江苏江阴长泾中学高一数学单元检测(三角函数、向量)
江阴市长泾中学必修一第二单元《函数》测试(包含答案解析)
一、选择题1．我们把定义域为[)0,+∞且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为“Ω函数”：①对任意的[)0,x ∈+∞，总有()0f x ≥；②若0x ≥，0y ≥，则有()()()f x y f x f y +≥+成立，给出下列四个结论：（1）若()f x 为“Ω函数”，则()00f =；（2）若()f x 为“Ω函数”，则()f x 在[)0,+∞上为增函数；（3）函数()0,1,x Qg x x Q∈⎧=⎨∉⎩在[)0,+∞上是“Ω函数”（Q 为有理数集）；（4）函数()2g x x x =+在[)0,+∞上是“Ω函数”；其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．若函数()22(3)8,1,1x a x x f x ax x ⎧-+--≤=⎨>⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4,⎡-⎣B ．4⎤⎦C ．[]3,4-D ．⎡⎣3．若()f x 是偶函数，其定义域为(,)-∞+∞，且在[0,)+∞上是减函数，则(1)f -与2(22)f a a ++的大小关系是（ ）A ． 2(1)(22)f f a a ->++B ．2(1)(22)f f a a -<++C ．2(1)(22)f f a a -≥++D ． 2(1)(22)f f a a -≤++4．定义,min(,),a a ba b b a b ≤⎧=⎨>⎩，例如：min(1,2)2--=-，min(2,2)2=，若2()f x x =，2()46g x x x =--+，则()min((),())F x f x g x =的最大值为（ ）A ．1B ．8C ．9D ．105．若函数y =f (x )的定义域为[]1,2，则y =f (12log x )的定义域为（ ）A ．[]1,4B ．[]4,16C ．[]1,2D ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．已知2()2af x x ax =-+在区间[0，1]上的最大值为g (a )，则g (a )的最小值为（ ） A ．0B ．12C ．1D ．27．若函数()f x =0,，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,4B ．()(),14,-∞⋃+∞C ．(][)0,14,+∞D ．[][)0,14,+∞8．已知函数22|1|,7,()ln ,.x x e f x x e x e --⎧+-≤<=⎨≤≤⎩若存在实数m ，使得2()24f m a a =-成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[-1，+∞) B ．(-∞，-1]∪[3，+∞) C ．[-1，3] D ．(-∞，3] 9．设f (x )､g (x )､h (x )是定义域为R 的三个函数，对于以下两个结论:①若f (x )+g (x )､f (x )+h (x )､g (x )+h (x )均为增函数，则f (x )､g (x )､h (x )中至少有一个增函数; ②若f (x )+g (x )､f (x )+h (x )､g (x )+h (x )均是奇函数，则f (x )､g (x )､h (x )均是奇函数， 下列判断正确的是（ ）A ．①正确②正确B ．①错误②错误C ．①正确②错误D ．①错误②正确10．已知函数的定义域为R ，且对任意的12,x x ，且12x x ≠都有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦成立，若()()2211f x f m m +>--对x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,2)- B ．[1,2]-C ．(,1)(2,)-∞-+∞ D ．(,1][2,)-∞-+∞11．已知偶函数()f x 在 [0,)+∞上是增函数，且(2)0f =，则不等式 (1)0f x +<的解集是（ ） A ．[0,2)B ．[]3,1- C ．(1,3)- D ．(2,2)-12．若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．34a >-B ．53a <-C ．5334a -<<- D ．5334a -≤≤- 二、填空题13．已知1()1x f x x +=-，则135199()()()()100100100100f f f f ++++=______________14．已知函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=-，若()113f =- ，则()2019f = _________.15．已知实数0a ≠，函数()2,12,1x a x f x x a x +<⎧=⎨-+≥⎩，若()()11f a f a -=+，则a 的取值范围是___________.16．设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-，若当[]0,5x ∈时，()f x 的图象如图，则不等式()0xf x <的解集是___________.17．如果定义在区间[3＋a ，5]上的函数f(x)为奇函数，那么a 的值为________.18．当12x x ≠时，有1212()()()22x x f x f x f ++<，则称函数()f x 是“严格下凸函数”，下列函数是严格下凸函数的是__________． ①y x =②||y x =③2y x ④2log y x =19．已知二次函数f （x ）＝ax 2﹣2x +1在区间[1，3]上是单调函数，那么实数a 的取值范围是_____．20．定义：如果函数()y f x =在定义域内给定区间[],a b 上存在()00x a x b <<，满足()()0)(f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是[],a b 上的“平均值函数”．0x 是它的一个均值点，若函数()2f x x mx =+是[]1,1-上的平均值函数，则实数m 的取值范围是___________．三、解答题21．已知二次函数()2f x ax bx c =++.（1）若集合(){}{}|12A x f x x ===，，且()02f =. ①求函数()f x 的解析式； ②画出函数()y f x =的图象，并讨论函数y a =和函数()y f x =的图象的公共点个数；（2）若a =1，c =0，求函数()f x 在区间[]22-，上的最小值. 22．已知函数()f x 对一切x ，y 都有()()()212f x y f y x x y +-=+++成立，且()10f =．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若[]1,0x ∈-，函数()()11242f x xx m g x m -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，是否存在实数m 使得函数()g x 的最小值为14，若存在，求m 的值；若不存在的，请说明理由． 23．已知奇函数()()2?2,1,1xxf x a x -=+∈-． （1）求实数a 的值；（2）判断()f x 在()1,1-上的单调性并进行证明；（3）若函数()f x 满足()()1120,f m f m -+-<求实数m 的取值范围． 24．已知11012x f x x x ⎛⎫⎛⎫=<≤⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.（1）求()f x 的表达式；（2）判断()f x 在其定义域内的单调性，并证明. 25．已知函数()()90f x x x x=+≠. （1）当()3,x ∈+∞时，判断并证明()f x 的单调性； （2）求不等式()()2330f xf x +≤的解集.26．已知二次函数2()1(0)f x ax x a =++>． （1）求函数()f x 在区间[4,2]--的最大值()M a ； （2）若关于x 的方程()0f x =有两个实根1x 、2x ，且121,1010x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求实数a 的最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用“Ω函数”的定义依次判断即可，必须同时满足“Ω函数”的两个条件，才是“Ω函数”. 【详解】解：对（1），由①得()00f ≥， 在②中令0x y ==， 即()()020f f =， 解得：()00f ≤，()00f ∴=，故（1）正确；对（2），当()0f x =时，满足①②，但在[)0,+∞不是增函数，故（2）错误； 对（3），当x ，y 都为正无理数时，不满足②，故（3）错误； 对（4），()2g x x x =+，当[)0,x ∈+∞时，min ()(0)00g x g ==≥，即满足条件①，222()()()()20g x y g x g y x y x y x x y y xy +--=+++----=≥，即满足条件②，∴函数2()g x x x =+在[0,)+∞上是“Ω函数”，故（4）正确.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解“Ω函数”的定义，必须同时满足“Ω函数”的两个条件，才是“Ω函数”.2．B解析：B 【分析】函数()f x 在R 上是增函数，则在两段上分别要单调递增，且在分界点处要满足2138a a -+--≤，从而得到答案.【详解】函数()22(3)8,1,1x a x x f x ax x ⎧-+--≤=⎨>⎩在R 上是增函数，则满足下列条件：（1）()2238y x a x =-+--在(],1-∞递增，2312a -≥，即a ≥a ≤（2）y ax =在()1,+∞递增，则0a >（3）当1x =时满足2138a a -+--≤，解得34a -≤≤综上可得函数()f x 在R 上是增函数，实数a 4a ≤≤ 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查根据分段函数的单调性求参数的范围，解答本题的关键是分段函数要在定义域内单调递增，则在两段上要分别单调递增，且在分界点出满足2138a a -+--≤，这也时容易出错的地方，属于中档题.3．C解析：C 【分析】由()f x 是偶函数，可知(1)(1)f f -=，故只需比较(1)f 与2(22)f a a ++的大小即可，而2222(1)11a a a ++=++≥，再结合函数()f x 的单调性，即可得(1)f 与2(22)f a a ++大小关系.【详解】因为()f x 是偶函数，所以(1)(1)f f -=，又2222(1)11a a a ++=++≥，()f x 在[0,)+∞上是减函数，所以2(22)(1)f a a f ++≤，即2(22)(1)f a a f ++≤-. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用函数的单调性比较大小，关键是借助函数的奇偶性，将要比较的函数值对应的自变量转化到同单调区间上，并且比较它们的大小，再利用单调性作出判断．4．C解析：C 【分析】根据定义确定()F x 的解析式及单调性后可得最大值． 【详解】由2246x x x <--+得2230x x +-<，31x -<<，所以()22,3146,31x x F x x x x x ⎧-<<=⎨--+≤-≥⎩或，所以()F x 在(,3)-∞-和(0,1)上都是增函数，在(3,0)-和(1,)+∞上都是减函数，(3)9F -=，(1)1F =，所以max ()9F x =． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查求函数的最大值．解题关键是根据新函数定义确定新函数的解析式，单调性．结合单调性易得最值．5．D解析：D 【分析】根据复合含定义域的求法，令121log 2x ≤≤，求函数的定义域.【详解】函数()y f x =的定义域为[]1,2，12log y f x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭的定义域，令121log 2x ≤≤，解得：1142x ≤≤ ，即函数的定义域为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：D 【点睛】方法点睛：一般复合函数的定义域包含以下几点：已知函数()y f x =的定义域为D ，求()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的定义域，即令()g x D ∈，求x 的取值范围，就是函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的定义域；已知()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的定义域为D ，求函数()y f x =的定义域，即求函数()g x ，x D ∈ 的值域.6．B解析：B 【分析】由已知结合对称轴与区间端点的远近可判断二次函数取得最值的位置，从而可求． 【详解】解：因为2()2af x x ax =-+的开口向上，对称轴2a x =， ①122a即1a 时，此时函数取得最大值()()112a g a f ==-，②当122a >即1a >时，此时函数取得最大值()()02ag a f ==，故()1,12,12aa g a a a ⎧-⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，故当1a =时，()g a 取得最小值12． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了二次函数闭区间上最值的求解，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．7．D解析：D 【分析】令t =()0,t ∈+∞()0,+∞，记函数()22(2)1g x mx m x =+-+的值域为A ，则()0,A +∞⊆，进而分0m =和0m ≠两种情况，分别讨论，可求出m 的取值范围. 【详解】令t =1y t=的值域为0,，根据反比例函数的性质，可知()0,t ∈+∞()0,+∞， 记函数()22(2)1g x mx m x =+-+的值域为A ，则()0,A +∞⊆，若0m =，则()41g x x =-+，其值域为R ，满足()0,A +∞⊆；若0m ≠，则00m >⎧⎨∆≥⎩，即()24240m m m >⎧⎪⎨--≥⎪⎩，解得4m ≥或01m <≤. 综上所述，实数m 的取值范围是[][)0,14,+∞.故选：D.8．C解析：C 【分析】根据函数()f x 的图象，得出值域为[2-，6]，利用存在实数m ，使2()24f m a a =-成立，可得22246a a --，求解得答案． 【详解】作出函数22|1|,7()ln ,x x e f x x e x e--⎧+-<=⎨⎩的图象如图： (7)6f -=，2()2f e -=-，∴值域为[2-，6]，若存在实数m ，使得2()24f m a a =-成立，22246a a ∴--，解得13a -，∴实数a 的取值范围是[1-，3]．故选：C【点睛】本题考查分段函数的性质，考查函数值域的求解方法，同时考查了数形结合思想的应用，属于中档题．函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．9．D解析：D 【分析】可举出反例判断①错误；根据奇偶性的性质可判断②正确，结合选项可得答案．①错误，可举反例：21()31xx f x x x ⎧=⎨-+>⎩，230()30121x x g x x x x x +⎧⎪=-+<⎨⎪>⎩，0()20x x h x x x -⎧=⎨>⎩，均不是增函数；但()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数； 故①错误； ②()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均是奇函数；()()()()[()()]2()f x g x f x h x g x h x f x ∴+++-+=为奇函数；()f x ∴为奇函数；同理，()g x ，()h x 均是奇函数； 故②正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查增函数的定义，一次函数和分段函数的单调性，举反例说明命题错误的方法，以及奇函数的定义与性质，知道()f x 和()g x 均是奇函数时，()()f x g x ±也是奇函数．10．A解析：A 【分析】由函数的单调性列x 的不等式求解即可. 【详解】由()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，则函数()f x 在R 上为增函数， 由()()2211f x f m m +>--对x ∈R 恒成立，故22min 1(1)m m x --<+，即211m m --<解得12m -<<.故选：A. 【点睛】本题考查函数的单调性，考查恒成立问题，是基础题11．B解析：B 【详解】由()f x 在[0,)+∞上是增函数，且(2)0f = 当0x >时，()0f x <的解集[0,2]； 当时()f x 为减函数，(2)0f -=，()0f x <的解集[2,0]-．综上()0f x <的解集[2,2]-，所以(1)0f x +<满足212,31x x -≤+≤∴-≤≤．12．C解析：C 【详解】分析：函数()3221f x ax x x =+++在()1,2上有最大值无最小值，则极大值在()1,2之间，一阶导函数有根在()1,2，且左侧函数值小于0，右侧函数值大于0，列不等式求解 详解：f ′（x ）＝3ax 2+4x +1，x ∈（1，2）．a ＝0时，f ′（x ）＝4x +1＞0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去． a ≠0时，△＝16﹣12a ． 由△≤0，解得43a ≥，此时f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．由△＞0，解得a 43＜（a ≠0），由f ′（x ）＝0，解得x 1=，x 223a-+=．当403a ＜＜时，x 1＜0，x 2＜0，因此f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．当a ＜0时，x 1＞0，x 2＜0，∵函数f （x ）＝ax 3+2x 2+x +1在（1，2）上有最大值无最小值，∴必然有f ′（x 1）＝0，∴12，a ＜0．解得：53-＜a 34-＜． 综上可得：53-＜a 34-＜． 故选：C ．点睛：极值转化为最值的性质：若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为()f x 的最小值；若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为()f x 的最大值；二、填空题13．100【分析】分析得出得解【详解】∴故答案为：100【点睛】由函数解析式得到是定值是解题关键解析：100 【分析】分析得出(2)()2f x f x -+=得解.【详解】1()1x f x x +=- 211211(2)()2f x f x x x x x -+∴-+=++=--- ∴135199()()()()100100100100f f f f ++++ 1199319799101[()()][()()][()()]100100100100100100f f f f f f =+++++250100=⨯=故答案为：100． 【点睛】由函数解析式得到(2)()2f x f x -+=是定值是解题关键.14．3【分析】根据题意求得函数的周期性得出函数的周期然后利用函数的周期和的值即可求解得到答案【详解】由题意函数对任意实数满足条件则即函数是以4为周期的周期函数又由令则即所以【点睛】本题主要考查了抽象函数解析：3 【分析】根据题意，求得函数的周期性，得出函数的周期，然后利用函数的周期和()1f 的值，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，函数()f x 对任意实数x 满足条件1(2)()f x f x +=-， 则()1(4)[(2)2](2)f x f x f x f x +=++=-=+，即函数()f x 是以4为周期的周期函数， 又由()113f =-，令1x =-，则1(12)(1)f f -+=--，即1(1)3(1)f f -==， 所以()2019(14505)(1)3f f f =-+⨯=-=． 【点睛】本题主要考查了抽象函数的应用，以及函数的周期性的判定和函数值的求解，其中解答中根据题设条件求得函数的周期是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15．【分析】本题首先可讨论的情况此时然后根据函数的解析式求出和通过即可求出的值最后讨论的情况此时通过得出此时无解即可得出结果【详解】若则因为函数所以因为所以解得若则因为函数所以因为所以无解综上所述的取值解析：32⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】本题首先可讨论0a >的情况，此时11a -<、11a +>，然后根据函数()f x 的解析式求出()1f a -和()1f a +，通过()()11f a f a -=+即可求出a 的值，最后讨论0a <的情况，此时11a ->、11a +<，通过()()11f a f a -=+得出此时a 无解，即可得出结果. 【详解】若0a >，则11a -<，11a +>， 因为函数()2,12,1x a x f x x a x +<⎧=⎨-+≥⎩，所以1212f aa a a ，1121f a a aa ，因为()()11f a f a -=+，所以21a a ，解得32a =， 若0a <，则11a ->，11a +<， 因为函数()2,12,1x a x f x x a x +<⎧=⎨-+≥⎩，所以11213f aa a a ，12123f a a a a ，因为()()11f a f a -=+，所以1323a a ，无解，综上所述，32a =，a 的取值范围是32⎧⎫⎨⎬⎩⎭, 故答案为：32⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查分段函数的相关问题的求解，在分段函数求函数值的时候，要把自变量代入到所对应的解析式中是解本题的关键，考查分类讨论思想，考查计算能力，是中档题.16．【分析】由奇函数的图象关于原点对称便可得出f （x ）在-50上的图象这样根据f （x ）在上的图象便可得出xf （x ）<0的解集【详解】奇函数图象关于原点对称作出在的图象如下：由得或由图可知或的解集为【点睛 解析：[)(]5,22,5--【分析】由奇函数的图象关于原点对称便可得出f （x ）在[-5，0]上的图象，这样根据f （x ）在[]5,5-上的图象便可得出xf （x ）<0的解集．【详解】奇函数图象关于原点对称，作出()f x 在[]5,5-的图象如下：由()0xf x <得()00x f x <⎧⎨>⎩或()00x f x >⎧⎨<⎩，由图可知52x -≤<-或25x <≤，()0xf x ∴<的解集为[)(]5,22,5--.【点睛】本题考查函数奇偶性、函数图象的综合，解题关键是根据函数奇偶性作出函数图象，利用数形结合思想求解，属于中等题.17．－8【解析】∵f(x)定义域为3＋a5且为奇函数∴3＋a ＝－5∴a ＝－8点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值进而得解(2)求参数值：在定义域关于解析：－8 【解析】∵f(x)定义域为[3＋a ，5]，且为奇函数， ∴3＋a ＝－5，∴a ＝－8.点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解．(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．18．③【解析】按照严格下凸函数的定义检测四个函数如①不满足严格下凸函数的定义对于②当同号时相等不满足定义；对于③作差可知对于④因为所以不正确故选③点睛：本题涉及新概念及函数大小的比较属于创新题有一定难度解析：③ 【解析】按照严格下凸函数的定义检测四个函数，如①121222x x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭，()()121222f x f x x x ++=，不满足严格下凸函数的定义，对于②，121222x x x xf ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()121222x x f x f x ++=，当1x ，2x 同号时，相等，不满足定义；对于③2121222x x x x f ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()22121222f x f x x x ++=，作差可知()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭，对于④12122l 22x xx x f og ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()122122212l l 1l 222f x f x og x og x og x x og ++===，因为122x x +>不正确，故选③.点睛：本题涉及新概念及函数大小的比较，属于创新题，有一定难度.解决此类问题时，要紧扣新给出的定义、法则、运算，然后去甄别那些符合这些要求，本题在给出严格下凸函数的定以后，要去应用定义，看看那个函数符合这一要求，解题中遇到大小比较时可以作差比较.19．【分析】根据二次函数的性质列不等式解不等式求得的取值范围【详解】由于为二次函数所以其对称轴为要使在区间上是单调函数则需其对称轴在区间两侧即或解得或或所以的取值范围是故答案为：【点睛】本小题主要考查二解析：()[)1,00,1,3⎛⎤-∞⋃⋃+∞ ⎥⎝⎦【分析】根据二次函数的性质列不等式，解不等式求得a 的取值范围. 【详解】由于()f x 为二次函数，所以0a ≠，其对称轴为1x a=， 要使()f x 在区间[]1,3上是单调函数，则需其对称轴1x a=在区间[]1,3两侧， 即11a≤或13a ≥，解得0a <，或1a ≥，或103a <≤， 所以a 的取值范围是()[)1,00,1,3⎛⎤-∞⋃⋃+∞ ⎥⎝⎦故答案为：()[)1,00,1,3⎛⎤-∞⋃⋃+∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本小题主要考查二次函数的单调性，属于中档题.20．【分析】根据新定义可得在区间上有解利用分离变量法即可求出答案【详解】解：设∴在区间上有解即在区间上有解∵令单调递减时单调递增所以所以实数的取值范围是故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查了函数的新定 解析：[)0,+∞【分析】根据新定义可得2x mx m +=在区间()1,1-上有解，利用分离变量法即可求出答案． 【详解】解：设11x -<<，()()()()1111f f f x m --==--，∴2x mx m +=在区间()1,1-上有解，即21x m x=-在区间()1,1-上有解，∵()()()()22212112211121111x x x x x y x x x x x-+----+====-+-----，令()10,2x t -=∈，12y t t∴=+-，(]0,1t ∈单调递减，[)1,2t ∈时单调递增，所以120y t t=+-≥，所以实数m 的取值范围是[)0,+∞. 故答案为：[)0,+∞. 【点睛】关键点点睛：此题考查了函数的新定义题目，解题的关键是将问题转化为2x mx m +=在区间()1,1-上有解，分离参数求解，意在考查了分析能力、数学运算.三、解答题21．（1）①2()22f x x x =-+，②见解析；（2）2min42,4(),44442,4b b bf x b b b -≥⎧⎪⎪=--<<⎨⎪+≤-⎪⎩. 【分析】（1）①先求得2c =；{1A =，2}说明()0f x x -=两根为1，2．利用韦达定理求a ，b ，从而可得解析式；②写成分段函数形式，再利用二次函数图象与性质求解．（2）根据对称轴位置，分三种情况讨论，分别利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）①(0)2f =，2c ∴={1A =，2}，2(1)20ax b x ∴+-+=有两根为1，2．由韦达定理得，212112 aba⎧=⨯⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩，∴12ab=⎧⎨=-⎩2()22f x x x∴=-+②函数()2222,022,0x x xy f xx x x⎧-+≥==⎨-+<⎩，函数()y f x=的图象如图，同一坐标系内画出函数y a=的图象，由图可知，当1a<时，函数y a=和函数()y f x=的图象的公共点个数为0；当1a=或2a>时，函数y a=和函数()y f x=的图象的公共点个数为2；当12a<<时，函数y a=和函数()y f x=的图象的公共点个数为4；当2a=时，函数y a=和函数()y f x=的图象的公共点个数为3；（2）a=1，c=0，函数2()f x x bx=+，当2,42bb-≤-≥时，()min()242f x f b=-=-；当22,442bb-<-<-<<时，2min()24b bf x f⎛⎫=-=-⎪⎝⎭；当2,42bb-≥≤-时，()min()242f x f b==+；综上，2min42,4(),44442,4b bbf x bb b-≥⎧⎪⎪=--<<⎨⎪+≤-⎪⎩【点睛】方法点睛：二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.22．（1）()2f x x x =+；（2）不存在，理由见解析．【分析】（1）令1y =，根据题设条件和()10f =，得到()()132f x x x +=++，再结合换元法，即可求得函数的解析式；（2）由（1）得()1112442x x m g x m -⎛⎫+- ⎪⎝⎭=，令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设()()21124y h t t m t m ==+--，其中[]1,2t ∈，结合二次函数的图象与性质，分类讨论，即可得到结论. 【详解】（1）由题意，函数()f x 满足()()()212f x y f y x x y +-=+++成立， 令1y =，可得()()()1132f x f x x +-=⋅++， 因为()10f =，所以()()132f x x x +=++令1t x =+，则1x t =-，可得()()()221312f t t t t t =-+-+=+ 所以函数()f x 的解析式为()2f x x x =+.（2）由（1），可得()2111(1)()241124242x x xx xx m m g x m m +⎛⎫=+-⋅- ⎪⎝⎭-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为[]1,0x ∈-，所以[]1,2t ∈，设函数()()21124y h t t m t m ==+--，[]1,2t ∈， 由函数()y h t =的开口向上，且对称轴()21t m =--， ①当()211m --≤，即12m ≥时，函数()y h t =在区间[]1,2上单调递增， 当1t =时，函数取得最小值，最小值为()min 314y h m ==--， 令3144m --=，解答1m =-，不符合题意（舍去）； ②当()212m --≥，即0m ≤时，函数()y h t =在(]1,2单调递减， 当2t =时，函数取得最小值，最小值为()min 1214y h ==-≠，无解；③当()1212m <--<，即102m <<时， 当2(1)x m =--时，函数取得最小值，最小值为()2min 221y h m m =-+=--， 令2114m --=，此时方程无解， 综上可得，不存在实数m 使得()g x 的最小值14． 【点睛】研究二次函数的最值问题的求解方法和策略：二次函数的最值问题常见类型：（1）轴定区间定的最值；（2）轴动区间定的最值；（3）轴定区间动的最值；影响二次函数的闭区间上的最值的要素和求法：（1）最值与抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间三个要素有关；（2）常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得最值.当开口方向或对称轴位置或区间不确定时要分情况讨论求解. 23．（1）1-；（2）增函数，证明见解析；（3）2,13⎛⎫⎪⎝⎭. 【分析】（1）根据奇函数()00f =得1a =-，再检验即可得答案； （2）根据单调性的定义证明即可；（3）由奇函数性质得()()121f m f m -<-，再结合函数单调性即可得答案. 【详解】 解：()1函数()f x 是定义在()11-，上的奇函数，()0010f a ∴=+=，，1a ∴=-，此时().22x x f x -=- 任取()()()()112222xx x x x f x f x --∈--=-=--=-，，，所以()f x 是奇函数．故1a =-.()()2f x 在()11-，上是增函数；证明：由()1可知()122xxf x =-，， 任取1211x x -<<<，则()()121212112222x x x x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1212112222x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()()12121212122212222122x x x x x x x x x x ++-⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 因为121211,20x xx x +-<<><所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x < ，所以()f x 在()11-，上单调递增．()()3f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-．由已知()f x 在()11-，上是奇函数， ()()1120f m f m ∴-+-<，可化为()()()11221f m f m f m -<--=-，又由()2知()f x 在()11-，上单调递增， 11211m m ∴-<-<-<．解得213m <<．故实数m 的取值范围是213⎛⎫⎪⎝⎭，【点睛】本题考查根据奇函数性质求参数，函数单调性的证明，奇偶性与单调性解不等式，考查回归转化思想，与运算求解能力，是中档题.本题第三问解题的关键在于根据奇偶性将不等式转化为()()121f m f m -<-，进而根据单调性得11211m m -<-<-<求解. 24．（1）()1(2)1f x x x =≥-；（2）()f x 在[)2,+∞上递减，证明见解析. 【分析】 （1）令1(2)t t x =≥，则1x t=，求得()1(2)1f t t t =≥-，从而可得答案. （2）()f x 在[)2,+∞上递减，证任取122x x >≥，则210x x -<，1110x ->>，2110x -≥>，可证明()()120f x f x -<，从而可得结论.【详解】 （1）令1(2)t t x =≥，则1x t= 因为11012x f x x x ⎛⎫⎛⎫=<≤⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭所以()111(2)11t tf t t t ==≥--，所以()1(2)1f x x x =≥-； （2）()f x 在[)2,+∞上递减，证明如下：任取122x x >≥，则210x x -<，1110x ->>，2110x -≥>， 因为()()12121111f x f x x x -=--- ()()()()21121111x x x x ---=-- ()()2112011x x x x -=<--所以()()12f x f x <， 则()f x 在[)2,+∞上递减. 【点睛】方法点睛：利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取21x x >；（2）作差()()21f x f x -；（3）判断()()21f x f x -的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号），()()210f x f x -> 可得()f x 在已知区间上是增函数，()()210f x f x -< 可得()f x 在已知区间上是减函数.25．（1）单调递增，证明见解析；（2）{}1-. 【分析】（1）根据函数单调性定义，判断当123x x <<时，()()120,0?f x f x -><即可； （2）法一：根据函数()()90f x x x x=+≠得到()()233f x f x +解析式，解关于x 的二次型不等式即可.法二：根据函数为奇函数，和定义域内的单调性，将()()2330f xf x +≤转化为解()()233f x f x ≤-，分0x >，1x =-，1x <-，10x -<<讨论使得()()233f x f x ≤-成立x 时的范围为其解集. 【详解】解：（1）设123x x <<，则()()()()121212121212999x x x x f x f x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=+-=⎪ ⎪⎝⎝⎭+⎭ 因为12120,90x x x x -<->， 所以()()120f x f x -<， 所以()f x 在(3,)+∞上单调递增.（2）法一：原不等式可化为2233330x x x x+++， 即21120x x x x ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以121x x-+， 当0x >时，12x x +，不合题意，舍去； 当0x <时，只需解12x x-+，可化为2(1)0x +，所以1x =-. 综上所述，不等式的解集为{}1-. 法二：由（1）的解答过程知()f x 在(0,3)上单调递减，在()3,+∞上单调递增， 又()f x 为奇函数，()()2330f xf x +≤， 所以()()()2333f x f x f x ≤-=-，当0x >时，2(3)0,(3)0f x f x >-<，与上式矛盾，故舍去；当1x =-时，上式成立；当1x <-时，2333x x >->，则()()233f xf x >-，与上式矛盾，故舍去； 当10x -<<时，20333x x <<-<，则()()233f x f x >-，与上式矛盾，故舍去； 综上所述，不等式的解集为{}1-.【点睛】确定函数单调性的四种方法：（1）定义法：利用定义判断；（2）导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数；（3）图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；（4）性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性.26．（1）141,061163,6a a a a ⎧-<≤⎪⎪⎨⎪->⎪⎩；（2）14． 【分析】（1）根据对称轴的位置讨论两种情况：113,322-≤-->-a a，分别根据二次函数的单调性求出最大值即可得结果；（2）设11221,,1010⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦x x t t x x ，由韦达定理可得 211(1)2==+++t a t t t，利用函数的单调性可得实数a 的最大值．【详解】（1）对称轴12x a =-，[4,2],0∈-->x a 二次函数开口向上， ①当132-≤-a ，即106a <≤时：()(2)41=-=-M a f a ， ②当132->-a ，即16a >时：()(4)163=-=-M a f a ， 综上所述，141,06()1163,6a a M a a a ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩． （2）由题知：方程210ax x ++=的两个根分别为1x x =、2x x =， 由韦达定理知：121x x a ⋅=①，121x x a +=-②， 又已知121,1010⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦x t x ，③ 联立12121x x a x tx ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩，得121,(1)(1)--==++t x x t a t a ， 带入121x x a⋅=知：221(1)=+⋅t t a a ， 即211(1)2==+++t a t t t ，其中1,1010⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ． 当1t =时，分母12t t++取得最小值4，所以a 得最大值为14． 【点睛】 本题考查二次函数图像、对称轴、最值的基本关系，清楚一元二次方程根与系数的关系的处理，对“对勾函数”的单调性、最值的理解是解题的关键.。
最新高一数学三角函数与平面向量单元测试题
高一数学三角函数与平面向量单元测试题姓名: 班级: 学号一、选择题: 本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、若),1,3(),2,1(-==b a 则=-b a 2 （ ）A 、)3,5( B 、 )1,5( C 、 )3,1(- D 、 )3,5(--2．在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角为（ ）弧度。
A 、 1B 、 2C 、3 D. 43、如图是函数f (x)sin(x )=+ϕ一个周期内的图像，则ϕ可能等于 （ ）A 、56π B 、 2πC 、 6π- D 、6π4．化简00sin15-得到的结果是 （ ）A B 、 C 、 D +5、 已知函数f (x)sin(x )cos(x )=+ϕ++ϕ为奇函数，则ϕ的一个取值为（ ） A 、0 B 、2π C 、4π- D 、π 6.把函数742++=x x y的图像按向量a 经过一次平移以后得到2x y =的图像，则a 是（ ） A 、)3,2(- B 、 )3,2(- C 、 )3,2(-- D 、 )3,2(7.设),6,2(),3,4(21--P P 且P 在21P P =则点P 的坐标是（ ）A 、)15,8(-B 、 (0,3)C 、)415,21(-D 、)23,1(8.函数44f (x)sin(x)sin(x)ππ=+-是（ ）A 、周期为2π的奇函数B 、周期为2π的偶函数C 、周期为π的奇函数D 、周期为π的偶函数 9. 若为则ABC AB BC AB ∆=+•,02（ ）A 、直角三角形B 、钝角三角形C 、锐角三角形D 、等腰直角三角形10.稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，温州市某房地产介绍所对本市一楼群在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y（每平方面积的价格，单位为元）与第x季度之间近似满足：y500sin(x)9500(0)=ω+ϕ+ω>，已知第一、二季度平均单价如右表所示：则此楼群在第三季度的平均单价大约是（）元A、10000B、9500C、9000D、8500二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上.11、已知113a(,2sin),b(cos,),a322=α=α且∥b，则锐角α的值为；12、m,n a2m a n,|a|=⊥=设是两个单位向量，向量-n，则；13、函数y cos2x4cos x,x[,]32ππ=-∈-的值域是；14、在三角形ABC中，设a=AB，b=AC，点D在线段BC上，且DCBD3=，则AD用b,a表示为；15、已知偶函数f(x)2sin(x)(0,0)=ω+ϕω><ϕ<π的最小正周期是π，则f(x)的单调递减区间为；16、下列命题：①若cacbba=⋅=⋅，则②若a与b是共线向量，b与c是共线向量，则a与c是共线向量：-=+，则0=⋅ba④若a与b是单位向量，则1=⋅ba其中真命题的序号为。
高一年级数学三角函数单元测试题附答案(2021年整理)
高一年级数学三角函数单元测试题附答案(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高一年级数学三角函数单元测试题附答案(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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三角函数测试题一．选择题（5分×12=60分) 1．tan300o＋cot405o的值为A ．1＋3B 。
1－3 C.－1－3 D 。
－1＋3 2。
令a=sin （π－1），b=sin2,c=cos1，则它们的大小顺序为 A 。
a>b 〉c B.b 〉a 〉c C.c 〉b>a D 。
c 〉a 〉b3.函数y=sin （4π－x)的递增区间是 A 。
［ 2k π－43π，2k π＋4π]（k ∈ Z ） B 。
［ 2k π＋π43,2k π＋π47]（k ∈ Z) C 。
［2k π＋4π，2k π＋π45］（k ∈ Z) D.［2k π－4π, 2k π＋π43](k ∈ Z ）4.sin6o cos24o sin78o cos48o的值等于A.－161 B.81 C.161 D.－815.已知sin αcos α=83且α∈（4π,2π)，则cos α–sin α的值是A 。
21B 。
－21C 。
41 D.－41 6. 函数f （x ）=3cos(3x －θ)－sin （3x －θ)是偶函数,则θ等于 A 。
k π B. k π＋3π C. k π－6π D. k π＋6π7。
已知点P （sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在α∈ ［0，2π]内α的取值范围是 A.（2π, 43π) ∪（π, π45) B 。
江苏省江阴市长泾中学高考数学一轮复习 三角函数与平面向量的综合应用课件
本题属于中档题，难度适中.
