2012年中考数学专题突破与强化训练_专题1_规律探索型问题(42张)

5．(2011·武汉)在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点 叫做整点．且规定，正方形的内部不包含边界上的点．观察如图所示的中 心在原点、一边平行于x轴的正方形：边长为1的正方形内部有1个整点， 边长为2的正方形内部有1个整点，边长为3的正方形内部有9个整点，„， 则边长为8的正方形内部的整点的个数为( )
越来越多．
1．数列规律 数列规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般 性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容． 2．计算规律
计算规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量 关系，然后通过适当的计算(主要以等差数列的计算为主)回答问题．
3．图形规律
图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析 其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结 合． 4．动态规律 动态规律问题是探求图形在运动变换过程中的变化规律，解答此类 问题时，要将图形每一次的变化与前一次变化进行比较，明确哪些结果发 生了变化，哪些结果没有发生变化，从而逐步发现规律．
012的个位数字是1.
3．(2010中考变式题)填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的 规律，根据此规律，m的值是( )
A．38
B．52
C．66
D．74
【解析】规律一：和m对应位置的数除外，其他相应位置的数都是偶 数，且后面的数比对应前面的数大2.如：0,2,4,6；其他位置的数是 4,6,8,10；2,4,6,8.如图
BE (2)当 AB＝kAC 时(如图所示)，求 的值(用含 k 的式子表示)． FD
【点拨】本题是一个关于线段比的探究题，主要考查学生的自学探究
能力．解答此类问题的一般思路是：先从简单问题入手，总结解题规律， 以此规律解答类似相关复杂问题．
【解答】(1)①22.5 1 ②结论：BE＝ FD.证明如下：如图，过点 D 作 DG 2
答案：(1)4×6－52＝24－25＝－1 (2)答案不唯一．如n(n＋2)－
(n＋1)2＝－1 (3)成立 理由：n(n＋2)－(n＋1)2＝n2＋2n－(n2＋2n＋1)
＝n2＋2n－n2－2n－1＝－1
3．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、
向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：A1(______，______)，
1 【解答】( )n－1 cm2 4
（2011·大连）在△ABC 中，∠A＝90°，点 D 在线段 BC 上，∠EDB 1 ＝ ∠C，BE⊥DE，垂足为 E，DE 与 AB 相交于点 F. 2
(1)当 AB＝AC 时(如图所示)， ①∠EBF＝________°； ②探索线段 BE 与 FD 的数量关系，并加以证明．
GB BH BE BH ＝ ，即 ＝ .又∵DG∥CA，∴△BHD FD DH FD 2DH
BH DH BH BA BE k ∽△BAC，∴ ＝ ，即 ＝ ＝k.∴ ＝ . BA CA DH CA FD 2
1．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连 接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩
n ＋22 【解答】 n ＋22 －4
如图，将n个边长都为1 cm的正方形按如图所 示摆放，点A1、A2、„、An分别是正方形的中心，则n
个这样的正方形重叠部分的面积和为________．
【点拨】从图形变化的过程中发现其规律是每个阴影部分是原来正 1 方形面积的 ，但要注意 n 个这样的正方形共有(n－1)个重叠部分，所以 4 1 n －1 面积和是( ) cm2. 4
2．(2012中考预测题)观察下列算式：31＝3,32＝9,33＝27,34＝81,35 ＝243,36＝729,37＝2 187,38＝6 561，„通过观察，用你所发现的规律确 定3 2
012的个位数字是(
) C ．7 D ．1
A ．3
B ．9
【解析】观察算式，可发现每4个数字的个位数字循环一次，因为 2 012÷4＝503，故32 【答案】D
A．65
B．49
C．36
D．25
【解析】由题意分析知边长为n(n≥2)的正方形内部的整点个数满足： 当n为奇数时，整点个数为n2；当n为偶数时，整点个数为(n－1)2.所以边 长为8的正方形内部的整点个数为(8－1)2＝49. 【答案】B
二、填空题(每小题5分，共40分)
1 1 1 6．(2011·桂林)若 a1＝1－ ，a2＝1－ ，a3＝1－ ，„，
9 16 25 36 一组按规律排列的数: , , , ,„请推断第 n 个数是________. 5 12 21 32 【点拨】通过观察发现，这组数字出现的规律是：(1)分子以幂的形
式排列，分母与分子的差是定值4；(2)再从特殊到一般：从第一个数开始 分子分别以3,4,5，„的平方出现．所以分子分母的代数式分别是(n＋2)2 和(n＋2)2－4.
a1,3·ai,3＋a1,4·ai,4＋a1,5·ai,5＝1＋0＋0＋0＋0＝1.
【答案】0 15 1
8．(2010中考变式题)观察下列图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有________ 个★. 【解析】规律是1＋3×1,1＋3×2,1＋3×3，„，1＋3×9，所以第9 个图形共有1＋3×9＝1＋27＝28(个) 【答案】28
的解答． 1 2 3 10 11 17 18 26 27 28 19 29 5 3 6 12 20 30 7 13 21 31 4 8 14 22 32 9 15 23 33 16 24 34 25 35 36
(1)表中第8行的最后一个数是______，它是自然数______的平方，第 8行共有______个数；
1 【答案】1－m
7．(2011·北京)在下表中，我们把第i行第j列的数记为ai，j(其中i，
j都是不大于5的正整数)，对于表中的每个数ai，j规定如下：当i≥j时，ai，
j＝1；当i<j时，ai，j＝0.例如：当i＝2，j＝1时，ai，j＝a2,1＝1.按此规
定，a1,3＝________；表中的25个数中，共有________个1；计算a1,1·ai,1 ＋a1,2·ai,2＋a1,3·ai,3＋a1,4·ai,4＋a1,5·ai,5的值为________.
