向量减法运算及其几何意义
向量减法运算及其几何意义,向量的数乘运算及其几何意义教案
向量减法运算及其⼏何意义,向量的数乘运算及其⼏何意义教案§2.2.2向量减法运算及其⼏何意义⼀．知识点梳理1．⽤“相反向量”定义向量的减法：1?“相反向量”的定义：与a 长度相同、⽅向相反的向量记作 -a2?规定：零向量的相反向量仍是零向量，且-(-a ) = a 。
任⼀向量与它的相反向量的和是零向量即a + (-a ) = 0。
如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0 3?向量减法的定义：向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法2．⽤加法的逆运算定义向量的减法：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b3减法的三⾓形法则：在平⾯内取⼀点O ，作OA = a , OB = b , 那么连接两个向量的终点并指向被减向量⽅向的向量就是两个向量的差向量. 即a - b 可以表⽰为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量注意：1?AB 表⽰a - b 强调：差向量“箭头”指向被减数.4.向量减法运算的记忆⼝决：共起点，连终点，⽅向指向被减数（⽅向由后指前）5.向量减法与向量加法的⽐较：（1）加法：⾸尾相连，从头指尾（前向量的头指向后向量的尾）（2）减法：共起点，连终点，⽅向指向被减数 6.向量减法的字母公式：CB AC AB =-⼆．例题讲解例1.已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d解：在平⾯上取⼀点O ，作OA = a , OB = b , OC = c , OD = d ,作BA, DC, 则BA= a-b, DC= c-d例2.已知，在平⾏四边形ABCD中，aAD=，⽤a，b表⽰向量AC、AB=，bDB解：由平⾏四边形法则得： D CAC= a + b,DB= ADAB- = a-b bA aB 例3.若|AB|=8,|AC|=5,则|BC|的取值范围是( )A.[3,8]B.(3,8)C.[3,13]D.(3,13)解析:BC=AC-AB.(1)当AB、AC同向时,|BC|=8-5=3;(2)当AB、AC反向时,|BC|=8+5=13;(3)当AB、AC不共线时,3<|BC|<13.综上,可知3≤|BC|≤13.答案:C点评:此题可直接应⽤重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.三．课堂练习1. 如下图所⽰，已知⼀点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向量OD等于( )A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a-b-c解析:如图5,点O到平⾏四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,结合图形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c.答案:B2 判断题:(1)若⾮零向量a与b的⽅向相同或相反,则a+b的⽅向必与a、b之⼀的⽅向相同.(2)△ABC中,必有AB+BC+CA=0.(3)若AB+BC+CA=0,则A、B、C三点是⼀个三⾓形的三顶点.(4)|a+b|≥|a-b|.解:(1)a与b⽅向相同,则a+b的⽅向与a和b⽅向都相同;若a与b⽅向相反,则有可能a与b互为相反向量,此时a+b=0的⽅向不确定,说与a、b之⼀⽅向相同不妥.(2)由向量加法法则AB+BC=AC,AC与CA是互为相反向量,所以有上述结论.(3)因为当A、B、C三点共线时也有AB+BC+AC=0,⽽此时构不成三⾓形.(4)当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表⽰以a和b为邻边的平⾏四边形的两条对⾓线的长,其⼤⼩不定.当a 、b 为⾮零向量共线时,同向则有|a +b |>|a -b |,异向则有|a +b |<|a -b |; 当a 、b 中有零向量时,|a +b |=|a -b |. 综上所述,只有(2)正确.四.内容⼩结本节我们学习的内容如下： 1.相反向量的概念 2.向量减法的定义 3.向量减法的运算法则§2.2.2向量的数乘运算及其⼏何意义教学⽬标：1.向量的数乘运算的概念 2.向量的数乘运算法则 3.向量的数乘运算的⼏何意义 4.平⾯向量基本定理教学重点：1.向量的数乘运算法则 2.向量的数乘运算的⼏何意义教学难点：平⾯向量基本定理的理解与运⽤⼀．知识点梳理1.向量的数乘运算定义：规定⼀个实数λ与向量a 的积是⼀个向量，这种运算叫做向量的数乘运算记作λa. 它的长度和⽅向规定如下：（1）|λa|=|λ||a|. （2）0λ>时，λa 的⽅向与a 的⽅向相同；当0λ<时，λa 的⽅向与a的⽅向相反；特别地，当0λ=或0a = 时，0λa =.2.运算律：设a 、b为任意向量，λ、µ为任意实数，则有：（1）()λµa λa µa +=+ ；（2）()()λµa λµa = ；（3）()λa b λa λb +=+.通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律。
向量减法运算及其几何意义 课件
方法归纳
用已知向量表示其他向量的三个关注点 (1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三 角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道． (2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结 合律、交换律来分析解决问题． (3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则． 例如，在四边形 ABCD 中，A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝0.
