常微分方程的初等解法
常微分方程的解
常微分方程的解是千儿的首篇笔记啦(^_−)☆这一系列笔记大概是来梳理一下各种常微分方程的解法。
证明部分暂时不会作为重点。
这篇笔记将梳理常微分方程的基本解法。
笔记主要采用的教材是丁同仁老师的《常微分方程教程》。
〇、一些名词1、常微分方程凡是联系自变量 x ，这个自变量的未知函数 y = y(x)及其直到 n 阶导数在内的函数方程f(x,y,y',y'',...,y^{(n)}) = 0 叫做常微分方程，并称 n为常微分方程的阶。
如果在上式中， f 对 y,y',...,y^{(n)} 而言都是一次的，那么我们称该方程为线性常微分方程，否则称其为非线性的。
如果未知函数是多元的，那么称之为偏微分方程。
在学习常微分方程的过程中，需要辩证地看待常微分方程和偏微分方程的关系，并及时进行转换。
这样就可以灵活地求解常微分方程。
2、解和通解若函数 y = \varphi (x) 在区间 j 内连续，且存在直到n 阶的导数。
若把 \varphi (x) 及其对应的各阶导数代入原方程，得到关于 x 的恒等式，那么我们称 y = \varphi(x)是原方程在区间 j 上的一个解。
如果解 y = \varphi(x, c_1,c_2,...,c_n) 中包含 n 个独立的任意常数c_1,c_2,...,c_n ，那么我们称其为通解。
若解中不包含任意常数，那么我们称其为特解。
3、初等积分法初等积分法是用一些初等函数或它们的积分来表示微分方程的解的方法。
这也是我们在本节中讨论的方法。
一、恰当方程对于形如 p(x,y)\text dx + q(x,y)\text dy = 0 的方程，如果存在一个可微函数 \phi (x,y) 使得 \text d \phi (x,y) = p(x,y)\text dx = q(x,y) \text dy，那么我们称其为一个恰当方程，或全微分方程。
恰当方程有解的充要条件是 \frac {\partial p(x,y)} {\partial y} = \frac{ \partial q(x,y)}{\partial x} 。
常微分方程的常见解法
# 定义网格密度
arrows=LINE,
# 定义线段类型
axes=NORMAL);
# 定义坐标系类型
在MATLAB的向量场命令为 quiver(x,y,px,py)
回车后Maple就在1 1 的网格点上画出了向量场
44
的图形，并给出了过点(-2, 2) (-2 ,1) (-2,2) 的三
条积分曲线，见下图
M (x,y)co x s2xye , y
N (x,y)co x s2xye x
M(x,y)N(x,y)
y
x
所以方程为全微分方程。
由公式F (x ,y ) 0M (s ,y )d s 0N (0 ,s )d s
x(yc o ss 2 se y)d sy2 d s
0
0
ysinxx2ey2y
或
x
y
F (x ,y )x 0M (s ,y ) d s y 0N (x 0 ,s ) d
s
例：验证方程
( y c o s x 2 x e y ) d x ( s i n x x 2 e y 2 ) d y 0
是全微分方程，并求它的通解。 解：由于 M (x ,y ) y c o sx 2 x e yN (x ,y ) s in x x 2 e y 2
dx
令 zy1n,则 dz(1n)yndy
dx
dx
d z (1 n )P (x )z (1 n )Q (x )
d x
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解。
例 湖泊的污染
设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸， 这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20 立方米每小时. 开始湖中有水400000立方米. 河水 中流入不含盐酸的水是1000立方米每小时, 湖泊 中混合均匀的水的流出的速率是1000立方米每小 时,求该厂排污1年时, 湖泊水中盐酸的含量。 解: 设t时刻湖泊中所含盐酸的数量为 x ( t )
常微分方程小结
常微分方程小结姓名：邱俊铭学号：2010104506姓名：李林学号：2010104404姓名：曾治云学号: 2010104509初等积分法：变量分离形式一、一阶微分程：dy/dx=h(x)g(y) ，其中函数h(x)在区间(a,b)上连续，g(y)在区间(c,d)上连续且不等于0.经过分离变量得: dy/g(y)=h(x)dx 两端积分得：G(y)=H(x)+c ,其中c任意的常数且G(y)= ∧dy/g(y)，H(x)= ∧h(x)®x，所以G’(y)=1/g(y)不为0，故G存在逆函数，从而得到：y= (H(x)+c).例1. dy /dx=2xy解：当y ≠0时，分离变量后得：dy/ y =2xdx ,两边积分得：ln|y|=x^2+c1 ，此外y=0也是方程的解，从而方程的解为y=Ce^(x^2),g(y)=0,则y=是方程的解，其中C为任意的常数。
初值问题的解，即y取任意一个数得到的结果，代入通解中，求出具体y 值。
例2.y(1+x^2)dy=x(1+y^2)dx,y(0)=1;解：这是变量分离的方程，分离变量后得：y/(1+y^2)dy=x/(1+x^2),两边积分得其通解为：1+y^2=C(1+x^2),其中C为任意常数，代入初值条件得：C=2.。
故所给的初值问题的解为y=.二、常数变易法一阶非线性方程：dy/dx=a(x)y+f(x).（1）当f(x)=0时，方程为齐次线性方程，解法和上述的一样，通解为y=C ,C为任意的常数。
现在求齐次线性方程的通解，常数C换成x的函数c(x),得到：y= c(x)，对x 求导，然后代入（1）中化简，两端积分，得：y=C +f x e ..例3. dy/dx-2xy=x.解：dy/dx=2xy+x ，这里a(x)=2x,f(x).从而可求出原方程的通解为： Y=exp(2 ∧x ®x)(c+ ∧xexp(-2∧x ®x)®x)=-1/2+ce^(x^2),即-1/2+ce^(x^2)，其中c 为任意的常数。
二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(K12教育文档)
二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改)二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改)二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧郑燕，王俊霞太原师范学院数学系，山西晋中，030619摘要:本文总结介绍了三类二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧,分别是:特征根法;常数变易法;比较系数法.同时结合例题进行具体讲解.虽然当今社会关于二阶常微分方程初等解法求解技巧的研究已经获得了很大的成就，但它的已有理论仍然得不到求知者的满足，需要大家进一步发展,使之更加完善。
