勾股定理

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勾股定理的内容

勾股定理的内容勾股定理，又称勾股定理，是古代数学中的一个重要定理。

在直角三角形中，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

其数学表达形式为：a^2 + b^2 = c^2其中a、b、c分别代表直角三角形的两条直角边和斜边。

起源与发展勾股定理虽然现在被称为勾股定理，但最早是在《周髀算经》中发现的，成为世界上最早的几何著作之一。

据传，勾股定理是周公提出的，故得名“周公定理”。

后来被《算经》作者张丘建列入《增衍之术》中，并首次用文字表达了这一定理。

在中国古代，勾股定理的应用非常广泛，不仅用于地测和农业，还被运用在建筑和军事领域。

随着数学的发展，勾股定理也在世界各地广泛传播，并成为数学中的重要定理之一。

数学证明勾股定理的证明有多种方法，其中最著名的是毕达哥拉斯的证明。

毕达哥拉斯定理利用几何形状和平行移动来证明直角三角形的两个边的平方和等于斜边的平方。

这一证明方法被后人发扬光大，成为数学学科中的一个经典证明。

应用场景勾股定理在现代生活中的应用也非常广泛。

例如，在建筑领域中，利用勾股定理可以计算建筑物的结构稳定性；在工程设计中，可以测量距离和角度；在电子领域中，可以应用于信号传输和数据处理等方面。

总的来说，勾股定理是数学中的一个重要定理，不仅对几何学有重要意义，还在现代科学技术中有着广泛的应用。

结语通过对勾股定理的介绍，我们可以看到它在数学史上的重要地位和广泛应用。

了解勾股定理不仅有助于我们理解数学知识的深层含义，还可以帮助我们应用数学知识解决现实生活中的问题。

在学习数学的过程中，我们应该对勾股定理有更多的了解和探索，进一步探索数学世界的奥秘。

勾股定理

板块一勾股定理1．勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

注：勾——最短的边、股——较长的直角边、弦——斜边。

CAB cba勾股定理3．勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

即 222,,ABC AC BC AB ABC ∆+=∆在中如果那么是直角三角形。

4．勾股数：满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。

板块一、勾股定理【例1】下列说法正确的是（）A. 若a b c ，，是ABC ∆的三边，则222a b c +=B. 若a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，则222a b c +=C. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90A ∠=︒，则222a b c +=D. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90C ∠=︒，则222a b c +=【例2】在Rt ABC ∆中， 90C ∠=︒，（1）如果34a b ==，，则c = ；（2）如果68a b ==，，则c = ；（3）如果512a b ==，，则c = ；（4）如果1520a b ==，，则c = .【例3】若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为【例4】一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为．【例5】已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.【例6】已知直角三角形两边x ，y 的长满足240x -，则第三边长为______________．【例7】一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）A ．斜边长为25B ．三角形周长为25C ．斜边长为5D ．三角形面积为20【例8】如果梯子的底端距离墙根的水平距离是9m ，那么15m 长的梯子可以达到的高度为【例9】如图，梯子AB 斜靠在墙面上，AC BC AC BC ⊥=，，当梯子的顶端A 沿AC 方向下滑x 米时，梯足B 沿CB 方向滑动y 米，则x 与y 的大小关系是（） A ．x y = B ．x y > C ．x y < D ．不确定CA【例10】如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离米（填“大于”、“等于”、“小于”）68【例11】三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( )A. 6B. 4.5C. 2.4D.8【例12】若ABC ∆的三边a b c ，，满足条件：222338102426a b c a b c +++=++，则这个三角形最长边上的高为【例13】如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍【例14】如图，一根高8米的旗杆被风吹断倒地，旗杆顶端A 触地处到旗杆底部B 的距离为6米，则折断点C到旗杆底部B 的距离为CBA【例15】已知，如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，•如果8cm AB =，10cm BC =，求EC 的长．【例16】如图，有一个直角三角形纸片，两直角边6cm 8cm AC BC ==，，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，那么CD 的长为多少？EDCBA【例17】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3CBA【例18】如图所示，在ABC ∆中，三边a b c ，，的大小关系是（）cbaCBAA. a b c <<B. c a b <<C. c b a <<D. b a c <<【例19】设,,,a b c d 都是正数。

勾股定理

勾股定理勾股定理，又称商高定理，西方称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（英文：Pythagorean theorem或Pythagoras's theorem）是一个基本的几何定理，相传由古希腊的毕达哥拉斯首先证明。