类型一 向量的减法运算
[例 1] 化简下列各式： (1)(A→B＋M→B)＋(－O→B－M→O)； (2)A→B－A→D－D→C.
【解析】 (1)解法一：原式＝A→B＋M→B＋B→O＋O→M＝(A→B＋B→O) ＋(O→M＋M→B)＝A→O＋O→B＝A→B.
解法二：原式＝A→B＋M→B＋B→O＋O→M ＝A→B＋(M→B＋B→O)＋O→M＝A→B＋M→O＋O→M＝A→B＋0＝A→B. (2)解法一：原式＝D→B－D→C＝C→B. 解法二：原式＝A→B－(A→D＋D→C)＝A→B－A→C＝C→B.
B＝B→A就可以把减法转化为加法．即：减去一个向量等于 加上这个向量的相反向量，即 a－b＝a＋(－b)．
2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向 量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，
防止混淆． 3．以平行四边形 ABCD 的两邻边 AB、AD 分别表示向量A→B＝
向量减法运输及其几何意义
1．相反向量 与 a 长度相等，方向相反的向量，叫作 a 的相反向量，记作－
a. (1)零向量的相反向量仍是零向量，即－0＝0. (2)任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a＋(－a)＝0. (3)如果 a，b 是互为相反的向量，则 a＝－b，b＝－a，a＋b＝
0.
向量减法运算及其几何意义(数学优秀课件)
解析几何中的向量减法运算实例
要点一
总结词
要点二
详细描述
向量的模和向量的角度
在解析几何中，向量减法可以用于计算向量的模和向量的 角度。通过向量减法运算，我们可以得到一个新的向量， 这个向量的模等于原两个向量的模之差，而这个向量的方 向则与原两个向量的夹角有关。此外，向量的内积也可以 通过向量减法运算来计算，它等于两个向量的模之积乘以 两个向量之间的夹角的余弦值。
详细描述
平行四边形法则是一种直观的向量减法方法，通过构造一个平行四边形，将一个向量作为对角线，另 一个向量作为邻边。根据向量加法的平行四边形法则，可以推导出向量减法的平行四边形法则。
向量减法的向量分解法则
总结词
向量分解法则是基于向量的分解和合成，通过将一个向量分解为两个或多个分向量，然后利用向量加法和减法的 性质进行计算。
02
几何解释
在平面上，向量减法可以理解为将一个向量平移到另一个向量的起点，
然后连接终点，得到的结果向量就是两向量的差。
03
实例
假设有两个向量$vec{A}$和$vec{B}$，它们的起点重合。通过平移
$vec{A}$，使其起点与$vec{B}$的起点重合，然后连接$vec{A}$的终
点和$vec{B}$的终点，得到的结果向量$vec{C} = vec{A} - vec{B}$。
向量减法在实际问题中的应用
物理问题
在解决物理问题时，如力的合成与分解、速度和加速度的 计算等，都需要用到向量减法。通过向量减法可以确定一 个物体相对于另一个物体的位置和方向。
导航问题
在地理信息系统（GIS）中，利用向量减法可以计算两点 之间的位移或方向。例如，计算两点之间的最短路径、确 定物体的移动轨迹等。
向量减法及其几何意义
设有两个向量 $vec{A} = (x_1, y_1, z_1)$ 和 $vec{B} = (x_2, y_2, z_2)$，则向量 $vec{A}$ 减去向量 $vec{B}$ 的结果是一个新的向量 $vec{C} = vec{A} - vec{B} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2, z_1 - z_2)$。
几何意义
向量 $vec{C}$ 是由向量 $vec{A}$ 的终点指向向量 $vec{B}$ 的起点的向量。在平面直角坐标系中，这相当于从 点 $(x_1, y_1)$ 到点 $(x_2, y_2)$ 画一个有向线段，其方向由 $(x_1, y_1)$ 指向 $(x_2, y_2)$。
空间直角坐标系中向量减法
04 向量减法在物理问题中应 用
位移、速度、加速度等物理量计算
01
02
03
位移计算
向量减法可以应用于计算 物体在一段时间内的位移， 即末位置向量减去初位置 向量。
速度计算
通过位移向量与时间向量 的商，可以计算物体的平 均速度或瞬时速度。
加速度计算
加速度是速度向量的变化 率，可以通过相邻两个时 刻的速度向量相减并除以 时间间隔来计算。
向量减法及其几何意义
目录
• 向量减法基本概念 • 向量减法在坐标系中表示 • 向量减法几何意义探讨 • 向量减法在物理问题中应用 • 向量减法在数学问题中应用 • 总结与拓展
01 向量减法基本概念
定义与性质
定义
性质
结合律
交换律的逆
存在零元
向量减法定义为加上一个 向量的相反向量。即对于 任意两个向量 A 和 B， 向量 A 减去向量 B 的结 果是一个新的向量，记作 C = A - B，其中 C 是 A 与 -B（B的相反向量）的 向量和。
