(完整版)常微分方程初等解法及其求解技巧毕业论文

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常微分方程常见形式及解法

常微分方程常见形式及解法

常微分方程常依其阶数分类,阶数是指自变数导数的 最高阶数,最常见的二种为一阶微分方程及二阶微分 方程。例如以下的贝塞尔方程:
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(其中y为应变数)为二阶微分方程,其解为贝塞尔
函数。
常微分方程毕文彬
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常见例子
以下是常微分方程的一些例子,其中u为未知的函数,自变 数为x,c及ω均为常数。
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常微分方程毕文彬
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简易微分方程的求解方法
01
一阶线性常微分方程
02
二阶常系数齐次常微分方程
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常微分方程毕文彬
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01 一阶线性常微分方程
l对于一阶线性常微分方程,常用的方法是常数 变易法: l对于方程:
l可知其通解:
l然后将这个通解代回到原式中,即可求出C(x) 的值
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常微分方程毕文彬
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02 二阶常系数齐次常微分方程
l对于二阶常系数齐次常微分方程,常用 方法是求出其特征方程的解 l对于方程: l可知其通解: l其特征方程: l根据其特征方程,判断根的分布情况, 然后得到方程的通解 l一般的通解形式为(在r1=r2的情况下):
l(在的r1≠r2情况下): l(在共轭复数根的情况下):
l 非齐次一阶常系数线性微分方程:
l 齐次二阶线性微分方程:
l 描述谐振子的齐次二阶常系数线性微分方程:
l 非齐次一阶非线性微分方程:
l 描述长度为L的单摆的二阶非线性微分方程:
常微分方程毕文彬
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微分方程的解
l微分方程的解通常是一个函数表达式(含一个 或多个待定常数,由初始条件确定)。例如: ldy/dx=sinx, l的解是 ly=-cosx+C, l其中C是待定常数; l例如,如果知道 l y=f(π)=2, l则可推出 l C=1, l而可知 ly=-cosx+1,

常微分方程的初等解法

常微分方程的初等解法

常微分方程的初等解法1.常微分方程的基本概况1.1.定义:自变量﹑未知函数及函数的导数(或微分)组成的关系式,得到的便是微分方程,通过求解微分方程求出未知函数,自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。

1.2.研究对象:常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动﹑演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。

物理﹑化学﹑生物﹑工程﹑航空﹑航天﹑医学﹑经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程。

如牛顿运动规律、万有引力﹑能量守恒﹑人口发展规律﹑生态总群竞争﹑疾病传染﹑遗传基因变异﹑股票的涨伏趋势﹑利率的浮动﹑市场均衡价格的变化等。

对这些规律的描述﹑认识和分析就归结为对相应的常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学,而且越来越多的应用于社会科学各个领域。

1.3.特点:常微分方程的概念、解法、和其它理论很多,比如,方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。

下面就方程解的有关几点简述一下,以了解常微分方程的特点。

求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标,一旦求出通解的表达式,就容易从中得到问题所需要的特解。

也可以由通解的表达式,了解对某些参数的依赖情况,便于参数取值适宜,使它对应的解具有所需要的性能,还有助于进行关于解的其他研究。

1.4.应用:现在,常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用,自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。

这些问题都可以化为求常微分方程的解,或者化为研究解的性质的问题。

应该说,应用常微分方程理论已经取得了很大的成就,但是,它的现有理论也还远远不能满足需要,还有待于进一步的发展,使这门学科的理论更加完善。

2.一阶的常微分方程的初等解法一阶常微分的初等解法包括变量分离方程与变量变换﹑可以化为变量分离方程的类型﹑线性微分方程与常数变易法﹑恰当微分方程与积分因子,下面我们就具体分析一阶常微分方程的初等解法。

一阶常微分方程初等解法求解技巧

一阶常微分方程初等解法求解技巧
一阶常微分方程初 等解法求解技巧
姓名:韩毅 学号:41005231 专业:信息与计算科学
1、变量分离方程 2、可化为变量分离方程的 类型 3、线性微分方程与常数变 易法 4.恰当微分方程与积分因子 5、方程不能解出 6、解的稳定性、渐近性稳 定性和不稳定性
1、变量分离方程