据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。

在中国，相传于商代就由商高发现，记载在一本名为《周髀算经》的古书中。

而三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释。

法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。

直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理指出：直角三角形两直角边(即“勾”，“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。

也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么A2+ b2= c2勾股定理现发现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。

一种证明方法的图示：左右两正方形面积相等，各扣除四块蓝色三角形后面积仍相等勾股定理勾股定理的美妙证明证明[广西梁卷明的证法]：如图1,分别以AC、CB、BA为边长作正方形ACNM、正方形CBSQ、正方形BAPR，则易知⊿ABC≌⊿RBS,从而点Q 必在SR上，又把梯形ABNM沿BR方向平移，使点B与点R重合,则梯形ABNM平移至梯形PRQT的位置；显然⊿RSB≌⊿PTA, 如图2，再把⊿RSB沿BA方向平移，使点B与点A重合，则⊿RSB必与⊿PTA重合！故有：正方形ACNM的面积+正方形CBSQ的面积=正方形BAPR的面积，即得： a的平方 + b的平方 = c的平方.勾股定理【梁卷明证法】勾股定理 - 勾股数组勾股数组是满足勾股定理a2+ b2= c2的正整数组(a,b,c)，其中的a,b,c称为勾股数。

例如(3,4,5)就是一组勾股数组。

任意一组勾股数(a,b,c)可以表示为如下形式：a = m−n,b = 2mn,c = m + n，其中勾股定理。

勾股定理公元前500-200年，《周髀算经》的图解《勾股圆方图》勾股定理 - 参考资料勾股定理 - 历史上的勾股定理定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理

一、勾股定理基础知识点：１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c=⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a a b b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在A B C ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a cb =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c为三边的三角形是锐角三角形；cba HG FEDCBAbacbac cabcab a bcc baED CBA②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D C BA ADB C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

勾股定理详解

勾股定理详解勾股定理定义及公式勾股定理是一个基本几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

勾股定理是余弦定理的一个特例。

勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。

“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。

勾股数组程a²+ b²= c²的正整数组(a,b,c)。

(3,4,5)就是勾股数。

也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那a²+b²=c²。

勾股定理逆定理勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法。

若c为最长边，且a²+b²=c²，则△ABC是直角三角形。

如果a²+b²>c²，则△ABC是锐角三角形。

如果a²+b²<c²，则△ABC是钝角三角形。

勾股定理的证明据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400多种了。

下面我便向大家介绍几种十分著名的证明方法。

【证法1】赵爽“勾股圆方图”第一种方法：边长为c的正方形可以看作是由4个直角边分别为a、b，斜边为c的直角三角形围在外面形成的。

因为边长为的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可以列出等式，化简得。

第二种方法：边长为c的正方形可以看作是由4个直角边分别为a、b，斜边为c的角三角形拼接形成的（虚线表示），不过中间缺出一个边长为(b-a)的正方形“小洞”。

因为边长为的正方形面积等于4个直角三角形的面积加上正方形“小洞”的面积，所以可以列出等式，化简得。

这种证明方法很简明，很直观，它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和对数学的钻研精神，是我们中华民族的骄傲。

【证法2】课本的证明做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即a²+b²+4×1/2ab=c²+4×1/2ab，整理得a²+b²=c²【证法3】1876年美国总统Garfield证明以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2/1ab. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵RtΔEAD ≌RtΔCBE,∴∠ADE = ∠BEC.∵∠AED + ∠ADE = 90º,∴∠AED + ∠BEC = 90º.∴∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于1/2c².又∵∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于1/2(a+b)².∴1/2(a+b)²=2×1/2ab+1/2c².∴a²+b²=c².【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。

勾股定理

勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。

这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理“（毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”），法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”。

他们发现勾股定理的时间都比我国晚，我国是最早发现这一几何宝藏的国家。

目前初二学生学，教材的证明方法采用赵爽弦图。

勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决集几何问题的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。

勾股定理指出：直角三角形两直角边（即“勾”“股”短的为勾，长的为股）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。

也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a的平方+b的平方=c的平方a^2＋b^2＝c^2周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明[1]。

