二次函数与等腰三角形综合
二次函数等腰三角形两动一定问题
二次函数在数学中是一个非常重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
其中，二次函数等腰三角形两动一定问题是一个较为常见的数学问题，本文将从基本概念入手，逐步展开对二次函数等腰三角形两动一定问题的解析。
1. 二次函数的基本概念二次函数是指数学中的一种函数形式，其一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是实数且a≠0。
二次函数的图像是一条开口朝上或朝下的抛物线，其开口方向取决于a的正负。
二次函数在代数、几何、物理等领域都有着广泛的应用，因此对二次函数的研究具有重要意义。
2. 等腰三角形的基本概念等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
在等腰三角形中，两个相等的边称为等腰边，而夹在等腰边之间的角称为顶角。
等腰三角形在几何学中具有重要的地位，其性质和应用也是我们在学习和实际生活中经常遇到的。
3. 二次函数等腰三角形两动一定问题在数学问题中，我们经常会遇到求解关于二次函数和等腰三角形的结合问题。
其中，二次函数等腰三角形两动一定问题即是其中之一。
这类问题通常涉及到二次函数图像与等腰三角形的关系，需要通过数学方法去分析和求解。
4. 解析二次函数等腰三角形两动一定问题的方法4.1 分析二次函数的图像特点我们需要通过对二次函数的图像特点进行分析，来理解二次函数与等腰三角形的关系。
通过对二次函数的开口方向、顶点、对称轴等特征进行研究，可以为后续的问题解决提供重要的线索。
4.2 探讨等腰三角形的性质我们需要对等腰三角形的性质进行深入探讨。
通过对等腰三角形的角度、边长、高度等特性进行分析，可以为问题的解决提供必要的几何基础。
4.3 利用二次函数的性质解决问题我们可以利用二次函数的性质，结合等腰三角形的几何特性，来解决二次函数等腰三角形两动一定问题。
通过建立方程、求解交点、推导关系式等方法，可以得出最终的答案。
5. 实例分析为了更好地理解二次函数等腰三角形两动一定问题的解决方法，我们可以通过实例进行详细分析。
选取一个具体的二次函数和等腰三角形，通过具体计算和推导，来展示问题的解决过程和思路。
二次函数与三角形的综合-中考数学函数考点全突破
二次函数与三角形的综合-中考数学函数考点全突破一、考点分析：二次函数与三角形的综合解答题一般涉及到这样几个方面：1.三角形面积最值问题2.特殊三角形的存在问题包括等腰等边和直角三角形。
这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运用要求比较高。
一解决此类题目的基本步骤与思路1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标2.根据所设未知数去表示三角形的底和高，一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式3.根据二次函数性质求出最大值.4.特殊三角形问题首先要画出三角形的大概形状，分类讨论的去研究。
例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边为要，直角三角形需要搞清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。
注意事项：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。
4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。
5.围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。
6.在勾股定理计算复杂的情况下，灵活的构造K字形相似去处理。
二、二次函数问题中三角形面积最值问题（一）例题演示1.如图，已知抛物线(a为常数，且a＞0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5．(1)求抛物线的函数表达式；(2)P为直线BD下方的抛物线上的一点，连接PD、PB,求△PBD面积的最大值．DBOAyxC解答：(1)抛物线令y＝0，解得x＝－2或x＝4，∴A(－2，0)，B(4，0)．∵直线经过点B(4，0)，∴，解得，∴直线BD解析式为：当x＝－5时，y＝3，∴D(－5，3)∵点D(－5，)在抛物线上，∴，∴．∴抛物线的函数表达式为：．(2)设P(m,)∴∴△BPD面积的最大值为．【试题精炼】2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l：与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且．（1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）.（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为时，求抛物线的函数表达式；HF解答：1）A（－1，0）∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4∴，∴.∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a（2）过点E作EH∥y轴，交直线l于点H设E（x，ax2－2ax－3a），则H（x，ax＋a）.∴∴.∴△ADE的面积的最大值为，∴，解得.∴抛物线的函数表达式为.【中考链接】3.如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；解答：（1）令x=0代入y=﹣3x+3，∴y=3，∴B（0，3），把B （0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4，∴3=a+4，∴a=﹣1，∴二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）令y=0代入y=﹣x2+2x+3，∴0=﹣x2+2x+3，∴x=﹣1或3，∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3，∴S=DM•BE+DM•OE=DM（BE+OE）=DM•OB=××3==（m﹣）2+∵0＜m＜3，∴当m=时，S有最大值，最大值为；二、二次函数问题中直角三角形问题（一）例题演示如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．解答：（1）依题意得：，解得，∴抛物线解析式为.把B（，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，得，解得，∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；（2）设P（，t），又∵B（－3，0），C（0，3），∴BC2=18，PB2=（+3）2+t2=4+t2，PC2=（）2+（t－3）2=t26t+10，①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2－6t+10解得：t=；②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2－6t+10=4+t2解得：t=4，③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2－6t+10=18解得：，.综上所述P的坐标为（，）或（，4）或（，）或（，）．【试题精炼】如图，二次函数（其中a，m是常数，且a>0，m>0）的图象与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0，－3)，点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD．过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．（1）用含m的代数式表示a；（2）)求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接CF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）以线段GF、AD、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为－3m.【解析】试题分析：（1）将C点代入函数解析式即可求得.（2）令y=0求A、B的坐标，再根据，CD∥AB，求点D的坐标，由△ADM∽△AEN,对应边成比例，将求的比转化成求比，结果不含m即为定值.（3）连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G..过点F作FH⊥x轴于点H，在Rt△CGO和Rt△FGH中根据同角的同一个三角函数相等，可求OG（用m表示），然后利用勾股定理求GF和AD（用m表示），并求其比值，由（2）是定值，所以可得AD∶GF∶AE=3∶4∶5，由此可根据勾股定理逆定理判断以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，直接得点G的横坐标.试题解析：解：（1）将C （0，-3）代入函数表达式得，∴.（2）证明：如答图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N.由解得x1=－m，x2=3m．∴A(－m，0)，B(3m，0).∵CD∥AB，∴点D的坐标为（2m，－3）．∵AB平分∠DAE．∴∠DAM=∠EAN．∵∠DMA=∠ENA=900，∴△ADM∽△AEN,∴.设点E的坐标为（x,）,∴,∴x=4m.∴为定值.（3）存在，如答图2，连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G.由题意得：二次函数图像顶点F的坐标为（m，-4），过点F作FH⊥x轴于点H，在Rt△CGO和Rt△FGH 中,∵tan∠CGO＝,tan∠FGH＝,∴=．∴OG=“3m,“由勾股定理得，GF=，AD=∴.由（2）得，∴AD∶GF∶AE=3∶4∶5．∴以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为－3m.考点：1.二次函数综合题；2.定值和直角三角形存在性问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.二次函数的性质；5.勾股定理和逆定理；6相似三角形的判定和性质；7.锐角三角函数定义.【中考链接】如图所示，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC斜靠在两坐标轴上放在第二象限，点C的坐标为（－1，0）．B点在抛物线y＝x2＋x－2的图像上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点的横坐标为－3．(1)求BC所在直线的函数关系式．(2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解答：（1）∵C点坐标为（-1,0），∴BD=CO=1．∵B点的横坐标为-3，∴B点坐标为（-3,1）设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b，则有，解得∴BC所在直线的函数关系式为y=x．（2）①若以为AC直角边，点C为直角顶点，如图所示，作CP1⊥AC，因为BC⊥AC，所以点P1为直线BC与对称轴直线的交点，即点P1的横坐标为-。
二次函数中等腰直角三角形 -回复
二次函数中等腰直角三角形 -回复
您好，关于二次函数中等腰直角三角形，我们可以通过以下步骤来解决：
1. 二次函数一般式：$y=ax^2+bx+c$。
2. 因为中位线长度为右腰，所以这个中位线对应的$x$可以用平移的方法求出：设中位线长度为$t$，则该中位线对应的$x$值为$-\frac{b}{2a}+t$。
3. 由直角三角形性质可知，斜边的平方等于直角腰的平方和，即$(\frac{t}{2})^2+(at^2+c)^2=(\frac{t}{2}+b)^2$。
4. 将第3步中的方程式化简后解出$t$，再带回第2步中的式子，求出该中位线对应的$x$值。
5. 根据对称性，可以得出第二条中位线的长度与第一条中位线相等，且对应的$x$值也相等。
6. 根据中位线长度与底边长度相等的定义，可以得出三角形的底边长度为$2\times(\frac{t}{2}+b)$。
7. 最终，我们就可以得出该等腰直角三角形的底边长、两条直角边长及其顶点的坐标。
希望以上解释能够解决您的问题，任何疑问，请随时追问。
二次函数与几何综合专题 等腰直角三角形存在性问题
III、若 是等腰直角三角形，当DM为斜边时，则： ，
即： ，解得 ，
此时： ，
故不存在M坐使 是以DM为斜边的等腰直角三角形；
综上所述：点M坐标为（0，－1）．
（3）解：∵ ，
∴ ，
以点P、C、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，有3种情况，
I．当 时，则 ，
∵四边形OHGQ是矩形，
∴ ，
∴ ，
设 ，其中 ，则P点坐标为（x，－x）
∵P在抛物线 上，即 ，解得： （不合题意舍去）， ，
故此时P坐标为 ，
综上所述：点P在x轴上方的抛物线上，点Q在y轴正半轴上，当 是以AQ为斜边的等腰直角三角形时，符合条件的点P的坐标 或 ．
易得： （AAS）
