辅助角公式专题练习
(精品三角函数辅助角公式练习题
三角函数辅助角公式练习题
1.已知函数 ，则下列等式成立的是（）
A、 B、
C、 D、
2.sin15°cos30°sin75°的值等于（）
A. B. C. D.
5.已知函数y= cos2x+ sinx·cosx+1（x∈R）,
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？
6.已知函数
将f(x)写成 的形式，并求其图象对称中心的横坐标；
3.函数y＝sin（ －2x)的单调增区间是（）
A.［kπ－ ，kkπ＋ ］(k∈Z)D.［kπ＋ ，kπ＋ ］(k∈Z)
4.已知函数f(x)＝ (sinx－cosx)
（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调减区间；
（3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的一个周期.
辅助角公式例题及解析十道
辅助角公式例题及解析十道辅助角公式是解决三角函数问题的一种重要工具，它可以将复杂的三角函数表达式化简为更易于处理的形式。
以下是十道辅助角公式的例题及解析：1. 例题：求函数y = 2sin(x + π/3) + cos(x - π/6) 的值域。
解析：利用辅助角公式将原函数化简为y = √3sinx + cosx + 1，再进一步化简为y = 2sin(x + π/6) + 1。
由于正弦函数的值域为 [-1, 1]，因此原函数的值域为 [-1, 3]。
2. 例题：求函数 y = sin(2x - π/3) + cos(2x - π/6) 的单调递增区间。
解析：利用辅助角公式将原函数化简为y = √3sin(2x - π/6)，再利用正弦函数的性质，求得单调递增区间为[kπ - π/6, kπ + π/3]，其中 k 是整数。
3. 例题：求函数 y = sin(x) + cos(x) 的最大值和最小值。
解析：利用辅助角公式将原函数化简为y = √2sin(x + π/4)，正弦函数的最大值为 1，最小值为 -1，因此原函数的最大值为√2，最小值为 -√2。
4. 例题：已知sinθ + sin(θ + π/3) = 1，求cos(θ + π/6) 的值。
解析：利用辅助角公式和已知条件，将原问题转化为求sin(2θ + π/6) 的值，再利用三角恒等式化简求解。
5. 例题：已知sinαcosβ = 1/2，求cosαsinβ 的取值范围。
解析：利用辅助角公式将原问题转化为求sin(α + β) 的取值范围，再利用三角恒等式和已知条件求解。
6. 例题：求函数 y = sin(x) + cos(x) 在区间[0, π] 上的最大值和最小值。
解析：利用辅助角公式将原函数化简为y = √2sin(x + π/4)，再利用正弦函数的性质求解。
7. 例题：已知sinαcosβ = 1/3，求(sinαcosβ)^2 + (cosαsinβ)^2 的值。
辅助角公式的应用(含答案)
辅助角公式的应用一、单选题(共9道，每道11分)1.函数的一条对称轴是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简2.已知，则函数的值域为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简3.将函数的图象向左平移a（a＞0）个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则a的最小值是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简4.设函数的图象关于点成中心对称，且，则的值是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简5.已知函数在上单调递减，则的取值范围是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简6.已知函数，，且f(x)在区间上递减，则的值是( )A.3B.2C.6D.5答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简7.关于函数，说法正确的是( )A.函数f(x)关于直线对称B.函数f(x)向左平移个单位后是奇函数C.函数f(x)关于点对称D.函数在区间上单调递增答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简8.若在上的最小值为-3，则a的值是( )A.4B.-3C.-4D.-6答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简9.已知函数的图象关于直线对称，则函数的一个对称中心是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简。
辅助角公式专题训练
辅助角公式专项训练(主观题安徽2012高考数学)1⑵ 将函数f (x)的图像向右平移 m 个单位，使平移后的图像关于原点对称，若 0 m 求m 的值。
1(,)。
6 2 (1)求的值;1 ，纵坐标不变，得到函数y g(x)的2 图像，求函数y g(x)在区间0,— 上的最值。
43.已知函数f (x) 2cos xsin(x —)(1)求函数f (x)的最小正周期及取得最大值时x 的取值集合; (2)求函数f (x)图像的对称轴方程。
1.已知函数f(x) in x 4 COSX 。
