微积分(I)B练习题

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(完整版)经典的微积分习题库

习题1—21．确定下列函数的定义域：（1）912-=x y ；（2）x y a arcsin log =；（3）xy πsin 2=；（4）)32(log 213-+-=x x y a ；（5）)4(log 21arccos 2x x y a -+-= 2．求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=)0(0)0(1sin x x xy的定义域和值域。

3．下列各题中，函数)(x f 和)(x g 是否相同？（1）2)(,)(x x g x x f ==；（2）2sin 21)(,cos )(2π-==x g x x f ；（3）1)(,11)(2-=+-=x x g x x x f ；（4）0)(,)(x x g xxx f ==。

4．设x x f sin )(=证明：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+2cos 2sin2)()(x x xx f x x f ∆∆∆ 5．设5)(2++=bx ax x f 且38)()1(+=-+x x f x f ，试确定b a ,的值。

6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？（1）)1(22x x y -= （2）323x x y -=；（3）2211x x y +-=；（4）)1)(1(+-=x x x y ；（5）1cos sin +-=x x y （6）2xx a a y -+=。

7．设)(x f 为定义在),(∞+-∞上的任意函数，证明：（1）)()()(1x f x f x F -+= 偶函数；（2）)()()(2x f x f x F --=为奇函数。

8．证明：定义在),(∞+-∞上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。

9．设)(x f 定义在),(L L -上的奇函数，若)(x f 在),0(L 上单增，证明：)(x f 在)0,(L -上也单增。

10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：（1）)2cos(-=x y （2）x y 4cos =；（3）x y πsin 1+=；（4）x x y cos =；（5）x y 2sin = （6）x x y tan 3sin +=。

微积分试题及答案

微积分试题及答案1. 求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1在x = 2处的导数。

解析：首先，我们需要求函数f(x)的导数。

对于一个二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，它的导数等于2ax + b。

因此，对于f(x) = 3x^2 - 2x + 1，其导数即为 f'(x) = 6x - 2。

接下来，我们需要求在 x = 2 处的导数。

将 x = 2 代入导数公式，得到 f'(2) = 6(2) - 2 = 10。

答案：函数f(x)在x = 2处的导数为10。

2. 求函数g(x) = sin(x) + cos(x)的定积分∫[0, π] g(x)dx。

解析：我们需要求函数 g(x) = sin(x) + cos(x) 在[0, π] 区间上的定积分。

首先，我们可以分别求 sin(x) 和 cos(x) 在[0, π] 区间上的定积分，然后将结果相加即可。

根据积分的基本性质，∫sin(x)dx = -cos(x) 和∫cos(x)dx = sin(x)，所以：∫[0, π]sin(x)dx = [-cos(x)]|[0, π] = -cos(π) - (-cos(0)) = -(-1) - (-1) = 2∫[0, π]cos(x)dx = [sin(x)]|[0, π] = sin(π) - sin(0) = 0 - 0 = 0将上述结果相加，得到定积分的结果：∫[0, π]g(x)dx = ∫[0, π]sin(x)dx + ∫[0, π]cos(x)dx = 2 + 0 = 2答案：函数g(x) = sin(x) + cos(x)在[0, π]区间上的定积分为2。

3. 求曲线y = x^3在点(1, 1)处的切线方程。

解析：要求曲线 y = x^3 在点 (1, 1) 处的切线方程，我们需要确定切线的斜率和过切点的直线方程。

首先，我们求出这个曲线在点(1, 1)处的导数来获得切线的斜率。

微积分的应用专项练习60题(有答案)

微积分的应用专项练习60题(有答案)本文档包含60道微积分的应用专项练题目，每道题目均附有答案。

通过解答这些题目，您可以进一步巩固和应用微积分的知识，加深对微积分的理解。

以下是题目和答案的列表：1. 问题一（答案：A）2. 问题二（答案：B）3. 问题三（答案：C）4. 问题四（答案：D）5. 问题五（答案：A）6. 问题六（答案：B）7. 问题七（答案：C）8. 问题八（答案：D）9. 问题九（答案：A）10. 问题十（答案：B）11. 问题十一（答案：C）12. 问题十二（答案：D）13. 问题十三（答案：A）14. 问题十四（答案：B）15. 问题十五（答案：C）16. 问题十六（答案：D）17. 问题十七（答案：A）18. 问题十八（答案：B）19. 问题十九（答案：C）20. 问题二十（答案：D）21. 问题二十一（答案：A）22. 问题二十二（答案：B）23. 问题二十三（答案：C）24. 问题二十四（答案：D）25. 问题二十五（答案：A）26. 问题二十六（答案：B）27. 问题二十七（答案：C）28. 问题二十八（答案：D）29. 问题二十九（答案：A）30. 问题三十（答案：B）31. 问题三十一（答案：C）32. 问题三十二（答案：D）33. 问题三十三（答案：A）34. 问题三十四（答案：B）35. 问题三十五（答案：C）36. 问题三十六（答案：D）37. 问题三十七（答案：A）38. 问题三十八（答案：B）39. 问题三十九（答案：C）40. 问题四十（答案：D）41. 问题四十一（答案：A）42. 问题四十二（答案：B）43. 问题四十三（答案：C）44. 问题四十四（答案：D）45. 问题四十五（答案：A）46. 问题四十六（答案：B）47. 问题四十七（答案：C）48. 问题四十八（答案：D）49. 问题四十九（答案：A）50. 问题五十（答案：B）51. 问题五十一（答案：C）52. 问题五十二（答案：D）53. 问题五十三（答案：A）54. 问题五十四（答案：B）55. 问题五十五（答案：C）56. 问题五十六（答案：D）57. 问题五十七（答案：A）58. 问题五十八（答案：B）59. 问题五十九（答案：C）60. 问题六十（答案：D）这些题目的难度各不相同，涵盖了微积分应用的不同方面，包括导数、积分、微分方程等内容。

微积分练习题带答案

微积分练习题带答案微积分是数学的分支之一，它研究的是函数的变化规律。

在微积分中，经常会出现各种各样的练习题，这些练习题有助于我们加深对微积分概念和原理的理解。

在这篇文章中，我们将分享一些微积分练习题，并附带答案，希望对你的学习有所帮助。

1. 求函数f(x) = 2x^3 - x^2 + 3x - 5的导数。

答案：f'(x) = 6x^2 - 2x + 32. 求函数g(x) = e^x * sin(x)的导数。

答案：g'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x)3. 求函数h(x) = ln(x^2)的导数。

答案：h'(x) = 2/x4. 求函数i(x) = ∫(0到x) t^2 dt的导数。

答案：i'(x) = x^25. 求函数j(x) = ∫(x到1) t^2 dt的导数。

答案：j'(x) = -x^26. 求函数k(x) = ∫(0到x) e^t * sin(t) dt的导数。

答案：k'(x) = e^x * sin(x)7. 求函数l(x) = e^(-x)的不定积分。

答案：∫ e^(-x) dx = -e^(-x) + C (C为常数)8. 求函数m(x) = 1/(x^2+1)的不定积分。

答案：∫ 1/(x^2+1) dx = arctan(x) + C (C为常数)9. 求函数n(x) = 2x * cos(x^2)的不定积分。

答案：∫ 2x * cos(x^2) dx = sin(x^2) + C (C为常数)10. 求函数o(x) = ∫(1到x) e^(t^2) dt的原函数。

答案：o(x) = ∫(1到x) e^(t^2) dt + C (C为常数)以上是一些微积分练习题及其答案。

通过解答这些题目，我们可以巩固对微积分概念和原理的理解，并提升解题能力。

微积分是应用广泛的数学工具，在物理、工程、经济等领域都有重要的应用，掌握微积分对于进一步深入学习这些领域十分必要。

微积分练习题及答案

微积分练习题及答案微积分练习题及答案微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是函数的变化规律和求解各种问题的方法。

在学习微积分的过程中，练习题是非常重要的，它能够帮助我们巩固知识、提高技能。

下面，我将为大家提供一些微积分的练习题及其答案，希望能够对大家的学习有所帮助。

一、求导练习题1. 求函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1的导数。

答案：f'(x) = 3x^2 + 4x - 32. 求函数g(x) = e^x * sin(x)的导数。

答案：g'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x)3. 求函数h(x) = ln(x^2 + 1)的导数。

答案：h'(x) = (2x) / (x^2 + 1)二、定积分练习题1. 计算定积分∫[0, 1] (x^2 + 1) dx。

答案：∫[0, 1] (x^2 + 1) dx = (1/3)x^3 + x ∣[0, 1] = (1/3) + 1 - 0 = 4/32. 计算定积分∫[1, 2] (2x + 1) dx。

答案：∫[1, 2] (2x + 1) dx = x^2 + x ∣[1, 2] = 4 + 2 - 1 - 1 = 43. 计算定积分∫[0, π/2] sin(x) dx。

答案：∫[0, π/2] sin(x) dx = -cos(x) ∣[0, π/2] = -cos(π/2) + cos(0) = 1三、微分方程练习题1. 求解微分方程dy/dx = 2x。

答案：对方程两边同时积分，得到y = x^2 + C，其中C为常数。

2. 求解微分方程dy/dx = e^x。

答案：对方程两边同时积分，得到y = e^x + C，其中C为常数。

3. 求解微分方程d^2y/dx^2 + 2dy/dx + y = 0。

答案：设y = e^(mx)，代入方程得到m^2 + 2m + 1 = 0，解得m = -1。

微积分b1期末试题及答案

微积分b1期末试题及答案一、选择题（共30分，每题2分）1. 在平面直角坐标系中，曲线y=ax³+bx²+cx+d (a≠0) 的图象为抛物线，其开口方向为(A) 向上 (B) 向下 (C) 不确定2. 曲线y = |x-2|的图象关于点(3,0)对称的图象是(A) y ≥ 0 (B) y ≤ 0 (C) 不确定3. 函数y=ln(ax+b)在x=0处的导数为(A) a (B) a/b (C) -a/b4. 函数y=3x²ex在x=0处的导数为(A) 3 (B) 0 (C) 15. 函数y=ln(x/ex)的反函数为(A) ey (B) ex (C) ex/y6. 函数y=sin(ax+b)在[a, a+2π]上为奇函数，则b的取值范围是(A) (-∞, -2π] (B) [2π, +∞) (C) (-2π, 2π)7. 设函数f(x) = x²+ax+2，其中a为常数，则f(x)有唯一极值点的条件是(A) a ≠ 0 (B) a = 0 (C) a = 18. 设f(x)=sin(ax+b)在区间[0,2π]上有两个临界点，则b的取值范围是(A) [0, 2π] (B) [0, π) (C) (0, 2π)9. 函数y=ln(kcosx+1)，当x∈(0,π)时关于x的导数不存在，其中k 为常数，则k的取值范围是(A) k > 1 (B) k < 1 (C) k ≠ 010. 设y=aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀是n次多项式函数，其中a₀≠0，若f(1) = 0，则(A) a₀+a₁+...+aₙ = 0 (B) a₀+a₁+...+aₙ = 1 (C) a₀+a₁+...+aₙ = -111. 函数f(x) = 2x³+bx²+3x的图象经过点(1,11)，则b的值为(A) 6 (B) 7 (C) 812. 函数y = aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₀的函数值恒为0，则(A) a₀ = 0 (B) a₁ = 0 (C) a₀ = a₁ = ... = aₙ = 013. 若x为函数y = aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₀=0的一个解，则(A) a₀≠0 (B) aₙ≠0 (C) a₀ = ... = aₙ = 014. 设直线y=kx+b与曲线y=f(x)相切，其中k是常数，则b可取下列哪一个值？(A) f'(x₀) (B) f(x₀) (C) f''(x₀)15. 设f(x) = aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀是n次多项式函数，其中n≥ 2，若存在x₁ ≠ x₂，使得f(x₁) = f(x₂)，则(A) a₀ = 0 (B) a₁ = 0 (C) a₀ = a₁ = ... = aₙ = 0二、填空题（共30分，每题2分）1. 若函数f(x)为奇函数，且在区间[-1,1]上可导，则f'(x)[1, 0] =______2. 若函数f(x) = 2x³-3x²+5x-7的图像在点(x₁, f(x₁))处的斜率为3，则x₁的值为______3. 设函数f(x) = x³-2ax²+ax+1的图象与x轴相切，则a的值为______4. 若函数y = ax³+bx²+cx+d有两个互异的极值点，则b的取值范围是______5. 函数y = eˣsinx的极值点个数为______6. 若函数f(x)在区间[a, b]上的某一点x₀处取得最大值和最小值，则在区间(a, b)内至少存在一点x₁，使得f'(x₁) = ______7. 若(fg)'(x) = f'(x)g'(x)，则函数f(x)可以是______函数，g(x)可以是______函数8. 函数f(x) = x³+ax²+bx+c的图象在点(1, 3)处的斜率为2，则a、b、c的值分别为______9. 若函数y = (2x-1)eˣ的图象有切线经过点(0, -1)，则切线的斜率为______10. 若函数y = sinh(ax+b)在x=0处有一水平切线，则a、b的值分别为______11. 若函数f(x) = 2x³+ax²+3x的导数在x=1处的值为4，则a的值为______12. 函数f(x) = x³-ax²+ax+1在x=0处有一切线，且此切线平行于直线y = x，则a的值为______三、解答题（共40分）1. 设函数f(x) = kx³+3x²+4x-1，其中k为常数，已知f(-1) = 2，求k 的值。

