高中数学人教A版选修1-1优化练习：综合检测 Word版含解析
高中数学人教A版选修1-1 模块综合测试1含解析
选修1-1模块综合测试（一）(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若命题p ：∀x∈R,2x 2＋1>0，则¬p 是( ) A ．∀x ∈R,2x 2＋1≤0 B ．∃x ∈R,2x 2＋1>0 C ．∃x ∈R,2x 2＋1<0 D ．∃x ∈R,2x 2＋1≤0 解析：¬p ：∃x ∈R,2x 2＋1≤0. 答案：D2．不等式x －1x>0成立的一个充分不必要条件是( )A. －1<x <0或x >1B. x <－1或0<x <1C. x >－1D. x >1解析：本题主要考查充要条件的概念、简单的不等式的解法．画出直线y ＝x 与双曲线y ＝1x 的图象，两图象的交点为(1,1)、(－1，－1)，依图知x －1x>0⇔－1<x <0或x >1 (*)，显然x >1⇒(*)；但(*)x >1，故选D.答案：D3．[2014·西安模拟]命题“若a >b ，则a ＋1>b ”的逆否命题是( ) A ．若a ＋1≤b ，则a >b B ．若a ＋1<b ，则a >b C ．若a ＋1≤b ，则a ≤b D ．若a ＋1<b ，则a <b解析：“若a >b ，则a ＋1>b ”的逆否命题为“若a ＋1≤b ，则a ≤b ”，故选C. 答案：C4．[2014·山东省日照一中模考]下列命题中，为真命题的是( ) A. ∀x ∈R ，x 2－x －1>0B. ∀α，β∈R ，sin(α＋β)<sin α＋sin βC. 函数y ＝2sin(x ＋π5)的图象的一条对称轴是x ＝45πD. 若“∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1≤0”为假命题，则a 的取值范围为(－2,2)解析：本题主要考查命题的判定及其相关知识的理解．因为x 2－x －1＝(x －12)2－54，所以A 错误；当α＝β＝0时，有sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以B 错误；当x ＝4π5时，y ＝0，故C错误；因为“∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1≤0”为假命题，所以“∀x ∈R ，x 2－ax ＋1>0”为真命题，即Δ<0，即a 2－4<0，解得－2<a <2，即a 的取值范围为(－2,2)．故选D.答案：D5．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．12解析：设椭圆的另一焦点为F ，由椭圆的定义知 |BA |＋|BF |＝23，且|CF |＋|AC |＝23， 所以△ABC 的周长＝|BA |＋|BC |＋|AC | ＝|BA |＋|BF |＋|CF |＋|AC |＝4 3. 答案：C6．过点(2，－2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线的双曲线方程为( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.y 24－x 22＝1 D. y 22－x 24＝1解析：与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线方程的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ，由过点(2，－2)，可解得λ＝－2. 所以所求的双曲线方程为y 22－x 24＝1.答案：D7．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．e > 2B ．1<e < 2C ．e >2D ．1<e <2解析：由题意，以原点及右焦点为端点的线段的垂直平分线必与右支交于两个点，故c2>a ，∴c a>2. 答案：C8．把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为( )A. 1∶πB. 2∶πC. 1∶2D. 2∶1解析：设圆柱高为x ，底面半径为r ，则r ＝6－x 2π，圆柱体积V ＝π(6－x 2π)2x ＝14π(x 3－12x 2＋36x )(0<x <6)，V ′＝34π(x －2)(x －6)．当x ＝2时，V 最大．此时底面周长为6－x ＝4， (6－x )∶x ＝4∶2＝2∶1. 答案：D9．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )A. 3 B ．2 C. 5D.6解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，因为y ＝x 2＋1与渐近线相切，故x 2＋1±bax ＝0只有一个实根，∴b 2a 2－4＝0，∴c 2－a 2a2＝4，∴c 2a2＝5，∴e ＝ 5. 答案：C10．[2014·辽宁五校联考]设函数f (x )＝e x (sin x －cos x )(0≤x ≤2012π)，则函数f (x )的各极小值之和为( )A. －e 2π－e 2012π1－e 2πB. －e 2π－e 1006π1－e πC. －e 2π－e 1006π1－e 2πD. －e 2π－e 2010π1－e 2π解析：f ′(x )＝(e x )′(s in x －cos x )＋e x (sin x －cos x )′＝2e x sin x ，若f ′(x )<0，则x ∈(π＋2k π，2π＋2k π)，k ∈Z ；若f ′(x )>0，则x ∈(2π＋2k π，3π＋2k π)，k ∈Z .所以当x ＝2π＋2k π，k ∈Z 时，f (x )取得极小值，其极小值为f (2π＋2k π)＝e 2k π＋2π[sin(2π＋2k π)－cos(2π＋2k π)]＝e 2k π＋2π×(0－1)＝－e 2k π＋2π，k ∈Z .因为0≤x ≤2012π，又在两个端点的函数值不是极小值，所以k ∈[0,1004]，所以函数f (x )的各极小值构成以－e 2π为首项，以e 2π为公比的等比数列，共有1005项，故函数f (x )的各极小值之和为S 1005＝－e 2π－e 4π－…－e 2010π＝e 2π－e 2010π1－e 2π.答案：D11．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32解析：∵抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线为x ＝－2，∴K (－2,0)． 设A (x 0，y 0)，如下图所示，过点A 向准线作垂线，垂足为B ，则B (－2，y 0)．∵|AK |＝2|AF |，又|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2，∴由|BK |2＝|AK |2－|AB |2，得y 20＝(x 0＋2)2，即8x 0＝(x 0＋2)2，解得x 0＝2，y 0＝±4.∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8，故选B.答案：B12．[2013·浙江高考]如图，F 1、F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A.2B. 3C. 32D.62解析：本题考查椭圆、双曲线的定义和简单的几何性质．设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0) ①，点A 的坐标为(x 0，y 0)．由题意a 2＋b 2＝3＝c 2 ②，|OA |＝|OF 1|＝3，∴⎩⎨⎧x 20＋y 20＝3x 20＋4y 20＝4，解得x 20＝83，y 20＝13，又点A 在双曲线C 2上，代入①得，83b 2－13a 2＝a 2b 2③，联立②③解得a ＝2，所以e ＝ca ＝62，故选D. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数y ＝13ax 3－12ax 2(a ≠0)在区间(0,1)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：y ′＝ax 2－ax ＝ax (x －1)，∵x ∈(0,1)，y ′>0，∴a <0. 答案：a <014．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是__________．解析：p 是假命题，则¬p 为真命题，¬p 为：∀x ∈R ，x 2＋2ax ＋a >0，所以有Δ＝4a 2－4a <0，即0<a <1.答案：(0,1)15．[2014·黑龙江质检]已知a ∈R ，若实数x ，y 满足y ＝－x 2＋3ln x ，则(a －x )2＋(a ＋2－y )2的最小值是________．解析：(a －x )2＋(a ＋2－y )2≥x －a ＋a ＋2－y22＝x ＋x 2－3ln x ＋22.设g (x )＝x ＋x 2－3ln x (x >0)，则g ′(x )＝1＋2x －3x＝x ＋x －x，易知g (x )在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，故g (x )≥g (1)＝2，(a －x )2＋(a ＋2－y )2≥＋22＝8.答案：816．[2013·河北省邢台一中月考]F 1、F 2分别是双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，I 是△PF 1F 2的内心，且S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2，则λ＝________.解析：本题主要考查双曲线定义及标准方程的应用．设△PF 1F 2内切圆的半径为r ，则S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2⇒12×|PF 2|×r ＝12×|PF 1|×r －12λ×|F 1F 2|×r ⇒|PF 1|－|PF 2|＝λ|F 1F 2|，根据双曲线的标准方程知2a ＝λ·2c ，∴λ＝a c ＝45.答案：45三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)已知全集U ＝R ，非空集合A ＝{x |x －2x －3<0}，B ＝{x |(x －a )(x －a 2－2)<0}．命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B .(1)当a ＝12时，p 是q 的什么条件？(2)若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)A ＝{x |x －2x －3<0}＝{x |2<x <3}，当a ＝12时，B ＝{x |12<x <94}，故p 是q 的既不充分也不必要条件．(2)若q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可知A ⊆B ，由a 2＋2>a ，故B ＝{a |a <x <a 2＋2}，∴⎩⎨⎧a ≤2a 2＋2≥3，解得a ≤－1或1≤a ≤2.18．(12分)已知c >0，设p ：y ＝c x 为减函数；q ：函数f (x )＝x ＋1x >1c 在x ∈[12，2]上恒成立，若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求c 的取值范围．解：由y ＝c x 为减函数，得0<c <1.当x ∈[12，2]时，由不等式x ＋1x ≥2(x ＝1时取等号)知：f (x )＝x ＋1x 在[12，2]上的最小值为2，若q 真，则1c <2，即c >12.若p 真q 假，则0<c <1且c ≤12，所以0<c ≤12.若p 假q 真，则c ≥1且c >12，所以c ≥1.综上：c ∈(0，12]∪[1，＋∞)．19．(12分)[2014·海淀期末]已知函数f (x )＝(x ＋a )e x ，其中a 为常数． (1)若函数f (x )是区间[－3，＋∞)上的增函数，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )≥e 2在x ∈[0,2]时恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝(x ＋a ＋1)e x ，x ∈R .因为函数f (x )是区间[－3，＋∞)上的增函数，所以f ′(x )≥0，即x ＋a ＋1≥0在[－3，＋∞)上恒成立． 因为y ＝x ＋a ＋1是增函数，所以满足题意只需－3＋a ＋1≥0，即a ≥2. (2)令f ′(x )＝0，解得x ＝－a －1，f (x )，f ′(x )的变化情况如下：解得a ≥e 2，所以此时a ≥e 2；②当0<－a －1<2，即－3<a <－1时，f (x )在[0,2]上的最小值为f (－a －1)， 若满足题意只需f (－a －1)≥e 2，求解可得此不等式无解，所以a 不存在；③当－a －1≥2，即a ≤－3时，f (x )在[0,2]上的最小值为f (2)，若满足题意只需f (2)≥e 2，解得a ≥－1，所以此时a 不存在．综上讨论，所求实数a 的取值范围为[e 2，＋∞)．20．(12分)已知椭圆x 29＋y 25＝1，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，点A (1,1)为椭圆内一点，点P 为椭圆上一点．求|PA |＋|PF 1|的最大值．解：由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， 所以|PF 1|＝6－|PF 2|，这样|PA |＋|PF 1|＝6＋|PA |－|PF 2|.求|PA |＋|PF 1|的最大值问题转化为6＋|PA |－|PF 2|的最大值问题， 即求|PA |－|PF 2|的最大值问题， 如图在△PAF 2中，两边之差小于第三边，即|PA |－|PF 2|<|AF 2|，连接AF 2并延长交椭圆于P ′点时， 此时|P ′A |－|P ′F 2|＝|AF 2|达到最大值， 易求|AF 2|＝2，这样|PA |－|PF 2|的最大值为2， 故|PA |＋|PF 1|的最大值为6＋ 2.21．(12分)已知椭圆M 的对称轴为坐标轴，且抛物线x 2＝－42y 的焦点是椭圆M 的一个焦点，又点A (1，2)在椭圆M 上．(1)求椭圆M 的方程；(2)已知直线l 的方向向量为(1，2)，若直线l 与椭圆M 交于B 、C 两点，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由已知抛物线的焦点为(0，－2)，故设椭圆方程为y 2a 2＋x 2a 2－2＝1.将点A (1，2)代入方程得2a 2＋1a 2－2＝1，整理得a 4－5a 2＋4＝0，解得a 2＝4或a 2＝1(舍去)． 故所求椭圆方程为y 24＋x 22＝1.(2)设直线BC 的方程为y ＝2x ＋m ， 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，代入椭圆方程并化简得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0， 由Δ＝8m 2－16(m 2－4)＝8(8－m 2)>0， 可得m 2<8.由x 1＋x 2＝－22m ，x 1x 2＝m 2－44，故|BC |＝3|x 1－x 2|＝3×16－2m 22.又点A 到BC 的距离为d ＝|m |3，故S △ABC ＝12|BC |·d ＝m 2－2m 24≤142×2m 2＋－2m 22＝ 2. 因此△ABC 面积的最大值为 2.22．(12分)[2014·陕西质检]已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)求函数f (x )的极值；(3)当a ＝1时，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )没有公共点，求k 的最大值． 解：(1)由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－aex ，又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，所以f ′(1)＝0，即1－ae ＝0，解之得a＝e.(2)f′(x)＝1－ae x，①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．②当a>0时，令f′(x)＝0，得e x＝a，x＝ln a.当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝ln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值．(3)当a＝1时，f(x)＝x－1＋1e x .令g(x)＝f(x)－(kx－1)＝(1－k)x＋1e x，则直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点，等价于方程g(x)＝0在R上没有实数解．当k>1时，g(0)＝1>0，g(1k－1)＝－1＋1e1k－1<0，又函数g(x)的图象在定义域R上连续，由零点存在定理，可知g(x)＝0至少有一实数解，与“方程g(x)＝0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1.当k＝1时，g(x)＝1e x>0，知方程g(x)＝0在R上没有实数解．所以k的最大值为1.。
高中数学人教A版选修1-1优化练习2.12.1.1椭圆及其标准方程含解析
[课时作业] [A 组 基础巩固]1．椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，则M 到另一个焦点F 2的距离为( )A ．3B ．6C ．8D ．以上都不对解析：由椭圆的定义知|MF 1|＋|MF 2|＝10， ∴|MF 2|＝10－2＝8，故选C. 答案：C2．(2015·高考广东卷)已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m ＞0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．9 解析：由左焦点为F 1(－4,0)知c ＝4，又a ＝5，∴25－m 2＝16，解得m ＝3或－3，又m ＞0，故m ＝3. 答案：B3．椭圆x 216＋y 27＝1的左、右焦点为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为( ) A ．32 B ．16 C ．8D ．4解析：∵|AF 1|＋|AF 2|＝8，|BF 1|＋|BF 2|＝8. 又∵|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |，∴△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝16.故选B. 答案：B4．方程x 2sin 2＋cos 2－y 2cos 2－sin 2＝1所表示的曲线是( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在x 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的双曲线解析：∵π2<2<3π4，∴sin 2>0，cos 2<0且|sin 2|>|cos 2|，∴sin 2＋cos 2>0，cos 2－sin 2<0且sin 2－cos 2>sin 2＋cos 2，故表示焦点在y 轴上的椭圆． 答案：B5．已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x轴的距离为( ) A.233B. 263C.33D. 3解析：由MF 1→·MF 2→＝0，得MF 1⊥MF 2，可设|MF 1→|＝m ，|MF 2→|＝n ，在△F 1MF 2中，由m 2＋n 2＝4c 2得(m ＋n )2－2mn ＝4c 2，根据椭圆的定义有m ＋n ＝2a ，所以2mn ＝4a 2－4c 2，故mn ＝2b 2，即mn ＝2，∴S △F 1MF 2＝12·mn ＝1，设点M 到x 轴的距离为h ，则12×|F 1F 2|×h ＝1，又|F 1F 2|＝23，故h ＝33，故选C. 答案：C6．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－23)且a ＝2b ，则椭圆的标准方程为________． 解析：由c ＝23，a ＝2b ，a 2＝b 2＋c 2，∴3b 2＝12，b 2＝4，a 2＝16，∴标准方程为y 216＋x 24＝1.答案：y 216＋x 24＝17．已知椭圆的两焦点为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，P 为椭圆上的一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项．该椭圆的方程是________．解析：由题意知椭圆焦点在x 轴上，c ＝2，|F 1F 2|＝4， 由于|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝8，∴a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝42－22＝12， 故椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.答案：x 216＋y 212＝18．若F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠F 1AF 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为________． 解析：如图所示，|F 1F 2|＝22， |AF 1|＋|AF 2|＝6， 由|AF 1|＋|AF 2|＝6，得|AF 1|2＋|AF 2|2＋2|AF 1||AF 2|＝36. 又在△AF 1F 2中，|AF 1|2＋|AF 2|2－|F 1F 2|2＝2|AF 1||AF 2|cos 45°， ∴36－2|AF 1||AF 2|－8＝2|AF 1||AF 2|， ∴|AF 1||AF 2|＝282＋2＝14(2－2)．∴S △AF 1F 2＝12|AF 1||AF 2|sin 45°＝12×14(2－2)×22＝7(2－1)． 答案：7(2－1)9．已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2是椭圆左、右焦点，若PF 1⊥PF 2，试求： (1)椭圆方程； (2)△PF 1F 2的面积．解析：(1)由PF 1⊥PF 2，可得|OP |＝c ，得c ＝5. 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－25＝1，代入P (3,4)，得9a 2＋16a 2－25＝1，解得a 2＝45. ∴椭圆方程为x 245＋y 220＝1.(2)S △PF 1F 2＝12|F 1F 2||y P |＝5×4＝20.10．已知B ，C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．解析：以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，如图所示．由|BC |＝8，可知点B (－4,0)，C (4,0)，c ＝4.由|AB |＋|AC |＋|BC |＝18，|BC |＝8，得|AB |＋|AC |＝10.因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，但点A 不在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．[B 组 能力提升]1．已知方程x 2|m |－1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( )A ．m <2B ．1<m <2C ．m <－1或1<m <32D ．m <－1或1<m <2解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|m |－1>0，2－m >0，|m |－1<2－m ，解得m <－1或1<m <32.故选C.答案：C2．椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上．如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的( ) A ．7倍 B ．5倍 C ．4倍D ．3倍解析：不妨设F 1(－3,0)，F 2(3,0)， 由条件知P ⎝⎛⎭⎫3，±32，即|PF 2|＝32，由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝43， 则|PF 1|＝732， 即|PF 1|＝7|PF 2|，故选A. 答案：A3．已知曲线C ：x 2k －5＋y 23－k ＝－1，则“4≤k <5”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆”的________条件．解析：将曲线C 的方程化为：x 25－k ＋y 2k －3＝1，若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，则k －3>5－k >0，即4<k <5，故“4≤k <5”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆”的必要不充分条件． 答案：必要不充分4．在平面直角坐标系中，A (4,0)，B (－4,0)，且sin A ＋sin B sin C ＝54，则△ABC 的顶点C 的轨迹方程为________．解析：在△ABC 中，由正弦定理|BC |＝2R sin A ， |AC |＝2R sin B ，|AB |＝2R sin C ，∴|BC |＋|AC ||AB |＝54，又|AB |＝8，∴|BC |＋|AC |＝10＞8，由椭圆的定义2a ＝10，a ＝5，c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝9，又C 与AB 不共线，∴顶点C 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．答案：x 225＋y 29＝1(y ≠0)5．△ABC 的三边a ，b ，c 成等差数列，且a >b >c ，A ，C 的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，求顶点B 的轨迹方程．解析：由已知得b ＝2，又a ，b ，c 成等差数列， ∴a ＋c ＝2b ＝4，即|AB |＋|BC |＝4，∴点B 到定点A ，C 的距离之和为定值4，由椭圆定义知B 点的轨迹为椭圆的一部分，其中a ′＝2，c ′＝1. ∴b ′2＝3. 又a >b >c ，∴顶点B 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(－2<x <0)．6．动圆C 与定圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝32内切，与定圆C 2：(x －3)2＋y 2＝8外切，A 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，92. (1)求动圆C 的圆心C 的轨迹方程；(2)若轨迹C 上的两点P ，Q 满足AP →＝5AQ →，求|PQ |的值．解析：(1)如图，设动圆C 的半径为R ， 则|CC 1|＝42－R ，① |CC 2|＝22＋R ，②①＋②得，|CC 1|＋|CC 2|＝62>6＝|C 1C 2|，由椭圆的定义知C 点的轨迹是以C 1，C 2为焦点，长轴长为62的椭圆，其轨迹方程为x 218＋y 29＝1. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则AP →＝⎝⎛⎭⎫x 1，y 1－92，AQ →＝⎝⎛⎭⎫x 2，y 2－92. 由AP →＝5AQ →可得⎝⎛⎭⎫x 1，y 1－92＝5⎝⎛⎭⎫x 2，y 2－92， 所以x 1＝5x 2，y 1＝5y 2－92×5＋92＝5y 2－18，③由P ，Q 是椭圆C 上的两点，得⎩⎨⎧x 2218＋y 229＝1， ④25x 2218＋(5y 2－18)29＝1， ⑤由④、⑤得y 2＝3，将y 2＝3代入③，得y 1＝－3，将y2＝3代入④，得x2＝0，所以x1＝0，所以P(0，－3)，Q(0,3)，|PQ|＝6.。
2020-2021学年高中数学人教A版选修1-1习题：2.2.2 双曲线的简单几何性质 Word版含