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dy f ( x) ( y ) dx
3、线性微分方程与常数变易法

一阶线性微分方程
dy P( x) y Q( x) dx

通解
p ( x ) dx p ( x ) dx ye ( Q( x)e dx c )
4.恰当微分方程与积分因子

4.1 恰当微分方程 4.2、积分因子 4.3、积分因子求法的推广
致谢:
谢谢在我写论文期间 指导我论文的导师: 李老师,以及帮助过 我的同学。
结语:.
常微分方程是数学分析和基础数学的一 个重要组成部分,它的实践意义也很重 大,所以掌握它的解法也很重要,本文 系统的讨论了一阶常微分方程的几种特 殊类型的相应解法,在以后解常微分方 程的过程中更加得心应手,之后还讨论 了常微分方程解的稳定性,了解常微分 方程零解的渐进稳定性,不稳定性,通 过这一系列的讨论,让我对一阶常微分 方程的解有了更深刻的认识,对于以后 的求解有了很大的帮助。
a1 x b1 y c1 dy dx a2 x b2 y c2
技巧1:这类微分方程求解最为简单,实为把方程 化为变量可分离方程进行进一步的求解. 技巧2:这类方程与上面2的解法相似,只不过这 类方程是把一个多项式看成是一个整体,再把它 化为变量可分离方程进行求解. 技巧3:这类微分方程因为分式分子与分母的系数 均不成比例,故需要对分子与分母进行简单变换, 新设变量,通过新设变量,去掉分子与分母的常 数项,化为上述②的形式,进一步进行求解.

常微分方程的求解及其应用

常微分方程的求解及其应用

常微分方程的求解及其应用常微分方程是微积分中十分重要的一个分支。

通过解决微分方程,我们可以得到模型在不同情况下的变化,进而为实际问题的解决提供了关键性所在。

本文将介绍常微分方程的求解及其应用。

一、常微分方程的基础知识在介绍常微分方程的求解之前,我们先来了解一些常微分方程的基础知识。

常微分方程是指只有一个自变量的微分方程,即形如:$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$其中y是自变量,x是因变量,f(x,y)是一个已知函数。

上述方程也可以写成以下形式:$$y'=f(x,y)$$其中y'表示y对x的导数。

二、常微分方程的求解方法1.可分离变量法可分离变量法是常微分方程最常用的求解方法。

该方法的主要思想是将变量y和x分离,即将f(x,y)拆分为g(x)h(y),使得原方程可写成以下形式:$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$$然后将上式两边分别积分即可。

以求解一阶线性微分方程为例,其形式为:$$y'+p(x)y=q(x)$$首先,将右式中的q(x)移到左边,得到:$$y'+p(x)y-q(x)=0$$然后,应用一个分离变量法的思想,令p(x)=P'(x),即可将该方程写成:$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$然后,我们使用降阶的方法将该一阶方程转换为首阶方程。

具体来说,将y分离出来,得到:$$\frac{dy}{dx}=-P(x)y+Q(x)$$我们令u(x)=e^{\int P(x)dx},则上式可以写成:$$u(x)\frac{dy}{dx}-u(x)P(x)y=u(x)Q(x)$$将上式两边同时积分,得到:$$u(x)y=\int u(x)Q(x)dx+C$$其中C为常数,e^{\int P(x)dx}也可以写成常数K。

这样,我们就求解出了一阶线性微分方程。

2.参数化方法参数化方法是常微分方程的另一种常见求解方法。

该方法的核心是寻找一条曲线,使得函数y(x)可以表示为该曲线上某点的函数。

常微分方程初值问题的解法

常微分方程初值问题的解法

常微分方程初值问题的解法随着科技的不断进步和人类社会的不断发展,工程技术和科学技术的发展已经成为推动社会进步的重要力量,而数学则是工程技术和科学技术的基础和支撑,常微分方程作为数学分支的重要组成部分,对于理论研究和实际应用都有着深远的影响。

在实际工程中,解决常微分方程初值问题是数学理论在抽象式运算与工程实践之间的重要桥梁。

本文将介绍常微分方程初值问题的概念、求解方法以及实际应用。

一、常微分方程初值问题的概念常微分方程是指未知函数一阶或高阶微商与自变量和常数的关系式,常微分方程初值问题是指在初值u(x0)=u0已知的情况下,确定函数u(x)的解的问题。

