辅助角公式练习题
辅助角公式练习题
辅助角公式练习题辅助角公式练习题在数学中,辅助角公式是解决三角函数的重要工具之一。
它们帮助我们在计算复杂的三角函数问题时,能够简化运算并得到准确的结果。
本文将通过一些练习题来巩固和应用辅助角公式的知识。
题目一:计算sin(75°)解析:我们知道sin(75°)可以表示为sin(45°+30°)。
利用辅助角公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,我们可以将sin(75°)转化为sin(45°)cos(30°)+cos(45°)sin(30°)。
根据三角函数的定义,sin(45°)=cos(45°)=√2/2,sin(30°)=1/2,cos(30°)=√3/2。
代入公式,我们得到sin(75°)=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=(√6+√2)/4。
题目二:计算tan(105°)解析:我们可以将t an(105°)表示为tan(45°+60°)。
利用辅助角公式tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB),我们可以将tan(105°)转化为(tan(45°)+tan(60°))/(1-tan(45°)tan(60°))。
根据三角函数的定义,tan(45°)=1,tan(60°)=√3。
代入公式,我们得到tan(105°)=(1+√3)/(1-√3)。
题目三:计算cos(105°)解析:我们可以将cos(105°)表示为cos(45°+60°)。
利用辅助角公式cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB,我们可以将cos(105°)转化为cos(45°)cos(60°)-sin(45°)sin(60°)。
辅助角公式例题及解析十道
辅助角公式例题及解析十道辅助角公式是解决三角函数问题的一种重要工具,它可以将复杂的三角函数表达式化简为更易于处理的形式。
以下是十道辅助角公式的例题及解析:1. 例题:求函数y = 2sin(x + π/3) + cos(x - π/6) 的值域。
解析:利用辅助角公式将原函数化简为y = √3sinx + cosx + 1,再进一步化简为y = 2sin(x + π/6) + 1。
由于正弦函数的值域为 [-1, 1],因此原函数的值域为 [-1, 3]。
2. 例题:求函数 y = sin(2x - π/3) + cos(2x - π/6) 的单调递增区间。
解析:利用辅助角公式将原函数化简为y = √3sin(2x - π/6),再利用正弦函数的性质,求得单调递增区间为[kπ - π/6, kπ + π/3],其中 k 是整数。
3. 例题:求函数 y = sin(x) + cos(x) 的最大值和最小值。
解析:利用辅助角公式将原函数化简为y = √2sin(x + π/4),正弦函数的最大值为 1,最小值为 -1,因此原函数的最大值为√2,最小值为 -√2。
4. 例题:已知sinθ + sin(θ + π/3) = 1,求cos(θ + π/6) 的值。
解析:利用辅助角公式和已知条件,将原问题转化为求sin(2θ + π/6) 的值,再利用三角恒等式化简求解。
5. 例题:已知sinαcosβ = 1/2,求cosαsinβ 的取值范围。
解析:利用辅助角公式将原问题转化为求sin(α + β) 的取值范围,再利用三角恒等式和已知条件求解。
6. 例题:求函数 y = sin(x) + cos(x) 在区间[0, π] 上的最大值和最小值。
解析:利用辅助角公式将原函数化简为y = √2sin(x + π/4),再利用正弦函数的性质求解。
7. 例题:已知sinαcosβ = 1/3,求(sinαcosβ)^2 + (cosαsinβ)^2 的值。
三角函数辅助角公式练习题
1.已知函数2
cos )(x x f =,则下列等式成立的是( ) A 、)()2(x f x f =-π B 、)()2(x f x f =+π
C 、)()(x f x f -=-
D 、)()(x f x f =-
2.sin15°cos30°sin75°的值等于 ( )
A. 34
B. 38
C. 18
D. 14
3.函数y =sin (π4
-2x )的单调增区间是 ( ) A.[kπ-3π8 ,kπ+π8 ](k ∈Z ) B.[kπ+π8 ,kπ+5π8
](k ∈Z ) C.[kπ-π8 ,kπ+3π8 ](k ∈Z ) D.[kπ+3π8 ,kπ+7π8
](k ∈Z ) 4.已知函数f (x )=2
1log (sin x -cos x )
(1)求它的定义域和值域;(2)求它的单调减区间;
(3)判断它的奇偶性;(4)判断它的周期性,如果是周期函数,求出它的一个周期.
