常微分方程第二章 一阶微分方程的初等解法
常微分方程第二章一阶微分方程的初等解法
一阶微分方程的初等解法， 一阶微分方程的初等解法，即把微分方程的求 解问题化为积分问题。 解问题化为积分问题。用数学方法经过有限次 代数运算和作有限次不定积分，将微分方程的 代数运算和作有限次不定积分， 解用初等函数或初等函数的待积式来表达， 解用初等函数或初等函数的待积式来表达，这 种方法，习惯上称为初等积分法或求积法。 种方法，习惯上称为初等积分法或求积法。能 初等积分法或求积法 用初等积分法求解的微分方程称为可积方程。 用初等积分法求解的微分方程称为可积方程。 可积方程
内江师范学院数学与信息科学学院 ( x , y ) 中几类可积方程的求解
同时， 问题 。同时，对一阶隐式方程和高阶方程中的某些特 殊可积函数类型的求解问题，也作适当的介绍。 殊可积函数类型的求解问题，也作适当的介绍。 主要内容
一、变量分离方程与变量替换 待定函数法) 二、线性方程与常系数变易法(待定函数法 线性方程与常系数变易法 待定函数法 三、恰当方程与积分因子（全微分方法） 恰当方程与积分因子（全微分方法） 四、一阶隐方程与参数表示 五、小结
转化” 这是数学学习的精髓。 基本思想：“变”或“转化”，这是数学学习的精髓。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
初等积分法的实质， 初等积分法的实质，就是尽可能设法把所遇到的 的实质 微分方程的求解问题转化为积分（求原函数） 微分方程的求解问题转化为积分（求原函数）问 转化为积分 题。应当指出，只有少数特殊类型的微分方程， 应当指出，只有少数特殊类型的微分方程， 才可能用初等积分法求解，在多数情况下，初等 才可能用初等积分法求解，在多数情况下， 积分法是不适用的。因此， 积分法是不适用的。因此，对于微分方程中常见 的类型在什么情况下能用初等积分法求解， 的类型在什么情况下能用初等积分法求解，是一 个很重要而又有实际意义的问题。 个很重要而又有实际意义的问题。
常微分方程第二章第一讲
2.1.2 可化为变量分离方程的类型
引言 有的微分方程从表面上看，不是可分 离变量的微分方程，但是，通过适当的变量替 换，就可以很容易地化为“变量分离方程”， 在这里，介绍两类这样的方程。 1. 齐次方程
1)方程的类型
定义
dy y g ( ) (2.5) 的方程，称为齐次 dx x 微分方程，这里 g (u ) 是 u 的连续函数。 14
dy ( y) f ( x)dx C (2.2)
可以证明这就是方程(2.1)的通解.
2)如果存在 y0， ( y0 ) 0, 则方程（ .1 使 2 ）还有特解
y y0
(**)
微分方程(2.1)的所有解为：式(2.2)和(**).
注意：积分常数C 的相对任意性。
7
3.变量分离方程的解题步骤
即 1 , 2 1 ,
则 ON OM ,
PM 而 tan 2 , OP ON
_____ _____
则有 y'
y x x y
2 2
.
上述方程为齐次微分 方程，可用变量变换 法求解。
27
小结 1.变量分离方程的形状 dy f ( x) ( y )或M 1 ( x) N1 ( y ) dx M 2 ( x) N 2 ( y ) dy 0 dx 2.变量分离方程的求解：分离变量法 步骤：分离变量，两边积分，检查是否有遗漏的特解
2
(*)
23
分离变量，得 dX 1 u du 2 X 1 2u u 两边积分，得 ~ 2 2 ln X ln | u 2u 1 | C
即X (u 2u 1) C1 (C1 e ), 此外容易验证 u 2 2u 1 0 亦为方程（*）的解，因此方程(*)的通解为 X 2 (u 2 2u 1) C1， 其中C1为任意常数。
一阶微分方程的初等解法
一阶微分方程的初等解法一阶微分方程的初等解法●一阶微分方程的初等解法：方程的通解能够用初等函数或初等函数的积分表示出来。
●一阶微分方程的一般形式y′=f(x,y)也可写成对称形式（全微分形式）P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0在对称形式方程中，变量x与y是对称的，它即可以看作是以x自变量，y为未知函数的方程dy=−P(x,y)() Q(x,y)≠0也可看作是x为自变量，y为未知函数的方程dy dx=−Q(x,y)P(x,y) P(x,y)≠0●一阶微分方程的常见形式：1.可分离变量的一阶微分方程和齐次方程定义：如果一阶微分方程具有形式dy dx=f(x)g(y)则该方程称为可分离变量微分方程。
不妨设g(y)≠0,则可将方程化为dy g(y)=f(x)dx例求微分方程xdy+2ydx=0，满足初始条件y|x=2=1的特解。
解：由∵ xdy+2ydx =0分离变量dy y=−2dx x两边积分lny=−2lnx+lnC ∴ y=Cx−2是通解。
将初始条件代入C=4，即∴ y=Cx−2为方程的一个特解。
例放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减少，这种现象成为衰变。
由于原子物理学告之，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比。
已知t=0时铀的含量为M0，求在衰变过程中含量M(t)随时间变化的规律。
解：铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数dM dt即dM dt=−λMλ(>0)是衰变常数。
初始条件M|t=0=M0分离变量dM M=−λdt于是M=Ce−λt是方程的通解代入初始条件M=M0e−λt齐次方程：如果一阶微分方程dy dx=f(x,y)中的函数f(x,y)可变形为φ�y x�即dy dx=φ�y x�则称为齐次方程。
求解步骤:变量代换法设u=y x，y=ux，得u+x du dx=φ(u)∴ xdu=(φ(u)−u)dx 可分离变量方程duφ(u)−u=dx x=>�duφ(u)−u= �dx x 得到齐次方程的通解。
常微分方程(王高雄)第三版 2.1教学教材
（I）齐次方程
ddyxg(yx)
(II) 形如 ddyxfaa21xxbb12yycc12的方,程 其中 a1,b1,c1,a2,b2,c2为任意.常数
(I) 形如
dyg(y) dx x
(2.5)
方程称为齐次方程, 这里g(u)是u的连续函. 数
求解方法: 10 作变量代换(引入新变量)u y ,方程化为
x
du g(u)u, (这里d由 yx于 duu)
dx x
dx dx
20 解以上的变量分离方程
30 变量还原.
例4 求解方程 xdy 2xyy dx
(x0)
解: 方程变形为 dy2 yy dx x x
(x0)
这是齐次方程, 令u y 代入得 x
x du u 2 uu 即 x du 2 u
dx
为 (1)的情形,可化为变量分离方程求解.
解的步骤:
10解方 程 aa21xx 组 bb1 2yy cc1200,
得解yx
,
20 作变换 YXyx,方程化为
dY a1Xb1Y dX a2Xb2Y
g
(
Y X
)
30再经变 u换 Y,将以上方程化离 为方 变程 量分
X
40 求解
50 变量还原
dx
10 分离变量, 当 (y)0时 ,将 (2.1)写成
dy f (x)dx,
(y)
这样变量就“分离”开了.
20 两边积分得
dy
(y)f(x)d xc (2.2)
1 的某一原函数 f (x)的某一原函数 ( y)
由 (2.2)所确定 y的 (x,c)就 函 (2 为 .数 1)的.解
例：
分离变量:
一阶常微分方程初等解法研究
一阶常微分方程初等解法研究1. 分离变量法：对于形如 dy/dx = f(x)g(y) 的方程，如果可以将变量 x 和 y 分离出来，即可写成 dx/f(x) = dy/g(y)，然后对两边同时积分即可得到方程的解。
2. 齐次方程：对于形如 dy/dx = f(y/x) 的方程，我们可以令 v = y/x，然后通过代换和分离变量的方式将其转化为一阶线性方程，进而求解。
3. 线性齐次方程：对于形如 dy/dx + p(x)y = 0 的方程，我们可以通过乘以一个积分因子来将其转化为可分离变量的形式，进而求解。
4. 一阶线性方程：对于形如 dy/dx + p(x)y = q(x) 的方程，可以通过乘以一个积分因子来将其转化为一阶线性常微分方程组的形式，然后通过求解常微分方程组得到原方程的解。
5. 可分离变量的方程：对于形如 dy/dx = f(x)g(y) 的方程，如果可以将变量 x 和 y 分离出来，即可写成 dx/f(x) = dy/g(y)，然后对两边同时积分即可得到方程的解。
以上是一阶常微分方程的初等解法研究。
这些方法广泛适用于各种类型的一阶常微分方程，能够通过简单的代数运算和积分求解方程，得到解析解。
但对于一些特殊类型的方程，可能需要借助其他方法求解，或者使用数值方法进行求解。
除了初等解法，还有一些其他的方法可以用于求解一阶常微分方程，如变量替换、常数变易法、特解叠加法等。
这些方法在特定情况下可以简化方程的求解过程，提高求解效率。
此外，对于更高阶的微分方程，可以利用一阶常微分方程的解法来进行逐步求解。
总结起来，一阶常微分方程初等解法的研究可以帮助我们理解微分方程的性质和求解方法，掌握这些解法对于解决实际问题和推导其他微分方程的解法都具有重要意义。
因此，研究一阶常微分方程的初等解法有着广泛的应用价值。
2. 初等积分法
z = y1−n
得
dz dx
=
(1 − n)P (x)z
+
(1 − n)Q(x)
(2.18)
这是关于z与x的一阶线性方程。利用线性方程的通解公式求出通解后，再将z = y1−n代
回，便得Bernoulli方程的通解。
注2 如果n > 0，则y = 0也是Bernoulli方程的一个解。
【例12】
求方程
第二章 初等积分法
本章，介绍一阶微分方程的初等积分法。所谓初等积分法，是将微分方程的求解问 题转化为积分问题的方法。
2.1 分离变量法
分离变量法是一种直接求解的方法，是解微分方程的重要方法之一。
定义
2.1
如果一阶微分方程
dy dx
= f (x, y)中的函数f (x, y)可以写成f (x, y) = g(x)h(y)
1 − y2
求解方法：变量替换法 令
u
=
y x
(2.4)
则u是x的函数。为了消去y，将(2.4)变形为y = xu，再两边同时对x 求导，得
dy dx
=
d(xu) dx
=
u
+
x
·
du dx
结合方程(2.3)，有 即
u
+x
·
du dx
=
f (u)
du dx
=
f (u) − u x
(2.5)
这是关于u与x的变量分离方程。按2.1的方法求解，然后再将
dy dx
=
f
(
k(a2x + b2y) + c1 (a2x + b2y) + c2
)
一阶常微分方程初等解法
dy 例6 求方程 x 1 ny e x 1 的通解， dx 这里n为常数. dy n y e x 1 . 解 将方程改写为 dx x 1 dy n y 0 的通解， 首先，求其次线性微分方程 dx x 1 为 y c x 1 .
