第8章题解

118
b = 90 mm ， h = 2b = 180 mm
8-4 螺旋夹紧器立臂的横截面为 a × b 的矩形，如图所示。已知该夹紧器工作时承受的 夹 紧 力 F = 16 kN ， 材 料 的 许 用 应 力 [σ ] = 160 MPa ， 立 臂 厚 a = 20 mm ， 偏 心 距
e = 140 mm 。求立臂宽度 b 。
第 8 章 组合变形
思考题
8-1 何为斜弯曲？何谓偏心拉压及弯拉组合变形？ 何谓弯扭组合变形？ 答 挠度 w 方向与载荷 F 的作用线方向不一致， 即构件弯曲以后的挠曲线不再是载荷作 用平面内或与载荷作用平面平行的一条平面曲线，这种弯曲称为斜弯曲。 偏心拉压指杆件受的拉伸或压缩作用载荷不是沿截面形心。 将这种不是沿截面形心作用 的拉（压）力向截面形心简化，就是弯拉（压）组合变形。 杆件在弯矩和扭矩联合作用下的变形称为弯扭组合变形。 8-2 为何斜弯曲、偏心拉压及弯拉组合变形的应力可用叠加原理。 答 斜弯曲、偏心拉压及弯拉组合变形在线弹性、小变形条件下，横截面上的应力都是 拉压正应力，方向共线，可用叠加原理。 8-3 为何弯扭组合变形的强度条件不能用代数叠加？ 答 弯曲变形的强度条件是单向应力状态下的强度条件；扭转变形的强度条件纯剪切应 力状态下的强度条件，正应力与切应力相互垂直，不能用代数叠加（只有同向或反向才能叠 加） 。
显然危险截面在 C：
∑ M z = 0 ， FBy =
Fy + 2 Fy′
M Cz = FAy × 50 mm = 152.2 N ⋅ m , M Cy = FAz × 50 mm = 37.5 N ⋅ m
119
τ=
16 × 448 T = = 18.3 × 106 Pa = 18.3 MPa −9 3 Wp π × 50 × 10
23.5 23.5 2 σ ± ( )2 + τ 2 = ± ( ) + 18.3 2 2 2 2 2 33.5 = 11.8 ± 21.7 = MPa − 9.95 σ2 = 0 σ − σ 3 33.5 + 9.95 τ max = 1 = = 21.7 MPa 2 2
8-4 如 果 弯 扭 组 合 变 形 的 轴 用 铸 铁 制 成 ， 是 否 仍 可 用
M 2 +T2 ≤ [σ ] 或 W
M 2 + 0.75T 2 ≤ [σ ] 进行强度校核。 W
答
M 2 +T2 M 2 + 0.75T 2 ≤ [σ ] 或 ≤ [σ ] 是按第 3 或第 4 强度理论推出的强度条 W W
解 M e = 9 549 ×
P 11 = 9 549 × = 954.9 N ⋅ m = T n 110 T = (3F − F ) × 330 × 10 −3 m = 954.9 N ⋅ m ， F = 1.447 kN M max = 4 Fl = 5.79 l kN
2 M max +T 2
32 (5.79l × 10 3 ) + 954.9 2 ≤ 70 × 10 6 π × 80 3 × 10 −9 l ≤ 0.585 m
（b）
（c）
比较式（a）,（b）,（c）知，截面消弱后最大拉应力是消弱前的拉应力的 8 倍。 8-3 作用于图示悬臂木梁上的载荷 F1 = 800 N ， F2 = 1 650 N 。若木材许用应力
[σ ] = 10 MPa ，矩形截面边长之比为
h = 2 ，试确定截面的尺寸。 b
解 危险截面在固定端，危险点在 y 为正，z 为负的角点（或 y 为负，z 为正的角点）处。
M z max = F2 × 1 m ， M y max = F1 × 2 m
σ max =
M z max M y max 6 F2 6 × 2 F1 + = 2 + = [σ ] Wz Wy bh hb 2
将已知条件代入上式得
6 × 1 650 6 × 800 + = 10 × 10 6 4b 3 2b 3
解
截面上轴力 FN = F ，弯矩 M = Fe
σ max =
F Fe F 6 Fe + = + ≤ [σ ] A W ab ab 2 F 1 6e b + 6e a[σ ] ( + 2 ) ≤ [σ ] ， ≤ F a b b b2 a[σ ] 2 a[σ ] 2 b ， b − b − 6e ≥ 0 b + 6e ≤ F F 1 + 1 + 24ea[σ ] / F F (1 + 1 + 24ea[σ ] / F b≥ = 2a[σ ] 2a[σ ] F 16 × 10 3 [1 + 1 + 24 × 140 × 10 −3 × 20 × 10 −3 × 160 × 10 6 /(16 × 10 3 ) ]
W 即可 A
( a ) σ 1 − σ 3 ≤ [σ ] ; ( b ) σ
2
+ 3τ ≤ [σ ] ;
2
(c)
M 2 +T2 ≤ [σ ] W