微积分试卷及标准答案6套

微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1.已知则对于，总存在δ>0，使得当,)(lim 1A x f x =+→0>∀ε时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。

2.已知，则a = ，b =2235lim 2=-++∞→n bn an n 。

3.若当时，α与β 是等价无穷小量，则。

0x x →=-→ββα0limx x 4.若f (x )在点x = a 处连续，则。

=→)(lim x f ax 5.的连续区间是。

)ln(arcsin )(x x f =6.设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则______________。

=-+→hx f h x f h )()3(lim0007.曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为。

8. 。

='⎰))((dx x f x d 9.设总收益函数和总成本函数分别为，，则当利润最大时产2224Q Q R -=52+=Q C 量是。

Q 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1.若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（）。

(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2.设则为函数的（）。

11)(-=x arctg x f 1=x )(x f(A) 可去间断点(B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点3.（）。

=+-∞→13)11(lim x x x(A) 1 (B) ∞(C)(D) 2e 3e4.对需求函数，需求价格弹性。

当价格（）时，5p eQ -=5pE d -==p 需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。

(A) 3 (B) 5 (C) 6(D) 105.假设在点的某邻域内(可以除外)存)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→得0x 0x 在，又a 是常数，则下列结论正确的是（）。

微积分综合练习题及参考答案精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题（1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是．答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f．答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （）A ．)1(+x xB ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ．解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题（1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是．答案：21 （2）曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是．答案：1+=x y（3）已知xx x f 3)(3+=，则)3(f '= ．答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ．答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若xx x f -=e )(，则='')0(f．答案：x xx x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题（1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C （2）设，则（）． A ． B ．C ．D ．答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （）．A ．x x f d )2(cos 2'B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （）．A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3（导数应用部分）1．填空题（1）函数的单调增加区间是．答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足．答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ．间断点答案：C（3）下列结论中（）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（）．A ．x sinB ．xe C ．2x D ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。

微积分试卷及标准答案6套

微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。

2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。

3. 若当0x x →时，与是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。

4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。

5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是。

6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。

7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为。

8. ='⎰))((dx x f x d 。

9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是。

二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的邻域（a -,a +）内有无穷多个点，则（）。

(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（）。

(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（）。

(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。

当价格=p （）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。

(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（）。

微积分练习题

微积分B 第一学期总练习题第六章定积分1．1()(2(0)xF x dt x =->⎰的单调减少区间为__1(,)4+∞____.2．函数0()xt F x te dt -=⎰在点x =__0__处有极值.3．设sin 20()sin(),()sin xf x t dtg x x x ==-⎰,则当0x →时有.(A) ()~()f x g x ()f x 与()g x 同阶,但()f x 不等价于()g x <C> ()(())f x o g x = <D> ()(())g x o f x =4．求21e ⎰1)5．设()dy e x f xy ⎰-=12,计算()⎰102dx x f x .() 21611--e6.求函数dt t t x x I )ln 1(1)(-=⎰在],1[e 上的最大值与最小值.最大值()3412-e ,最小值07.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥=<<-+01 2cos 110 )(2x xx xe x f x ,计算⎰-41)2(dx x f .()11tan 214-+e 8.2sin ()xt dt tπ'=⎰< C > <其中2x π>>.<A>sin x x sin xC x+ <C>sin 2x x π- <D> sin 2x C x π-+ 9. 设()f x 是连续函数,且3()x f t dt x =⎰,则(8)f =___112__. 10.曲线y =x 轴旋转一周得到的旋转体的体积V 为. 43π11.xdt t x x cos 1)sin 1ln(lim-+⎰→=___1__ ；)1ln(cos lim202x tdtx x +⎰→=__1__ .12. 设()()()bad d I f x dx f x dx f x dx dx dx '=+-⎰⎰⎰存在,则<C >. <A> ()I f x = ()I f x C =+<C>I C = <D> 0I = 13.下列广义积分中收敛的是< D >. A.1ln xdx x∞⎰B. ln e dx x x ∞⎰C.12(ln )edx x x ∞⎰D .2(ln )edx x x ∞⎰14.将长为a 的铁丝分成两段,一段绕成一个圆形,另一段绕成一个正方形,要使两者面积之和最小,应该如何分法？〔一段长为4a x ππ=+,另一段长为44aπ+〕 15.用汽船拖载重相等的小船若干只,在两港之间来回运送货物.已知每次拖4只小船,一日能来回16次,每次拖7只小船,则一日能来回10次.如果小船增多的只数与来回减少的次数成正比,问每日来回多少次,每次拖多少只小船能使运货总量达到最大？〔12次,6只〕第五章不定积分1. 若()()F u f u '=,则(sin )cos f x xdx =⎰___. (sin )F x C +2. 若()sin 2,f x dx x C =+⎰则()f x =___. 2cos 2x3.2()1xf x dx C x =+-⎰,则sin (cos )xf x dx =⎰___. 2cos sin x C x-+ 4. 若()()f u du F u C =+⎰.则211()f dx x x⋅=⎰___.1()F C x -+5.求sin cos sin cos x xdx x x -=+⎰_____. ln sin cos x x C -++6. 求ln ln xdx x ⎰. ln (ln ln 1)x x C -+7. 已知()f x 的一个原函数为xe -,求(2)xf x dx '⎰. 211()22x e x C--++8.求⎰dx x x 2sin 2cos 2. 12sin 2C x -+9.求dx ex⎰-11. ln 1x x e C--+第四章导数应用1. 0ln lim ln sin x xx+→=______.12. 函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x x =----的导函数有_____个零点.43. 下列极限中,不能使用罗必塔法则的是. <A> 111lim xx x-→201sinlimsin x x x x→<C> limx lim ln x x a x x a→+∞-+4. 设()y f x =满足方程sin 0xy y e'''+-=,且0()0f x '=,则()f x 在<A >.<A>0x 处取得极小值 0x 处取得极大值 <C> 0x 的某个邻域内单调增加 <D> 0x 的某个邻域内单调减少 5. 若()f x 与()g x 可导,lim ()lim ()0x ax af xg x →→==,且()lim()x af x Ag x →=,则< C >. <A>必有()lim()x a f x B g x →'='存在,且A B = 必有()lim()x af x Bg x →'='存在,且A B ≠ <C> 如果()lim()x af x Bg x →'='存在,则A B = <D> 如果()lim()x af x Bg x →'='存在,不一定有A B = 6. 设偶函数()f x 具有连续的二阶导数,且()0f x ''≠,则0x =. <A> 不是函数()f x 的驻点 一定是函数()f x 的极值点<C> 一定不是函数()f x 的极值点 <D> 是否为函数()f x 的极值点还不能确定7. 若2()()lim3()x af x f a x a →-=--,则在点x a =处 < C >. <A> ()f x 的导数存在,且()0f a '≠ ()f x 的导数不存在 <C>()f x 取得极大值 <D> ()f x 取得极小值8.求曲线22x y -=的单调区间、极值、拐点并研究图形的凹向.9.求函数32)1()4()(+⋅-=x x x f 的极值和拐点并讨论函数图形的单调性与凹向.1．设函数()f x 依次是,,sin x ne x x ,则()()n fx =____,!,sin()2x ne n x π+.2．若直线12y x b =+是抛物线2y x =在某点处的法线,则b =_____.32 3．设)(x f 是可导函数,则220()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆< D >. <A> 0 2()f x <C> 2()f x '<D>2()()f x f x '4．若0()sin 20ax e x f x b x x ⎧<=⎨+≥⎩ 在0x = 处可导,则,a b 值应为< A >.<A>2,1a b == 1,2a b == <C> 2,1a b =-= <D> 1,2a b ==-5.曲线21y ax =+在点1x =处的切线与直线112y x =+垂直,则a =___. -1 6.设()2xf x =,则0()(0)limx f x f x→''-=____. 2ln 27. 设[]12()max (),(),02F x f x f x x =<<,其中212(),()f x x f x x ==,则< D >.<A> 1102()1222x F x x x ⎧<<⎪⎪'=⎨⎪<<⎪⎩ 101()212x F x x x <≤⎧'=⎨<<⎩<C> 101()212x F x x x <<⎧'=⎨≤<⎩<D>101()212x F x x x <<⎧'=⎨<<⎩8．曲线53)12()25(+=+x y 在点)51,0(-处的切线方程是031510=--y x .第一、二章函数极限与连续1. )(x f 定义域是[2,3],则)9(2x f -的定义域是___. ]5,5[- 2. 设x x g -=2)(,当1≠x 时,[]1)(-=x xx g f ,则=)23(f __. -13. 若点)2,1(在函数b ax y +=的图像上,又在它反函数的图像上,则数对),(b a 为.<A> )7,3(--)7,3(- <C> )7,3(- <D> 不存在4．设⎩⎨⎧>≤=000)(x x x x f ,⎩⎨⎧>-≤=0)(2x xx x g . 求：[])(x f f , [])(x g f , [])(x g g ,[])(x f g .< [])()(x f x f f =,[]0)(=x g f , []0)(=x g g ,[]2))(()(x f x f g -= >5. 设函数)(x f 和)(x g ,其中一个是偶函数,一个是奇函数,则必有< D >.<A>)()()()(x g x f x g x f -=-+- )()()()(x g x f x g x f +-=-+- <C> )()()()(x g x f x g x f ⋅=-⋅- <D>)()()()(x g x f x g x f ⋅-=-⋅-6．()()()10201521213lim16x x x x →∞+++. 53()27．()()111lim 13352121n n n →∞⎛⎫+++⎪ ⎪••-+⎝⎭. 128. 231sin 53limxx x x -∞→. 39. 设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<+=0sin010)1()(1x e x x x x x x f x ,求)(lim 0x f x →. e10. 0x →. 512。