高考原题赏析
（2013 江苏·15）已知 a cos，sin ， b cos，sin ，
边分别为 a、b、c，且π2R(sin2A－sin2C)＝( 2a－b)sinB， 那么角 C 的大小为____4____．
2.解：由正弦定理，得 a2－c2＝ 2ab－b2，
∴cosC＝a2＋2ba2b－c2＝
2 2.
∵0<C<π，∴C＝π4.
二、基础回顾：
3.在△ABC
中，已知向量
AB
与
AC
满足
又
AB AB
AC AC
AB AB
AC cos A cos A 1 ,
AC
2
所以A=π/3， 于是△ABC是正三角形
4．已知函数 f(x)＝3sin(ωx＋φ)，g(x)＝3cosωx＋φ，若对任意
x∈R 都有 fπ6＋x＝fπ6－x，则 gπ6＝___0_____.
cos120°＝AC2＋2ABCC·B2－C AB2，
∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120° ＝a2＋a2－2a2－12＝3a2，
∴AB＝ 3a.
知识梳理：
1、三角函数的最值问题 (1) 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式
① y＝asinx＋bcosx＝ a2＋b2sin(x＋φ)，
(2) 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式
① y＝asin2x＋bcosx＋c 可转化为 cosx 的二次函数式． ② y＝令assiinnxx＝＋tb，sicn则x(转a、化b为、求c>0y)，＝at＋bct(－1≤t≤1)
江苏省江阴长泾中学2020——2021学年10月份检测高一数学试卷
江苏省江阴长泾中学2020——2021学年10月份检测高一数学试卷注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并用2B 铅笔把对应的号码涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用使用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1 ▲ ）A. A ∈0B. {}A ⊆2C. A ⊆2D. A ∈φ2. 下列函数与函数x y =相等的是（ ▲ ）A. 2)(x y =B.2x y =C. 33)(x y =D. x x y 2= 3．下列集合中，表示同一集合的是（ ▲ ）A ．{}{}(3,2),(2,3)M N ==B ．{}{}(,)1,1M x y x y N y x y =+==+=C ．{}{}4,5,5,4M N ==D ．{}(){}1,2,1,2M N ==4. 设集合{}20≤≤=x x M ，{}20≤≤=y y N ，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有（ ▲ ）A ．B ．C ．D ． 5．函数12)(2+-=x x x f 的定义域为( ▲ ) A. (]2,1- B. [)+∞,2 C.()[)+∞-∞-,11, D.()[)+∞-∞-,21,6．已知函数)(x f 满足32)13(-=+x x f 且1)(=a f ，则实数a 的值为（ ▲ ）A ．7-B ．6-C ．7D ．67. 下列存在量词命题是假命题的是 ( ▲ )A. 存在Q x ∈,使023=-x xB. 存在R x ∈,使012=++x xC. 至少有一个正整数是偶数D. 有的有理数没有倒数8. 若函数432--=x x y 的定义域为[]m ,0，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--4,425，则m 的取值范围是( ▲ )A ．(]4,0B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,23C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,23D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.)9. 设全集{}4,3,2,1,0=U ，集合{}4,1,0=A ，{}3,1,0=B ，则（ ▲ ）A. {}1,0=B AB.{}4=B C UC. {}4,3,1,0=B AD. 集合A 的真子集个数为810．已知集合[)5,2=A ，()+∞=,a B .若B A ⊆，则实数a 的值可能是( ▲ )A ．3-B ．1C ．2D ．511. 若011<<ba ，则下列不等式中正确的是（ ▲ ） A ．ab b a <+ B ．b a > C ．b a < D ．2>+b a a b 12．下面命题正确的是（ ▲ ）A ．“1>a ”是“11<a”的充分不必要条件 B ．命题“若1<x ，则12<x ”的否定是“存在10<x ，则120≥x ”C ．设R y x ∈,，则“22≥≥y x 且”是“422≥+y x ”的必要而不充分条件D ．设R b a ∈,，则“0≠a ”是“0≠ab ”的必要不充分条件第Ⅱ卷 非选择题（共90分）三、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13. 若全集，集合，，则__▲______.14. 已知二次函数)(x f y =,0)0()2(==-f f 且)(x f 的最小值为1-．则函数)(x f 的解析式为________▲___________．15．设1,0>>b a ,若2=+b a ,则119-+b a 的最小值为____▲______． 16. 已知函数)1(+=x f y 的定义域与值域都是[]2,1，则)1(2-=x f y 的定义域是_______▲_______；值域是____▲____.四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.)17.（本题满分10分）U =R 2{|4}M x x =>1{|0}3x N x x +=<-M N =已知函数)(x f 满足x x f =-)21(． (1) 求)(x f 的解析式；(2) （2)求函数)()21(x f x f y --=的值域.▲ ▲▲18.（本题满分12分）请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数m 存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.已知集合{}01242≤--=x x x A ,{}0,01222>≤-+-=m m x x x B .（1）求集合B A ,；（2）若A x ∈是B x ∈成立的______条件，判断实数m 是否存在？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.▲ ▲▲19．（本题满分12分）已知命题p :存在实数R x ∈，使012≤+-ax x 成立.（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）命题q :任意实数[]2,1∈x ，使0122≤+-ax x 恒成立.如果q p ,都是假命题，求实数a 的取值范围.▲ ▲▲20.（本题满分12分）已知关于x 的不等式0)1(2<++-b x a ax ．（1）若不等式的解集是{}51<<x x ，求b a +的值；（2）若1,0=>b a ，求此不等式的解集．▲ ▲▲21.（本题满分12分）某工厂某种航空产品的年固定成本为250万元,每生产x 件,需另投入成本为)(x C , 当年产量不足80件时,x x x C 1031)(2+=（万元）;当年产量不小于80件时, 14501000051)(-+=xx x C （万元）.每件商品售价为50万元.通过市场分析,该厂生产 的商品能全部售完.（1）写出年利润)(x L （万元）关于年产量x （件）的函数解析式;（2）年产量为多少件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?▲ ▲▲22．（本题满分12分）已知)(x f 是定义在区间[]1,1-上的函数，且1)1(=f ，若[]1,1,-∈n m ，0≠+n m 时，有0)()(>++nm n f m f ，且对任意[]1,1-∈x ，)()(x f x f -=-都成立． （1）求证：)(x f 在[]1,1-上是增函数；（2）若12)(2+-≤at t x f 对所有[]1,1-∈x ，[]1,1-∈a 恒成立，求实数t 的取值范围．▲ ▲▲。
高一单元测试数学试卷(三角函数、平面向量)
高一单元测试数学试卷（三角函数、平面向量）一、 选择题（本大题共13个小题，每小题3分，满分39分）１．已知)2,0(,54sin παα∈=，则cos2α等于…………………………………………（ ） A ．257 B ．－257 C ．1 D ．572．化简αβααβαsin )cos(cos )sin(---的结果是……………………………… ( )A ．βsin -B ．βcosＣ．)2sin(βα-Ｄ．)2cos(βα-3．已知向量),cos ,(sin ),4,3(αα==b a 且a ∥b ，则αtan = …… ………… （ ）A ．43B ．43-C ．34D ．34-4．函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，则ϕ的值是………………（ ） A. 4π B. 0 C. π D. 2π5．已知向量与反向，下列等式中成立的是 …………………………………… （ ）A ．||||||-=-B ．||||-=+C ．||||||-=+D ．||||||+=+6.在△ABC 中，若3a =2b sin A ,则B 为……………………………………………… （ ）A ．3πB ．6π C ．3π或32πD ．6π或65π7．若平面向量与向量)2,1(-=的夹角是︒180，且53||=，则= （ ） A ．)6,3(- B ．)6,3(-C ．)3,6(-D ．)3,6(-8．已知21)ta n(),,2(,53sin =-∈=βπππαα则)tan(βα-的值为 ……………… ( )A ．112 B ．112- Ｃ．-2 Ｄ．2 9．若非零向量b a ,互相垂直，则下列各式中一定成立的是 ………………………（ ）A ．b a b a -=+B ．||||b a b a -=+C ．0))((=-+D ．0)(2=-b a１0.将函数)621c os(π+=x y 的图象经过怎样的平移，可以得到函数x y 21cos =的图象（ ） A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移3π个单位C ．向右平移3π个单位 D ．向左平移12π个单位11．下列各组向量中：①)2,1(1-=e )7,5(2=e ②)5,3(1=e )10,6(2=e ③)3,2(1-=e )43,21(2-=e有一组能作为表示它们所在平面内所有向量的基底，正确的判断是 ………………（ ）A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③12．若2121,,PP P P b OP a OP λ===，则OP 等于………………………………（ ）A ．b a λ+B ．b a +λC ．b a )1(λλ-+D ．b a λλλ+++111 13．电流强度I (安培)随时间t (秒)变化的函数I =A sin(ωx +ϕ)的图象如图所示，则当t =1207(秒)时的电流强度为………………………………………… ( ) A.0 B.10 C.-10 D.5二、 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在题中的横线上） 14. 计算=︒-︒15cos 2315sin 21. 15．已知向量)1,1(=a ，)3,2(-=b ，若b a k 2-与a 垂直，则实数k = . 16．函数⎪⎭⎫⎝⎛-=x y 23sin 3π的单调递减区间是________________________． 17．将函数y=f(x) 的图象按向量a=(2,－1) 平移得到y = x-3的图象, 则f(x) 的表达式为.三、解答题（共45分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．（满分8分）已知菱形ABCD 的边长为2,求向量AB －CB +CD 的模的长.19．（满分9分）已知α、β为锐角，且1010sin ,55sin ==βα， (1)求cos(βα+)的值。
江阴市长泾中学必修一第四单元《函数应用》测试(包含答案解析)
一、选择题1．已知关于x 的方程2(3)10ax a x +-+=在区间1(,)2+∞上存在两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2332a << B ．213a < C ．9aD ．293a < 2．已知函数2,0()()21,0x e a x f x a R x x ⎧+=∈⎨->⎩，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞- B ．[2,0)- C ．(1,0)- D ．[1,0)-3．对于函数()f x 和()g x ，设(){}0x R f x α∈∈=，(){}0x R g x β∈∈=，若存在α、β，使得1αβ-≤，则称()f x 与()g x 互为“零点关联函数”．若函数()12x f x e x -=+-与()23g x x ax a =--+互为“零点关联函数”，则实数a 的取值范围为（ ） A ．7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]2,3D ．[]2,44．已知关于x 的方程|2|1x m -=有两个不等实根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞，1]-B ．(,1)-∞-C ．[1，)+∞D ．(1,)+∞5．对任意实数a ，b 定义运算“”：,1,1b a b ab a a b -≥⎧=⎨-<⎩，设()()()214f x x x k =-++，若函数()f x 的图象与x 轴恰有三个交点，则k 的取值范围是（ ） A ．[)2,1-B ．[]0,1C ．(]0,1D ．()2,1-6．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x 满足()()00f x f x -=-，则称函数()f x 为“倒戈函数”．设()31xf x m =+-（m ∈R ，0m ≠）是定义在[]1,1-上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是（ ） A ．2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．21,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(),0-∞7．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A ．y =lnxB ．21y x =+C ．y =sinxD ．y =cosx8．已知函数()21,04,0x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，若函数()y f x a =-有3个不同的零点1x ，2x ，3x（123x x x <<），则123ax x x ++的取值范围是( ) A ．()2,0-B ．[]2,0-C ．[]2,0-D ．(]2,0-9．有一组数据，如表所示：下列函数模型中，最接近地表示这组数据满足的规律的一个是（ ）． A ．指数函数B ．反比例函数C ．一次函数D ．二次函数10．双“十一”要到了，某商品原价为a 元，商家在节前先连续5次对该商品进行提价且每次提价10%.然后在双“十一”期间连续5次对该商品进行降价且每次降价10%.则最后该商品的价格与原来的价格相比 A ．相等B ．略有提高C ．略有降低D ．无法确定11．若关于x 的方程12xa a -= (a >0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是（ ） A ．(0，1)∪(1，+∞) B ．(0，1) C ．(1，+∞)D ．1(0,)212．用d （A ）表示集合A 中的元素个数，若集合A ={0，1}，B ={x |（x 2-ax ）（x 2-ax +1）=0}，且|d （A ）-d （B ）|=1．设实数a 的所有可能取值构成集合M ，则d （M ）=（ ） A ．3B ．2C ．1D ．4二、填空题13．已知函数()2200x a x f x x ax x +<⎧=⎨-≥⎩，，，若关于x 的方程()()0f f x =有8个不同的实根，则a 的取值范围__________.14．已知函数()()21,043,0x e x f x x x x +⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，函数()y f x a =-有四个不同的零点，从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x -++的取值范围为 _________15．已知函数()22,0,0x x x f x x x ⎧--≤=⎨>⎩，若函数()()g x f x m =-与x 轴有3个交点，则实数m 的取值范围是_________．16．已知函数()333xxf x -=+-，若函数()()()log 2a g x f x x =-+ （0a >且1a ≠）在区间[]1,1-上有4个不同的零点，则实数a 的取值范围是__________.17．若关于x 的方程()4230x x f x k k =-⋅++=只有一个实数解，则实数k 的取值范围是______.18．若函数2,1()4()(2),1x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--≥⎩恰有两个零点，则实数a 的范围是________19．规定[]t 为不超过t 的最大整数，如[]3.33=，[]2.43-=-.若函数()[][]()2f x x x x =-∈R ，则方程()()22f x f x -=的解集是______.20．若函数|1|12x y m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是__________．三、解答题21．某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本()f x （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为()21100400004f x x x =-+． （1）写出自变量x 的取值范围；（2）为使每吨平均处理成本最低（如处理400吨垃圾时每吨垃圾平均处理成本为()400400f ），该厂每月处理量垃圾应为多少吨？ 22．某产品拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m 万件与年促销费用x （0x a ≤≤）万元满足141m x =-+.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要投入25万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用x 万元的函数； （2）该服装厂2020年的促销费用投入多少万元时，利润最大？ 23．已知函数()()1f x x x a x R =--+∈. （1）当2a =时，求函数()()g x f x x =-的零点；（2）对于给定的正数,a 有一个最大的正数()M a ，使()0,x M a ∈⎡⎤⎣⎦时，都有()2f x ≤，试求出这个正数()M a ，并求它的取值范围.24．荷兰阿斯麦尔公司（ASML ）是全球高端光刻机霸主，最新的EUV （极紫外光源）具备7nm 工艺.芯片是手机中重要部件，除此以外还有如液晶屏、电池等配件.如果某工厂一条手机配件生产线的产量ω（单位：百个）与生产成本x （单位：百元）满足如下关系：()213(02)236(25)1x x x x x ω⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪+⎩此外，还需要投入其他成本（如运输、包装成本等）2x 百元，已知这种手机配件的市场售价为16元/个（即16百元/百个），且市场需要始终供不应求.记这条生产线获得的利润为()L x （单位：百元）. （Ⅰ）求()L x 的函数表达式；（Ⅱ）当投入的生产成本为多少时，这条生产线获得的利润最大？最大利润是多少？ 25．已知函数()()()4log 41xf x kx k R =++∈是偶函数.（1）求k 的值；（2）设()44log 23xg x a a ⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭，若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围.26．已知二次函数()2441f x kx kx k =-++.(1)若12,x x 是()f x 的两个不同零点,是否存在实数k ,使()()121211224x x x x ++=成立?若存在,求k 的值;若不存在,请说明理由.(2)设1k =-,函数()()28,048,0f x x t x g x x x t x ⎧--<=⎨--≥⎩,存在3个零点.(i)求t 的取值范围;(ii)设,m n 分别是这3个零点中的最小值与最大值,求n m -的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】可设2()(3)1f x ax a x =+-+，0a ≠，讨论0a >，0a <，结合对称轴与区间的关系和1()2f 的符号、判别式的符号，解不等式可得所求范围． 【详解】解：方程有两个实数根，显然0a ≠，可设2()(3)1f x ax a x =+-+，对称轴是32ax a-=， 当0a >时，要使二次方程在区间1(,)2+∞上有两个实数根，如图所示，则需3122a a ->，且113()10242a f a -=++>，且2(3)40a a ∆=--， 即为302a <<且23a >，且9a 或1a ，则213a <；当0a <时，要使二次方程在区间1(,)2+∞上有两个实数根，如图所示，则需3122a a ->，且113()10242a f a -=++<，且2(3)40a a ∆=--， 即为302a <<且23<a ，且9a 或1a ，则a ∈∅．综上可得，a 的取值范围是213a <．故选：B ． 【点睛】本题解题关键是结合二次函数的图象特征研究二次方程根的分布，分类讨论借助图象准确列出不等关系，突破难点.2．B解析：B 【分析】当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =，只需当0x ≤时，20x e a +=有一个根，利用“分离参数法”求解即可. 【详解】因为函数()2,021,0x e a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩,当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =， 所以只需当0x ≤时，202xxae a e +==-即有一个根即可， 因为2xy e =单调递增，当0x ≤时，(]0,1xe ∈，所以(]0,2a -∈，即[)2,0a ∈-， 故选：B. 【点睛】已知函数有零点（方程有根），求参数取值范围的三种常用的方法：（1）直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后利用数形结合求解．3．C解析：C 【分析】先求得函数()f x 的零点为1x =，进而可得()g x 的零点β满足02β≤≤，由二次函数的图象与性质即可得解. 【详解】由题意，函数()12x f x ex -=+-单调递增，且()10f =，所以函数()f x 的零点为1x =， 设()23g x x ax a =--+的零点为β，则11β-≤，则02β≤≤，由于()23g x x ax a =--+必过点()1,4A -，故要使其零点在区间[]0,2上，则()()020g g ⋅≤或()()00200022g g a ⎧>⎪>⎪⎪⎨∆≥⎪⎪≤≤⎪⎩，即()()3730a a -+-≤或()230370430022a a a a a -+>⎧⎪-+>⎪⎪⎨--+≥⎪⎪≤≤⎪⎩，所以23a ≤≤，故选：C. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将题目条件转化为函数()g x 零点的范围，再由二次函数的图象与性质即可得解.4．D解析：D 【分析】分离参数，再根据指数函数性质求出． 【详解】解：21x m -=或21x m -=-，即21x m =-，或者21x m =+， 当211x m =->-时，有一个解， 当211x m =+>时，有一个解，所以1m 时，方程|2|1x m -=有两个不等实根， 故选：D ． 【点睛】考查方程根的个数问题，利用了分类讨论法，分离参数法，属于中档题．5．A解析：A 【分析】利用新定义化简()f x 解析式，做出()g x 的函数图象，根据图象即可得出k 的范围. 【详解】解：有题意：21(4)1x x --+，解得：2x -或3x ，所以()24,(,2][3,)1,(2,3)x k x f x x k x ++∈-∞-⋃+∞⎧=⎨-+∈-⎩，令()24,(,2][3,)1,(2,3)x x g x x x +∈-∞-⋃+∞⎧=⎨-∈-⎩画出()g x 的函数图象，如图：因为函数()f x 的图象与x 轴恰有三个交点， 所以()y g x k =+有三个零点， 由图可得：21k -<． 故选：A ． 【点睛】本题考查根据零点个数求参数的范围，求解一元二次不等式，是中档题．6．A解析：A 【分析】()31x f x m =+-是定义在[1,1]-上的“倒戈函数，即存在0[1,1]x ∈-,满足00()()f x f x -=-，即02332x x m -=--+有根，即可求出答案．【详解】()31x f x m =+-是定义在[1,1]-上的“倒戈函数，∴存在0[1,1]x ∈-满足00()()f x f x -=-，003131x x m m -∴+-=--+， 002332x x m -∴=--+，构造函数00332x x y -=--+，0[1,1]x ∈-，令03x t =，1[,3]3t ∈，1122()y t t t t=--+=-+在1[,1]3单调递增，在(1,3]单调递减，所以1t =取得最大值0，13t =或3t =取得最小值43-，4[,0]3y ∴∈-，4203m ∴-<，032m ∴-<， 故选：A ． 【点睛】本题考查的知识点是指数函数的性质、函数的值域，新定义“倒戈函数”，正确理解新定义“倒戈函数”的含义，是解答的关键．7．D解析：D 【详解】选项A ：ln y x =的定义域为（0,+∞），故ln y x =不具备奇偶性，故A 错误；选项B ：21y x =+是偶函数，但210y x =+=无解，即不存在零点，故B 错误；选项C ：sin y x =是奇函数，故C 错； 选项D ：cos y x =是偶函数， 且cos 02y x x k ππ==⇒=+，k z ∈，故D 项正确.考点：本题主要考查函数的奇偶性和零点的概念.8．D解析：D作出函数()f x 的图象，由函数()f x 的图象与直线y a =的交点得123,,x x x 的范围与关系，从而可求得123ax x x ++的取值范围． 【详解】函数()y f x a =-的零点就是函数()y f x =的图象与直线y a =的交点的横坐标，作出函数()y f x =的图象，作出直线y a =，如图，由图可知122x x +=-，由241x =得12x =（12x =-舍去），∴3102x <≤，234x a =，∴23123334224(2,0]x ax x x x x ++=-+=-+∈-． 故选：D ．【点睛】本题考查函数的零点，解题关键是掌握转化与化归思想，函数零点转化为函数图象与直线的交点，由数形结合思想确定零点的性质，得出结论．9．C解析：C 【解析】随着自变量每增加1函数值大约增加2， 函数值的增量几乎是均匀的，故一次函数最接近地表示这组数据满足的规律． 故选C ．10．C解析：C 【分析】由题意列出商品最后的价格，利用指数幂的运算性质计算结果. 【详解】55110%110%+-（）（）=551.10.9=50.99<1， 故选C.本题考查了指数幂的实际应用，考查了指数的运算性质，属于中等题.11．D解析：D 【分析】由题意转化条件为函数y =1xa -(a >0，a ≠1)的图象与直线y =2a 有两个不同的交点，按照a >1、0<a <1分类，数形结合即可得解. 【详解】根据题意，函数y =1xa -(a >0，a ≠1)的图象与直线y =2a 有两个不同的交点， a >1时，如图（1）所示；0<a <1时，如图（2）所示.由图象知，0<2a <1，所以10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查了指数函数图象及函数图象变换的应用，考查了函数与方程的综合应用及数形结合思想、分类讨论思想，属于中档题.12．A解析：A 【分析】根据题设条件，可判断出d （B ）的值为1或3，然后研究（x 2﹣ax ）（x 2﹣ax +1）＝0的根的情况，分类讨论出a 可能的取值． 【详解】解：由题意，|d （A ）-d （B ）|=1，d （A ）=2，可得d （B ）的值为1或3若d （B ）=1，则x 2-ax=0仅有一根，必为0，此时a=0，则x 2-ax+1=x 2+1=0无根，符合题意 若d （B ）=3，则x 2-ax=0有一根，必为0，此时a=0，则x 2-ax+1=x 2+1=0无根，不合题意 故x 2-ax=0有二根，一根是0，另一根是a ，所以x 2-ax+1=0必仅有一根，所以△=a 2-4=0，解得a=±2此时x 2-ax+1=0为1或-1，符合题意综上实数a 的所有可能取值构成集合M={0，-2，2}，故d （M ）=3． 故选：A ．【点睛】本题考查方程的根的个数的判断以及集合中元素个数，综合性较强，考查了分类讨论的思想及一元二次方程根的个数的研究方法，难度中等．二、填空题13．【分析】先讨论结合函数解析式确定显然不满足题意；再讨论画出的图象利用数形结合的方法即可求出结果【详解】若当时恒成立；当时由得；即仅有一个根；所以由可得则；即方程仅有一个实根；故不满足有8个不同的实根 解析：()8,+∞【分析】先讨论0a ≤，结合函数解析式，确定显然不满足题意；再讨论0a >，画出()f x 的图象，利用数形结合的方法，即可求出结果. 【详解】若0a ≤，当0x <时，()20f x x a =+<恒成立；当0x ≥时，由()()20f x x ax x x a =-=-=得0x =；即()0f x =仅有0x =一个根；所以由()()0ff x =可得()0f x =，则0x =；即方程()()0f f x =仅有一个实根；故不满足()()0f f x =有8个不同的实根；若0a >时, 画出()2200x a x f x x ax x +<⎧=⎨-≥⎩，，的大致图象如下，由()()0ff x =可得()12f x a =-，()20fx =，()3f x a =，又()()0f f x =有8个不同的实根，由图象可得，()20f x =显然有三个根，()3f x a =显然有两个根，所以()12f x a =-必有三个根，而20a -<，2222244a a a y x ax x ⎛⎫=-=--≥- ⎪⎝⎭，为使()12f x a =-有三个根，只需224a a ->-，解得8a >；综上可知，8a >. 故答案为：()8,+∞. 【点睛】 方法点睛：已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.14．【分析】先将函数有四个不同的零点转化为函数有四个不同的交点利用数形结合得到a 的范围再根据为方程的两根为方程的两根利用韦达定理建立的函数再利用函数的单调性求解【详解】因为函数有四个不同的零点所以函数有 解析：(]3,3e +【分析】先将函数()y f x a =-有四个不同的零点，转化为函数(),y f x y a ==有四个不同的交点，利用数形结合得到a 的范围，再根据1x ，2x 为方程()21x e a +=的两根，3x ，4x 为方程43x a x+-=的两根，利用韦达定理建立1234x x x x -++的函数，再利用函数的单调性求解.【详解】因为函数()y f x a =-有四个不同的零点， 所以函数(),y f x y a ==有四个不同的交点， 如图所示：由图知：1a e <≤，设1x ，2x 为方程()21x e a +=的两根，即221ln 0x x a ++-=的两根， 所以121ln =-x x a ， 设3x ，4x 为方程43x a x+-=的两根，即()2340x a x -++=的两根， 所以343x x a +=+，所以1234ln 13ln 2x x x x a a a a -++=-++=++， 因为ln ,2y a y a ==+在()0,∞+上递增， 所以ln 2y a a =++在()0,∞+上递增， 所以1234(3,3]x x x x e ∈-+++， 故答案为：(]3,3e + 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用利用数形结合法确定a 的范围，进而利用函数法求解.15．【分析】先将函数与轴有个交点转化成与的交点问题再作出分段函数的图像利用数形结合求得范围即可【详解】依题意函数与轴有个交点即与有3个交点作分段函数的图像如下由图可知的取值范围为故答案为：【点睛】方法点 解析：()0,1【分析】先将函数()()g x f x m =-与x 轴有3个交点，转化成()y f x =与y m =的交点问题，再作出分段函数()y f x =的图像，利用数形结合求得m 范围即可. 【详解】依题意，函数()()g x f x m =-与x 轴有3个交点， 即()y f x =与y m =有3个交点，作分段函数()22,0,0x x x f x x x ⎧--≤=⎨>⎩的图像如下，由图可知，m 的取值范围为()0,1. 故答案为：()0,1.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解.16．【分析】将函数（且）在区间上有4个不同的零点转化为函数与函数的图象在区间上有4个不同的交点再根据函数的奇偶性和单调性作出函数的图象与函数的图象利用图象【详解】所以为偶函数设则因为所以即因为所以所以所 解析：27a ≥【分析】将函数()()()log 2a g x f x x =-+ （0a >且1a ≠）在区间[]1,1-上有4个不同的零点转化为函数|()|y f x =与函数log (2)a y x =+的图象在区间[]1,1-上有4个不同的交点，再根据函数()f x 的奇偶性和单调性作出函数|()|f x 的图象与函数log (2)a y x =+的图象，利用图象 【详解】()333()x x f x f x --=+-=，所以()f x 为偶函数，设120x x ≤<，则112212()()333333x x x xf x f x ---=+---+12121(33)(1)3x x x x +=--，因为12,x x <所以1233x x <，即12330x x -<，因为120x x ≤<，所以120x x +>，所以1231x x +>，所以121103x x +->，所以12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <， 所以()f x 在[0,)+∞上递增，因为()f x 为偶函数，所以()f x 在(,0)-∞上递减， 所以当0x =时，()f x 取得最小值(0)1f =-，因为函数()()()log 2a g x f x x =-+ （0a >且1a ≠）在区间[]1,1-上有4个不同的零点，所以函数|()|y f x =与函数log (2)a y x =+的图象在区间[]1,1-上有4个不同的交点， 作出两个函数的图象如图：由图可知，log (02)(0)log (12)(1)1a a f f a ⎧+<⎪+≤⎨⎪>⎩，即log 211log 331a a a <⎧⎪⎪≤⎨⎪>⎪⎩，解得27a ≥.故答案为：27a ≥. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解17．【分析】换元令再根据二次函数在区间上只有一个实数解求解即可【详解】令则在区间上只有一个实数解故=0在上有两个等根或有一个正根和一个负根①故②故实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查了根据根的 解析：(,3){6}-∞-⋃【分析】换元令2x t =,()0,t ∈+∞,再根据二次函数2()30g t t k t k =-⋅++=在区间()0,t ∈+∞上只有一个实数解求解即可. 【详解】令2x t =,()0,t ∈+∞,则2()30g t t k t k =-⋅++=在区间()0,t ∈+∞上只有一个实数解.故2()3g t t k t k =-⋅++=0在()0,t ∈+∞上有两个等根或有一个正根和一个负根.①()()()()2430620002k k k k k k ⎧--+=⎧-+=⎪⇒⎨⎨->->⎩⎪⎩ .故6k =②(0)303g k k =+<⇒<- 故实数k 的取值范围是(,3){6}-∞-⋃ 故答案为：(,3){6}-∞-⋃ 【点睛】本题主要考查了根据根的分布求解参数范围的问题.需要根据题意换元再分两种情况讨论.属于中档题.18．【分析】分别设分两种情况讨论即可求出的范围【详解】解：设若在时与轴有一个交点所以并且当时所以而函数有一个交点所以且所以若函数在时与轴没有交点则函数有两个交点当时与轴无交点无交点所以不满足题意（舍去）解析：1[,1)[2,)2+∞【分析】分别设()2,()4()(2)xh x a g x x a x a =-=--，分两种情况讨论，即可求出a 的范围.【详解】解：设()2,()4()(2)xh x a g x x a x a =-=--， 若在1x <时，()2xh x a =-与x 轴有一个交点，所以0a >，并且当1x =时，(1)20h a =-> ，所以02a <<， 而函数()4()(2)g x x a x a =--有一个交点，所以21a ≥，且1a <， 所以112a ≤<， 若函数()2xh x a =-在1x <时，与x 轴没有交点， 则函数()4()(2)g x x a x a =--有两个交点，当0a ≤时，()h x 与x 轴无交点，()g x 无交点，所以不满足题意（舍去），当(1)20h a =-≤时，即2a ≥时，()g x 的两个交点满足12,2x a x a ==，都是满足题意的，综上所述a 的取值范围是112a ≤<，或2a ≥. 故答案为：1[,1)[2,)2+∞.【点睛】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题.19．【分析】先计算出的取值再结合题目中的规定计算出结果【详解】由方程可得或若则故或由题目中的规定为不超过的最大整数当时可得当时可得;若则无解综上方程的解集是故答案为:【点睛】本题考查了新定义内容结合函数 解析：[)[)1,02,3-【分析】先计算出()f x 的取值,再结合题目中的规定计算出结果. 【详解】 由方程()()22fx f x -=,可得()2f x =或()1f x =-,若()2f x =,则[][]()22x x x -=∈R ,故[]2x =或[]1x =-,由题目中的规定[]t 为不超过t 的最大整数, 当[]2x =时,可得23x ≤<, 当[]1x =-时,可得10x -≤<;若()1f x =-,则[][]()21x x x -=-∈R 无解,综上方程()()22fx f x -=的解集是[)[)1,02,3-.故答案为:[)[)1,02,3-【点睛】本题考查了新定义内容,结合函数思想来解题,需要理清题意,抓住题目的核心,通常考查函数的性质、零点等问题.20．【分析】由可得出设函数将问题转化为函数与函数的图象有交点利用数形结合思想可求出实数的取值范围【详解】由可得出设函数则直线与函数的图象有交点作出函数与函数的图象如下图所示由图象可知则解得因此实数的取值 解析：[)1,0-【分析】由|1|102x y m -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭可得出112xm -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，设函数()112xg x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，将问题转化为函数y m =-与函数()y g x =的图象有交点，利用数形结合思想可求出实数m 的取值范围.【详解】由|1|102x y m -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭可得出112xm -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，设函数()112xg x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则直线y m =-与函数()y g x =的图象有交点，作出函数()111,122,1x x x g x x --⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪<⎩与函数y m =-的图象如下图所示，由图象可知()01g x <≤，则01m <-≤，解得10m -≤<. 因此，实数m 的取值范围是[)1,0-.故答案为：[)1,0-. 【点睛】本题考查利用函数有零点求参数的取值范围，在含单参数的函数零点问题的求解中，一般转化为参数直线与函数图象有交点来处理，考查数形结合思想的应用，属于中等题.三、解答题21．（Ⅰ）300600x ≤≤；（Ⅱ）400吨． 【分析】（1）根据已知可得答案；（2）根据已知可得每吨平均处理成本()()1400001003006004f x y x x x x ==+-≤≤，然后利用基本不等式可得答案. 