22.2直接开平方法
人教版数学九年级上册22.2.1《直接开平方法》教学设计
人教版数学九年级上册22.2.1《直接开平方法》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册22.2.1《直接开平方法》是初中数学的重要内容，主要介绍了实数的开平方运算。
这一节内容是在学生学习了实数、有理数、无理数等基础知识后进行的，是学习更高级数学知识的基础。
教材通过简单的实例引入直接开平方法，让学生了解并掌握开平方运算的法则，为后续的学习打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，对于实数的概念和性质有一定的了解。
但是，学生在学习过程中可能对于抽象的开平方运算存在一定的困难，需要通过具体的实例和练习来加深理解。
三. 教学目标1.让学生了解直接开平方法的概念和意义。
2.让学生掌握直接开平方法的运算规则。
3.培养学生运用直接开平方法解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：直接开平方法的概念和运算规则。
2.难点：对于复杂数的开平方运算的理解和应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过设置问题引导学生思考和探索。
2.使用多媒体辅助教学，通过动画和图形来形象地展示开平方运算的过程。
3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论和交流中共同解决问题。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.相关教学PPT。
3.练习题和学习资料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出直接开平方法的概念，例如：“一块土地的面积是4平方米，它的长和宽各是多少？”让学生思考并尝试解答。
2.呈现（15分钟）讲解直接开平方法的概念和运算规则，通过PPT展示相关的动画和图形，让学生直观地理解开平方运算的过程。
3.操练（15分钟）让学生进行一些简单的练习题，巩固直接开平方法的应用。
教师可以设置一些问题，引导学生运用直接开平方法解决问题。
4.巩固（10分钟）让学生进行一些复杂的练习题，加深对直接开平方法的理解。
教师可以给予学生一定的提示和指导，帮助他们解决问题。
5.拓展（10分钟）引导学生思考和探索直接开平方法在实际问题中的应用，例如：“一个立方体的体积是64立方米，求它的棱长。
22.2 第1课时 直接开平方法和因式分解法 华师大版数学九年级上册课件
(2)x²－1=0;
这里得到了方程的两个根，通常也表示成 x1 = 2，x2 = -2.
这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
一般地，对于形如 x2 = a (a≥0) 的方程，根据平方根 的定义，可解得x1 = a，x2 = - a，这种解一元二次方程 的方法叫做直接开平方法.
(2) x²－1= 0 对于题(2)，有这样的解法： 将方程左边用平方差公式分解因式，得
做一做
试用两种方法解方程： x2－900 =0
直接开平方法：
因式分解法：
移项，得 x2 =900
由题意，得 (x－30) (x＋30) =0
得 x2 =±30，
所以 x2－30=0 或 x＋30=0
所以x1 = 30，x2 = -30
所以 x1 = 30，x2 = -30
典例精析
例1 解下列方程： (1)x²－2= 0; 解：移项，得
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
第1课时 直接开平方法和因式分解法
学习目标
1. 学会用直接开平方法及因式分解法解简单的一元 二次方程； (重点) 2. 了解用直接开平方法及因式分解法解一元二次方 程的解题步骤. (重点)
试一试
解下列方程： (1)x²= 4; 对于题(1)，有这样的解法： 方程 x²= 4 意味着x是4的平方根，所以 x=± 4， 即 x = ±2
x(3x＋2)=6(3x＋2)
方程两边都除以(3x＋2)，得 x=6
小林说:“我的方法多简便!” 可另一个根x = -23 哪里去了？ 小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？
小林的解法不对。原因在于等式左右两边都除以(3x-2)时，没有 考虑(3x+2)的值是不是 0,当 3x+2≠0时，解得x=6；而当 3x+2=0 时，
3.14 22.2直接开平方法
对自己说,你有什么收获? 对老师说,你有什么疑惑?
对同学说,你有什么温馨提示?
拓展: 2 1．若8x -16=0，则x的值是 _________． 2．如果方程2（x-3）=72，那么 这个一元二次方程的根是________． 3．如果a、b为实数，满足 2 2 a b -12b+36=0，那么ab的值是 _______
学习知 识要善于思 考，思考， 再思考。
爱因斯坦
问题1 一桶油漆可刷的面积为1500 d m ，李林用这桶
2
油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部 外表面，你能算出盒子的棱长吗？
设正方体的棱长为 xdm， 列方程10 6 x 1500 由此可得 x 25 x 5，
这种解法叫做
练习： (1) x 4x 4 5
2
(2)9x 6x 1 4
2
总结： １、直接开平方法适用的方程形式：
如果方程能化成 x p或（m x n） p( p 0)
2 2
的形式，那么可得 x p或m x n p
２、解一元二次方程的数学思想方法是： 转化 （通过直接开平方将一元二次方程 降次转化为两个一元一次方程）
直接开平方法
2 2
即 x1 5， x2 5
经检验，5和-5是方程的根，但是棱长不能是负值， 所以正方体的棱长为5dm.