(1)右 COSX4 13 ，求f (x)的值; 2.已知函数 f(x) 珈2xsin cos 2xcos^si n (- )(0 2 2 )，其图像过点 ⑵ 将y f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的2(1 )求f(x)的单调递减区间；(2)函数f(X )的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数? (1 )求f (x)的值域；(2)求f (x)的对称中心。
(1)求函数f (x)的最小正周期和图像的对称轴方程;(2)求函数f (x)在区间 一，一上的值域。
12 24.已知函数 f (X )2a cos 2 x bsin xcosx 弓，且f(0)5.设 f (x) cos(x 2r ) 2cos 2 -, x 26.已知f(x) COs(2x 3) 2sin(x 4)sin(x37.已知函数 f (x) cos(§ x)cos(§ x),g(x) (1) 求 f (x)的最小正周期;f (x)g (x)的最大值，并求使 h(x)取得最大值的x 的集合。
4对称，求当x0,-时，y g(x)的最大值。
3 29.已知函数 f (x) 2cos 2x sin x 4cos x 。
(1 )求f(—)的值；(2)求f (x)的最值。
310.已知向量 mn (si nA cos A)，n (、、3, 1)，rrnign 1，且 A 为锐角。
《辅助角公式应用》专题(简单题)
《辅助角公式应用》专题2017年（ ）月（ ）日 班级 姓名 授之以鱼，不若授之以渔。
化下列代数式为一个角的三角函数1sin 22αα+；cos αα+；a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b2x x ⎛⎫+⎪⎭＝a 2＋b 2(sin x ＋cos x ) (想想正弦、余弦的定义) ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2)． 使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2， 【求周期】1.求函数x x y 4sin 4cos 3+=的最小正周期。
2.求函数y x x x =+-+24432cos()cos()sin ππ的最小正周期。
小结：将三角式化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式，是求周期的主要途径。
【求值】1.求函数x x y 4sin 4cos 3+=的最大值。
2.函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x (x ∈R)的最小值等于 ( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 53.2)cos()12123x x ππ+++=，且 02x π-<<，求sin cos x x -的值。
4.已知)4x y πθ+=+，)4x y πθ-=-，求证：221x y +=【求单调区间】 求函数x x y 4sin 4cos 3+=的单调递增区间。
（2009安徽卷理）已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63k k k Z ππππ++∈已知函数()3f x x x =-，求：（1）求函数()f x 的周期、最大值以及取得最大值自变量x 的取值范围.（2）求函数()f x 的单调区间、对称中心.（3）函数()f x 由函数sin y x =的图像如何变换得到的？【求值】已知函数f(x)=x sin 32-+sinxcos x 。
辅助角公式11579
[合作探究·提认知] 电视剧《闯关东》讲述了济南章丘朱家峪人朱开山一家， 从清末到九一八事变爆发闯关东的前尘往事。下图是朱开山 一家从山东辗转逃亡到东北途中可能用到的四种交通工具。
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。 提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展； 政府及各阶层人士的提倡与推动。
”；此后十年间，航空事业获得较快发展。
筹办航空事宜
处
三、从驿传到邮政 1．邮政 (1)初办邮政： 1896年成立“大清邮政局”，此后又设 ， 邮传邮正传式部脱离海关。 (2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站； 1920年，中国首次参加 万国。邮联大会
2．电讯 (1)开端：1877年，福建巡抚在 架台设湾第一条电报线，成为中国自 办电报的开端。
动了经济与社会的发展。
关键词——交通和通讯不断进步、辛亥革命和国民大革命顺应
时
代潮流
图说历史
主旨句归纳
(1)1911年，革命党人发动武昌起义，辛亥
革命
爆发，随后建立了中华民国，颁布了《中
华
民国临时约法》；辛亥革命是中国近代化
进
程的里程碑。
(2)1924年国民党“一大”召开，标志着第 一
历史ⅱ岳麓版第13课交通与通讯 的变化资料
2．特点 (1)近代中国交通业逐渐开始近代化的进程，铁路、水运和 航空都获得了一定程度的发展。 (2)近代中国交通业受到西方列强的控制和操纵。 (3)地域之间的发展不平衡。 3．影响 (1)积极影响：促进了经济发展，改变了人们的出行方式， 一定程度上转变了人们的思想观念；加强了中国与世界各地的 联系，丰富了人们的生活。 (2)消极影响：有利于西方列强的政治侵略和经济掠夺。
辅助角公式专题练习