关键词：二阶常系数齐次线性微分方程；特征根法;常数变易法；比较系数法;二阶常系数非齐次线性微分方程.1。
预备知识（1.1）其中以及f(t）都是连续函数并且区间是a t b。
如果,则方程（1）就变成了（1.2）我们形如方程（1.2）的方程叫做二阶齐次线性微分方程,把方程(1。
1)叫做二阶非齐次线性微分方程.并且把方程（1.1)叫做方程（1.2）对应的齐次线性微分方程。
2.求解方法技巧2.1常数变易法常数变易法是将常数看作是的待定函数，然后求出非齐次线性方程的通解。
求解过程如下：设，是方程(1.2)的基本解组，则(2.1.1）是方程（1。
2）的通解。
将常数看作是t的待定函数，那么方程（2。
常微分方程的初等解法与求解技巧
山西师范大学本科毕业论文（设计）常微分方程的初等解法与求解技巧姓名张娟院系数学与计算机科学学院专业信息与计算科学班级12510201学号1251020126指导教师王晓锋答辩日期成绩常微分方程的初等解法与求解技巧内容摘要常微分方程在数学中发挥着举足轻重的作用，同时它的应用在日常生活里随处可见，因此掌握常微分方程的初等解法与求解技巧是非常必要的.本论文主要论述了其发展、初等解法与求解技巧，前者主要有变量分离、积分因子、一阶隐式微分方程的参数表示，通过举例从中总结出其求解技巧，目的是掌握其求解技巧.【关键词】变量分离一阶隐式微分方程积分因子求解技巧Elementary Solution and Solving Skills of OrdinaryDifferential EquationAbstractOrdinary differential equations take up significant position in mathematics, and at the same time, the application of it can be seen everywhere in our daily life, therefore, it’s necessary to grasp the elementary solution of ordinary differential equations and solving skills. This paper mainly introduced the definition of ordinary differential equations, elementary solution method and solving skills, the former mainly included the separation of variables, integral factor, a parameter-order differential equations implicit representation, by way of examples to sum up their solving skills, the purpose is to master the skills to solve.【Key Words】the separation of variables the first order implicit differential equation integrating factor solution techniques目录1.引论 ............................................................................................................................. 1 2.变量分离方程与变量变换 .. (1)2.1变量分离方程的解法 .............................................................................................. 1 2.2变量分离方程的举例 .............................................................................................. 2 2.3变量分离方程的几种类型 .. (2)3.线性微分方程和常数变易法 (6)3.1线性微分方程与常数变易法 ................................................................................. 6 3.2伯努利微分方程 .. (8)4.恰当微分方程与积分因子 (9)4.1恰当微分方程 ......................................................................................................... 9 4.2积分因子 (11)5.一阶隐式微分方程与参数表示 (13)5.1一阶隐式微分方程的主要类型 (13)6.常微分方程的若干求解技巧 (18)6.1将一阶微分方程dx dy变为dydx 的形式 ................................................................... 18 6.2分项组合 (19)6.3积分因子的选择 (20)7.总结 ........................................................................................................................... 21 参考文献 ........................................................................................ 错误!未定义书签。
常微分方程初等积分法解法研究(二)伯努利方程
例题： 求解方程：
方程两端同除以 ：令有：ຫໍສະໝຸດ 利用常数变易法求出其通解为：
代换
得原方程通解为：
例题：
解以下微分方程：
两边除以 ，得：
利用分离变量法，可得：
他可以用积分因子方法求解：
两边乘以
，得：
等式的左边是
的导数，两边积分
于是：
伯努利微分方程
伯努利微分方程是形如 的常微分 方程。其中 、 为 的连续函数， 为常数 且 0,1。
求解方法：变量替换法
利用变量替换法可将伯努利方程化为线性方程。
步骤如下： ⑴ 方程两端同除以 ，得：
⑵令
即可化为一阶线性微分方程：
⑶ 通过常数变易法求得一阶线性非齐次方程 的通解。
⑷ 最后经变量代换得原方程的通解：
常微分方程第二章 一阶微分方程的初等解法
du dx 1u2 x
两边积分得: ln u 1 u2 ln x ln c
整理后得 u 1 u2 cx
变量还原得 y 1 ( y )2 cx
x
x
du dx 1u2 x
最后由初始条件 y(1) 0,可定出c 1.