【详解】 （1）300600x ≤≤（2）依题意，每吨平均处理成本()()1400001003006004f x y x x x x ==+-≤≤元，因为1400002004x x +≥=， 当且仅当1400004x x=即400x =时，等号成立 所以200100100y ≥-=，所以该厂每月处理量垃圾为400吨时，每吨平均处理成本最低为100元. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.22．（1）251081y x x =--+（(0,]x a ∈）；（2）当4a ≥时，该服装厂2020年的促销费用投入4万元时，利润最大；当04a <<时，该服装厂2020年的促销费用投入a 万元时，利润最大. 【分析】（1）根据题意，结合已知条件，列出函数关系即可；（2）对函数进行配凑，使之可用基本不等式，即可求得利润的最大值. 【详解】（1）由题意知：每件产品的销售价格为8252mm+⨯ 所以()8252825my m m x m+=⋅-++825m x =+-. 182541x x ⎛⎫=+-- ⎪+⎝⎭251081x x =--+（(0,]x a ∈） 所以251081y x x =--+（(0,]x a ∈）. （2）当4a ≥时，由251081y x x =--+()2510911x x ⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦10999≤-=当且仅当2511x x =++，即4x =时取等号.又(0,]x a ∈ 当4x =时，y 有最大值；当04a <<时，令()251091f x x x =--+ 在(]0,a 上任取12,x x 使得12x x <()()()()()121221121225252510910911111f x f x x x x x x x x x ⎛⎫-=---++=--⎪ ⎪++++⎝⎭(]()()()()122112121225,0,,401125,1011x x x x x x a a x x x x ∴-∈<∴<++<∴+<<>-+()()()120f x f x f x ∴-<∴是(]0,a 上的增函数..所以x a =时，y 有最大值；答：当4a ≥时，该服装厂2020年的促销费用投入4万元时，利润最大； 当04a <<时，该服装厂2020年的促销费用投入a 万元时，利润最大.. 【点睛】关键点睛：解题关键在于，当4a ≥时，利用均值不等式得到，251081y x x =--+()2510911x x ⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦10999≤-=；当04a <<时，令()251091f x x x =--+，利用定义法判断()f x 的单调性，进而求出x a =时，y 有最大值，最后得到答案，难度属于中档题23．（135；（2）答案见解析.【分析】（1）可令()0g x =，解含有绝对值的方程，对x 进行讨论，最后得出符合条件的x 的值.（2）因为()0,x ∈+∞时，()max 1f x =，故问题只需在给定的区间内()2f x ≥-恒成立，再按照22a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭和22a f ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭两种情况分类讨论，即可得到结论. 【详解】（1）令()()0g x f x x =-=,得()21f x x x x =--+=, 当2x ≥时，方程化简为：210x x --=，解得：12x +=（舍）或12x -=（舍）， 当2x <时，方程化简为：2310x x -+=，解得：x =x，32x ∴=. （2）当()0,x ∈+∞时，()max 1f x =，故问题只需要在给定的区间内()2f x ≥-恒成立，由2124a a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭分两种情况讨论：当2124a -<-时，即a >()M a 是方程212x ax -+=-的较小根()2a M a =由于a >a >，所以()(M a ∈当2124a -≥-时，即0a <≤时，()M a 是方程212x ax -++=-的较大根，()2a M a =由于0a <≤(a所以()M a ∈综上() 20<2a a M a a a ⎧>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩，且()(M a ∈⋃.【点睛】分类讨论方法，关键点在于运算时由于不确定性，需要对某个参数进行讨论，进而分类运算.恒成立问题，关键点在对于任意x D ∈，()f x a ≥恒成立，可转化为()min f x a ≥.24．（1）28483(02)()48963(25)1x x x L x x x x ⎧+-⎪=⎨--<⎪+⎩；（2）300元，7500元. 【分析】（1）由题意可得()16()2L x x x x ω=--，把()x ω代入整理得答案；（2）分段求出函数的最大值，取最大值中的最大者得答案．【详解】（1）28483(02)()16()248963(25)1x x x L x x x x x x x ω⎧+-⎪=--=⎨--<⎪+⎩； （2）当02x 时，2()8348L x x x =-+，对称轴方程为316x =， ()max L x L ∴=（2）74=； 当25x <时，48()99[3(1)]992751L x x x x =-++-+． 当且仅当483(1)1x x =++时，即3x =时等号成立． 因为7574>，所以，当投入的生产成本为300元时，这条生产线获得的最大利润是7500元.【点睛】本题考查分段函数函数模型的应用以及利用基本不等式求最值，考查了建模能力与运算求解能力，是基础题．25．（1）12k =-；（2）{}()31,-+∞.【分析】 （1）根据偶函数得到()()f x f x =-，化简得到441log 241x x x kx -+==-+，解得答案. （2）化简得方程142223x x x a a +=⋅-，设20x t =>得到()241103a t at ---=有且仅有一个正根，考虑1a =和1a ≠两种情况，计算得到答案.【详解】（1）由函数()f x 是偶函数可知：()()f x f x =-，∴()()44log 41log 41x x kx kx -++=+-，441log 241x x x kx -+==-+，即2x kx =-对一切x ∈R 恒成立，∴12k =-. （2）函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，即方程()4414log 41log 223x x x a a ⎛⎫+-=⋅- ⎪⎝⎭有且只有一个实根. 化简得：方程142223x x x a a +=⋅-有且只有一个实根. 令20x t =>，则方程()241103a t at ---=有且只有一个正根， 当1a =时，34t =-，不合题意； 当1a ≠且()244103a a ⎛⎫∆=+-= ⎪⎝⎭，解得34a =或3a =-. 若34a =，12t =-，不合题意；若3a =-，12t =满足； 当1a ≠且()244103a a ⎛⎫∆=+-> ⎪⎝⎭时，即34a >或3a <-且101a -<-，故1a >； 综上，实数a 的取值范围是{}()31,-+∞. 【点睛】本题考查了根据函数的奇偶性求参数，函数公共交点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，换元是解题关键.26．(1) 不存在.理由见解析；(2) (i) 41t <<- (ii)32+ 【分析】(1) .假设存在实数k 满足题意，由韦达定理可得：()()()21212121212 2224k x x x x x x x x k +++=++=+911144k k +==，解得12k =,又()216 161 160k k k k ∆=-+=->，即k 0<，综合可得假设不成立；(2) (i)作出函数()h x 的图象，观察图像即可求出t 的取值范围;(ii)设直线()41y t t =-<<与此图象的最左边和最右边的交点分别为,A B .即3 2B A n m x x -=-=，因为25+=+510≤+=，代入运算可得解. 【详解】解:(1)依题意可知,0k ≠.假设存在实数k ,使()()121211224x x x x ++=成立. 因为()f x 有两个不同零点，.所以()216 161 160k k k k ∆=-+=->,解得k 0<. 由韦达定理得121211,4k x x x x k ++== 所以()()()21212121212 2224k x x x x x x x x k +++=++=+911144k k +== 解得12k =,而k 0<,故不存在. (2)因为1k =-,设()()h x g x t =+,则()2244,0,48,0x x x h x x x x ⎧--<=⎨-≥⎩, 当0x <时,()214112()h x x =-++≤;当0x ≥时,()()24144h x x =--≥-. (i)作出函数()h x 的图象，如图所示,所以41t <<-.(ii)设直线()41y t t =-<<与此图象的最左边和最右边的交点分别为,A B .由244x x t --=,得11A t m x ---==由248x x t -=,得242B t n x ++==所以314 2B A t t n m x x +-++-=-=因为223251452)(24()t t t -++=+-++2552104≤+=， 所以当32t =-时，1 4t t -++取得最大值10. 故n m -的最大值为310+.【点睛】本题考查了函数的零点与函数图像的交点之间的关系，重点考查了重要不等式及数形结合的数学思想方法，属中档题.。
江阴市长山中学必修一第二单元《函数》检测(答案解析)
一、选择题1．函数()(3)()f x x ax b =--为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则(2)0f x ->的解集为（ ） A ．{|22}x x -<< B ．{|5x x >或1}x <- C ．{|04}x x << D ．{|4x x >或0}x <2．函数()()1ln 24f x x x =-+-的定义域是（ ） A ．[)2,4B ．()2,+∞C ．()()2,44,⋃+∞D ．[)()2,44,+∞3．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．1y x=B．y =C ．2x y = D ．||y x x =-4．已知函数f (x )满足f (x -1)=2f (x )，且x R ∈，当x ∈[-1，0)时，f (x )=-2x -2x +3，则当x ∈[1,2)时，f (x )的最大值为（ ） A ．52B ．1C ．0D ．-15．若函数22,2()13,22x ax x f x a x x⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．115,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,215⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．41,152⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．152,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(2)0f -=，则()0f x x<的解集是（ ）A ．{2002}xx x -<<<<∣或 B ．{22}xx x <->∣或 C ．{202}xx x <-<<∣或 D ．{202}xx x -<<>∣或 7．已知53()1f x ax bx =++且(5)7,f =则(5)f -的值是（ ）A ．5-B ．7-C ．5D ．78．已知函数()y f x =的定义域为[]0,4，则函数0(2)y x =-的定义域是（ ） A ．[1,5]B ．((1,2)(2,5) C ．(1,2)(2,3]⋃D ．[1,2)(2,3]⋃9．已知函数()2f x x ax b =-+-（a ，b 为实数）在区间[]22-,上最大值为M ，最小值为m ，则M m -（ ）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，但与b 有关D ．与a 无关，且与b 无关10．函数2log xy x x=的大致图象是（ ） A ． B ． C ． D ．11．若函数()()12311ax f x x a x x ⎧>⎪=⎨⎪-+≤⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭12．已知函数()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，且()21f =，()()()f xy f x f y =+，则不等式()()23f x f x +-≤（ ）A ．()1,2B ．[)1,3C ．()2,4D ．(]2,4二、填空题13．已知函数(31)4,2(),2a x a x f x ax x -+<⎧=⎨-≥⎩满足对任意的实数12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-，则a 的取值范围是______________.14．函数1,1()32,12x a x f x a x x ⎧+>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 取值范围为________.15．已知函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=-，若()113f =- ，则()2019f = _________.16．函数21y ax ax =++的定义域是R ，则a 的取值范围是_________．17．下列给出的命题中：①若()f x 的定义域为R ，则()()()g x f x f x =+-一定是偶函数；②若()f x 是定义域为R 的奇函数，对于任意的x ∈R 都有()(2)0f x f x +-=，则函数()f x 的图象关于直线1x =对称；③某一个函数可以既是奇函数，又是偶函数；④若1()2ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上是增函数，则12a >； 其中正确的命题序号是__________．18．已知函数2220()20x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，，，， 则不等式()()f x f x >-的解集为_______________．19．函数y =a x (a >0且a ≠1)在［1,2］上的最大值比最小值大2a，则a =______.20．已知函数2262()2x ax x f x a x x⎧-+⎪=⎨>⎪⎩，≤，，是R 上的减函数，则a 的取值范围为______．三、解答题21．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()22f x x x =+．（1）求函数()f x 的解析式；（2）指出函数()f x 在R 上的单调性（不需要证明）；（3）若对任意实数m ，()()20f m f m t +->恒成立，求实数t 的取值范围．22．（1）已知函数()f x =，求()f x 的定义域； （2）已知函数1()2f x x x=-+，依据函数单调性的定义证明()f x 在(0,)+∞上单调递减，并求该函数在[1,3]上的值域.23．已知奇函数()()2?2,1,1xxf x a x -=+∈-． （1）求实数a 的值；（2）判断()f x 在()1,1-上的单调性并进行证明；（3）若函数()f x 满足()()1120,f m f m -+-<求实数m 的取值范围．24．已知二次函数()2f x ax bx =+满足()20f =，且方程()f x x =有两个相等实根.（1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数(),m n m n <，使()f x 的定义域是[],m n ，值域是[]3,3m n .若存在，求,m n 的值，若不存在，请说明理由.25．已知一次函数()y f x =满足()12f x x a -=+， . 在所给的三个条件中，任选一个补充到题目中，并解答. ①()5f a =，②142a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，③()()41226f f -=.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若()()()g x x f x f x x λ=⋅++在[]0,2上的最大值为2，求实数λ的值. 26．已知函数()()90f x x x x=+≠. （1）当()3,x ∈+∞时，判断并证明()f x 的单调性； （2）求不等式()()2330f xf x +≤的解集.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据函数是偶函数，求出a ，b 关系，结合单调性确定a 的符号即可得到结论． 【详解】2()(3)()(3)3f x x ax b ax a b x b =--=-++为偶函数， 所以22()(3)3(3)3f x ax a b x b ax a b x b -=+++-=++ 30a b ∴+=，即3b a =-，则2()(3)(3)(3)(3)9f x x ax a a x x ax a =-+=-+=-， 在(0,)+∞上单调递增，0a ∴>，则由(2)(1)(5)0f x a x x -=--->，得(1)(5)0x x +->， 解得1x <-或5x >，故不等式的解集为{|1x x <-或5}x >． 故选：B 【点睛】思路点睛：解答本题只要按部就班化简转化函数为偶函数和单调性即可得解.由函数的奇偶性得到3b a =-，由函数的单调性得到0a >.2．C解析：C 【分析】先根据函数的解析式建立不等式组，再解不等式组求定义域即可. 【详解】解：因为函数的解析式：()()1ln 24f x x x =-+-所以2040x x ->⎧⎨-≠⎩，解得24x x >⎧⎨≠⎩故函数的定义域为：()(2,4)4,+∞故选：C 【点睛】数学常见基本初等函数定义域是解题关键.3．D解析：D 【分析】利用奇函数的定义和常见基本初等函数的性质，对选项逐一判断即可. 【详解】 选项A 中，函数1y x =，由幂函数性质知1y x=是奇函数，且其在()(),0,0,-∞+∞两个区间上递减，不能说在定义域内是减函数，故错误；选项B 中，函数y =[)0,+∞，不对称，故不具有奇偶性，，且在定义域内是增函数，故错误；选项C 中，指数函数2xy =，22x x -≠，且22x x -≠-，故不是奇函数，故错误；选项D 中，函数22,0,0x x y x x x x ⎧-≥=-=⎨<⎩，记()y f x =，当0x >时，0x -<，故22(),()f x x f x x =--=，故()()f x f x -=-，当0x =时，(0)0f =，故()()f x f x -=-，当0x <时，0x ->，故22(),()f x x f x x =-=-，故()()f x f x -=-，综上，()y f x =是奇函数，又0x ≥时，2()f x x =-是开口向下的抛物线的一部分，是减函数，由奇函数性质知()y f x =在定义域R 上是减函数，故正确. 故选：D. 【点睛】本题解题关键是熟练掌握常见的基本初等函数的性质，易错点是分段函数奇偶性的判断，分段函数必须判断定义域内的每一段均满足()()f x f x -=-（或()()f x f x -=）才能判定其是奇函数（或偶函数）.4．B解析：B 【分析】 首先设[)1,2x ∈，利用函数满足的关系式，求函数的解析式，并求最大值.【详解】 设[)1,2x ∈，[)21,0x -∈-，()()()222222323f x x x x x ∴-=----+=-++， ()()()()211214f x f x f x f x -=--=-=⎡⎤⎣⎦， ()()()()2211122311444f x f x x x x ∴=-=-++=--+， [)1,2x ∈，()f x ∴在区间[)1,2单调递减，函数的最大值是()11f =.故选：B 【点睛】思路点睛：一般利用函数的周期，对称性求函数的解析式时，一般求什么区间的解析式，就是将变量x 设在这个区间，根据条件，转化为已知区间，再根据关系时，转化求函数()f x 的解析式. 5．D解析：D 【分析】若函数()f x 在R 上递减，则必须满足当(],2x ∈-∞时，函数22y x ax =-递减，且()2,x ∈+∞时132y a x=-也递减，且端点处的函数值必须满足条件． 【详解】 易知函数132y a x=-在(2,)+∞上单调递减，要使函数()f x 在R 上单调递减， 则函数22y x ax =-在(,2]-∞上单调递减，所以2a ≥， 当2x =时，2244x ax a -=-，113324a a x -=-，要使()f x 在R 上单调递减， 还必须14434a a -≥-，即154a ≤，所以1524a ≤≤.故选：D ． 【点睛】解答本题时，首先要保证原函数在每一段上都递减，另外，解答时容易忽略掉端点的函数值的大小关系.6．A解析：A 【分析】由()0f x x <对0x >或0x <进行讨论，把不等式()0f x x<转化为()0f x >或()0f x <的问题解决，根据()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(2)0f -=，把函数值不等式转化为自变量不等式，求得结果． 【详解】解：()f x 是R 上的奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，∴在(,0)-∞内()f x 也是增函数，又(2)0f -=，()20f ∴=，∴当(x ∈-∞，2)(0-⋃，2)时，()0f x <；当(2x ∈-，0)(2⋃，)+∞时，()0f x >；∴()0f x x <的解集是{|20x x -<<或02}x <<． 故选：A ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，解决此类问题的关键是理解奇偶函数在关于原点对称的区间的单调性，奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；7．A解析：A 【解析】()()53531,1f x ax bx f x ax bx =++∴-=--+，()()()()2,552f x f x f f +-=∴+-=，()5275f -=-=-，故选A. 8．C解析：C 【分析】由函数定义域的定义，结合函数0(2)y x =-有意义，列出相应的不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数()y f x =的定义域为[]0,4，即[]0,4x ∈，则函数0(2)y x =-满足0141020x x x ≤+≤⎧⎪->⎨⎪-≠⎩，解得13x <≤且2x ≠，所以函数0(2)y x =+-的定义域是(1,2)(2,3]⋃. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域的求解，其中解答中熟记函数的定义域的定义，根据题设条件和函数的解析式有意义，列出不等式组是解答的关键，着重考查推理与运算能力.9．B解析：B 【解析】函数()2f x x ax b =-+-的图象是开口朝上且以直线2ax =-为对称轴的抛物线， ①当22a -＞ 或22a-<-，即4a -＜ ，或4a ＞时， 函数f x （） 在区间[]2,2-上单调， 此时224M m f f a -=--=（）（）， 故M m - 的值与a 有关，与b 无关 ②当022a≤-≤ ，即40a -≤≤ 时， 函数f x （）在区间[2]2a --， 上递增，在[2]2a -， 上递减， 且22f f -<（）（） ， 此时2322424a a M m f f a -=---=--（）（），故M m - 的值与a 有关，与b 无关③当202a-≤-≤，即04a ≤≤时， 函数f x （）在区间[2]2a -，上递减，在[2]2a --，上递增， 且22f f <-（）（）此时222424a a M m f f a -=--=-+（）（），故M m - 的值与a 有关，与b 无关 综上可得M m - 的值与a 有关，与b 无关 故选B【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．10．D解析：D 【解析】()222log ,0log log ,0x x x y x x x x >⎧==⎨--<⎩，所以当0x >时，函数22log log x y x x x ==为增函数，当0x <时，函数()22log log xy x x x==--也为增函数，故选D. 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.11．C解析：C 【分析】由函数是R 上的减函数，列出不等式，解出实数a 的取值范围． 【详解】因为()f x 是R 上的减函数，故023033a a a a>⎧⎪-<⎨⎪-≥⎩，故2334a <≤，故选：C 【点睛】本题考查函数的单调性的应用，考查分段函数，属于中档题．12．D解析：D 【分析】根据()()()f xy f x f y =+且()21f =可得()42f =，83f ，则()()23f x f x +-≤可化为()()28f x x f -≤⎡⎤⎣⎦，然后根据单调性求解.【详解】根据()()()f xy f x f y =+可得，()()23f x f x +-≤可转化为()23f x x -≤⎡⎤⎣⎦， 又()()()()422222f f f f =+==，所以()()()842213f f f =+=+=，即()()28f x x f -≤⎡⎤⎣⎦，因为()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，所以只需满足()28020x x x x ⎧-≤⎪>⎨⎪->⎩，解得：24x <≤.故选：D. 【点睛】本题考查抽象函数的应用，考查利用函数的单调性解不等式，难度一般，根据题目条件将问题灵活转化是关键.二、填空题13．【分析】求出函数单调递减由分段函数的单调性得出关于的不等式组解出即可【详解】由题意得：在上单调递减故解得即的取值范围是故答案为：【点睛】易错点睛：对于分段函数的性注意在临界位置的函数值大小比较该题中解析：1163⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【分析】求出函数单调递减，由分段函数的单调性得出关于a 的不等式组，解出即可. 【详解】由题意得：()f x 在R 上单调递减，故310062+42a a a a a-<⎧⎪>⎨⎪-≥-⎩，解得1163a ≤<，即a 的取值范围是1163⎡⎫⎪⎢⎣⎭，，故答案为：1163⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.【点睛】易错点睛：对于分段函数的性，注意在临界位置的函数值大小比较，该题中容易遗漏不等式62+42a a a -≥-.14．【分析】根据指数函数和一次函数的性质得出关于的不等式组即可求解【详解】由题意函数是上的单调递增函数可得解得即实数取值范围故答案为：【点睛】利用函数的单调性求解参数的取值范围：根据函数的单调性将题设条解析：8[,6)3【分析】根据指数函数和一次函数的性质，得出关于a 的不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数1,1()32,12x a x f x a x x ⎧+>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数， 可得13021322a a a a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪+≥-+⎪⎩，解得863a ≤<，即实数a 取值范围8[,6)3.故答案为：8[,6)3. 【点睛】利用函数的单调性求解参数的取值范围：根据函数的单调性，将题设条件转化为函数的不等式（组），即可求出参数的值或范围； 若分段函数是单调函数，则不仅要保证在各区间上单调性一致，还要确保在整个定义域内是单调的.15．3【分析】根据题意求得函数的周期性得出函数的周期然后利用函数的周期和的值即可求解得到答案【详解】由题意函数对任意实数满足条件则即函数是以4为周期的周期函数又由令则即所以【点睛】本题主要考查了抽象函数解析：3 【分析】根据题意，求得函数的周期性，得出函数的周期，然后利用函数的周期和()1f 的值，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，函数()f x 对任意实数x 满足条件1(2)()f x f x +=-， 则()1(4)[(2)2](2)f x f x f x f x +=++=-=+，即函数()f x 是以4为周期的周期函数， 又由()113f =-，令1x =-，则1(12)(1)f f -+=--，即1(1)3(1)f f -==， 所以()2019(14505)(1)3f f f =-+⨯=-=． 【点睛】本题主要考查了抽象函数的应用，以及函数的周期性的判定和函数值的求解，其中解答中根据题设条件求得函数的周期是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16．【分析】根据函数的解析式可知当定义域为时说明在上恒成立则对进行分类讨论确定满足条件的的范围【详解】由题意可得在上恒成立①当时则恒成立符合题意；②当时则解得综上可得∴实数的取值范围为故答案为：【点睛】 解析：[)0,4【分析】根据函数的解析式，可知当定义域为R 时，说明210ax ax ++>在R 上恒成立，则对a 进行分类讨论，确定满足条件的a 的范围. 【详解】由题意可得210ax ax ++>在R 上恒成立． ①当0a =时，则10>恒成立，0a ∴=符合题意；②当0a ≠时，则2040a a a >⎧⎨-<⎩，解得04a <<．综上可得04a ≤<，∴实数a 的取值范围为[)0,4． 故答案为：[)0,4. 【点睛】不等式20ax bx c ++>的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当0a ＝时，00b c >＝，；当0a ≠时，00a >⎧⎨∆<⎩； 不等式20ax bx c ++<的解是全体实数(或恒成立)的条件是当0a ＝时，00bc <＝，；当0a ≠时，00a <⎧⎨∆<⎩．17．①③④【分析】①根据奇偶函数的定义判断；②利用抽象函数的对称性判断；③通过特殊函数判断；④通过分离常数转化为熟悉的函数判断【详解】①函数的定义域为所以函数的定义域也是即所以函数是偶函数故①正确；②对解析：①③④ 【分析】①根据奇偶函数的定义判断；②利用抽象函数的对称性判断；③通过特殊函数判断；④通过分离常数，转化为熟悉的函数判断. 【详解】①函数()f x 的定义域为R ，所以函数()g x 的定义域也是R ，()()()g x f x f x -=-+，即()()g x g x -=，所以函数()g x 是偶函数，故①正确；②对应任意的x ∈R ，都有()()20f x f x +-=，即函数()f x 关于()1,0对称，并不关于1x =对称，故②不正确；③函数0y =既是偶函数又是奇函数，故③正确； ④()()212112222a x a ax af x a x x x ++-+-===++++，若函数在()2,-+∞上单调递增，则120a -<，解得：12a >，故④正确. 故答案为：①③④ 【点睛】方法点睛：函数的对称性包含中心对称和轴对称，一般判断的方法包含：1.若对函数()y f x =的定义域内的任一自变量x 的值都有()()2f x f a x =-，则()y f x =的图象关于x a =成轴对称；若对函数()y f x =的定义域内的任一自变量x 的值都有()()22f x b f a x =--，则()y f x =的图象关于(),a b 成中心对称；18．【分析】由表达式可知函数为奇函数则等价转换为解不等式即可【详解】因为当时则；同理当时又综上所述为奇函数则即当时解得；当时解得故的解集为故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查由分段函数解不等式函数奇偶性 解析：()()2,02,-+∞【分析】由表达式可知，函数()f x 为奇函数，则()()f x f x >-等价转换为()0f x >，解不等式即可 【详解】因为2220()20x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，，，，当0x >时，0x -<，则()()()2222f x x x x x -=----=-+，()()f x f x -=-；同理当0x <时，()()()220,22x f x x x x x ->-=---=+，()()f x f x -=-，又()00f =，综上所述()f x 为奇函数，则()()()()f x f x f x f x >-⇔>-，即()20f x >，当0x >时，()2020f x x x >⇔->，解得2x >；当0x <时，()2020f x x x >⇔-->，解得20x -<<，故()()f x f x >-的解集为()()2,02,-+∞故答案为：()()2,02,-+∞【点睛】方法点睛：本题考查由分段函数解不等式，函数奇偶性的判断，常用以下方法： （1）对于分段函数判断奇偶性可用定义法，也可采用数形结合法，结合图象判断； （2）由函数性质解不等式可采用代数法直接运算求解，也可结合函数图象求解.19．或【分析】由题意按照分类结合指数函数的性质可得方程即可得解【详解】当时是增函数则解得或（舍去）；当时是减函数则解得或（舍去）；综上或故答案为：或【点睛】关键点点睛：涉及指数函数单调性问题底数为参数时解析：12或32【分析】由题意按照1a >、01a <<分类，结合指数函数的性质可得方程，即可得解. 【详解】当1a >时，xy a =是增函数，则22a a a -=，解得32a =或0a =（舍去）； 当01a <<时，xy a =是减函数，则22a a a -=，解得12a =或0a =（舍去）； 综上，12或32故答案为：12或32【点睛】关键点点睛：涉及指数函数单调性问题，底数为参数时，一般都要分类讨论，分底数大于1与底数大于0小于1两种情况解决.本题考查了指数函数单调性的应用，考查了运算求解能力及分类讨论思想.20．2【分析】由已知利用分段函数的性质及二次函数与反比例函数的单调性可求【详解】解；是上的减函数解可得故答案为：【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性的应用二次函数及反比例函数性质的应用是求解问题的关键解析：[2，209] 【分析】由已知利用分段函数的性质及二次函数与反比例函数的单调性可求． 【详解】 解；226,2(),2x ax x f x a x x⎧-+⎪=⎨>⎪⎩是R 上的减函数，∴204462a a a a ⎧⎪⎪>⎨⎪⎪-+⎩， 解可得，2029a． 故答案为：202,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性的应用，二次函数及反比例函数性质的应用是求解问题的关键，属于中档题．三、解答题21．（1）()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩；（2）增函数；（3）14t <-.【分析】（1）当0x <时，0x ->，求出()f x -，根据奇函数得到()f x ； （2）由解析式可直接写出；（3）先根据奇函数的性质化不等式为()()2f m f t m>-，利用单调性脱去“f ”,转化为2t m m <+恒成立，求出2m m +的最小值即可.【详解】（1）当0x <时，0x ->，又()f x 是奇函数， ∴()()()22f x x x f x -=--=-∴()()220f x x x x =-+<，∴()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩（2）由()f x 的解析式以及二次函数、分段函数的性质可知()f x 为R 上的增函数： （3）由()()210f m f m +->和()f x 是奇函数得()()()22f m f m t f t m>--=-，因为()f x 为R 上的增函数， ∴2m t m >-，221124t m m m ⎛⎫<+=+- ⎪⎝⎭，∴14t <-． 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决．但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法． 22．（1）(,1)(1,5]-∞；（2）单调性证明见解析，值域为17[,1]3--. 【分析】（1）利用偶次根式和分式有意义的条件，列出不等式组，求得函数的定义域；（2）依据减函数的定义，利用取值、作差、判断符号的过程，证得函数的单调减，在区间端点取得最大最小值，得到函数在[1,3]上的值域. 【详解】（1）由5010x x -≥⎧⎨-≠⎩.得5x ≤且1x ≠，故()f x 的定义域为()(]115∞－，，∪； （2）设120x x <<， 则()2112121221121212111()2()2()()(2)x x f x f x x x x x x x x x x x x x --=--+-=--+=-+， 因为120x x <<，所以和211210,0x x x x ->>. 所以21121()(2)0x x x x -+>，从而()12()0f x f x ->，因为()f x 在[1,3]上单调递减，且()11f -＝，()1733f -＝， 所以该函数在[1,3]上的值域为17[,1]3-- . 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关函数的问题，解题思路如下：（1）利用分式和偶次根式有意义的条件，列出不等式组，求得结果，得到函数的定义域； （2）利用函数在某个区间上单调减的定义，证得函数在给定区间上是减函数，求得函数在区间端点处取得最值，得到函数的值域.23．（1）1-；（2）增函数，证明见解析；（3）2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）根据奇函数()00f =得1a =-，再检验即可得答案； （2）根据单调性的定义证明即可；（3）由奇函数性质得()()121f m f m -<-，再结合函数单调性即可得答案. 【详解】 解：()1函数()f x 是定义在()11-，上的奇函数，()0010f a ∴=+=，，1a ∴=-，此时().22x x f x -=- 任取()()()()112222xx x x x f x f x --∈--=-=--=-，，，所以()f x 是奇函数．故1a =-.()()2f x 在()11-，上是增函数；证明：由()1可知()122xxf x =-，， 任取1211x x -<<<，则()()121212112222x x x x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1212112222x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()()12121212122212222122x x x x x x x x x x ++-⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 因为121211,20x xx x +-<<><所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x < ，()()3f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-．由已知()f x 在()11-，上是奇函数，()()1120f m f m ∴-+-<，可化为()()()11221f m f m f m -<--=-，又由()2知()f x 在()11-，上单调递增，11211m m ∴-<-<-<．解得213m <<．故实数m 的取值范围是213⎛⎫⎪⎝⎭， 【点睛】本题考查根据奇函数性质求参数，函数单调性的证明，奇偶性与单调性解不等式，考查回归转化思想，与运算求解能力，是中档题.本题第三问解题的关键在于根据奇偶性将不等式转化为()()121f m f m -<-，进而根据单调性得11211m m -<-<-<求解. 24．（1）()212f x x x =-+；（2）存在，4,0m n =-=. 【分析】（1）由()20f =得到,a b 的关系，根据()f x x =有两个相等实根求b ，即可写出()f x 的解析式；（2）将()f x 函数式化为顶点式知16n ≤，进而有[],m n 在1x =的左边，结合二次函数单调性列方程组求解即可知是否存在,m n 值. 【详解】（1）由()20f =得：420a b +=①；由()f x x =有等根得：()210ax b x +-=有等根，∴()210b ∆=-=，得1b =，将1b =代入①得：12a =-， ∴()212f x x x =-+； （2）()()221111222f x x x x =-+=--+， ∴132n ≤，即16n ≤，而()f x 对称轴为1x =，即[],m n 在1x =的左边，∴由二次函数的性质知：()212f x x x =-+在区间[],m n 上单调递增， 则有()3()3m n f m m f n n <⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得4,0m n =-=，故存在实数4,0m n =-=，使()f x 的定义域是[],m n ，值域是[]3,3m n . 【点睛】关键点点睛：由有相等实根结合判别式求参数值，根据二次函数的性质：最值判断参数范围，在结合区间相对于对称轴的位置，并由其单调性列方程组求参数值确定存在性. 25．（1）()23f x x =+（2）2λ=- 【分析】利用待定系数法求出()22f x x a =++，（1）根据所选条件，都能求出1a =，可得()23f x x =+；（2）根据对称轴与区间中点值的大小分两种情况讨论求出最大值，结合已知最大值可求得λ的值.【详解】设()f x kx b =+(0)k ≠，则(1)2k x b x a -+=+，即2kx k b x a -+=+， 所以2k =，2b a ，所以()22f x x a =++，若选①，（1）由()5f a =得225a a ++=，得1a =，所以()23f x x =+.（2）()(23)(23)g x x x x x λ=++++=22(42)3x x λλ+++，区间[]0,2的中点值为1，对称轴为()22x λ+=-，当()212λ+-≤，即4λ≥-时，max()(2)8843716f x f λλλ==+++=+，所以7162λ+=，解得2λ=-；当()212λ+->，即4λ<-时，max()(0)3f x f λ==，所以32λ=，解得23λ=（舍），综上所述：2λ=-. 若选②， （1）由142a f ⎛⎫=⎪⎝⎭得14222a a =⨯++，解得1a =，所以()23f x x =+； （2）()(23)(23)g x x x x x λ=++++=22(42)3x x λλ+++，区间[]0,2的中点值为1，对称轴为()22x λ+=-，当()212λ+-≤，即4λ≥-时，max()(2)8843716f x f λλλ==+++=+，所以7162λ+=，解得2λ=-；当()212λ+->，即4λ<-时，max()(0)3f x f λ==，所以32λ=，解得23λ=（舍），综上所述：2λ=-. 若选③，（1）由()()41226f f -=得4(22)2(42)6a a ++-++=，解得1a =，所以()23f x x =+；（2）()(23)(23)g x x x x x λ=++++=22(42)3x x λλ+++，区间[]0,2的中点值为1，对称轴为()22x λ+=-，当()212λ+-≤，即4λ≥-时，max()(2)8843716f x f λλλ==+++=+，所以7162λ+=，解得2λ=-；当()212λ+->，即4λ<-时，max()(0)3f x f λ==，所以32λ=，解得23λ=（舍），综上所述：2λ=-. 【点睛】关键点点睛：第二问，讨论对称轴与区间中点值的大小求最大值是解题关键. 26．（1）单调递增，证明见解析；（2）{}1-. 【分析】（1）根据函数单调性定义，判断当123x x <<时，()()120,0?f x f x -><即可； （2）法一：根据函数()()90f x x x x=+≠得到()()233f x f x +解析式，解关于x 的二次型不等式即可.法二：根据函数为奇函数，和定义域内的单调性，将()()2330f xf x +≤转化为解()()233f x f x ≤-，分0x >，1x =-，1x <-，10x -<<讨论使得()()233f x f x ≤-成立x 时的范围为其解集. 【详解】解：（1）设123x x <<，则()()()()121212121212999x x x x f x f x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=+-=⎪ ⎪⎝⎝⎭+⎭因为12120,90x x x x -<->， 所以()()120f x f x -<， 所以()f x 在(3,)+∞上单调递增. （2）法一：原不等式可化为2233330x x x x+++， 即21120x x x x ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以121x x -+， 当0x >时，12x x+，不合题意，舍去； 当0x <时，只需解12x x-+，可化为2(1)0x +，所以1x =-. 综上所述，不等式的解集为{}1-.法二：由（1）的解答过程知()f x 在(0,3)上单调递减，在()3,+∞上单调递增， 又()f x 为奇函数，()()2330f x f x +≤，所以()()()2333f xf x f x ≤-=-，当0x >时，2(3)0,(3)0f x f x >-<，与上式矛盾，故舍去； 当1x =-时，上式成立；当1x <-时，2333x x >->，则()()233f x f x >-，与上式矛盾，故舍去；当10x -<<时，20333x x <<-<，则()()233f x f x >-，与上式矛盾，故舍去；综上所述，不等式的解集为{}1-. 【点睛】确定函数单调性的四种方法： （1）定义法：利用定义判断；（2）导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数；（3）图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接； （4）性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性.。
