黑龙江省大庆市喇中材料——和角公式与倍(半)角公式练习
倍角公式与半角公式习题绝对物超所值
两角和与差的三角函数1．若4cos 5α=，且()0,απ∈，则tg2α= ．2．（本小题满分12分）已知函数()sin()6f x A x πω=+(0,0)A ω>>的最小正周期为6T π=，且(2)2f π=．（1）求()f x 的表达式；（2）设,[0,]2παβ∈，16(3)5f απ+=，520(3)213f πβ+=-，求cos()αβ-的值． 3．在非等腰△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，且a=3，c=4，C=2A ．（Ⅰ）求cosA 及b 的值；（Ⅱ）求cos(3π–2A)的值．4．已知31)6sin(=-απ，则)3(2cos απ+的值是（ ）A ．97B ．31C ．31-D ．97-5．若4cos 5θ=-，θ是第三象限的角,则1tan 21tan2θθ-+=（ ） A ．12B ．12- C ．35D ．-2 6．己知 ,sin 3cos 5a R a a ∈+=，则tan 2a=_________．7．已知==+απα2sin ,54)4cos(则 .8．已知==+απα2sin ,54)4cos(则 .9．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且a b >，已知4cos 5C =，32c =，2221sin cos sin cos sin 222B A A BC ++=． （Ⅰ）求a 和b 的值；（Ⅱ）求cos()B C -的值．10．已知函数()2sin()(0,)6f x x x R ωωπ=+>∈的最小正周期为π. （1）求ω的值； （2）若2()3f α=，(0,)8πα∈，求cos 2α的值.11．已知函数2()2sin cos 2sin 1()f x x x x x R =-+∈． （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）若在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3a =，A 为锐角，且2()83f A π+=，求ABC ∆面积S 的最大值． 12．已知函数log (1)3a y x =-+，(0a >且1)a ≠的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则2sin sin 2αα-的值等于_______．13．已知),0(πα∈，且1sin cos 2αα+=，则α2cos 的值为（ ） A ．47±B ．47C ．47- D ．43-14．已知函数()sin()(,0,0,||)2f x A x x R A πωϕωϕ=+∈>><的部分图象如图所示．（1）试确定函数()f x 的解析式； （2）若1()23f απ=，求2cos()3πα-的值． 15．已知2sin(45)10α-︒=-，且090α︒<<︒，则cos2α的值为 ． 16．已知2sin(45)10α-︒=-，且090α︒<<︒，则cos2α的值为 ． 17．已知4(,0),cos()25παπα∈--=-，则tan 2α= ．18．已知4(,0),cos()25παπα∈--=-，则tan 2α= ．19．设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是________．20．设)cos()(cos 223)2sin()2(sin cos 2)(223θθπθπθπθθ-+++-++-+=f ，求)3(πf 的值。
高中数学人教B版必修4同步单元小题巧练：(9)倍角公式和半角公式
同步单元小题巧练（9）倍角公式和半角公式1=( )A.2cos5-︒B.2cos5︒C.2sin5-︒D.2sin5︒ 2、设1sin +=43πθ⎛⎫⎪⎝⎭,则 2sin θ= ( ) A. 79- B. 19- C. 19D. 793、化简1sin 4cos 41sin 4cos 4αααα+-=++ ( ) A. cot 2αB. tan 2αC. cot αD. tan α4、已知1sin cos 2θθ+=,则cos4θ= ( ) A. 18- B.18C. 716- D. 716 5、若,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,且24cos sin ααπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则2sin α的值为( ) A. 12-B. 12C. 1D. 1-6、若1sin 34πα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ( ) A.58B. 78- C. 58- D. 78 7、sin375cos15︒︒的值是( ) A.12B. 14C.D.8、若(cos )cos 2f x x =,则(sin15)f 等于( )A.B.2 C. 12D. 12-9、已知sin 4απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin2α= ( ) A.45B. 45-C.35D. 35- 10、已知2sin 23θ=,则2tan 4θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ( ) A.15B. 56C. 5D. 611、tan()2πα-=,则cos2α=__________12、已知32ππα<<,4sin 5α=-,则sin 23tan αα+的值为__________. 13、已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则5sin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π__________ 14、22sin 112π-=__________15、已知sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则2cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________ 16、已知α为第二象限角, 3cos()25πα-=,则sin2α=__________ 17、若3sin 5x =,则cos2x =__________.答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：原式sin 50)==︒-︒2502sin(4550)2sin 5⎫=︒︒=︒-︒=-︒⎪⎪⎝⎭.2答案及解析：答案：A解析：略3答案及解析：答案：B 解析：原式2212sin 2cos 2(12sin 2)12sin 2cos 22cos 21αααααα+--=++- ()()2sin 2sin 2cos 2tan 22cos 2sin 2cos 2ααααααα+==+.4答案及解析：答案：A解析：5答案及解析：答案：A解析：6答案及解析：答案：B∵1sin()34πα-+=,∴1sin()cos[]cos 32364ππππααα⎛⎫⎛⎫-+=--+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴2217cos(2)cos2()2cos ()12136648πππααα⎛⎫+=+=+-=⨯-=- ⎪⎝⎭.选B .7答案及解析：答案：B解析：8答案及解析：答案：A解析：9答案及解析：答案：C解析：10答案及解析：答案：A解析：11答案及解析： 答案：35-解析：12答案及解析： 答案：24425解析：13答案及解析：答案：7 9 -解析：14答案及解析：答案：2-解析：15答案及解析：答案：1 3解析：16答案及解析：答案：24 25 -解析：17答案及解析：答案：7 25解析：由Ruize收集整理。
(完整版)两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
：两角和与差及其二倍角公式知识点及典例知识要点：1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝ ； C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ； S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ； S(α－β)：sin(α－β)＝ ； T(α＋β)：tan(α＋β)＝ ； T(α－β)：tan(α－β)＝ ； 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式2S α：sin2α＝ ； 2T α：tan2α＝ ；2C α：cos2α＝ ＝ ＝ ；3、在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等。
如T(α±β)可变形为:tan α±tan β=___________________； tan αtan β= = . 考点自测：1、已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝( )711A 、 711B 、-713C 、 713D 、-2、已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋ sin α＝453，则 sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235 C ．－45 D.453、在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C 的值是( )A.1665B.5665C.1665或5665 D ．－1665 4、若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( )A ．0B ．±3C ．0或 3D ．0或±35、三角式2cos55°－3sin5°cos5°值为( )A.32B. 3 C ．2 D ．1 题型训练题型1 给角求值一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系（与特殊角的联系）化为特殊角 例1求[2sin50sin10(1)]︒︒︒+.变式1：化简求值：2cos10sin 20.cos 20︒︒︒- 题型2给值求值三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=--- 例2 设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos(α＋β)．变式2：π3π33π50π,cos(),sin(),4445413βααβ<<<<-=+=已知求sin(α+β)的值.题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围；(2)求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调)；（3）求出角。
2021年高中数学3.倍角公式和半角公式3..1倍角公式课后导练新人教B版必修
2021年高中数学3.2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式课后导练新人教B 版必修基础达标1.sinα-cosα=,则sin ２α的值是（ ）A. B. C. D.解析：两边平方，1-2sinαcosα=5,∴sin2α=.答案：B2.已知tanα+=m，则sin2α等于（ ）A. B. C.2m D.解析：切化弦=m,∴sin２α=.答案：B3.cos·cos·cos·cos 的值为（ ）A. B. C. D.解析：乘以17sin 17sinππ，利用倍角公式化简得.答案：D4.下列结论错误的是（ ）A.tanα+B.tanα-C.sin 2α-sin 2β=sin(α+β)sin(α-β)D.1+cos2θ=2sin 2θ解析：cos2θ=1-2sin 2θ,∴2sin 2θ=1-cos2θ.答案：D5.已知sinα=,则sin2(α-)=_____________.解析：原式=-cos2α（诱导公式）.答案：2-6.化简︒--︒+100sin 1100sin 1.解：原式=︒︒--︒︒+50cos 50sin 2150cos 50sin 21=sin50°+cos50°-(sin50°-cos50°)=2cos50°.7.已知sin(+x)sin(-x)=,x∈(,π),求sin4x 的值.解：∵sin(+x)sin(-x)=sin(+x)sin ［-(+x)］=sin(+x)cos(+x)=sin(+2x)=cos2x=,∴cos2x=.∵x∈(,π),∴2x∈(π,2π).∴sin2x=.∴sin4x=2sin2xcos4x=.8.已知tan(+θ)=3,求sin2θ-2cos 2θ的值.解:∵tan(+θ)==3,∴tanθ=.∴原式=θθθθθθθθθ222222cos sin cos 2cos sin 2cos sin cos 22sin +-=+- .综合运用9.已知cos(+x)=,,求的值.解：∵,∴<+x<2π.∵cos(+x)=,∴<+x<2π.∴sin(+x)=,tan(+x)=.又∵sin2x=-cos(+2x)=-2cos 2(+x)+1=+1=.原式=x x x x x x xx x x sin cos cos sin 2cos 2sin cos sin 1sin 22sin 22-+=-+ xx x x x x x x tan 1tan 12sin sin cos )sin (cos 2sin -+=-+= =sin2xtan(+x)=·()=.10.已知sin 22α+sin2αcosα-cos2α=1,α∈(0,),求sinα,tanα.解:原等式可变为4sin 2αco s 2α+2sinα·cos 2α-2cos 2α=0,∴2cos 2α(2sinα-1)(sinα+1)=0.∵α∈(0,),∴sinα+1≠0,cos 2α≠0.∴sinα=,α=.∴tanα=11.α,β是锐角,且3sin 2α+2sin 2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求证:α+2β=.证明:由已知得3sin 2α=1-2sin 2β=cos2β,又sin2β=sin2α=3sinαcosα,∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β=cosα3sin 2α-sinα3sinαcosα=0.又0<α<,0<β<,∴0<α+2β<π.∴α+2β=.拓展探究12.如图，在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ,沿BE 方向前进30 m 至点C 处测得顶端A 的仰角为2θ，再继续前进 m 至D 处,测得顶端A 的仰角为４θ.同学们能否依据所测得的数据,计算出θ的大小与建筑物AE 的高吗？解：由已知BC=30 m,CD=10 m.在Rt△ABE 中,BE=AEcotθ,在Rt△ACE 中,CE=AEcot2θ, ∴BC=BE -CE=AE(cotθ-cot2θ),同理,可得CD=CE-D E=AE(cot2θ-cot4θ), ∴)4cot 2(cot )2cot (cot θθθθ--=AE AE CD BC , 即3310304cot 2cot 2cot cot ==--θθθθ. 而θθθθθθθθθθθθθθ2sin 4sin 4sin 4cos 2sin 2cos 2sin 2cos sin cos 4cot 2cot 2cot cot =--=-- =2cos2θ=,∴2cos2θ=cos2θ=2θ=30°.∴θ=15°,∴AE=AC=BC=15 m.故θ为15°，建筑物高为15 m.。