2.2.2双曲线的简单几何性质课后篇巩固提升基础巩固1.双曲线=1的左焦点与右顶点之间的距离等于()A.6B.8C.9D.10(-5,0),右顶点(3,0),所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.2.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等,一个焦点到一条渐近线的距离为,则双曲线方程为()A.x2-y2=1B.x2-y2=2C.x2-y2=D.x2-y2=,设双曲线方程为=1(a>0),则c=a,一条渐近线为y=x,∴,∴a2=2.∴双曲线方程为x2-y2=2.3.若实数k满足0<k<9,则曲线=1与曲线=1的()A.焦距相同B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等0<k<9,则9-k>0,即曲线=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(,0);25-k>0,即曲线=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(,0),故两曲线的焦距相同,故选A.4.下列双曲线中,不是以2x±3y=0为渐近线的是()A.=1B.=1C.=1D.=1项中的双曲线=1,焦点在x轴上,渐近线方程为y=±x,不是2x±3y=0.5.两正数a,b的等差中项为,等比中项为,且a>b,则双曲线=1的离心率e为()A. B. C. D.a,b的等差中项为,等比中项为,所以解得因为a>b,所以所以e=.故选D.6.(2019江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是.双曲线x2-=1(b>0)过点(3,4),∴32-=1,解得b2=2,即b=或b=-(舍去).∵a=1,且双曲线的焦点在x轴上,∴双曲线的渐近线方程为y=±x.±x7.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的标准方程为.=2,c=5,所以c2=a2+b2=5a2=25,解得a2=5,b2=20,所以所求双曲线的方程为=1.18.若一条双曲线与-y2=1有共同渐近线,且与椭圆=1有相同的焦点,则此双曲线的方程为.=1得a2=20,b2=2,所以c2=20-2=18,得c=3.设与双曲线-y2=1有相同渐近线的双曲线方程为-y2=λ(λ≠0),因为所求双曲线的焦点在x轴上,则λ>0,双曲线方程化为=1,根据椭圆和双曲线共焦点,所以有8λ+λ=18,解得λ=2,所以所求双曲线的方程为=1.19.椭圆与双曲线有共同的焦点F1(0,-5),F2(0,5),点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,试求椭圆的方程与双曲线的方程.F1(0,-5),F2(0,5),可设椭圆方程为=1(a2>25),双曲线方程为=1(0<b<5),点P(3,4)在椭圆上,所以=1,得a2=40,双曲线过点P(3,4)的渐近线为y=x,即4=×3,所以b2=16,故椭圆方程为=1,双曲线方程为=1.10.已知双曲线=1的右焦点为(2,0).(1)求双曲线的方程;(2)求双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形的面积.∵双曲线的右焦点的坐标为(2,0),且双曲线的方程为=1,∴c2=a2+b2=3+b2=4,∴b2=1,∴双曲线的方程为-y2=1.(2)∵a=,b=1,∴双曲线的渐近线方程为y=±x.令x=-2,则y=±,设直线x=-2与双曲线的渐近线的交点为A,B,则|AB|=.记双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形的面积为S,则S=×2=.能力提升1.我们把离心率之差的绝对值小于的两条双曲线称为“相近双曲线”.已知双曲线C:=1,则下列双曲线中与C是“相近双曲线”的是()A.x2-y2=1B.x2-=1C.y2-2x2=1D.=1C的离心率为2,对于A,其离心率为,不符合题意;对于B,其离心率为,符合题意;对于C,其离心率为,不符合题意;对于D,其离心率为3,不符合题意.故选B.2.若在双曲线=1(a>0,b>0)的右支上,到原点O和右焦点F的距离相等的点有两个,则双曲线的离心率的取值范围是()A.e>B.1<e<C.e>2D.1<e<2O和右焦点F距离相等的点在线段OF的垂直平分线上,其方程为x=.依题意,在双曲线=1(a>0,b>0)的右支上到原点O和右焦点F距离相等的点有两个,所以直线x=与右支有两个交点,故应满足>a,即>2,得e>2,故选C.3.已知a>b>0,若椭圆=1与双曲线=1的离心率之积为,则双曲线的渐近线方程为.,得,解得,所以双曲线的渐近线方程为y=±x,即x±y=0.±y=04.若中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线经过点(8,-6),则其离心率等于.y=kx,由-6=8k,得k=-,所以渐近线方程为y=±x.若焦点在x轴上,则,于是离心率e=;若焦点在y轴上,则,于是离心率e=.5.求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点在y轴上,虚轴长为8,离心率为e=;(2)经过点C(-),且与双曲线=1有共同的渐近线.设所求双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),则2b=8,e=,从而b=4,,代入c2=a2+b2,得a2=9,故方程为=1.(2)由题意可设所求双曲线方程为=λ(λ≠0),将点C(-)的坐标代入,得=λ,解得λ=,所以所求双曲线的标准方程为=1.6.已知椭圆C1的中心在原点,离心率为,焦点在x轴上且长轴长为10.过双曲线C2:=1(a>0,b>0)的右焦点F2作垂直于x轴的直线交双曲线C2于M,N两点.(1)求椭圆C1的标准方程;(2)若双曲线C2与椭圆C1有公共的焦点,且以MN为直径的圆恰好过双曲线的左顶点A,求双曲线C2的标准方程.设椭圆C1的标准方程为=1(a1>b1>0),根据题意得2a1=10,则a1=5.又e1=,∴c1=4,b1=3,∴椭圆C1的标准方程为=1.(2)设双曲线的右焦点F2(c,0),将x=c代入双曲线方程,得y=±,∴|MN|=.∵以MN为直径的圆恰好过双曲线的左顶点A,且|AF2|=a+c,∴a+c=,即a2+ac=b2=c2-a2,整理得2a2+ac-c2=0,即有e2-e-2=0.又e>1,∴e=2.又双曲线C2与椭圆C1有公共的焦点,∴c=4,∴a2=4,b2=12,∴双曲线C2的标准方程为=1.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
新课标人教版高二数学选修1-1综合测试卷(word文档有答案)
新课标人教版高二数学选修1-1综合测试卷一．选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)1. “21sin =A ”是“︒=30A ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件 2. “0<mn ”是“方程122=+ny mx 表示焦点在y 轴上的双曲线”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ． 必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．命题“对任意的3210x x x ∈-+R ，≤”的否定是（ ） A ．不存在3210x R x x ∈-+，≤ B ．存在3210x R x x ∈-+，≤ C ．存在3210x R x x ∈-+>， D ．对任意的3210x R x x ∈-+>， 4．双曲线121022=-y x 的焦距为（ ） A ．22 B ．24 C ．32 D ．34 5. 设x x x f ln )(=，若2)(0='x f ，则=0x （ ） A ． 2e B ． e C ． ln 22 D ．ln 2 6. 若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．47．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A ．2B ．3C ．12D ．138．已知两点)0,1(1-F 、)0,1(F ，且21F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是( ）A ．191622=+y xB ．1121622=+y xC ．13422=+y xD ．14322=+y x 9．设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （ ）A ． 1B ．21C ． 21- D ． 1- 10．抛物线281x y -=的准线方程是 ( ) A ． 321=x B ．2=y C ． 321=y D ．2-=y 11．双曲线19422-=-y x 的渐近线方程是（ ） A ．x y 32±= B ．x y 94±= C ．x y 23±= D ．x y 49±= 12．已知对任意实数x ，有()(),()()f x f x g x g x -=--=，且0>x 时'()0,'()0f x g x >>，则0<x 时（ ）A ．'()0,'()0f x g x >>B ．'()0,'()0f x g x ><C ．'()0,'()0f x g x <>D ．'()0,'()0f x g x <<二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．函数1)(23+++=mx x x x f 是R 上的单调函数，则m 的取值范围为 .14. 已知F 1、F 2为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若1222=+B F A F ，则AB = _____________15．已知双曲线11222-=-+ny n x n ＝ . 16．命题p ：若10<<a ，则不等式0122>+-ax ax 在R 上恒成立，命题q ：1≥a 是函数xax x f 1)(-=在),0(+∞上单调递增的充要条件；在命题①“p 且q ”、②“p 或q ”、③“非p ”、④“非q ”中，假命题是 ，真命题是 . 三．解答题(本大题共5小题，共40分)17(本小题满分8分)已知函数8332)(23+++=bx ax x x f 在1x =及2x =处取得极值．(1)求a 、b 的值；(2)求()f x 的单调区间.18(本小题满分10分) 求下列各曲线的标准方程(1)实轴长为12，离心率为32，焦点在x 轴上的椭圆；(2)抛物线的焦点是双曲线14491622=-y x 的左顶点.19(本小题满分10分) 已知椭圆193622=+y x ，求以点)2,4(P 为中点的弦所在的直线方程.20(本小题满分10分)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：)1200(880312800013≤<+-=x x x y .已知甲、乙两地相距100千米. （1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？21(本小题满分10分)已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点为)0,2(1-F 、)0,2(2F 点)7,3(P 在双曲线C 上. (1)求双曲线C 的方程；(2)记O 为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，若△OEF 的面积为求直线l 的方程.参考答案一．选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)1-6 BBCDBD 7-12 ACABCB二．填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13． ),31[+∞ 14． 8 15. 12-或24 16． ①、③, ②、④． 三．解答题（本大题共5小题，共48分）17（本小题满分8分）解：（1）由已知b ax x x f 366)(2++='因为)(x f 在1=x 及2=x 处取得极值，所以1和2是方程0366)(2=++='b ax x x f 的两根 故3-=a 、4=b（2）由（1）可得81292)(23++-=x x x x f )2)(1(612186)(2--=+-='x x x x x f 当1<x 或2>x 时，0)(>'x f ，)(x f 是增加的；当21<<x 时，0)(<'x f ，)(x f 是减少的。
高中数学人教A版选修1-1习题：第三章3.3-3.3.2函数的极值与导数 Word版含答案
第三章导数及其应用3.3 导数在研究函数中的应用3.3.2 函数的极值与导数A级基础巩固一、选择题1．可导“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．答案：B2．已知可导函数f(x)，x∈R，且仅在x＝1处，f(x)存在极小值，则( )A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0解析：因为f(x)在x＝1处存在极小值，所以x＜1时，f′(x)＜0，x＞1时，f′(x)＞0.答案：C3．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有( )A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值解析：由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3，当x＜－1或x＞3时，y′＞0；当－1＜x＜3时，y′＜0.故当x＝－1时，函数有极大值5；x取不到3，故无极小值．答案：C4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( ) A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0，解得a＞6或a＜－3.答案：D5．设a∈R，若函数y＝e x＋ax，x∈R有大于零的极值点，则( )A．a＜－1 B．a＞－1C．a＞－1eD．a＜－1e解析：y′＝e x＋a＝0，e x＝－a，因为x＞0，所以 e x＞1，即－a＞1，所以a＜－1.答案：A二、填空题6．函数f(x)＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________．解析：f′(x)＝x2－6令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2，所以f(x)极大值＝f(－2)＝a＋42，f(x)极小值＝f(2)＝a－4 2.答案：a＋42，a－4 2.7．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处取极大值，在x＝3处取极小值，则a＝________，b＝________．解析：y′＝3x2＋2ax＋b，根据题意知，－1和3是方程3x2＋2ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系可求得a＝－3，b＝－9.经检验，符合题意．答案：－3 －98．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示．则下列说法中不正确的是________．①当x ＝32时，函数取得极小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时，函数取得极小值； ④当x ＝1时，函数取得极大值．解析：由图象可知当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时，函数取得极小值，当x ＝1时，函数取得极大值．故只有①不正确．答案：① 三、解答题9．已知f (x )＝13x 3－12x 2－2x ，求f (x )的极大值与极小值．解：由已知得f (x )的定义域为R.f ′(x )＝x 2－x －2＝(x ＋1)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：↗↘↗因此，当x ＝－1时，f (x )取得极大值，且极大值为f (－1)＝3×(－1)3－2×(－1)2－2×(－1)＝76；当x ＝2时，f (x )取得极小值，且极小值为f (2)＝13×23－12×22－2×2＝－103.从而f (x )的极大值为76，极小值为－103.10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取极值10，求f (2)的值． 解：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝10，f ′（1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋b ＋1＝10，2a ＋b ＋3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3. 当a ＝4，b ＝－11时，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝－113.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0， 所以 f (x )在x ＝1处没有极值，不合题意． 综上可知f (2)＝18.B 级 能力提升1．等差数列{a n }中的a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点，则log 2a 2 016的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为f ′(x )＝x 2－8x ＋6，且a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点，所以a 1，a 4 031是方程x 2－8x ＋6＝0的两个实数根，则a 1＋a 4 031＝8.而{a n }为等差数列，所以a 1＋a 4 031＝2a 2 016，即a 2 016＝4，从而log 2a 2 016＝log 24＝2.故选A.答案：A2．若函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )为三次函数，其导函数f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)为二次函数，要使函数f (x )既有极大值又有极小值，需f ′(x )＝0有两个不等的实数根，所以Δ＝(6a )2－4×3×3(a ＋2)>0，解得a <－1或a >2.答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)3．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 解：(1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＝27＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1， 由此可知，x 取足够大的正数时， 有f (x )＞0，x 取足够小的负数时， 有f (x )＜0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个定点．由(1)知f (x )最大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1.因为曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点， 所以f (x )极大值＜0或f (x )极小值＞0， 即527＋a ＜0或a －1＞0，所以a ＜－527或a ＞1， 所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．。
高中数学人教a版选修1-1模块综合测评 word版含解析
模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·北京高考)设a ，b 是实数，则“a >b ”是“a 2>b 2”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 设a ＝1，b ＝－2，则有a >b ，但a 2<b 2，故a >bD ⇒/a 2>b 2；设a ＝－2，b ＝1，显然a 2>b 2，但a <b ，即a 2>b 2D ⇒/a >b .故“a >b ”是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件．【答案】 D2．过点P (1，－3)的抛物线的标准方程为( )A ．x 2＝13y 或x 2＝－13yB ．x 2＝13yC ．y 2＝－9x 或x 2＝13y D ．x 2＝－13y 或y 2＝9x 【解析】 P (1，－3)在第四象限，所以抛物线只能开口向右或向下，设方程为y 2＝2px (p ＞0)或x 2＝－2py (p ＞0)，代入P (1，－3)得y 2＝9x 或x 2＝－13y .故选D.【答案】 D3．(2016·南阳高二检测)下列命题中，正确命题的个数是( ) ①命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x2－3x＋2≠0”；②“p∨q为真”是“p∧q为真”的充分不必要条件；③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；④对命题p：∃x0∈R，使得x20＋x0＋1<0，则¬p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0.A．1B．2 C．3D．4【解析】①正确；②由p∨q为真可知，p，q至少有一个是真命题即可，所以p∧q不一定是真命题；反之，p∧q是真命题，p，q 均为真命题，所以p∨q一定是真命题，②不正确；③若p∧q为假命题，则p，q至少有一个假命题，③不正确；④正确．【答案】 B4．函数f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f(－1)与f(1)的大小关系为() A．f(－1)＝f(1) B．f(－1)<f(1)C．f(－1)>f(1) D．无法确定【解析】f′(x)＝2x＋2f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2.∴f(x)＝x2＋2x·f′(1)＝x2－4x，f(1)＝－3，f(－1)＝5.∴f(－1)>f(1)．【答案】 C5．(2014·福建高考)命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0D．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥0【解析】 故原命题的否定为：∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0.故选C.【答案】 C6．已知双曲线的离心率e ＝2，且与椭圆x 224＋y 28＝1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±13xB ．y ＝±33xC ．y ＝±3xD ．y ＝±23x【解析】 双曲线的焦点为F (±4,0)，e ＝c a ＝2，∴a ＝2，b ＝c 2－a 2＝23，∴渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x .【答案】 C7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( ) 【导学号：26160107】A ．1 B.32 C ．2 D ．3【解析】 因为双曲线的离心率e ＝c a ＝2，所以b ＝3a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x ，与抛物线的准线x ＝－p 2相交于A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，32p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－32p ，所以△AOB 的面积为12×p 2×3p ＝3，又p ＞0，所以p ＝2.【答案】 C8．点P 在曲线y ＝x 3－x ＋3上移动，过点P 的切线的倾斜角的取值范围为( )A ．[0，π)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 【解析】 f ′(x )＝3x 2－1≥－1，即切线的斜率k ≥－1，所以切线的倾斜角的范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 【答案】 B9．椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后必过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A ，B 是它的两个焦点，其长轴长为2a ，焦距为2c (a ＞c ＞0)，静放在点A 的小球(小球的半径不计)，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是( )A ．2(a －c )B ．2(a ＋c )C ．4aD ．以上答案均有可能【解析】 如图，本题应分三种情况讨论：当小球沿着x 轴负方向从点A 出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2(a －c )；当小球沿着x 轴正方向从点A 出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2(a ＋c )；当是其他情况时，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是4a .【答案】 D10．若函数f (x )＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1在区间(0,4)上是减函数，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13 【解析】 f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x .由题意知3kx 2＋6(k －1)x ≤0，即kx ＋2k －2≤0在(0,4)上恒成立，得k ≤2x ＋2，x ∈(0,4)，又13＜2x ＋2＜1，∴k ≤13. 【答案】 D11．若直线y ＝2x 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1, 5)B ．(5，＋∞)C ．(1, 5]D ．[5，＋∞)【解析】 双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为y ＝b a x .由条件知，应有b a >2，故e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2> 5. 【答案】 B12．(2014·湖南高考)若0<x 1<x 2<1，则( )A ．e x 2－e x 1>ln x 2－ln x 1B ．e x 2－e x 1<ln x 2－ln x 1C ．x 2e x 1>x 1e x 2D ．x 2e x 1<x 1e x 2【解析】 设f (x )＝e x －ln x (0<x <1)，则f ′(x )＝e x －1x ＝x e x－1x .令f ′(x )＝0，得x e x －1＝0.根据函数y ＝e x 与y ＝1x 的图象，可知两函数图象交点x 0∈(0,1)，因此函数f (x )在(0,1)上不是单调函数，故A ，B 选项不正确．设g (x )＝e x x (0<x <1)，则g ′(x )＝e x(x －1)x 2.又0<x <1，∴g ′(x )<0.∴函数g (x )在(0,1)上是减函数．又0<x 1<x 2<1，∴g (x 1)>g (x 2)，∴x 2e x 1>x 1e x 2.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是________．【解析】 a ＋b ＋c ＝3的否定是a ＋b ＋c ≠3，a 2＋b 2＋c 2≥3的否定是a 2＋b 2＋c 2<3.【答案】 若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<314．曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________________. 【导学号：26160108】 【解析】 y ′＝e x ＋x e x ＋2，k ＝y ′|x ＝0＝e 0＋0＋2＝3，所以切线方程为y －1＝3(x －0)，即3x －y ＋1＝0.【答案】 3x －y ＋1＝015.如图1为函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则不等式xf ′(x )＜0的解集为________________．图1【解析】 当x ＜0时，f ′(x )＞0，此时f (x )为增函数，由图象可知x ∈(－∞，－3)；当x ＞0时，f ′(x )＜0，此时f (x )为减函数，由图象可知x ∈(0, 2)． ∴xf ′(x )＜0的解集为(－∞，－3)∪(0, 2)．【答案】 (－∞，－3)∪(0, 2)16．若O 和F 分别是椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为________． 【解析】 由椭圆x 24＋y 23＝1可得点F (－1,0)，点O (0，0)，设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP→取得最大值6. 【答案】 6三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设命题p ：方程x 21－2m ＋y 2m ＋4＝1表示的曲线是双曲线；命题q ：∃x ∈R,3x 2＋2mx ＋m ＋6<0.若命题p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求实数m 的取值范围．【解】 对于命题p ，因为方程x 21－2m ＋y 2m ＋4＝1表示的曲线是双曲线，所以(1－2m )(m ＋4)<0，解得m <－4或m >12，则命题p ：m <－4或m >12.对于命题q ，因为∃x ∈R,3x 2＋2mx ＋m ＋6<0，即不等式3x 2＋2mx ＋m ＋6<0在实数集R 上有解，所以Δ＝(2m )2－4×3×(m ＋6)>0，解得m <－3或m >6.则命题q ：m <－3或m >6.因为命题p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，所以命题p 与命题q 有且只有一个为真命题．若命题p 为真命题且命题q 为假命题，即⎩⎨⎧ m <－4或m >12，－3≤m ≤6，得12<m ≤6； 若命题p 为假命题且命题q 为真命题， 即⎩⎨⎧ －4≤m ≤12，m <－3或m >6，得－4≤m <－3.综上，实数m 的取值范围为[－4，－3)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，6. 18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx (x ∈R )，已知g (x )＝f (x )－f ′(x )是奇函数．(1)求b ，c 的值；(2)求g (x )的单调区间与极值．【解】 (1)∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .从而g (x )＝f (x )－f ′(x )＝x 3＋bx 2＋cx －(3x 2＋2bx ＋c )＝x 3＋(b －3)x 2＋(c －2b )x －c∵g (x )是奇函数，∴－x 3＋(b －3)x 2－(c －2b )x －c＝－[x 3＋(b －3)x 2＋(c －2b )x －c ]得(b －3)x 2－c ＝0对x ∈R 都成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧b －3＝0，c ＝0，得b ＝3，c ＝0. (2)由(1)知g (x )＝x 3－6x ，从而g ′(x )＝3x 2－6，由此可知，(－∞，－2)和(2，＋∞)是函数g (x )的单调递增区间；(－2， 2)是函数g (x )的单调递减区间．g (x )在x ＝－2时，取得极大值，极大值为42，g (x )在x ＝2时，取得极小值，极小值为－4 2.19．(本小题满分12分)已知抛物线y 2＝4x 截直线y ＝2x ＋b 所得的弦长为|AB |＝3 5.(1)求b 的值； 【导学号：26160109】(2)在x 轴上求一点P ，使△APB 的面积为39.【解】 (1)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝2x ＋b ，消去y ，得方程：4x 2＋(4b －4)x ＋b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝1－b ，x 1x 2＝b 24，|AB |＝5(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5(1－b )2－b 2＝35，解得b ＝－4.(2)将b ＝－4代入直线y ＝2x ＋b ，得AB 所在的直线方程为2x －y －4＝0，设P (a,0)，则P 到直线AB 的距离为d ＝|2a －4|5. △APB 的面积S ＝12×|2a －4|5×35＝39，则a ＝－11或15， 所以P 点的坐标为(－11,0)或(15,0)．20．(本小题满分12分)某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x (单位：元，0≤x ≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？【解】 (1)设商品降低x 元时，多卖出的商品件数为kx 2，若记商品在一个星期的销售利润为f (x )，则依题意有f (x )＝(30－x －9)·(432＋kx 2)＝(21－x )·(432＋kx 2)，又由已知条件24＝k ·22，于是有k ＝6，所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,30]．(2)根据(1)，有f ′(x )＝－18x 2＋252x －432＝－18(x －2)(x －12)．当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表：因为f (0)＝9 072，f (12)＝11 664，所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大． 21．(本小题满分12分)(2016·大连高二检测)已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x (a <0)．(1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值；(2)若∀x >0，不等式f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围． 【解】 由题意，x >0.(1)当a ＝－1时，f (x )＝12x 2－ln x ， f ′(x )＝x －1x ，令f ′(x )＝x －1x >0，解得x >1， 所以f (x )的单调增区间为(1，＋∞)； f ′(x )＝x －1x <0，得0<x <1， 所以f (x )的单调减区间为(0,1)， 所以函数f (x )在x ＝1处有极小值f (1)＝12. (2)因为a <0，f ′(x )＝x ＋ax . 令f ′(x )＝0，所以x ＝－a ， 列表：这时f (x )min ＝f (－a )＝－a2＋a ln －a ， 因为∀x >0，不等式f (x )≥0恒成立， 所以－a2＋a ln －a ≥0，所以a ≥－e ， 所以a 的取值范围为[－e,0)．22．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，且离心率e ＝12. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过定点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫18，0，求k 的取值范围. 【导学号：26160110】【解】 (1)由题意e ＝12， 即e ＝c a ＝12，∴a ＝2c . ∴b 2＝a 2－c 2＝(2c )2－c 2＝3c 2. ∴椭圆C 的方程可设为x 24c 2＋y 23c 2＝1. 代入A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，得14c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3223c 2＝1. 解得c 2＝1，∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，(2)由方程组⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. 由题意，Δ＝(8km )2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0， 整理得：3＋4k 2－m 2＞0，① 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， MN 的中点为P (x 0，y 0)， x 0＝x 1＋x 22＝－4km 3＋4k 2，y 0＝kx 0＋m ＝3m3＋4k 2.由已知，MN ⊥GP ，即k MN ·k GP ＝－1， 即k ·3m3＋4k 2－0－4km 3＋4k 2－18＝－1，整理得：m ＝－3＋4k 28k .代入①式，并整理得：k 2＞120，即|k |＞510，∴k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－510∪⎝ ⎛⎭⎪⎫510，＋∞.。