容易验证，原方程的通解就是
u x, y c,
（ c 是任意常数）.
2 2 3
例7
3x 6 xy dx 6 x y 4 y dy 0 的通解.
2
解 这里 M 3x 6 xy , N 6 x y 4 y , 这时 M N 12 xy, 12 xy, 因此方程是恰当微分方程. y x 现在求 u, 是它同时满足如下两个方程： u u 3x 6 xy , 6 x y 4 y . x y 前一个式子，对 x 积分，得到 u x 3x y y ,
在上一张我们已经了解了微分方程的一些基本特点， 下面我们来看一个题来回忆一下微分方程：
dx x 例 求解方程 dy y .
解 可以变化为：ydy xdx ， y x c 两边积分，即得 2 2 2 ，
2 2
因而，通解为 x y c .
2 2
1.1变量分离方程
形如
2 2 2 3
2
2
2
3
3
2
2
将得到的方程对 y 求导，并使它满足上一个方程，即得 u d y 6x y 6x y 4 y , 于是 y dy d y 4 y , 积分后可得 y y , dy
2 2 3
4
3
u x 3x y y .
3 2 2 4
因此，方程的通解为
微分方程第2章习题解
∂( μ(xy)M ) = ∂( μ(xy)N )
∂y
∂x
即
μ(xy)(∂M − ∂N ) = N ∂μ(xy) − M ∂μ(xy)
∂y ∂x
∂x
∂y
µ(xy)(∂M − ∂N ) = ( yN − xM ) dµ(xy) ，
∂y ∂x
d (xy)
∂M ∂N −
∂y
∂x
dµ ( xy)
=
⋅
1
= g(xy) ，
µ(x, y) =
1
。
xM (x, y) + yN (x, y)
方法 3 用定义求积分因子。
由积分因子的定义，只需证明二元函数 µ(x, y) =
1
满足
xM (x, y) + yN (x, y)
∂(µM ) ∂(µN )
=
即可。为此，我们计算
∂y
∂x
∂( M )
∂(µM ) xM + yN
=
∂y
∂y
仅依赖于 x 的积分因子。 证 必要性。若方程 dy − f (x, y)dx = 0 为线性方程，则方程可写为
dy − (P(x) y + Q(x))dx = 0，令
M = −(P(x) y + Q(x)) , N = 1 ，
∂M ∂N
−
∂M
∂y
由题有 连续，
∂x = −P(x) ，
∂y
N
由定理 2-2 的结论 1 方程有积分因子 e∫ −P( x) dx ，仅依赖于 x 。
x m{[M (1,u) + N (1, u)u]dx + xN (1,u)du} = 0 ，
可以看出上方程为可分离变量的方程，只要给上式乘以积分因子
一阶微分方程的初等解法
第二章 一阶微分方程的初等解法研究对象一阶微分方程),(y x f dxdy =与0),,(='y y x F 的求解问题1 变量可分离方程 形如)()(y x f dxdy ϕ=的方程，称为变量可分离方程，其中)(x f 和)(y ϕ分别是y x ,的连续函数。
1）变量可分离方程的解法对于变量分离方程)()(y x f dxdy ϕ=， 分离变量得dx x f y dy )()(=ϕ， 再积分，得⎰⎰=dx x f y dy )()(ϕ，这就是方程的通解。
注意：在变量分离的过程中，必须保证0)(≠y ϕ。
但如果0)(=y ϕ有根为0y y =，则不难验证0y y =也是微分方程的解，有时无论怎样扩充通解的表达式中的任意常数，此解不包含在其中，解题时要另外补充上，不能遗漏。
2）可化为可分离变量的方程)a 齐次方程)(x y g dx dy =， 令xy u =，方程可化为分离变量的方程，x u u g dx du -=)(。
)b 分式线性方程 222111c y b x a c y b x a dx dy ++++=下面分三种情形来讨论：ⅰ）021==c c ，这时 yb x a y b x a dx dy 2211++= 为齐次方程。
ⅱ）02211≠b a b a 及02221≠+c c ，这时可作变换k y h x +=+=ηξ,，其中k h ,是线性代数方程⎩⎨⎧=++=++00222111c k b h a c k b h a 的唯一解，可将方程化为齐次方程 ηξηξξη2211b a b a d d ++=。
ⅲ）02211=b a b a 及02221≠+c c ，这时可设 λ==2121b b a a ，方程可化为222122)()(c y b x a c y b x a dx dy ++++=λ， 再令u y b x a =+22，则方程可进一步化为2122c u c u b a dx du +++=λ，这是一个变量可分离方程。
常微分方程167;2.1变量分离方程和变量变换
du g(u) u ,
dx
x
(这里由于dy x du u) dx dx
20 解以上的变量分离方程
2020/5/25
30 变量还原. 常微分方程
例4 求解方程 x dy 2 xy y dx
(x 0)
解: 方程变形为 dy 2 y y dx x x
(x 0)
这是齐次方程, 令u y 代入得 x
故方程的通解为
y ce p(x)dx , c为任常数.
2020/5/25
常微分方程
例4
求初值问题
dy dx
y2
c os x的特解.
y(0) 1
解: 先求方程dy y2 cosx的通解，
dx
当y 0时, 将变量分离 ,得
dy cos xdx y2
两边积分得: 1 sin x c,
y
令u a2x b2 y,则方程化为
f (a2x b2 y)
du dx
a2 b2
dy dx
a2 b2 f (u)
这就是变量分离方程
2020/5/25
常微分方程
3
a1 b1
a2 b2
0且c1与c2不同时为零的情形
则aa21xx
b1 b2
y y
c1 c2
0 , 0
代表xy平面两条相交的直线 ,解以上方程组得交点 (, ) (0,0).
(II) 形如
dy a1x b1 y c1 , dx a2 x b2 y c2
这里a1,b1, c1, a2 ,b2 , c2为常数.
的方程可经过变量变换化为变量分离方程.
分三种情况讨论
1
c1
c2 0的情形 dy a1x b1 y dx a2 x b2 y
一阶微分方程的初等解法总结
一阶微分方程的初等解法总结一、可分离变量方程：可分离变量方程是指方程中未知函数和其导数可分离的微分方程。
具体来说，即方程可以写成 f(y)dy = g(x)dx 的形式。
解此类型方程的关键是将两侧分离变量，然后进行积分。
二、齐次方程：齐次方程是指方程中未知函数和其导数在方程两边的次数相同。
具体来说，即方程可以写成 dy/dx = F(y/x) 的形式。
解此类型方程的关键是进行变量代换，令 y = vx，并进行化简和积分。
三、一阶线性方程：一阶线性方程是指方程中未知函数和其导数在方程两边的次数之和为1、具体来说，即方程可以写成 dy/dx + P(x)y = Q(x) 的形式。
解此类型方程的关键是利用积分因子的概念，将方程进行变形，并进行积分。
四、恰当微分方程：恰当微分方程是指方程的左右两边可以构成一个梯度的微分方程。
也就是说，方程可以写成 M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 的形式。
解此类型方程的关键是找到一个函数 f(x,y)，使得∂f/∂x = M(x,y) 和∂f/∂y =N(x,y)，然后对 f(x,y) 进行求解。
在实际的应用中，经常会遇到以上四种类型的微分方程。
解这些方程的关键是要找到适当的变换或技巧，将其转化为常微分方程，并进行解析求解。
此外，还有一些特殊的一阶微分方程的解法，如 Bernoulli 方程、Riccati 方程等，也需要掌握相应的解法。
除了以上几种类型的微分方程，还存在一些无解析解或无一般解的微分方程，需要通过数值方法或近似解法来求解。
常见的数值解法有 Euler 法、改进的 Euler 法、Runge-Kutta 法等。
总之，对一阶微分方程的初等解法总结如下：1.可分离变量方程：将两侧分离变量，然后进行积分；2.齐次方程：进行变量代换，化简并积分；3.一阶线性方程：利用积分因子的概念，进行变形并积分；4.恰当微分方程：找到恰当微分方程的条件，并求解梯度函数；5. 其他特殊类型的一阶微分方程：如 Bernoulli 方程、Riccati 方程等，需要掌握相应的解法；6.无解析解或无一般解的微分方程：需要利用数值方法或近似解法进行求解。
常微分方程教案
第二章 一阶微分方程的初等解法 §2.1 变量分离方程与变量变换 一、 变量分离方程定义：形如()()dy f x g y dx=(或1122()()()()0M x N y dx M x N y dy +=)的方程，称为变量分离方程，其中函数()f x 和()g y 分别是,x y 的连续函数.例如：dy xy dx =，x y dy e dx +=可以分离；dy x y dx =+，x y dy e e dx=+不可以分离 求解方法（步骤）：（1）如果()0g y ≠，变量分离方程可化为()()dy f x dx g y =（*） （2）两边积分,得到()()dy f x dx c g y =+⎰⎰，即()()G y F x c =+，求出通解（3）再由()0g y =，解出原方程的常数解解题原理：设()y x ϕ=是()()1d d y f x x g y =（*）的解，则有()()()1d d x x f x x g x ϕϕ'=⎡⎤⎣⎦，从而()()()1d d x x f x x g x ϕϕ'=⎡⎤⎣⎦⎰⎰，即()()1d d y f x x g y =⎰⎰， 设()()F x G y 、分别为()()1f x g y 、的原函数，则()()G y F x c =+（**）， 可见，满足式（*）的解可满足式（**）反之，若()y x =Φ是式（**）的解，则()()()()()d d F x y x f x g y x G y ''Φ==='， 即满足（**）的解也满足（*）例：求解方程dy x dx y=- 解：变量分离，得ydy xdx =-两边积分，得22222y x c =-+因而，通解为22x y c +=（c 是任意的正常数）或解出显式形式y =例：求解方程dy y dx x= 解：当0y ≠，变量分离，得dy dx y x=两边积分，得ln ,(c 0)dy dx c y x =+≠⎰⎰ 即ln ln ln ln ln y x c y cx =+=或解出y ，得原方程通解为(c 0)y cx =≠显然，0y =是原方程的一个常数解最后，方程的通解可表示为y cx =（c 是任意的常数）例：解方程2cos dy y x dx=，并求满足初始条件：当0x =时.1y =的特解. 解：当0y ≠，变量分离，得2cos dy xdx y = 两边积分，得1sin x c y -=+ 因而，通解为1sin y x c=-+（c 是任意的常数） 此外，方程还有解0y =.以0x =.1y =代入通解中，确定常数c ，得到1c =-因而，所求的特解为11sin y x =- 例：求方程()dy P x y dx=的通解，其中()P x 是x 的连续函数. 解：当0y ≠，变量分离，得到()dy P x dx y = 两边积分，得ln ()y P x dx c =+⎰%（c %是任意常数） 从而()P x dx c y e +⎰=%，即()P x dx c y e e ⎰=±%g 令c e c ±=%，得()P x dx y ce ⎰= （c 是非零任意常数）此外，0y =也是方程的解所以原方程的通解为()P x dx y ce ⎰=（c 是任意常数）注：此题结论中的积分号中不再含任意常数注意:1.常数c 的表示与取值.2.方程的通解不一定是方程的全部解,有些通解包含了方程的所有解，有些通解不能包含方程的所有解.此时，还应求出不含在通解中的其它解, 即将遗漏的解要弥补上.3.微分方程的通解表示的是一族曲线，而特解表示的是满足特定条件00()y x y =的一个解，表示的是一条过点00(,)x y 的曲线.