课时作业——两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式(高三一轮复习)
数字 N
— 5—
4．tan 10°＋tan 50°＋ 3tan 10°tan 50°的值为( B )
3 A. 3
解析 ∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝1t－ant1a0n°1＋0°ttaann5500°°＝ 3，∴tan 10°＋tan 50°＝ 3
2 2.
数字 N
10．已知 sinx＋2π＝13，x∈0，π2. (1)求 tan 2x 的值；
(2)求 2cos2(x＋π)＋cosπ2－2x的值．
解 (1)由题意得，sinx＋π2＝cos x＝13，
又 x∈0，2π，则 sin x＝ 1－132＝232，
则 tan x＝2
2，tan
2x＝1－2tatnanx2x＝－4
β＝－ 42，sin 2β＝－492，cos 2β＝79.又 3sin(α＋2β)＝3sin αcos 2β＋3cos αsin 2β＝3×79
×sin
α＋3×－4
9
2×cos
α＝73sin
α－4
3
2 cos
α＝sin
α，所以
sin
α＝
2cos α，tan α＝
2.
所以
tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ＝1＋2－2×4242＝
α＋cos
α 的值．
— 13 —
数字 N
解
(1)因为
tanα＋π4＝1t－antαan＋αttaann
π 4π＝2，所以 4
tan
α＝13，
又因为 α∈－4π，π4，所以 α∈0，π4，
又csoins αα＝13， sin2α＋cos2α＝1，
(完整版)两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
：两角和与差及其二倍角公式知识点及典例知识要点：1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝ ； C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ； S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ； S(α－β)：sin(α－β)＝ ； T(α＋β)：tan(α＋β)＝ ； T(α－β)：tan(α－β)＝ ； 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式2S α：sin2α＝ ； 2T α：tan2α＝ ；2C α：cos2α＝ ＝ ＝ ；3、在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等。
如T(α±β)可变形为:tan α±tan β=___________________； tan αtan β= = . 考点自测：1、已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝( )711A 、 711B 、-713C 、 713D 、-2、已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋ sin α＝453，则 sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235 C ．－45 D.453、在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C 的值是( )A.1665B.5665C.1665或5665 D ．－1665 4、若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( )A ．0B ．±3C ．0或 3D ．0或±35、三角式2cos55°－3sin5°cos5°值为( )A.32B. 3 C ．2 D ．1 题型训练题型1 给角求值一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系（与特殊角的联系）化为特殊角 例1求[2sin50sin10(1)]︒︒︒+.变式1：化简求值：2cos10sin 20.cos 20︒︒︒- 题型2给值求值三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=--- 例2 设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos(α＋β)．变式2：π3π33π50π,cos(),sin(),4445413βααβ<<<<-=+=已知求sin(α+β)的值.题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围；(2)求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调)；（3）求出角。
两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
：两角和与差及其二倍角公式知识点及典例知识要点：1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝ ； C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ； S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ； S(α－β)：sin(α－β)＝ ； T(α＋β)：tan(α＋β)＝ ； T(α－β)：tan(α－β)＝ ； 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式2S α：sin2α＝ ； 2T α：tan2α＝ ；2C α：cos2α＝ ＝ ＝ ；3、在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等。
如T(α±β)可变形为:tan α±tan β=___________________； tan αtan β= = . 考点自测：1、已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝( )711A 、 711B 、-713C 、 713D 、-2、已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋ sin α＝453，则 sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235 C ．－45 D.453、在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C 的值是( )A.1665B.5665C.1665或5665 D ．－1665 4、若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( )A ．0B ．±3C ．0或 3D ．0或±35、三角式2cos55°－3sin5°cos5°值为( )A.32B. 3 C ．2 D ．1 题型训练题型1 给角求值一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系（与特殊角的联系）化为特殊角 例1求[2sin50sin10(1)]︒︒︒+.变式1：化简求值：2cos10sin 20.cos 20︒︒︒- 题型2给值求值三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=--- 例2 设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos(α＋β)．变式2：π3π33π50π,cos(),sin(),4445413βααβ<<<<-=+=已知求sin(α+β)的值.题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围；(2)求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调)；（3）求出角。
【配套K12】高中数学3.2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式课后导练新人教B版必修4
3.2.1 倍角公式课后导练基础达标1.sin α-cos α=51,则sin ２α的值是（ ） A.2524- B.2524 C.54 D.54- 解析：两边平方，1-2sin αcos α=215,∴sin2α=2524.答案：B2.已知tan α+αtan 1=m ，则sin2α等于（ ） A.m 1 B.m 2 C.2m D.21m 解析：切化弦ααcos sin 1=m,∴sin２α=m 2.答案：B 3.cos 17π·cos 172π·cos 174π·cos 178π的值为（ ） A.21 B.41 C.81 D.161解析：乘以17sin 17sin ππ，利用倍角公式化简得161.答案：D4.下列结论错误的是（ ）A.tan α+αα2sin 2tan 1=B.tan α-αα2tan 2tan 1-C.sin 2α-sin 2β=sin(α+β)sin(α-β)D.1+cos2θ=2sin 2θ解析：cos2θ=1-2sin 2θ,∴2sin 2θ=1-cos2θ.答案：D5.已知sin α=215-,则sin2(α-4π)=_____________.解析：原式=-cos2α（诱导公式）.答案：2-56.化简︒--︒+100sin 1100sin 1.解：原式=︒︒--︒︒+50cos 50sin 2150cos 50sin 21=sin50°+cos50°-(sin50°-cos50°)=2cos50°.7.已知sin(4π+x)sin(4π-x)=61,x∈(2π,π),求sin4x 的值. 解：∵sin(4π+x)sin(4π-x)=sin(4π+x)sin ［2π-(4π+x)］=sin(4π+x)cos(4π+x) =21sin(2π+2x)=21cos2x=61, ∴cos2x=31.∵x∈(2π,π), ∴2x∈(π,2π).∴sin2x=322-. ∴sin4x=2sin2xcos4x=924-. 8.已知tan(4π+θ)=3,求sin2θ-2cos 2θ的值. 解:∵tan(4π+θ)=θθtan 1tan 1-+=3, ∴tan θ=21. ∴原式=θθθθθθθθθ222222cos sin cos 2cos sin 2cos sin cos 22sin +-=+- 541tan 2tan 22-=+-=θθ. 综合运用9.已知cos(4π+x)=53,47127ππ<<x ,求xx x tan 1sin 22sin 2-+的值. 解：∵47127ππ<<x , ∴65π<4π+x<2π. ∵cos(4π+x)=53, ∴23π<4π+x<2π. ∴sin(4π+x)=54-,tan(4π+x)=34-.又∵sin2x=-cos(2π+2x) =-2cos 2(4π+x)+1 =2518-+1=257. 原式=x x x x x x xx x x sin cos cos sin 2cos 2sin cos sin 1sin 22sin 22-+=-+ xx x x x x x x tan 1tan 12sin sin cos )sin (cos 2sin -+=-+==sin2xtan(4π+x)=257·(34-)=7528-. 10.已知sin 22α+sin2αcos α-cos2α=1,α∈(0,2π),求sin α,tan α. 解:原等式可变为4sin 2αcos 2α+2sin α·cos 2α-2cos 2α=0,∴2cos 2α(2sin α-1)(sin α+1)=0.∵α∈(0,2π),∴sin α+1≠0,cos 2α≠0. ∴sin α=21,α=6π.∴tan α=33 11.α,β是锐角,且3sin 2α+2sin 2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求证:α+2β=2π. 证明:由已知得3sin 2α=1-2sin 2β=cos2β,又sin2β=23sin2α=3sin αcos α, ∴cos(α+2β)=cos αcos2β-sin αsin2β=cos α3sin 2α-sin α3sin αcos α=0.又0<α<2π,0<β<2π, ∴0<α+2β<23π.∴α+2β=2π. 拓展探究12.如图，在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ,沿BE 方向前进30 m 至点C 处测得顶端A 的仰角为2θ，再继续前进310 m 至D 处,测得顶端A 的仰角为４θ.同学们能否依据所测得的数据,计算出θ的大小与建筑物AE 的高吗？解：由已知BC=30 m,CD=103 m.在Rt△ABE 中,BE=AEcot θ,在Rt△ACE 中,CE=AEcot2θ, ∴BC=BE -CE=AE(cot θ-cot2θ),同理,可得CD=CE-DE=AE(cot2θ-cot4θ), ∴)4cot 2(cot )2cot (cot θθθθ--=AE AE CD BC , 即3310304cot 2cot 2cot cot ==--θθθθ. 而θθθθθθθθθθθθθθ2sin 4sin 4sin 4cos 2sin 2cos 2sin 2cos sin cos 4cot 2cot 2cot cot =--=-- =2cos2θ=3,∴2cos2θ=3⇒cos2θ=23⇒2θ=30°. ∴θ=15°, ∴AE=21AC=21BC=15 m. 故θ为15°，建筑物高为15 m.。
