运筹学第3章对偶理论和灵敏度分析(2017.11.6)
运筹学 第3章 LP的对偶问题与灵敏度分析
可用如下表格来表示：
对 b1 y1
偶 问 题
b2 y2 ..
（..
求 ..
极 bm ym 小） 右端项
原问题（求极大）
c1
c2
…
cnΒιβλιοθήκη x1x2…
xn
a11
a12
…
a1n
a21
a22
… a2n
.
.
.
.
.
…
.
.
.
.
am1
am2
…
amn
≥ c1
≥ c2
解：当λ1=λ2=0时，上述LP问题的最终单纯形表如 上表所示。 （i）对基变量x1的目标函数系数进行灵敏度分析： 将λ1的变化反映到最终单纯形表中：
设产品Ⅰ的计划产量为x1，产品Ⅱ的计划产 量为x2， 则有线性规划问题LP1：
目标函数： max
约束条件：
s.t.
z 50x1 100x2
x1 x2 300 2x2x12x520 400 x1, x2 0
现假定有另一八卦机器厂，该厂的规模较小一些， 想租用阴阳厂的设备进行生产。那么阴阳厂的领导应 该给自己的设备制定一个怎样的出租价格呢？
(B, N ) ( X B , X N )T X S b
即： Z CB X B CN X N
(4)
BXB NX N X s b
(5)
式（5）两端左乘B-1得：
X B B1NX N B1X s B1b
由式（6）得：
X B B1b B1NX N B1X s
A (B, N)
(6)
s.t. 3x1 6x2 4x3 15 5x2 3x3 30 x1 0, x2无约束, x3 0
运筹学 03 对偶理论及灵敏度分析
目标函数取值 变量 目标函数系数 常数 约束条件系数 变量 - 约束 约束 - 变量
例2：将下述线性规划作为原问题，请转换为 对偶问题 max z=5x1+3x2+2x3+4x4 5x1+x2+x3+8x4≤8 2x1+4x2+3x3+2x4=10 x1≥0,x2≥0,x3任意,x4任意
1 对偶理论
对偶问题的提出 原问题与对偶问题的数学模型 原问题与对偶问题的对应关系 对偶问题的基本性质 影子价格 对偶单纯形法
对偶问题的提出
例1：某厂利用现有资源(设备A、设备B、 调试工序)生产两种产品(产品Ⅰ、产品Ⅱ)，有 关数据如下表。问如何安排生产，使厂家利润 最大？ 产品Ⅰ 产品Ⅱ 资源限量 0 5 15 6 2 24 1 1 5 2 1
CX*=bTY*
从弱对偶性可得到以下重要结论： (1)极大化问题(原问题)的任一可行解所对应的目 标函数值是对偶问题最优目标函数值的下界。 (2)极小化问题(对偶问题)的任一可行解所对应的 目标函数值是原问题最优目标函数值的上界。 (3)若原问题可行，但其目标函数值无界，则对偶 问题无可行解。 (4)若对偶问题可行，但其目标函数值无界，则原 问题无可行解。 (5)若原问题有可行解而其对偶问题无可行解，则 原问题目标函数值无界。 (6)对偶问题有可行解而其原问题无可行解，则对 偶问题的目标函数值无界。
原问题与对偶问题的数学模型
原问题 max z=2x1+x2 5x2≤15 6x1+2x2≤24 x1+x2≤5 x1,x2≥0 互为对偶问题 厂 家 对偶问题 min w=15y1+24y2+5y3 6y2+y3≥2 5y1+2y2+y3≥1 y1,y2,y3≥0
运筹学第三章 对偶问题与灵敏度分析
x2 3x3 4x4 5
2x1 3x2 7x3 4x4 2
x1 0，x2 0, x3、x4无约束
答案： 1. max W 2 y1 3 y2 5 y3
2y1 3y2 y3 2
35yy11
y2 7y2
4y3 6y3
2 4
y1 0,y2 .y3 0