(人教版)高中数学选修1-1检测模块综合检测(A) Word版含答案
模块综合检测()一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．命题“任意的∈－＋<”的否定是( )．不存在∈－＋<．存在∈－＋<．存在∈－＋≥．对任意的∈－＋≥解析：全称命题的否定是特称命题，所以该命题的否定是：存在∈－＋≥.答案：．已知()＝＋＋，则′()等于( )．＋．＋·＋．＋·．＋·解析：( )′＝，注意避免出现( )′＝的错误．答案：．下列选项中，是的必要不充分条件的是( )．：＋>＋，：>且>．：>，>，：()＝－(>，且≠)的图象不过第二象限．：＝，：＝．：>，：()＝(>，且≠)在(，＋∞)上为增函数解析：，中是的充分不必要条件，中是的充要条件．答案：．函数()＝＋在＝处取得极值，则的值为( )．．－．．－解析：′()＝＋，令′()＝，得＝－，由题意知，当＝－时，原函数在＝处取得极值．答案：．下列四个命题：①“若＋＝，则实数，均为”的逆命题；②“相似三角形的面积相等”的否命题；③“∩＝，则⊆”的逆否命题；④“末位数不是的数都能被整除”的逆否命题．其中真命题为( )．①②．②③．①③．③④解析：①的逆命题为“若实数、均为，则＋＝”，是正确的；③中，∵“∩＝，则⊆”是正确的，∴它的逆否命题也正确．答案：．两曲线＝＋＋与＝－相切于点(，－)处，则，的值分别为( )．．，－．－．－，－解析：点(，－)在曲线＝＋＋上，可得＋＋＝，①又′＝＋，′＝＝＋＝，∴＝－，代入①，可得＝－.答案：．已知椭圆＋＝(>>)，为椭圆上一动点，为椭圆的左焦点，则线段的中点的轨迹是( ) ．椭圆．圆．双曲线的一支．线段解析：∵为的中点，为的中点，∴＝，又＋＝，∴＋＝＋＝.∴的轨迹是以，为焦点的椭圆．答案：．函数()＝(－)的单调递增区间是( )．(－∞，) ．()．() ．(，＋∞)解析：′()＝＋(－)＝(－)，由′()>，得>.∴()在(，＋∞)上是递增的．答案：．设，是椭圆＋＝的两个焦点，是椭圆上一点，且到两个焦点的距离之差为，则△是( )．钝角三角形．锐角三角形．斜三角形．直角三角形解析：由椭圆的定义，知＋＝＝，由题可得－＝，则＝，＝.又＝＝，。
高中数学人教A版选修1-1章末综合测评1 Word版含解析
章末综合测评(一)常用逻辑用语(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．“经过两条相交直线有且只有一个平面”是()A．全称命题B．特称命题C．p∨q形式D．p∧q形式【解析】此命题暗含了“任意”两字，即经过任意两条相交直线有且只有一个平面．【答案】 A2．(2015·湖南高考)设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由于函数f(x)＝x3在R上为增函数，所以当x>1时，x3>1成立，反过来，当x3>1时，x>1也成立．因此“x>1”是“x3>1”的充要条件，故选C.【答案】 C3．(2014·湖北高考)命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是()A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2＝xC．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2＝x【解析】全称命题的否定，需要把全称量词改为特称量词，并否定结论．【答案】 D4．全称命题“∀x∈Z,2x＋1是整数”的逆命题是()A．若2x＋1是整数，则x∈ZB．若2x＋1是奇数，则x∈ZC．若2x＋1是偶数，则x∈ZD．若2x＋1能被3整除，则x∈Z【解析】易知逆命题为：若2x＋1是整数，则x∈Z.【答案】 A5．已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是()A．p∧¬q B．¬p∧qC．¬p∧¬q D．p∧q【解析】命题p为真命题，命题q为假命题，所以命题¬q为真命题，所以p∧¬q为真命题，故选A.【答案】 A6．(2015·皖南八校联考)命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是()A．全等三角形的面积不一定都相等B．不全等三角形的面积不一定都相等C．存在两个不全等三角形的面积相等D．存在两个全等三角形的面积不相等【解析】命题是省略量词的全称命题．易知选D.【答案】 D7．原命题为“若a n＋a n＋12＜a n，n∈N＋，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，真，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假【解析】从原命题的真假入手，由于a n＋a n＋12＜a n⇔a n＋1＜a n⇔{a n}为递减数列，即原命题和逆命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A.【答案】 A8．给定两个命题p，q.若¬p是q的必要而不充分条件，则p是¬q的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】q⇒¬p等价于p⇒¬q，¬pD⇒/q等价于¬qD⇒/p.故p 是¬q的充分而不必要条件．【答案】 A9．一元二次方程ax2＋4x＋3＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是()A．a＜0 B．a＞0C．a＜－1 D．a＞1【解析】一元二次方程ax2＋4x＋3＝0(a≠0)有一个正根和一个负根⇔3a ＜0，解得a ＜0，故a ＜－1是它的一个充分不必要条件．【答案】 C10．设集合U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m ＞0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，那么点P (2,3)∈A ∩(∁U B )的充要条件是( )【导学号：26160027】A ．m ＞－1，n ＜5B ．m ＜－1，n ＜5C ．m ＞－1，n ＞5D ．m ＜－1，n ＞5【解析】 ∵P (2,3)∈A ∩(∁U B )，∴满足⎩⎨⎧ 2×2－3＋m ＞0，2＋3－n ＞0，故⎩⎨⎧ m ＞－1，n ＜5.【答案】 A 11．下列命题中为真命题的是( )A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b ＝－1D ．a >1，b >1是ab >1的充分条件【解析】 对于∀x ∈R ，都有e x >0，故选项A 是假命题；当x ＝2时，2x ＝x 2，故选项B 是假命题；当a b ＝－1时，有a ＋b ＝0，但当a ＋b ＝0时，如a ＝0，b ＝0时，a b 无意义，故选项C 是假命题；当a >1，b >1时，必有ab >1，但当ab >1时，未必有a >1，b >1，如当a ＝－1，b ＝－2时，ab >1，但a 不大于1，b 不大于1，故a >1，b >1是ab >1的充分条件，选项D 是真命题．【答案】 D12．下列命题中真命题的个数为( )①命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题；②设α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则“α<β ”是“tan α<tan β ”的充要条件； ③命题“自然数是整数”是真命题；④命题“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1<0”的否定是“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0.”A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 ①命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”为真命题，所以其逆否命题为真命题；②因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 时，正切函数y ＝tan x 是增函数，所以当α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，α<β⇔tan α<tan β，所以“α<β”是“tan α<tan β”的充要条件，即②是真命题；③命题“自然数是整数”是全称命题，省略了“所有的”，故③是真命题；④命题“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1<0”的否定是“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1≥0”，故④是假命题．【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．设p ：x ＞2或x ＜23；q ：x ＞2或x ＜－1，则¬p 是¬q 的________条件．【解析】 ¬p ：23≤x ≤2.¬q ：－1≤x ≤2.¬p ⇒¬q ，但¬qD ⇒/ ¬p .∴¬p 是¬q 的充分不必要条件．【答案】 充分不必要14．若命题“对于任意实数x ，都有x 2＋ax －4a >0且x 2－2ax ＋1>0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】 若对于任意实数x ，都有x 2＋ax －4a >0，则Δ＝a 2＋16a <0，即－16<a <0；若对于任意实数x ，都有x 2－2ax ＋1>0，则Δ＝4a 2－4<0，即－1<a <1，故命题“对于任意实数x ，都有x 2＋ax －4a >0且x 2－2ax ＋1>0”是真命题时，有a ∈(－1,0)．而命题“对于任意实数 x ，都有x 2＋ax －4a >0且x 2－2ax ＋1>0”是假命题，故a ∈(－∞，－1]∪[0，＋∞)．【答案】 (－∞，－1]∪[0，＋∞)15．给出下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b ≤－1，则关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实数根”的逆否命题；④若sin α＋cos α>1，则α必定是锐角．其中是真命题的有________．(请把所有真命题的序号都填上)．【解析】 ②可利用逆命题与否命题同真假来判断，易知“相似三角形的周长相等”的逆命题为假，故其否命题为假．④中α应为第一象限角．【答案】 ①③16．已知p ：－4＜x －a ＜4，q ：(x －2)(3－x )＞0，若¬p 是¬q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________．【解析】 p ：a －4＜x ＜a ＋4，q ：2＜x ＜3，∵¬p 是¬q 的充分条件(即¬p ⇒¬q )，∴q ⇒p ，∴⎩⎨⎧ a －4≤2，a ＋4≥3，∴－1≤a ≤6.【答案】 [－1,6]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)指出下列命题的构成形式，并写出构成它的命题：(1)36是6与18的倍数；(2)方程x 2＋3x －4＝0的根是x ＝±1；(3)不等式x 2－x －12>0的解集是{x |x >4或x <－3}．【解】 (1)这个命题是p ∧q 的形式，其中p ：36是6的倍数；q ：36是18的倍数．(2)这个命题是p ∨q 的形式，其中p ：方程x 2＋3x －4＝0的根是x ＝1；q ：方程x 2＋3x －4＝0的根是x ＝－1.(3)这个命题是p ∨q 的形式，其中p ：不等式x 2－x －12>0的解集是{x|x>4}；q：不等式x2－x－12>0的解集是{x|x<－3}．18．(本小题满分12分)写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)全等三角形一定相似；(2)末位数字是零的自然数能被5整除．【解】(1)逆命题：若两个三角形相似，则它们一定全等，为假命题；否命题：若两个三角形不全等，则它们一定不相似，为假命题；逆否命题：若两个三角形不相似，则它们一定不全等，为真命题．(2)逆命题：若一个自然数能被5整除，则它的末位数字是零，为假命题；否命题：若一个自然数的末位数字不是零，则它不能被5整除，为假命题；逆否命题：若一个自然数不能被5整除，则它的末位数字不是零，为真命题．19．(本小题满分12分)写出下列命题的否定并判断真假：(1)所有自然数的平方是正数；(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；(3)∀x∈R，x2－3x＋3>0；(4)有些质数不是奇数．【解】(1)所有自然数的平方是正数，假命题；否定：有些自然数的平方不是正数，真命题．(2)任何实数x 都是方程5x －12＝0的根，假命题；否定：∃x 0∈R,5x 0－12≠0，真命题．(3)∀x ∈R ，x 2－3x ＋3>0，真命题；否定：∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋3≤0，假命题．(4)有些质数不是奇数，真命题；否定：所有的质数都是奇数，假命题．20．(本小题满分12分)(2016·汕头高二检测)设p ：“∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1＝0”，q ：“函数y ＝x 2－2ax ＋a 2＋1在x ∈[0，＋∞)上的值域为[1，＋∞)”，若“p ∨q ”是假命题，求实数a 的取值范围．【解】 由x 20－ax 0＋1＝0有实根，得Δ＝a 2－4≥0⇒a ≥2或a ≤－2.因为命题p 为真命题的范围是a ≥2或a ≤－2.由函数y ＝x 2－2ax ＋a 2＋1在x ∈[0，＋∞)上的值域为[1，＋∞)，得a ≥0.因此命题q 为真命题的范围是a ≥0.根据p ∨q 为假命题知：p ，q 均是假命题，p 为假命题对应的范围是－2<a <2，q 为假命题对应的范围是a <0.这样得到二者均为假命题的范围就是⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a <0⇒－2<a <0.21．(本小题满分12分)(2016·惠州高二检测)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0；命题q ：实数x 满足x 2－5x ＋6≤0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【解】 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －3a )·(x －a )<0，又a >0，所以a <x <3a ，当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是1<x <3，由x 2－5x ＋6≤0得2≤x ≤3，所以q 为真时，实数x 的取值范围是2≤x ≤3.若p ∧q 为真，则2≤x <3，所以实数x 的取值范围是[2,3)．(2)设A ＝{x |a <x <3a }，B ＝{x |2≤x ≤3}，由题意可知q 是p 的充分不必要条件，则B A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <2，3a >3⇒1<a <2，所以实数a 的取值范围是(1,2)． 22．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋x ，对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1恒成立，试求实数a 的取值范围. 【导学号：26160028】【解】 由f (x )＝ax 2＋x 是二次函数，知a ≠0.|f (x )|≤1⇔－1≤f (x )≤1⇔－1≤ax 2＋x ≤1，x ∈[0,1]，①当x ＝0，a ≠0时，①式显然成立；当x ∈(0,1]时，①式化为－1x 2－1x ≤a ≤1x 2－1x ，当x ∈(0,1]时恒成立．设t ＝1x ，则t ∈[1，＋∞)，所以－t 2－t ≤a ≤t 2－t .令f (t )＝－t 2－t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋14，t ∈[1，＋∞)， 所以f (t )max ＝－2.令g (t )＝t 2－t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－14，t ∈[1，＋∞)， 所以g (t )min ＝0.所以只需－2≤a ≤0.综上所述，实数a 的取值范围是[－2,0)．第一章 章末总结知识点一 四种命题间的关系命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句．一个命题与它的逆命题、否命题之间的关系是不确定的，与它的逆否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题．例1 判断下列命题的真假．(1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 的逆命题与逆否命题；(2)若0<x <5，则|x －2|<3的否命题与逆否命题；(3)设a 、b 为非零向量，如果a ⊥b ，则a·b ＝0的逆命题和否命题．知识点二 充要条件及其应用充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容，综合考察数学各部分知识，是高考的热点，判断方法有以下几种：(1)定义法(2)传递法：对于较复杂的关系，常用推出符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论．互为逆否的两个命题具有等价性，运用这一原理，可将不易直接判断的命题化为其逆否命题加以判断．(3)等价命题法：对于含有逻辑联结词“非”的充分条件、必要条件的判断，往往利用原命题与其逆否命题是等价命题的结论进行转化．(4)集合法：与逻辑有关的许多数学问题可以用范围解两个命题之间的关系，这时如果能运用数形结合的思想(如数轴或Venn 图等)就能更加直观、形象地判断出它们之间的关系．例2 若p ：－2<a <0,0<b <1；q ：关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，则p 是q 的什么条件？例3 设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0.q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0.且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．知识点三 逻辑联结词的应用对于含逻辑联结词的命题，根据逻辑联结词的含义，利用真值表判定真假．利用含逻辑联结词命题的真假，判定字母的取值范围是各类考试的热点之一．例4 判断下列命题的真假．(1)对于任意x ，若x －3＝0，则x －3≤0；(2)若x ＝3或x ＝5，则(x －3)(x －6)＝0.例5 设命题p ：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋116a 的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立．如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．知识点四 全称命题与特称命题全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定是高考的一个重点，多以客观题出现．全称命题要对一个范围内的所有对象成立，要否定一个全称命题，只要找到一个反例就行．特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可．全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．例6 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)3＝2；(2)5>4；(3)对任意实数x ，x >0；(4)有些质数是奇数．例7 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由．(2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围．章末总结重点解读例1 解 (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x ∈B ，则x ∈A ∪B ，为真命题．(2)∵0<x <5，∴－2<x －2<3，∴0≤|x －2|<3.原命题为真，故其逆否命题为真．否命题：若x ≤0或x ≥5，则|x －2|≥3.例如当x ＝－12，⎪⎪⎪⎪－12－2＝52<3. 故否命题为假．(3)原命题：a ，b 为非零向量，a ⊥b ⇒a·b ＝0为真命题．逆命题：若a ，b 为非零向量，a·b ＝0⇒a ⊥b 为真命题．否命题：设a ，b 为非零向量，a 不垂直b ⇒a·b ≠0也为真．例2 解 若a ＝－1，b ＝12，则Δ＝a 2－4b <0，关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0无实根，故p ⇒q .若关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x 1、x 2，且0<x 1≤x 2<1，则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b .于是0<－a <2,0<b <1，即－2<a <0,0<b <1，故q ⇒p .所以，p 是q 的必要不充分条件．例3 解 设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}． B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x |x <－4或x ≥－2}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．∴AB ，∴⎩⎨⎧ a ≤－4a <0或⎩⎨⎧ 3a ≥－2a <0， 解得－23≤a <0或a ≤－4. 故实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫－23，0. 例4 解 (1)∵x －3＝0，有x －3≤0，∴命题为真；(2)∵当x ＝5时，(x －3)(x －6)≠0，∴命题为假．例5 解 p ：由ax 2－x ＋116a >0恒成立得 ⎩⎪⎨⎪⎧ a >0Δ＝1－4×a ×a 16<0，∴a >2. q ：由2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立， 令t ＝2x ＋1>1，则x ＝t 2－12， ∴t <1＋a ·t 2－12， ∴2(t －1)<a (t 2－1)对一切t >1均成立．∴2<a (t ＋1)，∴a >2t ＋1，∴a ≥1. ∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 与q 一真一假．若p 真q 假，a >2且a <1不存在．若p 假q 真，则a ≤2且a ≥1，∴1≤a ≤2.故a 的取值范围为1≤a ≤2.例6 解 (1)3≠2，真命题；(2)5≤4，假命题；(3)存在一个实数x ，x ≤0，真命题；(4)所有质数都不是奇数，假命题．例7 解 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4. (2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.所以，所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．。
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选修1—1模拟测试题一、选择题1. 若p 、q 是两个简单命题，“p 或q ”的否定是真命题,则必有（ ） A.p 真q 真 B.p 假q 假 C.p 真q 假 D.p 假q 真 2。
“cos2α=－23”是“α=k π+215π,k ∈Z ”的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C 。
充分必要条件 D 。
既不充分又不必要条件3. 设x x x f cos sin )(+=，那么（ ） A ．x x x f sin cos )(-=' B ．xx x f sin cos )(+=' C ．xx x f sin cos )(+-=' D ．x x x f sin cos )(--='4.曲线f(x ）=x 3+x －2在点P 0处的切线平行于直线y=4x －1,则点P 0的坐标为（ ） A.(1,0） B.（2，8） C 。
（1,0）和（－1,－4） D.（2，8）和（－1,－4)5.平面内有一长度为2的线段AB 和一动点P,若满足｜PA|+｜PB ｜=6,则|PA|的取值范围是A 。
［1,4］ B.[1,6］ C.［2,6］ D.［2,4］6.已知2x+y=0是双曲线x 2－λy 2=1的一条渐近线，则双曲线的离心率为（ ） A 。
人教A版高中数学选修1-1：综合质量评估含答案