例题1：解方程
2
(1) x 16
练习1：（1 ） x 20
2
(2)
1 x 2
2
例题2：解方程 2 （2） 3x 4 0
(1) (3)
3x 15
2
2 2
变式：当x为何值时，代数式（ x 20) 与
九年级数学上册第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法22.2.1第1课时直接开平方法
22.2.1 第1课时 直接开平方法1．解方程：x 2＝25.因为x 是25的平方根，所以x ＝________．所以原方程的解为x 1＝________，x 2＝________．2．一元二次方程x 2－4＝0的解是( )A ．x 1＝2，x 2＝－2B ．x ＝－2C ．x ＝2D ．x 1＝2，x 2＝03．［教材例1变式］用直接开平方法解下列方程：(1)x 2－5＝0; (2)16x 2＝81；(3)5x 2－125＝0; (4)x 2－5＝49.知识点 2 用直接开平方法解形如(mx ＋n )2＝p (p ≥0)的一元二次方程4．将方程(2x －1)2＝9的两边同时开平方，得2x －1＝________，即2x －1＝________或2x －1＝________，所以x 1＝________，x 2＝________．5．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是( )A ．x 2－3＝0B ．(x －1)2－4＝0C ．x 2＋2＝0D ．(x －1)2＝(－2)26．用直接开平方法解下列方程：(1)(x ＋2)2＝27； (2)(x －3)2－9＝0；(3)(2x －8)2＝16； (4)9(3x －2)2＝64.7．若a ，b 为方程x 2－4(x ＋1)＝1的两根，且a ＞b ，则a b＝( )A ．－5B ．－4C ．1D ．38．［2016·深圳］给出一种运算：对于函数y ＝x n ，规定y ′＝nx n －1.例如：若函数y ＝x 4，则y ′＝4x 3.已知函数y ＝x 3，则方程y ′＝12的根是( )A ．x 1＝4，x 2＝－4B ．x 1＝2，x 2＝－2C ．x 1＝x 2＝0D ．x 1＝2 3，x 2＝－2 39．若(x 2＋y 2－1)2＝4，则x 2＋y 2＝________．10．已知直角三角形的两边长x ，y 满足||x 2－16＋y 2－9＝0，求这个直角三角形第三边的长．11． ［2017·河北］对于实数p ，q ，我们用符号min {}p ，q 表示p ，q 两数中较小的数，如min {}1，2＝1.因此，min {}－2，－3＝________；若min {}（x －1）2，x 2＝1，则x ＝________．1．±5 5 －5 2.A3．解：(1)x 2＝5，x ＝±5，即x 1＝5，x 2＝－ 5. (2)∵x 2＝8116，∴x ＝±8116， 即x 1＝94，x 2＝－94. (3)∵5x 2＝125，∴x 2＝25，∴x ＝±5，即x 1＝5，x 2＝－5.(4)x 2－5＝49，x 2＝499，解得x 1＝73，x 2＝－73. 4．±3 3 －3 2 －15．C [解析] x 2－3＝0移项得x 2＝3，可用直接开平方法求解；(x －1)2－4＝0移项得(x －1)2＝4，可用直接开平方法求解；(x －1)2＝(－2)2＝4，可用直接开平方法求解．故选C.6．解：(1)∵x ＋2＝±27，∴x ＝－2±3 3，∴x 1＝－2＋3 3，x 2＝－2－3 3.(2)∵(x －3)2－9＝0，∴(x －3)2＝9，∴x －3＝±3，∴x 1＝6，x 2＝0.(3)∵2x －8＝±16，∴2x ＝8±4，∴x 1＝6，x 2＝2.(4)∵(3x －2)2＝649， ∴3x －2＝83或3x －2＝－83， 解得x 1＝149，x 2＝－29. 7．A [解析] x 2－4(x ＋1)＝1，∴x 2－4x －4＝1，∴(x －2)2＝9，∴x 1＝5，x 2＝－1.∵a ，b 为方程x 2－4(x ＋1)＝1的两根，且a >b ，∴a ＝5，b ＝－1，∴a b ＝5－1＝－5. 故选A.8． B [解析] 由函数y ＝x 3得n ＝3，则y ′＝3x 2，∴3x 2＝12，则x 2＝4，∴x ＝±2，∴x 1＝2，x 2＝－2.