cos x)a 2b 2(3) sin cos (4)¥ cos(3如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=对称，那么a=辅助角公式专题训练•知识点回顾as in x b cosx 402~b 2 (a -sin x■- a 2 b 2 sin(x )cosa其中辅助角由 、a 2 b 2 确定，即辅助角 的终边经过点（a,b ）sinb■. a 2 b 2二.训练1.化下列代数式为一个角的二角函数(1) -sincos(2) •. 3 sincos ；22(A) 2 (B) 2 (C) 1 ( D) -13、已知函数的值域4、函数的值域5、求5sin 12cos 的最值n6.求函数y = cos x + cos x + 的最大值7.已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，贝卩的单 调递增区间是（过程（）A. B. C. D.（果 过程.a 2 b 2 sin(x )参考答案asi nx bcosx1. (6)_b_a 2b 2cosx)2.［答案］C …nn［解析］y = 2sin -3 — x — cos — + xn=cos x + ~ (x € R).n■/ x € R,「. x + — € R,「. y min =— 1.3.答案：B 解析因为==当是，函数取得最大值为 2.故选B 4.答案Ccos其中辅助角由sinaa 2b 2 b确定，即辅助角的终边经过点（a,b ）7t 7t=2cos + x — cos + x6 6［解析］法3n 1Tcos x +— +2sin7tn n—cos — — x — — = 3cos nx +石ny =cos x +cos x cosT —sin. n x sin 33 2cos x —*nx = -3cos x — Jsin x 2 2 解析，由题设的周期为，•••, 由得，，故选C5.解：可化为 y 1 a 2sin(2x)。
辅助角公式专项训练答案
辅助角公式专项训练答案1. 已知sinα = 5/13，求cosα的值。
解答：根据辅助角公式，我们可以得到cosα = √(1 - sin^2α) = √(1 - (5/13)^2) = √(1 - 25/169) = √(144/169) = 12/13所以cosα的值为12/132. 已知tanα = 3/4，求sinα的值。
解答：根据辅助角公式，我们可以得到sinα = tanα / √(1 +tan^2α) = (3/4) / √(1 + (3/4)^2) = (3/4) / √(1 + 9/16) = (3/4) / √(25/16) = (3/4) / (5/4) = 3/5所以sinα的值为3/53. 已知cosβ = -12/13，求sin(180° - β)的值。
解答：根据辅助角公式，我们知道sin(180° - β) = sinβ =±√(1 - cos^2β) = ±√(1 - (-12/13)^2) = ±√(1 - 144/169) =±√(25/169) = ±5/13所以sin(180° - β)的值为5/13或-5/134. 已知tanθ = 2，求cos(90° - θ)的值。
解答：根据辅助角公式，我们知道cos(90° - θ) = sinθ = √(1 - cos^2θ) = √(1 - (2/1)^2) = √(1 - 4) = √(-3)。
由于√(-3)是虚数，所以cos(90° - θ)的值不存在。
5. 已知cotφ = -3/4，求sin(270° - φ)的值。
解答：根据辅助角公式，我们知道sin(270° - φ) = cosφ =±√(1 - sin^2φ) = ±√(1 - (1/cot^2φ)) = ±√(1 - (1/(-3/4))^2) = ±√(1 - 16/9) = ±√(-7/9)。
辅助角公式专题训练
辅助角公式专项训练5(1)若 COSX 石，X i ，，求 f (X )的值;求m 的值。
(1 )求函数f (X)的最小正周期及取得最大值时X 的取值集合; (2)求函数f (X)图像的对称轴方程。
4.已知函数 f (x) 2acos 2 x bsinxcosx 3，且 f (0) 3， f(-)-。
2 2 4 2(1 )求f(x)的单调递减区间；(2)函数f (X)的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数？1.已知函数f(x)73 . in x 41 COS X 。
4 (2)将函数f (X)的图像向右平移m 个单位，使平移后的图像关于原点对称, 2.已知函数 f(X )sin 2XS in 2 2 COS XCOS 」si n(— )(0 2 2 )，其图像过点1(6,2)。
(1)求的值; ⑵ 将y f (X )的图像上各点的横坐标缩短到原来的1 一 ，纵坐标不变，得到函数y g(x)的2 图像，求函数 y g(x)在区间0,— 上的最值。
43.已知函数f (x)2cos xsin(x ——。
4对称，求当x 0, 时，y g(x)的最大值。
329.已知函数 f (x) 2cos 2x sin x 4cos x 。
(1 )求f(§)的值；(2)求f (x)的最值。
10.已知向量 mn (si nA,cosA)，n (、_3, 1)，rrnign 1，且 A 为锐角。
(1)求角A 的大小；(2)求函数f(x) cos2x 4cos xsin A(x R)的值域。
5.设 f (x) COS (X 2cos 2 X, x 2 (1 )求f (x)的值域；(2)求f (x)的对称中心。
6.已知f(x) COS (2x 扌 2S "(x 4)S "(x (1)求函数f (x)的最小正周期和图像的对称轴方程;(2)求函数f (x)在区间 一，一 上的值域。
12 27.已知函数 f (x) cos(- x)cos( x), g(x) 3 3 1sin2x 〕。
辅助角公式练习(含解析)
本题考查了辅助角公式，考查了正弦型函数最小正周期公式，考查了数学运算能力.