向量减法运算及其几何意义
向量减法与向量加法的结合规则
向量加法满足交换律
对于任意向量$vec{A}$、$vec{B}$，有 $vec{A}+vec{B}=vec{B}+vec{A}$。
向量加法满足结合律
对于任意向量$vec{A}$、$vec{B}$、$vec{C}$，有 $(vec{A}+vec{B})+vec{C}=vec{A}+(vec{B}+vec{C})$。
Байду номын сангаас THANK YOU
感谢聆听
向量减法在实际问题中的应用
物理问题
向量减法可以用于解决物理问 题，如速度和加速度的计算、 力的合成与分解等。
导航问题
在导航中，通过计算起点和终 点之间的向量差，可以确定从 一个位置移动到另一个位置的 方向和距离。
机器学习
在机器学习中，向量减法可以 用于计算两个样本之间的差异 ，用于分类、聚类和降维等任 务。
向量减法运算及其几何意义
目
CONTENCT
录
• 向量减法的定义 • 向量减法的性质 • 向量减法的几何意义 • 向量减法的运算规则 • 向量减法的运算实例
01
向量减法的定义
向量减法的数学定义
向量减法是通过在第二个向量的起点绘制一个箭头，该箭头与第 一个向量的箭头在同一直线上，并且具有与第一个向量相反的方 向和长度，从而得到的结果。
04
向量减法的运算规则
向量减法与标量乘法的结合规则
标量乘法满足结合律
对于任意向量$vec{A}$、$vec{B}$和标量 $k$，有$(kvec{A})-vec{B}=k(vec{A}vec{B})$。
VS
标量乘法满足分配律
§2.2.2 向量减法运算及其几何意义
1/27/2020
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
18
A
a a+b
O
b
BA OA OB a b
bC
a
B
AB OB OA b a
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17
§2.2.2 向量减法运算及其几何意义
课堂练习
<<教材>>
P.87
练习1.2.3
书面作业
<<教材>>
P.9 1
习题2.2 A组4.5
12
§2.2.2 向量减法运算及其几何意义
4.向量减法的平行四边形法则
例2.如图，平行四边形ABCD中，AB a, AD b,
用a, b 表示向量 AC、DB
D
C
AC a b
b
DB a b
A
a
B
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二、讲解新课
§2.2.2 向量减法运算及其几何意义
2.向量减法的定义:
向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的 差，即a - b= a + (-b)。
定义：求两个向量差的运算叫向量的减法。 表示： a b a (b),
1/27/2020
思考：若a // b ,怎样作a b
1
a
与b同
向
2
向量减法运算及其几何意义
在力学中，力的合成与分解可以通过向量减法来描述，例如合力与分力之间的关 系。
03
向量减法的运算规则
向量减法的代数运算
80%
定义
向量减法是通过将一个向量的起 点平移到另一个向量的终点，然 后按照向量加法的规则进行计算 。
100%
性质
向量减法满足交换律和结合律， 即a-b=-(b-a)和(a-b)-c=a(b+c)。
向量减法不满足结合律
$(vec{A} - vec{B}) - vec{C}$不等于$vec{A} (vec{B} - vec{C})$。
向量减法的零向量
若$vec{A} - vec{B} = vec{0}$，则表示$vec{A}$与 $vec{B}$方向相同或相反，且模长相等。
向量减法与加法的关系
向量加法和减法是互为逆运算
$vec{A} + vec{B} = vec{B} + vec{A}$，但$vec{A} - vec{B} neq vec{B} vec{A}$。
向量加法和减法的结合律
$(vec{A} + vec{B}) + vec{C} = vec{A} + (vec{B} + vec{C})$，但$(vec{A} vec{B}) - vec{C} neq vec{A} - (vec{B} - vec{C})$。
数学表示
设$vec{A}$和$vec{B}$是两个向量，则$vec{A} - vec{B}$表示从 $vec{B}$的起点沿着$vec{B}$的方向移动到$vec{A}$的起点，再 反向延长到原点所形成的向量。
向量减法的性质
向量减法不满足交换律
$vec{A} - vec{B}$不等于$vec{B} - vec{A}$。
2.2.2向量的减法运算及其几何意义