思考题：求解方程dy dx = 二、可化为变量分离方程的类型（一）齐次方程定义：形如dy y g dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的方程，称为齐次方程，这里的()g u 是u 的连续函数. 例如：dy x y dx x y+=-，22()0x y dx xydy ++=是齐次方程 对齐次方程dy y g dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用变量替换化为变量分离方程再求解 解法步骤：令y u x =，即y ux =，于是dy du u x dx dx =+，代入原方程得()du x u g u dx += 整理后，得()du g u u dx x -=，是一个可分离变量方程，按照变量分离法求解 然后将所求的解代回原变量，所得的解便是原方程的解例：求解方程tan dy y y dx x x =+ 解：令,y dy du u u x x dx dx ==+则，代入原方程，得tan du x u u u dx +=+，即tan du u dx x= 当tan 0u ≠时，分离变量，得cot dx udu x = 两边积分，得ln sin ln u x c =+%，这里的c %是任意的常数整理后，得到sin u cx =当tan 0u =,即sin 0u =. 如果sin u cx =中允许0c =，则sin 0u =就包含在其中，这就是说，方程tan du u dx x=的通解为sin u cx = 代回原来的变量，得到原方程的通解为sin y cx x=例：求解方程(0)dy x y x dx +=<解：将方程改写为(0)dy y x dx x =<令,y dy du u u x x dx dx ==+则代入原方程，得du x dx=当0u ≠dx x = 两边积分，ln()x c =-+，即2[ln()](ln()0)u x c x c =-+-+>这里的c 是任意常数当0u =时，0u =也是du x dx=2[ln()]u x c =-+中 代回原来的变量，即得原方程的通解2[ln()](ln()0)y x x c x c =-+-+>及解0y =. （二）形如111222a xb yc dy dx a x b y c ++=++的方程经变量变换化为变量分离方程，这里的121212,,,,,a a b b c c 均为常数. 分三种情况来讨论 （1）111222a b c k a b c ===的情形 这时方程化为dy k dx = （2）111222a b c k a b c ==≠的情形 则方程可写成22122222()()()k a x b y c dy f a x b y dx a x b y c ++==+++ 令22a x b y u +=，则方程化为22()du a b f u dx =+，这是一个变量分离方程 （3）1122a b a b ≠的情形 11122200a xb yc a x b y c ++=⎧⎨++=⎩代表Oxy 平面上两条相交的直线，设交点为(,)αβ 令X x Y y αβ=-⎧⎨=-⎩ ，从而原方程变为1122a X b Y dY Y g dX a X b Y X +⎛⎫== ⎪+⎝⎭ 因此，得到这种情形求解的一般步骤如下：(1)解联立代数方程11122200a xb yc a x b y c ++=⎧⎨++=⎩，设其解为,x y αβ==(2)作变换X x Y y αβ=-⎧⎨=-⎩将方程化为齐次方程(3)再经变换Y u X =化为变量分离方程 (4)求解上述变量分离方程，最后代回原变量可得原方程的解例：求解方程13dy x y dx x y -+=+- 解：解方程组1030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩ 得1,2x y ==令12x X y Y =+⎧⎨=+⎩代入方程，则有dY X Y dX X Y -=+ （*） 再令Y u X =，即Y uX =，则上式化为2112dX u du X u u+=-- 两边积分，得22ln ln 21X u u c =-+-+%，因此22(21)c X u u e +-=±% 记1,c e c ±=%并代回原变量，就得2212Y XY X c +-=即221(2)2(1)(2)(1)y x y x c -+----= 此外，易验证 2210u u +-=即2220Y XY X +-=也就是（*）的解因此方程的通解为22262y xy x y x c +---=，其中c 为任意的常数.上述解题的方法和步骤也适用于比方程更一般的方程类型 111222a x b y c dy f dx a x b y c ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭，()dy f ax by c dx++，()()0y xy dx xg xy dy +=，2()dy x f xy dx =，2dy y xf dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭以及(,)()(,)()0M x y xdx ydy N x y xdy ydx ++-= （其中,M N 为,x y 的齐次函数，次数可以不相同）等一些方程类型，均可通过适当的变量变换化为变量分离方程.。
常微分方程
例１例２例３例４常微分方程第一章绪论在初等数学中，我们已经学过一些代数方程（如元个一次联立方程），并且用它们解决了一些有趣的应用问题，使我们初步体会到方程论（主要是设未知量、列方程和求解方程的方法）对于解决实际问题的重要性。
在解析几何与微积分中，我们又碰到一类不同的方程——方程的个数少于未知量的个数，也就是通常所说的函数方程。
例如，1） (设是自变量，则是未知函数)；2），（设是自变量，则和是两个未知函数）。
这类函数方程与开头所说的代数方程相比，在概念上进了一步——确定自变量与因变量之间的函数关系。
利用这类方程可以解决一类新的问题，例如某些轨迹问题和极值问题等。
本课程所要讲述的方程与刚才说的那种函数方程又不一样，它们除了自变量和未知函数外，还包含了未知函数的导数(即微商)。
例如:1）（是自变量，是未知函数，是未知函数对的导数。
）2）（是自变量，是未知函数，是未知函数对的导数等等）。
这种联系着自变量、未知函数以及未知函数的导数（或微分）的关系式,数学上称之为微分方程。
其中未知函数的导数或微分是不可缺少的。
下面我们通过几个具体的例子，粗略地介绍常微分方程的一些物理背景和方程的建立问题，并讲述一些最基本的概念。
第一节微分方程：某些物理过程的数学模型在这一节中列举几个简单的实际例子，说明怎样从实际问题列成微分方程的问题。
例子虽然简单，但是从中能够简明地诱导出微分方程的一些基本概念，成为进一步探讨其他较复杂问题的借鉴。
掌握好这些例子，会有助于增进我们分析问题的能力。
例1 物体冷却过程的数学模型将某物体放置于空气中，在时刻时，测量得它的温度为，10分钟后测得温度为。
我们要求决定此物体的温度和时间的关系，并计算20分钟后物体的温度。
这里我们假定空气的温度保持为。
解为了解决上述问题，需要了解有关热力学的一些基本规律。
例如，热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的；在一定的温度范围内（其中包括了上述问题的温度在内），一个物体的温度变化速度与这一物体的温度和其所在介质温度的差值成比例。
一阶微分方程的通解
一阶微分方程的通解各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢§2一阶微分方程的初等解法第二章一阶微分方程的初等解法§变量分离方程与变量替换§线性微分方程与常数变易法§恰当微分方程与积分因子一阶微分方程的初等解法：将微分方程的求解问题化为积分问题。
§变量分离方程与变量替换人口模型dt 求解即当是一个解. dy (2)当两边积分得ln y故一、变量分离方程dy 1.变量分离方程的形式f ( x)是x的连续函数是y的连续函数.dy 2. 变量分离方程的解法先分离变量当再两边积分( x )dxdyG( y)F(P31例1) 例1 求解方程2 yy 解: 先分离变量dy再两边积分,2说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解. 或例2 求解方程解: 先分离变量再两边积分,2dydx2解得故通解为其中c为任意正常数.例3 求解方程例2)解得3即即333解: (1)当是一个解. (a当先分离变量, y xdx 再两边积分解得即( k为任意正常数) 综上, 通解为y a e为任意常数)故通解为其中c为任意常数. ( 此式含分离变量时丢失的解y = 0 )(P33例4) 例4 求解方程( x ) y, 其中P ( x )是x 的连续函数. 解: (1)当是一个解. dy (2)当先分离变量再两边积分,解得ln ydy(P42习题1(2)) 练习解方程y2dx并求满足初值条件的特解. 解当0 : 是一个解.再两边积分解得即为任意常数) 1 综上, 通解为为任意常数), 另有解当先分离变量,P ( x )dx 即为任意非零常数综上, 通解为ce ( c为任意常数): 是P44页节中的一阶齐次线性微分方程.解(2): 将代入上述通解, 可确定1 故特解为1(P34例5) 二、可化为变量分离方程的类型y 1. 齐次微分方程y例5求解方程y dy u 解: 令则故uu du 是变量分离方程. 原方程化为即udyyy解法: 通过变量替换(令化为变量分离方程.:方程中不含未知函数及其导数的项称为自由项.当即是一个解.当先分离变量,u自由项＝0时：齐次自由项≠0时：非齐次再两边积分,解得即为非零任意常数)y 综上, 通解为为任意常数)(P35例6) 例6 求解方程解: 令则故u 原方程化为是变量分离方程.dy2. 形如的方程a b2dyc22常数) 原方程即当即是一个解.当先分离变量, 1 du令此时原方程化为是变量分离方程.只需令不全为与代表两条相交直线, 交点为通过坐标平移可将交点移到原点方程化为y2ab再两边积分,2解得即当(P38例例7 求解方程解: 解方程组x可得dY , 则令化为则式u 当因X , 则2是变量分离方程.原方程化为 d X X两边取微分, 得即故0为(*)式的解. 2 故0为原方程的解当先分离变量即再两边积分,2X再令则是变量分离方程.解得ln c 即X 2 (为非零任意常数) 代回可得为非零任意常数)即则式化为2思考与练习作业习题P42 1.(2)(4)(7)变量分离方程1.(5)2.(1)(3) 可化为变量分离方程§线性微分方程与常数变易法一、一阶线性微分方程 1. 一般形式y与y 之间是线性关系.自由项(与y,y 无关的项)3.一阶非齐次线性微分方程(1)形式解法第一步: 先求对应齐次微分方程的通解为任意常数) 第二步: 将常数c变易为函数c( x ), 代入原方程确定c( x )即可得到原非齐次方程的通解.令P ( x ) dxdy2. 一阶齐次线性微分方程(1)形式为原方程的解,(2)解法分离变量法.见P33例4.通解为P ( x )dxP ( x )dx dy dc( x ) P ( x )dx 则dx代入原方程可得积分得(c为任意常数)(P45例1) dy 例1 求方程的通解. 解: 第一步: 先求对应齐次微分方程的通解.求解方程当且0, 先分离变量再两边积分得对应齐次方程的通解为n得对应齐次方程的通解为dy第二步: 将常数c变易为函数c( x ), 代入原方程确定c( x )即可得到原非齐次方程的通解.dy令为原方程( x的解, dy dc( x ) 则dc( x ) 于是有dy积分得故所求通解为为任意常数: 也可直接套公式,P ( x )dxn也可直接套公式3练习解方程习题1(1))当先分离变量再两边积分dydy练习2t x 解方程习题1(2))解: 第一步: 求解方程dx解: 第一步: 求解方程x : dtx 当先分离变量x 再两边积分得对应齐次方程的通解为得对应齐次方程的通解为第二步: 令为原方程的解,dy dc( x ) dc(x ) 则于是有积分得c( x )dy第二步: 令为原方程的解,dt则3c( t )edc( t )于是有dc( t )5t 积分得故所求通解为为任意常数 2故所求通解为ce , c为任意常数(P46例2) dy 例2 求方程y 的通解注：方程变形为二、伯努利微分方程 1.