第一章(逻辑运算及描述)
逻辑代数基础
第一章逻辑代数基础1.1概述1.1.1模拟信号和数字信号电子电路中的信号可以分为两大类：模拟信号和数字信号。
模拟信号——时间连续、数值也连续的信号。
数字信号——时间上和数值上均是离散的信号。
（如电子表的秒信号、生产流水线上记录零件个数的计数信号等。
这些信号的变化发生在一系列离散的瞬间，其值也是离散的。
）数字信号只有两个离散值，常用数字0和1来表示，注意，这里的0和1没有大小之分，只代表两种对立的状态，称为逻辑0和逻辑1，也称为二值数字逻辑。
数字电路的特点和分类传递与处理数字信号的电子电路称为数字电路。
1、数字电路的特点数字电路与模拟电路相比主要有下列优点：（1）由于数字电路是以二值数字逻辑为基础的，只有0和1两个基本数字，易于用电路来实现，比如可用二极管、三极管的导通与截止这两个对立的状态来表示数字信号的逻辑0和逻辑1。
（2）由数字电路组成的数字系统工作可靠，精度较高，抗干扰能力强。
它可以通过整形很方便地去除叠加于传输信号上的噪声与干扰，还可利用差错控制技术对传输信号进行查错和纠错。
（3）数字电路不仅能完成数值运算，而且能进行逻辑判断和运算，这在控制系统中是不可缺少的。
（4）数字信息便于长期保存，比如可将数字信息存入磁盘、光盘等长期保存。
（5）数字集成电路产品系列多、通用性强、成本低。
由于具有一系列优点，数字电路在电子设备或电子系统中得到了越来越广泛的应用，计算机、计算器、电视机、音响系统、视频记录设备、光碟、长途电信及卫星系统等，无一不采用了数字系统。
2、数字电路的分类按集成度分类：数字电路可分为小规模（SSI，每片数十器件）、中规模（MSI，每片数百器件）、大规模（LSI，每片数千器件）和超大规模（VLSI，每片器件数目大于1万）数字集成电路。
集成电路从应用的角度又可分为通用型和专用型两大类型。
1.1.2 数制与码制1. 数制一．几种常用的计数体制1、十进制(Decimal)数码为：0～9；基数是10。
逻辑代数基础数字电子技术基础课件
二进制数 自然码 8421码 5211码 2421码 余三码
0000 0001
0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001
1010 1011 1100 1101 1110 1111
0 00
1 11
22
33
4 42
5 53
66
7 74 8 85
996
10
11
12
7
13
0. 654 ×2
1.308 0.308 ×2
0.616
0.616 ×2
1.232
取整数 1 … K-1 取整数 0 … K-2 取整数 1 … K-3
0. 232 ×2
0.464 0.464 ×2
0.928
0.928 ×2
1. 856
取整数 0 … K-4 取整数 0 … K-5 取整数 1 … K-6
( A 5 9 . 3 F )H =
1010 0101 1001 . 0011 1111
二——十转
按换权展开法
十——二转
整换数除2取余倒序法 小数乘2取整顺序法
二——十六转 小数换点左、右四位一组
分组，取每一组等值旳 十六进制数
十六——二转 每一换位十六进制数用相
应旳四位二进制数替代
1.1.3 码制
【 】 内容 回忆
二——十
按权展开相加法
十——二
整数部分除2取余倒序法 小数部分乘2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ整顺序法
【 】 内容 回忆 二——十 六 小数点左、右四位一组分组， 取每一组等值旳十六进制数
十六——二
每一位十六进制数用相应旳四 位二进制数替代
1.1.3 码制 1、原码
逻辑运算法则
逻辑运算法则逻辑运算一直是人类思维中重要的组成部分，对于逻辑运算法则的研究则进一步拓展了人们对于逻辑思维的认识。
本文将从逻辑运算法则的基本概念出发，深入探讨其在不同情景下的应用，并探讨其对于日常生活和决策制定的重要性。
逻辑运算法则的基本概念逻辑运算法则是指在逻辑思维中使用的一系列规则和原则，旨在确保推理和论证的准确性和有效性。
其基本概念包括三大部分：命题逻辑、联结词和推理规则。
命题逻辑命题逻辑是逻辑运算法则的基础，它涉及命题的真假和逻辑关系的推断。
在命题逻辑中，命题可以是真可以是假，用符号P、Q、R等表示。
通过逻辑运算法则可以对命题之间的关系进行推理和推断，帮助我们更好地理清思路。
联结词联结词是连接命题的逻辑符号，包括“与”、“或”、“非”等。
它们用于表达不同的逻辑关系，帮助我们更准确地描述信息之间的关系。
推理规则推理规则是逻辑运算法则的重要组成部分，包括假言推断、析取三段论、假言三段论等。
通过这些推理规则，我们可以从已知的命题中得出新的结论，进行更深入的推理和论证。
逻辑运算法则在实际生活中的应用逻辑运算法则不仅仅是一种抽象的概念和原则，它还广泛应用于我们的日常生活中。
决策制定在面对日常生活中的选择和决策时，逻辑运算法则可以帮助我们分析各种因素的优劣，做出明智的决策。
通过逻辑运算法则，我们可以更好地评估风险和机会，提高决策的准确性和效率。
辩论和讨论在辩论和讨论中，逻辑运算法则可以帮助我们更好地组织自己的观点，避免逻辑混乱和谬误。
通过合理运用推理规则和联结词，我们可以更有说服力地表达自己的观点，并有效地驳倒对方的论证。
问题解决在解决问题和处理矛盾时，逻辑运算法则可以帮助我们快速定位问题的关键点，并找出解决问题的方法。
通过正确应用逻辑运算法则，我们可以更系统地分析问题，找出最佳解决方案。
总结逻辑运算法则作为人类思维中重要的一部分，对于我们的日常生活和决策制定具有重要意义。
通过深入理解逻辑运算法则的基本概念和应用，我们可以提高自己的逻辑思维能力，更好地应对各种挑战和问题。
计算机组成原理第一章总结
第一章计算机系统概述1.电子（电子线路）数字（电子线路是数学式）通用（计算机本身功能多样）计算机系统。
2.计算机系统由计算机硬件（构成计算机的所有实体部件的组合）和计算机软件（一系列按照待定顺序组织的计算机数据和指令的集合）组成。
3.硬件指由中央处理器，存储器以及外围设备等组成的实际装置，硬件的作用是完成每条指令规定的功能。
指令是计算机运行的最小的功能单位，指令是指示计算机硬件执行某种运算，处理功能的命令。
4.软件是为了使用计算机而编写的各种系统的和用户的程序，程序由一个序列的计算机指令组成。
指令是用于设计的一种计算机语言。
5.计算机系统的层次结构：数字逻辑层，微体系结构层（这两层是硬件部分），指令系统层（处在硬件和软件系统），操作系统层，汇编语言层，高级语言层（这三层是软件部分）。
6.运算器（ALU，算术逻辑单元）（1）算术运算和逻辑运算（2）在计算机中参与运算的数是二进制的（3）运算器的长度一般是8，16，32或64位。
7.存储器（1）存储单元：在存储器中保存一个n位二进制数的n个触发器，组成一个存储单元。
（2）存储器地址：存储器是由许多存储单元组成，每个存储单元的编号称为地址。
（3）内存储器（ROM,RAM）8.信息单位（1）位（bit，简写b）数字计算机信息单位；包含1位二进制（0或1）（2）字节（Byte,简写B）由8位二进制信息组成（3）字（Word）计算机一次所能处理的二进制位数，至少一个字节，通常把组成一个字的二进制位数称为字长9.存储器的分类（1）按照在计算机中的作用（主存储器，寄存器，闪速存储器，高速缓冲存储器，辅助存储器等）10.主存储器（主存）通常采用半导体存储器（1）随机存取存储器（RAM）CPU可读写，断电时内容被消除（2）只读存储器（ROM）CPU只能读写，断电后可保留其数据，存储在ROM中的软件常被称为固件。
11.寄存器（CPU内部的一组特殊存储单元）（1）读写速度比主存快的多，通常被用于使用最为频繁的数据项，以避免多次访问主存，减少主存访问可大大加快计算机速度。
《数字逻辑与数字系统》教学大纲
《数字逻辑与数字系统》教学大纲一、使用说明（一）课程性质《数字逻辑与数字系统》是计算机科学与技术专业的一门专业基础课。
（二）教学目的通过本课程的学习，可以使学生熟悉数制与编码,逻辑函数及其化简,集成逻辑部件,中大规模集成组合逻辑构件。