§2.2.2向量的减法运算及其几何意义【学习目标】1. 通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义；2. 能运用向量减法的几何意义解决一些问题.【学习过程】一、自主学习（一）知识链接：复习：求作两个向量和的方法有 法则和 法则.（二）自主探究：（预习教材P85—P87） 探究：向量减法——三角形法则问题1：我们知道，在数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？如何理解向量的减法呢？ 1、相反向量：与a 的向量，叫做a 的相反向量，记作a - .零向量的相反向a 与其相反向量a - 的和是什么？ 如果a 、b 是互为相反的向量，那么a = ， b = ，a b += .2、向量的减法：我们定义，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，即+a b 是互为相反的向量，那么 a =____________， b =____________，+ a b =____________。
问题3：请同学们利用相反向量的概念，思考()a b +- 的作图方法. 3、已知 a ， b ，在平面内任取一点O ，作== ,OA a OB b ，则__________=- a b ，即- a b 可以表示为从向量_______的终点指向向量______的终点的向量，如果从向量 a 的终点到 b 的终点作向量，那么所得向量是________。
这就是向量减法的几何意义. 以上做法称为向量减法的三角形法则，可以归纳为“起点相接，连接两向量的终点，箭头指向被减数”.1例3和例4ABCD 中，下列结论中错误的是( )A. AB →＝DC →B. AD →＋AB →＝AC →C. AB →－AD →＝BD →D. AD →＋CB →＝2、在△ABC 中，O 是重心，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 的中点，化简下列两式： ⑴CB CE BA -+ ； ⑵OE OA EA -+ .变式：化简AB FE DC ++ .三、交流展示1、化简下列各式：①AB AC DB -- ； ②AB BC AD DB +-- .2、在平行四边形ABCD 中，BC CD AD +- 等于（ ）A ．BAB ．BDC ．ACD ．AB3、下列各式中结果为 O 的有（ ）①++ AB BC CA ②+++ OA OC BO CO ③-+- AB AC BD CD ④+-+ MN NQ MP QPA ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②③ 4、下列四式中可以化简为 AB 的是（ ）①+ AC CB ②- AC CB ③+ OA OB ④- OB OAA ．①④B ．①②C ．②③D ．③④ 5、已知ABCDEF 是一个正六边形，O 是它的中心，其中=== ,,OA a OB b OC c 则 EF =（ ）A ．a b +B ．b a -C ．- c bD ．-b c 四、达标检测（A 组必做，B 组选做）A 组：1. 下列等式中正确的个数是（ ）. ①a o a -= ；②b a a b +=+ ；③()a a --= ； ④()0a a +-= ；⑤()a b a b +-=- A.2 B.3 C.4 D.5 2. 在△ABC 中，,BC a CA b == ，则AB 等于（ ）. A.a b + B.()a b -+- C.a b - D.a b -+3. 化简OP QP PS SP -++ 的结果等于（ ）. A.QP B.OQ C.SP D.SQ4. 在正六边形ABCDEF 中，AE m = ，AD n = ，则BA = .5. 已知a 、b 是非零向量，则a b a b -=+ 时，应满足条件 .B 组：1、化简：AB DA BD BC CA ++-- =_______________。
第二章 2.2 2.2.2 向量减法运算及其几何意义
解析：① AB ＋ BC ＋ CA ＝ AC ＋ CA ＝0； ② OA＋ OC ＋ BO ＋ CO ＝( CO ＋ OA)＋( BO ＋ OC ) ＝ CA＋ BC ＝ BA ； ③ AB － AC ＋ BD － CD ＝ CB ＋ BC ＝0； ④ NO ＋ QP ＋ MN － MP ＝ NP ＋ PN ＝0.
法三：( AB － CD )－( AC － BD ) ＝ AB － CD － AC ＋ BD ＝( OB － OA)－( OD － OC )－( OC － OA )＋(OD － OB ) ＝ OB － OA－ OD ＋ OC － OC ＋ OA ＋ OD － OB ＝0.
先根据向量加、减法的运算法则将易求的向量表 示出来，再表示 BD . [提示]
[解] ∵四边形 ACDE 为平行四边形， ∴ CD ＝ AE ＝c. BC ＝ AC － AB ＝b－a. BE ＝ AE － AB ＝c－a， CE ＝ AE － AC ＝c－b， ∴ BD ＝ BC ＋ CD ＝b－a＋c.