2. max W 3 y1 5 y2 2 y3
对偶理论与灵敏度分析
❖ 线性规划的对偶问题 ❖ 对偶问题的基本性质 ❖ 影子价格 ❖ 对偶单纯形法 ❖ 灵敏度分析
3.1 线性规划的对偶问题
一、问题的提出 回顾例题1
例1 某工厂在计划期内要安排生产A、B两种产品（假定产
品畅销）。已知生产单位产品的利润与所需的劳动力、设备
台时及原材料的消耗，如表1.1所示
y3
2 3 5 1 无约束
课堂练习
1. min Z 2x1 2x2 4x3
2x1 3x2 5x3 2
3x1 x2 7 x3 3
x1 4x2 6x3 5
x1, x2 , x3 0
2. min Z 3x1 2x2 3x3 4x4
x1 2x2 3x3 4x4 0
CB XB b
0 x4 60 0 x5 10 0 x6 20
检验数j
CB XB b
0 x4 2 x1 -1 x2
检验数j
课堂练习
2 -1 1
x1
x2
x3
311 2 -1 2 1 1 -1
2 -1 1
x1
x2
x3
000 x4 x5 x6 100 010 001
00 0 x4 x5 x6 1 -1 -2 0 1/2 1/2 0 -1/2 1/2
运筹学 对偶理论和灵敏度分析
1.单纯形的矩阵描述
用矩阵语言描述单纯形法的关键是写出两个基本的 表达式,设线性规划的标准型为 maxz=CX AX=b X≥0
C=(CB,CN)，X=(XB,XN)’，A=(B,N)
由约束条件AX=(B,N)(XB,XN)=BXB+NXN=b，可以得 到用非基变量表示基变量的表达式:
-2 -3 -1 -1 1/3 x3 -1/3 0 x1 4/3 1 x5 1/3 0 0
' ' - a 1k / alk ' ' - a 2k / alk ... ' 1 / alk ... ' ' - a mk / alk
3对偶理论
某厂生产甲乙两种产品，各自的零部件分别在A、B车间生产，最 后都需在C车间装配，相关数据如表所示： 问如何安排甲、乙两产品的产量，使利润为最大。 工时单耗 生产能力 产品 甲 乙 车间 A 1 0 8 B 0 2 12 C 3 4 36 单位产品获利 3 5 • maxZ= 3x1 +5 x2 x1 ≤8 2x2 ≤12 S.t. 3x1 +4 x2 ≤36 x1 ≥0, x2 ≥0
(4)影子价格在资源采购决策中的应用。
当资源的市场价格低于影子价格，企业买进该资源，扩 大生产，当资源的市场价格高于影子价格，企业应设法转让 该资源。
(5)利用影子价格分析工艺改变后对资源节约的收益。 例如设工厂现有钢材100吨，其影子价格为3/4，采用新 工艺后，钢材可以节约2%，则由此带来的经济收益为：
(3)影子价格在新产品开发决策中的应用。 产品 资源 A B 影子价格(万元)
钢材 煤 机时
单位利润(万元)
运筹学第三章 对偶问题和灵敏度分析
线性规划的对偶问题 对偶问题的基本性质 影子价格 对偶单纯形法 灵敏度分析
3.1 线性规划的对偶问题
一、问题的提出 回顾例题1
例1 某工厂在计划期内要安排生产A、B两种产品（假定产
品畅销）。已知生产单位产品的利润与所需的劳动力、设备
台时及原材料的消耗，如表1.1所示
项目
基变量 非基变量
CB XB Cj-Zj
B-1 b
XB Ⅰ 0
表2.5
XN B-1 N CN－CB B-1 N
XS B-1Ⅰ - CB B-1
初始单纯形表:
项目
非基变量
XB
XN
B-1 0 XS
b
B
N
Cj-Zj
CB
CN
B1 p1p2...pn
基变量
XS Ⅰ 0
项目
基变量 非基变量
XB
CB XB B-1 b
x 1 , x 2 , x 3 0
2.