掌握组合逻辑电路分析和设计，同步时序逻辑电路分析和设计，异步时序逻辑电路分析和设计；中规模集成时序逻辑电路分析和设计。
了解可编程逻辑器件，数字系统设计，数字系统的基本算法与逻辑电路实现，VHDL语言描述数字系统。
为专业课的学习打下坚实的基础。
（三）教学时数本课程理论部分总授课时数为68课时。
（四）教学方法理论联系实际，课堂讲授。
（五）面向专业计算机科学与技术专业。
二、教学内容第一章数制与编码（一）教学目的与要求通过本章学习使学生掌握数制的表示及转换，二进制数的算术运算,二进制码，原码、补码、反码。
（二）教学内容模拟信号，数字信号，数制的表示及转换，二进制数的算术运算,二进制码，原码、补码、反码。
重点与难点：数制，二进制码，逻辑运算，逻辑代数的基本定律和规则，逻辑函数的化简。
第一节进位计数制1、十进制数的表示2、二进制数的表示3、其它进制数的表示第二节数制转换1、二进制数与十进制数的转换2、二进制数与八进制数、十六进制数的转换第三节带符号数的代码表示1、真值与机器数2、原码3、反码4、补码5、机器数的加、减运算6、十进制数的补数第四节码制和字符的代码表示1、码制2、可靠性编码3、字符代码（三）教学方法与形式课堂讲授。
（四）教学时数2课时。
第二章逻辑代数与逻辑函数（一）教学目的与要求通过本章学习使学生掌握逻辑代数的基本运算,逻辑代数的基本公式、定理及规则。
逻辑函数表达式的形式与转换方法，逻辑函数的代数法及卡诺图法化简。
（二）教学内容逻辑代数的基本运算、基本公式、定理及规则。
逻辑函数表达式的形式与转换方法，逻辑函数的代数法及卡诺图法化简。
重点与难点：逻辑代数的公式、定理及规则。
逻辑运算法则
03
非门（NOT Gate）
• 非门是一种一元运算，表示为¬A
• 非门的功能是将输入的真变为假，将假变为真
逻辑门电路的设计与实现：晶体管与二极管电路
晶体管
• 晶体管是一种常用的半导体器件，可以用作开关和放大器
• 晶体管可以实现与门、或门和非门等逻辑门电路
二极管
• 二极管是一种半导体器件，具有单向导电性
• 逻辑门电路是数字电路的基础，广泛应用于电子设备中
逻辑运算在计算机科学中的应用
• 逻辑运算用于处理计算机中的逻辑操作
• 逻辑运算在计算机硬件和软件的设计中都起着重要作用
逻辑运算在编程语言中的应用
• 逻辑运算用于编写条件语句和循环语句
• 逻辑运算在算法和数据处理中有着广泛的应用
逻辑运算的历史发展：从布尔代数到现代逻辑电路
• 二极管可以实现或门和非门等逻辑门电路
逻辑电路的综合与优化：用逻辑代数表示电路设计
逻辑代数
电路综合
• 逻辑代数是一种用代数符号表示逻辑运算的方法
• 电路综合是一种将逻辑代数表达式转化为实际电路设计
• 逻辑代数可以用于分析和设计逻辑电路
的方法
• 电路综合可以用于优化逻辑电路的性能，提高电路的可
靠性
的便利
• 现代逻辑电路在计算机科学、通信技术等领域有着广泛的应用
02
逻辑运算的基本种类与性质
常见的逻辑运算：与、或、非、异或等
01
02
03
04
与运算（AND）
或运算（OR）
非运算（NOT）
异或运算（XOR）
• 与运算的逻辑表达式为：A
• 或运算的逻辑表达式为：A
• 非运算的逻辑表达式为：
第一章 数字逻辑电路基础知识
(DFC.8)H =13×162+15×161+12×20+8×16-1 =(3580 .5)D
二. 二进制数←→十六进制数
因为24=16，所以四位二进制数正好能表示一位十六进制数的16个数码。反过
来一位十六进制数能表示四位二进制数。
例如：
(3AF.2)H 1111.0010=(001110101111.0010)B 2
第一章 数字逻辑电路基础知识
1.1 数字电路的特点 1.2 数制 1.3 数制之间的转换 1.4 二进制代码 1.5 基本逻辑运算
数字电路处理的信号是数字 信号，而数字信号的时间变 量是离散的，这种信号也常 称为离散时间信号。
1.1 数字电路的特点
（1）数字信号常用二进制数来表示。每位数有二个数码，即0和1。将实际中彼此 联系又相互对立的两种状态抽象出来用0和1来表示，称为逻辑0和逻辑1。而且在 电路上，可用电子器件的开关特性来实现，由此形成数字信号，所以数字电路又 可称为数字逻辑电路。
例如： （1995）D=（7CB）H =（11111001011）B
或 1995D =7CBH=11111001011B 对于十进制数可以不写下标或尾符。
1.3 不同进制数之间的转换
一.任意进制数→十进制数： 各位系数乘权值之和(展开式之值)＝十进制数。 例如： (1011.1010)B=1×23+1×21+1×20+1×2-1+1×2-3
逻辑运算可以用文字描述，亦可用逻辑表达式描述，还可 以用表格（这种表格称为真值表）和图形（ 卡诺图、波形 图）描述。
在逻辑代数中有三个基本逻辑运算，即与、或、非逻辑运 算。
一. 与逻辑运算
离散数学章节总结
离散数学章节总结离散数学章节总结第⼀章[命题逻辑]1.逻辑运算1.否定:Negation? NOT2.交:Conjunction AND3.并:Disjunction OR4.蕴含:Implication IMPLIES5. Biconditional ? IFFXOR2.逆/否/逆否1.逆:converse2.否:inverse3.逆否:conytrapositive3.问题的⼀致性[逻辑等价]→q 等价于?p q 等价于? q→?p2. p q 等价于?p→qp q 等价于?( p→?q)3.(p→q)(p→r) 等价于p→(q r)(p→r)(q→r) 等价于(p q)→r(p→r)(q→r)等价于(p q) →r4.证明等价: 真值表逻辑符号证明找反例(假设左为假右必为假假设右为假左必为假)[ 谓词逻辑]1.量词存在任意量词顺序不能随机改变不全为真:(p1p2…p n) (p1p2…p n) x P(x ) x P(x )没有⼀个为真:(p1p2…p n) (p1p2…p n) x P(x ) x P(x ) [ 推理][ 证明]1.证明⽅法:直接证明间接证明反证列举证明(列举所有情况) 构造证明(构造出满⾜结论的元素)2.证明步骤:正向证明反向证明第⼆章[ 集合及运算]1.特殊集合: R Q Z ⽆穷/有限集2.集合表述⽅法: 列举法描述法图表法3.集合运算: 交/并/补/差/取⼦集P(S)/元素数|S|/乘积P ×Q /BA B A B A B A ?=??=? n i iA 1= X A A ∈ ni iA 1= XA A∈容斥原理A i i =1n=Ai1≤i ≤n ∑-A iAj1≤inA ii =1n4.证明集合相等:1.证明互为⼦集 2.从属表 3.逻辑证明[ 函数]1.函数的定义2.术语：定义域，值域，象，原象，范围， (a)/f(A)第五章[序、归纳]1.序：在某种关系下存在最⼩元素则为well-ordered2.第⼀数学归纳法：basic step P(C)成⽴and inductive step P(k)→P(k+1)3.第⼆数学归纳法:basic step:P(c)成⽴ and inductive step: 任意k⼩于等于nP(k) 成⽴→P(n+1) [递归]1.递归：以相同形式⽤⼩的项来定义的⼤的项不能⼀直递归下去（存在初始项）必须存在可以直接解决问题的⼀项①basic step:原有元素② recursive step:原有元素如何产⽣新元素2.字符串的定义：空字符，回⽂3.结构归纳：⽤于证明递归结构对所有元素都成⽴：①basic step:原有元素成⽴②recursive step:⽤递归式导出的新元素成⽴[递归算法]1.定义：把问题转化为相同形式但值更⼩的算法2.递归算法有初始步骤（是可终⽌的）并且递归时⾄少改变⼀个参数值使之向初始步骤靠拢3.递归时间复杂度⾼，可以⽤⾮递归（loop或 stack）来代替[程序的正确性]1.测试与证明：证明更有说服⼒2.证明：①程序会终⽌②（部分正确）程序只要可以终⽌得出的结论都是正确的正确的程序：对任意可能的输⼊都有正确的输出部分正确，完全正确triple：P{S}QP: precondition S: assertion Q:postconditionP{S}Q:当PQ正确时为部分正确当证明了S的可终⽌性为完全正确4.程序的基本语句：赋值，命题，条件，循环5.弱化结论：P{S}R R→Q：P{S}Q强化条件Q→R R{S}P：Q{S}P复合：P{S1}R R{S2}Q: P{S1;S2}Q第六章[加法乘法原理]1.加法乘法原理：⽅法不重复，互不影响，做1or2 m+n 做1and2 mn2.容斥原理：⽅法有重叠：|A B |=|A ||B ||A B |3.包含条件的问题。