1．下面给出了四个式子： ① AB ＋ BC ＋ CA ；② OA ＋ OC ＋ BO ＋ CO ； ③ AB － AC ＋ BD － CD ；④ NQ ＋ QP ＋ MN － MP . 其中值为 0 的有 A．①② C．①③④ B．①③ D．①②③ ( )
如图 1 所示．
法二：a＋b－c＝(a＋b)＋(－c)在平面内任取一点 O，作 OA ＝a， AB ＝b， BC ＝－c，则 OC ＝a＋b－c，如图 2 所示．
向量的减法运算及其几何意义
（2）AB AC DB C
A.AD B.AC C.CD D.DC
例3 : 如图, 平行四边形ABCD中, AB a, AD b, 试用a,b表
示向量AC, DB.
D
C
b
解: AC AB AD a b
A
a
B
DB AB AD a b
证明：b c a OA
D
C
c
b
O
Aa
B
证明：b c DA OC OC CB OB b c a OB AB OB BA OA
例5.在四边形ABCD中，设AB
a,
AD
b,
BC
c,
试用a,
b,
c表示向量CD.
A
思考1：两个相反向量的和向量是什么？向量a的相反向量
可以怎样表示？ －a
思考2：－a的相反向量是什么？零向量的相反向量是什么？
－（－a）=a 规定：零向量的相反向量仍是零向量.
思考3：在实数的运算中，减去一个数等于加上这个数的
相反数.据此原理，向量a－b可以怎样理解？
定义：a－b＝a＋（－b）
思考4：两个向量的差还是一个向量吗？
3. 作图验证： (a b) a b .
B
C
b
D
a .
O
ab b
ab
a
A
F
E
练习2 (1)化简AB AC BD CD
解 : 原式 CB BD CD CD CD 0
(2)化简OA OC BO CO
解 : 原式 (OA BO) (OC CO) (OA OB) 0 BA
2.2.2向量减法运算及其几何意义
a a
AB BA, 在计算中常用
结论： （1） (a)
a 0
（2）零向量的相反向量仍是零向量,
0 0
(3)a (a) (a) a
（4）如果是a,b互为相反的向量，那么
a b , b a, a b 0
二、向量减法： 定义： a b a ( b) 即：减去一个向量相当于加上这个向量的 相反向量。 把 a b 也叫做 也是一个向量。
解:(1) D
船实际航行速度
C
船速 A
B 水速
(2)在Rt ABC中， | AB | 2,| BC | 2 3
| AC | | AB |2 | BC |2
22 (2 3) 2 4
D C
2 3 tan CAB 3 2
CAB 60 .
A
B
答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60º 。
变式训练 四 如图,
你能用
ABCD 中, AO = a,OB = b,
D C
O
a ,b 表示向量AB和AD吗?
a
A
解:AB=a + b; AD=a - b.
b
B
练习2
填空：
重要提示
AB BA
DB AB AD _____; 你能将减法运 CA 算转化为加法 BA BC ______; 运算吗？ AC BC BA ______;
AD OD OA ______;
BA OA OB ______ .