江阴市长山中学必修第一册第五单元《三角函数》检测(答案解析)
一、选择题1．已知5π2sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．5-B ．19-C ．53D ．192．若角α的终边过点(3,4)P -，则cos2=α（ ）A ．2425-B ．725 C ．2425D ．725-3．函数()[sin()cos()]f x A x x ωθωθ=+++部分图象如图所示，当[,2]x ππ∈-时()f x 最小值为（ ）A ．1-B ．2-C ．2-D ．3-4．cos75cos15sin75sin15︒⋅︒+︒⋅︒的值是（ ） A ．0B ．12C 3D ．15．cos45sin15sin 45cos15︒︒-︒︒=（ ）. A ．1B ．12-C 3D ．126．sin34sin64cos34sin 206︒︒-︒︒的值为（ ）A ．12B 2C 3D ．17．下面函数中最小正周期为π的是（ ）．A ．cos y x =B ．π23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．tan2xy = D ．22cos sin 2y x x =+8．已知将向量13,2a ⎛= ⎝⎭绕起点逆时针旋转4π得到向量b ，则b =（ ）A ．6262,⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭B ．6262,⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭C ．2662,⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭ D ．2626,⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭9．已知函数()()()sin 0,0f x A x =+>-π<<ωϕωϕ的部分图象如图所示.则()f x 的解析式为（ ）．A ．()2sin 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()32sin 34f x x π=-⎛⎫ ⎪⎝⎭10．要得到cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像（ ） A ．向左平移12π个单位B ．向右平移12π个单位C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 11．刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法:当n 很大时，用圆内接正n 边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率 3.1416π≈.在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想，可以说他是中国古代极限思想的杰出代表．运用此思想，当π取3.1416时可得cos89︒的近似值为（ ） A ．0.00873B ．0.01745C ．0.02618D ．0.0349112．函数()log 44a y x =++（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则7πcos 2θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．35 B ．35C ．45-D ．45第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题13．已知角θ和角ϕ的始边均与x 轴正半轴重合，终边互相垂直，若角θ的终边与单位圆交于点01,3P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则cos ϕ=__________________．14．田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想的著名范例，故事中齐将田忌与齐王赛马，孙膑献策以下马对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两胜从而获胜，该故事中以局部的牺牲换取全局的胜利成为军事上一条重要的用兵规律，在比大小游戏中(大者为胜)，已知我方的三个数为cos a θ=，sin cos b θθ=+，cos sin c θθ=-，对方的三个数以及排序如表：当04θ<<时，则我方必胜的排序是______.15．角θ的终边经过点(1,P ，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________.16．已知ABC ∆不是直角三角形，45C =︒，则(1tan )(1tan )A B --=__. 17．已知tan 3α=，则2sin 21sin cos 2ααα-=+_________．18．在①a ，②S =2ccos B ，③C =3π这三个条件中任选-一个，补充在下面问题中，并对其进行求解.问题:在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，b cos A =a cos C +c cos A ，b =1，____________，求c 的值.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 19．已知：3sin 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且α为第四象限角，则cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________． 20．若6x π=是函数()3sin 2cos2f x x a x =+的一条对称轴，则函数()f x 的最大值是___________.三、解答题21．已知函数()2sin cos f x x x = （1）求函数()f x 的最小正周期和最大值； （2）求函数()f x 的单调递减区间.22．已知m ∈R ，函数2222()1sin cos (2)|sin |33f x x x m x =++-+. （1）若0m =，求()f x 的最大值； （2）若()f x 在02x π≤≤时的最小值为12，求m 的值. 23．设函数21()sin 3sin cos 2f x x x x ωωω=+-的图象关于直线x π=对称，其中ω为常数，且1,12ω⎛⎫∈⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式； （2）将函数()f x 的图象向右平移10π个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的56倍，得到函数()y g x =的图象，若关于x 的方程()0g x k +=在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实数解，求实数k 的取值范围. 24．如图，有一生态农庄的平面图是一个半圆形，其中直径长为2km ，C ､D 两点在半圆弧上满足AD BC =，设COB θ∠=，现要在此农庄铺设一条观光通道，观光通道由,,AB BC CD 和DA 组成.（1）若6πθ=，求观光通道l 的长度；（2）用θ表示观光通道的长l ，并求观光通道l 的最大值； 25．已知02πα<<，4sin 5α. （1）求tan α的值； （2）求cos 2sin 2παα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值. 26．已知函数2()322cos 1f x x x =-+．（1）求()f x 的最小正周期； （2）若对任意[,]6x m π∈，都有()()6f x f π≥，求m 的最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先用诱导公式化为5cos 2cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再用二倍角公式计算． 【详解】225521cos 2cos 212sin 1233639a a πππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-+--⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D 2．D解析：D 【分析】先利用任意角三角函数的定义求sin α和cos α，再利用二倍角的余弦公式计算即可. 【详解】由角α的终边过点(3,4)P -知，4sin 5α，3cos 5α=-，故229167cos 2cos sin 252525ααα=-=-=-. 故选：D.3．D解析：D 【分析】首先结合图像求得()f x 的解析式，然后根据三角函数最值的求法，求得()f x 在区间[],2ππ-上的最小值.【详解】由已知()()sin 04f x x πωθω⎛⎫=⋅++> ⎪⎝⎭，由图象可知取A =，52433T πππ=-=， 故最小正周期4T π=，所以212T πω==， 所以()12sin 24f x x πθ⎛⎫=++⎪⎝⎭，由55152sin 2sin 0332464f πππππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++=++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，及图象单调性知，取564ππθπ++=，则46ππθ+=所以()12sin 26x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[],2x ππ∈-，17,2636x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， ()f x 最小值为()2sin 3f ππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭故选：D4．B解析：B 【分析】由两角和的余弦公式化简计算． 【详解】原式＝1cos(7515)cos 602︒-︒=︒=． 故选：B ．5．B解析：B 【分析】根据两角差的正弦公式，准确运算，即可求解. 【详解】由()1cos 45sin15sin 45cos15sin 1545sin 302︒︒-︒︒=︒-︒=-︒=-. 故选：B.6．C解析：C 【分析】利用诱导公式化简整理，结合两角和的正弦公式，即可求得答案. 【详解】()sin34sin64cos34sin 206sin34cos26cos34sin 26sin 3426sin60︒︒-︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒= 故选：C ．7．D解析：D 【分析】根据三角函数的周期公式结合图象对选项进行逐一判断，可得答案.【详解】()cos cos x x -=，cos cos y x x ∴==，周期为2π，故A 不符合题意； π2sin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的周期为2π，故B 不符合题意；画出函数tan2x y =的图象，易得函数tan 2xy =的周期为2π，故C 不符合题意； 2π2cos sin 2cos 21sin 22sin 214x x x x x ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，周期为π，故D 符合题意． 故选：D8．C解析：C 【分析】先求出a 与x 轴正方向的夹角为3πθ=，即可得b 与x 轴正方向的夹角为73412πππα=+=， 再利用向量坐标的定义即可求解. 【详解】设a 的起点是坐标原点，a 与x 轴正方向的夹角为θ，1a =由13,2a ⎛= ⎝⎭可得32tan 312θ==3πθ=， 设b 与x 轴正方向的夹角为α，则73412πππα=+=且1b = 因为726sinsin sin cos cos sin 124343434y πππππππ⎛⎫==+=⨯+⨯=⎪⎝⎭， 726coscos cos cos sin sin 12434343x πππππππ-⎛⎫==+=⨯-⨯=⎪⎝⎭故2b ⎛-=⎝⎭， 故选：C.9．B解析：B 【分析】根据函数图象得到3532,41234T A πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭ ，进而求得2,2T Tππω===，然后由函数图象过点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭求解. 【详解】由函数图象知：3532,41234T A πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭， 所以2,2T Tππω===， 又函数图象过点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭， 所以 522,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得 2,3k k Z πϕπ=-∈，又因为 0πϕ-<<， 所以3πϕ=-，所以()f x 的解析式为：()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.10．B解析：B 【分析】化简函数cos 2cos 2612y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 2cos 22y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即可判断. 【详解】cos 2cos 2612y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 2cos 22y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴需将函数sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位.故选：B.11．B解析：B 【分析】根据cos89sin1︒=，将一个单位圆分成360个扇形，由这360个扇形的面积之和近似为单位圆的面积求解. 【详解】因为()cos89cos 901sin1︒=-=，所以将一个单位圆分成360个扇形，则每一个扇形的圆心角为1︒， 所以这360个扇形的面积之和近似为单位圆的面积，即2136011sin112π⨯⨯⨯⨯≈，所以 3.1416sin10.01745180180π≈≈≈， 故选：B12．D解析：D 【分析】先利用对数函数图象的特点求出点()3,4A -，再利用三角函数的定义求出sin θ的值，利用诱导公式可得7πcos sin 2θθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可求解. 【详解】 对数函数log ay x =恒过点()1,0，将其图象向左平移4个单位，向上平移4个单位可得()log 44a y x =++的图象，点()1,0平移之后为点()3,4-，所以()3,4A -，令3x =-，4y =，则5OA ===，所以4sin 5y OA θ==， 由诱导公式可得：7π4cos sin 25θθ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是求出()3,4A -，会利用三角函数的定义求出θ的三角函数值，会利用诱导公式化简7πcos 2θ⎛⎫+⎪⎝⎭. 二、填空题13．【分析】由题意可得：利用已知条件可以求出利用即可求解【详解】因为角和角的始边均与轴正半轴重合终边互相垂直所以若角的终边与单位圆交于点所以则故答案为：解析：13± 【分析】由题意可得：,2k k Z πϕθπ=++∈，利用已知条件可以求出1sin 3θ=，利用 cos sin ϕθ=±即可求解.【详解】因为角θ和角ϕ的始边均与x 轴正半轴重合，终边互相垂直， 所以,2k k Z πϕθπ=++∈，若角θ的终边与单位圆交于点01,3P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1sin 3θ=， 则1cos sin 3ϕθ=±=±， 故答案为：13±14．【分析】由三角函数值的大小比较得：当时结合田忌赛马的事例进行简单的推理即可得答案【详解】因为当时故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键点是当时比较出以及的大小关系利用田忌赛马的事例进行推理即可 解析：c ，b ，a【分析】由三角函数值的大小比较得：当04πθ<<时，cos sin cos cos sin θθθθθ-<<+，sin tan θθ<<，结合田忌赛马的事例进行简单的推理，即可得答案.【详解】 因为当04πθ<<时，cos sin cos cos sin θθθθθ-<<+，sin tan θθ<<，tan sin cos θθθ<+，sin cos θθ<. 故答案为：c ，b ，a【点睛】关键点点睛：本题的关键点是当04πθ<<时，比较出sin tan θθ<<，以及a 、b 、c 的大小关系，利用田忌赛马的事例进行推理即可.15．【分析】利用正弦函数定义求得再由正弦函数两角和的公式计算【详解】由题意所以故答案为：解析：12- 【分析】利用正弦函数定义求得sin θ，再由正弦函数两角和的公式计算 【详解】由题意sin 2θ=，1cos 2θ=，所以，1sin cos 62πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭311442=-+=-， 故答案为：12-16．2【分析】由已知可得利用正切函数的和角公式即可求解【详解】因为所以则整理得所以故答案为：2解析：2. 【分析】由已知可得135A B +=︒，利用正切函数的和角公式即可求解. 【详解】 因为45C =︒， 所以135A B +=︒， 则tan tan tan()11tan tan A BA B A B++==--，整理得tan tan tan tan 1A B A B +=-，所以(1tan )(1tan )tan tan 1(tan tan )A B A B A B --=+-+，tan tan 1(tan tan 1)A B A B =+--，2=，故答案为：2.17．【分析】可将式子化简为即可求解【详解】故答案为： 解析：4-【分析】可将式子化简为22tan tan 1αα--，即可求解. 【详解】tan3α=,()22222sin cos sin cossin21sin cos2cosαααααααα-+-∴=+222tan tan123314αα=--=⨯--=-.故答案为：4-.18．答案见解析【分析】利用正弦定理进行边化角得到然后利用余弦定理以及正弦函数的两角和与差公式进行选择①②或③进行求解即可【详解】在中因为所以根据正弦定理得所以因为所以选择①由余弦定理得解得选择②所以所以解析：答案见解析.【分析】利用正弦定理进行边化角，得到cos A=，然后利用余弦定理以及正弦函数的两角和与差公式进行选择①，②或③，进行求解即可【详解】在ABCcos cos cosA a C c A=+，cos sin cos sin cosB A AC C A=+cos sinB A B=，因为sin0B≠，所以cos3A=选择①，由余弦定理2222cosa b c bc A=+-得2103c--=，解得c=选择②，1cos sin22cS B bc A==，所以cos sin cos()2B A Aπ==-所以2B Aπ=-，即2Cπ=，解得c=选择③，3Cπ=，因为sin sin()sin cos cos sin333B A A Aπππ=+=+所以由sin sinc bC B=得sin4sinb CcB==【点睛】关键点睛：解题关键在于由正弦定理进行边化角，得到cos A=相关公式进行求解，难度属于中档题19．【分析】由诱导公式求得然后由平方关系求得再由两角和的余弦公式可得结论【详解】由已知又为第四象限角∴∴故答案为：解析：10【分析】由诱导公式求得cos α，然后由平方关系求得sin α，再由两角和的余弦公式可得结论． 【详解】 由已知3sin cos 25παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，又α为第四象限角，∴4sin 5α=-，∴34cos cos cos sin sin ()444525210πππααα⎛⎫+=-=⨯--⨯= ⎪⎝⎭． 20．【分析】利用对称关系得代入即可求解值再结合辅助角公式化简可求最值【详解】由对称轴关系得令得求得从而当时取到最大值故答案为：解析：【分析】利用对称关系，得()03f f π⎛⎫=⎪⎝⎭，代入即可求解a 值，再结合辅助角公式化简可求()f x 最值【详解】由对称轴关系得66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令6x π=得()03f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，求得a =从而()3sin 2226f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当22,62x k k Z πππ+=+∈时，()f x 取到最大值故答案为：三、解答题21．（1）T π=；最大值为1；（2）3[,]()44k k k Z ππππ++∈ 【分析】（1）应用二倍角公式，将函数化为正弦型三角函数，即可求解； （2）根据正弦函数的单调递减区间结合整体代换，即可求出结论. 【详解】（1）()2sin cos sin 2f x x x x ==， 最小正周期为22T ππ==，最大值为1； （2）由3222()22k x k k Z ππππ+≤≤+∈，解得3()44k x k k Z ππππ+≤≤+∈， ()f x ∴单调递减区间是3[,]()44k k k Z ππππ++∈.22．（1）2；（2）12±. 【分析】（1）先代入0m =，然后对sin x 正负讨论，化简出函数解析式，然后再求出最大值即可，（2）根据x 的范围即可化简函数解析式，然后再根据x 的范围即可判断函数什么时候取得最小值，进而可以求出m 的值． 【详解】解：（1）0m =，则函数222()1sin cos |sin |33f x x x x =++-，当sin [0x ∈，1]时，2()1cos f x x =+， 当cos 1x =时，max ()2f x =，当sin [1x ∈-，0)时，2244()1sin cos 1sin 1sin 33f x x x x x =++=++-2222(sin )239x =--+，所以当sin 0x =时，max ()2f x =， 综上，函数()f x 的最大值为2； （2）当02xπ时，2222()1sin cos (2)sin 33f x x x m x =++-+222212sin cos sin 2sin 2m x x x m x =-+=--+224(sin )2x m m =-+++，所以当sin 1x =时，2min 1()212f x m =-+=， 所以214m =，即12m =±， 故m 的值为12±． 【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数求最值以及含参数求最小值的问题考查了学生的运算能力，属于基础题．解题关键是对sin x 按正负分类讨论，去掉绝对值符号后利用三角函数性质求最值．23．（1）5()sin 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）⎡-⎢⎣⎦.【分析】（1）由二倍角分式和两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数的周期求得ω解析式；（2）由图形变换得()g x 的解析式，求出()g x 在[0,]2π上的值域后可得k 的范围．【详解】（1）21()sincos 2f x x x x ωωω=+-cos2sin 226x x ωπω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ∵图象关于直线x π=对称，∴2,62k k Z πππωπ-=+∈∴123k ω=+，又1,12ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令1k =时，56ω=符合要求， ∴函数5()sin 36f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.（2）将函数()f x 的图象向右平移10π个单位长度后，得到函数5sin 33y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的56倍（纵坐标不变），得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，所以()sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.当5012x π≤≤，即2332x πππ-≤-≤时，()g x 递增，()g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当5122x ππ<≤，即22233x πππ<-≤时，()g x 递减，()g x ⎫∈⎪⎣⎭，所以0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 因为()0g x k +=在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上实数解，所以实数k 的取值范围是⎡-⎢⎣⎦.【点睛】方法点睛：本题考查二倍角公式，两角差的正弦公式，三角函数的图象变换，正弦函数的性质，此类问题的解题方法是：利用二倍角公式，诱导公式，两角和与差的正弦人（或余弦）公式化函数为一个角的一个三角函数形式，即()sin()f x A x m ωϕ+++形式，然后利用正弦函数性质求解．24．（1）观光通道长(2km ；（2）当3πθ=时，观光通道长l 的最大值为5km . 【分析】 （1）由6πθ=，得6OCD ODC π∠=∠=，然后在OCD ，OCB ，OAD △利用余弦定理求出,,CD BC AD 的长，从而可得结果；（2）作OE BC ⊥，垂足为E ，在直角三角形OBE 中，sin sin22BE OB θθ==，则有2sin2BC AD θ==，同理作OF CD ⊥，垂足为F ，cos cos CF OC θθ==，即：2cos CD θ=，从而24sin2cos 2l θθ=++，然后利用三角函数的性质可得结果【详解】 （1）因为6πθ=，所以6OCD ODC π∠=∠=在OCD 中，利用余弦定理可得，2211211cos33CD π=+-⨯⨯⨯=，所以CD =同理2BC AD ===所以观光通道长2l =+（2）作OE BC ⊥，垂足为E ，在直角三角形OBE 中，sin sin22BE OB θθ==，则有2sin2BC AD θ==，同理作OF CD ⊥，垂足为F ，cos cos CF OC θθ==， 即：2cos CD θ=，从而有：22124sin 2cos 4sin 4sin 44sin 522222l θθθθθ⎛⎫=++=-++=--+ ⎪⎝⎭因为02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以当3πθ=时，l 取最大值5，即观光通道长l 的最大值为5km .【点睛】关键点点睛：此题考查余弦定理的应用，解题的关键是把,,CD BC AD 用含θ的式子表示，然后利用三角恒等变换公式转化为同角的三角函数求解，解题时要注意θ的取值范围 25．（1）43；（2）825. 【分析】（1）由同角三角函数的基本关系先得cos α的值，再得tan α的值； （2）根据诱导公式以及二倍角的余弦可得结果. 【详解】 （1）因为02πα<<，4sin 5α，故3cos 5α=，所以4tan 3α=.（2）23238cos 2sin 12sin cos 1225525παααα⎛⎫++=-+=-+= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了通过同角三角函数的基本关系以及诱导公式求三角函数的值，属于基础题. 26．（1）π；（2）2π. 【分析】（1）首先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再求最小正周期；（2）由题意可知当6x π=时，函数取得最小值，首先求26x π-的范围，再根据根据函数的取值范围确定右端点的范围，求m 的最大值. 【详解】 （1）因为2()322cos 1f x x x =-+32cos 2x x =- 312cos 2)2x x =- 2sin(2)6x π=-所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==． （2）由（1）知()2sin(2).6f x x π=- 令2,6t x π=- 当[,]6x m π∈时，[,2]66t m ππ∈-. 若对任意[,]6x m π∈，都有()()6f x f π≥，即对任意[,2]66t m ππ∈-，都有1sin ,2t ≥ 所以266m π5π-≤. 即2m π≤， 所以m 的最大值为2π. 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入求解函数性质，根据x 的范围，求x ωϕ+的范围，再代入sin y x =的性质，求解.。
江苏省无锡市江阴长泾中学高一数学文联考试题含解析
江苏省无锡市江阴长泾中学高一数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在三棱锥S﹣ABC中，已知SA=BC=2，SB=AC=，SC=AB=，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．2πB．2πC．6πD．12π参考答案：C【考点】球的体积和表面积．【分析】构造长方体，使得面上的对角线长分别为2，，，则长方体的对角线长等于三棱锥S﹣ABC外接球的直径，即可求出三棱锥S﹣ABC外接球的表面积．【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC中，SA=BC=2，SB=AC=，SC=AB=，∴构造长方体，使得面上的对角线长分别为2，，，则长方体的对角线长等于三棱锥S﹣ABC外接球的直径．设长方体的棱长分别为x，y，z，则x2+y2=4，y2+z2=3，x2+z2=5，∴x2+y2+z2=6∴三棱锥S﹣ABC外接球的直径为，∴三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为=6π．故选：C．2. 已知是第二象限角，那么是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第二或第四象限角D.第一或第三象限角参考答案：D3. 已知向量满足，且对任意实数，不等式恒成立，设与的夹角为，则（）A．B． C. D．参考答案：D因为向量，，所以.又因为不等式恒成立，所以恒成立.所以，所以.即.4. 设y1=40.9，y2=，y3=()－1.5，则（）A．y3＞y1＞y2 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2参考答案：D【考点】对数值大小的比较．【分析】由题意，可先对三个代数式进行化简，将两个指数式的底数变为相同，然后再作出判断得出三个数的大小选出正确选项【解答】解：故有y1＞y3＞y2成立故选D5. 的值是（）参考答案：D6. 在下列图象中，函数的图象可能是……（）A B CD参考答案：D略7. 在中，若，则等于（A）（B）或（C）（D）或参考答案：D略8. 函数f（x）=a x﹣1+4（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点，则这个定点坐标是（）A．（5，1）B．（1，5）C．（1，4）D．（4，1）参考答案：B【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．【分析】由题意令x﹣1=0，解得x=1，再代入函数解析式求出y的值为5，故所求的定点是（1，5）．【解答】解：令x﹣1=0，解得x=1，则x=1时，函数y=a0+4=5，即函数图象恒过一个定点（1，5）．故选B．【点评】本题考查了指数函数图象过定点（0，1），即令指数为零求对应的x和y，则是所求函数过定点的坐标．9. 函数的定义域是（）A． B． C． D．参考答案：D解析：10. 当0＜x≤时，4x＜log a x，则a的取值范围是( )A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）参考答案：B【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可【解答】解：∵0＜x≤时，1＜4x≤2要使4x＜log a x，由对数函数的性质可得0＜a＜1，数形结合可知只需2＜log a x，∴即对0＜x≤时恒成立∴解得＜a＜1故选 B【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质，不等式恒成立问题的一般解法，属基础题二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 以下命题正确的有________________． ①到两个定点距离的和等于定长的点的轨迹是椭圆；②“若，则或”的逆否命题是“若且，则ab ≠0”；③当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极值④曲线y =2x 3－3x 2共有2个极值. 参考答案： ②④12. 如图，△ABC 是直角三角形，ACB=，PA平面ABC，此图形中有个直角三角形参考答案： 4略13.若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为____________参考答案：略14. 已知向量的模为1，且满足，则在方向上的投影的数量等于参考答案：15. 方程4x －2x ＋1－3＝0的解是________．参考答案：log 23考查指数方程和二次方程的求解，以及函数与方程的思想和转化思想，关键是把指数方程转化为二次方程求解．把原方程转化为(2x )2－2·2x －3＝0，化为(2x －3)(2x ＋1)＝0， 所以2x ＝3，或2x ＝－1(舍去)，两边取对数解得x ＝log 23. 16. 已知正△ABC 的边长为，平面ABC 内的动点P ，M 满足，则的最大值是______.参考答案：【分析】如图所示，建立直角坐标系．，．．点的轨迹方程为：，令，，，．又，可得，代入，即可得出．【详解】如图所示，建立直角坐标系．，．．满足，点的轨迹方程为：，令，，，．又，则，．的最大值是．故答案为：【点睛】本题考查了数量积运算性质、圆的参数方程、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17. 若函数y=f(x)的定义域是[0，2]，则函数y=f（x+2）的定义域是参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019年江苏省无锡市江阴长泾高级中学高一数学理测试题含解析