在初值问题中,自变量是独立变量,取值范围可以是任意实数,因变量是函数值,是依赖自变量而实现的数值,常数是影响函数变化的一些固定参数。

常微分方程模型经常出现在工程技术模型中,一些实际应用场景可以通过建立数学模型来进行求解。

二、常微分方程初值问题的解法常微分方程初值问题的解法大致可以分为两种,一种是解析解法,即直接利用微积分学知识对方程进行求解;另一种是数值解法,即采用数值方法对方程进行数值计算求解。

下面将分别介绍这两种方法的解法原理。

1. 解析解法解析解法是指通过数学工具对函数解析表达式进行研究,以求出常微分方程的解。

该方法的先决条件是对方程具有严格的内部结构和特殊的形式,只有在特殊情况下才能找到一些特解。

这种方法的难点在于方程方程形式和初始条件可能存在巨大的数学难度,解析解的求解需要求解一些解析式的积分、微分和级数。

往往只有在一些特殊情况下,解析解法才能一般性的解决问题,因此该方法的适用场景相对较少。

2. 数值解法数值解法是指通过数值计算的方法,通过有限个代数运算和计算机模拟的方法得出方程的解。

数值解法的优点是具有广泛的适用性,可以有效地求解各种类型的常微分方程初值问题,使得无法通过解析方法求解的问题也可以得到解答。

数值解法可分为无条件稳定和条件稳定两种情况,前者是指方法不会出现不稳定结果的情况,而后者则保证了方法收敛性的同时,存在一定的条件限制。

初等解法 常微分方程 带初值的解公式

初等解法 常微分方程 带初值的解公式

初等解法常微分方程带初值的解公式
我们要找出一个常微分方程的初等解法,并给出带初值的解公式。

首先,我们需要明确什么是常微分方程。

常微分方程是描述一个函数关于时间变化的数学模型,形式为 y' = f(t, y)。

其中,y 是我们要找的函数,f 是已知的函数,t 是时间。

假设我们的常微分方程是 y' = f(t, y),并且给定初始条件 y(t0) = y0。

为了找到这个方程的解,我们可以使用初等解法。

初等解法通常包括分离变量法、变量代换法、积分因子法等。

对于给定的方程和初始条件,我们可以使用以下步骤来找到解:
1. 首先,尝试使用分离变量法,将方程转化为 dy/dt = g(t) - h(y) 的形式。

2. 然后,尝试使用变量代换法,将方程转化为更容易求解的形式。

3. 最后,使用积分因子法来求解方程。

通过以上步骤,我们可以找到常微分方程的解。

解的形式通常为 y = y(t),其中 y 是我们要找的函数,t 是时间。

根据初等解法,我们可以得到常微分方程 y' = f(t, y) 的解为:
y = y(t) = ∫f(t, y) dt + C
其中,C 是积分常数,y 是我们要找的函数,t 是时间。

这个解公式包含了初始条件 y(t0) = y0,因此我们可以使用这个公式来求解给定初始条件的常微分方程。

常微分方程初值问题解法

常微分方程初值问题解法

详细描述
幂级数解法是通过幂级数展开方法,将一阶 常微分方程转化为可求解的幂级数形式。这 种方法适用于一些具有特定形式的常微分方 程,通过幂级数展开方法,将原方程转化为 可求解的幂级数形式,然后找到方程的解。
03 初值问题的数值解法
欧拉方法
总结词
欧拉方法是求解常微分方程初值问题的一种简单而基础的数 值方法。
详细描述
欧拉方法基于微积分中的中点公式,通过在区间上取几个点 并近似求解微分方程,得到近似解。该方法简单易行,但精 度较低,且对于复杂的问题可能需要较大的步长才能得到满 意的结果。
龙格-库塔方法
总结词
龙格-库塔方法是求解常微分方程初值问题的一种高精度数值方法。
详细描述
龙格-库塔方法采用线性插值的思想,通过构造一系列的插值多项式来逼近微分方程的 解。这种方法精度较高,且适用于各种类型的微分方程,因此在科学计算和工程领域应
数值方法
随着计算机技术的发展,数值解法成为解决初值问题的主要手段,如欧拉法、龙格-库 塔法等,能够给出近似解并适用于各种复杂情况。
稳定性分析
对于解的存在性和稳定性,需要分析初值问题的解是否随时间演化而发散或收敛,这涉 及到解的稳定性分析。
未来研究方向与展望
高维问题
目前对高维初值问题的研究 还不够深入,未来可以探索 更有效的数值方法和理论分 析方法。
应用广泛
在各个领域中都有广泛的应用,如航天、航空、交通、经济等。
发展前景
随着科学技术的发展,常微分方程初值问题的求解方法和应用范围 将不断拓展,具有广阔的发展前景。
02 初值问题的解法
分离变量法
总结词
适用于具有特定形式的一阶常微分方程,通过将方程中的变量分离,转化为可求解的方程。