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综合质量评估第一至第三章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.“x>3”是“不等式x2-2x>0”的( )A.充分不必要条件B.充分必要条件C.必要不充分条件D.非充分必要条件【解析】选A.解不等式x2-2x>0得x<0或x>2,故“x>3”是“不等式x2-2x>0”的充分不必要条件.2.(2016·临沂高二检测)命题:“∀x∈R,都有x2-x+1>0”的否定是( )A.∀x∈R,都有x2-x+1≤0B.∃x0∈R,使-x0+1>0C.∃x0∈R,使-x0+1≤0D.∃x0∈R,使x2-x0+1<0【解析】选C.全称命题的否定是特称命题.3.函数y=f(x)的图象如图1所示,则y=f′(x)的图象可能是( )【解析】选D.由函数y=f(x)的图象可知当x<0时,函数单调递增,故f′(x)>0,当x>0时,函数单调递减,故f′(x)<0.4.(2016·河南南阳高二期末)若函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-1时取得极值,则a等于( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.f′(x)=3x2+2ax+3.由题意知f′(-1)=0,解得a=3.5.设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a的值为( )A.1B.C.-D.-1【解析】选A.y′=2ax,于是曲线y=ax2在点(1,a)处切线的斜率为2a,由题意得2a=2,解得a=1.6.已知点P是双曲线-=1(a>0)上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=3,则|PF2|等于( )A.7B.6C.5D.3【解题指南】先根据渐近线方程求出a,再根据双曲线的定义求|PF2|.【解析】选A.由双曲线方程得渐近线方程为3x±ay=0,则a=2,双曲线中c=,b=3,由|PF1|=3知P为双曲线左支上一点,则|PF2|=|PF1|+4=7.7.椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选B.由题意知=,得a2=4b2,又a>b>0,所以a=2b.所以双曲线的离心率e===.【补偿训练】设双曲线-=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为( )A. B.5 C. D.【解析】选D.设双曲线的渐近线方程为y=kx,这条直线与抛物线y=x2+1相切,联立方程得整理得x2-kx+1=0,则Δ=k2-4=0,解得k=±2,即=2,故双曲线的离心率e====.8.(2016·青岛高二检测)设函数f(x)=x2-9lnx在区间上单调递减,则实数a的取值范围是( )A.(1,2]B. D.(0,3]【解析】选A.f′(x)=x-=(x>0),令f′(x)≤0得0<x≤3.所以f(x)在(0,3]上单调递减,所以解得1<a≤2.9.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1 【解析】选B.因为双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,所以F(-6,0)是双曲线的左焦点,即a2+b2=36,又双曲线的一条渐近线方程是y=x,所以=,解得a2=9,b2=27,所以双曲线的方程为-=1.10.(2016·大连高二检测)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则p的值为( )A.2B.4C.6D.8【解析】选D.因为△OFM的外接圆与抛物线C:y2=2px(p>0)的准线相切,所以△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.因为圆的面积为36π,所以圆的半径为6,又因为圆心在OF的垂直平分线上,|OF|=,所以+=6,p=8.11.(2015·济南二模)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x1处取得极大值,在x2处取得极小值,满足x1∈(-1,0),x2∈(0,1),则的取值范围是( )A.(0,2)B.(1,3)C. D.【解析】选B.因为f(x)=x3+ax2+bx+c,所以f′(x)=x2+ax+b.因为函数f(x)在区间(-1,0)内取得极大值,在区间(0,1)内取得极小值,所以f′(x)=x2+ax+b=0在(-1,0)和(0,1)内各有一个根,f′(0)<0,f′(-1)>0,f′(1)>0,即在aOb坐标系中画出其表示的区域,如图,=1+2×,令m=,其几何意义为区域中任意一点与点(-2,-1)连线的斜率,分析可得0<<1,则1<<3,所以的取值范围是(1,3).12.(2016·厦门模拟)若点O和点F(-2,0)分别是双曲线-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则·的取值范围为( )A.∪∪(3,+∞).18.(12分)(2016·衡水高二检测)已知函数f(x)=x3-x2+bx+c.(1)若f(x)的图象有与x轴平行的切线,求b的取值范围.(2)若f(x)在x=1处取得极值,且x∈时,f(x)<c2恒成立,求c的取值范围.【解析】(1)f′(x)=3x2-x+b,f(x)的图象上有与x轴平行的切线,则f′(x)=0有实数解. 即方程3x2-x+b=0有实数解.所以Δ=1-12b≥0,解得b≤.(2)由题意,得x=1是方程3x2-x+b=0的一个根,设另一个根为x0,则解得所以f(x)=x3-x2-2x+c,f′(x)=3x2-x-2.当x∈时,f′(x)<0;当x∈(1,2]∪时,f′(x)>0.所以当x=-时,f(x)有极大值+c,又f(-1)=+c,f(2)=2+c,所以当x∈时,f(x)的最大值为f(2)=2+c.因为当x∈时,f(x)<c2恒成立.所以c2>2+c,解得c<-1或c>2,所以c的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞).19.(12分)已知椭圆的两焦点为F1(-,0),F2(,0),离心率e=.(1)求此椭圆的方程.(2)设直线l:y=x+m,若l与此椭圆相交于P,Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值. 【解析】(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),则c=,=,所以a=2,b2=a2-c2=1.所以所求椭圆方程为+y2=1.(2)由消去y,得5x2+8mx+4(m2-1)=0,则Δ=64m2-80(m2-1)>0,得m2<5(*).设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,y1-y2=x1-x2,|PQ|===2.解得m2=,满足(*),所以m=±.20.(12分)已知函数f(x)=-x3+2ax2-3a2x+b(a>0).(1)当f(x)的极小值为-,极大值为-1时,求函数f(x)的解析式.(2)若f(x)在区间上为增函数,在区间上是减函数,在上是增函数, 在上是减函数,在上是增函数,在上为增函数,在区间=-4,所以·=(x1+1,y1)·(x2+1,y2)=x1x2+(x1+x2)+1+y1y2=1++1-4==1.解得k=±2.(2)因为y1>0,所以tan∠ATF===≤1.当且仅当y1=即y1=2时取等号.故∠ATF的最大值为.22.(12分)已知函数f(x)=-x3+x2-2x(a∈R).(1)当a=3时,求函数f(x)的单调区间.(2)若对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)<2(a-1)成立,求实数a的取值范围. 【解析】(1)当a=3时,函数f(x)=-x3+x2-2x,得f′(x)=-x2+3x-2=-(x-1)(x-2).所以当1<x<2时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;当x<1或x>2时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;所以函数f(x)的单调递增区间为(1,2),单调递减区间为(-∞,1)和(2,+∞).(2)由f(x)=-x3+x2-2x,得f′(x)=-x2+ax-2,因为对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)<2(a-1)成立,所以问题转化为对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)max<2(a-1).因为f′(x)=-+-2,其图象开口向下,对称轴为x=.①当≤1即a≤2时,f′(x)在[1,+∞)上单调递减,所以f′(x)max=f′(1)=a-3,由a-3<2(a-1),得a>-1,此时-1<a≤2.②当>1即a>2时,f′(x)在上单调减增,在上单调递减,所以f′(x)max=f′=-2,由-2<2(a-1),得0<a<8,此时2<a<8,综上可得,实数a的取值范围为(-1,8).关闭Word文档返回原板块。
2018年新人教A版高中数学选修1-1全册同步检测含答案解析
2018年新人教A版高中数学选修1-1全册同步检测目录第1章1.1-1.1.1命题第1章1.1-1.1.3四种命题间的相互关系第1章1.2充分条件与必要条件第1章1.3简单的逻辑联结词第1章1.4全称量词与存在量词第1章章末复习课第1章章末评估验收(一)第2章2.1-2.1.1椭圆及其标准方程第2章2.1-2.1.2第1课时椭圆的简单几何性质第2章2.1-2.1.2第2课时直线与椭圆的位置关系第2章2.2-2.2.1双曲线及其标准方程第2章2.2-2.2.2双曲线的简单几何性质第2章2.3-2.3.1抛物线及其标准方程第2章2.3-2.3.2抛物线的简单几何性质第2章章末复习课第2章章末评估验收(二)第3章3.1-3.1.2导数的概念第3章3.1-3.1.3导数的几何意义第3章3.2导数的计算第3章3.3-3.3.1函数的单调性与导数第3章3.3-3.3.2函数的极值与导数第3章3.3-3.3.3函数的最大（小）值与导数第3章3.4生活中的优化问题举例第3章章末复习课章末评估验收(三)模块综合评价(一)模块综合评价(二)第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.1 命题A级基础巩固一、选择题1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，在这4句诗中，可作为命题的是()A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思解析：“红豆生南国”是陈述句，意思是“红豆生长在南方”，故本句是命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题．答案：A2．下列命题为真命题的是()A．若1x＝1y，则x＝yB．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y，则x＝yD．若x＜y，则x2＜y2解析：很明显A正确；B中，由x2＝1，得x＝±1，所以B是假命题；C中，当x＝y＜0时，结论不成立，所以C是假命题；D中，当x＝－1，y＝1时，结论不成立，所以D是假命题．答案：A3．给出下列命题：①若直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，则l⊥m；②若a、b都是正实数，则a＋b≥2ab；③若x2＞x，则x＞1；④函数y＝x3是指数函数．其中假命题为()A．①③B．①②③C．①③④D．①④解析：①显然错误，所以①是假命题；由基本不等式，知②是真命题；③中，由x2＞x，得x＜0或x＞1，所以③是假命题；④中函数y＝x3是幂函数，不是指数函数，④是假命题．答案：C4．命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是()A．两个平面B．一条直线C．垂直D．两个平面垂直于同一条直线解析：把命题改为“若p则q”的形式为若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行，则条件为“两个平面垂直于同一条直线”．答案：D5．下列语句中命题的个数为()①若a，G，b成等比数列，则G2＝ab.②4－x2≥0.③梯形是中心对称图形．④π>2吗？⑤2016年是我人生中最难忘的一年！A．2B．3C．4D．5解析：依据命题的概念知④和⑤不是陈述句，故④⑤不是命题；再从“能否判断真假”的角度分析：②不是命题．只有①③为命题，故选A.答案：A二、填空题6．下列语句：①2是无限循环小数；②x 2－3x ＋2＝0；③当x ＝4时，2x >0；④把门关上！其中不是命题的是________．解析：①是命题；②不是命题，因为语句中含有变量x ，在没给变量x 赋值的情况下，无法判断语句的真假；③是命题；④是祈使句，不是命题．答案：②④7．已知命题“f (x )＝cos 2ωx －sin 2ωx 的最小正周期是π”是真命题，则实数ω的值为________．解析：f (x )＝cos 2ωx －sin 2ωx ＝cos 2ωx ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪2π2ω＝π，解得ω＝±1.答案：±1 8．下列命题：①若xy ＝1，则x ，y 互为倒数； ②二次函数的图象与x 轴有公共点； ③平行四边形是梯形； ④若ac 2＞bc 2，则a ＞b .其中真命题是________(写出所有真命题的编号)．解析：对于②，二次函数图象与x 轴不一定有公共点；对于③，平行四边形不是梯形．答案：①④ 三、解答题9．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假． (1)末位数字是0的整数能被5整除； (2)偶函数的图象关于y 轴对称； (3)菱形的对角线互相垂直．解：(1)若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除，为真命题．(2)若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴对称，为真命题．(3)若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直，为真命题．10．已知：A：5x－1＞a，B：x＞1，请选择适当的实数a，使得利用A、B构造的命题“若p，则q”为真命题．解：若视A为p，则命题“若p，则q”为“若x＞1＋a5，则x＞1”．由命题为真命题可知1＋a5≥1，解得a≥4；若视B为p，则命题“若p，则q”为“若x＞1，则x＞1＋a5”．由命题为真命题可知1＋a5≤1，解得a≤4.故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取a＝1，则有真命题“若x＞1，则x＞25”．B级能力提升1．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是()A．4B．2C．1D．－3解析：C中，当a＝1时，Δ＝12－4×1×1＝－3<0，方程无实根，其余3项中，a 的值使方程均有实根．答案：C2．①若a·b＝a·c，则b＝c；②若a＝(1，k)，b＝(－2，6)，a//b，则k＝－3；③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．解析：取a＝0，满足a·b＝a·c，但不一定有b＝c，故①不正确；当a＝(1，k)，b＝(－2，6)，a//b时，6＋2k＝0，所以k＝－3，则②正确；非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|时，|a|，|b|，|a－b|构成等边三角形，所以a与a ＋b的夹角为30°，因此③错误．答案：②3．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)乘积为1的两个实数互为倒数；(2)奇函数的图象关于原点对称；(3)与同一直线平行的两个平面平行．解：(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”，它是真命题．(2)“若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称”．它是真命题．(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能相交．第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系A级基础巩固一、选择题1．命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．无关命题解析：将命题“对角线相等的四边形是矩形”写成“若p，则q”的形式为：“若一个四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形”．而将命题“矩形的对角线相等”写成“若p，则q”的形式为：“若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等”．则前一个命题为后一个命题的逆命题．答案：A2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是() A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a＋b＋c≥3，则a2＋b2＋c2＝3解析：否定条件，得a＋b＋c≠3，否定结论，得a2＋b2＋c2＜3.所以否命题是“若a ＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3”．答案：A3．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是()A．能被3整除的整数，一定能被6整除B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除D．不能被6整除的整数，不一定能被3整除解析：原命题与它的逆否命题是等价命题，原命题的逆否命题是：不能被3整除的整数，一定不能被6整除．答案：B4．下列说法：①原命题为真，它的否命题为假；②原命题为真，它的逆命题不一定为真；③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真；④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真．其中正确的是()A．①②B．②③C．③④D．②③④解析：互为逆否命题的两个命题同真假，互为否命题和逆命题的两个命题，它们的真假性没有关系．答案：B5．有下列四种命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；②“若x＞y，则x2＞y2”的逆否命题；③“若x≤3，则x2－x－6＞0”的否命题；④“对顶角相等”的逆命题．其中真命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3解析：(1)原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“若x，y互为相反数，则x ＋y ＝0”，为真命题；(2)原命题与其逆否命题具有相同的真假性．而原命题为假命题(如x ＝0，y ＝－1)，故其逆否命题为假命题；(3)该命题的否命题为“若x ＞3，则x 2－x －6≤0”，很明显为假命题；(4)该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然是假命题．答案：B 二、填空题6．命题“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题为_______________，是______________(填“真”或“假”)命题．解析：命题“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”，因为原命题是真命题，所以其逆否命题也是真命题．答案：若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4 真7．命题“当AB ＝AC 时，△ABC 是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有________个．解析：原命题“当AB ＝AC 时，△ABC 是等腰三角形”是真命题，且互为逆否命题等价，故其逆否命题为真命题．其逆命题“若△ABC 是等腰三角形，则AB ＝AC ”是假命题，则否命题是假命题．则4个命题中有2个是真命题．答案：28．设有两个命题：①不等式mx 2＋1＞0的解集是R ；②函数f (x )＝log m x 是减函数．如果这两个命题中有且只有一个是真命题，则实数m 的取值范围是________．解析：①当m ＝0时，mx 2＋1＝1＞0恒成立，解集为R.当m ≠0时，若mx 2＋1＞0的解集为R ，必有m ＞0. 综上知，不等式mx 2＋1＞0的解集为R ，必有m ≥0.②当0＜m ＜1时，f (x )＝log m x 是减函数，当两个命题中有且只有一个真命题时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤0或m ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，0＜m ＜1，所以 m ＝0或m ≥1. 答案：m ＝0或m ≥1三、解答题9．写出命题“在△ABC 中，若a ＞b ，则A ＞B ”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：在△ABC 中，若A ＞B ，则a ＞b 为真命题．否命题：在△ABC 中，若a ≤b ，则A ≤B 为真命题．逆否命题：在△ABC 中，若A ≤B ，则a ≤b 为真命题．10．判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2＞0的解集是R ，则a ＜74”的逆否命题的真假．解：先判断原命题的真假如下：因为a ，x 为实数，关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2＞0的解集为R ，且抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2的开口向上，所以Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7＜0.所以a ＜74.所以原命题是真命题．因为互为逆否命题的两个命题同真同假，所以原命题的逆否命题为真命题．B 级 能力提升1．若命题p 的逆命题是q ，命题q 的否命题是m ，则m 是p 的( ) A ．原命题 B ．逆命题 C ．否命题D ．逆否命题解析：设命题p 为“若k ，则l ”，则命题q 为“若l ，则k ”，从而命题m 为“若非l ，则非k ”，即命题m 是命题p 的逆否命题．答案：D2．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，为真命题的是________．解析：由于原命题为真命题，则其逆否命题也为真命题．其否命题：若函数y ＝f (x )不是幂函数，则y ＝f (x )的图象过第四象限，为假命题，从而原命题的逆命题也是假命题．答案：逆否命题3．已知p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，q ：4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根．若p ，q 一真一假，求m 的取值范围．解：当p 为真时，即方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，设两个负根为x 1，x 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4>0，x 1＋x 2＝－m <0，解得m >2.当q 为真时，即方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根，则有16(m －2)2－4×4×1<0，解得1<m <3.若p 真，q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≤1或m ≥3，得m ∈[3，＋∞)；若p 假，q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3，得m ∈(1，2]．综上所述，m 的取值范围是(1，2]∪[3，＋∞)．第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件A 级 基础巩固一、选择题1．“α＝π6”是“cos 2α＝12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由cos 2α＝12，可得α＝k π±π6(k ∈Z)，故选A.答案：A2．(2016·天津卷)设x >0，y ∈R ，则“x >y ”是“x >|y |”的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件解析：当x ＝1，y ＝－2时，x >y ，但x >|y |不成立； 若x >|y |，因为|y |≥y ，所以x >y . 所以x >y 是x >|y |的必要而不充分条件． 答案：C3．x 2＜4的必要不充分条件是( ) A ．0＜x ≤2 B ．－2＜x ＜0 C ．－2≤x ≤2D ．1＜x ＜3解析：x2＜4即－2＜x＜2，因为－2＜x＜2能推出－2≤x≤2，而－2≤x≤2不能推出－2＜x＜2，所以x2＜4的必要不充分条件是－2≤x≤2.答案：C4．(2016·山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.答案：A5．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是()A．m＝2 B．m＝－2C．m＝－1 D．m＝1解析：当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.答案：B二、填空题6．设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的_____________条件．解析：若a＋b＞0，取a＝3，b＝－2，则ab＞0不成立；反之，若a＝－2，b＝－3，则a＋b＞0也不成立，因此“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．答案：既不充分也不必要条件7．关于x 的不等式|2x －3|＞a 的解集为R 的充要条件是________． 解析：由题意知|2x －3|＞a 恒成立． 因为|2x －3|≥0，所以 a ＜0. 答案：a ＜08．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题： ①“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件；②“b －2是无理数”是“b 是无理数”的充要条件； ③“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的充分条件； ④“a ＜5”是“a ＜3”的必要条件． 其中真命题的序号是________． 解析：①中由“a ＝b ”可得ac ＝bc ，但由“ac ＝bc ”得不到“a ＝b ”，所以不是充要条件； ②是真命题；③中a ＞b 时，a 2＞b 2不一定成立，所以③是假命题； ④中由“a ＜5”得不到“a ＜3”， 但由“a ＜3”可以得出“a ＜5”，所以“a ＜5”是“a ＜3”的必要条件，是真命题． 答案：②④ 三、解答题9．已知p ：－4＜x －a ＜4，q ：(x －2)(x －3)＜0，且q 是p 的充分而不必要条件，试求a 的取值范围．解：设q ，p 表示的范围为集合A ，B ，则A ＝(2，3)，B ＝(a －4，a ＋4)．由于q 是p 的充分而不必要要件，则有AB ，即⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4＞3或⎩⎪⎨⎪⎧a －4＜2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6.10．求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.证明：必要性：因为方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1， 所以x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0. 充分性：因为a ＋b ＋c ＝0，所以c ＝－a －b ， 代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0中可得ax 2＋bx －a －b ＝0， 即(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0.故方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1.所以关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.B 级 能力提升1．m ＝12是直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：当m ＝12时，两直线为52x ＋32y ＋1＝0和－32x ＋52y －3＝0，两直线斜率之积为－1，两直线垂直；而当两直线垂直时，(m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝0，即2(m ＋2)(2m －1)＝0，所以 m ＝－2或m ＝ 12.所以 为充分不必要条件．答案：B2．已知p ：不等式x 2＋2x ＋m ＞0的解集为R ；q ：指数函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋14x为增函数，则p 是q 成立的________条件．解析：p ：不等式x 2＋2x ＋m ＞0的解集为R ，即Δ＝4－4m ＜0，m ＞1；q ：指数函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋14x 为增函数，即m ＋14＞1，m ＞34，则p 是q 成立的充分不必要条件．答案：充分不必要3．已知p ：－2≤x ≤10，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，若綈p 是綈q 的充分不必要条件．求实数m 的取值范围．解：p ：－2≤x ≤10.q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)⇔[x －(1－m )][x －(1＋m )]≤0(m ＞0)⇔1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)．因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件，即{}x |1－m ≤x ≤1＋m {}x |－2≤x ≤10，故有⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ＜－10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＞－2，1＋m ≤10，解得m ≤3.又m ＞0，所以实数m 的取值范围为{}m |0＜m ≤3. 本题还可用以下方法求解．因为p ：－2≤x ≤10，所以綈p ：x ＜－2或x ＞10.q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)⇔[x －(1－m )][x －(1＋m )]≤0(m ＞0)⇔1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)，綈q ：x ＜1－m 或x ＞1＋m (m ＞0)．因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以{}x |x ＜－2或x ＞10{}x |x ＜1－m 或x ＞1＋m ，故有⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ＜10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＞－2，1＋m ≤10，解得m ≤3.又m ＞0，所以实数m 的取值范围为{}m |0＜m ≤3.第一章常用逻辑用语1.3 简单的逻辑联结词A级基础巩固一、选择题1．命题“2是3的约数或2是4的约数”中，使用的逻辑联结词的情况是() A．没有使用逻辑联结词B．使用了逻辑联结词“且”C．使用了逻辑联结词“或”D．使用了逻辑联结词“非”答案：C2．若命题“p且q”为假，且綈p为假，则()A．p或q为假B．q假C．q真D．p假解析：綈p为假，则p为真，而p∧q为假，得q为假．答案：B3．下列命题中，既是“p或q”形式的命题，又是真命题的是()A．方程x2－x＋2＝0的两根是－2，1B．方程x2＋x＋1＝0没有实根C．2n－1(n∈Z)是奇数D．a2＋b2≥0(a，b∈R)解析：选项A中，－2，1都不是方程的根；选项B不是“p或q”的形式；选项C 也不是“p或q”的形式；选项D中，a2＋b2≥0⇔a2＋b2>0或a2＋b2＝0，且是真命题，故选D.答案：D4．已知p：x∈A∩B，则綈p是()A．x∈A且x∉B B．x∉A或x∉BC．x∉A且x∉B D．x∈A∪B解析：p：x∈A∩B，即x∈A且x∈B，故綈p是x∉A或x∉B.答案：B5．给出命题p：函数y＝x2－x－1有两个不同的零点；q：若1x<1，则x>1.那么在下列四个命题中，真命题是()A．(綈p)∨q B．p∧qC．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q)解析：对于p，函数对应的方程x2－x－1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×(－1)＝5>0，所以函数有两个不同的零点，故p为真．对于q，当x<0时，不等式1x<1恒成立；当x>0时，不等式的解集为{x|x>1}．故不等式1x<1的解集为{x|x<0或x>1}．故q为假．结合各选项知，只有(綈p)∨(綈q)为真．故选D.答案：D二、填空题6．命题“若a<b，则2a<2b”的否命题是________________，命题的否定是______________．解析：命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，命题的否定是“若p，则綈q”．