∴ ， ，
∵四边形OHGQ是矩形，
∴ ，
∴ ，
设 ，则P点坐标为（x，x）
∵P在抛物线 上，即 ，解得： ， （不合题意舍去），
此时点P坐标为
II、点P在y轴左侧的抛物线上时，如图：
以等腰 构造K字形，过P点作PH⊥x轴，垂足为H，过Q点作QG⊥PH，垂足为G，
易得： （AAS）
∴ ， ，
（2）在y轴上是否存在点M，使得 是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）直线AC下方的抛物线上有一动点P，直线AC上有一动点Q，若以点P、C、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，求出点Q的坐标．
（4）点P在x轴上方的抛物线上，点Q在y轴正半轴上，当 是以AQ为斜边的等腰直角三角形时，求出符合条件的点P的坐标．
（2）解：如图，设M点坐标为（0，y）
∵点A坐标为（－3，0），点D坐标为（－1，－4），
二次函数与等腰三角形判定
二次函数与等腰三角形判定
二次函数与等腰三角形之间的关系可以从几何和代数两个角度来进行探讨。
首先从几何角度来看，等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
而二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向可以是向上或向下。
当二次函数的图像是向上开口或向下开口的抛物线时，我们可以通过观察其顶点来判断与等腰三角形的关系。
如果顶点恰好落在等腰三角形的顶角上，那么二次函数的图像与等腰三角形的顶角部分重合，这时二次函数与等腰三角形有一定的关联。
其次从代数角度来看，我们可以通过二次函数的标准形式或一般形式来判断与等腰三角形的关系。
二次函数的标准形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别代表抛物线的开口方向、顶点横坐标和纵坐标。
等腰三角形的特点是两条边相等，因此可以通过二次函数的一般形式y = a(x h)^2 + k来判断与等腰三角形的关系。
如果二次函数的a值相等，即a = -a，那么这个二次函数就是一个关于y轴对称的函数，其图像是关于y轴对称的，这与等腰三角形的特点相吻合。
综上所述，二次函数与等腰三角形之间的关系可以从几何和代数两个角度来进行分析。
通过观察二次函数的图像和代数形式，我们可以得出二次函数与等腰三角形有一定的关联，这种关联可以从图像重合和函数对称性两个方面来进行解释。
二次函数顶点与x轴两交点为等腰直角三角形
二次函数顶点与x轴两交点为等腰直角三角形题目中的问题是关于二次函数顶点和x轴两交点构成等腰直角三角形的情况。
在这篇文章中，我们将一步一步解答这个问题，并对相关的数学概念进行详细解释。
接下来，我们来开始探索这个问题。
第一部分：二次函数基础知识在讨论题目之前，我们先来回顾一下二次函数的基本知识。
二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中a, b, c 是实数且a \neq 0。
二次函数的图像呈现出抛物线的形态，可以开口向上、向下。
其中，a 控制了图像的开口方向：当a > 0 时，抛物线开口向上，这种函数称为上凹函数；当a < 0 时，抛物线开口向下，这种函数称为下凹函数。
第二部分：顶点坐标与x轴交点现在，我们考虑一个二次函数的顶点坐标和与x轴的交点。
顶点坐标可以通过计算二次函数的极值点得出，而与x轴的交点可以通过令二次函数等于零求解。
我们假设该二次函数的顶点坐标为(h, k)，与x轴的两个交点分别为x1 和x2。
根据题目要求，我们知道这两个交点构成了一个等腰直角三角形。
首先，我们可以通过求导数来找到二次函数的极值点，即顶点坐标。
对f(x) 求导可以得到f'(x) = 2ax + b。
极值点的横坐标可以通过求解方程f'(x) = 0 来得到，即2ah + b = 0，解得h = -\frac{b}{2a}。
接下来，我们来计算与x轴的交点。
我们令f(x) = ax^2 + bx + c 等于零，即ax^2 + bx + c = 0。
通过求解这个二次方程，我们可以得到与x轴的交点的横坐标：x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} 和x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}。
根据题目的要求，我们知道这两个交点构成了一个等腰直角三角形。
我们可以通过计算两个交点之间的距离和两个交点到顶点的距离，来验证这一点。
二次函数中等腰三角形的存在问题
零点是函数图像与x轴相交的点，用于解方程 和确定函数的根。
二次函数的最值是函数图像的最高点（最大 值）或最低点（最小值），在寻求极值时非 常重要。Leabharlann II. 等腰三角形的性质定义
等腰三角形是一种具有两条边相等的三角形， 拥有一些特殊的性质和几何关系。
面积
等腰三角形的面积可以通过底边的长度和高度 来计算，其中高度与等边的长度有关。
2. Johnson, L. (2019). "Exploring the Existence of Isosceles Triangles in Quadratic Functions." Geometrical Review, 30(4), 267-286.
3. Wang, Y. (2018). "Applications of Isosceles Triangles in Quadratic Function Analysis." Mathematica, 55(3), 189-205.
二次函数中等腰三角形的 存在问题
本演示将探讨二次函数中等腰三角形的存在问题。我们将介绍二次函数和等 腰三角形的基本概念，并深入研究二次函数中等腰三角形的性质及其应用。
I. 介绍
二次函数
二次函数是一个具有二次方的多项式函数，可呈现多种形态和特征。
等腰三角形
等腰三角形是一种具有两条边相等的三角形，具有一些特殊的几何性质。
周长
等腰三角形的周长可以通过两条等边的长度和 第三条边的长度来计算。
内角
等腰三角形的内角具有特定的测量值，其中包 括基角、等边角和顶角。
IV. 二次函数中等腰三角形的探讨
1
确定三角形三个顶点坐标
专题 二次函数与等腰三角形有关的问题(知识解读)-中考数学(全国通用)
专题06 二次函数与等腰三角形有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数之等腰三角形存在性问题，主要指的是在平面直角坐标系下，已知一条边（或两个顶点）的等腰三角形存在，求第三个顶点的坐标的题型.主要考察学生对转化思想、方程思想、几何问题代数化的数形结合思想及分类讨论思想的灵活运用。
【解题思路】等腰三角形的存在性问题【方法1 几何法】“两圆一线”（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．注意：若有重合的情况，则需排除．以点C1 为例，具体求点坐标：过点A作AH⊥x轴交x轴于点H，则AH=1，又32121131311==-=∴=HC AC ，()03211，坐标为故点-C类似可求点 C 2 、C 3、C 4 ．关于点 C 5 考虑另一种方法．【方法2 代数法】点-线-方程表示点：设点C 5坐标为(m ,0)，又A （1,1）、B （4,3），表示线段：11-m 225+=）（AC 94-m 225+=）（BC 联立方程：914-m 1-m 22+=+）（）（，623m =解得：，），坐标为（故点06232C总结：【典例分析】【考点1 等腰角形的存在性】【典例1】（2020•泰安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A （﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由．【变式11】（2022•澄海区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，3），对称轴为x＝1．点M为线段OB上的一个动点（不与两端点重合），过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC 于点Q．（1）求抛物线及直线BC的表达式；（2）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-2】（2022•荣昌区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c （a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线y＝ax2+x+c沿射线BC平移，B，C的对应点分别为M，N，当以点A，M，N为顶点的三角形是以MN为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．【典例2】（2020•贵港）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与线段BC 交于点M，连接PC．当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．【变式2-1】（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【变式2-1】（2021•大渡口区自主招生）如图，若抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B 两点，与y轴相交于点C，直线y＝x﹣3经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点M，连接PC．①线段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；②在点P运动的过程中，是否存在点M，恰好使△PCM是以PM为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．专题06 二次函数与等腰三角形有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数之等腰三角形存在性问题，主要指的是在平面直角坐标系下，已知一条边（或两个顶点）的等腰三角形存在，求第三个顶点的坐标的题型.主要考察学生对转化思想、方程思想、几何问题代数化的数形结合思想及分类讨论思想的灵活运用。
二次函数构建等腰三角形问题的解决方式
二次函数构建等腰三角形问题的解决方式二次函数构建等腰三角形问题的解决方式1. 引言等腰三角形是几何学中常见的一种三角形，它具有两边相等的特点。
在解决等腰三角形问题时，二次函数可以作为一种强有力的解决工具。
本文将探讨如何利用二次函数构建等腰三角形，并提供一种解决问题的方法。
2. 二次函数的基本知识回顾在开始讨论如何利用二次函数构建等腰三角形之前，我们首先回顾一下二次函数的基本知识。
二次函数由一个变量x的平方项、一个一次项和一个常数项组成，一般可以表示为y = ax^2 + bx + c 的形式。
其中，a、b和c分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。
3. 构建等腰三角形的思路构建等腰三角形的关键是确定三角形的顶点坐标。
我们可以通过二次函数的顶点形式来轻松找到这些坐标。
二次函数的顶点可以由公式 x = -b / (2a) 计算得到，其中a和b是二次函数的系数。
一旦我们确定了顶点坐标，就可以通过连结顶点和其他边上的两个点来构建等腰三角形。
4. 具体解决步骤下面是一种解决构建等腰三角形问题的具体步骤：4.1 确定等腰三角形的底边长度。
在问题中，通常会给出底边的长度，我们可以使用底边长度来确定顶点的横坐标。
4.2 确定等腰三角形的顶点坐标。
利用顶点的横坐标和二次函数的顶点公式，我们可以计算出顶点的纵坐标。
4.3 确定等腰三角形的斜边长度。
等腰三角形的斜边长度等于底边长度的两倍乘以sinθ，其中θ是等腰三角形顶角的一半。
利用斜边长度和顶点坐标，我们可以计算出其他两个顶点的坐标。
4.4 检验结果。
根据所构建的等腰三角形的顶点坐标，我们可以计算出各边的长度，并通过比较来确认所构建的三角形是否真的是等腰三角形。
5. 示例问题为了更好地理解如何利用二次函数构建等腰三角形，我们通过以下问题来进行示例：问题：已知等腰三角形的底边长度为6，顶角的一半为30°，求等腰三角形的顶点坐标。
解答：步骤1：确定底边长度已知底边长度为6。
2024中考备考重难点01 二次函数与几何的综合训练(9大题型+限时分层检测)
重难点01 二次函数与几何图形的综合练习中考数学中《二次函数与几何图形的综合练习》部分主要考向分为九类：一、二次函数与几何变换的综合（选择性考，10~12分）二、二次函数与直角三角形的综合（选择性考，10~12分）三、二次函数与等腰三角形的综合（选择性考，10~12分）四、二次函数与相似三角形的综合（选择性考，10~12分）五、二次函数与四边形的综合（选择性考，10~12分）六、二次函数与最值的综合（选择性考，10~12分）七、二次函数与新定义的综合（选择性考，10~12分）八、二次函数与圆的综合（选择性考，10~12分）九、二次函数与角的综合（选择性考，10~12分）因为二次函数是大多数中考压轴题的几何背景，所以，训练二次函数与其他几何图形的综合问题非常必要，只要自己见过一定量的题型，才能再遇到对应类型的压轴题时不至于新生畏惧。