精品文档交流 2 5.已知函数y=
2
1cos 2x+23sinx ·cosx+1 (x ∈R ), (1)当函数y 取得最大值时,求自变量x 的集合;
(2)该函数的图像可由y=sinx(x ∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?
6.已知函数.3
cos 33cos 3sin )(2x x x x f += 将f(x)写成)sin(φω+x A 的形式,并求其图象对称中心的横坐标;
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三角函数辅助角公式练习题讲解学习
又细又长又白又胖又唱又跳又紫又亮原(草原)(平原)(高原)(原来)(原因)
双人旁:得、往、很④高兴——高高兴兴大小——大大小小多少——多多少少
雪白的肚皮白白的手帕白白的墙
一条尾巴一只猴子一群猴子一枝铅笔一袋洗衣粉
例:我已经长大了。小树已经发芽了。
乡(家乡)(老乡)(乡亲)(乡情)(乡下)很红很红的苹果很多很多的小鸟很美很美的花儿6.已知函数
4.已知函数f(x)= (sinx-cosx)
(1)求它的定义域和值域;(2)求它的单调减区间;
(3)判断它的奇偶性;(4)判断它的周期性,如果是周期函数,求出它的一个周期.
5.已知函数y= cos2x+ sinx·cosx+1(x∈R),
(1)当函数y取得最大值时,求自变量x的集合;
(2)该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样式成立的是()
A、 B、
C、 D、
2.sin15°cos30°sin75°的值等于()
A. B. C. D.
3.函数y=sin( -2x)的单调增区间是()
A.[kπ- ,kπ+ ](k∈Z)B.[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z)
C.[kπ- ,kπ+ ](k∈Z)D.[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z)
③又香又甜又大又圆又高又大又细又长
竖心旁:快、忙、情、怕
(以后)——(以前)(冷淡)——(热情)黑暗——(光明、明亮)尖尖的铅笔闪闪的星星蓝蓝的天空
走字旁:赶、起
人字头:全、会、合雪(雪白)(雪花)(白雪)(下雪)(雪人)
干(干净)吃(吃草)办(办法)跳(跳高)队(大队)像(好像)我(我的)座(座位)例:西瓜长得那么大,那么圆。苹果那么香那么甜。zh?ng(长高) lè(快乐)zhī(一只)kòng(有空)将f(x)写成 的形式,并求其图象对称中心的横坐标;
辅助角公式专题训练
辅助角公式专项训练(主观题安徽2012高考数学)1⑵ 将函数f (x)的图像向右平移 m 个单位,使平移后的图像关于原点对称,若 0 m 求m 的值。
1(,)。
6 2 (1)求的值;1 ,纵坐标不变,得到函数y g(x)的2 图像,求函数y g(x)在区间0,— 上的最值。
43.已知函数f (x) 2cos xsin(x —)(1)求函数f (x)的最小正周期及取得最大值时x 的取值集合; (2)求函数f (x)图像的对称轴方程。
1.已知函数f(x) in x 4 COSX 。
(1)右 COSX4 13 ,求f (x)的值; 2.已知函数 f(x) 珈2xsin cos 2xcos^si n (- )(0 2 2 ),其图像过点 ⑵ 将y f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的2(1 )求f(x)的单调递减区间;(2)函数f(X )的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数? (1 )求f (x)的值域;(2)求f (x)的对称中心。
(1)求函数f (x)的最小正周期和图像的对称轴方程;(2)求函数f (x)在区间 一,一上的值域。
12 24.已知函数 f (X )2a cos 2 x bsin xcosx 弓,且f(0)5.设 f (x) cos(x 2r ) 2cos 2 -, x 26.已知f(x) COs(2x 3) 2sin(x 4)sin(x37.已知函数 f (x) cos(§ x)cos(§ x),g(x) (1) 求 f (x)的最小正周期;f (x)g (x)的最大值,并求使 h(x)取得最大值的x 的集合。
4对称,求当x0,-时,y g(x)的最大值。
3 29.已知函数 f (x) 2cos 2x sin x 4cos x 。
(1 )求f(—)的值;(2)求f (x)的最值。
310.已知向量 mn (si nA cos A),n (、、3, 1),rrnign 1,且 A 为锐角。
《辅助角公式应用》专题(简单题)
《辅助角公式应用》专题2017年( )月( )日 班级 姓名 授之以鱼,不若授之以渔。