法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。

我国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。

我国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。

我国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。

在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。

既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。

两矩共长二十有五，是谓积矩。

”因此，勾股定理在我国又称“商高定理”。

在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。

在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。

还有的国家称勾股定理为“平方定理”。

西欧对此定理戏称为“笨蛋的难关（Asses' Bridge）”，照原文直译，就是“驴桥”，因此，我国也有将此命题译作“驴桥定理”的。

勾股定理20种证明方法

勾股定理20种证明方法1. 最常见的勾股定理证明是基于三角形面积公式的。

利用三角形的底边与高的关系，可以将直角三角形分成两个三角形，然后应用面积公式进行计算得出勾股定理。

2. 通过向直角三角形内部引入一个圆形，利用圆的性质可以得到勾股定理。

3. 将直角三角形中的一条直角边平移到非直角边上，形成一个平行四边形，再利用平行四边形对角线的关系即可得到勾股定理。

4. 利用正弦定理和余弦定理进行推导，可以得出勾股定理。

5. 通过三角形内部的相似三角形进行推导得出勾股定理。

将直角三角形分成两个相似三角形，利用相似三角形的性质进行推导得出勾股定理。

6. 通过归纳法进行证明，即证明勾股定理对于所有自然数n都成立。

7. 利用勾股定理推导其他几何定理，例如正弦定理、余弦定理等，进而证明勾股定理。

8. 利用数学归纳法，可证勾股定理对于所有正整数n都成立。

9. 利用勾股定理证明勾股三角形的存在性，也就是存在一组自然数a、b、c，使得a²+b²=c²。

这可以通过暴力算法或递推算法来实现。

10. 利用反证法证明勾股定理。

假设勾股定理不成立，即假设存在一个直角三角形，其两条直角边的平方和不等于斜边的平方。

通过假设的前提，推导出矛盾的结论，从而证明勾股定理成立。

11. 利用勾股定理证明三角形的周长和面积公式。

将直角三角形分成两个直角三角形，利用勾股定理计算出直角边的长度，然后应用周长和面积公式。

12. 利用勾股定理证明三角形的内心与垂心之间的关系。

将直角三角形分成两个相似三角形，利用勾股定理计算出内心与垂心之间的距离。

13. 利用勾股定理证明三角形的外心与垂心之间的关系。

通过三角形的外接圆，证明外心与垂心之间的距离等于直角边之间距离的一半。

14. 利用圆的性质证明勾股定理。

将三角形中的一条直角边作为直径，表示成圆上的弦长，利用圆的定理得到勾股定理。

15. 通过三角形的相似性质，证明勾股定理。

将直角三角形分成两个与之相似的三角形，利用相似三角形的性质得到勾股定理。

勾股定理的公式

勾股定理的公式
勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。

勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。

勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。

在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。

勾股定理公式是a的平方加上b的平方等于c的平方。

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为C，那么公式就是：a^2+b^2=c^2。

勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。

勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

勾股定理

勾股定理勾股定理又叫商高定理、毕氏定理，或称毕达哥拉斯定理（Pythagor as Theorem）．在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。

如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a²+b²=c²据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过 4000 年！中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的第一章,就有这条定理的相关内容：周公问：“窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度。

夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高答：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出九九八十一，故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。

既方其外，半之一矩，环而共盘。

得成三、四、五，两矩共长二十有五，是谓积矩。

故禹之所以治天下者，此数之所由生也。

”就是说，矩形以其对角相折所称的直角三角形，如果勾（短直角边）为3，股（长直角边）为4，那么弦（斜边）必定是5。

从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要的数学原理了。

在西方有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。

据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。

故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。

遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。

实际上，在更早期的人类活动中，人们就已经认识到这一定理的某些特例。

除上述两个例子外，据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角。

但是，这一传说引起过许多数学史家的怀疑。

比如说，美国的数学史家M·克莱因教授曾经指出：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理。

我们知道他们有拉绳人（测量员），但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得证实。

”不过，考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥板书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为 30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三边为为3:4:5三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块泥板上面刻着一个奇特的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着15组勾股数。

