平行四边形及其性质

典型例题一例01．O 是ABCD 对角线的交点，OBC ∆的周长为59，38=BD ，24=AC ，则=AD ________，若OBC ∆与OAB ∆的周长之差为15，则=AB ______，ABCD 的周长=______.解答：ABCD 中，AC OC OA 21==，BD OD OB 21==.∴ OBC ∆的周长BC AC BD BC OC OB ++=++=2121591219=++=BC ∴ 28=BC . 在ABCD 中，AD BC =. ∴28=ADOBC ∆的周长－OAB ∆的周长)()(AB OB OA BC OC OB ++-++=AB BC -=15= ∴ 13=AB∴ABCD 的周长82)2813(2)(2=+=+=+++=BC AB AD CD BC AB说明：本题考查平行四边形的性质，解题关键是将OBC ∆与OAB ∆的周长的差转化为两条线段的差.典型例题二例02．已知：如图，ABCD 的周长是cm 36，由钝角顶点D 向AB ，BC 引两条高DE ，DF ，且cm DE 34=，cm DF 35=. 求这个平行四边形的面积.解答：设ycm BC xcm AB ==,. ∵ 四边形ABCD 为平行四边形， ∴ BC AD CD AB ==,.又∵四边形ABCD 的周长为36，∴3622=+y x ① ∵ BC DF AB DE ⊥⊥,，∴∴ y x 3534= ②解由①，②组成的方程组，得8,10==y x . ∴)(34034102cm DE AB =⨯=⋅=.说明：本题考查平行四边形的性质及面积公式，解题关键是把几何问题转化为方程组的问题.典型例题三例03．如图，已知：四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 相交于点O ，已知平行四边形的周长为cm 48，而COD ∆的周长比AOD ∆的周长多cm 4.求AB 和AD 的长.分析：求平行四边形的对边相等可知，CD AB =，BD AD =，所以实际上给出的是cm AD AB 24=+，又由平行四边形的对角线互相平分有，CO AO =，所以COD ∆的周长比AOD ∆的周长多cm 4，实际上就是CD 即AB 比AD 多cm 4. 那么由给出条件可求出AB 和AD 的长.解答：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ BC AD CD AB ==,（平行四边形的对边相等）. 又∵四边形的周长为cm 48， ∴ cm AD AB 24=+.又∵CO AO =（平行四边形的对角线互相平分），而COD∆的周长为DO CO CD ++即DO CO AB ++，AOD ∆的周长为AD DO AO ++，∴cm AD AB 4=- ∴.10,14cm AD cm AB == 典型例题四例04．如图，已知：ABCD 中，BC AE ⊥于E ，CD AF ⊥于F ，若︒=∠60EAF ，cm BE 2=，cm FD 3=.求：AB 、BC 的长和ABCD 的面积.分析：由已知条件︒=∠60EAF ，在四边形AECF 中，可求出︒=∠120C . 从而可知︒=∠=∠60D B ，所以︒=∠=∠30DAF BAE . 因此，在直角三角形ABE 和直角三角形ADF 中，可分别求出AB 、AD 长，从而也可求出AE 、AF 的长，则容易求出ABCD 的面积.解答：在四边形AECF 中，︒=∠=∠90AFC AEC （垂直定义），︒=∠60EAF （已知），∴ ︒=︒-︒-︒-︒=∠120609090360C . 在ABCD 中，∵BC AD CD AB //,//，∴︒=∠+∠180C B ，︒=∠+∠180C D ∴︒=∠=∠60D B在ABE Rt ∆中，︒=∠60B ，2=BE ， ∴42==BE AB ， ∴4==AB CD同理，可求出6==BC AD . 在ABE Rt ∆中，根据勾股定理， 32242222=-=-=BEAB AE∴2)(312326cm AE BC =⋅=⋅=典型例题五例05．已知：如图，在ABCD 中，AB AD 2=，延长AB 到F ，使AB BF =，延长BA 到E ，使AB AE =，连结CE 和DF ，交AD ，BC 于G ，H .求证：DF CE ⊥.证法1：AB BE AB AD BC 2,2===，∴BE BC =， ∴ECB E ∠=∠. ∴ EBC EBC E ∠-︒=∠-︒=∠2190)180(21.同理 FAD F ∠-︒=∠2190 ∴ )(21180FAD EBC F E ∠+∠-︒=∠+∠. ∵ ︒=∠+∠180FAD EBC ，∴︒=∠+∠90F E ，∴DF CE ⊥证法2：∵AB BC BE 2==， ∴ECB E ∠=∠ ∵AD BC //， ∴DGC ECB ∠=∠ ∴E DGC ∠=∠ ∵CD AB //， ∴E DCG ∠=∠ ∴DCG DGC ∠=∠ ∴DC DG =同理 F CDF GDF ∠=∠=∠∴DF CE ⊥说明 本题主要考查利用平行四边形的性质及三角形的有关知识证明两条直线互相垂直. 