．例4如图12－116所示，AD是△ABC的中线，∠ADC＝60°，BC＝4，假设将△ADC沿直线AD折叠，那么C点落在点E的位置上，求BE的长．专题5含30°角的直角三角形的性质与等腰三角形的综合应用【专题解读】直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，这条性质在实际生活中有着广泛的应用．由角的特殊性，提醒了直角三角形中直角边和斜边的关系．例5如图12－117所示，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D．求证BE＝3AD．二、规律方法专题专题6正确作辅助线解决问题【专题解读】本章涉及等腰三角形的性质、角平分线及线段的垂直平分线的性质，做题时可通过添加适当的辅助线由全等等知识获得结论．例6如图12－118所示，∠B＝90°，AD＝AB＝BC，DE⊥AC．求证BF＝DC．例7如图12－119所示，在△ABC中，AB＝AC，在AB上取一点E，在AC的延长线上取一点F，使BE＝CF，EF交BC于G．求证EG＝FG．三、思想方法专题专题7分类讨论思想【专题解读】本章涉及等腰三角形的边、角的计算，应通过题意讨论其可能存在的情况，运用相关知识一一讨论不难获得结论．例8等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为13 cm和15 cm两局部，试求此等腰三角形的腰长和底边长．，专题8数形结合思想【专题解读】数形结合思想是比较常用的数学思想，在解有关三角形的问题时显得尤为重要．例9(开放题)如图12－121所示，△ABC中，AB＝AC，要使AD＝AE，需添加的条件是．例10(探究题)如图12－122所示，线段OP的一个端点O在直线a上，以OP为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画几个例11(动手操作题)如图12－124①所示，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，仿照图①请你再用两种不同的方法，将△ABC分割成3个三角形，使每个三角形都是等腰三角形(作图工具不限，不写作法和证明，但要标出所分得的每个等腰三角形的内角的度数)．综合验收评估测试题一、选择题(每一小题3分，一共30分)1．如图12－125所示的四个中文艺术字中，不是轴对称图形的是()一日千里ABCD图12-1252．如图12－126所示，把等腰直角三角形ABC沿BD折叠，使点A落在边BC上的点E处．下面结论错误的选项是()A．AB＝BEB．AD＝DCC．AD＝CED．AD＝EC3．如图12－127所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，线段PA＝5，那么线段PB的长度为()A．6B．5C．4D．34．点P(3，－5)关于x轴对称的点的坐标为()A．(－3，－5)B．(5，3)C．(－3，5)D．(3，5)5．如图12－128所示，△ABC与△A′B′C′关于直线，对称，且∠A＝78°，∠C′＝48°，那么∠B的度数为()A．48°B．54°C．74°D．78°6．如图12－129所示的是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的间隔相等，凉亭的位置应选在()A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC的三边的中垂线的交点C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点7．如图12－130所示的是把一张长方形的纸沿长边中点的连线对折两次后得到的图形，再沿虚线裁剪，外面局部展开后的图形是图12－131中的()8．如图12－132所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别是△ABC，△BCD的角平分线，那么图中的等腰三角形有()A．5个B．4个C．3个D．2个9．如图12－133所示，坐标平面内一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，假设以点P，O，A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为()A．2B．3C．4D．510．如图12－134所示，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，那么∠DEF等于()A．90°B．75°C．70°D．60°二、填空题(每一小题3分，一共30分)11．等腰三角形ABC的两边长为2和5．那么第三边长为．12．如图12－135所示，镜子中的号码实际是．13．如图12－136所示．△ABC中，DE垂直平分AC，交AB于E，∠A＝30°，∠ACB＝80°，那么∠BCE＝°．14．从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，那么原等腰三角形纸片的底角等于．