勾股定理知识点总结

勾股定理知识点总结勾股定理是数学中一个著名的定理，也是初中数学学习的重点内容之一。

它描述了直角三角形中三条边的关系，并且可以应用于解决许多与三角形和几何有关的问题。

本文将对勾股定理的相关知识点进行总结和探讨。

一、勾股定理的表述和公式勾股定理的表述是：“直角三角形斜边上的正方形面积等于其他两边上的正方形面积之和。

”这就是我们通常所说的勾股定理。

勾股定理的公式可以表示为：a² + b² = c²其中，a、b代表直角三角形的两条直角边，c代表直角三角形的斜边。

二、勾股定理的证明勾股定理的证明有多种方法，在此我们以几何证明和代数证明为例进行说明。

几何证明：通过图形的构造和推理来证明勾股定理。

一种常见的几何证明方法是构造以a、b、c为边长的正方形，然后计算正方形的面积，从而证明等式成立。

代数证明：通过数学计算和变换来证明勾股定理。

一种常见的代数证明方法是将直角三角形的三条边的平方进行计算，然后将其相加和化简，最终得到等式成立的结果。

三、勾股定理的应用勾股定理不仅仅是一个数学定理，还有着广泛的应用。

1. 解决三角形的边长和角度问题：通过勾股定理，我们可以已知两条边长来求解第三条边长，或者已知两条边长和一个角度来求解其他角度。

2. 判断三角形的形状：我们可以利用勾股定理来判断一个三角形是直角三角形、锐角三角形还是钝角三角形，从而进一步研究和分析三角形的性质。

3. 解决几何问题：勾股定理还可以应用于解决一些几何问题，例如求解两条直线的交点坐标、求解平面图形的面积、判断是否存在重合图形等等。

四、勾股定理的推广除了直角三角形，勾股定理还可以推广到其他形状的图形。

1. 平方和定理：平方和定理是勾股定理的推广，它描述了非直角三角形中三条边平方的关系。

2. 多边形的对角线：在多边形中，通过某个顶点可以连接其他顶点，形成对角线。

对角线之间的关系也可以通过勾股定理进行研究和计算。

3. 空间中的勾股定理：在空间几何中，勾股定理可以推广到三维空间，描述直角棱柱、直角锥等图形的三条棱或边之间的关系。

超全勾股定理公式大全

超全勾股定理公式大全我们知道，如果∠C=90°，a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a 2+b 2=c 2；反之，若三角形的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则该三角形是直角三角形，c 为斜边．与此相类似，如果三个正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称a 、b 、c 为勾股数，记为（a ，b ，c ）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种：一、三数为连续整数的勾股数（3，4，5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？设三数为连续整数的勾股数组为（x －１，x ，x ＋１），则由勾股数的定义，得（x+1）2+x 2=（x+1）2，解得x ＝４或x ＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n(n是正整数)都是勾股数。

二、后两数为连续整数的勾股数易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？ a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）.分别取n ＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），…三、前两数为连续整数的勾股数你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。