答案：若a≥b，则2a≥2b若a<b，则2a≥2b7．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0.q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根，则p ∧(綈q )为________命题(填“真”或“假”)．解析：命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以命题綈q 为真命题，所以p ∧綈q 为真命题．答案：真8．已知p ：x 2－x ≥6，q ：x ∈Z.若“p ∧q ”“綈q ”都是假命题，则x 的值组成的集合为________．解析：因为“p ∧q ”为假，“綈q ”为假，所以q 为真，p 为假．故⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＜6，x ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2＜x ＜3，x ∈Z.因此，x 的值可以是－1，0，1，2. 答案：{－1，0，1，2} 三、解答题9．写出下列命题的p ∨q ，p ∧q ，綈p 的形式，并判断其真假： (1)p ：2是有理数；q ：2是实数．(2)p ：5不是15的约数；q ：5是15的倍数．(3)p ：空集是任何集合的子集；q ：空集是任何集合的真子集． 解：(1)p ∨q ：2是有理数或2是实数，真命题；p ∧q ：2是有理数且2是实数，假命题；綈p ：2不是有理数，真命题． (2)p ∨q ：5不是15的约数或5是15的倍数，假命题； p ∧q ：5不是15的约数且5是15的倍数，假命题； 綈p ：5是15的约数，真命题．(3)p ∨q ：空集是任何集合的子集或空集是任何集合的真子集，真命题； p ∧q ：空集是任何集合的子集且空集是任何集合的真子集，假命题；綈p ：空集不是任何集合的子集，假命题．10．已知命题p ：方程x 2＋2x ＋a ＝0有实数根；命题q ：函数f (x )＝(a 2－a )x 在R 上是增函数．若p ∧q 为真命题，求实数a 的取值范围．解：当p 是真命题时，Δ＝4－4a ≥0，解得a ≤1.当q 是真命题时，a 2－a ＞0，解得a ＜0或a ＞1.由题意，得p ，q 都是真命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ＜0或a ＞1，解得a ＜0，所以实数a 的取值范围是(－∞，0)．B 级 能力提升1．给定命题p ：若x 2≥0，则x ≥0；命题q ：已知非零向量a ，b ，则“a ⊥b ”是“| a －b |＝| a ＋b |”的充要条件，则下列各命题中，假命题是( )A ．p ∨qB ．(綈p )∨qC ．(綈p )∧qD ．(綈p )∧(綈q )解析：命题p 为假命题，命题q 为真命题，所以綈p 是真命题，綈q 为假命题，所以(綈p )∧(綈q )为假命题．答案：D2．给出下列结论：(1)当p 是真命题时，“p 且q ”一定是真命题； (2)当p 是假命题时，“p 且q ”一定是假命题； (3)当“p 且q ”是假命题时，p 一定是假命题； (4)当“p 且q ”是真命题时，p 一定是真命题． 其中正确结论的序号是________．解析：(1)错误，当q 是假命题时，“p 且q ”是假命题，当q 也是真命题时，“p 且q ”是真命题；(2)正确；(3)错误，p 也可能是真命题；(4)正确．答案：(2)(4)3．已知a ＞0，设p ：函数y ＝a x 在R 上单调递减；q ：不等式x ＋|x －2a |＞1的解集为R ，如果“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求实数a 的取值范围．解：对于命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递减，即0＜a ＜1.对于命题q ：不等式x ＋|x －2a |＞1的解集为R ，即函数y ＝x ＋|x －2a |在R 上恒大于1，又y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2a ，x ≥2a ，2a ，x ＜2a ，所以 y min ＝2a ＞1，即a ＞12.由p ∨q 为真，p ∧q 为假，根据复合命题真值表知p 、q 一真一假．如果p 真q 假，则0＜a ≤12；如果p 假q 真，则a ≥1.综上所述，a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)．第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词A 级 基础巩固一、选择题1．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，使1x＞2解析：A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B 中x ＝0时，x 2＝0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为3＋(－3)＝0，所以C 是假命题；D 中对于任一个负数x ，都有1x＜0，所以D 是假命题．答案：B2．命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是( ) A ．∀x ∉R ，x 2≠x B ．∀x ∈R ，x 2＝x C ．∃x ∉R ，x 2≠xD ．∃x ∈R ，x 2＝x解析：全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是“∃x ∈R ，x 2＝x ”．答案：D3．下列特称命题中假命题的个数是( ) ①有一条直线与两个平行平面垂直； ②有一条直线与两个相交平面平行； ③存在两条相交直线与同一个平面垂直．A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：①②都是真命题，③是假命题． 答案：B4．设函数f (x )＝x 2＋mx (m ∈R)，则下列命题中的真命题是( ) A ．任意m ∈R ，使y ＝f (x )都是奇函数 B ．存在m ∈R ，使y ＝f (x )是奇函数 C ．任意m ∈R ，使x ＝f (x )都是偶函数 D ．存在m ∈R ，使y ＝f (x )是偶函数解析：当m ＝0时，f (x )＝x 2为偶函数，故选D. 答案：D5．若⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2ax ＜33x ＋a 2恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．0＜a ＜1B ．a ＞34C ．0＜a ＜34D ．a ＜34解析：由题意，得－x 2＋2ax ＜3x ＋a 2，即x 2＋(3－2a )x ＋a 2＞0恒成立，所以Δ＝(3－2a )2－4a 2＜0，解得a ＞34.答案：B 二、填空题6．命题“∃x 0，y 0∈Z ，3x 0－2y 0＝10”的否定是______________． 解析：特称命题的否定是全称命题，则否定为∀x ，y ∈Z ，3x －2y ≠10. 答案：∀x ，y ∈Z ，3x －2y ≠107．下列命题中，是全称命题的是________；是特称命题的是________． ①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题；④是特称命题．答案：①②③④8．下面四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2＞0恒成立；②∃x0∈Q，x20＝2；③∃x0∈R，x20＋1＝0；④∀x∈R，4x2＞2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．解析：x2－3x＋2＞0，Δ＝(－3)2－4×2＞0，所以当x＞2或x＜1时，x2－3x＋2＞0才成立，所以①为假命题．当且仅当x＝±2时，x2＝2，所以不存在x∈Q，使得x2＝2，所以②为假命题．对∀x∈R，x2＋1≠0，所以③为假命题.4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，所以④为假命题．所以①②③④均为假命题．答案：0三、解答题9．判断下列各命题的真假，并写出命题的否定．(1)有一个实数a，使不等式x2－(a＋1)x＋a＞0恒成立；(2)对任意实数x，不等式|x＋2|≤0恒成立；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解．解：(1)方程x2－(a＋1)x＋a＝0的判别式Δ＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≥0，则不存在实数a，使不等式x2－(a＋1)x＋a＞0恒成立，所以原命题为假命题．它的否定：对任意实数a，不等式x2－(a＋1)x＋a＞0不恒成立．(2)当x＝1时，|x＋2|＞0，所以原命题是假命题．它的否定：存在实数x，使不等式|x＋2|＞0成立．(3)由一元二次方程解的情况，知该命题为真命题． 它的否定：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．10．对于任意实数x ，不等式sin x ＋cos x ＞m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：令y ＝sin x ＋cos x ，则y ＝sin x ＋cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin x ＋22cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.因为－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥－ 2. 因为∀x ∈R ，sin x ＋cos x ＞m 恒成立， 所以只要m ＜－2即可．故实数m 的取值范围是(－∞，－2)．B 级 能力提升1．若命题p ：∀x ∈R ，log 2x >0，命题q ：∃x 0∈R ，2x 0<0，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧qD ．p ∨(綈q )解析：命题p ：∀x ∈R ，log 2x >0为假命题，命题q ：∃x 0∈R ，2x 0<0为假命题，所以p ∨(綈q )为真命题，故选D.答案：D2．已知命题“∃x 0∈R ，2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意可得“对∀x ∈R ，2x 2＋(a －1)x ＋12＞0恒成立”是真命题，令Δ＝(a－1)2－4＜0，得－1＜a ＜3.答案：(－1，3)3．已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋a ＋2＝0”，若命题“p或q”是真命题，求实数a的取值范围．解：p⇔a≤(x2)min＝1.q⇔Δ＝4a2－4(a＋2)≥0⇔a≤－1或a≥2.因为“p或q”为真命题，所以p、q中至少有一个真命题．所以a≤1或a≤－1或a≥2，所以a≤1或a≥2.所以“p或q”是真命题时，实数a的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．命题及其关系的关注点(1)命题的四种形式的转换方法是首先确定原命题的条件和结论，然后对条件与结论进行交换、否定，就可以得到各种形式的命题．(2)命题真假的判断，可根据真(假)命题的定义直接推理判断，还可以根据互为逆否命题具有相同的真假性来判断．2．充分条件与必要条件的注意点(1)在判定充分条件、必要条件时，要注意既要看由p能否推出q，又要看由q能否推出p，不能顾此失彼．(2)证明充要条件要分两个方面，防止将充分条件和必要条件的证明弄混．3．简单的逻辑联结词的两个关注点(1)正确理解“或”的意义，日常用语中的“或”有两类用法：其一是“不可兼”的“或”；其二是“可兼”的“或”，我们这里仅研究“可兼”的“或”．(2)有的命题中省略了“且”“或”，要正确区分．4．否命题与命题的否定的注意点否命题与命题的否定的区别．对于命题“若p，则q”，其否命题形式为“若綈p，则綈q”，其否定为“若p，则綈q”，即否命题是将条件、结论同时否定，而命题的否定是只否定结论．有时一个命题的叙述方式是简略式，此时应先分清条件p，结论q，改写成“若p，则q”的形式再判断．专题1命题及其关系对于命题正误的判断是高考的热点之一，应重点关注，命题正误的判断涉及各章节的内容，覆盖面宽，也是高考的易失分点．命题正误的判断方法是：真命题要有依据或者给以论证；假命题只需举出一个反例即可．[例1](1)(2015·广东卷)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交(2)已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则对它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是()A ．逆命题、否命题、逆否命题都为真B ．逆命题为真，否命题、逆否命题为假C ．逆命题为假，否命题、逆否命题为真D ．逆命题、否命题为假，逆否命题为真解析：(1)法一：如图1，l 1和l 2是异面直线，l 1与l 平行，l 2与l 相交，故A ，B 不正确；如图2，l 1与l 2是异面直线，l 1，l 2都与l 相交，故C 不正确，选D.图1 图2法二：因为l 分别与l 1，l 2共面，故l 与l 1，l 2要么都不相交，要么至少与l 1，l 2中的一条相交．若l 与l 1，l 2都不相交，则l ∥l 1，l ∥l 2，从而l 1∥l 2，与l 1，l 2是异面直线矛盾，故l 至少与l 1，l 2中的一条相交，选D.(2)因为原命题“菱形的对角线互相垂直”是真命题，所以它的逆否命题为真；其逆命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”显然是假命题，所以原命题的否命题也是假命题．答案：(1)D (2)D 归纳升华1．判断一个命题是真命题还是假命题，关键是看能否由命题的条件推出命题的结论，若能推出，则是真命题，否则为假命题．2．还可根据命题的四种形式之间的真假关系进行判断，即当一个命题的真假不易判断时，可以先把它转换成与它等价的命题(逆否命题)，再进行判断．[变式训练] 给出下面三个命题：①函数y ＝tan x 在第一象限内是增函数；②奇函数的图象一定过原点；③命题“若0<log a b <1，则a >b >1”的逆命题．其中是真命题的是________(填序号)．解析：①是假命题，反例：x ＝2π＋π6和π4，tan ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π6＝33，tan π4＝1，2π＋π6>π4，但tan ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π6<tan π4；②是假命题，反例：y ＝1x 是奇函数，但它的图象不过原点；③是“若a >b >1，则0<log a b <1”，由对数函数的图象及其单调性可知是真命题．答案：③专题2 充分条件与必要条件的判定充分条件与必要条件的判定是高考考查的热点内容，在高考试题中主要以选择题的形式出现．解决此类问题的关键是充分利用充分条件、必要条件与充要条件的定义，同时，丰富的数学基础知识是做好此类题目的前提．[例2] (1)若向量a ＝(x ，3)(x ∈R)，则“|a|＝5”是“x ＝4”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)已知条件p ：x ＋y ≠－2，条件q ：x ≠－1或y ≠－1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：(1)|a|＝x 2＋32＝5得x ＝4或x ＝－4.反之当x ＝4时，|a|＝42＋32＝5，故“|a|＝5”是“x ＝4”的必要不充分条件．(2)由逆否命题：若綈q ，则綈p ，则x ＝－1＝y ⇒x ＋y ＝－2正确，但x ＋y ＝－2 x ＝y ＝－1，即綈q 是綈p 的充分不必要条件．答案：(1)B (2)A 归纳升华判断充分条件和必要条件的方法1．定义法：根据充分条件和必要条件的定义直接判断．如本例中(1)．2．集合法：运用集合思想判断充分条件和必要条件也是一种很有效的方法，主要是。
高中数学人教A版选修1-1 章末综合测评1 Word版含答案
章末综合测评(一)常用逻辑用语(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．“经过两条相交直线有且只有一个平面”是( )．全称命题．特称命题．∨形式．∧形式【解析】此命题暗含了“任意”两字，即经过任意两条相交直线有且只有一个平面．【答案】．(·湖南高考)设∈，则“>”是“>”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件【解析】由于函数()＝在上为增函数，所以当>时，>成立，反过来，当>时，>也成立．因此“>”是“>”的充要条件，故选.【答案】．(·湖北高考)命题“∀∈，≠”的否定是( )．∀∈，＝．∀∉，≠．∃∈，＝．∃∉，≠【解析】全称命题的否定，需要把全称量词改为特称量词，并否定结论．【答案】．全称命题“∀∈＋是整数”的逆命题是( )．若＋是整数，则∈．若＋是奇数，则∈．若＋是偶数，则∈．若＋能被整除，则∈【解析】易知逆命题为：若＋是整数，则∈.【答案】．已知命题：对任意∈，总有≥；：＝是方程＋＝的根．则下列命题为真命题的是( )．¬∧．∧¬．∧．¬∧¬【解析】命题为真命题，命题为假命题，所以命题¬为真命题，所以∧¬为真命题，故选.【答案】．(·皖南八校联考)命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是( )．全等三角形的面积不一定都相等．不全等三角形的面积不一定都相等．存在两个不全等三角形的面积相等．存在两个全等三角形的面积不相等【解析】命题是省略量词的全称命题．易知选.【答案】．原命题为“若＜，∈，则{}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的＋判断依次如下，正确的是( )．假，假，真．真，真，真．假，假，假．真，真，假。
【专业资料】新版高中数学人教A版选修1-1习题：模块综合检测 含解析
模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如果命题“( p)∨( q)”是假命题,则在下列各结论中:①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧q”是假命题;③命题“p∨q”是真命题;④命题“p∨q”是假命题.正确的为()A.①③B.②④C.②③D.①④,主要依靠真值表.由“或”命题的真值表,“( p)∨( q)”是假命题,得“ p”与“ q”均为假命题,即p与q均为真命题.故“p∧q”和“p∨q”都是真命题.2.下列说法错误的是()A.“sin θ=12”是“θ=π6”的充分不必要条件B.命题“若a=0,则ab=0”的否命题是:“若a≠0,则ab≠0”C.若命题p:∃x0∈R,x02−x0+1=0,则 p:∀x∈R,x2-x+1≠0D.若命题“ p”与命题“p∨q”都是真命题,那么命题q一定是真命题3.若椭圆x 2m +y24=1的焦距为2,则m的值等于()A.5B.5或8C.5或3D.202,得c=1,讨论焦点在x轴上,还是在y轴上.当4>m时,由1=4-m,得m=3;当4<m时,由1=m-4,得m=5.故m的值为5或3.4.对∀k∈R,方程x2+ky2=1所表示的曲线不可能是()A.两条直线B.圆C.椭圆或双曲线D.抛物线k=0,1及k>0,且k≠1或k<0可知方程x2+ky2=1不可能为抛物线.5.已知函数f(x)=3x5-5x3,则f(x)的单调递减区间为()A.(-1,2)B.(-2,1)C.(-1,0)∪(0,1)D.(-1,1),然后根据导函数的正负判断原函数的单调性.f'(x)=15x4-15x2,令f'(x)=15x4-15x2≤0,可得-1≤x≤1.故f(x)的单调递减区间为(-1,1).6.若A:a∈R,|a|<1,B:关于x的一元二次方程x2+(a+1)x+a-2=0的一个根大于零,另一根小于零,则A是B的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A得-1<a<1,由B得f(0)=a-2<0,即a<2.又{a|-1<a<1}⫋{a|a<2}.故选A.7.已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为P(3,4),则此双曲线的方程为()A.x 2−y2=1B.x2−y2=1C.x 2−y2=1D.x2−y2=1圆半径r=c=√32+42=5,且ba =43,即b=43a,∴a2+b2=a2+169a2=259a2=25,∴a2=9,b2=16.∴双曲线方程为x 2−y2=1.8.若曲线y =x -12在点(a ,a -12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则a 等于( )A.64B.32C.16D.8y =x -12,y′=−12x -32,∴k 切=−12a -32,切线方程为y −a -12=−12a -32(x −a). 令y=0,得x=3a ,令x=0,得y =32a -12,由题意得12·3a ·32a -12=18,故a=64.9.一抛物线形石拱桥,当水面离桥顶2 m 时,水面宽4 m,若水面下降1 m,此时水面宽为( ) A .√6 mB.2√6 m C.3 mD.6 m,对称轴为y 轴建立直角坐标系,令抛物线的方程为x 2=-2py (p>0),将点(2,-2)代入得p=1,故抛物线的方程为x 2=-2y.水面下降1 m 对应纵坐标为-3,解得x=±√6,从而水面宽为2√6 m .10.设x ,y ∈R 满足x ≤2,y ≤3,且x+y=3,则z=4x 3+y 3的最大值为( ) A.24B.27C.33D.45{x ≤2,y ≤3,y =3-x ,得0≤x ≤2.∵z=4x 3+y 3=4x 3+(3-x )3=3x 3+9x 2-27x+27,∴z'=9x 2+18x-27. 令z'=9x 2+18x-27=0,得x=1或x=-3. ∵z 在(0,1)内单调递减,在(1,2)内单调递增, ∴z 在x=1时取极小值,z (1)=12. ∵z (0)=27,z (2)=33, ∴当x=2时,z max =33.11.落在平静水面上的石头,使水面产生同心圆形波纹,在持续一段时间内,若最外一圈波的半径r (单位:m)与时间t (单位:s)的函数关系是r=8t ,则在2 s 末扰动水面面积的变化率为( ) A.512π m 2/s B.256π m 2/s C.144π m 2/sD.72π m 2/s,可知最外一圈波的面积与时间的关系为S=64πt 2,故在t=2时的导数值,即S'|t=2=128πt|t=2=256π.12.设e 1,e 2分别为具有公共焦点F 1与F 2的椭圆和双曲线的离心率,P 为两曲线的一个公共点,且满足PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则e 12+e 22(e 1e 2)2的值为( )A .12B.1 C.2D.4a 1,双曲线实半轴长为a 2,则|PF 1|+|PF 2|=2a 1,||PF 1|-|PF 2||=2a 2.平方相加得|PF 1|2+|PF 2|2=2a 12+2a 22.又∵PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴PF 1⊥PF 2,∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=4c 2,∴a 12+a 22=2c2,∴a 12c 2+a 22c2=2,即1e 12+1e 22=e 12+e 22e 12e 22=2.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.曲线y=x e x +2x+1在点(0,1)处的切线方程为 .e x +2x+1,y'=e x +x e x +2.则y'|x=0=3.故在点(0,1)处的切线方程为y-1=3x ,即y=3x+1.3x+114.下列命题中,正确命题的序号是 .①可导函数f (x )在x=1处取极值,则f'(1)=0;②若p :∃x 0∈R ,x 02+2x0+2≤0,则 p :∀x ∈R ,x 2+2x+2>0;③若椭圆x 216+y 225=1的两焦点为F1,F2,弦AB 过F1点,则△ABF 2的周长为16.③中,椭圆焦点在y 轴上,a 2=25,故△ABF 2的周长为4a=20,故命题③错误.15.若f (x )=ax 3-x 2-x+1在(1,2)内是减函数,则实数a 的取值范围是 .f (x )在(1,2)内是减函数,∴f'(x )=3ax 2-2x-1≤0,x ∈(1,2). ∴a ≤2x+13x 2在x ∈(1,2)时恒成立.令u =2x+13x 2=23x +13x2=13[(1x +1)2-1],1x∈(12,1),∴512<u <1.∴a ≤512,即所求a 的取值范围是(-∞,512].-∞,512]16.在平面直角坐标系xOy 中,P 为双曲线x 2-y 2=1右支上的一个动点.若点P 到直线x-y+1=0的距离大于c 恒成立,则实数c 的最大值为 .x-y+1=0与双曲线的渐近线y=x 平行,且两平行线间的距离为√2.由图形知,双曲线右支上的动点P 到直线x-y+1=0的距离的最小值无限趋近于√22,要使距离d 大于c 恒成立,只需c ≤ √22即可,故c 的最大值为√22.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知命题p :方程x 22+y 2m=1表示焦点在y 轴上的椭圆;命题q:函数f(x)=43x3−2mx2+(4m −3)x −m 在(−∞,+∞)内单调递增.若( p )∧q 为真,求m 的取值范围.真时,m>2.q 真时,f'(x )=4x 2-4mx+4m-3≥0在R 上恒成立. Δ=16m 2-16(4m-3)≤0,1≤m ≤3. ∵( p )∧q 为真,∴p 假,q 真. ∴{m ≤2,1≤m ≤3,即1≤m ≤2. ∴m 的取值范围为[1,2].18.(12分)已知函数f (x )=e x (ax+b )-x 2-4x ,曲线y=f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y=4x+4. (1)求a ,b 的值;(2)讨论f (x )的单调性,并求f (x )的极大值.f'(x )=e x (ax+a+b )-2x-4.由已知得f (0)=4,f'(0)=4. 故b=4,a+b=8.从而a=4,b=4. (2)由(1)知,f (x )=4e x (x+1)-x 2-4x , f'(x )=4e x (x+2)-2x-4=4(x+2)(e x -12).令f'(x )=0,得x=-ln 2或x=-2.从而当x ∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时,f'(x )>0; 当x ∈(-2,-ln 2)时,f'(x )<0.故f (x )在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)内单调递增,在(-2,-ln 2)内单调递减. 当x=-2时,函数f (x )取得极大值,极大值为f (-2)=4(1-e -2).19.(12分)某单位用2 160万元购买了一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x (x ≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x (单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层? ( 注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=购地总费用建筑总面积)f (x )元,则f (x )=(560+48x )+2 160×10 0002 000x =560+48x+10 800x(x ≥10,x ∈N *).则f'(x )=48-10 800x 2.令f'(x )=0,得x=15.当x>15时,f'(x )>0;当10<x<15时,f'(x )<0. 故当x=15时,f (x )取最小值,f (15)=2 000.答:为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为15层. 20.(12分)设函数f (x )=ln x+m x,m ∈R .(1)当m=e(e 为自然对数的底数)时,求f (x )的极小值; (2)若对任意b>a>0,f (b )-f (a )b -a <1恒成立,求m 的取值范围.∵当m=e 时,f (x )=ln x+ex ,∴f'(x )=x -ex 2.∴当x ∈(0,e)时,f'(x )<0,f (x )在(0,e)内单调递减,当x ∈(e,+∞)时,f'(x )>0,f (x )在(e,+∞)内单调递增, ∴当x=e 时,f (x )取得极小值f (e)=ln e +e e=2. ∴f (x )的极小值为2. (2)对任意的b>a>0,f (b )-f (a )b -a<1恒成立, 等价于f (b )-b<f (a )-a 恒成立. (*)设h (x )=f (x )-x=ln x+mx -x (x>0), 则(*)等价于h (x )在(0,+∞)内单调递减. 由h'(x )=1x -m x2-1≤0在(0,+∞)内恒成立, 得m ≥-x 2+x=-(x -12)2+14(x>0)恒成立, 即m ≥14(对m =14,h'(x )=0仅在x=12时成立),故m 的取值范围是[14,+∞).21.(12分)已知过点(-2,0)的直线与抛物线y 2=8x 相交于A ,B 两点,F 为抛物线C 的焦点.若|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,求直线的方程.0,则画图如图,l 是抛物线的准线,直线AB 过点(-2,0),作AM ⊥l ,BN ⊥l ,M ,N 为垂足,则|AM|=|AF|,|BN|=|BF|.∵|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |, ∴|AM|=2|BN|.设点A (x 1,y 1),点B (x 2,y 2),则y 1=2y 2. ①设直线AB 的方程为y=k (x+2)(k>0),由y 2=8x ,得x=y 28,代入y=k (x+2),得k8y 2-y+2k=0, 故y 1+y 2=8k , ② y 1y 2=16,③由①②③得k=2√23.当k<0时,可求得k=-2√23.故直线AB 的方程为y=±2√23(x+2), 即2√2x-3y+4√2=0或2√2x+3y+4√2=0.22.(12分)(2016·全国甲高考)已知A 是椭圆E :x 24+y 23=1的左顶点,斜率为k (k>0)的直线交E 于A ,M 两点,点N 在E 上,MA ⊥NA.(1)当|AM|=|AN|时,求△AMN 的面积; (2)当2|AM|=|AN|时,证明:√3<k<2.M (x 1,y 1),则由题意知y 1>0.由已知及椭圆的对称性知,直线AM 的倾斜角为π4. 又点A (-2,0),因此直线AM 的方程为y=x+2. 将x=y-2代入x 24+y 23=1得7y 2-12y=0.解得y=0或y=127,所以y 1=127.因此△AMN 的面积S △AMN =2×12×127×127=14449.AM 的方程y=k (x+2)(k>0)代入x 24+y 23=1得(3+4k 2)x 2+16k 2x+16k 2-12=0.由x 1·(-2)=16k 2-123+4k2得x 1=2(3-4k 2)3+4k2,故|AM|=|x 1+2|√1+k 2=12√1+k 23+4k2.由题设,直线AN 的方程为y=-1k (x+2), 故同理可得|AN|=12k √1+k 23k 2+4.由2|AM|=|AN|得23+4k2=k3k 2+4,即4k 3-6k 2+3k-8=0.设f (t )=4t 3-6t 2+3t-8,则k 是f (t )的零点. f'(t )=12t 2-12t+3=3(2t-1)2≥0, 所以f (t )在(0,+∞)单调递增. 又f (√3)=15√3-26<0,f (2)=6>0,因此f(t)在(0,+∞)有唯一的零点,且零点k在(√3,2)内.所以√3<k<2.。