形式常数当为一阶齐次线性微分方程或变量分离方程. 当为一阶齐次线性微分方程或变量分离方程.dy关于x为非齐次线性微分方程自变量为. yx 2x 解: 第一步: 求解方程 d dyx 2 当先分离变量dyx 2 再两边积分2.解法dy (1)方程两边除以y n , 化为方程Q( x )考虑是如何得到的: 令则 d x dx . dy dy得对应齐次方程的通解为x 2x 第二步: 令为原方程的解,2 dc( y ) x 1 则y 于是有积分得) 方程可化为一阶线性微分方程 d xdc( y )(3)利用常数变易法求得通解之后再变量还原.做变量替换即可化为一阶线性微分方程求解.故所求通解为c为任意常数例如求的通解dx 2 x 2 y此为伯努利方程第一步(P48例3) dy y 例3 求方程的通解. 解: 当是一个解.dy做变量替换则d x dxdyy2当第一步: 做变量替换z则得dx即于是有 d x x第二步一阶线性微分方程常数变易法, 可得第三步第二步: 解一阶线性微分方程 d x x常数变易法, 可得8代回原变量, 得通解x3 2c x 第三步: 变量代回, 得通解 1即通解为824思考与练习作业习题P48 1.(2)(3)(4)常数变易法1.(11)(15) 伯努利方程§恰当微分方程与积分因子一、恰当微分方程 1. 预备知识(1)设u( x , y )是连续可微的函数, 则u( x , y )的全微分为2.恰当微分方程(1)定义若有函数u( x , y ), 使得du( x, y )则称M为恰当微分方程. 通解为(2)若则c .通解为(2)需要考虑的问题如何判别M ( x ,是恰当微分方程? 若是恰当微分方程, 如何求u( x , y )?若不是恰当微分方程, 能否转化?3.方程为恰当微分方程的充要条件设M ( x , y ), N ( x, y )在某矩形域内是x, y的连续函数, 且具有连续的一阶偏导数, 则方程M ( x为恰当微分方程的充要条件为已知0为恰当微分方程, 则存在二元函数u( x, y ), 使于是有y已知于是有需要构造二元函数u( x , y ), 使u于是有u这里是y的任意可微函数下面选择使解于是有于是有与x无关故于是有4. 恰当微分方程的解法(1)不定积分法第一步: 判断方程是否为恰当方程.(若是则下一步)故为恰当微分方程.第二步: 求求第三步:由(2)方法 1 : 不定积分法u( x, y )因即故第四步: 通解为于是有故通解为y练习验证方程为恰当方程, 并求其通解. 解故为恰当微分方程.(2)分组凑微法采用“分项组合”的方法,把本身已构成全微分的项分出来,再把余的项凑成全微分.: 应熟记一些简单二元函数的全微分.(书P54)x2故因即于是有2cos y 故通解为c .(P54例2) 例2 求方程的通解. 解: 方法2 : 分组凑微法方程即d( x 3 ) 3 y 2d( x 2 ) 3 x 2d( y 2 )d( y 4 ) d(3 x 2 y 2 )(P55例3) x 1 例3 求方程的通解.1 x 解故为恰当微分方程.(2)方法1:不定积分法方程即于是有故通解为3 2 2 4故y ) 因即y x 于是有故通解为6(P55例3) 1 x 例3 求方程的通解.1 x 解(P60习题1(1)) 练习验证方程( x2为恰当方程, 并求其通解. 解故为恰当微分方程.故为恰当微分方程.(2)方法2:分组凑微法x 1 方程即xdy 即d x y y2 方程即于是有故通解为(2)方法1:不定积分法因即3 2 于是有故通解为故(P60习题1(1)) 练习验证方程( x2为恰当方程, 并求其通解. 解(3)线积分法《数学分析》中曲线积分与路径无关:P 在单连通域G上连续, 若函数P ( x , y ), Q( x, y )以及则下列命题等价对G内任意一点( x ,y ), 有曲线积分与路线无关,C ( A, B )故为恰当微分方程.(2)方法2:分组凑微法方程即方程即于是有故通解为只与位于G中的始点A与终点B有关在G内存在一个函数u( x , y ), 使: 判别恰当微分方程的充要条件, 其充分性也可使用线积分证明:已知(P53例1) 例4 求方程的通解. 解: 方法3 : 线积分法首先该方程为恰当微分方程.由于M ( x, y), N ( x, y)以及在全平面上连续,则存在函数u( x, y ), 使故N ( x , y)dy 为恰当方程. y 这时, 取则( x , y) ( x, y) u( x , y)y )dy,x0 y0x x0( x0 , y0 ) xy故取则Oy y0x( x, y)故恰当微分方程的通解为线积分法步骤: 第一步: 判断方程是否为恰当方程.(若是则下一步)第二步: 取如原点(0, 0), ( x, y) 求第三步: 通解为N ( x, y)dy, 0(0,0) xy 0y( x, y)3 2 2 43 x2Ox故通解为7(P55例3) 1 x 例5 求方程的通解. 解: 方法3 : 线积分法首先该方程为恰当微分方程.由于M ( x, y), N ( x, y)以及在除去的平面上连续,二、积分因子1. 需要考虑的问题如何判别M是恰当微分方程?已经解决, 利用充要条件故取则( x, y)若是恰当微分方程, 如何求u( x , y )? 已经解决, 三种方法(不定积分法, 分组凑微法, 线积分法). 若不是恰当微分方程, 能否转化?对一些非恰当方程, 乘上一个因子后, 可变为恰当方程.(0,1) xM ( x, y )dxy 1y 1O( x, y )故通解为x2.积分因子的定义如果存在连续可微函数使得( x , y ) 为恰当方程, 则称为方程的一个积分因子.1 , 1 均为方程的积分因子. 例6 验证12 , 12 , xy x y x2书例) y 证明(1)方程两边乘以验证12 , 得已化为恰当方程证明(2)方程两边乘以验证12 , 得 1已化为恰当方程.得证明(3)方程两边乘以验证0,已化为恰当方程方程两边同乘 1 , 得已化为恰当方程.P ( x ) dx 方程两边同乘e 得( x ) dx ,已化为恰当方程3.积分因子的确定是方程的积分因子的充要条件是:由求导的乘法法则, 得是方程的积分因子的充要条件是:若存在仅与x有关的积分因子上式即可变形为仅与x有关仅与x有关是方程的积分因子的充要条件是:(3)方程0有仅与x 有关的积分因子的充要条件是:仅与x有关, 即其积分因子为.8(4)方程0有仅与y 有关的积分因子的充要条件是:仅与y有关, 即例6 求方程的通解. 22解: 首先该方程不是恰当微分方程.y2其积分因子为.然后寻找积分因子.因为Nx故积分因子为y2 原方程两边乘e , 可得( 2 e xy2 利用恰当方程求解方法可得为任意常数.(P58例5) dy x 2 例7 求解方程dxdy 2 2 x 1 解: 因为故方程即(P55例6) 例8 求解方程解法1: 首先该方程不是恰当微分方程.但是注意到即其实是恰当方程的分组凑微法所以说即上式 d( x1 为积分因子12 y 1 , 可得原方程两边乘y 2 y y2 y2故积分因子为即故通解为为任意常数利用分组凑微法可得x d( y ) d(ln | y |)故通解为为任意常数. 另有解(P55例6) 例8 求解方程解法2: 方程可以变形为xdy y(P55例6) 例8 求解方程dy y 关于x 为一阶继续变形为线性非齐次方程y x x 第一步: 求解方程 d dy 先分离变量当y再两边积分y dy 继续变形为当dy解法3: 方程可以变形为y即dyy令则故原方程化为即1 dx 是变量分离方程.y当即是一个解.当两边积分uu2x得对应齐次方程的通解为即x x 第二步: 令为原方程的解, x 1 则d dy于是有积分得c(解得变量还原,即为任意常数)故所求通解为为任意常数另有解另有解9思考与练习作业习题P60 1.(1)用两种方法求解：不定积分法和分组凑微法2.(3)(4)(5)先判别是否恰当方程,然后选取相应做法思考与练习作业习题P69 1.(1)(3)10二阶及高阶微分方程的求解与应用二阶及高阶微分方程的求解与应用学姓班学号名级院2016xxxxxxxxxxxxx摘要：本人认为第三章略微复杂，在课上时感觉自己听懂了，但是课后发现又会出现好多问题。
常微分方程考研讲义第二章 一阶微分方程的初等解法
第二章、一阶微分方程的初等解法[教学目标]1. 理解变量分离方程以及可化为变量分离方程的类型（齐次方程），熟练掌握变量分离方程的解法。
2. 理解一阶线性微分方程的类型，熟练掌握常数变易法及伯努力方程的求解。
3. 理解恰当方程的类型，掌握恰当方程的解法及简单积分因子的求法。
4. 理解一阶隐式方程的可积类型，掌握隐式方程的参数解法。
[教学重难点] 重点是一阶微分方程的各类初等解法 ，难点是积分因子的求法以及隐式方程的解法。
[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 14学时[教学内容] 变量分离方程，齐次方程以及可化为变量分离方程类型，一阶线性微分方程及其常数变易法，伯努利方程，恰当方程及其积分因子法，隐式方程。
[考核目标]1.一阶微分方程的初等解法：变量分离法、一阶线性微分方程的常数变易法、恰当方程与积分因子法、一阶隐方程的参数解法。
2.会建立一阶微分方程并能求解。
§1 变量分离方程与变量变换1、 变量分离方程1) 变量分离方程形如 ()()dy f x g y dx= (或1122()()()()0M x N y dx M x N y dy +=) （2.1） 的方程，称为变量分离方程，其中函数()f x 和()g y 分别是,x y 的连续函数.2) 求解方法如果()0g y ≠，方程(2.1)可化为，()()dy f x dx g y = 这样变量就分离开了,两边积分,得到 ()()dy f x dx c g y =+⎰⎰ （2.2） 把,()()dy f x dx g y ⎰⎰分别理解为1,()()f x y ϕ的某一个原函数. 容易验证由（2.2）所确定的隐函数(,)y x c ϕ=满足方程（2.1）.因而（2.2）是（2.1）的通解.如果存在0y 使0()0g y =，可知0y y =也是（2.1）的解.可能它不包含在方程的通解（2.2）中，必须予以补上.3) 例题例1 求解方程dy x dx y=- 解 将变量分离，得到ydy xdx =-两边积分，即得 22222y x c =-+ 因而，通解为22x y c += 这里的c 是任意的正常数.或解出显式形式y =例2 解方程 2cos dy y x dx= 并求满足初始条件：当0x =时.1y =的特解.解 将变量分离，得到2cos dy xdx y = 两边积分，即得 1sin x c y -=+ 因而，通解为 1sin y x c=-+ 这里的c 是任意的常数.此外，方程还有解0y =.为确定所求的特解，以0x =.1y =代入通解中确定常数c ，得到 1c =-因而，所求的特解为 11sin y x =- 例3 求方程 ()dy P x y dx= （2.3） 的通解，其中()P x 是x 的连续函数.解 将变量分离，得到()dy P x dx y= 两边积分，即得 ln ()y P x dx c=+⎰ 这里的c是任意常数.由对数的定义，即有 ()P x dx c y e +⎰=即()P x dx c y e e ⎰=±令c e c ±= ，得到()P x dx y ce ⎰= （2.4）此外，0y =也是（2.3）的解.如果在（2.4）中允许0c =，则0y =也就包括在（2.4）中，因而，（2.3）的通解为（2.4），其中c 是任意常数.注: 1.常数c 的选取保证(2.2)式有意义.2.方程的通解不一定是方程的全部解,有些通解包含了方程的所有解，有些通解不能包含方程的所有解.此时，还应求出不含在通解中的其它解, 即将遗漏的解要弥补上.3.微分方程的通解表示的是一族曲线，而特解表示的是满足特定条件00()y x y =的一个解，表示的是一条过点00(,)x y 的曲线.2、可化为变量分离方程的类型1）.