解题关键是结合三角形的有关知识进行证明.典型例题六例06．已知：如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC 、BD 的交点，过O 点的直线EF 交AD 、BC 于E 、F .求证：OF OE =.分析：要证OF OE =，只需证含有OE 、OF 的两个三角形全等即可，也就是说证明COF AOE ∆≅∆或证BOF DOE ∆≅∆. 这一点由平行四边形的性质容易证得.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CO AO BC AD =,//（平行四边形的对角线互相平分） ∴CFO AEO FCO EAO ∠=∠∠=∠,在AOE ∆与COF ∆中， ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠)()()(已证已证已证CO AO CFO AEO FCO EAO ∴)(AAS COF AOE ∆≅∆ ∴OF OE =说明：此题利用了平行四边形对角线互相平分的性质，通过证明三角形全等，证明了OF OE =. 那么由此题可以看出过平行四边形对角线交点的任一直线被一组对边所截得的线段，被对角线的交点平分.典型例题七例07．如图，已知ABCD 周长为cm 32，3:5:=BC AB ，BC AE ⊥于E ，DCAF ⊥于F ，C EAF ∠=∠2， 求AE 和AF 的长.解答：∵ABCD 周长为cm 32，3:5:=BC AB ，∴6,10==BC AB ，∵ BC AE OC AF C EAF ⊥⊥∠=∠,,2 ∴ ︒=∠60C ，︒=∠120EAF . ∵︒=∠60BAD∴︒=∠+∠60BAE DAF ∵ABC ADC ∠=∠， ∴ABE ADF ∠=∠ ∴︒=∠=∠30BAE DAF ∴32121===BC AD DF∴ 3322=-=DFAD AF同理 521==AB BE 3522=-=BEAB AE .说明 本题综合考查了平行四边形的性质及勾股定理，解题关键是求出︒=∠60C .典型例题八例08．求证：平行四边形的对角线的平方之和等于各边的平方之和.已知：如图，在ABCD 中，AC 和BD 是对角线.求证：222222AD CD BC AB BD AC +++=+.证明：过A 作BC AD ⊥于E ，过D 作BC DF ⊥的延长线于F . ∵DF AE CD AB ==,，∴DCF Rt ABE Rt ∆≅∆. ∴CF BE = ∵222)(AE BE BC AC+-=2222AE BE BE BC BC ++⋅-= 22222BE AB BE BC BE BC -+⋅-+= BC BE AB BC ⋅-+=222 而222)(DFCF BC BD ++=22222CFDCCFCF BC BC -++⋅+=BE BC CD BC ⋅++=222∴ 22BD AC +BE BC CD BC BE BC BC AB ⋅+++⋅-+=2222222222CDBC AB ++=2222DA CDBC AB +++=说明：本题综合考查平行四边形的性质和勾股定理，易错点是不先写已知求证. 解题关键是作出辅助线.典型例题九例09．如图，已知：在ABCD 中，E 、F 分别是AC ，CA 的延长线上的点，且AF CE =. 求证：DE BF //.分析：要证DE BF //，只需证明E F ∠=∠即可. 这一点可由证明CDE ABP ∆≅∆或ADE CBF ∆≅∆证得. 我们这里证明CDE ABF ∆≅∆，这由已知条件容易得到.证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ CD AB CD AB //,=（平行四边形的对边平行且相等） ∴ ACD BAC ∠=∠（两直线平行，内错角相等）. ∴DCE FAB ∠=∠（等角的补角相等）. 在AFB ∆和CED ∆中， ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()()(已证已证已证CD AB DCE FAB CE AF ∴)(SAS CED AFB ∆≅∆∴F E ∠=∠（全等三角形的对应角相等）∴ DE BF //（内错角相等，两直线平行）.说明：平行四边形的对边平行，可以看作是平行四边形的性质.典型例题十例10．如图，已知：四边形ABCD 是平行四边形，E 为CD 上一点，F 为AD 上一点，且CF AE =，AE 、CF 相交于点P .求证：BP 平分APC ∠.分析：要证BP 平分APC ∠，即要证明CPB APB ∠=∠. 