故初值问题的解为 y 1 (x2 1) 2
可2、化d为y 变a量1x 分b1 y离 方c1 法
由对数的定义有
y e p( x)dxc1
y e p( x)dxc1
即
y ec1e p(x)dx ce p(x)dx.
此外y 0也是方程的解,若在上式中充许c 0, 即知y 0也包括在上式中,
故方程的通解为
y ce p(x)dx , c为任常数.
例4
求初值问题
dy dx
y2
c os x的特解.
例：
y y sin x 0
并求满足条件的 y( ) 2 特解。
2
线性微分方程
例：
1、cos x dy y sin x cos2 x dx
二 伯努利(Bernoulli )方程
形如 dy p(x) y Q(x) yn dx
的方程,称为伯努利方程. 这里P(x), Q(x)为x的连续函数 。
故对应齐次方程通解为 y c(x 1)n
y
ce p(x)dx
ce
n dx x 1
c(x
1)n
其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解,
令y c(x)( x 1)n为原方程的通解 , 代入得
dc(x) (x 1)n nc(x)(x 1)n1 nc(x)(x 1)n1 ex (x 1)n dx
解的步骤:
10
解方程组aa21xx
一阶常微分方程初等解法
dy 例6 求方程 x 1 ny e x 1 的通解， dx 这里n为常数. dy n y e x 1 . 解 将方程改写为 dx x 1 dy n y 0 的通解， 首先，求其次线性微分方程 dx x 1 为 y c x 1 .
容易验证，原方程的通解就是
u x, y c,
（ c 是任意常数）.
2 2 3
例7
3x 6 xy dx 6 x y 4 y dy 0 的通解.
2
解 这里 M 3x 6 xy , N 6 x y 4 y , 这时 M N 12 xy, 12 xy, 因此方程是恰当微分方程. y x 现在求 u, 是它同时满足如下两个方程： u u 3x 6 xy , 6 x y 4 y . x y 前一个式子，对 x 积分，得到 u x 3x y y ,
在上一张我们已经了解了微分方程的一些基本特点， 下面我们来看一个题来回忆一下微分方程：
dx x 例 求解方程 dy y .
解 可以变化为：ydy xdx ， y x c 两边积分，即得 2 2 2 ，
2 2
因而，通解为 x y c .
2 2
1.1变量分离方程
形如
2 2 2 3
2
2
2
3
3
2
2
将得到的方程对 y 求导，并使它满足上一个方程，即得 u d y 6x y 6x y 4 y , 于是 y dy d y 4 y , 积分后可得 y y , dy
2 2 3
4
3
u x 3x y y .
3 2 2 4
因此，方程的通解为
毕业设计-一阶常微分方程的初等解法
一阶常微分方程的初等解法目录摘要1 .前言1.1 选题的背景和意义1.2 本文要解决的问题和所用的方法1.3 成果及意义2 .微分方程的基本知识2.1知识脉络图解2.2微分的基本概念3.一阶微分方程的解法3.1线性方程3.2变量分离方程3.3恰当微分方程与积分因子3.4一阶隐式微分方程3.5近似解法摘要常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学中占有重要的地位。
本文主要通过讨论一阶微分的相关解法问题。
讨论的类型有：变量可分离方程，齐次微分方程，积分因子，本文主要归纳了一阶微分方程的初等解法，并同时例举典型例题加以说明。
关键词：一阶常微方程：变量变换：恰当微分方程：积分因子1. 前言1.1 选题的背景和意义微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。
牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。
后来瑞士数学家欧拉，法国数学家克雷洛，达朗贝尔，拉格朗日等人又不断的研究和丰富了微分方程的理论。
常微分方程的形成与发展是和力学，天文学，物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。
数学的其他分支的新发展，如复变函数都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。
1.2 本文要解决的问题和所用的方法（1）一阶微分方程的基本知识和性质（2）一阶微分方程的解法一阶微分方程的初等解法，即把微分方程的求解问题化为积分问题，其解的表达式由初等函数或超越函数表示。
1.3 成果及意义现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制，各种电子学装置的设计，弹道的计算，飞机和导弹飞行的稳定性的研究，化学反应过程稳定性的研究等。