高中数学人教A版选修1-1模块综合检测及答案
高中数学人教A 版选修1-1模块综合检测(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．命题“若A ⊆B ，则A ＝B ”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A ．0B ．2C ．3D ．42．已知命题p ：若x 2＋y 2＝0 (x ，y ∈R )，则x ，y 全为0；命题q ：若a >b ，则1a <1b .给出下列四个复合命题：①p 且q ；②p 或q ；③綈p ；④綈q .其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．43．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( ) A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝14．已知a >0，则x 0满足关于x 的方程ax ＝b 的充要条件是( )A ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0B ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 0C ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0D ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 05．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．圆C ．双曲线的一支D ．线段6．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π) 7．已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的最大值是( ) A ．1 B ．3 C ．9 D ．不存在8．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．49．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62D.5210．若当x ＝2时，函数f (x )＝ax 3－bx ＋4有极值－43，则函数的解析式为( )A ．f (x )＝3x 3－4x ＋4B ．f (x )＝13x 2＋4 C ．f (x )＝3x 3＋4x ＋4 D ．f (x )＝13x 3－4x ＋411．设O 为坐标原点，F 1、F 2是x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠F 1PF 2＝60°，|OP |＝7a ，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．x ±3y ＝0 B.3x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D.2x ±y ＝012．若函数f (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，则下列结论正确的是( ) A ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数 B ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数 C ．∃a ∈R ，f (x )是偶函数 D ．∃a ∈R ，f (x )是奇函数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，那么实数m 的取值范 围是 ________________________________________________________________．14．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为________________________________________________________________________．15．若AB 是过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM 、BM 与坐标轴不平行，k AM 、k BM 分别表示直线AM 、BM 的斜率，则k AM ·k BM ＝________.16．已知f (x )＝x 3＋3x 2＋a (a 为常数)在[－3,3]上有最小值3，那么在[－3,3]上f (x )的最大值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知p ：2x 2－9x ＋a <0，q ：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0x 2－6x ＋8<0，且綈q 是綈p 的必要条件，求实数a 的取值范围．18．(12分)设P 为椭圆x 2100＋y 264＝1上一点，F 1、F 2是其焦点，若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积．19.（12分）已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →||MP→|＋MN →·NP →＝0，求动点P (x ，y )的轨迹方程．20．(12分)已知函数f (x )＝ax 2－43ax ＋b ，f (1)＝2，f ′(1)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在(1,2)处的切线方程．21.(12分)已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A ，B 两点． (1)求a 的取值范围；(2)若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值．22．(12分)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－ax －1(a ∈R )．(1)当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)当a ≤12时，讨论f (x )的单调性．答案1．B [原命题为假，故其逆否命题为假；其逆命题为真，故其否命题为真；故共有2个真命题．]2．B [命题p 为真，命题q 为假，故p ∨q 真，綈q 真．]3．D [双曲线x 24－y 212＝－1，即y 212－x 24＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．所以对椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1而言，a 2＝16，c 2＝12.∴b 2＝4，因此方程为y 216＋x 24＝1.]4．C [由于a >0，令函数y ＝12ax 2－bx ＝12a (x －b a )2－b 22a ，此时函数对应的图象开口向上，当x ＝b a 时，取得最小值－b 22a ，而x 0满足关于x 的方程ax ＝b ，那么x 0＝b a ，y min ＝12ax 20－bx 0＝－b 22a ，那么对于任意的x ∈R ，都有y ＝12ax 2－bx ≥－b 22a ＝12ax 20－bx 0.]5．A [∵P 为MF 1中点，O 为F 1F 2的中点，∴|OP |＝12|MF 2|，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，∴|PF 1|＋|PO |＝12|MF 1|＋12|MF 2|＝a .∴P 的轨迹是以F 1，O 为焦点的椭圆．]6．D [∵y ＝4e x ＋1，∴y ′＝－4e x (e x ＋1)2.令e x ＋1＝t ，则e x ＝t －1且t >1，∴y ′＝－4t ＋4t 2＝4t 2－4t .再令1t ＝m ，则0<m <1，∴y ′＝4m 2－4m ＝4(m －12)2－1，m ∈(0,1)． 容易求得－1≤y ′<0，∴－1≤tan α<0，得34π≤α<π.]7．B [因为函数f (x )在区间[1，＋∞)上单调递增，所以有f ′(x )≥0，x ∈[1，＋∞)，即3x 2－a ≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，所以a ≤3x 2.因为x ∈[1，＋∞)时，3x 2≥3，从而a ≤3.] 8．B [由抛物线的定义， 得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.]9．D [由题意知，过点(4，－2)的渐近线方程为y ＝－b a x ，∴－2＝－ba ×4，∴a ＝2b ，设b ＝k ，则a ＝2k ，c ＝5k ，∴e ＝c a ＝5k 2k ＝52.] 10．D [因为f (x )＝ax 3－bx ＋4， 所以f ′(x )＝3ax 2－b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝12a －b ＝0f (2)＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13b ＝4，故所求函数解析式为f (x )＝13x 3－4x ＋4.]11．D [如图所示，∵O 是F 1F 2的中点，PF 1→＋PF 2→＝2PO →，∴（PF 1→＋PF 2→)2＝(2PO →)2.即 |PF 1→|2＋|PF 2→|2＋2|PF 1→|·|PF 2→|·cos 60°＝4|PO →|2. 又∵|PO |＝7a ，∴ |PF 1→|2＋|PF 2→|2＋|PF 1→||PF 2→|＝28a 2. ① 又由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝4a 2.即|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝4a 2. ② 由①－②得|PF 1|·|PF 2|＝8a 2， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20a 2.在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|， ∴8a 2＝20a 2－4c 2.即c 2＝3a 2. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝2a 2. 即b 2a 2＝2，ba ＝ 2.∴双曲线的渐近线方程为2x ±y ＝0.]12．C [f ′(x )＝2x －ax 2，故只有当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上才是增函数，因此A 、B 不对，当a ＝0时，f (x )＝x 2是偶函数，因此C 对，D 不对．]13．[3,8)解析 因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0， 即m ≥3.又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0， 即m <8.故实数m 的取值范围是3≤m <8. 14.x 24－y 212＝1解析 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝3x 得ba ＝3，∴b ＝3a . ∵抛物线y 2＝16x 的焦点为F (4,0)，∴c ＝4. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴16＝a 2＋(3a )2， ∴a 2＝4，b 2＝12.∴所求双曲线的方程为x 24－y 212＝1.15．－b 2a 2解析 设A (x 1，y 1)，M (x 0，y 0)， 则B (－x 1，－y 1)，则k AM ·k BM ＝y 0－y 1x 0－x 1·y 0＋y 1x 0＋x 1＝y 20－y 21x 20－x 21＝⎝⎛⎭⎫－b 2a 2x 20＋b 2－⎝⎛⎭⎫－b 2a 2x 21＋b 2x 20－x 21＝－b 2a 2. 16．57解析 f ′(x )＝3x 2＋6x ，令f ′(x )＝0， 得x ＝0或x ＝－2.又∵f (0)＝a ，f (－3)＝a ， f (－2)＝a ＋4，f (3)＝54＋a ，∴f (x )的最小值为a ，最大值为54＋a . 由题可知a ＝3，∴f (x )的最大值为57.17．解 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0x 2－6x ＋8<0，得⎩⎨⎧1<x <32<x <4，即2<x <3.∴q ：2<x <3.设A ＝{x |2x 2－9x ＋a <0}，B ＝{x |2<x <3}， ∵綈p ⇒綈q ，∴q ⇒p ，∴B ⊆A . 即2<x <3满足不等式2x 2－9x ＋a <0. 设f (x )＝2x 2－9x ＋a ，要使2<x <3满足不等式2x 2－9x ＋a <0， 需⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0f (3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧8－18＋a ≤018－27＋a ≤0. ∴a ≤9.故所求实数a 的取值范围是{a |a ≤9}． 18．解 如图所示，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则S △F 1PF 2＝12mn sin π3＝34mn .由椭圆的定义知 |PF 1|＋|PF 2|＝20，即m ＋n ＝20. ① 又由余弦定理，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos π3 ＝|F 1F 2|2，即m 2＋n 2－mn ＝122. ②由①2－②，得mn ＝2563.∴S △F 1PF 2＝643 3.19．解 设 P ＝(x ，y )，则 MN →＝(4,0)，MP →＝(x ＋2，y )， NP →＝(x －2，y )．∴ |MN →|＝4，|MP →|＝(x ＋2)2＋y 2， MN →·NP →＝4(x －2)，代入 |MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0， 得4(x ＋2)2＋y 2＋4(x －2)＝0， 即(x ＋2)2＋y 2＝2－x ， 化简整理，得y 2＝－8x .故动点P (x ，y )的轨迹方程为y 2＝－8x .20．解 (1)f ′(x )＝2ax －43a ，由已知得⎩⎨⎧f ′(1)＝2a －43a ＝1f (1)＝a －43a ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝32b ＝52，∴f (x )＝32x 2－2x ＋52.(2)函数f (x )在(1,2)处的切线方程为 y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.21．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1消去y ，得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2≠0，Δ>0，即－6<a <6且a ≠±3.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2a3－a 2，x 1x 2＝－23－a 2.∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即x 1x 2＋(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝0， 即(a 2＋1)x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1＝0.∴(a 2＋1)·－23－a 2＋a ·2a3－a 2＋1＝0， ∴a ＝±1，满足(1)所求的取值范围． 故a ＝±1.22．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝ln x ＋x ＋2x －1， x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝x 2＋x －2x 2，x ∈(0，＋∞)， 因此f ′(2)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为1. 又f (2)＝ln 2＋2，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为 y －(ln 2＋2)＝x －2，即x －y ＋ln 2＝0.(2)因为f (x )＝ln x －ax ＋1－ax －1，所以f ′(x )＝1x －a ＋a －1x 2＝－ax 2－x ＋1－a x 2，x ∈(0，＋∞)． 令g (x )＝ax 2－x ＋1－a ，x ∈(0，＋∞)．①当a ＝0时，g (x )＝－x ＋1，x ∈(0，＋∞)， 所以当x ∈(0,1)时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0，此时f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． ②当a ≠0时，由f ′(x )＝0，即ax 2－x ＋1－a ＝0，解得x 1＝1，x 2＝1a －1. a ．当a ＝12时，x 1＝x 2，g (x )≥0恒成立，此时f ′(x )≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．b ．当0<a <12时，1a －1>1， x ∈(0,1)时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；x ∈⎝⎛⎭⎫1，1a －1时，g (x )<0， 此时f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；x ∈⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．c ．当a <0时，由于1a －1<0. x ∈(0,1)时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0，此时f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 综上所述：当a ≤0时，函数f (x )在(0,1)上单调递减， 在(1，＋∞)上单调递增；当a ＝12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当0<a <12时，函数f (x )在(0,1)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1，1a －1上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞上单调递减．模块综合检测(B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分)1．已知命题“p ：x ≥4或x ≤0”，命题“q ：x ∈Z ”，如果“p 且q ”与“非q ”同时为假命题，则满足条件的x 为( )A ．{x |x ≥3或x ≤－1，x ∉Z }B ．{x |－1≤x ≤3，x ∉Z }C ．{－1,0,1,2,3}D ．{1,2,3}2．“a >0”是“|a |>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知2x ＋y ＝0是双曲线x 2－λy 2＝1的一条渐近线，则双曲线的离心率是( ) A. 2 B. 3 C. 5 D ．24．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 210＝15．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．126．过点(2，－2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线的双曲线方程为( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.y 24－x 22＝1 D.y 22－x 24＝17．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －4 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－4x ＋3 D ．y ＝4x －5 8．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]，(0,1)D ．[－1,0)，(0,1] 9．已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( ) A ．3 2 B ．2 3C.303D.32 610．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2 B.12 C ．－12 D ．－211．若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )12．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝4x 3－4x ，且f (x )的图象过点(0，－5)，当函数f (x )取得极小值－6时，x 的值应为( )A ．0B ．－1C ．±1D ．1题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知双曲线x 2－y 23＝1，那么它的焦点到渐近线的距离为________．14．点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则P 到直线y ＝x －2的距离的最小值是________． 15．给出如下三种说法：①四个实数a ，b ，c ，d 依次成等比数列的必要而不充分条件是ad ＝bc . ②命题“若x ≥3且y ≥2，则x －y ≥1”为假命题． ③若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题． 其中正确说法的序号为________．16．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的两个焦点F 1、F 2，若P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实数根，命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根．若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求m 的取值范围．18．(12分)F 1，F 2是椭圆的两个焦点，Q 是椭圆上任意一点，从任一焦点向△F 1QF 2中的∠F 1QF 2的外角平分线引垂线，垂足为P ，求点P 的轨迹．19.(12分)若r (x )：sin x ＋cos x >m ，s (x )：x 2＋mx ＋1>0.已知∀x ∈R ，r (x )为假命题且s (x )为真命题，求实数m 的取值范围．20．(12分)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为22，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2.(1)求椭圆的方程；(2)求△CDF2的面积．21.(12分)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)求函数y＝f(x)的单调区间．22．(12分)已知f(x)＝23x3－2ax2－3x (a∈R)，(1)若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，求实数a的取值范围；(2)试讨论y＝f(x)在(－1,1)内的极值点的个数．答案1．D2．A [因为|a |>0⇔a >0或a <0，所以a >0⇒|a |>0，但|a |>0 ⇒a >0，所以“a >0”是“|a |>0”的充分不必要条件．]3．C4．A [由题意知c ＝4，焦点在x 轴上，又e ＝c a ＝2，∴a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝42－22＝12，∴双曲线方程为x 24－y 212＝1.]5．C [设椭圆的另一焦点为F ，由椭圆的定义知|BA |＋|BF |＝23，且|CF |＋|AC |＝23，所以△ABC 的周长＝|BA |＋|BC |＋|AC |＝|BA |＋|BF |＋|CF |＋|AC |＝4 3.]6．D [与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线方程的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ，由过点(2，－2)，可解得λ＝－2.所以所求的双曲线方程为y 22－x 24＝1.]7．B [y ′＝3x 2－6x ，∴k ＝y ′|x ＝1＝－3，∴切线方程为y ＋1＝－3(x －1)，∴y ＝－3x ＋2.]8．A [由题意知x >0，若f ′(x )＝2x －2x ＝2(x 2－1)x ≤0，则0<x ≤1，即函数f (x )的递减区间是(0,1]．]9．C [令直线l 与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 21＋2y 21＝4 ①x 22＋2y 22＝4 ②①－②得：(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，即2(x 1－x 2)＋4(y 1－y 2)＝0，∴k l ＝－12，∴l 的方程：x ＋2y －3＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0x 2＋2y 2－4＝0，得6y 2－12y ＋5＝0. ∴y 1＋y 2＝2，y 1y 2＝56.∴|AB |＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2(y 1－y 2)2＝303.] 10．D [y ＝x ＋1x －1， ∴y ′|x ＝3＝－2(x －1)2|x ＝3＝－12. 又∵－a ×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，∴a ＝－2.] 11．A [依题意，f ′(x )在[a ，b ]上是增函数，则在函数f (x )的图象上，各点的切线的斜率随着x 的增大而增大，观察四个选项中的图象，只有A 满足．]12．C [f (x )＝x 4－2x 2＋c .因为过点(0，－5)，所以c ＝－5.由f ′(x )＝4x (x 2－1)，得f (x )有三个极值点，列表判断±1均为极小值点，且f (1)＝f (－1)＝－6.] 13. 3 解析 焦点(±2,0)，渐近线：y ＝±3x ，焦点到渐近线的距离为23(3)2＋1＝ 3. 14. 2解析 先设出曲线上一点，求出过该点的切线的斜率，由已知直线，求出该点的坐标，再由点到直线的距离公式求距离．设曲线上一点的横坐标为x 0 (x 0>0)，则经过该点的切线的斜率为k ＝2x 0－1x 0，根据题意得，2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12，又∵x 0>0，∴x 0＝1，此时y 0＝1，∴切点的坐标为(1,1)，最小距离为|1－1－2|2＝ 2. 15．①②解析 对①，a ，b ，c ，d 成等比数列，则ad ＝bc ，反之不一定，故①正确；对②，令x ＝5，y ＝6，则x －y ＝－1，所以该命题为假命题，故②正确；对③，p ∧q 假时，p ，q 至少有一个为假命题，故③错误．16．(1,3]解析 设|PF 2|＝m ，则2a ＝||PF 1|－|PF 2||＝m ，2c ＝|F 1F 2|≤|PF 1|＋|PF 2|＝3m .∴e ＝c a ＝2c 2a ≤3，又e >1，∴离心率的取值范围为(1,3]．17．解 命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实根⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝m 2－4>0m >0⇔m >2. 命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根⇔Δ′＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0⇔1<m <3.∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，∴p 为真、q 为假或p 为假、q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧ m >2m ≤1或m ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤21<m <3， 解得m ≥3或1<m ≤2.18．解 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，F 1，F 2是它的两个焦点，Q 为椭圆上任意一点，QP 是△F 1QF 2中的∠F 1QF 2的外角平分线(如图)，连结PO ，过F 2作F 2P ⊥QP 于P 并延长交F 1Q 的延长线于H ，则P 是F 2H 的中点，且|F 2Q |＝|QH |，因此|PO |＝12|F 1H |＝12(|F 1Q |＋|QH |)＝12(|F 1Q |＋|F 2Q |)＝a ，∴点P 的轨迹是以原点为圆心，以椭圆半长轴长为半径的圆(除掉两点即椭圆与x 轴的交点)．19．解 由于sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－2，2]， ∀x ∈R ，r (x )为假命题即sin x ＋cos x >m 恒不成立．∴m ≥ 2. ①又对∀x ∈R ，s (x )为真命题．∴x 2＋mx ＋1>0对x ∈R 恒成立．则Δ＝m 2－4<0，即－2<m <2. ②故∀x ∈R ，r (x )为假命题，且s (x )为真命题， 应有2≤m <2.20．解 (1)由题意知b ＝1，e ＝c a ＝22，又∵a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝2.∴椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)∵F 1(－1,0)，∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x －2x 22＋y 2＝1，得9x 2＋16x ＋6＝0. ∵Δ＝162－4×9×6＝40>0，∴直线与椭圆有两个公共点，设为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝－169x 1x 2＝23，∴|CD |＝1＋(－2)2|x 1－x 2|＝5·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5·⎝⎛⎭⎫－1692－4×23＝1092， 又点F 2到直线BF 1的距离d ＝455，故S △CDF 2＝12|CD |·d ＝4910.21．