专题：和、差、倍、半的三角函数
一、Sα±β、 Cα±β公式的逆向运用
（2）合一变换
a b a sin x b cos x a b sin x cos x 2 2 2 2 a b a b b 2 2 a b sin(x ) 其中tan a
2 2
1. si n 3 cos 12 12 2.当锐角取何值时, (1 3 ) si n2 (1 3 ) cos 2 有最大值？并求这个最大值. 3.求y 3 si n (x 10) 5 si n (x 70)的最大值.
角不同的时候，能合一变换吗？
4.求函数y 2 sin(x 10) 2 cos(x 55)的最大值 和最小值，以及取得最大值和最小值时的x的值. 5. f ( x ) a sin x b cos x ,当f ( ) 1且f ( x )的最小值 3 为k时，求k的取值范围 . 这种类型的最值， 3 2 sin x 6.求函数y 的值域. 有哪些方法？ 2 2 cos x
关注特殊 数值与合 一变换
计算 1 4. 2 si n70 2 si n170 cos10 5 .( tan10 3 ) si n50 1 cos 20 6. si n10( cot 5 tan5 ) 2 si n20 1 3 1 7 . 2 2 cos 80 cos 10 cos 20 8. 2 si n50 si n10(1 3 tan10) 2 si n2 80
和、差、倍、半的三角函数
5.函数名的变换
3 要点：(1)切割化弦；(2)正余互化 , 2 2
五、函数名的变换
2021年高中数学3.倍角公式和半角公式3..半角的正弦余弦和正切课后训练新人教B版必修
2021年高中数学3.2倍角公式和半角公式3.2.2半角的正弦余弦和正切课后训练新人教B版必修1．tan 15°＋cot 15°等于( )A．2 B． C．4 D．2．设α∈(π，2π)，则等于( )A． B．C． D．3．若，则sin α＋cos α的值是( )A． B． C．1 D．4．若sin 2α＝，且α∈，则cos α－sin α的值是( )A． B．C． D．5．( )A．tan 2θ B．cot 4θC．tan 4θ D．cot 2θ6．已知α为三角形的内角，sin α＝，则________.7．若＜α＜2π，且cos α＝，则的值是________．8．已知0°＜α＜β＜90°，sin α与sin β是方程x2－(cos 40°)x＋cos240°－＝0的两根，则cos(2α－β)＝________.9．已知ππ1sin2sin2444αα⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，α∈，求2sin2α＋tan α－－1的值．10．(xx·北京模拟)已知函数f(x)＝sin 2x－2sin2x.(1)求的值；(2)若x∈，求f(x)的最大值和最小值．参考答案1．解析：原式＝＝2－＋2＋＝4.答案：C2．解析：∵α∈(π，2π)，∴∈，∴.sin sin 22αα==. 答案：A3．解析：由，①得，整理得.②由①得.③②＋③得，解得sin α＝.又由①得cos α＝2sin α－1＝2×－1＝.故sin α＋cos α＝.答案：A4．解析：∵(cos α－sin α)2＝1－sin 2α＝1－＝，∴|cos α－sin α|＝.由α∈，知cos α＜sin α，∴cos α－sin α＝. 答案：C5．解析：由sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+，得 tan 4θ＝，所以＝tan 4θ.答案：C6．解析：由条件，得cos α＝， 则411cos 5cot 332sin 5ααα±+===或.答案：3或7．解析：∵＜α＜2π，∴＜＜π.又cos α＝，∴cos24α==-.cos cos 224αα==-=. 答案：8．解析：由已知得Δ＝2cos 240°－4cos 240°＋2＝2sin 240°，∴x ＝cos 40°±sin 40°.∴x 1＝sin 45°cos 40°＋cos 45°sin 40°＝sin 85°，x 2＝sin 45°cos 40°－cos 45°sin 40°＝sin 5°.又由0°＜α＜β＜90°，知β＝85°，α＝5°，∴cos(2α－β)＝cos(－75°)＝cos 75°＝cos(45°＋30°)＝.答案：9．解：∵ππ1sin 2sin 2444αα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ππ12sin2cos2442αα⎛⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即.∴.而2sin2α＋tan α－－1＝－cos 2α＋＝. ∵α∈，∴2α∈.∴cos 2α＝，tan 2α＝.∴2cos2tan222αα⎛⎫⎪⎛⎫-+=--+=⎪⎝⎭⎝，即2sin2α＋tan α－－1的值为.10．解：(1)2ππ312sin213624-=-⨯=.(2)f(x)＝sin 2x＋cos 2x－1＝2－1.因为x∈，所以，所以≤≤1，所以f(x)的最大值为1，最小值为－2.。
高考数学总复习 4.3和角公式、倍角公式与半角公式配套文档 理 新人教b版
§4.3 和角公式、倍角公式与半角公式1． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C α－β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (C α＋β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (S α－β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S α＋β) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β (T α－β)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β (T α＋β)2． 二倍角公式sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3． 半角公式sin α2＝±1－cos α2；cos α2＝± 1＋cos α2； tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.根号前的正负号，由角α2所在象限确定．4． 函数f (x )＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)(其中tan φ＝ab)．1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( √ )(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． ( √ ) (3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( × )(4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × ) (5)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ ) (6)当α＋β＝π4时，(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.( √ ) 2． (2013·浙江)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( )A.43B.34 C ．－34 D ．－43 答案 C解析 ∵sin α＋2cos α＝102， ∴sin 2α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52.化简得：4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C.3． (2012·江西)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α等于( )A ．－34 B.34 C ．－43 D.43答案 B解析 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34.4． (2012·江苏)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________． 答案17250解析 ∵α为锐角且cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4 ＝sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6－22⎣⎡⎦⎤2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫452－1 ＝12225－7250＝17250. 5． (2013·课标全国Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________. 答案 －105解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，∴tan θ＝－13， 即⎩⎪⎨⎪⎧3sin θ＝－cos θ，sin 2θ＋cos 2θ＝1， 解得sin θ＝1010，cos θ＝－31010. ∴sin θ＋cos θ＝－105.题型一 三角函数式的化简与给角求值例1 (1)化简：(1＋sin θ＋cos θ)(sin θ2－cos θ2)2＋2cos θ(0<θ<π)；(2)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°(1tan 5°－tan 5°)．思维启迪 (1)分母为根式，可以利用二倍角公式去根号，然后寻求分子分母的共同点进行约分；(2)切化弦、通分．解 (1)由θ∈(0，π)，得0<θ2<π2，∴cos θ2>0.因此2＋2cos θ＝4cos 2θ2＝2cos θ2.又(1＋sin θ＋cos θ)(sin θ2－cos θ2)＝(2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2)(sin θ2－cos θ2)＝2cos θ2(sin 2θ2－cos 2θ2)＝－2cos θ2cos θ.故原式＝－2cos θ2cos θ2cosθ2＝－cos θ.(2)原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°(cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5°)＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°＝cos 10°－2(12cos 10°－32sin 10°)2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32.思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有： ①化为特殊角的三角函数值； ②化为正、负相消的项，消去求值； ③化分子、分母出现公约数进行约分求值．(1)在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C2＋3tan A 2tan C2的值为________．(2)2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( )A.12B.32 C.3 D. 2 答案 (1)3 (2)C解析 (1)因为三个内角A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋C ＝2π3，A ＋C 2＝π3，tan A ＋C 2＝3，所以tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2＝tan ⎝⎛⎭⎫A 2＋C 2⎝⎛⎭⎫1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C 2 ＝3⎝⎛⎭⎫1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C2＝ 3. (2)原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝2(cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.