这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。
应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。
常微分方程初等积分法解法研究常微分方程及积分因子
常微分方程初等积分法解法研究常微分方程及积分因子初等积分法解常微分方程的关键在于求解不定积分。
不定积分是解微分方程的主要手段，通过找到合适的积分因子，可以将一个一阶微分方程转化为一个可积的方程。
在本文中，将对常微分方程及积分因子进行研究。
dy/dx = f(x, y)其中，f(x,y)是已知函数。
解这个方程的方法之一就是通过积分来找到y。
我们需要将这个方程转化成一个可积的形式。
考虑一个形式为 dy/dx + P(x)y = Q(x) 的一阶常微分方程。
要将这个方程转化为可积的形式，需要找到一个因子M(x)，使得通过乘以M(x)可以使得原方程的左侧变为一个可积的形式。
这个因子M(x)被称为积分因子。
要找到积分因子，通常通过求解方程 M(x) = 1/M dM/dx = P(x) 来确定。
最常见的积分因子是指数函数，即M(x) = e^(∫P(x)dx)。
通过乘以这个积分因子，原方程可以变为积分形式：d/dx (M(x)y) = M(x)Q(x)通过对上式两边进行不定积分，可以求解出y。
举个例子来说明。
考虑一阶常微分方程 dy/dx + xy = x^2、我们需要找到一个积分因子。
通过解方程 M(x) = 1/M dM/dx = x，可以得到M(x) = e^(1/2 x^2)。
d/dx (e^(1/2 x^2) y) = x e^(1/2 x^2)对上式两边不定积分，得到：e^(1/2 x^2) y = ∫x e^(1/2 x^2) dx通过不定积分求解上式，可以得到y。
通过求解积分因子，我们可以将一阶常微分方程转化为可积的形式。
这种方法适用于一阶线性常微分方程。
对于高阶常微分方程，可以通过转化为一组一阶微分方程来求解。
总结起来，常微分方程及积分因子的研究是通过寻找积分因子来将一阶常微分方程转化为可积的形式。
通过解不定积分，可以求解出未知函数。
初等积分法解常微分方程是一种常用的方法，对于一阶线性常微分方程特别适用。
常微分方程讲义全文
6、恰当方程
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
判定：全微分 ⇔ ∂M ≡ ∂N ∂y ∂x
x
y
∫ ∫ 解法： M (x, y)dx + x0
y0 N (x0 , y)dy = C
初值问题: C = 0
例 2xydx + (x2 − y2 )dy = 0
解： ∂M ∂y
≡ ∂N ∂x
uz′ = −(z −1)(z − 2) /(z + 1)
z = 1, z = 2 ⇔ v = u, v = 2u ⇔ y = x + 1, y = 2x
⎛ ⎝⎜
z
3 −
2
−
z
2 −
1
⎞ ⎠⎟
dz
= − du u
⇒
(z − 2)3 (z −1)2
= C /u
( y − 2x)3 = C( y − x −1)2
一阶 线性 二阶 线性 一阶 非线性
齐方程、非齐次方程
在方程中，不含未知函数及其导数的项，称为自由项。 自由项为零的方程，称为齐方程。 自由项不为零的方程，称为非齐方程。
d x = x2 dt
一阶齐线性方程
d2 y d x2
+
b
d d
y x
+
cy
=
sin
x
二阶非齐线性方程
⎜⎛ d x ⎞⎟2 − x2 = t3 ⎝ dt ⎠
一阶非齐非线性方程
微分方程的一般表示形式
n 阶微分方程的一般形式 为 F (x, y′, y′′,L, y(n) ) = 0 。
F
(x,
y′,
y′′)
常微分方程初等积分法解法研究(三)一阶隐式方程及解的积分表示
x ( y c) 1.
2 2
不显含x的方程
二、可解出y或x的方程的解法化简整理之后可得dp (2 p x)( 1) 0 dx dp 对 1 0 积分就可以得到上式的通解 dx
p xC
2 2
（C 为任意常数）
x 把它代入到 y p xp ，便可以得到原方程通解 2 x2 y Cx C 2 2
（C 为任意常数）
例 5．解方程： y 2 y'3 2xy' y 0 解：在这里我们可以把原方程当作可就 x 解出的方程来求解，因此就有.
y y 2 y '2 x ' 2y 2
令 y ' =p，则可得：
y y2 p2 x 2p 2
dy 1 1 3 dp 两边对 y 求导，用 ' 代入整理可得 (1 2 yp ) dx y p dy
一阶隐式方程与解的积分表示
一、不显含y的方程
例1 求解方程
dy dy 2 x 1 ( ) , dx dx 解 这是不显含 y的隐式方程
dy 设p , 则方程变为 : dx
p x 1 p ,
2
引入参数t , 把方程表为参数形式
令p tan t ,
2
t
2
, 代入方程得
p 0 y
x sin t.