化下列代数式为一个角的三角函数1sin 22αα+;cos αα+;a sin x +b cos x =a 2+b2x x ⎛⎫+⎪⎭=a 2+b 2(sin x +cos x ) (想想正弦、余弦的定义) =a 2+b 2sin(x +φ)(其中sin φ=b a 2+b 2,cos φ=a a 2+b 2). 使a sin x +b cos x =a 2+b 2sin(x +φ)成立时,cos φ=a a 2+b 2,sin φ=b a 2+b 2, 【求周期】1.求函数x x y 4sin 4cos 3+=的最小正周期。
2.求函数y x x x =+-+24432cos()cos()sin ππ的最小正周期。
小结:将三角式化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式,是求周期的主要途径。
【求值】1.求函数x x y 4sin 4cos 3+=的最大值。
2.函数y =2sin ⎝⎛⎭⎫π3-x -cos ⎝⎛⎭⎫π6+x (x ∈R)的最小值等于 ( ) A .-3 B .-2 C .-1 D .- 53.2)cos()12123x x ππ+++=,且 02x π-<<,求sin cos x x -的值。
4.已知)4x y πθ+=+,)4x y πθ-=-,求证:221x y +=【求单调区间】 求函数x x y 4sin 4cos 3+=的单调递增区间。
(2009安徽卷理)已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>,()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π,则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63k k k Z ππππ++∈已知函数()3f x x x =-,求:(1)求函数()f x 的周期、最大值以及取得最大值自变量x 的取值范围.(2)求函数()f x 的单调区间、对称中心.(3)函数()f x 由函数sin y x =的图像如何变换得到的?【求值】已知函数f(x)=x sin 32-+sinxcos x 。
辅助角公式11579
[合作探究·提认知] 电视剧《闯关东》讲述了济南章丘朱家峪人朱开山一家, 从清末到九一八事变爆发闯关东的前尘往事。下图是朱开山 一家从山东辗转逃亡到东北途中可能用到的四种交通工具。
依据材料概括晚清中国交通方式的特点,并分析其成因。 提示:特点:新旧交通工具并存(或:传统的帆船、独轮车, 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因:近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困,阻碍社会发 展;西方工业文明的冲击与示范;中国民族工业的兴起与发展; 政府及各阶层人士的提倡与推动。
”;此后十年间,航空事业获得较快发展。
筹办航空事宜
处
三、从驿传到邮政 1.邮政 (1)初办邮政: 1896年成立“大清邮政局”,此后又设 , 邮传邮正传式部脱离海关。 (2)进一步发展:1913年,北洋政府宣布裁撤全部驿站; 1920年,中国首次参加 万国。邮联大会
2.电讯 (1)开端:1877年,福建巡抚在 架台设湾第一条电报线,成为中国自 办电报的开端。
动了经济与社会的发展。
关键词——交通和通讯不断进步、辛亥革命和国民大革命顺应
时
代潮流
图说历史
主旨句归纳
(1)1911年,革命党人发动武昌起义,辛亥
革命
爆发,随后建立了中华民国,颁布了《中
华
民国临时约法》;辛亥革命是中国近代化
进
程的里程碑。
(2)1924年国民党“一大”召开,标志着第 一
历史ⅱ岳麓版第13课交通与通讯 的变化资料
2.特点 (1)近代中国交通业逐渐开始近代化的进程,铁路、水运和 航空都获得了一定程度的发展。 (2)近代中国交通业受到西方列强的控制和操纵。 (3)地域之间的发展不平衡。 3.影响 (1)积极影响:促进了经济发展,改变了人们的出行方式, 一定程度上转变了人们的思想观念;加强了中国与世界各地的 联系,丰富了人们的生活。 (2)消极影响:有利于西方列强的政治侵略和经济掠夺。
辅助角公式专项训练答案
辅助角公式专项训练答案1. 已知sinα = 5/13,求cosα的值。
解答:根据辅助角公式,我们可以得到cosα = √(1 - sin^2α) = √(1 - (5/13)^2) = √(1 - 25/169) = √(144/169) = 12/13所以cosα的值为12/132. 已知tanα = 3/4,求sinα的值。
解答:根据辅助角公式,我们可以得到sinα = tanα / √(1 +tan^2α) = (3/4) / √(1 + (3/4)^2) = (3/4) / √(1 + 9/16) = (3/4) / √(25/16) = (3/4) / (5/4) = 3/5所以sinα的值为3/53. 已知cosβ = -12/13,求sin(180° - β)的值。