15．如图12－137所示，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，假设∠ABE＝20°，那么∠EFC′的度数为度．16．假设等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为35°．那么这个三角形的顶角为．17．等边三角形是轴对称图形，它有条对称轴．18．(1)假设等腰三角形的一个内角等于130°，那么其余两个角分别为．(2)假设等腰三角形的一个内角等于70°，那么其余两个角分别为．19．如图12－138所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD＝3，那么点D到AB的间隔为．20．如图12－139所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，BE⊥AC于E，延长BC到D，使CD＝CE，连接DE，假设△ABC的周长是24，BE＝a，那么△BDE的周长是．三、解答题(每一小题10分．一共60分)21．如图12－140所示，有分别过A，B两个加油站的公路l1，l2相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P满足到A，B两个加油站的间隔相等，而且P到两条公路l1，l2的间隔也相等．请用尺规作图作出点P(不写作法，保存作图痕迹)．22．如图12－141所示，∠BAC＝∠ABD．(1)要使OC＝OD，可以添加的条件为或者；(写出2个符合题意的条件即可)(2)请选择(1)中你所添加的一个条件．证明OC＝OD．23．如图12－142所示，△ABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，AE＝AF，AD是BC边上的高，试判断EF与BC的位置关系，并说明理由．24．如图12－143所示，△ABC中，点E在AC上，点N在BC上，在AB上找一点F，使△ENF的周长最小，并说明理由．25．如图12－144所示，某船上午11时30分在A处观测海岛B在北偏东60°方向，该船以每小时10海里的速度向正向航行，航行到C处时，再观测海岛B在北偏东30°方向，又以同样的速度继续航行到D处，再观测海岛B在北偏西30°方向，当轮船到达C处时恰好与海岛B相距20海里，请你确定轮船到达C处和D处的时间是．26．如图12－145所示，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD为BC边上的高，延长AB到E点，使BE＝BD，过点D，E引直线交AC于点F，那么有AF＝FC．为什么附：中考真题精选轴对称图形1.以下交通标志是轴对称图形的是〔〕A 、B 、C 、D 、2.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是〔〕A 、B 、C 、D 、3.一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要求整个图案关于正方形的某条对角线对称，那么以下列图案中不符合要求的是〔〕A ．B ．C ．D ．4.将一个矩形纸片依次按图〔1〕、图⑵的方式对折，然后沿图〔3〕中的虚线裁剪，最后头将图〔4〕的纸再展开铺平，所得到的图案是〔〕5.以下几何图形：①角②平行四边形③扇形④正方形，其中轴对称图形是〔〕A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④ 6.以下有一面国旗是轴对称图形，根据选项里面的图形，判断此国旗为何〔〕A 、B 、C 、D 、7.如图1，将某四边形纸片ABCD 的AB 向BC 方向折过去〔其中AB ＜BC 〕，使得A 点落在BC 上，展开后出现折线BD ，如图2．将B 点折向D ，使得B 、D 两点重迭，如图3，展开后出现折线CE ，如图4．根据图4，〔向上对折〕图〔3〕〔向右对折〕图〔4〕 DC B A 〔第6题〕判断以下关系何者正确？〔〕A、AD∥BCB、AB∥CDC、∠ADB=∠BDCD、∠ADB＞∠BDC8.以下四个图案中，轴对称图形的个数是〔〕A、1B、2C、3D、49.在三角形、四边形、五边形、和正六边形中，是轴对称图形的是〔〕A、三角形B、四边形C、五边形D、正六边形10.观察以下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是〔〕A、B、C、D、11.以下汽车标志中既是轴对称又是中心对称图形的是〔〕A．B．C．D．12.如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，假设BC＝3，那么折痕CE的长为〔〕A ．32B ．233C ．3D ．613.如图，阴影局部是由5个小正方形涂黑组成的一个直角图形，再将方格内空白的两个小正方形涂黑．得到新的图形(阴影局部)，其中不是．．轴对称图形的是() 图中所示的几个图形是国际通用的交通标志．其中不是轴对称图形的是〔〕A 、B 、C 、D 、14.