由于
p tant , x sin t
dy pdx tan t cos tdt sin tdt,
y sin tdt cost c
积分得
故原方程参数形式的通解为
x sin t y cos t c
可以消去参数 t , 得通解为
常微分方程初等积分法解法研究里卡蒂方程解法研究
常微分方程初等积分法解法研究里卡蒂方程解法研究
里卡蒂方程是常微分方程中的一类非线性方程，形式为：
$$\frac{dy}{dx} = P(x,y)$$
其中P(x,y)是x和y的多项式函数。
里卡蒂方程的求解可以通过初
等积分法来进行。
首先，我们需要根据P(x,y)的具体形式来确定一个合适的变量替换。
一般来说，我们希望通过变量替换将里卡蒂方程转化为一个可以直接进行
积分的形式。
常用的变量替换方法有直接代换、线性代换和三角代换等。
接下来，根据所选的变量替换方法，将里卡蒂方程转化为一个简化形式。
通常情况下，通过合适的变量替换，我们可以将里卡蒂方程化简为一
个变量分离的形式或者一个可分离变量的形式。
对于变量分离的情况，我们通过移项将dy和dx分别移到方程的两侧，然后对两侧同时积分即可得到方程的解。
对于可分离变量的情况，我们将方程两侧同时乘以dx和dy的倒数，
然后对两侧同时积分即可得到方程的解。
需要注意的是，在进行积分的过程中，我们可能需要使用一些常见的
积分公式和技巧，如分部积分、换元积分等。
最后，我们得到的解方程可能包含一个或多个常数，这些常数可以通
过给定的初始条件来确定。
也就是说，我们可以通过将初始条件带入解方程，来求解常数的取值，从而得到闭合的解。
总之，里卡蒂方程的解法研究是一个涉及到变量替换、积分技巧和常数确定的复杂过程。
通过适当选取变量替换和运用合适的积分技巧，我们可以求解里卡蒂方程，并得到闭合的解。
计算方法 常微分方程初值问题数值解法 Euler公式 龙格 库塔法
第12次 常微分方程初值问题数值解法
内容
1. 常微分方程初值问题解的存在性定理 2. Euler公式 3. 梯形公式 4. 两步Euler公式 5. 欧拉法的局部截断误差 6. 改进型Euler公式 7. 龙格-库塔法 8. 算法实现
常微分方程初值问题 解的存在性定理
欧拉法的局部截断误差
9.2.4． 欧拉法的局部截断误差
衡量求解公式好坏的一个主要标准是求解公式的精 度, 因此引入局部截断误差和阶数的概念。
定义9.1 在yi准确的前提下, 即 yi y(xi)时, 用数值
方法计算yi+1的误差：
R i yi( 1 ) x y i 1
称为该数值方法计算时yi+1的局部截断误差。
通常表示成下列平均化形式
yi1的近似 y p y i hf(x i , y i )
yi1的近似 y c y i hf(x i 1 , y p )
yi1的更好 的近似
y i1
1 2
(y p
yc)
i 0, 1, 2 … , n 1
(9.12)
例9.2 用改进欧拉法解初值问题
y
y
2x y
f( y 1 ) x f,( y 2 ) x L y , 1 y 2 , y 1 ,y 2 R
则方程( 9.1 ) 在a, b上存在唯一的连续可微分的 解的解 y=y(x) 。
推论：如果函数f(x,y)对y的偏导数
f(x, y
y)
在带形
区域 R { a x b ,y - }
内有界。
两步欧拉公式的局部截断误差为：
y(i1 x )yi1O3 ()h
从而两步欧拉公式的阶数是2.推导过程省略。
二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧
二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧
一、基本原理
二、求解步骤
1. 解本征方程
方程：$y^{\prime \prime}+Py^{\prime}+Qy=0$
$其中P,Q$分别为常数
首先，把方程化为本征方程：$x^2+Px+Q=0$
解本征方程：$x_{1,2}=-\frac{P}{2}\pm \sqrt{(\frac{P}{2})^2-Q}$，即特征根为：$x_{1,2}＝x_1，x_2$
2. 求通解
根据特征根求通解，$y=c_1e^{x_1t}+c_2e^{x_2t}$
其中$c_1，c_2$为任意常数，$x_1，x_2$为方程的特征根。
3. 求特解
从特征根的性质可以知道：
（1）当$x_1＝x_2$时，此方程有冗余解，即特解形式为：
$y=e^{x_1t}(A+Bt)$
（2）当$x_1＝-x_2$时，此方程有特解形式为：$y=e^{x_1t}(At+B)$（3）当$x_1$及$x_2$不相等时，此方程没有特解
4. 求积分常数
将我们从步骤2和3中得到的解带入原方程，得到
$b_1=\frac{e^{x_1t}}{x_1-x_2}$，$b_2=\frac{e^{x_2t}}{x_2-x_1}$把$b_1,b_2$代入积分常数的公式，$C_1=\frac{y_1(0)-
b_1y_2(0)}{b_1-b_2},C_2=\frac{y_2(0)-b_2y_1(0)}{b_2-b_1}$即可得到积分常数$C_1,C_2$。
二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧
二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧常微分方程是数学中的一个重要的分支，在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
其中，二阶常系数常微分方程是最基本的一类常微分方程，其形式如下：$$ a\frac{{d^2y}}{{dt^2}}+b\frac{{dy}}{{dt}}+cy = 0 $$其中，a、b、c是常数，y是未知函数。
一、特征根为实数的情况1.首先，我们将二阶常系数常微分方程变形成特征方程：$$ a\lambda^2+b\lambda+c=0 $$2.求解特征方程得到两个实根，假设为λ1和λ23.根据两个实根求得特解的形式，形式如下：$$ y = C_1e^{\lambda_1 t} + C_2e^{\lambda_2 t} $$其中，C1和C2是待定常数。