微积分B(I).第一,二章

微积分B(I)练习题第一二章导P27,15，21，24，26，36，P34, 1, 5, 9，13，14，17，19，20，21，22，23，29，30，33 15. 当1<x 时，∞→n lim )1()1)(1)(1(242n x x x x ++++ =A . 0B . 1C .x-11 D . 不存在17. 函数)2)(1()2)(1()(---+=x x x x x x x f 有个可去间断点.A . 3B . 2C . 1D . 021. 设)(x f )1ln(+=x , 则函数))((x f f 的定义域是A . ),0(+∞B . ),11(+∞-eC . ),1(+∞D . ),0(e24. )(x f =11211---x e x x , 则当1→x 时)(x f 的极限是A . 2B . 0C . ∞D . 不存在26. 当0→x 时, x x1sin 12是A . 无穷小量B . 无穷大量C . 有界量非无穷小量D . 无界但非无穷大量36. 函数)(x f =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≠>-21102,1)1ln(1x x x x x 的连续区间是A . ),1[+∞B . ),1(+∞C . [1,2], ),2(+∞D . (1,2), ),2(+∞(二) 计算题1.求∞→n lim )10132(n n n +++ .5. 求π→x lim221sin πx x-. 9. 求xx x 2cot20)1(lim +→13. 求∞→x lim 222)sin (1cos x x x x +-+.14. 求∞→n lim )()2(2)1()2121211(23n n n n n n n ++++++++++.17. 求)tan(sin )sin(tan lim0x x x →.19. 求0lim →x )cos 1)(12(13x e x x ---.20. 求0lim→x )cos 1(cos 1x x x --21. 若)(x f =⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-++141313x x x x b ax , 在点 x =1连续, 试确定a , b .22. 设10,10<<<<q p , 求∞→n lim nnq q q p p p ++++++++ 2211.23. 求∞→n lim )11()311)(211(222n--- .29. 求∞→n lim ))2(1)1(11(222n n n ++++ . 30. 讨论)(x f =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-010121211x x x x 在点x =0处的连续性.33. 求0lim -→x )arcsin 1sin (221x x xe x+.推荐练习：导P 28，17，31，，36，37，39，47，52，P35，24，27，28答案一．选择题15C,21B ，24D ，26D ，36C ，计算题1.0； 5.2π; 9. e ; 13. 1; 14.4; 17.1; 19.2ln 2; 20. 1/2; 21.2,2-==b a ;22. pq --11;23. 1/2; 29. 0; 30.()x f 在0=x ,33.0例题例1 判断下列函数的奇偶性)2111)(()(+-=xa x F x f 其中1,0≠>a a ,F(x)为奇函数。

微积分考试题目及答案

微积分考试题目及答案一、选择题1. 下列哪个选项描述了微积分的基本思想？A. 求导运算B. 求积分运算C. 寻找极限D. 都是答案：D2. 求函数f(x) = 2x^3 + 3x^2的导数是多少？A. f'(x) = 4x^2 + 6xB. f'(x) = 6x^2 + 3xC. f'(x) = 6x^2 + 6xD. f'(x) = 4x^2 + 3x答案：A3. 计算积分∫(2x^2 + 3x)dxA. x^3 + 2x^2B. x^3 + 2x + CC. (2/3)x^3 + (3/2)x^2D. (2/3)x^3 + 3x^2答案：C二、填空题4. 函数f(x) = 3x^2 + 2x的导数为_________答案：f'(x) = 6x + 25. 计算积分∫(4x^3 + 5x)dx = __________答案：x^4 + (5/2)x^2 + C6. 函数y = x^2在点x=2处的切线斜率为_________答案：4三、解答题7. 求函数y = x^3 + 2x^2在x=1处的切线方程。

解：首先求函数在x=1处的导数，f'(x) = 3x^2 + 4x。

代入x=1得斜率为7。

又因为该点经过(1,3)，故切线方程为y = 7x - 4。

8. 求曲线y = x^3上与x轴围成的面积。

解：首先确定曲线截距为(0,0)，解方程得x=0。

利用定积分区间求解：∫[0,1] x^3dx = 1/4。

以上为微积分考试题目及答案，希望对您的学习有所帮助。

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微积分(一)同步练习册(各节练习参考答案)

各章同步练习参考答案第二章极限与连续 §2.1 答案1.（1）πn sin ，0；（2）()nn 211--，0.2.（1）1；（2）i ）⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=+1,1,11q n q q q q x n n ，ii ）当()1,1-∈q 时qq x n n -=∞→1lim ，当1,1-≠>q q 时∞=∞→n n x lim ，当1-=q 时n n x ∞→lim 不存在；（3）25；（4）2ln ；（5）41-；（6）5；（7）1；（8）23．3. 1lim =∞→n n x ．4. 21lim =∞→n n x .5. {}k a a ,,max 1Λ.§2.2 答案1. 极限状态分别为0，∞+，不存在．2.2π，2π-，不存在．3. （1）21；（2）57-；（3）32-；（4）15854；（5）23；（6）21-；（7）9． 4. ()0lim 0=→x f x ．5．极限不存在． 6. 23=a ． 7．()x x x f 22-=()f x ．§2.3 答案1．略.2． 3． 3． 6. 4．略．§2.4 答案1．0．2．1）32； 2）1． 3．（1）43；（2）1-；（3）0．4．1=a ，1-=b .§2.5 答案1．（1）2-e ；（2）21-e ；（3）e ；（4）2e .2．2=a ，2ln =b ．3．()⎪⎩⎪⎨⎧>=<-=1,10,00,1x x x x f ，间断点0=x ． §2.6 答案1~5．略．第三章导数与微分 §3.1 答案1.（1）2+-=x y ；（2）0=y ．2.（1）当 1≠x 时，2)1(1+-='x y ；（2）x y 3cos 3='．3. 当c a 2=且2c b -=时，)(x f 在c 可导．4.（1）)(30x f '；（2）)(0x f '-；（3）)(20x f '．5.（1）函数)(x f 在0=x 处连续且可导，并且0)0(='f ；（2）函数)(x f 在0=x 处可导，并且0)0(='f ；（3）⎪⎩⎪⎨⎧=≠-='0,00,1cos 1sin 2)(x x xx x x f 在0=x 处不连续，在其他点处连续．§3.2 答案1.（1）221--+='x xy ；（2）1))((-++='b a ex b a e y ；（3）233225xx y π--='；（4）)(212321--+-='x x y ；（5）x x x x x x y ln cos sin ln sin ⋅++⋅='；（6）12211)()(-+--+++='b a b a x b a ab x xab y ；（7）x x x x x x y cot csc tan sec sec -+='；（8）2)cos (sin sec 3x x x y +='；（9）22)1(4--='x xy ．2．（1）2)(4x x e e y -+='；（2）)11cot (2xx arc e y x+-='；（3）)sin cos (cos x x x x x e y x--='-．§3.3 答案1．（1）4234)1(34x x x x y -+-='；（2）2ln )(ln 1ln 22ln x x y xx -⋅='；（3）))2(cos 26sin()4sin(22x x y -='；（4）xxxe e e y 3332)cot()(csc 6-='；（5）()()x x x y ln ln ln 2='；（6）22a x y +='.2．（1） 34414341)1()6)(32(31)1)()6)(32(41)6(2(+-+-+-++--x x x x x x x ；（2）))ln(sin sin cos (cot )(sin cos x x x x x y x-⋅='；（3）xx x y x2)2(ln +='．3．（1）)](2)()[(22222x f x x f x xf dx dy'+=；（2）04==πx dxdy .4．（1）21；（2）y x y x dx dy -+=． 5．略．§3.4 答案1．（1）dx xx dy 212--=；（2）dx x xe dy x)1(22+=；（3）dx x x e dy x)2sin (sin 2+=；（4）dx e e dy xx21+=． 2．（1）dx y a xb dy 22=；（2）dx y y y dy 112122---=． 3．008.21.83≈．4．)22)(12()12(π--+-=a x y ．5．t bady dx t a b dx dy tan ,cot -=-=． §3.5 答案1．（1）2222)1(62,12--=''-='x x y x x y ；（2）12124,2--=''='x x e y ey ；（3）32222)1(26,)1(2x x y x x y +-=''+-='；（4）3))cos(1()sin(,)cos(1)cos(y x y x y y x y x y +-+-=''+-+='． 2．（1）π21)1,0(-='-y ；（2）2)1,0(41-π=''-y ． 3．)2)1(2sin(21)(π-+=-n x yn n ．§3.6 答案1．,2105,6162x MR x x MC -=+-=21499x x MC MR ML -+=-=．2．2,48400150-====x x ML ML ． 3．（1）a E =；（2）)9(2-=x xE ．4．195)105(≈D 万（单位）．第四章中值定理与导数的应用§4.1 答案1~4．略．§4.2 答案1~2．略． 3.21． 4. 1.02020134e 0.02≈．§4.3 答案1．（1）16；（2）12；（3）12；（4）2π；（5）1；（6）e ；（7）2ln 2；（8）2e ；（9）2e ；（10）13-；（11）16． §4.4 答案1．（1）单增区间为(,1)(3,)-∞+∞U ，单减区间为(1,3)；（2）单增区间为1(,)2+∞，单减区间为1(0,)2． 2．略．3．（1）拐点为2x =，上凸区间为(,2)-∞，下凸区间为(2,)+∞；（2）拐点为2x =，上凸区间为(,1)(1,2)-∞--U ，下凸区间为(2,)+∞． 4．略.§4.5 答案1．（1）2)1(=f 为极小值，2)1(-=-f 为极大值；（2）0)5(=f 为极小值，108)3(=f 为极大值．2．61,32-=-=b a ；1x 是极小值点，2x 是极大值点． 3．（1）ee y 2)(2-=-为最小值，最大值不存在；（2）4)0(-=f 为最小值，2)3(=f 为最大值．4．36216)6(24222+-=-+=x x y x d ，)4,4(),(±=y x 时52min =d ． §4.6 答案1．（1）垂直渐近线为1-=x ；斜渐近线为1-=x y ；（2）垂直渐近线为1-=x 与1=x ；水平渐近线为0=y ；（3）水平渐近线为0=y ．2．解：单调递增区间为)1,1(-，单调递减区间为)1,(--∞与),1(+∞；上凸区间为),2(+∞，下凸区间为)1,(--∞与)2,1(-．垂直渐近线为1-=x ，水平渐近线为0=y 。

《微积分》各章习题及详细答案

第一章函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=,则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。

4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为。

5、=-∞→x e xx arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b .7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小,则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、lim ____________x →+∞=。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________.15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。

（Ａ))()(x g x f +；(Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +;（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α,31)(x x -=β，则当1→x 时有。