(完整版)二阶常微分方程边值问题的数值解法毕业论文

(完整版)二阶常微分方程边值问题的数值解法毕业论文

(完整版)二阶常微分方程边值问题的数值解法毕业论文二阶常微分方程边值问题的数值解法摘要求解微分方程数值解的方法是多种多样的,它本身已形成一个独立的研究方向,其要点是对微分方程定解问题进行离散化.本文以研究二阶常微分方程边值问题的数值解法为目标,综合所学相关知识和二阶常微分方程的相关理论,通过对此类方程的数值解法的研究,系统的复习并进一步加深对二阶常微分方成的数值解法的理解,为下一步更加深入的学习和研究奠定基础.对于二阶常微分方程的边值问题,我们总结了两种常用的数值方法:打靶法和有限差分法.在本文中我们主要探讨关于有限差分法的数值解法.构造差分格式主要有两种途径:基于数值积分的构造方法和基于Taylor展开的构造方法.后一种更为灵活,它在构造差分格式的同时还可以得到关于截断误差的估计.在本文中对差分方法列出了详细的计算步骤和Matlab程序代码,通过具体的算例对这种方法的优缺点进行了细致的比较.在第一章中,本文将系统地介绍二阶常微分方程和差分法的一些背景材料.在第二章中,本文将通过Taylor展开分别求得二阶常微分方程边值问题数值解的差分格式.在第三章中,在第二章的基础上利用Matlab求解具体算例,并进行误差分析.关键词:常微分方程,边值问题,差分法,Taylor展开,数值解The Numerical Solutions ofSecond-Order Ordinary Differential Equations with the Boundary Value ProblemsABSTRACTThe numerical solutions for solving differential equations are various. It formed an independent research branch. The key point is the discretization of the definite solution problems of differential equations. The goal of this paper is the numericalmethods for solving second-order ordinary differential equations with the boundary value problems. This paper introduces the mathematics knowledge with the theory of finite difference. Through solving the problems, reviewing what have been learned systematically and understanding the ideas and methods of the finite difference method in a deeper layer, we can establish a foundation for the future learning.For the second-order ordinary differential equations with the boundary value problems, we review two kinds of numerical methods commonly used for linear boundary value problems, i.e. shooting method and finite difference method. There are mainly two ways to create these finite difference methods: i.e. Taylor series expansion method and Numerical Integration. The later one is more flexible, because at the same time it can get the estimates of the truncation errors. We give the exact calculating steps and Matlab codes. Moreover, we compare the advantages and disadvantages in detail of these two methods through a specific numerical example. In the first chapter, we will introduce some backgrounds of the ordinary differential equations and the difference method. In the second chapter, we will obtain difference schemes of the numerical solutions of the Second-Order ordinary differential equations with the boundary value problems through the Taylor expansion. In the third chapter, we using Matlab tosolve the specific examples on the basis of the second chapter, and analyzing the errors.KEY WORDS: Ordinary Differential Equations, Boundary Value Problems, Finite Difference Method, Taylor Expansion, Numerical Solution毕业论文(设计)原创性声明本人所呈交的毕业论文(设计)是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。