一般的方法是通过证明三角形全等来证明它，那么由给出的条件来看，证明图形中的任何两个三角形全等都比较困难. 所以我们换个角度考虑. 由到角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上可知，我们只要能够证明B 点到APC ∠两边的距离相等，即B 点到CF ，B 点到AE 的距离相等就可以了. 因为已有条件AE CF =，所以我们可借助于面积来证明这一点.证明：连结BF ，BE ，则ABCDBFC ABCDABE S S S S 四边形四边形21,21==∆∆，即BFC ABE S S ∆∆=.又∵ CF AE =，∴AE 和CF 边上的高相等，即点B 到AE 和CF 的距离相等. ∴B 在APC ∠的角平分线上.∴BP 平分APC ∠说明 （l ）本题巧妙把证明角平分线转化成了等积问题，利用等积来证明等高，利用等高来证明是角平分线．（2）根据等底等高（或同底同高），在平行四边形任意一边上的任意一点，和它所对的边的两个顶点所连成的三角形面积是平行四边形面积的一半．选择题1．从平行四边形的一个锐角的顶点引另两条边的垂线，两垂线夹角为135°，则此四边形的四个角分别是（ ）A ．45°，135°，45°，135°B ．50°,135°，50°，135°C ．45°，45°，135°，135°D ．都不对 2．ABCD 的两条对角线BD AC ,交于O 点，则其中全等的三角形的对数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．53．平行四边形具有一般四边形不具有的性质是（ ）A ．内角和为360°B ．外角和为360°C ．不稳定D ．对角线互相平分 4．ABCD 中，︒=∠-∠30A B ，则D C B A ∠∠∠∠,,,的度数是（ ） A ．95°，85°，95°，85° B ．85°，95°，85°，95°C ．105°，75°，105°，75°D ．75°，105°，75°，105°5．如图，AE 、CF 分别是ABCD 的两条高，则图中全等的三角形共有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对 6．如图，ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，若6,8==BD AC ，则边AB 长的取值范围是（ ）A ．71<<AB B ．142<<ABC ．86<<ABD ．43<<AB7．如图，在四边形ABCD 中，2,32,90,135==︒=∠=∠︒=∠AD BC D B A ，则四边形ABCD 的面积是（ ）A ．24B ．34C ．4D ．6 8．如图，ABCD 中，AE 平分︒=∠∠100,B DAB ，则DAE ∠等于（ ）A ．100°B ．80°C ．60°D ．40°9．如图，在平行四边形ABCD 中，CE 是DCB ∠的平分线，F 是AB 的中点，4,6==BC AB ，则FB EF AE ::为（ ）A ．1：2：3B ．2：1：3C ．3：2：1D ．3：1：2参考答案：1．A 2．C 3．D 4．D 5．D 6．A 7．C 8．D 9．B填空题1．平行四边形的周长为40，两邻边的比为3：5，则四边长分别为________. 2．在ABCD 中，B A ∠=∠21，则._____=∠D3．在ABCD 中，两邻角的比为1：2，则各角的度数分别为_______. 4．在ABCD 中，AB CA AB BC ⊥=,2，则.___________,_____,=∠=∠=∠BCD CAD B5．已知ABCD 中，︒=∠+∠140C A ，则._____=∠B6．ABCD 中，AD BE ⊥，垂足分别是cm 5.4,cm 3,60,,==︒=∠CE AF FBE F E ，则.__________,______,_____,===∠=∠BC AB D C7．如图，已知O 是ABCD 的对角线交点，mm 14,mm 24,cm 38===AD BD AC ，那么OBC ∆的周长等于_______.参考答案： 1．225215225215，，， 2．120°3．60°，120°，60°，120° 4．60°，30°，120° 5．110°6．60°，120°，6cm ，9cm 7．45mm解答题1 如图，已知ABCD 和EBFD 的顶点A ，E ，F ，C 在同一条直线上，求证：CF AE =.2．如图，ABCD 的周长是26310+，AB 的长是35，AB DE ⊥于E ，CB DF ⊥交CB 的延长线于点F . DE 的长是3，求：（1）C ∠的大小；（2）DF 的长.3．已知：在ABCD 中，自钝角顶点A 作BC AF ⊥于F ，对角线BD 交AF 于E ，.2DC DE =求证.2CBD ABD ∠=∠4．如图，AB ，BD 是ABCD 的对角线，AC ，BD 交于O ，过O 的直线EF 交AB 于E ，交CD 于F .