2019年江苏省无锡市江阴长泾高级中学高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （12分）函数f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|＜．（1）求函数f（x）的解析式；（2）写出f（x）的最值及相应的x的取值构成的集合．参考答案：考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）利用图象的最低点确定A的值，利用周期确定ω，再根据图象过点（，0），确定φ的值，即可求函数f（x）的解析式；（2）由2x+=2k，k∈Z，2x+=2kπ，k∈Z，即可解得f（x）的最值及相应的x的取值构成的集合．解答：（1）由题意，函数的最小值为﹣1，∴A=1，∵T=4×（π﹣）=π，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ），∵图象过点（，0），∴sin（2×+φ）=0，∵|φ|＜，∴φ=∴f（x）=sin（2x+）；（2）当2x+=2k，k∈Z，即有x∈{x|x=k，k∈Z}时，f（x）m ax=1；当2x+=2kπ，k∈Z，即有x∈{x|x=kπ+，k∈Z}时，f（x）min=﹣1．点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，属于基础题．2. 设函数，若，则实数的取值范围是（）．A． B． C． D．参考答案：B3. 设，则的大小关系是（）A、B、C、D、参考答案：A4. 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是，若，，则A=（▲）w_w w.A. B. C.D.参考答案：A略5. 为正实数，函数在上为增函数，则( )（A）≤（B）≤（C）≤（D）≥参考答案：A6. 已知锐角的面积为，，则角的大小为（）A. 75°B. 60°C. 45°D.30°参考答案：B略7. 下列各组函数中，f(x)与g(x)表示同一函数的是（）A.与B.f(x)=x 与C.f(x)=x与D.与g(x)=x+2参考答案：C8. 正方体内切球和外接球半径的比为（）A．1：B．1：C．：D．1：2参考答案：B【考点】LR：球内接多面体．【分析】设出正方体的棱长，利用正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，分别求出半径，即可得到结论．【解答】解：正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，设棱长是a．则a=2r内切球，r内切球=； a=2r外接球，r外接球=，r内切球：r外接球=1：．故选B．9. 已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（7）=( )A．﹣2 B．2 C．﹣98 D．98参考答案：【考点】函数的周期性；奇函数；函数奇偶性的性质．【分析】利用函数周期是4且为奇函数易于解决．【解答】解：因为f（x+4）=f（x），故函数的周期是4所以f（7）=f（3）=f（﹣1），又f（x）在R上是奇函数，所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2×12=﹣2，故选A．【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性．10. 如图，利用斜二测画法得到的水平放置的直观图，其中，，若的面积是3，则原的面积为（）A．B． C．D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知实数满足，则的大小关系是A BC D参考答案：A12. 化简_____________.参考答案：【分析】直接利用诱导公式化简得解.【详解】由题得.故答案为：1【点睛】本题主要考查诱导公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.13. 若集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一种分析，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分析，则集合A={a1，a2，a3}的不同分析种数是．参考答案：27【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】新定义；分类讨论．【分析】考虑集合A1为空集，有一个元素，2个元素，和集合A相等四种情况，由题中规定的新定义分别求出各自的分析种数，然后把各自的分析种数相加，利用二次项定理即可求出值．【解答】解：当A1=?时必须A2=A，分析种数为1；当A1有一个元素时，分析种数为C31?2；当A1有2个元素时，分析总数为C32?22；当A1=A时，分析种数为C33?23．所以总的不同分析种数为1+C31?21+C32?22+C33?23=（1+2）3=27．故答案为：27【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．14. 与终边相同的最大负角是_______________。
江苏省江阴长泾中学2020年高三数学灵堂三角函数考试卷
江苏省江阴长泾中学2020年高三数学灵堂三角函数考试卷一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．函数y ＝sin2x cos2x 的最小正周期是 ( )（A ）2π （B ）4π （C ）π4 （D ）π22．已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+等于 （ ） （A ）17 （B ）7 （C ）17- （D ）7-3.若△ABC 的内角A 满足322sin =A ，则sin cos A A += （ ）A. 315B. 315-C. 35D. 35-4．若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝ （ ）（A ）3－cos2x （B ）3－sin2x （C ）3＋cos2x （D ）3＋sin2x 5．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的最小值等于 （ ）（A ）23 （B ）32（C ）2 （D ）3 6．将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭r 平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是 （ ）A ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π=-C ．sin(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=- 7．设0a >，对于函数()sin (0)sin x af x x xπ+=<<，下列结论正确的是 （ ）A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值8．已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4π=x 处取得最小值，则函数)43(x f y -=π是 （ ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称C ．奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 9．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则（ ）A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形 C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形10．某学生对函数x x x f sin )(=进行研究，得出如下四个结论：①函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上单调递增；②存在常数0>M ，使x M x f ≤)(对一切实数x 均成立；③函数)(x f 在),0(π无最小值，但一定有最大值；④点)0,(π是函数)(x f y =图象的一个对称中心。
江阴市长泾中学选修一第一单元《空间向量与立体几何》测试(包含答案解析)
一、选择题1．若(),,0OA m n =，40,,OB p n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,4,0F ，1AF m =+，1BF p =+，则m p +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．62．设O ABC -是正三棱锥，1G 是ABC 的重心，G 是1OG 上的一点，且13OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++，则x y z ++=（ ）．A ．14B ．12C ．34D ．13．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且3BC =，4AC =，13CC =，点P 在棱1AA 上，且三棱锥A PBC -的体积为4，则直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值等于（ ）A ．104B ．64C ．105D ．1554．在棱长为2的正四面体ABCD 中，点M 满足()1AM xAB yAC x y AD =+-+-，点N 满足()1BN BA BC λλ=+-，当AM 、BN 最短时,AM MN ⋅=（ ） A ．43-B ．43C ．13-D ．135．如图，正四棱锥P ABCD -中，已知PA a =，PB b =，PC c =，12PE PD =，则BE =（ ）A ．131222a b c -+ B ．111222a b c --- C ．131222a b c --+ D ．113222a b c --+ 6．给出下列两个命题：命题:p 空间任意三个向量都是共面向量；命题:q 若0a >，0b >，则方程221ax by +=表示的曲线一定是椭圆.那么下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∨C ．()p q ⌝∧D ．()p q ⌝∨7．如图，在四面体O ABC -中，1G 是ABC 的重心，G 是1OG 上的一点，且12OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++，则(,,)x y z 为（ ）A ．111(,, )222B ．222(, , )333C ．111(, , )333D ．222(,, )9998．在底面为锐角三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱BC 的中点，记直线1B D 与直线AC 所成角为1θ，直线1B D 与平面111A B C 所成角为2θ，二面角111C A B D --的平面角为3θ，则（ ） A ．2123,θθθθ<<B ．2123 ,θθθθ><C ．2123 ,θθθθD ．2123 ,θθθθ>>9．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥，//BC AD ，且2AB BC ==，3AD =，PA ⊥平面ABCD 且2PA =，则PB 与平面PCD 所成角的正弦值为（ ）A ．42 B ．3 C ．7 D ．6 10．如图，在三棱柱11ABC A B C -中，底面ABC 为正三角形，侧棱垂直于底面，14,6AB AA ==.若E 是棱1BB 的中点，则异面直线1A E 与1AC 所成角的余弦值为（ ）A 13B 213C 313D 1311．已知四边形ABCD 为正方形，GD ⊥平面ABCD ，四边形DGEA 与四边形DGFC 也都为正方形，连接,,EF FB BE ，点H 为BF 的中点，有下述四个结论： ①DE BF ⊥； ②EF 与CH 所成角为60︒； ③EC ⊥平面DBF ； ④BF 与平面ACFE 所成角为45︒． 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．①②③④12．已知A （1，0，0），B （0，﹣1，1），OA OB λ+与OB （O 为坐标原点）的夹角为30°，则λ的值为（ ） A 6 B ．6±C 6D ．6±13．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是AB ，1CC 的中点，则直线1A E 与平面11B D F 所成角的正弦值是（ ） A ．155B ．1510C 5D ．3010第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题14．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足11B P D E ⊥，则线段1B P 的长度的最大值为______15．已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，则1AC 与平面11BB C C 所成角的余弦值为_________.16．如图：二面角α﹣l ﹣β等于120°，A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，AB ＝AC ＝BD ＝1，则CD 的长等于__．17．已知(5,3,1)a =，22,,5b t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.若a 与b 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是________.18．若向量()1,,1a λ=，()2,1,2b =-，且a 与b 夹角的余弦值为13，则λ=__________. 19．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱1CC 的中点，则异面线1BD 与AM 所成角的余弦值为________.20．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果(2,1,4),(4,2,0),AB AD =--=(1,2,1)AP =--，对于结论：①AP AB ⊥；②AP AD ⊥；③AP 是平面ABCD 的法向量；④//AP BD .其中正确的说法的序号是__________．21．在三棱锥O-ABC 中，OA ､OB ､OC 两两垂直，3OA =，4OB =，5OC =，D 是AB 的中点，则CD 与平面OAB 所成的角的正切值为___________.22．已知直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AB AC AA ==，点E 、F 分别为1AA 、11A C 的中点，则直线BE 和CF 所成角的余弦值为___________.23．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC CC ⊥，AC BC ⊥，2AC BC ==，160C CB ∠=︒，13CC =，点D ，E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且1AD =，2CE =，则二面角1B B E D --的正切值_______24．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，3BC =，点M 在棱1CC 上，且1MD MA ⊥，则当1MAD 的面积取得最小值时其棱1AA =________.25．在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为1B B ，CD 的中点，有以下命题： ①//MN 平面1A BD ；②1MN CD ⊥；③平面1A MN ⊥平面1A AC ， 则正确命题的序号为______.26．在△ABC 中，A （1，﹣1，2），B （2，1，1），C （﹣1，2，3），若向量n 与平面ABC 垂直，且n ＝15，则n 的坐标为_____．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据空间向量模的坐标表示，由题中条件，得到11m p =+=+，推出22163282230m p n n n n-+-++=，配方整理，即可求出最小值. 【详解】因为(),,0OA m n =，40,,OB p n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,4,0F ，1AF m =+，1BF p =+， 所以11m p =+=+，则()2222224214421m n m m p p p n ⎧+-=++⎪⎨⎛⎫-+=++⎪ ⎪⎝⎭⎩，即()224214421n m p n⎧-=+⎪⎨⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎩， 所以22221632164812261628822n n n m p n n n n n ⎛⎫⎛⎫-++-+-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=22444822466n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++=+-+≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当44n n+=，即2n =时，22m p +取得最小值3，则m p +的最小值为3. 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：求解本题的关键在于利用空间向量模的坐标表示，用n 表示出22m p +，即22164882222n n n m n p ⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，配方整理，即可求解.2．C解析：C 【分析】利用空间向量的基本定理可计算得出1111333OG OA OB OC =++，由已知条件可得出134OG OG =，进而可求得x 、y 、z 的值，由此可求得结果.【详解】如下图所示，连接1AG 并延长交BC 于点D ，则点D 为BC 的中点，1G 为ABC 的重心，可得123AG AD =， 而()()111222OD OB BD OB BC OB OC OB OB OC =+=+=+-=+， ()1122123333OG OA AG OA AD OA OD OA OA OD =+=+=+-=+ ()()12113323OA OB OC OA OB OC =+⋅+=++，所以，13311111144333444OG OG OA OB OC OA OB OC ⎛⎫==++=++ ⎪⎝⎭， 所以，14x y z ===，因此，34x y z ++=. 故选：C. 【点睛】方法点睛：对于空间向量的基底分解的问题，一般需要利用向量的加减法法则进行处理，也可以借助一些相应的结论对运算进行简化.3．C解析：C 【分析】利用锥体的体积公式可求得2PA =，然后以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值.【详解】由已知得1AA ⊥底面ABC ，且AC BC ⊥，所以111344332A PBC P ABC ABC V V S PA PA --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，解得2PA =. 如图所示，以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C 、()0,4,2P 、()3,0,0B 、()10,0,3C ， 则()3,0,0CB =，()0,4,2CP =，()13,0,3BC =-. 设平面BCP 的法向量为(),,n x y z =，则由00n CB n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得30420x y z =⎧⎨+=⎩，即020x y z =⎧⎨+=⎩，得0x =，令1y =，得2z =-，所以()0,1,2n =-为平面BCP 的一个法向量. 设直线1BC 与平面PBC 所成的角为θ， 则()()1122221610sin cos ,53312n BC n BC n BC θ⋅-=<>===⋅-+⨯+-. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求直线与平面所成角的方法：（1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键； ②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；③求，利用解三角形的知识求角； （2）向量法，sin cos ,AB n AB n AB nθ⋅=<>=⋅（其中AB 为平面α的斜线，n 为平面α的法向量，θ为斜线AB 与平面α所成的角）.4．A解析：A 【分析】根据题意可知M ∈平面BCD ，N ∈直线AC ，根据题意知，当M 为BCD ∆的中心、N 为线段AC 的中点时，AM 、BN 最短，然后利用MC 、MA 表示MN ，利用空间向量数量积的运算律和定义可求出AM MN ⋅的值. 【详解】由共面向量基本定理和共线向量基本定理可知，M ∈平面BCD ，N ∈直线AC ， 当AM 、BN 最短时，AM ⊥平面BCD ，BN AC ⊥， 所以，M 为BCD ∆的中心，N 为AC 的中点， 此时，242sin 60MC ==23MC ∴= AM ⊥平面BCD ，MC ⊂平面BCD ，AM MC ∴⊥，222MA AC MC ∴=-== 又()12MN MC MA =+，()2114223AM MN AM MC AM MA MA ∴⋅=⋅+⋅=-=-. 故选：A. 【点睛】本题考查空间向量数量积的计算，同时也涉及了利用共面向量和共线向量来判断四点共面和三点共线，确定动点的位置是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.5．A解析：A 【分析】连接AC BD 、交点为O ，根据根据向量加法运算法则1122PO PA PC =+，1122PO PD PB =+，求得PD ，然后由BE BP PE =+求解. 【详解】 如图所示：连接AC BD 、交点为O ，则1122PO a c =+， 又1122PO PD PB =+， 所以PD a c b =+-， 又11112222PE PD a c b ==+-， 所以131222BE BP PE a b c =+=-+. 故选：A. 【点睛】本题主要考查空间向量基本定理，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.6．D解析：D 【分析】判断命题p 和命题q 为假命题，再判断复合命题的真假得到答案. 【详解】命题:p 空间任意三个向量都是共面向量，为假命题； 当0a b =>时，方程221ax by +=表示圆，故q 为假命题；故p q ∧，p q ∨，()p q ⌝∧为假命题，()p q ⌝∨为真命题. 故选：D . 【点睛】本题考查了命题的真假判断，意在考查学生的推断能力.7．D解析：D 【分析】根据空间向量线性运算进行计算，用,,OA OB OC 表示出OG ． 【详解】因为E 是BC 中点，所以1()2OE OB OC =+， 1G 是ABC 的重心，则123AG AE =， 所以122()33AG AE OE OA ==-， 因为12OG GG =所以112224()()3339OG OG OA AG OA OE OA ==+=+-2422222()9999999OA OE OA OB OC OA OB OC =+=++=++， 若OG xOA yOB zOC =++，则29x y z ===． 故选：D ．【点睛】本题考查空间的向量的线性运算，掌握向量线性运算的运算法则是解题关键． 8．A解析：A【分析】以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，分别求出直线的方向向量以及平面的法向量，通过向量法即可求得各个角度的余弦值，再结合余弦函数的单调性即可判断.【详解】由题可知，直三棱柱111ABC A B C -的底面为锐角三角形，D 是棱BC 的中点， 设三棱柱111ABC A B C -是棱长为2的正三棱柱，以A 为原点，在平面ABC 中，过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则1(0,0,2)A ，1(3,1,2)B ，(0,2,0)C ，33,022D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(0,0,0)A ，(0,2,0)AC =，11,22B D ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，11(3,1,0)A B =， 因为直线1B D 与直线AC 所成的角为1θ，10,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 111||cos ||||2θ⋅∴==⋅B D AC B D AC ， 因为直线1B D 与平面111A B C 所成的角为2θ，20,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 平面111A B C 的法向量()0,0,1n =， 121||sin ||5∣θ⋅∴==⋅B Dn B D n ，2cos θ∴==， 设平面11A B D 的法向量(,,)m a b c =，则11130312022m A Ba b m B D a b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩， 取a =33,3,2m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 因为二面角111C A B D --的平面角为3θ，由图可知，其为锐角，33||2cos ||57m n m n θ⋅∴===⋅∣，231cos cos cos θθθ>>， 由于cos y θ=在区间(0,)π上单调递减，故231θθθ<<，则2123,θθθθ<<.故选：A .【点睛】本题考查利用向量法研究空间中的线面角以及二面角，属综合基础题.9．C解析：C【分析】以A 为坐标原点建立空间坐标系，进而求得PB 和平面PCD 的法向量，再由向量的数量积即可求得PB 与平面PCD 所成角的正弦值.【详解】依题意，以A 为坐标原点,分别以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，2,3,2AB BC AD PA ====,则()()()()0,0,2,2,0,0,2,2,0,0,3,0P B C D ,从而()()()2,0,2,2,2,2,0,3,2PB PC PD =-=-=-设平面PCD 的法向量为(),,n a b c =,00n PC n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即2220320a b c b c +-=⎧⎨-=⎩， 不妨取3c =c=3,则1,2a b ==,所以平面PCD 的一个法向量为()1,2,3n =，所以PB 与平面PCD 所成角的正弦值 ()22222267sin cos ,22123PB n θ-===+-++， 故选C.【点睛】本题主要考查了线面所成的角, 其中求解平面的法向量是解题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题.10．A解析：A【分析】以{},,a b c 为基底表示出11,A E AC ，利用向量夹角公式计算出异面直线1A E 与1AC 所成角的余弦值.【详解】 设1,,AB a AC b AA c ===，则{},,a b c 构成空间的一个基底，111112A E AB B E a c =+=-， 11AC AC CC b c =+=+，111111cos ,||||A EAC A E AC A E AC ⋅〈〉=⋅1()21||2a cbc a c b c ⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭=-⋅+ ()222112212a b b c a c c a c b c ⋅-⋅+⋅-=⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭22222144cos 600062124a a c c b b c c ⨯⨯︒-+-⨯=-⋅+⋅+⋅+ 222214064064=-+⨯⋅++ 13135213==-⨯. 所以异面直线1A E 与1AC 所成角的余弦值为1313. 故选：A【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的求法，属于中档题.11．B解析：B【分析】根据题意建立空间直角坐标系，写出所有点的坐标，利用向量法可以判断出正确的结论.【详解】由题意得，所得几何体可以看成一个正方体，因此,,,DA DC DG 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设2AD DC DG ===，(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(0,2,0)C ，(0,0,2)G ，(2,0,2)E ，(0,2,2)F ，(2,2,0)B ，(1,2,1)H ，①(2,0,2)DE =，(2,0,2)BF =-，4040DE BF ∴⋅=-++=，DE BF ∴⊥，DE BF ∴⊥，①是正确的.②(2,2,0)EF =-，(1,0,1)CH =，设EF 与CH 所成的角为θ， 1cos 2||||EF CH EF CH θ⋅∴==⋅， [0,]θπ∈ 60θ︒∴=，②是正确的.③(2,2,2)EC =--，(2,2,0)DB =，(0,2,2)DF =，设(,,)n x y z 是平面DBF 的一个法向量，DB n DF n ⎧⋅⊥∴⎨⊥⎩，00DB n DF n ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩ 00x y y z +=⎧⇒⎨+=⎩ 取1x =，(1,1,1)n ∴=-，2EC n =-，//EC n ，EC ∴⊥平面DBF ，③是正确.④(2,0,2)BF =-，由图像易得：(1,1,0)m =是平面 ACEFF 的一个法量， 设BF 与平面 ACFE 所成的角为θ，0,2πθ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦， sin cos ,BF m θ∴=12||||BF mBF m ⋅==⋅， 30θ︒∴=，④不正确，综上：①②③正确.故选：B .【点睛】本题考查异面直线、直线与平面所成角的求法，直线与直线、直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及转化思想的应用，是中档题．12． C 解析：C【分析】运用向量的坐标运算及夹角公式直接求解即可．【详解】解：(1,0,0)(0,,)(1,,)OA OB λλλλλ+=+-=-，∴2||12,||2OA OB OB λλ+=+=，()2OA OB OB λλ+=，∴2122cos302λλ+⨯⨯︒=，∴21264λλ+⨯=，则0λ>， ∴6λ=． 故选：C ．【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．13．D解析：D【分析】设正方体棱长为2，以1,,AD AB AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求得1(0,1,2)A E =-和平面11B D F 的一个法向量为(1,1,2)n =，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】设正方体棱长为2，分别以1,,AD AB AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则111(0,0,2),(0,1,0),(0,2,2),(2,0,2),(2,2,1)A E B D F ，所以1111(0,1,2),(2,2,0),(2,0,1)A E B D B F =-=-=-.设平面11B D F 的法向量为(,,)n x y z =，则1110,0,n B D n B F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,20,x y x z -=⎧⎨-=⎩令1x =，则1,2y z ==， 即平面11B D F 的一个法向量为(1,1,2)n =.设直线1A E 与平面11B D F 所成角为θ，则11sin 30n A E n A E θ⋅===⋅ 故选D.【点睛】 本题主要考查了利用空间向量求解直线与平面所成的角，根据几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.二、填空题14．3【分析】以为原点以分别为轴轴轴正方向建立空间直角坐标系设根据则可得从而点在底面内的轨迹为一条线段从而可得答案【详解】以为原点以分别为轴轴轴正方向建立空间直角坐标系则设则由则即则当时设所以点在底面内 解析：3【分析】以D 为原点，以,,DA DC DD '分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，设(),,0P x y ，根据11B P D E ⊥，则110PB ED ⋅=，可得220x y +-=，从而点P 在底面ABCD 内的轨迹为一条线段AF ,从而可得答案.【详解】以D 为原点，以,,DA DC DD '分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系， 则()()()112,2,2,1,2,0,0,0,2B E D ，设(),,0P x y ，则02,02x y ≤≤≤≤()12,2,2PB x y =--，()11,2,2ED =--由11B P D E ⊥，则110PB ED ⋅=，即()22240x y -+⨯-+=，则220x y +-= 当0x =时，1y =,设()0,1,0F所以点P 在底面ABCD 内的轨迹为一条线段AF ,所以(12B P ==01y ≤≤ 又二次函数2548t y y =-+的对称轴为25，当01y ≤≤时，当1y =时，1B P 有最大值3. 故答案为：3【点睛】关键点睛：本题考查根据垂直关系得出动点的轨迹从而求线段的长度的最值，解答的关键是建立坐标系，利用向量根据11B P D E ⊥，则110PB ED ⋅=，可得220x y +-=，从而点P 在底面ABCD 内的轨迹为一条线段AF ，可得01y ≤≤，从而可出答案，属于中档题.15．【分析】取BC 的中点E 连接AE 证明面可得就是与平面所成的角解直角三角形即可【详解】如上图取BC 的中点E 连接AE 则∵正三棱柱中面面面面∴面∴就是与平面所成的角不妨设正三棱柱的所有棱长都为2则在中故答案 解析：10 【分析】取BC 的中点E ，连接1C E ，AE ，证明AE ⊥面11BB C C ，可得1E AC ∠就是1AC 与平面11BB C C 所成的角，解直角三角形1AC E 即可．【详解】如上图，取BC 的中点E ，连接1C E ，AE ，则AE BC ⊥，∵正三棱柱111ABC A B C -中，面ABC ⊥面11BB C C ，面ABC面11BB C C BC =，∴AE ⊥面11BB C C ，∴1E AC ∠就是1AC 与平面11BB C C 所成的角，不妨设正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，则15C E =122AC =在1Rt AC E ∆中，111cos C E AC E AC ∠===.【点睛】 本题考查直线与平面所成的角，考查空间想象能力和计算能力，属于常考题.16．2【分析】求CD 的长即为由向量的加法可得利用向量的数量积运算即可得出答案【详解】∵AB 是棱l 上两点ACBD 分别在半平面αβ内AC ⊥lBD ⊥l 因为所以因为所以故答案为：2【点睛】本题主要考查空间向量的解析：2【分析】求CD 的长即为CD ，由向量的加法可得CD CA AB BD =++，利用向量的数量积运算即可得出答案.【详解】∵A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，0,0∴⋅=⋅=CA AB BD AB ，,60︒<>=CA BD因为1AB AC BD ===，所以111cos602︒⋅=⨯⨯=CA BD ， 因为CD CA AB BD =++， 所以2()12=++==CD CA AB BD故答案为：2【点睛】本题主要考查空间向量的加法，减法及几何意义和空间向量的数量积，考查了运算求解能力和转化的数学思想，属于一般题目. 17．【分析】由根据与的夹角为钝角由且求解【详解】因为所以因为与的夹角为钝角所以且由得所以若与的夹角为则存在使即所以解得故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的应用还考查了运算求解的能力属于中档题解析：6652,,5515⎛⎫⎛⎫-∞-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【分析】由(5,3,1)a =，22,,5b t ⎛⎫=--⎪⎝⎭，根据a 与b 的夹角为钝角，由0a b ⋅<且,180a b ︒〈〉≠求解.【详解】因为(5,3,1)a =，22,,5b t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以2525(2)31355a b t t ⎛⎫⋅=⨯-++⨯-=- ⎪⎝⎭， 因为a 与b 的夹角为钝角，所以0a b ⋅<且,180a b ︒〈〉≠，由0a b ⋅<，得52305t -<， 所以5215t <. 若a 与b 的夹角为180︒，则存在0λ<，使a b λ=， 即2(5,3,1)2,,5t λ⎛⎫=--⎪⎝⎭， 所以523215t λλλ⎧⎪=-⎪=⎨⎪⎪=-⎩， 解得65t =-， 故答案为： 6652,,5515⎛⎫⎛⎫-∞-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．【分析】根据条件可求出再根据夹角的余弦为即可求出解出即可【详解】解：又夹角的余弦值为解得故答案为：【点睛】本题考查空间向量数量积的坐标运算根据向量坐标求向量长度的方法向量数量积的计算公式 解析：74【分析】 根据条件可求出2||2,||3a b λ=+=，224a b λλ=-+=-，再根据,a b 夹角的余弦为134λ-，解出λ即可． 【详解】 解：2||2,||3a b λ=+=，224a b λλ=-+=-，又,a b 夹角的余弦值为13，∴2||||cos ,24a b a b a b λλ=<>=+=-，解得74λ=． 故答案为：74． 【点睛】本题考查空间向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，向量数量积的计算公式．19．【分析】建立空间直角坐标系以的方向为x 轴y 轴z 轴的正方向不妨设正方体的棱长为1则异面线与AM 所成角的余弦值转化为求向量的夹角的余弦值利用向量夹角公式即得【详解】分别以的方向为x 轴y 轴z 轴的正方向建立 【分析】建立空间直角坐标系，以1,,DA DC DD 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，不妨设正方体的棱长为1，则异面线1BD 与AM 所成角的余弦值，转化为求向量1,BD AM 的夹角的余弦值，利用向量夹角公式即得. 【详解】分别以1,,DA DC DD 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则11(1,0,0),(1,1,0),(0,1,),(0,0,1)2A B M D ，可得11(1,1,1),(1,1,)2BD AM =--=-，则111111cos ,||||3BD AMBD AM BD AM -+⋅<>===，即异面直线1BD 与AM 所成角的余弦值为3.【点睛】本题考查利用空间向量求异面直线的夹角，运用了向量夹角公式.20．①②③【解析】由在①中所以所以所以是正确的；在②中所以所以所以是正确的；在③中由于且可知是平面的法向量所以是正确的；在④中假设存在实数使得则此时无解所以是不正确的所以正确命题的序号为①②③点睛：本题解析：①②③ 【解析】由(2,1,4),(4,2,0),(1,2,1)AB AD AP =--==--,在①中，2240AP AB ⋅=--+=，所以AP AB ⊥，所以AP AB ⊥，所以是正确的； 在②中，4400AP AD ⋅=-++=，所以⊥AP AD ，所以AP AD ⊥，所以是正确的； 在③中，由于AP AB ⊥，AP AD ⊥，且AB AD A ⋂=，可知AP 是平面ABCD 的法向量，所以是正确的；在④中，(2,3,4)BD AD AB =-=,假设存在实数λ使得λ=AP BD ，则122314λλλ-=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，此时无解，所以是不正确的，所以正确命题的序号为①②③.点睛：本题主要考查了命题的真假判定问题，其中解答中涉及到空间向量的数量积的运算，空间向量的坐标表示，平面法向量的概念，同时考查了向量垂直、向量平行等基础知识，着重考查了推理能力与计算能力，属于基础题，解答中熟记向量的坐标运算的基本公式是解答的关键.21．2【分析】由已知建立空间直角坐标系求出的坐标和平面的法向量由数量积公式可得与平面所成的角的正弦值再由三角函数平方关系和商数关系可得答案【详解】因为两两垂直所以以为原点分别为轴的正半轴建立如图所示空间解析：2 【分析】由已知建立空间直角坐标系，求出CD 的坐标和平面OAB 的法向量，由数量积公式可得CD 与平面OAB 所成的角的正弦值，再由三角函数平方关系和商数关系可得答案.因为OC OA OB 、、两两垂直， 所以以O 为原点，OA OB OC 、、分别为x y 、、z 轴的正半轴建立如图所示空间直角坐标系，连接CD ， 所以()3,0,0A ，()0,4,0B ，()0,0,5C ，3,2,02D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,2,52CD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由于CO ⊥底面OAB ，所以CO 是底面OAB 的法向量，且()0,0,5CO =-，设CD 与平面OAB 所成的角为0,2πθθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 所以sin cos ,9554254CO CD CO CD CO CDθ⋅====⋅⨯++，所以2cos 1sin 5θθ=-=，所以sin tan 2cos θθθ==. 即CD 与平面OAB 所成的角正切值为2. 故答案为：2.【点睛】本题考查了线面角的求法，解题关键点是建立空间直角坐标系利用向量的数量积公式求解，考查了学生的空间想象力和计算能力.22．【分析】作出图形设然后以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系利用空间向量法可求得直线和所成角的余弦值【详解】设由于平面以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如下图所示：则因此直线解析：25【分析】作出图形，设12AB AC AA ===，然后以点A 为坐标原点，AB 、AC 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线BE 和CF 所成角的【详解】设12AB AC AA ===，由于1AA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，以点A 为坐标原点，AB 、AC 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则()2,0,0B 、()0,2,0C 、()0,0,1E 、()0,1,2F ，()2,0,1BE =-，()0,1,2CF =-，2cos ,555BE CF BE CF BE CF⋅<>===⨯⋅. 因此，直线BE 和CF 所成角的余弦值为25. 