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目录摘要 (I)关键词 (I)Abstract (I)Key words (I)1.前言 (1)2.常微分方程的求解方法 (1)2.1常微分方程变量可分离类型解法 (1)2.1.1直接可分离变量的微分方程 (3)2.1.2可化为变量分离方程 (3)2.2常数变易法 (7)2.2.1一阶线性非齐次微分方程的常数变易法 (7)2.2.2一阶非线性微分方程的常数变易法 (8)2.3积分因子法 (12)3.实例分析说明这几类方法间的联系及优劣 (14)3.1几个重要的变换技巧及实例 (14)3.1.1变为 (14)3.1.2分项组合法组合原则 (15)3.1.3积分因子选择 (15)参考文献 (16)致谢 (17)常微分方程初等解法及其求解技巧摘要常微分方程是微积分学的重要组成部分,广泛用于具体问题的研究中.求解常微分的问题,常常通过变量分离、两边积分,如果是高阶的则通过适当的变量代换,达到降阶的目的来解决问题.本文就是对不同类型的常微分方程的解法及其求解技巧的系统总结:先介绍求解常微分方程的几种初等解法,如变量分离法,常数变易法,积分因子法等,在学习过程中,通过对不同类型的方程求解,揭示常微分方程的求解规律.然后介绍几类方程求解中的变换技巧及规律,并通过实例来分析这几类方法之间的联系及优劣,从而能快速的找到最佳解法.关键词变量分离法常数变易法积分因子变换技巧Elementary Solution and Solving Skills of OrdinaryDifferential EquationAbstractOrdinary differential equations are important components of calculus and used extensively for the studies on specific issues. Ordinary differential equations are often resolved by the means of variable separation and both sides integral. If they are higher-order ones, we can reduce their order by proper variable substitution to solve this problem. This essay aims at concluding systematically the methods of different types of differential equations and its resoling skills. First of all, I’d would like to introduce several basic resolutions of differential equations, such as variable separation, constant threats, points factor, etc. In the process of learning, I’d like to reduce the law of resolving ordinary differential equations by resolving different types of equations. Then, we describe several equations resolutions and for transformation techniques and its laws,and we also analyze the advantages and disadvantages and connections by using the examples of these methods to be able to find the best solution quickly.Key wordsVariable separation; constant threats; points factor; transform techniques1.前言数学发展的历史告诉我们,300年来数学分析是数学的首要分支,而微分方程又是数学分析的心脏,它还是高等分析里大部分思想和理论的根源.人所共知,常微分方程从它产生的那天起, 就是研究自然界变化规律、研究人类社会结构、生态结构和工程技术问题的强有力工具.它的发展历史也是跟整个科学发展史大致同步的.现在,常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用,自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性质的研究、化学反应稳定性的研究等.这些问题都可以转化为求常微分方程的解,或者化为研究解的性质的问题.常微分方程具有广泛的社会实践性,无论是在各类学科领域上,还是在实际生产生活中,都有举足轻重的作用.它所涉及范围之广,致使前人对它做了很深入的研究.应用常微分方程理论已经取得了很大的成就,但是,它现有的理论也还远远不能满足需要,还有待进一步的发展,使这门学科的理论更加完善.微分方程是表达自然规律的一种自然的数学语言.它从生产实践与科学技术中产生,而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具.人们在探求物质世界某些规律的过程中,一般很难完全依靠实验观测认识到该规律,反而是依照某种规律存在的联系常常容易被我们捕捉到,而这种规律用数学语言表达出来,其结果往往形成一个微分方程,而一旦求出方程的解,其规律则一目了然.所以我们必须能够求出它的解.常微分方程的初等解法,既是常微分方程理论中有自身特色的部分,也与实际问题密切相关;恰当对初等解法进行归类,能正确而又敏捷地判断一个给定的方程属于何种类型,从而能按照所介绍的方法进行分解.总之,常微分方程属于数学分析或基础数学的一个组成部分,在整个数学大厦中占据这重要位置,学好常微分方程基本理论与方法对进一步学习研究数学理论与实际应用均非常重要,因此本文对常微分方程的初等解法进行了简要归纳和分析,主要讨论变量分离方程,非恰当微分方程,线性微分方程,同时结合具体的实例,展示了初等解法在解题过程中的应用及其求解过程中的变换技巧和律.2.常微分方程的求解方法2.1常微分方程变量可分离类型解法定义1 如果一阶微分方程具有形式,则该方程称为可分离变量微分方程.若设,则可将方程化为.即将两个变量分离在等式两端.其特点是:方程的一端只含有的函数与,另一端只含有的函数与.对于该类程,我们通常采用分离变量的方法来处理。

