21.2一元二次方程的解法(1)直接开平方法
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠ ±2
4、关于x的方程(a2-4)x2+(a+2)x-1=0
(1)当a取什么值时,它是一元一次方程?
(2)当a取什么值时,它是一元二次方程?
解:(1) a2-4=0 a+2≠0
(2) a2-4≠0
∴a≠±2 ∴当a≠±2时，原 方程是一元二次方 程.
例1、解下列方程 （1）x2-1.21=0
（2）4x2-1=0
解：（1）移项，得x2=1.21 ∵x是1.21的平方根 ∴x=±1.1 即 x1=1.1，x2=-1.1 （2）移项，得4x2=1 1 两边都除以4，得 x2= 1 4 ∵x是 4 的平方根 ∴x=
1 1 即x1= ，x2= 2 2
练一练
1、下列解方程的过程中，正确的是（ D ） (A)x2=-2,解方程，得x=± 2 (B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4 (C)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3,
1 7 ;x2= x 1= 4 4
(D)(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4
练一练
2、解下列方程：
（1）x2-0.81=0 （2）9x2=4
练一练
3、解下列方程： （1）（x+2）2 =3
（2）（2x+3）2-5=0 （3）（2x-1）2 =（3-x）2
已知一元二次方程mx2+n=0(m≠0),若方 程可以用直接开平方法求解，且有两个 实数根，则m、n必须满足的条件是（ B ） A.n=0 C.n是m的整数倍 B.m、n异号 D.m、n同号
解：2x-1= ( x 2)
2
即 2x-1=±（x-2）
∴2x-1=x-2或2x-1=-x+2
即x1=-1，x2=1
归纳
1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有x2=a（a≥0）或 （ax＋h）2= k（k≥0）的形式，那么就可以用直 接开平方法求解. 2.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个 完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的 概念求解 . 3.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？ 请举例说明.
解：（1）∵x是4的平方根
∴x＝±2
即原方程的根为： x1=2，x2 =－2
（2）移项，得x2=2 ∵ x是2的平方根 ∴x= 2 即原方程的根为： x1 = 2 ，x 2 = - 2 这时,我们常用χ1、χ2来表示未知数为χ的一元二 次方程的两个根.
什么叫直接开平方法？ 像解x2=4，x2-2=0这样，利用平方根的定 义直接开平方求一元二次方程的解的方法 叫直接开平方法.
若x2=a，则x=
2.平方根有哪些性质？ (1)一个正数有两个平方根，这两个平方根 互为相反数的； (2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根.
4 ±3 ， 如：9的平方根是______ 25
a 即x= a 或x= a
2 的平方根是______ 5
如何解方程：（1）x2=4，（2）x2-2=0呢?
1 2
例2、解下列方程： ⑴（x＋1）2= 2 分析：只要将（x＋1）看成是一个整体， 就可以运用直接开平方法求解；
解：（1）∵x+1是2的平方根
∴x+1= 2 ∴x+1= 2 或x+1= - 2 即x1=-1+ 2
，x2=-1- 2
⑵ （x－1）2－4 = 0 解：移项，得（x-1）2=4 ∵x-1是4的平方根 ∴x-1=±2
1、一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数 （一元），并且未知数的最高次数是2 （二次）的方程，叫做一元二次方程. 2、一元二次方程的一般形式
ax bx c 0 （a 0)
2
1、判断下面哪些方程是一元二次方程
(1) x 3x 4 x 7 ×
2 2
(2) 2 x 4
课堂小结
1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有x2=a（a≥0）或 （ax＋h）2= k（k≥0）的形式，那么就可以用直 接开平方法求解. 2.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个 完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的 概念求解 . 3.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？ 请举例说明.
2
wk.baidu.com
(3)3 x 5 x 1 0 1 2 (4)3x 2 0 x
2
√ ×
×
×
(5) x 1 3
2
2、把方程（1-x)(2-x)=3-x2 化为一般形 式是：___________, 2x2-3x-1=0 其二次项系数是 2 -3 常数项是____. -1 ____, 一次项系数是____, 3、方程(m-2)x|m| +3mx-4=0是关于x的一 元二次方程，则 （ C）
∴a=2
∴当a=2时，原方程 是一元一次方程.
5、已知关于x的方程(m-3)x2+2x+m29=0有一个根是0，试确定m的值.
解：∵0是方程的解 ∴代入得m2-9=0 ∴ m=±3 经检验 m=±3都符合题意
∴ m=±3.
21.2降次——解一元二次方程
21.2.1 直接开平方法
1.什么叫做平方根? 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫 做a的平方根.
即x-1=+2 或x-1=-2 ∴ x1=3，x2=-1
⑶ 12（3－2x）2－3 = 0
解：移项，得12（3-2x）2=3 两边都除以12，得（3-2x）2=0.25 ∵3-2x是0.25的平方根 ∴3-2x=±0.5 即3-2x=0.5或3-2x=-0.5
7 5 ∴x1= ，x2= 4 4
例3、解方程(2x－1)2=(x－2)2 分析：如果把2x-1看成是（x-2）2的平方 根，同样可以用直接开平方法求解
4、关于x的方程(a2-4)x2+(a+2)x-1=0
(1)当a取什么值时,它是一元一次方程?