练习3
(1)化简AB AC BD CD 解 : 原式 CB BD CD CD CD 0
向量的减法及其几何意义课件
目 录
• 向量的概念 • 向量的减法 • 向量减法的应用 • 向量减法的扩展知识
01
向量的概念
向量的定义
总结词
向量是一个既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。
详细描述
向量是物理学、工程学和数学中常用的一种量，它由大小和方向两个要素组成。在二维平面上，向量通常表示为 一条有向线段，起点为原点，终点为任意点。在三维空间中，向量则表示为一个有向线段，其起点和终点都是空 间中的点。
向量的模
总结词
向量的模是衡量向量大小的一个量，用于描述向量在空间中的长度。
详细描述
向量的模定义为向量起点到终点的距离，即向量的长度。在二维平面上，向量的模可以通过勾股定理 计算得到；在三维空间中，向量的模则是通过欧几里得距离公式计算得到的。向量的模具有传递性、 非负性、齐次性和三角不等式等性质。
02
THANKS
感谢观看
如果有一个标量$k$和一个向量 $vec{A}$，则数乘后的向量是 $kvec{A}$。
向量减法与数乘的关系
向量$vec{A} - vec{B}$可以看作是标 量1与$vec{A}$的数乘减去标量1与 $vec{B}$的数乘，即$vec{A} - vec{B} = 1vec{A} - 1vec{B}$。
向量减法的几何意义
总结词
向量减法的几何意义是平移和反向延长。
详细描述
向量减法的几何意义可以通过平移和反向延长来解释。给定两个向量$vec{A}$和 $vec{B}$，向量$vec{A} - vec{B}$表示将向量$vec{B}$平移到向量$vec{A}$的终点，
然后反向延长至向量$vec{A}$的起点得到的向量。这个过程可以理解为将向量 $vec{B}$沿其方向相反的方向延长相同的长度，得到的结果就是$vec{A} - vec{B}$。
向量的加减运算
向量的加减运算向量的加减运算是向量运算中的基本运算之一，其实现的基本思想是将相应位置的分量进行加减运算，从而得到一个新的向量。
本文将对向量的加减运算进行详细的阐述，以便读者更好地理解向量运算的基本概念和应用。
一、定义向量的加减运算是指两个向量分别按照相应位置的分量进行加减运算，得到一个新的向量的过程。
设向量A=(a1,a2,…,an)和向量B=(b1,b2,…,bn)，则这两个向量的和定义为：A+B=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn)向量的差定义为：A-B=(a1-b1,a2-b2,…,an-bn)其中，n表示向量的维数，a1,a2,…,an和b1,b2,…,bn分别表示向量A和向量B的相应位置的分量。
二、性质1、交换律：A+B=B+A，A-B≠B-A。
2、结合律：(A+B)+C=A+(B+C)，(A-B)-C=A-(B+C)。
3、向量的加法具有可减性质：A+B=C，则A=C-B。
三、几何意义向量的加减运算在几何上也有很重要的意义。
在平面直角坐标系中，我们可以将一个向量表示为从原点指向平面上某一点的箭头。
对于两个向量A和B，它们的加法A+B 表示从原点出发分别沿着A和B的方向行进，得到的结果向量。
对于向量的减法A-B，则其几何意义为：先将向量B 沿着原向量A的方向平移，使起始点与A的起始点重合，然后以B的终点为终点，从起始点向后连接箭头，得到的结果向量。
四、应用向量的加减运算在许多科学领域都有着广泛的应用。
以下列举几个例子：1、物理学中，向量的加减运算可以用来求解质点的轨迹、速度、加速度等物理量。
2、计算机图形学中，向量的加减运算可以用来实现三维变换、光线跟踪、模拟物理等功能。
3、信号处理中，向量的加减运算可以用来计算信号的平均值、方差等统计量。
4、工程学中，向量的加减运算可以用来求解矩阵运算、拟合数据等问题。
五、总结向量的加减运算是向量运算中的基本运算之一，其实现的基本思想是将相应位置的分量进行加减运算，从而得到一个新的向量。
向量减法运算的几何意义
向量减法运算的几何意义
向量减法的几何意义是共起点，连终点，方向指着被减量。
向量是将几何问题转化为代数问题的桥梁，向量的加减则是用代数方法进行几何运算，三角形定则解决向量加法的方法：将各个向量依次首尾顺次相接，结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。
平行四边形定则解决向量减法的方法，将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，结果由减向量的终点指向被减向量的终点，平行四边形定则只适用于两个非零非共线向量的加减。
向量减法的内容
向量减法法则是三角形法则，同样将两向量的始点，就是没箭头的那个点放在一起，将两个终点连接，就是差，差向量方向指向被减向量，向量加法法则就是平行四边形法则，两个加数作为平行四边形相邻的两边，则和是两向量的公共顶点与对点相连的对角线。