2.1.1直接可分离变量的微分方程形如(2.1)的方程称为变量分离方程.分别是的连续函数.例2.1 求解的通解.解将变量分离得,两边积分得,因而通解为(为任意常数).2.1.2可化为变量分离方程而有些方程虽然不是变量分离方程,但是可以通过适当的变量代换,转换为分离变量方程. (变量代换的思想)对于新方程应用分离变量的方法,求出通解后再带回原变量就可以得到其通解.如何寻求恰当的变量代换将给定的方程化为分离变量方程,没有一般的方法,但是对于一些特殊类型的方程,这种变量代换却有固定的形式.下面介绍几类这样的方程.类型1:齐次方程[2]形如(2.2)的方程,称为齐次微分方程,这里是的连续函数,对方程(2.1)做变量变换(2.3) 即,于是(2.4)将(2.3),(2.4)代入(2.2),则原方程变为,整理后,得到(2.5)方程(2.5)是一个变量分离方程.可按前面(2.1)的方法求解,然后代回原来的变量,便得到(2.2)的解.注 该类型还可以推广到形如. 例2.2 解方程. 解 原方程化为且,即,于是,令,即,将代入该方程,得,整理即有,分离变量,得,两边积分得,,将代回来,得, 所以(为任意常数),另外,即也是原方程的解,但此解包含于通解之中. 故方程的通解为类型2: 形如(2.6) 的方程也可以经变量变换化为变量分离方程,这里的均为常数. 做变量变换,这时有()u f x b x a dxdy y b x a dx du⋅⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅=----1111ααβαβαβα, 即.是变量分离方程.而当时,为其特殊形式.例2.3 求解方程.解因为,可以化为.于是,令(2.7)则, (2.8)将(2.8)代入(2.6)可以知道,这是一个分离变量方程.即,两边同时积分,得(2.9)再将(2.9)代入(2.7),得.所以,整理得,其中C为任意常数.类型3:形如()()0xgxyyf(2.10)dx=+dyxy的方程同样可已经变量替换化为变量分离方程.将(2.10)变形为(2.11)做变量替换(2.12)这时有(2.13)将(2.11)和(2.12)代入(2.13)中,得.由此,化为变量分离方程,两边积分并代回原来的变量,可求出方程的解.类型4:形如(2.14) 的方程是变量分离方程.做变量替换,则(2.15)代入原方程,得(2.16)(2.16)就是变量分离方程.类型5:形如(2.17)的方程是变量分离方程.做变量替换,则,有(2.18)将(2.18)代入(2.17)中,得,所以,原方程同样是变量可替换方程.类型6:形如(2.19)的方程是变量分离方程.做变量替换,则(2.20)代入原方程,得,是变量分离方程.类型7:形如(2.21)其中、满足)的方程.可令,方程(2.20)化为齐次方程, 事实上, 由于ααβαβαβααααbz x bz x by x dxdz+=+=+=+, 所以, 即, 再设,可化为变量分离变量.变量分离求解方程是一种相当简洁的解法,也是最基本的解法,求解变量可分离的微分方程,关键是在正确的分离变量与计算不定积分,要理解隐式解存在的根据是隐函数的求导法则,并应该注意不要遗漏可能存在的常数解.对于比较复杂的方程,需经过变量替换或等价变形使之转换成变量分离方程,最后利用变量分离求解,变量代换是求解一阶微分方程的一种重要方法,在一阶微分方程的初等解法中具有重要的作用. 2.2常数变易法常数变易法是求解一阶非齐次线性常微分方程的重要方法,即将常数变易为待定函数,通过求解待定函数的表达式进而求出原方程通解,常数变易法实际上也是一种变量变换方法,通过变换可将方程化为变量分离方程. 2.2.1一阶线性非齐次微分方程的常数变易法对于一阶线性齐次方程,它的通解为.从此出发,将通解中的任意常数换成待定函数,假设(2.22)为一阶线性非齐次方程(2.23)的解,为了确定,将(2.22)代入(2.23)的左边,得到.从而得到,即,积分后得到,其中为任意常数.把代入(2.22)中,得到方程(2.23)的通解为))(()()(c dx e x q e y dxx p dx x p +⎰⎰=⎰-.这种将常数变易为待定函数的方法,通常被称为常数变易法. 