逻辑代数基础(课件)
图形符号
A
L
B
23
2. 或逻辑
逻辑表达式 L= A + B
只有决定某一事件的原因有一个或 一个以上具备，这一事件才能发生
AB L 00 0 01 1 10 1 11 1 或逻辑真值表
图形符号
A 1
L
B
24
3. 非逻辑
当决定某一事件的条件满足时，事 件不发生；反之事件发生
非逻辑真值表
AL
图形符号
0
1
1
0
逻辑表达式 F= A
A
1
L
25
1.3.2 常用复合逻辑运算
与非逻辑运算
或非逻辑运算
L=AB
L=A+B
L
L
与或非逻辑运算 L=AB+CD
L
26
异或运算
AB 00 01 10 11
L 0 1
1 0
逻辑表达式
L=AB=AB+ AB
图A 形符号=1
B
L
同或运算
AB 00 01 10
L 1 0
0
逻辑表达式 L=A B= AB
利用真值表
用真值表证明反演律
A B AB A+ B A• B A+B
00 1
1
1
1
01 1
1
0
0
10 1
1
0
0
11 0
0
0
0
A• B= A+B A+ B=AB
31
1.4.2 逻辑代数中的基本规则
1. 代入规则
任何一个含有某变量的等式，如果等式中 所有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数 式，则此等式依然成立。
离散数学第一章命题逻辑知识点总结
数理逻辑部分第1章命题逻辑命题符号化及联结词命题: 判断结果惟一的陈述句命题的真值: 判断的结果真值的取值: 真与假真命题: 真值为真的命题假命题: 真值为假的命题注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。
简单命题(原子命题)：简单陈述句构成的命题复合命题：由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题简单命题符号化用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1）表示简单命题用“1”表示真，用“0”表示假例如，令p：是有理数，则p 的真值为 0q：2 + 5 = 7，则q 的真值为 1联结词与复合命题1.否定式与否定联结词“”定义设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称为p的否定式，记作p. 符号称作否定联结词，并规定p为真当且仅当p为假.2.合取式与合取联结词“∧”定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q 的合取式，记作p∧q. ∧称作合取联结词，并规定 p∧q为真当且仅当p 与q同时为真注意：描述合取式的灵活性与多样性分清简单命题与复合命题例将下列命题符号化.(1) 王晓既用功又聪明.(2) 王晓不仅聪明，而且用功.(3) 王晓虽然聪明，但不用功.(4) 张辉与王丽都是三好生.(5) 张辉与王丽是同学.解令p：王晓用功，q：王晓聪明，则(1) p∧q(2) p∧q(3) p∧q.令r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生(4) r∧s.(5) 令t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .说明:(1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性.(5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是一个简单命题.3.析取式与析取联结词“∨”定义设p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.例将下列命题符号化(1) 2或4是素数.(2) 2或3是素数.(3) 4或6是素数.(4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨.(5) 王晓红生于1975年或1976年.解令p:2是素数, q:3是素数, r:4是素数, s:6是素数,则 (1), (2), (3) 均为相容或.分别符号化为: p∨r , p∨q, r∨s,它们的真值分别为 1, 1, 0.而 (4), (5) 为排斥或.令t :小元元拿一个苹果，u:小元元拿一个梨，则 (4) 符号化为 (t∧u) ∨(t∧u).令v :王晓红生于1975年,w:王晓红生于1976年,则 (5) 既可符号化为 (v∧w)∨(v∧w), 又可符号化为v∨w , 为什么4.蕴涵式与蕴涵联结词“”定义设p,q为二命题，复合命题“如果p,则q” 称作p与q的蕴涵式，记作p q，并称p是蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并规定，p q为假当且仅当p 为真q 为假.p q 的逻辑关系：q 为p 的必要条件“如果p，则q ” 的不同表述法很多：若p，就q只要p，就qp 仅当q只有q 才p除非q, 才p 或除非q, 否则非p.当p 为假时，p q 为真常出现的错误：不分充分与必要条件5.等价式与等价联结词“”定义设p，q为二命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式，记作p q. 称作等价联结词.并规定p q为真当且仅当p与q同时为真或同时为假.说明:(1) p q 的逻辑关系:p与q互为充分必要条件(2) p q为真当且仅当p与q同真或同假联结词优先级:( ),, , , ,同级按从左到右的顺序进行以上给出了5个联结词：, , , , ，组成一个联结词集合{, , , , }，联结词的优先顺序为：, , , , ; 如果出现的联结词同级，又无括号时，则按从左到右的顺序运算; 若遇有括号时，应该先进行括号中的运算.注意: 本书中使用的括号全为园括号.命题常项命题变项命题公式及分类命题变项与合式公式命题常项：简单命题命题变项：真值不确定的陈述句定义合式公式 (命题公式, 公式) 递归定义如下：(1) 单个命题常项或变项p,q,r,…,p i ,q i ,r i ,…,0,1是合式公式(2) 若A是合式公式，则 (A)也是合式公式(3) 若A, B是合式公式，则(A B), (A B), (A B), (A B)也是合式公式(4) 只有有限次地应用(1)~(3)形成的符号串才是合式公式说明: 元语言与对象语言, 外层括号可以省去合式公式的层次定义(1) 若公式A是单个的命题变项, 则称A为0层公式.(2) 称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一：(a) A=B, B是n层公式；(b) A=B C, 其中B,C分别为i层和j层公式，且n=max(i, j)；(c) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b)；(d) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b)；(e) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b).例如公式p 0层p 1层p q 2层(p q)r 3层((p q) r)(r s) 4层公式的赋值定义给公式A中的命题变项p1, p2, … , p n指定一组真值称为对A的一个赋值或解释成真赋值: 使公式为真的赋值成假赋值: 使公式为假的赋值说明：赋值=12…n之间不加标点符号，i=0或1.A中仅出现p1, p2, …, p n，给A赋值12…n是指p1=1, p2=2, …, p n=nA中仅出现p,q, r, …, 给A赋值123…是指p=1,q=2 , r= 3 …含n个变项的公式有2n个赋值.