以下几何图形：①角②平行四边形③扇形④正方形，其中轴对称图形是〔〕A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④15.如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，∠C =60°，AC =10，将BC 向BA 方向翻折过去，使点C 落在BA 上的点C ′，折痕为BE ，那么EC 的长度是〔〕A .35B .35－5C .10－35D .5+316.在以下几何图形中，一定是轴对称图形的有〔〕A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个17.如图．在直角坐标系中，矩形ABC 0的边OA 在x 轴上，边0C 在y 轴上，点B 的坐标为〔1，3〕，将矩形沿对角线AC 翻折，B 点落在D 点的位置，且AD 交y 轴于点E ．那么点D 的坐标为〔〕A 、412(,)55-B 、213(,)55-C 、113(,)25-D 、312(,)55- 等腰三角形1.如图(十三)，ΔABC 中，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，分别交AC 、AB 于D 、E 两点，并连接BD 、DE ．假设∠A =30∘，AB ＝AC ，那么∠BDE 的度数为何？A ．45B ．52．5C ．67．5D ．752.假设一个等腰三角形的两边长分别是5cm 和6cm ，那么此三角形的周长是A ．15cmB ．16cmC ．17cmD ．16cm 或者17cm3.如图，在ABC △中，13AB AC ==，10BC =，点D 为BC 的中点，DE AB ⊥，垂足为点E ，那么DE 等于〔〕A ．1013B ．1513C ．6013D ．7513二、填空题1.边长为6cm 的等边三角形中，其一边上高的长度为________.2.等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为.3.如图，在△ABC 中，AB =AC ，︒=∠40A ，那么△ABC 的外角∠BCD ＝°．4.如图6，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC 的角平分线交BC 边于点D ，AB=5，BC=6，那么AD=__________________. 5如图，△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG ＝CD ，DF ＝DE ，那么∠E ＝度．6.如图，∠AOB=α，在射线OA 、OB 上分别取点OA 1=OB 1，连结A 1B 1，在B 1A 1、B 1B 上分别取点A 2、B 2，使B 1B 2=B 1A 2，连结A 2B 2…按此规律上去，记∠A 2B 1B 2=1θ，∠3232A B B θ=，…，∠n+11A n n n B B θ+=那么⑴1θ=；⑵n θ=。

2021年数学中考试题汇编图形的轴对称-自定义类型

2021年数学中考试题汇编图形的轴对称一、选择题1.(2021·河北省·历年真题)如图，直线l，m相交于点O.P为这两直线外一点，且OP=2.8.若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（）A. 0B. 5C. 6D. 72.(2021·台湾省·历年真题)如图，△ABC中，D、E、F三点分别在AB、BC、AC上，且四边形BEFD是以DE为对称轴的线对称图形，四边形CFDE是以FE为对称轴的线对称图形.若∠C=40°，则∠DFE的度数为何？（）A. 65B. 70C. 75D. 803.(2021·广西壮族自治区桂林市·历年真题)下列图形是轴对称图形的是（）A. B. C. D.4.(2021·江西省·历年真题)如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线）小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左，下，右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成不同轴对称图形的个数为（）A. 2B. 35.(2021·浙江省嘉兴市·历年真题)将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 矩形D. 菱形6.(2021·广东省·历年真题)如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（）A. B.C. D.7.(2021·四川省南充市·历年真题)如图，在矩形ABCD中，AB=15，BC=20，把边AB沿对角线BD平移，点A′，B′分别对应点A，B给出下列结论：①顺次连接点A′，B′，C，D的图形是平行四边形；②点C到它关于直线AA′的对称点的距离为48；③A′C-B′C的最大值为15；④A′C+B′C的最小值为9√17.其中正确结论的个数是（）C. 3个D. 4个8.