在数学中，向量也称为欧几里得向量，几何向量，矢量，指具有大小和方向的量。
它可以形象化地表示为带箭头的线段，箭头所指，代表向量的方向，线段长度，代表向量的大小，与向量对应的量叫做数量，物理学中称标量，数量或标量只有大小，没有方向。
向量加减运算及几何意义
向量加减运算及几何意义一、向量加法的定义和运算规则向量加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设有两个向量A和A，它们的加法可以表示为：A=A+A其中，A表示两个向量相加得到的新向量。
向量加法的运算规则如下：1.交换律：A+A=A+A2.结合律：(A+A)+A=A+(A+A)3.零向量：对于任意向量A，都有A+A=A，其中A表示零向量。
二、向量减法的定义和运算规则向量减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
设有两个向量A和A，它们的减法可以表示为：A=A-A其中，A表示将向量A从向量A中减去得到的新向量。
向量减法的运算规则如下：1.减法的定义：A-A=A+(-A)，其中-A表示向量A的负向量。
2.减法与加法的关系：A-A=A+(-A)=-(A-A)三、向量加减运算的几何意义1.位移：设有两个向量A和A，A表示物体的起始位置，A表示物体的终止位置。
向量加法A=A+A表示物体从起始位置到终止位置的位移向量。
2.速度：速度是位移随时间的变化率，可以用向量表示。
设有两个位移向量A和A，A表示物体在起始时刻的位置，A表示物体在终止时刻的位置。
则速度向量A=A-A表示物体在起始时刻到终止时刻的平均速度向量。
3.加速度：加速度是速度随时间的变化率，也可以用向量表示。
设有三个速度向量A、A和A，A表示物体在起始时刻的速度，A表示物体在中间时刻的速度，A表示物体在终止时刻的速度。
则加速度向量A=(A-A)/t表示物体在起始时刻到终止时刻的平均加速度向量，其中t表示时间间隔。
4.平行四边形法则：设有两个向量A和A，它们的和向量A=A+A可以用平行四边形法则来表示。
将向量A和A的起点放在一起，将它们的终点连接起来，得到一个平行四边形，那么向量A就是该平行四边形的对角线向量。
总结：向量加减运算的几何意义主要体现在描述物体的位移、速度和加速度等几何特征上。
它们可以帮助我们理解物体在空间中的运动规律，并且可以通过向量的加减运算得到物体的位移、速度和加速度等重要信息。
向量减法运算及其几何意义课件
【审题路线图】1.向量相等⇒对边平行且相等⇒平行四 边形⇒对角线相等⇒矩形. 2.化简等式左边的向量式⇒利用直角三角形的性质⇒向 量的模相等.
【解析】1.选B.由 AB＝DC，可得四边形ABCD为平行四边 形,由 AD AB BC BA 可得, BD AC ,故平行四边形 ABCD为矩形.
类型三 利用向量证明简单的几何问题 【典例】1.(钦州高一检测)在四边形ABCD中, AB＝DC，若 AD AB BC BA ，则四边形ABCD是 ( ) A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.不确定
2.已知△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,M是斜边 AB的中点, CM a,CA b. 求证:
向量减法运算及其几何意义
1.相反向量
定 如果两个向量长度_相__等__,而方向_相__反__,那么称 义 这两个向量是相反向量
①对于相反向量有:a+(-a)=0
性 质
②若a,b互为相反向量,则a=-b,a+b=0
③零向量的相反向量仍是零向量
2.向量的减法
定 义 a-b=a+(-b) 减去一个向量等于加上这个向量的
A.0 B.BP C.PQ D.PC
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.化简: AD BM BC MC=________.
3.如图,已知O为平行四边形ABCD内一点, OA a,OB b, OC c, 则 OD =________.
【审题路线图】1.图形中的向量化简运算⇒图形的性
质⇒向量减法的运算⇒化简.
2.向量加减法的混合运算⇒向量运算的运算律⇒向量
类型一 向量减法的几何意义 【典例】1.如图, AB BC AD 等于 ( )
向量减法的运算法则
向量减法的运算法则向量减法是向量运算中的一种重要运算，它有着特定的运算法则。
在进行向量减法运算时，需要按照一定的规则和步骤进行计算，以确保得到正确的结果。
本文将介绍向量减法的运算法则，以及一些实际应用中的例子。
首先，向量减法的定义是，对于两个向量A和B，它们的差向量记作A-B，其定义为A的起点与B的终点相连的向量。
接下来，我们来看向量减法的运算法则：1. 向量减法的定义，A-B = A+(-B)，即将减法转化为加法，其中-A表示向量B的相反向量。
2. 求解步骤，首先将向量B取反，然后按照向量加法的规则进行计算。
3. 实际操作，将向量B的起点与终点互换，得到-B的向量，然后将其与向量A相加，即可得到A-B的结果向量。