题型二 三角函数的给值求值、给值求角例2 (1)已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值； (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．思维启迪 (1)拆分角：α＋β2＝⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β，利用平方关系分别求各角的正弦、余弦． (2)2α－β＝α＋(α－β)；α＝(α－β)＋β. 解 (1)∵0<β<π2<α<π，∴－π4<α2－β<π2，π4<α－β2<π，∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝53， sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝459，∴cosα＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝⎝⎛⎭⎫－19×53＋459×23＝7527， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729. (2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2，又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4. 思维升华 (1)解题中注意变角，如本题中α＋β2＝(α－β2)－(α2－β)；(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝⎛⎭⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝⎛⎭⎫－π2，π2，选正弦较好．(1)若0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)等于( )A.33 B ．－33 C.539 D ．－69(2)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于 ( )A.5π12B.π3C.π4D.π6 答案 (1)C (2)C解析 (1)cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)]＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)，∵0<α<π2，则π4<π4＋α<3π4，∴sin(π4＋α)＝223. 又－π2<β<0，则π4<π4－β2<π2，则sin(π4－β2)＝63.故cos(α＋β2)＝cos[π4＋α－(π4－β2)]＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)＝13×33＋223×63＝539，故选C. (2)∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，∴cos α＝255， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×(－1010)＝22. ∴β＝π4.题型三 三角变换的简单应用例3 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.思维启迪 (1)可将f (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式； (2)据已知条件确定β，再代入f (x )求值． (1)解 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4－π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明 由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45，两式相加得2cos βcos α＝0，∵0<α<β≤π2，∴β＝π2，∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0.思维升华 三角变换和三角函数性质相结合是高考的一个热点，解题时要注意观察角、式子间的联系，利用整体思想解题．(1)函数f (x )＝3sin x ＋cos(π3＋x )的最大值为( )A ．2 B. 3 C ．1 D.12(2)函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是________．答案 (1)C (2)π解析 (1)f (x )＝3sin x ＋cos π3·cos x －sin π3·sin x＝12cos x ＋32sin x ＝sin(x ＋π6)．∴f (x )max ＝1. (2)f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x ) ＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin(2x ＋π4)－2， ∴T ＝2π2＝π.高考中的三角变换问题典例：(20分)(1)若tan 2θ＝－22，π<2θ<2π，则2cos 2θ2－sin θ－12sin (θ＋π4)＝________.(2)已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β等于( )A.3π4B.π4或3π4C.π4D ．2k π＋π4(k ∈Z )(3)(2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于( ) A ．－53 B ．－59 C.59 D.53(4)(2012·重庆)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°等于( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32思维启迪 (1)注意和差公式的逆用及变形；(2)可求α＋β的某一三角函数值，结合α＋β的范围求角．(3)可以利用sin 2α＋cos 2α＝1寻求sin α±cos α与sin αcos α的联系；(4)利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化．解析 (1)原式＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－tan θ1＋tan θ，又tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－22，即2tan 2θ－tan θ－2＝0， 解得tan θ＝－12或tan θ＝ 2.∵π<2θ<2π，∴π2<θ<π.∴tan θ＝－12，故所求＝1＋121－12＝3＋2 2.(2)由sin α＝55，cos β＝31010且α，β为锐角，可知cos α＝255，sin β＝1010，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22，又0<α＋β<π，故α＋β＝π4.解析 (3)由sin α＋cos α＝33两边平方得1＋2sin αcos α＝13，∴2sin αcos α＝－23.∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α＝(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝153. 由⎩⎨⎧sin α＋cos α＝33，sin α－cos α＝153，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝3＋156，cos α＝3－156.∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－53. (4)利用两角和的正弦公式化简． 原式＝sin (30°＋17°)－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.答案 (1)3＋22 (2)C (3)A (4)C温馨提醒 三角变换中的求值问题要注意利用式子的特征，灵活应用公式；对于求角问题，一定要结合角的范围求解．方法与技巧1． 巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x ·tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2， 配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22,1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2. 2． 利用辅助角公式求最值、单调区间、周期．由y ＝a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba)有a 2＋b 2≥|y |.3． 重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形． 失误与防范1． 运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通． 2． 在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的． 3． 在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1． 若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ等于( )A.35B.45C.74D.34 答案 D解析 由sin 2θ＝387和sin 2θ＋cos 2θ＝1得(sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝(3＋74)2，又θ∈[π4，π2]，∴sin θ＋cos θ＝3＋74.同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34. 2． 已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.1318 B.1322 C.322 D.16答案 C 解析 因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322.3． (2013·重庆)4cos 50°－tan 40°等于 ( ) A. 2 B.2＋32 C.3 D ．22－1答案 C解析 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin (50°＋30°)－sin 40°cos 40° ＝3sin 50°＋cos 50°－sin 40°cos 40°＝3sin 50°cos 40°＝ 3.4． 若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为( )A ．－210 B.210 C.3210 D.7210答案 A解析 由tan α＋1tan α＝103得sinαcos α＋cos αsin α＝103，∴1sin αcos α＝103，∴sin 2α＝35.∵α∈(π4，π2)，∴2α∈(π2，π)，∴cos 2α＝－45.∴sin(2α＋π4)＝sin 2αcos π4＋cos 2αsin π4＝22×(35－45)＝－210.5． 在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，则C 等于( )A.π3B.2π3C.π6D.π4答案 A解析 由已知可得tan A ＋tan B ＝3(tan A ·tan B －1)，∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3， 又0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝23π，∴C ＝π3. 二、填空题6． 若sin(π2＋θ)＝35，则cos 2θ＝________. 答案 －725解析 ∵sin(π2＋θ)＝cos θ＝35， ∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×(35)2－1＝－725. 7． 若α＝20°，β＝25°，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值为________．答案 2解析 由tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝tan 45°＝1可得 tan α＋tan β＋tan αtan β＝1，所以(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2.8. 3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________. 答案 －4 3解析 原式＝3sin 12°cos 12°－32(2cos 212°－1)sin 12° ＝23⎝⎛⎭⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin (－48°)2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24° ＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3. 三、解答题9． 已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈(π2，π)，β∈(0，π2)，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值． 解 由cos β＝55，β∈(0，π2)，得sin β＝255，tan β＝2.