例2.4 解方程.解 方程变形为,令,则,代入变形方程为,利用常数变易法,其中,,则它的通解为,代回原来的变量,得到,即原方程的通解为.此外,方程还有解.2.2.2一阶非线性微分方程的常数变易法个别的一阶非线性微分方程,可用常数变易法求解,下面介绍四种形式非线性微分方程的常数变易法,包括齐次方程、贝努力方程和黎卡提方程等的常数变易法.1.齐次方程(2.24) 对这种方程的解法,在一般教科书中都是首先把它化为可分离变量方程,然后根据可分离变量方程的解法去解,在这里我们可以直接用常数变易法求解.根据常数变易法,先求出原方程“对应”的齐次方程的通解为,再令(2.25)则有[])()()()(x c g x c x c x x c +=+',即,即.两边积分就可以求出,然后再代入(2.25),便得原方程的通解.例2.5 求方程的通解.解 将方程改写为,可以求得它“对应”的齐次线性方程的通解为,再令,代入原方程可得,即,两边积分得(其中是任意常数),代回变量,得原方程的通解为(其中是任意常数).2.伯努利微分(2.26)其中,为的连续函数,.对于伯努利方程,在一般的教科书上都是先把它化为线性方程,然后根据线性方程的求解方法去解,在这里我们直接用常数变易法去求解.根据常数变易法,先求它“对应”的齐次线性方程的通解.令,代入(2.25)得,⎰+⎰=⎰+⎰'dxx p n n dxx p dxx p dxx p e x c x Q e x p x c e x p x c e x c )()()()()()()()()()()(, 即,所以2.3积分因子法把一阶线性微分方程(2.30)改写为如下的对称形式(2.31) 一般而言,(2.31)不是恰当方程,但以因子乘(2.31)两侧,得到方程dx x Q e ydx x p e dy e dx x p dx x p dx x p )()()()()(⎰=⎰-⎰---,即dx x Q e y e d dxx p dx x p )()()()(⎰=⎰-- .它是恰当方程,由此可直接积分,得到⎰+⎰=⎰--c dx e x Q y e dx x p dx x p )()()(,这样就求出了方程的通解))(()()(⎰+⎰⎰=-c dx e x Q e y dxx p dxx p (2.32)为任意常数,其中为积分因子,一般情况下,积分因子是很难寻求的,只有在很特殊的情况下才很容易求得.例2.9 求方程的积分因子. 解 原方程改写为,显然,,,.为使,只需取,.于是求的原方程的一个积分因子.总结:总之, 研究微分方程积分因子的实质是把求解微分方程问题转换为寻求积分因子的方法,这种方法体现了一种以退为进的创新思维,这种思维方式的转变还是值得我们学习的.3.实例分析说明这几类方法间的联系及优劣以上总结了常微分方程的几种解法,熟悉各种类型方程的解法,正确而又敏捷地判断一个给定的方程属于何种类型,从而按照所介绍的方法进行求解,这是最基本的要求.但是我们所遇到的方程未必都恰好是所介绍过的方程类型,因此要注意学习解题的技巧,善于根据方程的特点,引进恰当的变换,将方程化为能求解的新类型,从而求解.下面是几类方程之间的关系图:这样从不同角度,用不同方法解决了同一问题,更能深刻的体会到常微分方程几种解法之间的联系及其巧妙之处. 3.1几个重要的变换技巧及实例常微分方程的求解有众多方法,技巧性很强,有时能用不同方法解决同一问题,因此我们也要熟悉常微分方程几类初等解法之间的联系及优劣,从而能快速的找到最优解法.下面以例题来介绍“变换”的技巧和规律. 3.1.1变为若微分方程为(或可转换为),当较简单时,可变变为,此时方程变为,经此变换后方程可能是前面所介绍的某类方程.例3.1求方程的通解解 令,,因此原方程不属于前面所介绍的各类方程,但,所以,方程属于伯努利方程. 令,,方程变为. 解之得)(ln )(2c y y c dy eez x ydx ydx+=+⎰⎰==-.3.1.2分项组合法组合原则分项组合法的关键在于组合,组合的原则为:(1) 分项后,若存在只与和相关的项,或只与和相关的项,应为独立项,不与其它项组合.(2) 所有微分相关项组合成一项. 例3.2 求方程的通解. 