其公式为：（x ，x ＋１，1222++x x ）（x 为正整数）。

设前两数为连续整数的勾股数组为（x ，x ＋１，y ），y=1222++x x 则()2221y x x =++（＊）整理，得1222++x x ＝2y ，化为()121222-=-+y x ，即()y x 212++()y x 212-+＝－１，又()()2121-+＝－１，∴()1221++n ()1221+-n ＝－１（ｎ∈Ｎ），故取()y x 212++＝()1221++n ，()y x 212-+＝()1221+-n ，解之，得x ＝41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，y ＝42〔()1221++n －()1221+-n 〕，故前两数为连续整数的勾股数组是（41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕＋１，42〔()1221++n －()1221+-n 〕）．四、后两数为连续奇数的勾股数如(8，15，17),(12，35，37)…其公式为：4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n 是正整数). 五、其它的勾股数组公式：1.a=2m,b=m 2－1,c=m 2+1（m 大于1的整数）.2.a=21（m 2－n 2）,b=mn,c=21（m 2+n 2）（其中m>n 且是互质的奇数）.3.a=2m,b=m 2－n 2,c=m 2+n 2（m>n,互质且一奇一偶的任意正整数）.下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考：34 5；512 13；6810；72425；81517；9 1215；940 41；102426；116061；12 16 20；12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；15112 113；16 30 34；1663 6517144 145；18 24 30；18 80 82；19 180 181；20 21 29；20 48 52；20 99 101；21 28 3521 72 75；21 220 221；22 120 122；23 264 265；24 32 40；24 45 51；24 70 74；24143 14525 60 65；25 312 313；26 168 170；27 36 45；27120 123；27 364 365；28 45 53；2896 10028 195 197；29 420 421；30 40 50；30 72 78；30 224 226；31 480 481；32 60 68；32126 13032 255 257；33 44 55；33 56 65；33 180 183；33 544 545；34 288 290；35 84 91；35120 12535 612 613；36 48 60；36 77 85；36 105 111；36 160 164；36 323 325；37 684 685；38 360 36239 52 65；39 80 89；39 252 255；39 760 761；40 42 58；40 75 85；40 96 104；40 198 20240 399 401；41 840 841；42 56 70；42 144 150；42 440 442；43 924 925；44 117 125；44 240 24444 483 485；45 60 75；45 108 117；45 200 205；45 336 339；46 528 530；48 55 73；4864 8048 90 102；48 140 148；48 189 195；48 286 290；48 575 577；49 168 175；50 120 130；50 624 62651 68 85；51 140 149；51 432 435；52 165 173；52 336 340；52 675 677；54 72 90；54240 24654 728 730；55 132 143；55 300 305；56 90 106；56 105 119；56 192 200；56 390 394；56 783 78557 76 95；57176 185；57 540 543；58 840 842；60 63 87；60 80 100；60 91 109；60 144 15660 175 185；60 221 229；60 297 303；60 448 452；60 899 901；62 960 962；63 84 105；63 216 22563 280 287；63 660 663；64 120 136；64 252 260；64 510 514；65 72 97；65 156 169；65 420 42566 88 110；66 112 130；66 360 366；68 285 293；68 576 580；69 92 115；69 260 269；69 792 79570 168 182；70 240 250；72 96 120；72 135 153；72 154 170；72 210 222；72 320 328；72 429 43572 646 650；75 100 125；75 180 195；75 308 317；75 560 565；75 936 939；76 357 365；76 720 72477 264 275；77 420 427；78 104 130；78 160 178；78 504 510；80 84 116；80 150 170；80 192 20880 315 325；80 396 404；80 798 802；81 108 135；81 360 369；84 112 140；84 135 159；84 187 20584 245 259；84 288 300；84 437 445；84 585 591；84 880 884；85 132 157；85 204 221；85 720 72587 116 145；87 416 425；88 105 137；88 165 187；88 234 250；88 480 488；88 966 970；90 120 15090 216 234；90 400 410；90 672 678；91 312 325；91 588 595；92 525 533；93 124 155；93 476 48595 168 193；95 228 247；95 900 905；96 110 146；96 128 160；96 180 204；96 247 265；96 280 29696 378 390；96 572 580；96 765 771；98 336 350；99 132 165；99 168 195；99 440 451；99 540 549100 105 145；100240260；100 495 505；100621629.以下是大于100的勾股数：第223组：102 136 170第224组：102 280 298第225组：102 864 870第226组：104 153 185第227组：104 195 221第228组：104 330 346第229组：104 672 680第230组：105 140 175第231组：105 208 233第232组：105 252 273第233组：105 360 375第234组：105 608 617第235组：105 784 791第236组：108 144 180第237组：108 231 255第238组：108 315 333第239组：108 480 492第240组：108 725 733第241组：108 969 975第242组：110 264 286第243组：110 600 610第244组：111 148 185第245组：111 680 689第246组：112 180 212第247组：112 210 238第248组：112 384 400第249组：112 441 455第250组：112 780 788第251组：114 152 190第252组：114 352 370第253组：115 252 277第254组：115 276 299第256组：117 156 195 第257组：117 240 267 第258组：117 520 533 第259组：117 756 765 第260组：119 120 169 第261组：119 408 425 第262组：120 126 174 第263组：120 160 200 第264组：120 182 218 第265组：120 209 241 第266组：120 225 255 第267组：120 288 312 第268组：120 350 370 第269组：120 391 409 第270组：120 442 458 第271组：120 594 606 第272组：120 715 725 第273组：120 896 904 第274组：121 660 671 第275组：123 164 205 第276组：123 836 845 第277组：124 957 965 第278组：125 300 325 第279组：126 168 210 第280组：126 432 450 第281组：126 560 574 第282组：128 240 272 第283组：128 504 520 第284组：129 172 215 第285组：129 920 929 第286组：130 144 194 第287组：130 312 338 第288组：130 840 850 第289组：132 176 220 第290组：132 224 260 第291组：132 351 375 第292组：132 385 407 第293组：132 475 493 第294组：132 720 732 第295组：133 156 205 第296组：133 456 475 第297组：135 180 225 第298组：135 324 351第300组：135 600 615 第301组：136 255 289 第302组：136 273 305 第303组：136 570 586 第304组：138 184 230 第305组：138 520 538 第306组：140 147 203 第307组：140 171 221 第308组：140 225 265 第309组：140 336 364 第310组：140 480 500 第311组：140 693 707 第312组：140 975 985 第313组：141 188 235 第314组：143 780 793 第315组：143 924 935 第316组：144 165 219 第317组：144 192 240 第318组：144 270 306 第319组：144 308 340 第320组：144 420 444 第321组：144 567 585 第322组：144 640 656 第323组：144 858 870 第324组：145 348 377 第325组：145 408 433 第326组：147 196 245 第327组：147 504 525 第328组：150 200 250 第329组：150 360 390 第330组：150 616 634 第331组：152 285 323 第332组：152 345 377 第333组：152 714 730 第334组：153 204 255 第335组：153 420 447 第336组：153 680 697 第337组：154 528 550 第338组：154 840 854 第339组：155 372 403 第340组：155 468 493 第341组：156 208 260 第342组：156 320 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640 800 第796组：480 693 843 第797组：480 728 872 第798组：480 836 964 第799组：481 600 769 第800组：483 644 805 第801组：483 720 867 第802组：486 648 810 第803组：489 652 815 第804组：492 656 820 第805组：495 660 825 第806组：495 840 975 第807组：498 664 830 第808组：500 525 725 第809组：501 668 835 第810组：504 550 746 第811组：504 672 840 第812组：504 703 865 第813组：504 810 954 第814组：507 676 845 第815组：510 680 850 第816组：510 792 942 第817组：513 684 855 第818组：516 688 860 第819组：519 692 865 第820组：520 546 754 第821组：520 576 776 第822组：520 765 925 第823组：522 696 870 第824组：522 760 922 第825组：525 700 875 第826组：528 605 803第828组：528 704 880 第829组：531 708 885 第830组：532 624 820 第831组：533 756 925 第832组：534 712 890 第833组：537 716 895 第834组：540 567 783 第835组：540 629 829 第836组：540 720 900 第837组：540 819 981 第838组：543 724 905 第839组：546 728 910 第840组：549 732 915 第841组：552 736 920 第842组：555 572 797 第843组：555 740 925 第844组：558 744 930 第845组：560 588 812 第846组：560 684 884 第847组：560 702 898 第848组：561 748 935 第849组：564 752 940 第850组：567 756 945 第851组：570 760 950 第852组：573 764 955 第853组：576 660 876 第854组：576 768 960 第855组：579 772 965 第856组：580 609 841 第857组：580 741 941 第858组：582 776 970 第859组：585 648 873 第860组：585 780 975 第861组：588 784 980 第862组：591 788 985 第863组：594 608 850 第864组：594 792 990 第865组：595 600 845 第866组：597 796 995 第867组：600 630 870 第868组：600 800 1000 第869组：612 759 975 第870组：615 728 953第872组：616 735 959 第873组：620 651 899 第874组：621 672 915 第875组：624 715 949 第876组：638 720 962 第877组：640 672 928 第878组：650 720 970 第879组：660 693 957 第880组：680 714 986 第881组：696 697 985。