解答:根据辅助角公式,我们知道sin(180° - β) = sinβ =±√(1 - cos^2β) = ±√(1 - (-12/13)^2) = ±√(1 - 144/169) =±√(25/169) = ±5/13所以sin(180° - β)的值为5/13或-5/134. 已知tanθ = 2,求cos(90° - θ)的值。
解答:根据辅助角公式,我们知道cos(90° - θ) = sinθ = √(1 - cos^2θ) = √(1 - (2/1)^2) = √(1 - 4) = √(-3)。
由于√(-3)是虚数,所以cos(90° - θ)的值不存在。
5. 已知cotφ = -3/4,求sin(270° - φ)的值。
解答:根据辅助角公式,我们知道sin(270° - φ) = cosφ =±√(1 - sin^2φ) = ±√(1 - (1/cot^2φ)) = ±√(1 - (1/(-3/4))^2) = ±√(1 - 16/9) = ±√(-7/9)。
高中辅助角练习题及讲解
高中辅助角练习题及讲解### 高中辅助角练习题及讲解练习题一:已知函数 \( y = \sin x + \cos x \),求在 \( x = \frac{\pi}{4} \) 时的值。
解答:首先,我们可以使用辅助角的概念来简化表达式。
设 \( \theta =\frac{\pi}{4} \),则 \( \sin \theta = \cos \theta =\frac{\sqrt{2}}{2} \)。
对于给定的函数 \( y = \sin x + \cos x \),我们可以通过辅助角公式将其转换为 \( y = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) \)。
将 \( x = \frac{\pi}{4} \) 代入,我们得到:\[ y = \sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{2}) \]由于 \( \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \),因此:\[ y = \sqrt{2} \]求解方程 \( \tan x = \sqrt{3} \)。
解答:我们知道,\( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \)。
方程 \( \tanx = \sqrt{3} \) 可以转换为 \( \sin x = \sqrt{3} \cos x \)。
利用三角恒等式 \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \),我们可以得到:\[ \sin^2 x = 3 \cos^2 x \]\[ 1 - \cos^2 x = 3 \cos^2 x \]\[ 4 \cos^2 x = 1 \]\[ \cos^2 x = \frac{1}{4} \]\[ \cos x = \pm \frac{1}{2} \]由于 \( \tan x = \sqrt{3} \),我们知道 \( \cos x \) 必须为正,因此 \( \cos x = \frac{1}{2} \)。
辅助角公式专题训练
辅助角公式专项训练5(1)若 COSX 石,X i ,,求 f (X )的值;求m 的值。
(1 )求函数f (X)的最小正周期及取得最大值时X 的取值集合; (2)求函数f (X)图像的对称轴方程。
4.已知函数 f (x) 2acos 2 x bsinxcosx 3,且 f (0) 3, f(-)-。
2 2 4 2(1 )求f(x)的单调递减区间;(2)函数f (X)的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数?1.已知函数f(x)73 . in x 41 COS X 。
4 (2)将函数f (X)的图像向右平移m 个单位,使平移后的图像关于原点对称, 2.已知函数 f(X )sin 2XS in 2 2 COS XCOS 」si n(— )(0 2 2 ),其图像过点1(6,2)。
(1)求的值; ⑵ 将y f (X )的图像上各点的横坐标缩短到原来的1 一 ,纵坐标不变,得到函数y g(x)的2 图像,求函数 y g(x)在区间0,— 上的最值。
43.已知函数f (x)2cos xsin(x ——。
4对称,求当x 0, 时,y g(x)的最大值。
329.已知函数 f (x) 2cos 2x sin x 4cos x 。
(1 )求f(§)的值;(2)求f (x)的最值。
10.已知向量 mn (si nA,cosA),n (、_3, 1),rrnign 1,且 A 为锐角。
(1)求角A 的大小;(2)求函数f(x) cos2x 4cos xsin A(x R)的值域。
5.设 f (x) COS (X 2cos 2 X, x 2 (1 )求f (x)的值域;(2)求f (x)的对称中心。
6.已知f(x) COS (2x 扌 2S "(x 4)S "(x (1)求函数f (x)的最小正周期和图像的对称轴方程;(2)求函数f (x)在区间 一,一 上的值域。
12 27.已知函数 f (x) cos(- x)cos( x), g(x) 3 3 1sin2x 〕。