故选B.9． 3 [解析] (x 2＋y 2－1)2＝4直接开平方得x 2＋y 2－1＝±2.解得x 2＋y 2＝3或x 2＋y 2＝－1.∵x 2≥0，y 2≥0，∴x 2＋y 2＝3. 10．解：根据题意，得x 2－16＝0，y 2－9＝0，所以x ＝±4，y ＝±3.因为三角形的边长是正数，所以x＝4，y ＝3.若第三边为斜边，则第三边的长为32＋42＝5；若第三边为直角边，则第三边的长为42－32＝7，所以这个直角三角形第三边的长为7或5.11．－ 3 2或－1 [解析] min{－2，－3}＝－ 3.∵min{(x －1)2，x 2}＝1，当x ＝0.5时，x 2＝(x －1)2，不可能得出最小值为1，当x>0.5时，(x－1)2<x2，则(x－1)2＝1，x－1＝±1，即x－1＝1或x－1＝－1，解得x1＝2，x2＝0(不合题意，舍去)；当x<0.5时，(x－1)2>x2，则x2＝1，解得x1＝1(不合题意，舍去)，x2＝－1. 综上所述，x的值为2或－1.。
22.2.1直接开平方法解一元二次方程
5
(3)4 x (4) x
2
1
2 2 20x ) 10 ( x 10
梳理
像上题，通过配成完全平方式的 形式解出一元二次方程的根的方法，
叫做配方法。
小技巧: 配方时, 如果二次项系数为1,方 程左右两边应同时加上一次项系数的一 半的平方.如果二次项系数不是1，应先 化为1，再配方
1.直接开平方法 用直接开平方法解一元二次方程，先把 方程左边变成x的平方(或关于x的一次式的平 方),右边变成一个非负常数的形式,再开平方。
化成
(mx+n)2=非负常数
(3)(x 5) 16
2
然后两边直接开平方
( 4)(x 1) 3 0
2
(5) y 4 x 4 3
2
1.直接开平方法
用直接开平方法解一元二次方程， 先把方程左边变成x的平方(或关于x的一 次式的平方),右边变成一个非负常数的形 式,再开平方。
如 果 方 程 能 化 成x p 或
2
（mx n） p( p )的 形 式 ， 那 么 ≥ 0
2
可 得x p或mx n p .
2 2 2
a=-4,b=3,c=-5
2
a=1,b=0,c=-1
2 2
(4) x 3 0; (5)2 x 3x 2 x( x 1) 1; (6) y 0
a=1,b=0,c=3 a=1,b=0,c=0
解一元二次方程 化成 X2=非负常数 然后两边直接开平方
（1）x2-25=0
的一次式)的平方,右边变成非负常数的
形式就可以直接开平方求解了。
方程x2+6x=2如何解？ 1、把下列各式的左边化成完全平方式
22.2直接开平方法解方程
所以，原方程的根是
(1)方程x2=0.81的根是 x1=0.9, x2=-0.9 ； x1=3, x2=-3 ；
(2)方程2x2=18的根是
(3)方程(x+1)2=1的根是 x1=0, x2=-2 .
例4：怎样解方程
解：利用开平方法，得 可得
(x+1)2=16 ?
x 1 4
x 1 4 或x 1 4
１）（x+6）(x-6)=64 2) (2x-1)2=(3-x)2
作业：
１．解方程
1) 2) 3) 4) 5) 6)
2-9=0 (x+6)
2=32 2x
x2-6x+9=0 2=12 2(x-2) 4(3x-1)2-9(3x+1)2=0 2=(2x-1)2 (x-3)
∴x1= X2=-
9
=3,
9 =-3 (不合题意，舍去）．
一般地,对于形如x2=d(d≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得
x1 d,x2 d
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
对于一元二次方程x2=d，如果d≥0，那么就可以用 开平方法求它的根。
x 当d>0时,方程有两个不相等的根： 1
c x . a
2
c 当a、c同号时， 0, 方程没有实数根； a c 当c 0时， 0，方程的根是x1 x2 0. a
例3：用开平方法解方程
解：移项，得 两边同除以-7，得 利用开平方法，得
-7x2+21=0
7 x 2 21
x 3
2
x 3
x1 3, x2 3.