故答案为：25. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.23．【分析】根据题意先得到平面所以向量为平面的一个法向量；分别以为轴轴以垂直于平面过点的直线为轴建立空间直角坐标系根据题意求出平面的一个法向量根据向量夹角公式求出二面角的夹角余弦值进而可求出结果【详解】 解析：2213【分析】根据题意，先得到AC ⊥平面11BCC B ，所以向量AC 为平面11BCC B 的一个法向量；分别以CA ，CB 为x 轴，y 轴，以垂直于平面ABC 过点C 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -，根据题意求出平面1B ED 的一个法向量，根据向量夹角公式求出二面角的夹角余弦值，进而可求出结果. 【详解】因为AC BC ⊥，1AC CC ⊥，1BCCC C =，且1,BC CC ⊂平面11BCC B ，所以AC ⊥平面11BCC B ，所以向量AC 为平面11BCC B 的一个法向量； 分别以CA ，CB 为x 轴，y 轴，以垂直于平面ABC 过点C 的直线为z 轴， 建立空间直角坐标系C xyz -，因为2AC BC ==，160C CB ∠=︒，13CC =，所以()2,0,0A ，()0,0,0C ，()2,0,0B ，则12,2D ⎛ ⎝⎭，(E，170,2B ⎛ ⎝⎭，所以12,,22ED ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，150,2EB ⎛= ⎝⎭，()2,0,0AC =- 设平面1B ED 的一个法向量为(),,m x y z =，则 1m ED m EB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，即11202502m ED x y z m EB y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，解355x z y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，令5z =，则()3,m =，所以cos ,4AC m AC m AC m⋅<>===，由图像可得，二面角1B B E D --为锐角，记为θ，所以co cos s ,AC m θ>=<=，因此sin θ==所以sin tan cos θθθ===.221. 【点睛】本题主要考查求二面角的正切值，根据向量的方法求解即可，属于常考题型.24．【分析】设建立空间直角坐标系由向量的垂直可得进而可得由基本不等式即可得解【详解】设如图建立空间直角坐标系则所以又所以所以所以当且仅当时等号成立所以当的面积取得最小值时其棱故答案为：【点睛】本题考查了 解析：322【分析】设()10AA m m =>，()0M n n C m =≤≤，建立空间直角坐标系，由向量的垂直可得1m n n -=，进而可得1221452MAD S n n=++△，由基本不等式即可得解. 【详解】设()10AA m m =>，()0M n n C m =≤≤，如图建立空间直角坐标系，则()10,0,D m ，()0,1,M n ，()3,0,0A，所以()10,1,M n m D =-，()3,1,AM n =-，又1MD MA ⊥，所以()110M A D M n n m ⋅=+-=，所以1m n n-=， 所以()122122111113114222MAD S M AM m n n n nD =⋅=+-++=++△()2222221114143415522222n n n n n n ⎛⎫=++=++≥+⋅=⎪⎝⎭， 当且仅当2n =322m =时，等号成立， 所以当1MAD 的面积取得最小值时其棱1322AA =. 故答案为：322. 【点睛】本题考查了空间向量及基本不等式的应用，考查了运算求解能力，合理转化、细心计算是解题关键，属于中档题.25．①②【分析】建立如图所示的空间直角坐标系把空间中的平行垂直关系归结为方向向量法向量之间的关系后可得正确的选项【详解】建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为2则故所以故所以故②正确又设平面的法向解析：①② 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，把空间中的平行、垂直关系归结为方向向量、法向量之间的关系后可得正确的选项. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则()()()()2,0,0,0,0,0,0,2,0,2,2,0A D C B ，()()()()11112,0,2,0,0,2,0,2,2,2,2,2A D C B ，故()()2,2,1,0,1,0M N ，所以()2,1,1MN =---，()10,2,2CD =-， 故10MN CD ⋅=，所以1MN CD ⊥，故②正确.又()2,2,0DB =，()12,0,2DA =，设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =， 由100n DB n DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得00x y x z +=⎧⎨+=⎩，取1z =-，则()1,1,1n =--，因为0MN n ⋅=且MN ⊄平面1A BD ，故//MN 平面1A BD ，故①正确.又()10,2,1A M =-，设平面1A MN 的法向量为(),,m x y z =， 由100m MN m A M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020x y z y z ---=⎧⎨-=⎩，取1y =，则3,1,22m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，平面1A AC 的法向量为()2,2,0a =，则0m a ⋅≠ 故平面1A MN ⊥平面1A AC 不成立， 故③错， 故答案为：①②. 【点睛】本题考查空间中平行关系、垂直关系的判断，注意根据几何体的特征建立合适的空间直角坐标系后再利用空间向量来处理，本题属于中档题.26．（57）或（﹣5﹣7）【分析】求出23设向量与平面垂直列出方程组能求出结果【详解】∵在△ABC 中A （1﹣12）B （211）C （﹣123）∴（12﹣1）（﹣231）设∵向量与平面ABC 垂直∴解得∵∴1解析：n =（33，3n =（﹣3，3，﹣3【分析】求出(1AB =，2，1)-，(2AC =-，3，1)，设(n x =，y ，)z ，向量n 与平面ABC 垂直，15n =，列出方程组能求出结果． 【详解】∵在△ABC 中，A （1，﹣1，2），B （2，1，1），C （﹣1，2，3）， ∴AB =（1，2，﹣1），AC =（﹣2，3，1）， 设(),,n x y z =∵向量n 与平面ABC 垂直，∴20230n AB x y z n AC x y z ⎧⋅=+-=⎨⋅=-++=⎩，解得57x y z y =⎧⎨=⎩，∵15n =，∴=15，解得3y =，x = 73z =或y =x =- z =-∴(53,n =或(53,n =--． 【点睛】本题考查向量的坐标的求法，考查向量与平面垂直、向量的模等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．。
江苏江阴长泾中学高一数学单元检测(三角函数、向量)苏教版必修五
长泾中学数学单元检测题（三角函数、平面向量部分） 时间：08.3，姓名________一、填空题（每小题5分，共80分）1. 已知点),3(y P -在角α的终边上,且满足54sin =α,则αtan 的值为 __2. 扇形的圆心角是72︒，半径为20cm, 则扇形的面积为3.已知135sin =α,1312cos -=α,则角α所在的象限是 .4.若cos(π+α)=-23,21π<α<2π,则sin(2π-α)等于5. 先将函数y=5sin （6π－2x ）的周期扩大为原来的2倍，再将新函数的图象向右平移3π，则所得图象的解析式为 . 6．D 、E 、F 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且=a ，=b ，给出下列命题：①12AD =-a －b ；②=BE a +21b ；③12CF =-a +21b ；④0AD BE CF ++=.其中正确命题序号为___________7．设1e 、2e 是不共线的两个向量，则向量122a e e =-与向量12()b e e R λλ=+∈共线，则λ=__________8．已知点A(-1,5)和向量a =（2,3）,若=3a ,则点B 的坐标为_____9.()()()32008,53),0,(4sin 2tan -=≠+-=πf f ab b a x b xa x f 则若为常数，其中=___________10．函数)65,12)(4cos()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=πππx x x f 的值域为 11．函数()()()02sin <<-+=ϕπϕx x f 的图像的一条对成轴是8π=x ，则ϕ=______;此时函数的图像的对称点为_____________. 12．函数()()sin 212xf x =的单调增区间是________________________.13．()x x f 3sinπ=，则()()()()_________2005321=++++f f f f14.下面五个命题：⑴所有的单位向量相等；⑵长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；⑶由于零向量的方向不确定，故0与任何向量不平行；（4）对于任何向量b a ，，必有||b a +≤||||b a +．其中正确命题的序号为:______________.15．设θ是三角形的内角，若函数()2sin 4cos 6f x x x θθ=-+对一切实数x 都有()0f x >，则θ的取值范围是______________.16． 给出下列命题： ①函数)225sin(x y -=π是偶函数； ②函数)4sin(π+=x y 在闭区间]2,2[ππ-上是增函数； ③直线8π=x 是函数)452sin(π+=x y 图象的一条对称轴； ④将函数)32cos(π-=x y 的图象向左平移3π单位，得到函数x y 2cos =的图象； 其中正确的命题的序号是： ；二、解答题（本大题共80分）17．已知函数cos 2(0)6y a b x b π=-+>⎛⎫⎪⎝⎭的最大值为23，最小值为21-. （1）求a 、b 的值；（2）求函数g (x )=－4a sin(bx －3π)在区间[0，π]上的最大值和最小值.18．如图，在△ABC 中，D 、F 分别是BC 、AC 的中点，AE=32AD ，=a ，=b ， （1）用a 、b 分别表示向量BF BE AF AE AD ,,,,; （2）求证：B 、E 、F 三点共线.19． （1）已知tan α=2，求αααα22c o s 2c o s s i n 3si n 2--的值。
江阴市必修第一册第五单元《三角函数》测试卷(有答案解析)
一、选择题1．下列函数中，既是奇函数，又在区间()0,1上是增函数的是（ ） A ．32()f x x = B ．13()f x x -= C ．()sin 2f x x =D ．()22x x f x -=-2．已知曲线C 1：y ＝2sin x ，C 2：2sin(2)3y x π=+，则错误的是（ ）A ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动6π个单位长度，得到曲线C 2 B ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动56π个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1向左平行移动3π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线C 2 D ．把C 1向左平行移动6π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线C 2 3．已知3sin 5α=-，则cos2=α（ ） A ．15-B ．15C ．725-D ．7254．已知()3sin 5πα+=，则sin()cos()sin 2απαπα--=⎛⎫- ⎪⎝⎭（ ） A ．45- B ．45 C ．35 D ．355．若角α的终边过点(3,4)P -，则cos2=α（ ）A ．2425-B ．725C ．2425D ．725-6．化简求值1tan12tan 72tan12tan 72+-（）A ．3-B．C．3D7．已知3sin 7a π=，4cos 7b π=，3tan()7c π=-，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<8．已知函数()cos 2cos sin(2)sin f x x x ϕπϕ=⋅-+⋅在3x π=处取得最小值，则函数()f x 的一个单调递减区间为（ ）A ．4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．5,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ 9．下面函数中最小正周期为π的是（ ）．A ．cos y x =B ．π3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．tan2xy = D ．22cos sin 2y x x =+10．若角α，β均为锐角，sin α=，()4cos 5αβ+=-，则cos β=（ ）A B C D ． 11．刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法:当n 很大时，用圆内接正n 边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率 3.1416π≈.在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想，可以说他是中国古代极限思想的杰出代表．运用此思想，当π取3.1416时可得cos89︒的近似值为（ ） A ．0.00873B ．0.01745C ．0.02618D ．0.0349112．已知tan 2α=，则sin sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．310-B ．310 C ．35D ．35二、填空题13．方程cos 306x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭在[]0,π上的解的个数为______.14．设函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()4f x f π⎛≤⎫⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为___________________.15．已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>，若()f x 在()π,π-上有且只有3个零点，则ω的取值范围为______. 16．若3sin 45πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin2α=_____；17．已知tan 3α=，则2sin 21sin cos 2ααα-=+_________．18．已知1cos 3α=-，则|sin |α=___________19．设函数2()2cos cos f x x x x m =++，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()f x 的值域为17,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则实数m 的值是________. 20．已知：3sin 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且α为第四象限角，则cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________． 三、解答题21．已知函数()π22sin cos 6f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的单调增区间. （2）当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域.22．已知函数()22sin cos 3f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期和单调减区间； （2）求证：当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()12f x ≥-.23．已知 3sin 5α=，12cos 13，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求sin()αβ+，cos()αβ-，tan2α的值. 24．设1cos 29βα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2sin 23αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，其中,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （1）求2βα-以及2αβ-的取值范围．（2）求cos2αβ+的值．25．已知函数25()cos()2cos (0)32f x wx wx wx w π=+-+>的图像上相邻的两个最低点的距离为π. （1）求w 的值；（2）求函数()f x 的单调递增区间.26．已知函数212()2cos sin 1f x x x ωω=+-． （Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）从①11ω=，21ω=； ②11ω=，22ω=这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数()f x 在[,]26ππ-上的最小值，并求函数()f x 的最小正周期．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】A.根据32()f x x ==[0,)+∞判断；B. 由幂函数的性质判断；C.由函数sin y x =的性质判断；D.由指数函数2x y =的性质判断.【详解】 A. 32()f x x ==[0,)+∞，不关于原点对称，所以函数是非奇非偶，故错误；B. 由幂函数知()1133()()f x x xf x ---=-=-=-是奇函数，在()0,1是减函数，故错误；C. 因为()()sin 2sin 2()f x x x f x -=-=-=-，所以()f x 是奇函数，在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，在,14π⎛⎫⎪⎝⎭上减函数，故错误；D. 因为()()2222()xx x x f x f x ---=-=--=-，所以()f x 是奇函数，因为2,2x x y y -==-是增函数，()22x x f x -=-在区间()0,1上是增函数，故正确；故选：D2．D解析：D 【分析】利用函数()sin +y A x ωϕ=的图象变换规律对各个选项进行检验即可. 【详解】A. 1C 上各点横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2y x =，再向左平移6π个单位长度，得到2sin 2+=2sin 2+63y x x ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确； B. 1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2y x =，再向右平移56π个单位长度，得到5552sin 2=2sin 2=2sin 222sin 26333y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，正确； C. 1C 向左平移3π个单位长度，得到2sin +3y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，再把各点横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2+3y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，正确；D. 1C 向左平移6π个单位长度，得到2sin +6y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，再把各点横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2+6y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，错误. 故选：D3．D解析：D 【分析】由题中条件，根据二倍角的余弦公式，可直接得出结果. 【详解】 因为3sin 5α=-， 所以297cos 212sin 122525αα=-=-⨯=. 故选：D.4．C解析：C 【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果. 【详解】 ∵3sin()sin 5παα+==-，∴3sin 5α=-， 则sin()cos()sin (cos )3sin cos 5sin 2απααααπαα---⋅-===-⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故选：C5．D解析：D 【分析】先利用任意角三角函数的定义求sin α和cos α，再利用二倍角的余弦公式计算即可. 【详解】由角α的终边过点(3,4)P -知，4sin 5α，3cos 5α=-，故229167cos 2cos sin 252525ααα=-=-=-. 故选：D.6．A解析：A 【分析】逆用两角差的正切公式先求出tan12tan 721tan12tan 72-+，即可求解.【详解】 因为()tan 1272-tan12tan 721tan12tan 72-=+()tan 60=-=-所以()1tan12tan 721tan12tan 72tan 60+===--.故选：A7．C解析：C 【分析】3sin07a π=>,4cos 07b π=<，a b >且均属于()1,1-，而1c <-，大小关系即可确定. 【详解】 解：3sin7a π=>；427πππ<<， 4cos coscos 72πππ∴<<，即10b -<<. 又正切函数在(0,)2π上单调递增，347ππ<； 3tantan 174ππ∴>=； 33tan()tan 177c ππ∴=-=-<-， 01a b c ∴>>>->，故选：C. 8．D解析：D 【分析】先化简()f x 并根据已知条件确定出ϕ的一个可取值，然后根据余弦函数的单调递减区间求解出()f x 的一个单调递减区间. 【详解】 因为()()()cos2cos sin 2sin cos2cos sin 2sin cos 2f x x x x x x ϕπϕϕϕϕ=⋅-+⋅=⋅+⋅=-，且()f x 在3x π=处有最小值，所以2cos 133f ππϕ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22,3k k Z πϕππ-=+∈， 所以2,3k k Z πϕπ=--∈，取ϕ的一个值为3π-， 所以()cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，令222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈， 所以,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令0k =，所以此时单调递减区间为,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选：D. 【点睛】思路点睛：求解形如()()cos f x A x ωϕ=+的函数的单调递减区间的步骤如下： （1）先令[]2,2+,k k k x Z ωϕπππ+∈∈；（2）解上述不等式求解出x 的取值范围即为()f x 的单调递减区间.9．D解析：D 【分析】根据三角函数的周期公式结合图象对选项进行逐一判断，可得答案. 【详解】()cos cos x x -=，cos cos y x x ∴==，周期为2π，故A 不符合题意； π3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的周期为2π，故B 不符合题意；画出函数tan2x y =的图象，易得函数tan 2xy =的周期为2π，故C 不符合题意；2π2cos sin 2cos 21sin 2214x x x x x ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，周期为π，故D 符合题意． 故选：D10．B解析：B 【分析】由平方关系求得cos α，sin()αβ+，然后由两角差的余弦公式计算． 【详解】α，β均为锐角，5sin 5α=，()4cos 5αβ+=-，2255cos 155α⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭，()243sin 155αβ⎛⎫+=--= ⎪⎝⎭， cos cos[()]βαβα∴=+-cos()cos sin()sin αβααβα=+++4532555=-25=． 故选：B ．11．B解析：B 【分析】根据cos89sin1︒=，将一个单位圆分成360个扇形，由这360个扇形的面积之和近似为单位圆的面积求解. 【详解】因为()cos89cos 901sin1︒=-=，所以将一个单位圆分成360个扇形，则每一个扇形的圆心角为1︒， 所以这360个扇形的面积之和近似为单位圆的面积，即2136011sin112π⨯⨯⨯⨯≈，所以 3.1416sin10.01745180180π≈≈≈， 故选：B12．B解析：B 【分析】利用两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系式化简所求表达式，由此求得所求表达式的值. 【详解】sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 444444ππππππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22222211sin cos sin cos 22sin cos αααααα-=-=⨯+ 221tan 114132tan 124110αα--=⨯=⨯=++. 故选：B二、填空题13．3【分析】先求出解的一般形式再根据范围可求解的个数【详解】因为故故令故故答案为：3解析：3 【分析】先求出解的一般形式，再根据范围可求解的个数. 【详解】 因为cos 306x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故3,62x k k Z πππ+=+∈， 故,39k x k Z ππ=+∈，令039k πππ≤+≤，故0,1,2k =， 故答案为：3.14．【分析】由是最大值点结合正弦函数的最大值可得的表达式再求得的最小值即可【详解】由可知时函数取得最大值故有解得所以最小值为故答案为：解析：43【分析】 由4x π=是最大值点，结合正弦函数的最大值可得ω的表达式，再求得ω的最小值即可．【详解】 由()4f x f π⎛≤⎫⎪⎝⎭可知4x π=时函数取得最大值.故有2()462k k Z πππωπ+=+∈，解得48()3k k Z ω=+∈，所以最小值为43.故答案为：43．15．【分析】利用辅助角公式对进行化简得令解得故即可解得答案【详解】解：令解得的零点为：……若在上有且只有3个零点则需满足解得：故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是：将的解析式利用辅助角公式化为 解析：5744ω<≤ 【分析】利用辅助角公式对()sin cos f x x x ωω=+进行化简，得()4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()4x k k z πωπ+=∈，解得()4k x k z ππωω=-+∈，故37449544πππωωπππωω<≤-≤-<-⎧⎨⎩，即可解得答案. 【详解】 解：()sin cos f x x x ωω=+，()4f x x πω⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，令()4x k k z πωπ+=∈，解得()4k x k z ππωω=-+∈， ()f x ∴的零点为：…，94πω-，54πω-，4πω-，34πω，74πω，…若()f x 在()π,π-上有且只有3个零点，则需满足37449544πππωωπππωω<≤-≤-<-⎧⎨⎩， 解得：5744ω<≤. 故答案为：5744ω<≤. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是：将()f x 的解析式利用辅助角公式化为()sin y A ωx φ=+的形式，或者()cos y A x ωϕ=+，再结合正余弦函数的图象计算即可. 16．【分析】逆用诱导公式结合二倍角公式得出答案【详解】故答案为： 解析：725【分析】逆用诱导公式结合二倍角公式得出答案. 【详解】27sin 2cos 2cos 212sin 24425πππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故答案为：72517．【分析】可将式子化简为即可求解【详解】故答案为： 解析：4-【分析】可将式子化简为22tan tan 1αα--，即可求解. 【详解】tan 3α=,()22222sin cos sin cos sin 21sin cos 2cos αααααααα-+-∴=+ 222tan tan 123314αα=--=⨯--=-. 故答案为：4-.18．【分析】根据同角三角函数的关系即可求出【详解】故答案为：解析：3【分析】根据同角三角函数的关系即可求出. 【详解】1cos 3α=-，|sin |α∴==.故答案为：3. 19．【分析】利用二倍角公式与辅助角公式化简解析式为根据定义域求出函数值域为利用可得答案【详解】因为则由得且故故答案为：【点睛】高考解答题对三角三角函数的考查主要以三角恒等变形三角函数的图象和性质利用正余 解析：12【分析】利用二倍角公式与辅助角公式化简解析式为2sin 216x m π⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，根据定义域求出函数值域为[,3]m m +，利用17[,3],22m m ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦可得答案.【详解】因为2()2cos cos f x x x x m =++1cos 222sin 216x x m x m π⎛⎫=++=+++ ⎪⎝⎭.0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2666x ππ7π∴≤+≤，则1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. ()2sin 21[,3]6f x x m m m π⎛⎫∴=+++∈+ ⎪⎝⎭，由17[,3],22m m ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦得，12m =且732m +=，故12m =. 故答案为：12. 【点睛】高考解答题对三角三角函数的考查主要以三角恒等变形，三角函数的图象和性质，利用正余弦定理解三角形为主，在研究三角函数的图象和性质问题时，一般先运用三角恒等变形，将表达式转化为一个角的三角函数的形式，再结合正弦函数与余弦函数的性质求解.20．【分析】由诱导公式求得然后由平方关系求得再由两角和的余弦公式可得结论【详解】由已知又为第四象限角∴∴故答案为：【分析】由诱导公式求得cos α，然后由平方关系求得sin α，再由两角和的余弦公式可得结论． 【详解】由已知3sin cos 25παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，又α为第四象限角，∴4sin 5α=-，∴34cos cos cos sin sin ()444525210πππααα⎛⎫+=-=⨯--⨯= ⎪⎝⎭故答案为：10． 三、解答题21．（1）π5ππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；（2）11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）由恒等变换得()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，进而根据πππ2π22π232k x k -+≤-≤+解得()f x 的增区间为π5ππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；（2）由ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦得5πππ2636x -≤-≤，进而得π11sin 232x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，即()f x 的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【详解】 解：（1）()11π2cos 2sin 2sin 2cos 2sin 222223f x x x x x x x ⎫⎛⎫=--=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， ∵πππ2π22π232k x k -+≤-≤+，()k ∈Z ， ∴π5πππ1212k x k -+≤≤+，()k ∈Z ， ∴()f x 的增区间为π5ππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z .（2）∵ππ44x -≤≤， ∴5πππ2636x -≤-≤， ∴π11sin 232x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭， ∴()f x 的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题解题的关键是根据三角恒等变换得()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，进而根据整体换元的思想求函数的单调区间与值域，考查运算求解能力，是中档题.22．（1）最小正周期π，单调减区间为12127,k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用两角差余弦公式、正弦倍角公式及辅助角公式可得()sin 23f x x，即可求最小正周期，整体代入求单调减区间； （2）由44x ππ-≤≤得52636x πππ-≤+≤，即可得()f x 的值域，进而判断()12f x ≥-是否成立. 【详解】解：（1）3()sin 2sin 22f x x x x =+-1sin 22sin 223x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， ∴()f x 的最小正周期22T ππ==. 令3222232k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈，解得71212k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， ∴单调减区间为12127,k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）由44x ππ-≤≤，知：52636x πππ-≤+≤，则有()f x 的值域为1[,1]2-，∴1sin 232x π⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭，即当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()12f x ≥-得证. 【点睛】关键点点睛：（1）利用三角恒等变换：两角和差公式、辅助角公式化简三角函数式，并确定函数性质. （2）根据（1）的三角函数解析式结合已知定义域范围确定值域，判断函数不等式是否成立.23．1665-；3365；247- 【分析】由已知条件，利用同角三角函数基本关系结合角所在的象限求出cos α，sin β，以及tan α的值，再利用两角和的正弦公式，两角差的余弦公式，正切的二倍角公式即可求解.【详解】 因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3sin 5α=，所以4cos 5α===-，因为3,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12cos 13，所以5sin 13β===-， 所以3124516sin()sin cos cos sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⨯-+-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 4123533cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为sin 3tan cos 4ααα==-，所以22322tan 244tan 21tan 7314ααα⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭===--⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 综上所述：16sin()65αβ+=-，33cos()65αβ-=，24tan 27α=-. 24．（1）22πβαπ<-<，022απβ<-<；（2）27． 【分析】 （1）由,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭以及不等式知识求出,24βπαπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，,242αππβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,再根据1cos 29βα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2sin 23αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得,22βπαπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，0,22απβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭． （2）根据cos cos 222αββααβ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，利用两角差的余弦公式可求得结果.【详解】 （1）,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,242αππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，0,24βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,02πβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， ,224αππ⎛⎫∴-∈-- ⎪⎝⎭，,024βπ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，,24βπαπ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，,242αππβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭, 又1cos 29βα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2sin 23αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以22πβαπ<-<，022απβ<-<.（2）coscos 222αββααβ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 2222βαβααβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又1cos 29βα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭且,22βπαπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin 2βα⎛⎫∴-== ⎪⎝⎭， 又2sin 23αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,22απβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，cos 23αβ⎛⎫∴-==⎪⎝⎭，12cos293αβ+∴=-+=【点睛】关键点点睛：将所求角拆成两个已知角进行求解是解题关键. 25．（1）1；（2）()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，.【分析】本题考查三角函数的图像和性质、三角恒等变换，根据三角恒等变换公式()f x 化简函数解析式，根据图像和性质求单调递增区间. 【详解】（1）5()(cos cossin sin )(1cos 2)332f x wx wx wx wx ππ=--++23sin 23sin cos 222wx wx wx =--+1cos 2323cos 222wx wx wx -=-⨯-+12cos 22wx wx =+ sin(2)6wx π=+又因为()f x 图象上相邻的两个最低点间的距离为π，0w >， 所以22w，解得1w =.（2）据（1）求解知，()sin(2)6f x x π=+令222()262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，所以()36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以所求的单调递增区间是()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，.【点睛】思路点睛：三角恒等变换综合应用的解题思路：（1）利用降幂、升幂公式将()f x 化为sin cos a x b x 的形式；（2）构造())f x x x +；（3）和差公式逆用，得())f x x ϕ=+ (其中ϕ为辅助角，tan b aϕ=)；（4）利用())f x x ϕ=+研究三角函数的性质； （5）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． 26．（Ⅰ）1；（Ⅱ）选择条件①，最小正周期为2π，在[,]26ππ-取得最小值2-；选择条件②，最小正周期为π，在[,]26ππ-取得最小值． 【分析】(I)将0x =代入求值即可；(II)①121,1ωω==，()222cos sin 2sin sin 2f x x x x x =+=-++利用抛物线知识求解②用二倍角和辅助角公式化简可得()+)+14f x x π=，再由[,]26x ππ∈-可得372[,]4412x πππ+∈-，结合正弦函数图象求解最值； 【详解】解：（Ⅰ）2(0)2cos 0sin 011f =+-=． （Ⅱ）选择条件①．()f x 的一个周期为2π．2()2cos sin 1f x x x =+-22(1sin )sin 1x x =-+-2192(sin )48x =--+．因为[,]26x ππ∈-，所以1sin [1,]2x ∈-．所以 当sin =1x -时，即π=2x -时，()f x 在[,]26ππ-取得最小值2-．选择条件②．()f x 的一个周期为π．2()2cos sin 21f x x x =+-sin2+cos2x x =2(22)22x x =+2)4x π=+（．因为[,]26x ππ∈-，所以372+[,]4412x πππ∈-．当2=42x ππ+-时，即3π=8x -时，()f x 在[,]26ππ-取得最小值．【点睛】本题考查三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用.（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成sin()A xk 或cos()A xk 的形式；（2）根据自变量的范围确定x ωϕ+的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值.（3）换元转化为二次函数研究最值.。