(完整)辅助角公式专题训练
辅助角公式专题训练教学目标1、会将ααcos sin b a +(a 、b 不全为零)化为只含有正弦的一个三角比的形式2、能够正确选取辅助角和使用辅助角公式教学重点与难点 辅助角公式的推导与辅助角的选取教学过程一、复习引入(1)两角和与差的正弦公式()sin αβ+=_______________________; ()sin αβ-=________________________.(2)利用公式展开sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=___________________;αα=____________。
尝试:将以下各式化为只含有正弦的形式,即化为)sin(βα+A ()0A >的形式(11cos 2αα+ (2)sin αα二、辅助角公式的推导对于一般形式ααcos sin b a +(a 、b 不全为零),如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式?)sin()cos sin (cos sin 22222222βααααα++=++++=+b a b a b b a a b a b a 其中辅助角β由cos sin ββ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩β(通常πβ20<≤)的终边经过点(,)a b ,我们称上述公式为辅助角公式,其中角β为辅助角。
三、例题反馈例1、试将以下各式化为)sin(βα+A ()0A >的形式。
(11cos 2αα- (2)ααcos sin +(3αα (4)ααcos 4sin 3-例2、试将以下各式化为)sin(βα+A (),[,0ππβ-∈>A )的形式。
(1)sin cos αα- (2)ααsin cos -(3)cos αα-例3、若sin(50)cos(20)3x x +++=,且0360x ≤<,求角x 的值。
例42)cos()12123x x ππ+++=,且 02x π-<<,求sin cos x x -的值。
四、小结思考 (1)公式()sin cos a b αααβ+=+中角β如何确定?(2)能否会将ααcos sin b a +(a 、b 不全为零)化为只含有余弦的一个三角比的形式?五、作业布置1。
辅助角公式专题练习
辅助角公式专题训练2013.3一.知识点回顾对于形如y=asinx+bcosx 的三角式,可变形如下: y=asinx+bcosx =++++a b x a a bx b a b222222(sin cos )··。
记a a b22+=cos θ,b a b 22+=sin θ,则cos cos sin ))y x x x θθθ=+=+由此我们得到结论:asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ,(*)其中θcos ,θ=sin θ=来确定。
通常称式子(*)为辅助角公式,它可以将多个三角式的函数问题,最终化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式。
二.训练1.化下列代数式为一个角的三角函数 (1)1sin 22αα+; (2cos αα+; (3)sin cos αα- (4)sin()cos()6363ππαα-+-. (5)5sin 12cos αα+ (6)sin cos a x b x +2.函数y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-x -cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6+x (x ∈R)的最小值等于 ( ) A .-3 B .-2 C .-1 D .- 5 3.若函数()(1)cos f x x x =+,02x π≤<,则()f x 的最大值为 ( )A .1B .2 C1 D24.(2009安徽卷理)已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>,()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π,则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63k k k Z ππππ++∈5. 如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-π8对称,那么a= ( ) (A )2 (B )-2 (C )1 (D )-1 6.函数y =cos x +cos ⎝⎛⎭⎪⎫x +π3的最大值是________. 7.2)cos()12123x x ππ+++=,且 02x π-<<,求sin cos x x -的值。
辅助角公式练习(含解析)
本题考查了辅助角公式,考查了正弦型函数最小正周期公式,考查了数学运算能力.
10.