(2021·湖南省·历年真题)如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A. B.C. D.9.(2021·广东省深圳市·历年真题)如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，以点O为圆心，2为半径的圆与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点．当PC+PD最小时，OP的长为（）A. 12B. 34C. 1D. 3210.(2021·湖南省·历年真题)如图所示，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）．A. B.C. D.11.(2021·黑龙江省绥化市·历年真题)已知在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=75°，AB=5，点E为边AC上的动点，点F为边AB上的动点，则线段FE+EB的最小值是（）A. 5√32B. 52C. √5D. √312.(2021·四川省凉山彝族自治州·历年真题)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（）A. 198B. 2C. 254D. 7413.(2021·山东省青岛市·历年真题)如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC，AB=10，∠B=60°，将纸片折叠，使点B落在AD边上的点G处，折痕为EF，若∠BFE=45°，则BF的长为（）A. 5B. 3√5C. 5√3D. √3514.(2021·四川省巴中市·历年真题)如图，矩形AOBC的顶点A、B在坐标轴上，点C的坐标是（-10，8），点D在AC上，将△BCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，则tan∠DBE等于（）A. 34B. 35C. √33D. 1215.(2021·山东省枣庄市·历年真题)小明有一个呈等腰三角形的积木盒，现在积木盒中只剩下如图的九个空格，下面有四种积木的搭配，其中不能放入的有（）A. 搭配①B. 搭配②C. 搭配③D. 搭配④二、填空题16.(2021·重庆市·历年真题)如图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，BF=4，CF=6，将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合.若DE∥BC，AF=EF，则四边形ADFE的面积为______ .17.(2021·广西壮族自治区柳州市·历年真题)如图，将直线y=-x沿y轴向下平移后的直线恰好经过点A（2，-4），且与y轴交于点B，在x轴上存在一点P使得PA+PB的值最小，则点P的坐标为______．18.(2021·辽宁省铁岭市·历年真题)如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕EF与AC相交于点O，连接BO．若AB=4，CF=5，则OB的长为______．19.(2021·浙江省嘉兴市·历年真题)如图，在△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=45°，AB=2，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动，连结CP，点A关于直线CP的对称点为A′，连结A′C，A′P.在运动过程中，点A′到直线AB距离的最大值是______ ；点P到达点B时，线段A′P扫过的面积为______ .20.(2021·内蒙古自治区呼和浩特市·历年真题)已知菱形ABCD的面积为2√3，点E是一边BC上的中点，点P是对角线BD上的动点.连接AE，若AE平分∠BAC，则线段PE与PC的和的最小值为______ ，最大值为______ .21.(2021·辽宁省鞍山市·历年真题)如图，∠POQ=90°，定长为a的线段端点A，B分别在射线OP，OQ上运动（点A，B不与点O重合），C为AB的中点，作△OAC关于直线OC对称的△OA′C，A′O交AB于点D，当△OBD是等腰三角形时，∠OBD的度数为______．三、解答题22.(2021·福建省·历年真题)如图，在正方形ABCD中，E，F为边AB上的两个三等分点，点A关于DE的对称点为A′，AA′的延长线交BC于点G.（1）求证：DE∥A′F；（2）求∠GA′B的大小；（3）求证：A′C=2A′B.23.(2021·天津市·历年真题)已知抛物线y=ax2-2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，-1），顶点为D.（Ⅰ）当a=1时，求该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）当a＞0时，点E（0，1+a），若DE=2√2DC，求该抛物线的解析式；（Ⅲ）当a＜-1时，点F（0，1-a），过点C作直线l平行于x轴，M（m，0）是x 轴上的动点，N（m+3，-1）是直线l上的动点.