m in Z 3 x1 2 4 x4 0
x2 3 x3 4 x4 5
2
x
1
3 x2
7 x3
4 x4
2
x 1 0 ， x 2 0 , x 3、 x 4 无 约 束
答 案 ：1 . m a x W 2 y 1 3 y 2 5 y 3
2y1 3y 2 y3 2
3 5
y y
1 1
y2 7y2
4y3 6y3
2 4
y 1 0 , y 2 . y 3 0
2 .m ax W 3 y1 5 y 2 2 y3
运筹学对偶灵敏
(2)
1
由于第一个约束条件-y1-2y2≥1是矛盾不等式，
2
所以对偶问题(2)无可行解。
5
所以原问题(1)无有限最优解，即目标函数无上界。
4
因此，原问题(1)不可能有最优解，但是，原问题(1)有可行解，
3
根据对偶问题的强对偶性可知，若原问题(1)有最优解，则对偶问题(2)一定也有最优解。
对偶问题的解在经济学上称为原问题的资源的影子价格，为什么呢？ 单纯形表中目标值为：z = CBB-1b 检验数为：σN= CN－CBB-1N 其中都有乘子Y=CBB-1，Y的经济学意义是什么？
第2章例1的最终单纯形表(P41) max z = 2x1 + 3x2
cj→
2
3
0
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
2
x1
4
1
0
0
1/4
0
0
x5
4
0
0
-2
1/2
1
3
x2
2
0
1
1/2
-1/8
0
-z
-14
0
0
-3/2
-1/8
0
从最终单纯形表可知，第i种资源的影子价格就是对应的原问题松弛变量的检验数的相反数。即y1*=3/2，y2*=1/8，y3*=0。
27/4
-1/4
0
0
-9/4
0
比值θi
1
—
—
9
—
-1
y1
5
1
0
-4
1
0
-3
y2
运筹学：对偶理论与灵敏度分析习题与答案
一、填空题1、对偶问题的对偶问题是（）。
正确答案：原问题2、若X﹡和Y﹡分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX﹡（）Y﹡b。
正确答案：=3、若X、Y分别是线性规划的原问题和对偶问题的可行解，则有CX（）Yb。
正确答案：<=4、若X﹡和Y﹡分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX﹡（）Y*b。
正确答案：=5、设线性规划的原问题为maxZ=CX，Ax≤b，X≥0，则其对偶问题为（）。
正确答案：min=Yb YA>=c Y>=06、影子价格实际上是与原问题各约束条件相联系的（）的数量表现。
正确答案：对偶变量7、线性规划的原问题的约束条件系数矩阵为A，则其对偶问题的约束条件系数矩阵为（）。
正确答案：AT8、在对偶单纯形法迭代中，若某bi<0，且所有的aij≥0(j=1，2，…n)，则原问题（）。
正确答案：无解二、选择题1、线性规划原问题的目标函数为求极小值型，若其某个变量小于等于0，则其对偶问题约束条件为（）形式。
A. “≥”B. “≤”C. “>”D. “=”正确答案：A2、如果z*是某标准型线性规划问题的最优目标函数值，则其对偶问题的最优目标函数值w﹡满足（）。
A.W﹡=Z﹡B.W﹡≠Z﹡C.W﹡≤Z﹡D.W﹡≥Z﹡正确答案：A3、如果某种资源的影子价格大于其市场价格，则说明（）。
A.该资源过剩B.该资源稀缺C.企业应尽快处理该资源D.企业应充分利用该资源，开辟新的生产途径正确答案：B4、线性规划原问题的目标函数为求极小值型，若其某个变量小于等于0，则其对偶问题约束条件为（）形式。
A.≥B.≤C. >D. =正确答案：A5、对偶单纯形法的迭代是从（）开始的。
A.正则解B.最优解C.可行解D.可行解正确答案：A6、如果某种资源的影子价格大于其市场价格，则说明（）。
A.该资源过剩B.该资源稀缺C.企业应尽快处理该资源D.企业应充分利用该资源，开辟新的生产途径正确答案：B7、线性规划灵敏度分析的主要功能是分析线性规划参数变化对（）的影响。
(整理)第三章 线性规划的对偶理论及灵敏度分析
精品文档第三章 线性规划的对偶理论及灵敏度分析主要内容：1、对偶问题及其性质； 2、对偶单纯形法；3、灵敏度分析。
重点与难点：对偶问题与原问题的对应关系，对偶问题的基本性质，对偶单纯形法的求解步骤，灵敏度分析的方法。
要 求：理解线性规划对偶问题的性质，熟练掌握对偶单纯形法的求解步骤和灵敏度分析的方法和技巧，能够用这些数学方法解决实际问题。