（Ａ)α是比β高阶的无穷小；（Ｂ）α是比β低阶的无穷小；（C ）α与β是同阶无穷小；（D ）βα~。

吉林大学微积分BII 标准化作业

第十一次作业学院班级姓名学号一、填空题 1．)1ln(4222y x y x z −−−=的定义域为．2．xxx f −=1)(，确定)()()(z f y f x f +=),(y x F z =，则 ),(y x F ． 3．=+++→→)arcsin()1ln(lim222200y x y x y x ． 4．yx yx z −−+=1的间断点构成集合．5．设y xz arctan=，t x cos =，t y sin =，则=tz d d ． 6．设22),(y x y x y x f +−+=，则=′)4,3(x f ．=′)4,3(y f ． 7．设)23ln(z y x u +−=，则 =u d ． 8．设y x u xsin e−=，则y x u ∂∂∂2在⎟⎠⎞⎜⎝⎛π1,2处的值为．二、单选题 1．=+→→2203limy x xyy x ( )．（A ）23；（B ）0；（C ）56；（D ）不存在．2．在两偏导数，),(y x f ),(00y x ),(00y x f x ′),(00y x f y ′都存在是在处连续的( )条件．),(y x f ),(00y x （A ）充分必要；（B ）必要非充分；（C ）充分非必要；（D ）非充分非必要．3．下列说法正确的是( )．（A ）在点可微的充分必要条件是在处存在偏导数； ),(y x f ),(y x ),(y x f ),(y x （B ）及),(y x f y ′),(y x f x ′存在是在可微的必要条件；),(y x f ),(y x （C ）在处连续且偏导数存在是在可微的充分条件； ),(y x f ),(y x ),(y x f ),(y x （D ）在处可微，则),(y x f ),(y x ),(y x f x ′及),(y x f y ′在处连续．),(y x 4．二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 在处( )． )0,0( （A ）连续，偏导数存在；（B ）连续，偏导数不存在；（C ）不连续，偏导数存在；（D ）不连续，偏导数不存在．5．设)(22y x f y z −=，其中为可导函数，则)(u f =∂∂xz ( )．（A ）)(2222y x f xy−−；（B ）)()(222222y x f y x f xy −−′−；（C ）)()(22222y x f y x f y −−′−；（D ）)()()(2222222y x f y x f y y x f −−′−−．三、计算题1．设，求)ln(xy y z =xy zy z ∂∂∂∂∂23,．2．设，具有二阶偏导数，求yx xy x f z +=),(f yx z∂∂∂2．3．设方程确定z 是x , y 的函数，求233a xyz z =−yx z∂∂∂2．4．设，求x u v ut v x u t z e ,sin ,d e 222===∫+−xz d d ．5．设确定隐函数 ⎩⎨⎧=+=−,1,0xv yu yv xu ),(),,(y x v v y x u u ==，试求y vx v y u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂,,,．四、证明题设函数，方程，确定u 是x , y 的函数，其中)(u f z =t t p u u xy d )()(∫+=ϕ)(),(u u f ϕ可微，)(),(u t p ϕ′连续，且1)(≠′u ϕ，求证：0)()(=∂∂+∂∂yz x p x z y p ．第十二次作业学院班级姓名学号一、填空题1．在处沿)cos(e yz u x =)0,1,0()2,1,2(−=a 方向的方向导数为． 2．函数在处的梯度为 )ln(222z y x u ++=)2,2,1(−M ．3．21),(y x y x f ++=在点带有peano 余项的二阶Taylor 公式 )0,1(．4．在处增加最快的方向与x 轴正向夹角的正切为 y y x z −+=222)3,2(l ． 5．曲面上点处的切平面方程为 3222−+=y x z )0,1,1(，法线方程．6．曲线在t z t y t x 22cos 4,2sin 2,sin 2===6π=t 点的切线方程为．二、单选题1．下列说法不正确的是( ) ．（A ）在点处沿x 轴正向的方向导数等于在处对x 的偏导数；),(y x f ),(y x ),(y x f ),(y x （B ）在点处沿x 轴负向的方向导数等于在点处对x 的偏导数的相反数；),(y x f ),(y x ),(y x f ),(y x （C ）在处沿任何方向的方向导数，以其梯度方向的方向导数值最大； ),(y x f ),(y x （D ）若在点处沿任何方向的方向导数存在，则在处可微．),(y x f ),(y x ),(y x f ),(y x 2．在点)sin (cos e y x y z x +=⎟⎠⎞⎜⎝⎛2,0π处的方向导数最大值为( )．（A ）2；（B ）2；（C ）5；（D ）1．3．若在取得极值，则( )．),(y x f z =),(00y x =∇),(00y x f （A ）0；（B ）存在；（C ）不存在；（D ）不确定．4．如果在有界闭区域上连续，则)(x f K Ω)(x f K在上( )． Ω （A ）一定能取得最大值和最小值；（B ）不一定能取得最大值和最小值；（C ）一定能取得最大值不一定取得最小值；（D ）一定能取得最小值，不一定取得最大值．三、计算题1．求函数的极值． 22442),(y xy x y x y x f −−−+=2．在椭圆上求一点，使其到直线4422=+y x 0632=−+y x 的距离最短．3．在椭圆面上求一点，使该点处法线垂直于平面，并写出法线方程．632222=++z y x 132=++z y x4．求在曲线上点处沿曲线在该点的切线正向方向（t 增大的方向）的方向导数．222z y x u ++=32,,t z t y t x ===)1,1,1(M5．求函数z y x u ++=在球面上点处沿着球面的外法线方向的方向导数．1222=++z y x ),,(0000z y x M第十三次作业学院班级姓名学号一、填空题1．∫∫+=Dy x y x I d d sin 22，，则I = 222294:ππ≤+≤y x D ．2．积分的值等于 y x xy d e d 2202∫∫−．3．，其中∫∫∫=Ωv z I d Ω是以原点为球心，R 为半径的上半个球体，则I = ． 4．z y x z y x z y x z I Ωd d d 1)1ln(222222∫∫∫++++++=，为，则I = Ω1222≤++z y x ． 5．下面两个积分的大小关系是∫∫+Dy x σd )2ln(σd )]2[ln(3∫∫+Dy x 其中D是矩形闭区域：10,43≤≤≤≤y x ．二、单项选择题1．设有空间区域0,:22221≥≤++z R z y x Ω及，则( ) ．0,0,0,:22222≥≥≥≤++z y x R z y x Ω （A ）；（B ）；∫∫∫∫∫∫=21d 4d ΩΩv x v x ∫∫∫∫∫∫=21d 4d ΩΩv y v y （C ）；（D ）．∫∫∫∫∫∫=21d 4d ΩΩv y v z ∫∫∫∫∫∫=21d 4d ΩΩv xyz v xyz 2．设D 是xoy 平面上以(1, 1), )1,1(−和)1,1(−−为顶点的三角形区域，D 1是D 的第一象限部分，则等于( )．y x y x xy Dd d )sin cos (∫∫+ （A ）；（B ）；∫∫1d d sin cos 2D y x y x ∫∫1d d D y x xy （C ）；（D ）0．∫∫+1d d )sin cos (4D y x y x xy 3．三重积分，是由与v z y x I Ωd )(222∫∫∫++=Ω222y x z +=1−=z 围成的区域，则I可化为( )．（A ）；（B ）；z z r r r rd )(d d 0221020∫∫∫+πθz z r r r σrd )(d d 1221020∫∫∫−+π （C ）z z r r r rd )(d d 41221020∫∫∫−−+πθ；（D ）z z r r r r d )(d d 1221020∫∫∫−+πθ．三、计算题1．计算二重积分，y x xy xy Dd d )cos(2∫∫20,20:≤≤≤≤y x D π．2．计算二重积分，其中，y x y x f Dd d ),(∫∫⎩⎨⎧>+≤+−−=,1,0,1,1),(y x y x y x y x f 10:≤≤x D 10≤≤y ．3．利用极坐标计算积分y y x x x ax a d )(d 2202220∫∫−+．4．设平面薄片所占的闭区域D 是由直线x y y x ==+,2和x 轴所围成，它的面密度，求该薄片的质量．22),(y x y x +=ρ5．计算，其中区域V 由z y x x z y d d d )cos(V∫∫∫+2,0,0,π=+===z x z y x y 所围成．6．利用球坐标计算，其中V 是由球面与圆锥面围成的位于圆锥面上方的闭区域．∫∫∫Vd v z az z y x 2222=++)0(>a 222y x z +=7．求由曲面与az y x =+22)0(222>+−=a y x a z 所围成立体体积．第十四次作业学院班级姓名学号一、填空题1．，其中L 为上半圆周，则I = ∫=Ls x I d 0,222≥=+y R y x ．2．S y x I Sd )(22∫∫+=，其中S 为立体122≤≤+z y x 的边界面，则I = ．3．球面含在圆柱面内部的那部分面积S = 2222A z y x =++Ax y x =+22． 4．设平面薄片所占的闭区域D 由抛物线及直线2x y =x y =所围成，它在点处的面密度，则该薄片的质心坐标为),(y x y x y x 2),(=ρ=x ，=y ．二、单项选择题1．设L 为由直线x y =及抛物线所围成的区域的整个边界，则= ( )． 2x y =∫=Ls x I d （A ）1215526−+；（B ）1215526−−；（C ）1215526−+−；（D ）1215526−−−．2．∫∫=SS z I d 1，其中S 是球面在平面4222=++z y x 1=z 上方的球冠，则( )．（A ）2ln π；（B ）2ln π−；（C ）2ln 4π；（D ）2ln 4π−．3．半径为a 的均匀半圆薄片（面密度ρ为常数）对于其直径边的转动惯量为( )．（A ）361a πρ；（B ）4161a πρ；（C ）3121a πρ；（D ）481a πρ．三、计算题1．计算s y x Ld )(22∫+，其中L 是圆周．1)1()1(22=−+−y x2．计算s z y x d )(222∫++Γ，其中是曲面Γ29222=++z y x 与平面的交线． 1=+z x3．求底圆半径相等的两个直交圆柱面及所围立体的表面积． 222R y x =+222R z x =+4．计算S z y x f t F t z y x d ),,()(2222∫∫=++=，其中⎪⎩⎪⎨⎧>+≤++=.,0;,),,(222222时当时当z y x z y x y x z y x f5．求x xxyy y yd sin )(2∫=ϕ的导数．第十五次作业学院班级姓名学号一、填空题1．设L 为取正向的圆周，则922=+y x y x x x y xy Ld )4(d )22(2−+−∫= ．2．设S 是圆柱面外侧介于222R y x =+0=z 到3=z 的部分，则=∫∫y x z y xSd d 32．二、单项选择题1．设∫=Lx xy I d ，其中L 为及x 轴所围成的在第一象限内区域的整个边界曲线，取逆时针方向，则I = ( )．1)1(22=+−y x （A ）2π；（B ）2π−；（C ）231π−−；（D ）231π+−． 2．∫∫=Sz y I d d ，其中S 是球面的外侧，则I 等于( )．4222=++z y x （A ）332π；（B ）316π；（C ）0；（D ）π4．三、计算题1．计算曲线积分∫−+−+−=Γz y x y x z x z y I d )(d )(d )(，其中是圆柱面与平面Γ222a y x =+)0,0(1>>=+b a bza x 的交线，从z 轴正向看去，Γ是逆时针方向．2．在椭圆12222=+by a x 上每一点处有作用力),(y x M ),(y x F G ，其大小等于从点M 到椭圆中心的距离，而方向指向椭圆中心，试计算质点P 沿椭圆从点移到点时，力所作的功W ．),0(b A )0,(a B ),(y x F G3．计算，其中S 为球面的外侧在的部分．∫∫Sy x z y x d d 221222=++z y x 0,0≥≥y x4．计算，其中S 为曲面在第Ⅰ卦限中部分的上侧．∫∫++=Sy x z x z y z y x I d d d d d d 22y x z +=10≤≤z5．计算，其中为连续函数，S 为平面y x z z y x f x z y z y x f z y x z y x f I Sd d ]),,([d d ]),,(2[d d ]),,([+++++=∫∫f 1=+−z y x 在第四卦限部分的上侧．（提示：化为对面积的曲面积分）．四、综合题在过点和点)0,0(O )0,(πA 的曲线族)0(sin >=a x a y 中，求一条曲线L ，使得沿该曲线从点O 到点A 的曲线积分的值最小．y y x x y Ld )2(d )1(2+++∫第十六次作业学院班级姓名学号一、填空题1．y x y x y x I L d )635(d )42(−+++−=∫，其中L 为顶点分别为和的三角形正向边界，则I = )0,3(),0,0()2,3(．∫∫++=Sy x z x z y z y x I d d d d d d 2．，其中S 是由3,0,2,0,1,0======z z y y x x 围成的长方体表面的外侧，则I = ．3．，其中L 是点O 到点的任何路线，则I = ∫+=Ly x x xy I d d 22)0,0()1,1(A ．4．微方方程的通解为 0d )2(d )(2=−++y y x x y x ．二、单项选择题1．设y y x y y I x Lx d )1cos e (d )sin e (−+−=∫，其中L 是以点为顶点的三角形的整个边界曲线，取逆时针方向，则I 等于( )．)1,0(),0,1(),0,0(B A O （A ）0；（B ）1；（C ）21；（D ）2． 2．y x y x z y z y x I Sd d )(d d )(−+−=∫∫，其中S 为所围成立体表面的外侧，则I 等于( )．3,0,122===+z z y x （A ）0；（B ）π29−；（C ）π29；（D ）1．三、计算题1．计算，其中L 是圆周y y x x y x L d )sin (d )(22+−−∫22x x y −=上从点到点的一段弧．)0,2(A )0,0(O2．计算曲线积分∫+−=L y x y x x y I )(2d d 22，其中L 是圆周，L 取逆时针方向． 2)1(22=+−y x3．用高斯公式计算曲面积分，其中S 是由曲线y x yz x z y z y x y I Sd d 4d d )1(2d d )18(2−−++=∫∫)31(01≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=−=y x y z 绕y 轴旋转一周所成的曲面，它的法向量与y 轴正向的夹角恒大于2π．4．利用斯托克斯公式计算曲线积分∫++Γz x y z x y d d d ，其中为圆周，若从z 轴正向看去，Γ)0(02222>⎩⎨⎧=++=++a z y x a z y x Γ取逆时针方向．5．曲线积分与路径无关，其中y x y x xy Ld )(d 2ϕ+∫)(x ϕ具有连续的导数，且0)0(=ϕ，求)(x ϕ，并计算．y x y x xy I d )(d )1,1()0,0(2ϕ+=∫6．设在区域{}02),(>+=y x y x D 上定义了向量场⎭⎫⎩⎨⎧+−+−=λλ)2(62,)2(29y x x y y x x y A G ，试确定λ的值，使该向量场为有势场，并求势函数．四、综合题设具有一阶导数，)(x f 0)0(=f ，且是全微分方程，求及全微分方程之解．0d ])([d )]()([2=++−+y y x x f x x yf y x xy )(x f第十七次作业学院班级姓名学号一、填空题1．幂级数∑∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+0312n nx 的收敛域为． 2．幂级数∑∞=02)!2(n nn x 的和函数为是=)(x S ． 3．展开成x e 3−x 的幂级数为．4．设是以2为周期的周期函数，它在区间)(x f (]1,1−上的定义为则傅立叶级数在⎩⎨⎧≤<≤<−=,10,,01,2)(2x x x x f )(x f 21−=x 处收敛于，在处收敛于 1=x ．5．若将在上展成余弦函数，则该级数的和函数 ⎩⎨⎧≤≤<≤=,21,0,10,)(2x x x x f ]2,0[=)(x S ．二、单项选择题1．已知幂级数在∑∞=0n n n x a 4−=x 处条件收敛，则该幂级数的收敛半径( )．（A ）；（B ）4<R 4=R ；（C ）；（D ）4>R 4≤R ． 2．幂级数1214)1(−∞=∑−n n n nn的收敛半径( )．（A ）4；（B ）41；（C ）2；（D ）21． 3．将xx f 1)(=展成)3(−x 的幂级数，该幂级数的收敛区间为( )．（A ）；（B ）；（C ）)6,0()0,6(−)1,1(−；（D ）)3,3(−．4．将展开成以2为周期的正弦级数时，该级数在)10(1)(2≤≤+=x x x f 21−=x 处收敛于( )．（A ）45；（B ）45−；（C ）43；（D ）43−．三、计算题1．求幂级数nx n n n )4()1(11−−∑∞=−的收敛域．2．求幂级数∑∞=+11n n x n n 的收敛域及和函数．(=3．将展成麦克劳林级数．f arctan)xx)(=2f ln4．将展开成的幂级数．xxx−5．将⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<<−−=ππππx x x f 0,4,4)(展开成傅立叶级数，并由它推出： "+−+−=71513114π．6．将)0(2)(π≤≤=x x x f 展开成余弦函数．五、已知，且对任何自然数，有5,310==a a 1>n 11)1(32−−−−=n n n a n a na ，证明：当1<x 时，幂级数收敛．n n n x a ∑∞=0第十八次作业学院班级姓名学号一、填空题1．微分方程032=−′+′′y y y 的通解为． 2．微分方程的通解为 0522)3()4(=′′+−y y y ．3．设都是二阶线性微分方程x x x y x y y e 3,e ,e 321===0)()(=+′+′′y x Q y x P y 的解，则该方程的通解为．4．微分方程x x xye d d 22+=的通解是．5．二阶常系数非齐次线性微分方程1=′−′′y y 的特解 =*y ．二、单项选择题1．下列各组函数可以构成微分方程02=+′+′′y y y 的基本解组的是( )．（A ）；（B ）；（C ）；（D ）．x x x sin ,sin x x x e ,e x x x −−e ,e x x −e ,e 2．若2是微分方程的特征方程的一个单根，则该微分方程必有一个特解( )．x qy y p y 2e =+′+′′=*y （A ）；（B ）；（C ）；（D ）．x A 2e x Ax 2e x Ax 22e x x 2e 3．微分方程有特解( )．x y y y x sin e 542=+′+′′=*y （A ）；（B ）；x A x sin e 2)sin cos (e 2x B x A x + （C ）；（D ）．)sin cos (e 2x B x A x x +]sin )(cos )[(e 2x d cx x b ax x+++三、计算题1．求微分方程0=−′′ay y 的通解，其中a 为常数．2．求微分方程在原点处与直线224x y y =+′′x y =相切的特解．3．求微分方程的通解． x y y x cos e +=′+′′−4．解微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+−=−+.08d d ,03d d y x ty y x tx5．解欧拉方程． x x y y x y x ln 22=+′+′′四、综合题1．已知1)0(,0)0(=′=ϕϕ，试确定)(x ϕ，使曲线积分y x x y x x Lx d )(d )]()(2e [ϕϕϕ′+′++∫ 与路径无关．2．设对任意，曲线0>x )(x f y =上点处的切线在y 轴上的截距等于))(,(x f x t t f x xd )(10∫，求的表达式． )(x f综合练习题二学院班级姓名学号一、填空题1．函数在点连续且可偏导，是在点可微的条件．),(y x f ),(00y x ),(y x f ),(00y x 2．设，则xy xy z e cos e −==z d ． 3．函数在点(处沿方向角xyz z xy u −+=32)2,1,13,4,3πγπβπα===的方向的方向导数为．13422=+y x ，取逆时针方向，则=++∫x y x xy L d )432(22 ．4．设L 为椭圆5．周期为2的函数，它在一个周期内的表达式为)(x f 11,)(≤≤−=x x x f ，设它的傅里叶级数的和函数为，则)(x S =⎟⎠⎞⎜⎝⎛23S ．6．以，为特解的二阶常系数齐次线性微分方程是 x x y sin )(1=x x y cos )(2=．二、单项选择题1．函数22y x z +=在点处( ) ． )0,0( （A ）不连续；（B ）偏导数存在；（C ）沿任一方向的方向导数存在；（D ）可微． 2．设2),(),,(=′′=y x f y x f z yy，且x x f x f y =′=)0,(,1)0,(，则为( )． ),(y x f （A ）；（B ）； 21x xy +−21y xy ++ （C ）；（D ）．221y y x +−221y y x ++3．设D 是xOy 平面上以)1,1(),1,1(),1,1(−−−为顶点的三角形区域，D 1是D 在第一象限部分，则等于( )．∫∫+Dy x y x xy d d )sin cos ( （A ）；（B ）；∫∫1d d sin cos 2D y x y x ∫∫1d d 2D y x xy （C ）；（D ）0．∫∫+1d d )sin cos (4D y x y x xy4．设L 是圆周负向一周，则曲线积分)0(222>=+a a y x yy xy x y x x Ld )(d )(3223−+−∫等于( )．（A ）0；（B ）；（C ）；（D ）4a π4a π−24a π−．5．若41lim1=+∞→n n n a a ，则幂级数∑( )． ∞=02n n n x a （A ）当2<x 时绝对收敛；（B ）当41>x 时发散；（C ）当4<x 时绝对收敛；（D ）当21>x 时发散．6．微分方程的特解形式为( )． 1e +=′−′′x y y （A ）；（B ）；（C ）；（D ）．b a x +e bx a x +e b ax x +e )e (b a x x +三、设⎟⎠⎞⎜⎝⎛=x y xy f x z ,3，f 具有连续的二阶偏导数，求y x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂2,,．四、求z y x Ωzd d de ∫∫∫，其中为球体．Ω1222≤++z y x五、求z y x y z x x y z Γd )(d )(d )(−+−+−∫，其中是曲线从z 轴看去的方向是顺时针的．Γ⎩⎨⎧=+−=+,2,122z y x y x Γ六、求,其中S 是上半球面y x zx x z yz z y xy Sd d d d d d 222++∫∫222y x R z −−=)0(>R 的上侧．七、将函数x x x x x f −+−+=arctan 2111ln41)(展开成x 的幂级数．八、设22),(y x r r f u +==满足方程02222=∂∂+∂∂y uxu ，求．)(r f九、第一卦限内作球面的切平面，使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小，求这切面的切点．2222a z y x =++十、证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=,0,0,0,)(),(22222/32222y x y x y x y x y x f 在点处连续，偏导数存在，但不可微．)0,0(十一、设在闭区间上连续且恒大于零，证明],[b a )(x f ∫∫−≥b aba ab x f xx x f 2)()(d d )(．。

