山东省济宁市微山县高中数学第一章集合与函数概念1.2.1函数的概念学案

1.2.1 函数的概念1．回顾初中形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫一次函数，其中x叫自变量，与x对应的y的值叫函数值，它的图象为一条倾斜直线．形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫二次函数，它的图象为抛物线．2．函数的概念一般地，设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么f：A→B就称为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．例如：正方形边长为x，与x的值相对应的面积为y，把y表示为x的函数：y＝x2；该函数的定义域为{x|x＞0}；值域为{y|y＞0}；当边长为4的时候，面积为16；当面积为4的时候，相应的边长为2 ．3．区间设a，b∈R，且a<b.(1)满足a≤x≤b的全体实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]．(2)满足a<x<b的全体实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)．(3)满足a≤x<b或a<x≤b的全体实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b) 或(a，b]．(4)实数集R用区间表示为(－∞，＋∞)．(5)把满足x≥a，x>a，x≤a，x<a的全体实数x的集合分别表示为[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，a]，(－∞，a)．4．函数的三要素（部分教材为二要素）函数的定义含有三个要素，它们分别是：定义域、值域和对应法则．当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定．因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数．5．常见问题1)怎样检验两个变量之间是否具有函数关系？解析：由函数近代定义知，我们要检验两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：①定义域和对应关系是否给出且定义域为非空数集；②根据给出的对应关系，自变量在其定义域内任一个值，是否都能确定唯一的函数值．2)函数f(x)与f(a)(a是常数)有什么区别与联系？解析：由f(a)表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值。

3)如何认识集合{x|a≤x≤b}与区间[a，b]的区别？解析：区间[a，b]一定是无限集，且隐含a＜b，集合{x|a≤x≤b}中对实数，a，b大小关系无限制条件．当a＝b时，{x|a≤x≤b}＝{a}是单元素集：当a＞b时，{x|a≤x≤b}＝∅，这两种情况均不能用区间[a，b]表示．例题讲解题型一函数概念的理解例1下列对应关系是否为A到B的函数？(1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|；(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；(3)A＝R，B＝Z，f：x→y＝；(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.解析：(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数；(3)A中元素负数没有平方根，故在B中没有对应的元素且不一定为整数，故此对应关系不是A 到B的函数；(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应，故是集合A到集合B的函数．点评：判断所给对应是否是函数，首先观察两个集合A，B是否是非空集合(数集)，其次验证对应关系下，集合A中数x的任意性，集合B中数y的唯一性．巩固若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从A到B的函数f：A→B的是( )解析：A中的对应不满足函数的存在性，即存在x∈A，但B中无与之对应的y；B、C均不满足函数的唯一性，只有D正确．答案：D题型二“f”的含义及函数值的问题例2已知f(x)＝x2－6x.(1)求f(2)，f(a＋1)的值；(2)若f(x)＝－5，求x的值．解析：(1)f(2)＝22－6×2＝－8，f(a＋1)＝(a＋1)2－6(a＋1)＝a2－4a－5.(2)f(x)＝x2－6x＝－5⇒x＝1或x＝5.点评：(1)在函数y＝f(x)中，x为自变量，f为对应关系，f(x)是对应关系f下x对应的函数值，所以求函数值时，只需将f(x)的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入既可；(2)求f[f(x)]时，一般应遵循由里到外的原则．巩固已知f(x)＝(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．求：(1)f(2)、g(2)的值；(2)f[g(2)]的值；(3)f [g (x )]的解析式．分析：依函数的定义可知，该题是给定自变量和对应关系求函数值，分别将自变量的值代入解析式中的x 即可求解．解析：题型三 求函数的定义域 例3 求下列函数的定义域：(1)y ＝3－12x ；(2)y ＝31－1－x；(3)y ＝－x2x 2－3x －2；(4)y ＝2x ＋3－12－x＋1x.解析：(1)函数y ＝3－12x 的定义域为R ；(2)要使函数有意义，需⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1x ≠0⇔x ≤1且x ≠0，所以函数y ＝31－1－x的定义域为{x |x ≤1且x ≠0}＝(－∞，0)∪(0,1]；(3)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧－x ≥0，2x 2－3x －2≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ≠2且x ≠－12⇔x ≤0且x ≠－12.故函数y ＝－x2x 2－3x －2的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤0且x ≠－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0；(4)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x >0，x ≠0.解得－32≤x <2且x ≠0，所以函数y ＝2x ＋3－12－x ＋1x的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x <2且x ≠0＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，0∪(0,2)．点评：求函数定义域的原则：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次根式的被开方数(式)为非负数；(3)零指数幂的底数不等于零等．巩 固 求下列函数的定义域：(1)f (x )＝6x 2－3x ＋2； (2)f (x )＝3x －1＋1－2x ＋4；(3)f (x )＝ x ＋1 0|x |－x .解析：(1)由x 2－3x ＋2≠0， 得：x ≠1，x ≠2 ∴f (x )＝6x 2－3x ＋2的定义域是{x ∈R |x ≠1且x ≠2}．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －1≥01－2x ≥0，得13≤x ≤12.∴f (x )＝3x －1＋1－2x ＋4的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0|x |－x ≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1|x |≠x ，∴x <0且x ≠－1，∴原函数的定义域为{x |x <0且x ≠－1}．题型四 两函数相同的判定例4 下列各题中两个函数是否表示同一函数：(1)f (x )＝x ，g (x )＝(x )2； (2)f (t )＝t ，g (x )＝3x 3；(3)f (x )＝x 2－4x －2，g (x )＝x ＋2.解析：(1)f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≥0}，两个函数的定义域不同，故不是同一函数．(2)g(x)＝x，两者的定义域和对应法则相同，故是同一函数．(3)f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，g(x)的定义域为R，故不是同一函数．