§1 对偶问题的对称形式一、对偶问题引例，某工厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，已知生产单位产品所需要的设备台时及A 、B 两种原材料的消耗，该工厂每生产一件产品甲可获利2元，每生产一件产品乙可获利3元，问应如何安排计划才能使该工厂获利最多？解：设1x 、2x 分别为甲、乙两种产品的产量则目标函数2132m ax x x z +=约束条件 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+0,12416482212121x x x x x x(1)假设该工厂决定不再生产甲、乙产品，而将其出租或出售。
这时要考虑每种资源的定价问题，设321,,y y y 分别为出租单位设备台时的租金和出让单位原材料A 、B 的附加额。
作一比较：若用一个单位台时和4个单位原材料A 生产一件产品甲，可获利2元，那么生产每件产品甲的设备台时和原材料出租和出让的收入应不低于生产一件甲产品的利润。
即：2421≥+y y同理，将生产每件乙产品的设备台时和原材料出租和出让的收入应不低于生产一件乙产品的利润。
即：精品文档34231≥+y y将工厂所有设备台时和资源都出租和出让，其收入为32112168y y y ++=ω对工厂来说，ω越大越好；但对接受者来说，支付的愈少愈好，所以工厂只能在满足≥所有产品的利润前提下，使其总收入尽可能小，才能实现其愿望。
为此，得到如下模型：32112168m in y y y ++=ω⎪⎩⎪⎨⎧=≥≥+≥+3,2,1,0342243121j y y y y y j(2)我们就称(2)为模型(1)的对偶问题。
《运筹学》 第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及 答案
第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题 一、思考题1．对偶问题和对偶变量的经济意义是什么？2．简述对偶单纯形法的计算步骤。
它与单纯形法的异同之处是什么？3．什么是资源的影子价格？它和相应的市场价格之间有什么区别？4．如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检 验数之间的关系？5．利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解？6．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量）0>+k n x ，其经济意 义是什么？7．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量k n x +的检验数0>+kn σ（标准形为求最小值），其经济意义是什么？8．将i j ji bc a ,,的变化直接反映到最优单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解 将会出现什么变化？有多少种不同情况？如何去处理？ 二、判断下列说法是否正确1．任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。
2．对偶问题的对偶问题一定是原问题。
3．若线性规划的原问题和其对偶问题都有最优解，则最优解一定相等。
4．对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定 有最优解。
5．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解。
6．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量0>*i y ，说明在最优生产计 划中，第i 种资源已经完全用尽。
7．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量0=*i y ，说明在最优生产计 划中，第i 种资源一定还有剩余。
8．对于i j ji bc a ,,来说，每一个都有有限的变化范围，当其改变超出了这个范围 之后，线性规划的最优解就会发生变化。
9．若某种资源的影子价格为u ，则在其它资源数量不变的情况下，该资源增加k 个单位，相应的目标函数值增加 u k 。
10．应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量0<i x ，且i x 所在行的 所有元素都大于或等于零，则其对偶问题具有无界解。
运筹学-对偶理论及灵敏度分析
1 − 2 ≥
1, 2 ≥ 0
max =
=
≥0
s.t.ቊ
原问题
原问题与对偶问题
综上所述，我们可以归纳
原问题与对偶问题
= 21 + 32
1 + 22 ≤ 8
41
≤ 16
s. t.