10．
【解析】
【分析】
由题意可知 是函数的最小值，化简函数 （ ， ），利用 求 .
【详解】
（ ， ），
由题意可知， 是函数的最小值，
，
当 时，函数取值最小值，
，
.
故答案为：
【点睛】
本题考查三角函数的恒等变形以及三角函数性质的综合应用，属于中档题型，本题的关键是通过化简得到 ，并且已知 ， .
（2）根据（1）中求出的正弦型函数，求出在区间 的值域.
【详解】
（1）
单调递增 ，
解得： ，
所以 单调递增区间为
（2）由（1）知
因为 ，所以
所以
【点睛】
本题考查通过公式的运用对三角函数进行化简，以及正弦型函数的单调区间和值域，属于简单题.
13．（1）0；（2）最小正周期为 ；（3）最大值为2， 取得最大值的x的集合为 .
故选A.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的“辅助角公式”，属于基础题.
3．C
【解析】
【分析】
运用辅助角公式和两角差的余弦公式进行求解即可.
【详解】
原式 .故选C.
【点睛】
本题考查了辅助角公式和两角差的余弦公式，考查了特殊角的三角函数值.
4．A
【解析】
【分析】
利用二倍角的正弦公式、余弦公式、辅助角公式，把函数 的解析式化为正弦型函数解析形式，最后利用正弦型函数的单调性求出 在区间 上的最大值，选出正确答案.
【详解】
，向左平移 ，得 ，又 为偶函数，令 ，得 ，由于 ， ，∴ 最小值为 ，
故选：A.
【点睛】
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辅助角公式专题练习 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
辅助角公式专题训练
一．知识点回顾
对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下：
y=asinx+bcosx =++++a b x a a b
x b a b
222
2
2
2
(sin cos )·
·。
记
a a b
2
2
+=cos θ，
b a b 22
+=sin
θ，则cos cos sin ))y x x x θθθ+=+
由此我们得到结论：asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ，（*
cos ,θ=
sin θ=来确定。
通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数
问题，最终化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式。
二．训练
1.化下列代数式为一个角的三角函数
（1
）1sin cos 22
αα+
； （2
cos αα+； （3）sin cos αα- （4
）sin()cos()6363
ππ
αα-+-． （5）5sin 12cos αα+ （6）sin cos a x b x +
2．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＋x (x ∈R)的最小值等于 ( )
A ．－3
B ．－2
C ．－1
D ．－ 5
3.
