2014高考数学一轮复习练习11-56

课时作业(五十六)

一、选择题

1．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：

(ⅰ)1]()

A．n B．n＋1

C．n－1 D．n2

答案 A

解析由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝ (1)

2．已知a1＝3，a2＝6，且a n＋2＝a n＋1－a n，则a2011＝()

A．3 B．－3

C．6 D．－6

答案 A

解析∵a1＝3，a2＝6，∴a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3……∴{a n}是以6为周期的周期数列

又2011＝6×335＋1，∴a2011＝a1＝3.选A.

3．因为对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)是增函数，

而y＝log 1

2x是对数函数，所以y＝log

1

2x是增函数，

上面的推理错误的是()

A．大前提B．小前提

C．推理形式D．以上都是

答案 A

解析y＝log a x是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错误．选A

4．(2011·南京质检)把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设a ij(i，j＝N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数，如a42＝8.若a ij＝2009，则i与j的和为()

A.105 B．106

C．107 D．108

答案 C

解析由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2009＝2×1005－1，所以2009为第1005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2009在第32个奇数行内，所以i＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1923,2009＝1923＋2(m－1)，所以m＝44，即j＝44，所以i＋j＝107.

5．设f (x )＝

1＋x

1－x

，又记f 1(x )＝f (x )，f k ＋1(x )＝f (f k (x ))，k ＝1，2，…，则f 2009(x )等于( )

A ．－1

x B ．x C.x －1x ＋1 D.1＋x 1－x 答案 D

解析 计算：f 2(x )＝f (1＋x 1－x )＝1＋1＋x 1－x 1－

1＋x

1－x

＝－1x ，f 3(x )＝f (－1

x )＝

1－1x 1＋1x ＝x －1x ＋1，f 4(x )＝1＋x －1x ＋11－x －1x ＋1

＝x ，f 5(x )＝f 1(x )＝1＋x 1－x ，归纳得f 4k ＋1(x )＝1＋x 1－x ，k ∈N *

，从而f 2009(x )＝1＋x 1－x .

6．(2011·皖南八校)已知整数的数对列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…则第60个数对是( )

A ．(3,8)

B ．(4,7)

C ．(4,8)

D ．(5,7) 答案 D

解析 观察可知横坐标和纵坐标之和为2的数对有1个，和为3的数对有2个，和为4的数对有3个，和为5的数对有4个，依此类推和为n ＋1的数对有n

个，多个数对的排序是按照横坐标依次增大的顺序来排的，由n (n ＋1)

2＝60⇒n (n ＋

1)＝120，n ∈Z ，n ＝10时，n (n ＋1)

2＝55个数对，还差5个数对，且这5个数对的横、纵坐标之和为12，它们依次是(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，

∴第60个数对是(5,7)． 7．(2011·苏北四市调研)某纺织厂的一个车间技术工人m 名(m ∈N *)，编号分别为1,2,3，…，m ，有n 台(n ∈N *)织布机，编号分别为1,2,3，…，n ，定义记号a ij ：若第i 名工人操作了第j 号织布机，规定a ij ＝1，否则a ij ＝0，则等式a 41＋a 42＋a 43＋…＋a 4n ＝3的实际意义是( )

A ．第4名工人操作了3台织布机

B ．第4名工人操作了n 台织布机

C ．第3名工人操作了4台织布机

D ．第3名工人操作了n 台织布机 答案 A

解析 a 41＋a 42＋a 43＋…＋a 4n ＝3中的第一下标4的意义是第四名工人，第二下标1,2，…，n 表示第1号织布机，第2号织布机，……，第n 号织布机，根据规定可知这名工人操作了三台织布机．

二、填空题

8．已知1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，则第5个等式为________，…，推广到第n 个等式为__________________．(注

意：按规律写出等式的形式，不要求计算结果)

答案 1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋5；1－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1·n 2＝(－1)n ＋1·(1＋2＋3＋…＋n )

解析 根据前几个等式的规律可知，等式左边的各数是自然数的平方，且正负相间，等式的右边是自然数之和且隔项符号相同，由此可推得结果．

9．(2011·湖北八校)已知扇形的圆心角为2α(定值)，半径为R (定值)，分别按图

1、图2作扇形的内接矩形，若按图1作出的矩形的面积的最大值为12R 2

tan α，则按图2作出的矩形的面积的最大值为________．

答案 R 2tan α

2

解析

将图1沿水平边翻折作出如图所示的图形，内接矩形的最大面积S ＝2·12R 2

·

tan

α＝R 2·tan α，所以图2中内接矩形的面积的最大值为R 2tan α

2.

10．(2011·衡水潍坊)已知2＋23＝223， 3＋38＝338，4＋4

15＝4415，…，若6＋a t ＝6a

t ，(a ，t 均为正实数)，类比以上等式，可推测a ，t 的值，则a ＋t ＝________.

答案 41

解析 根据题中所列的前几项的规律可知其通项应为n ＋n

n 2－1

＝

n n n 2－1，所以当n ＝6时a ＝6，t ＝35，a ＋t ＝41.

11．设P 是边长为a 的正三角形ABC 内的一点，P 点到三边的距离分别为h 1、

h 2、h 3，则h 1＋h 2＋h 3＝3

2a ；类比到空间，设P 是棱长为a 的正四面体ABCD 内的一点，则P 点到四个面的距离之和h 1＋h 2＋h 3＋h 4＝________.

答案

63

a 解析 如图，连接AP ，BP ，CP ，DP ，则正四面体ABCD 可分成四个小三棱

锥，根据体积相等可得，正四面体的体积为13×34a 2×63a ＝13×3

4a 2(h 1＋h 2＋h 3

＋h 4)，所以h 1＋h 2＋h 3＋h 4＝6

3a .

12．(2010·福建卷，文)观察下列等式： ①cos 2α＝2cos 2α－1；

②cos 4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；