勾股定理概念及其性质

勾股定理概念及其性质
勾股定理（又称Pythagorean theorem）是古希腊数学家勾股提出的一个定理，它指出：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方之和。

即：
a2 + b2 = c2
其中，a和b分别为直角边，c为斜边。

勾股定理的性质：
（1）勾股定理是一个双调定理，即它不仅适用于直角三角形，也适用于任何等腰三角形；
（2）勾股定理的三条边的关系不受三角形的位置、大小或形状的变化而改变；
（3）勾股定理可以用来求解不等腰三角形的斜边长度；
（4）勾股定理可以用来求解等腰三角形的其他两边长度；
（5）勾股定理可以用来求解任何直角三角形的外接圆半径；
（6）勾股定理可以用来求解任何等腰三角形的内接圆半径。

勾股定理

勾股定理一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2。

公式的变形：a2=c2-b2，b2=c2-a2。

勾股定理在西方叫毕达哥拉斯定理，也叫百牛定理。

它是直角三角形的一条重要性质，揭示的是三边之间的数量关系。

它的主要作用是已知直角三角形的两边求第三边。

勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。

2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2+b2=c2，那么三角形ABC是直角三角形。

这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。

注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。

②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。

4、最短距离问题：主要运用的依据是。

二、知识结构：直角三角形勾股定理应用判定直角三角形的一种方法三、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积求：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．2.如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边例（09年山东滨州）如图2，已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高，AD＝8，则边BC的长为（）A．21B．15C．6D．以上答案都不对【强化训练】：1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为．2．（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高．（结论：直角三角形的两条直角边的积等于斜边与其高的积，ab=ch）考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高例、（09年湖南长沙）如图1所示，等腰中，，是底边上的高，若，求①AD的长；②ΔABC的面积．考点四:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题例、（09年滨州）某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为．分析：如何利用所学知识，把折线问题转化成直线问题，是问题解决的关键。

勾股定理

第四讲勾股定理知识梳理一、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方二、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。

三、常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13四、勾股定理的作用（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段。