若函数()(1)cos f x x x =+，02
x π
≤<，则()f x 的最大值为
( )
A ．1
B ．2 C
1 D
2
4.（2009安徽卷理）已知函数
()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212
k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212
k k k Z ππππ++∈C.[,],3
6
k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],6
3
k k k Z ππππ++∈5. 如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-π
8
对称，那么a= ( )
（A ）2 （B ）-2 （C ）1
（D ）-1
6．函数y ＝cos x ＋cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫
x ＋
π3的最大值是________．
7.2)cos()12
12
3x x π
π
+
++
=
，且 02
x π
-<<，求sin cos x x -的值。
8.求函数f x k x k x x ()cos(
)cos()sin()=+++--++61326132233
2πππ (,)x R k Z ∈∈的值域。
6.（2006年天津）已知函数x b x a x f cos sin )(-=（ a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在
4
π
=
x 处取得最小值，则函数)4
3(
x f y -=π
是 （ ）
A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称
B ．偶函数且它的图象关于点)0,2
3(π
对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,2
3(π
对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称
9. 若sin(50)cos(20)3x x +++=，且0360x ≤<，求角x 的值。
11.已知向量(cos(),1)3a
x π=+,1
(cos(),)32
b x π=+-,
(sin(),0)3
c x π
=+,求函数()h x =2a b b c ⋅-⋅+的最大值及相应的x 的值.
（本题中可以选用的公式有21cos 21
cos ,sin cos sin 222
a αααα+=
=）
参考答案
1.（6
）
sin cos )
)
a x
b x x x x ϕ+=+
=+
其中辅助角ϕ
由cos sin ϕϕ⎧
=⎪
⎪
⎨⎪=
⎪⎩
ϕ的终边经过点(,)a b
2.[答案] C
[解析] y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭⎫π
6＋x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x －cos ⎝⎛⎭⎫π
6＋x ＝cos ⎝⎛⎭
⎫x ＋π
6(x ∈R )． ∵x ∈R ，∴x ＋π
6
∈R ，∴y min ＝－1.
3.答案：B
解析
因为()(1)cos f x x x =
=cos x x +=2cos()3x π
-
当3
x π
=
是，函数取得最大值为2. 故选B
4.答案 C
解析 ()2sin()6f x x π
ω=+，由题设()f x 的周期为T π=，∴2ω=，
由2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
得，,3
6
k x k k z π
π
ππ-
≤≤+
∈，故选C
5.解：可化为y a x =++122sin()θ。
知x =-
π
8
时，y 取得最值±12+a ，即
7. [答案]
3
[解析] 法一：y ＝cos ⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π3＋cos ⎝⎛⎭
⎫x ＋π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3·cos π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3sin π3＋cos ⎝⎛⎭
⎫x ＋π3
＝32cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋3
2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝3⎣⎡
⎦
⎤
32cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋12sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3
＝3cos ⎝⎛⎭⎫π6－x －π3＝3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π
6≤ 3. 法二：y ＝cos x ＋cos x cos π3－sin x sin π
3
＝32cos x －32sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos x －1
2sin x ＝3cos ⎝⎛⎭
⎫x ＋π
6， 当cos ⎝⎛⎭
⎫x ＋π
6＝1时，y max ＝ 3.
10.解：。
)2
x 2sin(4]
6
sin )x 23cos(6cos )x 23[sin(4)
x 23sin(32)x 23cos(2)x 23
sin(32)x 23k 2cos()x 23k 2cos()x (f π
+=π
+π+π+π=+π
++π=+π
+-π-π++π+
π= 所以函数f(x)的值域是[-4，4]。
11. 解:2
1()cos ()sin()cos()23233
h x x x x π
ππ
=+--+++
=
2
1cos(2)
1233sin(2)2232
x x ππ++-++ =1212
cos(2)sin(2)22323x x ππ+
-++
=
22[cos(2)sin(2)]222323
x x ππ+-
++ =
11
cos(2)2212
x π++
这时1111
22,.1224
x k x k k Z ππππ+==-∈.
12.如图3,记扇OAB 的中心角为45︒
,半径为1,矩形PQMN 内接于这个扇形,求矩形的对角线l 的最小值.
解:连结OM,设∠AOM=θ.则MQ=sin θ,OQ=cos θ,OP=PN=sin θ. PQ=OQ-OP=cos sin θ
θ-.
=2
2sin
(cos sin )θθθ+-
=31
(sin 2cos 2)22θθ-+
=13sin(2)22
θϕ-
+,其中11tan 2ϕ=,1(0,)2πϕ∈,11
arctan 2
ϕ=.
04
π
θ<<,111
arctan
2arctan .222
πθϕ∴<+<+
2min
322l
∴=-
,min 1
2
l -=. 所以当11
arctan 422
π
θ=
-时, 矩形的对角线l
的最小值为
12-. N
B
M
A
P O
图。