形如 dy y g dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2.5） 的方程，称为齐次方程，这里的()g u 是u 的连续函数.另外,ⅰ)对于方程 (,)(,)dy M x y dx N x y = 其中函数(,)M x y 和(,)N x y 都是x 和y 的m 次齐次函数，即对0t >有(,)(,)m M tx ty t M x y ≡ (,)(,)m N tx ty t N x y ≡ 事实上，取1t x=，则方程可改写成形如(2.5)的方程. (1,)(1,)(1,)(1,)m m y y x M M dy x x y y dx x N N x x== ⅱ)对方程 (,)dy f x y dx= 其中右端函数(,)f x y 是x 和y 的零次齐次函数，即对0t >有(,)(,)f tx ty f x y =则方程也可改写成形如(2.5)的方程(1,)dy y f dx x= 对齐次方程（2.5）利用变量替换可化为变量分离方程再求解.令y u x =（2.6） 即y ux =，于是 dy du x u dx dx=+ （2.7） 将（2.6）、（2.7）代入（2.5），则原方程变为 ()du xu g u dx += 整理后，得到 ()du g u u dx x-= （2.8） 方程（2.8）是一个可分离变量方程，按照变量分离法求解，然后将所求的解代回原变量，所得的解便是原方程（2.5）的解.例4 求解方程dy y y tg dx x x=+ 解 这是齐次方程，以,y dy du u x u x dx dx ==+代入，则原方程变为 du xu u tgu dx +=+ 即du tgu dx x= （2.9） 分离变量，即有 dx ctgudu x=两边积分，得到 ln sin ln u x c=+这里的c是任意的常数，整理后，得到 sin u cx = （2.10）此外，方程（2.9）还有解0tgu =,即sin 0u =. 如果（2.10）中允许0c =，则sin 0u =就包含在（2.10）中，这就是说，方程（2.9）的通解为（2.10）.代回原来的变量，得到原方程的通解为 sin ycx x =例5 求解方程(0).dyx y x dx +=<解 将方程改写为(0)dyyx dx x =< 这是齐次方程，以,ydyduu x u x dx dx ==+代入，则原方程变为dux dx =（2.11） 分离变量，得到dxx =两边积分，得到（2.11）的通解ln()x c =-+即2[ln()](ln()0)u x c x c =-+-+> (2.12) 这里的c 是任意常数.此外，（2.11）还有解0u =注意，此解不包括在通解（2.12）中.代回原来的变量，即得原方程的通解2[ln()](ln()0)y x x c x c =-+-+>及解0y =.原方程的通解还可表为2[ln()],ln()0,0,x x c x c y ⎧-+-+>=⎨⎩它定义于整个负半轴上. 注：1.对于齐次方程dy y g dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的求解方法关键的一步是令y u x =后，解出y ux =，再对两边求关于x 的导数得dy du u x dx dx =+，再将其代入齐次方程使方程变为关于,u x 的可分离方程.2.齐次方程也可以通过变换x v y=而化为变量分离方程.这时x vy =，再对两边求关于y 的导数得dx dv v y dy dy =+，将其代入齐次方程dx x f dy y ⎛⎫= ⎪⎝⎭使方程变为,v y 的可分离方程 小结：这一讲我们主要讲解了一阶微分方程的可分离变量法和齐次方程的dy y g dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭形状的解法.而这一齐次方程通过变量替换任然可化为可分离方程，因而，一定要熟练掌握可分离方程的解法.2）形如 111222a xb yc dy dx a x b y c ++=++ （2.13） 的方程经变量变换化为变量分离方程，这里的121212,,,,,a a b b c c 均为常数.分三种情况来讨论（1）120c c ==情形.这时方程（2.13）属齐次方程，有 1122a x b y dy y g dx a x b y x +⎛⎫== ⎪+⎝⎭此时，令y u x=，即可化为变量可分离方程. （2）11220a b a b =，即1122a b a b =的情形.设1122a b k a b ==，则方程可写成22122222()()()k a x b y c dy f a x b y dx a x b y c ++==+++ 令22a x b y u +=，则方程化为 22()du a b f u dx=+ 这是一变量分离方程.（3）1112220,a b c c a b ≠及不全为零的情形.这时方程（2.13）右端的分子、分母都是,x y 的一次式，因此11122200a xb yc a x b y c ++=⎧⎨++=⎩ （2.14） 代表xy 平面上两条相交的直线，设交点为(,)αβ.显然，0α≠或0β≠，否则必有120c c ==，这正是情形（1）（只需进行坐标平移，将坐标原点(0,0)移至(,)αβ就行了，若令X x Y y αβ=-⎧⎨=-⎩（2.15） 则（2.14）化为112200a X b Y a X b y +=⎧⎨+=⎩ 从而（2.13）变为 1122a X bY dY Y g dX a X b Y X +⎛⎫== ⎪+⎝⎭（2.16） 因此，得到这种情形求解的一般步骤如下：(1)解联立代数方程（2.14），设其解为,x y αβ==；(2)作变换（2.15）将方程化为齐次方程（2.16）；(3)再经变换Y u X=将（2.16）化为变量分离方程； (4)求解上述变量分离方程，最后代回原变量可得原方程（2.13）的解.上述解题的方法和步骤也适用于比方程（2.13）更一般的方程类型 111222a x b y c dy f dx a x b y c ⎛⎫+== ⎪++⎝⎭此外，诸如 ()dy f ax by c dx++ ()()0y xy dx xg xy dy += 2()dy x f xy dx =2dy y xf dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 以及(,)()(,)()0M x y xdx ydy N x y xdy ydx ++-=（其中,M N 为,x y 的齐次函数，次数可以不相同）等一些方程类型，均可通过适当的变量变换化为变量分离方程.例6 求解方程 13dy x y dx x y -+=+- （2.17） 解 解方程组 1030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得1, 2.x y == 令12x X y Y =+⎧⎨=+⎩ 代入方程（2.17），则有dY X Y dX X Y-=+ （2.18） 再令Y u X =即 Y uX = 则（2.18）化为2112dX u du X u u +=-- 两边积分，得 22ln ln 21X u u c=-+-+ 因此22(21)c X u u e +-=±记1,c e c ±= 并代回原变量，就得2212Y XY X c +-=221(2)2(1)(2)(1)y x y x c -+----=此外，易验证2210u u +-=即2220Y XY X +-=也就是（2.18）的解.因此方程（2.17）的通解为22262y xy x y x c +---=其中c 为任意的常数. 3、 应用举例例7 电容器的充电和放电如图（2.1）所示的R C -电路，开始时电容C 上没有电荷，电容两端的电压为零.把开关K 合上“1”后，电池E 就对电容C 充电，电容C 两端的电压C u 逐渐升高，经过相当时间后，电容充电完毕，再把开关K 合上“2”，这时电容就开始放电过程，现在要求找出充、放电过程中，电容C 两端的电压C u 随时间t 的变化规律.解 对于充电过程，由闭合回路的基尔霍夫第二定理，c u RI E += （2.19）对于电容C 充电时，电容上的电量Q 逐渐增多，根据C Q Cu =，得到 ()C C du dQ d I Cu C dt dt dt=== （2.20） 将（2.20）代入（2.19），得到c u 满足的微分方程 c c du RC u E dt+= （2.21） 这里R 、C 、E 都是常数.方程（2.21）属于变量分离方程.将（2.21）分离变量，得到C C du dt u E RC =-- 两边积分，得到 11ln C u E t c RC -=-+ 即 1112t t c RC RC C u E e ec e ---=±= 这里12c c e =±为任意常数.将初始条件：0t =时，0C u =代入，得到2c E =-.所以 1(1)t RC C u E e -=- （2.22）这就是R C -电路充电过程中电容C 两端的电压的变化规律.由（2.22）知道，电压C u 从零开始逐渐增大，且当t →+∞时，C u E →，在电工学中，通常称RC τ=为时间常数，当3t τ=时，0.95C u E =，就是说，经过3τ的时间后，电容C 上的电压已达到外加电压的95%.实用上，通常认为这时电容C 的充电过程已基本结束.易见充电结果C u E =.对于放电过程的讨论，可以类似地进行.例8 探照灯反射镜面的形状在制造探照灯的反射镜面时，总是要求将点光源射出的光线平行地射出去，以保证照灯有良好的方向性，试求反射镜面的几何形状.解 取光源所在处为坐标原点，而x 轴平行于光的反射方向，设所求曲面由曲线()0y f x z =⎧⎨=⎩ （2.23） 绕x 轴旋转而成，则求反射镜面的问题归结为求xy 平面上的曲线()y f x =的问题,仅考虑0y >的部分,过曲线()y f x =上任一点(,)M x y 作切线NT ，则由光的反射定律：入射角等于反射角，容易推知12αα=从而 OM ON =注意到 2dy MP tg dx NPα==及,,OP x MP y OM ===就得到函数()y f x =所应满足的微分方程式dy dx = （2.24） 这是齐次方程.由2.12知引入新变量x u y =可将它化为变量分离方程.再经直接积分即可求得方程的解.对于方齐次方程（2.24）也可以通过变换x v y =而化为变量分离方程也可由x yv =得dx dv v y dy dy=+代入（2.24）得到sgn dv v y v y dy+=+于是sgn dy y y =（2.25）积分（2.25）并代回原来变量，经化简整理，最后得2(2)y c c x =+ （2.26）其中c 为任意常数.（2.26）就是所求的平面曲线，它是抛物线，因此，反射镜面的形状为旋转抛物面22(2)y z c c x +=+ （2.27）小结: 本节我们主要讨论了一阶可分离微分方程和齐次微分方程的求解问题.将各种类型的求解步骤记清楚的同时要注意对解的讨论.§2 线性方程与常数变易法1、一阶线性微分方程 ()()()0dy a x b x y c x dx++= 在()0a x ≠的区间上可以写成 ()()dy P x y Q x dx=+ （2.28） 对于()a x 有零点的情形分别在()0a x ≠的相应区间上讨论.这里假设(),()P x Q x 在考虑的区间上是x 的连续函数.若()0Q x ≡，（2.28）变为 ()dy P x y dx= （2.3） 称为一阶齐线性方程.若()0Q x ≠，（2.28）称为一阶非齐线性方程.2、常数变易法（2.3）是变量分离方程，已在例3中求得它的通解为()P x dx y ce ⎰= （2.4）这里c 是任意的常数.下面讨论一阶非齐线性方程（2.28）的求解方法.