(2)当a取什么值时,它是一元二次方程?
解:(1) a2-4=0 a+2≠0
(2) a2-4≠0
∴a≠±2 ∴当a≠±2时，原 方程是一元二次方 程.
例1、解下列方程 （1）x2-1.21=0
（2）4x2-1=0
解：（1）移项，得x2=1.21 ∵x是1.21的平方根 ∴x=±1.1 即 x1=1.1，x2=-1.1 （2）移项，得4x2=1 1 两边都除以4，得 x2= 1 4 ∵x是 4 的平方根 ∴x=
1 1 即x1= ，x2= 2 2
练一练
1、下列解方程的过程中，正确的是（ D ） (A)x2=-2,解方程，得x=± 2 (B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4 (C)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3,
1 7 ;x2= x 1= 4 4
(D)(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4
练一练
2、解下列方程：
（1）x2-0.81=0 （2）9x2=4
练一练
3、解下列方程： （1）（x+2）2 =3
（2）（2x+3）2-5=0 （3）（2x-1）2 =（3-x）2
已知一元二次方程mx2+n=0(m≠0),若方 程可以用直接开平方法求解，且有两个 实数根，则m、n必须满足的条件是（ B ） A.n=0 C.n是m的整数倍 B.m、n异号 D.m、n同号
解：2x-1= ( x 2)
2
即 2x-1=±（x-2）
∴2x-1=x-2或2x-1=-x+2
即x1=-1，x2=1
归纳
1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有x2=a（a≥0）或 （ax＋h）2= k（k≥0）的形式，那么就可以用直 接开平方法求解. 2.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个 完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的 概念求解 . 3.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？ 请举例说明.
解：（1）∵x是4的平方根
∴x＝±2
即原方程的根为： x1=2，x2 =－2
（2）移项，得x2=2 ∵ x是2的平方根 ∴x= 2 即原方程的根为： x1 = 2 ，x 2 = - 2 这时,我们常用χ1、χ2来表示未知数为χ的一元二 次方程的两个根.
什么叫直接开平方法？ 像解x2=4，x2-2=0这样，利用平方根的定 义直接开平方求一元二次方程的解的方法 叫直接开平方法.
若x2=a，则x=
2.平方根有哪些性质？ (1)一个正数有两个平方根，这两个平方根 互为相反数的； (2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根.
4 ±3 ， 如：9的平方根是______ 25
a 即x= a 或x= a
2 的平方根是______ 5
如何解方程：（1）x2=4，（2）x2-2=0呢?
1 2
例2、解下列方程： ⑴（x＋1）2= 2 分析：只要将（x＋1）看成是一个整体， 就可以运用直接开平方法求解；
解：（1）∵x+1是2的平方根
∴x+1= 2 ∴x+1= 2 或x+1= - 2 即x1=-1+ 2
，x2=-1- 2
⑵ （x－1）2－4 = 0 解：移项，得（x-1）2=4 ∵x-1是4的平方根 ∴x-1=±2
1、一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数 （一元），并且未知数的最高次数是2 （二次）的方程，叫做一元二次方程. 2、一元二次方程的一般形式
ax bx c 0 （a 0)
2
1、判断下面哪些方程是一元二次方程
(1) x 3x 4 x 7 ×
2 2
(2) 2 x 4
课堂小结
1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有x2=a（a≥0）或 （ax＋h）2= k（k≥0）的形式，那么就可以用直 接开平方法求解. 2.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个 完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的 概念求解 . 3.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？ 请举例说明.
2
wk.baidu.com
(3)3 x 5 x 1 0 1 2 (4)3x 2 0 x
2
√ ×
×
×
(5) x 1 3
2
2、把方程（1-x)(2-x)=3-x2 化为一般形 式是：___________, 2x2-3x-1=0 其二次项系数是 2 -3 常数项是____. -1 ____, 一次项系数是____, 3、方程(m-2)x|m| +3mx-4=0是关于x的一 元二次方程，则 （ C）
∴a=2
∴当a=2时，原方程 是一元一次方程.
5、已知关于x的方程(m-3)x2+2x+m29=0有一个根是0，试确定m的值.
解：∵0是方程的解 ∴代入得m2-9=0 ∴ m=±3 经检验 m=±3都符合题意
∴ m=±3.
21.2降次——解一元二次方程
21.2.1 直接开平方法
1.什么叫做平方根? 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫 做a的平方根.
即x-1=+2 或x-1=-2 ∴ x1=3，x2=-1
⑶ 12（3－2x）2－3 = 0
解：移项，得12（3-2x）2=3 两边都除以12，得（3-2x）2=0.25 ∵3-2x是0.25的平方根 ∴3-2x=±0.5 即3-2x=0.5或3-2x=-0.5
7 5 ∴x1= ，x2= 4 4
例3、解方程(2x－1)2=(x－2)2 分析：如果把2x-1看成是（x-2）2的平方 根，同样可以用直接开平方法求解