【解析】
【分析】
由题意可知 是函数的最小值,化简函数 ( , ),利用 求 .
【详解】
( , ),
由题意可知, 是函数的最小值,
,
当 时,函数取值最小值,
,
.
故答案为:
【点睛】
本题考查三角函数的恒等变形以及三角函数性质的综合应用,属于中档题型,本题的关键是通过化简得到 ,并且已知 , .
(2)根据(1)中求出的正弦型函数,求出在区间 的值域.
【详解】
(1)
单调递增 ,
解得: ,
所以 单调递增区间为
(2)由(1)知
因为 ,所以
所以
【点睛】
本题考查通过公式的运用对三角函数进行化简,以及正弦型函数的单调区间和值域,属于简单题.
13.(1)0;(2)最小正周期为 ;(3)最大值为2, 取得最大值的x的集合为 .
故选A.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的“辅助角公式”,属于基础题.
3.C
【解析】
【分析】
运用辅助角公式和两角差的余弦公式进行求解即可.
【详解】
原式 .故选C.
【点睛】
本题考查了辅助角公式和两角差的余弦公式,考查了特殊角的三角函数值.
4.A
【解析】
【分析】
利用二倍角的正弦公式、余弦公式、辅助角公式,把函数 的解析式化为正弦型函数解析形式,最后利用正弦型函数的单调性求出 在区间 上的最大值,选出正确答案.
【详解】
,向左平移 ,得 ,又 为偶函数,令 ,得 ,由于 , ,∴ 最小值为 ,
故选:A.
【点睛】
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资料范本本资料为word版本,可以直接编辑和打印,感谢您的下载辅助角公式练习题地点:__________________时间:__________________说明:本资料适用于约定双方经过谈判,协商而共同承认,共同遵守的责任与义务,仅供参考,文档可直接下载或修改,不需要的部分可直接删除,使用时请详细阅读内容20200628手动选题组卷3副标题一、选择题(本大题共8小题,共40.0分)函数y=5sinx−π6−12cosx−π6的最大值是( )A. 13B. 17C. −13D. 12已知函数f(x)=4sin(ωx−π4)sin(ωx+π4)(ω>0)的最小正周期与函数y=2sin2x+cos2x的最小正周期相同,且tanα=34,α∈(0,π2),则f(α)等于( )A. 725B. −1425C. 2425D. −1225设函数f(x)=sin(2x+3π4)−cos(2x+3π4),则( )A. f(x)在(0,π2)单调递增,其图象关于直线x=π4对称B. f(x)在(0,π2)单调递增,其图象关于直线x=π2对称C. f(x)在(0,π2)单调递减,其图象关于直线x=π2对称D. f(x)在(0,π2)单调递减,其图象关于直线x=π4对称设当x=θ时,函数f(x)=2sinx−cosx取得最大值,则cosθ=()A. 255B. 55C. −255D. −55将偶函数f(x)=3sin(2x+φ)−cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移π6个单位,得到y=g(x)的图象,则g(x)的一个单调递减区间为( )A. (-π3,π6)B. (π12,7π12)C. (π6,2π3)D. (π3,5π6)已知3sin x+cos x=2a−3,则a的取值范围是 ( )A. 12≤a≤52B. a≤12C. a>52D. −52≤a≤−12函数fx=2sinxcosx+2cos2x的最小正周期是( )A. 3πB. 2πC. πD. π2若函数f(x)=cosx+3sinx(0≤x<π2),则fx的最小值是( )A. 1B. -1C. 2D. -2二、填空题(本大题共2小题,共10.0分)已知函数f(x)=3sinx2−4cosx2的图象关于直线x=θ对称,则sinθ=________.函数f(x)=sinx+3cosx,则f(x)的最小正周期为__________.三、解答题(本大题共5小题,共60.0分)已知函数f(x)=cosx(sinx+cosx)−12.(1)若0<α<π2,且sinα=22,求f(α)的值;(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.已知函数f(x)=cos4x−2sinxcosx−sin4x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若f(x0)=23,x0∈(0,π2),求cos2x0的值.已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+cos2x-1.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在区间[-π4,π4]上的最大值和最小值.