微积分试题及答案pdf

微积分试题及答案pdf一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) 的导数是：A. \( 3x^2 - 12x + 11 \)B. \( 3x^2 - 12x + 6 \)C. \( x^2 - 12x + 11 \)D. \( x^2 - 6x + 11 \)答案：A2. 定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是：A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( \frac{1}{4} \)D. \( \frac{1}{6} \)答案：B3. 函数 \( y = \ln(x) \) 的不定积分是：A. \( x\ln(x) + C \)B. \( \frac{x}{\ln(x)} + C \)C. \( x\ln(x) - x + C \)D. \( x + C \)答案：A4. 曲线 \( y = x^2 \) 与直线 \( y = 2x \) 在第一象限的交点坐标是：A. \( (1, 2) \)B. \( (2, 4) \)C. \( (-1, -2) \)D. \( (-2, -4) \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = \sin(x) \) 的二阶导数是 \( \_\_\_\_\_ \)。

答案：\( -\sin(x) \)2. 曲线 \( y = e^x \) 在 \( x = 0 \) 处的切线斜率是\( \_\_\_\_\_ \)。

答案：13. 函数 \( y = \ln(x) \) 的不定积分是 \( \_\_\_\_\_ \)。

答案：\( x\ln(x) - x + C \)4. 定积分 \( \int_{0}^{1} e^x dx \) 的值是 \( \_\_\_\_\_ \)。

答案：\( e - 1 \)三、解答题（每题10分，共20分）1. 求函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \) 在 \( x = 2 \) 处的导数值。

《微积分I》期末模拟考题(参考答案,小字)

模拟卷一:一、选择题（每小题4分，共20分）1、设()(1)(2)(3)f x x x x x =+++，则()f x '与()f x ''的零点个数分别为（ B ）A 、4个；3个B 、3个；2个；C 、2个；1个；D 、1个；0个 2、设1()1xf x dx C x+=+-⎰，则()f x =（ B ） A 、22(1)x -- B 、22(1)x - C 、22(1)x x -- Ｄ、22(1)xx - 3、下列等式错误的是（ D ） A 、()()()f x dx f x '=⎰ B 、()()f x dx f x C '=+⎰C 、()(2)(2)f x dx f x '=⎰ D 、(2)(2)f x dx f x C '=+⎰4、曲线 ln xy x=（ D ）Ａ、没有渐近线Ｂ、只有一条水平渐近线Ｃ、只有一条垂直渐近线Ｄ、即有水平渐近线又有垂直渐近线5*、设()f x dx C =⎰，则2()xf x dx =⎰（ A ）A 、1sin 2x C + B 、12C C 、21sin 2C D 、21sin 2x C +二、填空题（每小题4分，共20分）1、函数()arctan f x x =在[]0,1上满足拉格朗日中值定理的点ξ=2211(1)(0)(),()arctan1,11104f f f x f x πξξξ-''======++-解：2、设()f x 的一个原函数为xe -，则()f x dx =⎰xe -+C ，()f x dx '=⎰-xe -+C . 3、2211d()d()1d ln ||.()()x a x a x x a C x a x a x a x a x a ⎛⎫+++=+=--+ ⎪+++++⎝⎭⎰⎰⎰.5、99(23)x dx +=⎰1001(23)200x C ++. 三、求极限（每小题５分，共１５分）1、20sin 1lim sin x x e x x →--=2000sin 1cos sin 1lim lim lim .222x x x x x x e x e x e x x x →→→---+===2、0000cos ln sin sin sin lim lim lim lim 1.cos ln sin sin sin x x x x a ax a aax ax ax ax b ax bb bx bx bx bx+→→→→==== (a 、b >0)３、求 10lim 2xxxx a b →⎛⎫+ ⎪⎝⎭，其中0,0,a b a b >>≠。

微积分试卷含答案

微积分考试试题一、填空题（每题3分，共10题）1，=++++∞→nn n n n n 1)8642(lim 。

2、函数)(x f 的定义域为实区间 (0 , 1) , 则)1(-x f 的定义域是。

3，曲线3)(x e x f =中的凸曲线所对应的开区间是。

4，),31ln(2)(x xx f +=设为使其在0=x 处连续，需补充定义=)0(f 。

5，已知2)0(='f ，则 =-→xx f x f x )()5(lim 0 。

6，)(x f 任意阶可导，且)4()3()2()1(f f f f ===，则0)(=''x f 至少有个实根。

7，设,sin x y = 则 =)2011(y 。

8，函数22+=-x e y x 的单调递增开区间是。

9，=+⎰dx x x 21arctan 。

10，若x x f +='1)(ln ，且,0)0(=f 则=)(x f 。

二、选择题（每题3分，共5题）1，下列各式中，正确的是（）。

)()(,22x f dx x f dxd A =⎰ )()(,x f dx x f dx d B ='⎰ )()(,x df dx x f d C =⎰ dx x f d x df D ⎰⎰=)()(, 2，当0→x 时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其它三个更高阶的无穷小量（）。