二、特征根为复数的情况1.将二阶常系数常微分方程变形成特征方程。
2.求解特征方程得到两个复根，假设为α±βi。
3.根据两个复根求得特解的形式，形式如下：$$ y = e^{\alpha t}(C_1cos(\beta t) + C_2sin(\beta t)) $$其中，C1和C2是待定常数。
三、待定系数法待定系数法是一种适用于二阶常系数常微分方程有特定形式解的求解方法。
1. 如果方程右侧是其中一个函数的线性组合，我们可以假设原方程的特解为该函数的线性组合形式。
例如，如果方程右侧是常数1和指数函数e^kt的线性组合：$$ y_p(t) = A + Be^{kt} $$其中，A、B是待定常数，k是常数。
2.将上述假设代入原方程，得到一个关于A、B和k的代数方程。
3.解代数方程，求得A、B和k的值。
4. 特解为$$ y_p(t) = A + Be^{kt} $$其中，A、B是待定常数，k 是常数。
总结：以上是二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧。
通过找到二阶常系数常微分方程的特征根或使用待定系数法，我们可以求得其通解。
这些技巧在解决实际问题中非常有用，例如在振动、电路等领域的应用中常常会遇到二阶常系数常微分方程的求解。
常微分方程讲义(三)
常微分方程讲义（三）常微分方程的初等积分解法：1、可分离变量方程⎰⎰=⇒=dx x g dy y h y h x g dx dy )()(1)()( 2、齐次方程（一般含有xyy x 或的项） ),(y x f dxdy=，令ux y =，可消去右边的x 则)(),(u f ux x f u dxdux ==+例：xyxtg y xy =-'例：344322xy x y y x dx dy --=例：222y x xy dx dy +=例：1)0(,3222=-=y yx xy dx dy 例：22y x y dxdyx-+=3、一阶线性非齐次方程⇒+=)()(x b y x a dxdy常数变易法或])([)()(⎰+⎰⎰=-C dx e x b e y dxx a dxx a例：e y e y dxdyxx ==-+)1(,0 例：1)1()1(++=-+n x x e ny dx dyx例：211'xxyy --=例：21222sin 22sin 1x e y x dxdyyx ++=+4、贝努利方程n y x b y x a dxdy)()(+= 令n y z -=1，则dxdy y n dx dz n --=)1(，代入得：)()1()()1()()(1x b n z x a n dxdz x b y x a dx dy y n n +++=⇒+=-- 可将伯努力方程化成一阶线性非齐次例：)1(22y x xy dxdy+= 例：xyy x dx dy -=sin 12例：0)]ln 1([3=++-dx x xy y xdy 例：0)sin (cos 4=+-dx y x y xdy 例：211y y x dx dy -+-= 当)(x b 为常数时，可直接运用常数变易法，该贝努利方程已变为一种一阶线性非齐次的特例 5、全微分方程0),(),(=+dy y x N dx y x M第一种情况：若xNy M ∂∂=∂∂则⎰⎰+=yy xx d x N d y M y x u 0),(),(),(0ηηξξ或⎰⎰+=yy xxd x N d y M y x u 0),(),(),(0ηηξξ方程解为C y x u =),(，其中),(00y x 在定义域内任取 例：0=+xdy ydx 、0=±ydy xdx 例：022=+-y x ydxxdy例：0)1()1(=-++dy yx e dx e yx y x例：0112222=+-+-xdx dy y x xdx y x y 例：dx y x dy y x dx y x )()()(22+=++- 例：0)()(5445=-+-dy y x x dx y x y 例：0)22()522(32=++++dy x x dx y y x 第二种情况：若xNy M ∂∂≠∂∂则找积分因子1、只存在与x 有关的积分因子的充要条件是)()(1x xNy M N φ=∂∂-∂∂，积分因子⎰=dxx e x )()(φμ2、只存在与y 有关的积分因子的充要条件是)()(1y yMx N M ψ=∂∂-∂∂，积分因子⎰=dyy e y )()(ψμ例：0)12(4322=-+dy y x dx y x 例：0)(344=-+dy xy dx y x 例：0)52()34(324=+++dy xy x dx y xy＊ 微分方程解法的不确定性与灵活性：xydx dy =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧方程“凑”的思路：全微分贝努力方程一阶线性非齐次方程齐次方程可分离变量方程“分”的思路：6、可降阶的二阶微分方程第一类：)(22x f dxyd =例：1)0(',1)0(,1'')1(2-===+y y y x第二类：),(22dx dy x f dxy d =，令dx dpdx y d p dx dy ==22,则例：xy y xy 'ln '''=例：01)'('')1(22=+++y y x 例：x e y y =-'''第三类：),(22dx dyy f dxy d =，令dy dp p dx y d p dx dy ==22,则例：1)0(',0)0(,0''2===-y y e y y 例：2)0(',0)0(,0'''===-y y e y y y例：求方程0''2)'(2=+yy y 的在点)1,1(与直线x y =相切的积分曲线 可降阶微分方程解法的灵活性：例：0)'('''3=++y y y ，令dy dpp dxy d p dx dy ==22,则例：0)'(1''2=-+y y ，令dx dydxy d p dx dy ==22,则微分方程的近似解：Picca 序列给定微分方程⎪⎩⎪⎨⎧===00|),(y y y x f dx dyx x ，则有 在),(00y x 处的第1次近似：⎰+=xx dx y x f y y 0),(001在),(00y x 处的第2次近似：⎰+=xx dx y x f y y 0),(102…………在),(00y x 处的第n 次近似：⎰-+=xx n n dx y x f y y 0),(10例：求微分方程⎪⎩⎪⎨⎧==1)1(y x ydx dy ，当2=x 时，y=？