3 7 3 7 (3) x1 , x2 2 2
22.2一元二次方程--直接开平方法(陈晓辉)
举一反三
解下列方程．
1．x -3=0 2．4x2-9=0 3. 4x2+4x+1=1 4. x -6x+9=5
2
2
趁热打铁
解下列方程：
1. (1－x)2 = 1；
2. (1+x)2－2 = 0； 3. (2x+1) 2+3 = 0； 4. x2－2x+1= 4.
画龙点睛
谈一谈本节课自己的收获和感受？
设计制作：
陈晓辉
复习引入
求出下列各式中 x 的值， 说说你的理由． 并
1． x =9 2． x =5 3． x =a（a>0）
2 2
2
探索新知
一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2， 李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体
的盒子的全部外表，你能算出盒子的棱长吗？
探索新知
对照上述解方程的过程， 你能解下列方程 吗？从中你能得到什么结论？ （1） (2 x 1)2 5
由应用直接开平方法解形如 x =p（p ≥0），那么 x=± p 转化为应用直接开平方法解形如（mx+n） 2 =p（p≥0）， 那么 mx+n=± p ， 从而达到降次转化之目 的。2 融会贯通A 基础训练
1． 若 8x2-16=0， 则 x 的 值 是 _________．
2 2． 果 方 程 （ x-3）=72， 么 ， 个 一 元 二 次 方 程 的 两 根 是 _______． 如 2 那 这
3． 果 a、 实 数 ， 足 3a 4 +b2-12b+36=0， 么 ab 的 值 是 ______． 如 b为 满 那 4． 若 x2-4x+p=（ x+q） 2， 那 么 p、 q 的 值 分 别 是 （ A．p=4，q=2 B． p=4， q=-2 ）． C． ±3 D． 无 实 数 根 C． p=-4， q=2 ）． D． p=-4， q=-2
直接开平方法(直接开方法)
22.2 直接开平方法(直接开方法)教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程． 教学目标理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a 〔ex+f 〕2+c=0型的一元二次方程． 重难点关键1．重点：运用开平方法解形如〔x+m 〕2=n 〔n ≥0〕的方程；领会降次──转化的数学思想．2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x 2=n ，知识迁移到根据平方根的意义解形如〔x+m 〕2=n 〔n ≥0〕的方程． 教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成以下各题 问题1．填空〔1〕x 2-8x+______=〔x-______〕2；〔2〕9x 2+12x+_____=〔3x+_____〕2；〔3〕x 2+px+_____=〔x+______〕2．问题2．如图，在△ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始，沿AB 边向点B 以1cm/s•的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果AB=6cm ，BC=12cm ，•P 、Q 都从B 点同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8c m 2？BCAQP老师点评：问题1：根据完全平方公式可得：〔1〕16 4；〔2〕4 2；〔3〕〔2p 〕2 2p ． 问题2：设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2则PB=x ，BQ=2x 依题意，得：12x ·2x=8x 2=8根据平方根的意义，得x=±即x 1，x 2=可以验证，和都是方程12x ·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．所以秒后△PBQ 的面积等于8c m 2． 二、探索新知上面我们已经讲了x 2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±，如果x 换元为2t+1，即〔2t+1〕2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？ 〔学生分组讨论〕老师点评：答复是肯定的，把2t+1变为上面的x ，那么2t+1=±即方程的两根为t 1-12，t 2-12例1：解方程：x 2+4x+4=1分析：很清楚，x 2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为〔x+2〕2=1． 解：由已知，得：〔x+2〕2=1 直接开平方，得：x+2=±1 即x+2=1，x+2=-1所以，方程的两根x 1=-1，x 2=-3例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m 2提高到14.4m ，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x ．•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10〔1+x 〕；二年后人均住房面积就应该是10〔1+x 〕+10〔1+x 〕x=10〔1+x 〕2解：设每年人均住房面积增长率为x ， 则：10〔1+x 〕2=14.4 〔1+x 〕2=1.44直接开平方，得1+x=±1.2 即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x 1=0.2=20%，x 2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x 2=-2.2应舍去． 