方程(2.3)与方程(2.28)两者既有联系又有区别,设想它们的解也有一定的联系,在(2.4)中c 恒为常数时,它不可能是(2.28)的解,要使(2.28)具有形如(2.4)的解, c 不再是常数,将是x 的待定函数()c x ,为此令()()P x dx y c x e ⎰= （2.29）两边微分，得到 ()()()()()P x dx P x dx dy dc x e c x P x e dx dx ⎰⎰=+ （2.30） 将（2.29）、（2.30）代入（2.28），得到()()()()()()()()()P x dx P x dx P x dx dc x e c x P x e P x c x e Q x dx ⎰⎰⎰+=+ 即()()()P x dx dc x Q x e dx -⎰= 积分后得到()()()P x dx c x Q x e dx c -⎰=+⎰（2.31） 这里c是任意的常数..将（2.31）代入（2.29），得到()()()()()() =()P x dx P x dx P x dx P x dx P x dx y e Q x e dx c ce e Q x e dx --⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰+⎰⎰（2.32） 这就是方程（2.28）的通解.这种将常数变易为待定函数的方法，通常称为常数变易法.实际上常数变易法也是一种变量变换的方法.通过变换（2.29）可将方程（2.28）化为变量分离方程.注: 非齐线性方程的通解是它对应的齐线性方程的通解与它的某个特解之和.例1 求方程1(1)(1)x n dy x ny e x dx++-=+的通解，这里的n 为常数. 解 将方程改写为(1)1x n dy n y e x dx x -=++ （2.33） 先求对应的齐次方程01dy n y dx x -=+ 的通解，得(1)n y c x =+令 ()(1)n y c x x =+ （2.34）微分之，得到 ()(1)(1)()n dy dc x x n x c x dx dx=+++ （2.35） 以（2.34）、（2.35）代入（2.33），再积分，得()x c x e c=+ 将其代入公式（2.34），即得原方程的通解(1)()n x y x e c=++ 这里c是任意的常数. 例2 求方程22dy y dx x y =-的通解. 解 原方程改写为 2dx x y dy y=- （2.36） 把x 看作未知函数，y 看作自变量，这样，对于x 及dx dy 来说，方程（2.36）就是一个线性方程了.先求齐线性方程2dx x dy y= 的通解为2x cy = （2.37）令2()x c y y =,于是2()2()dx dc y y c y y dy dy=+ 代入（2.36），得到 ()ln c y y c=-+ 从而，原方程的通解为 2(ln )x y cy =- 这里c是任意的常数,另外0y =也是方程的解. 特别的，初值问题00()()()dy P x y Q x dx y x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩ 的解为0000()()()=()x x s x x x P d P d P d x x y cee Q s e ds ττττττ-⎰⎰⎰+⎰例3 试证 （1）一阶非齐线性方程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；（2）若()y y x =是（2.3）的非零解，而 ()y y x =是（2.28）的解，则（2.28）的通解可表为 ()()y cy x y x =+，其中c 为任意常数.（3）方程（2.3）任一解的常数倍或两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解.证 （1）设12,y y 是非齐线性方程的两个不同的解，则应满足方程使 1122()(1)()(2)dy py Q x dx dy py Q x dx=+=+ （1）—（2）有1212()()d y y p y y dx-=- 说明非齐线性方程任意两个解的差12y y -是对应的齐次线性方程的解.（2）因为 (()())()()(()()()()d cy x y x dy x d y x c p cy p y Q x p cy y Q x dx dx dx+=+=++=++ 故结论成立.（3）因为12121212()()()(),(),()d y y d y y d cy p cy p y y p y y dx dx dx+-==+=- 故结论成立. 3、Bernoulli 方程形如 ()()n dy P x y Q x y dx=+ （ 0,1n ≠） （2.38） 的方程，称为伯努利（Bernoulli ）方程，这里(),()P x Q x 为x 连续函数.利用变量变换可将伯努利方程化为线性方程来求解.事实上，对于0y ≠，用n y -乘（2.38）两边，得到 1()()nn dy y y P x Q x dx --=+ （2.39） 引入变量变换1n z y -= （2.40）从而 (1)n dz dy n y dx dx-=- （2.41） 将（2.40）、2.41）代入（2.39），得到 (1)()(1)()dz n P x z n Q x dx=-+- （2.42） 这是线性方程，用上面介绍的方法求得它的通解，然后再代回原来的变量，便得到（2.38）的通解.此外，当0n >时，方程还有解0y =.例4 求方程26dy y xy dx x=-的通解 解 这是2n =时的伯努利方程，令 1z y -=,得2dz dy y dx dx -=- 代入原方程得到 6dz z x dx x=-+ 这是线性方程，求得它的通解为 268c x z x =+ 代回原来的变量y ，得到 2618c x y x =+ 或者 688x x c y -= 这是原方程的通解. 此外，方程还有解0y =.例5 求方程331dy dx xy x y =+的解 解 将方程改写为 33dx yx y x dy=+ 这是一个自变量为y ，因变量为x 的伯努利方程.解法同上.例6 求方程23y dy e x dx x+=的通解 这个方程只要做一个变换，令,y y du dy u e e dx dx==，原方程改写为 22231du x u u dx x x=+便是伯努利方程.小结;这次主要讨论了一阶线性微分方程的解法.其核心思想是常数变易法.即将非齐线性方程对应的齐线性方程解的常数变易为待定函数，使其变易后的解函数代入非齐次线性方程，求出待定函数()c x ，求出非齐次方程的解.我们还讨论了伯努利方程，求解过程为，先变换，将原方程化为非齐线性方程，再求解.§3 恰当方程与积分因子1、恰当方程的定义将一阶微分方程(,)dy f x y dx = 写成微分的形式(,)0f x y dx dy -=把,x y 平等看待，对称形式的一阶微分方程的一般式为(,)(,)0M x y dx N x y dy += （2.43）假设(,),(,)M x y N x y 在某区域G 内是,x y 的连续函数，而且具有连续的一阶偏导数. 如果存在可微函数(,)u x y ,使得(,)(,)du M x y dx N x y dy =+ (2.44)即 (,), (,)u u M x y N x y x y∂∂==∂∂ (2.45) 则称方程(2.43)为恰当方程,或称全微分方程.在上述情形,方程(2.43)可写成(,)0du x y ≡,于是(,)u x y C ≡就是方程(2.43)的隐式通解,这里C 是任意常数(应使函数有意义).2、 恰当方程的判定准则定理1设(,),(,)M x y N x y 在某区域G 内连续可微,则方程(2.43)是恰当方程的充要条件是, (,)M N x y G y x∂∂=∈∂∂ (2.46) 而且当(2.46)成立时,相应的原函数可取为000(,)(,)(,)x y x y u x y M s y ds N x t dt =+⎰⎰ (2.47) 或者也可取为000(,)(,)(,)yxy x u x y N x t dt M s y ds =+⎰⎰ (2.48) 其中00(,)x y G ∈是任意取定的一点.证明 先证必要性.因为(2.43)是恰当方程,则有可微函数(,)u x y 满足(2.45),又知(,),(,)M x y N x y 是连续可微的,从而有 22M u u N y y x x y x∂∂∂∂===∂∂∂∂∂∂ 下面证明定理的充分性,即由条件(2.46),寻找函数(,)u x y ,使其适合方程(2.45).从(2.47)可知 (,)u N x y y∂=∂ 0000(,)(,) =(,)(,) =(,)(,)(,)y y y x y y y y u M x y N x t dt x x M x y N x t dt M x y M x t dt M x y ∂∂=+∂∂++=⎰⎰⎰ 即(2.45)成立,同理也可从(2.48)推出(2.45).例1. 解方程 21()02x xydx dy y++= (2.49)解 这里21, =()2x M xy N y=+,则y x M x N ==,所以(2.49)是恰当方程.因为N 于0y =处无意义,所以应分别在0y >和0y <区域上应用定理2.3,可按任意一条途径去求相应的原函数(,)u x y .先选取00(,)(0,1)x y =,代入公式(2.47)有 22011()ln 22xyx x u xdx dy y y y =++=+⎰⎰再选取00(,)(0,1)x y =-,代入公式(2.47)有22011()()ln()22xyx x u x dx dy y y y -=-++=+-⎰⎰可见不论0y >和0y <,都有2ln ||2x u y y =+故方程的通解为2ln ||2x y y C +=.3、恰当方程的解法上述定理已给出恰当方程的解法,下面给出恰当方程的另两种常用解法. 解法1. 已经验证方程为恰当方程,从(,)x u M x y =出发,有2(,)(,)()()2x u x y M x y dx y y y φφ≡+=+⎰ (2.50)其中()y φ为待定函数,再利用(,)y u N x y =,有221()22x x y yφ'+=+ 从而1()y y φ'=于是有 ()ln ||y y φ=只需要求出一个(,)u x y ,因而省略了积分常数.把它代入(2.50)便得方程的通解为2ln ||2x u y y C =+= 解法2. 分项组合的方法 对(2.49)式重新组合变为21()02x xydx dy dy y++=于是 2()ln ||02x d y d y +=从而得到方程的通解为 2ln ||2x y y C +=4、积分因子的定义及判别对于微分形式的微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy += （2.43）如果方程（2.43）不是恰当方程，而存在连续可微的函数(,)0x y μμ=≠，使得 (,)(,)0M x y dx N x y dy μμ+= (2.51) 为一恰当方程，即存在函数(,)v x y ，使(,)(,)M x y dx N x y dy dv μμ+≡则称(,)x y μ是方程（2.43）的积分因子.此时(,)v x y C =是(2.51)的通解，因而也就是（2.43）的通解.如果函数(,),(,)M x y N x y 和(,)x y μ都是连续可微的,则由恰当方程的判别准则知道, (,)x y μ为(2.43)积分因子的充要条件是M Ny xμμ∂∂=∂∂ 即 ()M N N M x y y xμμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂ (2.52) 5、积分因子的求法方程(2.52)的非零解总是存在的，但这是一个以μ为未知函数的一阶线性偏微分方程，求解很困难，我们只求某些特殊情形的积分因子. 定理2 设(,),(,)M M x y N N x y ==和(,)x y ϕϕ=在某区域内都是连续可微的，则方程（2.43） 有形如((,))x y μμϕ=的积分因子的充要条件是：函数(,)(,)(,)(,)(,)(,)y x x y M x y N x y N x y x y M x y x y ϕϕ-- （2.53）仅是(,)x y φ的函数，此外，如果（2.53）仅是(,)x y φ的函数((,))f f x y ϕ=，而()()G u f u du =⎰，则函数((,))G x y e ϕμ= （2.54） 就是方程（2.43）的积分因子.