精确方法Picca 近似：精度与误差例：求微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2)1()ln(sin πy y dxdy的Picca 逼近数列微分方程的初值问题解的存在唯一性：⎪⎩⎪⎨⎧==00),(y y y x f dx dyx定理1：设函数),(y x f 在矩形区域},:),{(:00b y y a x x y x R ≤-≤-上连续；且对R 上任意两点),(),,(21y x y x ，满足Lipschitz 条件：2121),(),(y y L y x f y x f -≤-。
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常微分方程的初等解法1．常微分方程的基本概况1.1.定义：自变量﹑未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数，自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。
1.2.研究对象：常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动﹑演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。
物理﹑化学﹑生物﹑工程﹑航空﹑航天﹑医学﹑经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程。
如牛顿运动规律、万有引力﹑能量守恒﹑人口发展规律﹑生态总群竞争﹑疾病传染﹑遗传基因变异﹑股票的涨伏趋势﹑利率的浮动﹑市场均衡价格的变化等。
对这些规律的描述﹑认识和分析就归结为对相应的常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学各个领域。
1.3.特点：常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。
下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。
求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。
也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。
1.4.应用：现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。
这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。
应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。
2.一阶的常微分方程的初等解法一阶常微分的初等解法包括变量分离方程与变量变换﹑可以化为变量分离方程的类型﹑线性微分方程与常数变易法﹑恰当微分方程与积分因子，下面我们就具体分析一阶常微分方程的初等解法。
2.1、变量分离方程法 形如)()(y x f dxdy ϕ=，（2.1）的方程，称为变量分离方程，这里的)(x f ，)(y ϕ分别是x ，y 的连续函数。
如果0)(≠y ϕ，我们可将（2.1）改写成dx x f y dy )()(=ϕ，这样变量就“分离”开来了。
两边积分得到⎰⎰+c dx x f y dy )()(ϕ，（2.2）。
例1：方程yx dx dy -=就可以用变量分离法求解方程 解： 变量分离，得到 xdx ydy -=，两边积分，即得 22222c x y +-=， 因而，通解为 c y x =+22，（c 为任意常数）2.2、可化为变量分离方程的类型(1) 形如)(xy g dx dy =，（2.3）的方程，称为齐次微分方程，这里)(u g 是u 的连续函数。
作变量变换x y u =，（2.4）即ux y =，于是u dxdu x dx dy +=，（2.5）.将（2.4），（2.5）代入（2.3），则原方程变为)(u g u dx du x =+，整理后，得到xu u g dx du -=)(,(2.6).方程（2.6）是一个变量分离方程，这就所为的可以化为变量分离的方程。
例2方程xy x y dx dy tan += 就是一个可以化为变量分离的方程。
解 这是齐次微分方程，以u x y = 及u dx du x dx dy +=代入，则原方程变为u u u dx du x tan +=+。
即xu dx du tan =。
将上式分离变量，既有 x dx udu =cot ， 两边积分，得到 c x u +=ln sin ln ，（c 为任意常数）整理，得到 x e u c •±=sin ， 令c e c =±，得到 cx u =sin将x y u =代入上式，得到方程的通解为 cx xy =sin (2)形如222111c y b x a c y b x a dx dy ++++=,(2.7)的方程也可以经变量变换化为变量分离方程，1a ，2a ，1b ，2b ，1c ，2c 均为常数。
我们分三种情况来讨论：①k c c b b a a ===212121(常数)情形。
这时方程化为k dx dy =，有通解c kx y +=，其中c 为任意常数。
②212121c c k b b a a ≠==情形。
令y b x a u 22+=，这时有212222c u c ku b a dx dy b a dx du +++=+=是变量分离方程。
③2121b b a a ≠情形。