当a为何值时，FM+DN的最小值为2√10，并求此时点M，N的坐标.24.(2021·贵州省贵阳市·历年真题)甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片.如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA=8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m.（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）.（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象.将新函数图象向右平移m（m＞0）个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围.25.(2021·江苏省徐州市·历年真题)如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使C、A两点重合，点D落在点G处.已知AB=4，BC=8.（1）求证：△AEF是等腰三角形；（2）求线段FD的长.26.(2021·黑龙江省·历年真题)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABO的三个顶点坐标分别为A（-1，3），B（-4，3），O（0，0）.（1）画出△ABO关于x轴对称的△A1B1O，并写出点A1的坐标；（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2O，并写出点A2的坐标；（3）在（2）的条件下，求点A旋转到点A2所经过的路径长（结果保留π）.参考答案1.【答案】B【解析】解：连接OP1，OP2，P1P2，∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，∴OP1=OP=2.8，OP=OP2=2.8，OP1+OP2＞P1P2，P1P2＜5.6，故选：B．由对称得OP1=OP=2.8，OP=OP2=2.8，再根据三角形任意两边之和大于第三边，即可得出结果．2.【答案】D【解析】解：∵四边形BEFD是以DE为对称轴的线对称图形，四边形CFDE是以FE 为对称轴的线对称图形，=60°，∠EDF=∠C=40°，∴∠BED=∠DEF=∠CEF=180°3∴∠DFE=180°-∠DEF-∠EDF=80°，故选：D．3.【答案】D【解析】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；D．是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．4.【答案】B【解析】解：观察图象可知，能拼接成不同轴对称图形的个数为3个．故选：B．能拼接为等腰梯形，等腰直角三角形，矩形，由此即可判断．本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解轴对称图形的性质，属于中考常考题型．5.【答案】D【解析】解：如图，由题意可知，剪下的图形是四边形BACD，由折叠可知CA=AB，∴△ABC是等腰三角形，又△ABC和△BCD关于直线BC对称，∴四边形BACD是菱形，故选：D．6.【答案】A【解析】解：∵第三个图形是三角形，∴将第三个图形展开，可得，即可排除答案D，∵再展开可知两个短边正对着，∴选择答案A，排除B与C．故选：A．严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来，也可仔细观察图形特点，利用对称性与排除法求解．7.【答案】C【解析】解：如图1中，当B′与D不重合时，∵AB=A′B′,AB∥A′B′,AB=CD,AB∥CD,∴A′B′=CD,A′B′∥CD,∴四边形A′B′CD是平行四边形，当点B′与D重合时，四边形不存在，故①错误，作点C关于直线AA′的对称点E,连接CE交AA′于T,交BD于点O,作AH⊥BD于点H，由平移的性质，得AA′∥BD，∴AH=TO，由矩形的对称性，得AH=OC，∴TC=2OC，∴CE=4OC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°,CD=AB=15,∴BD=√BC2+CD2=√202+152=25,∵12•BD •CO =12•BC •CD , ∴OC =20×1525=12,∴EC =48,故②正确，∵A ′C -B ′C ≤A ′B ′,∴A ′C -B ′C ≤15,∴A ′C -B ′C 的最大值为15,故③正确，如图2中，∵B ′C =A ′D ,∴A ′C +B ′C =A ′C +A ′D ,作点D 关于AA ′的对称点D ′,连接DD ′交AA ′于J ,过点D ′作D ′E ⊥CD 交CD 的延长线于E ,连接CD ′交AA ′于A ′,此时CB ′+CA ′的值最小，最小值为CD ′,由△AJD ∽△DAB ,可得DJ AB =AD BD ,∴DJ 15=2025,∴DJ =12,∴DD ′=24,由△DED ′∽△DAB ,可得DE DA =ED′AB =DD′BD ,∴DE 20=ED′15=2425,∴ED ′=725,DE =965,∴CE =CD +DE =15+965=1715,∴CD ′=√CE 2+ED′2=√(1715)2+(725)2=9√17, ∴A ′C +B ′C 的最小值为9√17．