真值表真值表: 公式A在所有赋值下的取值情况列成的表例给出公式的真值表A= (q p) q p的真值表例 B = (p q) q的真值表例C= (p q) r的真值表命题的分类重言式矛盾式可满足式定义设A为一个命题公式(1) 若A无成假赋值，则称A为重言式(也称永真式)(2) 若A无成真赋值，则称A为矛盾式(也称永假式)(3) 若A不是矛盾式，则称A为可满足式注意：重言式是可满足式，但反之不真.上例中A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式A= (q p)q p，B =(p q)q，C= (p q)r等值演算等值式定义若等价式A B是重言式，则称A与B等值，记作A B，并称A B是等值式说明：定义中，A,B,均为元语言符号, A或B中可能有哑元出现.例如，在 (p q) ((p q) (r r))中，r为左边公式的哑元.用真值表可验证两个公式是否等值请验证：p(q r) (p q) rp(q r) (p q) r基本等值式双重否定律 : A A等幂律：A A A, A A A交换律: A B B A, A B B A结合律: (A B)C A(B C)(A B)C A(B C)分配律: A(B C)(A B)(A C)A(B C) (A B)(A C) 德·摩根律: (A B)A B(A B)A B吸收律: A(A B)A, A(A B)A零律: A11, A00同一律: A0A, A1A排中律: A A 1矛盾律: A A0等值演算:由已知的等值式推演出新的等值式的过程置换规则：若A B, 则(B)(A)等值演算的基础：(1) 等值关系的性质：自反、对称、传递(2) 基本的等值式(3) 置换规则应用举例——证明两个公式等值例1 证明p(q r) (p q)r证p(q r)p(q r) （蕴涵等值式，置换规则）(p q)r（结合律，置换规则）(p q)r（德摩根律，置换规则）(p q) r（蕴涵等值式，置换规则）说明:也可以从右边开始演算（请做一遍）因为每一步都用置换规则，故可不写出熟练后，基本等值式也可以不写出应用举例——证明两个公式不等值例2 证明: p(q r) (p q) r用等值演算不能直接证明两个公式不等值,证明两个公式不等值的基本思想是找到一个赋值使一个成真,另一个成假.方法一真值表法（自己证）方法二观察赋值法. 容易看出000, 010等是左边的的成真赋值，是右边的成假赋值.方法三用等值演算先化简两个公式，再观察.应用举例——判断公式类型例3 用等值演算法判断下列公式的类型(1) q(p q)解q(p q)q(p q) （蕴涵等值式）q(p q) （德摩根律）p(q q) （交换律，结合律）p0 （矛盾律）0 （零律）由最后一步可知，该式为矛盾式.(2) (p q)(q p)解 (p q)(q p)(p q)(q p) （蕴涵等值式）(p q)(p q) （交换律）1由最后一步可知，该式为重言式.问：最后一步为什么等值于1(3) ((p q)(p q))r)解 ((p q)(p q))r)(p(q q))r（分配律）p1r（排中律）p r（同一律）这不是矛盾式，也不是重言式，而是非重言式的可满足式.如101是它的成真赋值,000是它的成假赋值.总结：A为矛盾式当且仅当A0A为重言式当且仅当A 1说明：演算步骤不惟一,应尽量使演算短些对偶与范式对偶式与对偶原理定义在仅含有联结词, ∧,∨的命题公式A中，将∨换成∧, ∧换成∨，若A中含有0或1，就将0换成1，1换成0，所得命题公式称为A的对偶式，记为A*.从定义不难看出，(A*)* 还原成A定理设A和A*互为对偶式，p1,p2,…,p n是出现在A和A*中的全部命题变项，将A和A*写成n元函数形式，则 (1) A(p1,p2,…,p n) A* (p1, p2,…, p n)(2) A(p1, p2,…, p n) A* (p1,p2,…,p n)定理（对偶原理）设A，B为两个命题公式，若A B，则A* B*.析取范式与合取范式文字:命题变项及其否定的总称简单析取式:有限个文字构成的析取式如p, q, p q, p q r, …简单合取式:有限个文字构成的合取式如p, q, p q, p q r, …析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式A 1A2Ar, 其中A1,A2,,A r是简单合取式合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式A 1A2Ar, 其中A1,A2,,A r是简单析取式范式:析取范式与合取范式的总称公式A的析取范式: 与A等值的析取范式公式A的合取范式: 与A等值的合取范式说明：单个文字既是简单析取式，又是简单合取式p q r, p q r既是析取范式，又是合取范式(为什么)命题公式的范式定理任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式.求公式A的范式的步骤：(1) 消去A中的, （若存在）(2) 否定联结词的内移或消去(3) 使用分配律对分配（析取范式）对分配（合取范式）公式的范式存在，但不惟一求公式的范式举例例求下列公式的析取范式与合取范式(1) A=(p q)r解 (p q)r(p q)r（消去）p q r（结合律）这既是A的析取范式（由3个简单合取式组成的析取式），又是A的合取范式（由一个简单析取式组成的合取式）(2) B=(p q)r解 (p q)r(p q)r（消去第一个）(p q)r（消去第二个）(p q)r（否定号内移——德摩根律）这一步已为析取范式（两个简单合取式构成）继续： (p q)r(p r)(q r) （对分配律）这一步得到合取范式（由两个简单析取式构成）极小项与极大项定义在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中，若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现一次，而且第i（1i n）个文字出现在左起第i位上，称这样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）.说明：n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项2n个极小项（极大项）均互不等值用m i表示第i个极小项，其中i是该极小项成真赋值的十进制表示. 用M i表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋值的十进制表示, m i(M i)称为极小项(极大项)的名称.m与M i的关系: m i M i , M i m ii主析取范式与主合取范式主析取范式: 由极小项构成的析取范式主合取范式: 由极大项构成的合取范式例如，n=3, 命题变项为p, q, r时，(p q r)(p q r) m1m3是主析取范式(p q r)(p q r) M1M5 是主合取范式A的主析取范式: 与A等值的主析取范式A的主合取范式: 与A等值的主合取范式.定理任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和主合取范式, 并且是惟一的.用等值演算法求公式的主范式的步骤：(1) 先求析取范式（合取范式）(2) 将不是极小项（极大项）的简单合取式（简单析取式）化成与之等值的若干个极小项的析取（极大项的合取），需要利用同一律（零律）、排中律（矛盾律）、分配律、幂等律等.(3) 极小项（极大项）用名称m i（M i）表示，并按角标从小到大顺序排序.求公式的主范式例求公式A=(p q)r的主析取范式与主合取范式.