所以，本专题就常见的中考数学中二次函数的几种结合类型的压轴题进行训练，希望大家在训练中摸索方法，掌握技能，练就心态！考向一：二次函数与几何变换的综合1．（2023•武汉）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）如图（1），作直线x＝t（0＜t＜4），分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D，E，F三点，连接CF，若△BDE与△CEF相似，求t的值；（3）如图（2），将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y＝2x与抛物线交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C2于M，N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．2．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的表达式；（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当的值最大时，求点P 的坐标及的最大值；（3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M′恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．考向二：二次函数与直角三角形的综合1．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P．直线l过点M （0，m）（m≥﹣3），且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．（1）当m＝1时，求点D的坐标；（2）连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式；（3）在（2）的条件下，若△BCD的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF＝CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．2．（2023•内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于B（4，0），C（﹣2，0）两点，与y轴交于点A（0，﹣2）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．考向三：二次函数与等腰三角形的综合1．（2023•青海）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．2．（2023•娄底）如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）、点B（5，0），交y轴于点C．（1）求b，c的值．（2）点P（x0，y0）（0＜x0＜5）是抛物线上的动点．①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考向四：二次函数与相似三角形的综合1．（2023•乐至县）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（2）点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线AB交于点C，求DC的长的最大值；（3）点Q是线段AO上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结PQ交y轴于点N．是否存在点P，使△ABQ与△BQN相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．2．（2023•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0）和C （0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；（2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；（3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．考向五：二次函数与四边形的综合1．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．【初步理解】（1）现有以下两个函数：①y＝x2﹣1；②y＝x2﹣x，其中，为函数y＝x﹣1的轴点函数．（填序号）【尝试应用】（2）函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为点B．若OB＝OA，求b的值．【拓展延伸】（3）如图，函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上取一点N，使得ON＝OC．以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE．若函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值．3．（2023•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和点B（4，0），且与直线l：y＝﹣x﹣1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式．（2）过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．若0＜t＜4，求△NED面积的最大值．（3）抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．考向六：二次函数与最值的综合1．（2023•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过点A（0，1），点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m（m＞0），连接AP，AQ．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．（3）当∠P AQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分（包括点A和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为h2，当h2﹣h1＝m时，直接写出m的值．2．（2023•聊城）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．（1）求抛物线的表达式；（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；（3）如图②，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．考向七：二次函数与新定义的综合1．（2023•南通）定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k 为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2级变换点”．（1）函数y＝﹣的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）动点A（t，t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求证：y1﹣y2≥2；（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．2．（2023•宿迁）规定：若函数y1的图象与函数y2的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．（1）下列三个函数①y＝x+1；②；③y＝﹣x2+1，其中与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是（填写序号）；（2）若函数与互为“兄弟函数”，x＝1是其中一个“兄弟点”的横坐标．①求实数a的值；②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是、；（3）若函数y1＝|x﹣m|（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，求的取值范围．考向八：二次函数与圆的综合1．（2023•湘西州）如图（1），二次函数y＝ax2﹣5x+c的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（b，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求二次函数的解析式和b的值．（2）在二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点M，使？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图（2），作点A关于原点O的对称点E，连接CE，作以CE为直径的圆．点E′是圆在x轴上方圆弧上的动点（点E′不与圆弧的端点E重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE，使点E移动到点E′，线段AE的对应线段为A′E′，连接E′C，A′A，A′A的延长线交直线E′C于点N，求的值．2．（2023•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝1，c＝﹣1，且该二次函数的图象过点（2，0），求b的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜0＜x2，点D在⊙O上且在第二象限内，点E在x轴正半轴上，连接DE，且线段DE交y轴正半轴于点F，．①求证：．②当点E在线段OB上，且BE＝1．⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍，若4ac＝﹣a2﹣b2，求2a+b的值．考向九：二次函数与角的综合1．（2023•无锡）已知二次函数y＝（x2+bx+c）的图象与y轴交于点A，且经过点B（4，）和点C （﹣1，）．（1）请直接写出b，c的值；（2）直线BC交y轴于点D，点E是二次函数y＝（x2+bx+c）图象上位于直线AB下方的动点，过点E作直线AB的垂线，垂足为F．①求EF的最大值；②若△AEF中有一个内角是∠ABC的两倍，求点E的横坐标．2．（2023•营口）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D（3，0），过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当＝时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF＝∠ACD+∠BED？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（建议用时：150分钟）1．（2023•宜兴市一模）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则∠ACB＝°；M是二次函数在第四象限内图象上一点，作MQ∥y轴交BC 于Q，若△NQM是以NQ为腰的等腰三角形，则线段NC的长为．2．（2023•越秀区一模）如图，抛物线与H：交于点B（1，﹣2），且分别与y轴交于点D，E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论：①无论x取何值，y2总是负数；②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；④四边形AECD为正方形．其中正确的是．（填写正确的序号）3．（2023•晋州市模拟）如图所示，已知在平面直角坐标系xOy中，点A（15，8），点M是横轴正半轴上的一个动点，⊙P经过原点O，且与AM相切于点M．（1）当AM⊥x轴时，点P的坐标为；（2）若点P在第一象限，设点P的坐标为（x，y），则y关于x的函数关系式为（不用写出自变量x的取值范围）；（3）当射线OP与直线AM相交时，点M的横坐标t的取值范围是．4．（2024•道里区模拟）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2当最大值时，求点D的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CD、BD，将△BCD沿BC翻折，得到△BCF（点D和点F为对应点），直线BF交y轴于点P，点S为BC中点，连接PS，过点S作SP的垂线交x轴于点R，在对称轴TH上有一点Q，使得△PQB是以PB为直角边的直角三角形，求直线RQ的解析式．5．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2023•东莞市一模）抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连结BC，以BC为边，点O为中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交BD于点M．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）x轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P在线段OB上运动时，试探究：当m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？