故④正确，故选：C ．①根据平行四边形的判定可得结论．②作点C 关于直线AA ′的对称点E ,连接CE 交AA ′于T ,交BD 于点O ,则CE =4OC ．利用面积法求出OC 即可．③根据A ′C -B ′C ≤A ′B ′,推出A ′C -B ′C ≤15,可得结论．④作点D 关于AA ′的对称点D ′,连接DD ′交AA ′于J ,过点D ′作D ′E ⊥CD 交CD 的延长线于E ,连接CD ′交AA ′于A ′,此时CB ′+CA ′的值最小，最小值为CD ′．本题考查轴对称最短问题，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，属于中考选择题中的压轴题．8.【答案】C【解析】解：作点P关于直线l的对称点P′，连接QP′交直线l于M．根据两点之间，线段最短，可知选项C铺设的管道，则所需管道最短．故选：C．9.【答案】B【解析】解：如图，延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点P，此时PC+PD的值最小．∵CD⊥OB，∴∠DCB=90°，又∠AOB=90°，∴∠DCB=∠AOB，∴CD∥AO∴BC BO =CDAO∵OC=2，OB=4，∴BC=2，∴2 4=CD3，解得，CD=32；∵CD∥AO，∴EO EC =PODC，即24=PO32，解得，PO=34，故选：B．10.【答案】D【解析】解：作点P关于直线L的对称点P′，连接QP′交直线L于M．根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．故选D．11.【答案】B【解析】解：作F关于AC的对称点F'，延长AF'、BC交于点B'，∴∠BAB'=30°，EF=EF'，∴FE+EB=BE+EF'，∴当B、E、F'共线且与AB'垂直时，长度最小，即作BD⊥AB'于D，在△ABD中，BD=12AB=52，故选：B．12.【答案】D【解析】解：设CE=x，则AE=8-x=EB，在Rt△BCE中，BE2=CE2+BC2,即（8-x）2=x2+62，解得x=74，故选：D．13.【答案】C【解析】解：由折叠知：BF=GF，∠BFE=∠GFE，∵∠BFE=45°，∴∠BFG=90°，过点A作AH⊥BC于H，在Rt △ABH 中，AH =sin60°×AB =√32×10=5√3， ∵AD ∥BC ，∴∠GAH =∠AHB =90°，∴∠GAH =∠AHB =∠BFG =90°，∴四边形AHFG 是矩形，∴FG =AH =5√3，∴BF =GF =5√3．故选：C ． 14.【答案】D【解析】解：∵四边形AOBC 为矩形，且点C （-10，8），∴AC =OB =8，AO =BC =10，∠C =∠A =∠EOB =90°，∵△BCD 沿BD 翻折，点C 恰好落在OA 边上点E 处，∴CD =DE ，BC =BE =10，在Rt △OBE 中，OE =√BE 2−OB 2=√102−82=6，设AD =m ，CD =DE =8-m ，∵∠ADE +∠AED =∠AED +∠OEB =90°，∴∠ADE =∠OEB ，∵∠A =∠AOB ，∴△ADE ∽△OEB ，∴DA DE =OE BE ，即m 8−m =610，解得m =3，∴DE =8-3=5，在Rt △BDE 中，DE =5，BE =10，∴tan ∠DBE =510=12，故选：D ． 15.【答案】D【解析】解：搭配④中，有10个小正方形，显然不符合9个小正方形的条件，而搭配①②③均符合条件，故选：D ．把这四种搭配进行组合，可得出如图的九个空格的形状，不能满足的即为本题的选项．16.【答案】5√3 【解析】解：∵纸片沿直线DE 翻折，点A 与点F 重合，∴DE 垂直平分AF ．∴AD =DF ，AE =EF ．∵DE ∥BC ，∴DE 为△ABC 的中位线．∴DE =12BC =12（BF +CF ）=12（4+6）=5．∵AF =EF ，∴△AEF 为等边三角形．∴∠FAC =60°．在Rt △AFC 中，∵FC AF =√3，∴AF =2√3．∴四边形ADFE 的面积为：12DE ×AF =12×5×2√3=5√3．故答案为：5√3． 17.【答案】（23，0）【解析】解：如图所示，作点B 关于x 轴对称的点B '，连接AB '，交x 轴于P ，则点P 即为所求，设直线y =-x 沿y 轴向下平移后的直线解析式为y =-x +a ，把A （2，-4）代入可得，a =-2，∴平移后的直线为y =-x -2，令x =0，则y =-2，即B （0，-2）∴B '（0，2），设直线AB '的解析式为y =kx +b ，把A （2，-4），B '（0，2）代入可得，{−4=2k +b 2=b ，解得{k =−3b =2， ∴直线AB '的解析式为y =-3x +2，令y =0，则x =23，∴P （23，0），故答案为：（23，0）． 