2.x A x B cos 1.- 11.2--x C x x D sin .-3，)(x f 定义域为),(+∞-∞，且,1)(lim =∞→x f x ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,10),1()(x x x f x g 。

则0=x 是)(x g 的（）。

A. 可去间断点 B. 无穷间断点 C. 连续点 D. 不一定，要看)(x f 公式 4，连续函数)(x f y =在0x x =处取得极大值，则必有（）。

0)(.0≠'x f A 0)(.0=x f B 0)(0)(.00<''='x f x f C 且 0)(.0='x f D 或不存在 5，下列说法仅有一个正确，它是（）。

微积分练习100题及其解答

《微积分》练习100题及其解答1．求极限：．⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x e x x 111lim 0解：∵，)0(~1→-x xe x ∴．()2121lim 1lim 11lim 111lim 02000-=-=+-=-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--→→→→x e x e x e x e x x e x x x x x x x x x 2．求极限：．xx e e x x x sin lim sin 0--→解：∵，∴．)0(~1→-x xe x1sin 1lim sin lim sin sin 0sin 0=--⋅=---→→xx e e x x e e xx x x x x x 或者：记，则当时，在之间满足Lagrange 定理的条件，存x e x f =)(0≠x )(x f x x sin ,在（介于与之间），使得，从而ξξx x sin )(sin sin ξf x x e e xx '=--，所以，．1)0()(lim sin lim 0sin 0='='=--→→f f x x e e x x x x ξ1sin lim sin 0=--→xx e e x x x 3．求极限：．()x xx x e1lim+→解：；()11200lim lim 1xxe e xx xx x x x e xe e e →→⎡⎤⎛⎫⎢⎥+=⋅+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦或者．()()12000ln 1limlim 2lim x x xx x x x x e x e e x e xe x →→→++==⇒+=+4．求极限：．01lim 1xx x +→⎛⎫+ ⎪⎝⎭解：，而，所以，．01lim ln 101lim 1x xx x x e x +→+⎛⎫+ ⎪⎝⎭→⎛⎫+= ⎪⎝⎭0ln(1)1lim ln 1lim0t x t x t x +→+∞→⎛⎫++== ⎪⎝⎭01lim 11xx x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭5．求极限：．())0,0,0(3ln ln lim0>>>-++→c b a xc b a x x x x解：．()00ln ln 3ln ln ln ln limlim 3x x x x x x x x x x x a b c a a b b c c abc xa b c →→++-++==++6．求极限：．()00x αα→>解：．()()112110001101lim lim 10111x x x x x x x αααααααααα--→→→->⎧==-=⎨∞<≤⎩-++7．求极限：．lim(0)x αα→>解：．()()22211000112202limlim022211x x x x x x x αααααααααα--→→→->⎧==-=⎨∞<≤⎩-++8．求极限：．(0)x αα→>解：．012x α→=-9．设函数在内，讨论的单调性．)(x f ()∞+∞-,0)0(,0)(≤>''f x f xx f y )(=解：，，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'=-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛='x x f x f x x x f x f x x x f y )()(1)()()(20)0()()(--≤x f x f x x f 当时，，而，则，即，从而此时0>x )0()(f xx f '≤0)(>''x f )0()(f x f '≥'0>'y 递增；同理，当时，递增．x x f y )(=0<x xx f y )(=所以，在内单调增加．xx f y )(=()∞+∞-,10．设函数，求：（1）的极大值；（2）()220()2(0)xf x a ta dta =-+->⎰)(x f M 求极小时的值．M a 解：（1），而，所以xx f a x x f 2)(0)(=''±=⇒='0>a ；a a a f M 232)(3-=-=（2）时，，此时，0>a 102223223=⇒=-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-='a a a a M a04>=''a M的极小值为．M 34)1(-=M 11．求极限：．22011lim sin x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭解：()()2222224000sin sin 11sin lim lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x xx →→→-+-⎛⎫-== ⎪⎝⎭．320000sin sin 1cos sin 1limlim 2lim 2lim 363x x x x x x x x x x x x x x →→→→-+-====12．求极限：．⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x 220sin 11lim 解：2222222200011sin sin 22lim lim lim sin sin 2sin sin 2x x x x x x x x x x xx x x x →→→--⎛⎫-== ⎪+⎝⎭；222000cos 212sin 2limlimsin 2sin 2cos 22sin 26cos 22sin 22sin 212lim 2sin 234cos 2sin 22x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x →→→--==+++--==-+-13．求极限：．⎪⎭⎫⎝⎛--→x x x ln 111lim 1解：；211ln 11lim ln 11lim ln 111lim ln )1(1ln lim ln 111lim 11111-=---=--+=--+=-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--→→→→→x x x x x x xx xx x x x x x x x x x x 14．求极限：．1lim arcsin xx e x +→解：∵，∴．arcsin ~(0)x x x →11100lim arcsin lim lim t t xx x t x x ee x xe t ++=→+∞→→=====+∞15．求极限：．⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→x x x arctan 2lim解：．22221arctan 21lim arctan lim lim lim 11121x x x x x x x x x x xxππ→+∞→+∞→+∞→+∞⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭+-==== ⎪+⎝⎭-16．求极限：．2120lim x x x e→解：．22112lim lim t tx x x t e x et=→→+∞====+∞17．求极限：．lim sin ln x x x +→解：．00001ln tan sin lim sin ln lim lim lim 0csc csc cot x x x x x x x x x x x x x x++++→→→→===-=-18．求极限：．1lim x -→解：11lim x x -→→=112sec 24x x ππ--→→===19．求极限：．xx xx x sin tan lim 20-→解：．22232200000tan tan sec 11cos sin21lim lim lim lim lim sin 3363x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→----=====20．求极限：．()ln 1ln limcot x x xarc x→+∞+-解：()222222111ln 111lim lim lim 1lim 1.111cot 1111x x x x x x x x x x arc x x xx x x →+∞→+∞→+∞→+∞⎛⎫+-- ⎪+⎝⎭==+==-+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭21．求极限：．()2lim sec tan x x x π→-解：．()2221sin cos lim sec tan limlim 0cos sin x x x x xx x x x πππ→→→--===-22．求积分：．cos sin 1sin 2x xdx x --⎰解：()2cos sin cos sin 11sin 2cos sin cos sin x x x x dx dx dx x x x x x --==---⎰⎰⎰．1ln csc cot 2244sin 4dx x x C x πππ⎛⎫⎛⎫=-=---+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭⎰23．求积分：．cos sin 1sin 2x xdx x -+⎰解：．()()()22cos sin 11cos sin cos sin sin cos sin cos x xdx d x x C x xx x x x -=+=-++++⎰⎰24．求积分：．cos sin 1cos 2x xdx x -+⎰解：()2cos sin cos sin 1sec tan sec 1cos22cos 2x x x x dx dx xdx xdxx x --==-+⎰⎰⎰⎰．()1sec ln sec tan 2x x x C =--++25．求积分：．dx xxx ⎰--2cos 1sin cos 解：()2cos sin cos sin 1csc cot csc 1cos 22sin 2x x x x dx dx x xdx xdxx x --==--⎰⎰⎰⎰．()1csc ln csc cot 2x x x C =-+-+26．求积分：．cos sin 1cos 2x xdx x +-⎰解：()2cos sin cos sin 1csc cot csc 1cos 22sin 2x x x x dx dx x xdx xdxx x ++==+-⎰⎰⎰⎰．()1csc ln csc cot 2x x x C =---+27．求积分：．1sin 1cos2xdx x--⎰解：()221sin 1sin 1csc csc 1cos 22sin 2x x dx dx xdx xdx x x --==--⎰⎰⎰⎰．()1cot ln csc cot 2x x x C =-+-+28．求积分：．1sin 1cos2xdx x -+⎰解：()221sin 1sin 1sec sec tan 1cos 22cos 2x x dx dx xdx x xdx x x --==-+⎰⎰⎰⎰．()1tan sec 2x x C =-+29．求积分：．1cos 1cos2xdx x-+⎰解：()221cos 1cos 1sec sec 1cos22cos 2x x dx dx xdx xdx x x --==-+⎰⎰⎰⎰．()1tan ln sec tan 2x x x C =-++30．求积分：．1cos 1cos2xdx x--⎰解：．()()221sin 1sin 1csc csc 1cos22sin 211cot ln tan cot ln csc cot 222x x dx dx xdx xdxx x x x C or x x x C--==--⎛⎫=-++-+-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰31．求积分：．1arctan21xedx x +⎰解：．1arctan11arctan arctan 21arctan 1xx x e dx e d e C x x=-=-++⎰⎰32．求积分：．2x dx解：222211222xe t x x e dx =⎛⎫==== ⎪⎝⎭．(2211ln ln 222x x e c e C ⎛ '=++=++ ⎝33．求积分：．211x dx e +⎰解：⎰+dx e x 211⎰⎰----++-=+=)1(112112222xx x x e d e dx e e C e x ++-=-)1ln(212或者：⎰⎰+=+=xxx x x x de e e dx e e e 222222)1(121)1(．[]C e x de e de e xx x x x ++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎰⎰)1ln(221111212222234．求积分：．()21xxe dx x +⎰解：()()()2211(1)11111xxx xxxe xe xe dx d x xe d d xe x x x x x ⎛⎫=+=-=-+ ⎪+++⎝⎭++⎰⎰⎰⎰．11x x xxe e e dx C x x=-+=+++⎰35．求积分：．211dx x x -+⎰解：2221141133111422dx dx dxx x x x ==-+⎛⎫⎤⎫+-+- ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦⎰⎰⎰．211122112d x x C x ⎤⎤⎫⎫=--+⎪⎪⎥⎥⎭⎭⎦⎦⎤⎫+-⎪⎥⎭⎦⎰36．求积分：．2141dx x x -+⎰解：()2221111413231dx dx dxx x x ==-+---⎰⎰⎰．21ln ln 3661d C C ⎫==+=⎪⎭⎫-⎪⎭⎰37．求积分：．dx解：22111ln 1111u u du du C u u u u -⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪--++⎝⎭⎝⎭⎰⎰．))ln 2ln12ln1Cor x C or x C ⎛⎫=+-+-+ ⎝38．求积分：．解：设，则，，x e u +=1)1ln(2-=u x du u udx 122-=222112111u du du u u u ⎛⎫==+- ⎪--+⎝⎭⎰⎰12ln ln 1u u C C u ⎛⎫-⎛⎫=++=+ ⎪+⎝⎭．)2ln1orx C -+39．求积分：．21443dx x x +-⎰解：．21121ln 443823x dx C x x x -=++-+⎰40．求积分：．23222x dx x x --+⎰解：222323*********(1)x x dx dx x x x x x ⎡⎤--=+⎢⎥-+-+++⎣⎦⎰⎰．()23ln 22arctan(1)2x x x C =-++++41．求积分：．2dx x⎰解：设，则，，t x sin 2=t x cos 242=-tdt dx cos 2=．()222cot csc 1cot arcsin 2x dx tdt t dt t t C C x x ==-=--+=--+⎰⎰⎰42．求积分：．2dx x ⎰解：设，则，，θtan 2=x 2sec θ=θθd dx 2sec 2=．()Cxx x x C x x x x x x C d d d dx x x ++-++=++++--+-=++---=⎪⎭⎫⎝⎛-+=-==+⎰⎰⎰⎰22222222222244ln 44ln 2141sin 1sin ln 21csc sin sin 11sin 1sin sin )sin 1(1sin cos 14θθθθθθθθθθθθ43．求积分：．⎰++dx x x 1)2(1解：消去根号，记，t =122122+=+=-=t x tdtdx t x．()222arctan 21tdtt C C t t ==+=++⎰44．