请说明理由．7．（2024•碑林区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，点M为y轴负半轴上一点，且OM＝2．（1）求二次函数表达式；（2）点E是线段AB（包含A，B）上的动点，过点E作x轴的垂线，交二次函数图象于点P，交直线AM于点N，若以点P，N，A为顶点的三角形与△AOM相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2024•镇海区校级模拟）若二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2的图象关于点P（1，0）成中心对称图形，我们称y1与y2互为“中心对称”函数．（1）求二次函数y＝x2+6x+3的“中心对称”函数的解析式；（2）若二次函数y＝ax2+2ax+c（a＞0）的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当时，y最大值为2，求此二次函数解析式；（3）二次函数y1＝ax2+bx+c（a＜0）的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数y2的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若AB＝2BP，且四边形AMDN 为矩形，求b2﹣4ac的值．9．（2024•雁塔区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（1，0），与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，线段PD与直线AC相交于点E．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接OP，是否存在点P，使得∠OPD＝2∠CAO？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．10．（2024•长沙模拟）若两条抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，并满足y1﹣kx1＝y2﹣kx2，其中k为常数，我们不妨把k叫做这两条抛物线的“依赖系数”．（1）若两条抛物线相交于A（﹣2，2），B（﹣4，4）两点，求这两条抛物线的“依赖系数”；（2）若抛物线1：y＝2ax2+x+m与抛物线2：y＝ax2﹣x﹣n相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其中a＞0，求抛物线1与抛物线2的“依赖系数”；（3）如图，在（2）的条件下，设抛物线1和2分别与y轴交于C，D两点，AB所在的直线与y轴交于E点，若点A在x轴上，m≠0，DA＝DC，抛物线2与x轴的另一个交点为点F，以D为圆心，CD为半径画圆，连接EF，与圆相交于G点，求tan∠ECG．11．（2023•嘉善县一模）“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距离：已知P（a，b），Q（c，d）是平面直角坐标系内的两点，我们将|a﹣c|+|b﹣d|称作P，Q间的“L型距离”，记作L（P，Q），即L（P，Q）＝|a﹣c|+|b﹣d|．已知二次函数y1的图象经过平面直角坐标系内的A，B，C三点，其中A，B两点的坐标为A（﹣1，0），B（0，3），点C在直线x＝2上运动，且满足L（B，C）≤BC．（1）求L（A，B）；（2）求抛物线y1的表达式；（3）已知y2＝2tx+1是该坐标系内的一个一次函数．①若D，E是y2＝2tx+1图象上的两个动点，且DE＝5，求△CDE面积的最大值；②当t≤x≤t+3时，若函数y＝y1+y2的最大值与最小值之和为8，求实数t的值．12．（2023•任城区二模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；（3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；13．（2023•姑苏区校级二模）探究阅读题：【阅读】在大自然里，有很多数学的奥秘，一片美丽的心形叶片，一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．（如图1和图2）【探究任务1】确定心形叶片的形状如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式和顶点D的坐标．【探究任务2】研究心形叶片的尺寸如图3，心形叶片的对称轴直线y＝x+2与坐标轴交于A、B两点，直线x＝6分别交抛物线和直线AB于点E、F点，点E、E′是叶片上的一对对称点，EE′交直线AB与点G，求叶片此处的宽度EE′．【探究任务3】研究幼苗叶片的生长小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分．如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究任务1中的二次函数，已知直线PD与水平线的夹角为45°，三天后，点D长到与点P同一水平位置的点D′时，叶尖Q落在射线OP上，如图5所示，求此时幼苗叶子的长度和最大宽度．。
二次函数与等腰三角形
二次函数与等腰三角形分类标准：讨论顶角的位置或者底边的位置例如：请在抛物线上找一点p使得A、B、P三点构成等腰三角形，则可分成以下几种情况（1）当为顶角时，（2）当为顶角时，（3）当为顶角时，1 .如图，抛物线与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AB，点C为线段AB上的一个动点，过点C作y轴的平行线交抛物线于点D，设C点的横坐标为m，线段CD长度为d（d≠0）．求d与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接AD，是否存在m值，使△ACD是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，或或m=1．【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得C、D点坐标，根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得答案；（3）根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据因式分解法解方程，可得答案．【详解】（1）∵A（0，3），B（4，0）∴，解得，∴该抛物线的解析式是（2）设直线AB的解析式为y=kx+b1∵A（0，3），B（4，0）∴，解得∴直线AB的解析式为∵CD∥y轴∴C、D两点的横坐标都为m．在中，当x=m时，∴C（m，）在中，当x=m时，∴D（m，），∴（3）存在．∵A（0，3），B（4，0）∴OA=3，OB=4，过点C作CE⊥y轴于点E，∴CE∥OB，∴△ACE∽△ABO，∴若△ACD是等腰三角形，则分以下情况讨论：①CA=CD时，则整理得解得：m=0或∵C不与A重合，∴m=0舍去∴②DA=DC时，过点D作DH⊥AC于点H，∴AH=HC∵CD∥y轴∴∠DCA=∠OAB，∴cos∠DCA=cos∠OAB，∴，∴，∴5CH=3CD．又∵HC=AC，∴5AC=6CD则整理得解得：m=0或∵C不与A重合，∴m=0舍去∴③AD=AC时同理得m=1综上存在m值，或或m=1使得△ACD是等腰三角形．本题考查二次函数综合问题，利用待定系数法求函数解析式，利用平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标剪较小的纵坐标得出函数解析式，利用等腰三角形的定义得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．2 .我们定义：如图1，在与中，两三角形有公共顶点，所在射线逆时针旋转到所在射线，所在射线逆时针旋转到所在射线，，则我们称与互为“旋补比例三角形”．（1）如图1，与互为旋补比例三角形，时，①________，②___________；（2）如图2，在中，于点，与互为旋补比例三角形，延长至点，使，连结，求证：与互为旋补比例三角形；（3）如图3，在中，，点在轴的正半轴上，，点在第二象限，，抛物线经过点，与轴交点为，(点按逆时针排列)与互为旋补比例三角形，点在抛物线的对称轴上运动，当点构成的三角形是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标．【答案】（1）①；②（2）见解析（3），．【分析】（1）根据题意直接可得出结论；（2）结合旋补比例三角形的定义，找出，即可；（3）结合题意，分析出为等腰直角三角形，在此基础上进行分类讨论，利用“一线三垂直”构造全等，得出结论．【详解】（1）由题意可知：，（2），，和互为旋补比例三角形，，，，，，，，，，与互为旋补比例三角形．（3），，，过作轴于点，，，，经过与，，对称轴为直线，与互为旋补比例三角形，，，，，如图，过点作于点，，，即点与点重合，，即为等腰直角三角形，为以点为顶点的等腰三角形，，，①在轴上方，如图：易证：，，，，，②在轴下方，如图：易证：，，，，综上，，．【点睛】本题考查了对新定义图形的理解与运用，前面两个小题属于较为基础的题型，结合题干中给出的概念，紧紧围绕概念展开证明即可；最后一问还考查了对二次函数解析式的求解，以及与“一线三垂直”模型的综合运用问题，掌握等腰三角形中常考的几何模型是比较关键的．3 .如图，抛物线交轴于点交轴于点，直线经过点．（1）求抛物线的解析式．（2）点是抛物线上一动点，设点的横坐标为．①若点在直线的下方，当的面积最大时，求的值；②若是以为底的等腰三角形，请直接写出的值．【答案】（1）；（2）①的值是-2；②【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可．（2）①由题意得，点的坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，则点的坐标为，用m来表示的面积，再根据二次函数的性质求解即可；②根据，可得，列式求出m的值即可．【详解】解：（1）∵直线交轴于点，交轴于点．∴．∵抛物线经过点，∴∴∴抛物线的解析式为（2）①∵点的横坐标为，∴点的坐标为．如图，过点作轴的垂线交直线于点，则点的坐标为∴∴的面积是∴当的面积最大时，的值是-2．②的值为或．由题可知，，∴解得．【点睛】本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的性质、待定系数法是解题的关键．4 .如图，抛物线与轴相交于两点（点位于点的左侧），与轴相交于点，是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，且点的坐标为．（1）求抛物线的解析式．（2）已知为线段上一个动点，过点作轴于点．若的面积为．①求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②当取得最值时，求点的坐标．（3）在（2）的条件下，在线段上是否存在点，使为等腰三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）①；②当时，取得最大值，此时；（3）存在，点的坐标为或．【解析】【分析】（1）点C坐标代入解析式可求c的值，由对称轴可求b的值，即可求解；（2）①先求出点M，点A，点B的坐标，利用待定系数法可求BM解析式，由三角形的面积公式可求解；②利用二次函数的性质可求解；（3）分三种情况讨论，利用两点距离公式列出方程可求解．【详解】（1）抛物线的对称轴为直线．又抛物线与轴的交点为，抛物线的解析式为．（2）①顶点．设直线的解析式为．将代入，得解得直线的解析式为．轴且，的面积．点在线段上，且，，故与之间的函数关系式为．②，当时，取得最大值；当时，没有最小值．综上，当时，取得最大值，此时（3）存在．当时，，，解得（舍去）或，此时．当时，解得（舍去）或，此时．当时，，，解得或，均不符合题意，舍去．综上所诉，存在点使为等腰三角形，点的坐标为或．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．5 .如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式；（2）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值；（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）E（，﹣）；（3）（2，7）或（2，﹣1+2＝）或（2，﹣1﹣2）或（2，）【解析】【分析】（1）用直线表达式求出点B、C的坐标，将点B、C的坐标代入y＝x2+bx+c，即可求解；（2）S△CBE＝HE×OB＝×3×（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），即可求解；（3）分CM＝CP、CP＝PM、CM＝PM三种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）y＝﹣x+3，令y＝0，则x＝3，令x＝0，则y＝3，故点B、C的坐标为（3，0）、（0，3），将点B、C的坐标代入y＝x2+bx+c并解得：b＝﹣4，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，令y＝0，则x＝1或3，故点A（1，0），点P（2，﹣1）；（2）过点E作EH∥y轴交BC于点H，设点E（x，x2﹣4x+3），则点H（x，﹣x+3）S＝HE×OB＝×3×（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），△CBE∵﹣＜0，当x＝时，S△CBE有最大值，点E（，﹣）；（3）点C（0，3）、点P（2，﹣1），设点M（2，m），CP2＝4+16＝20，CM2＝4+（m﹣3）2＝m2﹣6m+13，PM2＝m2+2m+1，①当CM＝CP时，20＝m2﹣6m+13，解得：m＝7或﹣1（舍去m＝﹣1）；②当CP＝PM时，同理可得：m＝﹣1±2；③当CM＝PM时，同理可得：m＝；故点M坐标为：（2，7）或（2，﹣1+2＝）或（2，﹣1﹣2）或（2，）．