(1) 求主析取范式(p q)r(p q)r , （析取范式）① (p q)(p q)(r r)(p q r)(p q r)m 6m7,r(p p)(q q)r(p q r)(p q r)(p q r)(p q r)m 1m3m5m7③②, ③代入①并排序，得(p q)r m1m3m5m6m7（主析取范式）(2) 求A的主合取范式(p q)r(p r)(q r) , （合取范式）①p rp(q q)r(p q r)(p q r)M 0M2,②q r(p p)q r(p q r)(p q r)M 0M4③②, ③代入①并排序，得(p q)r M0M2M4 （主合取范式）主范式的用途——与真值表相同(1) 求公式的成真赋值和成假赋值例如 (p q)r m1m3m5m6m7，其成真赋值为001, 011, 101, 110, 111，其余的赋值 000, 010, 100为成假赋值.类似地，由主合取范式也可立即求出成假赋值和成真赋值.(2) 判断公式的类型设A含n个命题变项，则A为重言式A的主析取范式含2n个极小项A的主合取范式为1.A为矛盾式A的主析取范式为0A的主合取范式含2n个极大项A为非重言式的可满足式A的主析取范式中至少含一个且不含全部极小项A的主合取范式中至少含一个且不含全部极大项例某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须满足以下条件：(1)若赵去，钱也去；(2)李、周两人中至少有一人去；(3)钱、孙两人中有一人去且仅去一人；(4)孙、李两人同去或同不去；(5)若周去，则赵、钱也去.试用主析取范式法分析该公司如何选派他们出国解此类问题的步骤为：①将简单命题符号化②写出各复合命题③写出由②中复合命题组成的合取式④求③中所得公式的主析取范式解①设p：派赵去，q：派钱去，r：派孙去，s：派李去，u：派周去.② (1) (p q)(2) (s u)(3) ((q r)(q r))(4) ((r s)(r s))(5) (u(p q))③ (1) ~ (5)构成的合取式为A=(p q)(s u)((q r)(q r))((r s)(r s))(u(p q))④ A (p q r s u)(p q r s u) 结论：由④可知，A的成真赋值为00110与11001，因而派孙、李去（赵、钱、周不去）或派赵、钱、周去（孙、李不去）.A的演算过程如下:A (p q)((q r)(q r))(s u)(u(p q)) ((r s)(r s)) （交换律) B1= (p q)((q r)(q r))((p q r)(p q r)(q r)) （分配律）B2= (s u)(u(p q))((s u)(p q s)(p q u)) （分配律）B 1B2(p q r s u)(p q r s u) (q r s u)(p q r s)(p q r u)再令B3 = ((r s)(r s))得A B1B2B3(p q r s u)(p q r s u) 注意：在以上演算中多次用矛盾律要求：自己演算一遍推理理论推理的形式结构推理的形式结构—问题的引入推理举例:(1) 正项级数收敛当且仅当部分和有上界.(2) 若推理: 从前提出发推出结论的思维过程上面(1)是正确的推理，而(2)是错误的推理.证明: 描述推理正确的过程.判断推理是否正确的方法•真值表法•等值演算法判断推理是否正确•主析取范式法•构造证明法证明推理正确说明：当命题变项比较少时，用前3个方法比较方便, 此时采用形式结构“” . 而在构造证明时，采用“前提: , 结论: B”.推理定律与推理规则推理定律——重言蕴涵式构造证明——直接证明法例构造下面推理的证明：若明天是星期一或星期三，我就有课. 若有课，今天必备课. 我今天下午没备课. 所以，明天不是星期一和星期三.解设p：明天是星期一，q：明天是星期三，r：我有课，s：我备课推理的形式结构为例构造下面推理的证明:2是素数或合数. 若2是素数，则是无理数.若是无理数，则4不是素数. 所以，如果4是素数，则2是合数.用附加前提证明法构造证明解设p：2是素数，q：2是合数，r：是无理数，s：4是素数推理的形式结构前提：p∨q, p r, r s结论：s q证明① s附加前提引入②p r前提引入③r s前提引入④p s②③假言三段论⑤p①④拒取式⑥p∨q前提引入⑦q⑤⑥析取三段论请用直接证明法证明之。
逻辑代数基础教程
第一章逻辑代数基础教学目标、要求：掌握逻辑函数的四种表示法；掌握逻辑代数的三种基本运算；掌握逻辑代数的公式、基本规则；掌握代数和卡诺图这两种方法化简逻辑函数。
内容提要：常用的数制和码制；基本概念；公式和定理；逻辑函数的化简方法、表示方法及其相互转换。
重点、难点：逻辑运算中的三种基本运算，逻辑函数表示方法及它们之间相互转换；用代数法化简逻辑函数的方法(难点) ；逻辑函数的卡诺图化简法(难点)。
教学方法：启发式、讨论式、探究时，理论、实验和实际应用有机结合。
教学学时：12学时概述一、逻辑代数逻辑代数是反映和处理逻辑关系的数学工具。
逻辑代数是由英国数学家George Bool在19世纪中叶创立的，所以又叫布尔代数。
直到20世纪30年代，美国人Claude E. Shannon在开关电路中找到了它的用途，因此又叫开关代数。
与普通代数相比，逻辑代数属两值函数，即逻辑变量取值只有0、1。
这里的0、1不代表数值大小，仅表示两种逻辑状态（如电平的高低、开关的闭合与断开等）。
逻辑代数中的有些规则和公式与普通代数相同，有些则完全不同。
二、二进制数表示法1．十进制有十个基本数码0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，任意数字均由这十个基本数码构成。
逢十进一、借一当十。
同样的数码在不同的数位上代表的数值不同。
任意一个十进制数都可以表示为各个数位上的数码与其对应的权的乘积之和，称权展开式。
如：(209.04)10＝ 2×210＋0×110＋9×010＋0×110-＋4 ×210-2．二进制（1）二进制表示法有两个基本数码0、1 ，任意数字均由这两个基本数码构成。
如1011。
逢二进一、借一当二。
二进制数的权展开式：如：(101.01)2＝ 1×22＋0×12＋1×02＋0×12-＋1 ×22-＝(5.25)10（2）二进制运算运算规则：加法规则：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10 乘法规则：0.0=0， 0.1=0 ，1.0=0，1.1=1二进制加法1101.011+11.11=10001.001二进制减法10001.001-1101.011=11.11二进制乘法11.11×101＝10010.11二进制除法10010.11÷101＝11.113.八进制数有八个基本数码0、1、2、3、4、5、6、7，任意数字均由这八个基本数码构成。
数电 第一章 逻辑代数基础
文字、数值信息
十进制数的二进制编码 常用十进制数码
十进制数 8421码
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001
2421码 0000 0001 0010 0011 0100 1011 1100 1101 1110 1111 有权码
N
B
d 2
i
i
i
0
1
1 1
0 0
1 0
0 1
【例如】 (101.101)2=1×22十0×21十1×20十1×2-1十0×2-2十1×2-3
3.八进制（O）
以8为基数的计数体制，有0、1、2、3、4、5、6、 7共8个数码，逢八进一。
位置计数法 以权展开式
例：741 O
306O
i i
N
O
5211码 0000 0001 0011 0101 0111 1000 1001 1100 1101 1111
余3码 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100
格雷码 0000 0001 0011 0010 0110 1110 1010 1000 1100 0100
课程考核
平时成绩占30% ：考勤、作业、实验； 期末成绩占70% ：期末考试卷面分。
课外作业 为了让大家学完本课程有较大的收获，有以下两 个作业： （1）查询资料，有关自己所学专业和电子技术方面 的新技术、新方法，学习科技小论文的撰写方法，查 询有关资料。 （2）利用计算机，学习电子技术仿真软件的应用— —Multisim
课程设计
利用自己所学的电子技术基本理论知识，综 合设计电子实际应用电路，培养综合设计能力.