答 它们都是用第 3 强度理论推出的强度条件，其中 式（a）适用于任意应力状态； 式（b）适用于平面应力状态； 式（c）适用于圆轴弯扭组合变形工况。 8-8 当矩形截面杆处于双向弯曲、轴向拉伸（压缩）与扭转组合变形时，危险点位于何 处？如何计算危险点处的应力并建立相应的强度条件？ 答当矩形截面杆处于双向弯曲变形时， 危险点位于矩形截面的角点； 矩形截面杆处于轴 向拉伸（压缩）与扭转组合变形时，危险点位于矩形截面长边中点。
σ 1,3 =
σ
注：剪力在点 A 的切应力为零。 8-6 一手摇绞车如图(a)所示。已知轴的直径 d = 25 mm ，材料为 Q235 钢，其许用应 力 [σ ] = 80 MPa 。试按第 4 强度理论求绞车的最大起吊重量 P=W。
(a)
y
400 A 300 300
P/2 z FAz R
D
Me
C
2
W
≤ [σ ] ， W =
πd 3 π × 80 3 × 10 −9 3 = m 32 32
8-8 图示齿轮传动轴， 齿轮 1 与 2 的节圆直径分别为 d1 = 50 mm 与 d 2 = 130 mm 。 在 齿轮 1 上，作用有切向力 Fy = 3.83 kN ，径向力 Fz = 1.393 kN ；在齿轮 2 上，作用有切向 力 Fy′ = 1.473 kN ，径向力 Fz′ = 0.536 kN 。轴用 45 号钢制成，直径 d = 22 mm ，许用应 力 [σ ] = 180 MPa ，试按第 3 强度理 120 mm ；许用应力 [σ ] = 12 MPa ；许可挠度 [ w] =
的强度和刚度。
l 。试校核此梁 150
解
1 1 q y l 2 = q cos 30 o ⋅ l 2 8 8 1 1 M y max = q z l 2 = q sin 30 o ⋅ l 2 8 8 1 2 1 2 ql cos 30 o ql sin 30 o M z max M y max 8 6ql 2 cos 30 o sin 30 o 8 σ = + = + = ( + ) Wz Wy 8bh h b bh 2 hb 2 6 6 3 1 3 2 6 × 2 × 10 × 4 ( 2 + 2 ) = 11.97 × 10 6 Pa = 12.0 MPa = [σ ] ，安全 = −6 8 × 120 × 160 × 10 0.160 0.120 5q y l 4 5 × 12q cos 30 o l 4 5q z l 4 5 × 12q sin 30 o l 4 = = w ， wz = = y 384 EI z 384 EI y 384 Ebh 3 384 Ehb 3 M z max =
=
2 × 20 × 10 −3 × 160 × 10 6 = 0.0673 m = 67.3 mm
8-5 曲拐受力如图(a)所示，其圆杆部分的直径 d = 50 mm 。试画出表示点 A 处应力状 态的单元体，并求其主应力及最大切应力。
A
τ
σ
(a)
(b)
解
点 A 所在的横截面上承受弯矩和扭矩作用，其值
M Cy = FBz × 0.3 = 0.06 P ， M Cz =
σ r4 =
2 2 M Cy + M Cz + 0.75TC
2
W
≤ [σ ]
32 × 0.062 + 0.152 + 0.75 × 0.152 P ≤ 80 × 106 3 −9 π × 25 × 10
120
8-7 图示传动轴，转速 n = 110 r/min ，传递功率 P = 11 kW ，皮带的紧边张力为其松 边张力的 3 倍。若许用应力 [σ ] = 70 MPa ，试按第 3 强度理论确定该传动轴外伸段的许可 长度 l 。
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(a)
(b)
解 截面消弱前
F a2 截面消弱后，截面 m − m 受力如图（b） Fa M = 4
σ 1t =
（ a）
σ 2t =
F a2 2
σ 2c =
F a2 2
Fa 8F M 2F + = 2 + 4 2 = 2 W a a ⎛a⎞ a⎜ ⎟ ⎝2⎠ 6 Fa M 2F 4F − = 2 − 4 2 =− 2 W a a ⎛a⎞ a⎜ ⎟ ⎝2⎠ 6
件，适用于塑性材料轴，而铸铁是脆性材料，所以不能用。 8-5 偏心拉伸时，是否可使横截面上的应力都成为拉应力？ 答 可以。设横截面面积为 A，弯曲截面系数为 W，拉力偏心距为 e，则使 e < 使横截面上的应力都成为拉应力。 8-6 斜弯曲的外力特点和变形特点各是什么？ 答 斜弯曲的外力特点是不作用在与形心主轴重合或平行的平面内；其变形后的挠曲线 平面与形心主轴平面（或与形心主轴平面平行的平面）不重合。 8-7 简述下列 3 个强度条件表达式各适用于什么情况。