所以，每年人均住房面积增长率应为20%．〔学生小结〕老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、稳固练习教材P36练习．四、应用拓展例3．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，•那么二月份的营业额就应该是〔1+x〕，三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是〔1+x〕2．解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x．那么1+〔1+x〕+〔1+x〕2=3.31把〔1+x〕当成一个数，配方得：〔1+x+12〕2=2.56，即〔x+32〕2=2．56x+32=±1.6，即x+32=1.6，x+32=-1.6方程的根为x1=10%，x2=-3.1因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．五、归纳小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2=p〔p≥0〕，那么x=形如〔mx+n〕2=p〔p≥0〕，那么mx+n=六、布置作业1．教材P45复习稳固1、2．2．选用作业设计:一、选择题1．假设x2-4x+p=〔x+q〕2，那么p、q的值分别是〔〕．A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2 2．方程3x2+9=0的根为〔〕．A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根3．用配方法解方程x2-23x+1=0正确的解法是〔〕．A．〔x-13〕2=89，x=13±3B．〔x-13〕2=-89，原方程无解C．〔x-23〕2=59，x1=23x2D．〔x-23〕2=1，x1=53，x2=-13二、填空题1．假设8x2-16=0，则x的值是_________．2．如果方程2〔x-3〕2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．3．如果a、b b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．三、综合提高题1．解关于x的方程〔x+m〕2=n．2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙〔墙长25m〕，•另三边用木栏围成，木栏长40m．〔1〕鸡场的面积能到达180m2吗？能到达200m吗？〔2〕鸡场的面积能到达210m2吗？3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，•并说明你制作的理由吗？答案:一、1．B 2．D 3．B二、1 2．9或-3 3．-8三、1．当n≥0时，x+m=，x1-m，x2-m．当n<0时，无解2．〔1〕都能到达．设宽为x，则长为40-2x，依题意，得：x〔40-2x〕=180整理，•得：•x2-20x+90=0，x1=x2同理x〔40-2x〕=200，x1=x2=10，长为40-20=20．〔2〕不能到达．同理x〔40-2x〕=210，x2-20x+105=0，b2-4ac=400-410=-10<0，无解，即不能到达．3．因要制矩形方框，面积尽可能大，所以，应是正方形，即每边长为1米的正方形．。
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将方程化成(mx + n) = p (p≥0）的形式,再求解
2
运用新知， 运用新知，解决问题
解下列方程：
(1) x − 9 = 0
2
(2)t − 45 = 0
2
(3)16 x − 49 = 0
2
(4)(2 x − 3) = 5
2
(5)( x − 5) − 36 = 0
2
(6)(6 x − 1) = 25
降次——解一元二次方程 降次——解一元二次方程 ——
——22.2 ——22.2 直接开平方法 王伟
北京市东直门中学
复习旧知， 复习旧知，引入新知
1.什么叫平方根？怎样表示一个数的平方根？
若x2=a,则x叫a的平方根，记作 x = ± a （a ≥ 0)
2.根据平方根的概念解方程 x 2－ 4 = 0
2
注意：解方程 注意： 时，应先把方 程变形为： 程变形为：
x2 = p
(mx
( p ≥ 0 ); 或 2 + n ) = p ( p ≥ 0 )。
新知讲解——直接开平方法 新知讲解——直接开平方法 ——
思考：下列方程有解吗？
(1)
(x + 4)
2
= 3; (2) (3x + 1) = −3;
2
新知讲解——总结 新知讲解——总结 ——
新知讲解——直接开平方法 新知讲解——直接开平方法 ——
例1、解方程 x − 4 = 0
2
x2 = 4 先移项，得：
可见，上面的 x
2
= 4
实际上就是求4的平方根。
x 因此： = ± 4 = ±2
以上解某些一元二次方程的方法叫做直接 开平方法。
运用新知， 运用新知，解决问题
用直接开平方法解下列方程：
1．直接开平方法的依据是什么？ （平方根） 2.用直接开平方法可解下列类型的一元二次 方程： x 2 = p p ≥ 0 或
( ) 2 ( mx + n ) = p ( p ≥ 0 ) ;
3.根据平方根的定义，要特别注意：由于负 数没有平方根，所以，当p<0时，原方程 无解。
布置作业
(1) y − 1
x=± 2
5 x=± 4
(2) x − 2 = 0
2
(3)16 x − 25 = 0
2
1 x=± 2 2 将方程化成 x = p (p≥0）的形式,再求解
2
1 (4)2 x − = 0 2
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例2、解方程 (x + 3) − 2 = 0