点评：只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，这就是说：(1)定义域不同，两个函数也就不同；(2)对应法则不同，两个函数也是不同的；(3)即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则；(4)两个函数是否相同，与自变量是什么字母无关．巩固试判断下列函数是否为同一函数：(1)f(x)＝x·x＋1与g(x)＝x x＋1 ；(2)f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t；(3)f(x)＝1与g(x)＝x0(x≠0)．解析：(2)是，(1)、(3)不是．对于(1)，f(x)的定义域为[0，＋∞)，而g(x)定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)．(3)也是定义域不同．综合练习题A组1．下列各图中，可表示函数y＝f(x)的图象的只可能是( )答案：D2．下列各组函数表示同一函数的是( )A ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1 C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0) D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z答案：C3．给出四个命题：①函数就是定义域到值域的对应关系；②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素；③因为f (x )＝5(x ∈R )，这个函数值不随x 的变化而变化，所以f (0)＝5也成立；④定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了．以上命题正确的有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个答案：DB 组1．函数y ＝1x ＋1的定义域为( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1)C ．[－1，＋∞) D．(－1，＋∞) 答案：D2．设函数f (x )＝x 2－3x ＋1，则f (a )－f (－a )＝( ) A ．0 B ．－6aC ．2a 2＋2 D ．2a 2－6a ＋2 答案：B3．下列用表给出的函数关系中，当x ＝6时，对应的函数值y 等于( )A.2 B ．C ．4 D ．无法确定 答案：B4．函数y ＝－3x ＋1，x ∈[－1,1]的值域为________．答案：[－2,4]5．函数y ＝x ＋1x的定义域为________．解析：利用解不等式组的方法求解． 要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x ≠0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠0.∴原函数的定义域为{x |x ≥－1且x ≠0}． 答案：{x |x ≥－1且x ≠0}6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4 x <0 ，x －4 x >0 ，则f [f (－3)]的值为________．解析：f (－3)＝－3＋4＝1，f (f (－3))＝f (1)＝1－4＝－3. 答案：－3C 组1．已知集合P ＝{x |－4≤x ≤4}，Q ＝{y |－2≤y ≤2}，下列函数不表示从P 到Q 的函数的是( ) A ．2y ＝x B ．y 2＝12(x ＋4)C ．y ＝14x 2－2D ．x 2＝－8y答案：B2．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ，f (bx )＝9x 2－6x ＋2，其中x ∈R，a ，b 为常数，则方程f (ax ＋b )＝0的解集为____________．解析：f (bx )＝(bx )2＋2bx ＋a ＝9x 2－6x ＋2⇒⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝9，2b ＝－6，a ＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3.∴f (2x －3)＝(2x －3)2＋2(2x －3)＋2, f (ax ＋b )＝0，即为4x 2－8x ＋5＝0，而Δ<0，故方程f (ax ＋b )＝0的解集为∅.答案：∅3．求下列函数的值域： (1)y ＝x ＋1，x ∈{2,3,4,5,6}； (2)y ＝x ＋1； (3)y ＝x 2－4x ＋6.解析：(1){3,4,5,6,7}．(2)∵x ≥0，∴y ≥1，故值域为{y |y ≥1}． (3)∵y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2，而(x －2)2≥0，∴y ≥2，故值域为{y |y ≥2}．4．已知函数f (x )＝x 21＋x2.(1)求f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的值； (2)求证f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x是定值； (3)求f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f (2 012)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 012的值．解析：(1)∵f (x )＝x 21＋x2，∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝221＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1， f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝321＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1321＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1. (2)证明：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 21＋x 2＋ 1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1. (3)由(2)知，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1，∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1，f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1，…f (2 012)＋f ⎝⎛⎭⎪⎫12 012＝1，∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f (2 012)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 012＝2 011.5．已知f (x )的定义域为(0,1]，求g (x )＝f (x ＋a )·f (x －a ) (a ≤0)的定义域．11解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x ＋a ≤1，0<x －a ≤1， 即⎩⎪⎨⎪⎧ －a <x ≤1－a ，a <x ≤1＋a ，(a ≤0)用数轴法，讨论(1)当a ＝0时，x ∈(0,1]；(2)当a ≤－12时，x ∈∅，即函数不存在； (3)当－12<a <0时，x ∈(－a,1＋a ]．课后总结：1．“y ＝f (x )”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y ＝g (x )”．2．函数符合“y ＝f (x )”中的f (x )表示与x 对应的函数值，f (x )是一个数，而不是f 乘x .3．构成函数的三要素是：定义域、对应关系和值域．4．函数中的自变量可以在定义域范围内任意取值，包括变成其他字母，这是函数抽象的重要原因．5．函数的定义域包含三种形式：(1)自然型．指函数的解析式有意义的自变量x 的取值范围(如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，等等)．(2)限制型．指命题的条件或人为对自变量x 的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误．(3)实际型．解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考查自变量x 的实际意义．。