42 ≤ 12
1 , 2 ≥ 0
min = 81 + 162 + 123
恒有cx≤ yb
③最优性：x是原问题的可行解，y是对偶问题的可行
解，且有cx=yb，则x是原问题的最优解，y是对偶问题
的最优解
④强对偶性：若原问题及对偶问题均有可行解，
则两者均具有最优解，且最优解的目标函数值相同
⑤松紧定理：在线性规划问题的最优解中，对应
某一约束条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取
40
X1
15
1
3/2
0
-1/2
1/2
0
0
X5
9
0
3/2
0
-3/2
1/2
1
50
x2
15/2
0
-1/4
1
3/4
-1/4
0
用x1‘替换x1
以x1‘作为换入变量，x1作为换出变量
灵敏度分析
增加一个约束条件的变化
计划生产如下所示：
产品
资源
产品A
产品B
资源总量
煤
1
2
30
劳动日
3
2
60
仓库
0
2
24
利润
40
50
产品A、B增加一道检验程序，A检测3小时/件，B检测2小时/件，
《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及答案
《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及答案一、填空题1. 在线性规划问题中，若原问题存在最优解，则其对偶问题也一定存在最优解，这是线性规划的基本性质之一，称为______。
答案：对偶性2. 在线性规划问题中，若原问题与对偶问题均存在可行解，则它们均有______。
答案：最优解3. 对于线性规划问题，若原问题约束条件系数矩阵为A，目标函数系数向量为c，则其对偶问题的目标函数系数向量是______。
答案：c的转置（c^T）二、选择题1. 线性规划的原问题与对偶问题之间的关系是：A. 原问题的最优解和对偶问题的最优解相同B. 原问题的最优解是对偶问题的最优解的负数C. 原问题的最优解与对偶问题的最优解互为对偶D. 原问题的最优解和对偶问题的最优解没有关系答案：C2. 在线性规划中，若原问题不可行，则其对应的对偶问题：A. 可行B. 不可行C. 无界D. 无法确定答案：B三、判断题1. 线性规划的原问题和对偶问题具有相同的可行解。
（）答案：错误2. 若线性规划的原问题存在唯一最优解，则其对偶问题也一定存在唯一最优解。
（）答案：正确四、计算题1. 已知线性规划问题：max z = 3x1 + 2x2s.t.x1 + 2x2 ≤ 42x1 + x2 ≤ 5x1, x2 ≥ 0求该问题的对偶问题，并求解原问题和对偶问题的最优解。
答案：对偶问题为：min w = 4y1 + 5y2s.t.y1 + 2y2 ≥ 32y1 + y2 ≥ 2y1, y2 ≥ 0原问题和对偶问题的最优解如下：原问题最优解：x1 = 2, x2 = 1，最大利润z = 8对偶问题最优解：y1 = 2, y2 = 1，最小成本w = 82. 某工厂生产甲、乙两种产品，生产一件甲产品需要2小时的机器时间和3小时的工人劳动时间，生产一件乙产品需要1小时的机器时间和1小时的工人劳动时间。
工厂每周最多能使用12小时的机器时间和9小时的工人劳动时间。
3对偶问题与灵敏度分析
例一、用对偶单纯形法求解：
min Z 9 x1 12 x2 15 x3
2 x1 2 x2 x3 10
2
x1
3 x2
x3
12
x1 x2 5 x3 14
x j 0( j 1.2.3)
解：将模型转化为 max Z 9x1 12x2 15x3
2 x1 2 x2 x3 x4
显然，工厂给这些生产要素定价，既要保证自己的利益， 又要使自己的价格具有竞争力
价格越低 越好
价格越高 越好
供给-需求函数
P
需求
均衡点
供给 Q
一个合理的定价是：收取的加工费不能低于自己 生产所得收益，在此前提下使总加工费尽量小。 即：
Min w=360y1+200y2+300y3
s.t. 9y1+4y2+3y3≥70 4y1+5y2+10y3≥120 y1,y2≥0
若 X(0),Y(0) 分别为（LP）和（DP）的可
行解，那么 CX(0)≤ Y(0)b。
(证明)
该定理说明：如果原问题 是最大化问题，则它的任 意可行解对应的目标函数 值都会小于等于其对偶问 题(极小化)的任一可行解 对应的目标函数值
例如
Max z=2x1+2x2-4x3
s.t. X1+3x2+3x3≤30 4x1+2x2+4x3≤80 X1,x2,x3≥0
若其中一个问题有最优解，则另一个问 题也有最优解，且两者最优值相等