数字逻辑电路基础
常用 BCD 码
十进制数 8421 码 余 3 码 格雷码 2421 码
0
0000 0011 0000 0000
1
0001 0100 0001 0001
2
0010 0101 0011 0010
数字逻辑电路基础
第一章 数字逻辑电路基础
1.1 数字电路的基本概念 1.2 数制和码制 1.3 基本逻辑运算 1.4 逻辑函数的表示方法 1.5 逻辑代数运算 1.6 逻辑门电路
1.1 数字电路基本概念
一、模拟信号与数字信号
模拟信号——时间连续数值也连续的信号。如速度、压 力、温度等。 数字信号——在时间上和数值上均是离散的。如电子表 的秒信号，生产线上记录零件个数的记数信号等。 数字信号在电路中常表现为突变的电压或电流。
晶体管工作在开关状 态
1、数字信号的特点
•使用高低电平来表示信号。 •门电路起开关作用。 •逻辑状态只有0，1。 •易于存储。 •抗干扰，对元件的要求不高。 •集成度高，通用性强。
2、用逻辑电平描述的数字波形：
数字波形
逻辑电平对时间的图形表示。 脉冲波： 当某波形仅有两个离散值时。 分为：周期波和非周期波
即：(1234)10＝1×103 ＋2×102＋3×101＋4×100
又如：(209.04)10＝ 2×102 ＋0×101＋9×100＋0×10－1＋4 ×10－
2、二进制
数码为：0、1；基数是2。 运算规律：逢二进一，即：1＋1＝10。 二进制数的权展开式： 如：(101.01)2＝ 1×22 ＋0×21＋1×20＋0×2－1＋1 ×2
数字电路 第1章 逻辑代数基础
二、基本公式
① 0－1律 A· 0=0 ; A+1=1
②自等律
③重迭律 ④互补律 ⑤交换律 ⑥结合律 ⑦分配律 ⑧反演律 ⑨还原律
A· 1=A
A· A=A A· A=0 A· B· B= A A(BC)=(AB)C ;
;
; ; ;
A+0=A
A+A=A A+A=1 A+B=B+A A+(B+C)=(A+B)+C A+BC=(A+B)(A+C) ; AB=A + B
特点： （1）便于运算； （2）便于用逻辑图实现； （3）缺乏直观。
3、逻辑图：由各种逻辑门符号所构成的电路图.
A B C &
≥1
Y
特点： 接近工程实际。
4、不同表示方法之间的相互转换
(1)已知逻辑函数式求真值表： A B C Y
把输入逻辑变量所有可能的取 值组合代入对应函数式,算出其 函数值。
由“或”运算的真值表可知 “或”运算法则为： 0＋0 = 0 1＋0 = 1 0＋1 = 1 1＋1 = 1
有1出 1 全0为 0
⒊ 表达式 逻辑代数中“或”逻辑关系用“或”运算 描述。“或”运算又称逻辑加，其运算符为 “＋”或“ ”。两变量的“或”运算可表示 为：Y＝A＋B 或者 Y=A B 读作：Y等于 A 或 B
A+AB=A+B
A+AB=(A+A)(A+B)=1•(A+B) =A+B
（4）包含律 证明：
对偶关系
A(A+B)=AB
AB+AC+BC=AB+AC
离散数学1命题逻辑
第1章
例7
例7、将下列命题符号化，并讨论他们的真值。 (1)如果3＋3＝6，则雪是黑色的； (2)只有a(正整数)能被2整除，a才能被4整除； (1)设：p：3＋3＝6，q：雪是黑色的 原语句符号化为：p→q 真值为0 (2)设p：a(正整数)能被2整除，q：a能被4整除 原语句符号化为：q →p 真值为1
离散数学 第一篇数理逻辑
蔡广军
第1章
数理逻辑简介(1)
数理逻辑(Mathematical Logic) 用数学方法(主要是建立符号体系的方法)来 研究推理形式结构和推理规律的数学学科 。 通过引入一套符号体系来研究推理规律的 学科，故又称之为符号逻辑(Symbolic Logic)
第1章
例题5
例5、p：2＋2＝4 q：3是奇数 (1) 2+2=4当且仅当3是奇数。p↔q (2) 2+2=4当且仅当3不是奇数。p↔┐q (3) 2+2≠4当且仅当3是奇数。┐p↔q (4) 2+2≠4当且仅当3不是奇数。┐p↔┐q
第1章
数理逻辑联结词与自然语言联结词
6、逻辑联结词与自然语言中联结词的关系 否定——不是、没有、非、不 合取——并且、同时、和、既…又…,不但… 而且…，虽然…但是… 析取——或者、或许、可能 蕴含——若…则…，假如…那么…，既然…那就 倘若…就… 等价——当且仅当、充分必要、相同、一样
要回答这样的问题，实际上就是看由一些 诸如“商人戴的是红帽子”这样的前提能否推 出“猜出答案的应试者戴的是黑帽子”这样的 结论来。这又需要经历如下过程： (1) 什么是前提？有哪些前提？ (2) 结论是什么？ (3) 根据什么进行推理？ (4)怎么进行推理？
第1章
第一章命题逻辑
第一章数理逻辑
第一章数理逻辑1.1 命题1. 设P是命题“天下雪”；Q是命题“我去镇上”；R是命题“我有时间”。
(a) 用逻辑符号写出以下命题：(i) 如天不下雨和我有时间，那么我去镇上；(ii) 我去镇上，仅当我有时间；(iii) 天不下雪；(iv) 天正在下雪，我也没去镇上。
(b) 对下述命题用中文写出语句：(i) ()↔∧⌝；Q R P(ii) R Q∧；(iii) ()()→∧→；Q R R Q(iv) ()⌝∨。
R Q2. 否定下列命题：(a) 上海处处清洁；(b) 每一个自然数都是偶数。
3. 说出下述每一命题的逆命题和逆反命题：(a) 如果天下雨，我将不去；(b) 仅当你去我将逗留；(c) 如果n是大于2的正整数，则方程n n n+=无正整数解（费尔马最后定理）；x y z(d) 如果我不获得更多帮助，我不能完成这个任务。
4. 给P和Q指派真值T，给R和S真值F，求下列命题的真值：(a) (()())∧∧∨⌝∨∧∨；P Q R P Q R S(b) ()(())⌝∧∨⌝∨↔⌝→∨⌝；P Q R Q P R S(c) ()∨→∧⌝↔∨⌝。
P Q R P Q s5. 构成下列公式的真值表：(a) ()∧→→；Q P Q P(b) ()∨→∧→∧⌝。
P Q Q R P R6. 证明下列公式的真值与它们的变元值无关：(a) ()∧→→；P P Q Q(b) ()()()→∧→→→。
P Q Q R P R7. 对P和Q的所有值，证明P Q⌝∨有同样的真值。
证明()()→与P Q→↔⌝∨总是P Q P Q 真的。
8. 设*是具有两个运算对象的逻辑运算符，如果()x y z**逻辑等价，那么运算**与()x y z符*是可以结合的，(a) 确定逻辑运算符∧∨→↔、、、哪些是可结合的；(b) 用真值表证明你的断言。
9. 指出一下各式哪些不是命题公式，如果是命题公式，请说明理由：(a) )()))(((；⌝→∧∨P P Q R(b) ()))∧→→((。
第一章 逻辑代数基础
t
典型模拟信号
1.1.2 数制和码制 1.1.2数制和码制
一、数制
多位数码中每一位的构成方法以及从低位 到高位的进位规则 • 十进制 Decimal system( 逢十进一） 码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 基：10 权： 10i i D = k × 10 表达式： ∑i
(143.75)10 = 1×10 2 + 4 ×101 + 3 ×100 + 7 ×10 −1 + 5 ×10−2
1 = 0， 0 =1
1+A=1 0+A=A A+A=A A+ Ā=1 A+B=B+A A+(B+C)=(A+B)+C A+B •C=(A+B) •(A+C) 重叠律 互补律 交换律 结合律 分配律 反演律 还原律
A⋅ B = A+ B
A + B = A⋅ B
1.3.2若干常用公式