例题讲解1、在ABC ∆中，o90=∠C（1）若25c 20b ==，，则=a （2）若4:3:=b a ，20=c ，则=a （3）若b a 3=，10=c ，则=∆ABC S2、已知一个Rt △的两直角边长分别为3和4，则第三边长的平方是（） A ．25 B ．7 C ．7或25 D ．无法确定3、已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（） A ．25 B ．7 C ．7或25 D ．无法确定4、已知一个△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（） A ．25 B ．7C ．7或25D ．无法确定5、Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则AB 2＋AC 2＋BC 2的值为( ) A ．8 B ．4C ．6D ．无法计算6、如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BD 是AC 边上的高线，DC ＝2，则BD 等于( ) A ．4B ．6C ．8D ．102勾股数树1、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中正方形A ，B ，C ，D 的边和长分别为2cm 、1cm 、2cm 、4cm ，则最大的正方形的面积之和为___________cm 2.2、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为6cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为__________cm 2。

勾股定理

勾股定理勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。

勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。

勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。

在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。

[1]中文名勾股定理外文名Pythagoras theorem 别称商高定理、毕达哥拉斯定理、百牛定理表达式a²+b²=c²提出者毕达哥拉斯赵爽商高提出时间公元前551年应用学科几何学适用领域范围数学，几何学适用领域范围数学，几何学中国记载著作《周髀算经》《九章算术》外国记载著作《几何原本》限制条件直角三角形在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。

如果设直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，那么可以用数学语言表达：勾股定理是余弦定理中的一个特例。

推导赵爽弦图《九章算术》中，赵爽描述此图：“勾股各自乘，并之为玄实。

开方除之，即玄。

案玄图有可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四。

以勾股之差自相乘为中黄实。

加差实亦成玄实。

以差实减玄实，半其余。

以差为从法，开方除之，复得勾矣。

加差于勾即股。

凡并勾股之实，即成玄实。

或矩于内，或方于外。

形诡而量均，体殊而数齐。

勾实之矩以股玄差为广，股玄并为袤。

而股实方其里。

减矩勾之实于玄实，开其余即股。

倍股在两边为从法，开矩勾之角即股玄差。

加股为玄。

以差除勾实得股玄并。

以并除勾实亦得股玄差。

令并自乘与勾实为实。

倍并为法。

所得亦玄。

勾实减并自乘，如法为股。

勾股定理

勾股定理编辑[gōu gǔ dìng lǐ]勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

勾股定理是余弦定理的一个特例。

勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。

“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。

勾股数组方程a2+b2=c2的正整数组(a,b,c)。

(3,4,5)就是勾股数。

也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2。

中文名勾股定理、勾股弦定理外文名Pythagorean theorem1基本定理编辑勾三股四弦五文字表述：在任何一个的直角三角形中，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方（也可以理解成两个长边的平方相减与最短边的平方相等）。

数学表达：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。

[1]推广定理：勾股定理的逆定理。

如果 (a,b,c) 是勾股数，它们的正整数倍数，也是勾股数，即∀n∈Z*，(na,nb,nc) 也是勾股数。

若a,b,c三者互质（它们的最大公约数是 1），它们就称为素勾股数。

2历史编辑毕达哥拉斯定理是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。

在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理，三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。

埃及称为埃及三角形。

早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且古巴比伦、古埃及、古中国、古印度等的发现都有真凭实据，有案可查。