证明 因为如果方程（2.43）有积分因子()μμϕ=，则由（2.52）进一步知()()d M N N M d x y y xμϕϕμϕ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂ 即y x x yM N d d N M μϕμϕϕ-=-由()μμϕ=可知左端是ϕ的函数，可见右端y x x yM N N M ϕϕ--也是ϕ的函数，即()y x x yM N f N M ϕϕϕ-=-，于是，有()d f d μϕϕμ=， 从而 ()()f d G e e ϕϕϕμ⎰==反之，如果（2.53）仅是ϕ的函数，即()y x x yM N f N M ϕϕϕ-=-，则函数（2.54）是方程（2.52）的解.事实上，因为()()()()G x y y x NM N M f e M N x yϕμμϕϕϕμ∂∂-=-=-∂∂ 因此函数（2.54）的确是方程（2.43）的积分因子.为了方便应用这个定理，我们就若干特殊情形列简表如下：例2. 解22(31)()0y xy dx xy x dy -++-= 解 这里2231,M y xy N xy x =-+=-,注意y x M N y x -=-所以方程不是恰当的,但是1y xM N Nx-=它仅是依赖与x ，因此有积分因子1dxx ex μ⎰≡=给方程两边乘以因子x μ=得到2223(3)()0xy x y x dx x y x dy -++-=从而可得到隐式通解22321122u x y x y x C ≡-+= 例3. 解方程2()(1)0xy y dx xy y dy ++++=解 这里2,1M xy y N xy y =+=++方程不是恰当的.但是1y xM N My-=-- 它有仅依赖于y 的积分因子 11dyy eyμ-⎰≡=方程两边乘以积分因子1y μ=得到 1()(1)0x y dx x dy y++++=从而可得到隐式通解21ln ||2u x xy y y C ≡+++= 另外，还有特解0y =.它是用积分因子乘方程时丢失的解. 例4. 解方程 223(2)()0y x y dx xy x dy +++=解 这里2232,M y x y N xy x =+=+，不是恰当方程.设想方程有积分因子()x y αβμμ=，其中α，β是待定实数.于是2112111()(2)y xM N y x x N y M x y y x x y x yαβαβαβαβαβαβ----⋅=⋅=--+- 只须取3,2αβ==.由上述简表知原方程有积分因子32x y μ=从而容易求得其通解为：446313u x y x y C ≡+=六、积分因子的其他求法以例4为例，方程的积分因子也可以这样来求：把原方程改写为如下两组和的形式：223()(2)0y dx xydx x ydx x dy +++=前一组有积分因子11yμ=，并且 21()()y dx xydy d xy y+= 后一组有积分因子21xμ=，并且 2321(2)()x ydx x dy d x y x+= 设想原方程有积分因子211()()xy x y y xαβμ==其中α，β是待定实数.容易看出只须3,2αβ==，上述函数确实是积分因子，其实就是上面找到一个.例5. 解方程 1212()()()()0M x M y dx N x N y dy += 其中1M ，2M ，1N ，2N 均为连续函数.解 这里12()()M M x M y =，12()()N N x N y =.写成微商形式就形式上方程是变量可分离方程，若有0y 使得20()0M y =，则0y y =是此方程的解；若有0x 使得10()0N x =，则0x x =是此方程的解；若21()()0M y N x ≠，则有积分因子211()()M y N x μ=并且通解为1212()()()()M x N y u dx dy N x M y ≡+⎰⎰ 例6、试用积分因子法解线性方程（2.28）.解 将（2.28）改写为微分方程[()()]0P x y Q x dx dy +-= （2.55）这里()(),1M P x y Q x N =+=-，而()M Ny xP x N∂∂-∂∂=- 则线性方程只有与x 有关的积分因子()P x dxe μ-⎰=方程（2.55）两边乘以()P x dxe μ-⎰=，得()()()()()0P x dx P x dx P x dxxP x e ydx e dy Q x e dx ---⎰⎰⎰-+= （2.56） （2.56）为恰当方程，又分项分组法()()()()0P x dx P x dxd ye Q x e dx --⎰⎰-=因此方程的通解为()()()P x dx P x dxye Q x e dx c --⎰⎰-=⎰即()()[()]P x dxP x dxy e Q x e dx c -⎰⎰=+⎰与前面所求得的结果一样.注：积分因子一般不容易求得可以先从求特殊形状的积分因子开始，或者通过观察法进行“分项分组”法求得积分因子.§4 一阶隐方程与参数表示1、一阶隐方程一阶隐式微分方程的一般形式可表示为:(,,)0F x y y '=如果能解出(,)y f x y '=,则可化为显式形式,根据前面的知识求解. 例如方程2()()0y x y y xy ''-++=,可化为y x '=或y y '=但难以从方程中解出y ',或即使解出y ',而其形式比较复杂,则宜采用引进参数的方法求解.一般隐式方程分为以下四种类型:1) (,)y f x y '= 2) (,)x f y y '= 3) (,)0F x y '= 4)(,)0F y y '=2、求解方法Ⅰ）可以解出y （或）x 的方程1) 讨论形如(,)y f x y '= （2.57）的方程的解法，假设函数(,)f x y '有连续的偏导数,引进参数y p '=,则方程(2.57)变为 (,)y f x p = (2.58)将(2.58) 的两边对x 求导数,得到 f f dpp x y dx∂∂=+∂∂ (2.59) 方程(2.59)是关于,x p 的一阶微分方程,而且属于显式形式.若求得(2.59)的通解形式为(,)p x c ϕ=,将其代入(2.58),于是得到(2.57)通解为 (,(,))y f x x c ϕ=若求得(2.59)的通解形式为(,)x p c ψ=,于是得到(2.57)的参数形式的通解为(,)((,),)x p c y f p c p ψψ=⎧⎨=⎩其中p 为参数, c 是任意常数.若求得(2.59)的通解形式为(,,)0x p c Φ=,于是得到(2.57)的参数形式的通解为(,,)0(,)x p c y f x p Φ=⎧⎨=⎩其中p 为参数, c 是任意常数. 例1 求方程3()20dy dyx y dx dx+-= 的解 解 令dyp dx=,于是有32y p xp =+ (2.60) 两边对x 求导数,得到 2322dp dp p p x p dx dx=++ 即 2320p dp xdp pdx ++= 当0p ≠时,上式有积分因子p μ=,从而32320p dp xpdp p dx ++= 由此可知4234p xp c += 得到42223344c pc x p p p -==-将其代入(2.60),即得43342()c p y p p-=+故参数形式的通解为22334(0) 212c x p p p c y p p ⎧=-⎪⎪≠⎨⎪=-⎪⎩当0p =时,由(2.60)可知0y =也是方程的解.例2 求方程22()2dy dy x y xdx dx =-+的解. 解 令dy p dx =,得到222x y p xp =-+ (2.61) 两边对x 求导数,得到2dp dp p px p x dx dx =--+ 或 (2)(1)0dpp x dx--= 由10dpdx -=,解得p x c =+,于是得到方程的通解为222x y cx c =++ (2.62)由20p x -=,解得2xp =,于是得到方程的一个解为24x y = (2.63)特解(2.63)与通解(2.62)中的每一条积分曲线均相切,因此称为方程的奇解.2) 讨论形如(,)dyx f y dx= (2.64) 的方程的求解方法,方程(2.64)与方程(2.57)的求解方法完全类似,假定函数(,)f y y ' 有连续偏导数.引进参数dyp dx=,则(2.64) 变为 (,)x f y p = (2.65) 将(2.65) 的两边对y 求导数,得到1f f dpp y x dy∂∂=+∂∂ (2.66) 方程(2.66))是关于,y p 的一阶微分方程,而且属于显式形式.设其通解为 (,,)0y p c Φ= 则(2.64)的通解为(,,)0(,)y p c x f y p Φ=⎧⎨=⎩Ⅱ）不显含y （或）x 的方程 3) 讨论形如(,)0F x y '= (2.67) 的方程的解法.记dyp y dx'==,此时(,)0F x p =表示的是xp 平面上的一条曲线,设曲线用参数形式表示为()x t ϕ=,()p t ψ= (2.68) 由于dy pdx =,进而()()dy t t dt ψϕ'= 两边积分,得到()()y t t dt c ψϕ'=+⎰ 于是得到方程(2.67)参数形式的解为()()()x t y t t dt c ϕψϕ=⎧⎪⎨'=+⎪⎩⎰c 是任意常数.例3 求解方程3330x y xy ''+-=解 令y p tx '==,则由方程得 331t x t =+, 2331t p t =+ 于是 23339(12)(1)t t dy dt t -=+ 积分得到 23333329(12)314(1)2(1)t t t y dt c c t t -+=+=+++⎰ 故原方程参数形式的通解为： 3332313142(1)t x t t y c t ⎧=⎪+⎪⎨+⎪=+⎪+⎩4) 讨论形如(,)0F y y '= (2.69) 的方程,其解法与方程(2.67)的求解方法类似.记dy p y dx '==,此时(,)0F y p =表示的是yp 平面上的一条曲线,设曲线用参数形式表示为()y t ϕ=,()p t ψ= 由关系式dy pdx =可知 ()()t dt t dx ϕψ'=,于是0p ≠时,有 ()()t dx dt t ϕψ'=, ()()t x dt c t ϕψ'=+⎰ 故方程(2.69)的参数形式的通解 ()()()t x dt c t y t ϕψϕ'⎧=+⎪⎨⎪=⎩⎰c 是任意常数.此外,不难验证,若(,0)0F y =有实根y k =,则y k =也是方程的解. 例4 求解方程 22(1)(2)y y y ''-=-. 解 令2y yt '-=,则有222(1')y y y t -=由此可以得2'1y t =-，1y t t=+ 代入1dx dy p=，得到 222111(1)1dx dt dt t t t=-+=-- 积分,得到1x c t=+ 故原方程参数形式的通解为 11x c t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩其中c 是任意常数.此外, 当0y '=时原方程变为24y =,于是2y =±也是方程的解. 例5求解方程y '=解 令y p '=,则有p =,取,(,)22p tgt t ππ=∈-,则sin sec tgt x t t === 由dy pdx =得到cos sin dy tgt tdt tdt == 所以cos y t c =-+故原方程参数形式的通解为 sin cos x t y t c =⎧⎨=-+⎩其中c是任意常数.。
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du dx 1u2 x
两边积分得: ln u 1 u2 ln x ln c
整理后得 u 1 u2 cx
变量还原得 y 1 ( y )2 cx
x
x
du dx 1u2 x
最后由初始条件 y(1) 0,可定出c 1.