序号 21 22 23 24 25 26 公式 A + A·B = A A + Ā·B = A + B
A B
Y
0 1 1 1
�Y
E
0 0 1 1
0 1 0 1
或逻辑表达式为： Y=A+B A 或运算由与逻辑门电路实现，其逻辑符号为： B
≥1
Y
• 非运算：只要条件具备了，结果就不会发生；而条
件不具备时；结果就发生。 例：设1表示开关闭合或灯亮；0表示开关不闭合或灯不亮
R A Y A
�Y
0 1 1 0
编码种类 十进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 权 8421码 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 8421 余3码 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 2421码 0000 0001 0010 0011 0100 1011 1100 1101 1110 1111 2421 5211码 0000 0001 0100 0101 0111 1000 1001 1100 1101 1111 5211 余3循环码 0010 0110 0111 0101 0100 1100 1101 1111 1110 1010
与或非
逻辑符号：
A B
1
Y
A B
+
Y
ABY 000 011 101 111
在函数式中，用＋ 表示或 运算，记做
Y=A＋B
8
3.非门
真值表
R
AY
01
Y A
10
在函数式中，用_ 表示非
该图代表的逻辑关系是：决 运算，记做
定事件的条件满足时，事件不
Y=A
发生——这就是非逻辑关系。 国外符号：
逻辑符号：
A
1
Y
A B
C D
ABCD Y
0000
1
0 0 01
1
0010 1
0011 0
0100 1
0101 1
0110 1
0111 0
1000 1
1001 1
1010 1
1011 0
1100 0
1101 0
1110 0
1111
0 11
第三节 逻辑代数的基本公式和常用公式
一、基本公式
关于常数之间的运算在真值表中已给出。下面的公式中都有变量：
0 m0 1 m1 2 m2 3 m3 4 m4 5 m5
以三变量为例， 如表。
ABC 1 1 0 ABC 1 1 1
6 m6 7 m7
此时AB、A都不是最小项。
21
2.最小项的性质：
（1）对应输入变量的任何取值，都会有一个最小项，且仅有一 个最小项的值为1；
（2）全体最小项之和为1；
（3）任意两个最小项之积为0； ABC.ABC=0
模拟量：随着时间的连续变化其值作连续变化的（时
间上和物理量数值均连续变化)物理量叫模拟量。 连续信号（模拟信号）：表示模拟量的信号。 模拟电路：工作在模拟信号下的电子电路 。 数字量：在时间上和数值上均是离散的物理量 。
数字逻辑第六版第一章课件
数字逻辑第六版第一章课件1. 引言本章主要介绍数字逻辑的基本概念和基本原理。
数字逻辑是计算机科学中的一门基础课程，它研究计算机所使用的数字系统的表示和操作。
在本章中，我们将学习数字逻辑的基本概念，了解数字逻辑的逻辑门和逻辑代数，以及数字逻辑电路的实现和应用。
2. 数字逻辑的基本概念数字逻辑是研究数字信号和数字系统的逻辑关系的科学。
在数字逻辑中，我们使用二进制表示数字和逻辑状态，用逻辑门对数字信号进行处理和操作，用逻辑代数描述数字逻辑的运算规则。
2.1 二进制表示在数字逻辑中，我们使用二进制数来表示数字和逻辑状态。
二进制数是一种由0和1组成的数，它使用逢二进一的进位方式进行计数。
二进制数在计算机中被广泛使用，因为计算机内部由许多逻辑门组成，逻辑门只能处理二进制信号。
2.2 逻辑门逻辑门是数字逻辑中的基本元件，它接受一个或多个输入信号，并产生一个输出信号。
根据输入和输出信号之间的逻辑关系，逻辑门可以分为与门、或门、非门等。
在数字逻辑电路中，逻辑门是通过逻辑门电路实现的。
常见的逻辑门有：•与门（AND）：只有当所有输入都为1时输出为1，否则输出为0。
•或门（OR）：只要有一个输入为1，输出就为1，否则输出为0。
•非门（NOT）：输入为0时输出为1，输入为1时输出为0。
逻辑门可以通过电子元件（如晶体管）的开关特性来实现，也可以通过其他逻辑门组合而成。
2.3 逻辑代数逻辑代数是一种用于描述和分析数字逻辑系统的数学方法。
逻辑代数使用逻辑运算符和逻辑变量表示数字逻辑的运算和关系。
常见的逻辑运算符包括与运算符（∧）、或运算符（∨）和非运算符（¬）等。
逻辑代数的基本规则包括：•与运算：对应于逻辑门的与门操作，两个数都为1时结果为1，否则为0。
•或运算：对应于逻辑门的或门操作，两个数中有一个为1时结果为1，否则为0。
•非运算：对应于逻辑门的非门操作，将输入数取反。
2.4 数字逻辑电路数字逻辑电路是由逻辑门组成的电路，在计算机和电子设备中广泛应用。
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上次课内容及要求：1、熟练掌握常用数制及常用数制之间的转换。
2、熟悉常用的BCD 码及奇偶校验码、ASCII 码。
本次上课内容（2学时） §1-2 逻辑函数及运算1-2-1 逻辑函数中的三种基本运算逻辑代数，又叫布尔代数。
逻辑代数中的变量叫逻辑变量，取值只有0和1两种，分别用来表示客观世界中存在的既完全对立又相互依存的两个逻辑状态。
要注意，逻辑值“1”和“0”与二进制数字“1”和“0”是完全不同的概念，它们并不表示数量的大小。
一、三种基本逻辑运算1、与运算AB L A BL 断断 不亮 0 0 0 断合 不亮 0 1 0 合断 不亮 1 0 0 合合亮111(d ）逻辑符号(a ）例图(b)状态表 (c)真值表图1 与逻辑只有决定某事件的所有条件全部满足（具备）时，该事件才会发生，这种因果关系我们称它为与逻辑关系，简称与逻辑。
例银行金库的门按规定必须有关人员如金库经理、金库保管、财务会计等都到场时，门才能被打开，缺少任何一方皆不可。
又如图1(a)所示，只有当开关A、B 都合上时，灯L 才亮，情况列于状态表（b）中。
我们用1表示开关合上和灯亮，用0表示开关断开和灯不亮，则（b）成（c）。
这种表示输入变量（条件）的所有取值组合和其对应的输出变量（结果）取值的关系表叫逻辑真值表，简称真值表。
常用数学的方法来表示逻辑关系，与逻辑的逻辑表达式为：L=A ·B=AB（或者A∧B）；与逻辑的常量和常量之间的运算有：0·0=0；0·1=0；1·0=0；1·1=1。
逻辑关系还可用符号来表示，图1（d）中列出了新、旧两种与逻辑符号。
由于与逻辑关系常用数字电路中的与门实现，所以与逻辑符号也用来表示与门，而略去了实际的电路。
2、或运算只要决定某事件的条件中有一个或几个满足，该事件就会发生；只有当条件全部不满足时，事件才不会发生， 这种因果关系即为或逻辑关系，简称或逻辑。
如图2（a）所示，其真值表如（b）所示。
或运算的逻辑表达式为 L=A+B（或者A∨B）读成：“L 等于A 或B”，也可读成：“L 等于A 逻辑加B”。
图（c）为或运算的新、旧两种逻辑符号，数字电路中该符号还用来表示或门。
(b)真值表(c ）逻辑符号(a ）电路例图AB L 0 0 0 0 111 0 1 111图2 或逻辑或运算规则为：0+0=0；0+1=1；1+0=1；1+1=1 3、非运算当决定某事件的条件满足时，该事件不发生，而条件不满足时，该事件就发生，这种因果关系称为非逻辑关系，简称非逻辑。
如图3（a）所示，其真值表如图（b）所示。