江阴市江阴二中必修第一册第五单元《三角函数》检测(有答案解析)
一、选择题1．将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移12π个单位得到函数()g x 的图像，在()g x 的图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（ ） A ．24x π=-B ．4πx =-C ．524x π=-D ．12x π=2．若把函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移3π个单位，然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到函数()y f x =的图象，则()y f x =的解析式为（ ）A ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．1sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．12sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭3．已知()3sin 5πα+=，则sin()cos()sin 2απαπα--=⎛⎫- ⎪⎝⎭（ ） A ．45-B ．45 C ．35D ．354．已知函数()1cos 2f x x x ωω=-（0>ω）的图象与直线1y =的相邻两个交点距离等于π，则()f x 的图象的一条对称轴是（ ） A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=5．已知角θ终边经过点)P a ，若6πθ=-，则a =（ ）ABC．D．6．计算cos 20cos80sin160cos10+=（ ）． A ．12BC ．12-D．7．已知函数()cos 2cos sin(2)sin f x x x ϕπϕ=⋅-+⋅在3x π=处取得最小值，则函数()f x 的一个单调递减区间为（ ）A ．4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．5,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ 8．下面函数中最小正周期为π的是（ ）．A ．cos y x =B ．π3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．tan2xy = D ．22cos sin 2y x x =+9．已知sin()cos(2)()cos()tan x x f x x xπππ--=--，则313f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．12B ．13 C ．12- D ．13-10．若将函数3sin(2)3y x π=+的图象向左平移6π个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是（ ） A ．,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,06π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,03π⎛⎫⎪⎝⎭11．在ABC 中，2,6AB C π==，则AC 的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知tan 62πα⎛⎫= ⎪⎝⎭-，()tan 3αβ+=-，则πtan 6β⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．若1sin 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2θ=____________ 14．设()sin 2cos2f x a x b x =+，0ab ≠，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意x ∈R 成立，则下列命题中正确的命题是______.（填序号） ①11012f π⎛⎫=⎪⎝⎭；②7105f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；③()f x 不具有奇偶性；④()f x 的单调增区间是()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ；⑤可能存在经过点(),a b 的直线与函数的图象不相交. 15．已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>，若()f x 在()π,π-上有且只有3个零点，则ω的取值范围为______.16．若sin θ=,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则cos 6πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______. 17．若3sin 45πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin2α=_____； 18．若函数cos()y x ϕ=+为奇函数，则最小的正数ϕ=_____；19．在①a ，②S =2ccos B ，③C =3π这三个条件中任选-一个，补充在下面问题中，并对其进行求解.问题:在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，b cos A =a cos C +c cos A ，b =1，____________，求c 的值.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 20．若0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin cos m x x ≥+恒成立，则m 的取值范围为_______________. 三、解答题21．已知α，β为锐角，4tan 3α=，()tan 2αβ+=-. （1）求cos2α的值. （2）求()tan αβ-的值. 22．已知函数()cos f x x =.（1）已知α，β为锐角，()5f αβ+=-，4tan 3α=，求cos2α及()tan βα-的值；（2）函数()()321g x f x =+，若关于x 的不等式()()()2133g x a g x a ≥+++有解，求实数a 的最大值.23．已知函数()2ππ()sin()cos 32233f x xx x -+= （1）若π[,π]2x ∈-，求 ()f x 的递增区间和值域；（2）若04()52f x =+，求02sin 3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 24．如图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为4.8m ，圆上最低点与地面距离为0.8m ，60秒转动一圈.图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ到OB .设B 点与地面的距离为h .（1）求h 与θ的函数关系式；（2）设从OA 开始转动，经过10秒到达OB ，求h . 25．已知函数()()sin f x A x =+ωϕπ0,0,02A ωϕ⎛⎫>><< ⎪⎝⎭的部分图象如下图所示，最高点的坐标为()1,1．（1）求函数()f x 的解析式；（2）将()f x 的图象向左平移4个单位长度，横坐标扩大为原来的π2倍，得到()g x 的图象，求函数()g x 在[]π,2π-上的单调递增区间；（3）若存在5,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，对任意[]1,1a ∈-，不等式()27202f x m am -++≤恒成立，求m 的取值范围．26．已知2510sin cos αβ==，α、(0)2πβ∈，． （1）求cos(2)3πα-的值；（2）求αβ+的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】利用三角函数的伸缩变换和平移变换，得到()22sin 43g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，然后令24,32x k k Z πππ+=+∈求解. 【详解】 将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，2sin 43y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将所得图像向左平移12π个单位得到函数()22sin 43g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 令24,32x k k Z πππ+=+∈， 解得,424k x k Z ππ=-∈， 所以在()g x 的图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为24x π=-，故选：A2．C解析：C 【分析】根据三角函数图象平移、伸缩的公式，结合题中的变换加以计算，可得函数()y f x =的解析式． 【详解】 解：将函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移3π个单位，得到函数sin()3y x π=+的图象； 将sin()3y x π=+的图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到1sin()23y x π=+的图象．∴函数sin y x =的图象按题中变换得到函数()y f x =的图象，可得1()sin 23y f x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．故选：C ．3．C解析：C 【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果. 【详解】∵3sin()sin 5παα+==-，∴3sin 5α=-， 则sin()cos()sin (cos )3sin cos 5sin 2απααααπαα---⋅-===-⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故选：C4．D解析：D 【分析】首先化简函数，根据条件确定函数的周期，求ω，再求函数的对称轴. 【详解】()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，max 1y =，由题意可知T π=，22ππωω∴=⇒=，()sin 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，令2,62x k k Z πππ-=+∈，解得：32k x ππ=+，k Z ∈ 当0k =时，3x π=.故选：D5．C解析：C 【分析】根据三角函数的定义，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，角θ终边经过点)P a，可得OP =，又由6πθ=-，根据三角函数的定义，可得cos()6π-=且0a <，解得a =. 故选：C.6．A解析：A 【分析】将160化为20,10化为80后，利用两角差的余弦公式可求得结果. 【详解】cos 20cos80sin160cos10+cos 20cos80sin 20sin80=+()cos 8020=-cos60=12=． 故选：A ．7．D解析：D 【分析】先化简()f x 并根据已知条件确定出ϕ的一个可取值，然后根据余弦函数的单调递减区间求解出()f x 的一个单调递减区间. 【详解】 因为()()()cos2cos sin 2sin cos2cos sin 2sin cos 2f x x x x x x ϕπϕϕϕϕ=⋅-+⋅=⋅+⋅=-，且()f x 在3x π=处有最小值，所以2cos 133f ππϕ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22,3k k Z πϕππ-=+∈， 所以2,3k k Z πϕπ=--∈，取ϕ的一个值为3π-， 所以()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，所以,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令0k =，所以此时单调递减区间为,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 故选：D. 【点睛】思路点睛：求解形如()()cos f x A x ωϕ=+的函数的单调递减区间的步骤如下： （1）先令[]2,2+,k k k x Z ωϕπππ+∈∈；（2）解上述不等式求解出x 的取值范围即为()f x 的单调递减区间.8．D解析：D 【分析】根据三角函数的周期公式结合图象对选项进行逐一判断，可得答案. 【详解】()cos cos x x -=，cos cos y x x ∴==，周期为2π，故A 不符合题意；π2sin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的周期为2π，故B 不符合题意；画出函数tan2x y =的图象，易得函数tan 2xy =的周期为2π，故C 不符合题意； 2π2cos sin 2cos 21sin 22sin 214x x x x x ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，周期为π，故D 符合题意． 故选：D9．C解析：C 【分析】利用诱导公式先化简整理函数()f x ，再利用诱导公式求值即可. 【详解】 由sin()cos(2)()cos()tan x x f x x xπππ--=--，利用诱导公式得：sin cos ()cos cos tan x xf x x x x==--，所以31311cos cos 103332f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 故选：C.10．A解析：A 【分析】先求出平移后的解析式为23sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()223x k k Z ππ+=∈解方程即可求解. 【详解】将函数3sin(2)3y x π=+的图象向左平移6π个单位长度得：23sin 23sin 2633y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令()223x k k Z ππ+=∈，解得：()32kx k Z ππ=-+∈， 当1k =时，326x πππ=-+=，所以平移后图象的一个对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭，故选：A11．B解析：B 【分析】将AC +表示为角的形式，结合三角函数最值的求法，求得AC 的最大值. 【详解】有正弦定理得24sin sin sin sin 6a b c A B C π====， 所以4sin ,4sin a A b B ==，所以AC+4sin b B A =+=+()4sin 4sin 6B B C B B π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭4sin sin cos cos sin 66B B B ππ⎫=++⎪⎭14sin sin cos 22B B B ⎫=++⎪⎪⎭()()10sin B B B B ϕϕ=+=+=+.其中tan 010536πϕϕ==<⇒<<， 由于566B ππ<<，所以3B πϕπ<+<，故当2B πϕ+=时，AC +的最大值为故选：B 【点睛】要求与三角形边长有关的最值问题，可以利用正弦定理将边转化为角，然后利用三角函数的最值的求法来求最值.12．A解析：A 【分析】根据两角差的正切公式，由题中条件，直接得出结果. 【详解】因为tan 62πα⎛⎫= ⎪⎝⎭-，()tan 3αβ+=-，则()()()πta tan πtan t n 6an 661tan πtan 6αβααβπβαβαα⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+ ⎪⎝+--+⎭-123321==-⨯--.故选：A. 二、填空题13．【分析】由题意结合诱导公式二倍角余弦公式直接运算即可得解【详解】若则故答案为：解析：12-【分析】由题意结合诱导公式、二倍角余弦公式直接运算即可得解. 【详解】 若π1sin 42θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2ππ11cos 2sin212sin 122442θθθ⎛⎫⎛⎫+=-=-+=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴1sin22θ=-.故答案为：12-. 14．①③【分析】由题可知直线与函数的图象的一条对称轴可求得可化简函数的解析式为计算出的值可判断①的正误；计算可判断②的正误；利用特殊值法可判断③的正误；取利用正弦函数的单调性可判断④的正误；假设命题⑤正解析：①③ 【分析】 由题可知，直线6x π=与函数()f x 的图象的一条对称轴，可求得3ab ，可化简函数()f x 的解析式为()2sin 26f x b x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.计算出1112f π⎛⎫⎪⎝⎭的值，可判断①的正误；计算710f π⎛⎫⎪⎝⎭、5f π⎛⎫⎪⎝⎭，可判断②的正误；利用特殊值法可判断③的正误；取0b >，利用正弦函数的单调性可判断④的正误；假设命题⑤正确，求出直线的方程，结合函数()f x 的最值可判断⑤的正误.【详解】 由题可知，直线6x π=与函数()f x 的图象的一条对称轴，可得162f b π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，整理可得2230a b -+=，即()20a -=，a ∴=.()sin 2cos 22sin 26f x x b x b x π⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭.对于命题①，11112sin 2012126f b πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，①正确； 对于命题②，7747172sin 22sin 2sin 101063030f b b b ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭17172sin 2sin 3030b b ππ=-=，172sin 22sin 55630f b b ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，7105f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，②不正确；对于命题③，2sin 66f b b ππ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2sin 262f b b ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 不具有奇偶性，③正确； 对于命题④，当()2,63x k k k ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦Z 时，则()3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 当0b >时，函数()f x 在区间()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z 上单调递减，④错误； 对于命题⑤，假设经过点(),a b 的直线与函数()f x 的图象不相交，则该直线与x 轴平行，此时该直线的方程为y b =，则2b b >，由于0b ≠，矛盾，⑤错误.故答案为：①③. 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦型函数()()sin f x A x =+ωϕ的单调性、奇偶性、三角函数值的计算，解题的关键就是从()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭分析得出直线6x π=与函数()f x 的图象的一条对称轴，进而借助辅助角公式化简得出a 、b 的倍数关系.15．【分析】利用辅助角公式对进行化简得令解得故即可解得答案【详解】解：令解得的零点为：……若在上有且只有3个零点则需满足解得：故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是：将的解析式利用辅助角公式化为解析：5744ω<≤ 【分析】利用辅助角公式对()sin cos f x x x ωω=+进行化简，得()4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()4x k k z πωπ+=∈，解得()4k x k z ππωω=-+∈，故37449544πππωωπππωω<≤-≤-<-⎧⎨⎩，即可解得答案. 【详解】 解：()sin cos f x x x ωω=+，()4f x x πω⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，令()4x k k z πωπ+=∈，解得()4k x k z ππωω=-+∈， ()f x ∴的零点为：…，94πω-，54πω-，4πω-，34πω，74πω，…若()f x 在()π,π-上有且只有3个零点，则需满足37449544πππωωπππωω<≤-≤-<-⎧⎨⎩， 解得：5744ω<≤. 故答案为：5744ω<≤. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是：将()f x 的解析式利用辅助角公式化为()sin y A ωx φ=+的形式，或者()cos y A x ωϕ=+，再结合正余弦函数的图象计算即可. 16．0【分析】先求出再利用差角的余弦公式求解【详解】因为所以所以故答案为：0解析：0【分析】 先求出1cos 2θ=-，再利用差角的余弦公式求解. 【详解】因为sin 2θ=，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1cos 2θ=-，所以11cos 0622πθ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭. 故答案为：017．【分析】逆用诱导公式结合二倍角公式得出答案【详解】故答案为： 解析：725【分析】逆用诱导公式结合二倍角公式得出答案. 【详解】27sin 2cos 2cos 212sin 24425πππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故答案为：72518．【分析】根据函数奇偶性表示出进而可得结果【详解】因为函数为奇函数所以只需又即所以时取最小值故答案为：解析：2π【分析】根据函数奇偶性，表示出ϕ，进而可得结果. 【详解】因为函数cos()y x ϕ=+为奇函数， 所以只需,2k k Z πϕπ=+∈，又0ϕ>，即0,2k k Z ππ+>∈，所以0k =时，ϕ取最小值2π. 故答案为：2π. 19．答案见解析【分析】利用正弦定理进行边化角得到然后利用余弦定理以及正弦函数的两角和与差公式进行选择①②或③进行求解即可【详解】在中因为所以根据正弦定理得所以因为所以选择①由余弦定理得解得选择②所以所以解析：答案见解析. 【分析】利用正弦定理进行边化角，得到cos A =，然后利用余弦定理以及正弦函数的两角和与差公式进行选择①，②或③，进行求解即可 【详解】在ABC cos cos cos A a C c A =+，cos sin cos sin cos B A A C C A =+cos sin B A B =，因为sin 0B ≠，所以cos 3A =选择①，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得2103c --=，解得c =选择②，1cos sin 22c S B bc A ==，所以cos sin cos()2B A A π==-所以2B A π=-，即2C π=，解得c =选择③，3C π=，因为sin sin()sin cos cos sin 333B A A A πππ=+=+所以由sin sin c b C B=得sin 4sin b Cc B == 【点睛】关键点睛：解题关键在于由正弦定理进行边化角，得到cos 3A =，然后利用三角函数的相关公式进行求解，难度属于中档题20．【分析】根据三角函数的性质求得的最大值进而可求出结果【详解】因为由可得所以则因为恒成立所以只需故答案为：解析：)+∞【分析】根据三角函数的性质，求得sin cos x x +的最大值，进而可求出结果. 【详解】因为sin cos 4x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得3,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以sin 4x π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，则(sin cos 4x x x π⎛⎫+=+∈ ⎪⎝⎭，因为0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin cos m x x ≥+恒成立，所以只需m ≥故答案为：)+∞.三、解答题21．（1）725-；（2）211-.【分析】（1）利用同角三角函数的关系以及二倍角公式即可求值； （2）先求出24tan 27α=-，再利用()()tan tan 2αβααβ-=-+⎡⎤⎣⎦即可求解. 【详解】解：（1）由题意知：α为锐角，且22sin 4tan cos 3sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩，解得：4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，229167cos 2cos sin 252525ααα∴=-=-=-； （2）由（1）知，4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=， 则24sin 22425tan 27cos 2725ααα===--， ()()()()tan 2tan tan tan 21tan 2tan ααβαβααβααβ-+-=-+=⎡⎤⎣⎦+⋅+，()()241022775524111277----===-⎛⎫+-⨯- ⎪⎝⎭， 故()2tan 11αβ-=-. 22．（1）7cos 225α=-，()2tan 11βα-=；（2）a 的最大值为3. 【分析】（1）利用二倍角公式，求出cos2α，然后分别求出()cos αβ+，sin()αβ+，进而求出()tan αβ+，最后，利用()()tan tan 2βααβα-=+-求解即可（2）由()()[]3213cos212,4g x f x x =+=+∈-，得关于x 的不等式()()()2133g x a g x a ≥+++有解，化简得，即()()()213g x a g x ≥++⎡⎤⎣⎦有解，令()3t g x =+，然后，利用对勾函数的性质求解即可【详解】解：（1）∵4tan 3α=，∴222222cos sin cos 2cos sin cos sin ααααααα-=-=+ 2222411tan 73251tan 413αα⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵α，β为锐角，即α，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴()20,απ∈，()0,αβπ+∈.22422tan 243tan 21tan 7413ααα⨯===--⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∵()cos f x x =，∴()()cos 5f αβαβ+=+=-， ∴()sin αβ+==，∴()()()sin tan 2cos αβαβαβ++==-+， ∴()()()()242tan tan 227tan tan 2241tan tan 211127αβαβααβααβα-++--=+-===+++⨯. 综上，7cos 225α=-，()2tan 11βα-=. （2）()()[]3213cos212,4g x f x x =+=+∈-， 关于x 的不等式()()()2133g x a g x a ≥+++有解，即()()()213gx a g x ≥++⎡⎤⎣⎦有解，令()3t g x =+，则[]1,7t ∈，()()231t a t -≥+有解，即916a t t+≤+-有解， max97a t t ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，设()9h t t t =+，则()h x 在[)1,3上单调递减，在(]3,7上单调递增，则()(){}max9max 1,710t h h t ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，∴3a ≤，故实数a 的最大值为3. 【点睛】关键点睛：（1）利用二倍角公式，以及正切函数的两角和差公式求解； （2）通过化简，把问题转化为()()()213gx a g x ≥++⎡⎤⎣⎦有解，令()3t g x =+，然后，利用对勾函数的性质求解；主要考查学生的转化化归思想以及运算能力，属于中档题23．（1）递增区间为,24ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，值域为+⎣⎦；（2. 【分析】（1）运用诱导公式和正弦、余弦的二倍角公式、辅助角公式化简函数()2sin +33x f x π⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 的单调区间和值域；（2）由（1）和已知求得024sin +335x π⎛⎫⎪⎝⎭=，继而求得023cos +335x π⎛⎫⎪⎭=± ⎝，再由0022sin sin +3333x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，运用正弦的差角公式可求得02sin 3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值.【详解】 （1）因为函数()21+cos 12223sin cos sin cos +sin ++33223232332x x x x x x f x π⎫⎪⎛⎫⎝⎭=+=+= ⎪⎝⎭，又π[,π]2x ∈-，所以2+33[0,]x ππ∈，所以由20+332x ππ≤≤，解得24x ππ-≤≤，所以函数()f x 的递增区间为,24ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 又20sin +133x π⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，所以2sin ++1+23322x π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的值域为22+⎣⎦；（2）因为04()5f x =024sin +335x π⎛⎫+ =⎪⎝⎭024sin +335x π⎛⎫ ⎪⎝⎭=，所以023cos +335x π⎛⎫⎪⎭=± ⎝，所以00002222sin sin +sin +cos cos sin 333333333+3x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦43310±. 所以02sin 3x ⎛⎫=⎪⎝⎭433±. 【点睛】本题关键在于运用已知的角表示待求的角，凑角是解决问题的关键，属于中档题. 24．（1） 5.6 4.8cos h θ=-；（2）3.2m. 【分析】（1）建立平面直角坐标系，结合条件求出点B 的坐标后可得h 与θ间的函数关系式； （2）由60秒转动一圈，易得点A 在圆上转动的角速度是/30rad s π，再计算出经过10秒后转过的弧度数为3π，然后代入（1）中所求函数解析式计算即可得到答案. 【详解】（1）以圆心O 原点，建立如图所示的坐标系，如下图所示，则以Ox 为始边，OB 为终边的角为2πθ-，故点B 坐标为 4.8cos ,4.8sin 22ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴ 5.6 4.8sin 5.6 4.8cos 2h πθθ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭； （2）点A 在圆O 上逆时针运动的角速度是/30rad s π，∴经过t 秒后转过的角度30t πθ=，则经过10秒后转过的角度为3πθ=，∴ 5.6 4.8cos5.6 2.4 3.23h π=-=-=（m ）.【点睛】关键点点睛：本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型，在建立函数模型的过程中，以圆心O 为原点，以水平方向为x 轴方向，以竖直方向为y 轴方向建立平面直角坐标系，是解决本题的关键． 25．（1）()ππsin 44f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）π2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；（3）(][),33,-∞-+∞【分析】（1）根据图像可得1A =，8T =，进而求出ω，再将()1,1代入，即可求出()f x 的解析式；（2）先根据题意得到()g x 的图像，再利用换元法即可求得()g x 在[]π,2π-上的单调递增区间；（3）不等式()27202f x m am -++≤恒成立等价于()2min 722f x m am ≤--，求出()f x 的最小值代入得到2230ma m -+≤，把它看成以a 为自变量的不等式()0M a ≤，解不等式即可. 【详解】解：（1）由题图可知：1A =，()4318T =⨯-=，2π8ω∴=， 即π4ω=， 将()1,1代入()πsin 4f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 即πsin 14ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭， π2π,4k k Z ϕ∴=+∈， 又π02ϕ<<， π4ϕ∴=， ()ππsin 44f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭；（2）根据题意可得：()1πsin 24g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 令1π24t x =+，则π5π,44t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 令π5π24t ≤≤， 即π1π5π2244x ≤+≤， 解得：π2π2x ≤≤， ∴()g x 在[]π,2π-上的单调递增区间为π2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，； （3）()27202f x m am -++≤， ()2722f x m am ∴≤--，5,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ,446x ππππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦， ()1,12f x ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦，由题意可知：217222m am -≤--， 即2230ma m -+≤，即以a 为自变量的不等式()0M a ≤，()()1010M M ⎧≤⎪∴⎨-≤⎪⎩， 解得：3m ≥或3m ≤-，m ∴的取值范围为(][),33,-∞-+∞．【点睛】方法点睛：已知()(0)()0f x Asin x A ωϕω=+>>，的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和ϕ，常用如下两种方法： (1)由2Tπω=即可求出ω；确定ϕ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标0x ，则令00x ωϕ+= (或0x ωϕπ+=)，即可求出ϕ；(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和ϕ，若对,A ω的符号或对ϕ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.26．（1）310；（2）34αβπ+=. 【分析】 （1）先求出cos2α的值,再计算sin 2α的值,将cos(2)3πα-展开即可求解；（2）求出cos α和sin β的值，再计算()cos αβ+的值，结合α、(0)2πβ∈，，即可求出αβ+的值．【详解】（1）因为02πα<<，sin α=，所以cos α===，所以223cos 212sin 125αα=-=-⨯=-⎝⎭，4sin 22sin cos 25ααα===，3143cos 2cos 2cos sin 2sin 333525210πππααα⎛⎫-=+=-⨯+⨯= ⎪⎝⎭；（2）因为02πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，cos β=sin 10β==，()cos cos sin sin cos αβαβαβ+=-===， 因为02πα<<，02πβ<<，所以0αβ<+<π， 所以34παβ+=. 【点睛】方法点睛：解给值求角问题的一般步骤（1）求角的某一个三角函数值；（2）确定角的范围；（3）根据角的范围写出角的大小.。
江苏省无锡市江阴长泾中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试卷.