解 (1)由f (x )的图象经过P (0,2)知d ＝2，∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由在点M (－1，f (－1))处的切线方程是6x －y ＋7＝0，知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ b －c ＝0，2b －c ＝－3， 解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2.(2)f ′(x )＝3x 2－6x －3，令3x 2－6x －3＝0，即x 2－2x －1＝0.解得x 1＝1－2，x 2＝1＋ 2.当x <1－2或x >1＋2时，f ′(x )>0.当1－2<x <1＋2时，f ′(x )<0.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2在(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)内是增函数，在(1－2，1＋2)内是减函数．22．解 (1)∵f (x )＝23x 3－2ax 2－3x ，∴f ′(x )＝2x 2－4ax －3，∵f (x )在区间(－1,1)上为减函数，∴f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立；∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)≤0f ′(1)≤0 得－14≤a ≤14. 故a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，14. (2)当a >14时，∵⎩⎨⎧ f ′(－1)＝4⎝⎛⎭⎫a －14>0f ′(1)＝－4⎝⎛⎭⎫a ＋14<0，∴存在x 0∈(－1,1)，使f ′(x 0)＝0，∵f ′(x )＝2x 2－4ax －3开口向上，∴在(－1，x 0)内，f ′(x )>0，在(x 0,1)内，f ′(x )<0，即f (x )在(－1，x 0)内单调递增，在(x 0,1)内单调递减，∴f (x )在(－1,1)内有且仅有一个极值点，且为极大值点．当a <－14时，∵⎩⎨⎧ f ′(－1)＝4⎝⎛⎭⎫a －14<0f ′(1)＝－4⎝⎛⎭⎫a ＋14>0，∴存在x 0∈(－1,1)使f ′(x 0)＝0.∵f ′(x )＝2x 2－4ax －3开口向上，∴在(－1，x 0)内f ′(x )<0，在(x 0,1)内f ′(x )>0.即f (x )在(－1，x 0)内单调递减，在(x 0,1)内单调递增，∴f (x )在(－1,1)内有且仅有一个极值点，且为极小值点．当－14≤a ≤14时，由(1)知f (x )在(－1,1)内递减，没有极值点．综上，当a >14或a <－14时，f (x )在(－1，1)内的极值点的个数为1，当－14≤a ≤14时，f (x )在(－1，1)内的极值点的个数为0.模块综合检测(C)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分)1．方程x ＝1－4y 2所表示的曲线是( )A ．双曲线的一部分B ．椭圆的一部分C ．圆的一部分D ．直线的一部分2．若抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为( )A ．x 2＝－28yB ．x 2＝28yC ．y 2＝－28xD ．y 2＝28x3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )A ．2 B. 3 C. 2 D.324．用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ；④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b .其中真命题的序号是( )A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④5．已知a 、b 为不等于0的实数，则a b >1是a >b 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6．若抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，准线是l ，点M (4，m )是抛物线上一点，则经过点F 、M 且与l 相切的圆一共有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个7．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成5∶3两段，则此双曲线的离心率为( ) A. 3 B. 6 C.233 D.263 8．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为245，则此双曲线方程是( )A.x 212－y 24＝1 B ．－x 212＋y 24＝1C.x 24－y 212＝1 D ．－x 24＋y 212＝19．下列四个结论中正确的个数为( )①命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是“若x >1或x <－1，则x 2>1”；②已知p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，q ：若a <b ，则am 2<bm 2，则p ∧q 为真命题；③命题“∃x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”；④“x >2”是“x 2>4”的必要不充分条件．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．设f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c ) (a ≠0)在x ＝1和x ＝－1处有极值，则下列点中一定在x 轴上的是( )A ．(a ，b )B ．(a ，c )C ．(b ，c )D ．(a ＋b ，c )11．函数y ＝ln x x 的最大值为( )A ．e －1B ．eC ．e 2 D.10312．已知命题P ：函数y ＝log 0.5(x 2＋2x ＋a )的值域为R ；命题Q ：函数y ＝－(5－2a )x 是R 上的减函数．若P 或Q 为真命题，P 且Q 为假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．a <2C ．1<a <2D ．a ≤1或a ≥2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则m 的取值范围是________．14．一动圆圆心在抛物线x 2＝8y 上，且动圆恒与直线y ＋2＝0相切，则动圆必过定点________．15．已知F 1、F 2是椭圆C x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.16．设f (x )、g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是________________________________________________________________________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知p ：x 2－12x ＋20<0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0 (a >0)．若綈q 是綈p 的充分条 件，求a 的取值范围．18．(12分)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，0)上是增函数，在[0,2]上是减函数，且方程f (x )＝0的一个根为2.(1)求c 的值；(2)求证：f (1)≥2.19.(12分) 如图，M 是抛物线y 2＝x 上的一个定点，动弦ME 、MF 分别与x 轴交于不同的点A 、B ，且|MA |＝|MB |.证明：直线EF 的斜率为定值．20．(12分)命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0，对一切x ∈R 恒成立，命题q ：指数函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．21.(12分)已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )>1在区间(1，＋∞)内恒成立，求实数a 的取值范围．22.（12分）如图所示，已知直线l ：y ＝kx －2与抛物线C ：x 2=－2py （p>0）交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA →＋OB →＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线C 的方程；(2)抛物线上一动点P 从A 到B 运动时，求△ABP 面积的最大值．答案1．B [x ＝1－4y 2，∴x 2＋4y 2＝1 (x ≥0)．即x 2＋y 214＝1 (x ≥0)．]2．D3．C [由已知，b 2a 2＝1，∴a ＝b ，∴c 2＝2a 2，∴e ＝c a ＝2a a ＝ 2.]4．C5．D [如取a ＝－3，b ＝－2，满足a b >1，但不满足a >b .反过来取a ＝1，b ＝－5，满足a >b ，但不满足a b >1，故答案为D.]6．D [因为点M (4，m )在抛物线y 2＝4x 上，所以可求得m ＝±4.由于圆经过焦点F 且和准线l 相切，由抛物线的定义知圆心在抛物线上．又因为圆经过抛物线上的点M ，所以圆心在线段FM 的垂直平分线上，即圆心是线段FM 的垂直平分线与抛物线的交点，结合图形易知对于点M (4,4)和(4，－4)，都各有两个交点，因此一共有4个满足条件的圆．]7．C8．B [由已知得椭圆中a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，且它的焦点在y 轴上，故双曲线的焦点也应在y 轴上且为(0,4)和(0，－4)，又椭圆的离心率为e ＝c a ＝45，所以双曲线的离心率为2，即c a ＝2，又c ＝4，∴它的实半轴为2，虚半轴平方为b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12， 则双曲线方程为y 24－x 212＝1.]9．B [只有③中结论正确．]10．A11．A [令y ′＝(ln x )′x －ln x ·x ′x2＝1－ln x x 2＝0，x ＝e ，当x >e 时，y ′<0；当x <e 时，y ′>0，y 极大值＝f (e)＝1e ，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝1e .]12．C [先化简P 与Q ，建构关于a 的关系式；由函数y ＝log 0.5(x 2＋2x ＋a )的值域为R 知：内层函数u (x )＝x 2＋2x ＋a 恰好取遍(0，＋∞)内的所有实数⇔Δ＝4－4a ≥0⇔a ≤1，即P ⇔a ≤1；同样由y ＝－(5－2a )x 是减函数⇔5－2a >1，即Q ⇔a <2；由P 或Q 为真，P 且Q 为假知，P 与Q 中必有一真一假．故答案为C.]13.⎣⎡⎭⎫13，＋∞解析 f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，依题意可知f (x )在R 上只能单调递增，所以Δ＝4－12m ≤0，∴m ≥13.14．(0,2)解析 动圆一定过抛物线x 2＝8y 的焦点．15．3解析 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a |PF 1|·|PF 2|＝18， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＋36＝4a 2，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴4a 2－4c 2＝36，∴b ＝3.16．(－∞，－3)∪(0,3)解析 设F (x )＝f (x )g (x )，由已知得，F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．当x <0时，F ′(x )>0，∴F (x )在(－∞，0)上为增函数．又∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．∴F (－x )＝f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )＝－F (x )，∴F (x )为奇函数．∴F (x )在(0，＋∞)上也为增函数．又g (－3)＝0，∴F (－3)＝0，F (3)＝0.∴f (x )g (x )<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．17．解 p ：{x |2<x <10}，q ：{x |x <1－a ，或x >1＋a }．由綈q ⇒綈p ，得p ⇒q ，于是1＋a <2，∴0<a <1.18．(1)解 ∵f (x )在(－∞，0)上是增函数，在[0,2]上是减函数，∴f ′(0)＝0.∵f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，∴f ′(0)＝c ＝0.∴c ＝0.(2)证明 ∵f (2)＝0，∴8＋4b ＋2c ＋d ＝0，而c ＝0，∴d ＝－4(b ＋2)．∵方程f ′(x )＝3x 2＋2bx ＝0的两个根分别为x 1＝0，x 2＝－23b ，且f (x )在[0,2]上是减函数，∴x 2＝－23b ≥2，∴b ≤－3.∴f (1)＝b ＋d ＋1＝b －4(b ＋2)＋1＝－7－3b ≥－7＋9＝2.故f (1)≥2.19．证明 设M (y 20，y 0)，直线ME 的斜率为k (k >0)，则直线MF 的斜率为－k ，直线ME 的方程为y －y 0＝k (x －y 20)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y －y 0＝k (x －y 20)y 2＝x 得ky 2－y ＋y 0(1－ky 0)＝0.于是y 0·y E ＝y 0(1－ky 0)k. 所以y E ＝1－ky 0k .同理可得y F ＝1＋ky 0－k. ∴k EF ＝y E －y F x E －x F ＝y E －y F y 2E －y 2F＝1y E ＋y F ＝－12y 0(定值)． 20．解 设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a <2.函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，则有3－2a >1，即a <1.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a ≥1， ∴1≤a <2.②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2，或a ≥2，a <1， ∴a ≤－2.综上可知，所求实数a 的取值范围为{a |1≤a <2或a ≤－2}．21．解 由f (x )>1，得ax －ln x －1>0.即a >1＋ln x x 在区间(1，＋∞)内恒成立．设g (x )＝1＋ln x x ，则g ′(x )＝－ln x x 2，∵x >1，∴g ′(x )<0.∴g (x )＝1＋ln x x 在区间(1，＋∞)内单调递减．∴g (x )<g (1)＝1，即1＋ln x x <1在区间(1，＋∞)内恒成立，∴a ≥1.22．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx －2，x 2＝－2py ，得x 2＋2pkx －4p ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4.因为 OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk 2－4)＝(－4，－12)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －2pk ＝－4，－2pk 2－4＝－12. 解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，k ＝2. 所以直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线C 的方程为x 2＝－2y .(2)设P (x 0，y 0)，依题意，抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大， y ′＝－x ，所以－x 0＝2⇒x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，所以P (－2，－2)．此时点P 到直线l 的距离d ＝|2×(－2)－(－2)－2|22＋(－1)2＝45＝455， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0， |AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋22·(－4)2－4×(－4)＝410.∴△ABP 面积的最大值为410×4552＝8 2.。
2019-2020学年高中数学人教A版选修1-1练习：模块综合测评(B) Word版含解析
模块综合测评(B )(时间:120分钟 满分：150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.（改编题)已知函数f (x )=ax e x在x=0处的切线方程为y=x ,则实数a 的值等于（ ）A 。
—1B 。
2C 。
1D 。
12f’（x )=a (1-x )e x ，因函数在x=0处的切线方程为y=x ，所以f'(0）=a1=1，得a=1。
北京海淀区高二月考）已知数列｛a n ｝,则“｛a n ｝为等比数列"是“a n 2=a n —1·a n+1(n ≥2）"的（ ） A.充分必要条件 B 。
充分不必要条件 C.必要不充分条件{a n }为等比数列,则一定有a n 2=a n —1·a n+1（n ≥2),但当a n 2=a n —1·a n+1(n ≥2)时，{a n }不一:当a n =0时.江西新余高二月考）已知中心在原点且关于坐标轴对称的双曲线M 的离心率为√3,且它的一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线M 的方程不可能是 ( )A.x 22−y 24=1B.y 22−x 24=1 C 。
2x 2—y 2=4 D.x 24−y 22=1b ,所以b=2，又因为e=c a=√3，所以a 2=2,b 2=4,于是该双曲线的方程为x 22−y 24=1或y 22−x 24=1。
对照各个选4（原创题）已知命题p ：若a<b ，则a c 2<b c 2,则在命题p 的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( ) B.1 C.2 D.3c 2>0(分母不为零),所以命题p 为真命题，其逆否命题也是真命题；又若a c 2<b c 2,则b ，因此逆命题为真,否命题也为真，所以一共有3个真命题.5若函数f （x )=12x 2—9ln x 在区间［a-1,a+1］上单调递减,则实数a 的取值范围是( ）A.a ≥4B.0〈a ≤2 D 。
高中数学人教A版选修1-1优化练习：1.2 充分条件与必要条件 Word版含解析
[课时作业] [A 组 基础巩固]1．设a ，b ∈R ，那么“ab >1”是“a >b >0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a b >1得，ab －1＝a －b b >0，即b (a －b )>0，得⎩⎨⎧ b >0a >b 或⎩⎨⎧b <0a <b，即a >b >0或a <b <0，所以“ab >1”是“a >b >0”的必要不充分条件，选B.答案：B2．“θ≠π3”是“cos θ≠12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为“θ≠π3”是“cos θ≠12”的逆否命题：“cos θ＝12”是“θ＝π3”的必要不充分条件，选B. 答案：B3．命题p ：a －1a >0；命题q ：y ＝a x 是R 上的增函数，则p 是q 成立的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a －1a >0得a >1或a <0；由y ＝a x 是R 上的增函数得a >1.因此，p 是q 成立的必要不充分条件，选A. 答案：A4．对于非零向量有a ＝(a 1，a 2)和b ＝(b 1，b 2)，“a ∥b ”是“a 1b 2－a 2b 1＝0”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分必要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由向量平行的坐标表示可得a ∥b ⇔a 1b 2－a 2b 1＝0，选B. 答案：B5．已知h ＞0，设命题甲为：两个实数a 、b 满足|a －b |＜2h ，命题乙为：两个实数a 、b 满足|a －1|＜h 且|b －1|＜h ，那么( ) A ．甲是乙的充分但不必要条件 B ．甲是乙的必要但不充分条件 C ．甲是乙的充分必要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧ |a －1|＜h ，|b －1|＜h ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－h ＜a －1＜h ，－h ＜b －1＜h ，两式相减得－2h ＜a －b ＜2h ，故|a －b |＜2h .即由命题乙成立推出命题甲成立，所以甲是乙的必要条件．由于⎩⎪⎨⎪⎧|a －2|＜h ，|b －2|＜h ，同理也可得|a －b |＜2h .因此，命题甲成立不能确定命题乙一定成立，所以甲不是乙的充分条件，故应选B. 答案：B6．已知各个命题A 、B 、C 、D ，若A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充分必要条件，试问D 是A 的________条件(填：“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”)． 解析：∵A ⇒B ⇒C ⇔D ， ∴D 是A 的必要不充分条件． 答案：必要不充分7．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与直线mx ＋2y ＝－8互相垂直的充分必要条件是m ＝________.解析：x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与mx ＋2y ＝－8互相垂直⇔1·m ＋(m ＋1)·2＝0⇔m ＝－23.答案：－238．有四个命题：①“x 2≠1”是“x ≠1”的必要条件；②“x ＞5”是“x ＞4”的充分不必要条件；③“xyz ＝0”是“x ＝0，且y ＝0，且z ＝0”的充分必要条件；④“x 2＜4”是“x ＜2”的充分不必要条件．其中是假命题的有________．解析：“x 2≠1”是“x ≠1”的充分条件，①错误；“x ＞5”是“x ＞4”的充分不必要条件，②正确；“xyz ＝0”是“x ＝0，且y ＝0，且z ＝0”的必要不充分条件，③错误；“x 2＜4”是“x ＜2”的充分不必要条件，④正确． 答案：①③9．在下列各题中，判断A 是B 的什么条件，并说明理由． (1)A ：|p |≥2，p ∈R ，B ：方程x 2＋px ＋p ＋3＝0有实根； (2)A ：圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，B ：c 2＝(a 2＋b 2)r 2.解析：(1)当|p |≥2时，例如p ＝3，则方程x 2＋3x ＋6＝0无实根，而方程x 2＋px ＋p ＋3＝0要有实根，必有p ≤－2或p ≥6，可推出|p |≥2，故A 是B 的必要不充分条件．(2)若圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，圆心到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ，即r＝|c |a 2＋b 2，所以c 2＝(a 2＋b 2)r 2； 反过来，若c 2＝(a 2＋b 2)r 2，则|c |a 2＋b 2＝r 成立， 说明x 2＋y 2＝r 2的圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ，即圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，故A 是B 的充分必要条件．10．已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y 的充分必要条件是xy >0.证明：(1)必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －x xy <0.又由x >y ，得y －x <0，所以xy >0.(2)充分性：由xy >0，及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1y .综上所述，1x <1y的充分必要条件是xy >0.[B 组 能力提升]1．(2016·高考北京卷)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：结合平面向量的几何意义进行判断．若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为菱形．a ＋b ，a －b 表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，从而不是必要条件．故“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件． 答案：D2．不等式x －1>0成立的充分不必要条件是( ) A ．－1<x <0或x >1 B ．0<x <1 C ．x >1D ．x >2解析：由不等式知x >1为x －1>0的充分必要条件，结合选项知D 为充分不必要条件． 答案：D3．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的________条件． 解析：由1×1＋1×(－a )＝0，∴a ＝1，即为充分必要条件． 答案：充分必要4．函数y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数的充分必要条件是________．解析：若b ≥0，函数y ＝x 2＋bx ＋c 在[0，＋∞)上是单调增加的；若y ＝x 2＋bx ＋c 在[0，＋∞)上是单调的，则只能是单调增加的，故b ≥0. 答案：b ≥05．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(x －3)<0，且q 是p 的充分条件，求a 的取值范围． 解析：设q 、p 表示的范围为集合A 、B ， 则A ＝(2,3)，B ＝(a －4，a ＋4)． 因q 是p 的充分条件，则有A ⊆B ，即⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3.所以－1≤a ≤6. 6．(1)是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；(2)是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的必要条件？如果存在，求出p 的取值范围．解析：令集合M ＝{x |4x ＋p <0}＝{x |x <－p 4}，N ＝{x |x 2－x －2>0}＝{x |x <－1或x >2}． (1)若M ⊆N ，则－p4≤－1⇔p ≥4，所以p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件； (2)若“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的必要条件，则M ⊇N ， 显然{x |x <－p4}⊇{x |x <－1或x >2}不成立．所以不存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的必要条件．。
最新数学人教A版选修1-1优化练习：综合检测 Word版含解析