解 求解过程如下(1) 拆项 dy yx dy ye dx y dy y x ye dx y y y 4343321)32(122-+=-+.(2) 组合与相关,应单独为一项,,, 和为全微分相关项,应组合成新的一项. (3)将方程转换成分组全微分方程 因为,,所以原方程转化为0)(3322=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x e d y x d de y y , 通解为.3.1.3积分因子选择总所周知,当微分方程为非恰当的时需借组积分因子将其转化为恰当的,全微分方程的标准格式为()()()()0,,123111=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∑∑∑---n i n i n i i i i y q x g y x f d y x u ,其中,,.通常称为积分因子,一般常微分方程需经过恒等变化才能转化成上式.有上式可直接得到方程的解为()()()c y q x g y x f n i n i n i iii=++∑∑∑---123111,.解常微分方程时,积分因子是重新组合后各项的公因子,解题关键仍在于组合.例3.3 求方程的通解.解 ()x y d x y d ydy x xydx dy y x 2222-+=-+,(1) 分项重新组合:因为独立微分项,应为单独一项;(2) 找积分因子:不是全微分方程.由于微分方程中前的函数是幂函数,但符号为负,前的函数是幂函数符号为正,故一定要使函数之一为负.因为y x d dx y x dy yx xydx dy x y 222222)2(1=+-=--,所以积分因子为.由此有0ln )2(1222=-=-+-y x d y d xydx dy x ydy y,所以通解为.归纳起来,在我们求解已解出导数的常微分方程时,常常根据所给方程的结构特点,设法做出适当变换,将其化为可分离变量的方程或其他易于求解的类型.在求解以微分形式出现的常微分方程是,应先考虑分项组合法.因此在解题过程中注重应用上述技巧将使得方程的解答相对比较简练快捷.参考文献[1] 王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松等.常微分方程(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2006:30-60.[2] 许敏伟,吴炳华. 变量代换法在求解微分方程问题中的应用[J]. 徐州教育学院学报,2008.9 71-72.[3] 焦洪田.一阶非线性微分方程的常数变易法[J].雁北师范学院学报, 1999(6):44-45. [4] 龚雅玲.求解微分方程的积分因子法[J].南昌教育学院学报, 2007, 22(1):31-35.[6]孙清华,李金兰,孙昊.常微分方程内容﹑方法与技巧[M] 武汉:华中大学科技出版社.2006:8-10.[7] 潘鹤鸣.几种特殊类型积分因子的求法及在解微分方程中的应用[J].巢湖学院学报,2003(3):18-22.[8] 邓小青.一类常微分方程初的等解法浅析[J].湖南商学院学报, 2008, 22(1):73-74. [9] 吴淼生.关于非恰当方程积分因子的求法[J].宜春师专学报,1994(2):15-23.致谢本次毕业论文是在老师的精心指导下完成的,在论文的构思和写作过程中,首先要感谢杨洁老师对我的细心指导.从杨老师身上,我不仅学到了治学的严谨精神,而且也学到了做人的态度,这让我受益匪浅.所以,在此我要向杨老师表示最衷心得感谢和最深厚的敬意.然后也要感谢张芳老师、申进老师以及大学期间的所有任课老师,感谢他们的教导与帮助.同时,我想感谢我的父母,感谢他们对我多年的养育之恩.他们给了我温暖的家和无私的爱,没有他们二十多年来的关心和支持,我无法想象自己能够顺利地完成学业.由于这次撰写毕业论文的时间较短,加上本人的水平有限,所以论文还有许多的不足之处.在此也恳请各位专家和教授给予批评与指导.最后向所有关心和帮助过我的老师和同学表示由衷的感谢.。

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