已知函数fx=sinx+cosx2+3cos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数fx在区间−π3,π3上的最大值及取得最大值时相应的x值.已知函数fx=23cosxsinx+2cos2x+2.(1)求函数fx的最小正周期和单调递减区间;(2)求函数fx在0,π2上的最大值和最小值.答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查两角和与差的三角函数,考查计算能力,考查辅助角公式,属于基础题.由辅助角公式化简函数,即可得.【解答】解:∵y=5sinx−π6−12cosx−π6,为辅助角),则当x−π6 −φ=2kπ+ π 2,k为整数,y取最大值13,故选A.2.【答案】B【解析】【分析】本题考查三角函数的性质,辅助角公式,同角三角函数的关系,二倍角公式,属于中档题.先求出y=2sin2x+cos2x的最小正周期,进而求出ω,化简f(x),再根据二倍角公式以及同角三角函数关系求出答案.【解答】解:y=2sin2x+cos2x=5sin(2x+θ)(其中tanθ=12),其最小正周期为,且,由题意得f(x)的最小正周期为,所以,解得ω=1,所以f(x)=−2cos2x,又tanα=sinαcosα=34sin2α+cos2α=1,结合α∈(0,π2),解得cosα=45,所以f(α)=−2cos2α=−2(2cos2α−1)=−2×[2×(45)2−1]=−1425.故选B.3.【答案】C【解析】【分析】本题考查三角函数的化简,三角函数的图象和性质,属于基础题.利用辅助角公式化简函数解析式,判断y=f(x)在(0,π2)单调性,即可得到答案.【解答】解:f(x)=sin(2x+3π4)−cos(2x+3π4),由2kπ≤2x≤2kπ+π(k∈Z),得kπ≤x≤kπ+π2,即f(x)的递减区间为kπ,kπ+π2(k∈Z),令k=0,可知y=f(x)在0,π2上单调递减;当x=π2时,函数y=f(x)取得最小值,所以直线x=π2是函数y=f(x)的对称轴.故选C.4.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查辅助角公式的应用,正弦函数的最大值,属于基础题.利用辅助角公式化简函数的解析式为函数f(x)=5sin(x+α),求出θ的值,再利用诱导公式求得cosθ的值.【解析】解:当x=θ时,函数f(x)=2sinθ−cosθ=5(25sinθ−15cosθ)=5sin(θ+α)取得最大值,(其中,cosα=25,sinα=−15),∴θ+α=2kπ+π2,k∈Z,即θ=2kπ+π2−α,k∈Z,∴cosθ=cos(2kπ+π2−α)=cos(π2−α)=sinα=−55,故选:D.5.【答案】C【解析】【分析】本题考查了辅助角公式,诱导公式,函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间的求法,属于基础题.先把已知函数利用辅助角公式整理为,再由函数fx为偶函数,得到φ=2π3,进而得到,利用函数y=Asin(ωx+φ)的单调性,求出函数g(x)的单调递减区间,即可得结果.【解答】解:由已知函数:,∵函数fx为偶函数,∴φ−π6=π2+kπ,k∈Z,∴φ=2π3+kπ,k∈Z,∵0<φ<π,∴φ=2π3,,,∴由2kπ≤2x−π3≤π+2kπ,k∈Z,解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z,∴函数g(x)的单调递减区间为:π6+kπ,2π3+kπ,k∈Z∴当k=0时,(π6,2π3)是g(x)的一个单调递减区间.故选C.6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了辅助角公式以及三角函数的最值,属于基础题.由题意得3sin x+cos x=2sinx+π6=2a−3,由sinx+π6的范围得出a−32的不等式,求出a的范围即可.【解答】解:由3sin x+cos x=2sinx+π6=2a−3,得sinx+π6=a−32,∴a-32≤1,即12≤a≤52.7.【答案】C【解析】【分析】本题考查三角函数的性质及二倍角公式与辅助角公式,属于基础题.利用二倍角公式与辅助角公式化简f(x),进而得出f(x)的最小正周期.【解答】解:∵fx=2cos2x+2sinxcosx=1+cos2x+sin2x=1+2sin2x+π4,∴fx的最小正周期是.故选C.8.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查三角函数的辅助角公式以及最值的求法.化简函数为,求出的取值范围,即可求出结果.【解答】解:,,,,∴1≤fx≤2,∴f(x)的最小值为1.故选A.9.