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1. ∵α∈(π2，π)，β∈(0，π2)，∴π2<α＋β<3π2，∴α＋β＝5π4.10．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值．解 (1)因为sin α2＋cos α2＝62， 两边同时平方，得sin α＝12.又π2<α<π，所以cos α＝－32.(2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35＝－43＋310.B 组 专项能力提升(时间：30分钟)1． 已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)等于( ) A ．－255 B ．－3510 C ．－31010 D.255答案 A解析 由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13. 又－π2<α<0，所以sin α＝－1010. 故2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255. 2． 定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝ad －bc ，若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于 ( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3答案 D解析 依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314， 又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2， 故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314， 而cos α＝17，∴sin α＝437， 于是sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32， 故β＝π3，选D. 3． 设x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x的最小值为________． 答案 3 解析 方法一 因为y ＝2sin 2x ＋1sin 2x ＝2－cos 2x sin 2x， 所以令k ＝2－cos 2x sin 2x.又x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以k 就是单位圆x 2＋y 2＝1的左半圆上的动点P (－sin 2x ，cos 2x )与定点Q (0,2)所成直线的斜率．又k min ＝tan 60°＝3，所以函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x的最小值为 3. 方法二 y ＝2sin 2x ＋1sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x 2sin x cos x＝3tan 2x ＋12tan x ＝32tan x ＋12tan x. ∵x ∈(0，π2)，∴tan x >0. ∴32tan x ＋12tan x≥232tan x ·12tan x ＝ 3. (当tan x ＝33，即x ＝π6时取等号) 即函数的最小值为 3.4． 已知tan(π＋α)＝－13，tan(α＋β)＝sin 2(π2－α)＋4cos 2α10cos 2α－sin 2α. (1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan β的值．解 (1)∵tan(π＋α)＝－13，∴tan α＝－13. ∵tan(α＋β)＝sin 2(π2－α)＋4cos 2α10cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋4cos 2α10cos 2α－sin 2α＝2sin αcos α＋4cos 2α10cos 2α－2sin αcos α＝2cos α(sin α＋2cos α)2cos α(5cos α－sin α)＝sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝－13＋25－(－13)＝516. (2)tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝516＋131－516×13＝3143. 5． 已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫5α＋53π＝－65，f ⎝⎛⎭⎫5β－56π ＝1617，求cos(α＋β)的值． 解 (1)由T ＝2πω＝10π得ω＝15.(2)由⎩⎨⎧f ⎝⎛⎭⎫5α＋53π＝－65，f ⎝⎛⎭⎫5β－56π＝1617得⎩⎨⎧ 2cos ⎣⎡⎦⎤15⎝⎛⎭⎫5α＋53π＋π6＝－65，2cos ⎣⎡⎦⎤15⎝⎛⎭⎫5β－56π＋π6＝1617，整理得⎩⎨⎧ sin α＝35，cos β＝817. ∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴cos α＝1－sin 2α＝45，sin β＝1－cos 2β＝1517. ∴cos(α＋β)＝cos αcos β －sin αsin β ＝45×817－35×1517＝－1385.。
课时作业14：§4.5和角公式、倍角公式和半角公式
§4.5和角公式、倍角公式和半角公式一、选择题1．设tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值是( ) A.1318 B ．1322C.322D ．162．设sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝13，则sin 2θ＝( ) A ．－79B ．－19C.19D ．793．设f (sin α·cos α)＝sin 2α，则f ⎝⎛⎭⎫15的值为( ) A ．－25B ．－15C ．15D ．254． 4cos 50°－tan 40°＝( ) A.2 B ．2＋32 C ．3D ．22－15．已知sin θ＋cos θ＝22(0＜θ＜π)，则cos 2θ的值为( ) A ．±32B ．－32C ．32 D ．－126．对于集合{}a 1，a 2，…，a n 和常数a 0，定义：ω＝sin 2(a 1－a 0)＋sin 2(a 2－a 0)＋…＋sin 2(a n －a 0)n为集合{}a 1，a 2，…，a n 相对a 0的“正弦方差”，则集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2，5π6，7π6相对a 0的“正弦方差”为( )A.12 B ．13C.14 D ．与a o 有关的一个值二、填空题7．若cos(α＋β)＝15，cos(α－β)＝35，则tan αtan β＝________.8．已知：0°<α<90°，0°<α＋β<90°，3sin β＝sin(2α＋β)，则tan β的最大值是________． 9．已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－13，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α＝________.10．若tan θ＝12，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＝________. 三、解答题11．已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝32. (1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫3π4－θ.12．如图所示，以Ox 为始边作角α与β(0＜β＜α＜π)，它们终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，已知点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－35，45. (1)求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值；(2)若OP ⊥OQ ，求sinα＋β2cos ⎝⎛⎭⎫π4＋β.13．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0＜α＜β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.参考答案一、选择题 1． C【解析】tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)·tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝25－141＋25×14＝322.2．A【解析】sin 2θ＝－cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2＝－cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－⎣⎡⎦⎤1－2×⎝⎛⎭⎫132＝－79. 3． D【解析】令sin α·cos α＝15，则sin 2α＝2sin αcos α＝25，∴f ⎝⎛⎭⎫15＝25. 故应选D. 4． C【解析】4cos 50°－tan 40°＝4cos 50°－sin 40°cos 40°＝4sin 40°·cos 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2cos 10°－sin 40°cos 40°＝2cos 10°－sin (30°＋10°)cos 40°＝32cos 10°－32sin 10°cos 40°＝3(cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10°)cos 40°＝3cos 40°cos 40°＝ 3.5． B【解析】又sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22⇒sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，∵0<θ<π，∴π4<θ＋π4<5π4，θ＋π4＝5π6⇒θ＝7π12⇒2θ＝7π6，所以cos 2θ＝cos 7π6＝－32，故应选B. 6． A【解析】集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2，5π6，7π6相对a 0的“正弦方差”ω＝sin 2⎝⎛⎭⎫π2－a 0＋sin 2⎝⎛⎭⎫π6－a 0＋sin 2⎝⎛⎭⎫7π6－a 03＝cos 2a 0＋sin 2⎝⎛⎭⎫5π6＋a 0＋sin 2⎝⎛⎭⎫π6－a 03＝cos 2a 0＋⎝⎛⎭⎫12cos a 0＋32sin a 02＋⎝⎛⎭⎫12cos a 0－32sin a 023＝cos 2a 0＋12cos 2a 0＋32sin 2a 03＝32(sin 2a 0＋cos 2a 0)3＝12.故应选A. 二、填空题 7． 12【解析】cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝15，①cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35.②由①②解得cos αcos β＝25，sin αsin β＝15，则tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝12.8．24【解析】由3sin β＝sin(2α＋β)，得 3sin(α＋β－α)＝sin(α＋β＋α)，化简得sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α， ∴tan(α＋β)＝2tan α，∴tan β＝tan(α＋β－α)＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝tan α1＋2tan 2α＝11tan α＋2tan α. 由题意知，tan α>0， ∴1tan α＋2tan α≥22，且仅当1tan α＝2tan α，即tan α＝22时等号成立，∴tan β的最大值为122＝24.9． 3＋8215【解析】依题设及三角的函数的定义得：cos β＝－13，sin(α＋β)＝45.又∵0＜β＜π，∴π2＜β＜π，π2＜α＋β＜π，sin β＝223，cos(α＋β)＝－35. ∴cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－35×⎝⎛⎭⎫－13＋45×223 ＝3＋8215. 10． 7210【解析】tan θ＝sin θcos θ＝12，即cos θ＝2sin θ，而cos 2θ＋sin 2θ＝1，且cos θ>0，sin θ>0， 计算可得cos θ＝255，sin θ＝55，则sin 2θ＝2sin θcos θ＝45，cos 2θ＝1－2sin 2θ＝35，因此sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＝sin 2θcos π4＋cos 2θsin π4＝7210. 三、解答题11．解：(1)∵f ⎝⎛⎭⎫5π12＝A sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋π4＝A sin 2π3＝A sin π3＝32A ＝32，∴A ＝ 3. (2)由(1)知f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 故f (θ)＋f (－θ)＝3sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＋3sin ⎝⎛⎭⎫－θ＋π4＝32， ∴3⎣⎡⎦⎤22sin θ＋cos θ＋22cos θ－sin θ＝32， ∴6cos θ＝32，∴cos θ＝64.