证明
定理5（互补松弛定理）
原问题及其对偶问题的可行解X(0)和Y(0) 是最优解的充要条件是：
Y(0)XS=0，YSX(0)=0
XS,YS分别为原问题松弛向量和对偶问题剩余向量
对偶理论与灵敏度分析
1 0 1 / 2 1 0
N 2 (2，0) (0，0，3) 0 1 0 / 4 0 (2， 3 / 4)
0 0 1 / 4 0 1
换入换变入量变x1量 x2
1 B21 (bB，11P(1b)， P200)
10 0
1 0 0
01 / 10
200181686
10/ 4 11122
设B是一个可行基，令（A，I）=（B，N，I），则：
max z CB X B C N X N 0X S BX B NX N IX s b XB 0 XN 0 Xs 0
max z C B X B C N X N X B B 1 NX N B 1 X s B 1b XB 0 XN 0 Xs 0
ω^ =Y^AX^+Y^XS 当Y^Xs=0，Ys X^=0时z ^=ω^，则X，Y^是最优解。 当 X，Y^是最优解时 z ^= ω^，则Y^Xs=0，Ys X^=0 19
例：已知线性规划问题
min z
2 x1
3 x2
5 x3
2 x4
3
xX5
* 1
(1,0,0,0,1)T
y1 y2
x1 x2 2 x3 x4 3 x5 x46 2 x1 x2 3 x3 x4 x5 3 x7
max z CX
Y # AX # b
X #0
对偶问题（原问题）
min Yb
X # YA# C Y #0
例：min z 2 x1 3 x2 5 x3 x4
y1 x1 x2 3 x3 x4 5
y2
2
x1
2x3 x4 4
y3
x2 x3 x4 6
x1 0，x2，x3 ，x4无 约 束
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8
16 12
1
4 0
2
0 4
1
0 0
0
1 0
0
0 1
4 － 3
2
2 16 3 1
3
0
0
1 0 0 0
0
0
0
-1/2
0 0
x3 x4 x2 σj=cj-zj
4
0 2
0 1
0
1
0 0
0
2 4
－
3
1/4
-3/4
矩阵！！！
第1节
单纯形法的矩阵描述
问题的矩阵描述
Max z = CX
AX≤b X≥0
标准型
Max z = CX+0Xs
计算步骤
1. 2.
求初始基阵的逆矩阵B-1，求出初始解 (XB , XN)T=( B-1b, 0)T，计算单纯形乘 子 Y=CBB-1 计算检验数σN=CN - CBB-1N 确定换入变量xk，计算 B-1Pk
B= (P1,…Pl ,…Pm)
B1= (P1,…Pk ,…Pm)
a1k ，则有： B 1Pk P61 amk
1 1 1
B 1b B 1N1X N1 B 1Ps jN X S2
问题的矩阵描述 z C B b B NX C X C B b C C B N X
1 1 B N N 1 1 B N B
N N
隐藏条件: XB前的系数为0
CB B b C N1 C B B N1
θi
2
1/4
3
x2
σj=cj-zj
0
1
0
例子
cj
CB 2 0 3 XB x1 x4 x2 σj=cj-zj b 2 8 3
2
x1 1 0 0
3
x2 0 0 1
0
x3 1 -4 0
0
x4 0 1 0 0
0
x5 -1/2 2 1/4 1/4
θi
4 12
0
0
-2
例子：对照第2章P65-66
cj
CB 2 0 3 XB x1 x5 x2 b 4 4 2
第i个元素,对应换出变量xi
换入变量xj列向量
第2节
改进单纯形法
与普通单纯形法的区别
一般单纯形法中，在迭代时计算了很多与下一步 无关的数字，占用存储单元，影响效率 实际上，基矩阵的逆阵B-1求出后，单纯形表上其 余数字也即可确定
区别：逐次迭代中不再以高斯消去法为基础，而 是由旧基阵的逆去直接计算新基阵的逆，再由此 确定检验数。
B1-1=EB-1
，其中
E= (e1,…el-1,ξ,el+1,…em)
a1k / alk a / a 2 k lk 1 / a lk a / a mk lk
第l行
如何根据 B-1来计算 B1-1？
2
x1 1 4 0
3
x2 2 0 4
0
x3 1 0 0
0
x4 0 1 0
0
x5 0 0 1
θi
4 － 3
2
1 4
3
0 0 1 0
0
1 0
0
0 1
0
-1/2 0
2 4
－
3
0
2
0
0
0
0
1/4
-3/4
级数求和！！！
单兵作战
改进单纯形法?