18.【答案】2√5【解析】解：连接AF ，过O 作OH ⊥BC 于H ，如图：∵将矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，折痕EF 与AC 相交于点O ， ∴AF =CF =5，在Rt △ABF 中，BF =√AF 2−AB 2=√52−42=3，∴BC =BF +CF =8，∵OA =OC ，OH ⊥BC ，AB ⊥BC ，∴O 为AC 中点，OH ∥AB ，∴OH 是△ABC 的中位线，∴BH =CH =12BC =4，OH =12AB =2，在Rt △BOH 中，OB =√BH 2+OH 2=√42+22=2√5，故答案为：2√5．连接AF ，过O 作OH ⊥BC 于H ，由将矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，折痕EF 与AC 相交于点O ，可得AF =CF =5，BF =√AF 2−AB 2=3，BC =BF +CF =8，根据折叠可知OH 是△ABC 的中位线，故BH =12BC =4，OH =12AB =2，在Rt △BOH 中，用勾股定理即得OB =2√5．19.【答案】1+√32；(1+√32)π-1-√3．【解析】解：如图1中，过点B 作BH ⊥AC 于H ．在Rt △ABH 中，BH =AB •sin30°=1,AH =√3BH =√3, 在Rt △BCH 中，∠BCH =45°, ∴CH =BH =1,∴AC =CA ′=1+√3,当CA ′⊥AB 时，点A ′到直线AB 的距离最大，设CA ′交AB 的延长线于K ．在Rt △ACK 中，CK =AC •sin30°=1+√32,∴A ′K =CA ′-CK =1+√3-1+√32=1+√32．如图2中，点P 到达点B 时，线段A ′P 扫过的面积=S 扇形A ′CA -2S △ABC =90π⋅(1+√3)2360-2×12×(1+√3)×1=(1+√32)π-1-√3．故答案为：1+√32，(1+√32)π-1-√3． 20.【答案】√3，2+√7【解析】解：根据图形可画出图形，如图所示，过点B 作BF ∥AC 交AE 的延长线于点F ，∴∠F =∠CAE ，∠EBF =∠ACE ，∵点E 是BC 的中点，∴△ACE ≌△FBE （AAS ），∴BF =AC ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE =∠CAE ，∴∠BAE =∠F ，∴AB =BF =AC ，在菱形ABCD 中，AB =BC ，∴AB =BC =AC ，即△ABC 是等边三角形；∴∠ABC =60°，设AB =a ，则BD =√3a ，∴菱形ABCD 的面积=12AC •BD =2√3，即12⋅a ⋅√3a =2√3， ∴a =2，即AB =BC =CD =2；∵四边形ABCD 是菱形，∴点A 和点C 关于BD 对称，∴PE +PC =PE +AP ，当点A ，P ，E 三点共线时，AP +EP 的和最小，此时AE =√3；点P 和点D 重合时，PE +PC 的值最大，此时PC =DC =2，过点D 作DG ⊥BC 交BC 的延长线于点G ，连接DE ，∵AB∥CD，∠ABC=60°，∴∠DCG=60°，∴CG=1，DG=√3，∴EG=2，∴DE=√EG2+DG2=√22+(√3)2=√7，此时PE+PC=2+√7；即线段PE与PC的和的最小值为√3；最大值为2+√7．故答案为：√3；2+√7．21.【答案】67.5°或72°【解析】解：∵∠POQ=90°，C为AB的中点，∴OC=AC=BC，∴∠COA=∠BAO，∠OBC=∠BOC，又由折叠性质可得∠COA=∠COA′，∴∠COA=∠COA′=∠BAO，设∠COA=∠COA′=∠BAO=x°，则∠BCO=2x°，∠A′OB=90°-2x°，∠OBD=90°-x°，∠BDO=∠AOD+∠BAO=3x°，①当OB=OD时，∠ABO=∠BDO，∴90°-x°=3x°，解得x=22.5°，∴∠OBD=90°-22.5°=67.5°；②当BD=OD时，∠OBD=∠A′OB，∴90°-x°=90°-2x°，方程无解，∴此情况不存在；③当OB=DB时，∠BDO=∠A′OB，∴3x°=90°-2x°，解得：x=18°，∴∠OBD=90°-18°=72°；综上，∠OBD的度数为67.5°或72°，故答案为：67.5°或72°．22.