又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin θ＝1－cos 2θ＝104， ∴f ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304.12．解：(1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos α(sin α＋cos α)sin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－352＝1825. (2)∵OP ⊥OQ ，∴α－β＝π2，∴β＝α－π2.∴sin β＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2＝－cos α＝35， cos β＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝sin α＝45. ∴sinα＋β2cos ⎝⎛⎭⎫π4＋β＝sin αcos β＋cos αsin βcos β－sin β ＝45×45－35×3545－35＝72515＝75.13．解：(1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4＋π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明：∵cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45.∴cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45，两式相加得2cos βcos α＝0. ∵0＜α＜β≤π2，∴β＝π2.由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝4×⎝⎛⎭⎫222－2＝0.。
高中数学3.2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式课后训练新人教B版必修4(2021学年)
高中数学3.2 倍角公式和半角公式3．２.1 倍角公式课后训练新人教B版必修4编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(高中数学 3.2 倍角公式和半角公式 3.2．1 倍角公式课后训练新人教B版必修４)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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倍角公式1.（2012·广东揭阳测试)已知倾斜角为α的直线ｌ与直线x－2y+２＝0平行，则ｔａn 2α的值为( )A.45B.34C.43D.232.当cｏs 2α＝,sin4α＋coｓ4α的值是（）A.1B.79C．1118D．13183.若sin2x＞cos2x,则x的取值范围是( )A.3ππ2π2π,44x k x k k⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭ZB．π5π2π2π,44x k x k k⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭ZC.ππππ,44x k x k k⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭ZＤ.π3πππ,44x k x k k⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z4.函数y＝2sin x(ｓiｎx＋ｃｏs ｘ）的最大值为（）A．1 B1C D.25.已知sinα，则πsin 24α⎛⎫-=⎪⎝⎭＿_______.6.已知θ是第三象限角，且siｎ4θ＋coｓ4θ=59,则sin 2θ＝________.7．已知2sin cos5sin3cosθθθθ+=--，则３cｏs 2θ＋sｉｎ2θ=_＿_____＿．8.在△ABC中，4cos5A＝,tａn B＝2,求taｎ(2A＋2Ｂ)的值.9.（2０１2·福建三明联考)已知函数ｆ(ｘ）x cos ｘ+sｉn2x。
黑龙江省大庆市喇中高考数学 和角公式与倍(半)角公式练习
和角公式与倍（半）角公式练习1、下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（）2、在锐角中，已知内角A、B、C所对的边分别为，向量,且向量．（1）求角的大小；（2）如果，求的面积的最大值．3、设函数（其中），且的图象在y柱右侧的第一个最高点的横坐标为。
（1）求的值；（2）如果在区间上有两个实数解，求a的取值范围。
4、（1）已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，求的值。
（2）在中，，求的值。
5、已知．化简；若角是的内角，且，求的值．6、已知函数f（x）=（sinx﹣cosx）（cosx+sinx），x∈R，（1）求f（x）的单调递增区间；（2）将y=f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后得到偶函数y=g（x）的图象，求m 的最小值．7、在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=5，sinBsinC=，求△ABC的面积S．8、已知函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的定义域及其最大值；（Ⅱ）求f（x）在（0，π）上的单调递增区间．9、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．10、如图，在平面直角坐标系中，点在单位圆上，，且.（1）若，求的值；（2）若也是单位圆上的点，且. 过点分别做轴的垂线，垂足为，记的面积为，的面积为.设，求函数的最大值.11、已知函数.(1) 求的最小正周期.(2) 求的单调递增区间12、已知向量，与共线．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．13、若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为14、已知向量，且A,B,C分别为的三边所对的角.（I）求角C的大小；（II）若sinA,sinC,sinB成等差数列，且的面积为，求c边的长.15、已知函数的最大值为2.(1)求函数在上的单调递减区间;(2)△ABC中,,角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且C=60c=3，求△ABC的面积。
4、和差倍半角的公式
和角、差角、倍角一、知识目标1、和角差角公式：βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； βαβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=+。
2、倍角公式：αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； ααα2tan 1tan 22tan -=。
二、能力目标1、公式的记忆和对公式部分的认识。
2、对公式的变形的使用。
3、倍角中1的用法与韦达定理的使用。
4、对角的观察并找出它们之间的联系。
5、观察条件与结论中的代数式的特征。
三、基础练习1、=βαcos sin 2_________________，=βαcos cos 2_______________，=-βαsin sin 2_______________，=βαsin cos 2_________________，=ααcos sin 2____________。
2、=+2cos 1α______________， =-2cos 1α______________。
3、=2tan α_________________________________________。
3、=+α2sin 1__________________；=-α2sin 1__________________。
4、=+α2cos 1__________________；=-α2cos 1_________________。
5、=+ααcot tan ___________；=-ααcot tan ___________；6、=-++-++)cos()cos()sin()sin(B A B A B A B A __________；=--+--+)cos()cos()sin()sin(B A B A B A B A __________。
4.5和角公式、倍角公式与半角公式
1.和角公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β， (C α－β) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β， (C α＋β) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β， (S α－β) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， (S α＋β) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β， (T α－β)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β. (T α＋β)2.倍角公式sin 2α＝2sin αcos α，(S 2α)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，(C 2α) tan 2α＝2tan α1－tan 2α.(T 2α)3.半角公式2cos α＝±1＋cos α2，(C 2α) sin 2α＝±1－cos α2，(S 2α) tan 2α＝±1－cos α1＋cos α.(T 2α)(根号前的正负号，由角α2所在象限确定)4.公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；(2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( √ ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定.( × ) (3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( × )(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ )(5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( √ )1.已知sin α＋cos α＝13，则sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α等于( ) A.118 B.1718 C.89 D.29答案 B解析 由sin α＋cos α＝13两边平方得1＋sin 2α＝19，解得sin 2α＝－89，所以sin 2 ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α2＝1－sin 2α2＝1＋892＝1718，故选B.2.若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α等于( )A.－34B.34C.－43D.43答案 B解析 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34.3.(2015·重庆)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β等于( )A.17B.16C.57D.56 答案 A解析 tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝12－131＋12×13＝17.4.(教材改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ . 答案22解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58° ＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77° ＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝22. 5.设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为 .答案17250解析 ∵α为锐角，cos(α＋π6)＝45，∴α＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，2π3， ∴sin(α＋π6)＝35，∴sin(2α＋π3)＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)＝2425，∴cos(2α＋π3)＝2cos 2(α＋π6)－1＝725，∴sin(2α＋π12)＝sin(2α＋π3－π4)＝22[sin(2α＋π3)－cos(2α＋π3)]＝17250.题型一 三角函数公式的基本应用例1 (1)已知sin α＝35，α∈(π2，π)，则cos 2α2sin (α＋π4)＝ .(2)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是 . 