08第八章题解

第八章 机械波

8-1．有一个沿x 轴正向传播的平面简谐波，已知原点处质元的振动方程为0.02cos(y t π=（国际制单位），波速2m s v =．求：（1）该波的波方程；（2）x 轴正向距原点5m 处质元的振动方程；（3） 2.5s t =时原点处及在x 轴正向距原点5m 处质元的位移．

解 （1）该波的波方程为

002cos

()9x y .t v π

=-002cos ()(m)92

x

.t π=- （2）5m x =处质元振动方程为

5(5)002cos

()92y .t π

=-5

002cos()(m)918

.t ππ=- （3）25s t .=，0x =时

(0)002cos(250)9

y ..π

=⨯-00128(m).=

25s t .=，5m x =时

5

(5)002cos(25)918

y ..ππ=⨯-002(m).=

8-2．已知平面简谐波的振幅为0.001m ，波长为1m ，周期为0.01s ；波源位于x 轴原点处．当0t =时，波源处质元位移为零且沿y 轴正向运动．求：（1）该波波方程；（2）距波源9m 和10m 的两波面上的相位差．

解 （1）波源的振动方程为020001cos()y .t T

π

ϕ=+，因0t =时0y =，0y v >，所以02

π

ϕ=-

．因此 0001cos(200)(m)2

y .t π

π=-

若波沿x 轴正向传播，波方程为

0001cos[2(100)]2x y .t ππλ=-

-0001cos[2(100)](m)2.t x π

π=-- 若波沿x 轴负向传播，波方程为

0001cos[2(100)]2x

y .t ππλ=+

-0001cos[2(100)](m)2

.t x π

π=+- （2）由于波每传播一个波长的距离相位落后2π，19m x =和210m x =相距1m ，恰为一个波长距离，所以其相位差为2π．

8-3．频率为500Hz 的平面简谐波，波速为350m ．求：（1）波射线上相位差为π的两点相距多远？（2）对某个质元，时间间隔为3

110s -⨯的两个状态的相位差是多少？

解 （1）350

0.7(m)500

v

λν=

=

=，由于波每传播一个波长的距离相位落后2π，所以

波射线上相位差为3π的两点相距

0.70.117(m)23

π

π⨯=． （2）11

0.002(s)500

T ν===，由于质元每经一个周期相位改变2π，所以某质元时

间间隔为3

110s -⨯的两个状态的相位差为0.00120.002

π

π=．

8-4．一平面简谐波沿x 轴正向传播，波源于0x =处，波速1m s v =．已知2m x =处质元的振动方程为0.005cos(2)m y t π=（国际制单位）．求：（1）波源的振动方程；（2）该波的波方程．

解 （1）由于2

π

ω=

，所以221

4(m)2

v

v

ππλν

ω

π⨯=

=

=

=．可知0x =处质元较2m x =处质元相位超前π，因此波源的振动方程为

3510cos()(m)2

y t π

π-=⨯+

（2）该波的波方程为

3510cos[()]2x y t v ππ-=⨯-+3510cos[()](m)2

t x π

π-=⨯-+

8-5．如图为0t =时的平面简谐波的波形曲线，波沿x 轴负方向传播，波速330m s v =．求：（1）此波的波方程；（2）(1300)s t =时，0.1m x =处质元的速度．

解 （1）由波形曲线可见3

110m A -=⨯，0.2m λ=，0t =时0x =处质元位于0y =且Oy 负方向运动．进而可知0x =处质元的初相位2

π

ϕ=，

圆频率223300v

ωπνπ

πλ

===．所以波源振动方程为

cos()y A t ωϕ=+3110cos(3300)(m)2

t π

π-=⨯+

此波的波方程为

3110cos[3300()](m)3302

x y t π

π-=⨯+

+ （2）对波方程求时间导数得

33sin[3300()]3302

y y x v .t t π

ππ∂=

=-++∂ (1300)s t =时，0.1m x =处质元的速度为

10133sin[3300()]3003302

y .v .π

ππ=-++

33sin[11]2

.π

πππ=-++

331036(m s)..π=-=-

8-6．在直径0.14m 的圆柱形管中传播的平面简谐波，能流密度的大小为329.010J (s m )-⨯⋅，频率为300Hz ，波速为300m s ．求：（1）平均能量密度和最大能量密度；（2）两相邻同相位波面间的总能量．

解 （1）3

2

9.010J (s m )I wv -==⨯⋅，所以平均能量密度

3

539.010310(J m )300

I w v --⨯===⨯

由于能量密度222

sin ()x w A t v

ρωω=-，最大能量密度22max 2w A w ρω==，故

53max 610J m w -=⨯．

（2）因为300

1(m)300

v λν==

=，所以