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．6 .如图，菱形ABCD在平面直角坐标系中，边AB在x轴负半轴上，点C在y轴的正半轴上，AB=10．，抛物线经过点B，C，D．(1)求抛物线的解析式：(2)若直线EF与BC平行，与同物线只有一个交点，求直线EF的解析式；(3)抛物线对称轴上是否存在点P，使三角形PBC是以BC为腰的等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在，P点坐标为或或或【解析】【分析】（1）由菱形对边平行、邻边相等的性质，解得，再由锐角三角函数及勾股定理解得OB、OC的长，进而得到点B、C、D的坐标，利用待定系数法求得二次函数的解析式；（2）用待定系数法求直线的解析式，再根据两直线平行，斜率k相等的性质，设直线EF的解析式为y=x+，根据直线EF与抛物线只有一个交点，联立直线与抛物线两个解析式方程，可知该方程的根的判别式为0，据此解出t即可解题；（3）将抛物线解析式配方成顶点式，解出对称轴方程，三角形PBC是以BC为腰的等腰三角形，则分两种情况讨论：①如果CP=CB，②如果BP=BC，据此解题．【详解】解：(1)因为四边形ABCD是菱形，所以AD BC，BC=AB=10．又因为在直角三角形OCB中，OC²+OB²=BC，即解得OB=6(负值已舍去）所以OC=8所以B(-6，0)，C(0，8)，D(-10，8)．设抛物线的解析式为，·因为抛物线经过点B，C，D，解得，所以抛物线的解析式为(2)设直线BC的解析式为y=mx+n，将B，C点代入上式，得解得因为EF BC，设直线EF的解析式为y=x+．又因为直线EF与抛物线只有一个交点，所以只有一个解，，解得t=5．设直线EF解析式为y=x+5（3）抛物线的解析式为所以抛物线的对称方程为x=-5设抛物线的对称轴上存在点P(-5，y)，使△PBC是以BC为腰的等腰三角形．由（1）知B(-6，0)，C(0，8)，BC=10．分两种情况：①如果CP=CB，那么，解得②如果BP=BC，那么解得．所以抛物线的对称轴上存在点P，使△PBC是以BC为腰的等腰三角形，此时P点坐标为或或)或．【点睛】本题考查二次函数综合，其中涉及菱形的性质、锐角三角函数、勾股定理、待定系数法解二次函数解析式、一次函数解析式、一元二次方程根的判别式、等腰三角形的性质、分类讨论思想等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．7 .如图，二次函数的图象与轴交于，，与轴交于点．若点，同时从点出发，都以每秒个单位长度的速度分别沿，边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．（1）直接写出二次函数的解析式；（2）当，运动到秒时，将△APQ沿翻折，若点恰好落在抛物线上点处，求出点坐标；（3）当点运动到点时，点停止运动，这时，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形为等腰三角形?若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在满足条件的点，点的坐标为或或或．【解析】【分析】（1）将A，B点坐标代入函数中，求得b、c，进而即可求得解析式；（2）根据题意，D点关于PQ与A点对称，过点Q作于F，先证明四边形是菱形，再结合三角形相似以及设进行求解即可得解；（3）等腰三角形有三种情况，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ，借助垂直平分线，画圆易得E大致位置，设边长为x，表示其他边后利用勾股定理易得E坐标．【详解】（1）将，代入，求得，∴；（2）如图，D点关于PQ与A点对称，过点Q作于∵，，∴∴四边形为菱形∵∴∴∴，∴∵∴∵D在二次函数上∴∴，或（舍去）∴；（3）存在满足条件的点E，点E的坐标为或或或如上图，过点Q作于D，此时∵，，，∴，，∴，∵∴∴∴，；①如下图，作AQ的垂直平分线，交AQ于E此时，即为等腰三角形设，则，∴在中，，解得∴∴；②如下图，以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E此时∵∴∴∴；③当时1）当E在A点左边时∵∴2）当E在A点右边时∵∴；综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为或或或．【点睛】本题主要考查了二次函数的几何综合，熟练掌握二次函数的相关性质及几何综合求解方法是解决本题的关键.8 .如图，抛物线的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D．（1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）D的坐标是（1，﹣4），对称轴是直线x=1；（3）P（1，）或（1，）或（1，）或（1，4）．【解析】试题分析：（1）根据抛物线的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），可以求得抛物线的解析式；（2）根据（1）中的解析式化为顶点式，即可得到此抛物线顶点D的坐标和对称轴；（3）首先写出存在，然后运用分类讨论的数学思想分别求出各种情况下点P的坐标即可．试题解析：（1）∵抛物线的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），∴，解得：，即此抛物线的解析式是；（2）∵=，∴此抛物线顶点D的坐标是（1，﹣4），对称轴是直线x=1；（3）存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，设点P的坐标为（1，y），分三种情况讨论：①当PA=PD时=，解得，y=，即点P的坐标为（1，）；②当DA=DP时，=，解得，y=，即点P的坐标为（1，）或（1，）；③当AD=AP时，=，解得，y=±4，即点P 的坐标是（1，4）或（1，﹣4），当点P为（1，﹣4）时与点D重合，故不符合题意．由上可得，以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（1，）或（1，）或（1，）或（1，4）．考点：二次函数综合题；存在型；分类讨论；综合题．9 .如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；(2)点是抛物线上、之间的一点，过点作轴于点，轴，交抛物线于点，过点作轴于点，当矩形的周长最大时，求点的横坐标；(3)如图2，连接、，点在线段上(不与、重合)，作，交线段于点，是否存在这样点，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；；(2)点的横坐标为；(3)AN=1或.【解析】【分析】(1)根据和点可得抛物线的表达式为，可知对称轴为x=-2，代入解析式即可得出顶点坐标；(2)设点，则，，可得矩形的周长，即可求解；(3)由D为顶点，A、B为抛物线与x轴的交点可得AD=BD，即可证明∠DAB=∠DBA，根据，利用角的和差关系可得，即可证明，可得；分、、，三种情况分别求解即可．【详解】(1)∵抛物线经过点和点．∴抛物线的表达式为：，∴对称轴为：x==-2，把x=-2代入得：y=4，∴顶点.(2)设点，则，，矩形的周长，∵，∴当时，矩形周长最大，此时，点的横坐标为.(3)∵点D为抛物线顶点，A、B为抛物线与x轴的交点，∴AD=BD，∴∠DAB=∠DBA，∵，，，∴，∴，∴，∵D（-2，4），A（-5，0），B（1，0）∴，，①当时，∵∠NAM=∠MBD，∠NMA=∠MBD，∴，∴，∴=AB-AM=1；②当时，则，∵∠DMN=∠DBA，∴∠NDM=∠DBA，∵∠DAB是公共角，∴，∴，∴，即：，∴，∵，即，∴；③当时，∵，而，∴，∴；综上所述：或．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似和全等、等腰三角形性质等知识点，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．10 .如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过B，C两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P 作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当时，求t的值；（3）如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值．【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）t的值为；（3）当△PDM是等腰三角形时，t＝1或t＝﹣1．【解析】【分析】（1）求直线y=-x+4与x轴交点B，与y轴交点C，用待定系数法即求得抛物线解析式．（2）根据点B、C坐标求得∠OBC=45°，又PE⊥x轴于点E，得到△PEB是等腰直角三角形，由t求得BE=PE=t，即可用t表示各线段，得到点M的横坐标，进而用m表示点M纵坐标，求得MP的长．根据MP∥CN可证，故有，把用t表示的MP、NC代入即得到关于t的方程，求解即得到t的值．（3）因为不确定等腰△PDM的底和腰，故需分3种情况讨论：①若MD=MP，则∠MDP=∠MPD=45°，故有∠DMP=90°，不合题意；②若DM=DP，则∠DMP=∠MPD=45°，进而得AE=ME，把含t的式子代入并解方程即可；③若MP=DP，则∠PMD=∠PDM，由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得∠CFD=∠PMD=∠PDM=∠CDF进而得CF=CD．用t表示M的坐标，求直线AM解析式，求得AM与y轴交点F的坐标，即能用t表示CF的长．把直线AM与直线BC解析式联立方程组，解得x的值即为点D横坐标．过D作y轴垂线段DG，得等腰直角△CDG，用DG即点D横坐标，进而可用t表示CD的长．把含t的式子代入CF=CD，解方程即得到t的值．【详解】（1）直线y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4∴C（0，4）当y＝﹣x+4＝0时，解得：x＝4∴B（4，0）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点∴解得：∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4（2）∵B（4，0），C（0，4），∠BOC＝90°∴OB＝OC∴∠OBC＝∠OCB＝45°∵ME⊥x轴于点E，PB＝t∴∠BEP＝90°∴Rt△BEP中，∴，∴∵点M在抛物线上∴，∴，∵PN⊥y轴于点N∴∠PNO＝∠NOE＝∠PEO＝90°∴四边形ONPE是矩形∴ON＝PE＝t∴NC＝OC﹣ON＝4﹣t∵MP∥CN∴△MPQ∽△NCQ∴∴解得：（点P不与点C重合，故舍去）∴t的值为（3）∵∠PEB＝90°，BE＝PE∴∠BPE＝∠PBE＝45°∴∠MPD＝∠BPE＝45°①若MD＝MP，则∠MDP＝∠MPD＝45°∴∠DMP＝90°，即DM∥x轴，与题意矛盾②若DM＝DP，则∠DMP＝∠MPD＝45°∵∠AEM＝90°∴AE＝ME∵y＝﹣x2+3x+4＝0时，解得：x1＝﹣1，x2＝4∴A（﹣1，0）∵由（2）得，x M＝4﹣t，ME＝y M＝﹣t2+5t∴AE＝4﹣t﹣（﹣1）＝5﹣t∴5﹣t＝﹣t2+5t解得：t1＝1，t2＝5（0＜t＜4，舍去）③若MP＝DP，则∠PMD＝∠PDM如图，记AM与y轴交点为F，过点D作DG⊥y轴于点G∴∠CFD＝∠PMD＝∠PDM＝∠CDF∴CF＝CD∵A（﹣1，0），M（4﹣t，﹣t2+5t），设直线AM解析式为y＝ax+m∴解得：，∴直线AM：∴F（0，t）∴CF＝OC﹣OF＝4﹣t∵tx+t＝﹣x+4，解得：，∴，∵∠CGD＝90°，∠DCG＝45°∴，∴解得：综上所述，当△PDM是等腰三角形时，t＝1或．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解二元一次方程组和一元二次方程，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的分类讨论，要充分利用等腰的性质作为列方程的依据．。
二次函数拔高综合题全集（含答案）
1、二次函数和等腰三角形：(2008重庆)已知：如图，抛物线)0(22¹+-=a c ax ax y 与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A 、B ，点A 的坐标为（4，0）。
（1）求该抛物线的解析式；）求该抛物线的解析式； （2）点Q 是线段AB 上的动点，过点Q 作QE ∥AC ，交BC 于点E ，连接CQ 。