答案 (1)－75(2) 3解析 (1)cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α， ∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－45.∴原式＝－75.(2)∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α， ∴cos α＝－12，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3.思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征. (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.(1)若α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝17，则sin α等于( )A.35 B.45 C.－35D.－45(2)已知cos(x －π6)＝－33，则cos x ＋cos(x －π3)的值是( )A.－233B.±233C.－1D.±1答案 (1)A (2)C解析 (1)∵tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17，∴tan α＝－34＝sin αcos α，∴cos α＝－43sin α.又∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin 2α＝925.又∵α∈(π2，π)，∴sin α＝35.(2)cos x ＋cos(x －π3)＝cos x ＋12cos x ＋32sin x＝32cos x ＋32sin x ＝3(32cos x ＋12sin x ) ＝3cos(x －π6)＝－1.题型二 三角函数公式的灵活应用例2 (1)sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos(110°－x )的值为( ) A. 2 B.22 C.12D.32(2)(2015·重庆)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5等于( )A.1B.2C.3D.4 答案 (1)B (2)C解析 (1)原式＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos [90°－(x －20°)] ＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝ sin [(65°－x )＋(x －20°)]＝sin 45°＝22.故选B. (2)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtan π5－1＝2＋12－1＝3.思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.(1)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4B.π3C.π2D.3π4(2)函数f (x )＝2sin 2(π4＋x )－3cos 2x 的最大值为( )A.2B.3C.2＋ 3D.2－ 3答案 (1)A (2)B解析 (1)由题意知：sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，所以A ＝π4.(2)f (x )＝1－cos 2(π4＋x )－3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1，可得f (x )的最大值是3. 题型三 角的变换问题例3 (1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( ) A.2525 B.255C.2525或255D.55或525(2)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是 .答案 (1)A (2)－45解析 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45.又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β). 因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.于是cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.(2)∵cos(α－π6)＋sin α＝453，∴32cos α＋32sin α＝453， 3(12cos α＋32sin α)＝453， 3sin(π6＋α)＝453，∴sin(π6＋α)＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45.思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)等. 若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2等于( ) A.33B.－33C.539D.－69答案 C解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β2， ∵0＜α＜π2，∴π4＜π4＋α＜3π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝223.又－π2＜β＜0，则π4＜π4－β2＜π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63. 故cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539.6.三角函数求值忽视角的范围致误典例 (1)已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，则cos(α＋β)的值为 . (2)已知在△ABC 中，sin(A ＋B )＝23，cos B ＝－34，则cos A ＝ .易错分析 (1)角α2－β，α－β2的范围没有确定准确，导致开方时符号错误.(2)对三角形中角的范围挖掘不够，忽视隐含条件，B 为钝角. 解析 (1)∵0＜β＜π2＜α＜π，∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π，∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝53， sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝459，∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝⎝⎛⎭⎫－19×53＋459×23＝7527， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1 ＝2×49×5729－1＝－239729.(2)在△ABC 中，∵cos B ＝－34，∴π2＜B ＜π，sin B ＝1－cos 2B ＝74. ∵π2＜B ＜A ＋B ＜π，sin(A ＋B )＝23， ∴cos(A ＋B )＝－1－sin 2(A ＋B )＝－53， ∴cos A ＝cos [(A ＋B )－B ]＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B ＝⎝⎛⎭⎫－53×⎝⎛⎭⎫－34＋23×74＝35＋2712.答案 (1)－239729 (2)35＋2712温馨提醒 在解决三角函数式的求值问题时，要注意题目中角的范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号.另外，对题目隐含条件的挖掘也是容易忽视的问题，解题时要加强对审题深度的要求与训练，以防出错.[方法与技巧] 1.巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x ·tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2， 配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22， 1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2.2.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形. [失误与防范]1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通.2.在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1.cos 85°＋sin 25°cos 30°cos 25°等于( )A.－32 B.22 C.12D.1 答案 C解析 原式＝sin 5°＋32sin 25°cos 25°＝sin (30°－25°)＋32sin 25°cos 25°＝12cos 25°cos 25°＝12.2.若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ等于( )A.35B.45C.74D.34 答案 D解析 由sin 2θ＝378和sin 2θ＋cos 2θ＝1，得(sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝(3＋74)2，又θ∈[π4，π2]，∴sin θ＋cos θ＝3＋74.同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34.3.若tan θ＝3，则sin 2θ1＋cos 2θ等于( )A. 3B.－ 3C.33D.－33答案 A 解析sin 2θ1＋cos 2θ＝2sin θcos θ1＋2cos 2θ－1＝tan θ＝ 3.4.已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于( ) A.－53B.－59C.59 D.53答案 A解析 由sin α＋cos α＝33两边平方得1＋2sin αcos α＝13， ∴2sin αcos α＝－23.∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α＝(sin α－cos α)2 ＝1－2sin αcos α＝153. ∴cos 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α) ＝33×⎝⎛⎭⎫－153＝－53. 5.已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( )A.1318B.1322C.322D.16答案 C解析 因为α＋π4＋β－π4＝α＋β， 所以α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4， 所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322. 6.sin 250°1＋sin 10°＝ . 答案 12解析 sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12. 7.已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝ . 答案 1解析 根据已知条件：cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0.又α、β为锐角，则sin β＋cos β＞0，∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1.8.函数f (x )＝2cos x sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的最大值为 . 答案 1－32解析 ∵f (x )＝2cos x sin ⎝⎛⎭⎫x －π3 ＝2cos x ⎝⎛⎭⎫12sin x －32cos x ＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32， ∴f (x )的最大值为1－32. 9.已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值；(2)求tan α－1tan α的值. 解 (1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14， 即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3 ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32. ∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3. 10.已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值. 解 (1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12. 又π2<α<π，所以cos α＝－32. (2)因为π2<α<π，π2<β<π， 所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2. 又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45. cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35 ＝－43＋310. B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11.