4. 几何意义，A-B的结果向量是由A的起点指向B的终点的向量，即A减去B所得的向量。
以上就是向量减法的运算法则，接下来我们通过一些实际例子来进一步理解和应用这些规则。
例1，已知向量A=3i+4j，向量B=2i-3j，求A-B的结果向量。
首先，将向量B取反得到-B=-2i+3j，然后按照向量加法的规则进行计算，A-B = A+(-B) = 3i+4j + (-2i+3j) = 1i+7j。
因此，A-B的结果向量为1i+7j。
例2，一艘船以速度向量A=5i-3j向东航行，突遇风速向量B=2i+4j向北吹，求船的相对速度向量。
根据相对速度的定义，相对速度向量等于船的速度向量减去风的速度向量，即A-B。
将向量B取反得到-B=-2i-4j，然后进行计算，A-B = A+(-B) = 5i-3j + (-2i-4j) = 3i+1j。
因此，船的相对速度向量为3i+1j，即向东北方向航行。
通过以上例子，我们可以看到向量减法的运算法则在实际问题中的应用。
它不仅可以帮助我们求解向量的减法运算，还可以用于解决一些实际的物理和工程问题。
总之，向量减法的运算法则是按照特定的步骤和规则进行计算，以求得正确的结果。
向量减法运算及其几何意义汇总
向量减法运算及其几何意义汇总向量减法是数学中一种常见的运算方式，用于计算两个向量之间的差值。
它在几何上有重要的意义，可以表示位移、速度、加速度等物理量。
下面将详细介绍向量减法的定义、计算方法以及其几何意义。
1.向量减法的定义向量减法是指通过对两个向量进行相应元素之间的减法运算，得到一个新的向量。
设有两个向量A和A，它们的减法记作A-A，等于将向量A取反后与向量A进行加法运算。
即：A-A=A+(-A)2.向量减法的计算方法向量的减法通过对应分量的相减来完成。
设有两个向量A=(A1,A2,A3)和A=(A1,A2,A3)，则向量减法的计算公式为：A-A=(A1-A1,A2-A2,A3-A3)例如，对于向量A=(3,4,5)和A=(1,2,3)，它们的减法运算结果为：A-A=(3-1,4-2,5-3)=(2,2,2)3.向量减法的几何意义向量减法在几何上有重要的意义，可以表示位移、速度、加速度等物理量。
下面分别介绍它们的几何意义：3.1位移位移可以用向量来表示，通过一个点从起始位置到达终点位置的位移向量。
向量减法可以用来计算两个位置之间的位移向量。
设有两个位置A 和A，它们的坐标表示分别为A(A1,A1,A1)和A(A2,A2,A2)，则A-A即为A到A的位移向量。
例如，若A(1,2,3)为起始位置，A(4,6,8)为终点位置，则位移向量A-A=(4-1,6-2,8-3)=(3,4,5)。
3.2速度速度是定义为单位时间内位移的向量，可以用向量来表示。
当物体从位置A移动到位置A时，所产生的平均速度向量为A-A，即终点位置向量减去起始位置向量。
通过向量减法可以计算得到物体在单位时间内的平均速度向量。
例如，若物体从A(1,2,3)移动到A(4,6,8)，所产生的平均速度向量为A-A=(4-1,6-2,8-3)=(3,4,5)。
3.3加速度加速度是定义为单位时间内速度的改变率，也可以用向量来表示。
当物体从位置A移动到位置A时，速度变化的向量为终点速度向量减去起始速度向量。
向量的线性运算：减法
向量减法运算中的注意事项
注意向量的方向
在进行向量减法运算时，需要注意被减向量和减向量的方向。如果方向不一致，需要先进 行方向调整再进行减法运算。
注意向量的维度
被减向量和减向量必须具有相同的维度才能进行减法运算。如果维度不同，需要先进行维 度调整再进行减法运算。
注意结果的合理性
在进行向量减法运算后，需要检查得到的结果是否合理。例如，如果得到的结果向量为零 向量或不合理向量（如模长为负数），则需要重新检查计算过程并找出错误原因。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ位移的分解
当已知质点的合位移和其中一个分位移时， 可以通过向量的减法运算求出另一个分位移。 同样地，两个分位移的向量差即为质点的位 移变化量。
05
向量减法的计算技巧与注意
事项
向量减法的计算步骤
确定被减向量和减向量
在进行向量减法运算时，首先需要确定被减向量和减向量，即明 确要进行减法运算的两个向量。
向量的线性运算：减 法
• 向量减法的基本概念 • 向量减法的运算规则 • 向量减法在几何中的应用 • 向量减法在物理中的应用 • 向量减法的计算技巧与注意事项
目录
01
向量减法的基本概念
向量减法的定义
向量减法定义
设有两个向量a与b，它们的差a b是一个向量，其方向与a、b的方 向有关，大小等于a、b的大小之差。
坐标运算性质
坐标运算具有直观性和便捷性，方便进行向量的加减、数乘 等运算。同时，坐标运算也遵循向量加法的交换律和结合律 。
03
向量减法在几何中的应用
求解两点的距离
向量减法与距离公式
在二维或三维空间中，两点间的距离 可以通过对应向量的减法运算和模长 计算得到。
具体应用