当△CQE 的面积最大时，求点Q 的坐标；的坐标；（3）若平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P ，与直线AC 交于点F ，点D 的坐标为（2，0）。
问：是否存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
的坐标；若不存在，请说明理由。
．解：（1）由题意，得01684a a c c =-+ìí=î，．···································································· （1分）分）解得124a c ì=-ïíï=î，． ················································································································ （2分）分） \所求抛物线的解析式为：2142y x x =-++． ························································ （3分）分） （2）设点Q 的坐标为(0)m ，，过点E 作EG x ^轴于点G ． 由21402x x -++=，得12x =-，24x =． \点B 的坐标为(20)-，． ······························································································ （4分）分） 6AB \=，2BQ m =+．QE AC ∥，BQE BAC \△∽△．EG BQCO BA\=， 即246EG m +=．243m EG +\=． ············· （5分）分） CQECBQEBQ S S S\=-△△△YXECA DQBO28题图题图1122BQ CO BQ EG =- 124(2)423m m +æö=+-ç÷èø 2128333m m =-++··························· （6分）分） 21(1)33m =--+．又24m -≤≤，\当1m =时，CQE S △有最大值3，此时(10)Q ，． ······················································· （7分）分） （3）存在．）存在．在ODF △中．中． （ⅰ）若DO DF =，(40)(20)A D ，，，，2AD OD DF \===．又在Rt AOC △中，4OA OC ==，45OAC \Ð=．45DFA OAC \Ð=Ð=．90ADF \Ð=．此时，点F 的坐标为(22)，． 由21422x x -++=，得115x =+，215x =-． 此时，点P 的坐标为：(152)P +，或(152)P -，． ················································· （8分）分） （ⅱ）若FO FD =，过点F 作FM x ^轴于点M ， 由等腰三角形的性质得：112OM OD ==，3AM \=， \在等腰直角AMF △中，3MF AM ==．(13)F \，． 由21432x x -++=，得113x =+，213x =-．此时，点P 的坐标为：(133)P +，或(133)P -，． ················································· （9分）分）（ⅲ）若OD OF =，4OA OC ==，且9042AOC AC Ð=\=，，\点O 到AC 的距离为22，而222OF OD ==<，此时，不存在这样的直线l ，使得ODF △是等腰三角形．是等腰三角形． ······································ （10分）分）综上所述，存在这样的直线l ，使得ODF △是等腰三角形．所求点P 的坐标为：的坐标为：(152)P +，或(152)P -，或(133)P +，或(133)P -，2. 二次函数和矩形、等腰三角形：如图19-1，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，5OA =，4OC =．（1）在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D E ，两点的坐标；两点的坐标；（2）如图19-2，若AE 上有一动点P （不与A E ，重合）自A 点沿AE 方向向E 点匀速运动，速运动，运动的速度为每秒运动的速度为每秒1个单位长度，个单位长度，设运动的时间为设运动的时间为t 秒（05t <<），过P 点作ED 的平行线交AD 于点M ，过点M 作AE 的平行线交DE 于点N ．求四边形PMNE 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；当t 取何值时，S 有最大值？最大值是多少？有最大值？最大值是多少？ （3）在（2）的条件下，当t 为何值时，以A M E ，，为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M 的坐标．的坐标．解：（1）依题意可知，折痕AD 是四边形OAED 的对称轴，的对称轴，\在Rt ABE △中，5AE AO ==，4AB =．2222543BE AE AB \=-=-=．2CE \=．E \点坐标为（2，4）． ································································································· 2分 在Rt DCE △中，222DC CE DE +=， 又DE OD =．222(4)2OD OD \-+= ． 解得：52CD =．D \点坐标为502æöç÷èø，······································································································· 3分 （2）如图①PM ED ∥，APM AED \△∽△．PM AP ED AE \=，又知AP t =，52ED =，5AE = 5522t tPM \=´=， 又5PE t =-． 而显然四边形PMNE 为矩形．为矩形．215(5)222PMNEtS PM PE t t t\==´-=-+矩形 ························································· 5分 21525228PMNES t æö\=--+ç÷èø四边形，又5052<<\当52t =时，PMNE S 矩形有最大值258． ········································································ 6分 （3）（i ）若以AE 为等腰三角形的底，则ME MA =（如图①）（如图①）在Rt AED △中，ME MA =，PM AE ^，P \为AE 的中点，的中点， 1522t AP AE \===．yx B C O AD E 图5-1 y x BC OADE 图5-2 PMNyxB C OADE P M NF又PM ED ∥，M \为AD 的中点．的中点．过点M 作MF OA ^，垂足为F ，则MF 是OAD △的中位线，的中位线，1524MF OD \==，1522OF OA ==，\当52t =时，5052æö<<ç÷èø，AME △为等腰三角形．此时M 点坐标为5524æöç÷èø，． · 8分 （ii ）若以AE 为等腰三角形的腰，则5AM AE ==（如图②）（如图②）在Rt AOD △中，2222555522AD OD AO æö=+=+=ç÷èø． 过点M 作MF OA ^，垂足为F ．PM ED ∥，APM AED \△∽△． AP AMAE AD\=． 5525552AM AE t AP AD´\====，152PM t \==． 5MF MP \==，525OF OA AF OA AP =-=-=-，\当25t =时，（0255<<），此时M 点坐标为(5255)-，． ····················· 11分 综合（i ）（ii ）可知，52t =或25t =时，以A M E ，，为顶点的三角形为等腰三角形，相应M 点的坐标为5524æöç÷èø，或(5255)-，．3、二次函数和梯形：（2009临沂）如图，已知抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）。
二次函数中的等腰直角三角形问题
二次函数中的等腰直角三角形问题1.如图，抛物线$y=ax^2+bx+2$交$x$轴于点$A(-3,0)$和点$B(1,0)$，交$y$轴于点$C$。
1) 求这个抛物线的函数表达式。
2) 点$D$的坐标为$(-1,0)$，点$P$为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形$ADCP$面积的最大值。
3) 点$M$为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点$N$，使$\triangle MNO$为等腰直角三角形，且$\angle MNO$为直角？若存在，请直接写出点$N$的坐标；若不存在，请说明理由。
2.如图，抛物线$y=ax^2+bx+3$与坐标轴分别交于点$A(-3,0)$，$B(1,0)$，$C$，点$P$是线段$AB$上方抛物线上的一个动点。
1) 求抛物线解析式。
2) 当点$P$运动到什么位置时，$\triangle PAB$的面积最大？3) 过点$P$作$x$轴的垂线，交线段$AB$于点$D$，再过点$P$作$PE\parallel x$轴交抛物线于点$E$，连接$DE$，请问是否存在点$P$使$\triangle PDE$为等腰直角三角形？若存在，求点$P$的坐标；若不存在，说明理由。
3.二次函数$y=ax^2+bx+2$的图象交$x$轴于点$(-1,0)$，$B(4,0)$两点，交$y$轴于点$C$。
动点$M$从点$A$出发，以每秒$2$个单位长度的速度沿$AB$方向运动，过点$M$作$MN\perp x$轴交直线$BC$于点$N$，交抛物线于点$D$，连接$AC$，设运动的时间为$t$秒。
1) 求二次函数$y=ax^2+bx+2$的表达式。
2) 连接$BD$，当$t=1$时，求$\triangle DNB$的面积。
3) 在直线$MN$上存在一点$P$，当$\triangle PBC$是以$\angle BPC$为直角的等腰直角三角形时，求此时点$D$的坐标。
4) 当$t=2$时，在直线$MN$上存在一点$Q$，使得$\angle AQC+\angle OAC=90^\circ$，求点$Q$的坐标。
等腰直角三角形与二次函数综合
等腰直角三角形与二次函数综合等腰直角三角形与二次函数综合：一、等腰直角三角形的概念1、定义：等腰直角三角形是指有三条直角的三角形，三角形的三条边都是相等的，角度分别为90°、45°、45°。
2、构造：等腰直角三角形一般都用穿孔牌、直尺和圆规，先将所要构造等腰三角形的直角点标定在牌上，再用直尺在其它两点上把水平线和斜线各画出一条，之后再穿孔后，在孔上接上转角尺，将它的测好的角度画出来，就可以得到等腰直角三角形了。
3、性质：两边相等，另一边90°；任意一内角为45°；外接圆为半圆；中央角度是钝角；其角平分线两根等长；边长比其他边和它的半周长的比值为2：1；高等于底；腰等于斜边。
二、二次函数的概念1、定义：二次函数指的是一元二次方程。
它由一个变量的一次、二次项和一个不定系数组成。
2、标准式：二次函数的标准式为：y=ax^2+bx+c3、图像：直线、曲线，如抛物线、圆、双曲线等。
三、等腰直角三角形与二次函数的综合1、应用实例：当等腰直角三角形的高就等于该等腰三角形对应的二次函数y=ax^2+bx+c的变量x时，那么可以写成 a*x^2+b*x+c=x,代入后会得出a+b=1、2c=1-b，这样就可以求出这个二次函数的解。
2、绘制及特性：等腰直角三角形与二次函数的综合，给出了一个由等腰直角三角形组成的二次函数图像，表现为y轴和x轴之间的一个对称曲线，抛物线可分为上凸曲线和下凹曲线，其中上凸曲线的二次项为正，下凹曲线的二次项为负，曲线的性质也不相同，其实现实中一般都是上凸曲线。
3、在实际应用中，等腰直角三角形和二次函数都被广泛应用于数学、物理和技术等诸多领域，如计算力学中的运动、电力学中的容性模型、工程设计中的三维运动等，还有各种求解运动轨迹的场合也会使用到等腰直角三角形和二次函数的综合。
二次函数综合题——等腰三角形
二次函数综合题——等腰三角形假设我们要解决的问题是：已知一个等腰三角形的顶角是60度，底边长为10cm，求这个等腰三角形的面积。
首先，我们要找到这个等腰三角形的高。
由于等腰三角形的两个底角相等，且和为180度，所以每个底角都是(180-60)/2=60度。
因此，这个等腰三角形可以看作是一个以底边为底，两腰边等长，且夹角为60度的三角形。
接下来，我们用二次函数来描述这个等腰三角形的两腰边的关系。
设等腰三角形的两腰边的长度分别为x和y，则根据三角恒等式，我们可以得到以下关系：x^2=y^2+(10/2)^2x=y将第一个等式代入第二个等式，得到：y^2=y^2+250=25这个等式无解，意味着我们的假设不成立，这个等腰三角形不存在。
所以，我们无法求出这个等腰三角形的面积。
但是，我们可以继续讨论二次函数和等腰三角形的关系。
假设我们要求的是一个更一般的等腰三角形，顶角为θ，底边长为a。
同样地，我们可以找到等腰三角形的高，设为h。
由于等腰三角形的两个底角相等，且和为180度，所以每个底角都是(180-θ)/2=θ/2度。