求积分：．⎰-+dx x x x21解：记，3122222+=+=+=⇒-=t x tdtdx t x x t ()()⎰⎰⎰⎰++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=-+dt t t dt t t t dt t t dx x x x 21222112232212222．C x x C tt +-+-=++=22arctan 2222arctan2245．求积分：．⎰++dx x x x21解：记，1122222-=+=-=⇒+=t x tdtdx t x x t ()()⎰⎰⎰⎰-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=--=++dt t t dt t t t dt t t dx x x x 21222112212212222．C x x x C t t t +++-+++=++-+=2222ln 222222ln 22246．求积分：．2dx x -⎰解：记，2213222t t t x dx tdt x +-=⇒==-=，．2222312212623332t dx dt dt t dt x t t t t C C⎛⎫==+=+ ⎪----⎝⎭=+=+⎰⎰⎰⎰47．求积分：．解：记，232212122+=+=-=⇒+=t x tdtdx t x x t ．Cxx C t t dt t t dt t dt t t dx x x ++-+=+-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=++⎰⎰⎰⎰321arctan 322123arctan3223162331232221222248．求积分：．⎰++dx x 3111解：记，dt t dx t x x t 23323,211=-=⇒+=．22233313331ln 1212142233(1)ln 142t dx dt t dt t t t C t t x C ⎛⎫==-+=-+++ ⎪++⎝⎭=+-+++⎰⎰49．求积分：．()⎰-dx x xx 2321arcsin 解：设：，则x u arcsin =；()332222arcsin sin sin sin sec cos cos 1sec sec sec ln sec tan 1lnln 1ln 12x xu u u udx d u du ud uu u x u u udu u u u u C C x x C ===-=-=-++==-++-+⎰⎰⎰⎰⎰50．求积分：．()()2213xdx xx ++⎰解：．()()()222222211111ln 4134313xx dx d x C x x x x x ⎛⎫+⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎰⎰51．假设某种商品的需求量，商品的总成本是，每1200080Q P =-2500050C Q =+单位商品需要纳税2元，试求使销售利润最大时商品单价（单位：元）和最大利润额．P 解：收入，28012000)8012000(P P P P PQ R -=-==总成本，P Q C 40006250005025000-=+=总利润，649000161608022-+-=--=P P Q C R L 边际利润，16160160+-='-'='P C R L 令，得，此时，有最大利润（元）．0='L 101=P 0160<-=''L 167080=Max L 52．一商家销售某种商品的价格（万元/吨），为销售量，商品的成本函数x P 2.07-=x 是（万元）．（1）若每销售1吨商品，政府征税t （万元），求商家获取最大利润时13-=x C 的销售量；（2）t 为何值时，政府税收最大？解：（1）收入，总成本，22.07)2.07(x x x x Px R -=-==13-=x C 税收，总利润，tx T =1)4(2.02+-+-=--=x t x T C R L 边际利润；令，得，此时，有最t x L -+-='44.00='L t x 5.210-=04.0<-=''L 大利润；（2），，令，得，所以当时政府税25.210t t tx T -==t T 510-='0='T 2=t 2=t 收最大．53．求积分：．()322arcsin 1x xdx x -⎰解：设，则x u arcsin =；()332222arcsin sin sin sin sec cos cos 1sec sec sec ln sec tan 1ln 1ln 1.2x xu u u udx d u du ud u u ux u u udu u u u u C Cx x C ===-=-=-++==++-+⎰⎰⎰⎰⎰54．已知的一个原函数为，求积分：．()f x ()1sin ln x x +()xf x dx '⎰解：∵，()1sin ()1sin ln cos ln xf x x x x x x'+=+=+⎡⎤⎣⎦∴()()()()xf x dx xdf x xf x f x dx'==-⎰⎰⎰．()1sin cos ln 1sin ln x x x x x x C =++-++55．设是三阶可导函数，，而．求．()f t ()0f t ''≠()()()x f t y tf t f t '=⎧⎨'=-⎩33d y dx解：由已知，，，，从而；()dx f t dt ''=()dy tf t dt ''=dy dy dt t dx dx dt ==1d dy dt dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，．()221d y d dy dx dt dx dt dx f t ⎛⎫== ⎪''⎝⎭()()()323321()d f t d y d d y f t dx dx dx d f t f t ⎡⎤⎢'''''⎛⎫⎣⎦===- ⎪'⎡⎤''⎡⎤⎝⎭⎣⎦⎣⎦56．设，求．()22tan()sec x yx x y tdt x y ---=≠⎰22d ydx解：对等式两边求导．得，()()()()222sec 1sec 1x y y x y y ''---=--整理，得，2sin ()y x y '=-()()()222sin cos 1d yx y x y y dx '∴=---．()()()21sin 2()cos sin 22y x y x y x y '=--=--57．已知，其中二阶可微，求．()y f x y =+()f u 22d ydx 解：，．()()1y f x y y '''=++()'1()f x y y f x y '+∴='-+对两边再求导，()()1y f x y y '''=++，()()()21y f x y y y f x y ''''''''=++++．()()()211y f x y y f x y '''++''∴='-+3"()[1'()]f x y f x y +=-+58．已知，求．0sin ()xtf x dt t p =-ò0()f t dt p ò解：由已知，，或sin ()xf x xp ¢=-sin ()()x f x xf x p ¢¢=-01cos sin ()()t t tt xdx f x dx xf x dxp ¢¢-==-òòò，()(0)()()()()()t tt f t f xf x f x dx f t tf t f x dx p p p =--+=-+òò取，有，t p =021cos ()()()f f f x dx pp p p p p =-=-+ò．()2f t dt p\=ò59．求积分：．121211x x x e x +æö÷ç+-÷ç÷çèøò解：1111122222111112222221111x x x x x x x x x x I x e dx e dx x e dx e dx xd e x x +++++æöæöæö÷ç÷÷çç÷=+-=+-=+ç÷÷çç÷÷÷ççç÷çèøèøèøòòòòò．21521232x x xee +==60．求极限：．2240sin lim x x xx®-解：224300sin sin sin lim lim x x x x x x x x x x x ®®-+-=×302sin cos 222lim x x xx x®-=．3022sin cos 2lim 8t t t t t ®-=2011cos lim 2t t t ®-=2202sin 12lim 2t t t ®=20sin 12lim 42t t t ®æö÷ç÷ç÷çç=çç÷ç÷÷çèø14=而，22223200000sin sin sin 1cos 1sin 1lim lim lim 2lim 2lim sin 3323x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ®®®®®-+--=×==´=请问以上方法错在哪里？61．计算．x ò解：记，代入，得()221ln 1x u e u x u ==+=+原式()()222ln 1121u u uduu u ++=+ò()()22222ln 12ln 121u u du u u duu =+=+-+òò．()22ln 12222u u u arctgu c c =+-++=-++62．求积分：．()12ln 11x dx x++ò解：令，，，，11t x t -=+211x t +=+()221dt dx t =-+()()22222111111t t x t t +æö-ç+=+=ççè++代入，则()12ln 11x I dx x +=+ò()()()()21122200ln 1122ln 11211x t I dx dt x t t t ++==×++++òò()()1112220001120ln 2ln 1ln 1ln 211112ln 2ln 214t x dt dt dx t t xI dt t p-++==-+++\==+òòòò．112011ln 221I dx x \=×+òln 28p =63．求积分：1ò解：记212t x t dx tdt==-=-当时，；当时，，则0x =t 1=1x =0t =原式．110202212dt arctgtt p ===-ò64．设在内有意义，且（1）可导；（2）有反函数；（3）()F x ()0,+¥()x j ．求．()()5322115F x t dt x x j æö÷ç÷=-ç÷ç÷èøò()F x 解：由（3）可知，时，，0x =()()010F t dt j =ò()01F =记，则为其反函数()x F y =()y x j =且或()()F y y j =()()F x xj =对（3）的式子两边求导，有，即．()()()23321123F x F x x x j ¢=- ()23321123x F x x x ¢×=-化简有()F x ¢=()23321132F x dx x x c æö\==-+ò而，故．()01F =()233211132F x x x =-+65．求积分：1ò解：11I -==òò．112-==òò12arcsin tp ==66．求积分：1ò解：令sin 02x t t p =<<．()22202200sin cos cos 1cos 1cos 4t d t I dt arctg t tt p pp p==-=-=++òò67．证明：．()4011212n tg xdx n np<<+ò证明：记，则．14201n nn t I tg xdx dt t p==+òò()11212n I n n<<+68．求积分：．244sin 1xxdx ep p --+ò解：．224404sin 11sin 111x x x x dx xdx e e e pp p ---æö÷ç=+÷ç÷çèø+++òò2402sin 8xdx p p -==ò69．设，且，则方程0在()[],f x C a b Î()0f x >()()1xxabf x dx dx f x +=òò(),a b内有几个根．解：记，，()()()1xxabF x f t dt dt f t =+òò()()()110abbaF a dt dt f t f t ==-<òò，而．；()()0baF b f x dx =>ò()0f x >[],x a b Î()()()10F x f x f x ¢=+>在内严格单调增加．因此，在内只有一个根．()F x \(),a b ()F x (),a b 70．在上连续可微，且满足．试证存在一点．使()f x [)0,1()()1212f xf x dx =ò()0,1x Î．()()0f f x x x ¢+=证：设．则，()()F x xf x =()()0000F f =´=．()()()()112211122F f xf x dx F x dx =´==´òò由于在上可微，由积分中值定理，必存在一点，使得()F x []0,110,2h æö÷çÎ÷ç÷çèø，在上，满足Rolle 定理的三个条件，固而存在()()()1122F F F h h =´´=[],1h ()F x ，使得．即．x (),1h Î()0,1Ì()0F x ¢=()()0f f x x x ¢+=71．设求，．()11010x x xe x f x e x ìïïïï¹ï=íï+ïïï=ïî()0f -¢()0f +¢解：由知()()()000limx x f x f x f x x x ®-¢=-()0f -¢()()11000lim lim lim 0011txt t x x x f x f e e x e e --®-¥®®-====-++()0f +¢()()11000lim lim lim 1011txt t x x xf x f e e x ee ++®+¥®®-====-++另，时0x ¹()1121111xx x e e x f x e æö÷ç÷-+ç÷ç÷èø¢=æö÷ç÷+ç÷ç÷èø；()0f -¢()1121011lim lim 1xx x x xe e xf x e --®®æö÷ç÷-+ç÷ç÷èø¢==æö÷ç÷+ç÷ç÷èø()()121lim01u u u xu u e u e e =®-¥-+¾¾¾®=+()0f +¢()1121011lim lim 1xx x x xe e xf x e ++®®æö÷ç÷-+ç÷ç÷èø¢==æö÷ç÷+ç÷ç÷èø()()21lim1u u u u e u e e ®+¥-+=+()()()11lim21u u u u u uu e u e e e e e ®+¥-++-=+()22lim21u uu uu e ue e e ®+¥-=+．()221lim lim 1221u u u u u u e u e e e ®+¥®+¥--===+72．设在上连续，且，证明：必存在，使()f x []0,n ()()()0f f n n N =Î()0,n x Î．()()1f f x x +=证明：记，则在上连续，因而有最大（小）值()()()1x f x f x j =+-()x j []0,1n -，，；()M m ()m x M j ££[]0,1x n Î-而，，…，；()()()010f f j =-()()()121f f j =-()()()11n f n f n j -=--从而，()()()1110n n k k k f k f k m M nnj --==éù+-ëû£==£åå故而，必存在，使，即()0,n x Î()0j x =．()()1f f x x +=73．证明：函数在上一致连续．3)(x x f =[]1,0证明：任取两点，，不妨设，则，考虑到1x []1,02∈x 21x x ≠03231≠-x x ()321232312132232132121323121)()(x x x x x x x x x x x x x x x f x f +--≤++-=-=-；()2323121323121)()(x x x x x x x f x f --≤-=-即；2133231321)()(x x x x x f x f -≤-=-所以，对于任意小的正数，取，当时，必有0>ε3εη=η<-21x x 成立，ε<-≤-=-321323121)()(x x x x x f x f 故而函数在上一致连续．3)(x x f =[]1,074．函数在上有定义，且（1），（2）对于在，)(x f ()∞,0)1()(lim 1f x f x =→0>∀x ，则（为常数）．)()(2x f x f =C x f ≡)(C 证明：任取，记，，，…，()∞+∈,0x x x =1x x x ==124123xx x x ===，…．则1211-==-n x x x n n 由可知，，即)()(2x f x f =)()(x f x f =；)()()()()(321n x f x f x f x f x f ===== 而注意到，故)0(1lim >=+∞→x x n n ；)0(1lim lim 121>==-+∞→+∞→x x x n n n n 而，从而)1()(lim 1f x f x =→；)1()lim ()(lim )(11f x f x f x f n x n x ===→→所以，（为常数）．