A L 0 1 1(a)电路图例 (b)真值表 (c)符号图3 非逻辑非运算的逻辑表达式为：A L =图3(C）列出了非运算的新、旧逻辑符号，在数字电路中，还用该符号表示非门。
非运算规则为：10=；01=二、常用的复合逻辑由上面三种基本逻辑关系组合而成的复合逻辑关系有：与非、或非、与或非、异或、同或等，如表1所示。
例图4，如果我们把开关打在上面用1表示、打在下面用0表示，很明显该图体现的正好是同或关系。
表1 常用的复合逻辑图4 楼道照明电路1-2-2 逻辑函数表示方式 一、逻辑函数逻辑问题举例：人们为了行走方便，常在楼上和楼下各装一个单刀双掷开关，使得人们在楼上和楼下都能方便地控制同一盏灯的亮与不亮，其电路如图4所示。
我们把开关的状态A 和B 看作是条件，L 看作是结果，则L 和A、B 间存在着同或的逻辑关系。
在这些逻辑关系中，一旦A、B 的状态确定，则L 也随之确定，因此L 和A、B 的关系也是一种函数的关系。
我们把这种函数称为逻辑函数，记作L=F（A，B）。
二、逻辑函数的表示方法逻辑函数的常用表示方法有真值表、表达式、逻辑图、卡诺图等。
如图4，设开关向上、灯亮用1表示，相反用0表示，则可得如表2所示真值表。
我们把用基本逻辑运算及其复合运算表示的组合式叫做逻辑函数式（逻辑表达式），简称函数式。
则表2所示的逻辑关系可用下式表示：L=A B+AB1、由真值表写表达式找出表中使输出变量为1的组合，并由每种组合组成一个乘积项，再把这些乘积项相加即得逻辑表达式。
其中输入变量为1时取原变量形式，输入变量为0时取反变量形式。
例1 已知真值表如表3所示，写出对应的逻辑表达式。
解：使输出变量L为1的输入变量ABC的取值组合有：011、101、110、111。
按上述方法可得对应的乘积项分别为：A BC、A B C、AB C、ABC，所以表达式为：L=A BC+ A B C+ AB C+ ABC2、由表达式列真值表例2 已知函数表达式为L=A+AC+A B C，试列出其真值表。
解：先把A、B、C各种取值的组合代入表达式中，算出对应的函数值，整理可得表4所示真值表。
1-2-3 逻辑代数的基本定律一、基本定律和恒等式1、基本定律逻辑代数的基本定律包括：（1）常量与常量间关系的规律；（2）常量和变量间关系的规律；（3）变量和变量之间的普通规律；（4）特殊规律。
下面我们把后3种规律列表，如表5所示，其中反演律又称德·摩根定律，简称摩根定律。
表5 逻辑代数的基本定律逻辑代数基本定律的证明方法很多，可以用已知等式去证明，也可以列真值表证明。
例3 证明公式 B A B A ⋅=+证明：将变量A 和B 的所有4种取值组合分别代入上式两边进行计算，将情况填入表6中，可见等式是成立的。
除了以上所列基本定律外，逻辑代数还有以下几种常用恒等式。
2、常用恒等式 等式1 A ·B+A ·B =A等式2 A+AB=A 等式3 A+A B=A+B 等式4 AB+A C+BC=AB+A C 等式5 B A B A +=A B +A ·B要证明以上5个等式，可以用真值表的形式，也可以用基本定律来证明。
等式1的证明：()右式==⋅=+=+A A B B A B A AB 1 分配律 等式2的证明：()右式==⋅=+=+A A B A AB A 11 分配律等式3的证明： B A B A AB B A )(++=++=+B B A B A A()()右式=+=+++=+++=B A A A B B B A B A AB B A AB 重叠律等式4的证明：()A A BC C A AB BC C A +++=++AB()()右式=+=+++=+++=C A AB B C A C AB BC A ABC C A AB 11等式5的证明： B A B A B A B A ⋅=+ 反演律⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=B A B A 反演律()()B A B A ++= 还原律B B BA B A A A ++⋅+= 分配律 右式=+⋅=AB B A 交换律二、逻辑代数的基本运算规则1、代入规则任何一个含有某变量，如A 的等式，如果将所有出现A 的地方都用同一个逻辑函数来代替，则等式仍然成立，这就是代入规则。
2、反演规则对于任意一个函数式L，如果将其中所有的“· ”换成“+”，“+”换成“· ”；“0”换成“1”，“1”换成“0”；原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得新函数F 的表达式就是函数L 的反函数L ，这就是反演规则。
例函数L=A+BC，根据摩根定律可得C A B A BC A BC A L ⋅+⋅=⋅=+=。
按反演规则得新函数()C A B A C B A F ⋅+⋅=+⋅=。
很明显F 即L ，即该新函数就是函数L 的反函数L 。
注意：（1）用反演规则求反函数时应保持原函数的运算优先顺序；（2）求反函数时，不是一个变量上的非号应保持不变。
例4 求函数E D C B A L +++=的反函数，并证明之。
解：由反演规则可得()E D C B AF ⋅⋅⋅+= 证明时可将上式展开得()[]E D C B AF ++= 反演律 而从原函数直接利用反演律求反可得()()()[]ED C B A ED C B AE D C B A ED C B A L ++=+⋅=⋅++=+++=可见F 即L 。
3*、对偶规则(一般了解即可)对于任何一个逻辑函数L，若将L表达式中所有的“· ”和“+”互换，并保持运算优先顺序不变，则所得到的新的逻辑表达式称为函数L的对偶式，记作Lˊ。
所谓对偶规则是指：若两函数式L 1和L 2相等,则其对偶式L 1ˊ和L 2ˊ也相等。
另外，若Lˊ是L的对偶式，则L也是Lˊ的对偶式，即L和Lˊ互为对偶式。
图5 例5图§1-3 逻辑函数和逻辑图如果给定一个逻辑函数表达式，则只要把表达式中的与、或、非等逻辑运算用相应的逻辑符号表示，并把各逻辑符号按运算的优先顺序用线连接起来，就可得函数的逻辑图。
例5 试画出函数BC CD A B A L ++=的逻辑图。
解：对应的逻辑图如图5所示。
例6 写出如图6所示逻辑图的表达式。
解：从图中可知：，B A L +=1A L =2，B L =3，B A L L L +=+=324 所以其表达式为： ()()B A B A L LL ++=⋅=41图6 例6图本次课小结:本次课内容及要求：1、三种基本的逻辑运算。
(熟练掌握)2、逻辑关系的三种描述方法及对应关系。
（熟悉）3、逻辑代数的基本定律。
（了解）4、逻辑函数和逻辑图。
（了解） 本次课作业：1、判断题：（判断各题的正误，正确的在括号内记“√”，错误的在括号内记“×”）。
（1）二进制111110的8421码为00111110。
（ ） （2）奇偶检验码不但能发现错误，而且能纠正错误。
（ ） （3）采用奇偶检验码可以发现代码传送过程中的所有错误。
（ ） （4）由数字符号0和1组成的数一定是二进制数。
（ ） （5）若AB=A+B ，则A=B 。
（ ） （6）若X+Y≠X+Z ，则Y≠Z。
（ ） （7）若XY Y X =+，则X=Y 。
（ ）2、某楼道照明灯的开关控制电路如题图所示，图中A、B 为单刀双联开关。
（1）请用逻辑表达式描述灯F 与开关A、B 之间的关系；（2）试断开图中a 和b、c 和d 的连线，并将a 和d、b 和c 连通后，写出灯F 与开关A、B 状态之间的逻辑表达式；题2图（3）电路修改后的函数表达式与描述原电路的表达式有何关系？下次课预习内容：逻辑函数的代数法和卡诺图法化简。