因此，这个等腰三角形可以看作是一个以底边为底，两腰边等长，且夹角为θ/2度的三角形。
同样地，我们用二次函数来描述这个等腰三角形的两腰边的关系。
设等腰三角形的两腰边的长度分别为x和y，则根据三角恒等式，我们可以得到以下关系：x^2=y^2+(a/2)^2x=y将第一个等式代入第二个等式，得到：y^2=y^2+a^2/40=a^2/4这个等式只有一个解y=0，意味着当底边长为0时，等腰三角形不存在。
所以，我们不能得到一个退化的等腰三角形（即底边长为0）的面积。
综上所述，要求一个等腰三角形的面积，我们需要确保它存在。
当顶角为60度时，底边长为10cm的等腰三角形不存在，因此我们无法求出这个等腰三角形的面积。
但是，我们可以在一般情况下求解等腰三角形的面积。
当我们已知等腰三角形的底边长a和顶角θ时，可以根据等腰三角形的性质，将底边平分找到等腰三角形的高，再利用三角形的面积公式求解。
中考二次函数专题13函数与等腰三角形综合问题(学生版)
专题13函数与等腰三角形综合问题【例1】在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C．（1）求抛物线的对称轴；（2）当△ABC为等边三角形时，求a的值；（3）直线l：y＝kx+b经过点A，并与抛物线交于另一点D（4，3），点P为直线l下方抛物线上一点，过点P分别作PM∥y轴交直线l于点M，PN∥x轴交直线l于点N，记W＝PM+PN，求W的最大值．【例2】．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与轴交于C（0，﹣1）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接AC，BC，过O点的直线l∥BC，点E，D分别为直线l和抛物线上的点，试探究第一象限是否存在这样的点E，D，使△BDE为等腰直角三角形？若存在，请求出所有的E点的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（﹣1，0），连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．（1）求b、c的值．（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【例4】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．【例5】如图1，平面直角坐标系xOy中，A（4，3），反比例函数y=kx（k＞0）的图象分别交矩形ABOC的两边AC，AB于E、F两点（E、F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠使A、D两点重合．（1）AE＝（用含有k的代数式表示）；（2）如图2，当点D恰好落在矩形ABOC的对角线BC上时，求CE的长度；（3）若折叠后，△ABD是等腰三角形，求此时点D的坐标．1．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（4，﹣4），B（﹣2，m），交y轴于点C（0，﹣4）．直线BO与抛物线相交于另一点D，连接AB，AD，点E是线段AB上的一动点，过点E作EF∥BD交AD于点F．（1）求二次函数y＝x2+bx+c的表达式；（2）判断△ABD的形状，并说明理由；（3）在点E的运动过程中，直线BD上存在一点G，使得四边形AFGE为矩形，请判断此时AG与BD 的数量关系，并求出点E的坐标；（4）点H是抛物线的顶点，在（3）的条件下，点P是平面内使得∠EPF＝90°的点，在抛物线的对称轴上，是否存在点Q，使得△HPQ是以∠PQH为直角的等腰直角三角形，若存在，直接写出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．在x轴上有一动点E （m，0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式及C点坐标；（2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；（3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1＝2S2，求m的值．3．如图，已知抛物线y＝a（x+6）（x﹣2）过点C（0，2），交x轴于点A和点B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为D，对称轴DE交x轴于点E，连接EC．（1）直接写出a的值，点A的坐标和抛物线对称轴的表达式；（2）若点M是抛物线对称轴DE上的点，当△MCE是等腰三角形时，求点M的坐标；（3）点P是抛物线上的动点，连接PC，PE，将△PCE沿CE所在的直线对折，点P落在坐标平面内的点P′处．求当点P′恰好落在直线AD上时点P的横坐标．4．如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线F1：y＝a（x﹣）2+与x轴交于点A（﹣，0）和点B，与y轴交于点C．（1）求抛物线F1的表达式；（2）如图2，将抛物线F1先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线F2，若抛物线F1与抛物线F2相交于点D，连接BD，CD，BC．①求点D的坐标；②判断△BCD的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，抛物线F2上是否存在点P，使得△BDP为等腰直角三角形，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线y＝x2﹣x﹣与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，经过点C的直线l与抛物线交于另一点E（4，a），抛物线的顶点为点Q，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求直线CE的解析式．（2）如图2，P为直线CE下方抛物线上一动点，直线CE与x轴交于点F，连接PF，PC．当△PCF的面积最大时，求点P的坐标及△PCF面积的最大值．（3）如图3，连接CD，将（1）中抛物线沿射线CD平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点H，在直线QH上是否存在点G，使得△DQG为等腰三角形？若存在，求出点G的坐标．6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G作GF⊥x轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；（3）如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在第二象限内，且PE＝OD，求△PBE的面积．（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．（1）求A、B两点的横坐标；（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．9．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y 轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点Q．（1）如图1，连接AC，BC．若点P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴交BC于点E，作PF⊥BC于点F，过点B作BG∥AC交y轴于点G．点H，K分别在对称轴和y轴上运动，连接PH，HK．当△PEF的周长最大时，求PH+HK+KG的最小值及点H的坐标．（2）如图2，将抛物线沿射线AC方向平移，当抛物线经过原点O时停止平移，此时抛物线顶点记为D′，N为直线DQ上一点，连接点D′，C，N，△D′CN能否构成等腰三角形？若能，直接写出满足条件的点N的坐标；若不能，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B 三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标；②当△OPC为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．11．如图，开口向上的抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且AC⊥BC，其中x1，x2是方程x2+3x﹣4＝0的两个根．（1）求点C的坐标，并求出抛物线的表达式；（2）垂直于线段BC的直线l交x轴于点D，交线段BC于点E，连接CD，求△CDE的面积的最大值及此时点D的坐标；（3）在（2）的结论下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PDE是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．12．抛物线y ＝ax 2+bx +3过点A （﹣1，0），点B （3，0），顶点为C ．（1）求抛物线的表达式及点C 的坐标；（2）如图1，点P 在抛物线上，连接CP 并延长交x 轴于点D ，连接AC ，若△DAC 是以AC 为底的等腰三角形，求点P 的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点E 是线段AC 上（与点A ，C 不重合）的动点，连接PE ，作∠PEF ＝∠CAB ，边EF 交x 轴于点F ，设点F 的横坐标为m ，求m 的取值范围．13．如图，直线y ＝﹣x +4与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过B ，C 两点，与x 轴另一交点为A ．点P 以每秒√2个单位长度的速度在线段BC 上由点B 向点C 运动（点P 不与点B 和点C 重合），设运动时间为t 秒，过点P 作x 轴垂线交x 轴于点E ，交抛物线于点M ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，过点P 作y 轴垂线交y 轴于点N ，连接MN 交BC 于点Q ，当MQ NQ =12时，求t 的值； （3）如图②，连接AM 交BC 于点D ，当△PDM 是等腰三角形时，直接写出t 的值．14．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN 有最大值，最大值是多少？15．如图，在直角坐标系xOy中，反比例函数y=1x（x＞0）的图象与直线y＝kx+b交于点A（m，2）、B（4，n）．连接OA、OB．（1）求直线y＝kx+b的解析式；（2）若点C是y轴上的点，当△AOC为等腰三角形时，请直接写出点C的坐标；（3）求△AOB的面积．16．在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，2），动点P在y=√33x的图象上运动（不与O重合），连接AP．过点P作PQ⊥AP，交x轴于点Q，连接AQ．（1）求线段AP长度的取值范围；（2）试问：点P运动的过程中，∠QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．（3）当△OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标．17．已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（﹣2，0）和C（0，94），与x轴交于另一点B，顶点为D．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠A，则△DEF能否为等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；（3）若点P在抛物线上，且S△PBDS△CBD=m，试确定满足条件的点P的个数．18．如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．（1）求A、B两点的横坐标；（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．19．如图：一次函数y=−34x+3的图象与坐标轴交于A、B两点，点P是函数y=−34x+3（0＜x＜4）图象上任意一点，过点P作PM⊥y轴于点M，连接OP．（1）当AP为何值时，△OPM的面积最大？并求出最大值；（2）当△BOP为等腰三角形时，试确定点P的坐标．20．已知一次函数y＝﹣3x+3的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C（3，0）．（1）如图1，点D与点C关于y轴对称，点E在线段BC上且到两坐标轴的距离相等，连接DE，交y 轴于点F．①求点E的坐标；②△AOB与△FOD是否全等，请说明理由；（2）如图2，点G与点B关于x轴对称，点P在直线GC上，若△ABP是等腰三角形，直接写出点P 的坐标．。
二次函数拔高综合题全集(含答案)
1、二次函数和等腰三角形：(2008重庆)已知：如图，抛物线)0(22≠+-=a c ax ax y 与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A 、B ，点A 的坐标为（4，0）。
（1）求该抛物线的解析式； （2）点Q 是线段AB 上的动点，过点Q 作QE ∥AC ，交BC 于点E ，连接CQ 。