【答案】证明：（1）如图，设AG与DE的交点为O，连接GF，∵点A关于DE的对称点为A′，∴AO=A'O，AA'⊥DE，∵E，F为边AB上的两个三等分点，∴AE=EF=BF，∴DE∥A'F；（2）∵AA'⊥DE，∴∠AOE=90°=∠DAE=∠ABG，∴∠ADE+∠DEA=90°=∠DEA+∠EAO，∴∠ADE=∠EAO，在△ADE和△BAG中，{∠ADE=∠EAOAD=AB∠DAE=∠ABG=90°，∴△ADE≌△BAG（ASA），∴AE=BG，∴BF=BG，∴∠GFB=∠FGB=45°，∵∠FA'G=∠FBG=90°，∴点F，点B，点G，点A'四点共圆，∴∠GA'B=∠GFB=45°；（3）设AE=EF=BF=BG=a，∴AD =BC =3a ，FG =√2a ，∴CG =2a ，在Rt △ADE 中，DE =√AD 2+AE 2=√9a 2+a 2=√10a =AG ，∵sin ∠EAO =sin ∠ADE ，∴OE AE =AE DE ，∴OE a =√10a ，∴OE =√1010a ， ∴AO =√AE 2−OE 2=√a 2−a 210=3√1010a =A 'O ， ∴A 'G =2√105， ∵AO =A 'O ，AE =EF ，∴A 'F =2√1010a =√105a ， ∵∠FA 'G =∠FBG =90°，∴∠A 'FB +∠A 'GB =180°，∵∠A 'GC +∠A 'GB =180°，∴∠A 'FB =∠A 'GC ，又∵A′F A ′G =12=BFCG ，∴△A 'FB ∽△A 'GC ，∴A′B A′C =12，∴A ′C =2A ′B ． 23.【答案】解：抛物线y =ax 2-2ax +c （a ，c 为常数，a ≠0）经过点C （0，-1），则c =-1，（Ⅰ）当a =1时，抛物线的表达式为y =x 2-2x -1=（x -1）2-2，故抛物线的顶点坐标为（1，-2）；（Ⅱ）∵y =ax 2-2ax -1=a （x -1）2-a -1，故点D （1，-a -1），由DE =2√2DC 得：DE 2=8CD 2，即（1-0）2+（a +1+a +1）2=8[（1-0）2+（-a -1+1）2]，解得a =12或32，故抛物线的表达式为y =12x 2-x -1或y =32x 2-3x -1；（Ⅲ）将点D 向左平移3个单位，向上平移1个单位得到点D ′（-2，-a ），作点F 关于x 轴的对称点F ′，则点F ′的坐标为（0，a -1），当满足条件的点M 落在F ′D ′上时，由图象的平移知DN =D ′M ，故此时FM +ND 最小，理由：∵FM +ND =F ′M +D ′M =F ′D ′为最小，即F ′D ′=2√10，则D ′F ′=√(−2−0)2+(−a −a +1)2=2√10，解得a =72（舍去）或a =-52，则点D ′、F ′的坐标分别为（-2，52）、（0，-72），由点D ′、F ′的坐标得，直线D ′F ′的表达式为y =-3x -72，当y =0时，y =-3x -72=0，解得x =-76=m ，则m +3=116，即点M 的坐标为（-76,0）、点N 的坐标为（116，-1）． 24.【答案】解：（1）如图②，由题意得：水面宽OA 是8m ，桥拱顶点B 到水面的距离是4m ，结合函数图象可知，顶点B （4，4），点O （0，0），设二次函数的表达式为y =a （x -4）2+4，将点O （0，0）代入函数表达式，解得：a =-14，∴二次函数的表达式为y =-14（x -4）2+4，x2+2x （0≤x≤8）；即y=-14（2）工人不会碰到头，理由如下：∵小船距O点0.4m，小船宽1.2m，工人直立在小船中间，×1.2=1，由题意得：工人距O点距离为0.4+12∴将=1代入y=-1x2+2x，4=1.75，解得：y=74∵1.75m＞1.68m，∴此时工人不会碰到头；x2+2x在x轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于x轴成轴对称．（3）抛物线y=-14如图所示，新函数图象的对称轴也是直线x=4，此时，当0≤x≤4或x≥8时，y的值随x值的增大而减小，将新函数图象向右平移m个单位长度，可得平移后的函数图象，如图所示，∵平移不改变图形形状和大小，∴平移后函数图象的对称轴是直线x=4+m，∴当m≤x≤4+m或x≥8+m时，y的值随x值的增大而减小，∴当8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，得m的取值范围是：①m≤8且4+m≥9，得5≤m≤8，②8+m ≤8，得m ≤0，由题意知m ＞0，∴m ≤0不符合题意，舍去，综上所述，m 的取值范围是5≤m ≤8．25.【答案】（1）证明：由折叠性质可知，∠AEF =∠CEF ，由矩形性质可得AD ∥BC ，∴∠AFE =∠CEF ，∴∠AEF =∠AFE ．∴AE =AF ，故△AEF 为等腰三角形．（2）解：由折叠可得AE =CE ，设CE =x =AE ，则BE =BC -CE =8-x ，∵∠B =90°，在Rt △ABE 中，有AB 2+BE 2=AE 2，即42+（8-x ）2=x 2，解得：x =5．由（1）结论可得AF =AE =5，故FD =AD -AF =BC -AF =8-5=3．26.【答案】解：（1）如图，△A 1B 1O 即为所求，点A 1的坐标（-1，-3）；（2）如图，△A 2B 2O 即为所求，点A 2的坐标（3，1）；（3）点A 旋转到点A 2所经过的路径长=90π⋅√10180=√102π。