cj
CB XB b
2
x1
3
x2
0
x3
0
x4
0
x5
θi
0
0 0
x3
x4 x5 σj=cj-zj
P1 P5
P1’
P5’
cj
CB 0 0 3 XB x3 x4 x2 b 2 16 3
2
x1 1 4 0
3
x2 0 0 1
0
x3 1
0
x4 0
1 B1 1
0
x5 -1/2
θi
0
0
0
1/4
0
σj=cj-zj
例子：对照第2章P65-66
P1 P5
cj
CB 0 0 3 XB x3 x4 x2 σj=cj-zj b 2 16 3
N
Ps jN s1
sk
s k 1
sm ;
CN ; CB C B1
1 0 0 1 S 假设 S I 4 1 0 0 0 0
C S2 Cs1 Cs2
0 0 0 S20 1 0 0 1
C sm ;
C S1 ; CN C N1
1 1
X B B N 1X N1 B PS 2N X S 2 B b 基变量 X
B
非基变量 XN 1
Xs
1
j
X N1
RHS
B-1b -CBB-1b
1 1 1 B P s jS N z C B B -1 b C N1 C B B N B B=I B-1 N11 X N1 C 系数矩阵 s , X B 2 1 1 1 1C B 1b -1 z C C B N X C B X C C B N 检验数 CB-CBB N1 B=0 B 1 N B N B 1 SC j B, s j N 1 2 BB
A B N ; B B1
进入基变量的松弛变量对应的 那些单位向量组成的矩阵。 进入非基变量的松弛变量对应 的那些单位向量组成的矩阵。
B
Ps1 Ps2
s1 s2
Ps3 Ps4
s3 s4
Ps jB B1 S1 ;
N N1 Ps jN N1 S 2 ; S S1 S 2 Ps jB C A C B
Xs 的 某 j 元 素 属 于 非 基变量时， csj=0, Psj 为松弛变量单位向量。 sj∈N. Right hand side 等式右边
基变量 XB
系数矩阵 检验数 B-1B=I CB-CBB-1B=0
非基变量XN
X N1
Xs
B1Ps j , s j N
RHS
B-1b -CBB-1b
1 2 1 0 0 A 4 0 0 1 0 0 4 0 0 1
“填表游戏” Let’s Play!
例子：对照第2章P65-66
P1 P2 检验数：3>2
cj
CB 0 0 0 XB x3 x4 x5 σj=cj-zj b 8 16 12
2
x1 1 4 0 2
3
x2 2 0 4 3
ห้องสมุดไป่ตู้
2
x1 1 0 0 0
3
x2 0 0 1 0
0
x3 0
0
x4 1/4
1 1/2 B 3
0
x5 0
θi
-2
1
0 0
1/2 -1/8 -3/2 -1/8
σj=cj-zj
改进单纯形法小结
同普通单纯形法类似，改进单纯形法归根结底还 是一个“填表游戏”，只不过它是一种“军团作 战”（矩阵式填表）。普通单纯形法是一种“单 兵作战”模式。
1
N1
CS2 C B B 1Ps jN X S2 C B B 1 X S2
j
sj N
N1
Cs2=0
对应第二章的检验数cj-zj ,j=1,2,…,n
松弛变量对应的检验数
问题的矩阵描述(迭代后)
X B B 1b B 1N1X N1 B 1X S2
0
x3 1 0 0 0
0
x4 0
0
x5 0 0 1 0
θi
4 3
B01 1
0 0
e1 e2
ξ1
a1k / alk a / a 2 k lk 1 / a lk a / a mk lk
1 在初始矩阵 B 0 的位置，经过 迭代运算后就 1 是 B1 的位置。
1
0 I B1N1 1 1 0 C C B N1 N1 B
z X 1 B B1b B 1 1 X CB B N1 CB B b X S2
单纯形表的计算（矩阵表达）
ξ的由来
书本第2章 36 页，或者 第 2 章 PPT 第61页
迭代后单纯形表中的数字
alj a , i l lj alk 本次单纯形表中的数字 a a alj a , i l ij ik ij alk
第l列ξ
第l行
a11 al1 a m1
B-1N1
CN1 CB B1N1
C B
1 B
j
, sj N
σN1，改进单纯形法的核心公式之一（法宝之一）
表格中的XB 和 XS 在单纯形法求解的过程中可能会有重叠，因为在没有求解 到最优解之前，总是会有松弛变量出现在基变量之中的。
关系表怎么得到？
注意：在迭代运算（基变换）过程中，基矩阵中可能还 存在松弛变量单位向量也可能已经没有了。
AX+IXs= b
X, Xs≥0
CN
设B是基矩阵，则 ( A, I )可分为 ( B, N ) 两块，
XB 相应的决策变量分为 ，目标函数系数分为 CB XN
问题改写为： Max