已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)等于( ) A.－255B.－3510C.－31010D.255答案 A 解析 由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13. 又－π2<α<0，所以sin α＝－1010. 故2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α ＝－255. 12.若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22 B.33 C. 2 D. 3 答案 D解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝14， ∴cos 2α＝14， ∴cos α＝12或－12(舍去)， ∴α＝π3，∴tan α＝ 3. 13.已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝ . 答案 2－156解析 ∵cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α) ＝cos 2α＝23， 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴2α∈(0，π)，∴sin 2α＝1－cos 22α＝53， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α ＝12×23－32×53＝2－156. 14.设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝ . 答案 ±3解析 f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝(2＋a 2)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. 依题意有2＋a 2＝2＋3，∴a ＝±3.15.已知函数f (x )＝sin x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x 2. (1)求函数f (x )在[－π，0]上的单调区间；(2)已知角α满足α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2f (2α)＋4f ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝1，求f (α)的值.解 f (x )＝sin x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x 2 ＝sin x 2cos x 2＝12sin x . (1)函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π，－π2，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2，0. (2)2f (2α)＋4f ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝1⇒sin 2α＋2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝1⇒2sin αcos α＋2(cos 2α－sin 2α)＝1 ⇒cos 2α＋2sin αcos α－3sin 2α＝0 ⇒(cos α＋3sin α)(cos α－sin α)＝0.∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos α－sin α＝0⇒tan α＝1得α＝π4， ∴f (α)＝12sin π4＝24.。
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和角公式与倍（半）角公式练习1、下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（）2、在锐角中，已知内角A、B、C所对的边分别为，向量,且向量．（1）求角的大小；（2）如果，求的面积的最大值．3、设函数（其中），且的图象在y柱右侧的第一个最高点的横坐标为。
（1）求的值；（2）如果在区间上有两个实数解，求a的取值范围。
4、（1）已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，求的值。
（2）在中，，求的值。
5、已知．化简；若角是的内角，且，求的值．6、已知函数f（x）=（sinx﹣cosx）（cosx+sinx），x∈R，（1）求f（x）的单调递增区间；（2）将y=f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后得到偶函数y=g（x）的图象，求m的最小值．7、在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=5，sinBsinC=，求△ABC的面积S．8、已知函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的定义域及其最大值；（Ⅱ）求f（x）在（0，π）上的单调递增区间．9、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB﹣sin （A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．10、如图，在平面直角坐标系中，点在单位圆上，，且.（1）若，求的值；（2）若也是单位圆上的点，且. 过点分别做轴的垂线，垂足为，记的面积为，的面积为.设，求函数的最大值.11、已知函数.(1) 求的最小正周期.(2) 求的单调递增区间12、已知向量，与共线．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．13、若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为14、已知向量，且A,B,C分别为的三边所对的角.（I）求角C的大小；（II）若sinA,sinC,sinB成等差数列，且的面积为，求c边的长.15、已知函数的最大值为2.(1)求函数在上的单调递减区间;(2)△ABC中,,角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且C=60 ，c=3，求△ABC的面积。
16、已知函数.(Ⅰ)求的最小正周期；(Ⅱ)在中，角所对的边分别为，若且的面积为，求边长的值.17、已知不等式组表示区域，过区域中任意一点作圆的两条切线且切点分别为，当最大时，（）A． B． C． D．18、已知函数，（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若函数的图像是由函数的图像上所有的电向右平移个单位长度而得到，且在内是单调函数，求实数m的最大值。
19、已知向量．（1）当时，求cos2x﹣sin2x的值；（2）设函数，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=，求的取值范围．20、已知函数.（1）求的最小正周期和对称轴；（2）若，求的值域.答案1、2、（1）即又，所以，则，即（2）由余弦定理得即，当且仅当时等号成立所以，得所以所以的最大值为3、(1) f(x)＝cos2x＋sin2x＋＋a……………………………….2分＝sin(2x＋)＋＋a………………………………………..4 分依题意得2·＋＝解得＝………………………………….6分(2) 由(1)知f(x)＝sin(x＋)＋＋a又当x∈时，设x＋∈…………………………………8分f(x)=0在上有两个实数解,即函数的图象有两个交点。
……………………………………………..11分由函数g(x)的图像得a的取值范围是…………………….14分4、（1）因为角的终边经过点P所以，所以 (4)分…………………………………6分（2）因为在△ABC 中，所以 ,…………………………….8分所以B>A，得出……………………….10分又因为所以cosC=………………………………..12分5、（1）．（2）由（1）知，cosA=，∵ A是△ABC的内角，∴ 0≤A≤，∴ sinA=∴，∴ tanA-sinA=．6、（1）由和差角公式化简可得f（x）=2sin（2x﹣），解不等式2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+可得函数的单调递增区间；（2）易得g（x）=2sin（2x+2m﹣），由偶函数易得m=+，k∈Z，结合m的范围可得最小值．解：（1）化简可得f（x）=（sinx﹣cosx）（cosx+sinx）=3sinxcosx+sin2x﹣cos2x﹣sinxcosx=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+可得kπ﹣≤x≤kπ+∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）；（2）由（1）可知，g（x）=2sin[2（x+m）﹣]=2sin（2x+2m﹣），∵函数y=g（x）为偶函数，∴函数y=g（x）的图象关于y轴对称∴2m﹣=kπ+，解得m=+，k∈Z，又∵m＞0，∴当k=0时m取得最小值7、（I）化简已知等式可得2cos2A+3cosA﹣2=0，即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，即可解得cosA的值，结合范围0＜A＜π，即可求得A的值．（II）又由正弦定理，得•sin2A═．由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，又b=5，即可解得c的值，由三角形面积公式即可得解．解：（I）由3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A，得2cos2A+3cos A﹣2=0，即（2cos A﹣1）（cos A+2）=0．﹣﹣﹣﹣（2分）解得cos A=或cos A=﹣2（舍去）．﹣﹣﹣﹣（4分）因为0＜A＜π，所以A=．﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（II）又由正弦定理，得sinBsinC=sin A•sin A=•sin2A═．﹣（8分）解得：bc=，由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA，又b=5，所以c=4或c=﹣﹣﹣﹣（10分）所以可得：S=bcsin A=bc•=bc=5或S=﹣﹣﹣﹣（12分）8、（Ⅰ）解sinx≠0可得f（x）的定义域，化简可得f（x）=，可得f（x）的最大值；（Ⅱ）由和x∈（0，π）可得f（x）在（0，π）上的单调递增区间．解：（Ⅰ）由sinx≠0，得x≠kπ（k∈Z）．∴f（x）的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}，∵=2cosx﹣2sinx=，∴f（x）的最大值为；（Ⅱ）∵函数y=cosx的单调递增区间为[2kπ+π，2kπ+2π]（k∈Z）由，x≠kπ（k∈Z），且x∈（0，π），∴f（x）在（0，π）上的单调递增区间为9、解：（Ⅰ）由可得，可得，即，即，（Ⅱ）由正弦定理，，所以=，由题意可知a＞b，即A＞B，所以B=，由余弦定理可知．解得c=1，c=﹣7（舍去）．向量在方向上的投影：=ccosB=．10、（1）由三角函数的定义有∵，∴，∴. ………4分（2）由，得．由定义得，，又，于是，∴====，即．……10分11、（1）.最小正周期. …………4分所以最小正周期为.（2）的单调递增区间为：…………9分12、（Ⅰ），又∵…5分（Ⅱ）…9分∵，当时，，当时，…13分13、114、15、(1) ；(2)【知识点】两角和与差的正弦函数；正弦定理；余弦定理．C5 C8解析：（1）由题意，的最大值为，所以．而，于是，．为递减函数，则满足，即．所以在上的单调递减区间为．……………….5分（2）设△ABC的外接圆半径为，由题意，得．化简，得．由正弦定理，得，．①…………………….8分由余弦定理，得，即．②……………….10分将①式代入②，得．解得，或（舍去）．．……………….12分16、(Ⅰ) ； (Ⅱ)【知识点】两角差的余弦公式；辅助角公式；余弦定理C4 C5 C6 C8解析： (4)分(Ⅰ)；.....................6分(Ⅱ) (8)分…………………10分由余弦定理得 (12)分17、B 解析：作出不等式组对应的平面区域如图，要使∠APB最大，则P到圆心的距离最小即可，由图象可知当OP垂直直线3x+4y﹣10=0，此时|OP|=，|OA|=1，设∠APB=α，则，即sin==，此时cosα=1﹣2sin2=1﹣2×（）2=1﹣=，即cos∠APB=．故选：B18、（Ⅰ）；（Ⅱ）【知识点】二倍角公式，同角三角函数关系，两角和与差的三角函数，三角函数的图像与性质. C2 C5 C6 C3 解析：（Ⅰ）因为，所以.代入得.所以=.（Ⅱ）由已知得依题意得，即.因为，所以.又因为在区间内是单调函数，所以，即，故实数m的最大值为.【思路点拨】（Ⅰ）利用同角三角函数关系及二倍角公式求解；（Ⅱ）由平移变换得，再由在区间内是单调函数得m取值范围.19、解：（1）∵=（sinx，），=（cosx，﹣1），∥，∴﹣sinx=cosx，即tanx=﹣，则cos2x﹣sin2x=cos2x﹣2sinxcosx====；（2）f（x）=2（+）•=2（sinxcosx+cos2x+）=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，∵a=，b=2，sinB=，∴由正弦定理=得：sinA===，∵a＜b，∴A＜B，∴A=，∴原式=sin（2x+）﹣，∵x∈，∴2x+∈，∴1≤sin（2x+）≤，则≤sin（2x+）﹣≤﹣．即所求式子的范围为．20、（1），，对称轴（2）。