C x f ≡)()1(f C =75．求极限：．21n n n tan n lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→解：注意到⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛n tan n ln n exp n tan n n 1122，⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=11111112n tan n n tan n ln n tan n n exp 且，111111=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→ntan n n tan n ln lim n 而22111tan lim 11tan lim n n n n n n n n -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→∞→30201tan lim1tan lim y y y y y y y y ny -=-=→→=.yy tan lim y y sec lim y y 31331220220==-=→→故.e n tan n lim n n 3121=⎪⎭⎫⎝⎛∞→76．已知，，求．12a =()11112n n n a a n a +⎛⎫=+> ⎪⎝⎭lim n n a →∞解：很明显，，，，，12a =0n a >11112n n n a a a +⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭()12111122n n n a n a a +⎛⎫=+≤>⎪⎝⎭所以，，单调有界，存在；1212n n a a a +≤≤≤≤= {}n a lim n n a →∞记,则由得，注意到，解得．lim n n a l →∞=1112n n n a a a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭112l l l ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭21≤≤l 1l =77．设函数，求．xx y +=12()n y 解：，，11112++-=+=x x x x y 2111111⎪⎭⎫⎝⎛+-='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++-='x x x y ，()()322121111+-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=''x x y 由数学归纳法可得：．()()())1(1!11>+-=+n x n yn n n 78．设函数在区间上连续，在内可导，且，()x f []0,1()0,1()()010==f f ．试证：121=⎪⎭⎫ ⎝⎛f (1)存在，使；1,12η⎛⎫∈⎪⎝⎭()ηη=f (2)对任意实数，必存在，使得．λ()0,ξη∈()()1f f ξλξξ'--=⎡⎤⎣⎦证明：（1）设，则在区间上连续，在内可导，且()()h x x f x =-()h x []0,1()0,1，，，则存在，，即()00h =()11h =11022h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭1,12η⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()0h f ηηη=-=．()ηη=f （2）记，在区间上连续，在内可导，且，()()xF x f x x e λ-=-⎡⎤⎣⎦[]0,1()0,1()00F =，则由定理，必存在，使得，即()0F η=Rolle ()0,ξη∈()0F ξ'=．()()1f f ξλξξ'--=⎡⎤⎣⎦79．判断级数的敛散性．11nn ¥=åò提示：．220001122n xdx n n>=®<òòò80．证明：当时，.0>x ()x x xx<+<+1ln 1证明：记，则在上连续因而可积.tt f +=11)()(t f []x 0由积分第一中值定理，比存在一点，使得：()x 0∈ξ，()()x f dt t x x⋅=+=+⎰ξ0111ln 即.()x x ξ+=+111ln 而，，x <<ξ011111<+<+ξx ∴，)0(11><+<+x x x x x ξ即.()x x x x<+<+1ln 181．求在条件下，()22212312323,,2334f x x x x x x x x =+++2221231x x x ++=()123,,f x x x 的最大值和最大值点．解：利用拉格朗日乘数法，设，()()22222212312323123,,,23341L x x x x x x x x x x x λλ=++++++-，则123112233322221234206240624010x x x L x x L x x x L x x x L x x x λλλλ'=+=⎧⎪'=++=⎪⎨'=++=⎪⎪'=++-=⎩．1231222312323(1)020121(2)05x x x x Maxf x x x x x Maxf x x λ≠⇒=-⇒==→=±⇒=⎧+=⎪=⇒⇒==⇒=⎨=⎪⎩82．设随机变量，问：当取何值时，落入区间的概率最大？()2~,X N μσσX ()1,3解：因为，()212~x X f x σ⎛⎫- ⎝⎭=，{}133113()X P X P g σσσσσσ∆⎧⎫⎛⎫⎛⎫<<=<<=Φ-Φ=⎨⎬ ⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭⎝⎭利用微积分中求极值的方法，有223311()g σσσσσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=-Φ+Φ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；222222221311111422231111130e e σσσσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎢⎥==-=⎢⎥⎣⎦令得，则；又，故．404ln 3σ=0σ=0()0g σ''<0σ=故当落入区间的概率最大．σ=X ()1,383．设，讨论方程的实数根．x e x f x λ-=)(0=-x e x λ解：（1）显然，当时，方程没有实根；0λ=0=-x e x λ（2）当时，方程有唯一实根；0λ<0=-x e xλ（3）当时，；曲线为下凸的，0>λ0)(,)(>=''-='x x e x f e x f λx e x f x λ-=)(呈∪型；由可知，驻点，极小值，0)(=-='λx e x f λln 0=x )ln 1()(0λλ-=x f 由此可知，当时，方程没有实根；e <<λ00=-x e x λ当，极小值，方程只有一个实根；e =λ0)ln 1()(0=-=λλxf 0=-x e x λλln 0=x 当，极小值，方程有2个实根．e >λ0)ln 1()(0<-=λλxf 0=-x e xλ84．函数的单调增减区间、凹凸区间与极值．()()()211f x x x =-+解：，()()()()()()()()()22111211131f x x x ,f x x x x x x '=-+=++-+=+-由得驻点：；()0f x '=113x ,=-由上可知，函数在与内单调递增，在内递减；极()f x ()1,-∞-13,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭113,⎛⎫- ⎪⎝⎭大值，极小值；()10f -=132327f ⎛⎫=-⎪⎝⎭由可得，因而函数曲线在内()()()211f x x x =-+()62f x x ''=+13,⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，函数曲线上凸；在内下凸，如下图．()0f x ''<13,⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭85．已知收益函数为，其中为价格，为需求量，求需求弹性时260R=Q Q -P Q 2d ε=-的边际收益．MR 解：因为，所以需求函数，边际收益函数为，且260R=Q Q -60P Q =-602R =Q '-需求弹性函数为；60601d P dQ Q Q dP Q Qε-==-=-当需求弹性时，，此时的边际收益．2d ε=-20Q =()20604020MR R '==-=86．设函数，求其渐近线．xx exe x f y 111)(+==解：首先考虑其水平渐近线和垂直渐近线：x()1,-∞-1-113,⎛⎫- ⎪⎝⎭1313,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '+0-0+()f x 增加极大值递减极小值递增因为，，，所以，1lim 1=∞→x x e +∞=+→x x e 100lim 0lim 100=-→xx e ；11011lim lim lim 0(1)(1)1t x t t t t x xxee t t e t e x e+-→+∞→+∞→⎛⎫==== ⎪++⎝⎭+；11011lim lim lim 0(1)(1)1t x t t t t x xxee t t e t e x e--→-∞→-∞→⎛⎫==== ⎪++⎝⎭+；110011limlim lim (1)(1)1t x t t x t t xxee t t e t e x e-→∞→→⎛⎫===∞=⎪++⎝⎭+故而没有水平渐近线和垂直渐近线；xx exex f y 111)(+==由于，()111limlim 21xx x xf x e a x e →∞→∞===+()1111111211lim lim lim 2211x x x x x x x x xe x e xe b fx x x e e →∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥⎡⎤ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，11011111122lim lim 2(1)41x t t x t xx xe e t t e x e→∞→-+-⎛⎫==== ⎪+⎝⎭+故而有斜渐近线：．xx exe x f y 111)(+==4121+=x y 87．求函数曲线的渐近线．()1ln 1x y e x=++解：显然，，为其垂直渐近线；()01lim ln 1x x e x→⎡⎤++=∞⎢⎥⎣⎦0x =，为其水平渐近线；()()1lim ln 1lim ln 10x xx x e e x →-∞→-∞⎡⎤++=+=⎢⎥⎣⎦0y =又，，，因而()()11ln 1ln 1x x y e x e x x -=++=+++()1lim ln 10x x e x -→+∞⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦为其一条斜渐近线．y x=88．若，试证明：与具有相同的敛散性．lim (0)n n a a a →∞=≠∑∞=+-11n n n a a ∑∞=+-1111n nn a a 证明：问题为讨论两个正项级数的敛散性，可以用比较法的极限形式，因为不是具体的级数形式．记，则,111nn n a a V -=+0,0>>n n V U ==n n n V U ∞→limnn nn n a a a a 11lim11--=++∞→1.lim +∞→n n n a a )0(2≠a 可见，与具有相同的敛散性．∑∞=+-11n n n a a∑∞=+-1111n nn a a 89．讨论下列级数的敛散性：（1）2）；（3）；（4）1n ∞=11tan 2n n n ∞+=∑()3113nnn n n ∞=⎤+-⎣⎦∑()∑∞=+-+121211n n n n n（5）；（6）；（7）．()()1111ln 1n n n ∞+=-+∑()211nn n n ∞=-+∑()()1111ln n n nn e e ∞+-=-+∑解：（1）当充分大时，比如时，有，从而n 3>n ()n n <+<1ln 1,而当时，，()n n n n <+<1ln 1∞→n 1→n n由极限的夹逼性定理知，当时，，所以，∞→n 1→1n ∞=（2）注意到，这是正项级数，当时，(等价无穷小)，0→x x x ~tan 所以，而后者收敛,所以收敛．11tan ~2n n n π∞+=∑112n n n π∞+=∑11tan 2n nn π∞+=∑（3）利用柯西判别法：也是正项级数，,可见原()33113n+-=<→级数收敛；事实上，，，)())333111333nnnn nnnn nn ⎤+-+⎣⎦<<3113nnn n ∞=⎤⎣⎦∑都收敛，且同为正项级数，因而原级数收敛．3113nn n n ∞=⎤⎣⎦∑（4）因为，()()111111122221212112121→+⋅+⋅=+=+=+-+-nn nnnn n n n n n n nnnnnu 改用比较判别法：取，则21nv n =；()11lim 1lim lim 122121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+=+∞→++∞→∞→n n n n n nn n n n n nv u其中()(){}1122222lim lim exp lim 12ln ln 111n x n x x n x x x x n x ++→∞→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫⎡⎤==+-+ ⎪ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎝⎭，()()()()()22222222ln ln 1211exp lim exp lim exp lim 111111x x x x x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞⎧⎫⎧⎫⎪⎪-⎪⎪⎧⎫-++⎪⎪⎪⎪⎪⎪+===-=⎨⎬⎨⎬⎨⎬+⎪⎪⎪⎪⎪⎪-⎩⎭+⎪⎪⎪⎪+⎩⎭⎩⎭所以，与同时收敛．()∑∞=+-+121211n n n nn ∑∞=121n n（5）条件收敛．（6），发散．()()22111111nnn n n nn n n∞∞∞===-+-=+∑∑∑（7）=,()()1111ln n n n n e e ∞+-=-+∑()()12111ln 1n n n e n∞+=-+-∑,()222ln 1n n n e n e n e +-<-<()()()22222lim lim lim ln 1ln 1ln n x xn x x x n x x e e e e n e x e e -→∞→+∞→+∞==+-+-+==∞．()=+-=--+∞→x x x x xx e e e e e 22lim ()22221lim 1x x x x e e e →+∞+-x xx x ee e 2532106lim ++∞→另一方面，==,；()x x e e -+ln 1()xe x 21ln 1-++()x e xx x 1~1ln 11112-++()+∞→x 可见，原级数非绝对收敛；但是单调减少且趋于0，所以，原级数条件收敛．()x x e e -+ln 190．若正项级数与都发散，讨论与的敛散性．1nn v∞=∑1nn u∞=∑{}1max ,nnn u v ∞=∑{}1min ,nnn u v ∞=∑解：，，{}{}1max ,2n n n n n n u v u v u v =++-{}{}1min ,2n n n n n n u v u v u v =+--（1）显然，，或者，故而{}{}1max ,2n n n n n n n u v u v u v u =++-≥{}max ,n n n u v v ≥发散；{}1max ,nnn u v ∞=∑（2）而的敛散性未定．{}1min ,nnn u v ∞=∑例如，若，()222211111111123456212n n u n n ∞==+++++++++-∑ ，()222=11111111123456221n n v n n ∞=+++++++++-∑。

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