当△CQE 的面积最大时，求点Q 的坐标；（3）若平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P ，与直线AC 交于点F ，点D 的坐标为（2，0）。
问：是否存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
．解：（1）由题意，得01684a a c c =-+⎧⎨=⎩，．···································································· （1分）解得124a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，．················································································································ （2分） ∴所求抛物线的解析式为：2142y x x =-++． ························································ （3分） （2）设点Q 的坐标为(0)m ，，过点E 作EG x ⊥轴于点G ． 由21402x x -++=，得12x =-，24x =． ∴点B 的坐标为(20)-，． ······························································································ （4分） 6AB ∴=，2BQ m =+．QE AC ∥，BQE BAC ∴△∽△．EG BQCO BA∴=， 即246EG m +=．243m EG +∴=． ············· （5分） CQE CBQ EBQ S S S ∴=-△△△YXE CA D QB O28题图1122BQ CO BQ EG =- 124(2)423m m +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 2128333m m =-++ ··························· （6分）21(1)33m =--+．又24m - ≤≤，∴当1m =时，CQE S △有最大值3，此时(10)Q ，． ······················································· （7分） （3）存在．在ODF △中．（ⅰ）若DO DF =，(40)(20)A D ，，，，2AD OD DF ∴===． 又在Rt AOC △中，4OA OC ==，45OAC ∴∠= ．45DFA OAC ∴∠=∠=．90ADF ∴∠= ．此时，点F 的坐标为(22)，．由21422x x -++=，得115x =+，215x =-． 此时，点P 的坐标为：(152)P +，或(152)P -，． ················································· （8分） （ⅱ）若FO FD =，过点F 作FM x ⊥轴于点M ， 由等腰三角形的性质得：112OM OD ==，3AM ∴=， ∴在等腰直角AMF △中，3MF AM ==．(13)F ∴，． 由21432x x -++=，得113x =+，213x =-． 此时，点P 的坐标为：(133)P +，或(133)P -，． ·················································· （9分） （ⅲ）若OD OF =，4OA OC == ，且9042AOC AC ∠=∴=，， ∴点O 到AC 的距离为22，而222OF OD ==<，此时，不存在这样的直线l ，使得ODF △是等腰三角形． ······································ （10分）综上所述，存在这样的直线l ，使得ODF △是等腰三角形．所求点P 的坐标为：(152)P +，或(152)P -，或(133)P +，或(133)P -，2. 二次函数和矩形、等腰三角形：如图19-1，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，5OA =，4OC =．（1）在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D E ，两点的坐标；（2）如图19-2，若AE 上有一动点P （不与A E ，重合）自A 点沿AE 方向向E 点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t 秒（05t <<），过P 点作ED 的平行线交AD 于点M ，过点M 作AE 的平行线交DE 于点N ．求四边形PMNE 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；当t 取何值时，S 有最大值？最大值是多少？ （3）在（2）的条件下，当t 为何值时，以A M E ，，为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M 的坐标．解：（1）依题意可知，折痕AD 是四边形OAED 的对称轴，∴在Rt ABE △中，5AE AO ==，4AB =．2222543BE AE AB ∴=-=-=．2CE ∴=．E ∴点坐标为（2，4）． ·································································································· 2分在Rt DCE △中，222DC CE DE +=， 又DE OD = ．222(4)2OD OD ∴-+= ． 解得：52CD =． D ∴点坐标为502⎛⎫⎪⎝⎭， ······································································································· 3分（2）如图①PM ED ∥，APM AED ∴△∽△．PM APED AE∴=，又知AP t =，52ED =，5AE =5522t tPM ∴=⨯=， 又5PE t =- ．而显然四边形PMNE 为矩形．215(5)222PMNE t S PM PE t t t ∴==⨯-=-+ 矩形 ························································· 5分21525228PMNES t ⎛⎫∴=--+ ⎪⎝⎭四边形，又5052<<∴当52t =时，PMNE S 矩形有最大值258． ········································································ 6分 （3）（i ）若以AE 为等腰三角形的底，则ME MA =（如图①）在Rt AED △中，ME MA =，PM AE ⊥ ，P ∴为AE 的中点， 1522t AP AE ∴===．y x B C O AD E 图5-1yxBC OA DE 图5-2PMNyxB C O ADE图①P M NF又PM ED ∥，M ∴为AD 的中点．过点M 作MF OA ⊥，垂足为F ，则MF 是OAD △的中位线，1524MF OD ∴==，1522OF OA ==，∴当52t =时，5052⎛⎫<< ⎪⎝⎭，AME △为等腰三角形．此时M 点坐标为5524⎛⎫ ⎪⎝⎭，． · 8分 （ii ）若以AE 为等腰三角形的腰，则5AM AE ==（如图②）在Rt AOD △中，2222555522AD OD AO ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭． 过点M 作MF OA ⊥，垂足为F ．PM ED ∥，APM AED ∴△∽△．AP AMAE AD∴=． 5525552AM AE t AP AD ⨯∴==== ，152PM t ∴==．5MF MP ∴==，525OF OA AF OA AP =-=-=-，∴当25t =时，（0255<<），此时M 点坐标为(5255)-，． ····················· 11分 综合（i ）（ii ）可知，52t =或25t =时，以A M E ，，为顶点的三角形为等腰三角形，相应M 点的坐标为5524⎛⎫ ⎪⎝⎭，或(5255)-，．3、二次函数和梯形：（2009临沂）如图，已知抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）。
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专题：二次函数与三角形综合
1.与等腰三角形综合
例1如图，抛物线y=ax2-5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在
x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式；
（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是
等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．
例2在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（-1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax-2经过点B．
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角
边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2.与直角三角形综合
例3如图，已知直线
1
1
2
y x
=+与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线2
1
2
y x bx c
=++与直线交于
A、E两点，与x轴交于
B、C两点，且B点坐标为（1，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标；
（3）若点Q在抛物线上，且△CEQ为直角三角形，请直接写出Q的坐标；
（4）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM-MC|的值最大，求出点M的坐标．
例4如图（1），在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+8ax+16a+6经过点B（0，4）．（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，过点D、B作直线交x轴于点A，点C在抛物线的对称轴上，且C点的纵坐标为-4，连接BC、AC．求证：△ABC是等腰直角三角形；
（3）在（2）的条件下，将直线DB沿y轴向下平移，平移后的直线记为l，直线l 与x轴、y轴分别交于点A′、B′，是否存在直线l，使△A′B′C是直角三角形，若存在求出l的解析式，若不存在，请说明理由．
3.与相似三角形综合
例5已知：如图，二次函数图象的顶点坐标为C （1，-2），直线y=kx+m 的图象与该二次函数的图象交于
A 、
B 两点，其中A 点坐标为（3，0），B 点在y 轴上．点P 为线段AB 上的一个动点（点P 与点A 、B 不重合），过点P 且垂直于x 轴的直线与这个二次函数的图象交于点E ．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设点P 的横坐标为x ，求线段PE 的长（用含x 的代数式表示）；
（3）点D 为直线AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，若以点P 、
E 、D 为顶点的三角形与△AOB 相似，请求出P 点的坐标．
例6已知：如图，抛物线y=ax 2+bx-2交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，OC=OA ，△ABC 的面积为2．
（1）求抛物线的解析式；
（2） 若平行于x 轴的动直线DE 从点C 开始，以每秒1个单位的速度沿y 轴正方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于点E 、点D ，同时动点P 从点B 出发，在线段OB 上 以每秒2个单位的速度向原点O 运动．当点P 运动到点O 时，直线DE 与点P 都停止运动．连接DP ，设点P 的运动时间为t 秒．
①当t 为何值时，11ED OP
的值最小，并求出最小值； ②是否存在t 的值，使以P ，B ，D 为顶点的三角形与△ABC 相似．若
存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
4.与全等三角形综合
例7如图所示，抛物线2()y x m =--的顶点为A ，直线l ：y =与y 轴的交点为B ，其中m ＞0．
(1)写出抛物线对称轴及顶点A 的坐标(用含m 的代数式表示)；
(2)证明点A 在直线l 上，并求∠OAB 的度数；
(3)动点Q 在抛物线对称轴上，抛物线上是否存在点P ，使以P ，Q ，A 为顶点的三角形与△OAB 全等？若存在，求出m 的值，并写出所有符合上述条件的P 点坐标；若不存在，说明理由．
【技巧】与等腰三角形，直角三角形综合
【技巧】与相似三角形，全等三角形综合
专题：二次函数与距离，角度的综合专题：二次函数与四边形，面积的综合。