求证：OF OE =.5．已知：如图，ABCD 中，对角线BD AC ,交于点O ，作BC OF AD OE ⊥⊥,，垂足分别为E 、F ，求证：.OF OE =6．已知：如图，ABCD 中，AC DF AC BE ⊥⊥,，垂足分别为E 、F ， 求证：.DF BE =7．已知：如图，在ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，点E 、F 在AC 上，且.//DF BE求证：.DF BE =8．已知：如图，E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上的两个点，且.CF AE = 求证：.CDE ABF ∆≅∆9．如图，ABCD 中，对角线AC 长为cm 10，︒=∠30CAB ，AB 长为cm 6， 求ABCD 的面积.10．如图，ABCD 中，M AD DC ,2=为DC 的中点，求证：BM AM ⊥.11．在ABCD 中，BC AE ⊥于E ，BA DF ⊥交BA 的延长线于F . 若4,8,6===AE BC AB ，求AF DF ,的长.12．如图，ABCD 中，D A AD AB ∠∠==,,8,5的平分线分别交BC 于F E ,，求EF .13．ABCD 中，cm 12,cm 10,150==︒=∠BC AB B ，求ABCD 的面积.14．如图，ABCD 中，D 在AB 的中垂线DE 上，若ABCD 的周长为38cm ，ABD∆的周长比ABCD 的周长少10cm ，求ABCD 一组邻边的长.15．如图，在平行四边形ABCD 中，AE CF AE ,=与CF 交于点O ，连结OB . 求证：.COB AOB ∠=∠16．己知：如图，在ABCD 中，ABE ∆与CDF∆是等边三角形，且H G BD FH BD EG ,,,⊥⊥分别为垂足.求证：.FH EG =17．如图，ABCD 中，DQ CN BN AQ 、、、分别是、、ABC DAB ∠∠、BCD ∠CDA ∠的平分线，AQ 与BN 交于P ，CN 与DQ 交于M ，在不添加其他条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给出证明过程.（要求：推理过程要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件. ）参考答案：1．证明：连结BD ，交AC 于点O .∵ 四边形ABCD ，EBFD 是平行四边形. ∴ FO EO CO AO ==,.∴ FO CO EO AO -=-，即CF AE =. 2．解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC AD CD AB ==,. ∵ABCD 的周长是35,26310=+AB ，∴23)35226310(21=⨯-+==BC AD又∵AB DE ⊥于E ，3=DE ， ∴33)23(2222=-=-=DEAD AE .∴DE AE =，即ADE ∆为等腰直角三角形. ∴︒=∠=∠45C A .（2）∵CB DF ⊥交CB 的延长线于F . ∴DF DF BC ED AB ⋅=⨯=⨯=⋅=23335 ∴625=DF .3．取DE 的中点M ，连AM ，可证AB AM = 4．证法1：在ABCD 中，∵OC OA CD AB =,//，∴43,21∠=∠∠=∠. ∴CFO AEO ∆≅∆ ∴OF OE = 证法2：在ABCD 中 , ∵ OD OB CD AB =,// ∴ 87,65∠=∠∠=∠∴DFO BEO ∆≅∆， ∴OF OE =5．证COF AOE ∆≅∆或BOF DOE ∆≅∆ 6．证CDF ABE ∆≅∆或ADF CBE ∆≅∆ 7．证DOF BOE ∆≅∆8．证CDE ABF ∆≅∆9．解：过点C 作AB CH ⊥，交AB 的延长线于点H . ∵︒=∠30CAB ，∴5102121=⨯==AC CH∴)(30562cm CH AB =⨯=⋅=10．证ABC BMC DAB AMD ∠=∠∠=∠2121，11．538316==AF DF ，12．2 13．60cm 214．10cm ，9cm15．连CF AE S S S BF BE BCF ABCDABE ===∆∆ ,21.平行四边形，，∴点B 到CF AE ,的距离相等. ∴COB AOB ∠=∠.16．证FDH EBG ∆≅∆ 17．（1）由题设条件可得出：APB ∆是直角三角形. 证明如下：在平行四边形ABCD 中，.180,//︒=∠+∠∴ABC BAD BC AD又BN AQ 、 分别平分,ABC BAD ∠∠、.90︒=∠+∠∴ABP BAP APB ABP ∆∴︒=∠∴.90是直角三角形. （2）由题设条件可得出：.DMC BPA ∆≅∆证明略.。