故初值问题的解为 y 1 (x2 1) 2
可2、化d为y 变a量1x 分b1 y离 方c1 法
由对数的定义有
y e p( x)dxc1
y e p( x)dxc1
即
y ec1e p(x)dx ce p(x)dx.
此外y 0也是方程的解,若在上式中充许c 0, 即知y 0也包括在上式中,
故方程的通解为
y ce p(x)dx , c为任常数.
例4
求初值问题
dy dx
y2
c os x的特解.
例：
y y sin x 0
并求满足条件的 y( ) 2 特解。
2
线性微分方程
例：
1、cos x dy y sin x cos2 x dx
二 伯努利(Bernoulli )方程
形如 dy p(x) y Q(x) yn dx
的方程,称为伯努利方程. 这里P(x), Q(x)为x的连续函数 。
故对应齐次方程通解为 y c(x 1)n
y
ce p(x)dx
ce
n dx x 1
c(x
1)n
其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解,
令y c(x)( x 1)n为原方程的通解 , 代入得
dc(x) (x 1)n nc(x)(x 1)n1 nc(x)(x 1)n1 ex (x 1)n dx
解的步骤:
10
解方程组aa21xx
b1 y b2 y
c1 c2
0 ,
0
得解
x y
,
20
作变换YX
x y
,
方程化为
dY dX
a1 X a2 X
b1Y b2Y
g(Y ) X
30 再经变换u Y , 将以上方程化为变量分离方程
X
40 求解
50 变量还原
例7
求微分方程
dy x y 1 dx x y 3
例如：
dy y tan y
dx x
x
求解方法: 10 作变量代换(引入新变量)u y ,方程化为
x
du g(u) u , (这里由于dy x du u)
dx x
dx dx
20 解以上的变量分离方程
30 变量还原.
例4 求解方程 x dy 2 xy y dx
(x 0)
解: 方程变形为 dy 2 y y dx x x
即
dc(x) ex dx
积分得
~
c(x) ex c
~
~
故通解为 y (x 1)n (ex c), c为任意常数
例2 求方程
dy y dx 2x y2 通解.
解: 原方程不是未知函数 y的线性方程 ，但将它改写为
dx 2x y2
dy y
即
dx 2 x y dy y
它是以x为未知函数 , y为自变量的线性方程 ，
x)e
p
(
x
) dx
dx
~
c)
e
3 x
dx
(
(4x2
1)e
3 dx
x dx
~
c)
x3(
(4x2
1)
1 x3
dx
~
c)
x3(4 ln
x
1 2x2
~
c)
x3 (
(4x2 1)
1
~
dx c)
x3
x3
ln
x4
x
~
c
x3
2
将初始条件 y(1) 1代入后得
~
c
3
2
故所给初值问题的通解为
y x3 ln x4 3 x3 x 22
y
yi ,
i 1,2,, k
例：
分离变量:
dy x2 y2 1
dx
dy y2 1
x 2 dx
两边积分:
dy
y2 1
x2dx C
arctan y 1 x3 C 3
注: 若存在y0,使( y0 ) 0,则y y0也是(2.1)的解,可能
它不包含在方程(2.2)的通解中,必须予以补上.
一 一阶线性微分方程的解法-----常数变易法
10 解对应的齐次方程 dy p(x) y (2)
dx 得对应齐次方程解
y ce p(x)dx, c为任意常数
20 常数变易法求解 dy P(x) y Q(x) (1) dx
(将常数c变为x的待定函数 c(x), 使它为(1)的解)
令y c(x)e p(x)dx为(1)的解,则
用G(y)，F(x)分别表示 1 及f (x) ( y)
的某一个原函数
(3) 方程（2.1）的通解为G(y)=F(x)+C
d变y 量f (分x) 离(方y) 法解法步骤
dx
如果存在 yi ，使得 ( yi ) 0, i 1,2,, k
分离变量方程（2.1）的解为
G( y) F (x) C
(x 0)
这是齐次方程, 令u y 代入得 x
x du u 2 u u 即 x du 2 u
dx
dx
将变量分离后得
du dx 2u x
两边积分得:
u ln(x) c
du dx 2u x
即 u (ln(x) c)2, ln(x) c 0, c为任意常数
代入原来变量,得原方程的通解为
a(x) dy b(x) y c(x) 0 dx
在a(x) 0的区间上可写成 dy P(x) y Q(x) (1) dx
这里假设P(x), Q(x)在考虑的区间上是 x的连续函数
若Q(x) 0,则(1)变为 dy P(x) y (2) dx
(2)称为一阶齐次线性方程
若Q(x) 0,则(1)称为一阶非齐线性方程
dy a1x b1 y c1 k(a2 x b2 y) c1 dx a2 x b2 y c2 a2 x b2 y c2
令u a2x b2 y,则方程化为
f (a2x b2 y)
du dx
a2 b2
dy dx
a2 b2 f (u)
这就是变量分离方程
3
a1 b1
a2 b2
的通解.
解:
解方程组
x y 1 0 x y 3 0
得x 1, y 2,
令X x 1,Y y 2代入方程得
dY X Y
1 Y X
dX X Y 1 Y
令u Y ,得 X du 1 u2
X
X
dX 1 u
将变量分离后得
(1 u)du dX
1 u2
X
两边积分得: arctanu 1 ln(1 u2 ) ln X c 2
例8 求微分方程
( y xy2 )dx (x x2 y)dy 0
的通解.
一阶线性微分方程
形如 y P(x) y Q(x) P(x),Q(x) 为 x 的已知函数
的方程称为一阶线性微分方程。
Q(x) 0 y P(x) y 称为齐次线性方程;
Q(x) 0 称为非齐次线性方程。
一阶线性微分方程
3 2
x1在x
0无意义,
故此解只在x 0或x 0之一中有意义.
此外还有解 y 0,这个解未包含在通解中 ,应补上.
例3 求微分方程
dy p(x) y dx
的通解, 其中p( x)是x的连续函数 .
解: 将变量分离后得 dy p(x)dx y
两边积分得: ln y p(x)dx c1
故方程的所有解为:
y
10 1 cex
, c为任常数,
和y
0.
ln y 10 y
x c1
例2
求微分方程
x
dy
3
y2
的通解.
dx
解:
分离变量后得
3
y 2dy
1
dx
1 x
两边积分得: 2y 2 ln x c1
整理后得通解为:
y
4பைடு நூலகம்
4,
(ln x c1)2 (ln cx )2
其中c
ec1
,由于函数y
0且c1与c2不同时为零的情形
则aa21xx
b1 b2
y y
c1 c2
0 , 0
代表xy平面两条相交的直线 ,解以上方程组得交点 (, ) (0,0).
X x 作变量代换(坐标变换) Y y ,
则方程化为 dY a1X b1Y dX a2 X b2Y
为 (1)的情形,可化为变量分离方程求解.
故其通解为
x e p( y)dy (
Q(
y
)e
p
(
y
) dy
dy
~
c)
e
2 y
dy
(
(
y)e
2 y
dy
dy
~
c)
~
y2 ( ln y c), c为任意常数 。
练习：求值问题 dy 3 y 4x2 1, dx x
的解.
y(1) 1
解: 先求原方程的通解
y e p(x)dx (
Q(
以y(0) 1代入通解,得c 1
所以所求的特解为:
y
1 sin x 1
1. 1 sin x
变举量例分离方法
例1 求解方程 dy x dx y
练习： dy y dx x
可化为变量可分化离为方变法量分离的类型