江苏省无锡市江阴长泾中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试卷.一、单选题1．cos105cos45sin105sin45︒︒+︒︒=（ ）A ．B ．12-C ．12D 2．在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别是a ,b ,c ，已知2b =，45A =o ，60B =o ，则a =（ ）A B ．2 C ．D ．43．抛掷三枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，“既有正面向上，也有反面向上”的概率为（ ）A ．14B ．38C ．12D ．344．已知()2,3A ，()4,3B -，点P 在线段AB 的延长线上，且2AP PB =u u u r u u u r ，则点P 的坐标为（ ）A ．()0,9B ．()6,9-C ．10,13⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()6,9-或10,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ 5．某同学投掷一枚骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，已知这组数据的平均数为3，方差为0.4，则点数2出现的次数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．已知平面向量a r ，b r 满足1b =r ，2a b ⋅=-r r ，则3a b -r r 在b r 上的投影向量为（ ）A ．7b rB ．7b -rC ．5b rD ．5b -r7．一个人骑自行车由A 地出发向正东方向骑行了4km 到达B 地，然后由B 地向南偏东30o 方向骑行了6km 到达C 地，再从C 地向北偏东30o 方向骑行了16km 到达D 地，则,A D 两地的距离为（ ）A ．B ．C ．D ．26km 8．用长度分别为2，3，4，5，6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（ ）A．2 B ．2 C ．2 D ．2二、多选题9．下列条件中能推导出ABC V 一定是锐角三角形的有（ ）A ．0AC AB ⋅>u u r u u r u u B ．sin :sin :sin 4:5:6A BC =C ．cos cos cos 0A B C >D ．tan tan 2A B ⋅=10．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上一面的点数，用x 表示红色骰子的点数，y 表示绿色骰子的点数，定义事件：A =“7x y +=”，B =“xy 为奇数”，C =“3x >”，则下列结论正确的是（ ）A ．事件A 与B 互斥B ．事件A 与B 是对立事件C ．事件B 与C 相互独立D ．事件A 与C 相互独立11．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子（如图1），打开后形成以O 为圆心的两个扇形（如图2），若150AOB ∠=︒，22OA OC ==，点F 在»AB 上，120BOF ∠=︒，点E 在»CD 上，OE xOC yOD =+u u u r u u u r u u u r（x ，R y ∈），则（ ）A ．OE EF ⋅u u u r u u u r 的取值范围为[]2,1-B ．OE EF ⋅u u u r u u u r 的取值范围为[]3,1-C ．当OE EF ⊥u u u r u u u r 时，1x y +=D ．当OE EF ⊥u u u r u u u r 时，2x y +=三、填空题12．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之和为5的概率为.13．已知正三角形ABC 的边长为2，点P 在边BC 上，则AP BP ⋅uu u r uu r 的最大值为.14．已知α，β为一个斜三角形的两个内角，若cos sin cos2cos sin ααβαα-=+，则ta n ta n αβ+的最小值为．四、解答题15．在菱形ABCD 中，13AE AD =u u u r u u u r ，23BF BC =uu u r uu u r ，记AB a u u u r r =，AD b =u u u r r . (1)用a r ，b r 表示EF u u u r ；(2)若BD EF AB DA ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，求cos A 的值.16．数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性．苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了2023年交易金额达2万亿元的目标．现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组[)15,25，第2组[)25,35，第3组[)35,45，第4组[)45,55，第5组[]55,65，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a 的值和第25百分位数；(2)在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年龄在[)25,35和[)45,55内抽取6位市民做问卷调查，并从中随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在[)25,35内的概率． 17．春节过后，某大学四年级的5名大学生相约去人才市场应聘，其中小红、小东学的是建筑专业，小军、小英学的是通讯专业，小青学的是电气工程专业.(1)若从这5人中随机采访3人，求3人中至少有1人是通讯专业的概率；(2)若小红应聘成功的概率是12，小军应聘成功的概率是34，小青应聘成功的概率是23，这3名大学生的应聘结果相互独立，求这3人中至少有2人应聘成功的概率.18．在四边形ABCD 中，//,sin 2sin AB CD AD ADC CD ABC ∠∠⋅=⋅.(1)求证：2BC CD =.(2)若33AB CD ==，且60BDC ∠=︒，求四边形ABCD 的面积.19．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部传世巨著，该书以基本定义、公设和公理作为推理的出发点，第一次实现了几何学的系绕化、条理化，成为用公理化方法建立数学演绎体系的最早典范．书中第Ⅰ卷第47号命题是著名的毕达哥拉斯（勾股定理），证明过程中以直角三角形ABC 中的各边为边分别向外作了正方形（如图1）．某校数学兴趣小组对上述图形结构作拓广探究，提出了如下问题，请帮忙解答．问题：如图2，已知ABC V 满足AC =2AB =，设0BAC ∠=（0πθ<<），四边形ABGF 、四边形ACED 、四边形BCQP 都是正方形．(1)当π2θ=时，求EQ 的长度； (2)求AQ 长度的最大值．。
江苏省江阴长泾中学2025届高三上学期第一次月考数学试题
江苏省江阴长泾中学2025届高三上学期第一次月考数学试题一、单选题1．集合{0,1,2}A =的真子集个数为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．82．设复数1i +是关于x 的方程()220,R ax ax b a b -+=∈的一个根，则（ ）A ．20a b +=B ．20a b -=C ．20a b +=D ．20a b -=3．“αβ>”是“tan tan αβ>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．下列命题中，真命题的是（ ） A ．若a b <，则11a b> B ．若a b >，则22a ab b >> C ．若0a b c >>>，则a a cb b c+>+ D ．若0a b c <<<，则log log c c a b <5．在ABC V 中，M 是AC 边上一点，且1,2AM MC N =u u u u r u u u u r 是BM 上一点，若19AN AC mBC =+u u u r u u u r u u u r，则实数m 的值为（ ）A ．13-B ．16-C ．16D ．136．已知函数()22,,x x x mf x x x m ⎧-≥=⎨<⎩在R 上单调递增，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1m ≥B ．3m ≥C ．13m ≤≤D ．1m ≤或3m ≥7．已知()3cos 5βα-=，1tan tan 2αβ=，则()cos2αβ+=（ ） A ．225-B ．2325C ．225D ．2325-8．已知函数()f x 及其导函数()f x '在定义域均为R 且()()2e 2x F xf x +=+是偶函数，其函数图象为不间断曲线且()()()20x f x f x ⎡⎤-+>⎣⎦'，则不等式()()3ln e 3xf x f <的解集为（ ）A ．()30,eB ．()31,e C ．()3e,eD ．()3e ,+∞二、多选题9．同一平面内，,a b r r 是夹角为90o的单位向量，c r 的模为则a b c ++r r r 的值可能为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．已知1z ，2z 都是复数，下列正确的是（ ）A ．若12z z =，则12z z ∈RB ．若12z z ∈R ，则12z z =C ．若12=z z ，则2212z z =D ．若22120z z +=，则12=z z 11．已知函数()sin cos e e x xf x =+，则（ ）A ．()f x 的图象关于直线π4x =对称 B ．()()π4f x f x ⋅+≥ C ．()()3f x f x +->D ．()f x 在区间π,π2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的极大值为三、填空题12．已知log 4log 4a b b a +=，则22ab的值为．13．如图，函数 ()()()0,0πf x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示，已知点,A D 为()f x 的零点，点,B C 为()f x 的极值点，212AB DC AB ⋅=-u u u r u u u r u u ur ，则()2f =.14．已知,,a b c 均为正实数，函数()()22ln f x x a b x x =+++．（1）若()f x 的图象过点()1,2，则12a b+的最小值为；（2）若()f x 的图象过点(),ln c ab c +，且()3a b t c +≥恒成立，则实数t 的最小值为．四、解答题15．已知集合{}{}260,21A x x x B x x =+-<=-<∣，(1)求()U A B I ð；(2)设22{280}C x x mx m =--<∣，若x A ∈是x C ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 16．已知向量()sin 2,cos 2a x x =r ，()πcos ,sin 2b θθθ⎛⎫=< ⎪⎝⎭r ，若()f x a b =⋅rr ，且函数()f x 的图象关于直线π6x =对称．(1)求函数()f x 的解析式，并求使1()2f x >成立的x 的取值范围； (2)若将()f x 的图象先向左平移π3个单位，再将所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，设函数()()cos h x g x x =⋅，求()h x 在π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域．17．在ABC V 中，120ACB ∠=°，2BC AC =.(1)求tan BAC ∠的值；(2)若AB =ABC V 的面积;(3)设D 为ABC V 内一点，AD CD ⊥，120BDC ∠=︒，求tan ACD ∠的值. 18．已知函数()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且()()e x f x g x +=. (1)求()f x 和()g x 的解析式；(2)若关于x 的不等式()()f x mg x <在区间1[,2]2上恒成立，求实数m 的取值范围;(3)设函数2()[()()](1)h x f x g x x a x =-⋅+-，若()h x 存在大于1的极小值点，求实数a 的取值范围.19．对于一个函数()f x 和一个点(,)M a b ，令22()()(())s x x a f x b =-+-，若()s x 在0x x =时取得最小值的点，则称00(,())x f x 是M 的“f 最近点”.(1)对于函数1(),(0,)f x x x∞=∈+，求证：对于点(0),0M ，存在点P ，使得点P 是M 的“f 最近点”；(2)对于函数()e ,R x f x x =∈，(1),0M ，请判断是否存在一个点P ，使它是M 的“f 最近点”，且直线MP 与曲线()f x 在点P 处的切线垂直？(3)已知函数()(R)f x x ∈可导，函数()0g x >在R x ∈上恒成立，对于点1(1,()())M t f t g t --与点2(1,()())M t f t g t ++，若对任意实数t ，均存在点P 同时为点1M 与点2M 的“f 最近点”，说明()f x 的单调性.。
江苏省无锡市江阴长泾高级中学高一数学理月考试题含解析
江苏省无锡市江阴长泾高级中学高一数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣3）=0，则f（x）＜0的解集是（）A．{x|﹣3＜x＜0或x＞3} B．{x|x＜﹣3或0＜x＜3}C．{x|x＜﹣3或x＞3} D．{x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}参考答案：B【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】利用函数是奇函数且在（0，+∞）内是增函数，得到函（﹣∞，0）上单调递增，利用f（﹣3）=0，得f（3）=0，然后解不等式即可．【解答】解：∵f（x）是奇函数，f（﹣3）=0，∴f（﹣3）=﹣f（3）=0，解f（3）=0．∵函数在（0，+∞）内是增函数，∴当0＜x＜3时，f（x）＜0．当x＞3时，f（x）＞0，∵函数f（x）是奇函数，∴当﹣3＜x＜0时，f（x）＞0．当x＜﹣3时，f（x）＜0，则不等式f（x）＜0的解是0＜x＜3或x＜﹣3．故选：B．2. 如图，该程序框图所输出的结果是（）A、32B、62C、63 D、64参考答案：D3. 将参加夏令营的400名学生编号为：1，2，…，400．采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为5．这400名学生分住在A、B、C三楼，从1到200在A楼，从201到300在B楼，从301到400在C楼，三个楼被抽中的人数依次为（）A．26，12，12 B．25，13，12 C．25，12，13 D．24，13，13参考答案：C4. 下列哪组中的函数与相等（）A.，B.，C. ，D. ，参考答案：C5. 一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm），则该几何体的表面积及体积为(cm2\cm3)：（）A.24π，12πB.15π，12πC.24π，36πD.以上都不正确参考答案：A略6. 当a>1时，在同一坐标系中，函数的图象是( )参考答案：B略7. 设用二分法求方程在内近似解的过程中,则方程的根落在区间( )A. B. C. D.参考答案：A略8. 在同一坐标系中，函数与（其中且）的图象只可能是（）参考答案：C略9. 已知，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（）A．4 B．﹣4 C．D．参考答案：C【考点】平行向量与共线向量．【分析】由题意可得与共线，进而可得4k﹣1×（﹣1）=0，解之即可．【解答】解：∵A，B，C三点共线，∴与共线又∵，∴4k﹣1×（﹣1）=0，解得k=故选C10. 在中，的取值范围是 ( )A B C D参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （6分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为．参考答案：πcm3考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据图形的性质，求出截面圆的半径，即而求出求出球的半径，得出体积．解答：根据几何意义得出：边长为8的正方形，球的截面圆为正方形的内切圆，∴圆的半径为：4，∵球面恰好接触水面时测得水深为6cm，∴d=8﹣6=2，∴球的半径为：R=，R=5∴球的体积为π×（5）3=πcm3故答案为．点评：本题考查了球的几何性质，运用求解体积面积，属于中档题．12. 是R上奇函数，且满足，当时，则▲ .参考答案：-213. 函数f（x）=x3+ax，若f（1）=3，则f（﹣1）的值为．参考答案：﹣3【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性直接由条件f（1）=3，求出a，即可求值．【解答】解：①∵f（x）=x3+ax，若f（1）=3，∴1+a=3，即a=2，∴f（x）=x3+2x，∴f（﹣1）=﹣1﹣2=﹣3．②∵f（x）=x3+ax是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键，比较基础．14. 已知幂函数y=f（x）的图象过点（，2），则f（3）= ．参考答案：9【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】对应思想；待定系数法；函数的性质及应用．【分析】用待定系数法求出函数y=f （x ）的解析式，再计算f （3）的值．【解答】解：设幂函数y=f （x ）=x a ，a∈R，函数图象过点（，2），∴=2，解得a=2；∴f（x）=x2，∴f（3）=32=9．故答案为：9．【点评】本题考查了幂函数求解析式以及求函数值的应用问题，是基础题目．15. 已知，则= ．参考答案：16. （5分）函数的图象为C．如下结论：①函数的最小正周期是π；②图象C关于直线对称；③函数f（x）在区间（﹣，）上是增函数；④由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）参考答案：①②考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：利用正弦函数f（x）=3sin（2x﹣）的性质，对①②③④四个选项逐一判断即可．解答：∵f（x）=3sin（2x﹣），∴其最小正周期T==π，故①正确；由2x﹣=kπ+（k∈Z）得：x=+（k∈Z），∴f（x）=3sin（2x﹣）的对称轴方程为：x=+（k∈Z），当k=0时，x=，∴图象C关于直线x=对称，正确，即②正确；由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+得：kπ﹣≤x≤kπ+（k∈Z），∴f（x）=3sin（2x﹣）的增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），当k=0时，[﹣，]为其一个增区间，而﹣＞﹣，但＞，∴函数f（x）在区间（﹣，）上不是增函数，即③错误；又将y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到y=3sin2（x﹣）=3sin（2x﹣）≠3sin （2x﹣）=f（x），故④错误．综上所述，①②正确．故答案为：①②．点评：本题考查正弦函数的周期性、对称性、单调性及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，熟练掌握正弦函数的性质是解决问题之关键，属于中档题．17. 求值：+(－5)0=______________，(log215?log25)?log32=_________________________参考答案：9,1三、解答题：本大题共5小题，共72分。
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三角函数、平面向量部分一、填空题（每小题5分，共80分）1. 已知点),3(y P -在角α的终边上,且满足54sin =α,则αtan 的值为 __2. 扇形的圆心角是72︒，半径为20cm, 则扇形的面积为3.已知135sin =α,1312cos -=α,则角α所在的象限是 .4.若cos(π+α)=-23,21π<α<2π,则sin(2π-α)等于5. 先将函数y=5sin （6π－2x ）的周期扩大为原来的2倍，再将新函数的图象向右平移3π，则所得图象的解析式为 . 6．D 、E 、F 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且=a ，=b，给出下列命题：①12AD =- a －b ；②=BE a +21b ；③12CF =- a +21b；④0AD BE CF ++= .其中正确命题序号为___________7．设1e 、2e 是不共线的两个向量，则向量122a e e =- 与向量12()b e e R λλ=+∈共线，则λ=__________8．已知点A(-1,5)和向量a =（2,3）,若=3a ,则点B 的坐标为_____9.()()()32008,53),0,(4sin 2tan -=≠+-=πf f ab b a x b xa x f 则若为常数，其中=___________10．函数)65,12)(4cos()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=πππx x x f 的值域为 11．函数()()()02sin <<-+=ϕπϕx x f 的图像的一条对成轴是8π=x ，则ϕ=______;此时函数的图像的对称点为_____________. 12．函数()()sin 212xf x =的单调增区间是________________________.13．()x x f 3sinπ=，则()()()()_________2005321=++++f f f f14.下面五个命题：⑴所有的单位向量相等；⑵长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；⑶由于零向量的方向不确定，故0与任何向量不平行；（4）对于任何向量b a ，，必有||b a +≤||||b a +．其中正确命题的序号为:______________.15．设θ是三角形的内角，若函数()2sin 4cos 6f x x x θθ=-+对一切实数x 都有()0f x >，则θ的取值范围是______________.16． 给出下列命题： ①函数)225sin(x y -=π是偶函数； ②函数)4sin(π+=x y 在闭区间]2,2[ππ-上是增函数； ③直线8π=x 是函数)452sin(π+=x y 图象的一条对称轴； ④将函数)32cos(π-=x y 的图象向左平移3π单位，得到函数x y 2cos =的图象； 其中正确的命题的序号是： ；二、解答题（本大题共80分）17．已知函数cos 2(0)6y a b x b π=-+>⎛⎫⎪⎝⎭的最大值为23，最小值为21-. （1）求a 、b 的值；（2）求函数g (x )=－4a sin(bx －3π)在区间[0，π]上的最大值和最小值.18．如图，在△ABC 中，D 、F 分别是BC 、AC 的中点，AE=32AD ，AB =a ，AC =b ，（1）用a 、b分别表示向量,,,,;（2）求证：B 、E 、F 三点共线.19． （1）已知tan α=2，求αααα22cos 2cos sin 3sin 2--的值。
（2）已知51cos sin ,02=+<<-x x x π，求x x cos 11sin 11+++和sinx-cosx 的值。
20．已知函数f(x)=3sin(2x+6π)-1,（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）求函数f(x)的最大值及取得最大值时x 的取值集合; （3）求函数f(x)的单调递增区间;（4）用五点法做出函数f(x)的图像，并说明该函数的图象可以由y=sinx 的图象怎样变换得到？21．设函数()2122cos 2sin f x a a x x =---的最小值为g (a ) .⑴求g (a ); ⑵求使g (a )12=的a 的值及此时f (x )的最大值.22．某港口水的深度y （单位：m ）是时间t （单位：h ）的函数，记作y =f (t )，下表是某日的水深数据：经长期观察，y =f (t )的曲线可以近似地看成函数sin y A t b ω=+的图象. ⑴试根据以上数据，求出y =f (t )的近似表达式；⑵一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m 或5m 以上被记为是安全的（船 舶停靠时只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5m ，如果该船 希望在同一天内安全进出港口，则它至多能在港内停留多少时间？（忽略进出港所需时 间）三角函数、平面向量部分参考答案：一、填空题：1~5：34-； 280cm π ； 第二象限 ； 23 ； x y cos 5= 6~10：①②③④ ； 21-； ()14,5 ； 3 ； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,1 11~16：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-0,832,43πππk Z k ∈；⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 43,4Z k ∈；23；（4）； 656πθπ<<；①③ 二、解答题：17．解：⑴[]1,162cos -∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+πx 00<-∴>b b ，⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==+=2123min max a b y a b y ； 1,21==∴b a ⑵由⑴知：()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3sin 2πx x g []⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-∴∈32,33,0ππππx x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴1,233sin πx ()[]()x g x g ∴-∈∴3,2的最大值为3，最小值为2-。
18． ⑴21;3232;21;3131;2121+-=+-==+=+=⑵证明：F E B B ,,322132∴∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=，共线，且它们共点与 三点共线。
19.⑴2tan =α041268tan 123tan 2tan cos sin 2cos cos 3sin 2sin 222222=+--=+--=+--=∴ααααααααα原式⑵2512cos sin 51cos sin -=⋅∴=+x x x x18552512511512cosxsinx cosx sinx (1cosx sinx 2=-++=⋅+++++=∴）原式 而()2549cosx sinx 2=-57cos sin 0cos sin 02-=-∴<-∴<<-x x x x x π20⑴ππ==22T ⑵当162x sin =⎪⎭⎫⎝⎛+π即∈+=+k ,2k 262x πππZ Z k k 6x ∈+=∴，ππ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==∴Z k ,k 6x x x 2y max ππ的集合为时，满足条件的⑶单调递增区间为()Z k k 6,k 3∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ⑷图略 ;y=()−−−−−−−−−−−→−纵坐标不变倍来的所有点的横坐标变为原21sin x x y 2sin =()−−−−−−−−−−−→−⎪⎭⎫ ⎝⎛+=−−−−−−−−→−横坐标不变倍来的所有点的纵坐标变为原个单位长度所有点向左平移21222x sin y ππ162x 2sin y 62x 2sin y 1-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=−−−−−−→−⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππ个单位所有点向下平移(注意：也可以先相位变换后周期变换，就是不可以先振幅变换后上下平移变换)21（16分）()[][]()⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<-----≤=+-=≥≥---=<--=--+=-≤-≤∈---=-∈=---=2a 14a 2a 212a 2a2a 1a g 14a y 2a 12a12a 2a y 2a 212a 1112a 2a 2y 2a ,12a1,1-t 1,2a 2acosx 2t y 11t cosx ,12cos 2cos 22min 2min min 22〈综上所述：时，，即当时，〈，即〈〈当时，即当，令a x a x x f⑵()⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-=≥=+-<<-=---∴=1a 2a 2114a 2a 22112a 2a 21a g 2，则或 当[]5y 1t 11t 12t 2t y 1a max 2==-∈++=-=时，，，，时，⑴由题知：10t 63siny 3A 10b 612T +=∴====ππω，，，⑵由题知：小时。
停留最长时间为或1611717t 135t 124t 0Zk ,2k 5t 2k 121t 6sin5.6510t 63siny =-∴≤≤≤≤∴⎩⎨⎧≤≤∈+≤≤+≥∴+≥+=ππ。