最新人教版数学精品教学资料综合检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若a >b ，则a ＋1>b ”的逆否命题是( ) A ．若a ＋1≤b ，则a >b B ．若a ＋1<b ，则a >b C ．若a ＋1≤b ，则a ≤bD ．若a ＋1<b ，则a <b解析：“若a >b ，则a ＋1>b ”的逆否命题为“若a ＋1≤b ，则a ≤b ”，故选C. 答案：C2．函数y ＝(x －a )(x －b )在x ＝a 处的导数为( )A ．abB ．－a (a －b )C ．0D ．a －b 解析：∵y ＝x 2－(a ＋b )x ＋ab ，∴y ′＝2x －(a ＋b )， ∴y ′|x =a ＝2a －(a ＋b)＝a －b.答案：D3．过点P(1，－3)的抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝13y 或x 2＝－13yB ．x 2＝13yC ．y 2＝－9x 或x 2＝13yD ．x 2＝－13y 或y 2＝9x解析：P (1，－3)在第四象限，所以抛物线只能开口向右或向下，设方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝－2py (p >0)代入P (1，－3)得y 2＝9x 或x 2＝－13y .答案：D4．已知函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ，则函数f (x )的单调递增区间是( ) A ．(3,9) B ．(－∞，－1)，(3，＋∞) C ．(－1,3)D ．(－∞，3)，(9，＋∞)解析：∵f (x )＝x 3－3x 2－9x ，∴f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x 2－2x －3)． 令f ′(x )>0知x >3或x <－1.答案：B5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝43x ，则该双曲线的离心率为( )A.53B.43C.54D.32 解析：由题意得b a ＝43，e 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋169＝259.答案：A6．设a ，b ，c 均为正实数，则“a >b ”是“ac >bc ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：根据充分性和必要性的概念判断．因为a ，b ，c 是正实数，所以a >b 等价于ac >bc ，即“a >b ”是“ac >bc ”的充要条件，故选C.答案：C7．已知命题p ：∃x ∈(－∞，0)，2x <3x ；命题q ：∀x ∈R ，f (x )＝x 3－x 2＋6的极大值为6，则下面选项中真命题是( ) A ．(綈p )∧(綈q ) B ．(綈p )∨(綈q ) C ．p ∨(綈q )D ．p ∧q解析：由2x <3x 得(23)x <1，当x <0时，(23)x >1，所以命题p 为假命题．綈p 为真，选B.答案：B8．已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝( ) A ．9 B ．6 C ．－9D ．－6解析：y ′＝4x 3＋2ax ，由导数的几何意义知在点(－1，a ＋2)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝－1＝－4－2a ＝8，解得a ＝－6. 答案：D9．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a >0，m >b >0)的离心率互为倒数，那么以a ，b ，m 为边长的三角形一定是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．等腰三角形解析：双曲线的离心率e 21＝a 2＋b 2a2，椭圆的离心率e 22＝m 2－b 2m 2，由已知e 21e 22＝1，即a 2＋b 2a2×m 2－b 2m 2＝1，化简，得a 2＋b 2＝m 2. 答案：C10.已知f (x )的导函数f ′(x )图象如图所示，那么f (x )的图象最有可能是图中的( )解析：∵x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0，∴f (x )为减函数；同理f (x )在(－2,0)上为增函数，(0，＋∞)上为减函数． 答案：A11．已知函数y ＝f (x )，数列{a n }的通项公式是a n ＝f (n )(n ∈N *)，那么“函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上单调递增”是“数列{a n }是递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上单调递增，“数列{a n }是递增数列”一定成立．当函数y ＝f (x )在[1,2]上先减后增，且f (1)<f (2)时，数列{a n }也可以单调递增，因此“函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上单调递增”是“数列{a n }是递增数列”的充分不必要条件，故选A. 答案：A12．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点为F 1，F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为( ) A ．(1,3) B ．(1,3] C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝2|PF 2|＝4a ， ∵|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|， ∴6a ≥2c ，ca≤3，故双曲线离心率的取值范围是(1,3]，选B. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋2a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是________．解析：∵f ′(x )＝3x 2－3a 2 ＝3(x －a )(x ＋a )(a >0)，∴f ′(x )>0时，得：x >a 或x <－a ， f ′(x )<0时，得－a <x <a .∴当x ＝a 时，f (x )有极小值，x ＝－a 时，f (x )有极大值． 由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a 3－3a 3＋2a <0，－a 3＋3a 3＋2a >0，a >0，解得a >1.答案：(1，＋∞)14．若命题“∃x ∈R ，使得x 2＋(1－a )x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意可知，Δ＝(1－a )2－4>0， 解得a <－1或a >3.答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)15．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，若A 到抛物线准线的距离为4，则|AB |＝________.解析：设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，∵y 2＝4x ，∴抛物线准线为x ＝－1，F (1,0)，又A 到抛物线准线的距离为4，∴x A ＋1＝4，∴x A ＝3，∵x A x B ＝p 24＝1，∴x B ＝13，∴|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝3＋13＋2＝163.答案：16316. 已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．解析：由双曲线的方程可知a ＝1，c ＝2， ∴||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2， ∴|PF 1|2－2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2＝4， ∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2＝8， ∴2|PF 1||PF 2|＝4，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2＝8＋4＝12， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝2 3. 答案：2 3三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c 恒成立．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求c 的取值范围．解析：由命题p 为真知，0<c <1， 由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，要使此式恒成立，需1c <2，即c >12，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题， 则p 、q 中必有一真一假， 当p 真q 假时， c 的取值范围是0<c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值范围是c ≥1.综上可知，c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ⎪⎪0<c ≤12或c ≥1. 18．(12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c (x ∈[－1,2])，且函数f (x )在x ＝1和x ＝－23处都取得极值． (1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间．解析：(1)∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题易知，⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝⎛⎭⎫－23＝0，f ′(1)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2.(2)由(1)知，f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)， ∵当x ∈⎣⎡⎭⎫－1，－23时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－23，1时，f ′(x )<0； 当x ∈(1,2]时，f ′(x )>0.∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫－1，－23和(1,2]． 19．(12分)已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．解析：(1)因为直线l 的倾斜角为60°，如图．所以其斜率k ＝tan 60°＝3，又F (32，0)．所以直线l 的方程为y ＝3(x －32)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3(x －32)消去y 得x 2－5x ＋94＝0.若设A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝5， 而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p .∴|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3，又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.20．(12分)已知函数f (x )＝f ′(1)e ·e x －f (0)·x ＋12x 2(e 是自然对数的底数)．(1)求函数f (x )的解析式和单调区间；(2)若函数g (x )＝12x 2＋a 与函数f (x )的图象在区间[－1,2]上恰有两个不同的交点，求实数a 的取值范围．解析：(1)由已知得f ′(x )＝f ′(1)ee x－f (0)＋x ， 令x ＝1，得f ′(1)＝f ′(1)－f (0)＋1， 即f (0)＝1.又f (0)＝f ′(1)e ，所以f ′(1)＝e.从而f (x )＝e x －x ＋12x 2.显然f ′(x )＝e x －1＋x 在R 上单调递增且f ′(0)＝0， 故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. ∴f (x )的单调递减区间是(－∞，0)， 单调递增区间是(0，＋∞)． (2)由f (x )＝g (x )得a ＝e x －x . 令h (x )＝e x －x ，则h ′(x )＝e x －1. 由h ′(x )＝0得x ＝0.所以当x ∈(－1,0)时，h ′(x )<0； 当x ∈(0,2)时，h ′(x )>0.∴h (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,2)上单调递增． 又h (0)＝1，h (－1)＝1＋1e，h (2)＝e 2－2且h (－1)<h (2)．∴两个图象恰有两个不同的交点时，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤1，1＋1e . 21．( 13分)如图，已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为32，点A ，B 分别是椭圆C 的长轴、短轴的端点，点O 到直线AB 的距离为655.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点E (3,0)，设点P ，Q 是椭圆C 上的两个动点，满足EP ⊥EQ ，求EP →·QP →的取值范围． 解析：(1)由离心率e ＝c a ＝32，得b a ＝1－e 2＝12.∴a ＝2b .① ∵原点O 到直线AB 的距离为655，直线AB 的方程为bx －ay ＋ab ＝0，∴ab a 2＋b 2＝655.②将①代入②，得b 2＝9，∴a 2＝36. 则椭圆C 的标准方程为x 236＋y 29＝1.(2)∵EP ⊥EQ ，∴EP →·EQ →＝0， ∴EP →·QP →＝EP →·(EP →－EQ →)＝EP →2 设P (x ，y )，则y 2＝9－x 24，∴EP →·QP →＝EP →2＝(x －3)2＋y 2 ＝x 2－6x ＋9＋9－x 24.＝34(x －4)2＋6. ∵－6≤x ≤6.∴6≤34(x －4)2＋6≤81，则EP →·QP →的取值范围为[6,81]．22．(13分)在一定面积的水域中养殖某种鱼类，每个网箱的产量p 是网箱个数x 的一次函数，如果放置4个网箱，则每个网箱的产量为16吨；如果放置7个网箱，则每个网箱的产量为10吨，由于该水域面积限制，最多只能放置10个网箱． (1)试问放置多少个网箱时，总产量Q 最高？(2)若鱼的市场价为m 万元/吨，养殖的总成本为(5ln x ＋1)万元． ①当m ＝0.25时，应放置多少个网箱才能使总收益y 最大？ ②当m ≥0.25时，求使得收益y 最高的所有可能的x 值组成的集合．解析：(1)设p ＝ax ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 16＝4a ＋b ，10＝7a ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝24，所以p ＝－2x ＋24，所以Q＝px ＝(－2x ＋24)x ＝－2(x －6)2＋72(x ∈N *，x ≤10)，所以当x ＝6时，f (x )最大，即放置6个网箱时，可使总产量达到最大．(2)总收益为y ＝f (x )＝(－2x 2＋24x )m －(5ln x ＋1)(x ∈N *，x ≤10)，①当m ＝0.25时，f (x )＝(－2x 2＋24x )×14－(5ln x ＋1)＝－12x 2＋6x －5ln x －1，所以f ′(x )＝－(x －1)(x －5)x，当1<x <5时，f ′(x )>0，当5<x <10时，f ′(x )<0，所以x ＝5时，函数取得极大值，也是最大值．所以应放置5个网箱才能使总收益y 最大； ②当m ≥0.25时，f (x )＝(－2x 2＋24x )m －(5ln x ＋1)， 所以f ′(x )＝－4mx 2＋24mx －5x，令f′(x)＝0，即－4mx2＋24mx－5＝0，因为m≥0.25，所以Δ＝16m(36m－5)>0，方程－4mx2＋24mx－5＝0的两根分别为x1＝3－9－54m，x2＝3＋9－54m，因为m≥0.25，所以x1≤1.5≤x2<6，所以当x∈(1，x2)时，f′(x)>0，当x2<x<10时，f′(x)<0，所以x＝x2时，函数取得极大值，也是最大值．所以使得收益y最高的所有可能的x值组成的集合为{5,6}．。
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综合检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若a >b ，则a ＋1>b ”的逆否命题是( ) A ．若a ＋1≤b ，则a >b B ．若a ＋1<b ，则a >b C ．若a ＋1≤b ，则a ≤bD ．若a ＋1<b ，则a <b解析：“若a >b ，则a ＋1>b ”的逆否命题为“若a ＋1≤b ，则a ≤b ”，故选C. 答案：C2．函数y ＝(x －a )(x －b )在x ＝a 处的导数为( )A ．abB ．－a (a －b )C ．0D ．a －b 解析：∵y ＝x 2－(a ＋b )x ＋ab ，∴y ′＝2x －(a ＋b )， ∴y ′| x =a＝2a －(a ＋b)＝a －b.答案：D3．过点P(1，－3)的抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝13y 或x 2＝－13yB ．x 2＝13yC ．y 2＝－9x 或x 2＝13yD ．x 2＝－13y 或y 2＝9x解析：P (1，－3)在第四象限，所以抛物线只能开口向右或向下，设方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝－2py (p >0)代入P (1，－3)得y 2＝9x 或x 2＝－13y .答案：D4．已知函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ，则函数f (x )的单调递增区间是( ) A ．(3,9) B ．(－∞，－1)，(3，＋∞) C ．(－1,3)D ．(－∞，3)，(9，＋∞)解析：∵f (x )＝x 3－3x 2－9x ，∴f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x 2－2x －3)． 令f ′(x )>0知x >3或x <－1. 答案：B5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝43x ，则该双曲线的离心率为( )A.53B.43C.54D.32 解析：由题意得b a ＝43，e 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋169＝259. 答案：A6．设a ，b ，c 均为正实数，则“a >b ”是“ac >bc ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：根据充分性和必要性的概念判断．因为a ，b ，c 是正实数，所以a >b 等价于ac >bc ，即“a >b ”是“ac >bc ”的充要条件，故选C.答案：C7．已知命题p ：∃x ∈(－∞，0)，2x <3x ；命题q ：∀x ∈R ，f (x )＝x 3－x 2＋6的极大值为6，则下面选项中真命题是( ) A ．(綈p )∧(綈q ) B ．(綈p )∨(綈q ) C ．p ∨(綈q )D ．p ∧q解析：由2x <3x 得(23)x <1，当x <0时，(23)x >1，所以命题p 为假命题．綈p 为真，选B.答案：B8．已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝( ) A ．9 B ．6 C ．－9D ．－6解析：y ′＝4x 3＋2ax ，由导数的几何意义知在点(－1，a ＋2)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝－1＝－4－2a ＝8，解得a ＝－6. 答案：D9．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a >0，m >b >0)的离心率互为倒数，那么以a ，b ，m 为边长的三角形一定是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．等腰三角形解析：双曲线的离心率e 21＝a 2＋b 2a 2，椭圆的离心率e 22＝m 2－b 2m 2，由已知e 21e 22＝1，即a 2＋b 2a 2×m 2－b 2m 2＝1，化简，得a 2＋b 2＝m 2.答案：C10.已知f (x )的导函数f ′(x )图象如图所示，那么f (x )的图象最有可能是图中的( )解析：∵x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0，∴f (x )为减函数；同理f (x )在(－2,0)上为增函数，(0，＋∞)上为减函数． 答案：A11．已知函数y ＝f (x )，数列{a n }的通项公式是a n ＝f (n )(n ∈N *)，那么“函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上单调递增”是“数列{a n }是递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上单调递增，“数列{a n }是递增数列”一定成立．当函数y ＝f (x )在[1,2]上先减后增，且f (1)<f (2)时，数列{a n }也可以单调递增，因此“函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上单调递增”是“数列{a n }是递增数列”的充分不必要条件，故选A. 答案：A12．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点为F 1，F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为( ) A ．(1,3) B ．(1,3] C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝2|PF 2|＝4a ， ∵|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|， ∴6a ≥2c ，ca≤3，故双曲线离心率的取值范围是(1,3]，选B. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋2a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是________．解析：∵f ′(x )＝3x 2－3a 2 ＝3(x －a )(x ＋a )(a >0)，∴f ′(x )>0时，得：x >a 或x <－a ， f ′(x )<0时，得－a <x <a .∴当x ＝a 时，f (x )有极小值，x ＝－a 时，f (x )有极大值． 由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a 3－3a 3＋2a <0，－a 3＋3a 3＋2a >0，a >0，解得a >1.答案：(1，＋∞)14．若命题“∃x ∈R ，使得x 2＋(1－a )x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意可知，Δ＝(1－a )2－4>0， 解得a <－1或a >3.答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)15．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，若A 到抛物线准线的距离为4，则|AB |＝________.解析：设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，∵y 2＝4x ，∴抛物线准线为x ＝－1，F (1,0)，又A 到抛物线准线的距离为4，∴x A ＋1＝4，∴x A ＝3，∵x A x B ＝p 24＝1，∴x B ＝13，∴|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝3＋13＋2＝163.答案：16316. 已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．解析：由双曲线的方程可知a ＝1，c ＝2， ∴||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2， ∴|PF 1|2－2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2＝4， ∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2＝8， ∴2|PF 1||PF 2|＝4，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2＝8＋4＝12， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝2 3. 答案：2 3三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c 恒成立．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求c 的取值范围．解析：由命题p 为真知，0<c <1， 由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，要使此式恒成立，需1c <2，即c >12，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题， 则p 、q 中必有一真一假， 当p 真q 假时， c 的取值范围是0<c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值范围是c ≥1.综上可知，c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ⎪⎪0<c ≤12或c ≥1. 18．(12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c (x ∈[－1,2])，且函数f (x )在x ＝1和x ＝－23处都取得极值． (1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间．解析：(1)∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题易知，⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝⎛⎭⎫－23＝0，f ′(1)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2.(2)由(1)知，f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)， ∵当x ∈⎣⎡⎭⎫－1，－23时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－23，1时，f ′(x )<0； 当x ∈(1,2]时，f ′(x )>0.∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫－1，－23和(1,2]． 19．(12分)已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．解析：(1)因为直线l 的倾斜角为60°，如图．所以其斜率k ＝tan 60°＝3，又F (32，0)．所以直线l 的方程为y ＝3(x －32)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3(x －32)消去y 得x 2－5x ＋94＝0.若设A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝5，而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p .∴|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3，又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.20．(12分)已知函数f (x )＝f ′(1)e ·e x －f (0)·x ＋12x 2(e 是自然对数的底数)．(1)求函数f (x )的解析式和单调区间；(2)若函数g (x )＝12x 2＋a 与函数f (x )的图象在区间[－1,2]上恰有两个不同的交点，求实数a 的取值范围．解析：(1)由已知得f ′(x )＝f ′(1)ee x－f (0)＋x ， 令x ＝1，得f ′(1)＝f ′(1)－f (0)＋1， 即f (0)＝1.又f (0)＝f ′(1)e ，所以f ′(1)＝e.从而f (x )＝e x －x ＋12x 2.显然f ′(x )＝e x －1＋x 在R 上单调递增且f ′(0)＝0， 故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. ∴f (x )的单调递减区间是(－∞，0)， 单调递增区间是(0，＋∞)． (2)由f (x )＝g (x )得a ＝e x －x . 令h (x )＝e x －x ，则h ′(x )＝e x －1. 由h ′(x )＝0得x ＝0.所以当x ∈(－1,0)时，h ′(x )<0； 当x ∈(0,2)时，h ′(x )>0.∴h (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,2)上单调递增． 又h (0)＝1，h (－1)＝1＋1e，h (2)＝e 2－2且h (－1)<h (2)．∴两个图象恰有两个不同的交点时，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤1，1＋1e . 21．( 13分)如图，已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为32，点A ，B 分别是椭圆C 的长轴、短轴的端点，点O 到直线AB 的距离为655.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点E (3,0)，设点P ，Q 是椭圆C 上的两个动点，满足EP ⊥EQ ，求EP →·QP →的取值范围． 解析：(1)由离心率e ＝c a ＝32，得b a＝1－e 2＝12.∴a ＝2b .①∵原点O 到直线AB 的距离为655， 直线AB 的方程为bx －ay ＋ab ＝0，∴ab a 2＋b 2＝655.② 将①代入②，得b 2＝9，∴a 2＝36. 则椭圆C 的标准方程为x 236＋y 29＝1.(2)∵EP ⊥EQ ，∴EP →·EQ →＝0， ∴EP →·QP →＝EP →·(EP →－EQ →)＝EP →2 设P (x ，y )，则y 2＝9－x 24， ∴EP →·QP →＝EP →2＝(x －3)2＋y 2 ＝x 2－6x ＋9＋9－x 24. ＝34(x －4)2＋6. ∵－6≤x ≤6.∴6≤34(x －4)2＋6≤81，则EP →·QP →的取值范围为[6,81]．22．(13分)在一定面积的水域中养殖某种鱼类，每个网箱的产量p 是网箱个数x 的一次函数，如果放置4个网箱，则每个网箱的产量为16吨；如果放置7个网箱，则每个网箱的产量为10吨，由于该水域面积限制，最多只能放置10个网箱． (1)试问放置多少个网箱时，总产量Q 最高？(2)若鱼的市场价为m 万元/吨，养殖的总成本为(5ln x ＋1)万元． ①当m ＝0.25时，应放置多少个网箱才能使总收益y 最大？ ②当m ≥0.25时，求使得收益y 最高的所有可能的x 值组成的集合．解析：(1)设p ＝ax ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 16＝4a ＋b ，10＝7a ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝24，所以p ＝－2x ＋24，所以Q ＝px ＝(－2x ＋24)x ＝－2(x －6)2＋72(x ∈N *，x ≤10)，所以当x ＝6时，f (x )最大，即放置6个网箱时，可使总产量达到最大．(2)总收益为y ＝f (x )＝(－2x 2＋24x )m －(5ln x ＋1)(x ∈N *，x ≤10)，①当m ＝0.25时，f (x )＝(－2x 2＋24x )×14－(5ln x ＋1)＝－12x 2＋6x －5ln x －1，所以f ′(x )＝－(x －1)(x －5)x，当1<x <5时，f ′(x )>0，当5<x <10时，f ′(x )<0，所以x ＝5时，函数取得极大值，也是最大值．所以应放置5个网箱才能使总收益y 最大； ②当m ≥0.25时，f (x )＝(－2x 2＋24x )m －(5ln x ＋1)， 所以f ′(x )＝－4mx 2＋24mx －5x，令f ′(x )＝0，即－4mx 2＋24mx －5＝0，因为m ≥0.25，所以Δ＝16m (36m －5)>0，方程－4mx 2＋24mx －5＝0的两根分别为x 1＝3－9－54m，x 2＝3＋9－54m，因为m ≥0.25，所以x 1≤1.5≤x 2<6，所以当x ∈(1，x 2)时，f ′(x )>0，当x 2<x <10时，f ′(x )<0，所以x ＝x 2时，函数取得极大值，也是最大值．所以使得收益y 最高的所有可能的x 值组成的集合为{5,6}．。