【答案】−2425【解析】【分析】本题考查三角函数的图象和性质及辅助角公式,首先利用辅助角公式化简函数式,再根据图象关于x=θ对称即可求出结果,属中档题.【解答】解:fx=3sinx2−4cosx2=5sinx2−φ,其中,sinφ=45,cosφ=35,因为图象关于x=θ对称,sinθ2−φ=±1,所以θ2−φ=kπ+π2,即θ=2kπ+π+2φ,k∈Z,所以sinθ=−sin2φ=−2sinφcosφ=−2×45×35=−2425.故答案为−2425.10.【答案】2π【解析】【分析】本题考查了辅助角公式以及三角函数的最小正周期问题,是基础题.利用辅助角公式化简函数f(x),即可求出它的最小正周期.【解答】解:由于f(x)=2(12sinx+32cosx)=2sin(x+π3),∴函数的最小正周期为:2π.故答案为:2π.11.【答案】解:(1)∵0<α<π2,且sinα=22,∴cosα=22,∴fα=cosαsinα+cosαα−12=22×22+22−12=12.(2)fx=cosxsinx+cosx−12=sinxcosx+cos2x−12=12sin2x+12cos2x=22sin2x+π4,∴T=2π2=π,由2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2,k∈Z,得kπ−3π8≤x≤kπ+π8,k∈Z,∴f(x)的单调递增区间为kπ−3π8,kπ+π8,k∈Z.【解析】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用.考查了学生对基础知识的综合运用.(1)利用同角三角函数关系求得cosα的值,分别代入函数解析式即可求得f(α)的值.(2)利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行恒等变换,进而利用三角函数性质和周期公式求得函数最小正周期和单调增区间.12.【答案】解:(1)解:f(x)=(cos4x−sin4x)−2sin xcos x=(cos2x+sin2x)(cos2x−sin2x)−sin 2x=cos 2x−sin 2x=2cos (2x+π4)∴T=2π2=π,∴f(x)的最小正周期为π,又x0∈(0,π2),则,则,,=13×22+223×22=4+26.【解析】本题主要考查了两角和与差的三角函数公式及二倍角公式的使用,同时考查三角函数的周期性,属于基础题.(1)利用两角和差的三角函数公式及二倍角公式进行化简,再根据最简形式即可得到最小正周期.(2)由,再根据两角和差的余弦公式进行求解即可.13.【答案】解:,,∴函数f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)由(1)可知,,∵x∈[−π4,π4],,,,故函数f(x)在区间[−π4,π4]上的最大值和最小值分别为2,−1.【解析】本题考查二倍角公式及辅助角公式,同时考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质,考查学生的计算能力,难度适中.(1)利用二倍角公式及辅助角公式化简f(x)即可求解;(2)求出2x+π4∈[−π4,3π4],然后利用正弦函数的性质即可求解.14.【答案】解:(1)fx=1+sin2x+3cos2x=2sin2x+π3+1∴T=π(2)∵x∈−π3,π3,∴2x+π3∈−π3,π,sin2x+π3∈−32,1,∴fx∈−3+1,3当2x+π3=π2,即x=π12时,fxmax=3【解析】本题主要考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、辅助角公式,以及函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质,属中档题.(1)利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、辅助角公式化简原式,再根据求最小正周期的公式,即可得到最后结果;(2)根据已知条件,结合函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质,可得函数fx 在区间−π3,π3上的最大值及取得最大值时相应的x值.15.【答案】解:,T=2π2=π,令2x+π6∈π2+2kπ,3π2+2kπ⇒x∈π6+kπ,2π3+kπ,即单减区间为π6+kπ,2π3+kπ,k∈Z;(2)由x∈0,π2⇒t=2x+π6∈π6,7π6,当t=7π6时,fx的最小值为:−2;当t=π2时,fx的最大值为:5.【解析】本题考查三角函数解析式的化简,函数基本性质的求解(周期、单调性、在给定区间的最值),属于中档题(1)根据二倍角公式和辅助角公式化简即可;(2)由x∈0,π2求出2x+π6的范围,再根据函数图像求最值即可得解.。