1 2n－2 ( ) 形的面积为1，则第n个矩形的面积为________. 2
2．观察下列算式： ①1×3－22＝3－4＝－1；
②2×4－32＝8－9＝－1；
③3×5－42＝15－16＝－1； ④________； „. (1)请你按以上规律写出第4个算式；
(2)把这个规律用含字母的式子表示出来； (3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．
规律探索型问题
训练时间：60分钟
分值：100分
一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2010中考变式题)如图，一串有趣的图案按一定的规律排列，
请仔细观察，按此规律第2 012个图案是(
)
【解析】观察图案可知，每4个图案循环一次，因为2 012÷4＝ 502„„0，所以第2 012个图案与第4个图案相同，故选A. 【答案】A
m
a1
a2
则 a2 011 的值为________(用含 m 的代数式表示)． －1 1 m－1 1 m 【解析】∵a1＝1－m＝ m ，a2＝1－ ＝1－ ＝ ， a1 m－1 m－1
1 1 1 m－1 a3＝1－ ＝1＋m－1＝m，a4＝1－ ＝1－m＝ m ，„，又∵ a2 a3 1 2 011÷ 3＝670„„1，∴a2 011＝a1＝1－m.
(2)用含n的代数式表示：第n行的第一个数是______，最后一个数是
______，第n行共有______个数； (3)求第n行各数之和．
答案：(1)64 ＝2n－1 －1)． 8 15 (2)(n－1)2＋1＝n2－2n＋2
n2 n2－(n－1)2
Fra Baidu bibliotek
2 n －2n＋2 ＋n2 (3)第 n 行各数之和： ×(2n－1)＝(n2－n＋1)(2n 2
a1,1 a2,1 a3,1 a4,1 a5,1 a1,2 a2,2 a3,2 a4,2 a5,2 a1,3 a2,3 a3,3 a4,3 a5,3 a1,4 a2,4 a3,4 a4,4 a5,4 a1,5 a2,5 a3,5 a4,5 a5,5
【解析】∵1＜3，∴a1,3＝0.表中i≥j的数共有15个，∴表中25个数 中有15个1.根据规定：无论i＝1,2,3,4或5，都有a1,1·ai,1＋a1,2·ai,2＋
专题突破·强化训练
专题一 规律探索型问题
考点知识梳理
中考典例精析
专题训练
专题训练
【练习篇】
探索规律型问题也是归纳猜想型问题，其特点是：给出一组具有某 种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某
一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而
归纳或猜想出一般性的结论．类型有“数列规律”、“计算规律”、“图 形规律”与“动态规律”等题型，近年来关于数列与图形排列规律的题目
规律二：一条对角线位置的数字之和等于另一条对角线位置的数字之
积．如4＋44＝6×8，则6＋m＝8×10，故m＝74.
【答案】D
4．(2010中考变式题)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由 明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．已知有一种密码，将英 文26个小写字母a，b，c，„，z依次对应0,1,2，„，25这26个自然数(见 表格)，当明文中的字母对应的序号为β 时，将β ＋10除以26后所得的余 数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s对应密文c.
A3(______，______)，A12(______，______)；
(2)写出点A4n的坐标(n是正整数)；
(3)指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向． 答案：(1)A1(0,1)，A3(1,0)，A12(6,0) (2)A4n(2n,0) (3)向上
4．如下数表是由从1开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题
9．(2011·南京)甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数， 规定：
①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙
报6„„按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1.当报 到的数是50时，报数结束；
②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．
在此过程中，甲同学需拍手的次数为____________． 【解析】∵50÷4＝12余2，∴甲由共报出1,5,9,13，„，45,49,13次 数，其中的9,21,33和45是3的倍数，∴甲同学需拍手的次数为4. 【答案】4
)
A．wkdrc
B．wkhtc
C．eqdjc
D．eqhjc
【解析】m对应的数字是12,12＋10＝22,22除以26的余数仍然是22， 因此对应的字母是w；a对应的数字是0,0＋10＝10,10除以26的余数仍然是 10，因此对应的字母是k；„„所以明文“maths”译成密文后是 “wkdrc”． 【答案】A
∥CA，与 BE 的延长线相交于点 G，与 AB 相交于点 H，则∠GDB＝∠C，∠BHD ＝∠A＝90°＝∠GHB. 1 1 ∵∠EDB＝ ∠C＝ ∠GDB＝∠EDG， 2 2 又 DE＝DE，∠DEB＝∠DEG＝90°， 1 ∴△DEB≌△DEG.∴BE＝GE＝ GB. 2
∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝∠GDB， ∴HB＝HD. ∵∠BED＝∠BHD＝90°，∠BFE＝∠DFH， ∴∠EBF＝∠HDF，∴△GBH≌△FDH， 1 ∴GB＝FD，∴BE＝ FD. 2 1 (2)同理可证△DEB≌△DEG，BE＝ GB，∠BHD＝∠GHB＝90°，∠EBF 2 ＝∠HDF.∴△GBH∽△FDH.∴
字母 序号 字母 a 0 n b 1 o 14 c 2 p 15 d 3 q 16 e 4 r 17 f 5 s 18 g 6 t 19 h 7 u 20 i 8 v 21 j 9 w 22 k 10 x 23 l 11 y 24 m 12 z 25
序号 13
按上述规定，将明文“maths”译成密文后是(