如果方程(2.7)中1c ，2c 不全为零，方程右端分子﹑分母都是x ，y 的一次多项式，因此⎩⎨⎧=++=++﹐0﹐0222111c y b x a c y b x a （2.8）.代表Oxy 平面上两条相交的直线，设交点为)﹐(βα。
若令⎩⎨⎧-=-=﹐﹐βαy Y x X （2.9）。
则（2.8）化为⎩⎨⎧=+=+﹐0﹐02211Y b X a Y b X a 从而（2.7）变为)(2211YX g Y b X a Y b X a dX dY =++=，（2.10）。
因此，求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可得原方程（2.7）的解。
如果方程（2.7）中021==c c ，可不必求解（2.8），直接取变换xy u =即可。
上述解题的方法和步骤也适用于比方程（2.7）更一般的方程类型)(222111c y b x a c y b x a f dx dy ++++=。
例3 方程31-++-=y x y x dx dy 就可以用上述方法来求解。
解 解方程组 ⎩⎨⎧=-+=+-﹐03﹐01y x y x 得x=1，y=2.令 ⎩⎨⎧+=+=﹐2﹐1Y y X x 代入原方程，则有YX Y X dX dY +-=, 再令X Y u =,即uX Y =,则上式化为du u u u X dX 2211--+=， 两边积分，得 c u u X +-+-=12ln ln 22，因此 c e u u X ±=-+)12(22，记1c e c =±，并代回原变量，得1222c X XY Y =-+，把⎩⎨⎧-=-=21y Y x X 代入上式 得122)1()2)(1(2)2(c x y x y =----+-整理，得c x y x xy y =---+26222 (c 为任意常数)2.3、线性微分方程与常数变易法 一阶线性微分方程)()(x Q y x P dxdy +=，（2.9）。
其中P （x ），Q （x ）在考虑的区间上是x 的连续函数。
若Q （x ）=0，（2.9）变为y x P dy dx )(=，（2.10），(2.10)称为一阶其次线性微分方程。
若0)(≠x Q ，（2.9）称为一阶非其次线性微分方程。
（2.10）是变量分离方程它的解为⎰=dx x p ce y )(，（2.11）这里的c 为任意常数。
现在讨论非奇次线性微分方程（2.9）通解的求法。
不难看出，（2.10）是（2.9）的特殊情形，可以设想（2.11）中将常数c 变易为x 的待定函数c(x).令⎰=dx x p e x c y )()(，（ 2.12）微分之，得到⎰+⎰=dx x p dx x p e x p x c e dxx dc dx dy )()()()()(，（2.13）.将（2.12）,(2.13)代入（2.9），得到)()()()()()()()()(x Q e x c x P e x P x c e dxx dc dx x p dx x p dx x p +⎰=⎰+⎰。
即⎰=-dx x p e x Q dx x dc )()()(，积分后得到⎰+⎰=-c dx e x Q x c dx x p )()()(，这里的c 是任意常数。
将上式代入（2.12），得到方程（2.9）的通解⎰+⎰⎰=-))(()()(c dx e x Q e y dx x p dx x p ，（2.14）。
这种将常数变易为待定函数的方法，我们通称为常数变易法。
常数变易法实际上也是一种变量变换的方法，通过变换（2.12）可将方程（2.9）化为变量分离方程。
若方程不能化为（2.9）形式，可将x 看作y 的函数，再看是否为（2.9）形式。
例4 方程1)1()1(++=-+n x x e ny dxdy x （n 为常数）就可以用常数变易法求解。
解 将方程改写为 n x x e y x n dx dy )1(1+=+-，① 首先，求齐次线性微分方程01=+-y x n dx dy 的通解从 dx x n y dy 1+=，得到齐次线性微分方程的通解n x c y )1(+= 其次，应用常数变易法求非齐次线性微分方程的通解。
为此，在上式中把c 看成为x 的待定函数c （x ）,即n x x c y )1)((+=，②微分之，得到 )()1()1()(1x c x n x dxx dc dx dy n n ++++=，③ 把②，③代入①，得到 x e dxx dc =)(， 积分之，求得 c e x c x +=)(因此，以所求的c （x ）代入②，即得原方程的通解 )()1(c e x y x n ++=， （c 为任意常数）2.4、恰当微分方程与积分因子2.4.1恰当微分方程如果方程0﹐y)dy (﹐y)dx (=+x N x M ，的左端恰好是某个二元函数﹐y)(x u 的全微分，即﹐y)dx (x M +﹐y)dy (x N =dy yu dx x du ∂∂+∂∂=x u ﹐y)(则称原式为恰当微分方程。
容易验证恰当微分方程的通解就是c ﹐y)(=x u ,这里的c 为任意常数。
如果方程是恰当微分方程时，函数﹐y)﹐N (x ﹐y)(x M 应该具有以下性质。
M xu =∂∂和N y u =∂∂分别对y ，x 求偏导，得到y M x y u ∂∂=∂∂∂2，x M y x u ∂∂=∂∂∂2，由x N ﹐∂∂∂∂y M 得连续性，可得y x u x y u ∂∂∂=∂∂∂22，故xN y M ∂∂=∂∂,这就是恰当微分方程的必要条件。
如果是恰当微分方程我们可以利用“分项组合”的办法来求解。
利用公式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+-=--=+=-=+==+﹐)(ln 21﹐)(arctan x xdy -ydx ﹐)(ln ﹐)(xdy ydx -﹐)(xdy -ydx ﹐)(222222y x y x d y x xdy ydx y x d y y x d xy xdy ydx x y d x y x d y xy d xdy ydx （2.15） 例5 方程0)46()63(3222=+++dy y y x dx xy x 就可以用“分项组合” 方法来求解。