相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的种种传说都是后人辗转传播的。

可以说真伪难辨。

这个现象的确不太公平，之所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上。

勾股定理-讲义

勾股定理一、知识梳理1．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2=c2的变形有：a2=c2﹣b2，b2= c2﹣a2及c2=a2+b2．（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．2. 直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．3．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．4．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．二、经典例题+基础练习1. 勾股定理．【例1】已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（）A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对．练1.在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（）A．84 B．24 C．24或84 D．42或84练2.如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（）A．1 B． C． D．2 2. 等腰直角三角形．【例2】已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是（）A．2n﹣2 B．2n﹣1 C．2n D．2n+1练3.将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（）A． B． C． D．3.等边三角形的性质；勾股定理．【例3】以边长为2厘米的正三角形的高为边长作第二个正三角形，以第二个正三角形的高为边长作第三个正三角形，以此类推，则第十个正三角形的边长是（）A．2×（）10厘米 B．2×（）9厘米C．2×（）10厘米 D．2×（）9厘米练4.等边三角形ABC的边长是4，以AB边所在的直线为x轴，AB边的中点为原点，建立直角坐标系，则顶点C的坐标为．4．勾股定理的应用．【例4】工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B． C．80cm或 D．60cm 练5.现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A．米B．米C．米或米 D．米5．平面展开-最短路径问题．【例5】如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D 出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm 练6．如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）m．A．4.8 B． C．5 D．三、课堂练习1．已知两边的长分别为8，15，若要组成一个直角三角形，则第三边应该为（）A．不能确定 B． C．17 D．17或2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若∠A：∠B：∠C=1：2：3．则a：b：c=（）A．1：：2 B．：1：2 C．1：1：2 D．1：2：33．直角三角形的两边长分别为3厘米，4厘米，则这个直角三角形的周长为（）A．12厘米 B．15厘米 C．12或15厘米 D．12或（7+）厘米4．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．5．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为m．6．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是米．（精确到0.01米）四、能力提升1．若一个直角三角形的三边长分别为3，4，x，则满足此三角形的x值为（）A．5 B． C．5或 D．没有2．已知直角三角形有两条边的长分别是3cm，4cm，那么第三条边的长是（）A．5cm B．cm C．5cm或cm D．cm3．已知Rt△ABC中的三边长为a、b、c，若a=8，b=15，那么c2等于（）A．161 B．289 C．225 D．161或2894．一个等腰三角形的腰长为5，底边上的高为4，这个等腰三角形的周长是（）A．12 B．13 C．16 D．185．长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是cm．6．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用秒钟．7．如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由A出发，在盒子的表面上爬到点C1，已知AB=5cm，BC=3cm，CC1=4cm，则这只蚂蚁爬行的最短路程是cm．8．如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米．9．如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10（单位：cm），在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为hcm，则h的最小值大约为cm．（精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2）．10．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为mm．勾股定理的逆定理一、知识点梳理1．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．2．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．3．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．4．方向角（1）方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．（2）用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）（3）画方位角以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．5．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=×底×高．（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．6．作图—复杂作图复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．7．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．二、经典例题+基础练习1.勾股定理的逆定理．【例1】下列四组线段中，能组成直角三角形的是（）A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=2，b=4，c=5 D．a=3，b=4，c=5练1.下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6练2.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A．，，B．1，，C．6，7，8 D．2，3，42. 勾股定理的应用．【例2】如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．12米D．14米练3.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为（）A．12m B．13m C．16m D．17m 3.平面展开-最短路径问题．【例3】如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A．13cm B．2cm C．cm D．2cm练4.如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为．4．勾股定理的应用：方向角．【例4】已知A，B，C三地位置如图所示，∠C=90°，A，C两地的距离是4km，B，C两地的距离是3km，则A，B两地的距离是km；若A地在C地的正东方向，则B地在C 地的方向．练5.如图，小明从A地沿北偏东60°方向走2千米到B地，再从B地正南方向走3千米到C地，此时小明距离A地千米（结果可保留根号）．5．坐标与图形性质；勾股定理的逆定理．【例5】在平面直角坐标系中有两点A（﹣2，2），B（3，2），C是坐标轴上的一点，若△ABC 是直角三角形，则满足条件的点共有（）A．1个 B．2个 C．4个 D．6个练6．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有个．三、课堂练习1．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行米．2．如图，小聪用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距3米，小聪身高AB为1.7米，则这棵树的高度= 米．3．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为米（结果精确到0.1米，参考数据：=1.41，=1.73）．4．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留π）5．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．四、能力提升1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3 2．若a、b、c为三角形三边，则下列各项中不能构成直角三角形的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．a=5，b=13，c=12C．a=1，b=2，c=3 D．a=30，b=40，c=503．以下各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（）A．3、4、6 B．9、12、15 C．5、12、14 D．10、16、25 4．工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B． C．80cm或 D．60cm5．现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A．米 B．米 C．米或米 D．米6．现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（）A．30厘米 B．40厘米 C．50厘米 D．以上都不对7．如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm8．如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=，BC=3，一只蚂蚁，要从A 点爬行到C点，那么，最近的路程长为（）A．7 B． C． D．59．有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（）A．5cm B．cm C．4cm D．3cm 10．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB 的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有个．11．设a＞b，如果a+b，a﹣b是三角形较小的两条边，当第三边等于时，这个三角形为直角三角形．12．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．13．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为m．14．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）15．校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：=1.41，=1.73）16．如图，一根长6米的木棒（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，与地面的倾斜角（∠ABO）为60°．当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′．（1）求OB的长；（2）当AA′=1米时，求BB′的长．勾股定理中的折叠问题一、经典例题例1．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8。